Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.Mục đích và nhiệm vụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.1. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 0.2.4. Bố cục luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Chương 1. Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực . . . . . 1 1.1.Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Phép chiếu theo chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Định lí tách tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Dưới vi phân của hàm lồi và tính đơn điệu của nó . . . 16 2.1.Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii 2.2.Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 3. Hàm tựa lồi, hàm giả lồi và tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.Hàm tựa lồi và hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2. Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Toán tử tựa đơn điệu và giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2. Tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của đạo hàm của hàm tựa lồi và hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại Học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán Học và trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè, đồng nghiệp lớp Cao Học Toán K18B và BGH, đồng nghiệp Giáo Viên ở trường THPT BạchĐằng - Quảng Ninh đã gúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong được sự góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, Tháng 8 năm 2012 Tác Giả Hoàng Khắc Lợi iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv Danh mục các kí hiệu viết tắt H,Hi,K: Không gian Hilbert thực; 2H : Tập tất cả các tập con củaH ; R : Tập số thực; N : Tập hợp số tự nhiên; 〈. | .〉: Tích vô hướng; ||.|| : Chuẩn trên không gian Hilbert; [−∞,+∞]: Tập số thực mở rộng; R+ : = [0,+∞); R++ : = (0,+∞); in f : Cận dưới đúng; min : Cực tiểu; sup : Cận trên đúng; max : Cực đại; α ↓ µ: α ∈ (µ,+∞) và α dần đến µ; C− D : Hiệu Minkowski của tập C và D; span C : Không gian affine căng bởi C; spanC : Không gian đóng affine căng bởi tập C; C : Bao đóng của C; C⊥ : Phần bù trực giao của C; convC : Bao lồi của tập C; convC : Bao lồi đóng của tập C; coreC: Lõi của tập C; int C : Phần trong của C; bdryC : Biên của C; coneC: Bao nón của tập C; NC : Nón chuẩn tắc của C; PC : Phép chiếu lên tập C; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vσC : Hàm tựa của tập C; dC : Hàm khoảng cách của tập C; B(x, e) : Hình cầu đóng tâm x, bán kính e; ΓH : Tập các hàm lồi nửa liên tục dưới từH vào [−∞,+∞]; Γ0H : Tập các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới từ H vào (−∞,+∞];⊕ i∈I fi : Tổng trực tiếp của một hàm; dom f : Miền xác định của f ; f ∗ : Hàm liên hợp của f ; ∂ f (x) : Dưới vi phân của f tại x ; O f (x) hoặc f ′(x) : Đạo hàm của f tại x ; f ′(x, y) : Đạo hàm theo hướng y của f tại x; Argmin f : Tập các cực tiểu toàn cục của hàm f ; zerA: Tập các không điểm của toán tử A epi f : Trên đồ thị của hàm f ; gra f : Đồ thị của hàm f Id : Toán tử đồng nhất; cont f : Miền liên tục của hàm f ; l2(I) : Không gian Hilbert của tổng các hàm từ I vào R; B(H,K): Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từH vào K;⊕ i∈IHi : Tổng trực tiếp các không gian Hilbert; ×i∈IHi : Tích các không gian Hilbert; (x, y) : Khoảng trong R ; [x, y] : Đoạn trong R; (xi)i∈I : Họ các vectơ trongH. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mở đầu 0.1. Lý do chọn đề tài Giải tích lồi là bộ môn quan trọng trong giải tích phi tuyến tính hiện đại. Giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích các khái niệm, tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi. Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi là một trong những tính chất quan trọng của hàm lồi, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc cùng với các ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau. Việc nghiên cứu về tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi và hoàn chỉnh hàm lồi vẫn là đề tài cần được quan tâm và nghiên cứu trong bộ môn giải tích lồi. 0.2. Mục đích và nhiệm vụ 0.2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về dưới vi phân của hàm lồi và tính đơn điệu của nó. 0.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ chính sau đây: 1) Nghiên cứu tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực. 2) Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân hàm lồi. vi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vii 3) Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi. 4) Hàm tựa lồi và hàm giả lồi. 5) Tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm giả lồi. 0.2.3. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp của giải tích hàm kết hợp với phương pháp của giải tích hiện đại. - Sử dụng các phương pháp của lí thuyết tối ưu. - Kế thừa phương pháp và kết quả của lý thuyết tôi ưu không trơn. 0.2.4. Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 47 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 : Trình bày một số kiến thức cơ bản như : Không gian Hilbert thực, tập lồi, hàm lồi. Chương 2 : Dưới vi phân hàm lồi và tính đơn điệu của nó. Nội dung của chương này là trình bày việc xây dụng đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của hàm lồi, các toán tử đơn điệu và chỉ ra tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi. Chương 3 : Hàm tựa lồi, hàm giả lồi và tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực Nội dung kiến thức trong luận văn này được nghiên cứu trên không gian Hilbert thực, ta kí hiệu không gian này là H với tích vô hướng 〈. | .〉 