Luận văn Sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến

Trong luận văn, chúng tôi đã sử dụng các bất biến tôpô tuyến tính được đưa ra và nghiên cứu bởi D.Vogt vào đầu những năm 80 để nghiên cứu về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong trường hợp hữu hạn chiều. Chúng tôi cũng đã sử dụng một cách hiệu quả lý thuyết về các bó coherent để hoàn thiện các kết quả nghiên cứu của mình nhằm đơn giản hóa các giả thiết về các không gian Stein bất khả quy địa phương. Các kết quả chính mà chúng tôi đã nghiên cứu được là tìm các điều kiện cần và đủ cho K và Z trong đó K là một tập con compact trong một không gian Stein và Z là một không gian Stein sao cho mọi hàm chỉnh hình theo từng biến trên K × Zđều có thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận W × Z của K × Z. Như vậy chúng tôi đã nghiên cứu được vấn đề đã được quan tâm từ lâu bởi nhiều tác giả nhờ công cụ bất biến tôpô tuyến tính. Tuy nhiên vì việc nghiên cứu và trình bày luận văn có giới hạn nên chúng tôi không đi sâu nghiên cứu trường hợp sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong vô hạn chiều. Đây cũng là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức. Do đó nếu có điều kiện nghiên cứu tiếp theo, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong vô hạn chiều sử dụng công cụ bất biến tôpô tuyến tính.

pdf59 trang | Chia sẻ: builinh123 | Ngày: 03/08/2018 | Lượt xem: 79 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
mở U của ob và f chỉnh hình trên U , nếu 0f = trên B U∩ thì 0f ≡ ), khi đó mỗi hàm chỉnh hình theo từng biến trên X bị chặn địa phương thì chỉnh hình trên D G× . Trong luận văn này chủ yếu nghiên cứu hàm chỉnh hình theo từng biến theo nghĩa như sau: Cho K là một tập hợp compact trong không gian phức X và Z là một không gian phức. Với một hàm :f K Z× → ta đặt: ( ) ( ),xf z f x z= với z Z∈ Và ( ) ( ),zf x f x z= với x K∈ . Hàm f được gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu :xf Z → và :zf K → chỉnh hình với mọi x K∈ và z Z∈ tương ứng. Ở đây, một hàm trên K được gọi là chỉnh hình nếu nó có thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận của K trong X . 2.1.5 Hàm đa điều hòa dưới. Hàm điều hòa: Một hàm h giá trị thực trên miền G ⊂  có đạo hàm riêng cấp hai liên tục được gọi là điều hòa nếu 2 0h z z ∂ ≡ ∂ ∂ trên G . Hàm { }: ,h G → −∞ +∞ được gọi là nửa liên tục trên nếu sup ( ) ( )lim o o z z h z h z → ≤ với mọi oz G∈ . Cho G ⊂  là một miền. Một hàm { }:s G → ∪ −∞ được gọi là điều hòa dưới nếu những điều sau đây đúng: 1. s nửa liên tục trên G . 2. Nếu D là một đĩa compact tương đối trong G , :h D → liên tục, Dh điều hòa, và h s≥ trên D∂ khi đó h s≥ trên D . Hàm đa điều hòa dưới: Cho nG ⊂  là một miền và ( ),a w là một vectơ tiếp xúc tại a G∈ . Ta định nghĩa hàm chỉnh hình , : na wα →  như sau: ( ), :a w a wα ζ ζ= + . Một hàm nửa liên tục trên { }:p G → ∪ −∞ được gọi là đa điều hòa dưới trên G nếu với mỗi vectơ tiếp xúc ( ),a w trong G , hàm ( ) ( ) ( ), ,:a w a wp p p a wζ α ζ ζ= = + là điều hòa dưới trên thành phần liên thông ( ),G a w của tập ( )1,a w Gα − ⊂  chứa 0 . Các tính chất của hàm đa điều hòa dưới: 1. Tính đa điều hòa dưới là một tính chất địa phương. 2. Nếu ( )f H G∈ thì log f là đa điều hòa dưới. 3. Nếu 1 2,p p là đa điều hòa dưới thì 1 2p p+ cũng là đa điều hòa dưới. 4. Nếu p là đa điều hòa dưới và 0c > thì .c p là đa điều hòa dưới. 5. Nếu ( )vp là một dãy tăng đơn điệu các hàm đa điều hòa dưới thì : lim vvp p→∞= là đa điều hòa dưới. 6. Một một hàm đa điều hòa dưới p đạt giá trị lớn nhất tại một điểm thuộc miền G thì p là hằng số trên G . 7. Cho 1 nG ⊂  và 2 mG ⊂  là các miền, 1 2:F G G→ là một hàm chỉnh hình và 2 1( , )g C G∈  là đa điều hòa dưới thì khi đó g F là đa điều hòa dưới trên 1G . Một hàm ( )2 ,f C G∈  được gọi là đa điều hòa dưới nghiêm ngặt nếu ( ) 2 , 0v v v f a w w z z µ µµ ∂ > ∂ ∂∑ với ,a G w∈ là vectơ tiếp xúc tại , 0a w ≠ . Hàm đa điều hòa dưới yếu theo nghĩa Zeriahi [22]: Cho X là một không gian phức và [ ): ,Xϕ → −∞ +∞ . Ta nói rằng ϕ là đa điều hòa dưới nếu ϕ là một hàm nửa liên tục trên và với mỗi a X∈ và với mỗi phép nhúng địa phương h của một lân cận của a trong X vào một lân cận W của ( )h a trong n , tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ψ trên một lân cận của ( )h a chứa trong W sao cho hψ  trùng với ϕ trên một lân cận của a . Nói cách khác, ϕ được gọi là hàm đa điều hòa dưới trên X nếu ϕ nửa liên tục trên và là hàm đa điều hòa dưới trên ( )R X , quỹ tích chính quy của X . 2.1.6 Thác triển chỉnh hình. Định lý: Giả sử G là tập con mở trong n ( )1n > và K là tập compact trong G với \G K liên thông. Khi đó mọi hàm chỉnh hình f trên \G K có thể thác triển duy nhất tới hàm chỉnh hình fˆ trên G . Chứng minh: Ta sử dụng bổ đề sau: Giả sử ( ) , 1, , 0p nj of C j n p∈ = > thỏa mãn 0 , 1,j k k j f f j k n z z ∂ ∂ − = ∀ = ∂ ∂ , ở đây ( )p noC  ký hiệu không gian các hàm lớp pC trên n với giá compact. Khi đó tồn tại hàm ( )p nou C∈  thỏa mãn u f∂ = . Chọn ( )oC Gϕ ∞∈ sao cho 1ϕ = trên một lân cận của K trong G . Xác định ( )1 ê \ 0 ê f tr n G K F tr n K ϕ−=   Khi đó ( )F C G∞∈ . Ta sẽ tìm ( )ng C∞∈  sao cho H F g= − là thác triển chỉnh hình của f tới G . Trước hết để H chỉnh hình ta phải có 0H F g∂ = ∂ − ∂ = Hay ( )1g F f fϕ ϕ∂ = ∂ = ∂ − = − ∂ . Xét 1 dạng vi phân α loại (0,1) trên n cho bởi ( ) ê \ 0 ê \n f tr n G K tr n K G ϕ α − ∂=  ∪  Rõ ràng ( )noCα ∞∈  . Theo bổ đề trên tồn tại ( )nog C∞∈  để g α∂ = . Khi đó H F g= − chỉnh hình trên G . Hơn nữa g bằng không trên thành phần liên thông không bị chặn của phần bù của suppϕ . Biên của tập này thuộc \G K . Vậy tồn tại tập mở khác rỗng trong \G K ở đó 0g = và f F= . Vậy H f= trên một tập mở nào đó của \G K . Do \G K liên thông nên H f= trên \G K . 2.1.7 Miền chỉnh hình và lồi chỉnh hình. Định nghĩa: Cho nG ⊂  là một miền, f chỉnh hình trong G và oz G∈∂ . Hàm f được gọi là hoàn toàn kì dị tại oz nếu với mỗi lân cận liên thông ( ) noU U z= ⊂  và mỗi thành phần liên thông C của U G∩ không có hàm chỉnh hình g trên U sao cho C Cg f= . Định nghĩa: Một miền nG ⊂  được gọi là chỉnh hình yếu nếu với mỗi điểm z G∈∂ có một hàm ( )f H G∈ hoàn toàn kì dị tại z . Miền G được gọi là miền chỉnh hình nếu có một hàm ( )f H G∈ hoàn toàn kì dị tại mỗi điểm z G∈∂ . Định nghĩa: G là một miền trong n và K là một tập con của G ( ) ( )ˆ ˆ : ,supG K K K z G f z f f H G   = = ∈ ≤ ∀ ∈    Tập ˆGK gọi là bao lồi chỉnh hình của K trong G . Tính chất: Cho nG C⊂ là một miền và 1 2, ,K K K là các tập con của G . Khi đó: 1. ˆK K⊂ . 