MỤC LỤC
1 Kiến thức chuẩn bị
11. Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình.
12. Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình .
13. Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình.
2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết
21. Các kết quả bổ trợ
22. Các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết.
Kết luận
Tài liệu tham khảo
45 trang |
Chia sẻ: lvcdongnoi | Lượt xem: 2461 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Đề tài Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THỊ HỒNG NGA
XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THỊ HỒNG NGA
XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. TẠ THỊ HOÀI AN
THÁI NGUYÊN – 2008
Môc lôc
Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lêi më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 5
1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh. . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®êng cong chØnh h×nh. . . . . . . . 17
2 §êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt 20
2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. . 31
KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tµi liÖu tham kh¶o 42
1
Lêi më ®Çu
Lý thuyÕt Nevanlinna ra ®êi vµo nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû 20 vµ ®·
nhËn ®îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. Lý thuyÕt
Nevanlinna cæ ®iÓn nghiªn cøu sù ph©n bè gi¸ trÞ cña hµm ph©n h×nh f th«ng
qua hµm ®Æc trng T (f, a, r) - hµm ®o cÊp t¨ng cña hµm ph©n h×nh, hµm ®Õm
N(f, a, r) - ®Õm sè lÇn hµm f nhËn gi¸ trÞ a trong ®Üa b¸n kÝnh r, vµ hµm
xÊp xØ m(f, a, r) - ®o ®é gÇn ®Õn a cña hµm f (xem §Þnh nghÜa 1.1.3, 1.1.1,
vµ 1.1.2). Träng t©m cña lý thuyÕt nµy lµ hai ®Þnh lý c¬ b¶n. §Þnh lý c¬ b¶n
thø nhÊt thÓ hiÖn sù ®éc lËp cña hµm ®Æc trng víi mäi gi¸ trÞ a ∈ C∪{∞}.
§Þnh lý c¬ b¶n thø hai nãi r»ng víi hÇu hÕt c¸c gi¸ trÞ a, hµm ®Õm N(f, a, r)
tréi h¬n h¼n hµm xÊp xØ m(f, a, r). §iÒu nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sè khuyÕt
cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a nh sau
δ(f, a) := lim inf
r→∞ {1−
N(f, a, r)
T (f, a, r)
}.
Gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cho hµm f nÕu δ(f, a) > 0. Quan hÖ sè
khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna,
cô thÓ lµ Nevanlinna ®· chøng minh r»ng∑
a∈C∪{∞}
δ(f, a) 6 2.
MÆt kh¸c, §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy r»ng sè khuyÕt cña hµm ph©n
h×nh t¹i mét gi¸ trÞ nµo ®ã n»m trong ®o¹n [0, 1]. H¬n n÷a ngêi ta ®· chøng
minh ®îc r»ng tËp c¸c gi¸ trÞ khuyÕt lµ ®Õm ®îc. Nh vËy mét c©u hái tù
nhiªn ®îc ®Æt ra lµ: Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi} lµ d·y c¸c sè thùc
kh«ng ©m sao cho
0 < δi ≤ 1,
∑
i
δi ≤ 2.
2
3Gi¶ sö ai, lµ c¸c sè ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n
h×nh f trªn C tháa m·n δ(f, ai) = δi, vµ δ(f, a) = 0 cho mäi a /∈ {ai}?
C©u hái trªn cßn ®îc biÕt nh lµ bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna.
§· cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna, cô
thÓ Nevanlinna [9], Lª V¨n Thiªm [11], Hayman [4],... ®· gi¶i quyÕt bµi to¸n
nµy cho mét sè trêng hîp ®Æc biÖt. §Õn n¨m 1976 vÊn ®Ò trªn ®· ®îc gi¶i
quyÕt trän vÑn bëi D. Drasin trong [3]. Trong c«ng tr×nh nµy, Drasin kh«ng
chØ xÐt bµi to¸n ngîc cña Nevanlinna cho sè khuyÕt mµ cßn cho sè khuyÕt
rÏ nh¸nh. VËy, bµi to¸n vÒ sù tån t¹i cña hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v«
h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn.
Nh ta ®· biÕt hµm ph©n h×nh cã thÓ ®îc xem lµ ®êng cong chØnh
h×nh tõ C vµo P1(C). Do ®ã, viÖc më réng lý thuyÕt Nevanlinna cæ ®iÓn
cho c¸c ®êng cong chØnh h×nh vµo Pn(C) víi n > 2 lµ mét ®iÒu tù nhiªn.
H. Cartan [1] ®· chøng minh ®Þnh lý sau (®îc gäi lµ ®Þnh lý Nevanlinna-
Cartan cho ®êng cong chØnh h×nh c¾t c¸c siªu ph¼ng)
§Þnh lý. Cho ®êng cong chØnh h×nh f : C → Pn(C). Cho H1, . . . , Hq lµ
c¸c siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn(C). Khi ®ã
q∑
j=1
δ(Hj, f) 6 n+ 1.
T¬ng tù víi trêng hîp hµm ph©n h×nh, ngêi ta còng nghiªn cøu tÝnh
chÊt cña sè khuyÕt cña ®êng cong chØnh h×nh. Víi n > 2, c¸c vÝ dô vÒ
®êng cong chØnh h×nh víi h÷u h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®îc ®a ra bëi nhiÒu
t¸c gi¶, trong khi ®ã, viÖc x©y dùng ®êng cong chØnh h×nh cã v« h¹n gi¸ trÞ
khuyÕt kh«ng dÔ chót nµo. N¨m 2004, N. Toda [12] ®· nghiªn cøu vµ ®a ra
c¸c vÝ dô cho ®êng cong chØnh h×nh víi mét tËp v« h¹n gi¸ trÞ khuyÕt.
Môc ®Ých chÝnh cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i nh÷ng kÕt qu¶ ®ã cña N. Toda
mét c¸ch cã chän läc theo bè côc riªng cña t¸c gi¶ nh»m tr¶ lêi mét phÇn
c¸c c©u hái trªn.
LuËn v¨n ®îc chia thµnh 2 ch¬ng.
Ch¬ng1. KiÕn thøc chuÈn bÞ. §îc tr×nh bµy víi môc ®Ých cung cÊp c¸c
kiÕn thøc cÇn thiÕt ®Ó cho ngêi ®äc dÔ theo dâi chøng minh c¸c kÕt qu¶
cña ch¬ng sau. Trong ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬
4b¶n cña lý thuyÕt Nevanlinna: C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh vµ
cho ®êng cong chØnh h×nh, quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh vµ nh÷ng
kiÕn thøc liªn quan, vµ chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a sao cho hµm
sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm a d¬ng lµ ®Õm ®îc.
Ch¬ng 2. §êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. §©y lµ ch¬ng
chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®êng cong
chØnh h×nh cã v« sè sè khuyÕt d¬ng. Ch¬ng nµy ®îc chia thµnh hai phÇn.
PhÇn thø nhÊt, chóng t«i ®a ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî nh x©y dùng l¹i kh¸i
niÖm hµm ®Õm, hµm xÊp xØ, hµm ®Æc trng, sè khuyÕt, gi¸ trÞ khuyÕt,... cho
®êng cong chØnh h×nh vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n, dÔ thÊy nhng t¬ng ®èi
quan träng v× nã ®îc sö dông nhiÒu khi chøng minh nh÷ng kÕt qu¶ s©u h¬n
ë nh÷ng phÇn sau.
PhÇn thø hai, tr×nh bµy c¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ
khuyÕt. KÕt qu¶ chÝnh cña ch¬ng nµy lµ §Þnh lý 2.2.8 vµ §Þnh lý 2.2.9.
LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh, nghiªm tóc cña
TS. T¹ ThÞ Hoµi An. Díi sù híng dÉn cña c«, t«i ®· bíc ®Çu lµm quen vµ
say mª h¬n trong nghiªn cøu to¸n. Nh©n ®©y, t«i xin bµy tá lßng kÝnh träng
vµ biÕt ¬n s©u s¾c tíi c«.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ban l·nh ®¹o khoa To¸n, khoa Sau ®¹i häc
§HSPTN, ViÖn To¸n häc ViÖt Nam, c¸c thÇy, c« gi¸o ®· trang bÞ kiÕn thøc,
t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong thêi gian häc tËp, ®Æc biÖt lµ thÇy Hµ TrÇn Ph¬ng.
