Chuyên đề Giải các dạng bài tập xử lí tín hiệu số bậc đại học chuyên ngành kỹ thuật

của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt c1 và c2 tương ứng. Biểu diễn Hbs(ej) qua đặc tính tần số Hbp(ej) của bộ lọc dải thông: )()( 1  jbp j bs ee HH  [5.1-20] Theo [5.1-20] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải chặn có các tần số cắt c1 và c2 , từ đặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt tương ứng. Đặc tính xung hbs(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :           deeeeIFTnh njj lp j lp j bsbs HHH .)()()()( 121 2 1        1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 )( c c c c deedeedenh njjnjjnjbs            1 1 2 2 )()( )()( )( 1 2 11 2 11 2 1 c c c c njnjnj bs enj e nj e jn nh                     1 201 )( )](sin[ )( )](sin[)sin( )( 12 . .           n n n n n n nh ccbs [5.1-21] )]([ )](sin[ )( )](sin[ . )sin( )( 1 11 2 22.           n n n n n n nh c cc c cc bs [5.1-22] Hay : )()()()( 12 nhnhnnh lplpbs   [5.1-23] Hoặc : )()()( nhnnh bpbs   [5.1-24] Theo [5.1-23] có thể tìm được đặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải chặn khi biết đặc tính xung hlp1(n) và hlp1(n) của các bộ lọc thông thấp tương ứng. Theo [5.1-24] có thể tìm được đặc tính xung hbs(n) của bộ lọc dải chặn khi biết đặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải thông tương ứng. Ví dụ 5.4 : Hãy xác định và vẽ đặc tính xung hbs(n) của bộ lọc số dải chặn lý tưởng pha không có các tần số cắt 31  c và 22  c . Giải : Có đặc tính xung của bộ lọc dải chặn pha không lý tưởng :       . )sin( . )sin( . )sin( )()()( 32. n n n n n n nhnnh bpbs  Theo công thức trên và kết quả của ví dụ 5.3 lập được bảng 5.4 : Bảng 5.4 n 0  1  2  3  4  5  6  7  8 hbp(n) 0,17 0,04 - 0,14 - 0,11 0,07 0,01 0 - 0,08 - 0.03 hbs(n) 0,83 - 0,04 0,14 0,11 - 0,07 - 0,01 0 0,08 0.03 Theo các số liệu trên, xây dựng được đồ thị đặc tính xung của bộ lọc dải chặn lý tưởng với 31  c và 22  c trên hình 5.8. hhp(n) 0,83 0,14 -0,07-0,07 0,14 0,11 0,08 0,11 0,08 n ...... -0,04 -0,04 202 Hình 5.8 : Đặc tính xung của bộ lọc dải chặn lý tưởng. Theo biểu thức [5.1-22] và kết quả ví dụ 5.4 , có nhận xét : Bộ lọc dải chặn lý tưởng là hệ xử lý số IIR không nhân quả, vì thế nó không thể thực hiện được trên thực tế. 5.1.5 Tham số của các bộ lọc số thực tế Tất cả các bộ lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số dạng chữ nhật, nên đặc tính xung của chúng đều là dãy không nhân quả có độ dài vô hạn, vì thế không thể thực hiện được các bộ lọc số lý tưởng. Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc số thực tế thường có độ nhấp nhô trong dải thông và dải chặn, với hai biên là sườn dốc (xem hình 5.9) . Hình 5.9 : Đặc tính biên độ tần số của một bộ lọc thông thấp thực tế. Để đặc trưng cho bộ lọc thực tế, người ta sử dụng các tham số sau : 1. Loại bộ lọc : Thông thấp, thông cao, dải thông, dải chặn. 2. Tần số giới hạn dải thông c (hay fc ). 3. Tần số giới hạn dải chặn p (hay fp ). 4. Độ rộng dải quá độ  p = |p - c|(hay fp ). 5. Độ nhấp nhô trong dải thông 1. Trong dải thông, đặc tính biên độ tần số H(ej) phải thỏa mãn điều kiện : (1 - 1)  H(ej)  (1 + 1) [5.1-25] 6. Độ nhấp nhô trong dải chặn 2. Trong dải chặn, đặc tính biên độ tần số H(ej) phải thỏa mãn điều kiện : H(ej)  2 [5.1-26] Bộ lọc số thực tế có p , 1 và 2 càng nhỏ thì đặc tính biên độ tần số càng gần giống dạng chữ nhật, nên độ chọn lọc tín hiệu càng tốt. 5.2 phân tích bộ lọc số fir pha tuyến tính 5.2.1 Đặc tính xung h(n) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính Các bộ lọc số FIR có đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên hàm hệ thống là :     1 0 )()( N n nznhzH Vì đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên bộ lọc FIR luôn ổn định, có nghĩa là tất cả các điểm cực của hàm hệ thống H(z) nằm trong đường tròn đơn vị |z| = 1 . Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR : 203 )( 1 0 ).().()(  jj n njj eeAenhe N H      Trong chương này chỉ nghiên cứu các bộ lọc số FIR có pha tuyến tính :   )( [5.2-1] Trong đó  và  là các hằng số, và  là thời gian truyền lan của tín hiệu qua bộ lọc :   d d )( [5.2-2] Theo [5.2-2] tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đi qua bộ lọc số FIR pha tuyến tính đều bị giữ trễ như nhau, vì thế tín hiệu không bị méo dạng phổ. Vì H(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2 nên chỉ cần nghiên cứu đặc tính biên độ tần số H(ej) và pha () khi (-    ) hoặc (0    2). Mặt khác, nếu bộ lọc số có đặc tính xung h(n) là dãy thực thì theo tính chất của biến đổi Fourier có : )()(  jj ee HH  và : )()(   Như vậy, H(ej) là hàm chẵn và đối xứng, còn () là hàm lẻ và phản đối xứng. Vì thế, khi đặc tính xung h(n) là dãy thực thì chỉ cần nghiên cứu bộ lọc số trong khoảng (0    ). Theo [5.2-1] , có hai trường hợp bộ lọc FIR pha tuyến tính : 1.  = 0  () = -  2.   0  () =  -  5.2.1a Trường hợp  = 0 , () = -  Khai triển công thức Euler, biểu diễn đặc tính tần số dưới dạng :  ).sin().cos().().()(  jeAeeAe jjjjH   ).sin().().cos().()(   jjj ejAeAeH  [5.2-3] Mặt khác có :         1 0 1 0 ).sin().cos().().()( NN nn njj njnnhenheH        1 0 1 0 ).sin().().cos().()( NN nn j nnhjnnheH  [5.2-4] Từ [5.2-3] và [5.2-4] có :     1 0 ).cos().().cos().( N n j nnheA      1 0 ).sin().().sin().( N n j nnheA  Suy ra :       1 0 1 0 ).cos().( ).sin().( ).( N N n n nnh nnh tg    Vì sin0 = 0 và cos0 = 1 nên có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng :         1 1 1 1 ).cos().()( ).sin().( ).( 0 N N n n nnhh nnh tg    Từ đây có 2 trường hợp,  = 0 là bộ lọc pha không, và   0 . Trường hợp  = 0 : 0 0 00 0 1 1 1 1 ).cos().()( ).sin().().sin()( ).