Vẽ đường phụ trong chứng minh hình học phẳng.

A. ĐẶT VẤN ĐỀ: T rong khi học hình học phẳng, nói chung học sinh đều cảm thấy ít nhiều khó khăn. Nghiên cứu nguyên nhân, ta thấy có mấy điểm dưới đây: 1. Học sinh chưa có những khái niệm cơ bản rõ ràng. 2. Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống lý luận, không tổng hợp từng loại làm cho người học khó nắm cách giải các bài toán. 3. Trong các sách giáo khoa, các bài làm mẫu quá ít, hướng dẫn và gợi ý không đầy đủ nêm khó tiếp thu và nghiên cứu. 4. Học sinh thường chỉ học “vẹt” các định lý và các quy tắc, không biết vận dụng một cách sinh động những định lý và các quy tắc đó. Tôi sẽ đúc rút kinh nghiệm và sẽ tổng hợp các phương pháp chứng minh từng loại bài tập hình học phẳng trong bài viết khác. Trong bài viết này, tôi xin trình bày những kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Cách vẽ đường phụ trong chứng minh hình học phẳng.

doc18 trang | Chia sẻ: lvcdongnoi | Ngày: 05/02/2013 | Lượt xem: 2291 | Lượt tải: 5download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Vẽ đường phụ trong chứng minh hình học phẳng., để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Kinh nghiÖm gi¶ng d¹y: vÏ ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc ph¼ng. --------------- A. §Æt vÊn ®Ò: T rong khi häc h×nh häc ph¼ng, nãi chung häc sinh ®Òu c¶m thÊy Ýt nhiÒu khã kh¨n. Nghiªn cøu nguyªn nh©n, ta thÊy cã mÊy ®iÓm d­íi ®©y: 1. Häc sinh ch­a cã nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n râ rµng. 2. S¸ch gi¸o khoa biªn so¹n tuÇn tù theo hÖ thèng lý luËn, kh«ng tæng hîp tõng lo¹i lµm cho ng­êi häc khã n¾m c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n. 3. Trong c¸c s¸ch gi¸o khoa, c¸c bµi lµm mÉu qu¸ Ýt, h­íng dÉn vµ gîi ý kh«ng ®Çy ®ñ nªm khã tiÕp thu vµ nghiªn cøu. 4. Häc sinh th­êng chØ häc “vÑt” c¸c ®Þnh lý vµ c¸c quy t¾c, kh«ng biÕt vËn dông mét c¸ch sinh ®éng nh÷ng ®Þnh lý vµ c¸c quy t¾c ®ã. T«i sÏ ®óc rót kinh nghiÖm vµ sÏ tæng hîp c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh tõng lo¹i bµi tËp h×nh häc ph¼ng trong bµi viÕt kh¸c. Trong bµi viÕt nµy, t«i xin tr×nh bµy nh÷ng kinh nghiÖm h­íng dÉn häc sinh C¸ch vÏ ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc ph¼ng. B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò: K hi chøng minh ®Þnh lý h×nh häc, trõ mét sè bµi dÔ, phÇn nhiÒu ph¶i vÏ thªm ®­êng phô míi chøng minh ®­îc. V× ®­êng phô cã nhiÒu lo¹i, nªn kh«ng cã mét ph­¬ng ph¸p vÏ cè ®Þnh, ®ã lµ mét viÖc khã trong lóc chøng minh h×nh häc ph¼ng. Trong s¸ch gi¸o khoa v× kh«ng biÕt nªn b¾t ®Çu nãi nh­ thÕ nµo, nªn thµ kh«ng nãi cßn h¬n nãi kh«ng râ. §Ó gióp ®­îc phÇn nµo cho häc sinh, t«i xin nªu mét sè ph­¬ng ph¸p vÏ ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc ph¼ng, nh­ng ch¾c ch¾n kh«ng sao tr¸nh khái thiÕu sãt, rÊt mong ®­îc gãp ý, bæ sung, cã thÓ lµm s¸ng tá vÊn ®Ò, biÕn ®æi c¸ch gi¶i, cung cÊp t­ liÖu, ®Ó bµi viÕt nµy ngµy mét hoµn thiÖn, gióp ®­îc phÇn nµo ®éng viªn häc sinh tù ®éng nghiªn cøu, t¹o thµnh tËp qu¸n kiªn