[Tóm tắt] Luận văn Đa thức và phân thức hữu tỷ dành cho học sinh chuyên toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------- NGUYỄN ĐỨC LAI – C00449 ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ DÀNH CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI HUY HIỀN Hà Nội – Năm 2016 1 MỤC LỤC Trang Mục lục....... 1 Mở đầu ........................... 3 Lời cảm ơn ...... 4 Chương 1. Tóm tắt một số kiến thức chung về đa thức và phân thức hữu tỷ I Vành đa thức một biến..... 5 I.1 Đa thức trong vành [ ]K X 5 I.2 Tính chất của vành [ ]K X 6 I.3 Phép đạo hàm........ 6 I.4 Hàm đa thức....... 6 II Số học trong vành đa thức. 7 II.1 Phép chia có dư. 7 II.2 Đa thức bất khả quy.. 8 II.3 Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức) .. 8 III Nghiệm của đa thức 9 III.1 Không điểm của đa thức. 9 III.2 Tính chất của không điểm và đạo hàm.. 9 III.3 Định lý Berzout... 9 III.4 Đa thức nội suy Lagrange. 9 IV Phân thức hữu tỷ.. 9 IV.1 Các định nghĩa. 9 IV.2 Phép phân tích một phân thức hữu tỷ 10 IV.3 Các phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ. 10 IV.4 Ứng dụng của phép phân tích một phân thức hữu tỷ 10 Chương 2. Các dạng toán về đa thức và phân thức hữu tỷ Thang Long University Library 2 I Bài toán số học của đa thức hệ số nguyên. 11 I.1 Bài toán về tính chia hết của đa thức. 11 I.2 Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy. 12 I.3 Một số bài toán về đa thức Chebyshev.. 14 II Nghiệm của đa thức 14 II.1 Tìm nghiệm của đa thức. 14 II.2 Tính chất của nghiệm của đa thức.. 15 II.3 Nghiệm bội và đạo hàm của đa thức.. 18 III Bài toán xác định đa thức.. 19 III.1 Xác định đa thức khi cho biết nghiệm của đa thức ........ 19 III.2 Dùng phương pháp hệ số bất định ... 20 III.3 Tìm đa thức khi biết một số giá trị của đa thức và đạo hàm. 21 IV Phân thức hữu tỷ.. 23 IV.1 Phân tích phân thức hữu tỷ... 23 IV.2 Ứng dụng của phép phân tích phân thức hữu tỷ vào tính tích phân. 23 Phần III: Kết luận . Tài liệu tham khảo.. 3 MỞ ĐẦU Trong chương trình môn Toán ở bậc Phổ thông, học sinh được tiếp cận với đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên. Bài toán về đa thức và phân thức hữu tỷ xuất hiện trong hầu hết các cuộc thi. Hiện nay, các tài liệu về đa thức cũng khá đa dạng và phong phú. Tuy nhiên, đa số đều khó đối với các học sinh mới bắt đầu tiếp cận. Vì vậy tôi lựa chọn các dạng toán điển hình về đa thức và phân thức hữu tỷ để nghiên cứu và phục vụ cho học sinh các lớp chuyên toán phổ thông. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Tóm tắt một số kiến thức chung về đa thức và phân thức hữu tỷ. Chương 2. Các dạng toán về đa thức và phân thức hữu tỷ. Hà nội. ngày 15 tháng 5 năm 2016 Tác giả Nguyễn Đức Lai Thang Long University Library 4 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của tiến sĩ Bùi Huy Hiền. Em xin chân thành cảm ơn Thầy đã tận tâm, nhệt tình hướng dẫn em trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn trường Đại học Thăng Long, cảm ơn các Thầy, Cô giáo của Nhà trường đã nhiệt tình giảng dạy cho em trong suốt thời gian qua. Cảm ơn các Thầy, Cô giáo trường THPT Chuyên Bắc Giang đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi có nhiều thời gian tham gia học tập nâng cao trình