Ứng dụng công thức Viete vào giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ ÁI HOA ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIETE VÀO GIẢI TỐN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 2 Cơng trình được hồn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS. LÊ HẢI TRUNG Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Cĩ thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đa thức, phương trình là những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình tốn Trung học phổ thơng. Bài tốn tìm nghiệm của đa thức, của phương trình đại số đã được các nhà tốn học quan tâm nghiên cứu trong nhiều thế kỷ. Mặc dù lời giải của các bài tốn này cho đến nay chỉ mới tìm được đối với các đa thức, phương trình đại số cĩ bậc nhỏ hơn 5, nhưng nhiều tính chất về nghiệm của đa thức, của phương trình đã được phát hiện. Một trong những tính chất đĩ là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của đa thức, của phương trình đại số, nĩ được thể hiện bằng một cơng thức nổi tiếng – Cơng thức Viète. Ứng dụng của cơng thức Viète khá phong phú và hiệu quả. Trong chương trình tốn học phổ thơng, học sinh đã được học cơng thức Viète đối với tam thức bậc hai, tuy nhiên với một thời lượng khơng nhiều và chỉ ở mức độ nhất định, hơn nữa sách giáo khoa cũng khơng chỉ ra việc định hướng tìm tịi lời giải bằng việc ứng dụng cơng thức Viète và cũng chưa chú trọng đến việc rèn luyện kỹ năng này nên học sinh thường lúng túng khi vận dụng cơng thức Viète để giải tốn. Bên cạnh đĩ, trong các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi trong và ngồi nước thường cĩ những bài tốn mà lời giải của chúng cĩ thể tìm được thơng qua cơng thức Viète. Với mục đích tìm hiểu và hệ thống hĩa một cách đầy đủ những ứng dụng của cơng thức Viète trong chương trình tốn ở bậc phổ thơng, tơi chọn đề tài “ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TỐN 2 THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG” cho luận văn thạc sĩ của mình. Luận văn gồm hai chương. Để thuận tiện cho người đọc, chương một nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đa thức, đặc biệt là các đa thức đối xứng và cơng thức Viète để làm tiền đề cho chương sau. Chương hai là nội dung chính của luận văn: Nghiên cứu, tìm hiểu việc vận dụng cơng thức Viète để giải một số lớp bài tốn trong các lĩnh vực giải tích, đại số, đa thức, hình học, lượng giác thuộc chương trình tốn bậc trung học phổ thơng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các ứng dụng của cơng thức Viète trong chương trình tốn phổ thơng. - Hệ thống và phân loại một số bài tốn cĩ thể ứng dụng cơng thức Viète để giải. - Nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh cần thiết phải xây dựng chuỗi bài tốn từ bài tốn gốc, cũng như xây dựng bài tốn tổng quát nhằm hướng đến từng đối tượng học sinh. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Những kiến thức cơ bản về tam giác, các cơng thức lượng giác, các bất đẳng thức quan trọng, các tính chất của đa thức, đa thức đối xứng, phương trình đối xứng. - Cơng thức Viète và các ứng dụng trong chương trình tốn bậc phổ thơng. - Các bài tốn cĩ thể ứng dụng cơng thức Viète. 