Đề tài Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích

hình thức “ngáo ộp” của bài toán, các hệ số có mặt trong phương trình lớn, phương trình nếu khai triển ra là phương trình bậc 4, không phải dạng phương trình chính quy (không có cách giải tổng quát). Quan sát phương trình có thể mở rộng thành giải phương trình: . Bằng việc trừu tượng hoá ta có thể tổng quát bài toán thành giải phương trình: Hướng dẫn giải: Đặt . Ta thu được hệ Việc giải phương trình trên trở nên khá đơn giản, thay a = 2007, b = 2008 vào hệ phương trình cuối cùng rồi giải. Như vậy, với mỗi cặp số (a; b) cụ thể (giá trị vào) phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm, 4 nghiệm hoặc vô nghiệm (giá trị ra tương ứng). Bây giờ ta xét đến lớp bài toán: Tìm giá trị vào hoặc điều kiện đối với giá trị vào để giá trị ra thoả mãn hệ thức cho trước. Có khi hệ thức cho trước đó chỉ thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm (các giá trị ra) mà không thoả mãn hệ thức đối xứng, có khi thoả mãn hệ thức đối xứng và bằng một giá trị cụ thể nào đó hoặc thoả mãn một điều kiện nào đó. Khi giải loại toán này thông thường là vận dụng định lý Viet kết hợp với hệ thức bài cho nhằm tìm ra giá trị hoặc điều kiện của giá trị vào. Ví dụ 5: Cho phương trình: (4) Tìm m sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất, trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Hoạt động: + Tìm giá trị vào là m + Giá trị ra là x1, x2 và điều kiện đối với giá trị ra là E đạt giá trị lớn nhất + Tìm sự tương ứng Phương trình (4) có hai nghiệm x1, x2 khi nào? Nhận xét hệ thức E? Tính E theo m dựa vào hệ thức nào? Theo định lý Viet Tương ứng với sự thay đổi giá trị của m . Có ảnh hưởng tới giá trị của E không? Đánh giá sự biến thiên của giá trị E khi biến thiên bằng cách nào? Dựa vào bảng biến thiên: Xét hàm số ;  Suy ra biểu thức E đạt giá trị lớn nhất là -1 khi m = -1. Cần nhấn mạnh cho học sinh khi vận dụng định lý Viet phải chú ý đến điều kiện cần của định lý là phương trình có nghiệm, nếu lơ là hoặc không ý thức về điều này, có thể dẫn đến thiếu sót thậm chí sai lầm trong lời giải. Chẳng hạn như bài toán trên, học sinh “vô tư” khi áp dụng định lý Viet để tính E theo m: . Rồi kết luận (Sai lầm! Vì phương trình vô nghiệm). Đối với phương trình bậc hai thì việc kiểm tra điều kiện cần để áp dụng định lý Viet là nhưng với phương trình bậc 3 hoặc cao hơn thì định lý Viet không được học trong chương trình phổ thông và việc tìm điều kiện để phương trình có số nghiệm bằng số bậc phương trình thật không đơn giản. Để khắc phục điều này, cần tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại với giá trị tham số tìm được (giá trị vào) thì nghiệm phương trình (giá trị ra) có thoả mãn yêu cầu bài toán không? Tức là giải quyết bài toán dưới dạng: Điều kiện cần và đủ. Ví dụ 6: Cho phương trình . Tìm giá trị của tham số m để cho phương trình có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn: Thay vì tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ta giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt . Khi đó: (Phát hiện sự tương ứng) Mặt khác: thay vào (5) ta được x2 = 1. Lúc đó f(1) = 0 , đây mới là điều kiện cần. Kiểm tra lại điều kiện đủ, khi m = 11 phương trình trở thành: Phương trình có 3 nghiệm x = 1, , thoả mãn điều kiện đủ. Vậy m = 11. Đối với loại toán này, được ra với phương trình bậc hai là phổ biến. Tìm giá trị (điều kiện) tham số để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức cho trước. Nếu hệ thức bài toán ra thoả mãn hệ thức đối xứng như ; ; thì hoàn toàn có thể biểu diễn chúng theo tổng và tích các nghiệm dựa vào hệ thức Viet. Việc giải chúng để tìm giá trị vào (giá trị tham số) không có gì khó khăn. Nhưng đối với các hệ thức bài ra không đối xứng thì sao? Không lẽ đi giải các nghiệm x1, x2 theo công thức nghiệm rồi thay vào hệ thức để tìm giá trị của tham số? Vì mục đích đi tìm giá trị tham số. Công việc này rõ ràng gặp nhiều khó khăn phức tạp và nghiệm của phương trình bậc hai chứa căn thức (trong trường hợp tổng quát) khá cồng kềnh, rắc rối. Do đó phương pháp tổng quát là kết hợp giữa hệ thức Viet và hệ thức bài toán ra, tìm ra nghiệm x1 (hoặc x2) là nghiệm thì nó thoả mãn phương trình đã cho ta tìm được giá trị tham số. Tuy nhiên, dựa vào đặc điểm cụ thể của từng bài ra mà có thể có cách làm ngắn gọn, độc đáo hơn. Ví dụ 7: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: a. 5x1+3x2 – 8 = 0 b. Trước hết tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm: (6)Khi đó theo Định lý Viet phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: Theo bài ra ta có: . áp dụng hệ thức Viet ta được: . Vì x1 là nghiệm phương trình nên f(x1) = 0 (Phát hiện sự tương ứng) hay (thoả mãn (6)). - Hướng 1: Từ hệ thức áp dụng hệ thức Viet ta được: Nhận thấy biểu thức không phải dạng chính phương nên giá trị của nghiệm làm theo hướng này phức tạp không kém viết theo công thức nghiệm. - Hướng 2: Dựa vào đặc điểm riêng của hệ thức bài cho: Xét cụ thể từng trường hợp ta được kết qủa m = 0, m = 1 và Thông qua bài tập này, phải làm cho học sinh nhận thấy ứng với giá trị tham số (giá trị vào) nào đó thì nghiệm phương trình (giá trị ra) thoả mãn hệ thức cho trước. Cần làm rõ giá trị vào, giá trị ra của một tương ứng hàm không nhất thiết chỉ là số, đối số hay tham số mà có thể là các đại lượng khác. Chẳng hạn trong hình học có bài toán sau: Dựng tam giác ABC biết 3 đường cao của nó là ha, hb, hc. Khi đó: - Giá trị vào là ha, hb, hc (đã biết) - Giá trị ra là tam giác ABC (cần tìm) Hay bài toán thực tế: Một người đi bộ với vận tốc 8 km/h. Tính quãng đường người đó đi trong 30 phút, 40 phút, 90 phút? Lúc này: - Giá trị vào là thời gian t bằng 30 phút, 40 phút, 90 phút. - Giá trị ra là quãng đường S - Tìm sự tương ứng: Dựa vào công thức biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian S = vt. Tiếp đến ta xét lớp bài toán: Tìm giá trị vào hoặc điều kiện đối với giá trị vào khi biết giá trị ra, số giá trị ra hoặc điều kiện đối với giá trị ra, điều kiện đối với số giá trị ra. Lớp bài toán này không những yêu cầu học sinh xác định được giá trị vào, giá trị ra (điều kiện đối với giá trị ra), tìm được sự tương ứng giữa giá trị vào và giá trị ra mà còn yêu cầu họ phải huy động nhiều luồng kiến thức liên quan để giải chúng. Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x: (7) Hoạt động: + Tìm giá trị vào là m + Điều kiện đối với giá trị ra: Với thì (7) đúng + Tìm sự tương ứng: Trên cơ sở . Đặt thì và chính dựa vào việc phát hiện và thiết lập sự tương ứng trên tới chuyển đổi bài toán về dạng quen thuộc, đơn giản hơn. Hướng dẫn: Biến đổi Đặt , . Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình: với - + 0 -1 0 1 t Bảng biến thiên: . Để (Sự tương ứng). . “Giải và biện luận” phương trình (bất phương trình) là bài toán tổng quát chứa trong loại bài toán này. Thông qua dạng toán này giúp học sinh đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào, đồng thời biết được: - Đại lượng nào ảnh hưởng, phụ thuộc vào đại lượng nào - Sự thay đổi các phần tử thuộc tập hợp này có gây ra sự thay đổi của các phần tử khác không? Nói cách khác sự biến thiên của một đại lượng có ảnh hưởng tới sự thay đổi giá trị của đại lượng khác không? Sự thay đổi đó như thế nào? - Điều gì không thay đổi khi thay đổi ở một mức độ nào đó các phần tử của một tập hợp nào đó. - Xét bài toán trong trường hợp đặc biệt hoặc trường hợp suy biến. Ngoài ra, học sinh hiểu được “Giải và biện luận” cũng là một bài toán tổng quát, ứng với mỗi bộ hệ số có mặt trong bài toán là ta có được một bài toán riêng. Ngoài việc luyện tập các bài toán “Giải và biện luận” có sẵn bước giải, chỉ cần nhận dạng, xác lập các hệ số a = ?; b = ?; c = ? (Phát hiện, thiết lập sự tương ứng) rồi thực hiện các bước giải đã có sẵn, không yêu cầu cao về suy luận, tư duy. Cần nâng dần mức độ, yêu cầu bài toán theo tuần tự từ thấp đến cao, dựa trên lý thuyết về “Vùng phát triển gần nhất” của Vưgôtsky nhằm đưa chất lượng dạy và học đạt kết quả cao. Từ Giải theo công thức với phương trình, bất phương trình có hệ số hằng số Giải và biện luận phương trình, bất phương trình có tham số (dạng cơ bản) Giải và biện luận phương trình, bất phương trình có tham số quy về những dạng cơ bản. Ví dụ 9: Giải và biện luận theo m: a. b. Học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức về “Giải và biện luận” phương trình dạng ax + b = 0 và rồi tiến hành hoàn toàn tương tự, tính toán đúng chắc chắn cho kết quả đúng, không yêu cầu phải suy luận, phải tư duy nhiều. Tuy lớp bài toán này, cũng thể hiện rõ sự phụ thuộc giữa giá trị của tham số (giá trị vào) với nghiệm (giá trị ra), số nghiệm của phương trình (số giá trị ra), sự thay đổi đại lượng này có thể kéo theo sự thay đổi của đại lượng kia nhưng chưa phải vận dụng kết hợp đồng thời các luồng kiến thức. Bài toán mới dừng lại ở việc phát hiện, thiết lập các sự tương ứng để giải quyết chứ chưa yêu cầu vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan, nghiên cứu, lợi dụng các sự tương ứng để giải quyết. Ví dụ 10: Giải và biện luận phương trình: (8) Phương pháp chung để giải học sinh đã được làm quen trong nội dung chương trình học, đó là dùng phương pháp đặt ẩn phụ (Điều kiện ) đưa phương trình (8) về dạng quen thuộc: (9) Bước làm này học sinh bình thường có thể làm được nhưng nếu không nhận thức được sự tương ứng giữa nghiệm của phương trình (8) và nghiệm của phương trình (9) do mối quan hệ giữa x và t mang lại thì rất có thể việc “Giải và biện luận phương trình ” chính là việc “Giải và biện luận phương trình ” ở ví dụ 9. Học sinh phải nhận thức được việc đặt chính là việc thiết lập tương ứng giữa t và x. Từ đó có kết luận: - Với nghiệm t < 0 thì sẽ vô nghiệm x - Với nghiệm t = 0 thì có nghiệm x = 0 - Với nghiệm t > 0 thì sẽ có 2 nghiệm x phân biệt là Khi đã nắm bắt được mối quan hệ này kết hợp với kiến thức “Giải và biện luận phương trình dạng ”, học sinh không khó khăn đưa ra các trường hợp giải và biện luận phương trình (8) nói riêng và giải và biện luận phương trình dạng : nói chung. Cần phải khẳng định ở đây ta không đi rèn luyện kỹ năng giải toán “Giải và biện luận” mà qua đây cho học sinh thấy được bức tranh tổng quát về mối quan hệ phụ thuộc giữa giá trị vào và giá trị ra cũng như số giá trị ra. Sau khi “Giải và biện luận” xong có thể yêu cầu học sinh trả lời nhanh (không giải) cho biết nghiệm, số nghiệm của phương trình khi tham số nhận giá trị cụ thể để học sinh thấy rõ mối quan hệ này. Hoặc chỉ rõ các bài toán: Tìm m để phương trình (8) có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm, 4 nghiệm là các trường hợp riêng của bài toán “Giải và biện luận”. Loại bài toán này yêu cầu tính giá trị vào khi biết điều kiện đối với số giá trị ra. Tổng quát hóa ta có bài toán sau: Tìm điều kiện các hệ số a, b, c của phương trình trùng phương để phương trình đó: a. Vô nghiệm d. Có 3 nghiệm b. Có 1 nghiệm e. Có 4 nghiệm c. Có 2 nghiệm Hoạt động: + Tìm điều kiện đối với giá trị vào a, b, c + Biết điều kiện đối với số giá trị ra. Ví dụ 11: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Hoạt động: - Tìm giá trị vào là a - Biết điều kiện đối với số giá trị ra (số nghiệm) là duy nhất. - Tìm sự tương ứng: Trên cơ sở lợi dụng tương ứng hàm đồng biến có f(x) = f(y) thì x = y và phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi . * Hướng dẫn tìm lời giải: Quan sát tìm mối quan hệ giữa các số hạng có trong phương trình và biến đổi: (10) Có nhận xét gì về hàm vế trái và hàm vế phải của phương trình? Có dạng Hàm số có tính chất gì? Ta có: nên f(x) đồng biến trên . Lợi dụng tính chất này mà ta có: Từ việc giải quyết bài toán đối với phương trình mũ ta đưa về giải quyết bài toán đối với phương trình dạng đơn giản ax + b = 0. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi . Bên cạnh các bài toán xác định giá trị ra khi biết giá trị vào được ra ở dạng tường minh , đơn giản (đơn giản ở đây không phải là đơn giản ở cách làm mà ở cách hiểu, cách xác định yêu cầu bài toán) là “Giải phương trình” hay “Giải bất phương trình” cần đưa ra những bài toán ở mức độ cao hơn, tìm giá trị ra (hoặc những giá trị ra) khi biết điều kiện đối với giá trị vào. Ví dụ 12: Cho phương trình (11) Tìm giá trị của x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi . Khi gặp bài toán dạng này, học sinh không khỏi lúng túng trong việc xác định phương hướng giải quyết bài toán vì họ quen với dạng toán: Tìm giá trị của a để phương trình có nghiệm với (hoặc nào đó) buộc họ phải cấu trúc lại kiến thức, đối với vị trí giữa ẩn và tham số (tư duy ngược) để giải quyết bài toán. Hoạt động: + Tìm giá trị ra là x + Biết điều kiện giá trị vào là + Tìm sự tương ứng. Trên cơ sở thì (11) đúng. Do đó với () bất kỳ, ta có: đúng. Từ đó tìm được x = x0, ngược lại ứng với x = x0 thì có phải (11) luôn đúng với không? Xin trình bày lời giải có tính chất minh hoạ cho dạng toán này. Điều kiện cần: Giả sử (11) đúng với nên cũng đúng với a = 0, tức là ta có: Điều kiện: Điều kiện đủ: Khi x = 2 phương trình có dạng: (12) Rõ ràng, (12) không thể đúng với vì ít ra để có nghĩa thì , tức là ít nhất (12) chắc chắn không đúng khi > 0. Khi x = 5 thì phương trình có dạng: luôn đúng với . Câu hỏi: Có tồn tại giá trị của x nghiệm đúng phương trình (11) với không? Thông qua giải toán phương trình, cần tập luyện cho học sinh xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào khi biết giá trị ra đối với tập hợp số thực và tập hợp điểm trên mặt phẳng. Điều này được thể hiện rõ khi yêu cầu học sinh giải toán phương trình bằng đồ thị. Ví dụ 13: Với giá trị nào của tham số a thì phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: (13) Do nên: Dựng đồ thị (C): và đường thẳng (d): . Khi đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị (Sự tương ứng 1:1 giữa số nghiệm và số giao điểm của hai đồ thị). Dựa vào đồ thị ta dễ dàng suy ra kết luận: (13) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng (d) phải nằm trong băng tạo bởi hai đường thẳng (d1): y = 0 và (d2): y = 1. Tức là: Nhận thấy bài toán này là trường hợp riêng của bài toán: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình. Bằng đồ thị việc biện luận số nghiệm của phương trình nhận ra dễ dàng và trực quan. Ví dụ 14: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: Hoạt động tìm lời giải: - Biến đổi hệ về dạng tương đương: Dựng đồ thị (C1): và đồ thị (C2): trên cùng hệ trục toạ độ xoa. - Các điểm M(x; a) thoả mãn hệ khi nào? Khi điểm M(x; a) nằm trong miền gạch. - Hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng cắt miền gạch tại một điểm duy nhất, tức là từ đồ thị suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi a =1 hoặc a = 0. 2.3.3. Xét tính chất của tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình Khi phương trình (kể cả phương trình hàm) học sinh thường loay hoay với các thủ thuật như: Biến đổi, phân tích, đặt ẩn phụ để giải chúng, có khi cho kết quả ngắn gọn, nhanh chóng có lại khi phức tạp, thậm chí bế tắc. Giáo viên cần hình thành ở học sinh thói quen xem xét vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Đặc biệt giúp họ đoán nhận và giải quyết bài toán phương trình bằng việc sử dụng công cụ hàm số, ánh xạ, dựa vào đặc điểm phương trình. Chẳng hạn nhận thấy hai vế phương trình hoặc các biểu thức thành phần của phương trình là các hàm số khác biệt nhau (giống nhau) về loại hình, tính chất. Nói cách khác, đặt phương trình và giải quyết bài toán phương trình theo quan điểm hàm. Việc xét tính chất của tương ứng hàm, có ý nghĩa to lớn khi giải toán phương trình, bất phương trình, không những rèn luyện, bồi dưỡng tư duy hàm mà còn rèn luyện, bồi dưỡng tư duy linh hoạt cho học sinh khi giải toán về chủ đề này. Do đó học sinh cần nắm vững và vận dụng tốt các tính chất của tương ứng hàm như tính liên tục, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đơn điệu, tính chất của hàm hằng, hàm hợp và tính chất của một số hàm số quen thuộc đôi khi kết hợp với miền giá trị của tương ứng hàm để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình. Ví dụ 1: Cho phương trình: (1) Phương trình trình này có thể có đúng 1001 nghiệm phân biệt được hay không? ý tưởng giải phương trình rồi từ đó đến số nghiệm phương trình là không khả thi vì: Thứ nhất: Số nghiệm phương trình cần kiểm tra khá lớn (1001 nghiệm) Thứ hai: Bậc của phương trình lại cao, không đưa về các dạng phương trình đã có cách giải. Ngoài ra, nếu giải được thì bài toán lại ra dưới dạng “Giải phương trình”. Buộc phải nghĩ tới việc lợi dụng tính chất của tính chất hàm để giải quyết bài toán này, đặt: Hướng 1: Hàm số f(x) là hàm đa thức, xác định và liên tục trên . Do đó để chứng minh phương trình f(x) = 0 có thể có 1001 nghiệm phân biệt, thì trên ta phải chỉ ra có đoạn [a; b] sao cho tồn tại các số chia đoạn [a; b] thành 1001 khoảng: a < T1 < T2 < … < T1000 < b thoả mãn: Hoặc ngược lại thì phải chỉ ra không tồn tại đoạn [a; b] thoả mãn điều kiện trên. Công việc này quả thật không dễ chút nào! Hướng 2: Nhận thấy: Hàm số f(x) là hàm số chẵn trên , ta có f(0) = 1 0 nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Vì f(x) là hàm chẵn nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 thì - x0 cũng là nghiệm mà x = 0 không phải là nghiệm. Do đó f(x) = 0 nếu có nghiệm thì số nghiệm phải là số chẵn tức là (1) không thể không thể có đúng 1001 nghiệm phân biệt . Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất. (2) Điều kiện cần: Giả sử (2) có nghiệm là x0 thì - x0 cũng là nghiệm của (2). Vậy (2) có nghiệm duy nhất khi x0 = - x0 x0 = 0. Thay x0 = 0 vào (2) ta được: m = 0 là điều kiện cần. Điều kiện đủ: Với m = 0, (2) có dạng: là nghiệm duy nhất. Vậy m = 0, bất phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ 3: Tìm điều kiện của a, b để phương trình: có nghiệm duy nhất. Đối với bài toán này, hình thức phức tạp, phương trình dạng vô tỷ có hai tham số nhưng nếu quan sát và xem xét kỹ vế trái của phương trình: VT = f(x) = . Xác định trên và f(x) = f(-x) nên VT là hàm số chẵn thì ta có thể vận dụng tính chất hàm số chẵn để giải bài toán một cách dễ dàng. Thu được kết quả , b = 0 hoặc b = 1. Qua các ví dụ trên cho thấy: Nếu khai thác và lợi dụng tính chất chẵn lẻ của hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình thật hiệu quả đặc biệt là loại tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất, hoặc có một số các nghiệm nào đó . Ví dụ 4: Giải bất phương trình : sin2x > sin4x (3) Thông thường, học sinh biến đổi tương đương, thực hiện lời giải sau: (3) sin4x - sin2x < 0 sinx.cos3x < 0 Trường hợp 1: hoặc Trường hợp 2: hoặc Kết hợp và suy ra nghiệm là: hoặc Tuy nhiên, nếu lợi dụng tính chất của tương ứng hàm dựa vào đặc điểm riêng của bất phương trình, ta có cách làm ngắn gọn hơn nhiều. Hướng dẫn: Đưa bất phương trình về dạng f(x) = sin4x - sin2x < 0 