T«i xin ®îc göi lêi c¶m ¬n ®Õn Ban gi¸m hiÖu vµ c¸c ®ång nghiÖp cña
t«i ë trêng THPT L¬ng ThÕ Vinh Th¸i Nguyªn, c¸c anh, chÞ häc viªn líp
cao häc kho¸ 14 ®· gióp ®ì t«i rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc tËp. Nh©n ®©y,
t«i còng xin göi lêi c¶m ¬n tíi b¹n NguyÔn TuÊn Long ®· gióp ®ì t«i rÊt
nhiÒu trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu.
Cuèi cïng, t«i xin ®îc bµy tá sù biÕt ¬n tíi gia ®×nh: bè, mÑ, vµ em g¸i
®· t¹o ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i ®îc häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña lý
thuyÕt Nevanlinna vµ nh÷ng kiÕn thøc liªn quan kh¸c nh»m gióp cho ngêi
®äc dÔ theo dâi. C¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ cña ch¬ng nµy ®îc trÝch dÉn tõ
[2], [5], [6], [9], ...
1.1 C¸c hµm Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh.
Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh trong ®Üa b¸n kÝnh R vµ r < R.
KÝ hiÖu n(f,∞, r), (t¬ng øng, n(f,∞, r)), lµ sè c¸c cùc ®iÓm tÝnh c¶
béi, (t¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña hµm f trong ®Üa ®ãng b¸n kÝnh r. Gi¶
sö a ∈ C, ta ®Þnh nghÜa
n(f, a, r) = n
( 1
f − a,∞, r
)
,
n(f, a, r) = n
( 1
f − a,∞, r
)
.
1.1.1 §Þnh nghÜa. Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N(f, a, r), (t¬ng øng, hµm ®Õm
kh«ng tÝnh béi N(f, a, r)), cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ®îc ®Þnh nghÜa nh sau
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +
∫ r
0
(
n(f, a, t)− n(f, a, 0)
)dt
t
,
5
6(t¬ng øng,
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +
∫ r
0
(
n(f, a, t)− n(f, a, 0)
)dt
t
).
V× thÕ, nÕu a = 0 ta cã
N(f, 0, r) = (ord+0 f) log r +
∑
z∈D(r)
z 6=0
(ord+z f) log |
r
z
|,
trong ®ã D(r) lµ ®Üa cã b¸n kÝnh r vµ ord+z f = max{0, ordzf} lµ béi cña
kh«ng ®iÓm.
1.1.2 §Þnh nghÜa. Hµm xÊp xØ m(f, a, r) cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ∈ C ®îc
®Þnh nghÜa nh sau
m(f, a, r) =
∫ 2pi
0
log+
∣∣∣ 1
f(reiθ)− a
∣∣∣dθ
2pi
,
vµ
m(f,∞, r) =
∫ 2pi
0
log+ | f(reiθ) | dθ
2pi
,
trong ®ã log+ x = max{0, log x}.
Hµmm(f,∞, r) ®o ®é lín trung b×nh cña log |f | trªn ®êng trßn |z| = r.
1.1.3 §Þnh nghÜa. Hµm ®Æc trng T (f, a, r) cña hµm f t¹i gi¸ trÞ a ∈ C
®îc ®Þnh nghÜa nh sau
T (f, a, r) = m(f, a, r) +N(f, a, r),
T (f, r) = m(f,∞, r) +N(f,∞, r).
XÐt vÒ mÆt nµo ®ã, hµm ®Æc trng Nevanlinna ®èi víi lý thuyÕt hµm ph©n
h×nh cã vai trß t¬ng tù nh bËc cña ®a thøc trong lý thuyÕt ®a thøc. Tõ ®Þnh
nghÜa hµm ®Æc trng ta cã
T (f, a, r) ≥ N(f, a, r) +O(1),
trong ®ã O(1) lµ mét ®¹i lîng bÞ chÆn khi r →∞.
71.1.4 §Þnh nghÜa. CÊp cña hµm ph©n h×nh f ®îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
.
NÕu ρ(f) = ∞ th× f ®îc gäi lµ cã cÊp v« h¹n, nÕu 0 < ρ(f) < ∞ th× f
®îc gäi lµ cã cÊp h÷u h¹n.
Gi¶ sö 0 < ρ(f) <∞, ®Æt
C = lim sup
r→∞
T (r, f)
rρ
.
Ta nãi f cã d¹ng tèi ®¹i nÕu C =∞, cã d¹ng trung b×nh nÕu 0 < C <∞,
cã d¹ng tèi tiÓu nÕu C = 0.
1.1.5 VÝ dô. NÕu f lµ hµm h÷u tû th× T (f, r) = O(log r), do ®ã hµm h÷u tû
cã cÊp 0. NÕu f = ez th× T (f, r) = r/pi + O(1), do ®ã ez cã cÊp 1, d¹ng
trung b×nh. Hµm ee
z
lµ hµm cã cÊp v« h¹n.
C«ng thøc Poisson - Jensen
1.1.6 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) 6≡ 0,∞ lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn
D = {|z| ≤ R} víi 0 < R <∞. Gi¶ sö aµ, µ = 1, ...,M lµ c¸c kh«ng ®iÓm
cña f trong D, mçi kh«ng ®iÓm ®îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã.
bν, (ν = 1, 2, ..., N) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong trongD, mçi cùc ®iÓm ®îc
kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã.
Khi ®ã, víi mçi z = reiθ ∈ D sao cho f(z) 6= 0, f(z) 6=∞ ta cã
log |f(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiφ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − φ) + r2dφ+
+
M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣− N∑
ν=1
log
∣∣∣∣R(z − bν)R2 − bνz
∣∣∣∣. (1.1)
8Chøng minh. Ta xÐt c¸c trêng hîp sau:
Trêng hîp 1: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong
{|z| ≤ R}, z = 0.
Khi ®ã ta cÇn chøng minh
log |f(0)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ.
Do f(z) 6= 0 trong D nªn log f(z) lµ hµm chØnh h×nh trong D. Theo §Þnh
lý Cauchy, ta cã:
log f(0) =
1
2pii
∫
|z|=R
log f(z)
dz
z
=
1
2pi
2pi∫
0
log f(Reiϕ)dϕ.
LÊy phÇn thùc hai vÕ ta cã:
log |f(0)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ.
Trêng hîp 2: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong
{|z| ≤ R}, víi z tuú ý, z = reiθ(0 < r < R) .
XÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c:
{|ξ| 6 R} → {ω 6 1}
z 7→ 0
ξ 6= z 7→ ω = R (ξ − z)
R2 − zξ
Nh vËy |ς| = R t¬ng øng víi |ω| = 1, v×
|ω| = R |ξ − z||R2 − zξ|
9vµ |ξ| = R⇒ ξξ = |ξ|2 = R2
suy ra
|ω| = R |ξ − z|∣∣ξξ − zξ∣∣ = R |ξ − z||ξ| ∣∣ξ − z∣∣ = 1.
Do log f(z) lµ chØnh h×nh trong |ξ| ≤ R, theo ®Þnh lý Cauchy, ta cã
log f(z) =
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ς)
dξ
ξ − z . (1.2)
MÆt kh¸c
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
zdξ
R2 − zξ =
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
−dξ
ξ − R
2
z
= 0. (1.3)
Do |z| = |z| < R nªn
∣∣∣∣R2z
∣∣∣∣ > R nghÜa lµ ®iÓm R2z n»m ngoµi |ξ| ≤ R nªn
hµm log f(ξ)
1
ξ − R
2
z
lµ hµm chØnh h×nh. KÕt hîp víi (1.2) vµ (1.3) ta cã
log f(z) =
1
2i
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
[
1
ξ − z +
1
ξ − R2z
]
dξ
=
1
2i
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
[
1
ξ − z +
z
R2 − zξ
]
dξ,
víi
1
ξ − z +
z
R2 − zξ =
R2 − zξ + zξ − zz
(ξ − z) (R2 − zξ) =
R2 − r2
(ξ − z) (ξξ − zξ) = R2 − r2ξ |ξ − z|2 .