3 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu các tài liệu về cơng thức Viète và các kiến thức liên quan, như sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học, cùng một số tài liệu khác từ Internet. - Thơng qua thực tế giảng dạy ở trường trung học phổ thơng để tổng kết rút ra những kết luận cần thiết. Kết hợp những kiến thức đã đạt được trong quá trình thu thập thơng tin để hệ thống và đưa ra các bài tốn cĩ thể giải được bằng cơng thức Viète. - Thảo luận, trao đổi với người hướng dẫn luận văn. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Cơng thức Viète và các ứng dụng của nĩ cĩ vai trị quan trọng, mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài tốn cĩ liên quan đến nghiệm của phương trình đại số một cách phong phú, đa dạng như: các bài tốn liên quan đến hàm số, chứng minh các hệ thức đại số, tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải phương trình và hệ phương trình khơng mẫu mực, chứng minh các bài tốn lượng giác, hình học…. Việc dạy cơng thức Viète và các ứng dụng của nĩ trong chương trình tốn học phổ thơng cĩ ý nghĩa đặc biệt là: làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm của một phương trình đại số. Nêu được quan hệ định tính, định lượng giữa các nghiệm số với các hệ số của một phương trình đại số. Giúp học sinh nhìn nhận các bài tốn trong mối liên hệ sinh động của sự ràng buộc giữa biến số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp học sinh nâng cao chất lượng học tập mơn tốn. 4 6. Cấu trúc của luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm cĩ các chương như sau : Chương 1 - ĐA THỨC Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠNG THỨC VIÈTE Chương 1 ĐA THỨC 1.1. VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN Giả sử A là một vành giao hốn, cĩ đơn vị ký hiệu là 1. Ta gọi P là tập hợp các dãy ( )0 1, ,..., ,...na a a trong đĩ ia A∈ với mọi i ∈
và 0ia = tất cả trừ một số hữu hạn. Trên P ta định nghĩa hai phép tốn cộng và nhân như sau ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 0 1 1, ,..., ,... , ,..., ,... , ,..., ,...n n n na a a b b b a b a b a b+ = + + + (1.1) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 1, ,..., ,... , ,..., ,... , ,..., ,...n n na a a b b b c c c× = (1.2) với 0 1 1 0... 0,1,2,...k k k k i j i j k c a b a b a b a b k − + = = + + + = =∑ Vì các ia và ib bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên các i ia b+ và ic cũng bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, nên (1.1) và (1.2) xác định hai phép tốn trong P . 5 Tập P cùng với hai phép tốn cộng và nhân ở trên là một vành giao hốn cĩ đơn vị. Phần tử khơng của phép cộng là dãy ( )0,0,... , phần tử đơn vị của phép nhân này là ( )1,0,0... . Xét dãy ( )0,1,0,...,0,...x P= ∈ Theo quy tắc của phép nhân trong P , ta cĩ 0,0,...,0,1,...,0,...n n x   =       14243 Ta quy ước ( )0 1,0,0,...,0,...x = Mặt khác, xét ánh xạ : A P→ ( ),0,...,0,...a aa Dễ dàng kiểm chứng được ánh xạ này là một đơn cấu vành, do đĩ ta đồng nhất phần tử a A∈ với dãy ( ),0,0,...a P∈ và xem A là một vành con của vành P . Vì mỗi phần tử của P là một dãy ( )0 1, ,... ,...na a a trong đĩ các 0ia = tất cả trừ một số hữu hạn, nên mỗi phần tử của P cĩ dạng ( )0 ,..., ,0,...na a trong đĩ 0 ,..., na a A∈ (khơng nhất thiết khác 0 ). Việc đồng nhất a với ( ), 0, 0,...a và việc đưa vào dãy x cho phép ta viết ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1,..., ,0,... ,0,... 0, ,0,... ... 0,..., ,0,...n na a a a a= + + + ( ) ( )( ) ( )( )0 1,0,... ,0,... 0,1,0,... ... ,0,... 0,...,0,1,0,...na a a= + + + 0 0 1 0 0... ... n n n na a x a x a x a x a x= + + + = + + + 6 Định nghĩa 1.1. Vành P được định nghĩa như trên, gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A , hay vắn tắt là vành đa thức của ẩn x trên A , ký hiệu [ ]A x . Các phần tử của [ ]A x gọi là các đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A và thường ký hiệu là ( ) ( ), ,...f x g x Trong một đa thức ( ) 00 1 ... nnf x a x a x a x= + + + , các ia , với 0,1,...,i n= gọi là các hệ tử của đa thức, các iia x gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt 00 0a x a= gọi là hạng tử tự do. 1.2. VÀNH ĐA THỨC NHIỀU ẨN Định nghĩa 2.1. Giả sử A là một vành giao hốn cĩ đơn vị. Ta đặt [ ]1 1A A x= , [ ]2 1 2A A x= , …. [ ]1n n nA A x−= Vành [ ]1n n nA A x−= được kí hiệu [ ]1 2, ,...., nA x x x và gọi là vành đa thức của n ẩn 1,...., nx x lấy hệ tử trong A . Mỗi phần tử của nA gọi là một đa thức của n ẩn 1,...., nx x lấy hệ tử trong A và thường kí hiệu là ( )1,...., nf x x hay ( )1,...., ng x x … Từ định nghĩa trên ta cĩ dãy vành: 0 1 2 ... nA A A A A= ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Trong đĩ 1iA − là vành con của vành iA , 1,2,....i = Từ tính chất của hai phép tốn trong một vành và bằng quy nạp ta chứng minh được mọi đa thức ( )1 2, ,...., nf x x x ∈ [ ]1 2, ,...., nA x x x đều cĩ thể viết dưới dạng ( ) 1 211 12 21 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , ,...., ... .... .... .... n n m m mn a aa a a a n n n a a a m n f x x x c x x x c x x x c x x x = + + + 7 với ic A∈ , 1ia , 2ia , …., ina , 1,2,....,i m= , là những số tự nhiên và ( ) ( )1 1,...., ,.....,i in j jna a a a≠ khi i j≠ ; các ic gọi là các hệ tử, 1 2 1 2 .... i i ina a a i nc x x x gọi là các hạng tử của đa thức ( )1 2, ,...., nf x x x . Đa thức ( )1 2, ,...., 0nf x x x = khi và chỉ khi các hệ tử của nĩ bằng khơng tất cả. 1.3. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ CƠNG THỨC VIÈTE 1.3.1. Đa thức đối xứng Định nghĩa 3.1. Giả sử A là một vành giao hốn cĩ đơn vị, ( )1,...., nf x x là một đa thức của vành [ ]1,..., nA x x . Ta nĩi ( )1,...., nf x x là một đa thức đối xứng của n ẩn nếu ( ) ( )1 2 (1) (2) ( ), ,...., , ,....,n nf x x x f x x xτ τ τ= , với mọi phép thế τ ( ) ( ) ( ) 1 2 .... 1 2 .... n n τ τ τ τ   =    trong đĩ ( )(1) (2) ( ), ,...., nf x x xτ τ τ cĩ được từ ( )1 2, ,...., nf x x x bằng cách trong ( )1 2, ,...., nf x x x thay ix bởi ( )ixτ , 1,2,...,i n= . Định lý 3.1. Tập con gồm các đa thức đối xứng của vành [ ]1,..., nA x x là một vành con của vành [ ]1,..., nA x x . Các đa thức 1 1 2 .... nx x xσ = + + + 2 1 2 1 3 1.... n nx x x x x xσ −= + + + 3 1 2 3 1 2 4 2 1.... n n nx x x x x x x x xσ − −= + + + 8 … 1 2 1 2 ... ... , 1,2,..., k k k i i i i i i x x x k nσ < < < = =∑ … 1 1 2 1 1 2 2 2 3... .... ... ...n n n n nx x x x x x x x x xσ − − −= + + + 1 2 ....n nx x xσ = là các đa thức đối xứng và gọi là các đa thức đối xứng cơ bản đối với n ẩn 1 2, , ...., nx x x . Giả sử ( )1,...., ng x x là một đa thức của [ ]1,..., nA x x , phần tử của [ ]1,..., nA x x cĩ được bằng cách trong ( )1,...., ng x x thay 1x bởi 1σ , 2x bởi 2σ , …, nx bởi nσ gọi là một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản, kí hiệu là ( )1 2, ,..., ng σ σ σ . Vì 1 2, ,..., nσ σ σ là những đa thức đối xứng nên ( )1 2, ,..., ng σ σ σ cũng là một đa thức đối xứng theo định lý 3.1. 