Tóm tắt Luận án Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

VIÊN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ------o0o------ VŨ LÂM ĐÔNG ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội – 2016 Công trình được hoàn thành tại: Viện Hàn lâm khoa học và Công nghệ Việt Nam Học viện Khoa học và Công nghệ Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH Phạm Đức Chính Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp học viện họp tại: Vào hồi giờ, ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1 MỞ ĐẦU Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đã có những bước phát triển vượt bậc trong nghiên cứu khoa học. Việc xây dựng các mô hình vật liệu đã được thực hiện từ rất sớm và từ những mô hình căn bản. Các tính chất vĩ mô của vật liệu phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố như tính chất của vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết giữa các thành phần, đặc trưng hình họcqua đó nói lên tính chất vĩ mô của vật liệu chịu tác động của rất nhiều yếu tố.. Chính vì vậy luận án được thực hiện với mục đích xây dựng những đánh giá cho mô đun đàn hồi vĩ mô đẳng hướng vật liệu tổ hợp nhiều thành phần cho kết quả tốt hơn những kết quả đã công bố trước đây. Tính thời sự và ý nghĩa của luận án Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite) đang được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống hiện nay, có thể thấy vật liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong tương lai vì tính năng làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí sản xuất chế tạo hợp lý. Từ những thành phần vi mô khác nhau sẽ có những thông số đặc trưng riêng biệt cấu thành nên vật liệu tổng thể, tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô này không hề đơn giản bởi chúng ta thường chỉ có những thông tin hạn chế về cấu trúc hình học, tính chất vật liệu cấu thành Mục tiêu của luận án Xây dựng các đánh giá biên trên và biên dưới, mô phỏng tính chất vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu vi mô, phương pháp số được sử dụng để tính toán cho các mô hình cụ thể. 2 Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm hàm năng lượng xây dựng biên trên và biên dưới đối với các mô đun đàn hồi vĩ mô. • Phương pháp số sử dụng chương trình MATLAB để thiết lập các công thức, ma trận...tối ưu các tham số hình học của vật liệu trong các đánh giá. Chương trình CAST3M (thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn) áp dụng tính cho một số mô hình vật liệu tuần hoàn nhằm so sánh kết quả với các đánh giá. Những đóng góp của luận án • Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể. • Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể. • Áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa và tính toán số cho một số dạng hình học tuần hoàn nhiều thành phần, có so sánh với các đánh giá. Cấu trúc của luận án Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụ thể: Chương 1: Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu Trình bày về lịch sử, các kết quả nổi bật của các tác giả nghiên cứu trong nước và ngoài nước trước đây trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu. Cách tiếp cận bài toán đồng nhất hóa vật liệu thông qua 3 đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi và đường lối biến phân thông qua các hàm năng lượng. Chương 2: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin- Strikman. Xây dựng đánh giá biên trên và đánh giá biên dưới cho mô đun đàn hồi thể tích keff. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình vật liệu đặc trưng. Chương 3: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Xây dựng đánh giá biên trên và đánh giá biên dưới cho mô đun đàn hồi trượt μeff thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình vật liệu đặc trưng. Chương 4: Phương pháp số áp dụng cho bài toán đồng nhất hóa vật liệu Xây dựng chương trình tính toán số PTHH cho một số bài toán đồng nhất hóa cụ thể, cho bài toán vật liệu tổ hợp có điều kiện biên tuần hoàn có so sánh với các đánh giá ở hai chương trước. Kết luận chung: trình bày những kết quả chính đã nhận được trong luận án và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu. 4 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC ĐỒNG NHẤT HÓAVẬT LIỆU 1.1. Một số tính chất của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu tổ hợp Buryachenko [11], Hill [30]; phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa. Hình 1.1 Phần tử đặc trưng (RVE) Xét phần tử đặc trưng V của vật liệu tổ hợp, được cấu thành bởi n thành phần chiếm các không gian V Vα ⊂ và có các hệ số đàn hồi , ; 1, ,k nα αμ α = . Trong trường hợp chọn phần tử đặc trưng V có tâm trùng với gốc của hệ tọa độ Đề các vuông góc 1 2 3 { , , }x x x . Phương trình cân bằng: V∇⋅ = ∈xσ 0 , (1.1) trường ứng suất này quan hệ với trường biến dạng thông qua định luật Hook: ( ) : ( )=x C(x) xσ ε (1.2) hệ số đàn hồi thành phần (trong trường hợp các vật liệu thành phần là đẳng hướng) ( , )kα αμ=C(x) T trong đó T là tenxơ bậc 4 đẳng hướng. 5 2( , ) ( )ijkl ij kl ik jl il jk ij klT k k d = + + −μ δ δ μ δ δ δ δ δ δ , (1.3) ijδ là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian: d = 2 hoặc 3. Trường biến dạng ( )ε x được biểu diễn qua trường chuyển dịch ( )u x : 1 2 ( ) ( ) ;T V⎡ ⎤= ∇ + ∇ ∈⎣ ⎦x u u xε (1.4) Các điều kiện biên thuần nhất thường được sử dụng. Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng có dạng như sau: 1 1,= =∫ ∫σ ε V V d V d V σ εx x (1.5) Quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên miền V được biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) effC : : , ( , ).= = efeff eff ffe fk μC C Tσ ε     (1.6) Đây được gọi là đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi. Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô bằng cách tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V (trường khả dĩ ε cần là trường tương thích): 0 0 0: : inf : :eff V d 〈 〉= = ∫ε εε ε ε εC C x (1.7) hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ cần là trường cân bằng): 0 0 1 0 1: ( ) : inf : ( ) :eff V d− − 〈 〉= = ∫ xσ σσ σ σ σC C (1.8) Với đường lối biến phân trên nếu không cho được kết quả chính xác thì sẽ cho được cận trên và cận dưới của tính chất hiệu quả, một kết quả khả dĩ khi áp dụng cho những vật liệu cụ thể mà chúng ta không có được đầy đủ mọi thông tin về hình học vật liệu. 6 1.2. Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu Từ cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 việc nghiên cứu tính chất các môi trường liên tục của vật liệu nhiều pha đã được các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới thời đó thực hiện. Trong trường hợp mô hình vật liệu là hai pha với các hạt cốt liệu có dạng đẹp như hình cầu, bầu dục (ellipsoid) phân bố xa nhau trong pha nền liên tục (tỷ lệ pha cốt liệu là nhỏ), Eshelby [20] đã tách một hạt cốt liệu trong miền vô hạn của pha nền, tính được chính xác trường ứng suất và biến dạng. Trên cơ sở đó ông tìm được hệ số đàn hồi vĩ mô trong một vùng tỷ lệ thể tích vI (các hạt cốt liệu xa nhau). Đối với mô hình vật liệu có các thành phần phân bố hỗn độn - hình học pha không hoàn toàn xác định điều này gây khó khăn cho đường hướng giải phương trình trực tiếp thì một số phương pháp mô hình được đề xuất mà tiêu biểu là phương pháp sơ đồ vi phân (differentials scheme) với nội dung tính ứng suất và biến dạng từng bước với pha nền của bước trước chứa tỷ lệ nhỏ cốt liệu cầu hay hình bầu dục (dựa theo kết quả Eshelby) và tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp cho bước sau. Thay cho việc nhận được lời giải giải tích thông qua việc giải phương trình thì có một cách đi khác cũng hướng tới việc tìm được các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đó là đường lối biến phân, đây là phương pháp tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng. Mặc dù không tìm được các trường ứng suất, biến dạng chính xác tương ứng với các điểm cực trị thì với cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ ta cũng nhận được tương ứng các đánh giá đối với giá trị cực trị của các phiếm hàm năng lượng và các tính chất vĩ mô của vật liệu tương đối gần với giá trị thực có thể. 7 Hashin và Shtrikman (HS) [28] đã xây dựng nguyên lý biến phân riêng và đưa vào trường khả dĩ phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau, kết quả cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng đã cho thấy tốt hơn hẳn kết quả của Hill-Paul khi nó nằm trong đánh giá này. Ở trong nước các