và || . || là chuẩn trên H tương ứng với tích vô hướng này, với khoảng cách d, tức là: Với mọi x, y ∈ H ta có ||x|| = √〈x | x〉 và d(x, y) = ||x− y||. Chương này nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản nhất, tính chất đặc trưng của tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực. Các kiến thức ở trong chương này được trích từ cuốn sách ”Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces” của tác giả HenizH. Bauschke và PatrickL. Combettes [2]. Hầu hết các hàm trong luận văn này là hàm f : H → R∪ {+∞}. 1.1. Không gian Hilbert thực 1.1.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1. Phần bù trực giao của tập C ⊆ H được kí hiệu là C⊥, tức là C⊥ = {u ∈ H | ∀x ∈ C, 〈x | u〉 = 0} . 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2Một cơ sở của tậpC ⊆ H được gọi là một cơ sở trực giao củaH nếu spanC = H. Không gian H được gọi là tách được nếu nó có một cơ sở trực giao đếm được. Bây giờ giả sử (xi)i∈I là họ các vectơ trong H và giả sử I là lớp các tập con hữu hạn khác rỗng I định hướng bởi ⊂. Khi đó (xi)i∈I là khả tổng nếu tồn tại x ∈ H mà (∑i∈J xi)J∈I hội tụ đến x, tức là, ∀ε ∈ R++, ∃K ∈ I , ∀J ∈ I , J ⊃ K ⇒ ||x−∑ j∈J xi|| ≤ ε. Trong trường hợp này ta viết x = ∑i∈I xi. Đối với (αi)i∈I trong [0,+∞], ta có ∑ i∈I αi = sup J∈I ∑ j∈J αi. Đây là trường hợp riêng trong không gian Hilbert thực và nó sẽ được sử dụng trong cuốn luận văn này. Ví dụ 1.1. Tổng trực tiếp của một họ các không gian Hilbert thực (Hi, || . ||i)i∈I là không gian Hilbert thực. ⊕ i∈I Hi = {x = (xi)i∈I ∈ ×i∈IHi | ∑ i∈I ||xi||2i < +∞}. Được trang bị với phép cộng (x, y) 7→ (xi + yi)i∈I . Nhân (α, x) 7→ (αxi)i∈I . Tích vô hướng (x, y) 7→∑ i∈I 〈xi | yi〉. Khi I là tập hữu hạn, ta chỉ dùng chung một kí hiệu×i∈IHi để thay thế cho ⊕ i∈IHi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3Bây giờ giả sử rằng ∀i ∈ I, fi : Hi → R∪ {+∞} và I không là tập hữu hạn, infi∈I fi ≥ 0. Khi đó⊕ i∈I fi : ⊕ i∈I Hi → (−∞,+∞] : (xi)i∈I 7→∑ i∈I fi(xi). Ví dụ 1.2. Nếu mỗiHi là R trong Ví dụ 1.1 thì ta thu được l2(I) = ⊕ i∈I R; và mỗi giá trị trung bình với tích vô hướng (x, y) = ((ξi)i∈I , (ηi)i∈I)i∈I 7→∑ i∈I ξiηi. Vectơ đơn vị (ei)i∈I của l2(I) được xác định bởi ∀i ∈ I, ei : I → R : j 7→ { 1 nếu j = i 0 nếu j 6= i . 1.1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức Chú ý 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho x, y ∈ H, khi đó |〈x | y〉| ≤ ||x|| ||y||. Hơn nữa |〈x | y〉| = ||x|| ||y|| ⇔ ∃ α ∈ R+, x = αy hoặc y = αx. Bổ đề 1.1. Cho x, y, z ∈ H. Khi đó ta luôn có (i) ||x+ y||2 = ||x||2 + 2〈x | y〉+ ||y||2. (ii) Đẳng thức hình bình hành: ||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2||y||2. (iii) Đẳng thức phân cực: 4〈x | y〉 = ||x+ y||2 − ||x− y||2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4(iv) Đẳng thức Apllonius: ||x− y||2 = 2||z− x||2 + 2||z− y||2 − 4||z− x+ y 2 ||2. Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) và (iii) được suy ra từ (i) và ||x− y||2 = ||x||2 − 2〈x | y〉+ ||y||2. (1.1) Cộng theo vế (i) với đẳng thức (1.1) suy ra (ii) và trừ theo vế đẳng thức (i) với (1.1) suy ra (iii). (iv) Áp dụng (ii) với hai điểm z−x2 và z−y 2 . Bổ đề 1.2. Cho x, y ∈ H. Khi đó ta có: (i) 〈x | y〉 ≤ 0⇔ ∀α ∈ R+, ||x|| ≤ ||x− αy|| ⇔ ∀α ∈ [0, 1], ||x|| ≤ ||x− αy||. (ii) x ⊥ y⇔ ∀α ∈ R, ||x|| ≤ ||x− αy|| ⇔ ∀α ∈ [−1, 1], ||x|| ≤ ||x− αy||. Chứng minh. (i) Để ý rằng ∀α ∈ R, ||x− αy||2 − ||x||2 = α(α||y||2 − 2〈x | y〉) (1.2) Như vậy, chiều thuận được suy ra trực tiếp. Đảo lại nếu α ∈ [0, 1], ||x|| ≤ ||x− αy|| thì từ (1.2) suy ra 〈x | y〉 ≤ α||y|| 2 2 Khi α↘ 0, ta có 〈x | y〉 ≤ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5(ii) Đây là một hệ quả của (i), từ đó x⊥y⇔ [〈x | − y〉 ≤ 0 và 〈x | − y〉 ≤ 0]. Bổ đề 1.3. Cho (xi)i∈I và (ui)i∈I là họ các 〈x | y〉 tập hữu hạn trong H và cho (αi)i∈I là một dãy trên R mà ∑ i∈I αi = 1. Khi đó: (i) 〈∑i∈I αixi | ∑j∈I αjuj〉+∑i∈I ∑j∈I αiαj 〈xi−xj | ui−uj〉2 = ∑i∈I αi〈xi | ui〉. (ii) ||∑i∈I αixi||2 +∑i∈I ∑j∈I αiαj ||xi−xj|| 2 2 = ∑i∈I αi||xi||2. Chứng minh. (i) Ta có 2〈∑ i∈I αixi | ∑ j∈I αjuj〉 =∑ i∈I ∑ j∈I αiαj(〈xi | ui〉+ 〈xj | uj〉) =∑ i∈I ∑ j∈I αiαj(〈xi | ui〉+ 〈xj | uj〉 − 〈xi − xj | ui − uj〉) = 2∑ i∈I αi〈xi | ui〉 −∑ i∈I ∑ j∈I αiαj(〈xi | ui〉+ 〈xj | uj〉). (ii) Được suy ra từ (i) khi (ui)i∈I = (xi)i∈I . Hệ quả 1.1. Cho x, y ∈ H và α ∈ R, khi đó ||αx+ (1− α)y||2 + α(1− α)||x− y||2 = α||x||2 + (1− α)||y||2. Chú ý 1.2. (Biểu diễn Riesz - Frechet). Cho f ∈ B(H,R), khi đó tồn tại duy nhất một vectơ u ∈ H mà ∀x ∈ H, f (x) = 〈x | u〉. Hơn nữa || f || = ||u||. Nếu K là một không gian Hilbert và T ∈ B(H,K), liên hợp của T là toán tử duy nhất T∗ ∈ B(K,H) thỏa mãn ∀x ∈ H, ∀y ∈ K, 〈Tx | y〉 = 〈x | T∗y〉. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61.2. Tập lồi 1.2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.2. Một tập C ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu ∀α ∈ (0, 1), αC+ (1− α)C = C; hay tương đương ∀x ∈ C, ∀y ∈ C, (x, y) ∈ C. Trường hợp đặc biệtH và ∅ là tập lồi. Ví dụ 1.3. Trong mỗi trường hợp sau đây C là tập lồi trongH (i) C là hình cầu. (ii) C là một không gian con affine. (iii) C là một nửa không gian. (iv) C = ⋂ i∈I Ci với (Ci)i∈I là họ các tập con lồi củaH. Tính chất giao ở (iv) được khẳng định bằng định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3. Cho C ⊆ H, bao lồi của C là giao của tất cả các tập con lồi củaH có chứa C, tức là nó là tập con lồi nhỏ nhất củaH có chứa C. Nó được kí hiệu là convC. Bao lồi đóng của C là tập con lồi đóng nhỏ nhất củaH chứa C, nó được kí hiệu là convC. 1.2.2. Một số tính chất quan trọng Mệnh đề 1.1. Cho C ⊆ H và D là tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm trong C, tức là D = { ∑ i∈I αixi | I hữu hạn, {xi}i∈I ⊂ C, {αi}i∈I ⊂ (0, 1],∑ i∈I αi = 1 } . Khi đó D = convC. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7Mệnh đề 1.2. Cho K là không gian Hilbert thực, giả sử T : H → K là một toán tử affine và cho C,D là các tập lồi trongH,K tương ứng. Khi đó T(C) và T−1(D) là các tập lồi trong K vàH tương ứng. Chứng minh. Ta có ∀x ∈ H, ∀y ∈ H, T((x, y)) = (Tx, Ty). Bây giờ lấy hai điểm trong T(C)là Tx và Ty, ∀x ∈ C và ∀y ∈ C. Do tính lồi (x, y) ⊂ C và do (Tx, Ty) = T((x, y)) ⊂ C. Suy ra T(C) là tập lồi. Cuối cùng cho x và y là hai điểm trong T−1(D) thì Tx và Ty nằm trong D, do tính lồi nên T((x, y))(Tx, Ty) ⊂ D. Do đó (x, y) ⊂ T−1(T(x, y)) ⊂ T−1(D). Suy ra T−1(D) là tập lồi. Mệnh đề 1.3. Cho (Ci)i∈I là họ các tập hữu hạn của m tập con lồi trongH. Khi đó ta có: (i) ×i∈ICi là tập lồi. (ii) ∀(αi)i∈I ∈ R, ∑i∈I αiCi là tập lồi. Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Đây là hệ quả của (i) và Mệnh đề 1.2. Từ đó ∑i∈I αiCi = L(×i∈ICi). Ở đây L : Hm → H : (xi)i∈I 7→∑ i∈I αixi là tổ hợp tuyến tính. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 81.2.3. Phép chiếu theo chuẩn Định nghĩa 1.4. Cho C ⊆ H, giả sử x ∈ H, p ∈ C. Khi đó p được gọi là một xấp xỉ tối ưu của x từ C (hay là hình chiếu của x lên C) nếu ||x− p|| = dC(x). Nếu mọi điểm trongH có ít nhất một hình chiếu lên C thì C được gọi là tập xấp xỉ. Nếu mọi điểm trong H có đúng một hình chiếu lên C thì C được gọi là tập Chebyshev. Trong trường hợp này phép chiếu (hay toán tử chiếu) lên tập C là toán tử kí hiệu là PC, mà ảnh mọi điểm trongH lên nó là hình chiếu duy nhất lên C. Ví dụ 1.4. Cho {ei}i∈I là một cơ sở trực chuẩn hữu hạn trongH. Giả sử V = span {ei}i∈I và x ∈ H. Khi đó V là tập Chebyshev, PVx =∑ i∈I 〈x | ei〉ei và dV(x) = √ ||x||2 −∑ i∈I 〈x | ei〉2. Chứng minh. Cho mọi họ (αi)i∈I trong R , ta có: ||x−∑ i∈I αiei||2 = ||x||2 − 2〈x | ∑ i∈I αiei〉+ ||∑ i∈I αiei||2 = ||x||2 − 2∑ i∈I αi〈x | ei〉+∑ i∈I |αi|2 = ||x||2 −∑ i∈I |〈x | ei〉|2 +∑ i∈I |αi − 〈x | ei〉|2. Chú ý 1.3. Cho C là tập khác rỗng trongH. Khi đó: (i) C = {x ∈ H | dC(x) = 0}, không điểm trong tập C \C có hình chiếu lên C. Một lân cận (trong một tập Chebyshev ) là một tập đóng. (ii) Nếu C là một không gian hữu hạn chiều trongH thì nó là tập Chebyshev và do đó nó là tập đóng. Mệnh đề 1.4. Giả sử rằng H là không gian hữu hạn chiều và C là tập Chebyshev trongH thì PC là liên tục. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9Chứng minh. Cho x ∈ H và giả sử (xn)n∈N là dãy trongHmà xn → x. Ta có dC là liên tục và do đó ||xn − PCxn|| = dC(xn) = ||x− PCx||. Như vậy PC(xn)n∈N là bị chặn. Bây giờ cho y là điểm tụ của PC(xn)n∈N, ta có PCxkn → y. Theo chú ý 1.3 (i) khẳng định rằng y ∈ C và mệnh đề 1.2 có nghĩa là ||xkn − PCxkn || → ||x− y|| = dC(x). Kéo theo y = PCx là điểm tụ của dãy bị chặn PC(xn)n∈N. Do đó PCxn → PCx. Ví dụ 1.5. Cho H là không gian hữu hạn chiều và (en)n∈N là một dãy các vectơ trực chuẩn trongH, (αn)n∈N là dãy trong (1,+∞) mà αn ↘ 1. Đặt C = {xn}n∈N , ∀n ∈N, xn = αnen. Khi đó cho bất kì hai điểm phân biệt xn và xm, ta có: ||xn − xm||2 = ||xn||2 + ||xm||2 > ||en||2 + ||em||2 = 2. Do đó mọi dãy hội tụ trong C đều là hằng số và C là tập đóng. Tuy nhiên 0 không có hình chiếu lên C, từ đó ∀n ∈N, dC(0) = 1 < αn = ||0− xn||. Mệnh đề 1.5. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trongH. Khi đó với mọi x ∈ H hình chiếu PC(x) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất. Chứng minh. Giả sử x ∈ H, y ∈ C theo định nghĩa 1.4 ta có dC(x) = ||y− x||, suy ra tồn tại dãy (xn)n∈N trong C sao cho ||xn − x|| → dC(x) < +∞. Vậy dãy (xn)n∈N là bị chặn, do đó nó có một dãy con (xkn) hội tụ yếu đến y. Do C đóng nên y ∈ C. Vậy ||y− x|| = lim n ||xkn − x|| = limn ||xn − x|| = dC(x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Chứng tỏ y là hình chiếu của x trên C. Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy nếu tồn tại hai điểm y và z đều là hình chiếu của x trên C thì x− y ∈ NC(y), x− z ∈ NC(z). Tức là 〈y− x , z− y〉 ≤ 0 và 〈z− x , y− z〉 ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra ||y− z|| ≤ 0 và do đó y = z. Mệnh đề 1.6. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong H. Khi đó hình chiếu PC là ánh xạ không giãn. Chứng minh. Cố định x và y thuộcH, ta có 〈PCy− PCx | x− PCx〉 ≤ 0 và 〈PCx− PCy | y− PCy〉 ≤ 0. Lấy tổng của hai bất đẳng thức trên ta được ||PCx− PCy||2 ≤ 〈x− y | PCx− PCy〉. Suy ra điều phải chứng minh từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. 1.2.4. Định lí tách tập lồi Định nghĩa 1.5. Cho C và D là hai tập con của H, tập C và D được gọi là tách được nếu ∃u ∈ H \ {0} , Sup〈C | u〉 ≤ in f 〈D | u〉. Và gọi là tách mạnh được nếu bất đẳng thức ở trên là ngặt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Hơn nữa một điểm x ∈ H tách được từ D nếu tập x và D là tách được. Tương tự như vậy x tách mạnh được từ D nếu tập {x} và D là tách mạnh được. Định lý 1.1. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong H và x ∈ H \ C. Khi đó x tách mạnh được từ C. Chứng minh. Đặt u = x− PCx và cố định y ∈ C. khi đó u 6= 0 và theo mệnh đề 1.3 có 〈y− x+ u | u〉 ≤ 0, tức là 〈y− x | u〉 ≤ −||u||2. Do đó Sup〈C− x | u〉 ≤ −||u||2 < 0. Hệ quả 1.2. Cho C và D là các tập khác rỗng trong H mà C ∩ D = ∅ và C− D là tập lồi đóng. Khi đó C và D là tách mạnh được. Chứng minh. Từ 0 /∈ C−D, theo định lí 1.1 thì vectơ 0 là tách mạnh từ C − D. Mà theo định nghĩa 1.5 thì C và D là tách mạnh được nếu và chỉ nếu 0 là tách mạnh được từ C− D. Hệ quả 1.3. Cho C và D là tập lồi đóng khác rỗng trong H mà C ∩ D = ∅ và D bị chặn, khi đó C và D là tách mạnh được. Chứng minh. Theo hệ quả 1.2 ta cần chứng tỏ rằng C − D là tập lồi đóng. Do tính lồi của C − D trong mệnh đề 1.3 (ii) chứng tỏ C − D là đóng. Lấy một dãy hội tụ trong C − D mà xn → yn → z, ở đây (xn)n∈N ∈ C, (yn)n∈N ∈ D và z ∈ H. Từ D là hội tụ yếu và compact nên tồn tại dãy con (xkn)n∈N hội tụ yếu đến y ∈ D. Do đó xkn → z+ y. Từ C là hội tụ yếu đóng, ta có z+ y ∈ C. Suy ra z ∈ C− D. 1.3. Hàm lồi 1.3.