Khóa luận Sử dụng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng nghiên cứu các trạng thái của electron trong chấm lượng tử

huyển động trong một giếng thế vuông góc với bờ thế cao vô hạn:   a0 , x 2 U x (1.3) a, x 2      8 Phương trình Schrodinger độc lập với thời gian có thể viết:         2 2 2 x U x x E x 2m x         (1.4) Theo cơ học lượng tử, phương trình (1.4) có hai loại nghiệm chẵn và lẻ được cho bởi biểu thức:   2 1 cos 2mE n 1, 3, 5,... a    (1.5) và   2 1 sin 2mE n 2,4,6,... a    (1.6) Kết quả quan trọng nhất của bài toán là một tập hợp các giá trị năng lượng:   2 2 2 n 2 n E 1.7 2ma   Hình (1.1a) minh họa 3 hàm sóng đầu tiên ứng với n = 1, 2, 3 và vị trí các mức năng lượng tương ứng. Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp: 2 2 n n 1 n 2 (2n 1) E E E (1.8) 2ma        tăng đơn điệu theo n. Hàm sóng với mọi trạng thái bị triệt tiêu tại ax 2  . Biên độ của tất cả các hàm số sóng đều như nhau và tổng xác suất tìm thấy một hạt bên trong giếng đúng bằng một đơn vị cho tất cả các trạng thái. 9 (a) (b) (c) Hình 1.1: Giếng thế một chiều có hàng rào vô hạn (a) và hữu hạn (b) ứng với ba trạng thái đầu tiên và quy luật tán sắc của giếng thế có hàng rào hữu hạn (c). Chú ý rằng năng lượng trong phương trình (1.7) ứng với giá trị động năng. Sử dụng mối quan hệ giữa năng lượng E, xung lượng p và vectơ sóng k   2p E p k 1.9 2m   Ta được giá trị của xung lượng p và vectơ sóng k : n n n n p , k (1.10) a a     cũng là các giá trị rời rạc. 10 Nếu một hạt tồn tại trong giếng, giá trị * tại một vị trí nào đó phải khác không. Các nghiệm thỏa mãn (1.3) và (1.4) với n = 0 là không được phép vì sẽ phủ nhận sự tồn tại của hạt. Năng lượng nhỏ nhất của hạt: 2 2 1 2 E (1.11) 2m a   Năng lượng này được gọi là năng lượng điểm không của hạt. Kết quả này còn có thể suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg: p x 2    (1.12) Hạt bị giới hạn trong miền không gian x a  . Do đó, theo (1.12), độ bất định của động lượng p 2a  . Kết quả này cho phép tìm được năng lượng nhỏ nhất:     2 2 2 p E 1.11' 2m 8ma     Kết quả này tương tự 1E trong (1.11) với độ chính xác là 2 4  Tính chẵn lẻ của hàm sóng hạt có thể được dự đoán từ tính đối xứng của bài toán. Tính đối xứng của giếng thế :    U x U x  xác định tính đối xứng của mật độ hạt:     2 2 x x    Từ đó :    x x   (1.13) là hai nghiệm độc lập. Nói chung, tính đối xứng của các hàm sóng thường thuận lợi trong việc giải quyết các phương trình sóng cho một hệ phức tạp. Trong trường hợp hàng rào thế có chiều cao hữu hạn, hàm sóng không triệt tiêu ở bờ giếng nhưng giảm theo quy luật hàm mũ trong khu vực cấm cổ điển a x 2  [hình.1.1 (b)]. Xác suất tìm một hạt bên ngoài giếng là khác không, xác suất này tăng khi n tăng. Số lượng các trạng thái bên trong giếng tuân theo điều kiện: 11  0a 2mU n 1 (1.14)  Trong đó, 0U là chiều cao của giếng. Điều kiện này luôn thỏa mãn với n = 1. Do đó, luôn có ít nhất một trạng thái trong giếng thế với một tổ hợp bất kỳ của 0U và a. Số lượng các trạng thái trong giếng có thể có ứng với giá trị lớn nhất của n mà (1.14) vẫn được thỏa mãn. Với các trạng thái sâu, phương trình (1.7) có thể được coi như là một phép gần đúng tốt. Tất cả các trạng thái với n 0E U ứng với chuyển động không giới nội và tạo nên tính liên tục của các trạng thái. 1.2.2. Hạt trong thế đối xứng cầu [8, 5 7] Trong trường hợp này, toán tử Hamilton của hạt có dạng :     2 2H U r 1.15 2m    trong đó 2 2 2r x y z   . Từ tính đối xứng của bài toán, xét trong hệ tọa độ cầu, r, ,  : Hình 1.2: Hệ tọa độ cầu x rsin cos , y rsin sin , z rcos (1.16)        Khi đó, phương trình Hamiltomain có dạng:     2 2 2 2 2 A H r U r 1.17 2mr r r 2mr           trong đó, toán tử A :   2 2 1 1 A sin 1.18 sin sin                  12 Hàm sóng bị tách thành các hàm của r, ,  :      R r (1.19)      và có thể được viết dưới dạng:        n,n, ,m m u r r, , Y , 1.20 r      ll l, trong đó mYl, là hàm cầu và  n,u rl thỏa mãn phương trình:   2 2 2 2 2 d u U r ( 1) u Eu (1.21) 2m dr 2mr           l l Khảo sát biểu thức (1.21) thay cho phương trình với toán tử Hamiltonian (1.17) thu được các giá trị năng lượng. Trạng thái của hệ được đặc trưng bởi ba lượng tử số, cụ thể là, số lượng tử chính n, số lượng tử quỹ đạo l, và số lượng tử từ m. Số lượng tử quỹ đạo xác định giá trị mô men xung lượng L :    2 2L 1 0, 1, 2, 3,... 1.22  l l l Số lượng tử từ xác định thành phần của vectơ mô men xung lượng L trên trục oz:  zL m m 0, 1, 2,..., 1.23     l Mỗi trạng thái ứng với giá trị l nào đó thì bị suy biến bậc (2l +1) theo (2l + 1) giá trị của m. Các trạng thái tương ứng với các giá trị l khác nhau thường được ký hiệu là s, p, d, f, g theo thứ tự bảng chữ cái. Ví dụ, trạng thái có mô men động lượng bằng không (l = 0) gọi là trạng thái s, trạng thái với l = 1 được kí hiệu là trạng thái pTính chẵn lẻ của trạng thái tương ứng với tính chẵn lẻ của giá trị l, vì hàm bán kính không bị ảnh hưởng bởi phép nghịch đảo ( r vẫn không thay đổi sau phép nghịch đảo), còn hàm cầu sau phép nghịch đảo trở thành:      m mY , 1 Y ,      l l, l, (1.24) Các giá trị cụ thể của năng lượng được xác định bởi hàm U (r). Xét trường hợp đơn giản tương ứng với giếng thế đối xứng hình cầu với hàng rào vô hạn:   0 , x a U x (1.25) , x a      trong trường hợp này, giá trị năng lượng được biểu diễn như sau: 13   2 2 n n 2 E 1.26 2ma   ll trong đó nl là nghiệm của hàm cầu Bessel với n là số thứ tự nghiệm và l là bậc của hàm. Các giá trị của nl với một vài giá trị n, l được liệt kê trong bảng 1.1. Bảng 1.1: Nghiệm của hàm cầu Bessel nl l n = 1 n = 2 n =3 0 3,142  6,283 2 9,425 3 1 4,493 7,725 10,904 2 5,764 9,095 12,323 Chú ý rằng với l = 0, những giá trị này bằng n (n 1, 2, 3,...)  và phương trình (1.26) quy về biểu thức (1.7) trong trường hợp một chiều. Đó là khi l = 0, phương trình (1.21) với hàm bán kính u(r) chính là phương trình (1.4) với thế năng (1.3). Tóm lại, hạt trong giếng thế hình cầu nhận tập hơp các mức năng lượng 1s, 2s, 3s, trùng với năng lượng của hạt trong một giếng hình chữ nhật một chiều và các mức bổ sung 1p, 1d, 1f,, 2p, 2d, 2f, phát sinh do tính đối xứng cầu của giếng thế (hình 1.3). 