Tiểu luận Dạng Modunlar và hàm số học

Bậ GIO DệC V€ ffi€O T„O TRìÍNG ffi„I HÅC QUY NHèN ********* HÀ DUY NGHĨA DẠNG MODUNLAR VÀ HÀM SỐ HỌC TIỂU LUẬN HèNH HỌC SỐ HỌC Quy Nhỡn, ThĂng 5 nôm 2010 iBậ GIO DệC V€ ffi€O T„O TRìÍNG ffi„I HÅC QUY NHèN ********* HÀ DUY NGHĨA DẠNG MODUNLAR VÀ HÀM SỐ HỌC CAO HỌC TOÁN KHểA 11 Chuyờn ngành: Đại số và lý thuyết số TIỂU LUẬN HèNH HỌC SỐ HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Quy Nhỡn, ThĂng 5 nôm 2010 ii MỤC LỤC Trang phụ bỡa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 2 1.1 Đặc trưng của nhúm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 2 cỏc hàm số học 7 2.1 Zeta hàm và L hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Zeta hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Zờta hàm Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 L-Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Đặc trưng Modunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Định nghĩa và tớnh chất của L-Hàm . . . . . . . . . . . 9 2.2.3 Tớch cỏc L hàm ứng với mọi χ ∈ Ĝ(m) . . . . . . . . . 10 Chương 3 Dạng modular 11 3.1 Nhúm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Miền cơ bản của nhúm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Hàm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4 Khụng gian cỏc dạng Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1LỜI MỞ ĐẦU Số học là bộ mụn toỏn học ra đời từ rất sớm nhưng nú luụn được cỏc nhà toỏn học quan tõm nghiờn cứu, bởi lẽ khụng vỡ sự bớ ẩn của cỏc con số mà nú cũn ứng dụng quan trong cho cuộc cỏch mạng khoa học kỹ thuật hiện nay như lý thuyết mật mó,kỹ thuật số,... chuyờn đề hỡnh học số học là chuyờn đề nghiờn cứu số học dưới cụng cụ hỡnh học, thiết lập mật mó bởi đường cong Eliptic là thế mạnh của phõn mụn này. Để làm đề tài tiểu luận kết thỳc bộ mụn tụi chọn đề tài " Dạng modular và hàm số học" , tiểu luận gồm 3 chương cựng với phần mở đầu và kết luận. Trong mỗi chương cụ thể như sau; Chương 1: Gồm cỏc kiến thức cơ sở liờn quan đến hai chương sau Chương 2: Giới thiệu hai hàm số học quan trọng đú là Zeta hàm và L hàm cựng với cỏc tớnh chất của nú. Chương 3: Núi về cỏc dạng Modular, khụng gian cỏc dạng Modular . Mặc dự bản thõn đó rất cố gắng trong học tập, nghiờn cứu và được sự hướng dẫn nhiệt tỡnh của thầy giỏo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thõn và thời gian cũn hạn chế nờn tiểu luận khú trỏnh khỏi những thiếu sút. Tụi rất mong nhận được sự gúp ý của quý thầy cụ và cỏc bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn. Cuối cựng tụi xin chõn thành cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoỏi người đó tận tỡnh giỳp đỡ, cựng tập thể lớp cao học toỏn khoỏ 11 tạo điều kiện cho tụi hoàn thành tiểu luận này. Quy Nhơn, thỏng 5 năm 2010 Hà Duy nghĩa 2Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đặc trưng của nhúm hữu hạn Định nghĩa 1.1.1. Một đặc trưng của nhúm G là một đồng cấu từ G vào nhúm nhõn cỏc số phức khỏc khụng. Núi cỏch khỏc, đặc trưng của G là một hàm χ : G → C∗ sao cho χ(a.b) = χ(a)χ(b),∀a, b ∈ G Một đặc trưng χ gọi là tầm thường nếu χ(g) = 1,∀g ∈ G được ký hiệu là χT Gọi χ, χ′ là hai đặc trưng của nhúm G, tớch 2 đặc trưng là một hàm χ.χ′ : G→ C∗ xỏc định bởi χχ′(g) = χ(g)χ′(g). Định lý 1.1.2. Đặc trưng của nhúm tựy ý G là nhúm Abel với phộp toỏn nhõn được định nghĩa như trờn. Chứng minh. i)G đúng đối với phộp toỏn nhõn, tức là χ.χ′ là đặc trưng của G, thật vậy χ.χ′(a.b) = χ(a.b).χ′(a.b) = χ(a)χ(b)χ′(a)χ′(b) = χ.χ′(a)χ.χ′(b) ii)Phần tử đơn vị là đặc trưng tầm thường χT iii)Phần tử nghịch đảo của χ là χ−1 với χ−1 : G → C∗, được xỏc định χ−1(g) = χ(g−1) khi đú χ−1 là đặc trưng của G và χ.χ−1 = χT Tập hợp cỏc đặc trưng của G lập thành nhúm, ký hiệu là Ĝ gọi là nhúm đặc trưng hay nhúm đối ngẫu của G Giả sử rằngh : G1 → G2 là một đồng cấu nhúm và χ là đặc trưng của G2. Cỏi nối của χ bởi hký hiệu là h?χ được xỏc định bởi h? = χ ◦ χ, từ định nghĩa ta suy ra h?χ là một đồng cấu. Định lý 1.1.3. Giả sử rằng G1, G2 là những nhúm . Khi đú χ là đặc trưng của G1 ìG2 nếu và chỉ nếu χ = χ1 ⊗ χ2,∀χ1 ∈ Ĝ1, χ2 ∈ Ĝ2 Hệ quả 1.1.4. Nếu G1, G2 là những nhúm thỡ Ĝ1 ìG2 = Ĝ1 ⊗ Ĝ2 3Giả χ là đặc trưng của G và g là phần tử của G cú cấp hữu hạnk. Từ χ(g)k = χ(gk) = χ(1) = 1.Điều này kộo theo khẳng định rằng, những đặc trưng chuyển những phần tử cú cấp hữu hạn vào căn của đơn vị. Cụ thể là : Nếu G là một nhúm và n là số nguyờn dương nhỏ nhất sao cho gn = 1,∀g ∈ G khi cỏc đặc trưngcủa G sẽ cho tương ứng mỗi phần tử của G là căn bậc n của đơn vị . Từ đú suy ra nếu χ ∈ Ĝ thỡ |χ(g)| = 1∀g ∈ G, do đú χ(g) = χ(g) = 1 χ(g) = χ(g −1) = χ−1(g) mụđun [Proposition 1.1 [2] ] Với mọi đặc trưng khụng tầm thường χ của G thỡ ∑ a∈G χ(a) = 0 Chứng minh. Lấy b ∈ G sao cho χ(b) 6= 1, gọi S = ∑ a∈G χ(a), khi đú χ(b).S = ∑ a∈G χ(b)χ(a) ∑ ab∈G χ(ba) = S do đú S(χ(b)− 1) = 0⇒ S = 0 Từ mệnh đề trờn, nếu thay G bằng Ĝ ta cú kết quả sau: ∑ x∈Ĝ χ(x) = 0, χ ∈ Ĝ Suy ra ∑ χ∈Ĝ χ(x) = 0, x ∈ G ∼= Ĝ mụđun [proposition 1.3 , [2] ] Gọi ω là căn bậc n của đơn vị, khi đú ỏnh xạ χj : Zn → C∗ xỏc định bởi χj(a) = ωja là đặc trưngcủa Zn∀j ∈ Z, ngoài ra: (a)χj = χk nếu và chỉ nếu j ≡ kmodn; (b)χj = χk1; (c)Ẑ = {χ0, ..., χn−1}; (d)Ẑn ∼= Zn 4Chứng minh. Trước hết chứng minh χj là đặc trưng của Zn. Ta cú χj(a+ b) = ωj(a+b) = ωjaωjb = χj(a)χj(b), Vậy χj là đặc trưng của Zn. (a)χj = χk nếu và chỉ nếu j ≡ k mod n; (⇒) Ta cú χj = χk nờn χj(1) = χk(1)⇒ ωj = ωk ⇒ j ≡ k mod n. (⇐) Nếu j ≡ k mod n⇒ j = k + tn⇒ ωJ = ωk+tn = ωk ⇒ χj = χk. (b) Hiển nhiờn theo đinh nghĩa (c) Theo trờn ta đó chứng minh Ẑn là nhúm, nờn để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh Ẑn là nhúm xyclic cấp n.Thật vậy, ∀χj ∈ Ẑn ta cú χnj (a) = χj(na) = χj(0) = 1 = χ0(a), a ∈ Zn.( Cú thể giải thớch theo định nghĩa của χj(a) = ωja), khi đú ta suy ra được (c), (d). Hệ quả 1.1.5. G ∼= Ĝ Chứng minh. Vỡ G, Ĝ là những nhúm hữu hạn nờn G ∼= Zn1 ⊕ ... ⊕ Znk , và Ĝ ∼= Ẑn1 ⊕ .. ⊕ Ẑnk , do đú theo Mệnh đề 1.1 tacú Zn1 ∼= Ẑn1, ..., Znk ∼= Ẑnk .Suy ra điều phải chứng minh. 1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng Gọi G là nhúm Abelian hữu hạn và H là nhúm con của G, ký hiệu GˆH là tập cỏc đặc trưng của G cú hạt nhõn chứa H, tức là ∀h ∈ H,χ(h) = 1. Khi đú ta cú cỏc kết quả sau: Định lý 1.2.1. Nếu H là nhúm con của G và χ ∈ Ĝ thỡ ∑ h∈H χ(h) =  |H|Nếu χ ∈ ĜH 0 Nếu χ /∈ ĜH Chứng minh. Gọi A = ∑ h∈H χ(h), khi đú nếu χ ∈ ĜH thỡ χ(h) = 1,∀h ∈ H suy ra A = |H|, ngoài ra nếu χ /∈ ĜH thỡ tồn tại h0 ∈ H sao cho χ(h0) 6= 1, khi đú A = ∑ h∈H χ(h.h0) = χ(h0) ∑ h∈H χ(h)⇒ A = 0 5Định lý 1.2.2 (Quan hệ trực giao thứ 1). Gọi χ, ψ là hai đặc trưng của G khi đú ∑ a∈G χ(a)ψ(a) =  n Nếu χ = ψ 0 Nếu χ 6= ψ Chứng minh. Trường hợp , nếu χ = ψ khi đú χ(a).χ(a) = χ(a)−1χ(a) = 1 nờn ∑ a∈G χ(a)ψ(a) = n. Trường hợp, nếu χ 6= ψ thỡ χψ là đặc trưng khụng tầm thường, nờn theo Mệnh đề 1.1 ta cú điều phải chứng minh. Gọi CG là khụng gian cỏc hàm tuyến tớnh f : G→ C. Khụng gian này là khụng gian cỏc hàm tuyến tớnh n chiều trờn C. Với tớch vụ hướng được định nghĩa (f, g) = 1 n ∑ a∈G f(a)g(a) (f, g ∈ CG) Định lý 1.2.3. Ĝ là cơ sở trực giao trong CG Chứng minh. Tacú : ∀χ, ψ ∈ Ĝ, (χ, ψ) = 1n ∑ a∈G χ(a)ψ(a) = 0 ( Theo Định lý 1.2.2) Ngoài ra,theo Hệ quả1.1.5 ta suy ra |Ĝ| = n = dimCG. Gọi χ0, .., χn−1 là những đặc trưng của G = {a0, a1, ..., an−1. Khi đú ma trận vuụng C = (χi(aj)) là bảng đặc trưng của G Hệ quả 1.2.4. Ma trận A = 1√ n C là ma trõn đơn vị, hơn nữa A.A∗ = A∗.A = I trong đú I là ma trận đơn vị và A∗là ma