10
MÆt kh¸c
ξ = Reiϕ = R cosϕ+ iR sinϕ,
z = reiθ = r cos θ + ir sin θ,
ξ − z = (R cosϕ− r cos θ) + i (R sinϕ− r sin θ) ,
|ξ − z|2 = (R cosϕ− r cos θ)2 + (R sinϕ− r sin θ)2
= R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ− θ).
VËy
log f(z) =
1
2pi
2pi∫
0
log f(Reiφ)
R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. (1.4)
LÊy phÇn thùc hai vÕ cña (1.4) ta ®îc
log |f(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ.
Trêng hîp 3: Hµm f(z) cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R}
nhng kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong miÒn {|z| < R}.
Ta cã sè kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm cña hµm f(z) trªn biªn {|z| = R} lµ
h÷u h¹n. ThËt vËy, gi¶ sö f(z) cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã {|ξ| = R}
compact, do ®ã
{
zkj
}
héi tô ®Õn zk0 ∈ {|ξ| = R} vµ f(zkj) = 0, do ®ã f = 0
trªn mét tËp hîp cã ®iÓm giíi h¹n. §iÒu nµy kÐo theo f ≡ 0 suy ra v« lý.
Gi¶ sö cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã tån t¹i
{
zkj
} → z0 ∈
{|ξ| = R}, z0 lµ ®iÓm bÊt thêng; v× f lµ hµm ph©n h×nh nªn z0 lµ cùc
®iÓm nghÜa lµ trong mét l©n cËn cña z0 hµm f chØnh h×nh chØ trõ t¹i z0 suy
ra v« lý v×
{
zkj
}→ z0 nªn trong mäi l©n cËn cña z0 ®Òu chøa zkj nµo ®ã mµ
t¹i ®ã f cã cùc ®iÓm.
11
VËy f(z) cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R} . Gi¶
sö Z0 lµ kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm cÊp k cña f(ξ), Z0 ∈ ∂D. Trong mét
l©n cËn nµo ®ã cña Z0, ta cã khai triÓn sau:
f(ξ) = a(ξ − Z0)k + . . . , a 6= 0.
Khi ®ã,
log |f(ξ)| = k log |ξ − Z0|+ o(|ξ − Z0|).
XÐt vßng trßn Cδ t©m Z0, b¸n kÝnh δ ®ñ nhá. Thay vßng trßn |ξ| = R bëi
vßng trßn Cδ, khi ®ã f kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn cña miÒn
míi nhËn ®îc.
Quay l¹i trêng hîp 2, ta cã tÝch ph©n bªn ph¶i cña bíc 2 chØ kh¸c tÝch
ph©n ë trªn vßng trßn |ξ| = R mét ®¹i lîng∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| . Ta
cã ∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| = Cδ. log δ.δ.
Do ®ã, ∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ.
Cho δ → 0 ta cã∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| → 0. C«ng thøc ®îc chøng
minh.
Trêng hîp 4: B©y giê ta xÐt trong trêng hîp f(z) cã c¸c kh«ng ®iÓm
vµ cùc ®iÓm trong |z| ≤ R.
XÐt hµm
ψ(z) = f(z)
∏N
γ=1
R(z−bγ)
R2−bγz∏M
µ=1
R(z−aµ)
R2−aµz
.
12
Khi ®ã ψ(z) suy ra kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong |ξ| 6 R v×
gi¶ sö ngîc l¹i ψ(z0) = 0 suy ra f(z0) = 0. Do ®ã ψ(ξ) bÞ khö ®i mÉu sè.
T¬ng tù ψ(ξ) còng kh«ng cã cùc ®iÓm.
¸p dông c«ng thøc ®· chøng minh ta cã:
log |ψ(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
Nªn
log |f(z)|+
N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣− M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
Khi |z| = R th×
∣∣∣R(z−bγ)
R2−bγz
∣∣∣ = 1, vµ ∣∣∣R(z−aµ)R2−aµz ∣∣∣ = 1.
Suy ra nÕu |z| = R th× |ψ(z)| = |f(z)| .
Do ®ã
log |f(z)|+
N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣− M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
VËy
log |f(z)| = 1
2pi
∫ 2pi
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ
+
M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣− N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣.
13
Tõ C«ng thøc Poisson-Jensen ta cã ®Þnh lý sau ®©y.
1.1.7 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét
sè phøc tuú ý. Khi ®ã ta cã
m(f, a, r) +N(f, a, r) = T (f, r)− log |f(0)− a|+ (a, r),
trong ®ã (a, r) ≤ log a+ log 2.
Ta thêng dïng §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt díi d¹ng
T (f, a, r) = T (f, r) +O(1),
trong ®ã O(1) lµ ®¹i lîng bÞ chÆn khi r →∞.
§Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy vÕ tr¸i trong c«ng thøc kh«ng phô
thuéc a víi sai kh¸c mét ®¹i lîng bÞ chÆn.
1.1.8 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong
C vµ a1, . . . , aq lµ q sè phøc ph©n biÖt. Khi ®ã,
(q − 2)T (f, r) ≤
q∑
i=1
N(f, ai, r)−Nram(f, r) +O
(
log T (r, f)
)
,
cho r →∞ bªn ngoµi tËp hîp cã ®é ®o Lebesgue h÷u h¹n vµ
N
ram
(f, r) = N(f ′, 0, r) + 2N(f,∞, r)−N(f ′,∞, r).
1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh
Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø
hai cña Nevanlinna. Sè khuyÕt liªn quan chÆt chÏ ®Õn bµi to¸n ngîc cña
Nevanlinna trong [9]. Tríc hÕt ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa sè khuyÕt.
14
1.2.1 §Þnh nghÜa. Sè khuyÕt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®îc ®Þnh nghÜa bëi
δ(f, a) = lim inf
r→∞
{
1− N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
Sè khuyÕt rÏ nh¸nh cña hµm f t¹i ®iÓm a ®îc ®Þnh nghÜa bëi
θ(f, a) = lim inf
r→∞
{N(f, a, r)−N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
Sè khuyÕt bÞ chÆt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®îc ®Þnh nghÜa bëi
Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf
r→∞
{
1− N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
1.2.2 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ C∪{∞}, gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cña
hµm f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i cña hµm
f nÕu δ(f, a) = 1.
1.2.3 MÖnh ®Ò. Víi mäi a ∈ C ∪ {∞},
0 ≤ δ(f, a), 0 ≤ θ(f, a), vµ Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1.
Cho hµm ph©n h×nh f vµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt a1, . . . , aq trong C ∪ {∞},
ký hiÖu
S(f, {aj}qj=1, r) = (q − 2)T (f, r)−
q∑
j=1
N(f, aj, r) +Nram(f, r).
Khi ®ã, §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cã thÓ ®îc ph¸t biÓu ë d¹ng yÕu h¬n nh
sau.
1.2.4 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trªn C vµ
a1, . . . , aq lµ c¸c phÇn tö ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Khi ®ã
lim inf
r→∞
S(f, {aj}qj=1, r)
T (f, r)
≤ 0.
15
1.2.5 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong |z| < R0.
Khi ®ã tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a mµ δ(f, a) > 0 vµ θ(f, a) > 0 lµ ®Õm ®îc,
®ång thêi ta cã∑
a∈C∪{∞}
{δ(f, a) + θ(f, a)} =
∑
a∈C∪{∞}
Θ(f, a) 6 2.
Chøng minh. XÐt q ®iÓm kh¸c nhau a1, a2, ...., aq trong C ∪ {∞}. Khi ®ã
q∑
j=1
(δ(f, aj) + θ(f, aj))
= lim inf
r→∞
qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +∑qj=1N(f, aj, r)−∑qj=1 N¯(f, aj, r)
T (f, r)
.
