Như vậy, chúng tôi đã trình bày được một số khái niệm cơ bản của giải tích
phức trong không gian Banach đồng thời cũng nhắc lại một số nội dung cơ
bản của giải tích phức một biến .
Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc
chắn không thể tránh được sai sót. Nhóm rất mong nhận được sự góp ý của
quý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn.
Lời cuối cùng, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy
PGS.TS Thái Thuần Quang, người Thầy đã tận tình giảng dạy cho chúng em
trong thời gian vừa qua.
23 trang |
Chia sẻ: tienthan23 | Lượt xem: 3786 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Tiểu luận Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian banach, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN
BANACH
ĐẮK LẮK, NĂM 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN
BANACH
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG
ĐẮK LẮK, NĂM 2015
DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN
1q Trương Văn Đại (Nhóm Trưởng)
2q Dương Thế Dũng (Nhóm Phó)
3q Phan Hữu Thế
4q Nguyễn Hữu Hải
5q Cù Thị Kim Dung
6q Lê Đình Sơn
7q Nguyễn Đình Toản
8q Nguyễn Thị Thu Thuỷ
9q Nguyễn Thị Phượng
i
MỤC LỤC
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 2
1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Định lí Hanh-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Định lí đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển . . . . . . 3
1.2.1 Nguyên lí Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Định lí Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Ánh xạ chỉnh hình 6
2.1 Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.6 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.7 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.8 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
ii
2.1.9 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Định lý : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Hàm chỉnh hình theo từng biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Bổ đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Mệnh đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Chỉnh hình yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Định lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.3 Bổ đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kết luận 16
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
N : Tập hợp các số tự nhiên N t1, 2, . . .u
N0 : Tập hợp các số N0 NY t0u
E : Đối ngẫu đại số của E
E 1 : Đối ngẫu topo của E
E 1co : Không gian E
1 với topo compact mở
Bpa, rq : Hình cầu mở tâm a bán kính r
Bpa, rq : Hình cầu đóng tâm a bán kính r
l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối
c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không
c 0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không
intU : Phần trong của U
U : Bao đóng của U
XK : Không gian Banach sinh bởi K X
PpE,F q : Không gian các đa thức từ E vào F
HbpE,F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập
bị chặn của E giá trị trong F
HpUq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng
HpU, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F
NpNq : Tập các đa chỉ số
tr. : Trang
iv
Mở đầu
Vào thế kỉ 16 G. Cardano (1501-1576) đã nói đến các số "ảo" như là căn
của các số âm. Đến giữa thế kỉ 18 các số phức rải rác xuất hiện trong các công
trình toán học của I. Newton, N. Bernoulli, A. Clairaut... Song người được coi
là sáng lập môn hàm phức chính là L. Euler (1707-1783). Ông đã nghiên cứu
các hàm phức sơ cấp, đưa vào khái niệm khả vi năm (1755) và phép tính tích
phân năm (1777). Nhiều ứng dụng hàm phức vào giải tích thực, thủy động học
và phép vẽ bản đồ cũng do ông khởi xướng. Lý thuyết hàm phức ra đời mang
ý nghĩa vô cùng to lớn. Nhờ lý thuyết hàm phức C.F. Gauss (1777-1855) đã
chứng minh được định lí cơ bản của đại số (1799): một đa thức bậc n trong
trường số phức có đúng n nghiệm nếu kể số nghiệm bằng bội của nó. Đầu thế
kỉ 19 lý thuyết hàm phức đã phát triển thành một trong số nghành quan trọng
nhất của giải tích toán học. Công lao to lớn thuộc về A.L Cauchy (1789-1857),
người đã phát triển phép tính tích phân, K. Weierstrass (1815-1897), người
đã phát triển lý thuyết chuỗi hàm và B. Riemann (1826-1866), người đã xây
dựng cơ sở hình học của lý thuyết hàm phức. Ngày nay lý thuyết hàm phức là
một trong những lí thuyết đóng vai trò quan trọng nhất của toán học, có ứng
dụng vô cùng to lớn trong các nghành vật lý và kĩ thuật rất khác nhau như:
thủy động học, khí động học, các lý thuyết điện từ trường, mạch điện, nước
ngầm, nổ định hướng,đàn hồi...
