Toán sơ cấp - Hệ thức lượng giác và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRỊNH THỊ XUÂN TRANG HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016. Có thể tìm Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học, đã tồn tại , phát triển trong hàng ngàn năm qua, và có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ chương trình toán phổ thông hiện hành, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: công thức lượng giác, phương trình lượng giác và hệ thức lượng giác. Tuy nhiên, chủ đề hệ thức lượng giác và đặc biệt là phần ứng dụng của nó được đề cập đến với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định. Hệ thức lượng giác là một chuyên đề tương đối khó đối với học sinh phổ thông. Đồng thời, trong các đề thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế hằng năm thường gặp những bài toán có liên quan đến các hệ thức lượng giác cùng những ứng dụng của nó. Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của lượng giác trong chương trình trung học phổ thông, nên tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là : “Hệ thức lượng giác và ứng dụng”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là các hệ thức lượng giác. Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán có thể giải được bằng các hệ thức lượng giác. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các hệ thức lượng giác. 2 Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong tam giác và tứ giác. Các bài toán thuộc chương trình phổ thông có thể giải được bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn. Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn. Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp. 5. Nội dung của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 3 chương Chương 1. Trình bày sơ lược các hệ thức lượng giác và một số bất đẳng thức đại số hay sử dụng trong các chương sau. Chương 2. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong tam giác. Chương 3. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong tứ giác. CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này nhắc lại những hệ thức lượng giác cơ bản và một số bất đẳng thức đại số nhằm làm cơ sở cho các chương sau. 1.1. CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1.1. Đẳng thức lƣợng giác a. Độ dài đường trung tuyến của tam giác 3  2 2 2 2 2 4 a b c a m    ;  2 2 2 2 2 4 b a c b m    ;  2 2 2 2 2 4 c a b c m    b. Độ dài đường cao của tam giác 2 a S h a  ; 2 b S h b  ; 2 c S h c  c. Độ dài đường phân giác trong của tam giác 2 cosa bc l A b c   ; 2 cosb ac l B a c   ; 2 cosc ab l C a b   d. Diện tích tam giác 1 1 1 2 2 2 a b cS ah bh ch   1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ac B   4 abc S R  ; S pr ;    S p p a p b p c         a b cS r p a r p b r p c      e. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 2sin 2sin 2sin 4 a b c abc R A B C S     f. Bán kính đường tròn nội tiếp S r p  ;      tan tan tan 2 2 2 A B C r p a p b p c      g. Bán kính đường tròn bàng tiếp các góc của tam giác a S r p a   ; b S r p b   ; c S r p c   h. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác sin sin sin 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C A B C   sin2 sin2 sin2 4sin .sin .sinA B C A B C   4 2 2 2sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C    2 2 2sin sin sin 1 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C     cos cos cos 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C A B C    cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cosA B C A B C    2 2 2cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C    2 2 2cos cos cos 2 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C     tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C   tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A   cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C    1.1.2. Bất đẳng thức lƣợng giác sin sin sina b c A B C     3 3 sin sin sin 2 A B C   ; 3 3 sin .sin .sin 8 A B C  3 sin sin sin 