Râ rµng N(f, aj, r) − N¯(f, aj, r) ®Õm sè lÇn hµm f = a víi béi lín h¬n 1
vµ do ®ã
q∑
j=1
N(f, aj, r)−
q∑
j=1
N¯(f, aj, r) ≤ Nram(f, r) + nram(f, 0) log+ 1
r
.
Nh vËy
q∑
j=1
(δ(f, aj) + θ(f, aj)) ≤ lim inf
r→∞
qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
(q − 2)T (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
S(f, {aj}qj=1, r)
T (f, r)
≤ 2,
bëi ¸p dông §Þnh lý 1.2.4.
Víi mäi sè nguyªn d¬ng k, tån t¹i nhiÒu nhÊt h÷u h¹n gi¸ trÞ a sao cho
Θ(f, a) ≥ 1/k. Do
{a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞k=1{a : Θ(f, a) ≥ 1/k},
ta cã nhiÒu nhÊt ®Õm ®îc a nh vËy.
16
1.2.6 HÖ qu¶. NÕu f lµ hµm nguyªn th×∑
a∈C
Θ(f, a) 6 1.
Chøng minh. Do f lµ hµm nguyªn nªn Θ(f,∞) = 1.
Chóng ta cã ®Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt.
1.2.7 §Þnh lý (§Þnh lý Picard). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn
3 gi¸ trÞ 0, 1,∞ khi ®ã f lµ hµm h»ng.
Chøng minh. Gi¶ sö f kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng, do f(z) kh«ng nhËn 3 gi¸
trÞ 0, 1,∞ nªn
N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f,∞, r) = 0.
Do ®ã
Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f,∞) = 1.
Nh thÕ ∑
a∈C∪{∞}
Θ(f, a) > 2,
m©u thuÉn víi ®Þnh lý vÒ sè khuyÕt, nh vËy f(z) ph¶i lµ hµm h»ng.
VÊn ®Ò ngîc cña Nevanlinna. Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi} vµ
{θi} lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho
0 < δi + θi ≤ 1,
∑
i
(δi + θi) ≤ 2.
Gi¶ sö ai, 1 ≤ i < N lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Nevanlinna ®·
®a ra c©u hái sau:
Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh f trªn C sao cho
δ(f, ai) = δi, θ(f, ai) = θi, 1 ≤ i < N
17
vµ δ(f, a) = θ(f, a) = 0 cho mäi a /∈ {ai}?
VÊn ®Ò nµy ®· ®îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi Drasin trong [3].
1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®êng cong chØnh h×nh.
Tríc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm kh«ng gian x¹ ¶nh.
1.3.1 §Þnh nghÜa. §Æt (C∗)n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0). Ta ®Þnh nghÜa mét quan
hÖ t¬ng ®¬ng trªn (C∗)n+1 nh sau: (x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) nÕu tån
t¹i 0 6= λ ∈ C sao cho (x0, . . . , xn) = λ(y0, . . . , yn).
Kh«ng gian x¹ ¶nh n chiÒu trªn C, ký hiÖu lµ Pn(C) hay ®¬n gi¶n lµ Pn, lµ
kh«ng gian (C∗)n+1 víi quan hÖ t¬ng ®¬ng ∼ . Ta cã Pn = (C∗)n+1/ ∼ .
Mçi phÇn tö cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn lµ mét líp (x0, . . . , xn) theo quan hÖ
t¬ng ®¬ng ∼ . Mçi phÇn tö P cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn ®îc gäi lµ mét
®iÓm, kÝ hiÖu lµ P = (x0 : · · · : xn) vµ (x0 : · · · : xn) ®îc gäi lµ täa ®é
thuÇn nhÊt cña ®iÓm P .
1.3.2 §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f = (f0 : f1 : · · · : fn) : C→ Pn(C) ®îc gäi lµ
®êng cong chØnh h×nh nÕu fi lµ c¸c hµm nguyªn trªn C.
Ta cã thÓ viÕt f = (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) trong ®ã f˜i lµ c¸c hµm nguyªn kh«ng cã
c¸c kh«ng ®iÓm chung. Khi ®ã (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) ®îc gäi lµ biÓu diÔn rót gän
cña ®êng cong f .
Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®êng cong chØnh h×nh. Gi¶ sö f = (f0, . . . , fn)
lµ biÓu diÔn rót gän cña f , trong ®ã f0, . . . , fn lµ c¸c hµm nguyªn trong C
kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung.
§Æt
‖f(z)‖ = (|f0(z)|2 + · · ·+ |fn(z)|2) 12 .
18
Hµm ®Æc trng Nevanlinna-Cartan Tf(r) ®îc ®Þnh nghÜa bëi
T (r, f) =
1
2pi
∫ 2pi
0
log ‖f(reiθ)‖dθ.
Gi¶ söQ lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d víi n+1 biÕn. Hµm xÊp xØm(r,Q, f)
cña ¸nh x¹ f øng víi ®a thøc Q ®îc ®Þnh nghÜa lµ
m(r,Q, f) =
1
2pi
∫ 2pi
0
log
‖f(reiθ)‖d
|Q ◦ f(reiθ)|dθ.
Ta gäi n(r,Q, f), (t¬ng øng, n(r,Q, f)), lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm tÝnh c¶
béi, (t¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña Q ◦ f trong ®Üa |z| ≤ r.
Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N(r,Q, f), (t¬ng øng, hµm ®Õm kh«ng tÝnh béi
N(r,Q, f)), ®îc ®Þnh nghÜa nh sau:
N(r,Q, f) =
∫ r
0
n(t, Q, f)− nf(0, Q)
t
dt− n(0, Q, f) log r,
(t¬ng øng, N(r,Q, f) =
∫ r
0
n(t, Q, f)− n(0, Q, f)
t
dt− n(0, Q, f) log r).
T¬ng tù nh ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta còng cã hai ®Þnh lý c¬ b¶n cho
c¸c ®êng cong chØnh h×nh.
1.3.3 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f : C → Pn(C) lµ ®êng
cong chØnh h×nh vµ Q lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d trong Pn(C). Gi¶ sö
Q ◦ f(C) 6≡ 0, th× víi mäi 0 < r <∞
m(r,Q, f) +N(r,Q, f) = dT (r, f) +O(1),
trong ®ã O(1) lµ ®¹i lîng bÞ chÆn kh«ng phô thuéc vµo r.
1.3.4 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®êng cong
chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö L1, . . . , Lq lµ c¸c ®a thøc tuyÕn
tÝnh Pn(C). Khi ®ã∫ 2pi
0
max
K
log
∏
j∈K
‖f(reiθ)‖‖Lj‖
|Lj(f)(reiθ)|
dθ
2pi
6 (n+ 1)T (r, f) + o(T (r, f)),
19
trong ®ã maximum ®îc lÊy trªn tÊt c¶ c¸c tËp con K cña {1, . . . , q} sao
cho Lj, j ∈ K lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ ‖Lj‖ lµ maximum cña c¸c gi¸ trÞ
tuyÖt ®èi cña c¸c hÖ sè trong Lj.
Ch¬ng 2
§êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ
khuyÕt
Trong Ch¬ng 1, ta ®· chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a sao cho
hµm sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm a d¬ng lµ ®Õm ®îc. Trong
ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®êng cong chØnh h×nh cã v« sè hµm
sè khuyÕt d¬ng. Tríc hÕt ta ®a ra c¸c kÕt qu¶ dïng ®Ó hç trî cho viÖc
x©y dùng c¸c ®êng cong chØnh h×nh nh vËy.
