Về ổn định nghiệm của các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng

Môc lôc . 1. Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Giíi thiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. C¸c ®Þnh nghÜa vµ kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Nöa liªn tôc trªn cña c¸c tËp nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 5. Nöa liªn tôc d­íi cña c¸c tËp δ-nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 6. Well-Posed cña c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã vµ kh«ng cã tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7. C¸c øng dông vµo æn ®Þnh dßng c©n b»ng cña m¹ng giao th«ng . . . . . . . 18 8. VÒ æn ®Þnh c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu . . . 27 KÕt luËn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tãm t¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1 1. Më ®Çu Môc tiªu cña ®Ò tµi lµ xÐt tÝnh æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cã vµ kh«ng cã tham sè, ®­a ra mét sè c¸c øng dông vµo m¹ng giao th«ng vµ bµi to¸n trß ch¬i cã nhiÒu ng­êi ch¬i. Néi dung cña ®Ò tµi xÐt c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, m« h×nh m¹ng giao th«ng t¶i n¨ng më réng. MÆt kh¸c, ®Ò tµi kh¶o s¸t æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc cho c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu. Néi dung thuyÕt minh ®· ®¨ng ký cña ®Ò tµi lµ hÖ thèng l¹i c¸c kÕt qu¶ gÇn ®©y vÒ æn ®Þnh nghiÖm cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ nghiªn cøu øng dông vµo c¸c bµi to¸n kh¸c. C¸c kÕt qu¶ ®¹t ®­îc cña ®Ò tµi kh«ng nh÷ng hoµn thµnh môc tiªu nh­ ®· ®¨ng ký mµ cßn ®­a ra ®­îc mét sè kÕt qu¶ míi vÒ æn ®Þnh nghiÖm cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (phÇn nµy lµm thªm vµ ch­a kÞp ®¨ng ký trong khi thuyÕt minh ®Ò tµi). VÒ øng dông, ®Ò tµi xÐt hai bµi to¸n lµ bµi to¸n c©n b»ng giao th«ng vµ bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu cã vµ kh«ng cã tham sè. 2. Giíi thiÖu Tykhonov (1966) xÐt tÝnh Tykhonov well-posedness cho bµi to¸n tèi ­u víi ý nghÜa tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cho bµi to¸n min, mçi d·y trong tËp nghiÖm héi tô vÒ nghiÖm ®óng. Trong thùc hµnh cã nh÷ng bµi to¸n kh«ng chØ tån t¹i duy nhÊt nghiÖm, mét sè t¸c gi¶ ®· xÐt tÝnh wellposed tæng qu¸t 2 h¬n cho tËp nghiÖm kh¸c rçng vµ mçi d·y con trong tËp nghiÖm héi tô vÒ nghiÖm ®óng. B¾t ®Çu bëi Smith (1979), mèi quan hÖ cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ bµi to¸n m¹ng giao th«ng ®· ®­îc nghiªn cøu bëi nhiÒu t¸c gi¶, cã thÓ tham kh¶o c¸c bµi viÕt cña Giannessi, Maugeri, De Luca. GÇn ®©y c¸c t¸c gi¶ Khanh-Luu, Khanh-Anh xÐt mèi quan hÖ cña tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ m¹ng giao th«ng cã tham sè, tham kh¶o trong [4], [5], [10]. Trong thùc tÕ cã rÊt nhiÒu bµi to¸n liªn quan ®Õn t¶i n¨ng më réng, do ®ã viÖc ®­a ra m« h×nh bµi to¸n m¹ng giao th«ng cã t¶i n¨ng më réng vµ ®­a ra c¸c gi¶i ph¸p ®Ó thiÕt kÕ m« h×nh cho phï hîp víi nhu cÇu cña ng­êi sö dông lµ rÊt cÇn thiÕt. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i thiÕt lËp m« h×nh m¹ng giao th«ng cã t¶i n¨ng më réng. XÐt mèi quan hÖ gi÷a dßng c©n b»ng vµ tËp nghiÖm cña bµi tãan tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n t­¬ng øng, ®ång thêi xÐt tÝnh wellposedness cho tËp nghiÖm cña bµi to¸n. N¨m 1944, John von Neumann vµ Oskar Morgenstern nghiªn cøu bµi to¸n trß ch¬i cã nhiÒu ng­êi ch¬i. Tõ ®ã ®Õn nay lý thuyÕt trß ch¬i ®· ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m víi nhiÒu kÕt qu¶ quan träng, nã ®ãng gãp lín trong khi ph©n tÝch c¸c bµi to¸n kinh tÕ, dÉn ®Õn c¸c lêi gi¶i kh¸ thó vÞ vµ ®­a ra nh÷ng gîi ý vÒ chiÕn l­îc trong kinh doanh. Bµi viÕt kh¶o s¸t tÝnh æn ®Þnh yÕu cña bµi to¸n trß ch¬i cã nhiÒu ng­êi ch¬i (cã vµ kh«ng cã tham sè), ®­a ra kh¸i niÖm wellposed cho c©n b»ng Nash ®ång thêi më réng mét 3 vµi kÕt qu¶ ®· biÕt tr­íc ®ã, tham kh¶o trong [1,3,4,5]. 3. C¸c ®Þnh nghÜa vµ kh¸i niÖm Cho U,X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc. A ⊂ X lµ tËp låi compact kh¸c rçng vµ C ⊂ Y lµ nãn låi ®ãng cã phÇn trong kh¸c rçng. KÝ hiÖu C¯ := Y \ − intC vµ BX , BY lµ c¸c qu¶ cÇu ®¬n vÞ ®ãng cña X, Y , t­¬ng øng. XÐt K : U × A → 2A , T : U × A → 2L(X,Y ) lµ c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ (L(X, Y ) chØ kh«ng gian c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ X vµo Y ). XÐt c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n sau: Víi mçi u ∈ U , (QV I)u : T×m x¯ ∈ K(u, x¯),∀y ∈ K(u, x¯),∃t¯ ∈ T (u, x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯; (MQV I)u : T×m x¯ ∈ K(u, x¯),∃t¯ ∈ T (u, x¯),∀y ∈ K(u, x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯; (SQV I)u : T×m x¯ ∈ K(u, x¯),∀t¯ ∈ T (u, x¯),∀y ∈ K(u, x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯. Ta kÝ hiÖu c¸c tËp nghiÖm t­¬ng øng lµ Q00(u),M 0 0 (u), S 0 0(u). NÕu bµi to¸n kh«ng cã tham sè u, ta kÝ hiÖu ®¬n gi¶n lµ (QV I), (MQV I), (SQV I) vµ còng kÝ hiÖu c¸c tËp nghiÖm t­¬ng øng Q00,M 0 0 , S 0 0 . Néi dung ®Ò tµi lµ xÐt æn ®Þnh c¸c tËp nghiÖm nªn ta gi¶ thiÕt c¸c tËp nghiÖm nãi trªn kh¸c rçng. XÐt bµi to¸n kh«ng tham sè (MQV I). §Þnh nghÜa 1. a. D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ d¹ng I nÕu ∃εn → 0+, xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn), ∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯; (1) 4 b. D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ d¹ng II nÕu thay (1) bëi 〈tn, y−xn〉+εnBY ⊂ C¯. §Þnh nghÜa 2. bµi to¸n (MQV I) ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) nÕu (a) M 00 6= ∅; (b) Víi mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) cã d·y con héi tô tíi M 00 . XÐt bµi to¸n cã tham sè (MQV I)u §Þnh nghÜa 3. a. Cho d·y un → u, D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ øng víi un d¹ng I nÕu ∃εn → 0+, xn ∈ K(un, xn),∃tn ∈ T (un, xn),∀y ∈ K(un, xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯; (2) b. D·y {xn} ⊂ A gäi lµ xÊp xØ d¹ng II nÕu thay (2) bëi 〈tn, y−xn〉+εnBY ⊂ C¯. §Þnh nghÜa 4. bµi to¸n (MQV I)u ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) t¹i u¯ nÕu (a) M 00 (u¯) 6= ∅; (b) Víi mçi un → u¯ vµ mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, d¹ng II) øng víi un lu«n cã d·y con héi tô tíi phÇn tö cña M 0 0 (u¯). Ta còng ®Þnh nghÜa c¸c kh¸i niÖm t­¬ng tù cho c¸c bµi to¸n (QV I) vµ (SQV I). 