độ. Cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Thăng Long khoá 03 đã giúp đỡ tôi trong cả quá trình học tập tại trường! Hà nội. ngày 15 tháng 5 năm 2016 Tác giả Nguyễn Đức Lai 5 CHƯƠNG 1 TÓM TẮT MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUNG VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ I. VÀNH ĐA THỨC MỘT BIẾN. I.1. Đa thức trong vành [ ]K X I.1.1. Định nghĩa I.1.1.1. Định nghĩa 1. Với mọi dãy  n na  thuộc K , ta gọi { , 0}nI n a   là giá của  n na  . Đa thức một biến, có hệ tử lấy trong K là dãy  n na  bất kỳ thuộcK có giá hữu hạn. I.1.1.2. Định nghĩa 2. Cho đa thức   [ ]n nP a K X  . Số tự nhiên n lớn nhất sao cho na khác không được gọi là bậc của P , viết  deg P n . Khi đó na gọi là hệ tử cao nhất của P , nếu 0P  và 1na  thì P gọi là chuẩn tắc. I.1.2. Các phép toán của đa thức. I.1.2.1. Phép cộng. Cho các đa thức   [ ]n nP a K X  và   [ ]n nQ b K X  . Khi đó tổng của chúng được viết và tính theo công thức   [ ]n n nP Q a b K X    . I.1.2.2. Phép nhân. Cho các đa thức   [ ]n nP a K X  và   [ ]n nQ b K X  . Khi đó tích của chúng được viết và tính theo công thức là  . [ ]n nPQ c K X  . I.1.2.3. Phép hợp đa thức. Thang Long University Library 6 Cho các đa thức   [ ]n nP a K X  ,   [ ]n nQ b K X  . Ta gọi đa thức hợp của P và Q được viết là P Q hoặc  P Q và được xác định theo công thức   0 N n n n P Q P Q a Q    . I.2. Tính chất của vành [ ]K X . I.3. Phép đạo hàm. I.3.1. Định nghĩa. Với mọi đa thức 0 [ ] N n n n P a X K X    , đa thức đạo hàm của P , ký hiệu là 'P được xác định bởi   1 1 1 0 0 ' 1 [ ] N N n n n n n n P na X n a X K X           . Ta ký hiệu           1 2 1 *', ' ',..., ',k kP P P P P P k     . I.3.2. Tính chất của phép đạo hàm. Công thức Leibniz. Đạo hàm cấp  ,k k của đa thức tích PQ được tính bằng công thức        1 0 k k i ki k i PQ C P Q    . I.4. Hàm đa thức. I.4.1 Định nghĩa. Cho đa thức 0 [ ] N n n n P a X K X    . Khi đó ta có hàm :P K K xác định bởi quy tắc   0 , N n n n x K P x a x     được gọi là hàm đa thức liên kết với P . I.4.2. Mệnh đề 1. Cho ,P Q là các đa thức trong [ ]K X , K  ta có 7 , , .P Q P Q P Q P Q PQ PQ      . I.4.3. Định lý(Định lý Taylor đối với đa thức). Cho đa thức [ ],P X N  , thỏa mãn  deg , .P N   Ta có công thức       0 ! nN n n P P X X n      . I.4.4. Mệnh đề 2. Ánh xạ : [ ] KF K X K P P  Là đơn Ánh khi và chỉ khi K vô hạn. II. SỐ HỌC TRONG VÀNH ĐA THỨC. II.1. Phép chia có dư. II.1.1. Định nghĩa tính chia hết. Cho ,A P là hai đa thức trong [ ]K X và K . Ta nói A chia hết P ( trong [ ]K X ) và ký hiệu là A P , khi và chỉ khi tồn tại đa thức [ ]Q K X sao cho P AQ . II.1.2. Tính chất của quan hệ chia hết. II.1.3. Phép chia Euclide. Định lý. Cho các đa thức , [ ], 0A B K X B  . Tồn tại duy nhất cặp đa thức     2 , [ ]Q R K X sao cho    ,deg degA BQ R R B   , ,Q R lần lượt là thương và dư trong phép chia Euclide A cho B . II.1.4. Định nghĩa Ước chung lớn nhất(UCLN), Bội chung nhỏ nhất(BCNN). Thang Long University Library 8 II.1.5. Tính chất của Ước chung lớn nhất(UCLN), Bội chung nhỏ nhất(BCNN). II.1.6. Đa thức nguyên tố cùng nhau. II.1.7. Các định lý và tính chất. Cho , , , ,A B C P Q là các đa thức trong [ ]K X và K . Mệnh đề 1. Nếu đa thức ,A B khác không, nguyên tố cùng nhau và đa thức C chia hết B thì A và C nguyên