(           N N n n nnhh nnhh tg    204 Tức là h(n)  0 khi n = 0, và h(n) = 0 với mọi n  0. Bộ lọc như vậy không có ý nghĩ thực tế và không thể thực hiện được, vì tín hiệu truyền qua bộ lọc luôn bị giữ trễ, cho dù thời gian giữ trễ là rất nhỏ. Trường hợp   0 : 0 1 0 1 0 ).cos().( ).sin().( ).cos( ).sin( ).(        N N n n nnh nnh tg     Hay:       1 0 1 0 ).sin().().cos().cos().().sin( NN nn nnhnnh  Vậy : 0 1 0 1 0 ).sin().().cos().cos().().sin(       NN nn nnhnnh  Tiếp tục biến đổi lượng giác sẽ nhận được phương trình : 0 1 0 )(sin).(    N n nnh  [5.2-5] Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại : 2 1 N [5.2-6] và : )()( 1 nhnh N  với ),( 10  Nn [5.2-7] Theo [5.2-7] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính khi  = 0 là dãy đối xứng. - Khi  = 0 và N lẻ, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1. - Khi  = 0 và N chẵn, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2. Ví dụ 5.5 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính có () = -. , với N = 5 và h(0) = -1 h(1) = 1 , h(2) = 2 . Tìm  và vẽ đặc tính xung h(n) của bộ lọc. Giải : Vì  = 0 và N lẻ nên đây là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1. Theo [5.2-6] có : 2 2 15 2 1  N Theo [5.2-7] có : )()()( 415 nhnhnh  Vậy : 104 )()(  hh 113 )()(  hh 22)( h Đặc tính xung h(n) có trục đối xứng tại n =  = 2 , đồ thị h(n) ở hình 5.10. Hình 5.10 : h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1. Ví dụ 5.6 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính có () = -. , với N = 4 và h(0) = -1 h(1) = 1. Tìm  và vẽ đặc tính xung h(n) của bộ lọc. Giải : Vì  = 0 và N chẵn nên đây là bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 . Theo [5.2-6] có : 5,1 2 14 2 1  N Theo [5.2-7] có : )()()( 314 nhnhnh  Vậy : 103 )()(  hh 112 )()(  hh Đặc tính xung h(n) có trục đối xứng tại n =  = 1,5, đồ thị h(n) ở hình 5.11. Hình 5.11 : h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2. Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có đặc tính xung h(n) đối xứng giống như các bộ lọc số lý tưởng. 1 0 1 2 4 n h(n) -1 -1 1 h(n) 10 3 -1-1 n 5 1 2 2 1 205 - Tâm đối xứng của h(n) tại điểm n =  . Nếu N lẻ thì  là số nguyên và trục đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại n = (N - 1)/2 . Còn nếu N chẵn thì  là số thập phân và trục đối xứng nằm giữa hai mẫu tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2). 5.2.1b Trường hợp   0 , () =  -  Bằng cách biến đổi tương tự như trường hợp trên, nhận được :   0 1 0 )(sin)(    N n nh  [5.2-8] Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại : 2 1 N ; 2   [5.2-9] và : )()( 1 nhnh N  với ),( 10  Nn [5.2-10] Theo [5.2-10] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong trường hợp   0 là dãy phản đối xứng. - Khi   0 và N lẻ gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3. - Khi   0 và N chẵn gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4. Ví dụ 5.7 : Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có () =  -  , với N = 7 và h(0) = -1 , h(1) = -0,5 , h(2) = 1,5 . Tìm  và vẽ đặc tính xung của bộ lọc. Giải : Vì   0 và N lẻ nên đây là bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3. Theo [5.2-9] có : 3 2 17 2 1  N Theo [5.2-10] có : )6()()( 17 nhnhnh  Vậy : 10)()6(  hh 5,01)()5(  hh 5,12)()4(  hh 0)3( h Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối xứng tại n =  = 3 , đồ thị h(n) trên hình 5.12. Hình 5.12 : h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3. Ví dụ 5.8 : Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có () =  -. , với N = 4 và h(0) = -1 , h(1) = 1. Tìm  và vẽ đặc tính xung h(n) của bộ lọc. Giải : Vì   0 và N chẵn nên đây là bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 . Theo [5.2-9] có : 5,1 2 14 2 1  N Theo [5.2-10] có : )()()( 314 nhnhnh  Vậy : 10)()3(  hh 11)()2(  hh Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối xứng tại n = 1,5 , đồ thị h(n) ở hình 5.13. Hình 5.13 : h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4. Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đặc tính xung h(n) phản đối xứng. - Tâm phản đối xứng của h(n) tại điểm n =  . Nếu N lẻ thì  là số nguyên và tâm phản đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại n = (N - 1)/2 và tại đó h(n) = 0. Còn nếu N chẵn thì  là số thập phân và tâm phản đối xứng nằm giữa hai mẫu tại n = [(N/2) - 1] và n = (N/2). Như vậy. có bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính () =  - : - Bộ lọc loại 1 :  = 0 , N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng. - Bộ lọc loại 2 :  = 0 , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng. 2 3 n h(n) -1,5 5 1,5 -0,5 6 7 0,5 -1 1 0 h(n) 2 n 0 -1 -1 1 1 4 206 - Bộ lọc loại 3 :  =  /2 , N lẻ, đặc tính xung h(n) phản đối xứng. - Bộ lọc loại 4 :  =  /2 , N chẵn, đặc tính xung h(n) phản đối xứng. 5.2.2 Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính Khi h(n) là dãy thực thì chỉ cần khảo sát đặc tính tần số H(ej) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong đoạn   [ 0   ] . 5.2.2a Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có () = - và N lẻ, đặc tính tần số là :  jj n njj eeAenhe N H      ).