2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî
Cho a0z0 + · · · + anzn = 0 lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh mét siªu
ph¼ng H trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn. Khi ®ã, cã t¬ng øng 1-1 gi÷a siªu
ph¼ng H vµ ®iÓm a = (a0, . . . , an) ∈ Cn+1 \ {(0, ..., 0)}. Do ®ã, ta cã thÓ
thay viÖc xÐt mét siªu ph¼ng trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn b»ng viÖc xÐt mét
®iÓm trong Cn+1 vµ ta ký hiÖu
‖a‖ = (|a0|2 + ...+ |an|2) 12 ,
(a, f) = a0f0 + ...+ anfn,
(a, f(z)) = a0f0(z) + ...+ anfn(z),
20
21
trong ®ã f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) lµ ®êng cong chØnh h×nh kh¸c
h»ng. Khi ®ã, hµm ®Õm, hµm xÊp xØ cña Nevanlinna-Cartan ®îc viÕt l¹i nh
sau
2.1.1 §Þnh nghÜa. Víi a ∈ Cn+1 − {0}, ta cã
m(r, a, f) =
1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(reiθ)∥∥
|(a, f(reiθ))| dθ,
N(r, a, f) = N(r, 1/(a, f)).
2.1.2 §Þnh nghÜa. §êng cong chØnh h×nh f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C)
®îc gäi lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh trªn C nÕu f0, ..., fn lµ ®éc lËp tuyÕn
tÝnh trªn C.
2.1.3 §Þnh nghÜa. §êng cong f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) ®îc gäi lµ
siªu viÖt nÕu f lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµ lim
r→∞
T (r,f)
log r =∞.
2.1.4 §Þnh nghÜa.
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
®îc gäi lµ cÊp cña f.
2.1.5 §Þnh lý (§Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt). Cho f : C → Pn(C) lµ ¸nh x¹
chØnh h×nh, a ∈ Cn+1 − {0} tuú ý. Khi ®ã ta cã
T (r, f) = m(r, a, f) +N(r, a, f) +O(1), (2.1)
trong ®ã O(1) lµ ®¹i lîng giíi néi.
2.1.6 §Þnh nghÜa. Cho f : C→ Pn(C) lµ ¸nh x¹ chØnh h×nh, a ∈ Cn+1−{0}.
δ(f, a) = 1− lim sup
r→∞
N(r, a, f)
T (r, f)
= lim inf
r→∞
m(r, a, f)
T (r, f)
®îc gäi lµ sè khuyÕt cña f t¹i a.
22
NhËn xÐt. Tõ c«ng thøc (2.1) ta cã 0 6 δ(f, a) 6 1.
T¬ng tù nh ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta cã c¸c ®Þnh nghÜa vÒ gi¸ trÞ khuyÕt
nh sau.
2.1.7 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ Cn+1 − {0}, gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt
cña ®êng cong chØnh h×nh f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ
khuyÕt cùc ®¹i cña hµm f nÕu δ(f, a) = 1.
2.1.8 §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét tËp con cña Cn+1 − {0} , vµ N lµ mét
sè nguyªn tho¶ m·n N > n. X ®îc gäi lµ ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu
#X > N + 1 vµ N + 1 phÇn tö bÊt kú cña X sinh ra Cn+1.
Chóng ta nãi r»ng X lµ ë vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu X ë n - vÞ trÝ tæng qu¸t.
§Þnh lý sau ®©y lµ mét më réng cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna-
Cartan cho hä c¸c phÇn tö ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. KÕt qu¶ nµy ®îc chøng
minh bëi Cartan [1] cho trêng hîp N = n vµ bëi Nocka [10] cho N > n.
2.1.9 §Þnh lý. Cho ¸nh x¹ chØnh h×nh f : C → Pn(C). Víi q phÇn tö
a1, ..., aq bÊt kú cña X ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. Khi ®ã
q∑
j=1
δ(aj, f) 6 2N − n+ 1,
trong ®ã 2N − n+ 1 6 q 6∞.
§Ó x©y dùng ®êng cong chØnh h×nh cã v« sè gi¸ trÞ khuyÕt, ta còng cÇn
c¸c kÕt qu¶ sau ®©y cña lý thuyÕt d·y.
Cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m tho¶ m·n
ηv > 0,
∞∑
v=1
ηv = 1, η0 = η1.
§Æt
θ0 = 0, θk = pi
k−1∑
v=0
ηv, (k = 1, 2, 3, ...).
23
Khi ®ã {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt vµ tiÕn tíi
pi
∞∑
v=0
ηv = piη0 + pi
∞∑
v=1
ηv 6 2pi,
khi k →∞.
2.1.10 Bæ ®Ò. Gi¶ sö k > 1, z = reiθ vµ θ tho¶ m·n
θk − 1
3
piηk < θ 6 θk +
1
3
piηk. (2.2)
Khi ®ã
(a.) cos(θv − θ) 6 cos(23piηk) víi ν 6= k.
(b.)
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 er cos 23piηk víi ν 6= k.
Chøng minh. Tríc hÕt ta chøng minh kh¼ng ®Þnh (a). Víi v < n
θ − θv > (θn − θn−1)− 1
3
piηn = pi(ηn−1 − 1
3
ηn) >
2
3
piηn,
vµ víi v > n ta cã
θv − θ > (θn+1 − θn)− 1
3
piηn =
2
3
piηn.
Suy ra
|θv − θ| > 2
3
piηn(mod2pi), (v 6= n).
VËy cos(θv − θ) 6 cos(23piηk).
Ta tiÕp tôc chøng minh kh¼ng ®Þnh (b). Sö dông (a), ta cã :∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θv) ∣∣∣ = er cos(θ−θv) 6 er cos 23piηk, (v 6= k).
VËy bæ ®Ò ®îc chøng minh.
24
Gi¶ sö m lµ mét sè nguyªn d¬ng bÊt kú, {ak} lµ mét d·y tuú ý c¸c sè
phøc trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 phÇn tö cña {ak}k>m ph©n biÖt vµ kh¸c kh«ng,
{bk} lµ mét d·y c¸c sè d¬ng tho¶ m·n:
S1 =
∞∑
k=1
bk |ak| <∞, S2 =
∞∑
k=1
bk <∞.
§Æt
u(z) =
∞∑
k=1
bkake
ze−iθk , vm(z) =
∞∑
k=m
bke
ze−iθk ,
vµ
w0(z) ≡ 0, wm−1(z) =
m−1∑
k=1
αke
ze−iθk , (m > 2)
víi sè phøc αk bÊt kú. H¬n n÷a ta ®Æt
A0 ≡ 0, Am−1 =
m−1∑
k=1
|αk|, (m > 2).
Ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau.
2.1.11 MÖnh ®Ò. Cho z = reiθ. Khi ®ã
1. |u(z)| 6 S1er,
2. |vm(z)| 6 S2er,
3. |u(z) + wm−1(z)| 6 (S1 + Am−1)er,
4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 (S2 + Am−1)er.
Chøng minh. Tríc hÕt ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er.
Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh ®îc chøng minh nh sau:
1. |u(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=1
bkake
ze−iθk
∣∣∣∣ = ∞∑
k=1
bk |ak|
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S1er.
25
2. |vm(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=m
bke
ze−iθk
∣∣∣∣ = ∞∑
k=m
bk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∞∑
k=1
bk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S2er.
3. |wm−1(z)| =
∣∣∣∣m−1∑
k=1
αke
ze−iθk
∣∣∣∣ = m−1∑
k=1
|αk|
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er, (m > 2),
|u(z) + wm−1(z)| 6 |u(z)|+ |wm−1(z)| 6 S1er +Am−1er = (S1 +Am−1)er.
4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 |vm(z)|+ |wm−1(z)|
6 S2er + Am−1er = (S2 + Am−1)er.
2.1.12 Bæ ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2) vµ k > m, z = reiθ. Khi ®ã, ta cã c¸c
bÊt ®¼ng thøc sau:
1.
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 23piηk. (2.3)
2.
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk. (2.4)
3.
