Tóm tắt Luận án Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

n(C) có chung ảnh ngược (tính cả bội) của 3n+ 2 siêu phẳng thì chúng trùng nhau. Năm 1983, L. Smiley chỉ ra rằng nếu hai ánh xạ phân hình f và g có chung ảnh ngược không kể bội của 3n+2 siêu phẳng, giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai và hai ánh xạ này trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng này thì f = g. Các kết quả trên có thể xem là những kết quả đầu tiên và đẹp đẽ nhất trong việc mở rộng “Định lý 4 điểm và 5 điểm” của R. Nevanlinna. Trong những năm gần đây, G. Dethloff, T. V. Tấn, Đ. Đ. Thái, S. Đ. Quang, Z. Chen, Q. Yan và nhiều tác giả khác đã nhận được những kết quả sâu sắc hơn về tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). Tuy nhiên, vấn đề trên hầu như chỉ có thể được xem xét trong trường hợp “giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai ”. Đây là một điều kiện không được tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong các chứng minh của các tác giả trên. Do vậy, việc tổng quát điều kiện trên hoặc đưa ra một điều kiện yếu hơn trong việc nghiên cứu vấn đề này là một câu hỏi mở. Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau như G. Dethloff, S. Đ. Quang và T. V. Tấn, Z. H. Wang và Z. H. Tu và một số tác giả khác. Tuy nhiên, những tác giả này chỉ xem xét vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với các ánh xạ không suy biến tuyến tính. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là: Liệu có hay không một định lý về vấn đề hữu hạn khi ánh xạ f có thể suy biến? 1 2Đồng thời, trong những năm qua, bằng việc áp dụng Định lý cơ bản thứ hai trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình, như S. Đ. Quang và T.V. Tấn, Z. H. Tu và P. Li. Các tiêu chuẩn này cho phép kiểm tra được tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình trên một miền trong Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất 2n + 1 siêu phẳng di động. Dựa vào mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tính thác triển được qua một tập giải tích có đối chiều 1, T. V. Tấn và N. T. T. Hằng, Z. H. Tu và nhiều tác giả khác đã sử dụng các tiêu chuẩn trên để nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ chỉnh hình. Tuy nhiên, trong đó các tác giả đều yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần ít nhất là 2n + 1 và các kỹ thuật mà họ sử dụng không thể áp dụng cho trường hợp số siêu phẳng ít hơn. Nguyên do là phần bù của hợp một số siêu mặt trong giao một số siêu mặt trong trường hợp đó không còn tính hyperbolic nữa. Chúng tôi đặt vấn đề sẽ nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ như trên, nhưng với số siêu phẳng ít hơn. Để làm được điều này, chúng tôi sử dụng một phương pháp hoàn toàn khác, đó là sử dụng mối liên hệ giữa độ tăng của hàm đặc trưng của đường cong chỉnh hình trên đĩa thủng với tính kì dị bỏ được tại tâm của đĩa. Do vậy, chúng tôi sẽ đi tìm cách thiết lập được các Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào không gian xạ ảnh để nghiên cứu sự thác triển của các đường cong như vậy. Thông qua các kết quả đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu về tính thác triển của ánh xạ phân hình từ một miền bất kỳ qua một tập giải tích có đối chiều 1. Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu sắc hơn các tính chất của ánh xạ phân hình vào Pn(C) dưới điều kiện về ảnh ngược của một họ các siêu phẳng cho các trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng có đối chiều ít nhất là 2 hoặc thay điều kiện ánh xạ không suy biến tuyến tính bởi ánh xạ có thể suy biến với bài toán duy nhất và hữu hạn; 2) Xét trường hợp số siêu phẳng di động ít hơn 2n + 1 đối với bài toán về sự thác triển của ánh xạ phân hình. 2. Tính cấp thiết của đề tài Các tác giả trước đây đều chứng minh định lý duy nhất hay hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với điều kiện “giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”. Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu bằng 2n + 1 là điều kiện then chốt trong chứng minh của các tác giả trước về vấn đề thác triển của ánh xạ phân hình. Đây là một điều kiện hạn chế. Do đó, việc đưa ra định lý duy nhất 3và hữu hạn với điều kiện tổng quát về số chiều của giao nghịch ảnh và tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n+1 là hết sức cần thiết. 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) đối với các trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng di động và có bội bị chặn. Ngoài ra, luận án còn chứng minh định lý thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược không tính bội đối với các siêu phẳng cố định hoặc siêu phẳng di động và vấn đề thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng. Mục đích của luận án là chứng minh các định lý hữu hạn, duy nhất và sự thác triển của ánh xạ phân hình với các điều kiện tổng quát, yếu hơn các nghiên cứu trước đó về các vấn đề này. Hơn nữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các kỹ thuật và phương pháp của các tác giả trước không thể giải quyết được. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần làm phát triển và sâu sắc hơn các kết quả về tính duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình đối với họ các siêu phẳng cố định và siêu phẳng di động, cũng như đưa ra các kết quả mới về tính thác triển của ánh xạ phân hình qua tập giải tích mỏng. Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu và phần phụ lục, luận án gồm bốn chương được viết theo tư tưởng kế thừa. Chương 1 là phần Tổng quan - phân tích đánh giá các công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến luận án. Ba chương còn lại của luận án được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng. Chương I: Tổng quan. Chương II: Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định. Chương III: Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động. Chương IV: Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. 4CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN I. Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau: Cố định một hệ tọa độ thuần nhất (ω0 : · · · : ωn) trong không gian xạ ảnh phức Pn(C). Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn) và cho H là siêu phẳng trong Pn(C) xác định bởi phương trình a0ω0 + · · ·+ anωn = 0. Đặt (f,H) := a0f0 + · · · + anfn. Ta định nghĩa hàm ν(f,H) trên Cm với giá trị không âm như sau: ν(f,H)(z) =  0 nếu (f,H)(z) 6= 0,k nếu z là không điểm bội k của (f,H). Cho {Hi} q i=1 là q siêu phẳng trong P n(C), q > n + 1. Ta nói rằng họ {Hi} q i=1 ở vị trí tổng quát nếu ⋂n i=0Hji = ∅, với mọi họ chỉ số 1 6 j0 < · · · < jn 6 q. Cho d là một số nguyên dương, 1 ≤ d ≤ n. Giả sử f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và {Hi} q i=1 (q > n+ 1) là q siêu phẳng ở vị trí tổng quát thỏa mãn dim d+1⋂ j=1 f−1(Hij ) 6 m− 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q. Với f thỏa mãn điều kiện trên và với mỗi số nguyên dương k, ta kí hiệu G(f, {Hj} q j=1, d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn(C) sao cho: a) min{ν(g,Hj), k} = min{ν(f,Hj), k}, với mọi 1 6 j 6 q. b) g(z) = f(z) trên ⋃q j=1{z ∈ C m : ν(f,Hj)(z) > 0}. Vậy chúng ta có thể thấy được các bao hàm thức sau: G(f, {Hj} q j=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj} q j=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj} q j=1, 3, k) ⊂ · · · . Bài toán về vấn đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) đó là đi tìm điều kiện của q và k sao cho tập G ( f, {Hj} q j=1, d, k) chỉ chứa duy nhất ánh xạ f (định lý duy nhất), hoặc theo nghĩa rộng hơn là nghiên cứu lực lượng của tập hợp G ( f, {Hj} q j=1, d, k) và tìm ra các mối quan hệ giữa các ánh xạ trong tập hợp này. Có hai đối tượng chính được quan tâm trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất đó là số lượng các siêu phẳng tham gia q và giá trị trị chặn bội k. Các con số này càng nhỏ thì kết quả càng có giá trị và ý nghĩa. 5Năm 1983, L. Smiley [Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp. Math., 25, 149-154] đã chứng minh được rằng: Định lý A. Nếu q ≥ 3n+ 2 thì ♯ G ( f, {Hj} q j=1, 1, 1) = 1. Năm 1998, Fujimoto [Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math. J., 152, 131-152] đã mở rộng và chứng minh các mệnh đề về hàm phụ trợ Cartan cho các hàm chỉnh hình cho trường hợp nhiều chiều. Thông qua việc đánh giá hàm đếm của các hàm phụ trợ Cartan này, ông đã chứng minh được định lý duy nhất sau: Định lý B. Nếu q = 3n+ 1, thì ♯ G ( f, {Hj} q j=1, 1, 2) ≤ 2. Năm 2006, bằng việc cải tiến các hàm phụ trợ Cartan và đưa ra phương pháp mới để đánh giá hàm đếm của chúng, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Internat. J. Math., 17, 1223-1257] đã chứng minh được các kết quả sau: Định lý C. 1. Nếu n ≥ 2, thì ♯ G ( f, {Hj} 3n+1 j=1 , 1, 1) = 1, 2. Nếu n ≥ 4, thì ♯ G ( f, {Hj} 3n−1 j=1 , 1, 2) ≤ 2. Kỹ thuật của Thái - Quang đã mở đầu cho nhiều nghiên cứu về vấn đề này trong các năm sau đó. Một trong những định lý duy nhất tốt nhất hiện nay được Z. H. Chen và Q. M. Yan [Uniqueness theorem of meromorphic mappings into Pn(C) sharing 2n + 3 hyperplanes regardless of multiplicities, Internat. J. Math., 20, 717-726] chứng minh vào năm 2009 như sau: Định lý D. Nếu q ≥ 2n+ 3, thì ♯ G ( f, {Hj} q j=1, 1, 1) = 1. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng: các tính toán chi tiết trong chứng minh của Chen và Yan là vô cùng phức tạp. Nếu sử dụng cách làm đó thì rất khó để chúng ta có thể cải thiện thêm cho Định lý D. Đồng thời, trong tất cả các kết quả về vấn đề duy nhất nêu trên của các ánh xạ phân hình vào Pn(C) với bội bị chặn thì bắt buộc đều phải có điều kiện dimf−1(Hi ∩Hj) 6 m− 2 , với mọi 1 ≤ i < j ≤ q . Nói cách khác, các tác giả trên chỉ xét được trường hợp tốt nhất khi d = 1. Đây là một điều kiện không được tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong chứng minh của các tác giả trên. Đến năm 2011, S. Đ. Quang [Unicity of meromorphic mappings sharing few hyperplanes, Ann. Pol. Math, 102(3) , 255-270] đã chứng minh lại và cải thiện kết quả của Chen - Yan bằng một phương pháp khác đơn giản hơn rất nhiều. Cụ thể, tác giả đã đưa ra một hàm khác thay cho việc sử dụng hàm phụ trợ Cartan, điều đó đã giúp cho tất cả các đánh giá về hàm đếm và hàm đặc trưng trở lên đơn giản và ngắn gọn. Lấy ý tưởng từ chứng minh của Quang, chúng tôi đặt vấn đề đầu tiên được nghiên 6cứu trong luận án đó là chỉ ra định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) trong trường hợp số d tùy ý. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau. Định lý 1. Nếu q = (n+ 1)d+ n+ 2 thì ♯ G(f, {Hj}qj=1, d, 1) = 1. Theo một cách đặt vấn đề khác, năm 2008, B. K. Trình, S. Đ. Quang và T. V. Tấn [A uniqueness theorem for meromorphic mappings with small set of identity, Kodai Math. J., 31, 404-413] quan tâm đến trường hợp các hàm phân hình chỉ trùng nhau trên ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng và họ đã đưa ra một định lý duy nhất với tập đồng nhất của hai ánh xạ phân hình f và g trong điều kiện (b) nhỏ hơn. Tiếp tục ý tưởng trên của chúng tôi, chúng tôi đã mở rộng các kết quả của ba tác giả trên như sau. Định lý 2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn(C). Cho số nguyên dương d (1 ≤ d ≤ n) và cho {Hj} q j=1 (q = 2nd+ n + 2) là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C) sao cho dim d+1⋂ j=1 f−1(Hij) ≤ m− 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ n + 1). Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf và (a) min{ν(f,Hj), n} = min{ν(g,Hj), n}, (n + 2 ≤ j ≤ q) (b) f = g trên ⋃n+1 j=1 ( f−1(Hj) ∩ g −1(Hj) ) . Khi đó, f = g. Trong đó, Rf là trường các hàm phân hình “nhỏ” (so với f) trên Cm. II. Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động. Năm 1991, W. Stoll -M. Ru và M. Shirosaki đã chứng minh được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp các mục tiêu di động với hàm đếm không được chặn bội. Định lý cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động với hàm đếm được chặn bội có lẽ được đưa ra đầu tiên bởi M. Ru cho trường hợp một biến phức và các đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính vào năm 2000 (kết quả này sau đó được Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang chứng minh lại cho trường hợp nhiều biến vào năm 2005). Đến năm 2004 thì M. Ru và J. Wang đã đưa ra định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho trường hợp ánh xạ có thể suy biến tuyến tính. Sau đó năm 2008, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang đã cải tiến kết quả của Ru-Wang bằng cách đưa ra đánh giá tốt hơn cho hàm đặc trưng. Năm 2016, S. Đ. Quang đã tổng quát và cải tiến tất cả các kết quả trước đó về định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho mục tiêu di động. Áp dụng các kết quả này, có nhiều tác giả đã quan tâm và nghiên cứu về vấn đề duy nhất và 7hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với các siêu phẳng di động một cách mạnh mẽ. Trước hết, chúng tôi điểm lại một số kết quả tốt nhất cho đến nay cho hướng nghiên cứu này. Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). Cho k, d (1 ≤ d ≤ n) là các số nguyên dương và cho {aj} q j=1 là các siêu phẳng di động “chậm” (so với f) ở vị trí tổng quát trong Pn(C) thỏa mãn dim( d+1⋂ j=1 Zero(f, aij ) ) ≤ m− 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q) . Ở đây, ta hiểu một siêu phẳng di động là một ánh xạ phân hình a : Cm −→ Pn(C)∗, và siêu phẳng a được nói là di động chậm so với ánh xạ f nếu || Ta(r) = o(Tf(r)) khi r −→ +∞. Gọi R({ai} q i=1) là trường con nhỏ nhất của trường các hàm phân hình trên C m chứa C và tất cả aij ail , với ail 6≡ 0. Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1). Ta kí hiệu F(f, {ai} q i=1, d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình g : C m → Pn(C) không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1), thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) min (ν(f,ai), k) = min (ν(g,ai), k) (1 ≤ i ≤ q), (ii) f(z) = g(z) trên ⋃q i=1 zero(f, ai). Năm 2002, Z.H. Tu [Uniqueness problem of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Tohoku Math. J., 54, 567-579] đã chứng minh được kết quả sau: Định lý E. Nếu q = 3n + 2, thì ♯ F(f, {ai}qi=1, 1,∞) = 1. Năm 2005, bằng việc thiết lập được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động với hàm đếm được chặn bội n, các tác giả Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat. J. Math., 16, 903-939] đã chứng minh được định lý duy nhất sau: Định lý F. Nếu n > 2, q > (3n + 1)(n+ 2) 2 thì ♯ F(f, {ai} q i=1, 1, 2) ≤ 2. Độc lập với các tác giả trên, năm 2006 Z. Chen và M. Ru [A uniqueness theorem for moving targets with truncated multiplicities, Houston Journal of Mathematics, 32, 589-601] đã chứng minh được kết quả sau: Định lý G. Nếu q > 2n(n+ 2), thì ♯ F(f, {ai}qi=1, 1, 2) ≤ 2. Gần đây, năm 2008, T. V. Tấn và B. K. Trình [A uniqueness theorem for mero- morphic mappings without counting multiplicities, Analysis, Munich, 28, 383-399] đã 8chứng minh được rằng. Định lý H. Cho n, q là các số nguyên dương và n ≥ 2. Giả sử tồn tại số nguyên dương t < n sao cho 2q + t− 2 n(n+ 2) > 3 + 3(t+ 3) q − 3n ( 3n 2(n− t) − q − 1 (n− t)(n + 2) ) . Khi đó, ♯F(f, {ai} q i=1, 1, 1) ≤ 2. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các định lý (E-H) ở trên, các tác giả luôn luôn giả sử điều kiện dim{z ∈ Cm : (f, ai)(z) = (f, aj)(z) = 0} ≤ m−2 (1 ≤ i < j ≤ q), tức là d = 1 (**) thỏa mãn và điều kiện này đóng vai trò thiết yếu trong các chứng minh của họ. Do vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra ở đây là: Liệu có hay không định lý về vấn đề duy nhất và hữu hạn khi điều kiện (**) được bỏ đi hoặc được thay thế bằng điều kiện khác tổng quát hơn? Vấn đề thứ hai trong luận án là trả lời câu hỏi trên. Cụ thể, chúng tôi tổng quát các định lý E-H tới trường hợp bội bị chặn bởi 1 (tức là không đếm bội), điều kiện d = 1 được thay thế bởi điều kiện d > 1. Chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau. Định lý 3. Nếu n ≥ 2, q ≥ (3n2 + 5n+ 3)d 2 thì ♯F(f, {ai} q i=1, d, 1) ≤ 2. Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau. Từ đó mở ra một hướng tiếp cận vấn đề duy nhất mới so với trước đây. Điển hình, chúng ta có thể kể đến các kết quả của G. Dethloff , S.Đ. Quang và T.V. Tấn vào năm 2010, T.B. Cao và H.X. Yi vào năm 2011, hay của Z. Wang và Z.H. Tu vào năm 2013. Kết hợp ý tưởng trên của chúng tôi về việc tổng quát điều kiện (**) và cách đặt vấn đề của các tác giả trên, chúng tôi sẽ đưa ra các định lý kiểu hữu hạn cho các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với các họ siêu phẳng khác nhau. Hơn nữa, trong một số kết quả của chúng tôi, các nghịch ảnh với bội lớn hơn một hằng số nào đó có thể không cần được xét đến. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh ba định lý sau: Định lý 4. Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là ba ánh xạ phân hình phân biệt. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t). Giả sử f 1 không suy biến tuyến tính trên R{ati} và (a) dim ( ⋂d+1 j=1 Zero(f 1, a1ij )) ≤ m− 2 , ∀1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q, (b) Zero(f t, ati) = Zero(f 1, a1i ) , (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), (c) (f t, a˜tv) (f t, a˜tj) = (f 1, a˜1v) (f 1, a˜1j ) trên ⋃q i=1 Zero(f 1, a1i ), với 1 ≤ v, j ≤ q. 9Nếu q ≥ (3n2 + 5n+ 3)d 2 thì tồn tại hai chỉ số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} và ma trận L ∈ GL(n+ 1,R{aki }) sao cho L(f t) = f l và L(a˜ti) = a˜ l i, với mọi i = 1, . . . , q. Định lý 5. Cho f 1, f 2 : Cm → Pn(C) là hai ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2) là hai họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t) và dim {z ∈ Cm : ν(f t,ati),≤ki.ν(f t,atj),≤kj > 0} ≤ m− 2 (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2). Giả sử: (a) min{ν(f2,a˜2i ),≤ki(z), 1} = min{ν(f1,a˜1i ),≤ki(z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ C m, (b) (f 1, a˜1i ) (f 2, a˜2i ) = (f 1, a˜1j) (f 2, a˜2j) trên ⋃q v=1 v 6=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f1,a1v),≤kv(z)}, với 1 ≤ i < j ≤ q. Nếu q > 3n2+n+2 và ∑q i=1 1 ki + 1 < ( 2q 3n(n+ 1) − 2q q + 2n− 2 ) thì tồn tại n+1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f 1, a˜1i1) (f 2, a˜2i1) = · · · = (f 1, a˜1in+1) (f 2, a˜2in+1) . Định lý 6. Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là ba ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t) và dim {z ∈ Cm : ν(f t,ati),≤ki.ν(f t,atj),≤kj > 0} ≤ m− 2 (1 ≤ i < j ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Giả sử: (a) min{ν(f t,a˜ti),≤ki(z), 1} = min{ν(f1,a˜1i ),≤ki(z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ C m, (b) (f 1, a˜1i ) (f t, a˜ti) = (f 1, a˜1j ) (f t, a˜tj) trên ⋃q v=1 v 6=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f1,a1v),≤kv(z)}, 1 ≤ i < j ≤ q, t = 2, 3. Nếu ∑q i=1 1 ki + 1 < q − 3n+ 2 2q − 5n+ 10 ( 4q − 10n+ 2 3n(n + 1) + 4n− 2 n(n+ 2) − 3 ) thì có hai ánh xạ f s, f t (1 ≤ s < t ≤ 3) và n + 1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f s, a˜1i1) (f t, a˜2i1) = · · · = (f s, a˜1in+1) (f t, a˜2in+1) . III. Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. Năm 2003, các tác giả Đ. Đ. Thái, P. Đ. Hương, P. N. T. Trang đã đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào không gian phức. Bằng việc kết hợp giữa tiêu chuẩn của các tác giả trên và Định lý cơ bản thứ hai trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã 10 đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình dưới điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu phẳng, như: S. Đ. Quang và T. V. Tấn, Z. H. Tu và P. Li, và nhiều tác giả khác. Như chúng ta đã biết rằng, có một mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình với tính chuẩn tắc của một ánh xạ chỉnh hình, và mối liên hệ giữa tính tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình với tính thác triển được của các ánh xạ đó. Sử dụng các tiêu chuẩn chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh cùng với các mối liên hệ trên, nhiều tác giả đã thiết lập một số tiêu chuẩn cho tính thác triển được của ánh xạ thông qua điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu phẳng. Trước hết, chúng tôi điểm qua một số kết quả. Năm 1879, Picard đã chứng minh hai định lý sau cho hàm phân hình: Định lý I (Định lý Picard nhỏ). Cho f(z) là hàm phân hình trên C . Nếu tồn tại 3 điểm phân biệt w1, w2 và w3 trên hình cầu Riemann sao cho f(z) − wi (i = 1, 2, 3) không có không điểm trên C thì f là hằng. Định lý J (Định lý Picard lớn). Cho f(z) là hàm phân hình trên ∆∗ = {z ∈ C : 1 ≤ |z| < +∞}. Nếu tồn tại 3 điểm phân biệt w1, w2 và w3 trên hình cầu Riemann sao cho f(z)− wi (i = 1, 2, 3) không có không điểm trên ∆∗, thì f không có kỳ dị tại ∞. Năm 1972, H. Fujimoto [Extensions of the big Picard’s theorem, Tohoku. Math. J., 24, 415 - 422] đã phát triển Định lý J với số chiều cao hơn. Năm 2006, Z.H. Tu [Big Picard’s theorems for holomorphic mappings of several complex variables into Pn(C) with moving hyperplanes, J. Math. Anal. Appl., 324, 629 - 638] đã tổng quát Định lý Picard lớn cho các siêu phẳng di động như sau. Định lý K. Cho S là tập con giải tích của miền D trong Cm với đối chiều 1 (các thành phần kỳ dị của S là giao chuẩn tắc). Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn(C). Cho a1(z), · · · , aq(z) (z ∈ D) là q (q ≥ 2n+1) siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho f(z) giao với aj(z) trên D \S với bội ít nhất bằng mj (j = 1, · · · , q), ở đó m1, · · · , mq là các số nguyên dương hoặc +∞ thỏa mãn q∑ j=1 1 mj < q − (n+ 1) n . Khi đó, ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào Pn(C) thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D vào Pn(C). Gần đây, năm 2010, N. T. T Hằng và T. V. Tấn [Big Picard theorems for holomorphic mappings into the complement of (2n+1) moving hypersurfaces in CPn, Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta, Seria Matematica, 18, 155 - 162] cũng đã tổng quát định lý Picard lớn cho siêu mặt di động. 11 Tuy nhiên, chúng tôi lưu ý rằng, trong tất cả các kết quả trên thì số siêu phẳng (cố định hoặc di động) q luôn cần được giả sử là lớn hơn hoặc bằng 2n + 1 bởi lẽ các tác giả này chứng minh định lý thác triển thông qua con đường chứng minh ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào Pn(C) là chuẩn tắc. Nói cách khác, các tác giả này đã sử dụng tính hyperbolic của phần bù của giao của một số siêu phẳng trong hợp của các siêu phẳng còn lại trong họ 2n+ 1 siêu phẳng (hoặc siêu mặt) ở vị trí tổng quát trong Pn(C) để chứng minh định lý thác triển. Do đó, cách chứng minh này sẽ không thể sử dụng được khi số siêu phẳng q < 2n + 1 vì khi đó phần bù này không là hyperbolic. Để vượt qua được khó khăn này chúng tôi phải đánh giá trực tiếp độ tăng của hàm đặc trưng tại các điểm khảo sát và sử dụng định lý thác triển của Noguchi [Lemma on logarithmic derivatives and holomorphic curves in algebraic varieties, Nagoya Math. J., 83, 213-233]. Trong Chương 4 của luận án, chúng tôi sẽ chứng minh định lý thác triển tương tự Định lý K trong trường hợp số siêu phẳng di động nhỏ hơn 2n+ 1. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh hai định lý sau: Định lý 7. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn(C) (ở đó, D là một miền trong Cm và S là tập con giải tích mỏng có đối chiều 1 của D). Cho a1, ..., an+2 là các siêu phẳng di động trong Pn(C) trên D, ở vị trí tổng quát, sao cho f không suy biến tuyến tính trên R{ai}. Giả sử f giao với mỗi ai trên D\S với bội ít nhất bằng mi, với m1, ..., mn+2 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn n+2∑ i=1 1 mi < 1 n . Khi đó, f thác triển được thành ánh xạ phân hình f˜ từ D vào Pn(C). Định lý 8. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn(C), với D là miền trong Cm và S là tập con giải tích có đối chiều 1 của D với giao chuẩn tắc. Cho N là số nguyên dương. Cho A = {a0, ..., aq−1} là tập của q (q ≥ 2N + 1) siêu phẳng di động trên D của Pn(C) ở vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với f . Giả sử f giao với mỗi ai trên D \S với bội lớn hơn hoặc bằng mi, ở đó m0, · · · , mq−1 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn q−1∑ i=0 1 mi < q − 2N − 1 Lf + 1. Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn(C). Ở đó, Lf là số chiều của không gian con tuyến tính nhỏ nhất của Pn(C) chứa f(D \ S). 