Trong nội dung của tiểu luận này chúng tôi nhắc lại một số kết quả của
giải tích phức cổ điển sau đó trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích
phức trong không gian Banach. Tiểu luận chắc chắn không thể tránh khỏi các
sai sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc và
quý thầy cô để tiểu luận được hoàn thiện hơn.
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi tóm tắt lại một số định lí cơ bản trong giải
tích hàm như định lí Hanh-Banach, nguyên lí ánh xạ mở, định lí đồ thị đóng
và nguyên lí bị chặn đều. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả cơ
bản trong giải tích phức cổ điển như nguyên lí Maximum, công thức tích phân
Cauchy, định lí Liouville. Cuối cùng chúng tôi trình bày các định nghĩa về đa
thức và chuỗi trong không gian Banach như là công cụ để định nghĩa ánh xạ
chỉnh hình trong không gian Banach.
1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm
1.1.1 Định lí Hanh-Banach
Cho E là không gian định chuẩn, F là không gian con của E và A là một
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F . Khi đó tồn tại một phiếm hàm A˜ trên
E tuyến tính liên tục sao cho A˜|F A và }A} }A˜}.
1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở
Cho E , F là hai không gian Banach và A là một toàn ánh tuyến tính từ
E vào F . Khi đó A là ánh xạ mở, tức là với mỗi tâp U mở trong E ta có tập
ApUq mở trong F
1.1.3 Định lí đồ thị đóng
Cho E, F là hai không gian định chuẩn, nếu A là một ánh xạ tuyến tính
liên tục thì A là ánh xạ đóng. Tức là tập px;Apxqq đóng trong không gian
2
topo tích E.F
1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều
Giả sửE là một không gian Banach,F là không gian định chuẩn và
t
Aαu , α P
Γ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Khi đó, nếu với mọi
x P E ta có sup
αPΓ
}Aαx} 8
1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển
1.2.1 Nguyên lí Maximum
Giả sử fpzq chỉnh hình trên miền D và liên tục trên miền D. Nếu fpzq
không là hằng số thì |fpzq| đạt cực đại trên biên của D.
1.2.2 Công thức tích phân Cauchy
Định lí. Giả sử fpzq chỉnh hình trong miền hữu hạn đơn liên D và z0 P D
, là đường cong Jordan, trơn, kín bất kì bao quanh z0 và nằm trong D. Khi
đó ta có công thức tích phân Cauchy
fpz0q
1
2pii
»
γ
fpζq
ζ z0
.
Hơn nữa, nếu fpzq liên tục trên biên của D thì với mọi z P D; ta có
fpzq
1
2pii
»
γ
fpζq
ζ z
.
1.2.3 Định lí Liouville
Nếu hàm fpzq chỉnh hình và bị chặn trên toàn mặt phẳng phức thì fpzq là
hàm hằng.
3
1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach
1.3.1 Đa thức
1.3.1.1 Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa: Giả sử E, F là các không gian Banach còn m P N. Ánh xạ
A : Em Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là
với mọi a pa1, a2, ..., amq P E
m và mọi 1 ¤ j ¤ m, các ánh xạ
Ej Q xj Ñ Apa1, ..., aj1, xj, aj 1, ..., amq
là tuyến tính.
Kí hiệu: LapmE,F q và LpmE,F q lần lượt là các không gian vectơ các ánh
xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ Em vào F tương ứng. Với
A P LapmE,F q, xác định
}A} sup }Apx1, ..., xmq} : xj P E, }xj} ¤ 1, 1 ¤ j ¤ m
và gọi là chuẩn (suy rộng) của A.
Khim 1, ta viết Lap1E,F q LapE,F q và Lp1E,F q LpE,F q. Khi F K
viết LapmE,Kq LapmEq và LpmE,Kq LpmEq. Cuối cùng khi m 1, sẽ
viết như thông thường LapEq E#,LpEq E.