()()( 1 0 Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :                                          1 1 2 1 2 112 1 0 )()()( 2 1 N N N N n nj j n njj enhehenhe N H   Đổi biến thành phần thứ 3, đặt )( 1 nm N  => )( 1 mn N  , khi        1 2 1N n thì     1 2 1N m , khi )( 1 Nn thì 0m :                                         0 1 2 1 )1(2 112 1 0 )()()( 1 2 1 N N N N m mj j n njj emhehenhe N N H   Đảo chiều chỉ số và đổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n :                                        1 2 1 0 )1(2 112 1 0 )()()( 1 2 1 N N N N n nj j n njj enhehenhe N N H   Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có )()( 1 nhnh N   , nên :             1 2 1 0 )1(2 1 )()( 2 1 N N N n njnj j j eenhehe N H   [5.2-11] Trong đó :                            njnjjnjnj NNN N eeeee 2 1 2 1 2 1 )1(  Hay :                   neee N N N j njnj 2 1 .2 cos2 1 )1(   Do đó [5.2-11] được đưa về dạng :                          2 11 2 1 0 2 1 .cos)()( 2 1 .2 2 1 NNN j n j j ennhehe NN H   Hay :                              2 11 2 1 0 2 1 .2 2 1 cos)()( NN j n j ennhhe NN H   Đổi biến, đặt        nm N 2 1 =>        mn N 2 1 , khi 0n thì       2 1N m , khi       1 2 1N n thì 1m , nhận được :                              2 11 2 1 ..cos)( 2 1 .2 2 1 N N j m j emmhhe NN H   207 Đổi biến m trở về n, đảo cận của tổng và thêm cos(.0) = 1 vào số hạng đầu :                               2 1 2 1 1 ..cos.cos)( 2 1 .20 2 1 NN j n j ennhhe NN H   Hay :    jj N j n j eeAennae N H                       ).(.).cos()()( 2 1 2 1 0 [5.2-12] Với các hệ số của chuỗi :       2 1 0)( N ha và       nhna N 2 1 .2)( khi 1n [5.2-13] Từ [5.2-12] , đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 :     2 1 0 ).cos()()( N n j nnaeH  [5.2-14] Với các hệ số a(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-13] . Đặc tính pha : 2 1 2 1 )(       NN  [5.2-15] Nhận xét : Vì cos(0) = 1 nên bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 không thể dùng để làm bộ lọc có H(ej) = 0 tại  = 0 , đó là các bộ lọc thông cao và dải thông [trừ khi bộ lọc có đặc tính xung với 002/1 )()(  ah N ]. Ví dụ 5.9 : Hãy xác định các đặc tính tần số () và H(ej) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 ở ví dụ 5.5. Đồ thị đặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.14. Vẽ đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc đã cho. Giải : Đặc tính pha theo [5.2-15]: 2 2 15 2 1  N   .)( 2 Theo [5.2-14] có đặc tính biên độ tần số :    2 0 ).cos()()( n j nnaeH  Tính các hệ số a(n) theo [5.2-13]: 22 2 1 0 )()(       hha N 21.21 2 1 .21 )()(       hha N ;   20.222.22 )()(  hha Theo giá trị các hệ số nhận được : )cos()cos()( 2222  jeH Hình 5.14 : Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính loại 1 ở ví dụ 5.9. Trên hình 5.14 là đặc tính biên độ tần số H(ej)của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 đã cho, đây là bộ lọc thông thấp. 5.2.2b Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 có () = - và N chẵn, đặc tính tần số là :  jj n njj eeAenhe N H      ).()()( 1 0 h(n) 10 3 -1-1 n 5 1 2 2 1 208 Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :         1 2 1 2 0 )()()( N N N n nj n njj enhenheH  Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 5.2.2a , nhận được :                                  2 1 2 1 .)(cos)()( 12 2 N N j n j ennbeH   [5.2-16] Với các hệ số :       nhnb N 2 .2)( [5.2-17] Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 :        2 1 )(cos)()( 12 2 N n j nnbeH  [5.2-18] Với các hệ số b(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-17]. Đặc tính pha : 2 1 2 1 )(       NN  [5.2-19] Nhận xét : Khi  =   thì 012 2 12 2 )(cos)(cos          nn  với mọi n nên H(ej) = 0 khi  =   . Như vậy, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 không thể dùng để xây dựng bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại  =   , đó là bộ lọc thông cao và bộ lọc dải chặn. Ví dụ 5.10 : Hãy xác định các đặc tính tần số () vàH(ej)của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 ở ví dụ 5.6. Đồ thị đặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.15. Vẽ đặc tính biên độ tần sốH(ej)của bộ lọc đã cho. Giải : Theo [5.2-19] có đặc tính pha : 5,1 2 14 2 1  N   .)( 5,1 Theo [5.2-18] có đặc tính biên độ tần số :        2 1 )(cos)()( 12 2n j nnbeH  Với các hệ số b(n) được xác định theo [5.2-17] : 21.212.21 2 .21 )()()(       hhhb N ; 20.222.22 )()()(  hhb Vậy : )cos()cos()( 5,125,02  jeH Hình 5.15 : Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc dải thông FIR pha tuyến tính loại 2 ở ví dụ 5.10. Trên hình 5.15 là đặc tính biên độ tần số H(ej)của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 đã cho, đây là bộ lọc dải thông. 5.2.2c Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có () =  - và N lẻ, đặc tính tần số là :  jj n njj eeAenhe N H      ).()()( 1 0 Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần : 1 0 1 2 4 n h(n) -1 -1 1 209                                          1 1 2 1 2 112 1 0 )()()( 2 1 N N N N n nj j n njj enhehenhe N H   Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có đặc tính xung h(n) phản đối xứng nên tại n = (N - 1)/2 thì h(n) = 0 . Do đó biểu thức trên có dạng :         1 1 2 1 1 2 1 0 )()()( N N N n nj n njj enhenheH  Đổi biến tổng thứ hai, đặt m = (N - 1 - n) => n = (N - 1 - m), nhận được :        0 1 2 1 )1( 1 2 1 0 )()()( 1 N N N m mj n njj emhenhe NH  Đổi lại biến m thành n và đảo chiều chỉ số của tổng thứ hai :         1 2 1 0 )1( 1 2 1 0 )()()( 1 N N N n nj n njj enhenhe NH  Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có )()( 1 nhnh N   , nên :       1 2 1 0 )1()()( N N n njnjj eenheH  Tiếp tục biến đổi tương tự ở mục 5.2.2a , nhận được :                        2 1 2 2 1 1 .).sin()()( N N j n j ennceH [5.2-20] Với các hệ số :  nhnhnc N       .2 2 1 .2)( [5.2-21] Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 :     2 1 1 ).sin()()( N n j nnceH  [5.2-22] Với các hệ số c(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-21]. Đặc tính pha :   .)( 2 1 2       N Suy ra : 2 1 N và 2   [5.2-23] Nhận xét : Với  = 0 và  =   thì 0)0sin(  và 0)sin(  với mọi n, nên khi đó H(ej) = 0 . Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 không thể dùng để xây dựng bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại  = 0 và  =   đó là các bộ lọc thông thấp, thông cao và bộ lọc dải chặn. Như vậy, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 chỉ xây dựng được bộ lọc dải thông. Ví dụ 5.11 : Hãy xác định các đặc tính tần số () vàH(ej)của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 ở ví dụ 5.7. Đồ thị đặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.16 . Vẽ đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc đã cho. Giải : Theo [5.2-23] có đặc tính pha tần số : 3 2 17 2 1  N    .)( 3 2  Theo [5.2-20] có đặc tính biên độ tần số :    2 1 ).sin()()( n j nnceH  Với các hệ số c(n) được xác định theo [5.2-21]:   35,1.22.213.21.21 )()()(  hhhc  15,0.21.22 )()(  hc ; 21.20.23 )()(  hc Vậy : )sin()sin()sin()( 3223  jeH 210 Hình 5.16 : Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc dải thông FIR pha tuyến tính loại 3 ở ví dụ 5.11. Trên hình 5.16 là đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 đã cho, đây là bộ lọc dải thông. 5.2.2d Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 có () =  - và N chẵn, đặc tính tần số là :  jj n njj eeAenhe N H      ).()()( 1 0 Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :         1 2 1 2 0 )()()( N N N n nj n njj enhenheH  Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 2.3, nhận được :                2 1 2 2 1 .)(sin)()( 12 2 N N j n j enndeH [5.2-24] Với các hệ số :       nhnd N 2 .2)( [5.2-25] Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 :        2 1 )(sin)()( 12 2 N n j nndeH  [5.2-26] Với các hệ số d(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-25]. Đặc tính pha :   .)( 2 1 2       N Suy ra : 2 1 N và 2   [5.2-27] Nhận xét : Với  = 0 thì 00)sin(  , khi đó H(ej) = 0 . Vì thế, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 không thể dùng để xây dựng bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại  = 0 , đó là các bộ lọc thông thấp và dải chặn. Ví dụ 5.12 : Hãy xác định các đặc tính tần số () vàH(ej)của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 ở ví dụ 5.8. Đồ thị đặc tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.17. Vẽ đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc đã cho. Giải : Theo [5.2-27] có đặc tính pha : 5,1 2 14 2 1  N    .)( 5,1 2  Theo [5.2-24] có đặc tính biên độ tần số :        2 1 )(sin)()( 12 2n j nndeH  Với các hệ số c(n) được xác định theo [5.2-25] : 2121 2 .21 )(.)(       hhd N ; 20.222.22 )()()(  hhd 2 3 n h(n) -1,5 5 1,5 -0,5 6 7 0,5 -1 1 0 211 Vậy : )sin()sin()( 5,125,02  jeH Hình 5.17 : Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính loại 4 ở ví dụ 5.12. Trên hình 5.17 là đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 đã cho, đây là bộ lọc thông cao. Theo dạng đặc tính biên độ tần số H(ej) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính đã phân tích ở trên, rút ra kết luận như sau : - Bộ lọc loại 1 chỉ làm được các bộ lọc thông thấp và dải chặn. - Bộ lọc loại 2 chỉ làm được các bộ lọc thông thấp và dải thông. - Bộ lọc loại 3 chỉ làm được bộ lọc dải thông. - Bộ lọc loại 4 chỉ làm được các bộ lọc thông cao và dải thông. 5.3.3 Phương pháp lấy mẫu tần số 5.3.3a Cơ sở của phương pháp lấy mẫy tần số Phương pháp lấy mẫu tần số sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Cơ sở của phương pháp lấy mẫu tần số là xấp xỉ đặc tính biên độ tần số HN(ej) của bộ lọc số cần tổng hợp theo đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc số lý tưởng cùng loại. Việc xấp xỉ được thực hiện bằng cách lấy mẫu tần số qua DFT, tức là làm cho các mẫu của HN(ej) và H(ej) bằng nhau tại các tần số rời rạc k = k1 = (k.2/N) : 11 )()(     k j k j ee HH N   Hay : )()( 11  jkjk ee HH N  [5.3-9] Bằng cách như vậy, tại các điểm tần số rời rạc k = k1 , sai số xấp xỉ giữa HN(ej) và H(ej) bằng 0, còn tại các tần số ở giữa khoảng k1 và (k + 1)1 thì sai số xấp xỉ là hữu hạn. Sai số xấp xỉ sẽ giảm nhỏ nếu giảm tần số lấy mẫu cơ bản 1 = (2/N), điều đó tương ứng với tăng độ dài N của đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số được tổng hợp. Trong miền k của DFT, biểu thức [5.3-9] có dạng : )()( kHkH N  Hay : )()( )()( kjkj eAeA kk N    )()( kk AA N   )()( kHkH N  Trong đó, H(k)N được lấy mẫu tần số từ đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc số lý tưởng cùng loại, tức là :    t•ëng.lý läcbé cña chÆni d¶thuécKhi t•ëng.lý läcbé cñath«ngi d¶thuécKhi   0 1 )()( kHkH N Hình 5.21 mô tả cách lấy mẫu đặc tính biên độ tần sốH(ej)của bộ lọc dải thông lý tưởng có các tần số cắt : c1 = 3/10 = 0,94 c2 = 8/10 = 2,51 Việc lấy mẫu tần số được thực hiện trong H(ej)  H(k)10 h(n) 2 n 0 -1 -1 1 1 4 3 82 97 101 4 60 5    k  1 1  212 một chu kỳ 0   < 2 , ứng với 0  k  9 và N = 10. Đặc tính biên độ tần số được lấy mẫu H(k)10trên hình 5.21 có Hình 5.21 : Lấy mẫu H(ej)  H(k)10. dạng đối xứng khi k  [1 , 9] . Trong dải thông của bộ lọc lý tưởng, H(k)10có sáu mẫu giá trị 1 , năm mẫu ở ngoài dải thông giá trị 0 :  0111011100 ,,,,,,,,,)( 10 kH Sau khi xác định được NN kkH A )()(  , theo [4.4-2] ở chương bốn có : )()()( kjeA NN kkH  [5.3-10] Từ các mẫu DFT H(k)N có thể tìm được đặc tính tần số HN(ej) của bộ lọc số cần tổng hợp theo công thức nội suy [tl] :                    N NN NN k j k j ee N k N kH N H     2 )1(1 0 . sin sin )( 1 )( 2 2 [5.3-11] Từ [5.3-11] , đối với bộ lọc số số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có :     . 2 11 0 1 .. sin sin )( 1 )( 2 2                         N N N N N NN jkj k jk j eeeAe N k N k N H Trong đó : kjk k j k jjk k jjk eeeeee NNN N NN N )(.. 