1.3.2. Cơng thức Viète Cho đa thức bậc n: ( ) 10 1 ... ...n n n kk nf x a x a x a x a− −= + + + + + (1.3) lấy hệ tử trong trường T . Giả sử ( )f x cĩ trong T hoặc trong một mở rộng nào đĩ của T , tức là một trường nào đĩ chứa T làm một trường con, n nghiệm 1 2, , ..., nα α α . Khi đĩ ta cĩ : ( ) ( )( ) ( )0 1 2 ..... nf x a x x xα α α= − − − (1.4) Khai triển vế phải và so sánh các hệ tử của các lũy thừa giống 9 nhau trong (1.3) và (1.4) ta sẽ được các cơng thức sau và gọi là cơng thức Viète đối với đa thức bậc n . ( )1 1 2 0 .... n a a α α α= − + + + …. ( ) 1 2 1 20 ... 1 . ... k k kk i i i i i i a a α α α < < < = − ∑ …. ( ) 1 2 0 1 ....nn n a a α α α= − Chú ý rằng vế phải của cơng thức Viète là những đa thức đối xứng cơ bản đối với các biến 1 2, , ..., nα α α Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠNG THỨC VIÈTE 2.1. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ Bài tốn: Cho hàm số 4 26 4 6y x x x= − + + . Xét tam giác mà các đỉnh là các điểm cực trị của hàm số nĩi trên. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ấy là gốc tọa độ. Giải Giả sử ( );i i iM x y là các điểm cực trị với 1,2,3i = 10 ( );G GG x y là trọng tâm của tam giác 1 2 3M M M 1 2 3 1 2 3 3 3 G G x x x x y y yy + + = ⇔  + + =  ix là nghiệm của phương trình bậc ba: 3 ' 4 6 4 0y x x= − + = . Áp dụng cơng thức Viète, ta cĩ: 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 0 3 0 . . 1 G x x x x x x x x x x x x x + + =  + + =− ⇒ =  = − Tính ( ): ' 0i i iy y x = ( )2' 3 24yy x x x= − − − (chia y cho y’) ( ) ( )23 2i i i iy y x x x⇒ = = − − − ( ) ( )2 2 21 2 3 1 2 3 6Gy x x x x x x = − + + − + + −  ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 12 6 0x x x x x x x x x = − + + − + + − =  Vậy ( )G 0;0 G O⇔ ≡ gốc tọa độ. 2.2. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài tốn: [Đề tuyển sinh ĐH – CĐ khối A, năm 2006] Cho hai số thực thay đổi 0, 0x y≠ ≠ thỏa mãn : ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − 11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 .A x y = + Giải Đặt 3 3 1 1 m x y + = Với 0, 0x y≠ ≠ , xét hệ phương trình: ( ) 2 2 3 3 1 1 x y xy x y xy m x y  + = + −   + =  ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 3 x y xy x y xy x y x y xy m xy  + = + −  ⇔ + + − =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 x y xy x y xy xy x y m xy  + = + −  ⇔ + =  ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2.1 x y xy x y xy x y m xy  + = + −  ⇔   + =      Đặt S x y P xy = +  = Theo cơng thức Viète để ,x y sẽ là hai nghiệm thực của phương trình 2 0t St P− + = thì ,S P phải thỏa mãn điều kiện 2 4S P≥ . 12 ( )2.1 2 2 3SP S P S m P = −  ⇔   =    ( )2.2 Hệ ( )2.1 cĩ nghiệm 0, 0x y≠ ≠ ⇔ hệ ( )2.2 cĩ nghiệm ( );S P thỏa mãn: 2 4S P≥ . Do 2 2 2 21 3 0, 0, 0 2 4 SP x y xy x y y x y = + − = − + > ∀ ≠ ≠    Từ đĩ : - Nếu 0m ≤ thì hệ ( )2.1 vơ nghiệm - Nếu 0m > thì từ phương trình 2 . S S m m S m P P P   = ⇔ = ⇒ =    Thay vào phương trình đầu của hệ ( )2.2 Ta được: ( ) ( )2 2. . 3 3 0, 0m P m P P m m P SP P= − ⇔ − = > ≠ Để cĩ P từ phương trình này thì: ( )0 1 0m m m m− ≠ ⇔ ≠ > Vậy ( ) 3 3 11 P S mm m = ⇒ = − − Hệ ( )2.2 cĩ nghiệm ( );S P thỏa mãn 2 4S P≥ khi và chỉ khi : ( ) 23 12 1 1m m m   ≥  − −  13 ( ) ( ) 2 4 1 3 1 m m m − ⇔ ≥ − ( )3 4 1 4 m m m ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ( )0 16 1m m⇔ < ≤ ≠ Vậy giá trị lớn nhất max 16.A = 2.3. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn: Giải phương trình sau : 2 23 33 7 1 8 8 1 2x x x x x+ − − − + − − = ( )2.3 Giải Đặt 2 23 33 7 1, 8 , 8 1u x v x x w x x= + = − − − = − − Đặt a u v w b = uv vw wu c uvw = + +  + +  = Theo giả thiết, ta cĩ : 2 2u v w a+ + = ⇒ = và 3 3 3 8u v w+ + = Mặt khác ( ) 3 3u v w a+ + = 3 3 3 2 2 2 2 2 2 33 3 3 3 3 6u v w u v u w+ 3v u v w w u w v uvw a⇔ + + + + + + + + = ( )3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 9 3 u v w a u v u w+ 3v u v w w u w v uvw uvw ⇔ + + = − + + + + + + 14 ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 u v w a uv u v w vw u v w wu u v w uvw ⇔ + + = − + + − + + − + + + ( )( )3 3 3 3 3 3u v w a u v w uv vw wu uvw⇔ + + = − + + + + + 3 3 3 3 3 3u v w a ab c⇔ + + = − + 3 3 3 8 2a ab c c b⇒ − + = ⇒ = Theo cơng thức Viète thì , ,u v w là ba nghiệm của phương trình : ( )3 22 2 0 2.4X X bX b− + − = ( )( )22 0X X b⇔ − + = Ta nhận thấy phương trình ( )2.4 cĩ nghiệm 2X = . Do tính chất đối xứng nên , ,u v w cĩ thể nhận giá trị 2 đĩ. i, Trường hợp 2u = Ta cĩ : 7 1 8 1x x+ = ⇔ = Thay giá trị 1x = vào phương trình đầu ta thấy giá trị 1x = nghiệm đúng phương trình đã cho. ii, Trường hợp 2v = Ta cĩ : ( )2 08 8 1 0 1 x x x x x x = − + + = ⇔ − = ⇔  = Thay giá trị 0x = vào phương trình đầu ta thấy giá trị 0x = nghiệm đúng phương trình đã cho. iii, Trường hợp 2w = Ta cĩ: 2 2 1 8 1 8 8 9 0 9 x x x x x x = − − − = ⇔ − − = ⇔  = 15 Thay giá trị 1x = − và 9x = vào phương trình đầu ta thấy giá trị 1x = − và 9x = đều nghiệm đúng phương trình đã cho. Vậy phương trình ( )2.3 cĩ 4 nghiệm : { }1; 0; 1; 9S = − . 2.4. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài tốn : Giải hệ phương trình : 2 3 9 2 6 3 27 1 1 1 1 2 3 x y z xy yz xz x y z   + − =  − − =   + − =  ( )2.5 Giải Hệ phương trình ( )2.5 khơng phải là hệ đối xứng theo , ,x y z . Tuy nhiên nếu đặt , 2 , 3u x v y w z= = = − , thì ta cĩ hệ đối xứng 9 27 1 1 1 1 u v w uv vw wu u v w   + + =  + + =   + + =  ( )2.6 Đặt , ,a u v w b uv vw wu c uvw= + + = + + = . Khi đĩ hệ ( )2.6 trở thành 9 9 27 27 271 a a b b b c c   = =   = ⇔ =    = =  16 Áp dụng cơng thức Viète thì , ,u v w là ba nghiệm của phương trình : ( )33 29 27 27 0 3 0t t t t− + − = ⇔ − = Vậy ta cĩ 1 2 3 3t t t= = = nên 3u v w= = = . Từ đĩ ta tìm được nghiệm ( ); ;x y z của hệ ( )2.5 là: 3 3 3 31; ; 3 , 1; 3; , 3 ; 1; , ; 3 ; 1 , 2 2 2 2         − − − −                33; ; 1 2   −    3 ; 1 ; 3 2   −    . 2.5. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài tốn: Cho phương trình ( )3 2 0 0ax bx cx d a+ + + = ≠ cĩ ba nghiệm dương 1 2 3, ,x x x . Chứng minh rằng 3 2 7 7 7 1 2 3 581 b c x x x a + + ≥ − Giải Theo cơng thức Viète ta cĩ : 1 2 3 1 2 2 3 3 1 0 0 b x x x a c x x x x x x a  + + = − >   + + = >  Bất đẳng thức Bunyakovski cho ta : ( )2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 30 2.7cx x x x x x x x x x x x a + + ≤ + + ⇔ < ≤ + + ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 323 0 2.83 b x x x x x x x x x a + + ≤ + + ⇔ < ≤ + + 17 Từ ( )2.7 và ( )2.8 ta suy ra: ( )2 22 2 21 2 330 3 b c x x x a < ≤ + + Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta lại cĩ : ( ) ( )( )22 2 2 4 4 41 2 3 1 2 31 1 1x x x x x x+ + ≤ + + + + ( ) 2 4 4 4 1 2 330 2.99 b c x x x a ⇒ < ≤ + + Vì 1 2 3, , 0x x x > nên suy ra : ( ) ( )( ) ( ) 21 7 1 7 1 7 24 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 7 7 7 1 2 3 1 2 3 . . . 