1.3.1.2 Đa thức
Định nghĩa: Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất
bậc m)nếu tồn tại A P LapmE,F q sao cho
P pxq Axm @x P E
.
Ta kí hiệu PapmE,F q không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E
tới F và PpmE,F q là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục
của PapmE,F q. Đối với mỗi P P PapmE,F q, đặt
}P } sup }P pxq} : x P E, }x} ¤ 1
và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P .
Khi F K ta viết PapmE,Kq PapmEq và PpmE,Kq PpmEq.
4
1.3.2 Chuỗi lũy thừa
1.3.2.1 Định nghĩa:
Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a P E là chuỗi có dạng
8
°
m0
Pmpx aq,
ở đây Pm P PapmE,F q với mọi m P N0.
Chú ý rằng chuỗi lũy thừa
8
°
m0
Pmpx aq có thể viết như
8
°
m0
Ampx aq
m, ở
đây Am P LsapmE,F q, pAm Pm.
5
Chương 2
Ánh xạ chỉnh hình
2.1 Ánh xạ chỉnh hình
Trong chương này ta đưa ra khái niệm ánh xạ chỉnh hình dưới thuật ngữ
của chuỗi lũy thừa và sau đó là một số tính chất của chúng tương tự như hàm
chỉnh hình một biến phức.
Tất cả các không gian Banach trong chương này đều là các không gian Banach
phức và được kí hiệu bởi E, F ,...
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U Ñ F gọi là chỉnh hình hay giải
tích nếu với mọi a P U tồn tại trong hình cầu Bpa, rq U và một dãy các đa
thức Pm P PpmE,F q sao cho
fpxq
8
¸
m0
Pmpx aq
hội tụ đều với x P Bpa, rq.
Kí hiệu HpU, F q là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F . Khi
F C ta viết HpU,Cq HpUq.
2.1.2 Nhận xét
dãy pPmq trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu
Pm P
mfpaq với mọi m P N0. Chuỗi
8
°
m0
Pmfpaqpx aq như thông thường
gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu Amfpaq là phần tử duy nhất thuộc
LspmE,F q thỏa mãn{Amfpaq Pmfpaq.
6
2.1.3 Ví dụ
PpE,F q HpE,F q.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh P P HpE,F q với mọi P P PpmE,F q. Giả
sử A P LspmE,F q sao cho P pA. Cho a, x P E. Do Nhị Thức Newton ta có
P pxq Axm
m¸
j0
m
j
Aamjpx aqj.
Như vậy P chỉnh hình trên E và
P jP paq
m
j
Aamj nếuj ¤ m
và P jP paq 0 nếu j ¡ m. Ngoài ra P jP paq là đa thức trên E bậc j với giá
trị trong LspjE,F q.
2.1.4 Ví dụ
Giả sử
8
°
j0
Pmpxq là chuỗi lũy thừa từ E tới F có bán kính hội tụ bằng 8,
và mọi Pm là liên tục. Nếu ta xác định
fpxq
8
¸
j0
Pmpxq, x P E
thì f P HpE,F q.
Chứng minh. Giả sử Pm pAm với Am P LspmE,F q vàM P N0. Ta sẽ chứng
tỏ
8
¸
j0
8
¸
mj
m
j
}Am} }a}
mj
rj 8
với mọi a P E và r ¡ 0.
Thật vậy, bằng cách thay đổi thứ tự lấy tổng ta có
8
¸
j0
8
¸
mj
m
j
}Am} }a}
mj
rj
8
¸
m0
8
¸
j0
m
j
}Am} }a}
mj
rj
8
¸
m0
}Am}p}a} rq
m
. Chuỗi cuối cùng hội tụ vì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa bằng 8. Đặc
7
biệt
8
¸
mj
m
j
}Am} }a}
mj
rj 8.
Vậy chuỗi
8
°
mj
p
m
j qAma
mj xác định phần tử Qi P PpjE,F q với j P N0. Mặt
khác ta có
fpxq
8
¸
m0
Pmpxq
8
¸
m0
8
¸
j0
m
j
Ama
mj
px aqj
8
¸
j0
8
¸
mj
m
j
Ama
mj
px aqj
8
¸
j0
Qjpx aq
đều theo x P Bpa, rq. Như vậy f P HpE,F q.