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số f(x) = sin4x - sin2x? Do y = sin4x và y = sin2x là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là nên f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ . Hàm f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ , có gợi cho ta cách giải bất phương trình trên không? Thay vì giải bất phương trình f(x) < 0 trên , ta giải bất phương trình trên sau khi tìm được nghiệm riêng, ta suy ra nghiệm tổng quát bằng cách cộng vào nghiệm riêng lượng . Bây giờ, ta giải bất phương trình (3) trên : (3)sinx.cos3x 0, còn sin0 =sin = 0) hoặc . Vậy nghiệm của bất phương trình (3): hoặc Qua bài toán trên, ta thấy được “lợi thế” của việc lợi dụng tính chất tuần hoàn của hàm số để giải phương trình, bất phương trình; đặc biệt là phương trình, bất phương trình lượng giác (Dù bất phương trình lượng giác trong chương trình mới hiện nay được giảm tải nhưng chúng tôi vẫn đưa nội dung này vào để thấy tác dụng to lớn của việc vận dụng tính chất tuần hoàn khi giải toán bất phương trình). Tiếp đến, ta xét tính chất liên tục của hàm số trong việc vận dụng giải phương trình, bất phương trình, tiêu biểu là dạng toán: Chứng minh phương trình có nghiệm hoặc vô nghiệm. Trước hết, xuất phát từ hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f(c) = 0 (Đại số và Giải tích 11 nâng cao, tr.171). Từ hệ quả ta có thể nói gì về c đối với phương trình f(x) = 0? Và có thể rút ra điều gì để chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm, mà không cần giải, hay nhiều khi không giải được? Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt: - mx2 + (m + 1) - 2 = 0 (4) Từ nhận xét x2 = , ta nghĩ ngay tới việc chuyển đổi bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , điều kiện . Thay vì phải chứng minh (4) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt với mọi m, ta đi chứng minh phương trình: t3 - mt2 + (m + 1) t - 2 = 0 (5) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m (vì mỗi nghiệm t0 > 0 của (5) thì (4) có hai nghiệm phân biệt ) Giải: Xét hàm số f(t) = t3 - mt2 + (m +1)t - 2 liên tục trên . Ta có: f(0) = - 2 0 Suy ra: f(0).f(c) < 0, (5) có ít nhất một nghiệm t0 (0; c) với mọi m (4) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt x = t0 với mọi m. Cần phải nói thêm rằng ở bài toán này có thể chứng minh (5) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m bằng phương pháp đồ thị. Để làm tốt dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh tự rút ra quy trình chứng minh phương trình có nghiệm mà không cần phải giải! Cần lưu ý học sinh khi giải dạng toán này, họ dễ bỏ quên điều kiện hàm số phải liên tục, dù rằng nhiều bài toán điều kiện này không ảnh hưởng tới đáp số bài toán vì hàm số liên tục hiển nhiên nhưng nếu không đề cập tới thì lời giải xem như không đầy đủ. Ví dụ 6: Cho hàm f(x) liên tục trên [a; b] thỏa mãn a f(x) b x [a; b] Chứng minh rằng: Phương trình f(x) = x luôn có nghiệm x0 [a; b] Nếu học sinh thực hiện lời giải: f(x) = x f(x) - x = 0. Đặt g(x) = f(x) - x. Ta có: Suy ra: sao cho g(x0) = 0 f(x0) = x0 Thì lời giải trên chưa đầy đủ, chưa chấp nhận là lời giải đúng được. Muốn đúng ta phải bổ sung thêm: Đặt g(x) = f(x) - x, do f(x) liên tục trên [a; b] (giả thiết) và y = x liên tục trên [a; b] (vì y = x liên tục trên ) nên liên tục trên . Có nhiều bài toán việc chứng minh trực tiếp phương trình có nghiệm trên đoạn gặp không ít khó khăn, dù hàm liên tục trên . Khi đó cần chuyển hướng chứng minh (chứng minh gián tiếp), ta có thể chứng minh bằng phản chứng. Giả sử phương trình vô nghiệm trên đoạn . Vấn đề đặt ra ở đây là: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và phương trình vô nghiệm trên đoạn thì có nhận xét gì về giá trị của hàm khi ? Dự đoán: f(x) > 0 với x hoặc f(x) < 0 với x [a; b] Chứng minh: Giả sử x1, x2[a; b] thoã mãn Vì f liên tục trên đoạn [x1, x2] ((x1, x2]) nên c[x1, x2] sao cho f(c) = 0. Mâu thuẫn vì f(x) = 0 vô nghiệm trên đoạn [a; b]. Vậy f(x) > 0 x[a; b] hoặc f(x) < 0 . Ví dụ 7: Cho biết . Chứng minh rằng phương trình: luôn có nghiệm thuộc khoảng Việc biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng: Rồi bằng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt , chuyển bài toán chứng minh phương trình : luôn có nghiệm thuộc khoảng về bài toán chứng minh phương trình (6) luôn có nghiệm thuộc khoảng (vì X = cosx mà x nên không mấy khó khăn. Nhưng việc giải quyết trực tiếp bài toán sau khi chuyển đổi lại không đơn giản! Ta chọn cách chứng minh gián tiếp (phản chứng): Xét hàm số Giả sử (6) vô nghiệm trong khoảng (0; 1). Vì liên tục trong khoảng (0; 1) nên hoặc . * Nếu thì hàm đồng biến trên mà liên tục trên nên ,vô lí * Nếu thì hàm nghịch biến trên , lại có liên tục trên ên hay ,vô lí Vậy (6) phải có nghiệm thuộc khoảng hay phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Như vậy, trong quá trình giải phương trình việc xem xét , vận dụng tính liên tục của hàm số để giải quyết vấn đề bài toán đặt ra đem lại hiệu quả to lớn; đặc biệt đối với những phương trình dạng không mẫu mực khó giải, thậm chí không giải được hoặc phương trình chứa tham số cần chứng minh phương trình có nghiệm, có một số nghiệm nào đố hay vô nghiệm. Bên cạnh việc xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính liên tục của hàm số từ đó lợi dụng để giải phương trình, bất phương trình ta không thể không nhắc tới vai trò vô cùng quan trọng của việc lợi dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán phương trình. Có thể nói, lớp các bài toán giải phương trình, bất phương trình dựa vào tính chất đơn điệu của các hàm thành phần cho kết quả ngắn gọn, nhanh chóng và đôi khi giải quyết được bế tắc mà các cách làm khác không làm được (nhất là đối với những phương trình, bất phương trình không mẫu mực). Trong chương trình phổ thông, dạng toán này chiếm một số lượng lớn và thường hay gặp trong các kì thi. Một vài ví dụ minh họa cho điều này: Ví dụ 8: Giải bất phương trình Biến đổi tương đương: vì Xét hàm số: Nhận thấy: là tổng của hai hàm giảm trên (vì và nên và là các hàm giảm trên ) nên nó cũng giảm trên . Do đó : thì Nghiệm của (7) là . Rõ ràng, trong bài toán này nếu ta không lợi dụng tính chất hàm đơn điệu (đơn điệu giảm) thì không thể giải được bài toán. Ví dụ 9: Giải bất phương trình : (7) Ta hoàn toàn hy vọng học