5 XÐt æn ®Þnh cña c¸c tËp nghiÖm, Ta ®Æt tõ mçi u¯ ∈ U, ε ≥ 0, Q00(u¯) = {x ∈ K(u, x), ∀x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), 〈t¯, x− x〉 ∈ C¯}; Q01(u¯, ε) = {x ∈ K(u, x), ∀x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), 〈t¯, x− x〉 ∈ εBY + C¯}; M 00 (u¯) = {x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), ∀x ∈ K(u, x): 〈t¯, x− x〉 ∈ C¯}; M 01 (u¯, ε) = {x ∈ K(u, x), ∃t¯ ∈ T (u, x), ∀x ∈ K(u, x¯): 〈t¯, x− x〉 ∈ εBY + C¯}. Ta kÝ hiÖu Q00, Q 1 1(ε), M 0 0 ,M 1 1 (ε) cho tr­êng hîp kh«ng cã tham sè u vµ còng ®­a ra c¸c kh¸i niÖm, c¸c kÝ hiÖu t­¬ng tù cho (SQV I) cã vµ kh«ng cã tham sè. Chó ý lµ nÕu d·y xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II th× nã còng lµ d·y xÊp xØ d¹ng I nh­ng ®iÒu ng­îc l¹i cã thÓ kh«ng ®óng. V× vËy, nÕu bµi to¸n lµ wellposed d¹ng II th× còng lµ wellposed d¹ng I. Theo mét h­íng kh¸c, Lignola (xem[1]) xÐt d·y xÊp xØ cho bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (QV I) trong kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, K lµ tËp låi ®ãng, S : K → 2K vµ A lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ. (QV I) t×m u0 ∈ K, u0 ∈ S(u0),∀v ∈ S(u0) : 〈Au0, u0 − v〉 ≤ 0, vµ ®Þnh nghÜa un lµ d·y xÊp xØ nÕu: un ∈ K, ∃εn → 0+ sao cho un ∈ B(S(un), εn),∀v ∈ S(un) : 〈Aun, un − v〉 ≤ εn. Trong ®ã, B(S(u), ε) := {z : d(S(u), z) ≤ ε}. Cho X, Y lµ hai kh«ng gian Banach vµ G : X → 2Y . Ta nãi G lµ 6 usc t¹i x ∈ X nÕu víi mçi tËp më V ⊇ G(x), cã l©n cËn N cña x sao cho G(N) ⊆ V . Hµm ®a trÞ G lµ lsc t¹i x ∈ X nÕu víi mäi xn → x vµ ∀y ∈ G(x) th× cã yn ∈ G(xn) sao cho yn → y. Ta còng nãi G lµ liªn tôc t¹i x nÕu nã võa usc vµ lsc t¹i x. NÕu G liªn tôc víi mäi x ∈ X , th× ta nãi G liªn tôc. Chó ý 1(Xem [5]). Víi G nãi ë trªn, nÕu G(x) compact th× G(.) lµ usc t¹i x khi vµ chØ khi {xn}∞n=1 ⊂ X , xn → x, {yn}∞n=1, yn ∈ G(xn), tån t¹i d·y con ynk sao cho ynk → y ∈ G(x). 4. Nöa liªn tôc trªn cña c¸c tËp nghiÖm §Þnh lý 1. NÕuK(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) usc cã gi¸ trÞ compact th× M 01 (.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹iM 01 (.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña M 01 (0) = M 0 0 , εn → 0+, tån t¹i xn ∈ M 01 (εn) mµ xn /∈ V, ∀n. (3) Bëi xn ∈ M 01 (εn) nªn xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯. (4) XÐt xn ∈ A, do A compact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ A. Do K(.) usc vµ K(x¯) compact, theo Chó ý 1, cã d·y con vÉn ký hiÖu xn → 7 x¯ ∈ K(x¯). Bëi T (.) usc cã gi¸ trÞ compact nªn tn → t¯ ∈ T (x¯). Gi¶ sö x¯ /∈ M 01 (0) = M 00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∀t ∈ T (x¯), ∃y0 ∈ K(x¯), 〈t, y0 − x¯〉 /∈ C¯. (5) Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯. Khi ®ã víi y0 ë trªn, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y0. Sö dông c¸c d·y nµy vµo (4) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y0 − x¯〉 ∈ C¯; mÉu thuÈn víi (5) nghÜa lµ x¯ ∈ M 01 (0). Tõ x¯ ∈ M 01 (0), kh«ng khã ®Ó thÊy nã m©u thuÈn víi (3). VËy M 01 (.) lµ usc t¹i 0 vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. Còng t­¬ng tù nh­ chøng minh §Þnh lý 1 nh­ng xÐt trong tr­êng hîp cã tham sè ta cã §Þnh lý 2. NÕu K(., .) lµ liªn tôc, cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) usc cã gi¸ trÞ compact trong (u¯, A) th× M 01 (., .) lµ usc t¹i (u¯, 0). XÐt (SQV I), ta cã c¸c kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ng víi gi¶ thiÕt vÒ lsc cña T (.). §Þnh lý 3. NÕu K(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) lsc th× S01(.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i S01(.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña S01(0) = S 0 0 , εn → 0+, tån t¹i xn ∈ S01(εn) mµ xn /∈ V, ∀n. 8 Bëi xn ∈ S01(εn) nªn xn ∈ K(xn),∀t ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈t, y − xn〉 ∈ εnBY + C¯. (6) XÐt xn ∈ A, do A compact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ A. Gi¶ sö x¯ /∈ S01(0) = S00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃t0 ∈ T (x¯), ∃y0 ∈ K(x¯), 〈t0, y0 − x¯〉 /∈ C¯. BëiK(.) lµ lsc vµ T (.) lµ lsc th× víi y0 vµ t 0 ë trªn, ∃yn ∈ K(xn), tn ∈ T (xn), sao cho yn → y0, tn → t0. Sö dông c¸c d·y nµy vµo (6) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t0, y0 − x¯〉 ∈ C¯; m©u thuÉn. PhÇn tiÕp theo chøng minh t­¬ng tù ®Þnh lý trªn. §Þnh lý 4. NÕu K(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lsc t¹i (u¯, A) th× S11(., .) lµ usc t¹i (u¯, 0). §Þnh lý 5. Víi cïng c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 1 th× Q01(.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i Q01(.