14 Hình 1.3: Các mức năng lượng của một hạt trong giếng thế hình cầu với hàng rào vô hạn. Trong trường hợp của giếng hình cầu với thế năng hữu hạn 0U . Phương trình (1.26) có thể được áp dụng khi 0U là đủ lớn, nghĩa là 2 0 2 U 8ma . Vế phải của bất đẳng thức này là một hệ quả của hệ thức bất định (xem phương trình (1.11’)). Khi: 2 2 0 0 min 2 U U 8ma    (1.27) thì chỉ có một trạng thái tồn tại bên trong giếng thế, 1 0E U . Khi 0 0minU U , không có trạng thái nào tồn tại bên trong giếng. Đây là sự khác biệt quan trọng của trường hợp ba chiều khi so sánh với bài toán một chiều. 1.2.3. Electron trong thế Coulomb [8, 8  11] Với thế Coulomb :   2e U r (1.28) r  Phương trình ứng với thành phần xuyên tâm của hàm sóng có thể được viết: 15       2 2 1d 2 U 0 1.29 d             l l Với các biến số không thứ nguyên và  : 0 0 r E , a E    Trong đó 0a là đơn vị độ dài nguyên tử và 0E là đơn vị năng lượng nguyên tử được cho bởi: 2 0 2 2 0 a 5,292.10 nm m l   (1.30) và : 2 0 2 e E 13,60 eV 2a   (1.31) với 0m là khối lượng của electron. Giải phương trình (1.29) dẫn đến các kết quả sau: Các mức năng lượng tuân theo dãy:    2 r 1 1 1.32 n 1 n    l Các mức này được minh họa trong hình 1.4. Số rn n 1l   được gọi là “số lượng tử chính”. Nó lấy các giá trị nguyên dương bắt đầu từ 1. Năng lượng được xác định hoàn toàn bởi giá trị đã cho của n, rn xác định số lượng tử các nút của hàm sóng tương ứng. Nó được gọi là “số lượng tử quỹ đạo”. Ứng với mỗi giá trị của n có n giá trị của l (l chạy từ  0 n 1  ). Thêm vào đó, ứng với mỗi giá trị l đã cho, có (2l +1 ) suy biến xảy xa đối với m 0, 1, 2, ...   . Do đó, tổng bậc suy biến là:   n 1 2 0 2 1 n l l     (1.33) Cho n = 1, l = 0 (trạng thái 1s), hàm sóng tuân theo đối xứng cầu với 0a là khoảng cách ngắn nhất có thể tìm thấy electron với xác suất lớn nhất. Do vậy, giá 16 trị này trong kiểu cấu trúc nguyên tử được gọi là “bán kính Bohr”. Khi E > 0, hạt chuyển động không giới nội với phổ liên tục. Hình 1.4: Mức năng lượng của một hạt trong thế Coulomb   2U r e r . Với E > 0, hạt có phổ năng lượng liên tục. Với E < 0, phổ năng lượng bao gồm một tập hợp rời rạc của các mức tuân theo các mối quan hệ 0 2 nE E n , mỗi mức có bậc suy biến 2n . Sau đây, xét bài toán nguyên tử hiđrô bao gồm một proton có khối lượng 0M và một electron khối lượng 0m . Phương trình Schrodinger có liên quan là phương trình hai hạt với toán tử Hamilton:   2 2 2 2 2 p e p e0 0 e H 1.34 2m 2m r r        Trong đó p er , r lần lượt là bán kính vectơ của proton và electron, còn chỉ số p và e trong toán tử 2 biểu thị phép lấy vi phân theo tọa độ proton và electron. Xét bán kính vectơ tương đối r và bán kính vectơ xác định vị trí khối tâm R như sau :   e p0 0 p e 0 0 m r m r r r r , R 1.35 m M      và sử dụng khối lượng tổng cộng M và khối lượng rút gọn  của hệ:  0 00 0 0 0 m M M m M , 1.36 m M     17 Toán tử Hamilton (1.34) trở thành:   2 2 2 2 2 R r 0 0 e H 1.37 2m 2m r       có thể thấy rằng (1.37) được phân tích thành toán tử Hamilton của hạt tự do với khối lượng M và toán tử Hamilton của hạt với khối lượng rút gọn  chuyển động trong thế Coulomb   2e U r r   . Toán tử Hamilton thứ nhất mô tả chuyển động tự do của khối tâm nguyên tử, toán tử Hamilton thứ hai làm xuất hiện các trạng thái bên trong. Theo (1.32), năng lượng của các trạng thái này có thể được viết:  yn 2 R E 1.38 n   với :   2 2 y B 2 B e R , a 1.39 2a e    ở đây, yR được gọi là “ hằng số Rydberg” và là năng lượng ion hóa của trạng thái thấp nhất, còn Ba là bán kính Bohr của nguyên tử hiđrô. Khoảng cách giữa các mức năng lượng kế tiếp giảm theo n và khi E > 0, electron và proton chuyển động không giới nội. Ta thấy năng lượng và bán kính Bohr thể hiện qua (1.39) khác với các giá trị tương ứng của bài toán một hạt đơn giản bởi hệ số em  . Do đó, biểu thức (1.30 ) và (1.31) được sử dụng rộng rãi thay cho (1.39). Các bài toán hạt trong giếng cầu và của nguyên tử hiđrô là rất quan trọng cho các nghiên cứu tiếp theo. Bài toán về hạt trong giếng thế cầu được sử dụng cho mô hình electron và lỗ trống trong tinh thể nano còn bài toán nguyên tử hiđrô là bài toán cơ bản cho exciton trong tinh thể khối cũng như trong các tinh thể nano. Hơn nữa, ví dụ về bài toán hai hạt là cơ sở cho bài toán nhiều vật. Nó bao gồm sự chuyển tiếp từ bài toán nhiều hạt (proton và electron) thành bài toán một hạt bằng cách tái chuẩn hóa khối lượng (khối lượng rút gọn  thay bằng 0 0M và m ) và tách chuyển động tập thể thành chuyển động tịnh tiến của khối tâm và chuyển động của 18 hạt đơn lẻ trong một trường hiệu dụng nào đó. Cách tiếp cận này dẫn đến các khái niệm khối lượng hiệu dụng và các giả hạt được giới thiệu trong phần sau. 1.2.4. Hạt trong thế tuần hoàn [8,11  15] Xét hạt trong trường thế thỏa mãn :      U x U x a 1.40  Tìm hàm sóng thỏa mãn các phương trình Schrodinger với thế năng (1.40). Nếu đối số x được thay thế bằng x +a : x x a  Ta được phương trình :           2 2 x a U x x a E x a 1.41 2m           So sánh (1.41) và (1.4) thì hàm sóng  x a  và  x đều thỏa mãn phương trình Schrodinger với cùng một trị riêng E. Nếu trị riêng này không suy biến (tức là chỉ có l hàm riêng), thì hàm  x và  x a  khác nhau một hằng số c nào đó:      x a c x 1.42    Cả hai hàm riêng phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, giá trị tuyệt đối của c là : c 1 Do đó :       2 2 x a x 1.43    Phương trình này cho thấy, hạt có thể tìm thấy trong khoảng x quanh điểm x có cùng xác suất như quanh điểm x a  . Do đó, sự phân bố trung bình trong không gian của các hạt có tính chất tuần hoàn của thế năng. Khảo sát các tính chất của giá trị 0c . Sau khi thực hiện hai lần phép tịnh tiến, ta được :      n1 n2 n1 n2x a a c c x 1.42'     Trong đó: na na, n 1, 2, 3,...  