sinh tìm được điều kiện của bất phương trình và viết lại bất phương trình dưới dạng: . Đến đây học sinh có hai hướng giải quyết: Hướng 1: Nhận thấy đây là phương trình vô tỷ, có hai vế không âm nên để khử dấu căn ta bình phương hai vế, hướng làm này có thể vẫn ra đáp số nhưng chắc chắn khá phức tạp, dễ nhầm lẫn trong tính toán. Hướng 2: Nhận xét các số hạng ở từng vế của bất phương trình.Từ đó đặt bất phương trình dưới góc nhìn theo quan điểm hàm tức là có thể sử dụng công cụ hàm số để giải quyết bất phương trình này không ? (7) (8) Xét hàm số: trên đoạn (vì ) hàm đồng biến trên . Do đó từ (2) ta có : Kết hợp với điều kiện bất phương trình có nghiệm . Ví dụ 10: Giải phương trình: Đối với bài toán này, hai vế của phương trình là hai hàm số khác biệt nhau về tính chất và loại hình nên không thể giải được bằng biến đổi thông thường ,ta có thể dựa vào tính chất và đồ thị của các hàm thành phần để tìm nghiệm của phương trình mà thôi! Ngoài ra, dựa vào tính chất của hàm hằng, hàm hợp cũng đem lại tác dụng không nhỏ trong việc tìm lời giải cho các bài toán phương trình, bất phương trình. Chẳng hạn dựa vào tính chất của hàm hằng : Ta có thể giải quyết các bài toán: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số hay phương trình có nghiệm . Thậm chí cả các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình nghiệm đúng với , là dạng toán thường làm bằng phương pháp điều kiện cần và đủ. Ví dụ 11: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : (9) Đặt , liên tục trên (Thông thường x0 được chọn sao cho khi vào dễ tính toán). Giải : Ta được: Giải : Ta kiểm tra từng trường hợp: Với , ta được : , không thoả mãn. Với , ta được :, thoả mãn. Kết luận: , phương trình nghiệm đúng với mọi x. Tương tự: Tìm a, b để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Qua ví dụ trên ta có thêm một phương pháp mới “Sử dụng tính chất của hàm hằng tìm điều kiện của tham số để phương trình nhận làm nghiệm” cùng với phương pháp điều kiện cần và đủ để giải quyết dạng toán này . Lợi dụng tính chất của hàm hợp để giải phương trình, chứng minh phương trình có một số nghiệm xác định đem lại cho chúng ta nhiều điều lý thú. Chẳng hạn : Ví dụ 12: Cho , Gọi với Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Trước hết, nhận xét hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành chính là nghiệm phương trình .Vấn đề xác định hàm như thế nào? Có vẻ trông rất đáng ngại để là được điều này học sinh phải hiểu khái niệm và tính chất của hàm hợp Ta có : Suy ra : Từ đó ta có thể chứng minh bằng qui nạp Do đó Có thể mở rộng bài toán : Tìm nghiệm phương trình : với . Ví dụ 13: Cho Đặt Chứng minh rằng :Phương trình có đúng nghiệm phân biệt. Đối với bài này hàm là hàm hợp nên ta không thể không vận dụng khái niệm và tính chất của hàm hợp để tìm hàm , từ đó giải quyết bài toán. Song song với việc xem xét tính chất của tương ứng hàm khi giải toán, ta cần rèn luyện, bồi dưỡng cho học sinh thói quen quan sát tỉ mỉ đặc điểm của đề bài, của các hàm thành phần có mặt trong đề bài, từ đó có cách làm hay, ngắn gọn, dễ hiểu. 2.3.4. Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trong quá trình lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết vấn đề Dạy toán là dạy học sinh hoạt động toán mà hoạt động toán chủ yếu là giải bài tập toán. Vì vậy ta cần tổ chức các hoạt động toán học cho học sinh phân bổ đều các đối tượng, xây dựng các bài tập thể hiện sự phân bậc phù hợp với từng đối tượng học sinh. Cần rèn cho học sinh thói quen phân tích đề bài, xác định dạng toán, các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm, phát hiện được các đặc điểm cơ bản, đơn giản của bài toán bị che khuất bởi hình thức rắc rối. Đồng thời, hướng dẫn học sinh phát hiện mối quan hệ giữa các đối tượng toán học, từ đó dạy cho học sinh biết lợi dụng sự tương ứng để giải bài toán. 2.3.4.1. Các nguyên tắc đưa ra định hướng - Phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay - Phải đáp ứng được yêu cầu mục đích của việc dạy và học Toán trong trường phổ thông. - Dựa trên cơ sở tôn trọng, kế thừa và phát triển tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành. - Khai thác tối đa các tình huống tiềm ẩn của sách giáo khoa và các dạng toán có trong đó để thực hiện mục đích giờ dạy. 2.3.4.2. Một số định hướng a. Kết hợp giữa việc giảng dạy rèn luyện các kiến thức về phương trình, bất phương trình với việc ôn tập, củng cố kiến thức về số học, về hàm số. Việc lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về các tập hợp số cũng như các kiến thức về hàm số, dù rằng tương ứng hàm không đòi hỏi tiền đề là kiến thức về khái niệm hàm nhưng ngược lại làm việc trên hàm số luôn xuất hiện các tương ứng hàm. b. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác Việc giải bài toán nói chung, giải bài toán về phương trình, bất phương trình nói riêng đòi hỏi học sinh phải biết suy luận logic. Việc phát hiện và lợi dụng các mối quan hệ có tính chất nhân - quả trong các dữ kiện và điều kiện của bài toán là hết sức quan trọng khi tìm tòi lời giải cho bài toán. Việc rèn luyện cho học sinh sử dụng chính xác các từ nối với ý nghĩa của các phép logic như: và, hoặc, nếu, thì, cần đủ, khi, chỉ khi, có ít nhất một, có không quá một, có nhiều nhất một... có ý nghĩa rất quan trọng trong việc xác định yêu cầu cũng như trình bày lời giải của một bài toán giải phương trình, bất phương trình. c. Cần hình thành cho học sinh một số biểu tượng về sự tương ứng thường gặp khi giải phương trình, bất phương trình Chẳng hạn: - ứng với mỗi số thực có đúng một điểm trên đường thẳng số và ngược lại với mỗi điểm trên đường thẳng số ứng đúng một số thực. - Đặt thì ứng với mỗi giá trị x (thuộc tập xác định) có đúng một giá trị t nhưng ngược lại ứng với mỗi giá trị t thì có thể không có, có một hoặc nhiều giá trị của x. Cụ thể hơn với thì mỗi giá trị x có một giá trị t nhưng mỗi t > 0 có hai giá trị của x, t = 0 thì ứng với một giá trị x = 0 còn t < 0 thì không có giá trị x nào thỏa mãn, , cho học sinh xác định sự tương ứng giữa t và x. - Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = g(x) chính là số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*) (Sự tương ứng đơn trị 1:1). Hoành độ giao điểm (nếu có) là nghiệm của phương trình (*). - ứng với mỗi