2.10 x x x x x x x x x x x x x x x   + + = + +    ≤ + + + + Từ ( )2.9 và ( )2.10 ta được : ( )4 2 7 7 71 2 3681 b c b x x x a a ≤ − + + 3 2 7 7 7 1 2 3581 b c x x x a ⇔ − ≤ + + Vậy ta cĩ : 3 2 7 7 7 1 2 3 581 b c x x x a + + ≥ − . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 3 b x x x a = = = − . 2.6. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG ĐA THỨC Bài tốn: Giả sử một trong các nghiệm của đa thức ( ) 3 2P x x ax bx c= + + + (với , ,a b c ∈Z ) bằng tích của hai nghiệm kia. Chứng minh rằng ( )2 1P − chia hết cho ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0 .P P P+ − − + 18 Giải Gọi 1 2 3, ,x x x là ba nghiệm của đa thức ( ) 3 2P x x ax bx c= + + + . Theo giả thiết của bài tốn một trong các nghiệm bằng tích của hai nghiệm kia, giả sử 3 1 2x x x= . Áp dụng cơng thức Viète ta cĩ : ( ) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x ax x x x a x x x x x x x x b x x x x b x x x x c x x c  + + = −+ + = −  + + = ⇔ + + =    = − = −  Từ đĩ ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 1b c x x x x x x x x a− = + + + = − i, Với 1a ≠ thì 1 2 1 b c x x a − = − là số hữu tỉ. Mà 2 21 2x x c= − là số nguyên do đĩ 1 2x x cũng là số nguyên. Ta cĩ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 P P P a b c a b c c a a x x x x + − − + = + + + + − + − + − + = − + = − − = − + + + ( )( )1 22 1 1 0.x x= − + + ≠ ( )2.11 Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2.12 P a b c x x x x x x x x x x x x x x − = − + − +  = − − − − − − + + −  = − + + + Từ ( )2.11 và ( )2.12 ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 22 1 1 1 1 2 1 0P x x P P P − = + + − − +  . 19 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 1 1 2 1 0 P x x P P P − ⇒ = + + − − + . Vì 1 2x x là số nguyên nên 1 21 x x+ cũng là số nguyên. Do đĩ ( )2 1P − chia hết cho ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0 .P P P+ − − + ii, Với 1a = thì 1 2 1 2 1 2 1 21 1 0x x x x x x x x+ + = − ⇔ + + + = ( )( ) 11 2 2 1 1 1 1 x x x x = − ⇔ + + ⇔  = − Suy ra ( )P x cĩ một nghiệm bằng -1. Hay ( ) ( )1 0 2 1 0.P P− = ⇒ − = Do đĩ ( )2 1P − chia hết cho ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0 .P P P+ − − + Vậy số ( )2 1P − chia hết cho số ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 0P P P+ − − + với , ,a b c ∈Z . 2.7. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG HÌNH HỌC Bài tốn: Cho Parabol ( )P : 2 4y x= . Một đường thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của Parabol đã cho và cắt Parabol tại hai điểm phân biệt A và B . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục hồnh là một đại lượng khơng đổi. Giải Parabol ( ) 2: 2.2P y x= cĩ tham số tiêu 2p = và tiêu điểm ( )1; 0F . Gọi đường thẳng đi qua tiêu điểm ( )1; 0F của Parabol là ( )d . 20 i, Đường thẳng ( )d song song với trục Oy ( ): 1d x⇒ = . Lúc đĩ ( )d cắt ( )P tại hai điểm ( )1; 2A − và ( )1; 2B . . 2.2 4.AF BF⇒ = = ii, Đường thẳng ( )d khơng song song với trục Oy , khi đĩ đường thẳng ( )d cĩ phương trình ( )1 ,y k x= − với 0k ≠ (vì ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt). Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )d với ( )P là : ( ) ( )22 2 2 2 21 4 2 2 0k x x k x k x k− = ⇔ − + + = Ta cĩ 2' 4 4 0, 0k k∆ = + > ∀ ≠ . Do đĩ ( )d luơn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt. Gọi 1 2,x x lần lượt là hồnh độ của A và B . Như vậy ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y , với ( )( ) 1 1 2 2 1 1 y k x y k x  = −  = − Ta cĩ ( ) ( ) ( )( )21 2 1 2; . ; . 