Hiển nhiên, ta có: n1 n2 n1 n2a a a   19 Ta thấy :      n1 n2 n1 n2 n1 n2x a a x a c x (1.42'')         Do đó:  n1 n2 n1 n2c c c 1.44 Phương trình này có nghiệm :  nikanc e 1.45 trong đó k có thể lấy nhiều giá trị. Tóm lại, các hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrodinger với thế tuần hoàn chỉ khác hàm tuần hoàn với chu kỳ a một hệ số có dạng  if xe , trong đó f(x ) là hàm tuyến tính của x. Như vậy, hàm sóng có thể viết:        ikx k k k nx e u x , u x u x a (1.46)    Phương trình (1.46) cho thấy các hàm riêng của Hamilton với thế năng tuần hoàn là một sóng phẳng biến đổi tuần hoàn cùng chu kì với thế năng. Phát biểu này là định lí Bloch. Vectơ sóng 1 2k , k khác nhau bởi giá trị:  1 2 2 k k n, n 1, 2, 3,... 1.47 a       trở nên tương đương. Đây là hệ quả trực tiếp của tính đối xứng tịnh tiến của không gian. Do đó, tập hợp vô số các giá trị k bao gồm các khoảng tương đương :   3 3 5 k ; k ; k ;... 1.48 a a a a a a              với độ rộng của mỗi vùng là 2 a  . Mỗi khoảng này có chứa một tập hợp đầy đủ các giá trị không tương đương của k và được gọi là “vùng Brillouin”. Phổ năng lượng và đường cong tán sắc khác với trường hợp hạt tự do (hình 1.5). 20 Hình 1.5: Sơ đồ vùng năng lượng suy rộng (a) , rút gọn (b) minh họa quy luật tán sắc của hạt trong thế năng tuần hoàn một chiều, và các vùng năng lượng trong không gian (c). Đường cong tán sắc gián đoạn tại điểm :  nk n, n 1, 2, 3,... 1.49 a      Tại các giá trị này của k , hàm sóng là một “sóng đứng”, là kết quả của nhiều lần phản xạ từ cấu trúc tuần hoàn. Với mọi nk thỏa mãn (1.49), hai sóng đứng cùng tồn tại với thế năng khác nhau. Điều này dẫn đến sự xuất hiện của vùng năng lượng bị cấm, nghĩa là không tồn tại sóng truyền trong vùng đó. Do đó, đường cong tán sắc mở rộng (hình 1.5 (a)) có thể được điều chỉnh thành sơ đồ vùng rút gọn. 1.2.5. Xây dựng khái niệm khối lượng hiệu dụng [7, 129  134] Như đã biết vận tốc chuyển động tịnh tiến của electron:   p k v 1.50 m m   Mặt khác, từ 2 k E 2m  , lấy đạo hàm theo k , nhận được 2 m dE k dk  thì:   1 dE m dE v ; p k 1.51 dk dk    Hệ thức giữa vận tốc, xung lượng trong sự phụ thuộc vào dE dk không chỉ 21 đúng với electron tự do mà đúng với cả electron chuyển động trong trường tuần hoàn của tinh thể. Xung lượng p lúc này gọi là giả xung lượng của electron. Khi đặt trường ngoài  vào tinh thể, electron chịu tác dụng lực F q   với gia tốc: 2 2 dv 1 d dE 1 d E dk a dt dt dk dtdk         (1.52) Mặt khác sau khoảng thời gian dt lực này thực hiện công: F dE dA Fds F.v.dt .dt dk    (1.53) công này làm tăng năng lượng của electron một lượng E dE dE dA dt dk   . Từ đây suy ra dk F dt  và gia tốc của electron lúc này bằng: 2 2 2 F d E a dk  (1.54) biểu thức này xác lập quan hệ giữa lực tác dụng F của trường ngoài và gia tốc a mà electron trong tinh thể thu được, nó tuân theo định luật II Niutơn. Từ (1.54) thấy là nếu đưa vào ký hiệu *m thỏa mãn đẳng thức: 2 * 2 2 m d E / dk  (1.55) thì (1.54) có dạng *a F / m , có nghĩa là, dưới tác dụng của ngoại lực F , electron trong trường tuần hoàn của tinh thể chuyển động như chuyển động của electron tự do, chỉ khác là electron trong tinh thể lúc này có khối lượng hiệu dụng *m được tính theo công thức (1.55). Tất cả ảnh hưởng của trường tinh thể đã thể hiện ở *m qua 2 2d E dk . Khối lượng hiệu dụng có những đặc tính riêng của nó. Nó có thể dương, âm, giá trị tuyệt đối có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn khối lượng tĩnh m của electron. Dưới đây sẽ khảo sát cặn kẽ hơn vấn đề này. Với electron ở đáy vùng năng lượng,   2 đáy min AE E A ka  ,từ đây 2 2 2 Ad E dk 2A a , khối lượng hiệu dụng lúc này là: 22   2 * * e2 A m đáy m 2A a   (1.56) vì AA 0 nên *m 0 . Tức là electron nằm ở đáy của vùng năng lượng có khối lượng hiệu dụng dương. Dưới tác dụng của trường ngoài, electron trong tinh thể được gia tốc theo hướng của lực tác dụng. Nó khác với electron tự do ở chỗ khối lượng của nó có thể có giá trị khác khối lượng tĩnh của electron  *m m . Ngoài ra (1.56) còn cho thấy là AA càng lớn tức vùng được phép càng rộng, khối lượng hiệu dụng của electron nằm ở đáy vùng càng nhỏ. Với electron ở đỉnh vùng,   2 đinh max BE E A ka  , 2 2 2 Bd E dk 2A a  , khối lượng hiệu dụng: *m (đỉnh) 2 * e2 B m 0 2A a     (1.57) Trong tinh thể, dưới tác dụng của trường ngoài, electron được gia tốc theo hướng ngược với lực tác dụng, ngoài ra, giá trị tuyệt đối của *m cũng được xác định với độ rộng vùng BA , vùng càng rộng, *m càng nhỏ. Bây giờ ta đi khảo sát cơ sở vật lý của khối lượng hiệu dụng. Với electron tự do, toàn bộ công A của ngoại lực F làm tăng động năng của chuyển động tịnh tiến: 2 2 2 đ mv k A E 2 2m    (1.58) ngoài ra 2 2 đ 2 d E dk m  . Đặt vào (1.55) nhận được *m m . Như vậy khối lượng hiệu dụng của electron tự do, đơn giản bằng khối lượng tĩnh m. Với electron chuyển động trong tinh thể, nó không chỉ có động năng mà còn có cả thế năng. Công mà ngoại lực F chuyển một phần thành động năng 'đE , còn một phần khác chuyển thành thế năng U: A = 'đE + U. Lúc này vận tốc chuyển động của electron sẽ tăng chậm hơn so với electron tự do. Gia tốc mà nó thu được nhỏ hơn và dường như nó nặng hơn electron tự do ( *m > m). 23 Nếu toàn bộ công này chuyển thành thế năng, tức là A = U thì vận tốc chuyển động của electron sẽ không đổi, electron như hạt với khối lượng hiệu dụng vô cùng lớn  *m  . Hơn thế nữa, không chỉ toàn bộ công của ngoại lực F chuyển thành thế năng mà cả một phần động năng đE sẵn có của electron cũng chuyển thành thế năng nữa. U = A + đE thì vận tốc chuyển động của electron trong tinh thể sẽ giảm, nó chuyển động ngược hướng của ngoại lực F . Electron lúc này thể hiện như hạt có khối lượng âm ( *m < 0). Lúc này phần năng lượng mà electron truyền cho mạng lớn hơn năng lượng mà nó nhận được từ trường ngoài. Nhưng trong tinh thể có thể xảy ra trường hợp, không chỉ toàn bộ năng lượng của trường ngoài chuyển thành động năng của electron mà trường tinh thể cũng chuyển một phần thế năng 'U của mình cho electron: ' ' đE A U  . Lúc này vận tốc chuyển động của electron sẽ tăng nhanh hơn so với electron tự do. Electron lúc này như nhẹ đi hơn electron tự do, khối lượng hiệu dụng *m < m. Hình 1.6: Mô tả sự thay đổi  E k ,  v k và *m với sự thay đổi của vectơ sóng k từ 0 đến a . 