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 23piηk, (2.5)
vµ víi r ®ñ lín
4. |u(z) + wm−1(z)| > 1
2
bk |ak| er cos 13piηk, (ak 6= 0). (2.6)
5. |vm(z)| > 1
2
bke
r cos 13piηk. (2.7)
6. |vm(z) + wm−1(z)| > 1
2
bke
r cos 13piηk. (2.8)
26
Chøng minh. Ta cã∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣u(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
6
m−1∑
v=1
∣∣∣αveze−iθv ∣∣∣+∑
v 6=k
bv
∣∣∣aveze−iθv ∣∣∣
6
m−1∑
v=1
|αv|
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣+ ∞∑
v=1
bv |av|
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣
6 (S1 + Am−1)er cos
2
3piηk,
kh¼ng ®Þnh (1) ®îc chøng minh.
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=m
bke
ze−iθk − bkeze−iθk
∣∣∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
bke
ze−iθk − bkeze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
∑
v 6=k
bve
ze−iθv
∣∣∣∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣
∞∑
v=1
bve
ze−iθv
∣∣∣∣∣
=
∞∑
v=1
bv
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk,
bÊt ®¼ng thøc (2) ®îc chøng minh.
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣
6 Am−1er cos
2
3piηk + S2e
r cos 23piηk
= (S2 + Am−1)er cos
2
3piηk,
®a ra chøng minh cho bÊt ®¼ng thøc (3).
27
Gi¶ sö ak 6= 0, ta cã∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− |u(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkakeze−iθk − (u(z) + wm−1(z))∣∣∣
=
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
6 (S1 + Am−1)er cos
2
3piηk.
§iÒu nµy kÐo theo
|vm(z) + wm−1(z)| >
∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− (S1 + Am−1)er cos 23piηk
= bk |ak| er cos(θ−θk) − (S1 + Am−1)er cos 23piηk
> bk |ak| er cos 13piηk − (S1 + Am−1)er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk |ak| − (S1 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk))
> 1
2
bk |ak| er cos 13piηk,
kh¼ng ®Þnh (4) ®îc chøng minh.
BÊt ®¼ng thøc (5) ®îc chøng minh nh sau:∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z)∣∣∣
=
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk,
do ®ã,
|vm(z)| >
∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− S2er cos 23piηk > bker cos 13piηk − S2er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk − S2er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1
2
bke
r cos 13piηk.
28
BÊt ®¼ng thøc (6) ®îc suy ra tõ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z) + wm−1(z)∣∣∣
=
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣
6 (S2 + Am−1)er cos
2
3piηk,
®iÒu nµy kÐo theo
|vm(z) + wm−1(z)| >
∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− (S2 + Am−1)er cos 23piηk
> bker cos
1
3piηk − (S2 + Am−1)er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk − (S2 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk))
> 1
2
bke
r cos 13piηk.
Bæ ®Ò ®îc chøng minh.
2.1.13 Bæ ®Ò.
u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C.
Chøng minh. Tríc hÕt tõ bÊt ®¼ng thøc (2.6) vµ (2.7) ta nhËn thÊy c¶
u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) ®Òu kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng.
Gi¶ sö u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn C, khi ®ã tån
t¹i mét h»ng sè a 6= 0 tho¶ m·n u(z)+wm−1(z)vm(z) ≡ a.
MÆt kh¸c do c¸ch chän d·y {ak} nªn cã Ýt nhÊt mét k > m ®Ó ak 6= 0, ak 6= a,
khi ®ã víi θ tho¶ m·n (2.2), víi z = reiθ vµ r ®ñ lín ta cã
29
0 6= |a− ak| =
∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− akvm(z)vm(z)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze
−iθk − akvm(z) + bkakeze−iθk
vm(z)
∣∣∣∣∣
6
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣+ ∣∣∣akvm(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
|vm(z)|
6 (S1 + Am−1 + |ak|S2)e
r cos 23piηk
1
2bke
r cos 13piηk
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bk
er(cos
2
3piηk−cos 13piηk)
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bk
e−2r sin
pi
6 ηk sin
pi
2 ηk
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bke2r sin
pi
6 ηk sin
pi
2 ηk
r→∞−−−→ 0,
(do sin pi6ηk sin
pi
2ηk > 0.)
§iÒu nµy m©u thuÉn. VËy ®iÒu gi¶ sö kh«ng, tøc u(z) + wm−1(z) vµ vm(z)
lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C.
Cho f := (f1 : ... : fn+1) lµ mét ®êng cong chØnh h×nh siªu viÖt; p lµ
mét sè nguyªn d¬ng tuú ý, ®Æt P (z) = zp, chóng ta xÐt ®êng cong chØnh
h×nh
f ◦ P = (f1 ◦ P, ..., fn+1 ◦ P ).
Chó ý r»ng f1 ◦P, ..., fn+1 ◦P kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung vµ ®éc lËp tuyÕn
tÝnh trªn C.
2.1.14 Bæ ®Ò. Cho a ∈ Cn+1 − {0}. Khi ®ã
1. T (r, f ◦ P ) = T (rp, f), vµ ρ(f ◦ P ) = pρ(f),
2. m(r, a, f ◦ P ) = m(rp, a, f),
3. δ(a, f ◦ P ) = δ(a, f).
30
Chøng minh. Bëi ®Þnh nghÜa cña hµm ®Æc trng vµ theo gi¶ thiÕt
‖f ◦ P (z)‖ = ‖f(zp)‖ = ∥∥f(rpeipθ)∥∥ ,
ta cã
T (r, f ◦ P ) = 1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥f(rpeipθ)∥∥dθ − log ‖f(0)‖
=
1
2ppi
2ppi∫
0
log
∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖ = T (rp, f).
MÆt kh¸c
ρ(f ◦ P ) = lim sup
r→∞
log T (r, f ◦ P )
log r
= lim sup
r→∞
log T (rp, f)
1
p log r
p
= p lim sup
r→∞
log T (rp, f)
log rp
= p ρ(f).
Kh¼ng ®Þnh (1) ®îc chøng minh.
Ta sÏ chøng minh kh¼ng ®Þnh (2). ThËt vËy,
m(r, a, f ◦ P ) = 1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeipθ)∥∥
|(a, f(rpeipθ))| dθ
=
1
2ppi
2ppi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥
|(a, f(rpeiφ))| dφ
=
1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥
|(a, f(rpeiφ))| dφ = m(r
p, a, f).
31
Tõ (1) vµ (2) ta cã
δ(a, f ◦ P ) = lim inf
r→∞
m(r, a, f ◦ P )
T (r, f ◦ P )
= lim inf
r→∞
m(rp, a, f)
T (rp, f)
= δ(a, f),
suy ra (3) ®ù¬c chøng minh.
2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ
khuyÕt.
Nh ta ®· biÕt, bµi to¸n vÒ hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ
khuyÕt ®· ®îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn trong c¸c c«ng tr×nh cña Le V. T.
[11], D. Drasin [3], Hayman [4],... Trong phÇn nµy ta nghiªn cøu bµi to¸n
nµy cho ®êng cong chØnh h×nh. Ta gi¶ thiÕt n > 2.
Cho {ηv}vµ {θk} lµ c¸c d·y sao cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m víi
ηv > 0,
∞∑
v=1
ηv = 1, η0 = η1,
vµ {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt víi
θ0 = 0, θk = pi
k−1∑
v=0
ηv, (k = 1, 2, 3...).
Cho Y = {ak = (a1k, ..., ank, 1) ∈ Cn+1} ë vÞ trÝ tæng qu¸t vµ {cjk}∞k=1 ,
(j = 1, ..., n) lµ nh÷ng d·y sè d¬ng tho¶ m·n:
det (cjk) 6= 0, (j, k = 1, ..., n),
c1k = c2k = ... = cnk = ck, (k = n, n+ 1, ...),
32
vµ
Sj =
∞∑
k=1
cjk <∞, (j = 1, ..., n),
Sn+1 =
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjk |ajk|) <∞.
§Æt
ϕj(z) =
∞∑
k=1
cjke
ze−iθk , (j = 1, ..., n)
ϕn+1(z) = −
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk)e
ze−iθk ,
ψ1(z) =
∞∑
k=n
cke
ze−iθk ,
ϕj − ψ1 = hj,
trong ®ã hj(z) =
n−1∑
k=1
cjke
ze−iθk , (j = 1, ..., n).