nghiên cứu của Phạm Đức Chính đã xét đến bài toán cho vật liệu nhiều pha khi xem xét đến sự khác biệt của tỷ lệ thể tích pha, hình học vi mô của các thành phần cấu thành được đặc trưng bởi các tham số hình học bậc ba đã tìm được biên tường minh cho các đặc trưng vĩ mô của các loại vật liệu, trong một số trường hợp tìm được đánh giá tối ưu (đạt được bởi một số mô hình hình học cụ thể). Để có những đánh giá hẹp hơn so với đánh giá HS sau này các tác giả đã nghiên cứu và xây dựng các bất đẳng thức biến phân có chứa các hàm ngẫu nhiên mô tả thông tin bổ xung về hình học pha của các vật liệu cụ thể. Các hàm ngẫu nhiên bậc n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được lấy tình cờ (với khoảng cách nhất định) rơi vào cùng một pha giữa chúng. Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu và sử dụng trường khả dĩ phân cực HS, Pham đã tìm được đánh giá hẹp hơn HS nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu. Một hướng nghiên cứu rất được quan tâm trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựng xấp xỉ từ các trường khả dĩ động học. Tuy nhiên cũng có các trở ngại chính: rất khó để tìm được trường khả dĩ đơn giản trên toàn bộ vùng khảo sát hoặc nếu có tìm được thì dẫn tới hệ phương trình lớn và phức tạp. Những vấn đề này đã được khắc phục bởi thực tế là 8 các xấp xỉ cục bộ, trên một phần nhỏ của vùng khảo sát có lời giải thích hợp và đồng thời dẫn đến hệ phương trình gọn gàng và phạm vi tính toán phù hợp với khả năng của hệ thống máy tính tốc độ cao. Kỹ thuật xấp xỉ phần tử thông minh (element-wise) đã được công nhận ít nhất 60 năm trước đây bởi Courant [17]. Đã có nhiều phương pháp xấp xỉ như vậy để giải phương trình đàn hồi, phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Ý nghĩa của phương pháp này là phân vùng vật thể thành một tập hợp các miền con rời rạc gọi là phần tử. Quá trình này được thiết kế để giữ cho kết quả đại số cũng như quản lý tính toán bộ nhớ hiệu quả nhất có thể. 9 CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI THỂ TÍCH VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN Thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng và sử dụng bởi nhiều tác giả trong đánh giá và xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu tổ hợp. Bằng việc đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Shtrikman giúp cho các đánh giá tính chất vật liệu sát hơn so với những đánh giá trước đó, sử dụng các tham số thông tin bậc ba về hình học của vật liệu mô tả cấu trúc vi mô của vật liệu tổ hợp. 2.1. Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu Để xây dựng đánh giá cận trên cho mô đun đàn hồi vĩ mô effk từ (1.7), ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng: 0 1 1, ; , , , N ij ij ij a i j d d α α α= ⎛ ⎞ε = + ϕ ε = ⎜ ⎟δ⎝ ⎠∑ (2.1)  trong đó 0 0= ijij d δε ε là biến dạng thể tích cho trước, αϕ là hàm thế điều hòa, ijδ là toán tử Kronecker, chỉ số Latin sau dấu phảy biểu diễn đạo hàm theo hệ tọa độ Đề các tương ứng. Đưa (2.1) vào (1.7) và tiến hành rút gọn ta được: 2 0 2 1 1 C x x 2 2 , , : ( ) : ( ) ( ) N N V V W d k v k a a A a aβγα α α α α α β γ α= α β γ= = = + + + μ⎡ ⎤⎢⎢ ⎥⎣ ε⎥ ⎦∑ ∑∫ε ε ε (2.2) trong đó: - 1= = ∑NVk kvα α α  là giá trị trung bình số học Voigt. 10 - xij ij V A d α βγ βα γα α = ϕ ϕ∫ là thông tin hình học bậc ba của vật liệu. Để tìm cực trị phiếm hàm năng lượng có ràng buộc (ở đây là tìm cực tiểu) ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange, từ đó nhận được: 0 2 1 0 2 1 C x v v: : ( ) ' · · ( ) N V V k k k V W d k v k a k −ε α α α α= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + ε = − ε⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑∫ε ε A (2.3) trong đó: - { } { }1 1 1 1v v' , , ( ), , ( );T Tk N N k R N N Rv k v k v k k v k k= = − −" " { } 1 1 1 1 2 , , , ,kk N N k R A N A v k A v k k A αβ αβ − δβ αβ α α αβ γ α δ γ γ γ= δ= = α β = ⎛ ⎞= δ + − μ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ "A Từ (1.7) và (2.3), chúng ta xây dựng được đánh giá cận trên cho mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô effk của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần: 1v v({ , , },{ }) · ·eff UA V k k kk K k v A k βγ ′ − α α α α≤ μ = − A (2.4) 2.2. Xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu Chúng ta lựa chọn trường khả dĩ: 0 1 1,( ) ; , , , N ij ij ij ija I i j d α α α α= ⎡ ⎤σ = δ + ϕ −δ σ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ " ; (2.5) trong đó I α là chỉ số hình học pha của vật liệu. Đưa (2.5) vào (1.8), biến đổi và sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị với các biến aα ta được: 11 0 2 1 0 2 1 1 v v( ) ' · · ( ) N kkR R k a vd W k k d k −− −α α σ αα= ⎡ ⎤− ⎡ ⎤= − σ = − σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑ A (2.6) 11 trong đó: - 1 1 N R v k k − α αα= =∑ là trung bình cộng điều hòa Reuss , - 1 1 1 11 1 1 1v ( ), , ( ) T k V N N V d d v k k v k k d d − − − −− −⎧ ⎫= − −⎨ ⎬⎩ ⎭" , - { } 2 1 1 2 1 1 1 2( ) ( ,) k k N N k V A vd A v k A k A kd αβ − αβ δβ −ααβ α α αβ γ δ γ γ γ= δ= = ⎛ ⎞−= δ + − μ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ A - 1 11 1 1 1v ' , , T k N N d d v k v k d d − −− −⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭" . Đánh giá cận dưới cho mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô effk của vật liệu tổ hợp đàn hồi đẳng hướng được xác định: 11 1v v({ , , },{ }) ( · · )eff L k kkA Rk K k v A k ′ −βγ − − α α α α≥ μ = − A (2.7) 2.3. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể 2.3.1. Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha (a) (b) 12 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 v2 ke ff HS DXC 3D (c) Hình 2.1 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng với 1 1 2 2 21, 0.3, 20, 10, 0.1 0.9= = = = = →μ μk k v . (a) Quả cầu lồng nhau; (b) Hỗn hợp dạng cầu đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên dưới Hashin-Shtrikman tương ứng với giá trị mô đun đàn hồi thể tích chính xác của vật liệu quả cầu lồng nhau 2 1=ζ và 1 0=ζ , DXC 3D - Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu. 2.3.2. Mô hình quả cầu lồng nhau ngẫu nhiên Xem xét vật liệu dạng quả cầu không chồng lấn (tách rời) có kích cỡ bằng nhau phân bố ngẫu nhiên hai thành phần (hình 2.5a) và quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên (hình 2.6a) nằm trong pha nền 1. Biên cho mô hình này khảo sát trong khoảng 2 1 1 2 20.1 0.99, 1, 0.3, 20, 10,= → = = = =kv kμ μ so sánh với biên Hashin-Shtrikman biểu diễn trong hình 2.2b, 2.3b. 13 (a) 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v2 ke ff HS KCL 3D (b) Hình 2.2 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn (KCL 3D) (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 v2 ke ff HS CL 3D (b) Hình 2.3 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL 3D) 14 Nhận xét: Trên hình 2.2b, cho thấy biên dưới có xu hướng tiệm cận với biên HS còn biên trên khá cách xa nhau bởi vì kα khá chênh lệch giữa cốt (quả cầu) và nền. Hình 2.3b tuy vẫn có xu hướng tiệm cận với biên dưới của HS nhưng biên trên cũng gần với biên trên HS tại đầu mút 2 0 99.v = . 2.3.3. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha Đây là dạng vật liệu các quả cầu lồng nhau với các kích thước khác nhau nhưng có cùng tỷ lệ thể tích các pha và điền đầy vùng không gian vật liệu khảo sát. Thành phần vật liệu 1 1 2 2 3 312 8 1 0 3 30 15, , , . , , .k k k= μ = = μ = = μ = (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v1 ke ff HS PDC 1996 NCX 3D (b) Hình 2.4 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha khảo sát trong khoảng 1 2 3 1 10 1 0 9 1 2 . . , ( )v v v v= → = = − . (a)  Mẫu vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha ; (b) So sánh giữa biên HS, biên cũ (PDC 1996), và biên mới (NCX 3D) hội tụ với giá trị chính xác của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô 15 Nhận xét: Hình 2.4b thể hiện kết quả tính chính xác với mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha. Tuy trong trường hợp quả cầu lồng nhau 2 pha thì biên PDC 1996 hội tụ nhưng trong trường hợp 3 pha thì không thể mặc dù biên của PDC 1996 cũng có xét đến thông tin hình học bậc ba của vật liệu. Ở đây ta có kết quả trùng nhau giữa biên trên và biên dưới, một đóng góp mới của luận án khi so sánh kết quả với những công bố trước đó. 2.3.4. Mô hình vật liệu tựa đối xứng Ví dụ này tác giả xem xét đến vật liệu dạng tựa đối xứng (TDX) trong không gian 3 chiều (hình 2.5a) đây là loại vật liệu không có sự phân biệt rõ ràng giữa pha nền và pha cốt liệu (Pham [50], Torquato [77]). effk của vật liệu này nằm trong biên Hashin-Shtrikman và đại diện cho các loại vật liệu tổ hợp đẳng hướng tựa đối xứng. (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 v1 ke ff HS TDX 3D (b) Hình 2.5 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 3D), 1 2 3 10 1 0 9 0 5 1. . , . ( )v v v v= → = = − với 1 1 2 2 3 31 0 3 12 8 30 15, . , , , ,k k k= μ = = μ = = μ = 16 2.4. Kết luận Trên đây với đường lối biến phân tác giả đã trình bày cách xây dựng đánh giá trên và đánh giá dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô effk của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để tối ưu hóa các phiếm hàm có các biến tự do ràng buộc. Có thể thấy rằng các trường khả dĩ mà được lựa chọn (chứa N-1 tham số tự do) tổng quát hơn so với trường khả dĩ trong [1] chỉ chứa 1 tham số tự do bởi vậy đánh giá mới là tốt hơn khi 3N ≥ , như đã được so sánh cụ thể trong trường hợp quả cầu lồng nhau 3 pha. Mô hình bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d chiều cho nên kết quả được sử dụng trong các trường hợp mô hình không gian khác nhau, các đánh giá chứa đựng ngoài thông tin về tính chất ( , )kα αμ , tỷ lệ thể tích vα của các thành phần, còn chứa các thông tin bậc 3 về hình học pha của vật liệu Aβγα . Thông tin hình học bậc ba của vật liệu được đưa ra nhằm tính đến ảnh hưởng bởi hình học cụ thể của vật liệu giúp cho kết quả đánh giá tốt hơn. Các kết quả đã áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể như mô hình quả cầu lồng nhau nhiều thành phần, quả cầu phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn và chồng lấn, quả cầu phân bố dạng tuần hoàn và vật liệu tựa đối xứng nhiều thành phần trong không gian 2 chiều và 3 chiều. Để cho rõ ràng, trong tính toán so sánh, tác giả chọn tính chất các vật liệu khác nhau nhiều. Khi khác biệt nhỏ đi các đánh giá tiến sát tới nhau cho được giá trị gần đúng tính chất vĩ mô của vật liệu. Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công trình khoa học 1., 2., 4. và 5. 17 CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI TRƯỢT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN Cách thực hiện cũng giống như trong chương 2 là tiếp cận theo đường hướng năng lượng giúp chúng ta xác định được biên trên và biên dưới của mô đun đàn hồi trượt vĩ mô. 3.1. Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể trượt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu Để xây dựng đánh giá trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô effμ , ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng: 0 0 0 0 1 1 1 2 , , , ( ) , , ,... ;, N ij ij ik kj jk ki ijkl kla b i j d α α α α α α= ⎡ ⎤ε = ε + ϕ ε +ϕ ε + ψ ε =⎢ ⎥⎣ ⎦∑    (3.1) trong đó 0 0 0 0( )ij ij iiε = ε ε =  là biến dạng lệch cho trước, αψ là hàm thế song điều hòa, ,a bα α là các hệ số tự do cần tìm chịu ràng buộc. Đưa (3.1) vào (1.7) và tiến hành rút gọn ta được: ( )1 0 0C x v v 2 : : · · .V ij ij V W d −ε μ μ μ′= = μ − ε ε∫  ε ε A (3.2) Từ (1.7) và (3.2), chúng ta có được biên trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô effμ của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần: 1v v({ , , },{ , }) · ·eff UAB VM k v A B βγ βγ ′ − α α α α α μ μ μμ ≤ μ = μ − A (3.3) Các véctơ v v,′μ μ và ma trận μA trong miền không gian 2N chiều: { } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2v 2 2 1 2 2 2v 2 2 ( ) ( ) ( ), , ( ), , , , ( ) ( ) , , , , , , , , , , ( ) , ( ) . T N R N N R R N R T N N N N N V v v v v d d d d d d A N v v v v d d d d d v d μ μ α α α μ α = β μ μ −μ μ −μ ⎫⎧= μ −μ μ −μ⎨ ⎬+ +⎩ ⎭ = α β = μ μ μ μ μ⎧ ⎫′ == ⎨ ⎬+ +⎩ ⎭ μ∑ " " " " " A 18 3.2. Xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu Để xây dựng đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô effμ , ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng: ( )0 0 0 0 0 0 1 1, , , ,( ) , , ,.. , ;. N ij ij ik kj jk ki ij ij kl kl ijkl kla I a b b i j d α α α α α α α α α α= ⎡ ⎤σ = σ + ϕ σ +ϕ σ − σ − + δ ϕ σ + ψ σ =⎦⎣∑      (3.4) trong đó 0 0 0 0( )ij ij iiσ = σ σ =  là ứng suất lệch cho trước. Đưa (3.4) vào (1.8) và tiến hành rút gọn cuối cùng ta có được kết quả đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần: ( ) 11 1v v{ , , },{ , } ( · · )eff LAB RM k v A B ′ −βγ βγ − −μ μμα α α α αμ ≥ μ = μ − A (3.5) trong đó: { } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2 v 2 2 2 2 2 2 v 2 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ( ), , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , ( ) ( ) , , , , , ; T V N N VN V N V N N N N R v vd v d v d d d d d d d v d v v v d d d d d d v A N − − − − − − − − μ − − − −′ μ μ − ααβμ αα ⎧ ⎫μ −μ μ −μ− −⎪ ⎪= μ −μ μ −μ⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎧ ⎫− μ − μ μ μ⎪ ⎪= ⎨ ⎬ μ + +⎪ ⎪⎩ ⎭ = α β = = μ " " " " "A 1 . N = ∑ 3.3. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể 3.3.1. Mô hình vật liệu tựa đối xứng Trong trường hợp vật liệu tổ hợp đối xứng không có sự khác biệt giữa pha nền và pha cốt liệu [50] trong không gian 3 chiều (hình 3.1a), thông tin hình học bậc ba của vật liệu ,A Bβγ βγα α có dạng đặc biệt [50-51]. 19 (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 v1 μef f HS TDX 3D DXC 3D (b) Hình 3.1 Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu đẳng hướng ba thành phần (TDX 3D), so sánh với vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu (DXC 3D) và biên HS; 1 2 3 10 1 0 9 0 5 1. . , . ( )v v v v= → = = − với 1 1 2 2 3 31 0 3 12 8 30 15, . , , , ,k k k= μ = = μ = = μ = . (a) Mẫu vật liệu đối xứng ba thành phần; (b) Các đường biên so sánh. Nhận xét: Các đánh giá xây dựng trong luận án đều nằm trong biên đánh giá trước đây (biên HS), đối với trường hợp không gian 3 chiều trong khoảng khảo sát 1 0 1 0 4. .v = → , đánh giá trên của biên U DXCμ và biên UTDXμ là trùng nhau. Theo chiều hướng ngược lại trong khoảng khảo sát 1 0 5 0 9. .v = → biên LDXCμ và biên LTDXμ cũng trùng nhau. 3.3.2. Vật liệu 2 pha tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều Ví dụ cuối khi xem xét vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn có cùng kích cỡ sắp xếp tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều (LGD) (hình 3.2a) trong khoảng 2 0 1 0 7. .v = → với 1 1 2 21 0 5 10 5, . , ,k k= μ = = μ = . Hai tham số 1ζ (hoặc 2ζ ) và 1η (hoặc 2η ) cho loại vật liệu này được đưa ra trong [77]. 20 (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 v2 μef f HS LGD (b) Hình 3.2 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD). Kết quả cho thấy đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của vật liệu tuần hoàn (LGD) nằm trong kết quả tính theo HS. 3.4. Kết luận Trường khả dĩ mở rộng mà tác giả đưa ra tổng quát hơn so với trường khả dĩ phân cực HS được sử dụng trong [1], [49] giúp cho kết quả tốt hơn những đánh giá trước đây. Việc đưa hàm thế điều hòa và thế song điều hòa nhằm mô tả thông tin của vật liệu một cách tường minh tuy nhiên việc giải bài toán cũng phức tạp hơn. Trường khả dĩ chứa 2 2N − tham số tự do so với 2 biến tự do là 0 0,k μ của [1],[49] giúp cho đánh giá tốt hơn khi 3N ≥ . Bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d chiều có tính tổng quát. Tác giả cũng đã áp dụng cho một số mô hình cụ thể: vật liệu tựa đối xứng, vật liệu 2 pha tuần hoàn dạng lục giác đều... Trong chương này những điểm mới của nội dung nghiên cứu được thể hiện thông qua các công trình đã công bố 1., 3. và 5. 21 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN Chương này mô tả lý thuyết đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn, các giả thiết đưa ra để áp dụng tính toán phương pháp PTHH chạy trên nền mã nguồn mở của chương trình CAST3M (Pháp). Kết quả tính toán cho một mô hình vật liệu tuần hoàn cụ thể được tác giả so sánh với các đánh giá đã xây dựng trong chương 2 và chương 3. 4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn Ý tưởng của lý thuyết vật liệu tuần hoàn là các thông tin cơ bản liên quan tới các tính chất vật lý của các thành phần và hình thái của các vi cấu trúc có thể được lưu giữ trong một cấu trúc cơ sở (nhân tuần hoàn - cell periodict). Sau đó, một mô hình tuần hoàn cho các vật liệu thực tế có thể đạt được bằng cách làm đầy toàn bộ không gian với cấu trúc cơ sở này một cách tuần hoàn. Hình 4.1 Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn Dựa theo lý thuyết đồng nhất hóa, các tính toán được quy về trên phần tử đặc trưng. Để giải quyết bài toán ta coi rằng phần tử đặc trưng của vật liệu nghiên cứu ký hiệu Ω chịu tác động bởi một trường biến dạng đồng nhấtE . Trường biến dạng này được tạo ra bởi một trường ứng suất trung bình trên toàn miềnΣ . 22 4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M Chương trình CAST3M được hỗ trợ bởi tổ chức nghiên cứu công nghệ thuộc chính phủ Pháp đã có lịch sử 20 năm. Bộ chương trình này chứa các yếu tố cần thiết để mô phỏng tính toán đối tượng theo phương pháp PTHH. Phạm vi ứng dụng chủ yếu là về các vấn đề cơ học bao gồm ứng xử của vật liệu đàn hồi, đàn - nhớt - dẻo ... Cũng như cấu trúc của một chương trình tính toán theo phương pháp PTTH thông thường, chương trình tính toán cho bài toán đồng nhất hóa vật liệu theo phương pháp PTHH cũng bao gồm các bước: • Thiết lập lưới phần tử hữu hạn. • Gán thông số về vật liệu và mô hình cơ học. • Thiết lập các điều kiện biên tuần hoàn. • Đặt tải trọng trung bình. • Tính toán các hệ số đàn hồi vĩ mô. 4.3. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể Trong trường hợp vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang được xem xét ở đây, phần tử đặc trưng có dạng hình học thể hiện như trong hình 4.2. Hình 4.2 Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn Pha cốt sợi có dạng hình trụ tròn chạy theo phương dọc trục, trên mặt cắt ngang được bố trí theo dạng hình lục giác đều. Năm hệ số đàn hồi hiệu quả đặc trưng cho dạng vật liệu này được xác định cụ thể như sau: mô đun diện tích theo phương ngang 1 2( , ) effe e K , mô 23 đun trượt theo phương ngang 1 2( , ) effe e μ , hệ số nở hông dọc theo phương 1 3( , )e e  hoặc  2 3( , ) effe e ν , mô đun đàn hồi dọc trục  effE  và mô đun trượt dọc trục theo phương 1 3( , )e e  hoặc  2 3( , ) effe e μ . Vật liệu tính toán có dạng cốt sợi dọc trục với pha nền ta ký hiệu là chữ m và vật liệu cốt sợi ký hiệu bởi chữ i. Pha nền và pha cốt đều là dạng vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng được đặc trưng bởi mô đun E và hệ số ν. Giá trị lần lượt của 5 hệ số đàn hồi hiệu quả phụ thuộc vào phần trăm thể tích pha cốt liệu iv sẽ được trình bày từ hình 4.3 tới hình 4.7. Các hình .(a) tương ứng với số liệu: 1 0 25 10 0 35, . , , .m m i iE E= ν = = ν = và ngược lại các hình .(b) tương ứng với số liệu: 10 0 35 1 0 25, . , , .m m i iE E= ν = = ν = . Kết quả phương pháp PTHH biểu thị bằng đường đậm nét đứt cùng với hai đường nét liền là đánh giá trên và dưới. Các đánh giá cho effK , effμ sử dụng các kết quả chương 2 và 3 cho bài toán 2 chiều. Các đánh giá cho effE và effν dựa vào quan hệ Hill cho vật liệu cốt sợi dọc trục 2 pha. Các đánh giá cho effμ tương tự với đánh giá cho hệ số dẫn vật liệu 2 pha sử dụng kết quả [45]. Hình 4.3 Mối quan hệ eff iK v− 24 Hình 4.4 Mối quan hệ eff ivμ − Hình 4.5 Mối quan hệ eff ivν − Hình 4.6 Mối quan hệ eff iE v− 25 Hình 4.7 Mối quan hệ eff ivμ − Nhận xét: Từ hình 4.3 đến 4.7 các kết quả tính toán số (đường đậm nét đứt) đều nằm trong kết quả đánh giá (các đường nét liền) đặc biệt đối với effE và effν có thể coi là trùng nhau (hình 4.5, 4.6). Các kết quả của effE và effν được xác định sau khi tìm được đánh giá effK tuy nhiên không phải đánh giá trên của effK sẽ luôn luôn cho đánh giá trên của effE và effν mà có thể là đánh giá dưới (hàm liên hệ là đơn điệu!). 4.4. Kết luận Chương này tác giả đã trình bày lý thuyết đồng nhất hóa cho vật liệu tuần hoàn trong khuôn khổ luận án, nó sẽ là cơ sở để tác giả nghiên cứu cho các lớp bài toán phức tạp hơn. Tác giả cũng đã áp dụng tính toán các hệ số đàn hồi bằng phương pháp PTHH cho mô hình vật liệu tuần hoàn, cụ thể là mô hình vật liệu cốt sợi dọc trục - đây là mô hình vật liệu thường thấy trong kỹ thuật. Có thể nói về mặt nguyên tắc các tính toán PTHH cho bài toán đàn hồi đều theo các bước chung, tuy nhiên đối với bài toán đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn các điều kiện biên về lực và chuyển vị có khác biệt. Ở đây vì vật liệu là tuần hoàn nên bài toán dược đưa về cho nhân tuần hoàn 26 với điều kiện biên về chuyển vị là tuần hoàn nhưng điều kiên biên về lực lại là phản tuần hoàn. Các kết quả tính toán đã được thực hiện và hiển thị theo dạng đồ thị, so sánh với các kết quả tính bởi các công thức đánh giá đã xây dựng trong các chương trước. Các kết quả số PTHH đều nằm trong các đánh giá (có trường hợp gần như