tố cùng nhau. Định lý 1 (Định lý Bezout). Điều kiện cần và đủ để các đa thức 1 2, ,...,P P P khác không, nguyên tố cùng nhau trong toàn thể là tồn tại các đa thức 1 2, ,..., nQ Q Q khác không sao cho 1 1 n i i i PQ   . Định lý 2(Định lý Gauss). Nếu đa thức ,A B khác không, nguyên tố cùng nhau và đa thức A chia hết BC thì A chia hết C . Mệnh đề 2. II.2. Đa thức bất khả quy. II.2.1. Định nghĩa. Một đa thức [ ]P K X gọi là bất khả quy (nguyên tố) khi và chỉ khi  deg 1P  và P chỉ có ước trong [ ]K X là \{0}K  và  [ ], K\{0}P K X   . II.2.2. Tính chất của đa thức bất khả quy. Mệnh đề 1. Mệnh đề 2. II.3. Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức). 9 Định lý. Hệ quả. Mệnh đề. III. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. III.1. Không điểm của đa thức. III.1.1. Định nghĩa 1. Cho [ ],P K X a K  . Ta nói rằng  là một không điểm hay một nghiệm của P khi và chỉ khi   0P   . III.1.2. Định nghĩa 2. Cho [ ],P K X a K  . Ta nói rằng  là không điểm cấp bội không thấp hơn k khi và chỉ khi   k P X  . III.2. Tính chất của không điểm và đạo hàm. III.2.1. Định lý Viet. III.2.2. Đạo hàm với nghiệm của đa thức. III.3. Định lý Berzout. Cho đa thức   11 1 0... [ ] n n n nP X a X a X a X a K X        nếu K là một không điểm của P khi và chỉ khi ta có      P X X Q X  . III.4. Đa thức nội suy Lagrange. Định lý. IV. PHÂN THỨC HỮU TỶ. IV.1. Các định nghĩa. IV.1.1. Định nghĩa 1. IV.1.2. Định nghĩa 2. IV.1.3. Định nghĩa 3. Thang Long University Library 10 IV.1.4. Định nghĩa 4. IV.1.5. Tính chất. IV.2. Phép phân tích một phân thức hữu tỷ. IV.2.1. Các bổ đề. Bổ đề 1. Bổ đề 2. Bổ đề 3. Bổ đề 4. IV.2.2. Định nghĩa. IV.2.3. Định lý. IV.3. Các phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ. Phương pháp 1: Phương pháp đồng nhất hệ số. Phương pháp 2: Phương pháp chia theo lũy thừa tăng. Phương pháp 3: Phương pháp hệ số bất định. IV.4. Ứng dụng của phép phân tích một phân thức hữu tỷ. 11 CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ I. DẠNG 1. TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN. I.1. Bài toán về tính chia hết của đa thức. Bài toán I.1.1. Cho   4 3 24 1P x x x ax bx     . Tìm tất cả các giá trị của , ,a b c để  P x viết thành bình phương của một đa thức. Bài toán I.1.2. Tìm phần dư trong phép chia 100x cho   2 1x  . Bài toán I.1.3. Tìm các số , ,a b c sao cho   3 2P x x ax bx c    chia hết cho 2x và   3 2P x x ax bx c    chia cho 2 1x  dư 2x . Bài toán I.1.4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của n , đa thức     2 1 21 n nP x x x     luôn chia hết cho đa thức   2 1Q x x x   . Bài toán I.1.5. Tìm tất cả các giá trị của n để đa thức   2 1n nP x x x   chia hết cho đa thức   2 1Q x x x   . Bai toán I.1.6. Cho đa thức  P x , biết  P x chia cho  2014x  và  2015x  lần lượt dư ,a b . Tìm phép dư trong phép chia  P x cho    2014 2015x x  . Bài toán I.1.7. Chứng minh rằng UCLN của 1mx  và 1nx  là  , 1UCLN m nx  . Thang Long University Library 12 I.2. Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy Bài toán I.2.1. Cho   [ ]P x x và có bậc n lẻ, nhận giá trị bằng 1 hoặc 1 tại n giá trị nguyên khác nhau. Chứng minh rằng   [ ]P x x bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.2. Cho  P x thỏa mãn      1 2014xP x x P x   và  2014 2014!P  . Chứng minh rằng    2 1f x P x  bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.3. Cho ,a n nguyên và p là một số nguyên tố thỏa mãn 1p a  . Chứng minh rằng   nf x x ax p   bất khả quy trong [ ]x . Bài toán I.2.4. Cho   0 [ ] n i i i P x a x x    thỏa mãn 0a nguyên tố, 0 1 ... na a a   . Chứng minh rằng   0 [ ] n i i i P x a x x    bất khả quy trong [ ]x . Bài toán I.2.5. Cho , ,a m n nguyên dương, p là số nguyên tố thỏa mãn 1p a  . Chứng minh rằng đa thức     nmf x x x a p   bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.6. Chứng minh rằng đa thức       2 2 2 2 2 21 2 ... 1f x x x x n     bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.7. Cho đa thức     2 2 7 6 13 n P x x x    . 13 Chứng minh rằng nếu              . , , [ ], ,P x Q x R x Q x R x x Q x R x const   thì      deg deg 2Q x R x n  . Từ đó chỉ ra  P x bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.8. Cho đa thức  f x trên [ ]x có bậc n . Nếu tồn tại ít nhất 2 1n số nguyên, phân biệt m sao cho  f m nguyên tố thì  f x bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.9. Chứng minh rằng đa thức     2 2 1 n P x x x   bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.10. Cho số nguyên tố 5p  . Tìm số các đa thức bất khả quy trên [ ]x của đa thức có dạng   1, ; , {1,2,3,..., 1}p k lP x x px px k l k l p       . Bài toán I.2.11. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì đa thức   1 1 px P x x    bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.12. Cho số nguyên tố p và số nguyên a không chia hết cho p . Chứng minh rằng đa thức   pP x x x a   bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.13. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa thức   4nP x x  khả quy trên [ ]x là n chia hết cho 4. Bài toán I.2.14. Cho , 1.n n  Chứng minh rằng   15 3n nP x x x    bất khả quy trên [ ]x . Bài toán I.2.15. Thang Long University Library 14 Cho , 4n n  , chứng minh rằng   3 2 5nP x x x x x     bất khả quy trên [ ]x . I.3. Một số bài toán về đa thức Chebyshev. Các bài toán về đa thức Chebyshev tương đối khó với đa số học sinh, với mục đích giới thiệu cho các học sinh chuyên mới tiếp cận với đa thức nên tôi chọn lọc một số bài toán thường gặp của đa thức Chebyshev. Bài toán I.3.1. a) Cho   22f x x bx c   . Tìm các số ,b c để với mọi [ 1;1]x  thì   1f x  . b) Cho   3 24f x x ax bx c    . Tìm các số , ,a b c để với mọi [ 1;1]x  thì   1f x  . Bài toán I.3.2. Tìm các số thực , ,a b c sao cho   3 2 [ 1;1] f x max x ax bx c      đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán I.3.3. (Ứng dụng đa thức Chebyshev giải phương trình bậc cao). Giải các phương trình sau a) 5 310 20 18 0x x x    . b) 5 316 20 5 3 0x x x    . Bài toán I.3.4. Cho số thực  thỏa mãn 6 6 1 6a a   . Hãy tính giá trị của 4 4 1 A a a   . II. DẠNG 2. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. II.1. Tìm nghiệm của đa thức. Bài toán II.1.1. Tìm tất cả các nghiệm của đa thức sau với  1 0.a a             2 3 2 3 2 2 2 21 1P x a a x x x x a a        . 15 Bài toán II.1.2. Cho đa thức   1 2 2 22 2... n n n nP x ax ax c x c x n bx b          có bậc là n và có n nghiệm dương. Hãy tìm tất cả các nghiệm của đa thức trên. II.2. Tính chất của nghiệm của đa thức. Bài toán II.2.1. Cho đa thức Cho đa thức   11 1 0... , 0. n n n n nP x a x a x a x a a        Giả sử 0x là nghiệm của đa thức. Chứng minh rằng 0 0 1 1 i i n n a x max a     . Bài toán II.2.2. Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với tất cả các hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ. Bài toán II.2.3. Cho 2 đa thức     0 0 , n n i j i j i i P x a x Q x b x      , biết n na b là số nguyên tố và 1 1n na b  . Gọi m là nghiệm hữu tỷ chung của    ,P x Q x . Chứng minh rằng m là số nguyên. Bài toán II.2.4. Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức   4 3 1P x x x   là nghiệm của đa thức   6 4 3 2 1Q x x x x x     . Bài toán II.2.5. Cho đa thức   1 1 1 , 0, 1, 1 n i n i i i P x a x x a i n          và  P x có n nghiệm thực. Chứng minh rằng  2 3nP  . Bài toán II.2.6. Thang Long University Library 16 Cho đa thức   11 1 0... , 1, 0, 1 n n n kP x x a x a x a a k n            . Chứng minh rằng nếu  P x có n nghiệm thực thì 3n  . Bài toán II.2.7. Cho đa thức   1 1 1 , 0, 1, 1 n i n i i i P x a x x a i n          và ta có 1 2 1 1... 3, 2n na a a a      .Chứng minh rằng đa thức  P x không thể có n nghiệm thực. Bài toán II.2.8. Cho 3 số thực , ,a b c thỏa mãn điều kiện *,n n na b c n     . Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên , ,p q r sao cho , ,a b c là 3 nghiệm của phương trình 3 2 0.x px qx r    Bài toán II.2.9. Cho   [ ]P x x . Chứng minh rằng nếu  0P và  1P đều lẻ thì  P x không có nghiệm nguyên. Bài toán II.2.10. Cho  P x là đa thức nguyên và   1P x  có nghiệm nguyên là 1x ,   2P x  có nghiệm nguyên là 2x ,   3P x  có nghiệm nguyên là 3x . Chứng minh rằng 1 2 3; ;x x x theo thứ tự là nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình      1; 2; 3P x P x P x   . Bài toán II.2.11. Cho   1 22 9 1992 11 ... , 9 1992,s nn n i i iP x x x x x x x n n n            . Chứng minh rằng nghiệm của  P x (nếu có) không thể lớn hơn 1 5 2  . 17 Bài toán II.2.12. Cho   3 26P x x x ax a    . Tìm tất cả các giá trị của a để 3 nghiệm của  P x là 1 2 3; ;x x x thỏa mãn   3 3 1 3 0i i x    . Bài toán II.2.13. Cho   3 2 [ ]P x x ax bx c x     . Chứng minh rằng nếu có 1 nghiệm của  P x bằng tích 2 nghiệm còn lại thì          2 1 1 1 2 1 0P P P P     . Bài toán II.2.14. Cho   0 [ ] n i i i P x a x x    . Chứng minh rằng nếu p q  là nghiệm của  P x thì ta luôn có     , .p mq P m m   Bài toán II.2.15. Cho đa thức với hệ số nguyên là  P x . Thỏa mãn tất cả các số    0 ; 1 ;...,P P  1P m  đều không chia hết cho ; ; 2m m m  thì  P x không có nghiệm nguyên. Bài toán II.2.16. Cho   [ ]f x x có ít nhất 2 nghiệm thực. Chứng minh rằng      'P x f x f x  cũng có ít nhất 2 nghiệm thực. Bài toán II.2.17. Cho   [ ]P x x . Chứng minh rằng nếu 2 3   là nghiệm của  P x thì  P x cũng nhận 2 3 làm nghiệm. Bài toán II.2.18. Thang Long University Library 18 Cho đa thức  P x bậc 4 có 4 nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng đa thức        2 2 1 4 1 4 1 ' '' x x R x P x P x P x x x           cũng có 4 nghiệm dương phân biệt Bài toán II.2.19. Cho đa thức   11 1 0... n n nP x x a x a x a       có n nghiệm không âm. Chứng minh rằng 11 0 n na a n       . Bài toán II.2.20. Cho đa thức   3 22 2P x x x x m    . Chứng minh rằng  P x không thể có 3 nghiệm hữu tỷ phân biệt với mọi m . II.3. Nghiệm bội và đạo hàm của đa thức. Bài toán II.3.1. Cho các đa thức    3 2 3 22 3 4; 5 10 10P x x x x Q x x x x        . Chứng minh rằng các đa thức đã cho có một nghiệm duy nhất và hãy tính tổng 2 nghiệm của chúng. Bài toán II.3.2. Cho đa thức monic     , deg 1,P x P x n  có n nghiệm thực là 1 2; ;...; nx x x . Chứng minh rằng      1 2 1 1 1 ... 