tr× ®µo s©u suy nghÜ trong chøng minh h×nh häc ph¼ng cho häc sinh. Sau mçi môc ®Ých cña viÖc vÏ thªm ®­êng phô, t«i tr×nh bµy mét vÝ dô mÉu. ®Ó tr¸nh viÖc gi¶i thÝch trèng rçng, t«i hÕt søc cè g¾ng dïng c¸c vÝ dô chøng minh cô thÓ, s¸ng sña, mét mÆt võa lµm cho häc sinh ghi ®­îc c¸c Ên t­îng s©u s¾c, mÆt kh¸c võa t¨ng thªm phÇn høng thó häc tËp cho hä. Trong vÝ dô cã phÇn “suy xÐt” hoÆc “ph©n tÝch”. Qu¸ tr×nh gîi ý sÏ nu«i d­ìng n¨ng lùc suy nghÜ, t¨ng c­êng b¶n lÜnh gi¶i quyÕt vÊn ®Ò cho häc sinh. ®ång thêi häc sinh ph¶i ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o, vËn dông linh ho¹t c¸c ®Þnh lý vµ c¸c ph­¬ng ph¸p chøng minh. I. Môc ®Ých cña viÖc vÏ ®­êng phô. Nãi chung, vÏ ®­êng phô nh»m s¸u môc ®Ých d­íi ®©y: 1. §em nh÷ng ®iÒu kiÖn ®· cho cña bµi to¸n vµ nh÷ng h×nh cã liªn quan ®Õn viÖc chøng minh tËp hîp vµo mét n¬i (mét h×nh míi), lµm cho chóng cã liªn hÖ víi nhau: B A D C K L M N E F G H VÝ dô 1. Hai ®o¹n th¼ng song song vµ b»ng nhau th× h×nh chiÕu cña chóng trªn mét ®­êng th¼ng thø ba còng b»ng nhau. GT: AB = CD AE, BF, CG, DH ®Òu ^ MN KL: EF = GH Suy xÐt: Sù b»ng nhau cña AB vµ CD vµ sù b»ng nhau cña EF vµ GH kh«ng thÊy ngay ®­îc lµ cã liªn quan víi nhau. Hai ®o¹n th¼ng cÇn chøng minh b»ng nhau lµ EF vµ GH. Tõ ®Þnh lý “ Nh÷ng ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng kh¸c th× song song víi nhau”, Ta biÕt AE // BF // CG // DH vµ cã thÓ dùng thªm EK // AB; GL // CD ®Ó t¹o nªn hai h×nh b×nh hµnh. Tõ ®Þnh lý “c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh b»ng nhau” ta cã EK = AB; GL = CD. Nh­ vËy tøc lµ ta ®· dêi vÞ trÝ cña AB vµ CD ®Õn EK vµ GL, ®Ó t¹o thµnh hai c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c EKF vµ GLH trong ®ã ta cÇn chøng minh hai ®o¹n th¼ng EF vµ GH b»ng nhau. Muèn cã EF = GH ta chØ cÇn chøng minh D EKF = D GLH. Sau ®©y lµ phÇn h­íng dÉn häc sinh t×m c¸ch ®Ó vÏ thªm ®­êng phô: C©u hái Dù kiÕn tr¶ lêi cña häc sinh - Muèn chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau, ta lµm nh­ thÕ nµo ? - NÕu chän tr­êng hîp (1), cÇn ph¶i vÏ thªm ®­êng phô nµo ? - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng ®ã lµ hai c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau (1); hoÆc lµ hai c¹nh ®èi cña hbh (2); hoÆc cïng b»ng hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau kh¸c (3). VÏ thªm EK // AB vµ GL // CD, hoÆc tõ A, C dùng ®­êng th¼ng song song víi MN Bµi chøng minh cô thÓ: Chøng minh: Lý do: 1. Dùng EK//AB, GL//CD 2. AE//BF; CG//DH 3. Ta cã c¸c tø gi¸c AEKB vµ CGLD lµ h×nh b×nh hµnh. 4. EK = AB = CD = GL. 5. EK//GL 6. Ta rót ra KEF = LGH 7. EFK = GLH 8. VËy D EFK = D GHL 9. EF = GH 1. Tõ mét ®iÓm cã thÓ dùng mét ®­êng th¼ng // víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc. 2. Hai ®­êng th¼ng cïng ^ víi mét ®­êng th¼ng kh¸c th× // víi nhau. 3. Tø gi¸c cã hai cÆp c¹nh ®èi // víi nhau lµ h×nh b×nh hµnh. 4. C¹nh ®èi cña hbh th× b»ng nhau vµ suy ra tõ gi¶ thiÕt. 