2.1.5 Ví dụ
Giả sử pϕmq là dãy trong E
1 hội tụ điểm tới không. Nếu xác định
fpxq
8
¸
m0
pϕmpxqq
m, x P E
thì f P HpEq.
Chứng minh. Do nguyên lí bị chặn đều tồn tại C ¡ 0 sao cho }ϕm} C với
mọi m P N0. Ta sẽ chứng tỏ
8
¸
j0
8
¸
mj
m
j
|ϕmpaq|
mj
}ϕm}
jrj 8
với mọi a P E và mọi 0 ¤ r ¤ 1e .
Thật vậy,
8
¸
j0
8
¸
mj
m
j
|ϕmpaq|
mj
}ϕm}
jrj
8
¸
m0
m¸
j0
m
j
|ϕmpaq|
mj
}ϕm}
jrj
8
¸
m0
p|ϕmpaq| }ϕm}rq
m
¤
8
¸
m0
p|ϕmpaq| Crq
m
.
Chuỗi cuối cùng này hội tụ vì Cr 1 và ϕmpaq Ñ 0 khi mÑ 0. Do đó ta có
8
¸
mj
m
j
|ϕmpaq|
mj
}ϕm}
j
8.
8
Vậy chuỗi
8
°
mj
p
m
j qpϕmpaqq
mjϕjm các định một phần tử Qj P PpjEq với j P N0.
Mặt khác ta cũng có
fpxq
8
¸
m0
r|ϕmpaq| ϕmpx aqs
j
8
¸
m0
m¸
j0
m
j
pϕmpaqq
mj
pϕmpx aqq
j
8
¸
j0
8
¸
mj
m
j
ϕpaqmjpϕmpx aqq
j
8
¸
j0
Qjpx aq
đều theo x P Bpa, rq. Như vậy f P HpEq.
2.1.6 Mệnh đề
Giả sử U là tập mở liên thông của E và giả sử f P HpU,Eq. Nếu f đồng
nhất bằng không trên một tập con mở khác rỗng V của U thì f đồng nhất
bằng không trên U .
Chứng minh paq Trước tiên, ta coi U là lồi. Giả sử a P V, x P U . Đặt
A tλ P C : a λpx aq P Uu.
Do U là lồi , A là lồi, đặc biệt liên thông. Với mọi ψ P F 1, hàm
gpλq ψ fpa λpx aqq, λ P A
là chỉnh hình trên A và đồng nhất bằng không trên đĩa mở ∆pa, εq với ε ¡ 0
nào đó. Khi đó g đồng nhất bằng không trên A do định lí duy nhất đối với
hàm chỉnh hình vô hướng. Đặc biệt ψfpxq gp1q 0. ĐỊnh lí Hahn-Banach
cho ta fpxq 0.
pbq Trong trường hợp tổng quát. Giả sử A kí hiệu tập hợp các điểm a P U sao
cho f đồng nhất bằng không trên một lân cận của a. Rõ ràng A là mở. DO
f 0 trên V nên A H. Còn chứng minh A là đóng trong U . Khi đó do
tính liên thông của U suy ra f 0 trên U . Giả sử panq là dãy trong A hột tụ
tới b P U . Chọn r ¡ 0 sao cho Bpb, rq U và chọn n để an P Bpb, rq. Từ paq
suy ra f 0 trên Bpb, rq. Vậy b P A và đó là điều cần chứng minh.
Tiếp theo ta mở rộng Nguyên lí ánh xạ mở.
9
2.1.7 Mệnh đề
Giả sử U là tập mở liên thông trong E và giả sử f P HpUq. Nếu f khác
hằng số trên U thì fpV q là mở với mọi tập con mở V của U .
Chứng minh. CHỉ cần chứng minh fpV q là mở trong C với mọi tập lồi mở
V U . Giả sử V là tập con lồi mở của U và x P V . Do nguyên lí đồng nhất
hàm f khác hằng số trên V . Vậy tồn tại y P V sao cho fpxq fpyq. Vì V là
lồi, tập
A tλ P C : x λpy xq P V u
là lôi. Hàm
gpλq frx λpy xqs
xác định và chỉnh hình trên A với gp0q fpxq fpyq gp1q. Nguyên lí ánh
xạ mở đối với hàm chỉnh hình một biến phức cho ta gpAq mở trong C. Bởi vì
fpxq gp0q P gpAq fpV q,
suy ra fpV q là mở trong C.
2.1.8 Mệnh đề
Giả sử U là tập con mở, liên thông của E và giả sử f P HpUq. Nếu tồn tại
a P U sao cho |fpxq| ¤ |fpaq| với mọi x P U thì f là hằng số trên U .
Chứng minh. Giả sử f là hằng số trên U . Bởi nguyên lí ánh xạ mở tập fpUq
là mở trong C. Vậy nó chứa đĩa ∆pfpaq, rq tλ P C : |fpaqλ| ru. Nhưng
điều này không thể xảy ra vì |fpxq| ¤ |fpaq| với mọi x P U .
Để kết thúc mục này, ta đưa ra Định lí Liouville.
2.1.9 Định lí
Nếu ánh xạ f P HpE,F q bị chặn trên E thì f là ánh xạ hằng.
Giả sử. Giả sử x P E và ψ P F 1. Khi đó hàm gpλq ψ fpλq là chỉnh hình
và bị chặn trên C. Do định lí Liouvulle cổ điển nên g là hằng số, đặc biệt
ψ fpxq ψ fp0q. Định lí Hahn-Banach cho ta fpxq fp0q. Vậy f là hàm
hằng.
10
2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình
Trong mục này ta sẽ chứng minh một ánh xạ là chỉnh hình nếu nó là liên
tục và hạn chế của nó trên mọi đường thẳng phức là chỉnh hình. Đó là đặc
trung rất thuận lợi cho việc kiểm tra tính chỉnh hình của một ánh xạ nào đó
2.2.1 Định nghĩa:
Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U Ñ F gọi là G chỉnh hình nếu
đối với mọi a P U và b P E, ánh xạ λÑ fpa λbq là chỉnh hình trên tập mở
tλ P C : a λb P Uu
Ký hiệu: HF pU, F q là KGVT các ánh xạ G chỉnh hình từ U vào F . Nếu
F C, ta viết HGpU,Cq HGpUq
Ví dụ: Chứng minh Ppa λbq là đa thức theo λ với mọi a, b P E
Nhận xét: Bằng cách kiểm tra lại các chứng minh đối với ánh xạ chỉnh
hình ta nhận thấy các kết quả tương ứng sau còn đúng với ánh xạ Gbchỉnh
hình là nguyên lý đồng nhất, nguyên lý ánh xạ mở, nguyên lý Maximum và
định lý Liouville,...
2.2.2 Định lý :
Giả sử U là tập mở trong E. Khi đó, đối với ánh xạ f : U Ñ FF thì các
phát biểu sau tương đương:
(a) f là chỉnh hình
(b) f là liên tục và G-chỉnh hình
(c) f là liên tục và f |UXM là chỉnh hình với mọi không gian con hữu hạn
chiều M của E.
Chứng minh
paq ñ pbq là hiển nhiên
pbq ñ pcq Giả sử f : U Ñ F là G chỉnh hình và liên tục. Giả sử M là
không gian con hữu hạn chiều của E với a P U XM và giả sử e1, e2, ..., en là
một cơ sở của M. Ta có khai triển chuỗi:
fpa λ1e1 ... λnenq
¸
α
cαλ
α1
1 ...λ
αn
n
11
Ở đây chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó ∆np0, rq. Nếu với
m P N0 xác định
Pmpλ1e1 ... λnenq
¸
|α|m
cαλ
α1
1 ...λ
αn
n
thì ta có khai triển chuỗi luỹ thừa
fpa λ1e1 ... λnenq
¸
m0
Pmpλ1e1 ... λnenq
và (c) được chứng minh
pcq ñ paq Giả sử Bpa, rq U . Nếu M là không gian con hữu hạn chiều của
E chứa a thì do giả thiết f |UXM là chỉnh hình thì ta có tồn tại chuỗi luỹ thừa
8
°
m0
PMm px aq từ M vào F sao cho
fpxq
8
¸
m0
PMm px aq
với x P B
pa,rq XM
Nếu M và N là 2 không gian con hữu hạn chiểu của E chứa a thì do tính
duy nhất của khai triển Taylor, ta có: PMm ptq P
N
m ptq với mọi t PM XN thì
mọi m P N0. Như vậy có thể xác định Pm : E Ñ F bởi Pmptq P
M
m ptq nếu
M là không gian con hữu hạn chiều chứa a và t. Dễ thấy Pm P PpmE,F q.