2. Kˆ là đóng trong G . 3. ˆˆ ˆK K= . 4. Nếu 1 2K K⊂ thì 1 2ˆ ˆK K⊂ . 5. Nếu K bị chặn thì Kˆ cũng bị chặn. Định nghĩa: Miền nG C⊂ được gọi là lồi chỉnh hình nếu K compact tương đối trong G suy ra Kˆ compact tương đối trong G . Cho nG C⊂ là một miền. Nếu G lồi chỉnh hình, ta muốn xây dựng một hàm chỉnh hình trong G hoàn toàn kì dị tại mỗi điểm biên. Ta sẽ sử dụng “ vét cạn chuẩn tắc”. Định nghĩa: Một vét cạn chuẩn tắc của G là một dãy ( )vK các tập con compact của G sao cho: 1. vK compact tương đối trong ( )1vK +  với mỗi v . 2. 1v vK G∞=∪ = . Định lý: Nếu G lồi chỉnh hình thì nó là một miền chỉnh hình. Chứng minh: Cho ( )vK là một vét cạn chuẩn tắc của G với ˆ vK K= và chọn dãy ( )λ µ ∈ và ( )zµ trong G sao cho ( ) ( )1z K Kµ λ µ λ µ+∈ − . Ta giả sử rằng với mỗi điểm oz G∈∂ mỗi lân cận mở liên thông ( )oU U z= và mỗi thành phần liên thông Q của U G∩ có vô hạn zµ trong Q . Bây giờ cho f chỉnh hình trong G và không bị chặn trên { }: :D zµ µ= ∈ . Rõ ràng f hoàn toàn kì dị tại mỗi điểm oz G∈∂ 2.1.8 Hàm vét cạn và miền giả lồi. Định nghĩa: Cho nG C⊂ là một miền, một hàm liên tục khác hằng số :f G → được gọi là một hàm vét cạn đối với G nếu với ( )supGc f< tất cả các tập ( ) ( ){ }: :cG f z G f z c= ∈ < là compact tương đối trong G . Định nghĩa: Một miền nG C⊂ được gọi là giả lồi nếu có một hàm vét cạn C∞ đa điều hòa dưới nghiêm ngặt trên G . 2.2 Tập giải tích: 2.2.1 Tập con giải tích. Cho nB ⊂  là một miền bất kì(không cần liên thông). Nếu U B⊂ là một tập con mở, và 1,.., qf f là các hàm chỉnh hình trên U thì tập không chung của chúng được kí hiệu là: ( ) ( ) ( ){ }1 1,.. : ... 0q qN f f z U f z f z= ∈ = = . Định nghĩa: Một tập A B⊂ được gọi là giải tích trong B nếu với mỗi điểm oz B∈ có một lân cận mở ( )oU U z B= ⊂ và các hàm chỉnh hình 1,.., qf f trên U sao cho ( )1,.., qU A N f f∩ = . Như vậy các tập giải tích được định nghĩa như trên là các tập đóng. Ví dụ: Tập ∅ và tập B là giải tích trong B . B là tập không của hàm không trên B , ∅ là tập không của hàm hằng 1f = . Nếu 1 2,A A là các tập giải tích trong B thì 1 2 1 2,A A A A∪ ∩ cũng là các tập giải tích trong B . Cho nG ⊂  là một miền và z G∈ . Nếu 1,.., qf f là các hàm chỉnh hình trong lân cận của z thì ta định nghĩa: ( ) ( ) ( )11 ,..,,.., : qz q f frk f f rkJ z= ( ( ) ( )1 ,.., qf fJ z là ma trận Jacobi của f tại z ). Một tập giải tích A G⊂ được gọi là chính quy đối chiều q tại z A∈ nếu có một lân cận ( )U U z G= ⊂ và các hàm chỉnh hình 1,.., qf f trên U sao cho: 1. ( )1,.., qU A N f f∩ = . 2. ( )1,..,z qrk f f q= . Số n q− được gọi là chiều của A tại z . Tập A được gọi là kì dị tại z nếu nó không chính quy tại điểm đó.Tập các điểm chính quy của A được kí hiệu là Re ( )g A hoặc ( )R A , tập các điểm kì dị được kí hiệu bởi ( )Sing A hoặc ( )S A . Rõ ràng ( )R A là mở trong A do đó ( )S A A⊂ là tập đóng. 2.2.2 Thành phần bất khả quy. Giả sử nG ⊂  là một miền và A G⊂ là một tập con giải tích. Ta nói A bất khả quy nếu tập những điểm chính quy ( )R A A⊂ là liên thông. Nếu một tập giải tích A là hợp của hai tập con giải tích thật sự thì A được gọi là khả quy, ngược lại là bất khả quy. Cho ,A B G⊂ . B được gọi là thành phần bất khả quy của A nếu và chỉ nếu: i) ,B A B∅ ≠ ⊂ là bất khả quy . ii) * , *B B A B⊂ ⊂ bất khả quy thì *B B= . Ta có một số các kết quả sau đây: Mỗi tập giải tích A có một sự phân hoạch duy nhất thành một số đếm được các tập con giải tích bất khả quy iA . Cho ,A B G⊂ là các tập giải tích bất khả quy. Nếu có một tập mở U G⊂ sao cho A U B U∩ ⊂ ∩ thì A B⊂ . Cho ,A B G⊂ là các tập giải tích bất khả quy. Nếu có một điểm oz A B∈ ∩ và một lân cận mở ( )oU U z G= ⊂ với A U B U∩ = ∩ thì A B= . Định lý: Cho ,A B G⊂ là các tập con giải tích với A B⊂ . Nếu A bất khả quy thì A được chứa trong thành phần bất khả quy nào đó của B . Chứng minh: Cho B Bλ λ∈Λ= ∪ là phân hoạch duy nhất thành những thành phần bất khả quy. Ta chọn một tập mở U G⊂ và tập hữu hạn { }1,.., lλ λ ⊂ Λ sao cho U A∩ ≠∅ là bất khả quy và ( ) ( )1 ... lU B U B U Bλ λ∩ = ∩ ∪ ∪ ∩ . Thì ( ) ( )1 ... lU A U A B U A B U A Bλ λ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∪ ∪ ∩ ∩ . Vì vậy có một chỉ số j sao cho U A∩ = j U A Bλ∩ ∩ vì vậy jU A U Bλ∩ ⊂ ∩ suy ra jA Bλ⊂ . 2.2.3 Quỹ tích kì dị. Định lý: Tập ( )S A những điểm kì dị của một tập giải tích A là một tập giải tích. Chứng minh: Giao của hai thành phần bất khả quy của A thuộc ( )S A . Hợp S của tất cả các phần giao này là một tập giải tích. Giả sử oz là một điểm trong thành phần bất khả quy 'A của A và dim ( )'A n d= − . Khi đó có một lân cận ( )oU U z G= ⊂ với các hàm chỉnh hình 1,..., Nf f triệt tiêu trên 'A U∩ sao cho Jacobi của chúng có hạng bằng d tại mỗi điểm chính quy. Đặt *S là tập giải tích của tất cả những điểm của 'A U∩ ở đó tất cả các định thức con d d× của Jacobi triệt tiêu. Rõ ràng *S được chứa trong ( )'S A U∩ . Mặt khác, tại điểm bất kì của ( )'S A U∩ , Jacobi của 1,..., Nf f không thể có hạng d . Vì vậy ( )' *S A U S∩ = và ( )'S A là giải tích trong G . Hợp của S và ( )'S A với tất cả các thành phần bất khả quy 'A là tập ( )S A . Nó là giải tích vì hợp này là hữu hạn địa phương. Tập ( )S A được gọi là quỹ tích kì dị của A . 2.3 Các khái niệm trong đa tạp phức. 2.3.1 Hàm chỉnh hình. Cho X là một đa tạp phức n chiều. Một hàm phức f trên tập con mở B X⊂ được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi p B∈ có một hệ tọa độ ( ),U ϕ tại p sao cho ( )1 :f U Bϕ ϕ− ∩ →  là chỉnh hình. Định nghĩa chỉnh hình không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Ta kí hiệu tập hợp của những hàm chỉnh hình trên B là ( )H B . Một ánh xạ song chỉnh hình :F X Y→ là một ánh xạ ( tôpô) sao cho F và 1F − là chỉnh hình. Nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình giữa X và Y thì những đa tạp này được gọi là tương đương đẳng cấu chỉnh hình và ta viết là X Y≅ . 