5. Suy tõ gi¶ thiÕt vµ 1: Hai ®­êng th¼ng cïng // víi hai ®­êng th¼ng kh¸c // víi nhau th× còng // víi nhau. 6. Gãc ®ång vÞ cña hai ®­êng th¼ng // víi mét c¸t tuyÕn th× b»ng nhau. 7. Gãc vu«ng b»ng nhau. 8. Tr­êng hîp b»ng nhau cña tam gi¸c vu«ng 9. Hai tam gi¸c b»ng nhau th× c¹nh t­¬ng øng cña chóng còng b»ng nhau. Chó ý: B¹n thö tõ A vµ C dùng ®­êng th¼ng // víi MN, xem cã thÓ lµm cho ®o¹n th¼ng ®· cho vµ ®o¹n th¼ng cÇn chøng minh trë nªn cã liªn hÖ víi nhau ®­îc kh«ng ? 2. T¹o nªn ®o¹n th¼ng thø ba hoÆc gãc thø ba, lµm cho hai ®o¹n th¼ng hoÆc hai gãc cÇn chøng minh trë nªn cã liªn hÖ. A B E E C D VÝ dô 2: GT: A + E + C = 3600 KL: AB//CD. Suy xÐt: Tõ E dùng EF//AB, nÕu chøng minh ®­îc EF//CD th× sÏ cã AB//CD. Chøng minh: Lý do: 1. Tõ E dùng EF//AB. 2. Th× A + 1 = 1800 3. Ta cã A + E + C = 3600 4. C + 2 = 1800 5. EF//CD 6. AB//CD 1. Tõ mét ®iÓm cã thÓ dùng mét ®­êng th¼ng // víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc. 2. Hai gãc trong cïng phÝa cña hai ®­êng th¼ng // vµ mét c¸t tuyÕn bï nhau. 3. Theo gi¶ thiÕt. 4. Suy tõ 2 vµ 3. 5. Theo ®Þnh lý, c¸ch nhËn ra hai ®­êng th¼ng //. 6. §­êng th¼ng // víi mét trong hai ®­êng th¼ng // cho tr­íc th× còng // víi ®­êng th¼ng kia Chó ý: B¹n thö tõ E dùng ®­êng // víi AB vÒ bªn tr¸i: xem ®­êng ®ã cã thÎ lµm trung gian ®Ó chøng minh AB//CD ®­îc kh«ng ? 3. T¹o nªn ®o¹n th¼ng hay gãc b»ng tæng, hiÖu, gÊp ®«i hay 1/2 ®o¹n th¼ng hay gãc cho tr­íc, ®Ó ®¹t môc ®Ých chøng minh ®Þnh lý. VÝ dô 3: (t¹o nªn ®o¹n th¼ng b»ng 1/2 ®o¹n th¼ng cho tr­íc). A E B C F D Cho tam gi¸c c©n ABC ®¸y BC, lÊy trªn AB kÐo dµi mét ®o¹n BD = AB. Chøng minh r»ng trung tuyÕn CE = 1/2 CD. GT: AB = AC KÐo dµi AB, vµ BD = AB; AE = EB. Nèi CD vµ CE KL: CD = 2CE Ph©n tÝch: 1. Muèn chøng minh CD = 2CE, ph¶i cã mét trong hai ®iÒu kiÖn d­íi ®©y: a) 1/2 ®é dµi CD = ®é dµi CE. b) 2 lÇn ®é dµi CE = ®é dµi CD. 2. NÕu lÊy a) cña 1, ®Ó cã 1/2 CD = CE, th× ph¶i chia ®«i CD ë F, vµ nghiªn cøu xem cã hîp víi mét trong hai ®iÒu kiÖn d­íi ®©y kh«ng: a) CF = CE. b) DF = CE. 3. NÕu lÊy a) cña 2, ®Ó cã CF = CE, l¹i cÇn ph¶i cã mét trong hai ®iÒu kiÖn sau: a) CF vµ CE lµ c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau. b) CF vµ CE ®Òu b»ng mét ®o¹n th¼ng thø ba. . . . . . . 4. NÕu lÊy a) cña 3, ph¶i nèi BF vµ muèn D BFC = D BEC, ta l¹i cÇn ph¶i cã mét trong nh÷ng ®iÒu kiÖn sau: a) BE = BF; 2 = 1; BC = BC (cgc) b) 2 = 1; BC = BC; BCF = BCE. (gcg). 5. Nghiªn cøu kü a) vµ b) cña 4. Ta thÊy chØ cã a) phï hîp víi gi¶ thiÕt. V× BF lµ ®o¹n th¼ng nèi liÒn ®iÓm gi÷a cña hai c¹nh, nªn b»ng 1/2 AC. Theo gi¶ thiÕt th× AB = AC, BE = 1/2 AB. Thay vµo sÏ ®­îc BF = BE, vµ v× BF//AC, nªn cã cÆp gãc so le trong 2 = ACB; tam gi¸c ABC c©n, nªn 1 = ACB, ta suy ra 1 = 2. cßn BC th× chung. Cuèi cïng ta ®­îc D BCF = D BCE, th× còng chøng minh ®­îc CD = 2CE. Trong ph©n tÝch trªn, nÕu lÊy b) cña 1; b) cña 2; b) cña 3 … suy ®o¸n t­¬ng tù, ta còng ®­îc kÕt qu¶ nh­ trªn, do ®ã cã nh÷ng ph­¬ng ph¸p chøng minh kh¸c nhau. Chøng minh: Lý do: 1. Chia ®«i CD t¹i F, nèi BF 2. V× AB = BD; CF = FD 3. Do ®ã BF//AC 4. Tõ 1=ACB=2 5. Vµ BF = 1/2 AC = 1/2 AB = BE 6. BC = BC 7. Cã D CBF = D CBE 8. CF = CE 9. VËy CD = 2CE 1. Mçi ®o¹n th¼ng ®Òu cã mét ®iÓm gi÷a qua 2 ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng. 2. Theo gi¶ thiÕt vµ suy tõ 1. 3. ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm gi÷a cña 2 c¹nh mét tam gi¸c th× // víi c¹nh thø ba vµ b»ng 1/2 c¹nh ®ã. 4. Hai gãc ®¸y cña mét tam gi¸c c©n b»ng nhau; gãc so le trong b»ng nhau. 5. Suy tõ 3 vµ gi¶ thiÕt 6. Kh«ng ®æi. 7. cgc 8. C¸c yÕu tè t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau. 9. Suy ra tõ 8 vµ gi¶ thiÕt. VÝ dô 4: (t¹o nªn ®o¹n th¼ng b»ng tæng hai ®o¹n th¼ng). NÕu tæng hai ®¸y cña mét h×nh thang b»ng mét c¹nh bªn, th× ®­êng ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ víi c¹nh bªn ®ã ®i qua ®iÓm gi÷a cña c¹nh bªn kia. A D GT: H×nh thang ABCD, AD//BC AD + BC = AB; F lµ ®iÓm gi÷a cña CD F KL: Ph©n gi¸c cña A vµ B ®i qua F B C G Suy xÐt: Muèn chøng minh mét ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm gi÷a cña mét ®o¹n th¼ng th× t­¬ng ®èi khã, chøng minh mét ®­êng th¼ng chia ®«i mét gãc dÔ h¬n. Ta sÏ dïng ph­¬ng ph¸p chøng minh gi¸n tiÕp ®Ó chøng minh ®Þnh lý nµy. §Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý nµy lµ “NÕu trong h×nh thang ABCD, AD//BC, AD + BC = AB, F lµ ®iÓm gi÷a cña CD, nèi AF vµ BF, th× AF chia ®«i gãc A vµ BF chia ®«i gãc B”. V× ®­êng ph©n gi¸c (cña A vµ B) chØ cã mét, vµ qua hai ®iÓm chØ kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng (AF, BF) nªn ta kh«ng cÇn chøng minh ®Þnh lý thuËn mµ chøng minh ®Þnh lý ®¶o còng ®­îc. Chøng minh: Lý do: 1. Kh«ng dùng ph©n gi¸c cña A vµ B, nèi AF, BF, kÐo dµi AF vµ BC gÆp nhau ë G. 2. Tõ AD//BC 3. Cã 1 = G; D = FCG 4. DF = FG 5. VËy D ADF = D GCF 6. Rót ra AD = CG 7. BG = AB 8. 2 = G 9. Nh­ng 1 = G 10. Nªn 1 = 2 11. AF lµ ph©n gi¸c cña A 12. T­¬ng tù BF lµ ph©n gi¸c cña B 13. VËy ph©n gi¸c cña A vµ B qua F 1. Qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng; ®­êng th¼ng cã thÓ kÐo dµi v« tËn; V× AD//BC, AF kh«ng // víi BC th× ph¶i c¾t BC. 2. Theo gi¶ thiÕt. 3. Gãc so le trong cña hai ®­êng th¼ng // vµ mét c¸t tuyÕn b»ng nhau. 4. Theo gi¶ thiÕt. 5. cgc 6. Suy tõ 5 7. Thay 6 vµo gi¶ thiÕt AD + BC = AB 8. Gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n BAG. 9. Chøng minh ë 3. 10. Suy tõ 8 vµ 9 11. Theo ®Þnh nghÜa cña d­êng ph©n gi¸c. 12. Chøng minh gièng tõ 2 ®Õn 11. 13. Suy tõ 11 vµ 12; ®­êng th¼ng ®ia qua 2 ®iÓm vµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc chØ cã mét. VÝ dô 5: (t¹o nªn ®o¹n th¼ng b»ng 2 lÇn ®o¹n th¼ng cho tr­íc). Kho¶ng c¸ch tõ trùc t©m ®Õn mét ®Ønh cña tam gi¸c b»ng hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ®Õn c¹nh ®èi diÖn víi ®Ønh ®ã. GT: AK, BD lµ ®­êng cao cña D ABC B c¾t nhau ë G, ®­êng trung trùc HE, HF K c¾t nhau ë H L G F KL: BG = 2HE; AG = 2HF. H A D E C Suy xÐt: Muèn chøng minh BG=2HF, ta cã thÓ t×m c¸ch dùng mét ®o¹n th¼ng kh¸c b»ng 2HE. Nh­ng nÕu kÐo dµi HE gÊp ®«i ®Ó ®¹t môc ®Ých trªn, th× ®o¹n ®ã vÉn kh«ng cã liªn hÖ g× víi BG c¶, nªn ph¶i nghÜ c¸ch kh¸c. Tõ gi¶ thiÕt E