Thật vậy, với M và N là 2 không gian con hữu hạn chiều của E chứa a. Chọn
AMm P LpmM,F q và = Anm P LsapmN,F q sao cho PMm {pAMm qq zpANmq. Do
tính chất đối xứng của AMm và A
N
m, ta có A
M
m A
N
m trên pM X Nq
m. Vậy họ
AMm với M xác định như trên cho ta Am P LsapmE,F q sao cho pAm Pm. Như
vậy Pm P PapmE,F q và
fpxq
8
¸
m0
Pmpx aq,@x P Bpa,rq
Do f liên tục ta có thể tìm được hình cầu B
pa,sq Bpa,rq và c ¡ 0 sao cho
}fpxq} ¤ c với x P B
pa,sq. Cho t P E với }t} ¤ 1. Giả sử M là không gian con
hữu hạn chiều của E chứa a và t. Bởi công thức tính tính phân Cauchy, ta có
Pmptq P
M
m ptq
1
2pii
2
»
|ζ|s
fpa ζtq
ζm 1
dζ
12
Từ đó suy ra, }Pm} ¤ cs
m. Vậy Pm là liên tục và chuỗi luỹ thừa
8
°
m0
Pmpx aq
có bán kính hội tụ ¥ s. Vậy paq được chứng minh.
2.3 Hàm chỉnh hình theo từng biến
Giả sử U là mở trong Cn và giả sử f : u Ñ F là chỉnh hình tách. Khi đó,
f liên tục khi và chỉ khi f bị chặn địa phương
Chứng minh: Giả sử f : U Ñ F là chỉnh hình tách và bị chặn địa phương.
Cho a P U và chọn r ¡ 0, c ¡ 0 để }fpζq} ¤ c, với mọi ζ P ∆npa, rq X U . Khi
đó , với mọi ζ P ∆npa, rq ta có thể viết
fpζq fpaq
n¸
j1
rfpa1, ..., aj1, ζ1, ..., ζnq fpa1, ..., aj, ζj 1, ..., ζnqs
Từ giả thiết ta suy ra hiệu
gjpζjq fpa1, ..., aj1, ζ1, ..., ζnq fpa1, ..., aj, ζj 1, ..., ζnq
chỉnh hình theo ζj khi các biến khác không đổi. Hơn nữa, }gpζjq} ¤ 2c với
|ζj aj| ¤ r. Theo bổ đề Schwart áp dụng cho gj, ta nhận được:
}fpζq fpaq} ¤
n¸
j1
2c
|ζj aj|
r
; @ζ P ∆npa, rq
Bất đẳng thức này chngs tỏ f là liên tục. Điều kiện đủ được chứng minh. Điều
kiện cần là hiển nhiên.
2.3.1 Bổ đề:
Giả sử U là tập mở trong Cn. Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu
và chỉ nếu nó chỉnh hình tách và liên tục.
Chứng minh: Chỉ cẩn chứng minh điều kiện đủ
Giả sử a P U . Ta có khai triển chuỗi
fpa λq
¸
α
cαλ
α1
1 ...λ
αn
n
và chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó.
Do đó, f là chỉnh hình
Bổ đề này được mở rộng đến không gian Banach tuỳ ý.
13
2.3.2 Mệnh đề:
Giả sử E1, ..., En và F là các không gian Banach, U là tập mở trong E1
...En. Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hình
tách và liên tục.
Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử f : U Ñ F là
chỉnh hình tách và liên tục. Giả sử a pa1, ..., anq P U và b pb1, ..., bnq P
E1 ... En. Khi đó ánh xạ:
g : pλ1, ..., λnq Ñ fpa1 λ1b1, ..., an λnbnq;λ pλ1, ..., λnq P Cn
là chỉnh hình tách. Như vậy, g là G chỉnh hình. Đặc biệt, λ Ñ fpa1
rb, ..., an rbq là chỉnh hình. Vậy f là G chỉnh hình và liên tục.
Suy ra, f chỉnh hình
Với khái niệm G chỉnh hình ta đã chuyển sự nghiên cứu ánh xạ chỉnh
hình tới trường hợp không gian xác định là 1 chiều. Tiếp theo, ta đưa vào khái
niếm chỉnh hình yếu để đưa việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình giá trị Banach
về ánh xạ chỉnh hình giá trị vô hướng.
2.4 Chỉnh hình yếu
2.4.1 Định nghĩa:
Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F . Ánh xạ f gọi là chỉnh hình yếu
hay giải tích yếu nếu φ f : uÑ C là chỉnh hình với mọi φ P F 1. Tương tự f
gọi là G chỉnh hình yếu nếu φ f là Gchỉnh hình với mọi φ P F 1
2.4.2 Định lý:
Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F . Khi đó,
(a) f là Gchỉnh hình nếu và chỉ nếu f là Gchỉnh hình yếu
(b) là chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là chỉnh hình yếu
Trước khi chứng minh bổ đề này ta thiết lập bổ đề sau:
2.4.3 Bổ đề:
Giả sử U là tập mở trong C. Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu
và chỉ nếu nó là chỉnh hình yếu.
14
Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ
Đầu tiên, ta chứng minh f là liên tục. Cho λ0 P U và chon r ¡ 0 để
∆pλ0; 2rq XU . Giả sử φ P F
1 và λ P ∆pλ0, rq, λ λ0. Áp dụng công thức tích
phân Cauchy đối với hàm chỉnh hình 1 biến, ta có:
fpλq φ fpλ0q
1
2pii
»
|ζ|2r
φ fpζq
ζ λ
φ fpζq
ζ λ0q
dζ
λ λ0
2pii
»
|ζ|2r
φ fpζq
pζ λqpζ λ0
dζ
Suy ra
φ
fpλq fpλ0q
λ λ0
¤
1
2pi
M
r.2r
.4pir
M
r
ở đây M supt|φ fpζq| : |ζ λ0| 2ru.
Do nguyên lý bị chặn đều, tồn tại c ¡ 0 sao cho:
fpλq fpλ0q
λ λ0
¤ c; @λ P ∆pλ0, rq, λ λ0
Bất đẳng thức trên chứng tỏ rằng f là liên tục tại λ0. Bây giờ cách chứng
minh f là chỉnh hình tương tự như ở các định lý trên đã trình bày.
Thật vậy, nếu ∆pλ0, rq X U thì đầu tiên ta có,
fpλq
1
2pii
»
|ζλ0|r
fpζq
ζ λ
dζ
đới với ζ P ∆pλ0, rq. Từ đó, ta nhận được khai triển chuỗi
fpλq
8
¸
m0
pλ λ0q
m 1
2pii
»
|ζλ0|r
fpζ
ζ λ0
dζ
và chuỗi hội tụ đều trên mọi đĩa ∆pλ0, sq; 0 ¤ s r
Do đó, f là chỉnh hình
15
Kết luận
Như vậy, chúng tôi đã trình bày được một số khái niệm cơ bản của giải tích
phức trong không gian Banach đồng thời cũng nhắc lại một số nội dung cơ
bản của giải tích phức một biến .
Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc
chắn không thể tránh được sai sót. Nhóm rất mong nhận được sự góp ý của
quý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn.
Lời cuối cùng, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy
PGS.TS Thái Thuần Quang, người Thầy đã tận tình giảng dạy cho chúng em
trong thời gian vừa qua.
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] J. Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland
Math. Studies, 120.
17
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- vidu_0596.pdf