24 Ở đáy vùng, gần k = 0, khi k tăng, năng lượng E( k ) tăng tỷ lệ với 2k , vận tốc chuyển động tịnh tiến của electron v dE dk tăng tỷ lệ với k , gia tốc chuyển động dương, khối lượng hiệu dụng *m dương và   1 * 2 2m d E dk  và không đổi, bằng khối lượng của electron ở đáy: * * em m (công thức 1.56). Tại điểm uốn A, 2 2d E dk 0 , dE/d k đạt giá trị cực đại, do đó ở gần A, * maxm , v v  . Sau đó, đường cong E( k ) bắt đầu úp xuống dE/d k bắt đầu giảm, vì thế v giảm, gia tốc lúc này âm, ngược hướng của lực tác dụng F tương đương như khối lượng hiệu dụng có dấu âm. Giá trị tuyệt đối của *m biến thiên theo quy luật   1 * 2 2m d E dk  . Tại đỉnh của vùng (điểm B), E( k ) lại tỷ lệ với bình phương của k và khối lượng hiệu dụng giữ giá trị không đổi * em âm (công thức 1.57). 1.2.6. Electron trong tinh thể [8, 1619] Xét tinh thể lý tưởng với sự sắp xếp tuần hoàn của các nguyên tử. Toán tử Hamiltonian của hệ này bao gồm động năng của các electron, động năng của các hạt nhân, thế năng tương tác của electron – electron, electron - hạt nhân và thế năng tương tác của hạt nhân – hạt nhân. Do đó, có thể viết như sau :         2 2 2 2 i j i a a bi a 1 2 B i a i j i,a a b0 1 1 H U r r U r R U R R 1.59 2m 2M 2 2                Trong phương trình này, m0 và M là khối lượng của các electron và hạt nhân. r và R là bán kính vectơ của electron và hạt nhân. Hiển nhiên, ta không thể giải phương trình với Hammilton (1.59) cho số các hạt cỡ 1022 – 1023 hạt. Do đó, phải dùng một số phép gần đúng để giải bài toán này, Do khối lượng hạt nhân M lớn hơn rất nhiều so với khối lượng của electron m nên hạt nhân được coi là đứng yên khi khảo sát các tính chất của electron trong tinh thể. Đây là phép gần đúng đoạn nhiệt hay gần đúng Born – Oppenheimen. Sử dụng gần đúng này, hàm sóng có thể tách thành hai phần: một phần phụ thuộc vào tọa độ electron, một phần phụ thuộc vào tọa độ hạt nhân dẫn đến hai phương trình Schordinger độc lập: một cho hệ các hạt nhân và một phương trình khác cho hệ các electron. Vì chỉ quan tâm tới tính chất các electron trong tinh thể nên ta chỉ viết:       2 2 i j i ai 1 2 R i i j i,a0 1 U r r U r R E 1.60 2m 2              25 Trong phương trình này, bán kính vectơ của hạt nhân aR là các tham số chứ không phải là biến. Hàm sóng  phụ thuộc vào toàn bộ tập hợp các tọa độ electron và tập hợp các tọa độ hạt nhân như các tham số. Sự phụ thuộc tham số của giá trị riêng RE vào tọa độ của hạt nhân được đánh dấu bởi một chỉ số thích hợp. Thứ hai, electron ở bên trong lớp vỏ liên kết chặt chẽ với hạt nhân không xác định các tính chất của vật như độ dẫn điện, quá trình dịch chuyển quang học và những tính chất khác, và do đó, có thể coi như một thành phần của mạng. Điều này có nghĩa rằng, thay vì nghiên cứu hạt nhân, chúng ta nghiên cứu các lõi ion. Do đó, số hạng thứ hai trong phương trình (1.60) chỉ là tương tác Coulomb giữa các electron hóa trị và có thể biểu diễn:     2 i j1 i j i j i j 1 1 e U r r 1.61 2 2 r r       Thứ ba, dưới các điều kiện nhất định của bài toán nhiều hạt, (1.60) có thể rút gọn thành một tập hợp của các bài toán một hạt bằng phương pháp gần đúng trường tự hợp: tương tác của mỗi electron hóa trị với tất cả các electron hóa trị khác và với tất cả các lõi ion được tính đến bằng cách đưa vào một thế năng tuần hoàn U(r), thế này phải được điều chỉnh sao cho khi sử dụng tính đối xứng của mạng tinh thể và một số dữ liệu thực nghiệm, ta thu được cấu trúc vùng năng lượng đối với tinh thể đã cho. Khi đó, phương trình Schrodinger với toán tử Hamilton (1.59) rút gọn thành phương trình cho một hạt duy nhất:     2 2 0 U r E 1.62 2m      với thế năng tuần hoàn đó, phương trình này lại có thể rút gọn thành phương trình cho một hạt tự do nhờ tái chuẩn hóa khối lượng:   2 2 * E 1.63 2m     Như chúng ta đã biết, phổ năng lượng của electron bao gồm các dải được bị tách ra bởi các vùng cấm. Các tính chất điện của chất rắn phụ thuộc vào sự chiếm các vùng năng lượng và độ lớn vùng cấm. Nếu tinh thể vùng năng lượng bị chiếm một phần, nó thể hiện tính kim loại vì các electron trong vùng này quyết định tính 26 dẫn điện. Nếu tất cả các vùng ở T = 0K đều bị chiếm hoàn toàn hoặc tự do, vật liệu sẽ thể hiển tính chất điện môi. Các electron trong vùng năng lượng bị chiếm không thể tham gia quá trình dẫn điện do nguyên lí loại trừ Paoli: chỉ duy nhất một electron có thể một trạng thái đã cho. Vì vậy, dưới ảnh hưởng của điện trường ngoài, electron trong vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn không thể thay đổi năng lượng bởi tất cả các trạng thái lân cận đã được lấp đầy. Vùng năng lượng bị chiếm cao nhất gọi là “vùng hóa trị” và vùng năng lượng thấp nhất không bị chiếm được gọi là “vùng dẫn”. Khoảng cách giữa đỉnh của vùng hóa trị vE và đáy của vùng dẫn cE được gọi là vùng cấm năng lượng gE (hay khe năng lượng) g c vE E E  Tùy thuộc vào giá trị tuyệt đối của gE , các vật rắn cho thấy tính chất điện môi (tức là không dẫn điện) tại T = 0K được phân thành chất điện môi và chất bán dẫn. Nếu gE nhỏ hơn 3 – 4 eV, vùng dẫn bị chiếm đáng kể khi tăng nhiệt độ, và loại tinh thể này được gọi là các chất bán dẫn. Đường cong tán sắc  E k cho thấy các tinh thể thực tế là khá phức tạp. Khối lượng hiệu dụng không thể được coi là hằng số, và trong một số trường hợp, có thể được mô tả như là một tenxơ bậc hai. Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hợp thực nghiệm quan trọng, các sự kiện xảy ra trong vùng lân cận của c vE và E là quan trọng nhất và có thể được mô tả bằng xấp xỉ khối lượng hiệu dụng không đổi, nhưng đôi khi cũng có sự phân biệt theo các hướng khác nhau. Cấu trúc các vùng năng lượng của hai chất bán dẫn tiêu biểu, Cadimium Sufide và Silicon (CdS và Si) được minh họa trong hình 1.6. Với tinh thể CdS, khoảng cách tối thiểu giữa c vE và E xảy ra ở cùng một giá trị k. Các tinh thể loại này được gọi là bán dẫn có vùng cấm thẳng. Với các tinh thể Si, vùng cấm năng lượng nhỏ nhất ứng với các giá trị k khác nhau cho c vE và E . Tinh thể loại này thường được gọi là bán dẫn có vùng cấm xiên. 27 Hình 1.7: Cấu trúc vùng của hai bán dẫn điển hình, CdS và Si. 28 CHƯƠNG II KHÁI NIỆM CÁC GIẢ HẠT VÀ CÁC CẤU TRÚC THẤP CHIỀU 2.1. Khái niệm các giả hạt: electron, lỗ trống, exction [8, 19  23] Các electron trong vùng dẫn của tinh thể có thể được mô tả như các hạt có điện tích –e, spin 1/2, khối lượng * em (về cơ bản không phải là hằng số) và chuẩn xung lượng k , với định luật bảo toàn riêng. Có thể thấy, trong các thông số trên, chỉ điển tích và spin là vẫn không thay đổi giá trị khi xét trong chân không và trong tinh thể. Do đó, khi nói về các electron trong vùng dẫn, ta hiểu đó là các hạt mà tính chất của chúng là do tương tác trong một hệ nhiều hạt bao gồm một số rất lớn các hạt nhân dương và các electron âm. Đó là cách tiếp cận thông thường trong lý thuyết về các hệ nhiều hạt, thay việc nghiên cứu một số rất lớn các hạt tương tác bởi một số nhỏ các giả hạt không tương tác. Các giả hạt này được mô tả như là các kích thích cơ bản của hệ gồm các hạt thực. Trong khuôn khổ cách tiếp cận này, electron trong vùng dẫn là một kích thích cơ bản của hệ trong tinh thể. Một kích thích cơ bản nữa là lỗ trống, là một giả hạt liên quan đến một tập hợp các electron trong vùng hóa trị bị thiếu một electron (ví dụ: chuyển lên vùng dẫn). Các kích thích này được đặc trưng bởi điển tích +e, spin 1/2, khối lượng hiệu dụng *hm và một chuẩn xung lượng thích hợp. Trong biểu diễn này, năng lượng của lỗ trống có dấu ngược với năng lượng của electron. Sử dụng các khái niệm về kích thích cơ bản, có thể xem trạng thái cơ bản của tinh thể là một “trạng thái chân không” (không tồn tại electron trong vùng dẫn và cũng không tồn tại lỗ trống trong vùng hóa trị) và trạng thái bị kích thích đầu tiên (một electron trong vùng dẫn và một lỗ trống trong vùng hóa trị) chính là sự tạo thành của cặp electron - lỗ trống (cặp e – h). Sự dịch chuyển từ trạng thái cơ bản đến trạng thái kích thích đầu tiên xảy ra như là kết quả của một nhiễu loạn bên ngoài nào đó, ví dụ như sự hấp thụ photon (hình 2.1) với năng lượng và động năng được bảo toàn:   g ekin hkin e h E E E k k k 2.1      29 Hình 2.1: Quá trình hấp thụ một photon dẫn tới kết quả là tạo thành cặp electron - lỗ trống được minh họa bằng một dịch chuyển thẳng đứng (a ) thể hiện năng lượng và động lượng đồng thời được bảo toàn hoặc có thể được coi như là sự biến đổi một photon thành electron và lỗ trống (b). Khi xung lượng photon là nhỏ không đáng kể, sự dịch chuyển là thẳng như trong hình 2.1 (a). Quá trình này có thể được mô tả theo một cách khác được trình bày trong hình 2.1 (b). Quá trình ngược lại, đó là quá trình dịch chuyển bức xạ xuống dưới, tương đương với sự hủy của cặp e - h và tạo ra một photon. Các quá trình và các khái niệm này cũng giống như trong chân không thực, các electron và pozitron (phản hạt). Sự khác biệt duy nhất là khối lượng pozitron đúng bằng khối lượng electron 0m , trong khi trong tinh thể, khối lượng hiệu dụng * hm thường lớn hơn khối lượng hiệu dụng của electron * em . Là các fermion, các electron và lỗ trống được mô tả bởi thông kê Fermi – Dirac với hàm phân bố:     FE E kT 1 f E 2.2 e 1    trong đó, FE là thế năng hóa học và được gọi là năng lượng Fermi hoặc mức Fermi. 30 Năng lượng vùng cấm tương ứng với năng lượng tối thiểu tạo ra một cặp hạt mang điện tự do, đó là electron và lỗ trống. Sự trình bày này phù hợp với định nghĩa của gE . Cách mô tả bằng các electron và lỗ trống không tương tác như là các kích thích cơ bản tương ứng với cái gọi là bức tranh một hạt. Trong thực tế, các electron và lỗ trống đều là các hạt tích điện nên có tương tác với nhau thông qua thế Coulomb và tạo nên một giả hạt đặc biệt tương ứng với trạng thái liên kết kiểu nguyên tử của cặp electron - lỗ trống và được gọi là exction. Tương tác giữa lỗ trống và electron được mô tả bởi toán tử Hamilton :   2 2 2 2 2 e h* * e he h e H 2.3 2m 2m r r        nó giống như toán tử Hamilton (1.34) của nguyên tử hiđrô với * * e hm và m thay thế cho 0m và M và với hằng số điện môi của tinh thể 1 . Do đó, tương tự như nguyên tử hiđrô, exction được đặc trưng bởi bán kính Bohr exction :   2 o 0 B 2 m a 0,53A 2.4 e       trong đó  là khối lượng rút gọn của cặp electron - lỗ trống: 1 * 1 * 1 e hm m      (2.5) và năng lượng Rydberg exction là :   2 4 * 2 2 2 B 0 e e 1 Ry 13,6eV 2.6 2 a 2 m          Khối lượng rút gọn  là nhỏ hơn khối lượng electron 0m và hằng số điện môi  lớn gấp vài lần so với chân không. Đây là lí do tại sao bán kính Bohr exction lớn hơn đáng kể còn năng lượng Rydberg exction nhỏ hơn đáng kể so với các giá trị tương ứng của nguyên tử hiđrô. Các giá trị tuyệt đối của Ba cho các chất bán dẫn thông thường dao động trong khoảng o 10 100A và năng lượng Rydberg exction có giá trị trong khoảng 1 – 100 meV. Một exction thực hiện dịch chuyển của khối tâm như là hạt không mang điện với khối lượng * * e hM m m  . Mối quan hệ tán sắc có thể viết: 31     * 2 2 n g 2 Ry k E k E 2.7 n 2M    Trong đó k là vectơ sóng exction. Phương trình (2.7) bao gồm tập hợp các mức năng lượng tương tự như nguyên tử hiđrô, động năng của chuyển động tịnh tiến, và năng lượng vùng cấm. Phổ năng lượng exction bao gồm các dải con (hình 2.2). Hình 2.2: Đường cong tán sắc của một exciton và quá trình chuyển đổi quang học tương ứng để hấp thụ một photon và tạo exciton. Tương tự như các cặp e – h tự do, exction có thể được tạo ra bằng cách hấp thụ photon. Nếu coi photon có xung lượng nhỏ không đáng kể thì sự tạo thành exction tương ứng với tập hợp rời rạc của năng lượng:   * n g 2 Ry E E 2.8 n   Khí exction có thể được mô tả như khí Boson