1 1d A Ox d B Ox y y k x x= = − − ( )2 1 2 1 21k x x x x=  + − +   Theo cơng thức Viète , ta cĩ : ( ) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 x x k x x k =   + + =  Nên ( )22 1 2 2 2 2 . 1 1 4 4. k y y k k  +  = + − = − =    21 Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hồnh là một đại lượng khơng đổi. 2.8. ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE TRONG CÁC BÀI TỐN LƯỢNG GIÁC Bài tốn: Cho , ,p r R lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng : 2 23 12 .p r r R≥ + . Dấu bằng xảy ra khi nào? Giải Xét AMI∆ vuơng tại M , ta cĩ cot 2 A AM IM = .cot .cot 2 2 A AAM IM r⇒ = = Và 2 2 b c a AN CN AM BM CP BPp a + − + + + − −− = = Mà , ,AM AN BM BP CN CP= = = nên .cot 2 Ap a AM r− = = ( ) ( ) tan 2 cot 2 p a A r p aA − ⇒ = = − A B C M N P I r r r 22 Ta cĩ 2 2 tan 2sin 2 1 tan 2 A aA AR = = + ( )2.13 Thay tan 2 A r p a = − vào ( )2.13 : ( ) 2 2 2 2 1 r a p a R r p a − = + − ( ) ( )2 2 2 2 r p aa R p a r − ⇔ = − + ( )2 2 22 4 4a p pa a ar rRp rRa⇔ − + + = − ( )3 2 2 22 4 4 0a pa p r rR a rRp⇔ − + + + − = Tương tự với ,b c và ta cĩ , ,a b c là nghiệm của phương trình : ( )3 2 2 22 4 4 0x px p r rR x rRp− + + + − = Theo cơng thức Viète : 2 2 2 4 a b c p ab bc ca p r rR + + =  + + = + + Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ( )2 2 2 2 2 4 3 4 3 12 . p p r rR p r rR ⇒ ≥ + + ⇒ ≥ + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c b c a = = a b c⇒ = = hay ABC là tam giác đều. 23 Các bài tốn tương tự 1. Cho hàm số 3 2 33 4y x ax a= − + . Xác định a để đường thẳng y x= cắt đồ thị hàm số tại ba điểm , ,A B C với AB BC= . 2. Cho hai số thực khơng âm ,x y thỏa mãn điều kiện 4x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 9Q x y= + + + . 3. Giải phương trình: 3)8)(1(81 =−++−++ xxxx . 4. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y  + + + =   + + + =  5. Gọi , ,m n p là ba nghiệm của phương trình bậc ba 3 2 0.ax bx cx a+ + − = Chứng minh rằng : 2 2 2 2 3 2 3 .m n p m n p + + + ≥ + + 6. Cho ba số nguyên , ,a b c , biết rằng 0a > , cịn đa thức 2ax bx c+ + cĩ hai nghiệm khác nhau trên khoảng ( )0; 1 . Chứng minh rằng 5.a ≥ Tìm ít nhất một cặp số ,b c để 5.a = 7. Chứng minh rằng: 6 0 6 0 6 0tan 20 tan 40 tan 80 33273.+ + = 24 KẾT LUẬN Luận văn “ỨNG DỤNG CƠNG THỨC VIÈTE VÀO GIẢI TỐN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG” đã thực hiện được các vấn đề sau: 1. Xây dựng vành đa thức một ẩn, nhiều ẩn lấy hệ tử trong một trường. Đặc biệt là vành các đa thức đối xứng, từ đĩ giới thiệu cơng thức Viète tổng quát. 2. Trên cơ sở các tài liệu tốn học, đặc biệt tài liệu về cơng thức Viète, đa thức và đa thức đối xứng, luận văn đã sưu tầm, hệ thống và phân loại được một số lớp bài tốn giải được bằng cơng thức Viète. Cụ thể là: các bài tốn liên quan đến hàm số, bài tốn tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất, các bài tốn giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, các bài tốn đa thức, các bài tốn hình học, lượng giác. 3. Đối với mỗi lớp bài tốn, ngồi những ví dụ minh họa nhằm làm sáng tỏ khả năng ứng dụng phong phú và linh hoạt của cơng thức Viète, cịn cĩ các bài tốn tương tự từ dễ đến khĩ dành cho học sinh các lớp chọn, lớp chuyên. Hy vọng rằng nội dung của luận văn cịn tiếp tục được hồn thiện và mở rộng hơn nữa nhằm thể hiện sự ứng dụng đa dạng và hiệu quả của cơng thức Viète.