1 1             Do đó có đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 :    .2 11 0 . sin )( )1( )sin( )( 2 5,0               NN N N j k kj e A e N k k N N H [5.3-12] Tương tự, đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 :                         .2 1 2 1 0 . sin )( )1( )sin( )( 2 5,0 N N N N j k kj e A e N k k N N H [5.3-13] Từ [5.3-12] và [5.3-13] có biểu thức xác định đặc tính biên độ tần số của cả bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp :           1 0 2 5,0 sin )( )1( )sin( )( N N N k kj N k k N N H A e   [5.3-14] Đặc tính pha () của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 :        .)( 2 1N N ; với  . 2 1      N [5.3-15] Đặc tính pha () của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 :         .)( 2 1 2 N N ; với 2   và  . 2 1      N [5.3-16] 213 Khi đặc tính tần số HN(ej) của bộ lọc cần tổng hợp thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho, thì bước tiếp theo có thể xác định đặc tính xung h(n)N của các bộ lọc số cần tổng hợp theo IDFT :  NN kHIDFTnh )()(  [5.3-19] Các bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có đặc tính xung h(n)N đối xứng khi 0  n  (N - 1) , và (k) có dạng [4.4-12] và [4.4-16] : k N N k . )( )( 1   [5.3-20] Hơn nữa, bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 có N lẻ, theo mục 4.4.2 chương bốn thì A(k)N đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần tổng hợp được xác định theo [4.4-13] :         2 1 1 1 )(cos.)()( )( )( 121 20 N N N N k k nA A nh N k k NN  [5.3-21] Còn bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 có N chẵn, theo mục 4.4.3 chương bốn thì A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần tổng hợp được xác định theo [4.4-17] :         1 2 1 2 )(cos.)()( )( )( 121 20 N N N N k k nA A nh N k k NN  [5.3-22] Các bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đặc tính xung h(n)N phản đối xứng khi 0  n  (N - 1), (k) có dạng [4.4-20] và [4.4-24] : k N N k . )( )( 1 2   [5.3-23] Hơn nữa, bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 có N lẻ, theo mục 4.4.4 chương bốn thì A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của bộ lọc cần tổng hợp được xác định theo [4.4-21] :          2 1 1 )1( 3 )(sin.)()()( 121 2 N NN k k nAnh N k k N  [5.3-24] Còn bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 có N chẵn, theo mục 4.4.5 chương bốn thì A(k)N đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần tổng hợp được xác định theo [4.4-25] :             1 2 1 4 )(sin.)()( )( )( 121 2 2 1 N N N N k k n nAAnh N k k N N N  [5.3-25] 5.3.3b Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp lấy mẫu tần số Các bước tổng hợp đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính theo phương pháp lấy mẫu tần số như sau : Bước 1 : Chọn số điểm lấy mẫu N [chính là độ dài của đặc tính xung h(n)N ]. Thực hiện lấy mẫu đặc tính biên độ tần số H(ej) của bộ lọc lý tưởng cùng loại trong một chu kỳ 0   < 2 để nhận được đặc tính biên độ tần số rời rạc H(k)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp. Bước 2 : Xác định đặc tính biên độ tần số HN(ej) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp bằng biểu thức nội suy [5.3-14] . Để tìm HN(ej) theo [5.3-14] , trước hết cần xác định A(k)N : - Bộ lọc loại 1 có A(k)N đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1). - Bộ lọc loại 2 có A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1). - Bộ lọc loại 3 : A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1), A(0)N = 0. - Bộ lọc loại 4 có A(k)N đối xứng trong khoảng 1  k  (N - 1), và A(0)N = 0 . Bước 3 : Kiểm tra đặc tính biên độ tần số HN(ej) có đạt các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho 1 , 2 , c ,  hay không ? Nếu đạt tất cả các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho thì giảm số điểm lấy mẫu N và thực hiện lại các bước trên cho đến khi chọn được Nmin đảm bảo đạt tất cả các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho. Nếu không đạt thì tăng số điểm lấy mẫu N và thực hiện lại các bước trên cho đến khi chọn được Nmin để HN(ej) của bộ lọc cần tổng hợp đạt được tất cả các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho. Bước 4 : Xác định đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp : ])([)( NN kHIDFTnh  [5.3-26] 214 - Đối với bộ lọc loại 1 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-21]. - Đối với bộ lọc loại 2 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-22]. - Đối với bộ lọc loại 3 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-24]. - Đối với bộ lọc loại 4 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-25]. Nếu N lớn, thì có thể sử dụng các thuật toán FFT để tính IDFT [5.3-26]. 5.4 thực hiện Bộ LọC Số fIR PHA TUYếN TíNH Sau khi tổng hợp đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính, hai bước tiếp theo để thực hiện bộ lọc là xây dựng cấu trúc của bộ lọc và lượng tử hóa, mã hóa các hệ số của bộ lọc. 5.4.1 Các cấu trúc dạng nối tiếp của bộ lọc số FIR pha tuyến tính 5.4.1a Bộ lọc số FIR pha tuyến tính cấu trúc chuẩn tắc Từ đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính, xác định được hàm hệ thống HN(z) của bộ lọc : )( )( .)()( 1 0 z z znhz X Y H N NN n n     [5.4-1] Vậy :     1 0 )(.)()( N N n n zznhz XY [5.4-2] Hay : )(.)(...)(.)()()()( )1(1 110 zzhzzhzhz XNXXY NNNN   a. Cấu trúc chuẩn tắc. b. Cấu trúc chuyển vị . Hình 5.24 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính cấu trúc chuẩn tắc và chuyển vị. Lấy biến đổi Z ngược cả hai vế của [5.4-2] , nhận được phương trình sai phân bậc không mô tả bộ lọc số FIR pha tuyến tính :     1 0 )()()( N N k kk nxhny [5.4-3] Hay : )()(...)(.)