loại phương trình, bất phương trình chính quy thì có cách làm tổng quát xác định (nhận dạng và thể hiện). Tất nhiên ở đây ta đang làm đến loại bài toán có thuật giải và việc làm này không làm cho học sinh kém linh hoạt, tạo tính ỳ khi giải toán mà chỉ rõ cho học sinh thấy sự tương ứng này không đơn trị. - Cho phương trình, bất phương trình chứa tham số thì với mỗi giá trị của tham số có một tập nghiệm của phương trình, bất phương trình xác định bởi tham số cụ thể. - Khi giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa thì có thể lợi dụng sự tương ứng giữa điều kiện của ẩn với tập giá trị của các hàm sin, cosin, tg, cotg để tìm cách lượng giác hóa ẩn, nhằm sử dụng công thức lượng giác để khử các dấu căn thức được thuận lợi như: Điều kiện của ẩn x Lượng giác hóa ẩn x x bất kỳ d. Thông qua một số dạng bài tập - Loại bài tập dạng định lượng Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Hoạt động tìm lời giải: Điều kiện: Tìm sự tương ứng: Từ điều kiện ta có thể đặt . Khi đó (1) trở thành: Giải (2) và trở về tìm x, ta suy được nghiệm của (1) là: và . Nhận xét: Với phương trình trên nếu dùng phép biến đổi tương đương thì khả năng hữu tỷ hóa gặp khó khăn do phương trình đó chứa quá nhiều căn thức, bằng việc lợi dụng sự tương ứng, khả năng hữu tỷ hóa bằng việc đưa ẩn phụ lượng giác tỏ rõ tính hiệu quả. Có thể đặt . Ví dụ 2: Giải phương trình: (3) Hoạt động tìm lời giải: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương trình: Rõ ràng, việc giải phương trình nhìn rất phức tạp nhưng nếu phát hiện được mối quan hệ giữa các biểu thức có trong phương trình, lợi dụng sự tương ứng nếu đặt (với t > 0) thì , do nên chúng là hai đại lượng nghịch đảo của nhau thì bài toán giải quyết trở nên nhẹ nhàng. Khi đó: (3) trở thành: Trở về giải x ta có: Ví dụ 3: Xác định tất cả các giá trị của a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: (4) Hoạt động tìm sự tương ứng: - Nhận dạng phương trình? Cách làm? (Phát hiện sự tương ứng) - Đặt thì điều kiện của t như thế nào? - Từ yêu cầu phương trình với ẩn x có 4 nghiệm phân biệt chuyển sang phương trình với ẩn t có bao nhiêu nghiệm? Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện gì? Hướng dẫn giải: Đặt . Ta được phương trình: (5) Có nhận thức được sự tương ứng: Mỗi nghiệm t 0 của (5) cho hai nghiệm tương ứng của (4). Thì mới lợi dụng được sự tương ứng này, chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩn x sang đối với ẩn t, để giải quyết dễ dàng hơn. Điều kiện cần và đủ để phương trình (4) có 4 nghiệm phân biệt là phương trình (5) có hai nghiệm dương phân biệt. Đặt . Điều kiện cần tìm là: Khi nhận thức và lợi dụng sự tương ứng giữa nghiêm của phương trình (4) với nghiệm của phương trình (5), học sinh không chỉ giải quyết được câu hỏi trên mà còn giải quyết được các câu hỏi như: Tìm a để phương trình vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm hoặc có 3 nghiệm. Nói tóm lại, giải quyết được bài toán tổng quát chưa biết cách giải, bằng cách "chế biến" đưa về dạng quen thuộc thông qua cách đặt , đồng thời thiết lập và lợi dụng sự tương ứng giữa nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn t với nghiệm, số nghiệm phương trình ẩn x. Ngoài ra ta còn mở rộng bài toán: Tổng quát 1: Giải và biện luận phương trình: Tổng quát 2: Giải và biện luận phương trình: Ví dụ 4: Giải phương trình: (6) Bài toán này có nhiều cách làm: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ nhưng nếu xem xét theo quan điểm hàm, biết lợi dụng được sự tương ứng 1:1, nghiệm phương trình (6) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 1 (lợi dụng tính đơn điệu của hàm số) ta có cách khai thác, giải quyết bài toán theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh. Hướng dẫn giải: - Xét hàm số - Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định nên - Kết luận là nghiệm duy nhất của (6) Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: (7) Yêu cầu học sinh nhận dạng phương trình? Đề xuất cách làm chung? Phương trình có dạng , cách làm chung là: + Nếu v = 0, phương trình trở thành u = 0 + Nếu , chia cả hai vế phương trình cho , sau đó đặt , được phương trình bậc hai đối với t. Nêu các hướng giải quyết bài toán trên? Trước hết, cần đưa phương trình (7) về phương trình dạng đơn giản (bậc hai) thông qua bước đặt ẩn phụ. Điều kiện: . Khi đó, chia cả hai vế của phương trình cho ta được: (8) Đặt , vì nên . Từ (8), ta được: (9) Đến đây, để giải quyết bài toán này học sinh có hai hướng suy nghĩ: Hướng 1: Lợi dụng mối quan hệ, sự tương ứng giữa ẩn x và ẩn phụ t, chuyển đổi bài toán thành: Tìm m để (9) có nghiệm thực thoả mãn . Học sinh cần huy động kiến thức về tam thức bậc hai để giải. Hướng 2: Đưa phương trình về dạng . Xét mối tương quan giữa hai đồ thị hàm số (C): và đường thẳng (d): y = m. Cần làm cho học sinh nhận thức được sự tương ứng: Phương trình và thuộc tập giá trị của hàm . Như vậy, bài toán trở về tìm tập giá trị của hàm số (Tất nhiên, tuỳ từng bài cụ thể mà ta tìm tập giá trị của nó trên tập xác định hay trên trên một khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn nào đó thoả mãn yêu cầu bài toán). Trở lại bài toán trên: Đặt: Lập bảng biến thiên của hàm f(t) với 0 < t < 1, ta được: . Nhận xét: Dù nhận thức và lợi dụng sự tương ứng giữa x và t nhưng học sinh dễ mắc sai lầm khi đặt điều kiện cho t là (vì căn bậc chẵn của một số không âm mà không thấy được nên làm theo hướng 1 hay hướng 2 đều dẫn đến kết quả sai là . Trong quá trình làm toán việc hình thành, phát hiện, nghiên cứu và lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết đòi hỏi học sinh cần phải huy động các luồng kiến thức liên quan như: kiến thức về hàm số, về tập hợp số, về bất đẳng thức... Lợi dụng tương ứng hàm không những giải quyết hiệu quả các bài toán về phương trình, bất phương trình, cho ta các cách nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau mà còn phát triển bài toán tổng quát hơn. Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: Hướng 1: Học sinh giải thuần tuý bằng phương pháp khử ẩn số. Hướng 2: Tìm mối quan hệ giữa các số có trong các bộ số (8, 4, 2); (27, 9, 3); (-1, 1, -1) của phương trình (10), (11) và (12). Vận dụng tư tưởng hàm để giải quyết bài toán. Nhận thấy: Chứng tỏ 2, 3, -1 là ba nghiệm phương trình: (Phát hiện sự tương ứng). Do đó: (Thiết lập tương ứng hàm). Như vậy, nhờ việc phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng sự tương ứng giữa dạng phương trình và nghiệm của nó; giữa các hệ số của hai đa thức bằng nhau; giữa hệ số của phương trình thành phần với nghiệm của phương trình đặc trưng cho các phương trình của hệ, mà ta có cách làm độc đáo, có thể tổng quát hoá bài toán: Giải hệ phương trình: - Loại bài tập chứng minh Khi giải toán phương trình, bất phương trình gặp bài tập chứng minh thường có dạng: Chứng minh phương trình, bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm, có n nghiệm trên khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn hay trên tập xác định của nó, đối với dạng toán này để lợi dụng tương ứng hàm trong việc giải, ta có thể chuyển đổi bài toán về dạng khác tương đương; dựa vào tập giá trị của hàm số và các tính chất của nó. Ví dụ 7: Chứng minh rằng, bất phương trình sau đúng với mọi x dương: Rõ ràng đối với bất phương trình này, VT là hàm đa thức, VP là hàm lượng giác, không thể giải bằng biến đổi thông thường được. Hơn nữa bài toán không yêu cầu giải bất phương trình. Điều gì gợi cho ta sử dụng công cụ hàm số để giải quyết bài toán này? Hướng dẫn giải: Xét hàm số với x > 0 2.4. Kết luận chương 2 Trong chương này Luận văn đã phân tích, minh họa các kỹ năng cần rèn khi giải phương trình, bất phương trình. Đề ra một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, đồng thời cụ thể hóa việc phát triển tư duy hàm khi dạy học chủ đề phương trình. Giúp học để học sinh chiếm lĩnh kiến thức và rèn luyện kỹ năng Toán học được thuận lợi. Đặc biệt nhìn sự vật, hiện tượng của toán dưới góc độ biến thiên phụ thuộc lẫn nhau và mối quan hệ nhân quả của chúng. chương 3 Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các sự phối hợp rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh; kiểm nghiệm tính đúng đắn của giả thuyết khoa học. 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Thọ Xuân 4, Thọ Xuân, Thanh Hoá. + Lớp thực nghiệm: 10A1 + Lớp đối chứng: 10A2 Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào khoảng từ tháng 9 đến tháng 11 năm 2007 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Hà Duyên Nam. Giáo viên dạy lớp đối chứng: Thầy Lương Ngọc Hoà. Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu Trường THPT Thọ Xuân 4, chúng tôi đã tìm hiểu kết quả học tập các lớp khối 10 của trường và nhận thấy trình độ chung về môn Toán của hai lớp 10A1 và 10A2 là tương đương. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất được thực nghiệm tại lớp 10A1 và lấy lớp 10A2 làm lớp đối chứng. Ban Giám hiệu trường, các thầy (cô) Tổ trưởng tổ Toán và các thầy cô dạy hai lớp 10 A1 và 10A2 chấp nhận đề xuất này và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tiến hành thực nghiệm. 3.2.2. Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm được tiến hành trong 16 tiết, chương Phương trình và hệ phương trình. Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra (thời gian 45 phút) Câu I: Hãy biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số a: (1) Câu II: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2) Câu III: Giải phương trình: (3) Việc ra đề như trên chứa đựng những dụng ý sư phạm. Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh. Câu I: Dụng ý sư phạm trong câu này là kiểm tra đánh giá khả năng giải toán phương trình bằng đồ thị, xác lập được sự tương ứng giữa tập hợp số thực và tập hợp giao điểm, cụ thể hơn là giữa số nghiệm phương trình với số giao điểm của các đồ thị được xác định từ phương trình. Hầu hết tất cả học sinh ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều đưa ra kết quả đúng nhưng khá nhiều học sinh ở lớp đối chứng, mặc dù xác định được đây là bài toán biện luận số nghiệm phương trình chứ không phải bài toán giải và biện luận phương trình nhưng lại giải quyết bài toán biện luận số nghiệm dựa trên bài toán giải và biện luận. ở bài toán này, nhận thấy đây là phương trình bậc hai, việc biện luận phương trình loại này được làm quen khá nhiều nên không có gì khó khăn, học sinh lớp đối chứng thực hiện giải tuần tự các bước của bài toán biện luận và kết luận số nghiệm phương trình dựa vào kết quả của bài toán giải và biện luận. Nhưng phần đông học sinh lớp thực nghiệm lại không làm như vậy mà đưa phương trình về dạng phương trình tương đương: . Lợi dụng sự tương ứng: Số nghiệm của phương trình đã cho chính bằng số giao điểm của parabol (P): và đường thẳng (d): y = a. Quan sát đồ thị, thấy đỉnh của parabol (P) là I (-1; -3), có bề lõm quay lên trên; khi a thay đổi thì đường thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành. Từ đó rút ra kết luận bài toán. ở câu II dụng ý sư phạm là nhằm kiểm tra đánh giá khả năng nhận dạng phương trình, tìm điều kiện cho ẩn phụ và khả năng chuyển đổi bài toán. Đa số học sinh ở cả hai lớp thực nghiệm và đối chứng đều nhận ra đây là phương trình trùng phương, giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, biết cách đặt ẩn phụ: và điều kiện ẩn phụ là và đưa phương trình (2) về dạng: (2’) Đến đây nhiều học sinh ở lớp đối chứng đã sai lầm khi chuyển đổi yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ, mang yêu cầu của bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ (do không xác định được sự tương ứng giữa yêu cầu đối với ẩn ban đầu và yêu cầu đối với ẩn phụ) nên cho rằng: “Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2’) có nghiệm. ”. So với học sinh lớp đối chứng thì học sinh lớp thực nghiệm ít mắc sai lầm này, các em nhận thức được yêu cầu của bài toán sau khi chuyển đổi là: “Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2’) có nghiệm không âm”. Câu III: Dụng ý sư phạm muốn kiểm tra khả năng phân tích định hướng tìm lời giải bài toán. Để hình thành phương pháp giải học sinh cần nhận ra mối liên hệ trong bài toán giữa và là . Để hình thành phương pháp giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ và chuyển phương trình về dạng . Ngoài ra ở câu hỏi này còn kiểm tra khả năng tìm điều kiện của ẩn phụ . Có một số học sinh ở lớp thực nghiệm đã sai lầm khi đánh giá: 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm Kết qủa kiểm tra cho thấy: Điểm Lớp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài Đối chứng 0 0 0 3 8 18 16 4 1 0 0 50 Thực nghiệm 0 0 0 0 2 4 8 22 12 6 0 54 Lớp Thực nghiệm: Yếu 3,7%; Trung bình 22,2%; Khá 63%; Giỏi 11,1%. Lớp Đối chứng: Yếu 22%; Trung bình 68%; Khá 10%; Giỏi 0%. Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bước đầu có thể thấy hiệu quả của sự phối hợp rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh. 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy: Mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và tính hiệu quả của sự phối hợp rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm đã được khẳng định. Kết luận Luận văn đã thu được những kết quả sau: 1. Đã hệ thống hoá, phân tích khái niệm kỹ năng, khái niệm tư duy hàm, vấn đề rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy hàm cho học sinh. 2. Đã đề xuất các quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, đồng thời đề cập đến vấn đề phát triển tư duy hàm thông qua dạy học chủ đề phương trình. 3. Xây dựng được hệ thống các ví dụ, bài tập nhằm minh hoạ và khắc sâu phần lý luận cũng như thực hành dạy toán theo quan điểm hàm ở trường phổ thông. 4. Nếu thực hiện tốt các giải pháp được nêu ra trong Luận văn thì không những học sinh có sự hứng thú, đam mê trong học tập mà hiệu quả sư phạm về dạy toán sẽ nâng cao. Từ những kết qủa thu được cho phép chúng tôi xác nhận rằng giả thuyết khoa học là chấp nhận được và có tính hiệu quả, mục đích nghiên cứu đã hoàn thành. Tài liệu tham khảo Nguyễn Ngọc Anh (1999), Khai thác ứng dụng của phép tính vi phân để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế nhằm chủ động góp phần rèn luyện ý thức và khả năng ứng dụng Toán học cho học sinh lớp 12 THPT, Luận án Tiến sĩ Giáo dục, Viện Khoa học giáo dục, Hà Nội. Lê Quang ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng (1999), 360 bài toán chọn lọc, Nxb Đồng Nai, Đồng Nai. Nguyễn Cam (2000), Giải toán đạo hàm và khảo sát hàm số, NXB ĐHQG Hà Nội. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ biến khi giải Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1999), Các bài giảng luyện thi môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đanilôp M. A. Xcatkin M. N. (1980), Lý luận dạy học của trường phổ thông, NXB Giáo dục, Hà Nội. Vũ Cao Đàm (1995), Phương pháp luận nghiên cứu khoa học, Viện Nghiên cứu phát triển giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng (2006), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10, NXB Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2000), 23 chuyên đề giải phương trình bất phương trình Đại số, NXB trẻ, TP Hồ Chí Minh. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2004), Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải Toán, NXB Hà Nội, Hà Nội. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải (2004), Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải Toán, NXB Hà Nội. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Hữu Trí (2005), Phương pháp giải toán đạo hàm và ứng dụng, NXB Hà Nội, Hà Nội. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2005), Các phương pháp giải phương trình bất phương trình hệ vô tỷ, NXB Hà Nội, Hà Nội. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2005), Các phương pháp giải phương trình bất phương trình hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối, NXB Hà Nội, Hà Nội. Phạm Văn Đức, Đỗ Quang Minh, Nguyễn Thanh Sơn, Lê Văn Trường (2002), Kiến thức cơ bản Đại số 10, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Đặng Vũ Hoạt, Hà Thế Ngữ (1987), Giáo dục học tâp 1, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thái Hoè (1993), Phương pháp giải các bài toán khó, Khoa chuyên toán ĐHSP Vinh, Nghệ An. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng (2001), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội. Phan Huy Khải (2001), Các bài toán về hàm số, NXB Hà Nội. Phan Huy Khải (2001), Toán nâng cao cho học sinh THPT Đại số 10, 11, 12, NXB Hà Nội. Phan Huy Khải (2001), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, NXB Hà Nội. Khối phổ thông chuyên (1988), Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, ĐHTH&NXB KHKT Hà Nội. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn Toán phần II, NXB Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Văn Lộc (1995), Tư duy và hoạt động Toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Văn Mậu (1995), Phương trình hàm, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục. Bùi Văn Nghị, Vương Dương Minh, Nguyễn Anh Tuấn (2005), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu kỳ III (2004 - 2007) môn Toán, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội. V.A.Ôganhexian - Iu.M.Kôliagin (1980), Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông, NXB Giáo dục, Hà Nội (Tiếng Nga). Petrovski.A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm (tập II), NXB Giáo dục, Hà Nội. G. Polya (1997), Giải bài toán như thế nào? Nxb Giáo dục, Hà Nội. G. Polya (1997), Sáng tạo Toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Ngọc Quang (1989), Lý luận dạy học đại cương tập 2, NXB Giáo dục, Hà Nội. Đào Tam (2000), "Bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở THPT, năng lực huy động kiến thức khi giải các bài toán", Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, Số1. TS. Chu Trọng Thanh, GS. TS. Đào Tam, Ths.Lê Duy Phát (2006), Góp phần phát triển một vài yếu tố tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình, Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, Số135. Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Vinh. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu Toán học, Tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội. Nguyễn Trọng Tuấn (2005), Bài toán hàm số qua các kì thi Olympic, NXB Giáo dục, Hà Nội. Trần Thúc Trình (1998), Cơ sở lý luận dạy học toán nâng cao (dùng cho học viên cao học Toán), Viện Khoa học giáo dục, Hà Nội. Trần Thúc Trình (1998), Tư duy và hoạt động Toán học, Viện khoa học giáo dục, Hà Nội. Đào Văn Trung (2001), Làm thế nào để học tốt Toán phổ thông, NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội. Tuyển tập 30 năm Toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục, Hà Nội. Từ điển Tiếng Việt, NXB TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh.