Tóm tắt Luận án Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, dò tìm đan rối và viễn tải lượng tử của một số trạng thái phi cổ điển mới

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN, DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 62 44 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HUẾ, 2016 1MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khoa học về thông tin lượng tử, một ngành khoa học mới được phát triển gần đây, đã cho thấy nhiều ưu điểm vượt trội so với khoa học về thông tin cổ điển ở mọi phương diện. Ví dụ tiêu biểu có thể kể đến là viễn tải lượng tử. Viễn tải lượng tử biến liên tục đã được thí nghiệm thành công, tuy nhiên độ tin cậy đạt được tương đối thấp mà nguyên nhân chính là do nguồn rối tạo được có độ rối không cao. Gần đây, trong nghiên cứu về các trạng thái phi cổ điển nổi lên một trạng thái đáng được quan tâm, đó là trạng thái thêm photon. Chỉ bằng cách tác dụng toán tử sinh photon vào trạng thái bất kỳ sẽ biến trạng thái đó thành phi cổ điển. Điều này gợi ra một hy vọng rằng việc tác dụng toán tử sinh photon lên một trạng thái phi cổ điển có thể làm tăng mức độ của các hiệu ứng phi cổ điển trong đó có hiệu ứng đan rối. Đó là lý do chúng tôi nghiên cứu về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Như những gì mong đợi, đề tài đã chỉ ra được rằng trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có độ phi cổ điển mạnh hơn và độ rối được tăng cường so với trạng thái nén, từ đó đề xuất được một phương pháp cải thiện độ rối: tác dụng một hoặc nhiều lần toán tử sinh photon vào cả hai mode của trạng thái có độ rối hữu hạn cho trước. 2. Mục tiêu nghiên cứu Chứng minh tác dụng tích cực của thêm photon vào trạng thái nén hai mode là tăng độ phi cổ điển và cải thiện độ rối của trạng thái. Đồng thời đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng thái nén dịch chuyển hai mode và khảo sát chi tiết mối liên hệ giữa độ tin cậy của trạng thái được tạo thành và xác suất thành công. 23. Nội dung nghiên cứu Nghiên cứu về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính hàm Wigner, đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để tạo trạng thái, khảo sát các tính chất phi cổ điển trong đó có đan rối và tính độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode. 4. Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp lượng tử hóa trường lần thứ hai và thống kê lượng tử để đưa ra các biểu thức giải tích rồi sử dụng phương pháp tính số để biện luận các kết quả thu được. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài đã tìm ra cách để tăng cường độ rối và cải thiện độ tin cậy viễn tải, từ đó góp phần phát triển lý thuyết thông tin lượng tử. Ngoài ra, kết quả của đề tài còn có vai trò định hướng, cung cấp thông tin cho vật lý thực nghiệm trong việc dò tìm các hiệu ứng phi cổ điển và tạo ra các trạng thái phi cổ điển. 6. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, danh mục các công trình của tác giả được sử dụng trong luận án, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương. Chương 1 trình bày tổng quan về các nghiên cứu liên quan đến đề tài. Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính hàm phân bố Wigner và hai sơ đồ khác nhau để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Chương 3 trình bày những nghiên cứu về các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm và đan rối. Chương 4 trình 3bày nghiên cứu về quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Chương 1 TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ 1.1 Trạng thái phi cổ điển 1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển Trạng thái kết hợp, ký hiệu |α〉, là trạng thái được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển Dˆ(α) = exp(αaˆ† − α∗aˆ) lên trạng thái chân không |α〉 = Dˆ(α)|0〉, (1.4) trong đó α = |α|eiϕa. Trạng thái kết hợp được xem là ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển để từ đó đưa ra định nghĩa về các trạng thái phi cổ điển. 1.1.2 Trạng thái nén Trong trường hợp hai mode, trạng thái nén được tạo thành bởi tác dụng của toán tử nén hai mode Sˆab(s) = exp(s ∗aˆbˆ− saˆ†bˆ†) trong đó s = reiθ. Ví dụ, trạng thái chân không nén có dạng |s〉ab = Sˆab(s)|00〉ab = 1 cosh r ∞∑ n=0 (− tanh r exp(iθ))n|n〉a|n〉b. (1.17) Đây là trạng thái đan rối với độ rối hoàn hảo khi tham số nén r bằng ∞. Mô phỏng thực nghiệm của toán tử nén hai mode là bộ chuyển đổi tham số không suy biến. 41.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa bởi |α,m〉 = aˆ †m|α〉√〈α|aˆmaˆ†m|α〉. (1.18) Đây là trạng thái phi cổ điển thể hiện đồng thời hiệu ứng nén và sub- Poisson. Hơn nữa, cả hai hiệu ứng này sẽ tăng về cường độ nếu số photon được thêm vào nhiều hơn. 1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối 1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối Với trạng thái hai thành phần thuần, độ rối được xác định thông qua việc khảo sát entropy von Neumann. Trong trường hợp không tìm được entropy von Neumann, độ rối có thể được so sánh qua một đại lượng có tên gọi entropy tuyến tính được định nghĩa bởi L(ρˆA) = 1− TrAρˆ2A, (1.24) trong đó ρˆA = TrBρˆAB là một ma trận mật độ rút gọn của ρˆAB. Một trạng thái sẽ rối nếu L > 0 và giới hạn trên L = 1 ứng với trạng thái đan rối hoàn hảo. 1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel Trên cơ sở tiêu chuẩn chuyển vị riêng, Shchukin và Vogel đã đưa ra một tiêu chuẩn đan rối khá mạnh. Theo tiêu chuẩn này, một trạng thái được gọi là rối nếu tồn tại một định thức con âm bất kỳ trong DN = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 〈aˆ〉 〈aˆ†〉 〈bˆ†〉 ... 〈aˆ†〉 〈aˆ†aˆ〉 〈aˆ†2〉 〈aˆ†bˆ†〉 ... 〈aˆ〉 〈aˆ2〉 〈aˆaˆ†〉 〈aˆbˆ†〉 ... 〈bˆ〉 〈aˆbˆ〉 〈aˆ†bˆ〉 〈bˆ†bˆ〉 ... ... ... ... ... ... ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (1.36) 51.3 Viễn tải lượng tử 1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn Trong quá trình viễn tải lượng tử biến gián đoạn, thông tin cần gửi đi được mã hóa trong trạng thái |ψin〉c = α|0〉c + β|1〉c. Trước khi quá trình viễn tải được thực hiện, người gửi A và người nhận B chia sẻ với nhau trạng thái đan rối 2 qubit |ψE〉ab = 1√2(|0〉a|1〉b− |1〉a|0〉b) trong đó A sở hữu qubit a còn qubit b được gửi đến B. Tại trạm gửi, A tiến hành phép đo Bell trên qubit a và qubit c. Sau phép đo, qubit b bị tách ra và trạng thái của nó sụp đổ về một trong bốn trạng thái −α|0〉b − β|1〉b, −α|0〉b + β|1〉b, α|1〉b + β|0〉b, hoặc α|1〉b − β|0〉b với xác suất bằng nhau tùy thuộc vào kết quả của phép đo. Sau đó, A gửi kết quả của phép đo đến B qua một kênh thông tin cổ điển thông thường chỉ với hai bit. Với kết quả này, B biết chính xác trạng thái đang sở hữu là trạng thái nào trong 4 khả năng trên, từ đó tác dụng lên nó một toán tử Pauli thích hợp để khôi phục lại trạng thái |ψin〉. 1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục Trong viễn tải trạng thái với biến liên tục, phép đo Bell là phép đo đồng thời hiệu tọa độ và tổng xung lượng giữa trạng thái cần chuyển |ψin〉c và mode a của trạng thái đan rối biến liên tục |ψCE〉ab. Trong biểu diễn Fock, trạng thái riêng của phép đo này ứng với kết quả đo η có dạng |M(η)〉ac = 1√ pi ∞∑ i=0 Dˆc(η) |i, i〉ac , (1.55) trong đó η là một số phức. Toán tử unita để khôi phục trạng thái cần viễn tải trong trường hợp này là toán tử dịch chuyển Dˆ(η). Trạng thái cuối ở trạm nhận của quá trình viễn tải có dạng |ψout〉 = 1√ P (η) Tˆ (η)|ψin〉, (1.60) 6trong đó P (η) là xác suất của phép đo và Tˆ (η) = Dˆb(η) ac〈M(η)|ψCE〉ab được gọi là toán tử viễn tải. Độ chính xác của quá trình viễn tải thể hiện ở độ tin cậy trung bình Fav = ∫ d2ηP (η)|〈ψin|ψout〉|2 = ∫ d2η|〈ψin|Tˆ (η)|ψin〉|2. (1.62) Một quá trình viễn tải được gọi là hoàn hảo nếu Fav = 1. Chương 2 TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON HAI MODE 2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được định nghĩa bởi |α, β; s〉ab = Dˆab(α, β)Sˆab(s)|0, 0〉ab, (2.4) trong đó s = reiθ và α = |α|eiϕa, β = |β|eiϕb. Tác dụng các toán tử sinh photon vào cả hai mode tạo thành trạng thái mới |m,n;α, β; s〉ab = Nmn(α, β, s)aˆ†mbˆ†n|α, β; s〉ab, (2.5) và gọi là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, trong đó Nmn(α, β, s) = 1√ ab〈α, β; s|bˆnaˆmaˆ†mbˆ†n|α, β; s〉ab . (2.6) Đặt Cmn(α, β, s) = ab〈α, β; s|bˆnaˆmaˆ†mbˆ†n|α, β; s〉ab, ta tìm được Cmn(α, β, s) = m∑ i=0 n∑ p=0 min[i,p]∑ q=0 m!2n!2 (m− i)!(i− q)!(n− p)!(p− q)!q! × ∑ ∆ (cosh r)2(i+n−p)−∆(− sinh r)2q−∆ (m− i + ∆)!(p− q + ∆)!(q −∆)! × |α|2m−2i+∆|β|2p−2q+∆ei∆ϕ, (2.18) 7Hình 2.1: Sự phụ thuộc của hàm G(|ξ|) vào |ξ| với {m,n} = {3, 0} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt). trong đó ϕ = θ− ϕa− ϕb và ∆ trong tổng ∑ ∆ chạy từ ∆ = max[i− m, q − p] đến ∆ = q. 2.2 Hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode Chúng tôi chứng minh trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có độ phi cổ điển mạnh hơn trạng thái nén thông qua việc chứng tỏ trạng thái này có hàm Wigner âm. Biểu thức giải tích thu được của hàm Wigner đối với trạng thái này có dạng W (za, zb) = 4N 2 mn (α, β, s)m!n!(− cosh2 r)m(− sinh2 r)n × exp(2|za|2 + 2|zb|2 − |α|2 − |β|2 − |ξ|2) × min[m,n]∑ i min[m,n−i]∑ j m!(−|ξ|2)j i!j!(m− i)!L i+j n−i−j(|ξ|2)Ljm−j(|ξ|2) × exp[−(α∗β∗eiθ + αβe−iθ) tanh r], (2.34) trong đó Lkm(x) là đa thức Laguerre liên kết. Kết quả (2.34) nói lên rằng hàm Wigner W (za, zb) có thể âm khi G(|ξ|) ≡ (−1)m+n × min[m,n]∑ i min[m,n−i]∑ j m!(−|ξ|2)j i!j!(m− i)!L i+j n−i−j(|ξ|2)Ljm−j(|ξ|2) < 0. (2.36) 8Hình 2.2: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng thiết bị tách chùm. Dễ dàng nhận thấy trên hình 2.1 rằng hàm G(|ξ|) có thể nhận giá trị âm và tính âm của hàm Wigner mạnh hơn khi thêm photon vào đồng thời cả hai mode. 2.3 Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode 2.3.1 Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng thiết bị tách chùm được minh họa trên hình 2.2. Hệ thống gồm DC ký hiệu cho bộ chuyển đổi tham số kết hợp với các bộ dịch chuyển Da(α) và Db(β) tạo ra trạng thái |α, β; s〉ab. Để mô phỏng tác dụng của aˆ†m, mode a của trạng thái |α, β; s〉ab và trạng thái |m〉a′ được đưa vào thiết bị tách chùm BS1 rồi đặt máy đếm photon PD1 để đếm photon ra của mode a′. Tương tự cho mode b. Khi không có photon nào đi vào cả PD1 lẫn PD2, thì trạng thái đầu ra ở hai mode a và b là |Ψ′BS〉ab = rm+n tm+n √ m!n! taˆ †aˆaˆ†mtbˆ †bˆbˆ†n |α, β; s〉ab (2.44) 9Hình 2.3: Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t của các thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi α = β = s = 0.1 với {m,n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm). với xác suất thành công PBS = (1− t2)m+n m!n!t2(m+n+2) ∞∑ j=0 ∞∑ j′=0 (1− t−2)j+j′ j!j′! Cm+j,n+j′ (α, β, s) (2.47) và độ tin cậy so với trạng thái mong muốn là FBS = ∣∣∣∣∑∞j=0∑∞j′=0 (1−t−1)j+j′j!j′! Cm+j,n+j′ (α, β, s)∣∣∣∣2 Cm,n (α, β, s) ∑∞ j=0 ∑∞ j′=0 (1−t−2)j+j′ j!j′! Cm+j,n+j′ (α, β, s) . (2.49) Theo (2.44), hiệu ứng của BS1 và BS2 cùng với điều kiện không có photon nào được phát hiện trong cả PD1 và PD2 tương đương với tác dụng của ta †aa†mtb †bb†n lên trạng thái |α, β; s〉ab. Do hệ số truyền qua của các thiết bị tách chùm t < 1 nên những gì mà chúng ta có thể mong đợi chỉ là một trạng thái gần giống với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode lý thuyết khi t dần đến 1. Cụ thể hơn, hình vẽ 2.3 thể hiện rằng mặc dù độ tin cậy không bao giờ bằng 1 nhưng nó luôn tăng theo t và tiệm cận đến 1 khi t→ 1. Tuy nhiên, cái giá phải trả là sự giảm của xác suất thành công khi tăng t. Hơn nữa, cả độ tin cậy và xác suất thành công đều giảm khi tăng m hoặc/và n thể hiện thêm càng nhiều photon càng gặp nhiều thách thức, ngay cả 10 Hình 2.5: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến. khi nếu thành công thì cái giá phải trả là giảm độ tin cậy. 2.3.2 Sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến Sơ đồ minh họa cho việc sử dụng bộ chuyển đổi tham số để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode được vẽ trong hình 2.5. Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được tạo ra tương tự như trong sơ đồ trước bởi sự kết hợp giữa một bộ chuyển đổi tham số không suy biến DC1 với các bộ dịch chuyển Da(α) và Db(β). Tiếp theo, mode a của trạng thái |α, β; s〉 được đưa vào DC2, cùng lúc đó mode b được đưa vào DC3. Sau DC2 và DC3 ta cũng đặt các máy đếm photon PD1 và PD2. Khi cùng lúc PD1 đếm được m photon và PD2 đếm được n photon, trạng thái nhận được ở hai đầu ra a và b là |Ψ′DC〉ab = (− tanh z)m+n (cosh z)2 √ m!n! aˆ†m(cosh z)−aˆ †aˆbˆ†n(cosh z)−bˆ †bˆ |α, β; s〉ab (2.57) với xác suất thành công PDC = (sinh z)2(m+n) m!n! ∞∑ j,j′=0 (− sinh2 z)j+j′ j!j′! Cm+j,n+j′(α, β, s) (2.58) và độ tin cậy so với trạng thái mong muốn 11 Hình 2.6: Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 và DC3 khi α = β = s = 0.1 với {m,n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm). FDC = ∣∣∣∣∑∞j,j′=0 (1−cosh z)j+j′j!j′! Cm+j,n+j′(α, β, s)∣∣∣∣2 Cmn(α, β, s) ∑∞ j,j′=0 (− sinh2 z)j+j′ j!j′! Cm+j,n+j′(α, β, s) . (2.60) Như thể hiện trong phương trình (2.57), hiệu ứng của DC2 (DC3) kết hợp với phép đom (n) photon tại các máy đếm photon PD1 (PD2) tương ứng với tác dụng của aˆ†m(cosh z)−aˆ †aˆ (bˆ†n(cosh z)−bˆ †bˆ) lên trạng thái |α, β; s〉ab. Rõ ràng các toán tử này càng gần với aˆ†m (bˆ†n) khi z càng nhỏ. Đó là lý do vì sao trong hình 2.6 độ tin cậy F ≡ FDC giảm khi tăng z. Khi z → 0 độ tin cậy sẽ tiệm cận nhưng không bao giờ đạt giá trị 1 vì nếu z = 0 đồng nghĩa với không có gì xảy ra. Tương tự như sơ đồ trước, việc tăng độ tin cậy sẽ đi kèm với sự giảm xác suất thành công và cả độ tin cậy cùng với xác suất thành công đều giảm khi tăng m và/hoặc n. Chương 3 CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON HAI MODE 12 Hình 3.4: Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số dịch chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 20); (b) |β| (khi cố định |α| = 5) với ϕ1 = ϕ2 = 0, r = 0.5 cho {m,n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm). 3.1 Tính chất nén tổng Một trạng thái hai mode được gọi là nén tổng nếu tồn tại một giá trị nào đó của φ sao cho S ≡ 2 [ Re(e−2iφ〈aˆ2bˆ2〉)− 2Re2(e−iφ〈aˆbˆ〉) + 〈aˆbˆbˆ†aˆ†〉] 〈aˆaˆ†〉 + 〈bˆbˆ†〉 − 1 − 2 < 0, (3.9) trong đó Re(x) là phần thực của số phức x và S được gọi là hệ số nén tổng. Các trung bình 〈...〉 trong (3.9) có dạng Mlktv = 〈aˆlbˆkbˆ†taˆ†v〉. Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta tìm được Mlktv = N 2 mn(α, β, s) m+l∑ i=0 n+k∑ p=max[0,k−t] min[i,p]∑ q=0 (m + l)!(m + v)! (m + l − i)!(i− q)! × ∑ ∆ (n + k)!(n + t)!(cosh r)2(i+n+k−p)−∆(− sinh r)2q−∆ei∆θ (m + v − i + ∆)!(p + t− k − q + ∆)!(q −∆)!(p− q)!q! × |ηa| 2m−2i+l+v+∆|ηb|2p−2q+t−k+∆ei(l−v−∆)ϕaei(k−t−∆)ϕb (n + k − p)! , (3.10) trong đó ∆ trong tổng ∑ ∆ chạy từ ∆ = max[i−m− v, q− p− t+ k] đến ∆ = q. Khi khảo sát sự phụ thuộc của S vào các góc, chúng tôi nhận thấy trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode thể hiện nén tổng 13 Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số nén r khi ϕ1 = ϕ2 = 0, |α| = 2.5, |β| = 5 cho {m,n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm). mạnh nhất khi xảy ra đồng thời hai điều kiện ϕ1 ≡ φ − θ = k1pi và ϕ2 ≡ φ − ϕa − ϕb = k2pi với k1, k2 là những số nguyên. Về sự phụ thuộc vào tham số dịch chuyển, hình 3.4a cho thấy S < 0 trong một khoảng giá trị nhất định của |α|, và khoảng giá trị này gần như độc lập với m trong khi đồ thị của S theo |β| trong hình 3.4b lại khá nhạy với m: m càng tăng thì khoảng giá trị để điều kiện nén xảy ra càng được mở rộng và hệ số nén càng âm. Từ hình 3.5 ta thấy rằng hiệu ứng nén tổng chỉ xảy ra với tham số nén r tương đối nhỏ. Lúc đầu khi tăng r hiệu ứng nén tổng cũng mạnh lên và đạt cực đại tại giá trị r1, sau đó nếu tiếp tục tăng r thì hiệu ứng này giảm dần và biến mất ở giá trị r2. Thật thú vị là cả r1 và r2 đều giảm khi tăng m. Vậy, việc thêm photon làm tăng khả năng xảy ra cũng như tăng mức độ thể hiện của hiệu ứng nén tổng. 3.2 Tính chất nén hiệu Hiệu ứng nén hiệu xuất hiện trong trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode nếu D ≡ 2Re ( e2iφM2020 )− 2Re2 (eiφM1010) + 2M1111 −M1001 −M0110 |M1001 −M0110| −1 (3.18) 14 Hình 3.7: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số dịch chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 10); (b) |β| (khi cố định |α| = 2) với γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 cho {m,n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm). Hình 3.8: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số nén r khi γ1 = γ2 = 0, |α| = 2 và |β| = 10 cho {m,n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm). âm với φ khả dĩ nào đó. Với hiệu ứng nén hiệu thì điều kiện của các góc để hiệu ứng thể hiện mạnh nhất là γ1 ≡ φ − θ + 2ϕa = 2k1pi và γ2 ≡ φ+ϕa−ϕb = 2k2pi với k1, k2 là các số nguyên. Về vai trò của |α| và |β| thì mặc dù trong cả hai trường hợp D càng gần với −1 khi tăng m, nhưng vị trí cực tiểu của nó dịch sang trái trong hình 3.7a trong khi trong hình 3.7b vị trí này dịch sang phải khi m tăng. Và tương tự như nén tổng, khoảng giá trị để thỏa mãn điều kiện nén hiệu của |α| là khoảng đóng và gần như nhau với mọi m, trong khi khoảng giá trị này của |β| là khoảng mở và phụ thuộc vào việc thêm nhiều hay ít photon. Hình 3.8 vẽ đồ thị của D theo tham số nén r khi các tham số khác được giữ không đổi. Dễ dàng nhận thấy hiệu ứng nén hiệu chỉ xảy ra 15 trong giới hạn khá nhỏ của tham số nén và độ nén hiệu càng tăng khi tăng m. Vậy, đối với hiệu ứng nén hiệu, việc thêm photon cũng mang lại tác dụng tích cực như đối với hiệu ứng nén tổng. 3.3 Tính chất phản kết chùm Ánh sáng phản kết chùm có vai trò quan trọng hàng đầu trong các quá trình đòi hỏi nguồn photon đơn chẳng hạn như mật mã lượng tử. Điều kiện phản kết chùm của một trường đa mode được định nghĩa bởi Rlk ≡ 〈Nˆ (l+1) a Nˆ (k−1) b 〉 + 〈Nˆ (k−1)a Nˆ (l+1)b 〉 〈Nˆ (l)a Nˆ (k)b 〉 + 〈Nˆ (k)a Nˆ (l)b 〉 − 1 < 0, (3.25) trong đó Rlk được gọi là hệ số phản kết chùm bậc {l, k} với điều kiện l ≥ k > 1 và Nˆ (k)x = xˆ†kxˆk với x = a, b. Tính toán cho trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, chúng tôi tìm được 〈Nˆ (l)a Nˆ (k)b 〉 = l∑ i=0 k∑ j=0 (−1)i+jl!2k!2 i!j!(l − i)!2(k − j)!2Cm+l−i,n+k−j(α, β, s), (3.26) trong đó các hệ số Cm+l−i,n+k−j(α, β, s) được định nghĩa trong (2.18). Hình 3.10 (vẽ R11 và R42 theo r) cho thấy hiệu ứng phản kết chùm giảm cường độ khi tăng m, một đặc điểm trái ngược với các hiệu ứng nén. Rất may, nhược điểm này có thể khắc phục bằng cách thêm đều photon vào cả hai mode của trạng thái, như được thể hiện trên hình 3.13. Dễ dàng nhận thấy rằng hiệu ứng phản kết chùm sẽ mạnh nhất trong trường hợp đối xứng m = n = 3. Sự phụ thuộc của hiệu ứng phản kết chùm vào bậc {l, k} được minh họa trên hình 3.11. Khi k không đổi và bằng 3, độ phản kết chùm tăng theo l (hình 3.11a), trong khi ngược lại nếu giữ l cố định thì độ phản kết chùm giảm khi tăng k (hình 3.11b). Để ý rằng nếu ta không quan tâm đến vai trò của l và k 16 Hình 3.10: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R42 vào tham số nén r khi |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = pi cho {m,n} = {2, 0} (đường nét liền), {4, 0} (đường nét đứt) và {6, 0} (đường gạch - chấm). Hình 3.11: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm Rlk vào tham số nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = pi cho m = 1, n = 0 khi (a) k = 3 và l thay đổi từ 3 đến 6, (b) l = 4 và k thay đổi từ 1 đến 4. Hình 3.13: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R22 vào tham số nén r với |α| = |β| = 0.2 và ϕ = pi cho {m,n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 4} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch - chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm). 17 Hình 3.15: Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào tham số nén r với |α| = |β| = 0.1, ϕa = ϕb = 0 và θ = pi cho {m,n} = {0, 0} (đường nét liền), {1, 0} (đường nét đứt), {1, 1} (đường gạch - chấm), {2, 1} (đường gạch - hai chấm) và {2, 2} (đường chấm - chấm). một cách riêng lẻ mà xét hiệu của chúng, l − k, thì cả hai hình 3.11a và 3.11b đều có chung một đặc điểm là độ phản kết chùm tăng theo hiệu l − k. 3.4 Tính chất đan rối Trước hết, tính chất đan rối của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sẽ được xác nhận bằng tiêu chuẩn Shchukin-Vogel thông qua việc khảo sát một định thức con trong (1.36) có dạng E ≡ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 〈aˆ〉 〈bˆ†〉 〈aˆ†〉 〈aˆ†aˆ〉 〈aˆ†bˆ†〉 〈bˆ〉 〈aˆbˆ〉 〈bˆ†bˆ〉 ∣∣∣∣∣∣∣∣ . (3.28) Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta thay các yếu tố ma trận trong (3.28) bởi các số hạng Mlktv tương ứng. Những gì thể hiện trên hình 3.15 cho ta thấy trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode là trạng thái đan rối (E < 0). Hơn nữa hệ số đan rối E càng âm khi m càng tăng. Điều đó nói lên rằng độ rối của trạng thái có thể tăng nhờ vào việc thêm photon. Để chắc chắn cho nhận xét này, ta tiếp tục xét tiêu chuẩn entropy tuyến tính. Chúng tôi tìm được entropy tuyến tính của ma trận mật độ rút 18 Hình 3.18: Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính L của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với θ = pi và α = β = 0.1 cho {m,n} = {0, 0} (đường nét liền), {1, 0} (đường nét đứt), {1, 1} (đường gạch - chấm), {2, 1} (đường gạch - hai chấm) và {2, 2} (đường chấm - chấm). gọn ρˆa của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có dạng như sau L(ρˆa) = 1− N 4 mn(α, β, s) cosh4 r ∞∑ k,k′=0 ∞∑ l,l′=0 ei(k+k ′l′−l)pi(− tanh r)k+k′+l+l′ × Cm(k′, l′, α)Cm(l, k, α)Cn(k, k′, β)Cn(l′, l, β), (3.42) trong đó Cn(k, k ′, β) = n∑ i,i′=0 ( n i )( n i′ ) β2n−i−i ′ √ (k + i)!2 k!k′! δk′+i′,k+i (3.41) khi θ = pi và α, β thực. Trên hình 3.18, L càng tăng (thể hiện độ rối tăng) khi số photon thêm vào càng nhiều. Kết hợp với những gì quan sát trên hình 3.15, đến đây ta hoàn toàn có thể khẳng định rằng thêm photon cải thiện độ rối của trạng thái nén hai mode. Thêm photon vào cả hai mode sẽ hiệu quả hơn so với thêm vào chỉ một mode và số photon thêm vào càng nhiều thì độ rối càng tăng. 19 Chương 4 VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ SỬ DỤNG NGUỒN RỐI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON HAI MODE Áp dụng mô hình viễn tải lượng tử trong biểu diễn Fock cho nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode để viễn tải trạng thái kết hợp, chúng tôi tìm được biểu thức của độ tin cậy trung bình Fav = N 2mn(s, 0, 0) cosh2 r ∞∑ k=0 ∞∑ k′=0 (tanh r)k+k ′ (n + m + k + k′)! k!k′!2m+n+k+k′+1 , (4.13) trong đó cả α và β được cho bằng 0 và chọn θ = pi. Nếu trạng thái cần viễn tải là trạng thái Fock, |ψin〉 = |N〉, thì độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải khi cho α = β = 0, θ = pi có dạng Fav = N 2mn(s) cosh2 r ∞∑ k=0 ∞∑ k′=0 min[m+k,N ]∑ p=0 min[m+k′,N ]∑ p′=0 min[n+k,N ]∑ q=0 min[n+k′,N ]∑ q′=0 (N !)2 k!k′! × (m + k ′)!(m + k)!(m + n + k + k′ + 2N − p− p′ − q − q′)! (m + k − p)!(m + k′ − p′)!(n + k − q)!(n + k′ − q′)!p!p′!q!q′! × (n + k)!(n + k ′)!(−1)p+p′+q+q′(tanh r)k+k′ 2m+n+k+k′+2N+1−p−p′−q−q′(N − p)!(N − p′)!(N − q)!(N − q′)!. (4.14) Chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r cho hai trường hợp cụ thể của trạng thái viễn tải là trạng thái kết hợp (hình 4.1) và trạng thái Fock (hình 4.2) dựa trên các phương trình (4.13) và (4.14), một cách tương ứng. Cả hai hình vẽ 4.1 và 4.2 đều cho thấy việc thêm photon vào cả hai mode sẽ hiệu quả hơn chỉ thêm photon vào một mode và càng tăng 20 Hình 4.1: Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá trình viễn tải trạng thái kết hợp |γ〉 sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với θ = pi và α = β = 0 cho {m,n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 2} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch - chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm). Hình 4.2: Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá trình viễn tải trạng thái Fock |1〉 sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với θ = pi và α = β = 0 cho {m,n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 2} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch - chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm). Hình 4.4: Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá trình viễn tải trạng thái Fock |2〉 sử dụng nguồn rối nén hai mode (đường nét liền) và nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode cho {m,n} = {1, 1} (đường nét đứt), {2, 2} (đường gạch - chấm) và {3, 3} (đường gạch - hai chấm) vào tham số nén r với θ = pi và α = β = 0. 