0 ' ' ' nP x P x P x     . Bài toán II.3.3. Cho đa thức  f x có bậc là n . Các số ,a b thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau                 1 2 0, 1 ' 0, 1 '' 0,..., 1 0 n n f a f a f a f a       . 19                 1 2 0, 1 ' 0, 1 '' 0,..., 1 0 n n f b f b f b f b       . Chứng minh rằng tất cả các nghiệm thực của đa thức  f x đều thuộc khoảng  ;a b . Bài toán II.3.4. Cho đa thức  f x có 3 nghiệm là  , , ;a b c a b c  và phương trình 2 0x mx n   có nghiệm. Chứng minh rằng phương trình      '' ' 0f x mf x nf x   có nghiệm thuộc khoảng  ;a c . Bài toán II.3.5. Cho đa thức      2 12 2n nf x nx n x n x n       . Chứng minh rằng  f x luôn chia hết cho   3 1x  với mọi số tự nhiên 1n  . III. DẠNG 3. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC. III.1. Xác định đa thức khi cho biết nghiệm của đa thức. Bài toán III.1.1. Tìm tất cả các đa thức   [ ]P x x nhận 31 2 3x    làm nghiệm. Chứng minh rằng  deg 6P x  . Bài toán III.1.2. Xét tập hợp các đa thức  P x khác hằng, thỏa mãn điều kiện      2 1 . , .P x P x P x x     Hãy tìm trong tập hợp đó 1 đa thức có bậc bé nhất nhưng có nghiệm lớn nhất. Bài toán III.1.3. Thang Long University Library 20 Tìm tất cả các đa thức bậc 4 dạng    4 2 , , 0P x x bx c b c    sao cho   2 0P x x  không có nghiệm thực nhưng    4 0P P x x  có nghiệm thực. Bài toán III.1.4. Tìm tất cả các đa thức    P x x có bậc n , có n nghiệm thực và thỏa mãn      2 3. 2 2 , .P x P x P x x   Bài toán III.1.5. Tìm tất cả các đa thức    P x x , là monic bậc 2, sao cho tồn tại đa thức    Q x x mà các hệ số của đa thức      R x P x Q x đều thuộc tập { 1;1} . Bài giải III.2. Dùng phương pháp hệ số bất định. Bài toán III.2.1. Cho đa thức    2 , 0P x ax bx c a    . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất 1 đa thức  Q x bậc n thảo mãn      P Q x Q P x . Bài toán III.2.2. Cho 4 số nguyên tố khác nhau 1 2 3 4, , ,p p p p . Chứng minh rằng không tồn tại đa thức  Q x bậc 3 có hệ số nguyên thỏa mãn        1 2 3 4 3Q p Q p Q p Q p    . Bài toán III.2.3. Tìm tất cả các đa thức  P x với hệ số thực thoả mãn phương trình    2 2 P x P x với mọi x thuộc . Bài toán III.2.4. 21 Tìm tất cả các đa thức  P x thỏa mãn     22 2 2P x x P x     với mọi giá trị thực của x . Bài toán III.2.5. Tìm tất cả các đa thức  P x hệ số thực thỏa mãn        2 2 23 2P x x P x P x P x x       với mọi giá trị thực của x . Bài toán III.2.6. Tìm tất cả các đa thức  P x hệ số nguyên thỏa mãn     2216 2P x P x    với mọi giá trị thực của x . Bài toán III.2.7. Tìm tất cả các đa thức  P x hệ số thực thỏa mãn     2 2 2 2 x y x y P x P y P P               với mọi giá trị thực của ,x y . Bài toán III.2.8. Cho 0, , . 1, .a b c n n    Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất 1 đa thức  P x có hệ số thực bậc n thỏa mãn        22P ax bx c a P x bP x c     với mọi giá trị thực của x . III.3. Tìm đa thức khi biết một số giá trị của đa thức và đạo hàm của nó. Bài toán III.3.1. Tìm tất cả các đa thức    P x x thỏa mãn         P a P b P c a b c    với mọi số nguyên , ,a b c . Bài toán III.3.2. Thang Long University Library 22 Tìm tất cả các đa thức    P x x thỏa mãn    7 5, 5 7P P và  12P không chia hết cho 35. Bài toán III.3.3. Tìm tất cả các đa thức  P x bậc n thỏa mãn điều kiện      2 2 . , , .P x y P x y P x y x y      Bài toán III.3.4. Tìm tất cả các đa thức    P x x . Thỏa mãn điều kiện       2 , , .P x y P x P y xy x y      Bài toán III.3.5. Tìm tất cả các đa thức        1 2 3 4, , ,P x P x P x P x sao cho với mọi , , ,x y z t thỏa mãn 1xy zt  thì        1 2 3 4 1P x P y P z P t  . Bài toán III.3.6. Tìm tất cả các đa thức    P x x có dạng      11 1!. ... 1 1 nn n nP x n x a x a x n         có các nghiệm là 1 2; ;...; .nx x x  Và  ; 1kx k k  . Bài toán III.3.7. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 đa thức  P x có dạng   11 1 0... n n nP x x a x a x a       thỏa mãn điều kiện         1 '' ; .n n P x x a x b P x x      Bài toán III.3.8. Tìm tất cả các đa thức  P x bậc n thỏa mãn điều kiện sau 23    1 2 1, .P x P x x x      IV. DẠNG 4. PHÂN THỨC HỮU TỶ. IV.1. Phân tích phân thức hữu tỷ. Bài tập IV.1.1. Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức đơn giản: 1)   1 2 x F x x    . 2)   5 3 1 2 x F x x    . 3)     4 3 1 1 2 F x x    . 4)   2 3 2 2 5 1 x F x    . 5)   8 4 3 2 2 1 x x F x x      . IV.2. Ứng dụng của phép phân tích phân thức hữu tỷ vào tính tích phân. Bài tập IV.2.1. 1. Tính tích phân    0 1 1 1 2 x I dx x x     2. Tính tích phân   4 5 2 3 3 1 2 x I dx x x    3. Tính tích phân     3 3 4 3 2 1 1 2 I dx x x     4. Tính tích phân   1 22 4 3 2 0 2 5 1 x I dx x     5. Tính tích phân   1 8 4 5 3 2 0 2 1 x x I dx x x       Thang Long University Library KẾT LUẬN Luận văn đã thu được những kết quả sau: - Trình bày tóm tắt lý thuyết chuyên đề đa thức và phân thức hữu tỷ. - Cung cấp hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp để học sinh thử sức với nhiều cấp độ khác nhau. Các bài toán trong luận văn chủ yếu được trích ra từ các tài liệu ôn thi học sinh giỏi quốc gia, Quốc tế, từ các đề thi học sinh giỏi THPT quốc gia, Quốc tế và khu vực. Thực tế, các nội dung của luận văn này đã được dạy cho học sinh các lớp chuyên Toán và có nhiều phần, bài toán làm tại liệu cho học sinh chuyên trong những năm gần đây và thu được những kết quả khá tốt. Hi vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích cho giáo viên và học sinh chuyên Toán. Tác giả DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Garrett Birkhoff-Saunders Maclane, Tổng quan về đại số hiện đại(Bản dịch tiếng việt), NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1979. [2]. Ngô Thúc Lanh, Đại số và Số học. NXB Giáo dục 1987. [3]. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội 1995. [4]. Jean-Marie Monier, Giáo trình toán, tập 5 Đại số 1,Bản tiếng việt, NXB Giáo dục 1999. [5]. Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ. NXB Giáo dục 2006. [6]. Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc về Đa thức và áp dụng. NXB Giáo dục 2008. [7]. Lê Hoành Phò, Bài giảng cho học sinh chuyên toán các vấn đề về đa thức. NXB Giáo dục 2008. Thang Long University Library