Khóa luận tốt nghiệp ĐHSP Toán Huế - phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

nhận thấy rằng việc thiết kế và sử dụng các mô hình hình học là một phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc tiến hành giải quyết vấn đề bằng phương án tìm kiếm một quy luật. Chúng ta cũng lưu ý rằng, đối với mỗi bài toán có thể sử dụng nhiều mô hình tương ứng với nhiều cách giải khác nhau. Do đó, chúng ta cần tìm kiếm những mô hình mới, không nên gò bó theo một khuôn mẫu đã định sẵn. CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày Để nhớ các con số như số xêri, mã khoá, số điện thoại, vv… chúng ta thường tìm kiếm một quy luật có trong các tập số này. Khi phát hiện ra các quy luật nằm trong các tập số này thì chúng ta có thể nhớ chúng dễ dàng hơn và nhớ lâu hơn. Ví dụ, nhiều số điện thoại có quy luật rất đặc biệt mà người ta thường gọi bằng các cái tên như: “số tiến”, “số lùi”, “số soi gương”… Các số này rất dễ nhớ. Khám phá ra các quy luật khác nhau của các tập số như thế, đó sẽ là công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc nhớ các con số của chúng ta. Khám phá các quy luật cũng được dùng trong vấn đề thực tiễn “đi tới một địa điểm bằng xe hơi”. Giả sử khi lái xe qua một thành phố, ở đây hầu hết các con đường nằm trong một mạng lưới hình chữ nhật, một người lái xe giỏi sẽ xem xét các vấn đề như đèn đỏ trong bao nhiêu giây, đèn xanh trong bao nhiêu giây, đèn vàng trong bao nhiêu giây, khoảng cách từ các địa điểm có đèn giao thông là bao nhiêu, … để tìm kiếm một quy luật. Dựa vào quy luật này người lái xe sẽ điều chỉnh tốc độ, chọn đường đi thích hợp để tránh các đèn đỏ nhiều nhất có thể và để giảm tối thiểu thời gian chờ đợi. Một vấn đề thực tiễn khác là “tìm đến một số nhà nằm trên một con đường trong một thành phố”. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta phải chú ý tới một quy luật: các số nhà lẻ thường được đánh ở một phía của con đường, các số nhà chẵn ở phía còn lại của con đường hoặc cũng có thể các ngôi nhà được đánh theo thứ tự từ đầu đường cho đến cuối đường. Kết hợp với nhiều yếu tố khác, chúng ta có thể xác định được hướng đi để tới địa chỉ mình cần tìm một cách nhanh nhất. Có nhiều con đường để tới địa chỉ đó nhưng chúng ta sẽ thiết lập một quy luật để tìm ra con đường ngắn nhất và thuận tiện nhất để tới đó. Trong thực tế hằng ngày, khi đối mặt với các vấn đề của cuộc sống đặt ra, con người luôn sử dụng tư duy và kinh nghiệm vốn có của mình để giải quyết các vấn đề đó một cách nhanh nhất, đem lại hiệu quả nhiều nhất. Trong nhiều vấn đề, phương án tìm kiếm một quy luật là một phương án rất hữu ích. Con người cũng thường nghĩ tới phương án này khi đứng trước các vấn đề. Sau đây là một bài toán thực tế được giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật: Bài toán 1: Bản đồ của một khu vực thành phố Huế được cho như ở Hình vẽ 1.1. Để tiện theo dõi, chúng ta ký hiệu đường Đoàn Thị Điểm là đường số 1, đường Đinh Tiên Hoàng là đường số 2, đường Lê Thánh Tôn là đường thứ 3, đường Ngô Đức Kế là đường thứ 4, đường Xuân 68 là đường số 5. Trang sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 5 và đường Mai Thúc Loan. Nhi sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 1 và đường Đinh Công Tráng. Nhi quyết định một lần tới thăm Trang, cô ấy sẽ đi bằng một tuyến đường khi cô ấy đã tìm ra được mọi tuyến đường khác nhau để tới nhà Trang. Cô ấy chỉ được đi về phía hướng Đông và hướng Bắc. Có bao nhiêu tuyến đường khác nhau để Nhi tới nhà Trang? Hình vẽ 1.1 Lời giải: Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếm xem có bao nhiêu tuyến đường như thế. Tuy nhiên, đây không phải là một công việc dễ và chắc chắn một vài tuyến đường sẽ bị bỏ sót. Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và năm con đường phía Bắc là đi được. Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thể được của 5 con đường B và 4 con đường Đ. Với cách này, nhiều học sinh bắt đầu liệt kê danh sách tất cả các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB; BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; … Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp. Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen thuộc sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?” Những học sinh này cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có: (tức bằng 126) cách sắp xếp. Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một quy luật. Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này với phương án giải bài toán đơn giản hơn. Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn là nhà Trang ở vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ có một con đường để Nhi tới đây. Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “di chuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và đường Đinh Công Tráng hay tới bất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ vị trí nào trên đường số 1 – có đúng một con đường. Bây giờ chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta “chuyển” nhà của Trang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ có hai con đường. “Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3 và đường Hàn Thuyên – có ba con đường (cũng giống như vậy nếu nhà được “chuyển” tới vị trí giao nhau giữa đường thứ 2 và đường Nguyễn Chí Diễu). Chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường mà Nhi có thể đi nếu nhà của Trang được “chuyển” lần lượt tới mỗi điểm trên lưới ô vuông (xem hình vẽ). Chú ý rằng các số này là các hệ số của tam giác Pascal (Hình vẽ 1.2). Khi chúng ta nhận ra quy luật này thì câu trả lời dễ dàng được tìm thấy, tức là có 126 tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể đi để tới nhà Trang. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Hình vẽ 1.2 2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán 2.1. Tìm quy luật của một dãy số Tìm kiếm quy luật của một dãy số là một vấn đề đòi hỏi năng lực tư duy của chúng ta, bởi không có một quy luật duy nhất nào có thể áp dụng cho mọi trường hợp. Mỗi dãy số có một quy luật nhất định. Hơn nữa, quy luật của một dãy số thường không duy nhất. Ngoài các bài toán tìm quy luật của “dãy số đa giác” chúng ta còn tìm kiếm quy luật cho nhiều dãy số khác. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài toán rất đơn giản và sẽ “tăng tốc” với các bài toán khó hơn một chút. Bài toán 2.1.1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 15; 30; 60; 120; … Lời giải: Rất đơn giản, chúng ta nhận thấy dãy số này tạo thành cấp số nhân với công bội 2. Do đó, số hạng tiếp theo của dãy phải là . Chúng ta xét một vài dãy số có mặt 6 số hạng và với mỗi trường hợp, hãy “khám phá” một quy luật giữa các số hạng đã cho để tìm 3 số hạng tiếp theo của dãy đó. Bài toán 2.1.2: Tìm 3 số hạng tiếp theo của dãy số: 3; 7; 15; 31; 63; 127; … Lời giải: Quy luật là 2 × 3 + 1 = 7 2 × 7 + 1 = 15 2 × 15 + 1 = 31 ………………… Với quy luật đó, ta có 3 số hạng tiếp theo của dãy là: 2 127 + 1 = 255 2 255 + 1 = 511 2 511 + 1 = 1023. Bài toán 2.1.3: Tìm 3 số hạng tiếp theo của dãy số: 2; 4; 8; 24; 72; 144; … Lời giải: Quy luật là 2 2 = 4 2 4 = 8 3 8 = 24 3 24 = 72 2 72 = 144 Theo quy luật trên, ta có 3 số hạng tiếp theo là: 2 144 = 288 3 288 = 864 3 864 = 2592 Đối với nhiều dãy số, chúng ta có thể tìm quy luật của nó bằng cách tìm các sai khác giữa các số hạng liên tiếp. Cách tiếp cận này được gọi là phương pháp “sai phân hữu hạn”. Đây là cách làm rất hiệu quả để tìm quy luật của một dãy số. Bài toán 2.1.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 1; 5; 14; 30; 55; 91; … Lời giải: Quá trình tìm các sai khác giữa các dãy số như sau: Sai khác 1 Sai khác 2 Sai khác 3 Thực ra, chúng ta đã tìm ra được quy luật cho dãy số tạo ra ở sai khác thứ nhất là số hạng thứ n có dạng và ta tìm được số hạng thứ sáu là = 49. Do đó, số hạng tiếp theo của dãy đã cho là 49 + 91 = 140. Tuy nhiên, chúng ta đã tìm các sai khác tiếp theo của các dãy số mới tạo ra và đến sai khác thứ ba thì chúng ta đã tìm ra được cái bất biến tiềm ẩn của bài toán là dãy hằng: 2; 2; 2; … Từ sai khác thứ 3, ta tìm được số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác này là 2. Suy ra, số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ 2 là 2 + 11 = 13 và do đó, số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ nhất là 13 + 36 = 49. Vậy số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 49 + 91 = 140. Chúng ta có thể biểu diễn dãy số đã cho bởi mô hình sau, số hạng thứ n của dãy chính bằng số quả cầu nằm trên hình thứ n. Quan sát mô hình chúng ta thấy các hình được sắp xếp theo quy luật: hình thứ n có được bằng cách ghép vào hình thứ n – 1 một mảng hình chữ nhật bao gồm quả cầu. Như vậy số quả cầu trong hình thứ 7 sẽ bằng: 91 + = 140. Chúng ta xét một bài toán khác: Bài toán 2.1.5: Tìm hai số hạng tiếp theo của dãy số sau: 1; 0; 2; 3; 3; 8; 4; 15; 5; … Lời giải: Dãy số này được trộn lẫn bởi hai dãy số tách rời nhau: một dãy bao gồm các số ở vị trí lẽ của dãy số đã cho: 1; 2; 3; 4; 5; … (sai khác + 1), dễ dàng thấy ngay số hạng tiếp theo của dãy này là 6; một dãy bao gồm các số ở vị trí chẵn của dãy số đã cho: 0; 3; 8; 15; … Các sai khác giữa các số hạng liên tiếp của dãy số này là: 3; 5; 7; … Từ đây, sai khác tiếp theo ở đây phải là 9. Do đó, số hạng tiếp theo của dãy này là 9 + 15 = 24. Vậy hai số hạng tiếp theo của dãy đã cho là: 24; 6. Chúng ta phải lưu ý với học sinh rằng, sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để tìm số hạng tiếp theo của một dãy số cho trước không phải luôn luôn dẫn tới một “số hạng” duy nhất. Thường thì quy luật của một dãy số là không duy nhất. Với một bài toán chúng ta có thể khám phá ra nhiều quy luật khác nhau, với các quy luật tìm được có thể cho các kết quả khác nhau nhưng cũng có thể chúng đều đưa đến cùng một kết quả. Chúng ta xét bài toán sau: Bài toán 2.1.2.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau: 1; 2; 4; 8; 16; … Lời giải: Số tiếp theo, theo hầu hết mọi người đó là 32. Quy luật được nhận ra ở đây là số hạng đứng sau gấp đôi số hạng đứng ngay trước nó. Ta cũng có thể nhận thấy số hạng tổng quát của số hạng thứ n trong dãy là . Sử dụng công thức tổng quát này chúng ta có thể viết các số hạng tiếp theo của dãy số đã cho. Tuy nhiên, chúng ta có thể lý luận theo toán học một cách hợp lý và chính xác rằng số hạng tiếp theo có thể là (hoặc phải là) 31 và tiếp đến là 57 và 99. Dãy số này được gắn vào tam giác Pascal như hình vẽ sau. 1 = 1 1 1 = 2 1 2 1 = 4 1 3 3 1 = 8 1 4 6 4 1 = 16 1 5 10 10 5 1 = 31 1 6 15 20 15 6 1 = 57 1 7 21 35 35 21 7 1 = 99 1 8 28 56 70 56 28 8 1 = 163 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 = 256 Chúng ta cũng có thể mô tả dãy số này tương ứng với số miền của một hình tròn được chia bởi số điểm liên kết trên đường tròn (hình vẽ). 2 điểm 3 điểm 4 điểm 5 điểm 6 điểm 2 miền 4 miền 8 miền 16 miền 31 miền Bài toán 2.1.2.5 Tổng các số trong dòng thứ 25 của mảng sau bằng bao nhiêu? 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 Lời giải: Học sinh có thể tiếp tục viết những số lẻ trong mảng cho đến khi đạt tới dòng 25 và sau đó tìm tổng của 25 số hạng. Tuy nhiên, cách này khá bất tiện và yêu cầu một sự kiên nhẫn lớn (chưa nói đến điều kiện giấy viết). Có thể dễ dàng hơn để kiểm tra mảng này bằng cách điều chỉnh những số liệu đã cho và sau đó tìm kiếm một quy luật. Tổng của các số trong mỗi dòng được tóm tắt trong bảng sau: Dòng 1 2 3 4 5 6 Tổng 1 8 27 64 125 216 Chúng ta sẽ cố gắng tìm một quy luật với bảng trên. Dòng thứ hai được viết lại như sau: 13; ; ; ; ; . Từ đây, ta đặt giả thuyết rằng tổng các số trong dòng thứ n là n3. Vậy, tổng của 25 số đưa vào trong dòng thứ 25 là 253 = 15625. Bài toán 2.1.2.6: Hãy dùng các ký hiệu: ; ; ; ; để sắp xếp thành các số theo thứ tự từ 1 đến 10. Lời giải: Để làm bài toán này chúng ta phải thử sắp xếp theo nhiều cách và chọn ra cách sắp xếp hợp lý theo một quy luật nhất định. Sau đây là một cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu của bài toán: Số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Quy luật của sự sắp xếp này như sau: các ký hiệu ở dòng thứ 2 ứng với các số từ 1 đến 10 ở dòng thứ nhất. Ở các ký hiệu có nhiều hơn một ký hiệu gốc thì số tương ứng với nó bằng tích các số mà ứng với các ký hiệu tạo nên nó. Chẳng hạn: = 2 2 = 4; = 2 3 = 6; = 2 2 2 = 8; = 3 3 = 9; = 2 5 = 10. Chúng ta còn nhiều cách sắp xếp thú vị khác, bạn đọc hãy thử xem. Điều thú vị ở đây là chúng ta có thể dựa vào mô hình này để phát hiện ra số nguyên tố: những số ứng với một ký hiệu là số nguyên tố và ngược lại những số ứng với nhiều ký hiệu thì không phải là số nguyên tố. Thật vậy: 1; 2; 3; 5; 7 là những số