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña Q01(0) = Q 0 0, εn → 0+, tån t¹i xn ∈ Q01(εn) mµ xn /∈ V, ∀n. XÐt xn ∈ A, do A compact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ A. Gi¶ sö x¯ /∈ M 01 (0) = M 00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃y0 ∈ K(x¯), ∀t ∈ T (x¯), 〈t, y0 − x¯〉 /∈ C¯. (7) 9 Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯. Khi ®ã víi yo ë trªn, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y0. Bëi xn ∈ Q01(εn) vµ víi yn ∈ K(xn) ë trªn, ∃tn ∈ T (xn), 〈tn, yn − xn〉 ∈ εnBY + C¯. Do K(.) usc vµ K(x¯) compact, theo Chó ý 1, cã d·y con vÉn ký hiÖu xn → x¯ ∈ K(x¯). Bëi T (.) usc cã gi¸ trÞ compact nªn tn → t¯ ∈ T (x¯). Sö dông c¸c d·y nµy vµ cho n → ∞ trong biÓu thøc trªn, víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y0 − x¯〉 ∈ C¯; mÉu thuÈn víi (7) nghÜa lµ x¯ ∈ Q01(0). PhÇn tiÕp theo lý luËn t­¬ng tù nh­ chøng minh §Þnh lý 1. §Þnh lý 6. Víi cïng c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 2 th× Q01(., .) lµ usc t¹i (0, λ¯). 5. Nöa liªn tôc d­íi cña c¸c tËp δ−nghiÖm B©y giê, ®Ó níi réng thªm hµm môc tiªu, ta thay qu¶ cÇu εBY trong c¸c tËp Q01,M 0 1 , S 0 1 ë trªn bëi qu¶ cÇu to h¬n (δ + ε)BY víi δ > 0 cè ®Þnh, vµ ta còng kÝ hiÖu c¸c bµi to¸n nµy cã δ t­¬ng øng trªn c¸c kÝ hiÖu cña chóng. Ch¼ng h¹n, Q0,δ1 (ε) = {x ∈ K(x),∀x ∈ K(x),∃t¯ ∈ T (x), 〈t¯, x− x〉 ∈ (δ + ε)BY + C¯}. Bæ ®Ò 1. NÕu εn → 0+, un → u¯ vµ un ∈ Y \ {(δ + εn)BY + C¯},∀n th× u¯ ∈ Y \ int(δBY + C¯). 10 Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i, u¯ /∈ Y \ int(δBY + C¯), tøc lµ u¯ ∈ int{δBY +C¯}. VËy cã qu¶ cÇu më t©m u¯ b¸n kÝnh β > 0, sao choB(u¯, β) ⊂ δBY + C¯. Bëi un → u¯ nªn víi n ®ñ lín, un ∈ B(u¯, β) ⊂ δBY + C¯. NghÜa lµ, un /∈ Y \ {δBY + C¯}. MÆt kh¸c, bëi Y \ {(δ + εn)BY + C¯} ⊂ Y \ {δBY + C¯}, suy ra un /∈ Y \ {(δ + εn)BY + C¯} lµ m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh. §Þnh lý 7. NÕu K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.) lsc th× ∀εn → 0+,∀x ∈ Q00,∃xn ∈ Q0,δ0 (εn) : xn → x. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i ∃εn → 0+,∃x¯ ∈ Q00,∀xn ∈ Q0,δ0 (εn) mµ xn 9 x¯. (8) Tõ K(.) lµ lsc t¹i x¯. Bëi x¯ ∈ Q00 nªn x¯ ∈ K(x¯) vµ ∀xn → x¯, ∃xn ∈ K(xn) sao cho xn → x¯. Víi εn → 0+ ë trªn vµ tõ (8) suy ra xn /∈ Q0,δ0 (εn) nghÜa lµ ∃yn ∈ K(xn), ∀t ∈ T (xn) sao cho 〈t, yn−xn〉 /∈ (δ+εn)BY + C¯ ⇔ 〈t, yn−xn〉 ∈ Y \{(δ+εn)BY + C¯}. (9) MÆt kh¸c, bëi x¯ ∈ Q00 ta cã x¯ ∈ K(x¯),∀y ∈ K(x¯),∃t¯ ∈ T (x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯. (10) Bëi A compact nªn {yn} tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ yn → y¯, h¬n n÷a K(.) lµ usc nªn y¯ ∈ K(x¯), v× biÓu thøc (10) tháa víi mäi y ∈ K(x¯) nªn 11 còng tháa víi y¯, víi y¯ nµy sÏ x¸c ®Þnh t¯ ∈ T (x¯). Bëi T (.) lsc nªn víi t¯ cã d·y tn ∈ T (xn), tn → t¯. Cho n → ∞ trong biÓu thøc (9), theo Bæ ®Ò 1 (víi un := 〈tn, yn − xn〉), ta cã: 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ int{δBY + C¯}. Bëi δ > 0, C¯ ⊂ int{δBY + C¯} ⇒ Y \ int{δBY + C¯} ⊂ Y \ C¯ ⇒ 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ C¯, lµ m©u thuÈn víi (10) vµ chøng minh kÕt thóc. XÐt bµi to¸n cã tham sè §Þnh lý 8. NÕu K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lsc th× ∀un → u¯, εn → 0+,∀x ∈ Q01(u¯),∃xn ∈ Q0,δ1 (u¯, εn) : xn → x. §Þnh lý 9. NÕu K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.) usc cã gi¸ trÞ compact th× ∀εn → 0+,∀x ∈ S00 ,∃xn ∈ S0,δ1 (εn) : xn → x. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i, ∃εn → 0+,∃x¯ ∈ S00 ,∀xn ∈ S0,δ1 (εn) mµ xn 9 x¯. (11) Tõ K(.) lµ lsc t¹i x¯. Bëi x¯ ∈ S00 nªn x¯ ∈ K(x¯), víi mçi xn → x¯, ∃xn ∈ K(xn) sao cho xn → x¯. Tõ εn → 0+ vµ bëi (11), suy ra xn /∈ S0,δ1 (εn), nghÜa 12 lµ ∃yn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn) sao cho 〈tn, yn − xn〉 /∈ (δ + εn)BY + C¯. Tøc lµ 〈tn, yn − xn〉 ∈ Y \ {(δ + εn)BY + C¯}. MÆt kh¸c, bëi x¯ ∈ S00 ta cã x¯ ∈ K(x¯),∀y ∈ K(x¯),∀t ∈ T (x¯), 〈t, y − x¯〉 ∈ C¯. Bëi A compact nªn {yn} tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ yn → y¯, h¬n n÷a K(.) lµ usc nªn y¯ ∈ K(x¯). Bëi T (.) usc, tn ∈ T (xn) nªn tn → t¯ ∈ T (x¯). Sö dông c¸c d·y εn, xn, yn, tn nµy, cho n → ∞ trong biÓu thøc trªn (víi chó ý tíi Bæ ®Ò 1), 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ int{δBY + C¯} ⊂ Y \ C¯, lµ m©u thuÈn vµ chøng minh kÕt thóc. §Þnh lý 10. NÕu K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.,.) usc cã gi¸ trÞ compact th× ∀un → u¯, ∀εn → 0+,∀x ∈ S00(u¯),∃xn ∈ S0,δ1 (u¯, εn) : xn → x. §Þnh lý 11. NÕu K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T(.) lsc th× ∀εn → 0+,∀x ∈ M 00 ,∃xn ∈ M 0,δ1 (εn) : xn → x. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i ∃εn → 0+,∃x¯ ∈ M 01 (0) = M 00 ,∀xn ∈ M 0,δ1 (εn) th× xn 9 x¯. (12) 13 Tõ K(.) lµ lsc t¹i x¯. V× thÕ, víi x¯ ∈ K(x¯),∀xn → x¯, ∃xn ∈ K(xn) sao cho xn → x¯. Bëi x¯ ∈ M 00 ta cã x¯ ∈ K(x¯),∃t¯ ∈ T (x¯),∀y ∈ K(x¯), 〈t¯, y − x¯〉 ∈ C¯. Bëi T (.) lsc nªn víi t¯ cã d·y tn ∈ T (xn), tn → t¯. MÆt kh¸c, víi εn → 0+ vµ bëi (12) suy ra xn /∈ M 0,δ1 (εn) nghÜa lµ ∀t ∈ T (xn), ∃yn ∈ K(xn) sao cho 〈t, yn−xn〉 /∈ (δ+εn)BY +C¯ ⇔ 〈t, yn−xn〉 ∈ Y \{(δ+εn)BY +C¯}. (13) V× biÓu thøc ®óng víi mäi t nªn còng ®óng víi d·y tn nãi trªn. Bëi A compact nªn {yn} tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ yn → y¯, h¬n n÷a K(.) lµ usc nªn y¯ ∈ K(x¯). Sö dông Bæ ®Ò 1 vµ cho n → ∞ trong biÓu thøc (13), cã 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ Y \ int{δBY + C¯} ⊂ Y \ C¯. lµ m©u thuÈn vµ chøng minh kÕt thóc. Víi bµi to¸n cã tham sè §Þnh lý 12. NÕu K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lsc th× ∀un → u¯, εn → 0+,∀x ∈ M 00 (u¯),∃xn ∈ M 0,δ1 (u¯, εn) : xn → x. 6. Well-posed cña c¸c bµi to¸n kh«ng tham sè vµ cã tham sè Tõ c¸c ®Þnh lý ë trªn vµ Chó ý 1, ta cã ®iÒu kiÖn ®ñ cho wellposed d¹ng I cña bµi to¸n kh«ng tham sè nh­ sau: 14 MÖnh ®Ò 1. Gi¶ sö K(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) lµ usc cã gi¸ trÞ compact th× bµi to¸n (MQV I) lµ wellposed d¹ng I. Chøng minh Sö dông kÕt qu¶ cña §Þnh lý 1, cã M 01 (.) lµ usc t¹i 0. Ta chØ cÇn chøng minhM 00 lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, lÊy d·y xn ∈ M 00 , xn → x¯. Ta chøng minh x¯ ∈ M 00 . Bëi xn ∈ M 00 , theo ®Þnh nghÜa th× xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉 ∈ C¯. (14) Tõ Chó ý 1, xn → x¯ ∈ K(x¯), tn → t¯ ∈ T (x¯). NÕu x¯ /∈ M 00 , theo ®Þnh nghÜa ta cã ∀t ∈ T (x¯),∃y¯t ∈ K(x¯) sao cho, 〈t, y¯t − x¯〉 /∈ C¯. V× biÓu thøc ®óng víi mäi t nªn còng ®óng víi t¯ ë trªn. Víi t¯ nµy sÏ x¸c ®Þnh y¯ ∈ K(x¯). Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯, nªn víi y¯, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y¯. Sö dông c¸c d·y nµy vµo (14) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ C¯, lµ m©u thuÈn nªn M 00 lµ tËp ®ãng. H¬n n÷a nã lµ tËp compact, sö dông Chó ý 1 ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. MÖnh ®Ò 2. Gi¶ sö K(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lµ usc cã gi¸ trÞ compact th× bµi to¸n (MQV I)u lµ wellposed d¹ng I. T­¬ng tù víi c¸c bµi to¸n (SQV I). 15 MÖnh ®Ò 3. Gi¶ söK(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) lµ lsc th× bµi to¸n (SQV I) lµ wellposed d¹ng I. Chøng minh Sö dông kÕt qu¶ cña §Þnh lý 3, cã S01(.) lµ usc t¹i 0. Ta chØ cÇn chøng minh S00 lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, lÊy d·y xn ∈ S00 , xn → x¯. Ta chøng minh x¯ ∈ S00 . bëi xn ∈ S00 , theo ®Þnh nghÜa, xn ∈ K(xn),∀t ∈ T (xn),∀y ∈ K(xn), 〈t, y − xn〉 ∈ C¯. (15) Tõ Chó ý 1, xn → x¯ ∈ K(x¯). NÕu x¯ /∈ S00 , theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃t¯ ∈ T (x¯),∃y¯ ∈ K(x¯) sao cho, 〈t¯, y¯ − x¯〉 /∈ C¯. Bëi K(.) lµ lsc t¹i x¯, khi ®ã víi y¯, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y¯. Còng bëi T (.) lsc nªn víi t¯,∃tn ∈ T (xn), tn → t¯ ∈ T (x¯). Sö dông c¸c d·y nµy vµo (15) vµ cho n → ∞ víi chó ý C¯ lµ tËp ®ãng, ta cã 〈t¯, y¯ − x¯〉 ∈ C¯, lµ m©u thuÈn nªn S00 lµ tËp ®ãng. H¬n n÷a nã lµ tËp compact, sö dông Chó ý 1 ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. MÖnh ®Ò 4. Gi¶ sö K(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (., .) lµ lsc th× bµi to¸n (SQV I)u lµ wellposed d¹ng I. XÐt wellposed d¹ng II, ta nhËn ®­îc c¸c kÕt qu¶: 16 §Þnh lý 13. K(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ T (.) usc cã gi¸ trÞ compact th× bµi to¸n (MQV I) lµ well-posed d¹ng II. Chøng minh XÐt xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II cña (MQV I), tøc lµ: ∃εn → 0+, xn ∈ K(xn),∃tn ∈ T (xn), ∀y ∈ K(xn), 〈tn, y − xn〉+ εnBY ⊂ C¯ = Y \ −intC. ⇔ 〈tn, y − xn〉+ εnBY 6⊂ −intC. (16) Tõ A compact nªn cã d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯. Do K(.) usc, xn ∈ K(xn), xn → x¯ ∈ K(x¯). NÕu x¯ /∈ M 00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∀t ∈ T (x¯),∃y¯ ∈ K(x¯) sao cho, 〈t, y¯ − x¯〉 /∈ C¯. Tøc lµ 〈t, y¯ − x¯〉 ∈ −intC. VËy cã ε¯ > 0 sao cho 〈t, y¯ − x¯〉+ ε¯BY ⊂ −intC. K(.) lµ lsc t¹i (x¯, 0), khi ®ã víi y¯, ∃yn ∈ K(xn) sao cho yn → y¯, Bëi T (.) usc cã gi¸ trÞ compact, tn → t¯ ∈ T (x¯). Cho n → +∞ ta cã: 〈tn, yn〉 − 〈t¯, y¯〉 → 0, 〈tn, xn〉 − 〈t¯, x¯〉 → 0. Khi n ®ñ lín cã 〈tn, yn〉 − 〈t¯, y¯〉 − 〈tn, xn〉+ 〈t¯, x¯〉 ⊂ ε¯ 2 BY . 17 Còng víi n ®ñ lín th× 〈tn, yn − xn〉+ εnBY ⊂ 〈tn, yn − xn〉+ ε¯ 2 BY = 〈tn, yn〉 − 〈t¯, y¯〉+ 〈t¯, y¯〉 − 〈t¯, x¯〉+ 〈t¯, x¯〉 − 〈tn, xn〉+ ε¯ 2 BY ⊂ 〈t¯, y¯ − x¯〉+ ε¯BY ⊂ −intC. Suy ra 〈tn, yn − xn〉+ εnBY ⊂ −intC. MÆt kh¸c, tõ (16) suy ra 〈tn, yn − xn〉+ εnBY 6⊂ −intC. lµ m©u thuÉn vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. §Þnh lý 14. K(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng th× bµi to¸n (MQV I)u lµ well- posed d¹ng II. 7. C¸c øng dông vµo æn ®Þnh dßng c©n b»ng cña m¹ng giao th«ng XÐt m« h×nh m¹ng giao th«ng ®· tr×nh bµy trong [15], nh­ sau: Cho N lµ tËp c¸c nót, L tËp c¸c cung, W = (W1, ...,Wl) tËp c¸c cÆp ®Çu-cuèi (viÕt t¾t O-D). Gi¶ sö cã rj ≥ 1 c¸c ®­êng nèi cÆp ®Çu cuèi Wj, j = 1, ..., l vµ biÓu thÞ tËp c¸c ®­êng nµy bëi Pj. §Æt m = r1 + ... + rl, F = (F1, ..., Fm) lµ vect¬ dßng ®­êng. Gi¸ cña ®­êng Rs, s = 1, ...,m lµ tËp Ts(F ) ⊂ R+. Khi ®ã cã hµm ®a trÞ T : Rm+ → 2Rm+ , víi T (F ) := (T1(F ), ..., Tm(F )). Cho 18 Γs lµ t¶i n¨ng trªn ®­êng Rs, s = 1, ...,m. Khi ®ã c¸c dßng tháa m·n rµng buéc sau ®©y: F ∈ A := {F ∈ Rm+ : 0 ≤ Fs ≤ Γs, s = 1, ...,m}. Nh­ De Luca(1995) vµ Maugeri(1995) nhu cÇu ρj cña cÆp ®Çu cuèiWj cã thÓ phô thuéc dßng c©n b»ng H . Cho ¸nh x¹ ρ : Rm+ → Rl+. §Æt: φjs =  1 nÕu Rs ∈ Pj; 0 nÕu Rs /∈ Pj. vµ φ = {φjs}, j = 1, ..., l; s = 1, ...,m. TËp dßng chÊp nhËn ®­îc : K(H) := {F ∈ A : φF = ρ(H)}. Ta cã ®Þnh nghÜa dßng c©n b»ng theo nghÜa Wardrop. §Þnh nghÜa 5. (i) Dßng H ∈ A ®­îc gäi lµ dßng c©n b»ng yÕu nÕu H ∈ K(H), ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃t ∈ T (H), tq < ts ⇒ [Hq = Γq], hoÆc [Hs = 0]. víi j = 1, ..., l, q, s ∈ 1, ...,m. (ii) H ®­îc gäi lµ dßng c©n b»ng m¹nh nÕu thay ∃t ∈ T (H) bëi ∀t ∈ T (H). Ký hiÖu tËp dßng c©n b»ng yÕu lµ Γ vµ tËp dßng c©n b»ng m¹nh lµ SΓ. 19 XÐt æn ®Þnh cña dßng c©n b»ng ta gi¶ sö r»ng M := sup H∈A sup t∈T (H) sup p=1,...,m |tp| < +∞. Ta më réng thªm ®Þnh nghÜa c©n b»ng. Trªn thùc tÕ, mÆc dï trªn ®­êng cã gi¸ cao vÉn cã mét l­îng nhá dßng l­u th«ng. Trªn ®­êng cã gi¸ thÊp dßng c©n b»ng vÉn cã thÓ kh«ng ®¹t cùc ®¹i. Cho 0 ≤ e < 12 mins:=1,...,m Γs. Dßng c©n b»ng trong tr­êng hîp nµy ®Þnh nghÜa nh­ sau: §Þnh nghÜa 6. (i) Mét dßng vect¬ H ®­îc gäi lµ dßng [e]-c©n b»ng yÕu nÕu H ∈ K(H), ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃t ∈ T (H), tq < ts ⇒ Hq ∈ [Γq − e,Γq], hoÆc Hs ∈ [0, e]. víi j = 1, ..., l, q, s ∈ 1, ...,m. (ii) Mét dßng vect¬ H ®­îc gäi lµ dßng [e]-c©n b»ng m¹nh nÕu thay ∃t ∈ T (H) bëi ∀t ∈ T (H). Ký hiÖu Γ(δ) víi δ = 2mMe lµ tËp c¸c dßng [e]−c©n b»ng yÕu vµ SΓ(δ) lµ tËp [e]−c©n b»ng m¹nh. §Þnh nghÜa 7. D·y {(Hn)} ⊂ A gäi lµ d·y dßng c©n b»ng yÕu xÊp xØ nÕu en → 0+, Hn ∈ K(Hn), ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃tn ∈ T (Hn), (tn)q < (tn)s ⇒ (Hn)q ∈ [Γq − en,Γq], hoÆc (Hn)s ∈ [0, en]. 