()()()( 11110  NN nxhnxhnxhny NNN D y(n) h(N-1) h(1) h(1) D D D h(N-1) h(2) h(2) + + + + D y(n) x(n)x(n) h(0) h(0) + + D 215 Theo các quan hệ vào ra không đệ quy [5.4-2] hoặc [5.4-3] , xây dựng được các bộ lọc số có cấu trúc không phản hồi, với các mẫu của đặc tính xung h(n)N chính là các hệ số của cấu trúc bộ lọc. Cấu trúc chuẩn tắc của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trên hình 5.24a được xây dựng trực tiếp từ phương trình sai phân [5.4-3] . Để thực hiện bộ lọc số FIR pha tuyến tính bằng phần cứng theo cấu trúc chuẩn tắc cần có bộ ghi dịch (N-1) nhịp, N bộ nhân, và (N-1) bộ cộng số hai lối vào. ở vị trí của bộ ghi dịch (N-1) nhịp, có thể dùng (N-1) ô nhớ hoặc thanh ghi chốt số liệu. Các bộ ghi dich, bộ nhân, bộ cộng hoặc thanh ghi chốt số liệu đều phải có số bít xử lý bằng số bít của tín hiệu số. 5.4.1b Bộ lọc số FIR pha tuyến tính cấu trúc chuyển vị Khi đổi vị trí của các bộ nhân và bộ trễ trong cấu trúc chuẩn tắc, nhận được cấu trúc chuyển vị trên hình 5.24b, trong đó tác động x(n) được nhân với các hệ số của bộ lọc, sau đó mới cộng và giữ trễ. Để thực hiện bộ lọc số FIR pha tuyến tính bằng phần cứng theo cấu trúc chuyển vị cần có (N- 1) ô nhớ hoặc thanh ghi chốt số liệu, ngoài ra cần N bộ nhân, và (N-1) bộ cộng. 5.4.1c Bộ lọc số FIR pha tuyến tính cấu trúc nối tầng Cấu trúc nối tầng dựa trên cơ sở biểu diễn hàm hệ thống HN(z) của bộ lọc số dưới dạng tích của các hàm cơ sở bậc một và bậc hai. Các hệ số của bộ lọc được xác định theo các không điểm của HN(z) :             LN M i iii n k kk n zbzbbzaaznhzH 1 2 2 1 10 1 1 1 1 10 .)()( [5.4-4] Hình 5.25 : Bộ lọc số FIR pha tuyến tính cấu trúc nối tầng. Theo [5.4-4] xây dựng được bộ lọc số FIR pha tuyến tính có cấu trúc gồm các tầng bậc một và bậc hai nối tiếp nhau như trên hình 5.25. Với cấu trúc nối tầng trên hình 5.25, có thể chế tạo các mô đun bậc một và bậc hai chuẩn, khi xây dựng bộ lọc số chỉ cần thiết lập các hệ số cụ thể cho mỗi mô đun và ghép nối tiếp chúng với nhau theo dạng của hàm hệ thống [5.4-4] . 5.4.2 Các cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính Cấu trúc dạng vòng được xây dựng trên cơ sở tính đối xứng hoặc phản đối xứng của đặc tính xung h(n)N các bộ lọc số FIR pha tuyến tính. 5.4.2a Cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 có  = 0 , N lẻ, h(n)N đối xứng h(n)N = h(N - 1 - n)N với tâm đối xứng tại n = (N - 1)/2 , nên có thể đưa HN(z) về dạng :   )( )( )()()( 1 2 1 0 )1(2 11 0 2 1 z z zznhzhznhz X YN H N N NN N n nn n n              X(z) Y(z) a0k + a1k b0i + b1i + b2i 1z 1z1z 216 Hình 5.26 : bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 cấu trúc dạng vòng.              1 2 1 0 )1(2 1 ).().()().()( 2 1 N N N n nn zzzznhzzhz XXX N Y [5.4-5] Theo [5.4-5] , xây dựng được cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 trên hình 5.26 Để thực hiện bộ lọc trên hình 5.26 bằng phần cứng, cần sử dụng (N - 1) ô nhớ hoặc thanh ghi chốt số liệu, (N - 1) bộ cộng, và [(N + 1)/2] bộ nhân. So với dạng chính tắc, số bộ nhân giảm gần một nửa 5.4.2b Cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 Bộ bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 có  = 0 , N chẵn , h(n)N đối xứng h(n)N = h(N - 1 - n)N nên có thể đưa HN(z) về dạng :          1 0 )1( 1 0 )( )( )()()( N N N N n nn n n z z zznhznhz X Y H X(z) Y(z) h(0) + + 1z 1z h(1) + + )1().(  NzzX + )2().(  NzzX 1z 2/)1().(  NzzX       2 1N h +       1 2 1N h 1z + 1z 217 Hình 5.27 : bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 cấu trúc dạng vòng. Vậy :      1 0 )1().().()()( N N n nn zzzznhz XXY [5.4-6] Theo [5.4-6] , xây dựng được cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 trên hình 5.27. Để thực hiện bộ lọc trên hình 5.27 bằng phần cứng, cần sử dụng (N - 1) ô nhớ hoặc thanh ghi chốt số liệu, (N - 1) bộ cộng, (N/2) bộ nhân. 5.4.2c Cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 Bộ bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 có   0 , N lẻ , h(n)N phản đối xứng h(n)N = - h(N - 1 - n)N nên có thể đưa HN(z) về dạng :   )( )( )()()( 1 2 1 0 )1(2 11 0 2 1 z z zznhzhznhz X YN H N N NN N n nn n n                           1 2 1 0 )1(2 1 ).().()().()( 2 1 N N N n nn zzzznhzzhz XXX N Y [5.4-7] Y(z) X( z) + + 1z 1z + + 1z + + ().(  NzzX + ().(  NzzX 1z ().( NzzX  1z 2/().(  NzzX     1 2 N h +     2 2 N h 1z 218 Hình 5.28 : bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 cấu trúc dạng vòng. Theo [5.4-7] , xây dựng được cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 trên hình 5.28. Để thực hiện bộ lọc trên hình 5.28 bằng phần cứng, cần sử dụng (N - 1) ô nhớ hoặc thanh ghi chốt, (N - 1) bộ cộng, và [(N+3)/2] bộ nhân. 5.4.2d Cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 Bộ bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 có   0 , N chẵn , h(n)N phản đối xứng h(n)N = - h(N - 1 - n)N nên có thể đưa HN(z) về dạng :          1 0 )1( 1 0 )( )( )()()( N N N N n nn n n z z zznhznhz X Y H Vậy :      1 0 )1().().()()( N N n nn zzzznhz XXY [5.4-8] X(z) Y(z) h(0) + 1z 1z h(1) + 1z + )1().(  NzzX + )2().(  NzzX 1z 2/)1().(  NzzX      2 1N h +       1 2 1N h 1z + -1 + 219 Hình 5.29 : Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 cấu trúc dạng vòng. Theo [5.4-8] , xây dựng được cấu trúc dạng vòng của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 trên hình 5.29. Để thực hiện bộ lọc trên hình 5.29 bằng phần cứng, cần sử dụng (N - 1) ô nhớ hoặc thanh ghi chốt, (N - 1) bộ cộng, và [(N/2) +1] bộ nhân. 5.4.3 Cấu trúc của bộ lọc số FIR pha tuyến tính lấy mẫu tần số Khi tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp lấy mẫu tần số, sau khi xác định được H(k)N và h(n)N = IDFT[H(k)N] , tức là ta có :     1 0 1)()( N NN n njkenhkH  với N  21  Theo [4.2-22] , từ h(n)N có thể tìm được hàm hệ thống HN(z) của bộ lọc số :        1 0 1 )1( )()1( ])([)( 1 N N N NN k jk ze z nhZTz kH N H  [5.4-9] Hay : )().