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.6. Cho f : H → [−∞,+∞], khi đó f được gọi là hàm lồi nếu epi f = {(x, ξ) ∈ H×R | f (x) ≤ ξ} , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 là tập con lồi củaH×R. Hàm f được gọi là hàm lõm nếu − f là hàm lồi. Ví dụ 1.6. Cho C là tập con của H, ta có epiiC = C×R+ và iC là hàm lồi nếu và chỉ nếu C là tập lồi. Định nghĩa 1.7. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường. Khi đó f được gọi là hàm lồi ngặt nếu ∀x ∈ dom f , ∀y ∈ dom f , ∀α ∈ (0, 1), x 6= y ⇒ f (αx+ (1− α)y) < α f (x) + (1− α) f (y). Bây giờ cho C là tập con khác rỗng của dom f , khi đó f là hàm lồi trên C nếu ∀x ∈ C, ∀y ∈ C, ∀α ∈ (0, 1) f (αx+ (1− α)y) ≤ α f (x) + (1− α) f (y). Và f là hàm lồi ngặt trên C nếu ∀x ∈ C, ∀y ∈ C, ∀α ∈ (0, 1), x 6= y ⇒ f (αx+ (1− α)y) < α f (x) + (1− α) f (y). Ví dụ 1.7. Hàm || . || là lồi. NếuH 6= {0} thì || . || không lồi ngặt. Chứng minh. Theo tính chất lồi, bây giờ lấy x ∈ H \ {0} và α ∈ (0, 1). Ta có ||αx+ (1− α)0|| = α||x||+ (1− α)||0||. Do đó || . || là không lồi ngặt. Ví dụ 1.8. Hàm || . ||2 là hàm lồi ngặt. Định nghĩa 1.8. (i) Tập các hàm lồi nửa liên tục dưới từH vào [−∞,+∞] được kí hiệu là ΓH. (ii) Tập các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới từ H vào (−∞,+∞] được kí hiệu là Γ0H. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Ví dụ 1.9. Cho (ei)i∈I là tổ hợp trongH và (φi)i∈I là một họ trong Γ0H mà ∀i ∈ I, φi ≥ φi(0) = 0. Đặt f : H → (−∞,+∞] : x 7→∑ i∈I φ(〈x | ei〉). Khi đó f ∈ Γ0H. Chứng minh. Đặt fi : H → (−∞,+∞] : x 7→ φ(〈x | ei〉), ∀i ∈ I. Ta có f = ∑i∈I fi và ∀i ∈ I, 0 ≤ fi ∈ Γ0H. Suy ra f ∈ ΓH. Cuối cùng từ f (0) = 0 suy ra f là hàm chính thường. 1.3.2. Một số tính chất quan trọng Mệnh đề 1.7. Cho f : H → [−∞,+∞] là hàm lồi. Khi đó dom f = {x ∈ H | f (x) < +∞} là tập hợp lồi. Chứng minh. Đặt L : H×R → H : (x, ξ) 7→ x, khi đó L là tuyến tính và dom f = L(epi f ). Từ mệnh đề 1.2 ta có dom f là tập lồi. Mệnh đề 1.8. Cho f : H → (−∞,+∞], hàm f là lồi nếu và chỉ nếu ∀x ∈ dom f , ∀y ∈ dom f , ∀α ∈ (0, 1) f (αx+ (1− α)y) ≤ α f (x) + (1− α) f (y). (1.3) Chứng minh. Chú ý rằng f ≡ +∞ ⇔ epi f = ∅ ⇔ dom f = ∅ thì f là hàm lồi và thỏa mãn (1.3). Giả sử rằng dom f 6= ∅ và lấy (x, ξ) ∈ epi f , (y, η) ∈ epi f và α ∈ (0, 1). Trước hết giả sử f là hàm lồi thì α(x, ξ) + (1− α)(y, η) ∈ epi f . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Và do đó f (αx+ (1− α)y) ≤ αξ + (1− α)η. (1.4) Trong (1.3) cho ξ ↓ f (x) và η ↓ f (y) ta thu được (1.4). Bây giờ giả sử rằng hàm f thỏa mãn (1.3), khi đó f (αx+ (1− α)y) ≤ α f (x) + (1− α) f (y) ≤ αξ + (1− α)η. Và do đó α(x, ξ) + (1− α)(y, η) ∈ epi f . Mệnh đề 1.9. Cho f : H → (−∞,+∞], khi đó hàm f là lồi nếu và chỉ nếu tổ hợp hữu hạn tất cả các (αi)i∈I ∈ (0, 1) mà ∑i∈I αi = 1 và (xi)i∈I ∈ dom f , ta có f (∑ i∈I αixi) ≤∑ i∈I αi f (xi). (1.5) Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi và cố định (xi)i∈I ∈ dom f và (αi)i∈I ∈ (0, 1) mà ∑i∈I αi = 1. Khi đó (xi, f (xi))i∈I ∈ epi f . Như vậy theo tính chất lồi ta có (∑ i∈I αixi,∑ i∈I αi f (xi)) ∈ conv(epi f ) = epi f . Suy ra được (1.5). Ngược lại được suy ra từ mệnh đề 1.8. Hệ quả 1.4. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) f là hàm lồi. (ii) Cho tổ hợp hữu hạn các (αi)i∈I ∈ (0, 1) mà ∑i∈I αi = 1 và (xi)i∈I ∈ dom f , ta có f (∑ i∈I αixi) ≤∑ i∈I αi f (xi). (iii) ∀x ∈ H, ∀y ∈ H, ∀α ∈ (0, 1) f (αx+ (1− α)y) ≤ α f (x) + (1− α) f (y). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Mệnh đề 1.10. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường. Khi đó f là hàm lồi ngặt nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp hữu hạn các (αi)i∈I ∈ (0, 1) mà ∑i∈I αi = 1 và (xi)i∈I ∈ dom f , ta có f (∑ i∈I αixi) ≤∑ i∈I αi f (xi). Chứng minh. Trước hết giả sử f là lồi ngặt. Ta chứng minh điều kéo theo bằng phương pháp quy nạp cho m phần tử trong I. Ta có kết quả đúng với m = 2. Bây giờ giả sử m ≥ 3 mà I = 1, ...,m và kết quả đúng với họ chứa m− 1 . Ta đặt µ = f (∑i∈I αixi) = ∑i∈I αi f (xi) thì µ ≤ (1− αm) f ( m−1 ∑ i=1 αi 1− αm xi) + αm f (xm) (1.6) ≤ (1− αm) m−1 ∑ i=1 αi 1− αm f (xi) + αm f (xm) (1.7) = µ. Như vậy bất đẳng thức (1.6) và (1.7) là đẳng thức thức thực sự và theo giả thiết quy nạp (1− αm)−1( m−1 ∑ i=1 αixi) = xm và x1 = ... = xm−1. Do đó x1 = ... = xm. là điều cần tìm. Ngược lại điều kéo theo có được khi chú ý đến trường hợp trong I chỉ chứa hai phần tử. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 2 Dưới vi phân của hàm lồi và tính đơn điệu của nó Dưới vi phân là một công cụ cơ bản trong giải tích, hàm không khả vi và đặc biệt là hàm lồi. Đạo hàm theo hướng, tính liên tục và tính đơn điệu của nó là các khái niệm liên quan chặt chẽ đến nhau. Trong chương này ta nghiên cứu một số kết quả của dưới vi phân, đạo hàm theo hướng và tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi. Nội dung kiến thức của chương này được trích từ cuốn sách "Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces" của tác giả HenizH. Bauschke và PatrickL. Combettes [2]. 2.1. Dưới vi phân Định nghĩa 2.1. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường. Dưới vi phân của hàm f là tập giá trị của toán tử ∂ f : H → 2H : x 7→ {u ∈ H | ∀y ∈ H, 〈y− x | u〉+ f (x) ≤ f (y)} . Cho x ∈ H, thì f có dưới vi phân tại x nếu ∂ f (x) 6= ∅, các phần tử của ∂ f (x) là các dưới đạo hàm của f tại x. Một vectơ u ∈ H là một dưới đạo hàm của hàm chính thường f : H → (−∞,+∞] tại x ∈ dom f 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 nếu hàm liên tục affine fx,u : y 7→ 〈y− x | u〉+ f (x) trùng với giá trị nhỏ nhất của f tại x. Định lý 2.1. (Quy tắc Fermat) Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường. Khi đó : Argmin f = zer∂ f = {x ∈ H | 0 ∈ ∂ f (x)} . Chứng minh. Cho x ∈ H, khi đó x ∈ Argmin f ⇔ ∀y ∈ H, 〈y− x | 0〉+ f (x) ≤ f (y)⇔ 0 ∈ ∂ f (x). Mệnh đề 2.1. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường và cho x ∈ dom f . Ta có: (i) dom∂ f ⊂ dom f . (ii) ∂ f (x) = ⋂ y∈dom f {u ∈ H | 〈y− x | u〉 ≤ f (y)− f (x)}. (iii) ∂ f (x) là đóng yếu*. (iv) Giả sử x ∈ dom f thì f là hàm nửa liên tục dưới tại x. Chứng minh. (i) Từ f là hàm chính thường và f (x) = +∞ ⇒ ∂ f (x) = ∅. (ii) Theo định nghĩa 2.1. (iii) Theo (ii). (iv) Lấy u ∈ ∂ f (x), ta có ∀y ∈ H, f (x) ≤ f (y) + 〈y− x | u〉. Và do đó f (x) ≤ limy→x f (y). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Mệnh đề 2.2. Cho K là không gian Hilbert thực, cho f : H → (−∞,+∞] và g : K → (−∞,+∞] là các hàm chính thường. Cho L ∈ B(H,K) và λ ∈ R++. Khi đó ta có: (i) ∂(λ f ) = λ∂ f . (ii) Giả sử domg ⋂ L(dom f ) 6= ∅ thì ∂ f + L∗ ◦ (∂g) ◦ L ⊂ ∂( f + g ◦ L) (L∗ là liên hợp của L). Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Lấy x ∈ H, u ∈ ∂ f (x) và v ∈ ∂g(Lx), ta có u+ L∗v là điểm chung trong ∂ f (x) + (L∗ ◦ (∂g) ◦ L)(x) và nó phải thỏa mãn u+ L∗v ∈ ∂( f + g ◦ L)(x). Từ định nghĩa 2.1 ∀y ∈ H, ta có 〈y− x | u〉+ f (x) ≤ f (y). Và 〈Ly− Lx | v〉+ g(Lx) ≤ g(Ly). Như vậy 〈y− x | L∗v〉+ g(Lx) ≤ g(Ly). Cộng theo vế các bất đẳng thức trước và sau ta được: ∀y ∈ H, 〈y− x | u+ L∗v〉+ ( f + g ◦ L)(x) ≤ ( f + g ◦ L)(y). Suy ra u+ L∗v ∈ ∂( f + g ◦ L)(x). Mệnh đề 2.3. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường. Với x ∈ H và u ∈ H, ta có u ∈ ∂ f (x)⇔ f (x) + f ∗(u) = 〈x | u〉 ⇒ x ∈ ∂ f ∗(u). (trong đó f ∗ là liên hợp của hàm f ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Chứng minh. Sử dụng định nghĩa 2.1 ta được u ∈ ∂ f (x)⇔ ∀y ∈ dom f , 〈y | u〉 − f (y) ≤ 〈x | u〉 − f (x) ≤ f ∗(u) ⇔ f ∗(u) = sup y∈dom f (〈y | u〉 − f (y)) ≤ 〈x | u〉 − f (x) ≤ f ∗(u) ⇔ f (x) + f ∗(u) = 〈x | u〉. Ví dụ 2.1. (i) Đặt f = 12 ||.||2 thì ∂ f = Id. (ii) Cho C là tập lồi trongH thì ∂iC = NC. Mệnh đề 2.4. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm lồi chính thường, giả sử x ∈ H và u ∈ H. Khi đó u ∈ ∂ f (x)⇔ (u,−1) ∈ Nepi f (x, f (x)) ⇔ f (x) + f ∗(u) = 〈x | u〉 ⇒ x ∈ ∂ f ∗(x). Chứng minh. Để ý rằng epi f là tập lồi khác rỗng, hơn nữa (u,−1) ∈ Nepi f (x, f (x))⇔ x ∈ dom f . Và ∀(y, η) ∈ epi f , 〈(y, η)− (x, f (x)) | (u,−1)〉 ≤ 0 ⇔ x ∈ dom f và ∀(y, η) ∈ epi f , 〈y− x | u〉+ (η − f (x))(−1) ≤ 0 ⇔ ∀(y, η) ∈ epi f , 〈y− x | u〉+ f (x) ≤ η ⇔ ∀y ∈ dom f , 〈y− x | u〉+ f (x) ≤ f (y) ⇔ u ∈ ∂ f (x). Ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.5. Cho f : H → (−∞,+∞], là hàm lồi chính thường và x ∈ dom f . Khi đó: (i) Giả sử rằng int(dom f ) 6= ∅ và x ∈ bdry(dom f ) thì ∂ f (x) là rỗng hoặc không bị chặn. (ii) Giả sử x ∈ cont f thì ∂ f (x) khác rỗng và compact yếu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 (iii) Giả sử x ∈ cont f thì tồn tại δ ∈ R++ mà ∂ f (B(x, δ)) là bị chặn. (iv) Giả sử cont f 6= ∅, thì int(dom f ) ⊂ dom∂ f . Chứng minh. (i) Ta có x là điểm tựa của dom f , do đó tồn tại u ∈ H\ {0}mà ∀y ∈ dom f , 〈y− x | u〉 ≤ 0. Như vậy ∀v ∈ ∂ f (x), ∀λ ∈ R+, v+ λu ∈ ∂ f (x). (ii) và (iii) Ta có epi f là lồi khác rỗng và int(epi f ) 6= ∅. Mặt khác ∀e ∈ R++, (x, f (x)− e) /∈ epi f . Do đó (x, f (x)) ∈ bdry(epi f ). Ta có (u, ν) ∈ Nepi f (x, f (x)) (0, 0). Cho y ∈ dom f và η ∈ R+, ta có 〈(y, f (y) + η)− (x, f (x)) | (u, ν)〉 ≤ 0. Và do đó 〈y− x | u〉+ ( f (y)− f (x))ν+ ην ≤ 0. (2.1) Trước hết chú ý rằng ν ≤ 0, ta có mâu thuẫn với (2.1) khi η → +∞. Chứng tỏ rằng ν < 0. Nếu ν = 0 thì Sup〈dom f − x | u〉 ≤ 0 và từ đó suy ra B(x, e) ⊂ dom f , với mọi e ∈ R++ đủ nhỏ. Ngoài ra ta kết luận rằng Sup〈B(x, e) | u〉 ≤ 0. Điều này kéo theo u = 0 và ta có (u, ν) = (0, 0). Như vậy ν < 0. Từ đó Nepi f (x, f (x)) là nón lồi. Ta có ( u |ν| ,−1) = ( 1 |ν|)(u, ν) ∈ Nepi f (x, f (x)). Ta được uν ∈ ∂ f (x). Như vậy ∂ f 6= ∅. Tồn tại β ∈ R++ và δ ∈ R++ mà f là Lipschitz liên tục với hằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 số β tương đối trong B(x, 2δ). Bây giờ cho y ∈ B(x, δ) và v ∈ ∂ f (y). Ta có: ∀z ∈ B(0, δ), 〈z | v〉 ≤ f (y+ z)− f (y) ≤ β||z||. Và do đó ||v|| ≤ β. Suy ra ∂ f (x) ⊂ ∂ f (B(x, δ)) ⊂ B(0, β). Vậy ∂ f (x) là bị chặn, lồi đóng và compact yếu. (iv) Là hệ quả của (ii). Mệnh đề 2.6. Cho f ∈ Γ0H là hàm thuần nhất dương. Khi đó f = σC, với σC là hàm tựa của tập C = ∂ f (0). 2.2. Đạo hàm theo hướng Định nghĩa 2.2. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường và x ∈ dom f , y ∈ H. Đạo hàm theo hướng của hàm f tại x trên hướng y là f ′(x; y) = lim α↘0 f (x+ αy)− f (x) α , và giới hạn này tồn tại trong [−∞,−∞]. Mệnh đề 2.7. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm lồi chính thường và x ∈ dom f , y ∈ H. Khi đó: (i) φ : R++ → (−∞,+∞] : α→ f (x+ αy)− f (x) α là hàm không giảm. (ii) f ′(x; y) tồn tại trong [−∞,−∞] và f ′(x; y) = inf α∈R++ f (x+ αy)− f (x) α . (iii) f ′(x; y− x) + f (x) ≤ f (y). (iv) f ′(x; .) là dưới tuyến tính và f ′(x; 0) = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 (v) f ′(x; .) là hàm lồi chính thường và dom f ′(x; .) = cone(dom f − x). (vi) Giả sử x ∈ core(dom f ) thì f ′(x; .) là giá trị thực và dưới tuyến tính . Chứng minh. (i) Cố định α và β trong R++ mà α < β, và đặt λ = αβ , z = x+ βy. Nếu f (z) = +∞ thì chắc chắn φ(α) ≤ φ(β) = +∞. Mặt khác f (x+ αy) = f (λz+ (1− λ)x) ≤ λ f (z) + (1− λ) f (x) = f (x) + λ( f (z)− f (x)). Như vậy φ(α) ≤ φ(β). (ii) Là hệ quả của (i) . (iii) Nếu y /∈ dom f ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Mặt khác ∀α ∈ (0, 1), f ((1− α)x+ αy)− f (x) ≤ α( f (y)− f (x)). Sử dụng điểm chia bởi α và cho α↘ 0, ta thu được f ′(x; y− x) ≤ f (y)− f (x). (iv) Ta có f ′(x; 0) = 0 và f ′(x; .) là thuần nhất dương. Bây giờ ta lấy (y, η) và (z, ξ) ∈ epi f ′(x; .), λ ∈ (0, 1) và e ∈ R++. Khi đó cho α ∈ R++ đủ nhỏ, ta có f (x+ αy)− f (x) α ≤ η + e và f (x+ αz)− f (x) α ≤ ξ + e. Khi α đủ nhỏ, ta có f (x+ α((1− λ)y) + λz)− f (x) = f ((1− λ)(x+ αy) + λ(x+ αz))− f (x− z) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 ≤ (1− λ)( f (x+ αy)− f (x)) + λ( f (x+ αz)− f (x)). Ta có f (x+ α((1− λ)y) + λz)− f (x) α ≤ (1− λ) f (x+ αy)− f (x) α + λ f (x+ αz)− f (x) α ≤ (1− λ)(η + e) + λ(ξ + e). Khi α↘ 0 và e↘ 0, ta kết luận rằng f ′(x; (1− λ)y+ λz) ≤ (1− λ)η + λe). Do đó f ′(x; .) là hàm lồi. (v) Được suy ra từ (ii) và (iv). (vi) Tồn tại β ∈ R++ mà [x− βy, x+ βy] ⊂ dom f . Bây giờ lấy α ∈ (0, β), ta có f (x) ≤ f (x− αy) + f (x+ αy) 2 Và do đó từ (i) ta thu được −( f (x− βy)− f (x) β ) ≤ −( f (x− αy)− f (x) α ) = f (x) + f (x− αy) α ≤ f (x+ αy)− f (x) α ≤ f (x+ βy)− f (x) β . Cho α↘ 0, ta kết luận rằng: f (x) + f (x− βy) β ≤ − f ′(x;−y) ≤ f ′(x; y) ≤ f (x+ βy)− f (x) β . (2.2) Số tận cùng trái và tận cùng phải trong (2.2) đều là số thuộc R nên tồn tại các số hạng giữa. Do đó f ′(x; .) có giá trị thực trênH. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Mệnh đề 2.8. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm lồi chính thường và x ∈ dom f . Khi đó x ∈ Argmin f ⇔ f ′(x; .) ≤ 0. Chứng minh. Cho y ∈ H, ta có x ∈ Argmin f ⇒ ∀α ∈ R++, f (x+ αy)− f (x) α ≥ 0⇒ f ′(x; .) ≤ 0. Ngược lại giả sử f ′(x; .) ≤ 0, ta có f (x) ≤ f ′(x; y− x) + f (x) ≤ f (y). Do đó x ∈ Argmin f . Chú ý 2.1. Cho x ∈ dom f và giả sử f ′(x; .) là tuyến tính và liên tục trênH, f được gọi là khả vi Gâteaux tại x. Theo chú ý 1.1 (biểu diễn Riesz - Fréchet) thì tồn tại duy nhất vectơ ∇ f (x) ∈ H mà ∀y ∈ H, f ′(x; y) = 〈y | ∇ f (x)〉. Ngoài ra ∀y ∈ H, f ′(x; y) = 〈y | ∇ f (x)〉 = lim α→0 f (x+ αy)− f (x) α . Mệnh đề 2.9. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm lồi chính thường và cho x ∈ dom f và u ∈ H. Khi đó: (i) u ∈ ∂ f (x)⇔ 〈. | u〉 ≤ f ′(x; .). (ii) f ′(x; .) là hàm chính thường và dưới tuyến tính . Chứng minh. (i) Cho α ∈ R++, ta có u ∈ ∂ f (x)⇒ ∀y ∈ H, 〈y | u〉 = 〈(x+ αy)− x | u〉 α . ≤ f (x+ αy)− f (x) α . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Khi giới hạn khi α↘ 0 ta được ∀y ∈ H, 〈y | u〉 ≤ f ′(x; y). Ngược lại ∀y ∈ H, 〈y− x | u〉 ≤ f ′(x; y− x) suy ra ∀y ∈ H, 〈y− x | u〉 ≤ f (y)− f (x). Suy ra u ∈ ∂ f (x). (ii) Lấy u ∈ ∂ f (x), từ (i): f ′(x; .) ≥ 〈. | u〉, do đó −∞ /∈ f ′(x;H). Như vậy f ′(x; .) là hàm chính thường, dưới tuyến tính . 2.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân 2.3.1. Toán tử đơn điệu Định nghĩa 2.3. Cho A : H → 2H, A được gọi là toán tử đơn điệu nếu ∀(x, u) ∈ graA, ∀(y, v) ∈ graA, 〈x− y | u− v〉 ≥ 0. Mệnh đề 2.10. Cho A : H → 2H, các mệnh đề sau là tương đương: (i) A là đơn điệu. (i) ∀(x, u) ∈ graA, ∀(y, v) ∈ graA, ∀α ∈ [0, 1], ||x− y+ α(u− v)|| ≥ ||x− y||. (iii) ∀(x, u) ∈ graA, ∀(y, v) ∈ graA, ||y− u||2 + ||x− v||2 ≥ ||x− u||2 + ||y− v||2. Ví dụ 2.2. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm chính thường, khi đó ∂ f là đơn điệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Chứng minh. Lấy (x, u) và (y, v) ∈ gra∂ f . Ta có: 〈x− y | u〉+ f (y) ≥ f (x) và 〈y− x | v〉+ f (x) ≥ f (y). Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 〈x− y | u− v〉 ≥ 0. Ví dụ 2.3. Cho D là tập khác rỗng trong H, cho T : D → H là không mở, α ∈ [0, 1] và A = Id+ αT. Khi đó ∀x ∈ D, ∀y ∈ D 〈x− y | Ax− Ay〉 = ||x− y||2 + α〈x− y | Tx− Ty〉 ≥ ||x− y||(||x− y|| − |α|||Tx− Ty||) ≥ 0. Do đó A là đơn điệu. Mệnh đề 2.11. Cho A : H → 2H và đặt f = 〈. | .〉, các mệnh đề sau là tương đương: (i) A là đơn điệu. (ii) Cho tất cả các tổ hơp hữu hạn (αi)i∈I trong (0, 1) mà ∑i∈I αi = 1 và (xi, ui)i∈I ∈ graA, ta có f (∑ i∈I αi(xi, ui)) ≤∑ i∈I αi f (xi, ui). (iii) f là hàm lồi trên. 2.3.2. Toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 2.4. Cho A : H → 2H là đơn điệu, khi đó A được gọi là đơn điệu cực đại nếu không tồn tại toán tử đơn điệu B : H → 2H mà graB thực sự chứa graA, tức là mọi (x, u) ∈ H×H, (x, u) ∈ graA⇔ ∀(y, v) ∈ graB, 〈x− y | u− v〉 ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Ví dụ 2.4. Cho T : H → H không mở và α ∈ [−1, 1] thì Id+ αT là toán tử đơn điệu cực đại. Mệnh đề 2.12. Cho A : H → 2H là toán tử đơn điệu cực đại và x ∈ H. Khi đó Ax là lồi đóng. Chứng minh. Giả sử x ∈ domA, ta có A = ⋂ (y,v)∈graA {u ∈ H | 〈x− y | u− v〉 ≥ 0} . (giao của các tập lồi đóng). Suy ra Ax là lồi đóng. 2.3.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi Định lý 2.2. Cho f ∈ Γ0(H×H) và A được định nghĩa thông qua graA = {(x, u) ∈ H×H | f (x | u) = 〈x | u〉} . Khi đó A là đơn điệu cực đại. Một hệ quả cơ bản của định lí 2.2 là kết quả sau đây về tính cực đại của dưới vi phân. Định lý 2.3. Cho f ∈ Γ0(H) , khi đó ∂ f là đơn điệu cực đại. Chứng minh. Ta có f ⊕ f ∗ là tự liên hợp và{ (x, u) ∈ H×H | ( f ⊕ f ∗)(x, u) = 〈x | u〉} = gra∂ f . Ta suy ra ∂ f là đơn điệu cực đại. Ví dụ 2.5. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong H, khi đó NC là đơn điệu cực đại. Định nghĩa 2.5. Cho A : H → 2H và với mọi n ∈ N mà n ≥ 2. Khi đó A là đơn điệu tuần hoàn nếu mọi (x1, ..., xn+1) ∈ Hn+1 và (u1, ..., un) ∈ Hn, (x1, u1) ∈ graA ... (xn, un) ∈ graA xn+1 = xn ⇒ n ∑ i=1 〈xi+1 − xi | ui〉 ≤ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Mệnh đề 2.13. Cho f : H → (−∞,+∞] là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới khi đó ∂ f là đơn điệu tuần hoàn. Chứng minh. Ta cố định một số tự nhiên n ≥ 2. Với mọi i ∈ {1, ..., n}, lấy (xi, ui) ∈ gra∂ f . Đặt xn+1 = x1, ta có: ∀i ∈ {1, ..., n} , 〈xi+1 − xi | ui〉 ≤ f (xi+1)− f (xi). Suy ra ∑ni=1〈xi+1 − xi〉 ≤ 0. Định lý 2.4. (Rockafellar) Cho A : H → 2H. Khi đó A là đơn điệu tuần hoàn cực đại nếu và chỉ nếu tồn tại f ∈ Γ0(H) sao cho A = ∂ f . Chứng minh. Giả sử A = ∂ f cho mỗi f ∈ Γ0H, theo mệnh đề 2.13 kéo theo A là toán tử đơn điệu cực đại là là đơn điệu tuần hoàn. Như vậy A là đơn điệu tuần hoàn cực đại. Ngược lại giả sử A là đơn điệu tuần hoàn cực đại, khi đó graA 6= 0. Lấy (x0, u0) ∈ graA và đặt f : H → [−∞,+∞] x 7→ sup n≥1,n∈N sup (xi,ui)∈graA { 〈x− xn | un〉+ n−1 ∑ i=0 〈xi+1 − xi | ui〉 } , ∀i = 1, ...n. Từ graA 6= 0, ta kết luận rằng −∞ ∈ f (H). Và do đó f ∈ ΓH. Theo tính đơn điệu tuần hoàn của A ta có f (x0) = 0, cùng với f ∈ Γ0H. Bây giờ lấy (x, u) ∈ graA và η ∈ (−∞, f (x)], khi đó tồn tại hữu hạn các điểm (x1, u1), ..., (xn, un) trong graA mà 〈x− xn | un〉+ n−1 ∑ i=0 〈xi+1 − xi | ui〉 > η. (2.3) Đặt (xn+1, un+1) = (x, u), sử dụng (2.3). Ta suy ra rằng với mọi y ∈ H f (y) ≥ 〈y− xn+1 | un+1〉+ n ∑ i=0 〈xi+1 − xi | ui〉 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 = 〈y− x | u〉+ 〈x− xn | un〉+ n−1 ∑ i=0 〈xi+1 − xi | ui〉 > 〈y− x | u〉+ η. Cho η ↑ f (x), ta suy ra ∀y ∈ H, f (y) ≥ f (x) + 〈y− x | u〉, tức là u ∈ ∂ f (x). Do đó graA ⊂ gra∂ f . Từ đó suy ra ∂ f là đơn điệu tuần hoàn và A là đơn điệu tuần hoàn cực đại, ta kết luận rằng A = ∂ f . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 3 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi và tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân Hàm tựa lồi và hàm giả lồi cũng là một trong những hàm quan trọng trong giải tích và đặc biệt là trong giải tích lồi chúng nó được nghiên cứu khá nhiều. Trong chương này chúng ta nghiên cứu định nghĩa và một số tính chất quan trọng của hàm tựa lồi và hàm giả lồi cùng với tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm giả lồi. Nội dung các kiến thức nghiên cứu ở trong chương này được trích từ cuốn sách "Generalized Convexity and Optimization. Theory and Applications" của tác giả Alberto Cambini - Laura Martein [1]. 3.1. Hàm tựa lồi và hàm giả lồi 3.1.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 3.1. Cho f là hàm xác định trên tập C ⊆ H. Hàm f được gọi là tựa lồi trên C nếu f (αx+ (1− α)y) ≤ max { f (x), f (y)} , ∀x, y ∈ C và ∀α ∈ [0, 1]. 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Hay tương đương với f (x) ≥ f (y) kéo theo f (x) ≥ f (x+ α(y− x)), ∀x, y ∈ C và ∀α ∈ [0, 1]. Định nghĩa 3.2. Cho f là hàm xác định trên tập C ⊆ H ta nói f là tựa lồi ngặt nếu f (αx+ (1− α)y) < max { f (x), f (y)} , ∀x, y ∈ C, x 6= y và ∀α ∈ (0, 1). Hay tương đương với f (x) ≥ f (y), kéo theo f (x) > f (x+ α(y− x)), ∀x, y ∈ C, x 6= y và ∀α ∈ (0, 1). Ví dụ 3.1. Hàm số f (x) = { |x| x , x 6= 0 0 , x = 0 là hàm tựa lồi nhưng không phải là hàm tựa lồi ngặt. Định nghĩa 3.3. Cho f là hàm khả vi, xác định trên tập lồi mở C ⊆ H, f được gọi là hàm giả lồi nếu ∀x, y ∈ C, f (x) > f (y)⇒ ∇ f (x)T(y− x) < 0. Định nghĩa 3.4. Cho f là hàm khả vi, xác định trên tập lồi mở C ⊆ H, f được gọi là hàm giả lồi ngặt nếu ∀x, y ∈ C, x 6= y, f (x) ≥ f (y)⇒ ∇ f (x)T(y− x) < 0. Ví dụ 3.2. Xét hàm Cobb -Douglas f (x) = xα11 ...x αn n , x = (x1, ..., xn), xi > 0, αi < 0, i = 1, ..., n. Hàm f là hàm tựa lồi và ∇ f (x), f cũng là hàm giả lồi. 3.1.2. Một số tính chất quan trọng Định lý 3.1. Cho C ⊆ H là một tập lồi. Khi đó (i) Nếu f lồi trên C thì f là tựa lồi trên C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 (ii) Nếu f lồi ngặt trên C thì f tựa lồi ngặt trên C. (iii) Nếu f tựa lồi ngặt trên C thì f tựa lồi trên C. Chứng minh. (i) Ta có: f (αx+ (1− α)y) ≤ α f (x) + (1− α) f (y) ≤ αmax { f (x), f (y)}+(1− α)max { f (x), f (y)} = max { f (x), f (y)} . (ii) Theo định nghĩa. (iii) Theo định nghĩa. Định lý 3.2. Cho f là hàm thuần nhất bậc một, xác định trên tập lồi C ⊆ H. Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ C thì f là tựa lồi nếu và chỉ nếu f là hàm lồi. Định lý 3.3. Hàm f là tựa lồi trên tập lồi C ⊆ H nếu và chỉ nếu mọi xi ∈ C, i = 1, ..., n, ta có f ( n ∑ i=1 αixi) ≤ max i∈{1,...,n} f (xi), n ∑ i=1 αi = 1, αi ≥ 0, i = 1, ..., n. (3.1) Ngoài ra f là hàm tựa lồi ngặt trên C nếu và chỉ nếu bất đẳng thức trên là ngặt. Chứng minh. Theo (3.1), cho n = 2 thì tương đương với định nghĩa của hàm tựa lồi. Bây giờ giả sử rằng f là tựa lồi, chúng ta sẽ chứng minh (3.1) bằng phương pháp quy nạp. Khi n = 2 ta có (3.1) đúng, ta chứng minh (3.1) đúng với mọi n đều kéo theo f (α1x1 + ...+ αnxn + αn+1xn+1) ≤ max i∈{1,...,n+1} f (xi) với n+1 ∑ i=1 αi = 1, αi ≥ 0, xi ∈ C, i = 1, ..., n+ 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Nếu αn+1 = 0 thì đây là giả thiết quy nạp. Mặt khác đặt α0 = α1 + ...+ αn ta có α0 + αn+1 = 1 nên y = α1α0 x 1 + ...+ αnα0 x n là một tổ hợp lồi của n điểm, từ đó n ∑ i=1 αi α0 = 1. Theo kết quả y ∈ C nên ta có: n ∑ i=1 αixi = α0y+ αn+1xn+1 Do đó ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.4. Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở C ⊆ H và x0 ∈ C là điểm tới hạn. Nếu f là hàm giả lồi thì x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f . Ngoài ra x0 là duy nhất nếu f là hàm giả lồi ngặt. Chứng minh. Giả sử tồn tại y ∈ C mà f (y) < f (x0), thì ∇ f (x0) = 0 kéo theo∇ f (x0)T(y− x0) = 0 . Suy ra x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f . Ngoài ra ta cũng có x0 là duy nhất nếu f là hàm giả lồi ngặt. Định lý 3.5. Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở C ⊆ H, ta có: (i) Nếu f là giả lồi trên C, thì f là tựa lồi trên C. (ii) Nếu ∇ f (x) 6= 0, ∀x ∈ C thì f là giả lồi trên C nếu và chỉ nếu f tựa lồi trên C. Chứng minh. (i) Giả sử f không tựa lồi thì tồn tại x, y ∈ C với f (x) > f (y) mà ∇ f (x)T(y− x) > 0. Xét ϕ(t) = f (x+ t(y− x)), ∀t ∈ [0, 1]. Từ đó ϕ′(t) = ∇ f (x)T(y− x) > 0, ϕ đạt giá trị cực đại tại một điểm t0 ∈ (0, 1) nên ϕ(t0) = f (x0) > f (x) = ϕ(0) ≥ f (y) = ϕ(1); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 và ϕ′(t0) = ∇ f (x0)T(y− x) = 0, ở đây x0 = x + t0(y− x). Theo tính giả lồi của f , áp dụng với hai điểm x0 và y suy ra: ∇ f (x0)T(y− x)(1− t0) < 0 và đây là điều mâu thuẫn. (ii) Ta chứng minh được một hàm tựa lồi là hàm giả lồi, khi có các điểm tới hạn. Ngược lại được suy ra từ định lí sau. Định lý 3.6. Cho f là hàm khả vi, tựa lồi trên tập lồi mở C ⊆ H. Khi đó: ∀x, y ∈ C, f (x) > f (y),∇ f (x) 6= 0⇒ ∇ f (x)T(y− x) < 0. 