21 số lượng photon thêm vào thì độ tin cậy viễn tải càng được cải thiện. Đây là một kết quả được mong đợi. Để so sánh độ tin cậy trung bình của viễn tải giữa hai nguồn rối nén không và có thêm photon, chúng tôi vẽ trên hình 4.4 độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải trạng thái Fock cho trường hợp nguồn rối là trạng thái nén hai mode (đường nét liền) và trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode (các đường còn lại). Rõ ràng, cả ba đường cong biểu diễn Fav với nguồn rối thêm photon đều nằm cao hơn đường nét liền ứng với nguồn rối nén hai mode thông thường ở khoảng giá trị nhỏ của r. KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode với mục tiêu chứng minh rằng thêm photon vào trạng thái nén hai mode làm tăng độ phi cổ điển và cải thiện độ rối của trạng thái, đồng thời đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng thái nén dịch chuyển hai mode. Các kết quả chính của luận án có thể được tóm tắt như sau: Thứ nhất, chúng tôi đã tính được biểu thức giải tích tường minh của hàm phân bố Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Hàm phân bố tìm được là cơ sở cho các nghiên cứu về tính chất thống kê của trạng thái. Bên cạnh đó, kết quả tính số cho thấy độ phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode mạnh hơn so với trạng thái ban đầu và gợi ý cho những nghiên cứu cụ thể hơn về tính chất phi cổ điển của trạng thái này, trong đó có tính chất đan rối. Thứ hai, chúng tôi đã đưa ra và giải thích tường minh hai sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Kết quả tính số cho thấy với cả hai sơ đồ, độ tin cậy đều có thể dần đến giá trị cực 22 đại là 1 khi hệ số truyền qua t của thiết bị tách chùm cao (đối với sơ đồ dùng thiết bị tách chùm) hay khi độ nén z của bộ chuyển đổi tham số nhỏ (đối với sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số). Tuy nhiên khi độ tin cậy F tăng thì xác suất thành công tương ứng lại giảm. Do đó, các kết quả tính số của hai sơ đồ này có ý nghĩa trong việc định hướng cho quá trình thực nghiệm khi lựa chọn tham số của thiết bị một cách phù hợp để thu được một trạng thái không quá khác so với trạng thái mong muốn nhưng phải đảm bảo không phải đợi quá lâu để nhận được trạng thái này. Thứ ba, qua việc khảo sát các hiệu ứng phi cổ điển, chúng tôi chứng minh được trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode thể hiện nhiều hiệu ứng quan trọng như nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm và đặc biệt là hiệu ứng đan rối. Các kết quả tính số cho ta vùng giới hạn của các tham số trạng thái để các hiệu ứng này tồn tại cũng như điều kiện về pha để chúng thể hiện mạnh nhất. Ngoại trừ hiệu ứng phản kết chùm, việc thêm photon có ảnh hưởng tích cực đến tất cả các hiệu ứng còn lại trong đó có hiệu ứng đan rối. Với hiệu ứng phản kết chùm thì thêm photon gây ra tác dụng ngược lại, tuy nhiên ảnh hưởng này có thể giảm thiểu bằng cách thêm photon vào cả hai mode với lượng photon bằng nhau. Trong tất cả các hiệu ứng kể trên, tác dụng tích cực của thêm photon lên hiệu ứng đan rối là rõ ràng nhất và mạnh nhất. Trên cơ sở này, chúng tôi đề xuất một phương pháp có ý nghĩa thực tiễn để cải thiện độ rối, đó là sử dụng kỹ thuật thêm photon. Cuối cùng chúng tôi chứng tỏ được rằng thêm photon vào trạng thái nén dịch chuyển sẽ cải thiện độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử khi sử dụng