trõn liờn hợp của A Hệ quả 1.2.5 (Quan hệ trực giao thứ 2 ). Gọi a, b ∈ G khi đú ∑ χ∈Ĝ χ(a)χ(b) =  nNếua = b 0Nếu a 6= b Chứng minh. Thật vậy, nếu a = b ta cú ∑ χ∈Ĝ χ(a)χ(b) = ∑ χ∈Ĝ χ(a)χ(a) = ∑ χ∈Ĝ |χ(a)|2 = n 6nếu a 6= b ta cú ∑ χ∈Ĝ χ(a)χ(b) = ∑ χ∈Ĝ χ(a−1)χ(b) = ∑ χ∈Ĝ χ(a−1b) = 0 (Suy ra từ Mệnh đề 1.1) 7Chương 2 CÁC HÀM SỐ HỌC 2.1 Zeta hàm và L hàm 2.1.1 Zeta hàm Định nghĩa 2.1.1. Cho f : N→ C là hàm số học,fđược gọi là : Nhõn tớnh nếu :∀m,n(m,n) = 1, f(m,n) = f(m).f(n) Nhõn tớnh mạnh nếu :∀m,nf(m,n) = f(m).f(n) Bổ đề 2.1.2. Chuỗi ∞∑ n=1 f(n) ns hội tụ tuyệt đối khi Res > 1 và biểu diễn thành tớch vụ hạn ∏ p∈P (1 + f(p)p−s + f(p2).p−2s + ...+) trong đú f(n) là hàm nhõn tớnh giới nội. Chứng minh. Vỡ f(n) là hàm nhõn tớnh giới nội nờn|f(n)| < M ⇒ ∣∣∣∣f(n)ns ∣∣∣∣ < M nX , X = Res > 1 chuỗi hội tụ tuyệt đối khi Res > 1. Lấy một tập hữu hạn S ⊂ { Tập hợp cỏc số nguyờn tố }, gọi N(S) ⊂ N là tập cỏc số mà cỏc ước nguyờn tố thuộc S, giả sử S = p1, ..., pr,khi đú N(S) = {n = pα11 ...pαkk , αi ≥ 0} Khi đú ta cú : ∑ n∈N(s) f(n) ns = ∑ f(pα11 ...pαkk ) (pα11 ...pαkk ) s Do f là hàm nhõn tớnh nờn f(pα11 ....P alphakk )=f(pα11 )...f(p αk k ) do đú : ∑ n∈N(s) f(n) ns = ∑ α1...αk f(pα11 )...f(pαkk ) (pα11 ...pαkk ) s = k∏ i=1  ∞∑ αi=0 f(pα11 ) (pαii ) s , S → P Từ đú suy ra: ∞∑ n=1 f(n) ns = ∏ p∈P (1 + f(p)p−s + f(p2).p−2s + ...+) Giả sử f(n) là hàm nhõn tớnh mạnh giới nội, khi đú theo bổ đề trờn ta cũng cú 8∞∑ n=1 f(n) ns = ∏ p∈P (1 + f(p)p−s + f(p2).p−2s + ...+) = ∏ p∈P 1 1−f(p).p−s = ∏ p∈P (1− f(p)p−s)−1. Và cụng thức này gọi là cụng thức Ơle. 2.1.2 Zờta hàm Rieman Từ bổ đề trờn ta thấy khi f(n) = 1 ta luụn cú: ζ(s) = ∞∑ n=1 1 ns , ζ(s) =∏ p∈P (1− p−s)−1 ζ là hàm Rieiman hội tụ tuyệt đối trờn miền Re s > 1 Định lý 2.1.3. ζ Hàm Rieman là hàm chỉnh hỡnh trờn miền Re s > 0. Thỏc triển được thành hàm phõn hỡnh trờn miền Res > 0 cú cực điểm đơn tại s = 1 tức là ζ(s) = 1s−1 + Φ(s) trong đú Φ(s) chỉnh hỡnh trong miền Re s > 0. Chứng minh. Ta cú : 1s−1 = ∞∫ 1 t−sdt = ∞∑ n=1 n+1∫ n t−sdt nờn suy ra: ζ(s)− 1s−1 = ∞∑ n=1 1 ns − ∞∑ n=1 n+1∫ n t−sdt = ∞∑ n=1 ( n−s − n+1∫ n t−sdt ) = ∞∑ n=1 n+1∫ n (n−s − t−s) dt. Đặt Φn(s) = n+1∫ n (n−s − t−s) dt,Φ(s) = ∞∑ n=1 Φ(n), cỏc hàm Φn(s) chỉnh hỡnh theo s trong miền Re s > 0. Để chỳng minh Φ(s) chỉnh hỡnh trong Re s > 0 ta chứng minh chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều.Thật vậy, ta cú: |Φn(s)| = ∣∣∣∣∣∣∣ n+1∫ n (ns − t−s)dt ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ maxn≤t≤n+1 ∣∣∣ns − t−s∣∣∣ nờn suy ra:|Φn(s)| ≤ |s|nX+1 , X = Re s Từ đú suy ra Φ(s) chỉnh hỡnh tronh miền Re s > 0, ngoài ra khi s→ 1,Φ(s) giới nội. 92.2 L-Hàm 2.2.1 Đặc trưng Modunlar Giả sử m ∈ Z,m ≥ 1, G(m) = (Z/mZ)∗ nhúm cỏc lớp đồng dư khả nghịch theo modulo m, G(m)cú m phần tử , gọi χ là đặc trung của nhúm G(m)gọi là đặc trưng Modunlar . χG(m) :−→ C∗ thỏc triển lờn Z, khi đú: •χ(n) = 0 nếu (n,m) 6= 1 •χ(n) = χ(nmodm) nếu (n,m) = 1 2.2.2 Định nghĩa và tớnh chất của L-Hàm Định nghĩa 2.2.1. Cho m ≥ 1, χ đặc trưng modular m,ta định nghĩa L hàm ứng với đặc trưng χ được xỏc định bởi cụng thức L(s, χ) = ∞∑ n=1 χ(n).n−s Mệnh đề 2.2.2. Nếu χ = 1 thỡ L(s, 1) = F (s).ζ(s) trong đú F (s) =∑ p|m (1− p−s), ζ(s) là Zeta hàm Riemam. Từ mệnh đề trờn ta thấy rằng L(s, 1) chỉ khỏc ζ(s) khi (n;m) 6= 1 và L(s, 1) cú thể thỏc triển thành hàm phõn hỡnh trờn miền Re s > 0 và cú cực điểm đơn tại s = 1. Mệnh đề 2.2.3. Với χ 6= chuỗi L(s, χ) hội tụ tuyệt đối trong Re s > 0(Re s > 1) đồng thời cú tớch Euler L(s, χ) = ∏ p∈P (1− χ(p).p−s)−1, , Re s > 0 Chứng minh. ∀u, v ∈ N, u < v ta đặt Au,v = v∑ u χ(n), theo tớnh chất trực giao ta cú u+m∑ u χ(n) = 0 Do đú |Au,v| ≤ Φ(m) 10 và khụng phụ thuộc vào u, v, nờn theo tiờu chuẩn Abel chuỗi hoiị tụ tuyệt đối. ngoài ra χ(n)là hàm nhõn tớnh mạnh nờn L(s, χ) cú tớnh Euler 2.2.3 Tớch cỏc L hàm ứng với mọi χ ∈ Ĝ(m) Cho p - m, p là ảnh của m trong nhúm G(m) = (Z/mZ)∗f(p) là cấp của ptrong nhúm G(m), f = f(r) là số nhỏ nhất sao cho pf ≡ 1modm suy ra f(p)|Φ(m), G(p) = Φ(m)/f(p) là cấp của nhúm sinh bởi (p) Mệnh đề 2.2.4. ζm(s) = ∏ p|m ( 1− p−f(p)s )−g(p) Chứng minh. Ta cú : ζm(s) = ∏ χ L(χ, s) = L(s, 1) ∏ χ 6=1 L(s, χ) = ∏ p|m (1− p−s) ζ(s) ∏ χ 6=1 L(s, χ) = ∏ p|m (1− p−s) ∏ p∈P (1− p−s)−1 ∏ χ 6=1 ∏ p∈P (1−χ(p)p−s)−g(p) = ∏ χ ∏ p|m (1−χ(p)p−s)−1 = ∏ p-m ( 1− p−f(p)s )−g(p) Định lý 2.2.5. (i) ∀χ 6= 1, L(1, χ) 6= 0 (ii) ζ(s) cú cực điểm đơn tại s = 1. Chứng minh. (i) giả sử cú χ0 nào đú , χ0 6= 1, L(1, χ0) = 0 khi đú L(1, χ) giới nội ∀χ 6= 1, và L(1, χ0) cú cực điểm đơn tại s = 1. Nếu Li, χ0 = 0 thỡ khử được cực điểm s = 1 suy ra hàm ζ(s) chỉnh hỡnh trong miền Re s > 0, ta cần chứng minh chuổi hội tụ trong miền Re s > 0, ta chứng tỏ chuỗiζ(s) phõn kỳ tạis = 1Φ(m) , thật vậy; ζ(m) = ∏ p-m ( 1− χ(p).p−f(p).s )−g(p) . ( 1− p−f(p).s )−g(p) = ( 1 1−p−f(p).s )g(p) = ( 1 + p−f(p).s + ...+ ( p−f(p).s )m + ...)g(P ) mà Φ(m) ≥ f(p) nờn chuỗi trờn được làm già bởi ( 1 + p−Φ(m).s + ...