12 CHƯƠNG 2 TÍNH DUY NHẤT CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH Như đã trình bày trong phần mở đầu. mục đích của chương 1 là chỉ ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với điều kiện dim (d+1⋂ j=1 f−1(Hij) ) ≤ m− 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q) (1) Định lý của Chen và Yan là một trong những kết quả tốt nhất cho đến nay theo hướng này. Các tác giả sử dụng kỹ thuật chia lớp các siêu phẳng được đưa ra trong bài báo của Đ. Đ Thái và S. Đ. Quang vào năm 2006, tiến hành đếm từ bội 1 đến bội n − 1 của hàm (f,Hi) và sau đó đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan trên từng lớp. Cách làm này rất phức tạp. Hơn nữa, tác giả mới chỉ chứng minh định lý duy nhất với điều kiện d = 1. Trong cách chứng minh của chúng tôi, chúng tôi sử dụng kiểu hàm phụ trợ khác kiểu của Cartan và do đó có thể đếm các bội tùy ý của các hàm (f,Hi), từ đó chúng tôi đánh giá bội của hàm phụ trợ dựa vào bội của các hàm (f,Hi), (g,Hi). Do vậy, chúng tôi không chỉ tổng quát được điều kiện về số chiều của giao các nghịch ảnh mà còn đưa ra cánh chứng minh khác đơn giản hơn so với Chen-Yan và các tác giả trước đó. Chương 2 gồm hai mục. Mục thứ nhất được dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho toàn bộ luận án. Mục thứ hai nhằm trình bày các bổ đề và chứng minh định lý chính. Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ Trong mục này, chúng ta nhắc lại khái niệm các hàm đếm của một divisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ phân hình và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình. Từ đó trình bày lại hai định lý quan trọng của Lý thuyết Nevanlinna là Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai. 2.2. Định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Cho d là một số nguyên dương, 1 ≤ d ≤ n. Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn(C). Cho {Hi} q i=1 (q > n + 1) là q siêu phẳng ở vị trí tổng quát thỏa mãn dim d+1⋂ j=1 f−1(Hij ) 6 m− 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q. 13 Với f thỏa mãn điều kiện trên và mỗi số nguyên dương k, kí hiệu G(f, {Hj} q j=1, d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn(C) sao cho: a) min{ν(g,Hj), k} = min{ν(f,Hj), k} với mọi 1 6 j 6 q. b) g(z) = f(z) trên ⋃q j=1{z ∈ C m : ν(f,Hj)(z) > 0}. Vậy chúng ta có thể thấy được các bao hàm thức sau: G(f, {Hj} q j=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj} q j=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj} q j=1, 3, k) ⊂ · · · . Với các kí hiệu trên, chúng tôi sẽ chứng minh định lý duy nhất như sau. Định lý 2.2.1. Nếu q = (n+ 1)d+ n+ 2 thì ♯ G(f, {Hi}qi=1, d, 1) = 1. Trong trường hợp d = 1, Định lý 2.2.1 cho ta kết quả của Chen và Yan. Chúng ta chú ý rằng, nếu họ siêu phẳng {Hj} q j=1 (q ≥ n+ 1) ở vị trí tổng quát thì với mọi ánh xạ phân hình f từ Cm vào Pn(C) luôn có dim n+1⋂ j=1 f−1(Hij ) = I(f) 6 m− 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q. Do vậy, từ định lý trên ta có được hệ quả sau. Hệ quả 2.2.2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn(C). Cho {Hj} q j=1 (q ≥ n 2 + 2n+ 2) là các siêu phẳng trong Pn(C) ở vị trí tổng quát. Giả sử f = g trên n+1⋃ j=1 ( f−1(Hj) ∪ g −1(Hj) ) . Khi đó, f=g. Để chứng minh định lý trên, chúng ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.2.3. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn(C). Cho {Hi} q i=1 (q ≥ n+ 2) là các siêu phẳng trong P n(C) ở vị trí tổng quát. Giả sử min{ν(f,Hi), 1} = min{ν(g,Hi), 1}, ∀ 1 ≤ j ≤ q. Khi đó, ‖ Tg(r) = O(Tf(r)) và ‖ Tf(r) = O(Tg(r)). Thông thường tập đồng nhất được giả sử là ảnh ngược của tất cả q siêu phẳng, nhưng trong định lý tiếp theo của chương này chúng tôi chỉ giả sử tập đồng nhất là ảnh ngược của n+1 siêu phẳng. Vì chúng ta không có Định lý cơ bản thứ hai cho n+1 siêu phẳng cố định nên điều đó đã tạo ra những khó khăn thực chất về mặt kỹ thuật. Để vượt qua khó khăn này, các tác giả B. K. Trình, S. Đ. Quang và T. V. Tấn đã sử dụng kỹ thuật đếm bội một cách chặt chẽ trên những lớp hàm phân hình thích hợp 14 và tìm cách chuyển bài toán sang mục tiêu di động để sử dụng Định lý cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động có chặn bội. Tuy nhiên, các tác giả này chỉ xem xét bài toán với điều kiện d = 1. Bằng việc cải tiến cách chứng minh của các tác giả trên kết hợp với cách chứng minh như ở Định lý 2.2.1, chúng tôi đã chứng minh được định lý duy nhất mà ở đó các ánh xạ phân hình chỉ trùng nhau trên ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng trong trường hợp d ≥ 1 như sau. Định lý 2.2.4. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn(C). Cho số nguyên d (1 ≤ d ≤ n). Cho {Hj} q j=1 (q = 2nd+ n + 2) là các siêu phẳng trong P n(C) ở vị trí tổng quát sao cho dim d+1⋂ j=1 f−1(Hij) ≤ m− 2 (1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ n + 1). Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf và (a) min{ν(f,Hj), n} = min{ν(g,Hj), n}, ∀ n+ 2 ≤ j ≤ q, và (b) f = g trên ⋃n+1 j=1 ( f−1(Hj) ∪ g −1(Hj) ) . Khi đó, f=g. Tương tự như hệ quả của Định lý 2.2.1, chúng ta thu được hệ quả sau. Hệ quả 2.2.5. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn(C). Cho {Hj} q j=1 (q = 2n 2 + n + 2) là các siêu phẳng trong Pn(C) ở vị trí tổng quát. Giả sử f và g không suy biến tuyến tính trên Rf và (a) min{ν(f,Hj), n} = min{ν(g,Hj), n}, ∀ n+ 2 ≤ j ≤ q, và (b) f = g trên ⋃n+1 j=1 ( f−1(Hj) ∪ g −1(Hj) ) . Khi đó, f=g. Để chứng minh Định lý 2.2.4, chúng ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 2.2.6. Cho f, g : Cm → Pn(C) là hai ánh xạ phân hình khác hằng và không suy biến tuyến tính trên Rf . Cho {Hi} q i=1, (q ≥ 3n+ 2) là các siêu phẳng trong P n(C) ở vị trí tổng quát. Giả sử ‖ N(r, ν(f,Hi) 6= ν(g,Hi)) = o(Tf(r)), ∀i = 1, ..., q. Khi đó, f ≡ g. 15 CHƯƠNG 3 TÍNH HỮU HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG Như đã trình bày trong phần mở đầu, trong chương 3, chúng tôi sẽ thay thế các siêu phẳng cố định Hj trong định nghĩa của họ G(f, {Hj} q j=1, d, k) bởi các siêu phẳng di động aj và ký hiệu họ mới là F(f, {aj} q j=1, d, k). Với d = 1, đã có một số kết quả của các tác giả trước đó. Các tác giả này chủ yếu sử dụng kỹ thuật đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan để chứng minh định lý. Để giải quyết bài toán hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với họ siêu phẳng di động, trong trường hợp d tùy ý, chúng tôi phải cải tiến cách đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan cho ba hàm phân hình. Cụ thể, chúng tôi phải coi mỗi không điểm của hàm phụ trợ Cartan chứa trong nhiều ảnh ngược của các siêu phẳng di động, từ đó có được các đánh giá về hàm đếm tốt hơn. Mục tiêu thứ hai của chương 3 là giải quyết bài toán hữu hạn cho trường hợp các ánh xạ phân hình có thể suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác nhau và không cùng bội chặn. Để làm được điều này, thay vì sử dụng Định lý cơ bản thứ hai thông thường như các tác giả trước đó, chúng tôi phải sử dụng Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính của tác giả S. Đ. Quang [Second main theorems for meromorphic mappings intersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg., 86(1), 1-18 ]. Chương 3 gồm ba mục. Trong mục đầu, chúng tôi bổ sung thêm một số khái niệm và bổ đề cần thiết. Trong mục thứ hai, chúng tôi chứng minh định lý hữu hạn của ánh xạ phân hình với họ các siêu phẳng di động. Trong mục thứ ba, chúng tôi chứng minh định lý hữu hạn của ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác nhau. Chương 3 được viết dựa trên bài báo [2] và [3] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 3.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ Trong mục này, chúng ta đưa ra khái niệm: siêu phẳng di động, hàm phụ trợ Cartan và các tính chất, Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai cho siêu phẳng di động. 3.2. Định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). Cho các số nguyên dương k, d (1 ≤ d ≤ n) và cho {aj} q j=1 là các siêu phẳng di động “chậm” (so với f) ở vị trí 16 tổng quát trong Pn(C) thỏa mãn dim( d+1⋂ j=1 Zero(f, aij ) ) ≤ m− 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q). Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1). Gọi F(f, {ai} q i=1, d, k) là tập các ánh xạ phân hình g : Cm → Pn(C) thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) min{ν(f,ai)(z), k} = min{ν(g,ai)(z), k} (1 ≤ i ≤ q), với mọi z ∈ C m bên ngoài một tập giải tích có hàm đếm bằng o(Tf(r)), (b) f(z) = g(z), với mọi z ∈ ⋃q i=1 Zero(f, ai) bên ngoài tập giải tích có hàm đếm bằng o(Tf(r)). Chúng tôi sẽ chứng minh các định lý sau. Định lý 3.2.1. Nếu q > (3n2 + 5n+ 3)d 2 thì ♯ F(f, {ai} q i=1, d, 1) ≤ 2. Chúng ta để ý rằng, điều kiện (a), (b) trong họ F(f, {ai} q i=1, d, k) của Định lý 3.2.1 yếu hơn điều kiện (i), (ii) trong họ F(f, {ai} q i=1, d, k) của các tác giả trước đó. Hơn nữa, ánh xạ g ∈ F(f, {ai} q i=1, d, k) trong Định lý không đòi hỏi không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1). Thực tế thì chúng tôi chứng minh được rằng: nếu q > n(n+ 2)d thì với mỗi g ∈ F(f, {ai} q i=1, d, k), g không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1) [Bổ đề 3.2.3]. Hệ quả 3.2.2. Nếu q > (3n2 + 5n+ 3) 2 thì ♯F(f, {ai} q i=1, 1, 1) ≤ 2. Để chứng minh Định lý 3.2.1, chúng ta cần có các bổ đề sau: Bổ đề 3.2.3. Cho q > n(n + 2)d. Khi đó, với mỗi g ∈ F(f, {ai}qi=1, d, 1) thì g không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1). Bổ đề 3.2.4. Cho f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). Cho {ai}qi=1 và {bi} q i=1 là hai họ q (q ≥ n + 2) siêu phẳng di động “chậm” tương ứng so với f và g trong Pn(C) ở vị trí tổng quát. Giả sử Zero(f, ai) = Zero(g, bi) bên ngoài tập một giải tích có hàm đếm bằng o(Tf(r)) với mọi i = 1, . . . , q. Khi đó, ta có ‖ Tf (r) = O(Tg(r)) và ‖ Tg(r) = O(Tf(r)). Với mỗi c = (c1, . . . , cq) ∈ Cq \ {0}, đặt ac := ( q∑ i=1 cia˜i0, · · · , q∑ i=1 cia˜in), ||ac|| = ( n∑ j=0 | q∑ i=1 cia˜ij | 2) 1 2 , (fk, ac) := n∑ j=0 q∑ i=1 cia˜ijfj = q∑ i=1 ci(f k, a˜i) (1 ≤ k ≤ 3). 17 Ta ký hiệu β là hợp của tất cả các thành phần bất khả quy, có số chiều m − 1 của tập giải tích ⋂q i=1 Zero(f, ai). Thế thì, β hoặc là tập giải tích có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng (m− 1) hoặc là tập rỗng. Và ký hiệu νβ là divisor rút gọn trên Cm với giá β. Rõ ràng β ⊂ {z ∈ Cm : det(aij)(z) = 0, 1 ≤ i ≤ n + 1, 0 ≤ j ≤ n}. Do đó ‖ N(r, νβ) ≤ Ndet(aij )(r) ≤ n+1∑ i=1 Tai(r) = o(Tf (r)). Với c ∈ Cq, ta ký hiệu Sikc là bao đóng của tập (Zero(f k, ai)∩Zero(f k, ac)) \β. Khi đó, Sikc là tập giải tích. Ta đặt C là tập các c ∈ Cq \ {0} sao cho dimSikc ≤ m− 2. Bổ đề 3.2.5. C trù mật trong Cq. Bổ đề 3.2.6. Với mọi c ∈ C, đặt F ikc = (fk, a˜i) (fk, ac) . Khi đó, ‖ T (r, F ikc ) ≤ T (r, f k) + o(Tf(r)). Bổ đề 3.2.7. Giả sử tồn tại c ∈ C sao cho Φα = Φα(F i01c , F i02c , F i03c ) 6≡ 0 với bộ chỉ số α ∈ (Z+)m nào đó mà |α| = 1. Khi đó, với mỗi 1 ≤ k ≤ 3, ta có: ‖ 2 d q∑ i=1 N [1] (fk ,ai) (r) + 3∑ t=1 N [n] (f t,ai0 ) (r)− (2n+ 3)N [1] (fk,ai0 ) (r) ≤ N(r, νΦα) + o(Tf (r)) ≤ T (r) + o(Tf (r)). 3.3. Ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với các họ siêu phẳng di động khác nhau Cho f t : Cm → Pn(C) là ánh xạ phân hình. Cho {ati} q i=1 là họ các siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t). Bằng cách thay đổi hệ tọa độ thuần nhất của Pn(C) (nếu cần thiết), chúng ta giả sử rằng với mỗi ánh xạ phân hình ati = (ati0, ..., atin), ati0 6≡ 0 (1 ≤ i ≤ q) . Đặt a˜ti = ati ati0 , 1 ≤ i ≤ q. Định lý 3.3.1. Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là ba ánh xạ phân hình phân biệt. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong P n(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t). Giả sử f 1 không suy biến tuyến tính trên R{ati} và (a) dim ( ⋂d+1 j=1 Zero(f 1, a1ij )) ≤ m− 2 , ∀1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q, (b) Zero(f t, ati) = Zero(f 1, a1i ) (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), (c) (f t, a˜tv) (f t, a˜tj) = (f 1, a˜1v) (f 1, a˜1j ) trên ⋃q i=1 Zero(f 1, a1i ), với 1 ≤ v, j ≤ q. 18 Nếu q ≥ (3n2 + 5n+ 3)d 2 thì tồn tại hai chỉ số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} và ma trận L ∈ GL(n+ 1,R{aki }) sao cho L(f t) = f l và L(a˜ti) = a˜ l i, với mọi i = 1, . . . , q. Tiếp theo chúng tôi chứng minh hai định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính. Nếu như ở Định lý 3.3.2, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chia lớp và đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Pi trên từng lớp thì ở Định lý 3.3.3, bằng việc cải tiến cách đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan như trong Định lý 3.2.1, chúng tôi đã chứng minh được các định lý kiểu hữu hạn như dưới đây. Một trong các điểm mấu chốt trong chứng minh của hai định lý này là chúng tôi đã phải sử dụng Định lý cơ bản thứ hai của tác giả S. Đ. Quang [Second main theorems for meromorphic mappings intersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg., 86(1), 1-18 ] để đánh giá. Định lý 3.3.2. Cho f 1, f 2 : Cm → Pn(C) là hai ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc ∞. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2) là hai họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t) và dim {z ∈ Cm : ν(f t,ati),≤ki.ν(f t,atj),≤kj > 0} ≤ m− 2 (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2). Giả sử: (a) min{ν(f2,a˜2i ),≤ki(z), 1} = min{ν(f1,a˜1i ),≤ki(z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ C m, (b) (f 1, a˜1i ) (f 2, a˜2i ) = (f 1, a˜1j) (f 2, a˜2j) trên ⋃q v=1 v 6=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f1,a1v),≤kv(z)}, với 1 ≤ i < j ≤ q. Nếu q > 3n2+n+2 và ∑q i=1 1 ki + 1 < ( 2q 3n(n+ 1) − 2q q + 2n− 2 ) thì tồn tại n+1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f 1, a˜1i1) (f 2, a˜2i1) = · · · = (f 1, a˜1in+1) (f 2, a˜2in+1) . (2) Định lý 3.3.3. Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là ba ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc ∞. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t) và dim {z ∈ Cm : ν(f t,ati),≤ki .ν(f t,atj),≤kj > 0} ≤ m− 2 (1 ≤ i < j ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Giả sử: (a) min{ν(f t,a˜ti),≤ki(z), 1} = min{ν(f1,a˜1i ),≤ki(z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ C m, (b) (f 1, a˜1i ) (f t, a˜ti) = (f 1, a˜1j ) (f t, a˜tj) trên ⋃q v=1 v 6=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f1,a1v),≤kv(z)}, 1 ≤ i < j ≤ q, t = 2, 3. 19 Nếu ∑q i=1 1 ki + 1 < q − 3n+ 2 2q − 5n+ 10 ( 4q − 10n+ 2 3n(n + 1) + 4n− 2 n(n+ 2) − 3 ) thì có hai ánh xạ f s, f t (1 ≤ s < t ≤ 3) và n+ 1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f s, a˜1i1) (f t, a˜2i1) = · · · = (f s, a˜1in+1) (f t, a˜2in+1) . Để chứng minh Định lý 3.3.3, chúng ta cần các bổ đề sau: Cho f 1, f 2, f 3, ki (1 ≤ i ≤ q) và {ati} q i=1 (t = 1, 2, 3) như trên, đặt T (r) = 3∑ t=1 Tf t(r). Giả sử ati có biểu diễn rút gọn a t i = (a t i0 : · · · : a t in). Bằng cách thay đổi hệ tọa độ thuần nhất của Pn(C), ta giả sử rằng ati0 6≡ 0 (1 ≤ i ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Với mỗi c = (c1, ..., cq) ∈ C q \ {0}, đặt atc := ( q∑ i=1 cia˜ t i0, ..., q∑ i=1 cia˜ t in), ||a t c|| := ( n∑ j=0 | q∑ i=1 cia˜ t ij| 2) 1 2 , (f t, atc) := n∑ j=0 q∑ i=1 cia˜ijf t j = q∑ i=1 ci(f t, a˜i) (1 ≤ t ≤ 3). Ký hiệu β là hợp tất cả các thành phần bất khả quy có số chiều m−1 của tập giải tích⋂q i=1 Zero(f t, ati) (1 ≤ t ≤ 3). Thế thì β hoặc là tập giải tích có số chiều m− 1 hoặc là tập rỗng. Với c ∈ Cq, ta ký hiệu Sjtc là bao đóng của tập (Zero(f t, atj)∩Zero(f t, atc))\β. Khi đó, Sjtc là tập giải tích. Gọi C là tập tất cả c ∈ C q \ {0} sao cho dimSjkc ≤ m− 2. Tương tự Bổ đề 3.2.5, ta có C trù mật trong Cq. Với mọi c ∈ C, đặt F jtc := (f t, a˜tj) (f t, atc) (1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Tương tự Bổ đề 3.2.6, ta có: || T (r, F jtc ) ≤ Tf t(r) + o(T (r)). (3) Bổ đề 3.3.4. [D. D. Thai and S. D. Quang (2005), Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat. J. Math., 16, pp. 903-939] Giả sử tồn tại c ∈ C, |α| = 1 sao cho Φα = Φα(F j01c , F j02 c , F j3 c ) 6≡ 0. Khi đó, với mỗi 20 1 ≤ t ≤ 3, ta có: 2 3∑ j=1 N [1] (f1,a˜1 j ),≤kj (r) + 3∑ t=1 N [n] (f t,a˜tj0 ),≤kj0 (r)− (2n+ 3)N [1] (f1,a˜1 j0 ),≤kj0 (r) − 2 3∑ t=1 N [1] (f t,a˜tj0 ),>kj0 (r) ≤ NΦα(r) + o(T (r)) ≤ T (r) + 3∑ t=1 N [1] (f t,a˜tj0 ),>kj0 (r) + o(T (r)). 21 CHƯƠNG 4 TÍNH THÁC TRIỂN ĐƯỢC CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Mục đích của chương 4 là chứng minh định lý thác triển trong trường hợp số siêu phẳng nhỏ hơn 2n+1. Như giới thiệu trong phần mở đầu, các tác giả T.V. Tấn, N.T.T Hằng, Z.H. Tu ... mới chỉ chứng minh được định lý thác triển của ánh xạ chỉnh hình qua tập giải tích có đối chiều 1 dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất 2n + 1 siêu phẳng di động. Con số 2n + 1 này không thể nhỏ hơn vì điểm mấu chốt trong cách chứng minh của các tác giả này là sử dụng tính hyperbolic của phần bù của 2n + 1 siêu phẳng (siêu mặt). Vì thế khi tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng di động tham gia là n + 2, chúng tôi đã gặp phải những khó khăn thực chất về mặt kỹ thuật. Không thể đi theo con đường của các tác giả trước đó, chúng tôi phải sử dụng kỹ thuật đánh giá trực tiếp độ tăng của hàm đặc trưng tại các điểm khảo sát. Mà hàm đặc trưng trong lý thuyết Nevanlinna chỉ được xây dựng cho đĩa thủng mà không xây dựng trực tiếp trên miền kiểu ∆∗ ×∆m−1. Chính vì vậy, sau khi sử dụng lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình trên đĩa thủng để kiểm soát tính thác triển của các đường cong chỉnh hình trên các đường thẳng phức, chúng tôi phải sử dụng một số kỹ thuật của giải tích phức để chứng minh tính thác triển cho ánh xạ chỉnh hình trên miền có dạng ∆∗ ×∆m−1. Chương 4 gồm ba mục. Mục thứ nhất dành để nhắc lại một số khái niệm và các kết quả bổ trợ. Mục thứ hai, chúng tôi chứng minh định lý thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động. Mục thứ ba, chúng tôi chứng minh định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính. Chương 4 được viết dựa trên bài báo [4] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 4.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ Trong phần này chúng tôi nhắc đến các khái niệm về lý thuyết Nevanlinna trên đĩa đơn vị, về họ chuẩn tắc của các ánh xạ phân hình. 4.2. Thác triển ánh xạ phân hình với (n+ 2) siêu phẳng di động Trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau. Định lý 4.2.1. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn(C) (ở đó, D là một miền trong Cm và S là tập con giải tích mỏng có đối chiều 1 của D). Cho a1, ..., an+2 là các siêu phẳng di động trong Pn(C) trên D, ở vị trí tổng quát, sao cho f không suy biến tuyến tính trên R{ai}. Giả sử f giao với mỗi ai trên D\S với bội ít nhất bằng mi, với 22 m1, ..., mn+2 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn n+2∑ i=1 1 mi < 1 n . Khi đó, f thác triển được thành ánh xạ phân hình f˜ từ D vào Pn(C). Để chứng minh Định lý ta cần một số bổ đề sau. Bổ đề 4.2.2.(Cho bởi Noguchi năm 1981) Cho f : ∆∗ → Pn(C) là đường cong chỉnh hình. Khi đó, f thác triển tại ∞ đến đường cong chỉnh hình f˜ từ ∆ = ∆∗ ∪ {∞} vào Pn(C) khi và chỉ khi lim inf r→∞ Tf(r)/(log r) <∞. Bổ đề 4.2.3. Giả sử ∑n+1 i=0 fi = 0 và ∑ i∈I fi 6= 0, với mọi I {0, ..., n+1}, thế thì ta có thể tìm được phân hoạch {f0, ..., fn+1} = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪Ak, k ≥ 1, với A1, ..., Ak là các tập khác rỗng, rời nhau; và các tập khác rỗng A′1 ⊂ A1, A ′ 2 ⊂ A1 ∪A2, ..., A ′ k−1 ⊂ A1 ∪ ...∪Ak−1 sao cho A1, A2 ∪A ′ 1, ..., Ak ∪A ′ k−1 là là tập tối tiểu, tức là tập này là tập phụ thuộc tuyến tính nhưng mọi tập con thực sự của nó đều độc lập tuyến tính trên R{ai}. Bổ đề 4.2.4. Cho f là đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn(C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn), và cho fn+1 = −f0 − · · · − fn sao cho∑ i∈I fi 6= 0, ∀I ( {0, ..., n+ 1}. Khi đó, ta có || Tf(r) ≤ n+1∑ i=0 N [n](r, ν0fi) +O(log + Tf (r)) +O(log r). Bổ đề 4.2.5. Cho f là đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn(C), cho a1, ..., an+2 là n + 2 siêu phẳng di động trong Pn(C) trên ∆ ở vị trí tổng quát, sao cho tồn tại các hàm phân hình khác không αi(1 ≤ i ≤ n + 2) trên ∆ thỏa mãn:∑n+2 i=1 αi(f, ai) = 0 và ∑ i∈I αi(f, ai) 6= 0, ∀I {1, ..., n+ 2}. 23 Giả sử f giao với mỗi ai trên ∆∗ với bội ít nhất bằng mi, ở đó m1, ..., mn+2 là các số nguyên cố định hoặc bằng +∞, thỏa mãn n+2∑ i=1 1 mi < 1 n . Khi đó, f thác triển tại ∞ thành đường cong chỉnh hình f˜ từ ∆ = ∆∗ ∪ {∞} vào Pn(C). 4.3. Định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính Trong mục này chúng ta xét đến trường hợp ánh xạ phân hình có thể có ảnh nằm trong một không gian con tuyến tính của Pn(C) và họ siêu phẳng đang xét có thể ở vị trí dưới tổng quát. Định lý 4.3.1 Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn(C), với D là miền trong Cm và S là tập con giải tích có đối chiều 1 của D với giao chuẩn tắc. Cho N là số nguyên dương. Cho A = {a0, ..., aq−1} là tập của q (q ≥ 2N + 1) siêu phẳng di động trên D của Pn(C) ở vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với f . Giả sử f giao với mỗi ai trên D \S với bội lớn hơn hoặc bằng mi, ở đó m0, · · · , mq−1 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn q−1∑ i=0 1 mi < q − 2N − 1 Lf + 1. Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn(C). Để chứng minh Định lý 4.3.1 ta cần bổ đề sau. Bổ đề 4.3.2. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ Cm vào Pn(C) và cho {H0, · · ·Hq−1} là q (q ≥ 2N −Lf +1) siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí N−dưới tổng quát tương ứng với f . Khi đó, || (q − 2N + Lf − 1)Tf(r) ≤ q−1∑ i=0 (f,Hi)6≡0 N [Lf ](r, ν(f,Hi)) + o(Tf(r)). 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết quả chính của luận án: • Chứng minh định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) cho họ siêu phẳng cố định, với điều kiện “giao của ảnh ngược của d + 1 siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”, với d tùy ý. Đồng thời, chúng tôi chứng minh định lý duy nhất trong trường hợp tập đồng nhất của các ánh xạ chỉ là nghịch ảnh của n+ 1 siêu phẳng. • Chứng minh được định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) cho họ siêu phẳng di động, với điều kiện “giao của ảnh ngược của d+1 siêu phẳng di động tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”, với d tùy ý. • Chứng minh được các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác nhau và bội chặn được tính có thể khác nhau. • Chứng minh được định lý thác triển cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với số siêu phẳng di động nhỏ hơn 2n+ 1. Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Trong các định lý về vấn đề hữu hạn cho ánh xạ phân hình với mục tiêu di động, chúng tôi sử dụng các Định lý cơ bản thứ hai tốt nhất hiện nay với hàm đếm được chặn bội cho bởi S. Đ. Quang vào năm 2016. Tuy nhiên, ngay cả định lý của Quang cũng chưa đạt đến mức tối ưu như định lý của Cartan-Nochka trong trường hợp siêu phẳng cố định. Chúng tôi hy vọng trong thời gian tới sẽ chứng minh được các Định lý cơ bản thứ hai tốt hơn để từ đó có thể có được các định lý về vấn đề hữu hạn tốt hơn. Trong vấn đề về tính thác triển của ánh xạ phân hình, chúng tôi sử dụng mối liên hệ giữa tính thác triển được tại điểm gốc của đường cong chỉnh hình trên đĩa đơn vị với độ tăng của hàm đặc trưng của nó, sau đó mới sử dụng các phương pháp của giải tích phức để chứng minh tính thác triển được cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến. Trong thời gian tới, chúng tôi hi vọng có thể tìm ra được mối liên hệ trực tiếp giữa tính thác triển được của ánh xạ phân hình trên hình cầu mở trong không gian nhiều chiều bỏ đi một tập con giải tích thực sự với tính thác triển được của nó, để từ đó nhận được các kết quả tốt hơn cho sự thác triển của các ánh xạ phân hình. 25 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án [1] H.H. Giang, L.N.Quynh and S. D. Quang (2012), "Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 393, pp. 445-456. [2] S .D. Quang and H. H. Giang (2015), “A Finiteness theorem for meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes”, Vietnam J. Math., 43, No. 4, pp. 725-742. [3] H. H. Giang (2014), "Multiple values and finiteness problem of meromorphic mappings sharing different families of moving hyperplanes", Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, (accepted). [4] S. D. Quang and H. H. Giang (2015), “Big Picard theorem for meromorphic mappings with moving hyperplanes in Pn(C)”, Ukrainian Mathematical Journal, 66, No. 11, pp. 1485-1497.