20 víi j = 1, ..., l, q, s ∈ {1, ...,m}. (ii) Hn ®­îc gäi lµ d·y dßng c©n b»ng m¹nh xÊp xØ nÕu thay ∃tn ∈ T (Hn) bëi ∀t ∈ T (Hn). §Þnh nghÜa 8. bµi to¸n kh«ng tham sè Γ ®­îc gäi lµ wellposed yÕu nÕu a. Γ 6= ∅ ; b. Víi mçi d·y dßng c©n b»ng xÊp xØ yÕu lu«n cã d·y con héi tô tíi Γ. Tr­êng hîp hµm gi¸ ®¬n trÞ, trong c¸c kh¸i niÖm vÒ c©n b»ng yÕu (m¹nh) nªu trªn ta chØ nãi ®¬n gi¶n lµ dßng c©n b»ng. ThÝ dô 1 XÐt m¹ng giao th«ng G4 gåm bèn not {1, 2, 3, 4}, bèn cung {(−→12), (−→23), (−→13), (−→14)}. M¹ng nµy cã hai cÆp ®Çu cuèi w1 = (1, 3), w2 = (1, 4). C¸c ®­êng nèi cÆp ®Çu cuèi wj, j = 1, 2 lµ ba ®­êng P1 = {R1 = (123), R2 = (13)}, P2 = {R3 = (14)}, r1 = 2, r2 = 1,m = r1 + r2 = 3. Φ2×3 =  1 1 0 0 0 1  . Gi¶ sö t¶i n¨ng trªn c¸c ®­êng Γs = 1, s = 1, 2, 3 A = {F = (f1, f2, f3) ∈ R3 : 0 ≤ fs ≤ 1, s = 1, 2, 3}, gi¶ sö gÝa mét ®¬n vÞ dßng l­u th«ng trªn mét ®­êng Rs ®óng b»ng dßng trªn ®­êng ®ã, tøc lµ ts := {hs},∀s = 1, 2, 3. Gi¶ sö, ρ(H) =  ρ1(H) = 1 ρ2(H) = 1  21 ⇔ f1 + f2 + 0 = 10 + 0 + f3 = 1 Khi ®ã víi mäi H ∈ A, K := K(H) = {F = (f1, f2, f3),ΦF = ρ(H)} = {(f1, f2, f3) :  f1 + f2 + 0 = 10 + 0 + f3 = 1 }, lµ tËp låi ®ãng. DÔ kiÓm tra r»ng H¯ = (12 , 1 2 , 1) lµ nghiÖm duy nhÊt cña (MQV I) vµ còng lµ dßng c©n b»ng duy nhÊt cña G4. ThËt vËy, dÔ thö l¹i H¯ = (12 , 1 2 , 1) ∈ K lµ nghiÖm (MQV I) vµ víi (12 , 12 , 1) 6= H ∈ K th× hoÆc H = (12 + u, 1 2 − u, 1) hoÆc H = (12 − u, 12 + u, 1) víi 0 < u ≤ 12 vµ bëi F ∈ K nªn 〈(1 2 + u, 1 2 − u, 1), (f1, f2, f3)− (1 2 + u, 1 2 − u, 1)〉 = ( 1 2 + u)(f1 − (1 2 + u)) + ( 1 2 − u)(f2 − (1 2 − u)) + f3 − 1 = ( 1 2 + u)f1 − (1 2 + u)2 + ( 1 2 − u)f2 − (1 2 − u)2 + f3 − 1 = 1 2 f1−(1 2 +u)2+ 1 2 f2−(1 2 −u)2+f3−1+uf1−uf2−2u2 = −u(f2−f1+2u). B©y giê chØ cÇn lÊy F = (1, 0, 1) ∈ K th× 〈T (H), F −H〉 < 0 vµ H kh«ng lµ nghiÖm. ThÝ dô d­íi ®©y chØ ra m¹ng giao th«ng kh«ng cã dßng c©n b»ng vµ bµi to¸n (MQV I) kh«ng cã nghiÖm nh­ng M 01 (ω) cã nghiÖm víi mäi ω > 0. 22 ThÝ dô 2 Víi ThÝ dô 1, nÕu T (12 , 1 2 , 1) = ( 1 2 + ω, 1 2 , 1) th× (MQV I) kh«ng cã nghiÖm víi mäi ω > 0. (M¹ng giao th«ng trong tr­êng hîp nµy kh«ng cã c©n b»ng.) ThËt vËy, víi H¯ = (12 , 1 2 , 1) vµ bëi F ∈ K nªn 〈(1 2 + ω, 1 2 , 1), (f1, f2, f3)− (1 2 , 1 2 , 1)〉 = ( 1 2 + ω)(f1 − 1 2 ) + 1 2 (f2 − 1 2 ) + f3 − 1 = 1 2 (f1 − 1 2 ) + ω(f1 − 1 2 ) + 1 2 (f2 − 1 2 ) + f3 − 1 = ω(f1 − 1 2 ). B©y giê chØ cÇn lÊy F = (0, 1, 1) ∈ K th× 〈T (H), F − H〉 < 0 vµ H¯ kh«ng lµ nghiÖm cña (MQV I). NÕu xÐt bµi to¸n (MQV I)01 th× dÔ thÊy H¯ ∈ M 01 (ω) ⊂ Q01(ω). VÒ ®Þnh nghÜa dßng e−c©n b»ng ta chó ý lµ mét dßng e−c©n b»ng cã thÓ kh«ng lµ nghiÖm cña (MQV I). D­íi ®©y lµ mét thÝ dô. ThÝ dô 3 Víi ThÝ dô 1, nÕu gi¸ trªn ®­êngRs lµ ts = 1−hs,∀s = 1, 2, 3 vµ víi 0 ≤ e < 12 xÐt dßng e−c©n b»ng th× víi mçi 0 ≤ ε ≤ e, dßng H¯ = (h1, h2, h3) trong ®ã h1 = ε, h2 = 1 + ε, h3 = 1 hoÆc h1 = 1 + ε, h2 = ε, h3 = 1 lµ dßng e−c©n b»ng. MÆt kh¸c H¯ kh«ng lµ nghiÖm cña (MQV I) nh­ng H¯ ∈ M 01 (δ) víi δ = 2ε. Còng dÔ thÊy dßng H = (12 , 12 , 1) lµ dßng e−c©n b»ng vµ nã còng lµ nghiÖm cña (MQV I). Kh¼ng ®Þnh sau cho mèi liªn hÖ gi÷a dßng e−c©n b»ng vµ tËp nghiÖm M 01 (δ) trong tr­êng hîp hµm gi¸ ®¬n trÞ. 23 §Þnh lý 15. NÕu H lµ dßng [e]-c©n b»ng th× H ∈ M 01 (δ), tøc lµ: Γ(δ) ⊂ M 01 (δ). Chøng minh. Gi¶ sö H lµ dßng c©n b»ng. NÕu víi mäi cÆp ®Çu cuèi Wj vµ tÊt c¶ c¸c ®­êng Rr ∈ Wj mµ t¯r ≡ t¯j th×〈 t¯, F − H¯〉 = l∑ j=1 ∑ Rr∈Wj tr(Fr −Hr) = l∑ j=1 t¯j ∑ Rr∈Wj (Fr −Hr) = l∑ j=1 t¯j[ρj(H¯)− ρj(H¯)] = 0. Tøc lµ H¯ ∈ M 00 ⊂ M 01 (δ) vµ ®Þnh lý hiÓn nhiªn ®óng. NÕu kh«ng, víi mçi cÆp ®Çu cuèi Wj ®Æt Aj := {Rq ∈ Pj : Hq < Γq − e}, Bj := {Rs ∈ Pj : Hs > e}. Theo ®Þnh nghÜa dßng c©n b»ng, tq ≥ ts nÕu Rq ∈ Aj vµ Rs ∈ Bj. Chän γj sao cho inf Rq∈Aj {tq} ≥ γj ≥ sup Rs∈Bj {ts} víi mçi F ∈ K(H) chän cÆp ®Çu cuèi Wj vµ ®­êng Rr ∈ Wj bÊt kú. NÕu tr < γj th× Rr /∈ Aj, nghÜa lµ Hr ∈ [Γr − e,Γr]. Suy ra (tr − γj)(Fr −Hr − e) ≥ 0. 24 VËy tr(Fr −Hr) ≥ γj(Fr −Hr − e) + e(tr − γj) = γj(Fr − H¯r)− 2eγj + et¯r. NÕu tr > γj th× Rr /∈ Bj, nghÜa lµ Hr ∈ [0, e], do ®ã (tr − γj)(Fr −Hr + e) ≥ 0. Suy ra tr(Fr −Hr) ≥ γj(Fr −Hr + e)− e(tr − γj) = γj(Fr − H¯r) + 2eγj − et¯r. NÕu tr = γj th× tr(Fr − Hr) = γj(Fr − Hr). Víi mäi cÆp ®Çu cuèi Wj vµ tÊt c¶ c¸c ®­êng Rr ∈ Wj: 〈 t¯, F − H¯〉 = l∑ j=1 ∑ Rr∈Wj tr(Fr −Hr) ≥ l∑ j=1 [ ∑ tr<γj (γj(Fr −Hr)− 2eγj + et¯r) + ∑ tr=γj (γj(Fr −Hr)) + ∑ tr>γj (γj(Fr −Hr) + 2eγj − et¯r)] ≥ l∑ j=1 ∑ tr<γj γj(Fr −Hr)− 2e l∑ j=1 ∑ tr<γj γj + e l∑ j=1 ∑ tr<γj t¯r 25 + l∑ i=1 ∑ tr=γj (γj(Fr −Hr)) + l∑ j=1 ∑ tr>γj γj(Fr −Hr) + 2e l∑ j=1 ∑ tr>γj γj − e l∑ j=1 ∑ tr>γj t¯r ≥ l∑ j=1 ∑ Rr∈Wj γj(Fr −Hr)− 2e l∑ j=1 ∑ tr<γj M − e l∑ j=1 ∑ tr>γj M ≥ l∑ j=1 γj[ρj(H¯)− ρj(H¯)]− e l∑ j=1 ∑ trγj M − e l∑ j=1 ∑ tr>γj M ≥ −2mMe. Suy ra 〈 t¯, F − H¯〉+ 2mMe ≥ 0. Tõ δ = 2mMe th× 〈 t¯, F − H¯〉+ δ ≥ 0. Tøc lµ H¯ ∈ M 01 (δ) vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. B©y giê, xÐt m¹ng giao th«ng Γ víi hµm gi¸ ®¬n trÞ vµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n t­¬ng øng víi Γ lµ (QV I). Ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 5. NÕu (QVI) lµ wellposed th× bµi to¸n c©n b»ng giao th«ng Γ lµ wellposed. 