3.2. Tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm giả lồi 3.2.1. Toán tử tựa đơn điệu và giả đơn điệu Định nghĩa 3.5. Toán tử F từ C vào (−∞,+∞] được gọi là tựa đơn điệu trên tập C ⊆ H nếu ∀x, y ∈ C, (y− x)TF(x) > 0⇒ (y− x)TF(y) ≥ 0. Nếu bất đẳng thức cuối là ngặt ta cũng có F là tựa lồi ngặt. Định nghĩa 3.6. Toán tử F được gọi là giả đơn điệu trên tập C ⊆ H nếu ∀x, y ∈ C, (y− x)TF(x) ≥ 0⇒ (y− x)TF(y) ≥ 0; hay tương đương (y− x)TF(x) > 0⇒ (y− x)TF(y) > 0. Ví dụ 3.3. (i) Toán tử F(x) = {−x+ 1 , 0 ≤ x ≤ 1 0 , 1 < x ≤ 2 là toán tử tựa đơn điệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 (ii) Toán tử F(x) = { 0 , 0 ≤ x ≤ 1 x− 1 , 1 < x ≤ 2 là toán tử giả đơn điệu. Định lý 3.7. Cho C ⊆ H là tập lồi mở và F : C → H là toán tử liên tục mà F(x) 6= 0, ∀x ∈ C. Khi đó F là toán tử giả đơn điệu nếu và chỉ nếu F là toán tử tựa đơn điệu trên C. Chứng minh. Ta có F là toán tử giả đơn điệu thì F là toán tử tựa đơn điệu theo định nghĩa 3.1 và định nghĩa 3.2. Ngược lại, ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ∃x, y ∈ C mà (y− x)TF(x) ≥ 0 và (y− x)TF(y) < 0. Theo giả thiết F là toán tử tựa đơn điệu ta có (y− x)TF(x) = 0. Từ F 6= 0 ⇒ ∃z ∈ H mà zTF(x) > 0. Theo tính liên tục và tích vô hướng nên ∃e > 0 mà (y+ ez− x)TF(y+ ez) < 0. Mà F là tựa đơn điệu nên ta có (y+ ez− x)TF(x) ≤ 0, tức là ezTF(x) ≤ 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. 3.2.2. Tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của đạo hàm của hàm tựa lồi và hàm giả lồi Định lý 3.8. Cho C ⊆ H là một tập lồi và f là hàm khả vi trên C. (i) f là hàm lồi trên C nếu và chỉ nếu ∇ f là đơn điệu trên C. (ii) f là hàm lồi ngặt trên C nếu và chỉ nếu ∇ f là đơn điệu ngặt trên C. Chứng minh. (i) Giả sử f là hàm lồi trên C và cho x, y ∈ C, ta có: f (y) ≥ f (x) + (y− x)T∇ f (x). (3.2) f (x) ≥ f (y) + (x− y)T∇ f (y). (3.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Cộng (3.2) và (3.3) ta được: (y− x)T(∇ f (y)−∇ f (x)) ≥ 0. Tức là ∇ f đơn điệu trên C. Ngược lại, ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ∃x, y ∈ C mà f (y) < f (x) + (y− x)T∇ f (x). Suy ra ∃ z = x+ t(y− x), t ∈ (0, 1), f (y) = f (x) + (y− x)T∇ f (z). Nên ta có (y− x)T∇ f (z) = f (y)− f (x) < (y− x)T∇ f (x). Tức là (y− x)T(∇ f (y)−∇ f (x)) = 1 t (z− x)T(∇ f (z)−∇ f (x)) < 0. Điều này là mâu thuẫn. (ii) Chứng minh tương tự. Bổ đề 3.1. Cho C ⊆ H là một tập lồi và f là hàm khả vi trên C (i) Giả sử ∇ f là giả đơn điệu trên C. Nếu x, y ∈ C mà (y− x)T∇ f (x) ≥ 0 thì thu hẹp của hàm f trên [x, y] là không giảm. Nếu x, y ∈ C mà (y− x)T∇ f (x) > 0 thì thu hẹp của hàm f trên [x, y] là tăng. (ii) Giả sử ∇ f là tựa đơn điệu trên C. Nếu x, y ∈ C mà (y− x)T∇ f (x) > 0 thì thu hẹp của hàm f trên [x, y] là không giảm và f (x) < f (y). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Chứng minh. (i) Đặt ϕ(t) = f (x+ t(y− x)), t ∈ [0, 1] và đặt z = x+ t(y− x). Nếu (y− x)T∇ f (x) ≥ 0 thì (z− x)T∇ f (x) ≥ 0, ∀z ∈ [x, y]. Nên theo giả thiết ∇ f (x) là đơn điệu, suy ra (z− x)T∇ f (z) ≥ 0, ∀z ∈ [x, y]. Tiếp theo ta có (z− x)T∇ f (z) = t(y− x)T∇ f (z) = tϕ′(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1]. Do đó ϕ(t) không giảm trên [0, 1]. Tương tự với điều kiện (y− x)T∇ f (x) > 0 và tính giả đơn điệu của ∇ f (x) suy ra ϕ(t) tăng trên [0, 1]. Suy ra (i) được chứng minh. (ii) Với điều kiện (y− x)T∇ f (x) > 0 và tính tựa đơn điệu của ∇ f (x) suy ra ϕ(t) không giảm trên [0, 1]. Ngoài ra ϕ′(0) = (y − x)T∇ f (x) > 0, suy ra ϕ(t) là tăng địa phương tại t = 0. Suy ra (ii) được chứng minh. Định lý 3.9. Cho C ⊆ H là một tập lồi và f là hàm khả vi trên C. Khi đó: (i) f là hàm giả lồi trên C nếu và chỉ nếu ∇ f là giả đơn điệu trên C. (ii) f là hàm tựa lồi trên C nếu và chỉ nếu ∇ f là tựa đơn điệu trên C. Chứng minh. (i) Giả sử f là hàm giả lồi trên C và cho x, y ∈ C mà (y− x)T∇ f (x) ≥ 0 ta có f (x) ≤ f (y). Từ đó f là hàm tựa lồi và ta cũng có (x− y)T∇ f (y) ≤ 0, tức là (y− x)T∇ f (y) ≥ 0 nên ∇ f (x) là giả đơn điệu trên C. Ngược lại, ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ∃ x, y ∈ C mà f (x) > f (y) và (y− x)T∇ f (x) ≥ 0, kéo theo f là hàm không giảm nên f (x) ≤ f (y), mâu thuẫn với điều giả sử. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 (ii) Giả sử f là hàm tựa lồi trên C và cho x, y ∈ C mà (y− x)T∇ f (x) > 0⇒ f (x) < f (y) và (x− y)T∇ f (y) ≤ 0, tức là (y− x)T∇ f (y) ≥ 0 nên ∇ f (x) là tựa đơn điệu trên C. Ngược lại, giả sử tồn tại ∃ x, y ∈ C, f (x) ≥ f (y)mà (y− x)T∇ f (x) > 0. Theo bổ đề 3.1 ta suy ra điều mâu thuẫn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Kết luận Bản luận văn này đã trình bàymột số các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực. Qua đó nghiên cứu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực. Nội dung chính của bản luận văn đã đề cập đến là các vấn đề về dưới vi phân, đạo hàm theo hướng, toán tử đơn điệu và đi đến nghiên cứu tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi. Cuối cùng bản luận văn có trình bày đến hàm tựa lồi, hàm giả lồi và xét tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu của đạo hàm của hàm tựa lồi và giả lồi. 39 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tài liệu tham khảo [1] Alberto Cambini - Laura Martein, Generalized Convexity and Opti- mization. Theory and Applications, Springer, 2008. [2] HenizH. Bauschke - PatrickL. Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, 2010. [3] T.Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Unisversity Press, Princeton New Jersey, 1970. [4] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXBGD, 2002. [5] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXBKHKT Hà Nội, 2000. [6] Lê DũngMưu - Nguyễn Văn Hiền,Nhập môn giải tích lồi ứng dụng , Sắp xuất bản. [7] Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm - Giải tích hiện đại, NXBĐHQG Hà Nội, 2003. 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên