Tóm tắt Luận án Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI -----
----- Phùng Duy Quang ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học Mã số:62460106 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 2 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS Bùi Khởi Đàm 2. TS Nguyễn Hữu Tiến Phản biện 1: TSKH Phạm Trần Nhu Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Minh Phản biện 3: TS Nguyễn Hắc Hải Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi .. giờ, ngày .. tháng .. năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia 3 MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây các công ty bảo hiểm được mở ra nhiều nơi nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro. Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) đã được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một trong những vấn đề trọng tâm được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc. Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy điển),công trình này đã đưa đến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau đó, Carmer, H. và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả đó Cramer đã đóng góp một cách đáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô hình cơ bản đầu tiên trong số những đóng góp đó là mô hình Cramer – Lunberg. Trong mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp, đều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn đề này như: Asmussen (2000), Buhlma, H. (1970), Embrechts, P. (1997), Kluppelberg, C. (1998), Grandell, J. (1992), Hipp, C. (2004), Schmidli, H. (2004), Musiela, M. (1997), Nyrhinen, H. (2001), Paulsel, J. (2002), Schmidt, K. D. (1995), Các công trình trên đều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ. Bên cạnh đó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale để chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác động của yếu tố lãi suất như: Cai, J (2002), Cai and Dickson, D. C. M. (2003), Gaier, J. (2004), Kluppelberg, C. and Stadtmuller (1998), Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. (2002), Sundt, B. and Teugels, J. L. (1995, 1997), Tang, Q. (2004, 2005), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003, 2006), 4 Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như đối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên đòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do đó, để phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm, đó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H. (1998), Cai, J. (2002), Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003, 2004), Gerber, H. U. (1979), Muller, A. and Pfug, G. (2001), Promisslow, S.D. (1991), Valdez, E. A. (2002), Xu, L. and Wang. R. (2006), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003), Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy Hoàng (2009) đã xây dựng được các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc. Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại đối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình đã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre (2008), Rullière, D. and Loisel, St. (2004), De Vylder, F. E (1997, 1999), De Vylder and Goovaerts, M. J. (1998, 1999), Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. (2001, 2004), Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. (1997). Công trình của Hong, N.T.T. (2013) đã xây dựng được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm: 1 1 t t t i i i i U u X Y = = = + −∑ ∑ , với dãy tiền thu bảo hiểm { } 1i iX ≥ , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 1i iY ≥ , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Công trình của tác giả Hong, N.T.T. (2013) đã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết lẫn thực hành để tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo hiểm. Với những lý do trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên cứu là của luận án là các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác động của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Luận án đã thu được các kết quả mới sau đây: 5 a. Trong mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất. Sử dụng phương pháp đệ quy, phương pháp Martingale luận án đã thiết lập được các bất đẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại đối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. b. Đối với mô hình tổng quát có tác động của lãi suất, luận án mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013), luận án đã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các công thức được xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, độc lập không cùng phân phối, phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng được góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm. Nội dung của luận án gồm 3 chương. Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale. Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Trong chương này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp đệ quy, phương pháp Martingale để xây dựng được các bất đẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại đối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013) cho mô hình bảo hiểm có tác động của lãi suất hằng, luận án đã xây dựng được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với giả thiết 6 dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo tại - Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội. - Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014). - Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam Các kết quả chủ yếu của luận án đã được đăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. 7 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương 1, chúng tôi đã giới thiệu một số khái niệm và kết quả đã có liên quan trực tiếp đến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập, bất đẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên độc lập và mô hình bảo hiểm có tác động của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale. CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất đẳng thức để ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau đây: - Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với vốn của kỳ trước được đem đầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên { } 0i iI I ≥= . Khi đó, vốn ở thời kỳ t được xác định như sau: 1(1 ) , 1,2,...,t t t t tU U I X Y t−= + + − = (2.1) .oU u= - Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng được tính lãi suất là dãy { } 0i iI I ≥= . Khi đó, vốn ở thời kỳ t được xác định như sau 1( )(1 ) , 1,2,...,t t t t tU U X I Y t−= + + − = (2.2) .oU u= trong đó u là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm { } 0i iX X ≥= , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 0j jY Y ≥= , dãy lãi suất { } 0k kI I ≥= và các dãy biến ngẫu nhiên , ,X Y I là độc lập với nhau. Trước hết, ta có mô hình (2.1) và (2.2) lần lượt được viết dưới dạng sau 8 ( ) 11 1 1 1 t tt t k k k j kk j k U u. ( I ) X Y ( I ), == = + = + + − +∑∏ ∏ (2.3) [ ] 11 1 1 1 1 t tt t k k k k j kk j k U u. ( I ) X ( I ) Y ( I ) == = + = + + + − +∑∏ ∏ . (2.4) Ở đây, ta quy ước 1 b t t a z = =∏ và 0b t t a z = =∑ nếu a b> . Trong chương này chúng ta xét các giả thiết sau: Giả thiết 2.1. vốn ban đầu 0oU u= > . Giả thiết 2.2. Dãy tiền thu bảo hiểm { } 0n nX X ≥= là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không âm trong { }1 2, ,...,=X MG x x x với = ∈o i XX x G , 1 , ( ); ,+ = = = ∈ ∈ ij m j m i i j Xp P X x X x m N x x G thỏa mãn 1 0 1; 1. M ij ij j p p = ≤ ≤ =∑ Giả thiết 2.3. Dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 0n nY Y ≥= là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không âm trong { }1 2, ,...,=Y KG y y y với = ∈o r YY y G , 1 , ( ); ,+ = = = ∈ ∈ rs m s m r r s Yq P Y y Y y m N y y G thỏa mãn 1 0 1, 1 K rs rs s q q = ≤ ≤ =∑ . Giả thiết 2.4. Dãy lãi suất { } 0n nI I ≥= là dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị không âm, độc lập, cùng phân phối với hàm phân phối ( )( ) oF t P I t= ≤ . Giả thiết 2.5. , ,X Y I là độc lập với nhau. Khi đó, xác suất thiệt hại của mô hình (2.1) đến thời kỳ t và thời điểm vô hạn với các giả thiết 2.1-2.5 được xác định tương ứng như sau (1) ( , , ) ( )t i r uu x y P T tψ = ≤ 1 ( 0) , , t k o o i o r k P U U u X x Y y =   = < = = =    ∪ , (1) (1)( , , ) ( ) lim ( , , )i r u t i rtu x y P T u x yψ ψ→∞= < +∞ = 1 ( 0) , ,k o o i o r k P U U u X x Y y +∞ =   = < = = =    ∪ . Xác suất thiệt hại của mô hình (2.2) đến thời kỳ t và thời điểm vô hạn với các giả thiết 2.1-2.5 được xác định tương ứng như sau (2) ( , , ) ( )t i r uu x y P T tψ = ≤ 1 ( 0) , , t k o o i o r k P U U u X x Y y =   = < = = =    ∪ , 9 (2) (2)( , , ) ( ) lim ( , , )i r u t i rtu x y P T u x yψ ψ→∞= < +∞ = 1 ( 0) , ,k o o i o r k P U U u X x Y y +∞ =   = < = = =    ∪ . Các kết quả chính của chương 2 gồm. 2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp đệ quy Định lý 2.1. Nếu mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì với mỗi t = 1, 2, (1) 1( , , )t i ru x yψ + = ( )(1) 1 1 (1 ) , , ( ) . s j M K s j ij rs t j s j s j s y x u u y x u p q F u x x y x y dF x u ψ +∞ = = − −   − −   + + + −        ∑∑ ∫ (2.5) Đặc biệt (1) 1 1 ( , , ) . M K s j i r ij rs j s y x u u x y p q F u ψ = = − −  =     ∑∑ (2.6) Đồng thời (1) ( , , )i ru x yψ = ( )(1) 1 1 (1 ) , , ( ) s j M K s j ij rs j s j s j s y x u u y x u p q F u x x y x y dF x u ψ +∞ = = − −   − −   + + + −        ∑∑ ∫ . (2.7) Với quy ước 0 ( ) 0, ( ) 0 z F z dF x= =∫ và 0 ( ) ( ) ( ) ( ) z g x dF x g x dF x +∞ +∞ =∫ ∫ nếu 0.z < Để xây dựng được bất đẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại, cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.1. Cho mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1- 2.5. Nếu với mỗi ,i X r Yx G y G∈ ∈ , thì ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) , ( ) 0 , 0 o r o i o i o r E Y Y y E X X x P Y X X x Y y  = < =  − > = = > (2.8) thì tồn tại duy nhất hằng số 0irR > thỏa mãn phương trình ( )1 1( ) , 1.irR Y X o i o rE e X x Y y− = = = (2.9) 10 Ký hiệu: ( ){ }1 1( )min 0 : , 1; ( , )irR Y Xo ir o i o r i X r YR R E e X x Y y x G y G−= > = = = ∈ ∈ . (2.10) Sử dụng kết quả của bổ đề 2.1 và định lý 2.1, ta thu được bất đẳng thức ước lượng cho xác suất thiệt hại (1) ( , , )i ru x yψ của mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1 – 2.5 như sau Định lý 2.2. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ đề 2.1. Với 0u > , ∈i Xx G và ∈r Yy G ta có 1(1 )(1) 1( , , ) . oR u Ii ru x y E eψ β − + ≤   , (2.11) trong đó 1 0 1 10 0 ( ) inf ,0 1.( ) o o z R uz R ut z u e e dF t F z β β − − > ≥ = ≤ ≤ ∫ (2.12) Định lý 2.3. Nếu mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì với mỗi t = 1, 2, ,ta có (2) 1 ( , , )t i ru x yψ + = ( )(2) 1 1 ( ) ( ) ( )(1 ) , , ( ) s j j M K s j ij rs t j s j s j s y u xj u x y u x p q F u x x y x y dF x u x ψ +∞ = = − + +      − +  + + + −   +      ∑∑ ∫ . (2.13) Đặc biệt (2) 1 1 1 ( )( , , ) M K s j i r ij rs j s j y u x u x y p q F u x ψ = =   − + =   +  ∑∑ . (2.14) Đồng thời (2) ( , , )i ru x yψ = ( )(2) 1 1 ( ) ( ) ( )(1 ) , , ( ) s j j M K s j ij rs j s j s j s y u xj u x y u x p q F u x x y x y dF x u x ψ +∞ = = − + +      − +  + + + −   +      ∑∑ ∫ . (2.15) Để thu được bất đẳng thức đánh giá ước lượng cho xác suất thiệt hại (2) ( , , )i ru x yψ của mô hình (2.2), ta xây dựng bổ đề sau 11 Bổ đề 2.2. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và 1( ) ( 1,2).kE I k< +∞ = Nếu với mỗi i Xx G∈ , r Yy G∈ thì ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 (1 ) , 0 (1 ) 0 , 0 o i o r o i o r E Y X I X x Y y P Y X I X x Y y  − + = = <  − + > = = > , (2.16) thì tồn tại duy nhất hằng số 0irR > thỏa mãn phương trình [ ]( )1 1 1(1 ) , 1.irR Y X I o i o rE e X x Y y− + = = = (2.17) Ký hiệu: [ ]( ){ }1 1 1(1 )min 0 : , 1( , )irR Y X Io ir o i o r i X r YR R E e X x Y y x G y G− += > = = = ∈ ∈ . (2.18) Sử dụng kết quả của bổ đề 2.2 và định lý 2.3, ta thu được bất đẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại (2) ( , , )i ru x yψ của mô hình (2.2) với các giả thiết 2.1 – 2.5 Định lý 2.4. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ đề 2.2. Với 0u > , ∈i Xx G và ∈r Yy G ta có 1 1 1( )(1 )(2) 2( , , ) o oR Y R u X Ii r o r o iu x y E e Y y E e X xψ β − + +   ≤ = =    , (2.19) trong đó 1 0 2 20 0 ( ) inf ,0 1.( ) o o z R uz R ut z u e e dF t F z β β − − > ≥ = ≤ ≤ ∫ (2.20) Nhận xét 2.1. Xét mô hình (2.1) và (2.2) khi thay miền giá trị ,X YG G là tập hữu hạn bởi tập vô hạn đếm được: { }1 2, ,..., ,...X mG x x x= , { }1 2, ,..., ,... .Y nG y y y= Khi đó các định lý 2.1 đến định lý 2.4 được tổng quát trong kết quả [6]. Nhận xét 2.2. Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy chi trả bảo hiểm và dãy lãi suất phụ thuộc Markov còn dãy tiền thu bảo hiểm là độc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp Martingale chúng ta cũng xây dựng được bất đẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình đó. Kết quả đó đăng tải ở công trình [2]. 12 Nhận xét 2.3. Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm và dãy lãi suất phụ thuộc Markov còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là độc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp đệ quy chúng ta cũng xây dựng được bất đẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình đó. Kết quả đó đăng tải ở công trình [7]. 2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale Để thiết lập bất đẳng thức ước lượng cho các xác suất (1) ( , , ) n i ru x yψ và (1) ( , , )i ru x yψ bằng phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ đề sau Bổ đề 2.3. Giả sử mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5. Nếu với mỗi ,i X r Yx G y G∈ ∈ , ( ) ( )1 1o r o iE Y Y y E X X x= < = và ( )11 1 1( )(1 ) 0 , 0o i o rP Y X I X x Y y−− + > = = > , (2.21) thì tồn tại duy nhất hằng số dương irR thỏa mãn ( )11 1 1( )(1 ) , 1.irR Y X I o i o rE e X x Y y−− + = = = (2.22) Đặt: ( ){ }11 1 1( )(1 )min 0 : , 1, , .irR Y X Io ir o i o r i X r YR R E e X x Y y x G y G−− += > = = = ∈ ∈ Dùng bổ đề 2.3 ta thu được các bất đẳng thức ước lượng cho xác suất (1) ( , , )i ru x yψ bằng phương pháp Martingale. Định lý 2.5. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5 và các giả thiết của bổ đề 2.5. Nếu với mỗi 0u > , ,∈ ∈i X r Yx G y G , ta có (1) ( , , ) oR ui ru x i eψ −≤ . (2.23) Để thiết lập bất đẳng thức ước lượng cho các xác suất (2) ( , , )t i ru x yψ và (2) ( , , )i ru x yψ bằng phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ đề sau Bổ đề 2.4. Giả sử mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1 - 2.5. Nếu với mỗi ,i X r Yx G y G∈ ∈ , nếu 13 1 1( )o r o iE Y Y y E X X x = < =  và ( )11 1 1(1 ) 0 , 0,o i o rP Y I X X x Y y−+ − > = = > (2.24) thì tồn tại hằng số dương irR duy nhất thỏa mãn 1 1 1 1(1 ) , 1.irR Y I X o i o rE e X x Y y − + −    = = =    (2.25) Đặt: ( ){ }11 1 1( (1 ) )min 0 : , 1, ,irR Y I Xo ir o i o r i X r YR R E e X x Y y x G y G−+ −= > = = = ∈ ∈ . Dùng kết quả của bổ đề 2.4 và phương pháp chứng minh tương tự định lý 2.5 ta thu được bất đẳng thức ước lượng cho xác suất (2) ( , , )i ru x yψ bằng phương pháp Martingale. Định lý 2.6. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và các giả thiết của bổ đề 2.5. Với mọi 0u > , ,∈ ∈i X r Yx G y G , ta có (2) ( , , ) oR ui ru x y eψ −≤ . ` (2.26) KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Chương 2 của luận án, xét mô hình tổng quát có tác động của lãi suất với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất. Luận án sử dụng phương pháp đệ quy và phương pháp Martingale đã xây dựng được các bất đẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại dưới dạng hàm mũ cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm { } 0i iX X ≥= và dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 0j jY Y ≥= là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất { } 0k kI I ≥= là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Các công trình đã công bố trước đây chỉ dừng lại xét các dãy { } 0i iX X ≥= và { } 0i iY Y ≥= là dãy biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc hồi quy. Đây là lần đầu tiên xây dựng được các bất đẳng thức ước lượng Lundberg tổng quát cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm { } 0i iX X ≥= và dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 0i iY Y ≥= là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. 14 Các kết quả chính của chương 2 là các định lý 2.1 đến định lý 2.6. Kết quả số minh họa cho ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại cho mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất cũng được đưa ra trong chương 2. CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM Trong công trình của Hong, N.T.T. (2013), tác giả đã xây dựng được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình 1 1 t t t i i i i U u X Y = = = + −∑ ∑ Với giả thiết: i iu,t ,X ,Y nhận giá trị nguyên dương (dãy tiền thu bảo hiểm { } 1i iX X ≥= , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 1j jY Y ≥= ). Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013), luận án xây dựng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) trong mô hình tổng quát có tác động của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm và dãy lãi suất độc lập cùng phân phối hoặc không cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau đây -Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất (với lãi suất là hằng số) với vốn của công ty bảo hiểm ở thời kỳ t là: 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) , t t t t i t i t i i i i U u r X r Y r− + − = = = + + + − +∑ ∑ (3.1) trong đó 0 o U u= > , u là vốn ban đầu của hãng bảo hiểm, 0r > là lãi gộp và là hằng số, dãy tiền thu bảo hiểm { } 1i iX X ≥= , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 1j jY Y ≥= và các dãy biến ngẫu nhiên ,X Y là độc lập với nhau. -Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất, vốn của kỳ trước được đem đầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên { } 1i iI I ≥= . Khi đó, vốn ở thời kỳ t được xác định như sau 1(1 ) ; 1,2,...t t t t tU U I X Y t−= + + − = (3.2) 15 trong đó 0 o U u= > , u là vốn ban đầu của hãng bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm { } 1i iX X ≥= , dãy tiền đòi trả bảo hiểm { } 1j jY Y ≥= , dãy lãi suất { } 1k kI I ≥= và các dãy biến ngẫu nhiên , ,X Y I là độc lập với nhau. -Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất, không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng được tính lãi suất là dãy { } 1i iI I ≥= . Khi đó, vốn ở thời kỳ t được xác định như sau 1( )(1 ) ; 1, 2,...t t t t tU U X I Y t−= + + − = (3.3) trong đó 0 o U u= > , u là vốn ban đầu của hãng bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm { } 1i iX X ≥= , dãy tiền đòi trả bảo hiểm { } 1j jY Y ≥= , dãy lãi suất { } 1k kI I ≥= và các dãy biến ngẫu nhiên , ,X Y I là độc lập với nhau. Kết quả mở rộng cho mô hình (3.1) được công bố trong công trình [4]. Trong chương này, luận án chỉ trình bày các kết quả mở rộng cho mô hình (3.2) và (3.3). Để xây dựng công thức, chúng ta xét các giả thiết sau Giả thiết 3.1. vốn ban đầu o U u= , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Giả thiết 3.2. Dãy tiền thu bảo hiểm { } 1i iX X ≥= nhận giá trị dương trong { }1 2 1 2, , ...., , (0 .... ),X M MG x x x x x x= < < < < X là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất chuyển sau 1 bước: ij MxMP p =   ( )1 ( 1, 2,...)ij n j n ip P X x X x n+= = = ∀ = ; 1 0 1; , : 1 M ij i j X ij j p x x G p = ≤ ≤ ∀ ∈ =∑ . Phân phối ban đầu: 1 1 ( ) ( ),0 1, 1 M i i i X i i i P X x p x G p p = = = ∈ ≤ ≤ =∑ . Giả thiết 3.3. Dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 1i iY Y ≥= nhận giá trị dương trong { }1 2 1 2, ,...., , (0 .... ),Y N NG y y y y y y= < < < < Y là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất chuyển sau 1 bước: ij NxNQ q =   ( )1 ( 1, 2,...)ij n j n iq P Y y Y y n+= = = ∀ = ; 1 0 1; , : 1 N ij i j Y ij j q y y G q = ≤ ≤ ∀ ∈ =∑ . 16 Phân phối ban đầu: 1 1 ( ) ( ),0 1, 1 N i i i Y i i i P Y y q y G q q = = = ∈ ≤ ≤ =∑ . Giả thiết 3.4. Dãy lãi suất { } 1n nI I ≥= là nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn { }1 2 1 2, ,..., (0 ... ),I R RG i i i i i i I= ≤ < < < là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất chuyển sau 1 bước: kj RxRH r =   ( )1 ( 1, 2,...)kj n j n kr P I i I i n+= = = ∀ = ; 1 0 1; , : 1 R kj j k I kj j r i i G r = ≤ ≤ ∀ ∈ =∑ . Phân phối ban đầu: 1 1 ( ) ( ),0 1, 1 R k k k I k k k P Y i r i G r r = = = ∈ ≤ ≤ =∑ . Giả thiết 3.5. , ,X Y I là độc lập với nhau. Các giả thiết 3.6-3.10 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp thay dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov bởi dãy biến ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối. Còn các giả thiết 3.11-3.15 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp thay dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov bởi dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, xác suất thiệt hại, không thiệt hại của mô hình (3.2) đến thời điểm t lần lượt được xác định như sau (1) 1 ( ) ( ) ( 0) t t u j j u P T t P Uψ =   = ≤ = <    ∪ , (1) (1) 1 ( ) 1 ( ) ( 1) ( 0) t t t u j j u u P T t P Uϕ ψ =   = − = ≥ + = ≥    ∩ . Xác suất thiệt hại của mô hình (3.3) đến thời điểm t lần lượt xác định như sau (2) 1 ( ) ( ) ( 0) t t u j j u P T t P Uψ =   = ≤ = <    ∪ , (2) (2) 1 ( ) 1 ( ) ( 1) ( 0) t t t u j j u u P T t P Uϕ ψ =   = − = ≥ + = ≥    ∩ . Các kết quả của chương 3 là các Bổ đề, định lý và hệ quả sau. Bổ đề 3.1. Cho số dương u , các dãy số dương{ } { }1 1,t ti ii ix y= = và dãy số không âm { } 1tj ji = . Nếu với mỗi p nguyên dương mà (1 1)p t≤ ≤ − thỏa mãn 17 1 11 1 (1 ) ( ) (1 ) , p pp p k k k j p kk j k y u i x y i x − == = + ≤ + + − + +∑∏ ∏ (3.4) thì 1 1 1 11 1 (1 ) ( ) (1 ) 0. p pp k k k j p kk j k u i x y i x + + + == = + + + − + + >∑∏ ∏ (3.5) Định lý 3.1. Nếu mô hình (3.2) thỏa mãn các giả thiết 3.1 – 3.5 thì xác suất không thiệt hại đến thời điểm t được tính theo công thức 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 (1) , ,.., 1 , ,..., 1 1 1 1 ( ) ... ... ... ... , t t t t t t t t t t R M t c c c c c m m m m m n n n n n c c c x x x n g n g n g u r r r p p p q q qϕ − − − = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤   =     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.6) trong đó 1 1 1 1 1 1 ax : min (1 ) , kn c m N k g m n y u i x y =    = ≤ + +      ∏ , 2 2 2 21 2 2 11 1 ax : min (1 ) ( ) (1 ) , k k k jn c m n c m N kk j k g m n y u i x y i x y == = +      = ≤ + + − + +        ∑∏ ∏ , ... 1 11 1 ax : min (1 ) ( ) (1 ) , . t k k k j t t tt t t n c m m c m N kk j k g m n y u i x y i x y − == = +      = ≤ + + − + +        ∑∏ ∏ Hệ quả 3.1. Xác suất thiệt hại đến thời điểm t của mô hình (3.2) với các giả thiết 3.1-3.5 là: (1) (1)( ) 1 ( )t tu uψ ϕ= − = 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2, ,.., 1 , ,..., 1 1 1 1 1 ... ... ... ... . t t t t t t t t t t R M c c c c c m m m m m n n n n n c c c m m m n g n g n g r r r p p p q q q − − − = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤   −     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.7) Bồ đề 3.2. Cho số dương u , các dãy số dương{ } { }1 1,t ti ii ix y= = và dãy số không âm{ } 1tj ji = . Nếu với mỗi p nguyên dương mà (1 1)p t≤ ≤ − thỏa mãn 1 11 1 (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ), p pp p k k k k j p p kk j k y u i x i y i x i − == = + ≤ + + + − + + +∑∏ ∏ (3.8) thì 18 1 1 1 11 1 (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ) 0. p pp k k k k j p p kk j k u i x i y i x i + + + == = + + + + − + + + >∑∏ ∏ (3.9) Định lý 3.2. Nếu mô hình (3.3) thỏa mãn các giả thiết 3.1- 3.5 thì xác suất không thiệt hại đến thời điểm t được tính theo công thức 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 (2) , ,.., 1 , ,..., 1 1 1 1 ( ) ( ... ).( ... ) ... ... , t t t t t t t t t t R M t c cc c c m mm m m n n n n n c c c m m m n g n g n g u r r r p p p q q qϕ − − − = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤   =     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.10) trong đó, 1 1 1 1 1 1 1 max : min (1 ) (1 ), kn c m c N k g n y u i x i y =    = ≤ + + +      ∏ , 2 2 2 2 21 2 2 11 1 ax : min (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ), , k k k k jn c m c n c m c N kk j k g m n y u i x i y i x i y == = +      = ≤ + + + − + + +        ∑∏ ∏ ... 1 11 1 max : min (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ), . t k k k k j t t t tt t t n c m c n c m c N kk j k g n y u i x i y i x i y − == = +      = ≤ + + + − + + +        ∑∏ ∏ Hệ quả 3.2. Xác suất thiệt hại đến thời điểm t của mô hình (3.3) với các giả thiết 3.1-3.5 là: (2) (2)( ) 1 ( )t tu uψ ϕ= − = 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2, ,.., 1 , ,..., 1 1 1 1 1 ( ... ).( ... ) ... ... . t t t t t t t t t t R M c cc c c m mm m m n nn n n c c c m m m n g n g n g r r r p p p q q q − − − = = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤   = −     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.11) Từ các định lý 3.1 và định lý 3.2 suy ra các công thức tính chính xác xác suất không thiệt hại (thiệt hại) của mô hình (3.2) và (3.3) với dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và độc lập không cùng phân phối. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Trong chương 3 của luận án, chúng tôi đã xây dựng được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình tổng quát có tác động của lãi suấtvới dãy tiền thu bảo hiểm { }nX X= , dãy tiền chi trả bảo hiểm { }nY Y= nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất { }nI I= nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn, các dãy X ,Y ,I là độc lập. Các công thức này 19 cũng được mở rộng đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hoặc độc lập không cùng phân phối, hoặc phụ thuộc Markov. Các kết quả số cũng được đưa ra để minh họa cho công thức lý thuyết. Kết quả của chương 3 của luận án có những điểm mới so với các công trình đã công bố về tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) (chẳng hạn công trình của Hong, N.T.T (2013)), thể hiện ở những điểm sau đây: 1) Các mô hình luận án xét gồm mô hình (3.1), (3.2), (3.3) đều là các mô hình bảo hiểm có tác động của lãi suất tái đầu tư tín dụng. Đây là tình huống thường gặp trong thực tế. Các công trình trước đây đã công bố chưa xét tới các mô hình bảo hiểm có tác động của lãi suất như mô hình (3.1), (3.2) và (3.3). Đây cũng là lần đầu tiên xây dựng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (xác suất không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát (3.1), (3.2), (3.3). 2) Để thiết lập được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho các mô hình (3.2) và (3.3) cần phải sử dụng kết quả của Bổ đề 3.1 và Bổ đề 3.2. 3) Các công trình đã công bố chỉ dừng lại ở việc xét mô hình không có tác động của lãi suất tái đầu tư tín dụng với dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm. Luận án đã xây dựng được các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình (3.2), (3.3) có tác động của lãi suất mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn. Kết quả này tạo cơ sở lý thuyết để mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình (3.2) và (3.3) cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương trong tập hữu hạn. 4) Về chứng minh kết quả chính của chương 3 của luận án. a) Xét mô hình tổng quát không có tác động của lãi suất (Hong, N.T.T. (2013)) 1 1 t t t i i i i U u X Y = = = + −∑ ∑ (3.12) Với { }iX là dãy tiền thu bảo hiểm, { }iY là dãy tiền chi trả bảo hiểm lần lượt là các dãy độc lập cùng phân phối. Đồng thời, các dãy{ } { },i iX Y nhận giá trị nguyên từ 0 đến M ; ,u t nhận giá trị nguyên dương và 1 1( ) ; ( ) ( 0, ).k kP X k p P Y k q i M= = = = = Khi đó, xác suất không thiệt hại đến thời kỳ t của mô hình (3.12) được tính theo công thức 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 0 0 01 0 ...... 0 ... ( ) ... .. . t t t i i o t t H t k k k k k i i i k k M i k u i i k ui t k i i k u u q q q p p pψ − − − − ≤ − ≤ ≤ < + ≤ + < +≤ ≤ = ≤ + + < + = ∑ ∑ (3.13) 20 Cách chứng minh công thức (3. 13) (theo Hong, N.T.T. (2013)) Trước hết, xác suất không thiệt hại đến thời kỳ t của mô hình (3.12) 1 ( ) ( ) ( 0) t H t i i u P A P Uψ =   = = ≥    ∩ . Đặt các tổng 1 1 ; . t t t i t i t t t i i V X S Y U u V S = = = = ⇒ = + −∑ ∑ Khi đó 1 2 1 1 2 2( 0) ( 0) .... ( 0) ( ) ( ) ... ( )t t tA U U U u V S u V S u V S= ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥ = + > ∩ + > ∩ ∩ + ≥ Mấu chốt chứng minh ở đây là do dãy iX nhận giá trị nguyên từ 0 đến M nên iV nhận giá trị nguyên dương từ 0 đến iM. Do vậy iV gán nhận giá trị bằng ik ( ik đi từ 0 đến iM). Khi đó 1 2 2 2 1 1 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ... ( ). M M tM t k k k A u k S u k S u k S = = = = + > ∩ + > ∩ ∩ + >∪ ∪ ∪ (3.14) Sau đó cũng do giả thiết iY nhận giá trị nguyên từ 0 đến M nên iS được gán nhận giá trị bằng ih ( ih đi từ 0 đến iM ). Cuối cùng, sẽ xây dựng được công thức (3.13). b) Xét mô hình tổng quát có tác động của lãi suất hằng số (xem [4]) 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) t t t t i t i t i i i i U u r X r Y r− + − = = = + + + − +∑ ∑ (3.15) Với giả thiết , , ,i iu t X Y nhận giá trị nguyên dương, r lãi suất nhận giá trị dương và 1 1( ) ( 1, ); ( ) ( 1, ).k kP X k p k M P Y k q k N= = = = = = Khi đó, xác suất không thiệt hại đến thời kỳ t được tính theo công thức 1 2 1 2 1 2, ,... 1 1 ( 1, ) ( ) ... .. , t t t i i M Q t x x x y y y x x x y g i t u p p p p p pψ = ≤ ≤ = = ∑ ∑ (3.16) Trong đó, [ ]{ }1 1min (1 ) (1 ) ,g u r x r N= + + + , 2 1 2 3 2 2 1 1 min (1 ) (1 ) (1 ) ,k kk k k k g u r x r y r N− − = =    = + + + − +      ∑ ∑ , (3.17) 1 1 1 1 min (1 ) (1 ) (1 ) , t t t t k t k t k k k k g u r x r y r N − + − − = =    = + + + − +      ∑ ∑ , [ ]1(1 ) (1 )u r x r+ + + là phần nguyên của 1(1 ) (1 )u r x r+ + + . 21 Bây giờ dùng cách đặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. (2013) để chứng minh hoặc xây dựng công thức tính xác suất không thiệt hại cho mô hình (3.15). Nếu với cách đặt 1 1 1 (1 ) ; (1 ) (1 ) . t t t i t i t t i t i t t t i i V X r S Y r U u r V S− + − = = = + = + ⇒ = + + −∑ ∑ Khi đó [ ] 1 2 2 1 1 2 2 ( 0) ( 0) .... ( 0) (1 ) (1 ) ... (1 ) . t t t t A U U U u r V S u r V S u r V S = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥    = + + ≥ ∩ + + ≥ ∩ ∩ + + ≥    Ký hiệu: { }1 ax : 1,2,... ,iK m V i t= = { }2 ax : 1,2,... .iK m S i t= = Tuy nhiên do trong biểu thức của ( 1,2,... )jV j t= mỗi số hạng có nhân tử 1(1 ) j ir − ++ nhân với iX nên jV nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng 1(0, ]K nên không thể gán được như cách làm ở mô hình (3.12), trong biểu thức của ( 1, 2,..., )jS j t= mỗi số hạng có nhân tử (1 ) j ir −+ nhân với iY nên jS nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng 2(0, ]K nên không thể gán được như cách làm ở mô hình (3.12). Như vậy cách đặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. (2013) không sử dụng được cho mô hình (3.16). Chính vì vậy để chứng minh và xây dựng công thức (3.17), luận án (xem [4]) phải tách mô hình (3.15) dưới dạng 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) t t t t i t i t i i t i i U u r X r Y r Y − − + − = = = + + + − + −∑ ∑ Khi đó ( ) ( ) ( )1 2 1 : ( 0) 0 0 ... 0 t j t j A U U U U = = ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥∩ ( )1 1(1 ) (1 )Y u r X r= ≤ + + + ∩ 2 1 2 3 2 2 1 1 (1 ) (1 ) (1 )k kk k k k Y u r X r Y r− − = =  ≤ + + + − + ∩    ∑ ∑ 3 2 3 4 3 3 1 1 (1 ) (1 ) (1 )k kk k k k Y u r X r Y r− − = =  ≤ + + + − + ∩    ∑ ∑ 1 1 1 1 ... (1 ) (1 ) (1 ) . t t t t k t k t k k k k Y u r X r Y r − + − − = =   ∩ ≤ + + + − +    ∑ ∑ (3.18) Sau đó mới sử dụng giả thiết iX nguyên dương nhận giá trị từ 1 đến M .Từ (3.18) ta suy ra điều kiện của iY và đồng thời iY nguyên dương nhận giá trị từ 1 đến N . Do vậy, 1Y gán nhận giá trị 22 nguyên dương từ 1 đến 1g , 2Y gán nhận giá trị nguyên dương từ 1 đến 2g , ., tY gán nhận giá trị từ 1 đến tg (với ig xác định ở công thức (3.17)).Từ đó, xây dựng được công thức (3.16). Chi tiết chứng minh được trình bày trong công trình [4]. Kết quả của công trình [4] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án) có thể mở rộng cho trường hợp ,i iX Y nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn. c) Xét mô hình tổng quát có tác động của lãi suất (xem [1]) Chẳng hạn, xét mô hình 1(1 ) ; 1,2,...t t t t tU U I X Y t−= + + − = (3.19) Khi đó, (3.19) được viết dưới dạng 11 1 . (1 ) ( ) (1 ) t tt t k k k j kk j k U u I X Y I == = +   = + + − +    ∑∏ ∏ Khi đó, xác suất không thiệt hại của mô hình (3.19) với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất được cho ở công thức (3.9) của định lý 3.1 ở chương 3 của luận án. Bây giờ dùng cách đặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T.(2013) để chứng minh hoặc xây dựng công thức tính xác suất không thiệt hại cho mô hình (3.19). Để sử dụng được tổng, chẳng hạn ta viết 1 11 1 1 . (1 ) (1 ) (1 ) t t tt t t k k j k j k kk j k j k U u I X I Y I = == = + = + = + + + − +∑ ∑∏ ∏ ∏ ,t t tV S P= + − (3.20) hoặc 1 11 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) t t tt t t k k j k j k kk j k j k U u I X I Y I = == = + = +   = + + + − +    ∑ ∑∏ ∏ ∏ .t tV P= − (3.21) Với cách đặt (3.20), ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 : ( 0) 0 0 ... 0 t j t j A U U U U = = ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥∩ ( )1 1 1 2 2 2( ) ( ) ... .t t tV S P V S P V S P= + ≤ ∩ + ≤ ∩ + ≤ Với cách đặt (3.21), ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 : ( 0) 0 0 ... 0 t j t j A U U U U = = ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥∩ ( )1 1 2 2( ) ( ) ... .t tV P V P V P= ≤ ∩ ≤ ∩ ≤ 23 Xét cách đặt (3.20), ký hiệu { }1 ax 1, 2,... ,iK m V i t= = { }2 ax : 1, 2,... ,iK m S i t= = { }3 ax : 1,2,... .iK m P i t= = Vì ,i iX Y nhận giá trị dương và iI nhận giá trị không âm nên iV nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng 1(0, ]K , iS nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng 2(0, ]K , iP nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng 3(0, ]K nên không thể sử dụng cách đặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. (2013) được . Tương tự với cách đặt (3.21) hoặc các cách đặt tổng khác đều không sử dụng được như chứng minh của Hong, N.T.T. (2013). Chính vì vậy, để xây dựng công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại), luận án tách mô hình (3.20) dưới dạng sau 1 11 1 . (1 ) ( ) (1 ) t tt t k k k j t t kk j k U u I X Y I X Y − == = +   = + + − + + −    ∑∏ ∏ (3.22) Khi đó: 1 : ( 0) t j j A U = = ≥∩ 1 1 1 1 (1 )k k Y u I X =   = ≤ + + ∩    ∏ 2 21 2 2 11 1 (1 ) ( ) (1 )k k k j kk j k Y u I X Y I X == = +   ≤ + + − + + ∩    ∑∏ ∏ 3 32 3 3 11 1 (1 ) ( ) (1 ) ...k k k j kk j k Y u I X Y I X == = +   ≤ + + − + + ∩    ∑∏ ∏ 1 11 1 ... (1 ) ( ) (1 ) . t tt t k k k j t kk j k Y u I X Y I X − == = +   ∩ ≤ + + − + +    ∑∏ ∏ (3.23) Sau đó mới sử dụng giả thiết iI nhận giá trị không âm trong tập { }1 2, ,..., ,I RG i i i= mới gán iI nhận giá trị từ 1 2, ,..., .Ri i i Rồi do giả thiết iX nhận giá trị dương trong tập { }1 2, ,...,X MG x x x= mới gán iX nhận giá trị từ 1 2, ,..., .Mx x x Cuối cùng từ công thức (3.23) thu được các điều kiện của iY và sử dụng iY nhận giá trị dương trong tập { }1 2, ,...,Y NG y y y= để cho 1Y nhận giá trị dương từ 1 đến 1g , 2Y nhận giá trị dương từ 1 đến 2g , ., tY nhận giá trị dương từ 1 đến tg (với ig xác định trong định lý 3.1). Từ đó, xây dựng được công thức (3.9) của định lý 3.1. Chi tiết chứng minh được trình bày trong định lý 3.1 ở mục 3.1 chương 3 của luận án. 24 Vậy dùng phương pháp chứng minh của luận án có thể xây dựng và chứng minh được công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình tổng quát (3.1), (3.2), (3.3). Đồng thời cũng suy ra được công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình (3.12). Cụ thể cho r = 0 (trong [4]) hoặc In = 0 (trong [1]) thì có ngay công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình (3.46). Tuy nhiên dùng cách đặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. (2013) chỉ xây dựng được công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình (3.12) mà không xây dựng được công thức tính xác suất thiệt hại (ko thiệt hại) cho mô hình (3.1), (3.2) và (3.3). 25 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án, chúng tôi đã thu được các kết quả mới chủ yếu sau đây: 1.Trong chương 2 của luận án, chúng tôi nghiên cứu mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất. Các công trình trước đây chỉ dừng lại xây dựng bất đẳng thức Lundberg tổng quát cho mô hình này với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hoặc dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc hồi quy. Sử dụng phương pháp đệ quy và phương pháp Martingale, luận án lần đầu tiên xây dựng được các bất đẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại dưới dạng hàm mũ cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm { }nX X= , dãy tiền chi trả bảo hiểm { }nY Y= là các xích Markov thuần nhất không âm, còn dãy lãi suất { }nI I= là dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị không âm, độc lập, cùng phân phối, các dãy X ,Y ,I đều độc lập với nhau. Kết quả số minh họa cho các ước lượng chặn trên cho các xác suất thiệt hại của các mô hình đó cũng được giới thiệu trong chương này. Kết quả chính của chương này là các định lý 2.1 đến định lý 2.6. 2.Trong chương 3 của luận án, chúng tôi đã mở rộng được các kết quả của Hong, N.T.T.(2013), luận án lần đầu tiên xây dựng được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình tổng quát có tác động của lãi suất bất kỳ với dãy tiền thu bảo hiểm { }nX X= , dãy tiền chi trả bảo hiểm { }nY Y= nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất { }nI I= nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn, các dãy X ,Y ,I là độc lập. Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) được đưa ra trong luận án đều xem xét đối với các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hoặc độc lập không cùng phân phối, hoặc phụ thuộc Markov. Các mô hình luận án xét gồm mô hình (3.1), (3.2), (3.3) đều là các mô hình bảo hiểm có tác động của lãi suất tái đầu tư tín dụng. Đây là tình huống thường gặp trong thực tế. Bên cạnh đó, các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình (3.2), (3.3) được mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn. Kết quả này tạo cơ sở lý thuyết để mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình đó cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương trong tập hữu hạn. 26 Các kết quả số minh họa cho công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho các mô hình đó cũng được giới thiệu trong chương này. Kết quả chính của chương 3 là các định lý 3.1 và định lý 3.2, các kết quả này đã xây dựng được công thức tính chính xác xác suất không thiệt hại (thiệt hại) của mô hình (3.2) và (3.3) với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Từ các định lý 3.1 và định lý 3.2 suy ra các công thức tính chính xác xác suất không thiệt hại (thiệt hại) của mô hình (3.2) và (3.3) với dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và độc lập không cùng phân phối. Các kết quả chính cuả luận án đã được công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu sau đây: a. Mở rộng các kết quả của chương 3 cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương. b. Trong bài toán ước lượng xác suất thiệt hại bằng bất đẳng thức: so sánh các ước lượng bằng phương pháp đệ quy và phương pháp Martingale. Xây dựng ví dụ số cho các ước lượng bất đẳng thức bằng phương pháp Martingale. c. Ước lượng xác suất cho một số mô hình bảo hiểm với các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc theo nghĩa mixing. d. Nghiên cứu ước lượng xác suất thiệt hại cho các bài toán tái bảo hiểm. 27 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] Bui Khoi Dam, Phung Duy Quang (2014), Finite – Time Ruin Probability in a Generalized Risk Processes under Interest Force, Mathematica Aeterna, Vol.4, no.4, 351-369. [2] Phung Duy Quang (2014), Upper Bounds for Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain claims and homogenous Markov chain Interests, American Journal of Mathematics and Statistics, Vol.4, No.1, 21-29. [3] Phung Duy Quang (2014), Upper Bounds for Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain claims and homogenous Markov chain premiums, Applied Mathematical Sciences, Vol.8, No.29, 1445-1454(tạp chí thuộc danh mục SCI). [4] Quang Phung Duy (2013), Computing Ruin Probability in Generalized Risk Processes under constant interest force, International Journal of Probability and Statistics (USA), Vol.2, No.2, 35-41. [5] Quang Phung Duy (2013), Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain claims and homogenous Markov chain premiums, American Journal of Mathematics and Statistics, Vol.3, No.6, 375-388. [6] Phung Duy Quang (2014), Ruin Probability in a Generalised Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Markov Chains, East Asian Journal on Applied Mathematics, Vol. 4, No. 3, 283-300 (tạp chí thuộc danh mục SCIE). [7] Bui Khoi Dam, Phung Duy Quang (2014), Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain premiums and homogenous Markov chain Interests, Vietnam Journal of Mathematical Applications, Vol.12, No.1, 43-62.