+ ( p−Φ(m).s ) + ... ) = ( 1 + 1 p + ... ) mà chuỗi này phõn kỳ nờn s = 1Φ(m) là phõn kỳ. (ii) được suy ra trực tiếp từ (i) 11 Chương 3 DẠNG MODULAR 3.1 Nhúm modular Cho H là nửa mặt phẳng trờn của C Nhúm mudular kớ hiệu là SL2 (R) =   a b c d  , a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1  Tỏc động của SL2 (R) lờn C ∪ {∞} : g =  a b c d  ∈ SL2 (R) gz = az+bcz+d với z là một phần tử trong C ∪ {∞}. Qua tỏc động của nhúm SL2 (R), nửa mặt phẳng trờn là ổn định. Thật vậy, giả sử H = {z/ Im z > 0} và z ∈ H. Khi đú Im(gz) = Im ( az+b cz+d ) = 12i ( az+b cz+d − az+bcz+d ) = 12i ( (ad−bc)z−(ad−bc)z |cz+d|2 ) = 12i (ad−bc)(z−z) |cz+d|2 = z−z2i|cz+d|2 = Im z |cz+d|2 Tỏc động tầm thường trờn H : Xột g = −1 0 0 − 1  ta cú gz = z, ∀z ∈ C ∪ {∞}. Xột nhúm SL2 (Z) ⊂ SL2 (R). Ta cú SL2 (Z) =   a b c d  , a, b, c, d ∈ Z, ad− bc = 1  . Kớ hiệu PSL2 (Z) = SL2 (Z)/{±1}. Định nghĩa 3.1.1. Nhúm G = SL2 (Z) gọi là nhúm modular. 12 3.2 Miền cơ bản của nhúm modular Định lý 3.2.1. Miền D = { |z| > 1, |Re z| 6 12 } là miền cơ bản của nhúm modular G tức là (i) Với mọi z ∈ H và với mọi g ∈ G ta cú gz ∈ D. (ii) Giả sử z, z′ ∈ D tồn tại g sao cho z′ = gz. Khi đú ta cú hoặc |Re z| = 12 , z′ = z ± 1 hoặc| z| = 1, z′ = −1z . (iii) Với mọi z ∈ D đặt I(z) = {g ∈ G, gz = z} (Nhúm con ổn định của z đối với G). Khi đú I(z) = 1 trừ 3 trường hợp: • z = i : I(i) là nhúm cấp 2 sinh bởi S • z = ρ = e 2pii3 : G là nhúm cấp 3 sinh bởi S, T. • z = ρ = epii3 : I(z) là nhúm cấp 3 sinh bởi TS. 3.3 Hàm modular Định nghĩa 3.3.1. Cho số nguyờn k, f(z) cho trong nửa mặt phẳng trờn được gọi là một hàm modular yếu trong số 2k nếu f(z) phõn hỡnh trờn H đồng thời với mọi g =  a b c d  ∈ SL2 (Z) ta cú f(z) = (cz + d)−2kf(az + b cz + d) (3.1) Định lý 3.3.2. Hàm phõn hỡnh f(z) trờn nửa mặt phẳng H là dạng modular trong số 2k khi và chỉ khi f(z) thỏa món hai điều kiện sau (i)f(z − 1) = f(z) (ii)f ( −1z ) = z2kf(z). Định nghĩa 3.3.3. Hàm modular yếu f(z) gọi là hàm modular nếu f(z) phõn hỡnh tại ∞. Hàm f(z) được gọi là hàm modular trọng số 2k nếu f(z) là hàm modular trọng số 2k và f(z) làm hàm chỉnh hỡnh trờn H kể cả tại ∞. 13 Nhận xột: f(z) là dạng modular trọng số 2k khi (i) f là hàm chỉnh hỡnh trờn H. (ii) f(z) cú khai triển f(z) = ∞∑ n=0 ane 2piinz. (iii) f ( −1z ) = z2kf(z). 