2.3.2 Vành các mầm hàm. Cho X là một đa tạp phức n chiều và x X∈ . Hai hàm ,f g được định nghĩa gần x được gọi là tương đương tại x nếu tồn tại một lân cận ( )U U x= với U Uf g= . Lớp tương đương của f tại x được gọi là mầm hàm của f tại x . Ta kí hiệu là xf và tập hợp tất cả các mầm tại x là xO . Cố định một hệ tọa độ phức : nU Bϕ → ⊂  tại x . Ta có thể đồng nhất tập xO với vành nH của những chuỗi lũy thừa hội tụ bởi xf  chuỗi Taylor của 1f ϕ− tại ( )xϕ . Vì vậy xO có cấu trúc của một  -đại số địa phương. Một phần tử xf ∈ xO là đơn vị khi và chỉ khi ( ) 0f x ≠ . 2.3.3 Mặt Riemann. Một mặt Riemann (trừu tượng) được định nghĩa là một đa tạp phức liên thông một chiều. Ví dụ: mặt phẳng phức  và mỗi miền trong  là những mặt Riemann. 2.3.4 Tập con giải tích và siêu mặt giải tích. Cho X là một đa tạp phức n chiều. Một tập con A X⊂ được gọi là giải tích nếu với mỗi điểm p X∈ có một lân cận mở (liên thông) ( )U U p= và hữu hạn các hàm chỉnh hình 1,.., mf f trên U sao cho ( ){ }: 0, 1,..,iU A q U f q i m∩ = ∈ = = . Ta gọi A là một siêu mặt giải tích nếu ta luôn lấy 1m = . 2.4 Phủ giải tích nhánh. 2.4.1 Ánh xạ riêng. Cho :f X Y→ là một ánh xạ liên tục giữa các không gian Hausdorff. Ánh xạ f được gọi là đóng nếu ảnh của tập con đóng trong X là đóng trong Y . Nó gọi là riêng nếu ảnh ngược của tập con compact của Y là compact. 2.4.2 Ánh xạ hữu hạn. Ánh xạ liên tục :f X Y→ giữa các không gian Hausdorff compact địa phương được gọi là hữu hạn nếu nó đóng và mỗi thớ chỉ có hữu hạn các phần tử. Rõ ràng mỗi ánh xạ hữu hạn là riêng. Ngược lại nếu một ánh xạ riêng chỉ có những thớ rời rạc thì nó là hữu hạn. 2.4.3 Phủ giải tích nhánh. Một ánh xạ chỉnh hình : X Yπ → giữa các đa tạp phức n chiều được gọi là phủ (giải tích) nhánh nếu những điều sau đây đúng: 1. Ánh xạ π là mở, hữu hạn va toàn ánh. 2. Có một tập con đóng D Y⊂ với những tính chất sau đây: (a) Với mỗi y Y∈ có một lân cận mở ( )U U y Y= ⊂ và một tập con giải tích trừu mật khắp nơi A U⊂ với D U A∩ ⊂ . (b) ( )1: \ \X D Y Dπ π − → là song chỉnh hình địa phương. Tập D được gọi là quỹ tích tới hạn. Một điểm x X∈ được gọi là điểm nhánh nếu π không là song chỉnh hình địa phương tại x . Tập B những điểm nhánh được gọi là quỹ tích nhánh. Phủ được gọi là không nhánh nếu B là rỗng. 2.5 Lý thuyết Stein. Một trong những kết quả quan trọng mà chúng tôi trình bày trong chương 4 nói về các hàm chỉnh hình theo từng biến trên K Z× với Z là một đa tạp Stein. Do đó để chuẩn bị cho quá trình nghiên cứu, trong phần này, chúng tôi giới thiệu một ít về đa tạp Stein. 2.5.1 Đa tạp Stein. Định nghĩa: Một đa tạp phức X được gọi là có thể mở rộng chỉnh hình nếu với mỗi điểm ox X∈ có các hàm chỉnh hình 1,.., Nf f trên X sao cho ox là cô lập trong tập ( ) ( ) ( ){ }1 1,.., : ... 0N NN f f x X f x f x= ∈ = = = . Chú ý rằng: nếu X là tách được chỉnh hình nghĩa là với , ,x y X x y∈ ≠ , tồn tại một hàm chỉnh hình f trên X với ( ) ( )f x f y≠ thì khi đó nó có thể mở rộng chỉnh hình. Định nghĩa: Một đa tạp phức X được gọi là lồi chỉnh hình nếu với mỗi tập compact K X⊂ , bao lồi chỉnh hình ( ) supˆ , ( ): : K f f H XK x X f x         ∈= ∈ ≤ là một tập con compact của X . Mỗi đa tạp phức compact là lồi chỉnh hình. Một đa tạp phức với cơ sở đếm được là lồi chỉnh hình nếu và chỉ nếu với bất kì tập con rời rạc vô hạn D X⊂ tồn tại một hàm chỉnh hình f trên X sao cho supD f = ∞ . Chứng minh này tương tự như trong n . Định nghĩa: Một đa tạp Stein là một đa tạp phức liên thông có thể mở rộng chỉnh hình và lồi chỉnh hình. Một đa tạp Stein có chiều 0n > không là compact. Theo hướng ngược lại, Behnke và Stein đã chứng minh vào năm 1948: mỗi mặt Riemann không compact là một đa tạp Stein. Với 2n ≥ , một miền nG ⊂  là Stein nếu và chỉ nếu nó là lồi chỉnh hình. 2.5.2 Mệnh đề. Cho :f X Y→ là một ánh xạ chỉnh hình hữu hạn giữa hai đa tạp. Nếu Y là đa tạp Stein thì X cũng là đa tạp Stein. Đặc biệt mỗi đa tạp con đóng của một đa tạp Stein là Stein. Chứng minh: Điều cần thiết là chỉ ra rằng X là lồi chỉnh hình. Lấy K X⊂ là một tập compact khi đó ( )f K là compact . Ta xét điểm ˆx K∈ bất kì. Với ( )g H Y∈ ta có ( )g f H X∈ và ( ) supKg f x g f≤  , vì vậy ( ) ( )f x f K∈ và ^ 1 ( )x f f K−  ∈     . Vì Y là lồi chỉnh hình và f riêng nên ^ 1 ( )f f K−      là compact . Vậy ^ 1ˆ ( )K f f K−  ⊂     là một tập đóng trong một tập compact nên Kˆ là một tập compact. Vì n là Stein, mỗi đa tạp con đóng của n cũng là Stein. 2.5.3 Mệnh đề. Nếu X là một đa tạp Stein và ( )f H X∈ thì ( )\X N f là Stein. Chứng minh: Nếu X là một đa tạp Stein thì ngay lập tức ( )\X N f có thể mở rộng chỉnh hình. Cho D là một tập rời rạc vô hạn trong ( )\X N f . Nếu nó rời rạc trong X suy ra điều phải chứng minh. Nếu nó có điểm tụ ( )ox N f∈ thì 1:g f = là chỉnh hình trên ( )\X N f và không bị chặn trên D . Một trong các kết quả chính về tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến là việc thác triển ánh xạ chỉnh hình. Trong chương 4, chúng tôi xây dựng các điều kiện tương đương về việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có liên quan đến tính chất ( DN ) của các không gian ( )H Z , có đề cập đến những tập đa cực. Vì vậy trong luận văn này, chúng tôi cũng dành một phần để tìm hiểu các tập đa cực . 2.5.4 Tập đa cực. Cho X là một không gian phức, một tập con K của X được gọi là đa cực nếu với mọi x K∈ tồn tại một lân cận U của x và một hàm đa điều hòa dưới ϕ trên U sao cho K Uϕ ∩ = −∞ và ϕ ≠ −∞ trên mọi nhánh bất khả quy của U Trong trường hợp X là một không gian Stein, K X⊂ là một tập đa cực nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ϕ trên X sao cho Kϕ = −∞ và ϕ ≠ −∞ trên mọi nhánh bất khả quy của X [4],[11]. Sử dụng khái niệm tập đa cực, áp dụng kết quả của lý thuyết thế vị, Terada là người cuối cùng đã trả lời câu hỏi được đưa ra bởi Hukuhara ( đã trình bày ở 2.1.4). Định lý ( Terada 1967,1972): Nếu B không đa cực thì khi đó hàm chỉnh hình theo từng biến trên X thì chỉnh hình và ngược lại. 2.5.5 Bó giải tích coherent trên đa tạp Stein. Định nghĩa bó: Cho X và J là hai không gian tôpô ( không cần giả thiết Hausdorff) và cho π là một ánh xạ từ J X→ sao cho : (i) π là ánh xạ từ J lên trên X . (ii) π là một đồng phôi địa phương. Khi đó J được gọi là bó trên X và π được gọi là phép chiếu trên X . Nếu U là một tập con của X , một nhát cắt của J trên U là một ánh xạ liên tục :U Jϕ → sao cho πϕ là đồng nhất trên U . Tập tất cả nhát cắt của J trên U được kí hiệu là ( ),U JΓ . Nếu x X∈ , thì { }1xJ xπ −= được gọi là thớ của J tại x . Ví dụ: Bó