Chó ý r»ng, nÕu ta ®Æt ak =
∑n
j=1 ajk, (k = 1, 2, ...), th× do Y lµ ë vÞ trÝ
tæng qu¸t, nªn d·y {ak} tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña d·y {ak} ®· nªu ë tríc
MÖnh ®Ò 2.1.11. Ta cã mÖnh ®Ò sau.
2.2.1 MÖnh ®Ò. Cho |z| = r. Khi ®ã
|ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1).
Chøng minh. Víi sè k bÊt kú vµ z = reiθ, ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er.
Khi ®ã:
|ϕj(z)| =
∞∑
k=1
cjk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer, (j = 1, ..., n),
33
vµ
|ϕn+1(z)| =
∣∣∣∣∣−
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk)e
ze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjk |ajk|)
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sn+1er.
VËy
|ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1).
2.2.2 MÖnh ®Ò. C¸c hµm ϕ1, ..., ϕn+1 kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung.
Chøng minh. Chóng ta chØ ph¶i chøng minh ϕ1, ..., ϕn kh«ng cã kh«ng ®iÓm
chung. Gi¶ sö r»ng chóng cã kh«ng ®iÓm chung t¹i z = z0, th× tõ
ϕj(z) =
n−1∑
k=1
cjke
ze−iθk + ψ1(z), (j = 1, ..., n),
ta cã
0 =
n−1∑
k=1
cjke
z0e
−iθk + ψ1(z0), (j = 1, ..., n).
Víi mçi j = 1, ..., n− 1
0 =
n−1∑
k=1
(cjk − cnk)ez0e−iθk . (2.9)
Do ®ã, bëi c¸ch chän {cjk}, ta cã
0 6= det(cjk), (j, k = 1, ..., n)
= cnn det(cjk − cnk), (j, k = 1, ..., n− 1)
do cnn 6= 0 vËy nªn tõ (2.9) ta cã
ez0e
−iθk = 0, (k = 1, ..., n− 1).
§©y lµ ®iÒu v« lý. VËy ϕ1, ..., ϕn+1 kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung.
34
2.2.3 MÖnh ®Ò. C¸c hµm ϕ1, ..., ϕn+1 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C.
Chøng minh. Gi¶ sö ngîc l¹i, tån t¹i c¸c sè αi kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng
sao cho
α1ϕ1 + ...+ αn+1ϕn+1 = 0.
Khi ®ã
α1(h1 + ψ1) + ...+ αn(hn + ψ1) + αn+1ϕn+1 = 0,
mµ kÐo theo
α1h1 + ...+ αnhn + αn+1ϕn+1 + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.10)
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ sö αn+1 6= 0, khi ®ã ph¬ng tr×nh
(2.10) t¬ng ®¬ng víi
αn+1(
α1h1 + ...+ αnhn
αn+1
+ ϕn+1) + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.11)
Tõ ®Þnh nghÜa cña ϕn+1 , ψ1 vµ h1, ..., hn ta cã thÓ xem m = n vµ
u = ϕn+1, wm−1 =
α1h1 + ...+ αnhn
αn+1
, vn = ψ1.
Theo Bæ ®Ò 2.1.13 ta cã u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn
C. Do ®ã α1h1+...+αnhnαn+1 + ϕn+1 vµ ψ1 lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C.
Tõ hÖ thøc (2.11) vµ αn+1 6= 0, ®iÒu nµy v« lý. VËy αn+1 = 0.
Tõ (2.9) ta cã
α1h1 + ...+ αnhn + (α1 + ...+ αn)ψ1 = 0. (2.12)
Gi¶ sö α1 + ...+ αn 6= 0 khi ®ã (2.12) t¬ng ®¬ng víi
α1h1 + ...+ αnhn
α1 + ...+ αn
+ ψ1 = 0.
35
Theo bÊt ®¼ng thøc (2.8) víi m = n , vn = ψ1 , wm−1 = α1h1+···+αnhnα1+···+αn .
Ta cã
α1h1 + · · ·+ αnhn
α1 + · · ·+ αn + ψ1 6= 0,
suy ra m©u thuÉn, vËy α1 + · · ·+αn = 0 suy ra αn = −α1− · · · −αn−1. Tõ
(2.12) ta cã
α1(h1 − hn) + · · ·+ αn−1 (hn−1 − hn) = 0, (2.13)
trong ®ã hj(z)− hn(z) =
n−1∑
k=1
(cjk − cnk)eze−iθk , (j = 1, ..., n− 1), det(cjk−
cnk) 6= 0 vµ do 0 < θ1 < · · · < θn−1 < 2pi nªn eze−iθ1 , ..., eze−iθn−1 lµ ®éc lËp
tuyÕn tÝnh trªn C. Tõ (2.13) ta cã α1 = · · · = αn−1 = 0 vµ αn = 0.
VËy ϕ1, ..., ϕn+1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C.
Tõ c¸c MÖnh ®Ò 2.2.2 vµ 2.2.3, ta thÊy r»ng nÕu
ϕ := [ϕ1, . . . , ϕn+1]
th× ϕ lµ ®êng cong chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh tõ C vµo Pn(C).
2.2.4 MÖnh ®Ò. Ta cã
T (r, ϕ) < r +O(1).
Chøng minh. Tõ MÖnh ®Ò 2.2.1 ta cã |ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+1) nªn
∥∥ϕ(reiθ)∥∥ = (∣∣ϕ1(reiθ)∣∣2 + ...+ ∣∣ϕn+1(reiθ)∣∣2) 12
6
(
(S1e
r)2 + ...+ (Sn+1e
r)2
) 1
2 6
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
er.
36
Theo ®Þnh nghÜa hµm ®Æc trng T (r, ϕ) ta cã
T (r, ϕ) =
1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥ϕ(reiθ)∥∥ dθ 6 1
2pi
2pi∫
0
log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
erdθ
= log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
er = log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
+ log er
= r + log
(
n+1∑
j=1
S2j
) 1
2
= r +O(1).
2.2.5 MÖnh ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2), cho |z| = r. Khi ®ã
1. ∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣ 6 Sn+1er cos 23piηk. (2.14)
2. ∣∣∣ϕj(z)− cjkeze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer cos 23piηk, (j = 1, ..., n). (2.15)
3. Víi r ®ñ lín
|ϕj(z)| > 1
2
cjke
r cos 13piηk, (j = 1, ..., n). (2.16)
37
Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh (1) suy ra do∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣−
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk+
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
∑
v 6=k
(
n∑
j=1
cjvajv
)
eze
−iθv
∣∣∣∣∣∣ =
∑
v 6=k
∣∣∣∣∣
(
n∑
j=1
cjvajv
)
eze
−iθv
∣∣∣∣∣
6
∞∑
v=1
(
n∑
j=1
cjv |ajv|
)∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 Sn+1er cos 23piηk.
Kh¼ng ®Þnh (2) ®îc kÐo theo tõ∣∣∣ϕj(z)− cjkeze−iθk ∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
cjke
ze−iθk − cjkeze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
∑
v 6=k
cjve
ze−iθv
∣∣∣∣∣∣ 6
∞∑
v=1
cjv
∣∣∣eze−iθv∣∣∣ 6 Sjer cos 23piηk, (j = 1, ..., n).
Do |ϕj(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=1
cjke
ze−iθk
∣∣∣∣ > ∣∣∣∣ ∞∑
k=m
cjke
ze−iθk
∣∣∣∣ > 12cjker cos 13piηk,
(j = 1, ..., n) (theo bÊt ®¼ng thøc (2.6)). Kh¼ng ®Þnh (3) ®îc chøng minh.
2.2.6 MÖnh ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2), cho z = reiθ vµ r ®ñ lín
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥
|(ak, ϕ(reiθ))| >
‖ak‖ (max16j6n cjk) er cos 13piηk
2
(
Sn+1 +
n∑
j=1
|ajk|Sj
)
er cos
2
3piηk
.
Chøng minh. Do MÖnh ®Ò 2.2.3, (ak, ϕ(re
iθ)) 6= 0 víi bÊt kú ak ∈ Y.