3.4 Khụng gian cỏc dạng Modular Cho f và g là cỏc dạng modular trọng số 2k. Khi đú f + g cũng là một dạng modular. Đặt Mk là tập hợp cỏc dạng modular trọng số 2k . Khi đú Mk là khụng gian tuyến tớnh phức. Định nghĩa 3.4.1. Dạng modular f gọi là dạng cusp nếu như f(∞) = 0. Kớ hiệuM0k là khụng gian cỏc dạng cusp trọng số 2k. Ta cúM0k ⊂Mk. Xột ϕ : Mk −→ C, ϕ (f) = f (∞). Ta cú M0k = Kerϕ. Do đú Mk = M0k ⊕ CGk. Định lý 3.4.2. Giả sử f là hàm modular trọng số 2k khỏc 0. Khi đú ta cú 0∞ (f) + ∑ p∈D 1 ep 0p (f) = k 6 , (eplà cấp của nhúm ổn định tại p ). Viết lại, 0∞ (f) + 120i (f) + 1 30ρ (f) + ∑∗0p p∈H/G (f) = k6 (*) trong đú ∑∗ là tổng theo mọi modun trong H/G khỏc i, ρ và cỏc điểm đồng dư với i, ρ. Nhận xột: ∑∗0p (f) chỉ là tổng hữu hạn ( tức là, chỉ cú hữu hạn điểm mà tại đú 0ρ (f) = 0 ). Nếu f là hàm modular thỡ f phõn hỡnh tại ∞ . q = e2piiz : lim q→0 f (q) = ∞, tồn tại lõn cận của 0, chẳng hạn |q| < r trong đú chỉ cú q là cực điểm, z = x + iy, |q| = e−2piy 12pi log 1r . Khi y > 12pi log 1 r hàm f chỉ cú cực điểm tại ∞. Miền D ∩ { y 6 12pi log 1 r } compact do đú chỉ cú hữu hạn cực điểm và khụng điểm tức là chỉ cú hữu hạn p sao cho 0p (H) 6= 0. Định lý 3.4.3. (i) Mk = 0 với k < 0 hoặc k = 1. (ii) Khi k = 0, 2, 3, 4, 5 thỡ Mk là khụng gian vecto một chiều và cơ sở của 14 nú là 1, G2, G3, G4, G5. (iii) Ánh xạ Mk−6 −→M0k f 7→ ∆f là một đẳng cấu. Chứng minh. (i) Khi k = 1 hoặc k < 0 thỡ khụng cú dạng f 6≡ 0 do đú f = 0. (iii) Xột ỏnh xạ Mk−6 −→M0k f 7→ ∆f . • Trong cụng thức (*) ta thay f bởi G2 : 0∞ (G2) + 120i (G2) + 130ρ (G2) +∑∗ p∈H/G0p (G2) = 13 suy ra 0ρ (G2) = 1 và 0p (G2) = 0. Do đú G2 cú khụng điểm đơn duy nhất tại ρ, G2 (ρ) = 0, G2 (p) 6= 0. • Trong (*) ta thay f bởiG3: 0∞ (G3)+120i (G3)+130ρ (G3)+ ∑∗ p∈H/G0p (G3) = 1 2 suy ra 0ρ (G3) = 1 và 0p (G3) = 0. Do đú G3 cú 0i (G3) = 1, 0p (G3) = 0,∀p 6= i và G3 (i) = 0, G3 (p) 6= 0,∀p 6= i. • Trong (*) ta thay f bởi ∆. Khi đú ∆ (∞) = 0 suy ra 0∞ (∆) > 1. Ta cú 0∞ (∆) + 120i (∆) + 1 30ρ (∆) + ∑∗ p∈H/G0p (∆) = 1 suy ra 0∞ (∆) = 1 và 0i (∆) = 0ρ (∆) = 0p (∆) = 0,∀p 6=∞. Do đú ∆ cú khụng điểm đơn tại ∞. Hiển nhiờn ỏnh xạ trờn là đơn ỏnh. Lấy g tựy ý thuộc M0k . Ta cú g (∞) = 0 và ∆ (∞) = 0 nờn g/∆ chỉnh hỡnh kể cả tại ∞. Tại điểm p 6=∞ thỡ ∆ 6= 0. Vỡ g/∆ là hàm chỉnh hỡnh nờn g/∆ ∈ Mk−6. Đặt f = g/∆ ta cú f ∈ Mk−6 và g = ∆f suy ra ỏnh xạ trờn là một toàn cấu và do đú nú là một đẳng cấu. (ii) Xột k = 0 : Vỡ f là dạng modular nờn nú khụng cú cực điểm suy ra 0p (f) > 0. Theo (*) thỡ 0p (f) = 0 với mọi p nờn f chỉnh hỡnh và khỏc 0 trờn H, kể cả tại ∞. Do đú f là hàm hằng nờn Mk là khụng gian một chiều cú cơ sở là 1. Xột k = 2, 3, 4, 5 ta cúM0k ∼= Mk−6. Do k−6 < 0 nờn theo (i) ta cúMk−6 = 0 suy ra M0k = 0. Vỡ Mk = M0k ⊕CGk nờn Mk = CGk do đú Mk là khụng gian một chiều cơ sở Gk với k = 2, 3, 4, 5. 