( 1 )( 21 zzz HH N H N  [5.4-10] Trong đó : )1()(1 NzzH  [5.4-11] Và :         1 0 2 1 0 12 )( )1( )( )( 1 NN N k k k jk z ze z H kH H  [5.4-12] X(z) Y(z) h(0) + + 1z 1z h(1) + + + + )1().(  NzzX + )2().(  NzzX 1z )2/().( NzzX  )12/().(  NzzX       1 2 N h +       2 2 N h -1 1z 1z 1z 220 Thành phần H2(z) gồm N khâu mắc song song, mỗi khâu là : )1( )( )( 12 1   ze z jkk NkHH  [5.4- 13] Theo [5.4-13] , H2k(z) có cấu trúc phản hồi với hệ số phức 1jke như trên hình 5.30. Điều đó có nghĩa là bộ lọc FIR pha tuyến tính được xây dựng theo quan hệ vào ra đệ quy. Hình 5.30 : Khâu H2k(z). Từ [5.4-10] có : )().(1).()().()( 21 zzzzzz HH N XHXY N  [5.4-14] Theo quan hệ vào ra [5.4-14], có sơ đồ khối của bộ lọc FIR pha tuyến tính ở hình 5.31. Hình 5.31 : Sơ đồ khối dạng lấy mẫu tần số của bộ lọc FIR. Theo quan hệ vào ra [5.4-14], xây dựng được sơ đồ cấu trúc dạng lấy mẫu tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính ở hình 5.32. Để hiểu rõ hơn cấu trúc của bộ lọc trên, cần nghiên cứu sâu hơn các thành phần H1(z) và H2(z) của nó. Trước hết là H1(z) : )( )( )()( 11 1 1 z z z z zz X Y H N N N   H1(z) có một cực bội bậc N tại z = 0 và N không điểm phân bố đều trên vòng tròn đơn vị tại các điểm Njkjkk eez   2 0 1  , với k = [0  (N -1)] . (hình 5.33a). Do đó thành phần H1(z) là hệ ổn định và có thể tìm được : NN zzzzzz XXXY   ).()()).(()( 11 Y(z)H2(z)X(z) 1/N H1(z) H(k)N + 1z 1jke X(z) H(0)N Y(z)+ 1/N + -1 1z1z 1z NzzX  ).( 10je + H(1)N + 1z 1je + H(N - 1)N + 1z 1)1( Nje + 1z 221 Hình 5.32 : Bộ lọc số FIR pha tuyến tính cấu trúc có phản hồi. Xét thành phần H2(z) và các khâu phản hồi H2k(z) , theo [5.4-13] có : )( )( )1( )( )( 11 12  jkjkk ez z ze z N N kH kH H      [5.4-15] Theo [5.4-5] , mỗi H2k(z) có một không điểm tại z = 0 và một cực điểm tại N jk jk pk eez   2 1  . Do đó H2(z) có không điểm bội bậc N tại z = 0 , và N cực điểm đơn tại Njkjkpk eez   2 1  với k = (0  N -1) (hình 5.33b). Kết hợp H(z) = H1(z) . H2(z) thì các không điểm và cực điểm của H1(z) và H2(z) sẽ bù trừ hết cho nhau, nên về lý thuyết thì bộ lọc xây dựng theo cấu trúc trên không có cực điểm nằm trên vòng tròn đơn vị, do đó bộ lọc sẽ ổn định. a. Cực và không của H1(z) b. Cực và không của H2(z) Hình 5.33 : Các điểm cực và không của H1(z) và H2(z) . Tuy nhiên trên thực tế, khi lượng tử hóa các hệ số của H1(z) và H2(z) có thể dẫn đến các không điểm của H1(z) và cực điểm của H2(z) lệch nhau, làm cho bộ lọc mất ổn định. Để khắc phục điều đó, người ta thường làm cho các không điểm của H1(z) và cực điểm H2(z) dịch vào bên trong vòng tròn đơn vị một chút bằng cách thay z0k  r.z0k và zpk  r.zpk với r  1 và r < 1 , như trên hình 5.34. a. Vị trí cực cũ của H2(z) b. Vị trí cực mới của H2(z) Hình 5.34 : Dịch vị trí các cực của H2(z) và không của H1(z) . Khi đó hàm hệ thống H(z) sẽ có dạng :        1 0 1. )( )( 11 1 N N NN k jk zre krzr z H N H  [5.4-16] Bằng thực nghiệm xác định được, với giá trị r = (1-2-12)  (1-2-27) vẫn đảm bảo bộ lọc ổn định và không thay đổi đặc tính tần số. Một vấn đề nữa cần khắc phục là các hệ số phức 1jke trong cấu trúc của bộ lọc. Để tránh phải xây dựng bộ lọc với các hệ số nhân là số phức, sử dụng tính chất đối xứng của H(k)N khi h(n)N là dãy thực, biến đổi được H2(z) về dạng : Re[z] x xx x x x x xo Im[z] o oo o o o o ox Im[z] Re[z] Re[z] x xx x x x x xo Im[z] 222              1 2 1 2112 )( )( )( 1 2 1 0 N NN k k z zz z H N H H H [5.4-17] Với : 2 1 1 1 1 2 )cos( ])(cos[)](cos[ )()( 21 .2     zz z z k kkk kHH Nk   [5.4-18] Trong đó: )()()( kjeNN kHkH  và :         1 0 1 0 0 )()()( 10 N N NNN n n nj nhenhH  là số thực             1 0 1 0 2 2 )()()( 1 2 N N N N N N N n n n nj nhenh N H  là số thực. Theo [5.4-18] có sơ đồ cấu trúc các khâu phản hồi H2k(z) trên hình 5.35. Hình 5.35 : Sơ đồ cấu trúc các khâu phản hồi H2k(z) theo [5.4-18]. Từ đó có sơ đồ khối của bộ lọc số FIR pha tuyến tính theo phương pháp lấy mẫu tần số như trên hình 5.36 . 5.4.4 Lượng tử hóa và mã hóa các hệ số của bộ lọc Sau khi đã xây dựng được cấu trúc của bộ lọc số FIR pha tuyến tính, để thực hiện nhân tín hiệu số với các hệ số của bộ lọc, cần lượng tử hóa và mã hóa các hệ số thành hằng số mã nhị phân. Ví dụ, với các cấu trúc dạng chuẩn tắc thì cần lượng tử hóa và mã hóa các mẫu của đặc tính xung h(n)N thành các hằng số mã nhị phân có độ dài bằng số bit của tín hiệu số. Việc lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc sẽ gây sai số và làm thay đổi hàm hệ thống H(z) cũng như đặc tính tần số H(ej) của bộ lọc đã tổng hợp. Trong một số trường hợp sai số lượng tử có thể làm mất tính ổn định hoặc làm thay đổi đặc tính tần số của bộ lọc. (Ví dụ như làm mất tính ổn định khi xây dựng cấu trúc của bộ lọc theo phương pháp lấy mẫu tần số). + 2|H(k)N| cos[(k)] -1 - cos[(k)- k1]2cos(k1) + 1z 1z + 223 Hình 5.36 : Sơ đồ khối của bộ lọc số với lấy mẫu tần số. Giả sử hệ số trước khi lượng tử hóa là giá trị liên tục k , sau khi lượng tử hóa nó sẽ có giá trị là (k  k), với k là sai số lượng tử. Giá trị của k phụ thuộc vào số bít của tín hiệu số và giá trị tuyệt đối của k . Để đánh giá ảnh hưởng của sai số lượng tử hệ số ak đến đặc tính tần số H(ej) hoặc hàm hệ thống H(z), người ta đưa ra khái niệm độ nhậy riêng Sak(ej) và Sak(z) : k j j k a e e H S   )()(    [5.4-19] k k a z z H S   )()( [5.4-20] Để đánh giá ảnh hưởng sai số lượng tử của tất cả các hệ số ak đến đặc tính tần số H(ej) hoặc hàm hệ thống H(z), người ta sử dụng khái niệm độ nhạy