26 Chøng minh XÐt d·y xÊp xØHn cña Γ, tøc lµ cã en → 0+, Hn ∈ K(Hn), sao cho ∀Wj,∀Rq ∈ Pj,∀Rs ∈ Pj,∃tn ∈ T (Hn), (tn)q < (tn)s ⇒ (Hn)q ∈ [Γq − en,Γq], hoÆc (Hn)s ∈ [0, en]. víi j = 1, ..., l, q, s ∈ {1, ...,m}. Tøc lµ Hn ∈ Γ(δn). Bëi ®Þnh lý (15) trªn vµ do hµm gi¸ ®¬n trÞ, suy ra Hn ∈ M 01 (δn) ⊂ Q01(δn),∀n. Tõ (QVI) lµ well- posed ta cã d·y con Hnk → H¯ ∈ Q00. Râ rµng lµ (xem [15]) nÕu H¯ ∈ Q00 th× H¯ lµ dßng c©n b»ng yÕu, vËy H¯ ∈ Γ. Tøc lµ, Hnk → H¯ ∈ Γ vµ nã lµ wellposed. 8. VÒ æn ®Þnh c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu PhÇn nµy kh¶o s¸t æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc cho c©n b»ng Nash Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu. Më réng kh¸i niÖm wellposed cho c©n b»ng Nash Pareto vµ thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ vÒ æn ®Þnh cho bµi to¸n nµy. XÐt m« h×nh trß ch¬i ®a môc tiªu tæng qu¸t (xem [3]), cho N = {1, 2, ..., n} lµ tËp c¸c ng­êi ch¬i, víi mçi i ∈ N , X i lµ tËp con compact, kh¸c rçng cña kh«ng gian BanachEi. X i lµ tËp chiÕn thuËt cña ng­êi ch¬i thø i vµ ®Æt X = ∏ i∈N X i, X iˆ = ∏ j∈N,j 6=i X j. Ta kh¶o s¸t trß ch¬i ®a môc tiªu tæng qu¸t cã tham sè λ trong kh«ng gian Banach Λ. Cho f i : X ×Λ → Rki, 27 lµ hµm môc tiªu cña ng­êi ch¬i thø i víi ki lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ ®Æt Rki+ := {(u1, ..., uki) ∈ Rki : uj ≥ 0,∀j = 1, ..., ki}. Víi mçi i ∈ N , tËp chiÕn thuËt chÊp nhËn ®­îc cña ng­êi ch¬i thø i lµ mét hµm ®a trÞ, Gi : X iˆ × Λ → 2Xi. Trß ch¬i ®a môc tiªu cã d¹ng sau, víi mçi λ ∈ Λ, Γλ = {X i, Gi, f i}i∈N . NÕu bµi to¸n kh«ng cã tham sè λ th× Γλ chÝnh lµ bµi to¸n Γ trong [3]. Ta còng ký hiÖu bµi to¸n nµy lµ Γ. 8.1 C¸c ®Þnh nghÜa vµ kh¸i niÖm XÐt kh¸i niÖm nghiÖm (®iÓm c©n b»ng Nash Pareto) cña bµi to¸n trß ch¬i Γ (xem [3]), nh­ sau: §Þnh nghÜa 9. x¯ = (x¯1, ..., x¯n) ∈ X ®­îc gäi lµ c©n b»ng Nash Pareto cña Γ (ký hiÖu x¯ ∈ Π0,00 ), nÕu ∀i ∈ N , x¯i ∈ Gi(x¯iˆ), ∀yi ∈ Gi(x¯iˆ) th× f i(yi, x¯iˆ)− f i(x¯i, x¯iˆ) /∈ intRki+ . ( x¯ ®­îc gäi lµ c©n b»ng Nash Pareto yÕu nÕu ∀yi ∈ Gi(x¯iˆ) thay bëi ∃yi ∈ Gi(x¯ iˆ)). Ký hiÖu Bi := {z ∈ Rki : ‖z‖i ≤ 1} trong ®ã ‖.‖i lµ chuÈn Euclide cña Rki vµ Ki := R ki \ intRki+ , (ë ®©y int chØ phÇn trong cña tËp). §Þnh nghÜa 10. a. D·y {x¯n} ∈ X ®­îc gäi lµ d·y xÊp xØ d¹ng I nÕu ∃εn → 28 0+,∀i ∈ N, x¯in ∈ Gi(x¯iˆn) , ∀yi ∈ Gi(x¯iˆn), f i(yi, x¯iˆn)− f i(x¯in, x¯iˆn) ∈ εnBi + Ki. (17) b. NÕu thay (17) bëi: f i(yi, x¯iˆn)− f i(x¯in, x¯iˆn) + εnBi ⊂ Ki th× xn gäi lµ d·y xÊp xØ d¹ng II. §Þnh nghÜa 11. bµi to¸n kh«ng tham sè Γ ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, II) nÕu (a) Π0,00 6= ∅ ; (b) Víi mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, II) cã d·y con héi tô tíi Π0,00 . Chó ý lµ nÕu d·y xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II th× nã còng lµ d·y xÊp xØ d¹ng I nh­ng ®iÒu ng­îc l¹i cã thÓ kh«ng ®óng. V× vËy, nÕu bµi to¸n lµ wellposed d¹ng II th× còng lµ wellposed d¹ng I. Víi ε ≥ 0, λ ∈ Λ, ®Æt Π0,00 (λ) := {x = (x1, ..., xn) ∈ X,∀i ∈ N, xi ∈ Gi(xiˆ, λ) : ∀yi ∈ Gi(xiˆ, λ), f i(yi, xiˆ, λ)− f i(xi, xiˆ, λ) ∈ Ki}; Π0,01 (ε, λ) := {x = (x1, ..., xn) ∈ X,∀i ∈ N, xi ∈ Gi(xiˆ, λ) : ∀yi ∈ Gi(xiˆ, λ), f i(yi, xiˆ, λ)− f i(xi, xiˆ, λ) ∈ εBi + Ki}. NÕu bµi to¸n kh«ng cã tham sè, ta ký hiÖu Π0,00 ,Π 0,0 1 (ε), t­¬ng øng. Còng ký hiÖu (Π∃)0,01 (ε, λ) nÕu ∀yi ∈ Gi(x¯iˆ, λ) trong Π0,01 (ε, λ) thay bëi ∃yi ∈ Gi(x¯iˆ, λ). 29 XÐt hä c¸c bµi to¸n cã tham sè (Γδ). §Þnh nghÜa 12. Cho λn → λ¯, d·y {x¯n} ∈ X, ®­îc gäi lµ d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng, II) øng víi {λn} nÕu ∃εn → 0+,∀i ∈ N, x¯in ∈ Gi(x¯iˆn, λn), ∀yi ∈ Gi(x¯iˆn, λn), f i(yi, x¯iˆn, λn)− f i(x¯in, x¯iˆn, λn) ∈ εnBi + Ki. (T­¬ng øng, f i(yi, x¯iˆn, λn)− f i(x¯in, x¯iˆn, λn) + εnBi ⊂ Ki). §Þnh nghÜa 13. Hä bµi to¸n cã tham sè ((Γλ) ) ®­îc gäi lµ wellposed d¹ng I (t­¬ng øng, II) t¹i λ¯ nÕu (a) Π0,00 (λ¯) 6= ∅; (b) λn → λ¯, mçi d·y xÊp xØ d¹ng I (t­¬ng øng II) øng víi {λn} cã d·y con héi tô tíi Π0,00 (λ¯). §Þnh nghÜa 14. Cho Y1 vµ X1 lµ c¸c tËp con kh¸c rçng cña c¸c kh«ng gian Banach Y vµ X , t­¬ng øng. f : Y × X → Rl. XÐt nãn K kh¸c rçng trong Rl vµ B lµ qu¶ cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong Rl. Hµm f(., .) ®­îc gäi K- tùa ®ãng trªn (Y1 × X1) nÕu víi (y, x) ∈ (Y1 × X1), εn → 0+, (zn, xn) ∈ Y1 × X1, (zn, xn) → (z, x) sao cho f(y, xn) − f(zn, xn) ∈ εnB + K th× f(y, x)− f(z, x) ∈ K. Chó ý r»ng nÕu f(., .) lµ K tùa ®ãng th× cã thÓ f(., .) kh«ng liªn tôc. ThÝ dô, xÐt X = Y = R,K = (−∞, 0], f(y, x) = y − x nÕu x 6= 0 vµ f(y, 0) = −1. DÔ thÊy f(., .) lµ K tùa ®ãng trªn [−1, 0] × [−1, 0] nh­ng 30 f(., .) kh«ng liªn tôc víi mäi y0 6= −1, x0 = 0. HiÓn nhiªn trong tr­êng hîp nµy nÕu f(., .) liªn tôc vµ K ®ãng th× nã lu«n lµ K tùa ®ãng. Gi¶ sö Π0,00 6= ∅, ∀λ ∈ Λ,Π0,00 (λ) 6= ∅ vµ ®Ó ®¬n gi¶n kÝ hiÖu ta nãi hµm f i (®· nªu trong ®Þnh nghÜa 14) lµ Ki tùa ®ãng thay cho nãi Ki tùa ®ãng trªn (X i ×X i), i ∈ N . 31 8.2. Nöa liªn tôc trªn cña c¸c tËp nghiÖm §Þnh lý 16. Gi¶ sö ∀i ∈ N, Gi(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã Π 0,0 1 (.) lµ usc t¹i 0. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i Π0,01 (.) kh«ng usc t¹i 0, khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña Π0,01 (0), εn → 0+, tån t¹i xn ∈ Π0,01 (εn) mµ xn /∈ V, ∀n. (18) Bëi xn ∈ Π0,01 (εn) nªn víi mçi i, xin ∈ Gi(xiˆn),∀yin ∈ Gi(xiˆn), f i(yin, x iˆ n)− f i(xin, xiˆn) ∈ εnBi + Ki. (19) XÐt xn ∈ X , do Xcompact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ X , Do xin ∈ Gi(xiˆn). Do Gi(.) usc vµ Gi(x¯iˆ) compact, theo Chó ý 1, ta cã xin → x¯i ∈ Gi(x¯iˆ). Gi¶ sö x¯ /∈ Π0,01 (0) theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃io, x¯io ∈ Gi(x¯iˆo),∃y¯io ∈ Gio(x¯iˆo) sao cho, f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) /∈ Ki0. (20) Bëi Gio(.) lµ lsc t¹i (x¯ iˆo) víi yi0 tån t¹i yi0n ∈ Gi0(xn) sao cho yion → y¯io. Sö dông d·y nµy vµo (19), ta cã f io(yion , x iˆo n )− f io(xion , xiˆon ) ∈ εnBi0 +Ki0. Cho n → ∞ vµ v× f i tùa ®ãng nªn f io(y¯io, x¯iˆo) − f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ Ki0, mÉu thuÈn víi (20) nghÜa lµ x¯ ∈ Π0,01 (0). Tõ x¯ ∈ Π0,01 (0), kh«ng khã ®Ó thÊy nã m©u thuÈn víi (18). VËy Π0,01 (.) lµ usc t¹i 0 vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. 