2 2 2 2 A B C    ; 2 2 2 9 sin sin sin 4 A B C   2 2 2 3sin sin sin 2 2 2 4 A B C    ; 1 sin .sin .sin 2 2 2 8 A B C  3 cos cos cos 2 A B C   ; 1 cos .cos .cos 8 A B C     cos .cos .cos 1 cos 1 cos 1 cosA B C A B C    5 3 3 cos cos cos 2 2 2 2 A B C    ; 3 3 cos .cos .cos 2 2 2 4 A B C  2 2 2 3cos cos cos 4 A B C   ; 2 2 2 9 cos cos cos 2 2 2 4 A B C    tan tan tan 3 3A B C   ( ABC nhọn) 2 2 2tan tan tan 9A B C   ( ABC nhọn) 2 2 2tan tan tan 1 2 2 2 A B C    ; tan tan tan 3 2 2 2 A B C    tan tan tan cot cot cot 2 2 2 A B C A B C     2 2 2cot cot cot 1A B C   ; cot cot cot 3A B C   cot cot cot 3 3 2 2 2 A B C    ; 2 2 2cot cot cot 9 2 2 2 A B C    1.1.3. Định lý sin, định lý côsin, định lý tang a. Định lý côsin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có: 2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 2 cosb a c ac B   2 2 2 2 cosc a b ab C   b. Định lý sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có: 2 sin sin sin a b c R A B C    c. Định lý tang Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có: 6 tan 2 tan 2 A B a b A B a b      ; tan 2 tan 2 B C b c B C b c      ; tan 2 tan 2 C A c a C A c a      1.2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG GẶP 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy Cho 1 2, ,..., na a a là các số không âm. Khi đó ta có: 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai dãy số 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi đó ta có:     22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b a b a b a b          . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n aa a b b b    . 1.2.3. Bất đẳng thức Chebyshev Cho hai dãy số 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b thỏa mãn điều kiện 1 2 ... na a a   ; 1 2 ... nb b b   . Khi đó ta có     1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b n a b a b a b          . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b        1.2.4. Bất đẳng thức Svacxơ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b trong đó bi > 0 với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có: 7   222 2 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... nn n n a a aaa a b b b b b b         Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n aa a b b b    CHƢƠNG 2 HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để giải một số lớp bài toán về tam giác, cụ thể là bài toán nhận dạng tam giác, các bài toán về chu vi, diện tích tam giác ... 2.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC Để nhận dạng tam giác, ta thường sử dụng một trong các phương pháp như sau: Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để tính góc hoặc cạnh Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác và các bất đẳng thức đại số Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đánh giá dựa trên các tính chất tam giác và tính chất của hàm số 2.1.1. Nhận dạng tam giác vuông Để chứng minh ABC là tam giác vuông, ta sử dụng Định lý Pythagore, hoặc chứng minh tam giác có một góc vuông (góc đối diện với cạnh dài nhất của tam giác). Bài toán 2.2. Cho ABC thỏa mãn hệ thức: 2 2 21 sin sin sin 4 2 2 2 a b c B C A R            . (2.1) Chứng minh ABC vuông. 8 Giải: 2 (sin sin sin ) 1 cos 1 cosC (2.1) 1 4 2 2 1 cos 2 R A B C B R A               sin sin sin 1 cos cos cosA B C A B C       22sin cos 2sin cos 2sin 2 2 2 2 2 2cos cos 2 2 A A B C B C A B C B C         cos cos cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C B C A B C B C                  2cos cos cos 2sin cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C A B C   cos sin cos cos 0 2 2 2 2 A A B C do         tan 1 2 2 A A      . Vậy ABC vuông tại A. 2.1.2. Nhận dạng tam giác cân Để chứng minh ABC là tam giác cân, ta chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau, hoặc có 2 góc bằng nhau. Bài toán 2.10. Cho ABC có:   2 2 2 2 2 2 cos cos 1 cot cot sin sin 2 A B A B A B     . (2.2) Chứng minh rằng ABC cân. Giải: 9 (2.2)  2 2 2 2 2 2 2 sin sin 1 1 1 1 1 sin sin 2 sin sin