nguyên tố. Bài tập 2.1.2.7: Tìm chử số hàng đơn vị của 819. Lời giải: Nhiều HS giải bài toán này bằng cách nhập luỹ thừa của 8 vào máy tính, tuy nhiên hầu hết màn hình các máy tính không đủ chổ để hiển thị kết quả của bài toán. Vì vậy, chúng ta phải tìm cách tiếp cận khác. Hãy quan sát các luỹ thừa của 8 tăng dần sau đây và hãy cố gắng tìm một quy luật trong đó: Ở đây xuất hiện một quy luật: các chữ số hàng đơn vị lặp lại theo vòng tròn 4 lần theo thứ tự: 8; 4; 2; 6, bắt đầu từ 81. Quy luật này sẽ đưa chúng ta đi tới kết quả của bài toán gốc. Số mũ của chúng ta là 19, khi chia cho 4, số dư sẽ là 3. Do đó, chữ số hàng đơn vị của 819 sẽ bằng chữ số hàng đơn vị của 815; 811; 87; 83 và chính bằng 2. Bài toán 2.1.2.8: Tìm chữ số hàng đơn vị của 1325 + 481 + 5411. Lời giải: Nếu HS giải bài toán này bằng máy tính thì tương tự như bài toán trên, sẽ không đưa đến kết quả. Cách làm bài toán này tương tự như bài toán trước. Hãy tìm quy luật trong các luỹ thừa của 3 số 13; 4; 5. Với luỹ thừa của 13, ta thu được: Các chữ số ở hàng đơn vị của các luỹ thừa của 13 lặp lại theo vòng tròn 4 lần theo thứ tự: 3; 9; 7; 1 bắt đầu từ 131. Vì 25 chia 4 dư 1 nên chữ số hàng đơn vị của 1325 bằng chữ số hàng đơn vị của 131, tức bằng 3. Với luỹ thừa của 4, ta có: Các chữ số hàng đơn vị của các luỹ thừa của 4 lặp lại theo vòng tròn 2 lần theo thứ tự: 4; 6 bắt đầu từ 41. Do đó, 481 có chữ số hàng đơn vị bằng chữ số hàng đơn vị của 41, tức bằng 4. Chữ số hàng đơn vị của các luỹ thừa của 5 phải là 5 (ví dụ: 5; 25; 125; 625; …). Vì 3 + 4 + 5 = 12 do đó, chữ số hàng đơn vị của 1325 + 481 + 5411 là 2. 2.2. Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học Có nhiều bài toán nếu chúng ta làm bằng phương pháp “thô” thì chúng ta sẽ mất rất nhiều thời gian, công sức và có thể không tiến tới kết quả đúng. Nhưng nếu giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật thì rất ngắn gọn và dễ hiểu. Chúng ta hãy xét các bài toán được giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật sau đây, chúng ta sẽ thấy được điều đó. Bài toán 2.2.1: Xác định tổng của số đo các góc trong của một đa giác 20 cạnh. Lời giải: Con đường hiệu quả để giải bài toán này là kiểm tra khi tăng số cạnh của đa giác và tính tổng các góc tương ứng. Chúng có tạo ra một quy luật nào không? Có dễ dàng nhận ra không? Chúng ta có thể tổng quát hoá nó không? Chúng ta có thể mở rộng nó không? Hãy bắt đầu với một tam giác (tổng các góc trong là 1800) và sau đó xét từng đa giác có các cạnh tăng liên tiếp là tứ giác, ngũ giác, lục giác và tiếp tục như vậy. Chúng ta có thể phân các đa giác thành các tam giác bằng cách vẽ các đường thẳng nối từ một đỉnh tới các đỉnh còn lại của đa giác (Hình vẽ 2.2.1). Khi làm điều này, chúng ta chú ý là mỗi đa giác tiếp sau chứa hơn một tam giác so với đa giác liền trước nó. Hình vẽ 2.2.1 Điều này cho ta một quy luật mà có thể giúp ta đưa ra lời giải của bài toán. Tổng các góc này được biểu thị trong bảng dưới đây: Số cạnh 3 4 5 6 7 8 9 … 20 Số tam giác 1 2 3 4 5 6 7 … 18 Tổng số đo các góc 180 360 540 720 900 1080 1260 … 3240 Kiểm tra với 7 đa giác đầu tiên (mặc dù thật sự chúng ta không cần kiểm tra nhiều như thế) cho chúng ta thấy một quy luật: khi số cạnh tăng lên 1 thì số tam giác tăng lên 1 và do đó tổng các góc trong của đa giác tăng lên 1800. Do đó, cho đa giác 9 cạnh, số tam giác được tạo thành có thể sẽ là 7 và tổng các góc sẽ là 7 1800 = 12600. Sử dụng quy luật này chúng ta có thể làm theo cách này cho tới đa giác 20 cạnh. Chúng ta tìm cách dùng quy luật số gia của 1800. Tổng số đo các góc trong của một đa giác bằng 180 nhân với một số mà nhỏ hơn số cạnh của đa giác là 2. Do đó, với đa giác 20 cạnh, tổng số đo các góc trong của đa giác 20 cạnh bằng 18 1800 = 32400. Kết quả này không hiển nhiên từ giai đoạn đầu mà tìm kiếm quy luật là cần thiết và hữu ích, chúng ta phải dùng phương pháp này để tìm ra kết quả của bài toán này. Với các bài toán đơn giản, chúng ta tìm một quy luật như thế và sau đó sử dụng nó để tìm ra câu trả lời cho bài toán, khi đó chứng minh kết quả tìm được rất đơn giản. Bài toán 2.2.2: Có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh được tạo ra bởi 10 đường thẳng phân biệt và đồng quy tại một điểm? Lời giải: Học sinh thường cố gắng vẽ một hình rộng, chính xác, chỉ ra 10 đường thẳng đồng quy. Sau đó, các em cố gắng đếm xem có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh. Cách này không khó hiểu, tuy nhiên, các em có thể dễ dàng làm mất nhiều cặp góc đối đỉnh khi kiểm tra. Thay vào đó, chúng ta có thể tìm cách sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để giải bài toán này. Hãy bắt đầu với một trường hợp đơn giản, từ từ mở rộng số các đường thẳng và xem xét nếu một quy luật xuất hiện. Nếu chúng ta bắt đầu với một đường thẳng, chúng ta có 0 cặp góc đối đỉnh. Với 2 đường thẳng tạo ra 2 cặp góc đối đỉnh: 1 – 3 và 2 – 4. Với 3 đường thẳng tạo ra 6 cặp góc đối đỉnh: 1 - 4; 2 – 5; 3 – 6; 1, 2 – 4, 5; 2, 3 – 5, 6; 1, 6 – 3, 4 . Với 4 đường thẳng tạo ra 12 cặp góc đối đỉnh: 1 – 5; 2 – 6; 3 – 7; 4 – 8; 1, 2 – 5, 6; 2, 3 – 6, 7; 3, 4 – 7, 8; 4, 5 – 8, 1; 1, 2, 3 – 5, 6, 7; 2, 3, 4 – 6, 7, 8; 3, 4, 5 – 7, 8, 1; 4, 5, 6 – 8, 1, 2. Có thể tóm tắt kết quả thu được trong bảng sau: Số các đường 1 2 3 4 5 Số cặp góc đối đỉnh 0 2 6 12 20 Chúng ta cố gắng để tìm quy luật với bảng trên, mỗi số tự nhiên ở hàng trên cho tương ứng với các số ở hàng dưới. Từ bảng trên ta nhận thấy một quy luật: tích của hai số liên tục ở hàng trên bằng số thứ hai tương ứng ở hàng dưới, thật vậy, ; ; ; ; … Mở rộng quy luật trên cho cho bảng số với các số tự nhiên bất kỳ. Ta đưa ra giả thuyết thích hợp với quy luật vừa tìm được là số góc đối đỉnh của n đường thẳng phân biệt và đồng quy tại một điểm là n(n – 1). Do đó, cho 10 đường thẳng cắt nhau, sẽ có 10 9 = 90 cặp góc đối đỉnh. Chú ý rằng chúng ta cũng có thể xét bài toán này theo một cách nhìn khác. Mỗi cặp đường thẳng tạo ra hai cặp góc đối đỉnh. Do đó, chúng ta trả lời xem có bao nhiêu cách chọn 2 đường thẳng từ 10 đường thẳng cho trước? Tất nhiên câu trả lời là = 45. Như vậy, chúng ta có 45 2 = 90 cặp góc đối đỉnh. Bài toán 2.2.3: Có bao nhiêu góc được tạo bởi 10 tia phân biệt với điểm gốc chung. Lời giải: Theo truyền thống, ban đầu học sinh vẽ một hình rộng bao gồm 10 tia phân biệt từ một điểm gốc duy nhất. Các em dùng