tuyệt đối Saks(ej) và Saks(z) :  k j ak j abs ee SS )()(  [5.4-21]  k akbs zz SS )()( [5.4-22] Hoặc độ nhạy cầu phương Sq(ej) , Sq(z)  k j ak j q ee SS   )()( 2 [5.4-23]  k zz akq SS  )()( 2 [5.4-24] Nhận xét : - Nếu độ nhạy càng nhỏ thì ảnh hưởng của sai số lượng tử đến hàm hệ thống H(z) và đặc tính tần số H(ej) càng nhỏ. X(z) 1/N H(0)N Y(z)++ -1 1z Nz  + H(N/2)N + 1z + H21(z) H22(z) H2(N/2-1)(z) + + 224 - Nếu chọn cấu trúc bộ lọc thích hợp có thể làm giảm đáng kể độ nhạy, vì thế cần tìm các cấu trúc có độ nhạy thấp. - Cần mô phỏng bộ lọc số trên máy tính để thấy được đầy đủ ảnh hưởng của sai số lượng tử đến các đặc tính của bộ lọc và từ đó có định hướng để khắc phục các ảnh hưởng xấu gây bởi sai số lượng tử. Đồng thời mô phỏng sẽ cho phép tối ưu hóa bộ lọc lần cuối cùng. bài tập chương năm BT 5.1 Hãy chứng minh biểu thức [5.2-16] xác định đặc tính tần số H(ej) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 :                   2 1 2 1 .cos)()( 2 1 N N j n j ennbeH   với       nhnb N 2 .2)( BT 5.2 Hãy chứng minh biểu thức [5.2-20]xác định đặc tính tần số H(ej) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 :             2 1 2 2 1 1 .).sin()()( N N j n j ennceH với       nhnc N 2 1 .2)( BT 5.3 Hãy chứng minh biểu thức [5.2-24] xác định đặc tính tần số H(ej) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 :                      2 1 2 2 1 ..sin)()( 2 1 N N j n j enndeH với       nhnd N 2 .2)( BT 5.4 Xác định biểu thức và vẽ đồ thị của cửa sổ tam giác wT(n - n0)N với N = 7 và n0 = 4 . Hãy vận dụng tính đối xứng của cửa sổ tam giác để tìm đặc tính tần số WT(ej), vẽ đồ thị đặc tính biên độ tần số WT(ej) và xác định các tham số T và T của cửa sổ đã cho. BT 5.5 Hãy xác định biểu thức và vẽ đồ thị của cửa sổ cosin wC(n - n0)N với N = 8 và n0 = 4 . Vận dụng tính đối xứng của cửa sổ cosin để tìm đặc tính tần số WC(ej), vẽ đồ thị đặc tính biên độ tần số WC(ej) và xác định các tham số C và C của cửa sổ đã cho. BT 5.6 Xác định biểu thức và vẽ đồ thị của cửa sổ Hanning wHn(n)N với N = 7 . Hãy vận dụng tính đối xứng của cửa sổ Hanning để tìm đặc tính tần số WHn(ej), vẽ đồ thị đặc tính biên độ tần số WHn(ej) và xác định các tham số Hn và Hn của cửa sổ đã cho. BT 5.7 Xác định biểu thức và vẽ đồ thị của cửa sổ Hamming wHm(n)N với N = 8 . Vận dụng tính đối xứng của cửa sổ Hamming để tìm đặc tính tần số WHm(ej), vẽ đồ thị đặc tính biên độ tần số WHm(ej) và xác định các tham số Hm và Hm của cửa sổ đã cho. BT 5.8 Bằng phương pháp cửa sổ, tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính có tần số cắt c = /4 , với N = 9. a. Dùng cửa sổ cosin ; b. Dùng cửa sổ Hamming. Xây dựng đặc tính biên độ tần số HN(ej), xác định và so sánh các tham số 1 , 2 , p nhận được khi dùng hai dạng cửa sổ trên. BT 5.9 Bằng phương pháp cửa sổ, tổng hợp bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính có tần số cắt c = /4 , với N = 8. a. Dùng cửa sổ chữ nhật ; b. Dùng cửa sổ Hanning. Xây dựng đặc tính biên độ tần số HN(ej), xác định và so sánh các tham số 1 , 2 , p nhận được khi dùng hai dạng cửa sổ trên. BT 5.10 Từ các đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao nhận được ở BT 5.9 , hãy xây dựng các đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính có tần số cắt c = /4 , với N = 8. Xác định 1 , 2 , p và so sánh với các tham số nhận được ở BT 5.9 BT 5.11 Bằng phương pháp cửa sổ, tổng hợp bộ lọc dải thông FIR pha tuyến tính có tần số cắt c1 = /4 , c2 = /3 , với N = 8. 225 a. Dùng cửa sổ tam giác ; b. Dùng cửa sổ Hamming. Hãy xây dựng đặc tính biên độ tần số HN(ej), xác định và so sánh các tham số 1 , 2 , p nhận được khi dùng hai cửa sổ trên. BT 5.12 Bằng phương pháp cửa sổ, tổng hợp bộ lọc dải chặn FIR pha tuyến tính có tần số cắt c1 = /4 , c2 = /3 , với N = 9. a. Dùng cửa sổ cosin ; b. Dùng cửa sổ Hanning. Xây dựng đặc tính biên độ tần số HN(ej), xác định và so sánh các tham số 1 , 2 , p nhận được khi dùng hai dạng cửa sổ trên. BT 5.13 Từ đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải chặn nhận được ở BT 5.12, hãy xác định đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải thông FIR pha tuyến tính có c1 = /4 , c2 = /3 , N = 9. Tính 1 , 2 , p . BT 5.14 Dùng cửa sổ chữ nhật, tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính có tần số cắt c = /3 , với N = 6. Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc của bộ lọc. BT 5.15 Dùng cửa sổ cosin, tổng hợp bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính có tần số cắt c = /3 , với N = 8 Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc dạng nối tầng của bộ lọc. BT 5.16 Dùng cửa sổ Hanning, tổng hợp bộ lọc dải thông FIR pha tuyến tính có tần số cắt c1 = /5 , c2 = /3, với N = 6. Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc dạng vòng của bộ lọc. BT 5.17 Dùng cửa sổ tam giác, tổng hợp bộ lọc dải chặn FIR pha tuyến tính có tần số cắt c1 = /5 , c2 = /3, với N = 7. Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc dạng vòng của bộ lọc. BT 5.18 Bằng phương pháp lấy mẫu tần số, tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính có tần số cắt c1 = /5 , với N = 5. Hãy xác định các tham số 1 , 2 , p và xây dựng sơ đồ cấu trúc của bộ lọc. BT 5.19 Bằng phương pháp lấy mẫu tần số, tổng hợp bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính có tần số cắt c1 = /5 , với N = 8. Hãy xác định sai số xấp xỉ E(ej)cực đại trong dải thông và dải chặn. Xây dựng sơ đồ cấu trúc của bộ lọc. BT 5.20 Bằng phương pháp lấy mẫu tần số, tổng hợp bộ lọc dải chặn có các tần số cắt c1 = /4 , c2 = /3 , với N = 9. Hãy xác định sai số xấp xỉ E(ej)cực đại trong dải thông và dải chặn. Xây dựng sơ đồ cấu trúc của bộ lọc.