32 Còng t­¬ng tù nh­ chøng minh §Þnh lý 16 nh­ng xÐt trong tr­êng hîp cã tham sè ta cã §Þnh lý 17. Gi¶ sö ∀i ∈ N, Gi(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., ., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã Π 0,0 1 (., .) lµ usc t¹i (0, λ¯),∀λ¯ ∈ Λ. XÐt c©n b»ng Nash Pareto yÕu, ta cã c¸c kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ng víi gi¶ thiÕt nhÑ h¬n, kh«ng cÇn tÝnh lsc cña Gi. §Þnh lý 18. Gi¶ sö ∀i ∈ N, Gi(., .) lµ usc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., ., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã (Π ∃)0,11 (., .) lµ usc t¹i (0, λ¯),∀λ¯ ∈ Λ. Chøng minh Gi¶ sö ng­îc l¹i (Π∃)0,01 (., .) kh«ng usc t¹i (0, λ¯), khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V cña (Π∃)0,01 (0, λ¯), tån t¹i λn → λ¯, εn → 0+, tån t¹i xn ∈ (Π∃)0,01 (εn, λn) sao cho xn /∈ V, ∀n. Bëi xn ∈ (Π∃)0,01 (εn, λn) suy ra ∀i, xin ∈ Gi(xiˆn, λn),∃yˆin ∈ Gi(xiˆn, λn), f i(yˆin, x iˆ n, λn)− f i(xin, xiˆn, λn) ∈ εnBi + Ki, (21) xn ∈ X , do Xcompact nªn tån t¹i d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯ ∈ X . NÕu x¯ 6∈ (Π∃)0,01 (0, λ¯) nh­ chøng minh §Þnh lý 16 vµ bëi bµi to¸n yÕu nªn cã i0 ∈ N , vµ y¯i0, ( ta cã thÓ xem yˆi0n → y¯i0 ∈ Gi0(x¯iˆ, λ¯)) sao cho f io(y¯io, x¯iˆo, λ¯)− f io(x¯io, x¯iˆo, λ¯) /∈ Ki0. Sö dông trong (21) d·y yˆi0n → y¯i0 ë trªn vµ bëi f io tùa ®ãng, cho n → ∞, cã f io(y¯io, x¯iˆo, λ¯)− f io(x¯io, x¯iˆo, λ¯) ∈ Ki0. 33 M©u thuÈn. Còng lý luËn t­¬ng tù §Þnh lý 16 ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. 8.3. Well-posed cña c¸c bµi to¸n kh«ng tham sè vµ cã tham sè Tõ c¸c ®Þnh lý ë trªn vµ Chó ý 1, ta cã ®iÒu kiÖn ®ñ cho wellposed d¹ng I cña bµi to¸n kh«ng cã tham sè Γ nh­ sau: MÖnh ®Ò 6. Gi¶ sö ∀i ∈ N , Gi(.) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã bµi to¸n kh«ng tham sè Γ lµ wellposed d¹ng I. Chøng minh Sö dông kÕt qu¶ cña §Þnh lý 16, cã Π0,01 (.) lµ usc t¹i 0. Ta chØ cÇn chøng minh Π0,01 (0) = Π 0,0 0 lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, lÊy d·y xn ∈ Π0,00 , xn → x0 th× víi mçi i, xin ∈ Gi(xiˆn),∀yin ∈ Gi(xiˆn), f i(yin, x iˆ n)− f i(xin, xiˆn) ∈ Ki. (22) Tõ Chó ý 1, xin → x¯i ∈ Gi(x¯iˆ). NÕu x¯ /∈ Π0,00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃io, x¯io ∈ Gi(x¯ iˆo),∃y¯io ∈ Gio(x¯iˆo) sao cho, f io(y¯io, x¯iˆo)−f io(x¯io, x¯iˆo) /∈ Ki0. Bëi Gio(.) lµ lsc t¹i (x¯iˆo), khi ®ã víi y¯io, ∃yion ∈ Gio(x¯iˆon ) sao cho yion → y¯io. Sö dông c¸c d·y trªn vµo (22) vµ cho n → ∞, ta cã f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ Ki0, lµ m©u thuÈn nªn Π0,00 lµ tËp ®ãng. H¬n n÷a nã lµ tËp compact, sö dông Chó ý 1 ta suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. MÖnh ®Ò 7. Gi¶ sö ∀i ∈ N , Gi(., .) lµ liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng vµ f i(., ., .) lµ Ki-tùa ®ãng. Khi ®ã hä bµi to¸n cã tham sè (Γλ) lµ wellposed d¹ng I t¹i λ¯, ∀λ¯ ∈ Λ. 34 XÐt wellposed d¹ng II, ta nhËn ®­îc c¸c kÕt qu¶: §Þnh lý 19. Gi¶ sö víi mçi i ∈ N, f i(., .) liªn tôc, Gi(.) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng th× bµi to¸n Γ lµ well-posed d¹ng II. Chøng minh XÐt xn lµ d·y xÊp xØ d¹ng II, tøc lµ: ∃εn → 0+,∀i ∈ N, xin ∈ Gi(xiˆn) , ∀yi ∈ Gi(xiˆn), f i(yi, xiˆn)− f i(xin, xiˆn) + εnBi ⊂ Ki. (23) Tõ X compact nªn cã d·y con vÉn ký hiÖu lµ xn → x¯. Do xin ∈ Gi(xiˆn), dÔ thÊy tõ tÝnh usc vµ Gi(x¯ iˆ) compact th× xin → x¯i ∈ Gi(x¯iˆ). NÕu x¯ /∈ Π0,00 theo ®Þnh nghÜa ta cã ∃io, x¯io ∈ Gi(x¯iˆo),∃y¯io ∈ Gio(x¯iˆo) sao cho, f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ intRkio+ . VËy cã ε¯ > 0 sao cho f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) + ε¯Bi0 ⊂ intRkio+ . Bëi Gio(.) lµ lsc t¹i (x¯ iˆo), khi ®ã víi y¯io, ∃yion ∈ Gio(xiˆon ) sao cho yion → y¯io. Tõ f i0 liªn tôc, khi n → +∞ ta cã: f io(yion , x iˆo n )− f io(y¯io, x¯iˆo) → 0, f io(xion , xiˆon )− f io(x¯io, x¯iˆo) → 0. Khi n ®ñ lín cã f io(yion , x iˆo n )− f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(xion , xiˆon ) + f io(x¯io, x¯iˆo) ∈ ε¯ 2 Bi0. 35 Còng víi n ®ñ lín th× f io(yion , x iˆo n )− f io(xion , xiˆon ) + εnBi0 ⊂ f io(yion , xiˆon )− f io(xion , xiˆon ) + ε¯ 2 Bi0 ⊂ f io(yion , xiˆon )− f io(y¯io, x¯iˆo) + f io(y¯io, x¯iˆo) −f io(x¯io, x¯iˆo) + f io(x¯io, x¯iˆo)− f io(xion , xiˆon ) + ε¯ 2 Bi0 ⊂ f io(y¯io, x¯iˆo)− f io(x¯io, x¯iˆo) + ε¯Bi0 ⊂ intRki0 , vËy f io(yion , x iˆo n )− f io(xion , xiˆon ) + εnBi0 6⊂ Ki0. MÆt kh¸c, tõ (23) suy ra f i0(yi0n , x iˆ0 n )− f i0(xi0n , xiˆ0n ) + εnBi0 ⊂ Ki0, lµ m©u thuÉn vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. §Þnh lý 20. Gi¶ sö víi mçi i ∈ N, f i(., ., .) liªn tôc, Gi(., .) liªn tôc cã gi¸ trÞ ®ãng th× bµi to¸n Γλ lµ well-posed d¹ng II. 36 KÕt luËn C¸c kÕt qu¶ cña ®Ò tµi ®· thùc hiÖn theo ®óng néi dung thuyÕt minh ®· ®¨ng ký. MÆt kh¸c, ®Ò tµi còng ®· ®­a ra ®­îc mét sè kÕt qu¶ míi vÒ æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc vµ wellposed cho c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (phÇn nµy lµm thªm vµ ch­a kÞp ®¨ng ký trong néi dung ®Ò tµi). C¸c kÕt qu¶ nhËn ®­îc cña ®Ò tµi cã thÓ më réng cho bµi to¸n cã rµng buéc níi réng vµ ¸p dông vµo mét sè bµi to¸n kh¸c cã liªn quan. C¸c kÕt qu¶ cña ®Ò tµi ®· vµ dù kiÕn tr×nh bµy trong c¸c xeminare vµ héi nghÞ khoa häc sau: 1. Héi nghÞ khoa häc quèc tÕ vÒ to¸n