cách này để đếm số góc. Tuy nhiên, việc làm này học sinh sẽ sớm gặp khó khăn vì có thể sẽ đếm sót, đếm hơn một lần một góc nào đó. Học sinh cũng có thể dùng toán học tổ hợp để giải, ta thấy cứ với mỗi cặp tia cho một góc mà có cách chọn 2 tia từ 10 tia, do đó có = 45 góc. Chúng ta cũng có thể lý luận rằng với mỗi tia khi cộng thêm vào sẽ tạo ra với mỗi tia đã có một góc và do đó ta thiết lập được một dãy số. Hãy bắt đầu với một tia và ta sẽ tìm quy luật bằng cách tăng dần số các tia. Các số liệu thu được được tóm tắt vào bảng sau: Số tia 1 2 3 4 5 6 7 Số góc 0 1 3 6 10 15 21 Hãy nhìn ra quy luật nằm trong dãy sau: 0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; … Đây là một dãy số mà các sai khác giữa hai số liên tiếp trong dãy theo thứ tự tạo ra một cấp số cộng đơn giản: 1; 2; 3; 4; 5; 6; …. Vậy một cách đơn giản ta tiếp tục dãy số này tới 10 số hạng: 0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45. Chúng ta cũng có thể nhận thấy công thức tính số hạng tổng quát của số hạng thứ n trong dãy số này là . Vậy số góc tạo bởi 10 tia phân biệt, xuất phát từ một điểm gốc là 45. Bài toán 2.2.4: Sáu “số hạng” đầu tiên của một dãy được chỉ ra trong hình vẽ. Nếu dãy tiếp tục như thế thì có bao nhiêu hình vuông sẽ có ở trong số hạng thứ 10 và có bao nhiêu hình vuông trong chúng được bôi đen. Lời giải: Tất nhiên, chúng ta có thể tiếp tục vẽ các hình tiếp theo bằng cách thêm các hàng trên cùng và dưới cùng như chúng ta làm cho tới khi chúng ta vẽ đến hình thứ 10 trong dãy. Sau đó, đơn giản, chúng ta có thể đếm có tất cả bao nhiêu hình vuông và bao nhiêu hình vuông trong chúng được bôi đen. Tuy nhiên, nếu chúng ta sắp xếp các dữ liệu thu được, sau đó hãy cố gắng nhìn ra một quy luật tồn tại trong đó mà có thể giúp chúng ta giải bài toán này. Tổng kết dữ liệu chúng ta có như sau: Thứ tự số hạng của dãy 1 2 3 4 5 6 Tổng số ô vuông 1 5 11 19 29 41 Tổng số ô vuông được bôi đen 1 3 7 11 17 23 Trước tiên, hãy nhìn vào dòng tổng số ô vuông, ở đây xuất hiện một quy luật: sai khác giữa các số hạng là 4; 6; 8; 10; … Bây giờ hãy nhìn vào dòng tổng số ô vuông được bôi đen, các sai khác giữa các số hạng trong dòng này tạo ra một quy luật khác: 2; 4; 4; 6; 6; … Bây giờ chúng ta có thể hoàn thành bảng trên tới 10 số hạng: Thứ tự số hạng của dãy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số vuông 1 5 11 19 29 41 55 71 89 109 Tổng số ô vuông được bôi đen 1 3 7 11 17 23 31 39 49 59 Sai khác 2 4 4 6 6 8 8 10 10 Vậy, có 109 hình vuông trong hình vẽ thứ 10 và 59 hình vuông trong chúng được bôi đen. Chúng ta có thể kiểm chứng kết quả bằng cách vẽ hình vẽ thứ bảy và ta thấy quy luật mà chúng ta tìm ra đúng với trường hợp này. Thật vậy, chúng ta có 55 hình vuông và 31 hình vuông trong chúng được bôi đen. Bài toán 2.2.5: Nếu chúng ta tiếp tục viết những số tự nhiên từ 2 cho đến 1000 vào bảng sau thì số 1000 rơi vào cột nào? A B C D E F G H 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 … … … 30 Lời giải: Các em học sinh có thể giải bài toán này bằng cách tiếp tục đặt các số vào mảng cho tới khi các em tìm ra số 1000. Giả sử trong suốt quá trình làm các em không mắc sai lầm, thì cách làm này sẽ đưa tới câu trả lời đúng nhưng công việc này rất vất vả. Chúng ta sẽ cố gắng để giải bài toán này bằng một cách khác, bằng cách tìm kiếm một quy luật. Các số được đặt dưới các chữ cái theo một quy luật, hãy nhìn vào hình vẽ cố gắng tìm xem quy luật ở đây là gì? Có 8 cột dẫn đầu bởi 8 chữ cái. Điều gì sẽ xảy ra khi chia mỗi số trong mỗi cột cho 8? Mỗi số trong cột A phần dư còn lại là 1; Mỗi số trong cột B phần dư còn lại là 2; Mỗi số trong cột C phần dư còn lại là 0; Mỗi số trong cột D phần dư còn lại là 3; Mỗi số trong cột E phần dư còn lại là 7; Mỗi số trong cột G phần dư còn lại là 6; Mỗi số trong cột H phần dư còn lại là 5. Hãy chia con số 1000 của chúng ta cho 8. Số dư còn lại là 0. Như vậy 1000 sẽ nằm ở cột C. Bài toán 2.2.6: Tính số đo của góc được ký hiệu là x ở trong Hình vẽ 2.2.6.a, trong đó bốn hình vuông được vẽ là các hình vuông đơn vị. Lời giải: Có nhiều cách để giải bài toán này, trong đó, chúng ta có thể giải bằng phương pháp lượng giác. Hình vẽ 2.2.6.a Hình vẽ 2.2.6.b Theo giả thiết cạnh của các hình vuông bằng 1 (xem Hình vẽ 2.2.6.b), do đó: tan y = 2 y = (63,434949…)0. tan z = z = (18,434949…)0. Vậy: Chúng ta có thể lý luận theo cách khác: x = 450. Hình vẽ 2.2.6.c Chúng ta có thể tìm ra lời giải của bài toán này đơn giản hơn nếu chúng ta sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật từ hình vẽ ban đầu của bài toán. Hãy quan sát Hình vẽ 2.2.6.c, hình vẽ này được xem là hình được trải rộng của Hình vẽ 2.2.6.a. Hai góc được ký hiệu x là bằng nhau, vì chúng là 2 góc so le trong. Góc x mới tạo ra là góc được tạo bởi một cạnh hình vuông và một đường chéo của nó nên có số đo là 450. Điều thú vị trong bài toán này là chúng ta để ý Hình vẽ 2.2.6.d, tổng của các góc , và bằng 900. Chúng ta có thể chứng minh điều này như sau: Ta có: (*)(vì ) Xét hai tam giác đồng dạng: và . Ta có: = (*) (vì , 2 góc so le trong) Vậy: (vì ). Hình vẽ 2.2.6.e Chúng ta có thể chứng minh kết quả này theo một cách khác như sau (Xem Hình vẽ 2.2.6.e) Ta thấy tứ giác AEBK là hình bình hành (vì AC = BC và EC = KC). Do đó: = Mặt khác: = (góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AE). Mà Do đó: . 2.3. Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật Bài toán 2.3.1: Giải hệ phương trình: Lời giải: Chúng ta đã được trang bị các kiến thức đại số để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể giải hệ này như sau: Ta có: . [1] Nhân cả 2 vế với (x + y): . [2] Mà . [3] Tư [2] và [3] chúng ta thu được: . Chúng ta có phương trình của bài toán gốc: . Do đó: . [4] Kết hợp [4] và [1], ta thu được: xy = 10. [5] Từ [4] và [5] ta tìm được: và . Bây giờ chúng ta hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một quy luật. Nhận ra quy luật trong bài toán này là khó, nó đòi hỏi chúng ta phải nhận ra các đặc tính đại số và điều này có được từ kinh nghiệm. Đây là một khía cạnh quan trọng để giải bài toán. Ở đây, sự phân tích thành thừa số tổng các lập phương làm cho bài toán đơn giản hơn nhiều: . [6] Ta biết rằng: . [7] Do đó kết hợp với [6] chúng ta thu được: Thay vào [7] ta có: Ta có : Vậy, nghiệm của hệ đã cho là: . 