A các mầm hàm giải tích trên đa tạp phức Ω là một bó trên Ω . Ta xét những bó thêm vào cấu trúc đại số. Ta nói rằng J là một bó các nhóm giao hoán nếu ( )1xJ xπ −= là một nhóm giao hoán với mỗi x và với bất kì hai nhát cắt ,ϕ ψ của J trên một tập mở U ánh xạ ( ) ( )U x x xϕ ψ∋ → − vào J là một nhát cắt. Tương tự, ta định nghĩa khái niệm bó vành bằng cách đòi hỏi tất cả các phép toán đại số của vành khi áp dụng vào các nhát cắt sẽ cho kết quả là các nhát cắt. Rõ ràng bó A các mầm hàm giải tích trên đa tạp phức là một bó vành. Nếu O là một bó vành trên X , ta định nghĩa một bó O-mođun J là một bó các nhóm giao hoán sao cho xJ là một xO -mođun với mỗi x X∈ và tích của một nhát cắt của O và một nhát cắt của J là một nhát cắt của J . Khi X là một đa tạp phức và O là một bó A các mầm hàm giải tích, ta nói rằng J là một bó giải tích. Định nghĩa: Một bó giải tích J trên đa tạp phức Ω được nói là hữu hạn sinh địa phương nếu với mỗi z∈Ω tồn tại một lân cận ω ⊂ Ω và một số hữu hạn các nhát cắt ( )1,.., ,qf f Jω∈Γ sao cho xJ được sinh bởi ( ) ( )1 ,.., qz zf f với mỗi z ω∈ . Bổ đề: Cho J là một bó giải tích hữu hạn sinh địa phương và nếu 1,.., qf f là các nhát cắt của J trong một lân cận của z sao cho ( ) ( )1 ,.., qz zf f sinh ra zJ thì ( ) ( )1 ,.., qf fζ ζ sinh ra Jζ với mỗi ζ trong lân cận của z . Chứng minh: Cho ( ) ( )1 ,.., rg gζ ζ sinh ra J với mỗi ζ trong lân cận của z . Theo giả thiết tồn tại các hàm giải tích ijc trong một lân cận của z sao cho ( ) ( ) ( ) 1 , 1,..., q i ij jz z z g c f i r= =∑ Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) 1 q i ij jg c fζ ζ ζ= ∑ với mọi ζ trong lân cận của z . Điều này chứng minh bổ đề. Nếu ( )1,..., ,qf f Jω∈Γ trong đó ω là một tập con mở của Ω , khi đó Ker của đồng cấu bó A q ( ) ( )1 1 ,.., q q q j z j zz A g g g f J J⊃ ∋ → ∈ ⊂∑ là một bó con R ( )1,.., qf f của A q trên ω , được gọi là bó quan hệ giữa 1,.., qf f Định nghĩa: Một bó giải tích J trên Ω được gọi là coherent nếu (i) J là hữu hạn sinh địa phương. (ii) Nếu ω là tập con mở của Ω và ( )1,.., ,qf f Jω∈Γ thì bó quan hệ R ( )1,.., qf f là hữu hạn sinh địa phương. Ảnh trực tiếp của một bó: Cho ,X Y là các không gian tôpô và :f X Y→ là một ánh xạ liên tục. Nếu J là một bó trên X . Ảnh trực tiếp *f J là một bó trên Y . Mỗi thớ của nó được xác định như sau: ( ) ( )( )1* limy V yf J J f V − ∋ =  trong đó V chạy khắp các lân cận mở của y Y∈ . Định lý Cartan A: Cho Ω là một đa tạp Stein và J là một bó giải tích coherent trên Ω . Khi đó với mỗi z∈Ω , zA -môđun zJ được sinh bởi những mầm nhát cắt tại z thuộc ( ), JΓ Ω . 2.5.6 Nhóm đối đồng điều với giá trị trong một bó. Cho X là một không gian tôpô, J là một bó các nhóm giao hoán trên X và { }i i IU U ∈= là một phủ mở của X . Nếu p là một số nguyên không âm, ta kí hiệu ( ),..,o ps s s= là một phần tử bất kì thuộc 1pI + , ta đặt ... o ps s s U U U= ∩ ∩ . Một đối dây chuyền của phủ U với giá trị trong J là một ánh xạ gán mỗi 1ps I +∈ một nhát cắt ( ),s sc U J∈Γ sao cho sc là một hàm thay thế của s . Ở đây ta định nghĩa ( ), 0JΓ ∅ = , nhóm giao hoán một phần tử. Tập ( ),pC U J tất cả các p - đối dây chuyền của U với giá trị trong J hiển nhiên là một nhóm giao hoán. Ta định nghĩa một toán tử đối bờ pδ ( ta thường kí hiệu bởi δ ) từ ( ),pC U J vào ( )1 ,pC U J+ như sau: Nếu c∈ ( ),pC U J , thì ( ) ( ) ... ... 1 1 ˆ 0 1 o j p jp p s s ss j c cδ + + = = −∑ , trong đó kí hiệu ˆ js nghĩa là chỉ số js sẽ được bỏ. Từ định nghĩa của δ suy ra rằng 0δ δ = . Ta giới thiệu các khái niệm sau: ( ) ( ){ }, ; , , 0p pZ U J c c C U J cδ= ∈ = là nhóm p - đối chu trình với giá trị trong J và với 1 0C− = . ( ) ( ){ }1, ; ,p pB U J c c C U Jδ −= ∈ là nhóm p -đối bờ. Khi đó pB là nhóm con của pZ . Khi đó ( ) ( ) ( ), , / ,p p pH U J Z U J B U J= được gọi là nhóm p -đối đổng điều của U với giá trị trong J . Nếu c là một 0-đối chu trình thì 1 0 os s c c− = trong 1 1 , os s o U U s s∩ ∀ nghĩa là có một nhát cắt ( ),f X J∈Γ với ss U f c s= ∀ . Do đó ( ) ( ), ,oH U J X J≈ Γ . Định lý Cartan B: Nếu J là một bó giải tích coherent trên đa tạp Stein Ω . Khi đó ( ), 0 0pH J pΩ = ∀ > . 2.6 Không gian giải tích. 2.6.1 Không gian vành. Không gian vành ( ,X XO ) là một không gian tôpô X cùng với một bó vành XO trên X . Bó XO được gọi là cấu trúc bó của X . Một không gian vành địa phương là một không gian vành ( ,X XO ) sao cho tất cả các thớ của XO là những vành địa phương ( nghĩa là chúng có những inđêan cực đại duy nhất). 2.6.2 Không gian giải tích. Một không gian giải tích phức là một sự tổng quát của một đa tạp phức mà cho phép sự có mặt của các điểm kì dị. Không gian giải tích phức là không gian vành địa phương mà nó đẳng cấu địa phương với không gian mẫu, trong đó một không gian mẫu là một tập con mở của quỹ tích triệt tiêu của một tập hữu hạn các hàm chỉnh hình. 2.7 Điểm chuẩn tắc của không gian giải tích và không gian chuẩn tắc. Cho X là một không gian giải tích. Một điểm a X∈ được gọi là chuẩn tắc và ta nói không gian X là chuẩn tắc tại điểm a nếu mỗi hàm chỉnh hình bị chặn trên vết của một lân cận mở của a trên ( )R X mở rộng chỉnh hình qua a . Điều này tương đương với điều kiện mỗi hàm chỉnh hình bị chặn trên \U V trong đó U là một lân cận mở của a và V U⊂ là một tập con giải tích trừu mật khắp nơi mở rộng chỉnh hình trên U . Rõ ràng tất cả các điểm chính quy là chuẩn tắc. Không gian X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu nó chuẩn tắc tại mỗi điểm của nó. 2.8 Chuẩn tắc hóa. Cho X là một không gian giải tích . Chuẩn tắc hóa của không gian X được định nghĩa là một ánh xạ chỉnh hình hữu hạn :Y Xπ → của một không gian giải tích chuẩn tắc Y sao cho tập ( )1 (R Xπ − là trừu mật trong Y và hạn chế ( ) ( )( ) ( )1:R X R X R Xπ π − → là song chỉnh hình. Tính chất: Mỗi chuẩn tắc hóa là toàn ánh. Rõ ràng ta có ( )( ) ( )1 R X R Yπ − ⊂ . Tính bất khả quy của không gian Y là tương đương với tính bất khả quy của không gian X . Ánh xạ đồng nhất của một không gian chuẩn tắc là chuẩn tắc hóa. Nếu { }iG là một phủ mở của không gian X thì π là một chuẩn tắc hóa khi tất cả các ( )1:iG i iG Gπ π − → là các chuẩn tắc hóa. π là một chuẩn tắc hóa, : Z Yτ → và : X Tκ → là các ánh xạ song chỉnh hình của các không gian giải tích khi đó : Z Tκ π τ →  cũng là một chuẩn tắc hóa. Định lý ( về tính duy nhất