với hàm phân bố năng lượng tuân theo thông kê Bose – Einstein : 32    E kT 1 f E 2.9 e 1    trong đó  là thế hóa học. Với nhiệt độ T, mật độ exction excn và của các electron cũng như lỗ trống tự do e hn n n  có liên hệ với nhau thông qua phương trình cân bằng ion hóa hay phương trình Saha :   3/2 * *2 * 2 e h exc * * e h m m2 Ry n n exp 2.10 kT m m kT        Khi *kT Ry , đa số các exction bị ion hóa và các tính chất của hệ electron của tinh thể được quyết định bởi các electron và lỗ trống tự do. Khi *kT Ry , một phần đáng kể các cặp e- h tồn tại trong trạng thái liên kết. Do sự tạo thành các exction và các cặp e – h tự do, phổ hấp thụ của các đơn tinh thể bán dẫn có vùng cấm thẳng chứa đỉnh cộng hưởng năng lượng * gE Ry  , một tập hợp các đỉnh nhỏ hơn ở năng lượng nE (phương trình 2.8) và hấp thụ trơn liên tục khi gE (hình 2.3). Hình 2.3: Phổ hấp thụ của đơn tinh thể ZnSe gần hấp thụ cơ bảnở nhiệt độ tương ứng với 88K (a) và 300K (b) (Gribkovskii và cộng sự. 1990). 33 2.2. Các cấu trúc thấp chiều: giếng lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử [5] Cấu trúc siêu mạng có độ dày các lớp bán dẫn kế tiếp nhau cỡ nanomet được gọi là cấu trúc nano. Bằng các kĩ thuật tinh vi trong việc nuôi tinh thể, người chúng ta đã tạo ra các cấu trúc nano có kích thước theo một chiều, hai chiều và thậm chí là ba chiều có thể so sánh với hoặc thậm chí nhỏ hơn bước sóng De Broglie của các kích thích cơ bản trong tinh thể hay bán kính Bohr của exciton, những cấu trúc này được gọi chung là các cấu trúc thấp chiều. Nếu kích thước của hệ bị hạn chế một chiều, chúng ta có hệ hai chiều (hệ 2D) hay giếng lượng tử, wellnano; nếu bị hạn chế hai chiều chúng ta có hệ một chiều (hệ 1D) hay dây lượng tử, wirenano; nếu bị hạn chế cả ba chiều chúng ta có hệ không chiều (hệ 0D) hay chấm lượng tử, dotnano. Trong vật liệu khối, hạt tải có ba bậc tự do nhưng khi kích thước của hệ bị giới hạn như trên thì hạt tải chỉ chuyển động tự do theo hai chiều (hệ 2D) hoặc một chiều (hệ 1D) và đặc biệt đối với hệ 0D hạt bị giam giữ theo mọi phương. Đặc điểm này tạo cho các hệ thấp chiều những tính chất khác thường mà ở bán dẫn khối không thể có được. Hai sự khác biệt có thể nhận thấy giữa các hệ thấp chiều so với vật liệu khối là có sự phân bố lại mật độ trạng thái và có sự biến đổi năng lượng của hạt tải. Trong các hệ thấp chiều, mật độ trạng thái theo năng lượng của điện tử và lỗ trống có thể được biểu diễn dưới dạng chung như sau: d -1 2ρ(E) E với d = 1, 2, 3 (2.11) Với d là số chiều và năng lượng E được xác định từ đáy vùng dẫn đối với điện tử và đỉnh vùng hoá trị đối với lỗ trống. Hàm mật độ trạng thái của điện tử và lỗ trống trong các hệ này được minh họa ở hình (2.4). Trong hệ 3D, ρ(E) là hàm căn bậc hai trơn theo năng lượng nhưng với hệ 2D và 1D thì ρ(E) tách thành các dải con do hiệu ứng giam giữ lượng tử và mật độ trạng thái tuân theo (2.11) trong mỗi dải. Về mặt năng lượng, trong các hệ thấp chiều, hạt tải có thêm năng lượng giam giữ do chuyển động bị giới hạn so với hệ ba chiều. Cụ thể, với hệ hai chiều có kích thước bị giới hạn dọc theo trục z là zl thì năng lượng lượng tử hoá theo trục z là: z 2 n z* 2 e,h z 2 E = n 2m π2 l (2.12) 34 Với hệ một chiều, có thêm kích thước yl bị giới hạn dọc theo trục y thì năng lượng lượng tử hoá chuyển động hạt tải trong trường hợp này: y,z 2 2 y z n * 2 2 e,h y z 2 n n E + 2m π        2 = l l (2.13) Vì có thêm năng lượng lượng tử hoá được cho bởi (2.12) và (2.13) nên phổ năng lượng của hệ 2D và 1D tách thành các dải con liên tục. Còn riêng với hệ 0D, hệ này có các tính chất khác hẳn so với hệ 3D: Mật độ trạng thái là rời rạc giống hàm δ (H2.4c), phổ năng lượng là tập hợp các mức rời rạc giống với các mức năng lượng trong nguyên tử. Các tính chất này là nguyên nhân làm xuất hiện các hiệu ứng đặc biệt mà chỉ ở chấm lượng tử mới có. Hình 2.4: Mật độ của các trạng thái electron của giếng lượng tử (a), dây lượng tử (b), chấm lượng tử (c). 35 Theo lý thuyết vùng, năng lượng hạt tải tăng lên do giam giữ đồng nghĩa với việc đáy vùng dẫn dịch chuyển lên phía trên và đỉnh vùng hoá trị dịch chuyển xuống phía dưới, do đó làm tăng độ rộng vùng cấm hiệu dụng. Vì thế, trong các hệ thấp chiều, các dịch chuyển quang học được phép của hạt tải có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi kích thước của hệ. Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu về các trạng thái electron trong một tinh thể nano lý tưởng, đó là chấm lượng tử. 36 CHƯƠNG III TRẠNG THÁI ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ Xét các nano tinh thể lý tưởng hình cầu hoặc hình lập phương hay còn gọi là chấm lượng tử. Những loại như vậy không tồn tại trong tự nhiên. Sự mở rộng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng đối với các cấu trúc bị giam giữ không gian được dùng để giải bài toán “hạt trong hộp” và cung cấp một phương pháp để nghiên cứu các tính chất của tính thể nano. 3.1. Chế độ giam giữ yếu [8, 28 29] Chế độ giam giữ yếu tương ứng với trường hợp khi bán kính chấm lượng tử a là nhỏ nhưng vẫn lớn hơn so với bán kính Bohr Ba của exction. Trong trường hợp này, xảy ra sự lượng tử hóa chuyển động khối tâm của exction. Xuất phát từ quy luật tán sắc của exction trong tinh thể nhưng thay thế động năng của exction tự do bằng nghiệm thu được với hạt trong hộp cầu. Năng lượng của exciton trong trường giam giữ yếu có biểu thức: 2 2* m nm g 2 2 Ry E E (3.1) n 2Ma     ll với nghiệm của hàm cầu Bessel m l được trình bày thành bảng trong phần 1.2. Có thể thấy rằng, exction trong chấm lượng tử được đặc trưng bởi số lượng tử n mô tả các trạng thái bên trong của exction xuất hiện do tương tác Culông giữa lỗ trống và electron (1D, 2S, 2P, 3S, 3P, 3D, ....), và bởi hai số thêm vào là m và l mô tả các trạng thái liên quan đến chuyển động của khối tâm khi có mặt hàng rào thế bên ngoài ( 1s, 1p, 1d.. , 2s, 2p, 2d.,...). Các trạng thái bên trong và bên ngoài được phân biện bởi các chữ hoa và chữ thường. Năng lượng ở trạng thái thấp nhất (n = 1, m = 0, l= 0) có biểu thức: 2 2 * 1S1s g 2 E E Ry (3.2) 2Ma     hay: 2 * B 1S1s g a E E Ry 1 (3.3) M a              37 trong đó,  là khối lượng rút gọn của electron và lỗ trống theo phương trình 1 * 1 * 1 e hm m      . Trong phương trình (3.2) và (3.3), giá trị 10  và các hệ thức (2.4) và (2.6) đã được sử dụng. Do đó, cộng hưởng exction đầu tiên dịch về phía năng lượng cao một khoảng: 2 *B 1S1s a E Ry (3.4) M a          tuy nhiên, là nhỏ hơn so với *Ry , nếu: Ba a (3.5) Điều này chứng minh một cách đúng đắn cho thuật ngữ "giam giữ yếu" Khi có tính đến sự hấp thụ photon có thể tạo ra một exction có mô men xung lượng bằng không thì phổ hấp thụ sẽ bao gồm một số vạch tương ứng các trạng thái với l = 0. Do đó, phổ hấp thụ có thể nhận được xuất phát từ phương trình (3.1) với m0 m  (xem phần 1.2) : * 2 2 2 nm g 2 2 Ry E E m (3.1') n 2Ma     Electron tự do và lỗ trống có phổ năng lượng là: 2 2 e m m g 2 e E E (3.6') 2m a    ll 2 2 h m m 2 h E (3.6'') 2m a   ll Do đó, tổng năng lượng vượt quá ở trạng thái thấp nhất 1s của electron và lỗ trống là: 22 2 e h *B 1s1s 1s 1s g 2 a E E E E Ry (3.7) 2 a a              cũng nhỏ hơn đáng kể so với *Ry . Chú ý đến mối quan hệ của các hệ thức (3.3) và (3.6), xét hiệu giữa năng lượng tối thiểu cần thiết tạo ra các cặp electron – lỗ trống không liên kết:  effg g 1s1sE E E 3.8  38 Và năng lượng tương ứng với sự cộng hưởng đầu tiên của exction (3.3) là năng lượng liên kết hiệu dụng effRy : 2 eff * BaRy Ry 1 1 (3.9) M a                 lớn hơn rất nhiều so với *Ry 3.2. Chế độ giam giữ mạnh [8, 30  34] Giới hạn giam giữ mạnh tương ứng với điều kiện : Ba a (3.10) Có nghĩa là electron và lỗ trống bị giam giữ không có trạng thái liên kết tương ứng với exction kiểu hiđrô, và động năng điểm không của electron và lỗ trống theo công thức (3.6) khá lớn so với giá trị của *Ry . Trong trường hợp này, chuyển động không tương quan của electron và lỗ trống có thể được coi là phép gần đúng bậc một và tương tác Coulomb có thể bỏ qua. Khi đó, mỗi hạt có phổ năng lượng được đưa ra bởi công thức (3.6). Phổ này được phác thảo trong hình 3.1. Hình 3.1: Các dịch chuyển quang học electron và lỗ trống trong mô hình không tương tác(a) và dạng phổ hấp thụ tương ứng (b). 39 Các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng dẫn đến quy tắc chọn lọc là các dịch chuyển quang học được phép là những dịch chuyển giữa các trạng thái của electron và lỗ trống có cùng lượng tử số chính và số lượng tử quỹ đạo. Do đó, phổ hấp thụ quy về một tập hợp các dải rời rạc có các đỉnh tại các giá trị năng lượng: 2 2 n g n2 E E (3.11) 2 a     l l Với suy luận này, các chấm lượng tử trong giới hạn giam giữ mạnh đôi khi được gọi là các nguyên tử nhân tạo hoặc siêu nguyên tử khi các chấm lượng tử có phổ quang học rời rạc và phổ quang học này được điều chỉnh bằng cách thay đổi kích thước chấm lượng tử (tức là số các nguyên tử), trong khi nguyên tử thực có phổ rời rạc được quy định bằng số lượng các nucleon. Tuy nhiên, một electron và một lỗ trống bị giam giữ trong không gian có thể so sánh với kích thước của exction ở trạng thái cơ bản trong các tinh thể lí tưởng vô hạn. Do đó, sự nghiên cứu độc lập chuyển động của electron và lỗ trống là không hợp lí và phải tính đến toán tử Hamiltonian hai hạt với các số hạng động năng, năng lượng coulomb và thế giam giữ:   2 2 2 2 2 e h e he h e H U r 2m 2m r r          (3.12) được nghiên cứu bởi Brus. Không giống như Hamiltonian kiểu hiđrô (1.34), sự xuất hiện của thế năng U(r) không cho phép nghiên cứu độc lập chuyển động của khối tâm và chuyển động của hạt với khối lượng rút gọn. Một số tác giả đã nghiên cứu vấn đề này bằng phương pháp biến phân (Brus 1986, Kayanuma 1986, Schmidt and Weller 1986 ) và nhận thấy rằng năng lượng của cặp electron - lỗ trống ở trạng thái cơ bản (1s1s) có thể được biểu diễn trong công thức : 2 2 2 1S1s g 2 e E E 1,786 (3.13) 2 a a       trong đó số hạng tỷ lệ với 2e a mô tả tương tác Culomb hiệu dụng của cặp lỗ trống và electron. So sánh số hạng này với năng lượng Rydberg của exction 2 * eRy 2 a   (công thức 2.6) và nhớ rằng vẫn đang xét giới hạn giam giữ mạnh (a << aB), có thể thấy rằng trong các chấm lượng tử tương tác culông không bị triệt tiêu. Hơn nữa, sự 40 đóng góp của số hạng này vào năng lượng ở trạng thái cơ bản thậm chí còn lớn hơn trong tinh thể khối. Đây là sự khác biệt chủ yếu của các chấm lượng tử so với tinh thể, giếng lượng tử và dây lượng tử, ở đó năng lượng Coulomb của cặp electron - lỗ trống tự do bằng không. Do đó, kích thích cơ bản trong chấm lượng tử có thể được gọi là exction với thuật ngữ “ exction trong chấm lượng tử ” (Banyai and Koch 1993; Woggon and Gaponenko 1995 ). Trong giới hạn này, chúng tôi sẽ sử dụng thuật ngữ exction ngay cả khi các trạng thái thích hợp không còn tuân theo mẫu hiđrô. Năng lượng exction lệch khỏi năng lượng gE của bán dẫn khối trong giới hạn giam mạnh có thể được: 22 *B exc g 1 2 3 B B a a a E E Ry A A A ... (3.14) a a a                   với thông số 1 B a a . Hệ số đầu tiên 1A cho các trạng thái khác nhau được mô tả bằng nghiệm của hàm cầu Bessel (xem công thức 3.6 và bảng 1.1). Hệ số thứ hai 2A tương ứng với giới hạn Coulomb trong phương trình (2.13) và lấy các giá trị: 2 1,786A với trạng thái 1S1s, 2 1,884A với trạng thái 1P1p và có các giá trị từ 1,6 đến 1,8 cho các dạng khác. Hệ số 3A cho trạng thái 1S1s được tìm thấy là: 3 0,248A . Tóm lại, xét các trạng thái thích hợp của trạng thái cơ bản, chúng ta có thể viết năng lượng của đỉnh hấp thụ đầu tiên như sau : 2 2 * * *B B 1S1s g a a E E Ry 1,786 Ry 0,248Ry (3.15) a a          Sự phụ thuộc kích thước của năng lương 1S1sE vào kích thước được vẽ trong hình 3.2. 