15 Hệ quả 3.4.4. Số chiều của Mk được cho bởi cụng thức dim Mk =  [ k 6 ] , k ≡ 1 (mod 6), k > 0[ k 6 ] + 1 , k 6≡ 1 (mod 6) Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo k: • k = 0 tức là k 6≡ 1 (mod 6) thỡ dim Mk = 1. • k = 1 tức là k ≡ 1 (mod 6) thỡ dim Mk = [1 6 ] = 0. • k = 2, 3, 4, 5 thỡ k 6≡ 1 (mod 6) do đú dim Mk = [1 6 ] + 1 = 1. Giả sử cụng thức trờn đỳng với mọi k > 5, ta cần chứng minh cụng thức đỳng với k + 6. Khi đú: dim Mk+6 = dim M0k+6 + 1 = dim Mk + 1 =  [ k 6 ] + 1 , k ≡ 1 (mod 6)[ k 6 ] + 2 , k 6≡ 1 (mod 6) =  [ k + 6 6 ] , k ≡ 1 (mod 6)[ k + 1 6 ] + 1 , k 6≡ 1 (mod 6) Định lý 3.4.5. Khụng gian Mk cú cơ sở gồm họ cỏc đơn thức cú dạng sau { Gα2G β 3 , α, β ∈ Z, α, β > 0, 2α + 3 β = k } . Chứng minh. Ta chứng minh họ cỏc đơn thức trờn sinh ra Mk bằng quy nạp như sau: Nếu k = 0 thỡ α = β = 0 . Nếu k = 2 thỡ chọn α = 2 và β = 0 do đú M2 sinh bởi G2 . Nếu k = 3 thỡ chọn α = 0 và β = 3 do đú M3 sinh bởi G3. Nếu k > 4 thỡ ta luụn tỡm được γ và δ sao cho 2γ + 3δ = k. Xột g = Gγ2Gδ3 ∈Mk sao cho g (∞) 6= 0 và f ∈Mk . Ta phải tỡm λ sao cho f − λg ∈M0k tức là tỡm f(∞)g(∞) . Vỡ M 0 k ∼= Mk−6 nờn ta cú f − λg = ∆h, h ∈Mk−6. Theo giả thiết quy nạp đỳng với k − 6 nờn ta cú h = ∑ 2α+3β=k−6 cαβG α 2G β 3 . Khi đú f = λGα2G β 3 + ∆h = λGα2G β 3 + ( (60G2)3 − 27 (140G3)2 ) h 16 = λGα2G β 3 + ∑( aαβG α 2G β+2 3 + bαβGα+32 Gβ3 ) và  2α + 3 (β + 2) = k 2 (α + 3) + 3β = k Điều cần chứng minh đỳng với k nờn { Gα2G β 3 , α, β ∈ Z, α, β > 0, 2α + 3 β = k } sinh ra Mk. Ta cần chứng minh họ { Gα2G β 3 , α, β ∈ Z, α, β > 0, 2α + 3 β = k } là hệ độc lập tuyến tớnh. Giả sử ∑ (α,β) λαβG α 2G β 3 = 0 trong đú 2α + 3β = k. Chọn (α0, β0) trong đú α0 là số nhỏ nhất trong cỏc α và β0 là số lớn nhất trong cỏc số β sao cho 2α0 + 3β0 = k. Từ 2 (α− α0) + 3 (β − β0) = 0 ta cú α− α0...3 và β − β0...2 do đú α− α0 = 3m và β − β0 = −2n suy ra m = n. Từ đú ∑λαβGα−α02 Gβ−β03 = 0 ⇔ ∑λαβ (G32)m (G23)−n = 0⇔ ∑λαβ (G32G23 )n = 0 . Nếu λαβ khụng đồng thời bằng khụng thỡ G 3 2 G23 = c. Khi đú Tại ita cú G3 = 0 và G2 6= 0 ( vụ lý ). Tại ρ ta cú G2 = 0 và G3 6= 0 ( vụ lý ). Vậy hệ sinh trờn là một hệ độc lập tuyến tớnh, tức là{ Gα2G β 3 , α, β ∈ Z, α, β > 0, 2α + 3 β = k } là một cơ sở của Mk. 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Khoỏi , Bài giảng hỡnh học số học , Trường đại học Quy Nhơn. [2] Wolfgang M.Schmidt, Equation over Finite Fields An Elementary Ap- proach NewYork 1976.