2.4. Bài toán tính tổng Bài toán 2.4.1: Tính tổng: . Lời giải: Chúng ta có thể giải bài toán này bằng cách tính giá trị của từng phân số rồi sau đó cộng các kết quả lại với nhau. Đó là: . Đây là một cách làm mất nhiều thời gian và dễ gặp sai sót trong tính toán. Chúng ta có thể dùng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán này: Theo quy luật trên, tổng với số hạng cuối là sẽ là . Sự áp dụng khác của phương án tìm kiếm một quy luật để tìm ra lời giải của bài toán này là phân tích các phân số như sau: . Chúng ta tìm tổng các vế trái, tổng này bằng tổng các vế phải và bằng: . Tương tự như vậy, chúng ta có thể tính được tổng sau: là: . 2.5. Một số bài toán khác Bài toán 2.5.1: Thương của 1 chia cho 500.000.000.000 là bao nhiêu? Lời giải: Bài toán này không thể giải bằng máy tính vì câu trả lời chứa nhiều chỗ hơn màn hình máy tính cho phép. Chúng ta cũng có thể tính bằng tay để đưa đến câu trả lời cho bài toán này. Chúng ta có thể giải bài toán này bằng phương án tìm kiếm một quy luật và so sánh với kết quả tính bằng tay. Chúng ta tìm kiếm quy luật bằng cách bắt đầu với số chia nhỏ rồi tăng dần số chia và tìm xem quy luật xuất hiện ở đây là gì. Số các số 0 nằm sau số 5 Thương Số các số 0 sau dấu thập phân và trước số 2 1 5 0 0,2 0 1 50 1 0,02 1 1 500 2 0,002 2 1 5000 3 0,0002 3 … … … … 1500000000000 11 0,000000000002 Câu trả lời dễ dàng được tìm thấy. Số các số 0 đứng trước số 2 và sau dấu thập phân ở thương bằng số các số 0 nằm sau số 5 của số chia. Vậy câu trả lời của chúng ta là 0,000000000002. Bài toán 2.5.2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà có tổng các chữ số bằng 10. Lời giải: HS thường cố gắng giải bài toán này bằng cách viết ra tất cả các số từ 100 đến 999 và sau đó tính tổng các chữ số của mỗi số đó, rồi chọn các số thoả mãn. Cách làm này rõ ràng là một cách giải đúng và sẽ cho đáp án đúng nhưng rất cồng kềnh và mất rất nhiều thời gian. Hãy sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật của chúng ta để xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào. Trước hết chúng ta lập một danh sách các số có 3 chữ số mà có tổng các chữ số bằng 10 như sau: Chữ số hàng trăm 1 2 3 4 Các số thoả mãn 109 190 118 181 127 172 136 163 145 154 208 280 217 271 226 262 235 253 244 307 370 316 361 325 352 334 343 406 460 415 451 424 442 433 Số các số 10 9 8 7 Chú ý, chúng ta đã liệt kê các số ở trên theo một quy luật, điều này giúp chúng ta không liệt kê thiếu. Trước tiên, chúng ta liệt kê theo các lớp khác nhau, theo thứ tự tăng dần của chữ số hàng trăm: 1; 2; 3; 4. Sau đó, với mỗi lớp, chúng ta lại sắp xếp theo thứ tự tăng dần của chữ số hàng chục: 0; 1; 2; … ; 9 rồi tiếp đến là hoán đổi vị trí của chữ số hàng chục và hàng đơn vị. Với bảng trên, chúng ta lại phát hiện ra một quy luật ở dòng thứ ba: 10; 9; 8; 7. Chúng ta dự đoán nếu tiếp tục liệt kê vào bảng trên thì các số tiếp theo của dòng thứ ba sẽ là 6; 5; 4; 3; 2. Thật vậy, chúng ta sẽ thử với trường hợp chữ số hàng trăm là 8; 9: 8 9 . 802 820 901 910 811 Tổng 3 4 Với quy luật này, chúng ta có: 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 54 số có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 10. CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 1.1. Mục đích Nghiên cứu về tình hình sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán ở trường phổ thông; Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính hiệu quả của việc sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán ở trường THPT; Thu thập dữ liệu để kiểm tra, đánh giá sự phát triển tư duy toán của HS thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán. 1.2. Ý nghĩa Nếu quá trình thực nghiệm thành công thì đây sẽ là minh chứng rõ ràng khẳng định tác dụng của việc sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán đối với sự phát triển tư duy toán của HS. Ngoài ra, khoá luận sẽ là một tài liệu tham khảo thiết thực cho sinh viên sư phạm và những ai quan tâm đến việc nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy học theo những xu hướng mới, đặc biệt là với sách giáo khoa thí điểm hiện nay. 2. Quá trình thực nghiệm 2.1. Phương pháp thực nghiệm Đề tài được tổ chức thực nghiệm tại trường THPT Hai Bà Trưng – thành phố Huế. Hình thức tổ chức cho việc thực nghiệm là: Đưa ra một số bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật trong một số tiết học mà mình được phân công và ngoài giờ lên lớp để HS tự tìm ra lời giải cho bài toán thay vì GV đưa ra cách giải, công thức để HS áp dụng; Phát phiếu điều tra về nội dung “Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” cho GV và HS; Tổ chức thu thập dữ liệu, lấy thông tin phục vụ cho quá trình thống kê và phân tích dữ liệu của đề tài. 2.2. Nội dung thực nghiệm Trong đợt thực tập tại trường THPT Hai Bà Trưng, vì được phân công giảng dạy lớp 10 nên không có điều kiện thực nghiệm nội dung tìm kiếm công thức ở phần giới hạn và dãy số trong chương trình SGK thí điểm lớp 11 (đây là phần có nhiều bài toán có thể sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải), trong các tiết dạy được phân công cũng không có nhiều bài toán có thể sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải nên việc thực nghiệm có nhiều hạn chế. Tôi đã chọn bài “Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác” trong SGK nâng cao Đại Số 10 (Tiết 1) để tiến hành thực nghiệm, tại lớp 10B9. Trong bài dạy này có bài toán ở Hoạt động 1 được HS giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật. Nội dung bài toán: Để thấy rõ hơn tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác, hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như ở hình 6.10: Điểm M1 trên trục At có toạ độ đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác thoả mãn sđ = , tức M xác định bởi . Hỏi: a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác? b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm trên đường tròn lượng giác ( là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tuỳ ý trong số các điểm đó cách nhau bao nhiêu? Để giải bài toán này, giáo viên đã chuẩn bị dụng cụ dạy học: đường tròn đơn vị và trục số. Để HS thực hiện hoạt động quấn trục số quanh đường tròn và lăn đường tròn trên trục số. Ngoài ra, trong các tiết sinh hoạt (20 phút ra chơi giữ buổi, hoạt động ngoài giờ, …), tôi đã đưa ra một vài dãy số, yêu cầu HS tìm quy luật để điền các số hạng tiếp