41 Hình 3.2: Sự phụ thuộc vào kích thước của năng lượng dịch chuyển quang học được phép đầu tiên trong chấm lượng tử lý tưởng được tính toán bởi Y.Kayanuma (1988) (các dấu chấm) và các phương trình gần đúng (3.15)(đường đứt dài) và phương trình (3.20) (đường đứt ngắn). Trong đó, sử dụng các đơn vị năng lượng không thứ nguyên * E Ry và chiều dài B a a . Lưu ý rằng phương trình (3.15) là một hàm biểu diễn độ dịch của đỉnh hấp thụ do giam giữ lượng tử dưới dạng không phụ thuộc vào các thông số vật liệu nếu năng lượng được tính theo đơn vị *Ry và độ dài được đo theo đơn vị Ba . Có một số trường hợp nữa cho lời giải phương trình Schrodinger với thế giam giữ: Tương ứng với tỉ số rất lớn của khối lượng lỗ trống và electron, tức là: h em m e h e e h B hm ; a a ; a a a a (3.16)   với 2 2 e h2 2 e h a ; a (3.17) m e m e     là bán kính Bohr của electron và lỗ trống. Trong trường hợp: 42 h e Ba a a , a (3.18) lỗ trống có thể coi như không dịch chuyển và định xứ tại tâm của chấm. Giả thuyết này là giống như phép gần đúng Born-Oppenheimer, và trạng thái electron - lỗ trống tương ứng trong chấm lượng tử bán dẫn được gọi là “exciton kiểu donor”(Efros và Efros 1982; Kayanuma 1988; Ekimov và cộng sự 1989). Trong mô hình này, các trạng thái năng lượng và quang phổ hấp thụ được xác định chủ yếu bởi sự lượng tử hóa chuyển động của electron [phương trình (3.6)]. Tuy nhiên, do tương tác Coulomb giữa electron và lỗ trống, mỗi mức electron bị tách thành nhiều mức con (Ekimov và cộng sự 1989). Vị trí của đỉnh hấp thụ cực đại đầu tiên có thể được mô tả bởi biểu thức (Kayanuma 1988). 2 * l g B B a 2a E E 8 Ry exp (3.19) a a               Trong giới hạn khối lượng rất lớn của lỗ trống, bài toán có liên quan đến exction bị giam giữ trong hộp có một số tính chất tương tự với bài toán có liên quan đến nguyên tử hiđrô trong hộp. Lý thuyết khác để giải quyết vấn đề này đã được đề cập đến bởi W.Jaskolski (1996). Nếu tính đến sự lượng tử hóa chuyển động khối tâm exciton hoặc lượng tử hóa chuyển động của lỗ trống và electron thì sẽ không đưa đến một hiệu ứng vật lý cơ bản hay sự gián đoạn khi kích thước chấm vào khoảng Ba a . Sự có mặt của hiệu ứng kích thước lượng tử về chế độ giam yếu và mạnh là rất hữu ích vì nó cung cấp cách giải quyết trực giác và các khuynh hướng dựa trên cơ sở của cơ học lượng tử cơ bản, và các khái niệm đã trình bày cho tinh thể vĩ mô là phù hợp khi áp dụng để nghiên cứu các tính chất của tinh thể nano. Trên thực tế, một sự phát triển thú vị các thuộc tính của chấm lượng tử từ tinh thể đến đám xuất hiện, và đã được chứng minh thành công trong khuôn khổ của phép gần đúng khối lượng hiệu dụng nhờ ý nghĩa của các nghiệm tường minh của phương trình Schrodinger với Hamilton (3.12). Bài toán này đã được thực hiện bởi một số tác giả (Kayanuma 1988; Mohan và Anderson 1989; Hu, Lindberg, và Koch 1990; Pollock và Koch 1991). Phép phân tích bằng số kết quả có thể dự đoán các kết quả một cách trực giác trong khuôn khổ của cả chế độ giam giữ mạnh và yếu. Dịch chuyển đầu tiên phụ thuộc vào kích thước cho thấy nó không nhạy với các giá trị tuyệt đối em và hm và tuân theo một quy luật phổ biến cho tất cả các chất bán dẫn khi dùng các đơn vị 43 không thứ nguyên của năng lượng và độ dài, tương tự như việc sử dụng rộng rãi các đơn vị nguyên tử. Hình 3.3: Sự phụ thuộc vào kích thước của năng lượng dịch chuyển quang học được phép đầu tiên khi tính đến tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống bằng phương pháp chéo hóa ma trận. Giá trị me/mh là 0,1 (đường nét liền) và 0,01(đường nét đứt). 44 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. Kết luận Các chấm lượng tử có nhiều đặc tính ưu việt và đang được nghiên cứu rộng rãi. Để nghiên cứu các vật liệu này, người ta thường sử dụng phương pháp EMA (effective mass approximation = phép gần đúng khối lượng hiệu dụng) bởi phương pháp này có nhiều ưu điểm. Trọng tâm của EMA khi áp dụng cho chấm lượng tử là coi đây là nơi chứa các electron và lỗ trống, sau đó giải phương trình Schrodinger cho các electron trong một thế đối xứng cầu 3 chiều với bờ thế cao vô hạn, trong đó khối lượng của chúng được thay bằng khối lượng hiệu dụng. Cuối cùng, thu được kết quả sau: Với giới hạn giam giữ mạnh và giam giữ yếu, các mức năng lượng của hệ electron nhận các giá trị rời rạc phụ thuộc vào kích thước của chấm. Điều này dẫn tới phổ hấp thụ gồm một số dải rời rạc, đạt giá trị cực đại tại các điểm xác định. Năng lượng vùng cấm hiệu dụng tăng, điều này tương ứng với phổ hấp thụ có cộng hưởng exciton dịch liên tục về phía năng lượng cao khi bán kính chấm giảm. Sự phụ thuộc của năng lượng vào kích thước đối với mọi vật liệu đều tuân theo một quy luật chung. Mặc dù có nhiều ưu điểm nhưng phương pháp này không phải áp dụng cho hệ lượng tử nào cũng thành công. Ví dụ khi bán kính tinh thể < 2 nm thì EMA cần được xem xét lại. Đây là những vấn đề thú vị cần được nghiên cứu tiếp theo. II. Kiến nghị - Thư viện tăng thêm số đầu sách tham khảo để việc thực hiện đề tài thuận lợi hơn. - Các cấp lãnh đạo, đoàn thể và các thầy, cô giáo tạo điều kiện hơn nữa để số sinh viên tham gia nghiên cứu đề tài tăng cả về số lượng và chất lượng. 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đào Trần Cao (2007), Cở sở vật lí chất rắn, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. 2. Đoàn Ngọc Chiến (2010), Tính chất chầm lượng tử trong các hệ vật liệu bán dẫn thấp chiều, Luận văn cử nhân Vật Lí, Trường Đại Học Tây Bắc, Sơn La. 3. Nguyễn Văn Hùng (2001), Lí thuyết chất rắn, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. 4. Nguyễn Thế Khôi (1992), Vật lý chất rắn, Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm. 5. Lê Thu Lam (2007), Tính chất hạt tải trong các hệ bán dẫn thấp chiều, Luận văn cử nhân Vật Lí, Trường ĐHSP Thái Nguyên, Thái Nguyên. 6. Nguyễn Hữu Mình – Nguyễn Thị Thanh Hương (2008), Lí thuyết lượng tử chất rắn, Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm. 7. Nguyễn Thị Bảo Ngọc – Nguyễn Văn Nhã (1998), Giáo trình vật lý chất rắn, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia. 8. S.V.GaPoNenKo (1998), Optical Properties of Semicondutor Nanocrysta, Cambridge University Press.