øng dông t¹i Nha trang th¸ng 3/2010; 2. Héi nghÞ khoa häc vÒ " BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n vµ øng dông" t¹i Hµ néi (dù kiÕn th¸ng 5/2010); 3. Xeminare to¸n øng dông cña Khoa to¸n häc tr­êng §¹i häc §µ l¹t n¨m 2009 vµ n¨m 2010; 4. Xeminare tèi ­u vµ hÖ thèng cña tr­êng §¹i häc KHTN, §¹i häc quèc gia TP. Hå ChÝ Minh n¨m 2009. KÕt qu¶ cña ®Ò tµi ®· ®¨ng mét bµi " VÒ wellposed cho bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc tùa biÕn ph©n cã tham sè", trªn th«ng b¸o khoa häc tr­êng §¹i häc §µ l¹t n¨m 2009, mét bµi " VÒ æn ®Þnh c©n b»ng Nash-Pareto cña bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu" ®· göi ®¨ng trªn t¹p chÝ KHVCN n¨m 2010 vµ mét bµi ®ang hoµn thiÖn (cïng t¸c gi¶ kh¸c) dù kiÕn sÏ göi ®¨ng trªn mét 37 t¹p chÝ khoa häc chuyªn ngµnh quèc tÕ. Chñ nhiÖm ®Ò tµi còng ®· h­íng dÉn cho ba luËn v¨n cao häc chuyªn ngµnh to¸n gi¶i tÝch n¨m 2009. Bµi viÕt nµy (theo chñ nhiÖm ®Ò tµi) cã thÓ lµm tµi liÖu chuyªn kh¶o cho c¸c häc viªn cao häc chuyªn ngµnh to¸n gi¶i tÝch (h­íng øng dông) cña §¹i häc §µ l¹t. C«ng viÖc hoµn thµnh nhê tµi trî cña ®Ò tµi khoa häc cÊp bé, m· sè B 2008-14-21. 38 Tµi liÖu tham kh¶o [1] M. B. Lignola, Well-posedness and L-Well-Posedness for Quasivaria- tional Inequalities, JOTA , 128 (2006), 119-138. [2] M. B. Lignola and J. Morgan, Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints, J. Glob. Optim., 36 (2006), 439-459. [3] Z. Lin and J. Yu, On Well-posedness of the multiobjective general- ized game Editorial Committee of Applied Mathematic, J. of Chinese Universities, 19(3) (2004), 327-334. [4] P.Q. Khanh, L.M. Luu, Upper semicontinuity of the solution set of parametric multivalued vector quasivariational inequalities and appli- cations, J. Glob. Optim. 32, 551-568 (2005). [5] L.Q.Anh, P.Q.Khanh and D.T.M.Van and J. C. Yao,Well-posedness for vector quasiequilibria, Taiwanese journal of mathematics, 13 (2B)(2009), 713-737. [6] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Uniqueness and Holder continuity of the so- lution to multivalued equilibrium problems in metric spaces, J. Glob., Optim. 37 (2007), 449-465. [7] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of solution sets to paramet- 39 ric quasivariational inclusions with applications to traffic networks, I: Upper semicontinuities, Set Valued Anal. 16 (2008), 267-279. [8] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of the approximate solution sets of multivalued quasiequilibrium problems, Numer. Funct. Anal. Optim. 29 (2008), 24-42. [9] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Various kinds of semicontinuity of the solu- tion sets to symmetric multivalued vector quasiequilibrium problems, J. Glob. Optim. 41 (2008), 539-558. [10] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Semicontinuity of solution sets to paramet- ric quasivariational inclusions with applications to traffic networks, II: Lower semicontinuities. Applications, Set Valued Anal. online first (2008). [11] L.Q. Anh, P.Q. Khanh, Sensitivity analysis for multivalued quasiequi- librium problems in metric spaces: Holder continuity of solutions, J. Glob. Optim. online first (2008). [12] J.P.Aubin, H.Frankowska, Set - value analyis, Birkhauser, Boston, 1990. [13] P.Q.Khanh, L.M.Luu, Lower and upper semicontinuity of the solution sets and approximate solution sets to parametric multivalued quasivari- ational inequalities J. Optim. Theory Appl. 133, 329-339 (2007). 40 [14] P.Q.Khanh, L.M.Luu, Upper semicontinuity of the solution set of Parametric multivalued vector quasivariational inequalities and appli- cation, J.Global Optim. 32, 551-568 (2005). [15] P.Q.Khanh, L.M.Luu, On the existence of solution to vector Quasi - variational inequalities and quasi-coplementarity with applications to traffic network equilibria, J Optim. Theory Appl, 123, 533-548 (2004) [16] K.Kimura, Y.C.Liou and J.C.Yao, A Parametric Equilibrium Problem with Applications to Optimization Problems under Equilibrium Con- straints, J.Nonlinear Convex Anal.7 (2), (2006), 237--243. [17] B.Lemaire, C.O.A.Salem and J.P.Revalski, Well-posedness by petur- bations of variational problems, J.Optim.Theory Appl.215 (2002), 345- -368. [18] M.B.Lignola and J.Morgan,Well-posedness for optimization problems with constrains defined by variational inequalities having a unique so- lution, J.Global Optim., 16(1) (2000), 57--67. [19] Y. P. Fang, and R. Hu, N. J. Huang, Well-posedness for variational inequalities defined by bifunctions, J. Comput. Math. Appl., 53 (2007), 1306-1316. [20] A. N. Tykhonov, On the stability of the functional optimization,U.S.S.R. J. Comput. Math. Math. Phys., 6 (3) (1996), 26-33. 41 [21] L. J. Lin, Systems of generalized quasi-variational inclusions prob- lems with applications to variational analysis and optimization prob- lems, J. Global Optim., 38 (2007) 21-39. [22] L.J.Lin, Variational inclusions problems with applications to Eke- land's variational principle, fixed point and optimization problems, J. Global Optim., DOI: 10.1007/s10898-007-9153-1. 42 Tãm t¾t Néi dung cña ®Ò tµi xÐt æn ®Þnh theo nghÜa nöa liªn tôc vµ well-Posed cho c¸c bµi to¸n tùa bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®a trÞ cã tham sè, ®ång thêi ®­a ra c¸c øng dông vµo bµi to¸n c©n b»ng giao th«ng vµ bµi to¸n trß ch¬i ®a môc tiªu tæng qu¸t. Abstract We consider semicontinuity and well-posedness of the solution set of parametric multivalued quasivariational inequalities. Applications to traffic equibibrium problems and the multiobjective generalized game. 43 B¸o c¸o kinh phÝ, b¸o c¸o quyÕt to¸n 44