Víi θ tho¶ m·n (2.2), víi r ®ñ lín, theo bÊt ®¼ng thøc (2.16) cña MÖnh
®Ò 2.2.5 ta cã
38
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥ > ‖ak‖(max
16j6n
∣∣ϕj(reiθ)∣∣)
> ‖ak‖
2
(
max
16j6n
cjk
)
er cos
1
3piηk. (2.17)
Theo bÊt ®¼ng thøc (2.14) vµ (2.15) cña MÖnh ®Ò 2.2.5 ta cã
|(ak, ϕ(z))| = |a1kϕ1(z) + ...+ ankϕn(z) + ϕn+1(z)|
=
∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
n∑
j=1
ajkϕj(z)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk +
n∑
j=1
ajkϕj(z)−
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
6
∣∣∣∣∣ϕn+1(z) +
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
n∑
j=1
ajkϕj(z)−
(
n∑
j=1
cjkajk
)
eze
−iθk
∣∣∣∣∣
6 Sn+1er cos
2
3piηk +
n∑
j=1
|ajk|Sjer cos 23piηk
=
(
Sn+1 +
n∑
j=1
|ajk|Sj
)
er cos
2
3piηk. (2.18)
Tõ (2.17) vµ (2.18) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
2.2.7 MÖnh ®Ò. Víi r ®ñ lín
m(r, ak, ϕ) >
2
9
rη3k +O(1).
Chøng minh. Tõ ®Þnh nghÜa cña m(r, ak, ϕ), víi βk =
1
3piηk vµ theo MÖnh
39
®Ò 2.2.6 ta cã
m(r, ak, ϕ) =
1
2pi
2pi∫
0
log
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥
|(ak, ϕ(reiθ))| dθ
> 1
2pi
θk+βk∫
θk−βk
log
‖ak‖
∥∥ϕ(reiθ)∥∥
|(ak, ϕ(reiθ))| dθ
> r
2pi
θk+βk∫
θk−βk
(
cos
2
3
piηk − cos 1
3
piηk
)
dθ +O(1)
=
( r
2pi
2 sin
pi
6
ηk sin
pi
2
ηk
) 2pi
3
ηk +O(1)
> 2r
3
ηk.
2
pi
pi
6
ηk.
2
pi
pi
2
ηk +O(1)
=
2
9
rη3k +O(1),
(ta cã sinx > 2pix víi 0 6 x 6
pi
2 ).
§Þnh lý sau ®©y cho ta mét c¸ch x©y dùng ®êng cong chØnh h×nh cã bËc
1 víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt.
2.2.8 §Þnh lý. Gi¶ sö ϕ, Y = {ak} vµ ηk nh ®· x©y dùng ë phÇn trªn.
I. ϕ lµ bËc 1.
II. δ(ak, ϕ) > 29η3k, (k = 1, 2, 3, ...).
Chøng minh. I. Tõ MÖnh ®Ò 2.2.4 vµ 2.2.7 ta cã:
2
9
rη31 +O(1) 6 T (r, ϕ) < r +O(1).
II. Tõ MÖnh ®Ò 2.2.4 vµ 2.2.7 ta cã:
δ(ak, ϕ) = lim inf
r→∞
m(r, ak, ϕ)
T (r, ϕ)
> 2
9
η3k.
40
§Þnh lý sau ®©y cho ta mét c¸ch x©y dùng ®êng cong chØnh h×nh cã bËc
p, víi p lµ sè nguyªn d¬ng nµo ®ã, víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt.
2.2.9 §Þnh lý. Gi¶ sö ϕ, Y = {ak} vµ ηk nh ®· x©y dùng ë phÇn trªn. Víi
mçi sè nguyªn d¬ng p bÊt kú ®Æt P (z) = zp. Gi¶ sö
ϕ ◦ P = [ϕ1 ◦ P, ..., ϕn+1 ◦ P ] .
Khi ®ã ta cã:
I. ϕ ◦ P lµ bËc p.
II. δ(ak, ϕ ◦ P ) > 29η3k, (k = 1, 2, 3, ...).
Chøng minh cña ®Þnh lý trªn suy ra trùc tiÕp tõ §Þnh lý 2.2.8 vµ Bæ
®Ò 2.1.14.
§Æt Y1 = Y ∪ {bm = (m+ 1)a1 |1 6 m 6 N −m} víi N lµ mét sè
nguyªn d¬ng lín h¬n n.
2.2.10 HÖ qu¶. Víi ϕ ◦ P ®îc ®a ra ë §Þnh lý 2.2.8, ta cã:
δ(ak, ϕ ◦ P ) > 2
9
η3k, (k = 1, 2, 3, ...),
vµ
δ(bm, ϕ ◦ P ) > 2
9
η31, (m = 1, ..., N −m).
Nh trong trêng hîp hµm ph©n h×nh ta cã hÖ qu¶ sau:
2.2.11 HÖ qu¶. Cho 0 < ε < 13 , tån t¹i mét ®êng cong chØnh h×nh ϕ ◦ P
cÊp p vµ d·y {ak} , (k = 1, 2, ...) ë vÞ trÝ tæng qu¸t tho¶ m·n
∞∑
k=1
δ(ak, ϕ ◦ P ) 13−ε =∞. (2.19)
KÕt luËn
Nh vËy, luËn v¨n nµy ®· tr×nh bµy l¹i c¸c kh¸i niÖm, c¸c tÝnh chÊt vµ
c¸c ®Þnh lý cña lý thuyÕt Nevanlinna cho hµm ph©n h×nh vµ cho ®êng cong
chØnh h×nh mét c¸ch cã hÖ thèng. Ph©n tÝch vµ chøng minh l¹i mét c¸ch tØ
mØ, cô thÓ c¸c bæ ®Ò, mÖnh ®Ò vµ c¸c kÕt qu¶ trong bµi b¸o cña N. Toda [12]
vÒ x©y dùng ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ khuyÕt. KÕt qu¶ chÝnh
cña luËn v¨n lµ ®· x©y dùng c¸c ®êng cong chØnh h×nh víi h÷u h¹n hay v«
h¹n gi¸ trÞ khuyÕt ®· ®îc tr×nh bµy trong luËn v¨n.
41
Tµi liÖu tham kh¶o
[1] H. Cartan, Sur les zeros des combinaisions linearires de p fonctions
holomorpes donnees, Mathematica (Cluj). 7 (1933), 80-103.
[2] W. Cherry and Z. Ye, Nevanlinna's Theory of Value Distribution. The
Second Main Theorem and its Error Terms, Springer Monographs in
Mathematics, Springer-Verlag, 2001.
[3] D. Drasin, The inverse problem of the Nevanlinna theory, Acta Math.
138 (1976), 83--151.
[4] W. K. Hayman, Meromorphic functions, Clarendo Press, Oxford, 1964.
[5] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Grad. Texts in Math. vol. 52,
Springer-Verlag, New York, 1997.
[6] Hµ Huy Kho¸i, Gi¸o tr×nh gi¶i tÝch phøc, ViÖn To¸n häc, 2000.
[7] NguyÔn V¨n Khuª, Lª MËu H¶i, Hµm biÕn phøc, NXB §¹i häc Quèc
gia, Hµ Néi (1997).
[8] S. Kobayashi, Hyperbolic manifolds and holomophic mappings,Marcel
Dekker, 1970.
[9] R. Nevanlinna, Einige Eindeutigkeitssatze in der Theorie der meromor-
phen Function, Acta. Math. 48 (1926), 367-391.
[10] E. I. Nochka, On the theory of meromorphic curves, Soviet Math. Dokl.
27 (1983), no. 2, 377--381.
42
43
[11] Le Van Thiem, Uber das Umkehrproblem der Wertverteilungslehre,
(German) Comment. Math. Helv. 23, (1949). 26--49.
[12] N. Toda, Holomorphic curves with an infinite number of deficiences,
Proc. Japan. Aca. 80 2004, 90--95.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết.pdf