theo của dãy. 2.3. Thu thập dữ liệu Trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm bản thân đã thu thập được những phần sau: Dữ liệu thu được dựa trên quan sát Trong tiết học tại lớp 10B9: HS hứng thú, hoạt động tích cực, tự xoay xở trên dụng cụ mà GV đã chuẩn bị sẵn. Các em đã có sự hợp tác với nhau, cùng thảo luận, đưa ra ý tưởng và cùng thực hiện. Hầu hết các nhóm quấn trục số quanh đường tròn, một số nhóm lăn đường tròn trên trục số để các em đo đạc lấy số liệu (cử một em ghi số liệu). Phần lớn các nhóm đều tìm ra quy luật giải quyết được bài toán. Tuy nhiên, một số em còn đưa ra kết quả: câu a là 2, câu b là , khoảng cách là 2. Trong các giờ giải lao: Khi GV đưa ra các bài toán về điền số hạng liên tiếp của dãy đã lôi cuốn được nhiều HS tham gia giải quyết. Bình thường, trong các giờ ra chơi, các em chạy nhảy đùa nghịch. Hôm nay, các em xúm lại giải, tỏ ra rất muốn chinh phục bài toán và khẳng định mình. Tư duy của các em rất tốt, các em có rất nhiều ý tưởng, nhiều suy nghĩ, đặt nhiều giả thuyết, … Có nhiều dãy số các em không tìm ra quy luật. Tuy nhiên mục đích của tôi là xem các em tư duy như thế nào, các em có khả năng tư duy học toán không. Dữ liệu thu được trên giấy Các bản viết tay của HS làm các bài toán mà giáo viên đưa ra; Các phiếu thăm dò ý kiến của GV và HS; Các hình ảnh trong quá trình dạy học. 2.4. Phân tích dữ liệu Sau khi triển khai thực nghiệm, một số thống kê và phân tích rút ra như sau: Với tiết học tại lớp 10B9: Thông qua việc GV đặt câu hỏi, HS giơ tay phát biểu, sơ bộ chúng ta có thể phân loại khả năng giải toán bằng phương án tìm quy luật của HS như sau: - Mức độ 1: Không hiểu nội dung bài toán. - Mức độ 2: Hiểu nội dung bài toán nhưng không có ý tưởng thực hành đo đạc trên dụng cụ GV đã chuẩn bị (quấn trục số quanh đường tròn, lăn đường tròn trên trục số) để lấy số liệu, tìm quy luật để giải toán. - Mức độ 3: Có ý tưởng, nhưng không tìm được quy luật từ các số liệu đo được (khả năng tổng quát hoá). - Mức độ 4: Tìm ra được quy luật từ các số liệu đo được, đưa ra đáp án chính xác cho bài toán. Sau đây là biểu đồ thể hiện số lượng HS đạt được các mức độ giải toán bằng phương án tìm kiếm một quy luật trên: Với các bài toán tìm quy luật của dãy số GV đưa ra cho HS giải trong các giờ giải lao: Tôi xin phân tích quá trình tìm kiếm quy luật của HS để giải một bài toán mà tôi đã đưa ra sau đây: Bài toán: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 1; 8; 19; 34; 53; 76; … Đứng trước bài toán này, HS đã có nhiều cách tư duy khác nhau. Tôi xin đưa ra ở đây một số phản hồi thu được từ phía HS: - Có em phát hiện: 1 + 8 = 9 (19); 19 + 34 = 53 (53) từ đây các em đoán chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là 3 + 6 = 9 (53 + 76 = 129). Tuy nhiên các em không tìm ra quy luật để tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số cần tìm. - Các em nhận thấy, bắt đầu từ số thứ 3, các chữ số hàng chục của các số hạng của dãy lần lượt là 1; 3; 5; 7 (19; 34; 53; 76) nhưng các em thấy quy luật này không khớp với 2 số hạng đầu tiên (1; 8). - Có em thử: 1 + 34 = 35; 8 +19 = 27; … mục đích của các em là kiểm tra xem 1 + 34 có bằng 8 + 19 không. - Thông thường khi tìm quy luật của một dãy số các em hay thử kiểm tra xem các số hạng liên tiếp có hơn kém nhau một lượng không đổi hay không, … Ở đây các em cũng thử như vậy: 8 – 1 = 7; 19 – 8 = 11, đến đây HS thấy 7 11 thì các em không làm tiếp nữa. Tôi gợi ý các em hãy viết hết tất cả các sai khác giữa các số hạng liên tiếp của dãy, sau đó hãy tìm quy luật của dãy số mới được tạo ra. Thông qua gợi ý của tôi các em đã tìm ra số hạng tiếp theo của dãy mới và từ đó tìm được số hạng tiếp theo của dãy đã cho (là 103). Các em không tự mình tìm ra lời giải của bài toán (phải có gợi ý của GV) nhưng qua những suy nghĩ, cách tư duy của các em chúng ta thấy được rằng nếu các em được “nuôi dưỡng” tốt thì các em có khả năng học toán rất tốt. Chúng ta cũng thấy được rằng, qua việc tìm kiếm quy luật, tư duy của các em được phát triển rất tốt, đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo. Qua quá trình tìm kiếm như vậy, chắc chắn kiến thức mà HS thu được sẽ lưu lại ở trong đầu rất lâu. 3. Kết quả phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh Trong quá trình thực nghiệm, ngoài trao đổi phỏng vấn một số GV và HS, bản thân đã phát một số phiếu thăm dò để thu thập ý kiến phục vụ cho đề tài. Sau đây là nội dung của phiếu và những câu trả lời xuất hiện nhiều nhất thu được. PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN GIÁO VIÊN 1. Thầy (cô) có thường hướng dẫn HS sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải các bài toán hay tìm và chứng minh các công thức, định lý, hệ quả, … không? a. Có b. Không 100 % ý kiến là có. 2. Theo thầy (cô) việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật khi giải toán có làm cho học sinh dễ hiểu và khắc sâu kiến thức hơn không? a. Có b. Không 100 % ý kiến là có. 3. Theo thầy (cô) những yếu tố tư duy nào sau đây đóng vai trò quan trọng để học sinh biết cách sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật khi giải toán? a. Nhắc lại b. Hiểu c. Phê phán d. Sáng tạo. Hầu hết các ý kiến đều lựa chọn c và d. Một vài ý kiến chon cả a, b, c và d. 4. Theo thầy (cô) học sinh thường gặp những khó khăn và thuận lợi nào khi sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật khi giải toán? * Thuận lợi: - Tư duy của các em khá tốt, sáng tạo, có nhiều ý tưởng. - Nhiều bài toán HS có thể xem xét trên các trường hợp đặc biệt để đặt ra các giả thuyết, từ đó có thể tìm được quy luật của bài toán. - Là HS thành phố nên điều kiện học tập tốt, có nhiều phương tiện, dụng cụ học tập để hỗ trợ quá trình tìm kiếm quy luật. * Khó khăn: - Mất nhiều thời gian để các em suy nghĩ, tìm kiếm quy luật. - Các em không mạnh dạn đặt các giả thuyết và phỏng đoán (việc quan trọng để tìm ra quy luật). - Khả năng đi từ cụ thể đến tổng quát của các em còn yếu. - Kiến thức cơ sở không vững chắc. 5. Theo thầy (cô) việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật khi giải toán sẽ phát triển tư duy cho học sinh như thế nào? * Thuận lợi: - Khi GV hướng dẫn, khả năng tiếp thu của HS khá tốt, nắm bắt nhanh. - HS thích chinh phục, khám phá và thể hiện, mong muốn tìm ra lời giải để khẳng định chính mình. - Chúng ta đang tăng cường tổ chức hoạt động nhóm trong các tiết học nên phát huy được tính hợp tác, trao đổi của HS. Do đó, việc tìm ra quy luật của một bài toán thuận lợi hơn. * Khó khăn: - Hạn chế về thời gian của một tiết học. - Hầu hết HS đã quen với cách học là nhớ và áp dụng các công thức, thuật toán để làm bài tập nên không quen với cách học tư duy, thiếu sự nổ lực và tìm tòi. - Hầu hết HS không giống nhau về tư duy và cách tiếp thu toán. - HS thiếu mạnh dạn trình bày suy nghĩ của mình. Một phần vì khả năng diễn đạt những ý tưởng toán học bằng cách dùng ngôn ngữ của chính mình ở HS còn hạn chế, một phần có thể vì chúng ta (GV) đôi lúc quá chú trọng đến lời giải đúng. 6. Theo thầy (cô) việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật khi giải toán sẽ phát triển tư duy cho HS như thế nào? - Rất tốt. Rèn luyện cho HS cách phân tích một bài toán, biết huy động kiến thức cũ có liên quan và kinh nghiệm giải toán của mình để giải quyết bài toán. - Phát triển tư duy sáng tạo của HS (đặt giả thuyết, tổng quát hoá, …). - Tư duy của HS linh hoạt hơn. 7. Theo thầy (cô) chúng ta nên có những biện pháp nào để học sinh tích cực sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật khi giải toán? - GV nên tìm các bài toán hay, lôi cuốn được HS, yêu cầu HS giải (nhưng phải phù hợp với trình độ của HS - muốn mở một ổ khoá thì phải có chìa khoá khớp với nó). - Khích lệ, tạo điều kiện để HS tự tin và tích cực sử dụng phương án này trong giải toán: + Chấp nhận nhiều cách tiếp cận khác nhau. + Chấp nhận sai sót của HS trong quá trình giải. + Khi HS đưa ra lời giải mới lạ, chúng ta nên tán thưởng. + Tôn trọng cách giải thích của các em (vì nó gắn với tư duy đang có của các em). Nhận xét chung: Qua những ý kiến thu được từ phía giáo viên, chúng có thể nêu lên một số nhận xét như sau: - Hầu hết GV đều có ý thức dạy HS sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để giải toán và thấy được tác động của việc sử dụng phương án này đối với sự phát triển tư duy của HS, đặc biệt là tư duy sáng tạo. - Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian của một tiết học, thời lượng chương trình, … cũng như những hạn chế về phía GV và HS nên việc dạy HS sử dụng phương án này để giải toán còn nhiều hạn chế. - GV đã đưa ra nhiều ý kiến quý báu để khắc phục những hạn chế trên, khuyến khích HS tích cực sử dụng phương án này trong giải toán nhằm phát triển tư duy toán của các em. PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN HỌC SINH 1. Đứng trước một vấn đề em có thường nghĩ đến việc tìm kiếm một quy luật để giải quyết vấn đề đó không? a. Có b. Không Hơn một nữa số HS trả lời là có. Như vậy, chúng ta thấy còn nhiều HS không nghĩ đến việc sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để giải quyết vấn đề. 2. Em hãy cho một ví dụ về một vấn đề thực tế đã được em giải quyết bằng phương án tìm kiếm một quy luật. Ví dụ: “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” để biết lúc nào trời sắp mưa. Các em cho nhiều ví dụ khác nhau (tối thứ bảy, mọi người đi chơi nhiều hơn, nên ra đường sẽ đông vui hơn; Ai muốn ngắm trăng thì chờ tới các ngày giữa tháng, …). Tuy nhiên, phần lớn các em đưa ra các câu ca dao, tục ngữ là những kinh nghiệm đã được ông cha ta đúc kết lại để giải quyết một số vấn đề thực tiễn. Bên cạnh đó, một số em không hiểu vấn đề, cứ thấy cái gì có chứa từ “quy luật” là các em đưa vào làm ví dụ (ví dụ: “quy luật phản xạ ánh sáng”, quy luật trái đất quay quanh mặt trời, …). 3. Khi đứng trước một bài toán (chưa có thuật toán để giải), em có thường nghĩ tới việc tìm kiếm một quy luật của bài toán để tìm ra lời giải cho bài toán đó không? a. Có b. Không Chỉ có một nữa HS trả lời là có. Kết quả này có thể nói lên rằng, khi đứng trước một bài toán chưa có thuật toán để giải thì việc HS nghĩ đến sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải là không phổ biến lắm. Điều này cũng dễ hiểu thôi, vì các em đã được trang bị rất nhiều phương pháp để giải một bài toán. Hơn nữa, hầu hết các em có học lực trung bình (thậm chí khá) chỉ giải các bài tập chứ hiếm khi các em đủ kiên nhẫn để suy nghĩ giải một bài toán. Lưu ý, ở đây chúng ta chỉ đề cập đến việc “nghĩ đến”. 4. Em hãy cho một ví dụ về một bài toán mà em đã giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật. Khi tìm những số liên tiếp của một dãy số ta cần biết quy luật của dãy số đó là gì để điền tiếp cho đúng. Ví dụ: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 1; 3; 5; 7; 9; … Chỉ một số HS đưa ra được ví dụ và hầu hết là các ví dụ về tìm quy luật của dãy số. Các em chưa khám phá ra nhiều bài toán có thể giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật như các bài toán hình học, … Bên cạnh đó, một số em đưa ra các ví dụ kiểu tương tự như: “Muốn viết phương trình một đường tròn ta phải dựa theo quy luật sau: tìm tâm và toạ độ một điểm nằm trên đường tròn đó”. Các em đang lẫn lộn giữa việc tìm quy luật của bài toán và việc áp dụng các quy tắc giải toán. 5. Giáo viên có thường hướng dẫn các em cách tìm kiếm quy luật của một bài toán không? a. Có b. Không Hầu hết các câu trả lời là có. 6. Giáo viên thường giới thiệu với các em về phương án tìm kiếm một quy luật khi dạy các nội dung nào sau đây? a. Các định lý, hệ quả, … b. Tìm kiếm công thức c. Các bài toán d. Các khái niệm Hầu hết câu trả lời là a, b, c. Tuy nhiên, “Tìm kiếm công thức” chiếm đại đa số. * Ý kiến khác: Khi giải quyết một số hoạt động trong SGK. 7. Khi giáo viên sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để dạy các định lý, hệ quả hay tìm kiếm các công thức, … thì sự tiếp thu bài của em như thế nào? a. Dễ tiếp thu bài hơn và khắc sâu các công thức, định lý, hệ quả đó hơn. b. Khó tiếp thu bài hơn. 100 % câu trả lời là a. * Ý kiến khác: - Nhớ lâu, sẽ lưu lại ở trong đầu bền hơn. - Tạo điều kiện để em suy nghĩ, không phụ thuộc vào SGK. 8. Khi sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải toán em gặp những khó khăn và thuận lợi gì? * Thuận lợi: - Được thầy cô hướng dẫn và cho nhiều bài tập về nhà làm. - Thử đặt nhiều giả thuyết rồi cũng tìm ra quy luật của bài toán. - Có thể xét các trường hợp đặc biệt để suy ra quy luật của bài toán. - Có thể dựa vào kinh nghiệm ở các lần tìm kiếm quy luật trước đó. * Khó khăn: - Quên các kiến thức liên quan. - Mất nhiều thời gian để tìm kiếm, có thể dẫn đến bế tắc. - Cần