trùng nhau) - khảng định sự tin cậy của các phương pháp áp dụng. Mặt hạn chế của phương pháp tính số trực tiếp là chủ yếu tính được cho vật liệu tuần hoàn, đối với vật liệu có hình thái sắp xếp ngẫu nhiên ví dụ như các quả cầu hỗn độn đã trình bày ở những chương trước thì sẽ khó khăn hơn nhiều, vì phải tính cho RVE có kích thước lớn chứ không phải nhân tuần hoàn. Kết quả nghiên cứu đã được công bố ở các báo cáo hội nghị khoa học 5. và 6 27 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đã xây dựng các đánh giá cho các hệ số đàn hồi vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần có bao hàm các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu. Phương pháp PTHH cũng được áp dụng cho một mô hình vật liệu tuần hoàn có so sánh với các đánh giá. Những đóng góp mới của luận án • Xây dựng đánh giá mới các hệ số đàn hồi vật liệu đẳng hướng N thành phần trong không gian d chiều tổng quát. Luận án đã sử dụng trường phân cực tổng quát chứa nhiều biến tự do hơn trường phân cực trước đây trong [1], nhờ vậy nhận được các đánh giá đơn giản và tốt hơn khi 3N ≥ . Phương pháp nhân tử Lagrange được áp dụng khi tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng chứa đựng các biến tự do chịu ràng buộc. Các đánh giá mới chứa đựng các thông tin về tính chất, tỷ lệ thể tích các thành phần cấu tạo vật liệu và thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đó. • Áp dụng các đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu có các thông tin bậc ba đã biết về hình học pha vật liệu: vật liệu tựa đối xứng, mô hình quả cầu lồng nhau nhiều pha (một phát hiện mới khá thú vị khi áp dụng tính toán cho bài toán vật liệu dạng quả cầu lồng nhau ba pha thì các đánh giá cho biên trên và biên dưới trùng nhau tức là tìm được nghiệm chính xác), mô hình quả cầu hỗn độn tách rời, mô hình quả cầu hỗn độn chồng lấn, các mô hình tuần hoàn trong không gian 2 chiều và 3 chiều. • Sử dụng chương trình tính toán số với ngôn ngữ lập trình MATLAB để thiết lập các véc tơ, ma trận trong tính toán 28 các đánh giá mới, tối ưu các tham số hình học của vật liệu cụ thể. Chương trình CAST3M được sử dụng để tính cho mô hình vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang cho kết quả so sánh phù hợp với các đánh giá. Xây dựng được bộ chương trình tính các đánh giá với cách sử dụng rất đơn giản có thể giúp cho các nhà kỹ thuật áp dụng tính toán thiết kế, dự đoán các mẫu vật liệu mới theo mong muốn. Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu • Xây dựng các trường khả dĩ sao cho các đánh giá tốt hơn nữa (biên trên và biên dưới càng hẹp hơn). • Từ các kết quả mà tác giả xây dựng có thể phát triển tiếp các đánh giá cho một số loại vật liệu phức tạp hơn như đối với lớp bài toán đa tinh thể hỗn độn. • Kết hợp các đánh giá với mô phỏng số PTHH và các phương pháp xấp xỉ để nghiên cứu các mô hình hình học pha phức tạp. Danh mục các công trình của tác giả 1. Pham, D.C., Vu, L.D., Nguyen, V.L. (2013), Bounds on the ranges of the conductive and elastic properties of randomly inhomogeneous materials. Philosophical Magazine 93, 2229-2249. 2. Pham Duc Chinh and Vu Lam Dong (2012), Three-point correlation bounds on the effective bulk modulus of isotropic multicomponent materials. Vietnam Journal of Mechanics 34, pp. 67-77. 3. Vu Lam Dong and Pham Duc Chinh (2013), Construction of bounds on the effective shear modulus of isotropic multicomponent materials. Vietnam Journal of Mechanics 35, 275-283. 4. Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính (2012). Đánh giá bậc 3 mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu đẳng hướng hai chiều nhiều thành phần. Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX Hà Nội, 8-9/12/2012, 303-312. 5. Vũ Lâm Đông, Phạm Đức Chính và Trần Bảo Việt (2013). Đánh giá biến phân và tính toán số PTHH cho các hệ số đàn hồi vật liệu tổ hợp đẳng hướng ngang. Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 7-9/11/2013. 6. Trần Bảo Việt, Vũ Lâm Đông và Phạm Đức Chính (2014). Mô phỏng số PTHH và đánh giá các hệ số đàn hồi vật liệu cốt sợi dọc trục đẳng hướng ngang. Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học Kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, 10/4/1979-10/4/2014,Tập 2, 443-448.