A B A B A B              2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin sin 2 sin sinA B A B           2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin 2sin sin A B A B A B         2 2 2 2 2 2 2 24sin sin sin sin 0 sin sinA B A B A B       2 2sin sin sin sin 0 ,A B A B A B A B         . Vậy ABC cân tại C. 2.1.3. Nhận dạng tam giác đều Để chứng minh ABC là tam giác đều, ta chứng minh tam giác có 3 cạnh bằng nhau, hoặc có 3 góc bằng nhau, hoặc chứng minh ABC cân và có một góc bằng 600 . Bài toán 2.19. Cho ABC có: 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 2 2 2 2sin 2sin 2sin 2 2 2 B C C A A B a b c a b c A B C         . Chứng minh rằng ABC đều. Giải: Ta có:  2 4 sin cos .coscos 2 sin .cos 2 2 22 2 2sin 2sin 2sin 2 2 2 A A B CB C B C a Ra a R A A A A         10  aR 2cos cos aR 2sin cos aR sin sin 2 2 2 2 A B C B C B C B C                     2 sin 2 sin 2 2 a R B R C a b c    Tương tự ta có:   2 cos 2 2 2sin 2 C A b b c a B    ;   2 cos 2 2 2sin 2 A B c c a b C    Từ đó suy ra: Đẳng thức đã cho       2 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c          2 2 2 2 2 2 0ab bc ca a b c a b c ab bc ca                   2 2 21 0 2 a b b c c a a b c             . Vậy ABC đều. 2.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC Bài toán 2.30. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos cos 2cosA B C  . Chứng minh bất đẳng thức   8 max , 9 c a b . Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải: Sử dụng Định lý côsin trong tam giác ABC, điều kiện bài toán tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c bc ac ab               2 2 22 2 2 2 2 b c a a c b a b c bc ac ab          11          2 2 b c a a b c a c b a b c a b c a b c bc ac ab                     2a b c a b a c b c a b c         2 2 22 2 0a b c ab ac bc       (2.3) Từ (2.3) suy ra b là nghiệm của phương trình:  2 2 22 2 0x a c x a ac c      Và a là nghiệm của phương trình:  2 2 22 2 0x b c x b bc c      Hai phương trình có nghiệm nên 29 8 0c ac    , và 29 8 0c bc    . Suy ra 8 9 c a và 8 9 c b . Vậy   8 max , 9 c a b . Bài toán 2.33. Hãy tính các góc của ABC nếu trong tam giác đó, ta có: 2 2 2 sin sin sin 1 2 b c a A B C         . Giải: Từ: 2 2 2 2 2 2 0b c a b c a      Lúc đó: 2 2 2 0cos 0 90 2 b c a A A bc       Ta có: sin sin sin sin 2sin cos 2 2 B C B C A B C A       sin 2cos cos 2 2 A B C A    12 sin sin sin 1 2cos 2 A A B C     (2.4) Mà 0 090 45 2 A A    và 2 cos 2 2 A  (2.4) sin sin sin 1 2A B C     Dấu đẳng thức xảy ra khi: 0 cos 1 2 2 cos 2 2 90 sin 1 B C B CA A A            . Vậy ABC vuông cân tại A. 2.3. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC, ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƢỜNG CAO CỦA TAM GIÁC. Bài toán 2.41. Cho ABC. Chứng minh rằng:  2 2 2 2a b cp r R h h h r     . (2.5) Giải: (2.5)  2 2 4 2 a b cp r Rr R h h h      2 2 2 2 2 4 2 S S S p r Rr R a b c             2 2 2 4 .2 R p r Rr S ab bc ca ab bc ca abc          Vậy từ giả thiết suy ra phải chứng minh: 2 2 4p r Rr ab bc ca     (2.6) 13 Ta có: cot 2 2 sin A p a r a R A       tan 2 sin 2 A r p a a A R         Áp dụng công thức: 2 2 tan 2sin 1 tan 2 A A A   và thay sin 2 a A R  và tan 2 A r p a   , ta có  3 2 2 22 4 4 0a pa p r Rr a pRr      Như vậy bằng cách thay A bằng B, C suy ra a, b, c là các nghiệm của phương trình:  3 2 2 22 4 4 0x px p r Rr x pRr      Theo Định lý Vi-et, ta có 2 2 4ab bc ca p r Rr     . Vậy (2.6) đúng, và đẳng thức (2.5) được chứng minh. Bài toán 2.43. Chứng minh rằng trong ABC ta có: 3 2 3a b c a b c h h h r l l l R    . Giải: Trong ABC vẽ đường cao AH và đường phân giác AD. Ta có: 2 sin sin sin cos 2 2 2 a a h A C A B C ADH C l                        14 Tương tự: H D CB A cos 2 b b h C A l        , cos 2 c c h A B l        Theo trên ta có: cos cos cos 2 2 2 a b c a b c h h h B C C A A B l l l         Vậy 3 2 3a b c a b c h h h r l l l R    3cos cos cos 6 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 B C C A A B A B C       (2.7) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3cos cos cos 3 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 B C C A A B B C C A A B         (2.8) Dấu bằng trong (2.8) xảy ra A B C   . Ta sẽ chứng minh rằng: cos cos cos 8sin sin sin 2 2 2 2 2 2 B C C A A B A B C    (2.9) Thật vậy: 15 (2.9) 8cos cos cos cos cos cos 8sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C B C C A A B A B C      2sin cos 2sin cos 2sin cos 2 2 2 2 2 2 8sin sin sin B C B C C A C A A B A B A B C                       sin sin sin sin sin sin 8sin sin sinB C C A A B A B C     (2.10) Theo bất đẳng thức Cauchy thì: sin sin 2 sin sin sin sin 2 sin sin sin sin 2 sin sin B C B C C A C A A B A B          Vậy (2.10) đúng, tức là (2.9) đúng. Từ (2.8) và (2.9) suy ra (2.7) đúng (đpcm). Dấu bằng xảy ra ABC là tam giác đều. 2.4. CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC. Bài toán 2.52. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC. Các đường thẳng AI, BI, CI kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:      '2 '2 '2 1 2 p a IA p b IB p c IC abc      . Giải: Giả sử O, R, r lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp ABC. Gọi D là tiếp điểm của đườngtròn (I ; r) với cạnh AB. Khi đó: .tan 2 A ID AD hay  .tan 2 A r p a  . Vì .ABCS p r , nên  . .tan 2 ABC A S p p a  16 Lại có 1 sin 2 ABCS bc A , suy ra 2.cos 2 A bc p a p   (2.11) D O I B C A A' E Kẻ đường kính A’E của đường tròn (O). Ta thấy A ’ IB cân tại A’ (do ' ' 2 BAC ABC A BI A IB    ) nên ' ' ' .sin 2 .sin 2 2 2cos 2 A A a IA BA A E R A     (2.12) Từ (2.11) và (2.12) suy ra   2 '2 4 a bc p a IA p   . Tương tự:   2 '2 4 ab c p b IB p   ;   2 '2 4 abc p c IC p   Do đó:        '2 '2 '2 1 4 2 abc a b c p a IA p b IB p c IC abc p          (đpcm). 2.5. CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁN KÍNH ĐƢỜNG TRÒN NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP CỦA TAM GIÁC. Bài toán 2.72. Cho ABC. Chứng minh rằng: 17 1 1 1 4 cot cot cot 2 2 2 R r A B C p     . Giải: Ta có: 1 1 1 cot cot cot 2 2 2 A B C    tan tan tan 2 2 2 A B C   Mà: 1 1 1 tan tan tan 2 2 2 A B C r p a p b p c                       22 pr p ab bc cap ab bc ca r p a p b p c p p a p b p c                2p ab bc ca S      (2.13) Lại có:     2 2 4 pabc p p a p b p cR r abc S p pS p p S        2ab bc ca p S     . (2.14) Từ (2.13) và (2.14) suy ra đpcm. CHƢƠNG 3 HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TỨ GIÁC Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng giác để giải một số lớp bài toán về tứ giác, cụ thể là bài toán nhận dạng tứ giác, các bài toán về cạnh và góc của tứ giác, các bài toán về chu vi, diện tích tứ giác. 3.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TỨ GIÁC Bài toán 3.2. Cho tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện: 18 sin sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin sin sin A B C D B C C D D A A B         . Chứng minh ABCD là hình bình hành hoặc hình thang cân. Giải: Đặt 1 sin sin sin A a B C   ; 2 sin sin sin B a C D   3 sin sin sin C a D A   ; 4 sin sin sin D a A B    1 sin sin sinb A B C  ;  2 sin sin sinb B C D   3 sin sin sinb C D A  ;  4 sin sin sinb D A B  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4a b a b a b a b a a a a b b b b          sin sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin sin sin A B C D B C C D D A A B          (3.1) Dấu bằng trong (3.1) xảy ra sin sin sin sinA B C D    . Bài toán 3.3. [11] Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng: Nếu R1.R3 = R2.R4 thì tứ giác ABCD nội tiếp. Giải: Theo Định lý sin, ta có: 1 2 3 4 1 1 1 1 , , , 2sin 2sin 2sin 2sin BC AD AD BC R R R R D C B A     19 1 1 11 A D B C Từ 1 3 2 4 1 1 1 1. . sin sin sin sinR R R R D B C A   (3.2) Rõ ràng, ta có 1 1 1 1 1 1 1 1A B C D D B A C       (3.3) 1 1 1 1 1 1 1 1cos cos sin sin cos cos sin sinD B D B A C A C    Do đó từ (3.3) suy ra: 1 1 1 1cos cos cos cosD B A C (3.4) Lấy (3.4) trừ (3.2) vế theo vế suy ra:    1 1 1 1 1 1 1 1cos cosD B A C D B A C       (3.5) Từ (3.5) và (3.3) có D1 = A1. Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp. 3.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TỨ GIÁC Bài toán 3.8. Cho ABCD là tứ giác lồi và không có góc nào vuông. Chứng minh: tan tan tan tan cot cot cot cot tan tan tan tan A B C D A B C D A B C D        . Giải: Xét hai trường hợp sau: 1. 090A B  và 0270A B  , khi đó  tan A B và  tan C D có nghĩa. Vì     0360A B C D    nên    tan tan 0A B C D    20 tan tan tan tan 0 1 tan tan 1 tan tan A B C D A B C D             tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan 0A B C D C D A B       tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C D A B C A C D B C D A B D         tan tan tan tan 1 1 1 1 tan tan tan tan tan tan tan tan A B C D A B C D D B A C         tan tan tan tan cot cot cot cot tan tan tan tan A B C D A B C D A B C D         2. 090A B  hoặc 0270A B  . Do 0270C D  và ABCD là tứ giác lồi không có góc nào vuông nên suy ra 0 090 180D  (vì nếu 0 090 180D C   mâu thuẫn với tính lồi của ABCD). Do 0 0 0 090 0 90 90 270A B A A D         . Áp dụng phần 1. với A D và B C suy ra đpcm. Bài toán 3.10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Đường tròn với tâm trên cạnh AB tiếp xúc với ba cạnh kề. Chứng minh: AD BC AB  . Giải: C M D N P BA O Gọi O là tâm đường tròn  O AB tiếp xúc với AD, DC, CB lần lượt tại M, N, P. Ta có: 21 1 1 sin sin AB OA OB R A B          (3.2) cot cot 2 D AD AM MD R A R    cotB cot 2 C BC BP PC R R    Từ đó cot cot cot cot 2 2 C D AD BC R A R B                 cos 1 cos cos 1 cos sin sin sin sin A C B D R R A C B D                 (3.3) Do ABCD là tứ giác nội tiếp nên 0180A C B D    . sin sin ; sin sin ;cos cos ;cos cosA C B D A C B D       Vì vậy từ (3.3) suy ra: cos 1 cos cos 1 cos sin sin sin sin A A B B AD BC R R A A B B                  1 1 sin sin R A B        (3.4) Từ (3.2), (3.4) suy ra đpcm. 3.3. CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TỨ GIÁC Bài toán 3.19. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp với AB = a’, BC = b’, CD = c ’ , DA = d ’ và p ’ là nửa chu vi của tứ giác. Chứng minh rằng:       ' ' ' ' ' ' ' ' tan 2 p a p dA p b p c      . Giải: 22 b' a' d' c' C DA B Áp dụng Định lý côsin trong các tam giác ABD và BCD, ta có: 2 '2 '2 ' ' '2 '2 ' ' '2 '2 ' ' 2 cos 2 cos 2 cos BD a d a d A b c b c C b c b c A          Từ đó suy ra: '2 '2 '2 '2 ' ' ' ' cos 2 2 a d b c A b c a d      (3.5) Từ (3.5) ta có '2 '2 ' ' ' ' '2 '2 '2 '2 '2 '2 ' ' ' ' 1 cos 2 2 tan 2 1 cos 2 2 A A b c b c a d a d A a d b c b c a d                             2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' b c a d b c a d b c d a a d b c a d c ba d b c                    (3.6) Vì ' ' ' ' ' '2 ' '2 4a b c d p b a c     nên từ (3.6) ta có:       ' ' ' ' ' ' ' ' tan 2 p a p dA p b p c      (đpcm). Bài toán 3.21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn , đường chéo AC = a, hợp với hai cạnh AB, CD các góc ,  . Chứng minh:    2 2sin sin sin sin 2sin 2sin ABCD a a S           . 23 Giải: β 2 3 β α K B C D A Giả sử sin sin   . Trên AB kéo dài về phía B lấy K sao cho BKC CAD   . Do KBC CDA BKC   đồng dạng với DAC Do sin sin KBC CDA ABCD ACKBC CD S S S S         2 1 sin sin 2 sin ABCDS a      (3.7) Tương tự nếu  2 1 sin sin sin sin 2 sin ABCDS a       (3.8) Từ (3.5) và (3.6) suy ra:    2 2sin sin sin sin 2sin 2sin ABCD a a S           . 24 KẾT LUẬN Luận văn “Hệ thức lượng giác và ứng dụng” đã thực hiện được mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể là đã giải quyết được những vấn đề sau: 1. Tìm hiểu và trình bày những hệ thức lượng giác cơ bản. 2. Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, trong tứ giác. 3. Đối với mỗi lớp bài toán đều có các bài toán minh họa và các bài toán tương tự. Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn được tiếp tục hoàn thiện và mở rộng hơn nữa, nhằm có thể là một tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, cũng như những ai quan tâm đến lĩnh vực hệ thức lượng giác.