trạng thái thêm photon này làm nguồn rối. Mức độ cải thiện của độ tin cậy viễn tải được thể hiện ở nhiều khía 23 cạnh khác nhau của việc thêm photon, thêm photon sẽ hiệu quả hơn không thêm, thêm photon vào cả hai mode cho ảnh hưởng lớn hơn so với thêm vào chỉ một mode và số lượng photon thêm vào càng nhiều thì độ tin cậy càng tăng. Những kết quả này góp phần quan trọng vào nỗ lực tìm kiếm các trạng thái phi cổ điển mạnh với độ rối được cải thiện để có thể áp dụng cho các quá trình xử lý thông tin lượng tử trên thực tế. Để đơn giản, đề tài đã giới hạn các khảo sát ở một số gần đúng nhất định. Thứ nhất, trong quá trình phân tích các sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, chúng tôi đã lý tưởng hóa hoạt động của máy đếm photon. Sẽ thiết thực hơn nếu nghiên cứu này được tiếp tục mở rộng với máy đếm photon có hiệu suất hữu hạn nào đó. Thứ hai, khi khảo sát quá trình viễn tải lượng tử, chúng tôi đã tính toán dựa trên trạng thái nén dịch chuyển thêm photon lý thuyết trong khi trạng thái này trên thực tế chỉ là trạng thái gần đúng. Để gần với thực tiễn hơn thì vấn đề này cũng cần được nghiên cứu hơn nữa bằng việc kết nối sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon với mô hình viễn tải. Bên cạnh đó, đề tài cũng có thể được tiếp tục mở rộng theo một hướng khác khi xem xét đến các kỹ thuật phức tạp hơn chẳng hạn như tổ hợp của cả thêm và bớt photon. DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ Đà SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 1. Truong Minh Duc and Nguyen Thi Xuan Hoai (2010), Entanglement criterion for bipartite quantum states: applications, Communications in Physics, 20(3), pp. 233 - 240. 2. Truong Minh Duc, Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An 24 (2014), Sum squeezing, difference squeezing, higher-order antibunch- ing and entanglement of two-mode photon-added displaced squeezed states, International Journal of Theoretical Physics, 53, pp. 899 - 910. 3. Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An (2014), Generation of two-mode photon-added displaced squeezed states, Advances in Nat- ural Sciences: Nanoscience and Nanotechnology, 5, pp. 032015-1 - 032015-6. 4. Nguyen Thi Xuan Hoai and Truong Minh Duc (2015), Nonclassical properties and teleportation in the two-mode photon-added displaced squeezed states, International Journal of Modern Physics B (đã có bản online DOI: 10.1142/S0217979216500326). Công trình được hoàn thành tại: - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế Người hướng dẫn khoa học: - Hướng dẫn 1: PGS.TS. Nguyễn Bá Ân - Hướng dẫn 2: PGS.TS. Trương Minh Đức Phản biện 1: ......................................................................................... .............................................................................................................. Phản biện 2: ......................................................................................... .............................................................................................................. Phản biện 3: ......................................................................................... .............................................................................................................. Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế họp tại: ................................................................................................. .............................................................................................................. Vào hồi ............. ngày ......... tháng .......... năm .................................. Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: ................................................... .............................................................................................................. ..............................................................................................................