Hướng dẫn học sinh giải phương trình không mẫu mực

MỤC LỤC STT Nội dung trang 1 A. Mở đầu 1 2 Tên đề tài 1 3 B.Quá trình thực hiện đề tài 3 4 I. khảo sát thực tế 3 5 II. Những biện pháp thực hiện 3 6 III.Nội dung chủ yếu của đề tài 4 7 1. Phương pháp đưa về phương trình tích 4 8 2. Phương pháp áp dụng BĐT 14 9 3. Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất 20 10 4. Phương pháp đưa về hệ phương trình 25 11 Một số bài tập tự luyện 33 12 C. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng 34 13 D. Tài liệu tham khảo 35 14 E. Những kiến nghị sau khi thực hiện đề tài 36

doc42 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 05/02/2013 | Lượt xem: 3205 | Lượt tải: 5download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hướng dẫn học sinh giải phương trình không mẫu mực, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Së Gi¸o dôc - ®µo t¹o hµ Néi Phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o thanh oai ---------- * * * ----------- › & š §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Tªn ®Ò tµi H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh "kh«ng mÉu mùc" ------------ Hä tªn: NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ Gi¸o viªn: Tr­êng THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hµ Néi N¨m häc 2009 - 2010 Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp – Tù do – H¹nh phóc -----***----- §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm s¬ yÕu lÝ lÞch Hä vµ tªn : NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ Ngµy th¸ng n¨m sinh : 25/05/1973 N¨m vµo ngµnh :1996 Chøc vô vµ ®¬n vÞ c«ng t¸c : Gi¸o viªn Tr­êng THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hµ Néi Tr×nh ®é chuyªn m«n : §¹i häc to¸n HÖ ®µo t¹o : Tõ xa Bé m«n gi¶ng d¹y : To¸n 9 Khen th­ëng : Gi¸o viªn giái c¬ së . C¸c ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®· ®­îc c«ng nhËn 1 . C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2 . Mét sè ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc. 3. Ph¸t triÓn t­ duy l«gic qua mét sè bµi to¸n suy luËn. (®¹t cÊp tØnh) Lêi c¶m ¬n T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh ®Õn ban gi¸m hiÖu vµ c¸c thÇy c« gi¸o d¹y to¸n, c¸c em häc sinh tr­êng THCS Thanh Cao - huyÖn Thanh Oai - TP Hµ Néi cïng c¸c b¹n bÌ, ®ång nghiÖp ®· cung cÊp cho t«i nhiÒu tµi liÖu quý b¸u ®Ó t«i hoµn thµnh ®Ò tµi. §Ó hoµn thµnh néi dung nghiªn cøu t«i ®· tham kh¶o, sö dông trong ®Ò tµi rÊt nhiÒu ý kiÕn ®¸nh gi¸, tµi liÖu nghiªn cøu cña c¸c chuyªn gia gi¸o dôc, c¸c nhµ nghiªn cøu trªn nhiÒu lÜnh vùc. Ng­êi viÕt xin ®­îc v« cïng c¶m ¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n héi ®ång khoa häc c¸c cÊp ®· dµnh thêi gian ®äc, ®¸nh gi¸ ®Ò tµi. RÊt mong nhËn ®­îc ý kiÕn ®ãng gãp cho ®Ò tµi ®­îc hoµn thiÖn h¬n. Xin ®­îc ch©n thµnh c¶m ¬n! Hµ Néi, ngµy 12 th¸ng 4 n¨m 2010 Ng­êi viÕt NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ Môc lôc STT Néi dung trang 1 A. Më ®Çu 1 2 Tªn ®Ò tµi 1 3 B.Qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi 3 4 I. kh¶o s¸t thùc tÕ 3 5 II. Nh÷ng biÖn ph¸p thùc hiÖn 3 6 III.Néi dung chñ yÕu cña ®Ò tµi 4 7 1. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch 4 8 2. Ph­¬ng ph¸p ¸p dông B§T 14 9 3. Ph­¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt 20 10 4. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh 25 11 Mét sè bµi tËp tù luyÖn 33 12 C. KÕt qu¶ thùc hiÖn cã so s¸nh ®èi chøng 34 13 D. Tµi liÖu tham kh¶o 35 14 E. Nh÷ng kiÕn nghÞ sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi 36 Ch÷ viÕt t¾t dïng trong ®Ò tµi: 1. B§T: BÊt ®¼ng thøc 2. §K: §iÒu kiÖn 3. GPT: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. 4. PT: Ph­¬ng tr×nh 5. SGK: S¸ch gi¸o khoa. 6. TX§: TËp x¸c ®Þnh. 7. TM: Tho¶ m·n 8. THCS: Trung häc c¬ së 9. VP: VÕ ph¶i 10. VT: vÕ tr¸i PhÇn A: Më ®Çu 1. Tªn ®Ò tµi: H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh "kh«ng mÉu mùc" 2. LÝ do chän ®Ò tµi: a) C¬ së lý luËn: + Quan ®iÓm vÒ ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc vµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc. + Quan ®iÓm ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc: LuËt gi¸o dôc quy ®Þnh "Ph­¬ng ph¸p gi¸o dôc ph¶i ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c chñ ®éng, t­ duy s¸ng t¹o cña ng­êi häc, båi d­ìng cho ng­êi häc n¨ng lùc tù häc, kh¶ n¨ng thùc hµnh, lßng say mª häc tËp vµ ý chÝ v­¬n lªn". Víi môc tiªu gi¸o dôc lµ "Gióp häc sinh ph¸t triÓn toµn diÖn vÒ ®¹o ®øc, trÝ tuÖ, thÓ chÊt, thÈm mü vµ c¸c kü n¨ng c¬ b¶n, ph¸t triÓn n¨ng lùc c¸ nh©n, tÝnh n¨ng ®éng vµ s¸ng t¹o, h×nh thµnh nh©n c¸ch con ng­êi ViÖt Nam x· héi chñ nghÜa, x©y dùng tÝnh c¸ch vµ tr¸ch nhiÖm c«ng d©n, chuÈn bÞ cho häc sinh tiÕp tôc häc lªn hoÆc ®i vµo cuéc sèng lao ®éng, tham gia x©y dùng vµ b¶o vÖ Tæ quèc". + Ph­¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc: Gióp häc sinh ph¸t huy tÝnh tÝch cùc tù gi¸c chñ ®éng s¸ng t¹o rÌn luyÖn thãi quen vµ kh¶ n¨ng tù häc, tinh thÇn hîp t¸c kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo nh÷ng t×nh huèng kh¸c nhau trong häc tËp vµ trong thùc tiÔn t¹o niÒm tin, niÒm vui høng thó trong häc tËp. b) C¬ së thùc tiÔn: To¸n häc lµ mét m«n khoa häc nãi chung nh­ng l¹i gi÷ mét vai trß rÊt chñ ®¹o trong nhµ tr­êng còng nh­ ®èi víi c¸c ngµnh khoa häc kh¸c. Lµ mét gi¸o viªn gi¶ng d¹y bé m«n to¸n t«i nhËn thÊy cÇn thiÕt ph¶i c¶i tiÕn ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao chÊt l­îng d¹y häc. Mét trong nh÷ng vÊn ®Ò rÊt c¬ b¶n cña ®¹i sè khèi THCS lµ viÖc n¾m ®­îc c¸c ph­¬ng tr×nh s¬ cÊp ®¬n gi¶n vµ c¸ch gi¶i nh÷ng ph­¬ng tr×nh ®ã ®èi víi nh÷ng ®èi t­îng lµ häc sinh ®¹i trµ. Ngoµi ra më réng c¸c ph­¬ng tr×nh khã h¬n, phøc t¹p h¬n ®èi víi ®èi t­îng häc sinh kh¸ giái. - Víi rÊt nhiÒu nh÷ng chuyªn ®Ò ®­îc ®Ò cËp ®Õn khi d¹y §¹i sè cÊp 2 vµ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè t«i m¹nh d¹n tËp trung suy nghÜ s©u vÒ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. - Bëi v× trong qu¸ tr×nh häc to¸n c¸c häc sinh cã thÓ gÆp ®©u ®ã nh÷ng bµi to¸n mµ ®Çu ®Ò cã vÎ "l¹" kh«ng b×nh th­êng, nh÷ng bµi to¸n kh«ng thÓ gi¶i b»ng c¸ch ¸p dông trùc tiÕp c¸c quy t¾c, c¸c ph­¬ng ph¸p quen thuéc. Nh÷ng bµi to¸n nh­ vËy ®­îc gäi lµ "Kh«ng mÉu mùc" cã t¸c dông kh«ng nhá trong viÖc rÌn luyÖn t­ duy to¸n häc vµ th­êng lµ sù thö th¸ch ®èi víi c¸c häc sinh trong c¸c kú thi häc sinh giái, thi vµo c¸c líp chuyªn to¸n... §­¬ng nhiªn quen thuéc hay "Kh«ng mÉu mùc" chØ lµ t­¬ng ®èi, phô thuéc vµo tr×nh ®é cña ng­êi gi¶i to¸n, cã bµi to¸n lµ "kh«ng mÉu mùc" víi ng­êi nµy nh­ng l¹i lµ quen thuéc ®èi víi ng­êi kh¸c. Chuyªn ®Ò "Ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc" gióp häc sinh luyÖn tËp ®­îc nhiÒu bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh "kh«ng mÉu mùc" vµ mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i lo¹i ph­¬ng tr×nh ®ã. 3. Ph¹m vi vµ thêi gian thùc hiÖn - §Ò tµi nµy cña t«i ®­îc thùc hiÖn trong qu¸ gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh giái líp 9 còng nh­ «n luyÖn vµo líp 10 n¨m häc 2009-2010. - Thêi gian: 14 tiÕt trong ®ã cã 2 tiÕt kiÓm tra. 4. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu: + Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt: §äc s¸ch tham kh¶o tµi liÖu. + Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn: - Quan s¸t trùc tiÕp c¸c ®èi t­îng häc sinh ®Ó ph¸t hiÖn ra nh÷ng vÊn ®Ò mµ häc sinh thÊy lóng tóng khã kh¨n. - KiÓm tra häc sinh, ®Ó t×m hiÓu tr×nh ®é vµ nhËn thøc cña häc sinh. - D¹y häc thùc tiÔn trªn líp ®Ó rót ra kinh nghiÖm B. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi I. Kh¶o s¸t thùc tÕ 1. T×nh tr¹ng thùc tÕ tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi. Tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy c¸c em häc sinh ®· ®­îc trang bÞ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n t­¬ng ®èi ®Çy ®ñ cña ch­¬ng tr×nh bé m«n To¸n trong nhµ tr­êng phæ th«ng THCS. Qu¸ tr×nh nhËn thøc cña c¸c em ë møc kh¸ cã thÓ hoµn thµnh c¸c bµi to¸n b¾t buéc trong SGK vµ cã kh¶ n¨ng gi¶i ®­îc mét sè bµi cã tÝnh n©ng cao. MÆc dï vËy khi ®øng tr­íc nh÷ng bµi to¸n khã, nh÷ng bµi to¸n "Kh«ng mÉu mùc" th× viÖc t×m ra ®­êng lèi gi¶i gÆp ph¶i lóng tóng vµ bÕ t¾c. 2. Sè liÖu kh¶o s¸t tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi: Kh¶o s¸t vÒ viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc ®èi víi 30 häc sinh ®­îc kÕt qu¶ nh­ sau: Tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi Sè l­îng TØ lÖ % Giái 1 3,3% Kh¸ 3 10% TB 11 36,7% D­íi TB 15 50% Víi b¶ng sè liÖu trªn viÖc gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc ®èi víi häc sinh lµ vÊn ®Ò khã kh¨n, sè häc sinh ®¹t ®iÓm kh¸, giái ®¹t tØ lÖ rÊt thÊp, tØ lÖ häc sinh ®¹t ®iÓm d­íi trung b×nh rÊt cao. II. Nh÷ng biÖn ph¸p thùc hiÖn Qua kinh nghiÖm gi¶ng d¹y mét sè n¨m båi d­ìng häc sinh giái vµ th«ng qua mét sè tµi liÖu tham kh¶o t«i muèn tæng hîp ph©n lo¹i tõ nh÷ng bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh cô thÓ nh»m ®­a ra mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ®èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh "Kh«ng mÉu mùc" nh»m biÕn nã trë thµnh quen thuéc qua ®ã biÕt c¸ch suy nghÜ tr­íc nh÷ng ph­¬ng tr×nh "Kh«ng mÉu mùc" kh¸c. C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc: 1- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch. 2- Ph­¬ng ph¸p ¸p dông bÊt ®¼ng thøc. 3- Ph­¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt. 4- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh. III. Néi dung chñ yÕu cña ®Ò tµi 1. Ph­¬ng ph¸p: §­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch * C¸c b­íc: - T×m TX§ cña ph­¬ng tr×nh. - Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(x); g(x);......... h(x) = 0 lµ ph­¬ng tr×nh quen thuéc. NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: f(x) = 0; g(x) = 0; ........h(x) = 0 thuéc tËp x¸c ®Þnh. §«i khi dïng Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa Èn, ®­a vÒ d¹ng tÝnh (víi Èn phô). Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi Èn phô, tõ ®ã t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. Dïng c¸ch nhãm c¸c sè h¹ng hoÆc t¸ch c¸c sè h¹ng,.... ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng quen thuéc mµ ta ®· biÕt c¸ch gi¶i: * VÝ dô: Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2x2 - 3x - 1)3 - (x2 - 2)3 - (x2 - 3x + 1)3 = 0 (1) Gi¶i: ¸p dông hÖ ®¼ng thøc: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab (a+ b) (1) Û Û (2x2 - 3x - 1)3 - [(x2 - 2)3 + (x2 - 3x + 1)3] = 0 Û 3(x2 - 2)(x2 - 3x + 1) (2x2 - 3x - 1) = 0 Û x2 - 2 = 0 (1.1) x2 - 3x + 1 = 0 (1.2) 2x2 - 3x - 1 = 0 (1.3) Gi¶i (1.1) cã nghiÖm: x1 = ; x2 = - Gi¶i (1.2) cã nghiÖm: x1 = ; x2 = Gi¶i (1.3) cã nghiÖm: x1 = ; x2 = VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã 6 nghiÖm: x1 = ; x2 = -; x3 = ; x4 = ; x5 = ; x6 = Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x2 - 3x + 2)3 = x6 - (3x - 2)3 (2) Gi¶i: t­¬ng tù vÝ dô 1 (2) Û [x2 +(-3x + 2)]2 - [(x2)3 + (- 3x + 2)3] = 0 Û 3x2 (- 3x + 2)(x2 - 3x + 2) = 0 Û x2 = 0 Û x = 0 -3x+21 = 0 Û x = x2 - 3x +2 = 0 ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x1 = 1; x2 = 2 VËy ph­¬ng tr×nh (2) cã 4 nghiÖm: x1 = 0 ; x2 = ; x3 = 1; x4 = 2 Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 (3) Gi¶i: ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: (a-b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a- b) (3) Û [x2 - x - 1) - (3x - 2]3 - [(x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3] = 0 Û - 3(x2 - x - 1)(3x - 2) (x2 - 4x + 1) = 0 Ph­¬ng tr×nh (3) cã 5 nghiÖm: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2+ ; x5 = Bµi 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x2 - 3x + 2)3 + (-x2 + x + 1)3 + (-x2 + x + 1)3 + (2x - 3)3 = 0 (4) Gi¶i: ¸p dông h»ng ®»ng thøc: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = 3(a - b)(b-c)(c-a) (4) Û [(x2 - x + 1) - (2x - 3)]3 + [(2x- 3) - (x2 + x - 4)]3 + [(x2 + x - 4) - (x2 - 3x + 2)]3 = 0 Û3(x2 - 3x + 2)(-x2 + x + 1)(2x - 3) = 0 VËy ph­¬ng tr×nh (4) cã 5 nghiÖm: x1 = 1; x2 = 2; x3= ; x4 = ; x5 = ; Bµi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (5) Gi¶i: (5) Û Û + Û Û 18 (x + 7) - 18(x+ 4) = (x+ 4)(x + 7) Û x2 + 11x - 26 = 0 Û (x + 13)(x-2) = 0 Ph­¬ng tr×nh (5) cã 2 nghiÖm: x1 = 13; x2 = 2 Bµi 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (6) Û Û -) = Û ) = Û 13(x+13) - 13 (x + 1) = 12(x + 1) (x + 13) Û x(x+14) = 0 Ph­¬ng tr×nh (6) cã 2 nghiÖm: x1 = 0; x2 = -14 Bµi 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (7) Gi¶i: (7)Û+1)+ () Û (x + 95) Û x + 95 = 0 v× < 0 VËy (7) cã 1 nghiÖm: x = -95 Bµi 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (8) Gi¶i:(8) Û) + () Û (x - 60) Û x - 60 = 0 v× < 0 VËy (8) cã 1 nghiÖm: x = 60 Bµi 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (9) Gi¶i: (9)Û+1)+ ( Û (x +100) Û x +100 = 0 v× > 0 VËy (9) cã 1 nghiÖm: x = -100 Bµi 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (10) Gi¶i:(10) Û)) = 0 Û (x - 100) Û x - 100 = 0 v× > 0 VËy (10) cã 1 nghiÖm: x = 100 Bµi 11: Gi¶i ph­¬ng tr×nh; (11) Gi¶i: (11) Û Û (4 - x2) Û (4 - x2) = 0 Do > 0 víi "x VËy (11) cã 2 nghiÖm: x1 = -2; x2 = 2 Bµi 12: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (12) Gi¶i: (12) Û (v× ) VËy (12) cã 2 nghiÖm : x1 = ; x2 = Bµi 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (3x2 - 11x + 13)(-x2 - x + 9) + (3x2 - 8x + 8)(x2 - 2x - 4) = - (2x2 - 7x + 11)(x + 1) (13) Gi¶i: (13) Û [(x2 - 6x + 11)2 - (2x2 - 5x + 2)2] + [(2x2 - 5x + 2)2 - (x2 - 3x + 6)2] + [(x2 - 3x + 6)2 - (x2 - 4x + 5)2] = 0 Û (x2 - 6x + 11)2 - (x2 - 4x + 5)2 = 0 Û (2x2 - 10x + 16)(-2x + 6) = 0 Û - 4 (x2 - 5x + 8)(x - 3) = 0 Û x - 3 = 0 do x2 - 5x + 8 = (x - 2 + > 0 "x V©y (13) cã 1 nghiÖm: x = 3 Bµi 14: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (x2 - 2x + 6)(x2 - 8x + 4) + (5x + 1)(x +1)(x2 - 3x - 3) Gi¶i: (14) Û [(x2 - 5x + 5)2 - (3x + 1)2] + [(3x + 1)2 - (2x)2] - [(x2 - x - 3)2 - (- 2x)2] = 0 Û (x2 - 5x + 5)2 - (x2 - x + 3)2 = 0 Û (2x2 - 6x + 2)(-4x + 8) = 0 Û - 4 (x2 - 3x + 1)(x - 2) = 0 Ph­¬ng tr×nh (14) cã 3 nghiÖm: x1 = ; x2 = ; x3=2 Bµi 15: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x - 2)(x-4)(x+6)(x+8) = -36 (15) Gi¶i: (15) Û [(x - 2) (x + 6)] - [(x - 4)(x + 8)] = - 36 Û (x2+ 4x - 12)(x2 + 4x - 32) = -36 (*) §Æt x2 + 4x - 32 = t t = 8 Û x2 + 4x - 22 = 8 t = - 8 x2 + 4x - 22 = -8 (*) Û (t + 10) (t - 10) = - 36 Û t2 - 64 = 0 Û Û x2 + 4x - 30 = 0 x2 + 4x - 14 = 0 Ph­¬ng tr×nh (15) cã 4 nghiÖm: x1 = -2 + ; x2 = -2 -; x3 = -2 + ; x4 = -2 - ; Bµi 16: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = 3 + 2 (16) Gi¶i: §K: x ≥ -3 (16) Û - 3 - 2 = 0 Û ( - 3) = 0 Û = 2 Û x + 3 = 4 Û x = 1 (TM) x = 3 x + 7 = 9 Û x = 2 (TM) VËy (16) cã 2 nghiÖm: x1 = 1; x2 = 2 Bµi 17: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x (x + 5) = 2 - 2 (17) Gi¶i: §Æt = y Þ x2 + 5x = y3 + 2 (17) Û y3 + 2 - 2y + 2 = 0 Û y3 - 2y + 4 = 0 Û (y + 2(y2 - 2y + 2) = 0 Û y + 2 = 0 do y2 - 2y + 2 = (y - 1)2 + 1 > 0 "y Û y = -2 Víi y = -2 ta cã x2 + 5x = -6 Û x2 + 5x + 6 = 0 Û (x + 2)(x+3) = 0 VËy (17) cã 2 nghiÖm: x1 = -2; x2 = -3 Bµi 18: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 1 (18) Gi¶i: §K: x ≥ -2 §Æt = t ≥ 0 Û x = t2 - 2 (18) Û + t = 1 Û = 1 - t Û 3 - t2 = 1 - 3t + 3t2 - t3 Û = 2 Û (TM) Û x = 2 t = 1 + (TM) x = 1 + t = 1 - (lo¹i) Û t3 - 4t2 + 3t + 2 = 0 Û (t - 2)(t2 - 2t - 1) = 0 VËy (18) cã 2 nghiÖm: x1 = 2; x2 = 1 + Bµi 19: Gpt (19) Gi¶i : §Æt (*) ( §K: y) (19) do y = 2x -1 (**) Tõ (*) & (**) §K hoÆc x = 0 (lo¹i), x = 4/3 (tho¶ m·n). Bµi 20: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (20) Gi¶i: §Æt: (x + 1) = y (20) 2y4 + 12y2 - 80 = 0 (*) do y2 + 10 > 0 víi mäi y y = 2 hoÆc y = -2 x + 1 = 2 x = 1 hoÆc x + 1 = -2 x = -3 VËy (20) cã 2 nghiÖm x1 = 1; x2 = -3. Chó ý: cã thÓ më réng bµi to¸n Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (*) (a,b,c lµ h»ng sè ) §Æt Èn phô: th× ph­¬ng tr×nh (*) ®­îc ®­a vÒ d¹ng dy4 + ey2 +g = 0 (d,e,g lµ h»ng sè ) lµ ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng. Bµi 21: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (21) Gi¶i: (21) VËy (21) cã 4 nghiÖm: Bµi 22: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (22) Gi¶i (22) Gi¶i pt (*) NhËn thÊy x =1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (*) x -1 nh©n 2 vÕ cña (*) víi (x - 1) pt (*) (x -1) (x4+x3+x2+x+1) = 0 x5 - 1 = 0 x5 = 1 x = 1 (Lo¹i v× x = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña pt) Bµi 23 : Gpt (23) a lµ h»ng sè Gi¶i : §Æt x2 +9x + a = y ( §K y 0) (23) xy - x2 = y2 + xy x2+y2 = 0 x2 = y2 = 0 x = y = 0 ( kh«ng TM; lo¹i) VËy (23) v« nghiÖm. 2. Ph­¬ng ph¸p ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: * C¸c b­íc: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) vµ f(x) a; g(x) a. ( a lµ h»ng sè ) NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi: f(x) = g(x) = a. - BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x) = m (m lµ h»ng sè) mµ ta lu«n cã h(x) m hoÆc h(x) m , th× nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu "=" x¶y ra. - ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc Bunhia, C«si.... vµ bÊt ®¼ng thøc: a,b>0; a + b = DÊu "=" x¶y ra khi a = b. VÝ dô: Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) Gi¶i: (1) Do x = -1 VËy (1) cã 1 nghiÖm x = -1. Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2) Gi¶i: §K: x (2) x = -1 (TM) VËy ph­¬ng tr×nh (2) cã 1 nghiÖm lµ x = -1 Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (3) Gi¶i: §k x (3) x = 2 (TM) VËy (3) cã 1 nghiÖm lµ x = 2. Bµi 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (4) Gi¶i: (4) (§K x) Ta cã VT ; VP 5 DÊu "=" x¶y ra VËy (4) cã 1 nghiÖm lµ x = -1. BÇi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Gi¶i: (5) Ta cã VT ; VP DÊu "=" x¶y ra VËy (5) cã nghiÖm lµ x = -1. Bµi 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (6) Gi¶i: (6) Ta cã VT ; VP DÊu "=" x¶y ra VËy (6) cã 1 nghiÖm x = 3. Bµi 7: (7) Gi¶i: (7)Û VT + = VP = dÊu "=" x¶y ra Û ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra. VËy (7) v« nghiÖm. Bµi 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (8) Gi¶i: §K ¸p dông B§T CoSi cho 2 sè kh«ng ©m ta cã: VT = Nªn ta cã: VËy (8) cã 1 nghiÖm lµ x = 2. Bµi 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (9) Gi¶i: §K: do ¸p dông B§T Cosi cho 2 sè kh«ng ©m (2x+1) vµ (x2-x+1) Ta cã: VT = DÊu "=" x¶y ra VËy (9) cã 2 nghiÖm lµ x1=0 vµ x2=3 Bµi 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (10) Ta cã: x2 - 2x + 2 = (x-1)2 +1 > 0 víi mäi x ¸p dông B§T Cosi cho 2 sè d­¬ng ta cã: VP = DÊu "=" x¶y ra VËy (10) cã 1 nghiÖm lµ x = 1,5. Bµi 11: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (11) Gi¶i: §K Víi a,b >0 ta cã DÊu "=" x¶y ra Do ®ã VT = VP = DÊu "=" x¶y ra vËy (11) cã nghiÖm lµ x = 6. Bµi 12: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (12) Gi¶i: §K ¸p dông : víi mäi a,b > 0 ta cã Nªn VT = VP = DÊu "=" x¶y ra VËy (12) cã 1 nghiÖm lµ x = 3. Bµi 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (13) Gi¶i: (13) §K + NÕu 1 - 2x > 0 VT > VP PT v« nghiÖm. + NÕu 1 - 2x < 0 VT< VP PT v« nghiÖm. + NÕu 1 - 2x = 0 khi ®ã VT = VP VËy (13) cã 1 nghiÖm lµ . Bµi 14: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (14) Gi¶i: §K (14) Û Û ¸p dông B§T dÊu "=" x¶y ra Û a.b Ta cã VT = DÊu "=" x¶y ra Û VËy (14) cã nghiÖm mäi x sao cho Bµi 15: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (15) Gi¶i: §K ; y ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c« si cho 2 sè kh«ng ©m ta cã: VT DÊu "=" x¶y ra VËy ph­¬ng tr×nh (15) cã 1 cÆp nghiÖm (x,y) = (2;2). Bµi 16: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (16) Gi¶i: ¸p dông B§T Bunhiacopxki cho 4 sè ta cã: DÊu "= " x¶y ra ad = bc Víi a = 2; b = 3; c = x2 - 3x +6; d = x2 - 2x +7 . Ta cã (22 + 32) DÊu "= " x¶y ra 3(x2-3x+6) = 2(x2-2x+7) x2-5x+4 = 0 x = 1 hoÆc x = 4 VËy (16) cã hai nghiÖm x1 =1; x2 = 4 Bµi 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (17) Gi¶i : T­¬ng tù bµi 16. Víi a = 1; b = 3; c = x2 +2; d = x3 + 3x - 3 Ta cã: (12 + 32) DÊu "=" x¶y ra x-1 = 2 x = 3 VËy (17) cã nghiÖm x = 3. 3. Ph­¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt: * C¸c b­íc: ë mét sè ph­¬ng tr×nh ta cã thÓ thö trùc tiÕp ®Ó thÊy nghiÖm cña chóng, råi t×m c¸ch chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c n÷a. * VÝ dô: Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) Gi¶i: + NhËn thÊy x = 0 lµ nghiÖm cña (1) v× 23 + 30 = 9 + NÕu x > 0 ta cã Do ®ã x 0 kh«ng thÓ lµ nghiÖm cña (1). VËy (1) cã 1 nghiÖm lµ x = 0. Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: víi x > 0 . (2). Gi¶i: +) NhËn thÊy x = 1 lµ nghiÖm cña (*) +) XÐt x > 1 ta cã > 1x = 1 vµ x2 > x nªn x - x2 < 0 do ®ã VËy x >1 kh«ng lµ nghiÖm cña (2) + )XÐt 0 < x < 1 ta cã nªn > > 0< x <1 kh«ng lµ nghiÖm cña (2) VËy (2) cã 1 nghiÖm x =1 Bµi 3 : Gpt (3) Gi¶i : §K + NhËn thÊy x = 1 lµ 1 nghiÖm cña pt v× 1 + + XÐt x >1 Ta cã pt kh«ng cã nghiÖm x > 1 + XÐt 0<x < 1 Ta cã pt kh«ng cã nhiÖm 0 <x <1 VËy (3) cã 1 nghiÖm x = 1 Bµi 4 : Gpt : (4) Gi¶i : §K x +) NhËn thÊy : x = 2 lµ nghiÖm cña (4) v× : + +) XÐt x > 2 > + pt kh«ng cã nghiÖm x >2 +) XÐt < + pt kh«ng cã nghiÖm VËy (4) kh«ng cã nghiÖm x = 2 Bµi 5 : Gi¶i pt (5) Gi¶i (5) (*) + NhËn thÊy x = 2 lµ nghiÖm cña (*) v× + XÐt x >2 ta cã VP = < =1 pt kh«ng cã nghiÖm x > 2 + XÐt x =1 pt kh«ng cã nghiÖm x <2 VËy pt (5) cã nghiÖm x =2 Bµi 6 : Gi¶i pt 3x + 4x = 5 x (6) Gi¸i (6) (*) + NhËn thÊy x = 2 lµ nghiÖm cña (*) v× + XÐt x >2 ta cã VT = < = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña pt VËy (6) cã nghiÖm x = 2 Bµi 7 : Gi¶i pt 3x (1 - 4x) = 4x (7) Gi¶i (7) (*) + NhËn thÊy x = -1 lµ nghiÖm cña (*) V× + XÐt x > -1 ta cã : kh«ng lµ nghiÖm cña pt + XÐt x <-1 ta cã kh«ng lµ nghiÖm cña pt VËy (7) cã 1 nghiÖm x =1 Bµi 8 : Gi¶i pt 2x+3x +5x-1 = 21-x +31-x+51-x (8) Gi¶i (8) +)NhËn thÊy lµ nghiÖm cña (8) +) XÐt 22x -1 > 1 33x-1>1 52x-1>1 VT > 0 pt kh«ng cã nghiÖm x > +) XÐt x < 22x -1 < 1 33x-1 <1 52x-1 <1 VT < 0 pt kh«ng cã nghiÖm x < Bµi 9 : Gi¶i pt (9) Gi¶i (9) +) NhËn thÊy x =3 hoÆc x =4 lµ nghiÖm cña pt (*) +) XÐt x 1 VT >1 pt kh«ng cã nghiÖm sao cho x <3 +) XÐt 3 <x <4 0 < x -3 < 1 0 < 4 - x <1 0 < x - 3 <1 0 < 4 - x < 1 0<( 4 - x)1995 <1 Do ®ã (x - 3)1994 < x -3 (4 - x)1995 < 4 - x < x -3 + 4 -x = 1 pt kh«ng cã nghiÖm sao cho 3 < x <4 +) XÐt x > 4 x -3 > 1 >1 pt kh«ng cã nghiÖm x > 4 VËy (9) cã 2 nghiÖm x1 = 3 vµ x2 = 4 Bµi 10 : Gi¶i pt (10) Gi¶i (10) +) NhËn thÊy x =2; x =3 lµ nghiÖm cña (10) +) XÐt x 1 pt kh«ng cã nghiÖm x sao cho x <2 +) xÐt 2 < x < 3 ta cã 0 < x -2 < 1 0 < 3 -x <1 (x -2)2000 < x -2 (3 -x) 2001 < 3 - x pt kh«ng cã nghiÖm sao cho 2 < x <3 VËy (10) cã 2 nghiÖm x1 = 2; x2 = 3 4. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh * C¸c b­íc : - T×m ®k tån t¹i cña pt - BiÕn ®æi pt ®ã xuÊt hiÖn nh©n tö chung - §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®­a viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh vÒ viÖc gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh quen thuéc. * VÝ dô : Bµi 1 : Gi¶i pt (1) Gi¶i : §K x +10 Ta cã : §Æt u 0 0 Ta cã : u2 - v2 = 2x += 2x + = 2 u + v = 2+1 VËy (1) trë thµnh u2 - v2 = 2 u + v = 2 u, v 0 Ta cã hÖ = x +1 (x+1) - - 2 = 0 x+1 = 4 x =3 (tháa m·n) lo¹i VËy (1) cã 1 nghiÖm x = 3 Bµi 2 : Gpt (2) Gi¶i : §K §Æt = >0 Ta cã hÖ pt (TM) ( lo¹i) VËy pt (2) cã nghiÖm Bµi 3 : Gi¶i pt 2 - x2 = (3) Gi¶i : §K - §Æt y = x = 2 - y2 Ta cã hÖ pt y2 - x2 = y - x (y - x) (y+x -1) = 0 (y - x) (y+x -1) = 0 + Thay y = x vµo (1) ta cã 2 - x2 = y x2 +x -2 = 0 (TM) (Lo¹i) + Thay y = 1 +x vµo (1) ta cã 2 - x2 = 1+x x2 - x -1 = 0 ; (Lo¹i) (TM) VËy (3) cã 2 nghiÖm x1 = 1; Bài 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (4) §K: hoÆc Gi¶i: §Æt 5 - x = t2 x = 5- t2. Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: (2) (1) x2 - t2 = t + x *) Thay -x = t vµo (1) ta cã x2 - 5 = -x vµ x < 0 (lo¹i) (TM) *) Thay t = x - 1 vµo (1) ta cã x2 - 5 = x - 1 vµ x > 1 (TM) (lo¹i) VËy PT (4) cã 2 nghiÖm lµ: Bµi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (5) Gi¶i: §Æt Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: (1) (2) Do x - t = 0 x = t Thay x = t vµo (1) ta cã ph­¬ng tr×nh x3 + 1 = 2x x3 - 2x +1 = 0 (x - 1) (x2 + x - 1) = 0. VËy (5) cã 3 nghiÖm lµ: x1 = 1; Bµi 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (7) Gi¶i: §Æt ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ta ®­îc: ; ; VËy ph­¬ng tr×nh (6) cã hai nghiÖm lµ : x1 = 2 ; x2 = -2 Bµi 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (7) Gi¶i: §Æt ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: (2) (1) thay vµo (1): Do ®ã: Ta cã: VËy (7) cã 1 nghiÖm lµ x = 0. Chó ý: §èi víi ph­¬ng tr×nh cã d¹ng Ta th­êng ®Æt ; khi ®ã ta cã hÖ : Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc U vµ V tõ ®ã ta t×m ®­îc x. Bµi 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (8) Gi¶i: §K §Æt: ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Bµi 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (9) Gi¶i: §Æt ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: lµ nghiÖm cña PT : ; *) NÕu PT v« nghiÖm *) NÕu do ®ã: *) NÕu khi ®ã Bµi 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (10) Gi¶i: §Æt ; ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Ta cã: VËy PT (10) cã hai nghiÖm x1 = -61; x2 = 30. *- Mét sè bµi tËp tù luyÖn: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 1) x3 - 7x - 6 = 0 2) x3 - 6x2 +11x - 6 = 0. 3) 4) 6x + 72 = 8. 3x + 9. 2x 5) 64x3 = (x - 2)3 + (3x + 2)3 6) 7) 8) 16x +7.4x +5 =3.2x+2 9) 10) 2x3 + 5x + 1960 = 11) víi n N; n 2. 12) 36(x2 + 11x + 30) ( x2 + 11x +31 ) = (x2 + 11x + 12) (x2 + 9x + 20) (x2 + 13x +42) 13) x4 - 8x -7 = 0 14) (ac - a)2(xc - x +1)3 = (ac - a +1)3 (xc - x)2 a lµ mét sè cho tr­íc tuú ý 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) C. KÕt qu¶ thùc hiÖn cã so s¸ch ®èi chøng: §· tiÕn hµnh kiÓm tra víi hai ®èi t­îng häc sinh tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy lµ häc sinh giái líp 9 Tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi Sè l­îng TØ lÖ % Sè l­îng TØ lÖ % Giái 1 3,3% 10 33,3% Kh¸ 3 10% 14 46,7% TB 11 36,7% 6 20% D­íi TB 15 50% 0 Nh­ vËy sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi kÕt qu¶ häc sinh n¾m ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc vµ ¸p dông lµm rÊt tèt bµi kiÓm tra. D. Tµi liÖu tham kh¶o: 1. S¸ch gi¸o khoa §¹i sè 8, 9. 2. S¸ch bµi tËp ®¹i sè 8,9. 3.S¸ch ph¸t triÓn vµ n©ng cao 8,9. 4. S¸ch n©ng cao c¸c chuyªn ®Ò líp 8,9. 5. Chuyªn ®Ò vÒ ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. 6. Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông trong ®¹i sè... ----------------------------------------- E. Nh÷ng kiÕn nghÞ sau qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi: Lµ gi¸o viªn trÎ, kinh nghiÖm gi¶ng d¹y vµ kiÕn thøc tÝch luü ch­a ®­îc nhiÒu, tµi liÖu tham kh¶o cßn h¹n chÕ, mong Héi ®ång khoa häc ®ãng gãp ý kiÕn bæ sung cho ®Ò tµi ®­îc tèt h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Thanh Cao, Ngµy 15 th¸ng 4 n¨m 2010 T¸c gi¶ NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ ý kiÕn cña héi ®ång khoa häc nhµ tr­êng HiÖu tr­ëng Bïi ThÞ Kim Anh

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docHướng dẫn học sinh giải phương trình không mẫu mực.doc
Luận văn liên quan