của chuẩn tắc hóa). Hai chuẩn tắc hóa bất kì của không gian X là đẳng cấu: nếu : , 1, 2i iY X iπ → = là các đẳng cấu thì tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình 1 2:Y Yι → sao cho biểu đồ sau giao hoán 1Y 2Y X Hơn nữa ι là đồng phôi duy nhất với tính chất này. ι 2π 1π Chương 3: CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH. Có nhiều cách để giải bài toán về tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến từ cổ điển đến hiện đại nhưng trong luận văn này, chúng tôi sử dụng các khái niệm bất biến tôpô tuyến tính của D.Vogt. Lý thuyết về các bất biến tôpô tuyến tính được xuất hiện vào những năm 80 của thế kỉ trước và vẫn được phát triển cho đến nay. Đó là các tính chất , , ,...DN LB∞Ω Nội dung của luận văn là sử dụng các khái niệm này để giải các bài toán đặt ra. Do đó chúng tôi trình bày có hệ thống về các bất biến tôpô tuyến tính: 1. Không gian chuỗi lũy thừa. 2. Không gian có tính chất ( )DN . 3. Không gian có tính chất ( )Ω . 4. Một số bất biến tôpô tuyến tính khác. 3.1 Không gian chuỗi lũy thừa. Nếu ( )j jα α ∈=  là một dãy tăng đơn điệu trong [ )0,∞ với lim j jα→∞ = ∞ và { }r∈ ∪ +∞ thì ta định nghĩa ( ) 22 2: : : ,jtr jt j x K x x e t rαα ∈   Λ = ∈ = < ∞ ∀ <    ∑  . ( )r αΛ được trang bị chuẩn ( )t t r< là một không gian Frechet. ( )r αΛ là không gian Schwartz phản xạ. Với t r< , không gian Banach địa phương ( )( )r tαΛ là không gian Hilbert 22 2: : : jtt jt j x K x x e αα ∈   Λ = ∈ = < ∞    ∑  Không gian đối ngẫu của ( )r αΛ có thể được xác định với không gian chuỗi và khi đó ta có * t t− = với t r< . Vì vậy ( ) { }' : ,r ty K t r yαΛ = ∈ ∃ > − < ∞ . Và ( )' kr k t ind αα →∞Λ = Λ trong trường hợp ( )k kt ∈ giảm đơn điệu nghiêm ngặt đến r− . Định nghĩa: ( )r αΛ được gọi là không gian chuỗi lũy thừa loại hữu hạn nếu r < ∞ và loại vô hạn nếu r = ∞ . Dãy α được gọi là dãy mũ. Một vài ví dụ của không gian chuỗi lũy thừa: Ví dụ 1: Ta định nghĩa ( )( ): log js j∞ ∈= Λ  và đạt được 22 2: : ,kjk j s x K x x j k ∈   = ∈ = < ∞ ∀ ∈    ∑   hay ta cũng có : 0,lim k j j s x K x j k →∞   = ∈ = ∀ ∈      . Ví dụ 2: Với n nα = và K =  , ( ) 2 2: , 0nn n x x r rα∞ ∈   Λ = ∈     ∑   đẳng cấu với không gian ( )A  của tất cả các hàm nguyên trên  . Đẳng cấu được cho bởi ( ) ( ): ,T Aα∞Λ →  ( )( ) 1 1 : nn n Tx z x z ∞ − = =∑ . Ví dụ 3: Với n nα = và K =  , ( ) 2 20 : , 1nn n x x r rα ∈   Λ = ∈ < ∞ ∀ <    ∑   đẳng cấu với không gian Frechet ( )A D của tất các hàm chỉnh hình trên hình tròn đơn vị { }: 1D z z= ∈ < . Đẳng cấu này được cho như trong ví dụ 2 bởi T . 3.2 Không gian có tính chất ( )DN . 3.2.1 Định nghĩa. Một không gian Frechet với hệ cơ bản các nửa chuẩn ( ). k k∈ được gọi là có tính chất ( )DN nếu những điều sau đây đúng: Tồn tại p∈ sao cho với mỗi k∈ tồn tại n∈ và 0C > sao cho: 2 k p n x C x x x E≤ ∀ ∈ . Từ điều này suy ra p là một chuẩn. Mỗi chuẩn trên E với tính chất này được gọi là chuẩn trội. 3.2.2 Bổ đề: (1) Tính chất ( )DN là một bất biến tôpô tuyến tính. Nghĩa là nếu E F≅ , E có tính chất ( )DN thì F cũng có tính chất ( )DN . (2) Tính chất ( )DN được thừa hưởng bởi tất cả các không gian con đóng . (3) Mỗi không gian ( )α∞Λ có tính chất ( )DN . Chứng minh: (1) Kí hiệu { }qα α∈ là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của E . { }pβ β∈ là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của F . Do ( )E DN∈ suy ra tồn tại p∈ , với mỗi k∈ , tồn tại n∈ và 1 0C > sao cho ( ) ( ) ( )2 1 .k p nq x C q x q x x E≤ ∀ ∈ . Vì E F≅ nên tồn tại đẳng cấu :A E F→ . Với p∈ , do 1A− liên tục nên tồn tại 1β ∈ và 2 0C > : ( ) ( ) 12p q x C p yβ≤ với ( ) ( ) ( ) 11y A x A x −−= = Với mỗi 2β ∈ do A liên tục nên tồn tại 2α ∈ và 3 0C > sao cho: ( ) ( ) 2 23 p y C q xβ α≤ với ( )y A x= . Suy ra ( ) ( ) 2 2 3 1 p y q x C β α ≤ . Do ( )E DN∈ với p∈ , lấy 3 2α α= tồn tại 4α ∈ và 4 0C > sao cho: ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 pq x C q x q xα α≤ . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 2 4 4 22 3 1 pp y C q x q x C C p y q xC β α β α ≤ ≤ . Do 1A− liên tục, với 4α ∈ tồn tại 3β ∈ và 5 0C > sao cho: ( ) ( ) 4 35 q x C p yα β≤ . Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 2 3 4 2 5p y C C C C p y p yβ β β≤ . Đặt 23 4 2 5D C C C C= . Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2p y Dp y p yβ β β≤ . Vậy ( )F DN∈ . (2) F là không gian con đóng của E , ( )E DN∈ suy ra với mọi x F E∈ ⊂ , tồn tại p∈ , với mỗi k∈ , tồn tại n∈ và 1 0C > sao cho: ( ) ( ) ( )2 1 .k p nq x C q x q x≤ . Nên ( )F DN∈ . (3) Ta sử dụng bất đẳng thức của Holder [15]: Với mọi 1 2 3 :t t t< < 2 13 2 13 1 2 1 3 3 3 t tt t t t t ttx x x xt t t α −− −−≤ ∀ ∈Λ . Vì vậy k∀ ∈ ( ) 1 1 2 2 0 2k k x x x x α∞≤ ∀ ∈Λ . 3.2.3 Bổ đề. Cho khộng gian Frechet E với một hệ cơ bản các nửa chuẩn tăng có tính chất ( DN ) nếu và chỉ nếu điều sau đây đúng: Tồn tại p∈ sao cho với mỗi k∈ và 0 1τ : 1 k p n x C x x x Eτ τ−≤ ∀ ∈ . Chứng minh: ( )⇐ Với 1 2 τ = , điều kiện được cho rõ ràng suy ra E có tính chất ( )DN . ( )⇒ Chọn p∈ sao cho . p là một chuẩn trội. Nếu ,k k p∈ > được cho khi đó ta định nghĩa 1: , :on p n k= = và áp dụng ( )DN một cách lặp lại để tìm 1n nµ µ+ > và 0Cµ > sao cho 1 2 n p n x C x x x E µ µ µ + ≤ ∀ ∈ . Vì . p là một chuẩn, ta có với mỗi m∈ và , 0x E x∀ ∈ ≠ : 1 1 1 1 1 m m m m n n nk p p n p x x xx C C x x x x µ µ µ µ µ µ µ µ µ + + = = =       ≤ ≤ ≤       ∏ ∏ ∏ . Đặt ( ) 1 1 : m mmD Cµµ== ∏ , suy ra 1 111 mm mk p n x D x x x E µ+ − ≤ ∀ ∈ . Nếu bây giờ 0 1τ< < được cho thì ta chọn m∈ với 1 m τ< và có được điều kiện đã cho đúng với k p≤ , :n p= . 3.3 Không gian có tính chất ( )Ω . 3.3.1 Định nghĩa. Không gian Frechet E với hệ cơ bản các nửa chuẩn ( )n n∈ có tính chất ( )Ω nếu điều sau đây đúng: Với mỗi p∈ tồn tại q∈ sao cho với mỗi k∈ tồn tại 0 1θ : * *1 * ' q p k y C y y y Eθ θ−≤ ∀ ∈ . Ở đây ( ){ } { }* : sup : 1k ky y x x= ≤ ∈ ∪ +∞ Với { }: 1k kU x E x= ∈ ≤ . 