lµ ®iÓm gi÷a cña AC, ta thö nèi CH vµ kÐo dµi ®Õn L sao cho HL = CH. H lµ ®iÓm gi÷a cña CL, HE trë thµnh ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm gi÷a cña hai c¹nh DCAL. Tõ ®Þnh lý “§­êng trung b×nh cña mét tam gi¸c b»ng 1/2 c¹nh thø ba” ta cã LA = 2HE. Xem kü hai ®o¹n LA vµ BG, ta cã thÓ chøng minh chóng lµ c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh, nªn gi¶i ®­îc bµi nµy. Chøng minh: Lý do: 1. Nèi CH vµ kÐo dµi mét ®o¹n HL = CH, nèi LA, LB 2. LA//HE 3. BD//HE 4. Nªn LA//BD 5. T­¬ng tù ta cã LB//AK 6. Tø gi¸c LAGB lµ h×nh b×nh hµnh 7. BG = LA. 8. LA = 2HE. 9. BG = 2HE. 10. T­¬ng tù ta cã AG = 2HF 1. Qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng; ®­êng th¼ng cã thÓ kÐo dµi v« tËn. 2. §o¹n th¼ng nèi liÒn ®iÓm gi÷a hai c¹nh cña tam gi¸c th× // víi c¹nh thø ba. 3. Hai ®­êng th¼ng cïng víi ®­êng th¼ng thø ba th× // víi nhau. 4. Suy tõ 2 vµ 3. 5. Theo c¸ch chøng minh tõ 2 ®Õn 4. 6. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi // víi nhau lµ h×nh b×nh hµnh 7. Hai c¹nh ®èi h×nh b×nh hµnh 8. Theo ®Þnh lý ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c vµ 1. 9. Thay 7 vµo 8 10. Chøng minh gièng tõ 7 ®Õn 9. Chó ý: B¹n thö nèi CG lÊy ®iÓm gi÷a lµ M, t¹o nªn ®o¹n th¼ng míi b»ng 1/2 BG lµ FM, xem cã thÓ chøng minh ®­îc bµi nµy kh«ng ? 4. T¹o nªn nh÷ng ®¹i l­îng míi (®o¹n th¼ng hoÆc gãc) b»ng nhau; thªm vµo nh÷ng ®¹i l­îng b»ng nhau mµ bµi ra d· cho ®Ó gióp cho viÖc chøng minh. VÝ dô 6: Trung tuyÕn trªn c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng b»ng mét nöa c¹nh huyÒn. A GT: Trong DABC, C = 900 DA = DB. D E KL: DC = DA. B C Suy xÐt: Trong bµi chØ cã mét cÆp ®¹i l­îng b»ng nhau lµ DA = DB, nh­ vËy kh«ng chøng minh ®­îc DC = DA. Ta lÊy ®iÓm gi÷a cña AC lµ E, nèi DE, th× cã thªm mét cÆp ®¹i l­îng míi b»ng nhau lµ AE = CE. Vµ tõ ®Þnh lý “§­êng trung b×nh cña mét tam gi¸c song song víi c¹nh thø ba”; “Gãc ®ång vÞ cña hai ®­êng th¼ng // hîp thµnh víi mét c¸t tuyÕn th× b»ng nhau” vµ “Gãc bï víi gãc vu«ng còng lµ gãc vu«ng”, ta sÏ cã DE//BC; 1 = C = 900 = 2, nh­ vËy, l¹i ®­îc thªm mét cÆp ®¹i l­îng b»ng nhau. Ta cã thÓ chøng minh DADE = DCDE ®Ó rót ra DC = DA. Chøng minh: Lý do: 1. LÊy ®iÓm gi÷a cña AC lµ E, nèi DE 2. Nªn DE//BC 3. Nªn 1 = C = 900 4. vµ 2 = 900 5. 1 = 2 6. AE = EC 7. DE = DE 8. VËy DADE = DCDE 9. DC = DA 1. Mçi ®o¹n th¼ng ®Òu cã mét ®iÓm gi÷a; qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng duy nhÊt. 2. §o¹n th¼ng nèi liÒn ®iÓm gi÷a hai c¹nh cña tam gi¸c th× // víi c¹nh thø ba. 3. Gãc ®ång vÞ; theo gi¶ thiÕt 4. Gãc bï víi gãc vu«ng còng lµ gãc vu«ng. 5. Gãc vu«ng b»ng nhau. 6. Theo 1. 7. Kh«ng ®æi. 8. cgc 9. Hai tam gi¸c b»ng nhau th× c¸c yÕu tè t­¬ng øng còng b»ng nhau. 5. T¹o nªn mét h×nh míi, ®Ó cã thÓ ¸p dông mét ®Þnh lý ®Æc biÖt nµo ®ã. VÝ dô 7. Tõ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc xuèng mét ®­êng th¼ng ë ngoµi tam gi¸c ®ã. Chøng minh r»ng tæng ®é dµi cña ba ®­êng vu«ng gãc ®ã gÊp 3 lÇn ®é dµi cña ®o¹n th¼ng vu«ng gãc h¹ tõ träng t©m cña tam gi¸c xuèng cïng ®­êng th¼ng ®ã. A GT: D ABC, trung tuyÕn AD, BE, CF F GÆp nhau t¹i 0. AG, BH, CK, OL M O E ®Òu xy B y KL: AG + BH + CK = 3 OL. D Suy xÐt: Bµi nµy nÕu muèn ¸p dông x (3) ®Ó t¹o nªn mét ®o¹n th¼ng b»ng tæng ba H N L G P K ®o¹n th¼ng kia th× kh«ng sao lµm ®­îc, ta ph¶i nghÜ c¸ch kh¸c. Tõ ®Þnh lý nh÷ng ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng cho tr­íc th× // víi nhau, ta biÕt bèn ®­êng th¼ng ®ã // víi nhau vµ tõ ®Þnh lý “Träng t©m cña mét tam gi¸c c¸ch ®Ønh mét ®o¹n b»ng 2/3 trung tuyÕn h¹ tõ ®Ønh ®ã xuèng c¹nh ®èi diÖn”. BiÕt BO = 2OE, ta cã thª lÊy ®iÓm gi÷a cña BO lµ M, dùng MN ! xy, EP ! xy, t¹o nªn h×nh thang MNPE, BHLO, AGKC, cã OL, MN, EP lÇn l­ît // lµ ®­êng trung b×nh cña c¸c h×nh thang trªn. Ta cã thÓ øng dông ®Þnh lý “§­êng trung b×nh cña h×nh thang b»ng 1/2 tæng hai ®¸y” vµ chøng minh ®­îc bµi trªn. Chøng minh: Lý do: 1. LÊy ®iÓm gi÷a cña BO lµ M, dùng MN xy; EP xy. 2. V× BH//MN//OL//AG//EP//CK 3. BM = MO = OE; AE = EC 4. Nªn HN = NL = LP 5. MN + EP = 2OL 6. 2MN+2EP = 4OL 7. Nh­ng 2MN = BH + OL 2EP = AG + CK 8. AG + BH + CK + OL = 4OL 9. VËy AG + BH + CK = 3OL 1. Mçi ®o¹n th¼ng ®Òu cã ®iÓm gi÷a; tõ mét ®iÓm ngoµi ®­êng th¼ng cã thÓ h¹ ®­êng vu«ng gãc xuèng ®­êng th¼ng ®ã. 2. Nh÷ng ®­êng th¼ng cïng víi mét ®­êng th¼ng kh¸c th× // víi nhau. 3. Theo ®Þnh lý vÒ träng t©m tam gi¸c vµ gi¶ thiÕt. 4. Theo ®Þnh lý nh÷ng ®­êng th¼ng // c¸ch ®Òu. 5. Theo ®Þnh lý ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c. 6. Suy ra tõ 5 7. Gièng 5 8. Thay 7 vµo 6. 9. ChuyÓn vÕ vµ ­íc l­îc. 6. BiÕn ®æi h×nh vÏ, lµm cho bµi trë lªn dÔ chøng minh h¬n tr­íc. D G E VÝ dô 8: Mét tam gi¸c cã hai c¹nh ®èi A kh«ng b»ng nhau, th× tæng cña c¹nh lín vµ ®­êng cao trªn c¹nh Êy, lín h¬n tæng cña F c¹nh bÐ vµ ®­êng cao trªn c¹nh ®ã. H GT: Cho DABC; AB > AC; B C BD, CE lµ ®­êng cao. KL: AB + CE > AC + BD Suy xÐt: NÕu t¹o nªn mét ®o¹n th¼ng b»ng AB + CE vµ mét ®o¹n kh¸c b»ng AC + BD th× kh«ng chøng minh ®­îc. Do ®ã ta ph¶i biÕn ®æi kÕt luËn cña bµi ra: ChuyÓn vÕ bÊt ®¼ng thøc cña kÕt luËn, ta sÏ ®­îc AB – AC > BD – CE. Trªn c¹nh lín AB lÊy AF = AC, th× BF = AB – AC; Dùng FG AC, FH BG t¹o nªn mét ®o¹n BH = BD – HD = BD – CE. Nh­ vËy ta ®· ®æi bµi tËp trªn trë thµnh mét bµi tËp kh¸c ph¶i chøng minh BF > BH. Chøng minh: Lý do: 1. Trªn AB lÊy AF = AC. Nèi FC, dùng FG AC, FH BD. 2. V× FG//BD, FH//AC 3. Nªn tø gi¸c FHDG lµ hbh 4. FG = HD 5. FG = CE. 6. HD = CE 7. BH = BD – HD = BD – CE. 8. BF = AB – AF = AB - AC 9. V× ^FHB = 900 10. Nªn ta cã BF > BH 11. Hay AB – AC > BD – CE. 12. VËy AB + CE > AC + BD. 1. Trªn ®o¹n lín cã thÓ lÊy mét ®o¹n b»ng ®o¹n nhá h¬n; Qua hai ®iÓm kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng; tõ mét ®iÓm ngoµi ®­êng th¼ng h¹ ®­îc ®­êng xuèng ®­êng th¼ng ®ã. 2. Hai ®­êng th¼ng cïng víi ®­êng th¼ng thø ba th× // víi nhau. 3. Tø gi¸c cã c¸c cÆp c¹nh ®èi // víi nhau lµ hbh 4. C¹nh ®èi h×nh b×nh hµnh th× b»ng nhau. 5. §­êng cao h¹ ®Õn hai c¹nh bªn cña tam gi¸c c©n th× b»ng nhau. 6. Suy ra tõ 4 vµ 5 7. Suy tõ 6 8. Suy tõ 1 vµ gi¶ thiÕt 9. Theo c¸ch dùng ë 1. 