nhiều thời gian để học. - Chưa linh động cho lắm. - Lúng túng, khó nắm bắt yếu tố quy luật. - Sách có quá nhiều công thức. Các em đưa ra rất nhiều ý kiến. Tuy nhiên, rất nhiều em nói rằng việc tìm kiếm mất rất nhiều thời gian, các em phải suy nghi lâu mới ra, mà các em không có thời gian để học vì các em học quá nhiều môn, phải nhồi nhét một lượng kiến thức lớn. 9. Theo em để giải một bài toán bằng phương án tìm kiếm một quy luật thì yếu tố tư duy nào sau đây đóng vai trò quan trong nhất? a. Nhắc lại b. Hiểu c. Phê phán d. Sáng tạo. Hầu hết các ý kiến là sáng tạo (chiếm khoảng ), có một ý kiến là hiểu, có một ý kiến là nhắc lại, số ý kiến còn lại là phê phán. 10. Theo em khi giải một bài toán bằng phương án tìm kiếm một quy luật sẽ giúp em phát triển được các yếu tố tư duy nào sau đây? a. Nhắc lại b. Hiểu c. Phê phán d. Sáng tạo. Hầu hết các em chọn c và d. Một số ý kiến cho rằng phát triển đựoc cả 4 yếu tố tư duy trên. 4. Kết luận sư phạm Sau khi quá trình thực nghiệm diễn ra tương đối thuận lợi và kết thúc, bản thân đã rút ra một số kết luận sau: ĐỐI VỚI HỌC SINH Tư duy của HS vốn rất tốt, tuy nhiên các em chưa thật tích cực học tập, chịu khó tìm tòi và suy nghĩ. Nếu chúng ta đưa ra cho các em những bài toán hay, lôi cuốn được các em, tạo môi trường để các em làm toán thì chúng ta sẽ phát triển được tư duy của các em. Các bài toán yêu cầu giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật thường lôi cuốn được HS, chúng ta nên tích cực đưa ra và hướng dẫn HS giải. HS cần thực hành nhiều để tích luỹ kinh nghiệm giải toán bằng cách sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật. Các em phải tập làm quen với cách học tư duy. Các em phải ý thức được rằng nhiều bài toán khi giải bằng cách sử dụng các phương án khác rất phức tạp nhưng khi giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật thì rất đơn giản. Cho nên các em cần tích cực sử dụng phương án này để giải các bài toán (nếu có thể). ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN Sau khi tìm hiểu và tiếp cận GV đều công nhận rằng giải toán bằng phương án tìm kiếm một quy luật rất hay và rất tốt để phát triển tư duy của HS, đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo. Không nên áp đặt suy nghĩ của HS trong quá trình tìm kiếm quy luật, để các em tự suy nghĩ như thế sẽ phát triển được tư duy của các em. Trong SGK hiện nay, sau mỗi phần lý thuyết có phần câu hỏi và bài tập. Một số bài tập có thể xem là bài toán. Tuy nhiên, nhiều bài toán đã được giải mẫu bởi GV, HS chỉ việc áp dụng cách giải mẫu này cho một loạt các bài tập tương tự. Điều này có thể là do hạn chế về thời gian của một tiết học mà lượng kiến thức GV phải truyền đạt cho HS trong một tiết học là rất lớn. KẾT LUẬN Qua quá trình nghiên cứu và thực nghiệm, chúng tôi rút ra một số kết luận sau: 1. Về mặt lý luận Khóa luận đã phân tích làm rõ: những lý luận cơ bản về tư duy, về phương án tìm kiếm một quy luật trong các phương án giải quyết vấn đề. Qua những ví dụ cụ thể, khóa luận đã cho thấy tác động của việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật đối với sự phát triển tư duy toán của học sinh, đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo. Về mặt vận dụng Khóa luận đã giới thiệu nhiều bài toán mà học sinh thường bắt gặp trong quá trình làm toán (tìm quy luật của dãy số, giải hệ phương trình, tính tổng …) với nhiều cách giải khác nhau để qua đó cho học sinh thấy được ưu thế của phương án tìm kiếm một quy luật trong giải toán. Tác giả đã cố gắng đưa vào các mô hình minh họa để giúp học sinh dễ nắm bắt quy luật hơn. 3. Về mặt thực nghiệm Khóa luận đã kiểm chứng tác động của việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật vào giải toán. Dữ liệu thu được nói lên rằng phương án này thực sự thu hút được học sinh và giáo viên và nó tác động rất lớn tới sự phát triển tư duy của học sinh (tư duy của học sinh vốn rất tốt, sáng tạo nhưng do chưa được khai thác). Lời kiến nghị Để việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật vào giải toán được phổ biến và thật sự có tác động tích cực tới sự phát triển tư duy của học sinh, chúng ta nên phát huy tính độc lập suy nghĩ của học sinh, tạo điều kiện để các em có môi trường học toán tốt. Cần tăng cường hướng dẫn học sinh cách tìm kiếm quy luật của một bài toán, cần để học sinh luyện tập nhiều. Vì hạn chế về mặt thời gian của một tiết học GV có thể thiết kế các đồ dùng dạy học để hỗ trợ quá trình tìm kiếm được thuận lợi hơn, mặt khác còn làm cho tiết học sinh động hơn. Hướng mở rộng đề tài Mặc dù phương án tìm kiếm một quy luật được giáo viên và học sinh sử dụng khá rộng rãi nhưng chưa có nghiên cứu lý luận nào về sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm kiếm một quy luật khi giải toán một cách hoàn thiện. Đề tài có thể đi sâu theo hướng này. Phần vận dụng có thể mở rộng nghiên cứu các bài toán có thể giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật trong chương trình SGK của các cấp học. Quá trình thực nghiệm của đề tài chỉ diễn ra ở một trường THPT, trên các đối tượng HS tương đối đồng đều. Do đó, đề tài có thể mở rộng nghiên cứu trên nhiều đối tượng HS khác nhau của nhiều trường khác nhau. Mặc dù bản thân đã có rất nhiều cố gắng nhưng khoá luận chắc chắn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn bè để khoá luận được hoàn thiện hơn. Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Vui, Nâng cao chất lượng dạy học theo những xu hướng mới, Giáo trình khoa Toán trường ĐHSP Huế, 2006. Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo trong giải toán phổ thông, NXBGD, 2003. Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Quy nạp toán học, NXBGD, 2000. Phạm Mạnh Hà, Vận dụng phương pháp dạy học giải quyết vấn đề ở trường THPT, SGKTĐ Đại số 10, Khoá luận tốt nghiệp ĐHSP Huế khoa Toán, 2006. Trương Thị Khánh Phương, Sử dụng mô hình toán tích cực trong dạy học dãy số và giới hạn SGKTĐ Đại số và giải tích 11, Khoá luận tốt nghiệp ĐHSP Huế khoa Toán, 2007. G. Polya, Toán học và những suy luận có lý, NXBGD, 1995. Tiếng Anh Frank Swetz – J. S. Hartzler, Mathematical Modeling in the Secondary School Curriculum, NCTM, 1996. Loren C.Larson, Problem solving through Problems, Springer – Veriage. Randall Charies – Edward Silver, The teaching and asscessing of mathematical Problem Solving, NCTM.