3.3.2 Bổ đề. (1) Tính chất ( )Ω là một bất biến tôpô tuyến tính. (2) Tính chất ( )Ω được thừa hưởng bởi tất cả các không gian con thương. (3) ( )r αΛ có tính chất ( )Ω { }r∀ ∈ ∪ +∞ . Chứng minh: (1) Áp dụng định lý 1.2.4 ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. (2) Để chứng minh (2) ta cần 2 kết quả sau [15]: Cho E và G là các không gian lồi địa phương, F là không gian con đóng của E và : /q E E F→ là ánh xạ thương. + Khi đó với mỗi ( ),A L E G∈ với ( )F Ker A⊂ , tồn tại duy nhất ( )/ ,A L E F G∈ với A A q=  . + p là nửa chuẩn liên tục trên E . Khi đó với mỗi 'y F∈ tồn tại 'Y E∈ với FY y= . Nếu F là không gian con đóng của E , áp dụng kết quả trên ta có không gian vectơ ( )/ 'E F và oF có thể đồng nhất với nhau. Gọi ( )'α α∈ là hệ cơ bản các nửa chuẩn của ( )/ 'E F và ( )α α∈ là hệ cơ bản các nửa chuẩn của E . Khi đó ta có : ( )' oF ∗ ∗ = với mỗi nửa chuẩn trên E . (2) được suy ra từ đó. (3) Ta có: ( ) { }' : ,r ty K t r yα −Λ = ∈ ∃ < < ∞ và * t t− = với t r< . Nếu t r< được cho, t rτ< < được chọn và rτ σ< < đươc cho thì định nghĩa : t t τθ σ − = − . Áp dụng bất đẳng thức Holder [15] với tσ τ− < − < − suy ra: ( )* *1 * ' t t t rt t y y y y y y y σ τ τ θ θ σ σ τ τ σ σ α − − − − − − − − = ≤ = ∀ ∈Λ . 3.4 Một số bất biến tôpô tuyến tính khác. Cho E là một không gian Frechet với hệ cơ bản các nửa chuẩn ( )n n∈ a) E được nói là có tính chất ( )DN nếu: Tồn tại p∈ sao cho với mỗi k∈ tồn tại n∈ , 0 1τ sao cho: 1 k p n x C x x x Eτ τ−≤ ∀ ∈ . b) E có tính chất ( )Ω nếu: Với mỗi p∈ tồn tại q∈ sao cho với mỗi n∈ tồn tại 0C > sao cho: 2* * * ' q p n y C y y y E≤ ∀ ∈ . c) E có tính chất ( )LB∞ nếu: { } , 0 ' :n o o o o op p q n N n C u E n k N∀ ↑ +∞ ∀ ∃ ∀ ∃ ≥ ∃ > ∀ ∈ ∃ ≤ ≤ 1 * *k k q k p u C u uρ ρ+ ≤ . Chương 4: CÁC KẾT QUẢ VỀ TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN Sự tổng quát hóa của định lý năm 1906 của Hartogs về hàm chỉnh hình theo từng biến đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Năm 1967, Terada đã chứng tỏ rằng nếu ( ),f z w là một hàm lấy giá trị phức xác định với Mz U∈ ⊂  , Nw V∈ ⊂  và nó là hàm chỉnh hình theo biến w với mỗi z cố định thuộc U và chỉnh hình theo biến z với mỗi w cố định thuộc một tập không đa cực A nào đó trong V thì f là ánh xạ chỉnh hình. Nếu ta chỉ giả sử rằng A không chứa trong một siêu mặt giải tích của V thì kết quả không đúng trừ phi giả sử thêm rằng f bị chặn, trong trường hợp này kết quả được suy ra dễ dàng từ công thức tích phân Cauchy. Shiffman cũng đã chứng tỏ rằng nếu f chỉnh hình (hoặc phân hình) theo z với mỗi w cố định và chỉnh hình theo w với mỗi z cố định thì f chỉnh hình (hoặc phân hình). Bernstein, Siciak,Zaharjuta, Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi đã cho những kết quả về tính thác triển chỉnh hình được của các hàm chỉnh hình theo từng biến xác định trên các tập có dạng ( ) ( )U F E V× ∪ × . Vào năm 1989, Shiffman đã mở rộng các kết quả trên bằng cách giảm nhẹ điều kiện cho các tập ,E F cũng như miền giá trị của ánh xạ cần thác triển, ở đây ông chỉ giả sử rằng E và F không đa cực. Như vậy phương hướng mới nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình bằng cách dùng lý thuyết thế vị phức là một vấn đề có tính hiện đại. Ngoài ra vào đầu thập niên 80, Vogt đã đưa ra và nghiên cứu về các bất biến tôpô tuyến tính. Một số kết quả gần đây của giải tích phức có liên quan đến các khái niệm mới này. Chẳng hạn thông qua các công trình nghiên cứu này của Vogt, ta có các kết quả đặc biệt quan trọng mà nhờ đó các tác giả Lê Mậu Hải, Nguyễn Thái Sơn, Nguyễn Văn Đông,.đã nghiên cứu được tính thác triển yếu của các hàm chỉnh hình lấy giá trị Frechet. Do đó sử dụng các bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu về các ánh xạ chỉnh hình theo từng biến là một công việc thật sự hữu ích. Trong chương này chúng tôi đạt được các kết quả về tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến trong trường hợp hữu hạn chiều. Các kết quả chính mà chúng tôi nghiên cứu được nhằm giải bài toán sau đây: Cho Z là một không gian Stein và K là một tập con compact trong một không gian Stein X . Thế thì với điều kiện nào của Z và của K mọi ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên K Z× đều có thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận có dạng W Z× của K Z× trong X Z× . Các kết quả được phát biểu theo thuật ngữ của các bất biến tôpô tuyến tính và nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong một không gian Stein bất khả quy địa phương. 4.1 Định lý. Cho Z là một không gian Stein. Các điều kiện sau đây là tương đương: (i) Mọi hàm chỉnh hình theo từng biến trên K Z× , ở đây K là một tập compact trong một không gian Stein bất khả quy địa phương X mà không đa cực trong mọi nhánh bất khả quy của mọi lân cận của K đều có thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận W Z× của K Z× trong X Z× . (ii) Không gian ( )H Z các hàm chỉnh hình trên Z trang bị tôpô mở compact có tính chất ( )DN . Để chứng minh định lý ta cần ba bổ đề sau đây: 4.2 Bổ đề. Cho : X Yθ → là một toàn ánh chỉnh hình riêng hữu hạn giữa các không gian Stein. Khi đó ( ) ( )H X DN∈ nếu và chỉ nếu ( )( )H Y DN∈ . Chứng minh: Giả sử rằng ( ) ( )H Y DN∈ . (i) Trước tiên xét trường hợp Y là không gian chuẩn tắc. Thì theo bổ đề nguyên [13] θ là một ánh xạ phủ nhánh. Hơn nữa tồn tại một số tự nhiên p sao cho với mỗi ( )f H X∈ , ta có thể tìm một đa thức ( )fP λ cấp p với hệ số trong ( )H Y : ( ) ( ) ( )11 ...p pf p oP a f a fλ λ λ −−= + + + . Sao cho ( ) 0fP f = trong đó 1,..,p oa a− là các đa thức đối xứng liên tục trên ( )H X với giá trị trong ( )H Y . Để chứng minh ( ) ( )H X DN∈ , theo Vogt [20] cần kiểm tra rằng mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian ( )1 αΛ đến ( )H X thì bị chặn trên một lân cận của ( )10 α∈Λ với mỗi dãy mũ ( )nα α= , trong đó ( ) ( )1 1 : ,0 1jj j j r rαα ξ ξ ≥   Λ = ⊂ < ∞ < <    ∑ Giả sử T là một ánh xạ như vậy. Vì ( )0 1ja j p≤ ≤ − là các đa thức liên tục trên ( )H X với giá trị trong ( )H Y và theo giả thiết ( ) ( )H Y DN∈ . Một lần nữa theo Vogt [14], ta có thể tìm một lân cận U của ( )10 α∈Λ sao cho ( )ja T bị chặn trên U . Từ quan hệ: ( ) ( )( ) ( )11 ... 