10. Trong tam gi¸c vu«ng, c¹nh huyÒn lín nhÊt 11. Thay 7, 8 vµo 10. 12. ChuyÓn vÕ c¸c sè h¹ng. Chó ý: B¹n thö tõ trªn AB lÊy BK = AC, tõ K dùng KL AC, KM BD, xem cã chøng minh ®­îc bµi nµy kh«ng ? HoÆc trªn CA kÐo dµi lÊy mét ®iÓm P sao cho AP = AB xem cã chøng minh ®­îc kh«ng ? II. C¸c lo¹i ®­êng phô: §­êng phô th­êng cã 10 lo¹i d­íi ®©y: (1) KÐo dµi mét ®o¹n th¼ng cho tr­íc víi ®é dµi tuú ý, hoÆc b»ng ®é dµi cho tr­íc hoÆc c¾t mét ®o¹n th¼ng kh¸c. Nh­ vÝ dô 4 vµ 5. (2) Nèi hai ®iÓm cho tr­íc hoÆc hai ®iÓm cè ®Þnh (gåm c¶ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®o¹n th¼ng cè dÞnh), ®iÓm n»m trªn mét ®o¹n th¼ng cho tr­íc vµ c¸ch ®Çu ®o¹n th¼ng ®ã mét kho¶ng cho tr­íc). Nh­ trong vÝ dô 3 ; 5; 6; vµ 8. (3) Tõ mét ®iÓm cho tr­íc dùng ®­êng song song víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc, hoÆc dùng ®­êng song song víi ®­êng mµ ta cÇn chøng minh ®­êng nµy s«ng song víi mét ®­êng nµo ®ã. Nh­ trong vÝ dô 1 vµ 2. (4) Tõ mét ®iÓm cho tr­íc h¹ ®­êng vu«ng gãc xuèng mét ®­êng th¼ng cho tr­íc. Nh­ trong vÝ dô 7 vµ 8. (5) Dùng ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr­íc. Nh­ trong vÝ dô 9 (c¸ch gi¶i I) (6) Dùng ®­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cho tr­íc hîp thµnh víi mét ®­êng th¼ng kh¸c mét gãc b»ng gãc cho tr­íc, nh­ trong c¸ch gi¶i II cña vÝ dô 9 d­íi ®©y: VÝ dô 9: Gãc xen gi÷a c¹nh ®¸y vµ ®­êng cao cña c¹nh bªn trong mét tam gi¸c c©n b»ng nöa gãc ë ®Ønh. A GT: Trong DABC, AB = AC CD AB. D KL: DCB = 1/2 A. C¸ch gi¶i I: B E C Chøng minh: Lý do: 1. Dùng ph©n gi¸c cña A lµ AE. 2. Th× AE BC 3. 3 = 4 4. B = B 5. 1 = 2. 6. 2 = 1/2 A 7. VËy 1 = 1/2 A 1. Mèi gãc ®Òu cã mét ®­êng ph©n gi¸c. 2.Trong tam gi¸c c©n, ®­êng ph©n gi¸c ë ®Ønh võa lµ ®­êng cao. 3. Gãc vu«ng b»ng nhau 4. Kh«ng ®æi. 5. Hai tam gi¸c cã hai gãc t­ng øng b»ng nhau tõng ®«i mét th× cÆp gãc thø ba còng b»ng nhau. 6. Theo 1 7. Thay 5 vµo 6. C¸ch gi¶i II: . A E D B C Chøng minh: Lý do: 1. Tõ C dùng CE sao cho 1 = 2 2. 3 = 4; CD = CD 3. DBCD = DECD 4. 5 = B 5. Mµ B = C. 6. BCE = A 7. 21 = A 8. VËy 1 = 1/2 A 1. Tõ mét ®iÓm cã thÓ dùng mét ®­êng th¼ng hîp thµnh víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc mét gãc b»ng 1 gãc cho tr­íc. 2.Gãc vu«ng b»ng nhau; kh«ng ®æi. 3. gcg 4. Hai gãc t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau th× b»ng nhau. 5. Gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n b»ng nhau. 6. Hai tam gi¸c cã hai gãc t­ng øng b»ng nhau tõng ®«i mét th× cÆp gãc thø ba còng b»ng nhau. 7. Thay 1 vµo 6. 8. ChyÓn vÕ 7. (7) Tõ mét ®iÓm cho tr­íc, dùng tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn cho tr­íc. VÝ dô 10: BD vµ CE lµ ®­êng cao F cña tam gi¸c ABC, O lµ t©m ®­êng A trßn ngo¹i tiÕp. Chøng minh AO ED. Suy xÐt: C Dùng tiÕp tuyÕn AF , t¹i A; th× B FAB = ACB (cïng ch¾n cung AB cña (O)); chøng minh ®­îc tø gi¸c BEDC néi tiÕp; do ®ã ACB = AED (cïng bï víi gãc DEB) suy ra FAB = AED hai gãc nµy ë vi trÝ so le trong b»ng nhau nªn AF//ED; mµ AF OA (B¸n kÝnh vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i tiÕp ®iÓm) nªn DE OA. B¹n h·y tù chøng minh. (8) Bµi ra cho hai ®­êng trßn giao nhau, th× kÎ ®­îc d©y cung chung. (9) Bµi ra cho hai ®­êng trßn tiÕp xóc nhau, ta cã thÓ dùng ®­îc tiÕp tuyÕn chung hoÆc ®­êng nèi t©m. (10) NÕu 4 ®iÓm cïng n»m trªn mét ®­êng trßn, th× qua 4 ®iÓm ®ã cã thÓ dùng thªm ®­êng trßn phô. III. Nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý khi vÏ ®­êng phô: (1) Muèn ®­êng phô gióp Ých cho viÖc chøng minh th× vÏ ®­êng phô ph¶i cã môc ®Ých, kh«ng nªn vÏ tuú tiÖn. NÕu kh«ng th× ch¼ng gióp ®­îc g× cho viÖc chøng minh, l¹i cßn lµm cho h×nh vÏ rèi ren, hoa m¾t, khã mµ t×m ®­îc c¸ch gi¶i ®óng. Ta nªn ®Æc biÖt l­u ý phÇn nµy. (2) VÏ ®­êng phô ph¶i tu©n theo phÐp dùng h×nh c¬ b¶n. nh÷ng ®­êng kh«ng cã trong phÐp dùng h×nh c¬ b¶n tuyÖt ®èi kh«ng ®­îc dùng. Trong vÝ dô 6: c¨n cø vµo phÐp dùng h×nh c¬ b¶n, ta thÊy “T×m ®iÓm gi÷a cña mét ®o¹n th¼ng” vµ nèi hai ®iÓm cho tr­íc” lµ c¸c b­íc lµm hîp lý. NÕu kh«ng nãi “lÊy ®iÓm gi÷a cña AC lµ E, nèi DE” mµ thay b»ng c¸ch nãi sau: a) Dùng ®­êng trung trùc cña AC lµ DE. b) Tõ D dùng DE//BC, sao cho AE = EC. c) Tõ D dùng DE AC, sao cho AE = EC. Th× ®Òu kh«ng hîp lý. ë a, ®­êng trung trùc cña AC ch­a ch¾c ®· ®i qua D. trong b, c, qua D dùng ®­êng song song víi BC, hoÆc tõ D h¹ ®­êng vu«ng gãc xuèng AC, ®Òu ch­a thÓ x¸c ®Þnh ®­êng ®ã cã chia ®«i AC hay kh«ng, nªn tr¸i víi phÐp dùng h×nh. (3) Cã khi ®­êng phô vÏ thªm còng lµ mét ®­êng nµo ®ã, nh­ng v× c¸ch dùng kh¸c nhau, nªn c¸ch chøng minh còng kh¸c nhau. Nh­ trong vÝ dô 6, phÇn chøng minh, nÕu thay “tõ D dùng DE//BC” th× ph¶i dïng ®Þnh lý “ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm gi÷a cña mét c¹ch cña tam gi¸c mµ song song víi c¹nh thø hai th× ph¶i ®i qua ®iÓm gi÷ cña c¹nh thø ba” ®Ó chøng minh AE = EC. Hay nÕu thay b»ng “Tõ D h¹ DE AC” th× ph¶i dïng ®Þnh lý “hai ®­êng th¼ng hîp thµnh víi mét c¸t tuyÕn mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau th× song song víi nhau” ®Ó chøng minh DE//BC, råi l¹i ph¶i chøng minh ®­êng trung b×nh ë trªn ®Ó chøng minh AE = EC. D KÕt luËn: H ×nh häc lµ m«n häc suy diÔn b»ng lý luËn chÆt chÏ, tõ nh÷ng nguyªn nh©n nµo ®ã nhÊt thiÕt ph¶i suy ra ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ nµo ®Êy, kh«ng m¬ hå mét tý nµo. Mçi c©u nãi trong lóc chøng minh ®Òu ph¶i cã lý do x¸c ®¸ng, tuyÖt ®èi kh«ng qua loa ®­îc. VÏ thªm ®­êng phô trong chøng minh h×nh häc còng vËy, ph¶i hÕt søc c©n nh¾c t×m cho ra ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong h×nh vµ nh÷ng yÕu tè ®· cho cña gi¶ thiÕt. Nh÷ng ®­êng phô vÏ thªm ®ã, khi b¾t ®Çu chøng minh cÇn ghi ngay vµo ®Çu bµi lµm, nãi râ ®· vÏ nh­ thÕ nµo. Qua viÖc vËn dông kinh nghiÖm trªn trong gi¶ng d¹y, nhiÒu häc sinh ®· biÕt vËn dông ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp h×nh häc. Thµnh phè Lµo Cai, Th¸ng 01 n¨m 2005 Ng­êi viÕt §ç M¹nh Th¾ng

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docVẽ đường phụ trong chứng minh hình học phẳng.doc
Luận văn liên quan