0 p p p oT a T T a Tξ ξ ξ ξ − −+ + + = với Uξ ∈ , Từ đó suy ra T bị chặn trên U . Do đó ( ) ( )H X DN∈ . ii) Trường hợp Y không chuẩn tắc, xét chuẩn tắc hóa :Y Yγ → của Y . Đặt J kí hiệu bó coherent trên Y được cho bởi : ( ){ }, * ,:y Y y Y yY yJ f H f H Hγ= ∈ ⊆ . Trong đó YH  và YH là các bó cấu trúc của Y và Y và * YHγ  là ảnh trực tiếp của YH  dưới γ . Khi đó nếu 0yJ ≠ với y Y∈ . Theo định lý Cartan A ta có ( )0 , 0H Y J ≠ . Hơn nữa, tồn tại ( )0 ,f H Y J∈ sao cho 0f ≠ trên mỗi nhánh bất khả quy của Y . Thật vậy, viết 1 i i Y Y ≥ =  , trong đó iY là các nhánh bất khả quy của Y . Với mỗi 1i ≥ , đặt: ( ){ } ( ) ( ){ } 0 0 0 , : 0 , \ , : 0 i i i Y Y G f H Y J f H Y J f H Y J f = ∈ ≠ = ∈ = Vì vậy iG là mở. Ta chứng minh rằng iG là trù mật trong ( )0 ,H Y J với 1i ≥ . Với 1i ≥ , lấy ( )i iy R Y∈ , quỹ tích chính quy của iY . Vì 1 iy yJ∈ , theo định lý Cartan A, tồn tại ( )01,.., ,mg g H Y J∈ và 1 ,,.., im Y yHδ δ ∈ sao cho , , 1 1 i i ij y j y y j m g δ ≤ ≤ =∑ . Điều này dẫn đến sự tồn tại của oj sao cho oj ig G∈ . Vì vậy 0iG ≠ với 1i ≥ , và do đó iG là trù mật trong ( )0 ,H Y J với 1i ≥ . Theo định lý Baire tồn tại 1 i i f G ≥ ∈  . Thật vậy giả sử không tồn tại 1 i i f G ≥ ∈  . Suy ra 1 i i G ≥ = ∅  . Đặt \i iF X G= . Suy ra iF đóng. 1 1 1 \ \i i i i i i F X G X G X ≥ ≥ ≥ = = =    . Theo định lý Baire tồn tại oi : oiIntF ≠ ∅ . ( )\ \ \o o o o oi i i i iIntF Int X G X IntG X G F= = = = . Suy ra oiF là mở. Nên \ o oi i x F X G∀ ∈ = , ( ), \ oi B x X Gδ∃ ⊂ . Suy ra ( ), oi B x Gδ ∩ =∅ . Mâu thuẫn với oi G là trù mật. Vậy tồn tại 1 i i f G ≥ ∈  . Vì vậy ( ) ( )H Y fH Y≅  . Vì ( ) ( ) ( )fH Y H Y DN⊂ ∈ , suy ra ( ) ( )fH Y DN∈ và do đó ( ) ( )H Y DN∈ . (iii) Cuối cùng xét biểu đồ giao hoán của các toàn ánh riêng hữu hạn giữa các không gian Stein. Z Y X Y Trong đó Z X Y= ×  là thớ tích của X và Y , ,θ γ  là các phép chiếu chính tắc. Theo (ii) ( ) ( )H Y DN∈ và theo (i) ( ) ( )H Z DN∈ . Vì ( )H X là một không gian con của ( )H Z , ta có ( ) ( )H X DN∈ . Hoàn thành chứng minh cho điều kiện đủ. Vì ( )H Y là không gian con của ( )H X nên điều kiện cần là tầm thường. 4.2.1 Hệ quả. Cho X là một không gian Stein. Khi đó ( ) ( )H X DN∈ nếu và chỉ nếu ( ) ( )H Z DN∈ với mỗi nhánh bất khả quy Z của X và X có hữu hạn nhánh bất khả quy. Chứng minh: Cho ( ) ( )H X DN∈ . Theo bổ đề 4.2 ( ) ( )H X DN∈ , ở đó : X Xγ → là chuẩn tắc hóa của X . Vì mỗi nhánh bất khả quy Z của X là đóng mở trong X , suy ra ( ) ( )H Z DN∈ . Cho Z là một nhánh bất khả quy của X . Khi đó tồn tại một nhánh bất khả quy Z của X sao cho θ γ γ θ ( )Z Zγ = . Áp dụng bổ đề 4.2 với :Z Z Zγ →  ta được ( ) ( )H Z DN∈ . Mặt khác, theo định nghĩa về tính chất ( )DN , ( )H X có chuẩn liên tục. Điều này có nghĩa là tồn tại một tập con compact K của X sao cho 0Kf = với ( )f H X∈ suy ra 0f = . Do đó theo định lý Cartan B , X có hữu hạn nhánh bất khả quy. Ngược lại, giả sử X có hữu hạn nhánh bất khả quy 1,.., mZ Z và ( ) ( )iH Z DN∈ với 1,..,i m= . Với mỗi i , lấy một nhánh bất khả quy iZ của X sao cho ( )i iZ Zγ = . Vì iZ là đóng- mở trong X . Từ mối quan hệ ( ) ( )iH Z DN∈ và từ bổ đề 4.2 suy ra ( ) ( ) ( ) 1 i i m H X H Z DN ≤ ≤ = ∈∏  . Một lần nữa theo bổ đề 4.2 ta có ( ) ( )H X DN∈ . 4.3 Bổ đề. Cho X là một không gian Stein bất khả quy địa phương. Khi đó ( ) ( )H X DN∈ nếu và chỉ nếu mỗi hàm đa điều hòa dưới ϕ trên X mà bị chặn trên là hàm hằng trên mỗi nhánh bất khả quy của X và X có hữu hạn nhánh bất khả quy. Chứng minh: Để chứng minh bổ đề này ta cần kết quả sau [10]: Cho X là một không gian Stein bất khả quy địa phương. Khi đó ( ) ( )H X DN∈ nếu và chỉ nếu tồn tại một tập compact K trong X sao cho : ( ), , 0X K xω = với x X∈ . Ở đây ( ), ,.X Kω là một hàm trên X được xác định như sau: ( ) ( ){ }, , sup sup : 0, 1lim K y x X K x yω ϕ ϕ ϕ → = ≤ ≤ với ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên X . Bây giờ ta chứng minh bổ đề: Cho ( ) ( )H X DN∈ . Theo hệ quả 4.2.1, X có hữu hạn nhánh bất khả quy. Cho ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên X sao cho sup X Mϕ = < ∞ . Cho Z là một nhánh bất khả quy của X . Theo hệ quả 4.2.1, ( ) ( )H Z DN∈ và theo kết quả trên, tồn tại một tập compact K Z⊂ sao cho : ( ), , 0Z K xω = với x Z∈ . Đặt sup K m ϕ= . Áp dụng hai định lý hằng số đã được chứng minh như trong trường hợp không kì dị [13], ta có với x Z∈ : ( ) ( ) ( )( ), , , , 1x M Z K x m Z K x mϕ ω ω≤ − − = . Theo tính liên thông của Z và nguyên lý cực đại suy ra ϕ là hằng số trên Z . Ngược lại, cho X có hữu hạn nhánh bất khả quy. Chọn một tập compact K trong X sao cho ( )Int K Z ≠ ∅ với mỗi nhánh bất khả quy Z của X . Theo giả thiết ( ), , 0ZZ K xω = với x Z∈ . Và do đó ( ), , 0Z K xω = với x X∈ . Theo kết quả trên ta có ( ) ( )H X DN∈ . 4.4 Bổ đề. Cho X là một không gian Stein. Khi đó ( ) ( )H X DN∈ nếu và chỉ nếu ( ) ( )\H X P DN∈ với mọi siêu mặt P X⊂ chứa quỹ tích kì dị ( )S X của X . Chứng minh: Ta thấy với mọi siêu mặt P trong X thì ( )H X là một không gian con của ( )\H X P [16] nên điều kiện đủ là hiển nhiên. Ngược lại giả sử ( ) ( )H X DN∈ và P là một siêu mặt trong X chứa ( )S X . Vì \X P là một đa tạp Stein nên chỉ cần chứng minh rằng mọi hàm đa điều hòa dưới ϕ trên \X P và bị chặn trên đều là hàm hằng. Ta xét chuẩn tắc hóa : X Xθ → của X . Vì ϕθ là hàm đa điều hòa dưới trên ( )1\X Pθ − và bị chặn địa phương trên X nên theo tính chuẩn tắc của X , ta suy ra ϕθ có thể được xem là một hàm đa điều hòa dưới trên X . Theo bổ đề 4.2 ( ) ( )H X DN∈ . Theo bổ đề 4.3 ta suy ra ϕθ là hàm hằng và do đó ϕ cũng là hàm hằng. Lại áp dụng bổ đề 4.3 ta suy ra ( ) ( )\H X P DN∈ . Bây giờ ta bắt đầu chứng minh định lý 4.1. (ii) ⇒ (i) Cho :f K Z× → là một hàm chỉnh hình theo từng biến, ở đây K là một tập compact trong một không gian Stein bất khả quy địa phương X mà là không đa cực trong mọi nhánh bất khả quy của mọi lân cận của K . Lấy { }nW là một cơ sở lân cận của K và các ,T P là các siêu mặt trong ,X Z tương ứng với ( ) ( ),S X T S Z P⊂ ⊂ . Với mỗi 1n ≥ ta đặt : ( ){ }\ : , , n z z n n W Z z Z P f H W f n= ∈ ∈ ≤ ở đây n z W f chỉ chuẩn sup của zf trên nW . Từ tính chỉnh hình theo từng biến của f ta có 1 \ n n Z P Z ≥ =  . Mặt khác theo tính Montel của ( )nH W , ta suy ra nZ là các tập đóng trong \Z P . Theo định lý Baire, tồn tại on sao cho onIntZ ≠ ∅ . Chú ý rằng on IntZ gặp mọi nhánh bất khả quy của Z . Bằng cách viết ( )\onK W T∩ như là hợp đếm được các tập compact trong \ on W T ta tìm được một tập compact ( )\onE K W T⊂ ∩ không đa cực trong mọi thành phần liên thông của \ on W T . Bây giờ ta xét f là một hàm chỉnh hình theo từng biến trên ( )( ) ( )\ \o on nE Z P W T IntZ× ∪ × ( theo nghĩa Siciak [17]). Vì ( ) ( )\H Z P DN∈ và từ tính không đa cực của E trong mọi thành phần liên thông của \ on W T , theo Zahariuta [21], ta suy ra rằng f thác triển tới một hàm chỉnh hình fˆ trên ( ) ( )\ \ on W X T Z P∩ × . Xét hàm chỉnh hình từ W vào ( )\H Z P cho bởi: ˆ ,xx f x W∈ ở đây ( )\ on W W X T= ∩ . Vì E không đa cực và ( )H Z là một không gian con của ( )\H Z P với { } ( )ˆ :xf x E H Z∈ ⊂ . Nên fˆ có thể được xem như một hàm chỉnh hình trên ( )\ on W X T Z∩ × Tương tự, bằng cách xét hàm chỉnh hình ( )( )ˆ \ ,oz nz f H W X T z Z∈ ∩ ∈ . Chúng ta có thể xem fˆ như một hàm chỉnh hình trên on W Z× . (i)⇒ (ii). Theo Vogt [20], chỉ cần kiểm chứng rằng mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T từ ( )H ∆ vào ( )H Z là compact, ở đây { }: 1λ λ∆ = ∈ < . Vì ( ) ( )'H H∆ ≅ ∆   nên ánh xạ T cảm sinh một hàm :f Z∆× → bởi : ( ) ( )( ), zf z Tλ δ λ∗= với ( ), z Zλ ∈∆× , ở đây ( ) ( )z zδ ϕ ϕ= với ( )H Zϕ∈ . Hiển nhiên, f là một hàm chỉnh hình theo từng biến. Theo giả thiết, f thác triển chỉnh hình đến một hàm chỉnh hình fˆ trên W Z× , một lân cận của Z∆× . Điều này suy ra T ∗ là ánh xạ liên tục từ ( ) 'H Z   vào ( )H V ∞ , ở đây V là một lân cận compact tương đối của ∆ trong W và ( )H V∞ là không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên V . Vậy T là toán tử compact. Như vậy định lý 4.1 cho ta một điều kiện cần và đủ về Z để giải bài toán nói trên với một giả thiết hẹp hơn về K . Cũng cần nhấn mạnh ở đây là trong quá trình chứng minh định lý 4.1 chúng tôi đã dùng một định lý của Zaharjuta mà giả thiết của định lý đó đòi hỏi rằng K phải là tập không đa cực trong mọi thành phần liên thông của mọi lân cận của K . Cho nên đặt giả thiết cho K là một tập compact trong một không gian bất khả quy địa phương mà là tập không đa cực trong nhánh bất khả quy của mọi lân cận của K là một việc rất tự nhiên. KẾT LUẬN Trong luận văn, chúng tôi đã sử dụng các bất biến tôpô tuyến tính được đưa ra và nghiên cứu bởi D.Vogt vào đầu những năm 80 để nghiên cứu về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong trường hợp hữu hạn chiều. Chúng tôi cũng đã sử dụng một cách hiệu quả lý thuyết về các bó coherent để hoàn thiện các kết quả nghiên cứu của mình nhằm đơn giản hóa các giả thiết về các không gian Stein bất khả quy địa phương. Các kết quả chính mà chúng tôi đã nghiên cứu được là tìm các điều kiện cần và đủ cho K và Z trong đó K là một tập con compact trong một không gian Stein và Z là một không gian Stein sao cho mọi hàm chỉnh hình theo từng biến trên K Z× đều có thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận W Z× của K Z× . Như vậy chúng tôi đã nghiên cứu được vấn đề đã được quan tâm từ lâu bởi nhiều tác giả nhờ công cụ bất biến tôpô tuyến tính. Tuy nhiên vì việc nghiên cứu và trình bày luận văn có giới hạn nên chúng tôi không đi sâu nghiên cứu trường hợp sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong vô hạn chiều. Đây cũng là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức. Do đó nếu có điều kiện nghiên cứu tiếp theo, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong vô hạn chiều sử dụng công cụ bất biến tôpô tuyến tính. Các kết quả nghiên cứu được là những bài học từ các công trình có sẵn của D.Vogt, Nguyễn Văn Khuê, Nguyễn Thanh Vân, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thái Sơn, Đinh Huy Hoàng, Thái Thuận Quang,.Nhờ đó mà chúng tôi trang bị kiến thức cho mình về giải tích hàm trong việc nghiên cứu về bất biến tôpô tuyến tính là các kiến thức thật sự hữu ích để chúng tôi nghiên cứu về Hình học- tôpô. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2008), Không gian vectơ tôpô, Đại Học Sư Phạm TPHCM. [2] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2006), Hàm Biến Phức, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [3] Shreeram Shankar Abhyankar (2001), Local Analytic Geometry, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. [4] E. Bedford (1981), “The operator (ddc)n on complex spaces, seminaire d’Analyse LeLong-Skoda”, Lecture Notes in Math. 919, 294-324. [5] Jean- Pierre Demailly (1997), Complex analytic and Differential Geometry, Universite de Grenoble I, Institut Fourier, France. [6] Sean Dineen (1999), Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer- Verlag London Limited. [7] Klaus Fritzsche and Hans Grauert (2002), From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag. [8] J. E. Fornaess and R. Narasimhan (1980), “The Levi problem on complex spaces with singularities”, Math. Ann. 248, 47-72. [9] Lars Hormander (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North – Holland Amsterdam- New York- Oxford. Tokyo, Volume 7. [10] Dinh Huy Hoang and Thai Thuan Quang (1996), “The inheritance of the linear topological invariant ( DN )”, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 21, Number 1, pp. 45- 58. [11] B. Josefson (1978), “On the equivalence between locally polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on n ”, Ark. Mat 16, 109-115. [12] Marek Jarnicki and Peter Pflug, “Directional Regularity vs. Joint Regularity”, Notices of the AMS, Volume 58, Number 7, 896-904. [13] M.Klimek (1991), Pluripotential Theory, Oxford. [14] Stanislaw Lojasiewiczc (1991), Introduction to complex analytic Geometry, Birkhauser Verlag, Basel. Boston. Berlin. [15] R.Meise, D.Vogt (1997), Introduction to functional analysis, CalarendonPress- Oxford. [16] R. Narasimhan (1966), Introduction to the theory of analytic spaces. Springer Verlag. [17] J. Siciak (1981), “Extremal Plurisubharmonic functions in  ”, Ann. Pol. Math. 39, 175-211. [18] Bernard Shiffman (1989), Separate Analyticity and Hartogs Theorems, Indiana University Mathematics Journal, Volume. 38, No. 4 . [19] Nguyen Thai Son (1998), “Separately Holomorphic Functions on compact sets”, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 23, Number 2, pp. 207-216. [20] D.Vogt (1983), Frechetraume zwischen deren jede stetige linear Abbildung beschrankt ist J.rein angew Math. 345, 182-200. [21] V.P Zahariuta (1976), “Separately analytic functions, generalizations of Hartogs’ theorem and envolopes of holomorphy”, Math.Sb. 101 (143), 1(9), 57-76 (Russian). [22] A. Zeriahi (1991), “Fonction de Green pluricomplexe a po6le l’infini sur un espace de Stein parabolique”, Math. Scand. 69, 89-126.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfsu_dung_bat_bien_topo_tuyen_tinh_de_nghien_cuu_tinh_chinh_hinh_cua_ham_chinh_hinh_theo_tung_bien_574.pdf