Luận án Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

t t0 e−min{νλ1/2,à/2}(t−t0)+min{νλ1/2,à/2}(s−t0)ì( C1e −3 min{νλ1/2,à/2}(s−t0) + C2e−min{νλ1/2,à/2}(s−t0) ) ds = (‖u˜(t0)‖2 + α2|Au˜(t0)|2)e−min{νλ1/2,à/2}(t−t0) + C1 2 min {νλ1/2, à/2}e −min{νλ1/2,à/2}(t−t0) ( 1− e−2 min{νλ1/2,à/2}(t−t0) ) + C2e −min{νλ1/2,à/2}(t−t0)(t− t0). (4.58) Suy ra ‖u˜(t)‖2 + α2|Au˜(t)|2 ≤ ‖u˜(t0)‖2 + α2|Au˜(t0)|2 + C1 2 min {νλ1/2, à/2} + C2 emin {νλ1/2, à/2} , với mọi t ∈ [t0, T˜ ). Vỡ ‖u˜(t0)‖2+α2|Au˜(t0)|2 ≤ 2(‖u(t0)‖2+α2|Au(t0)|2)+2(‖u∗(t0)‖2+α2|Au∗(t0)|2), nờn sử dụng (4.35) và (4.10), ta cú ‖u˜(t)‖2 + α2|Au˜(t)|2 ≤ 4M1 + eC1 + 2C2 2 min {νλ1/2, à/2} , 85 với mọi t ∈ [t0, T˜ ). Từ đú suy ra ‖u∗(t)‖2 + α2|Au∗(t)|2 = ‖u˜(t) + u(t)‖2 + α2|Au˜(t) +Au(t)|2 ≤ 2(‖u˜(t)‖2 + α2|Au˜(t)|2) + 2(‖u(t)‖2 + α2|Au(t)|2) ≤ 8M1 + eC1 + 2C2 min {νλ1/2, à/2} + 2M1 = 10M1 + 2eC1 + 4C2 νλ1 , với mọi t ∈ [t0, T˜ ), nếu ta chọn à ≥ νλ1. Điều này sẽ suy ra mõu thuẫn vỡ 11M1 + 2eC1 + 4C2 νλ1 = 11M1 + 384000(16e+ 2)c43c 4 4 ν4λ1α6 ( 2ν2Gr2 λ 1/2 1 )3 = lim sup t→T˜− (‖u∗(t)‖2 + α2|Au∗(t)|2) ≤ 10M1 + 2eC1 + 4C2 νλ1 . Do đú T˜ =∞. Suy ra, do (4.58), với T˜ =∞, ta cú ‖u˜(t)‖2 + α2|Au˜(t)|2 → 0, với tốc độ mũ, khi t→∞. Đõy là điều phải chứng minh. KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 Trong chương này, chỳng tụi xột bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục đối với hệ Bardina đơn giản húa ba chiều, mà chỉ sử dụng phộp đo trờn hai trong số ba thành phần của vectơ vận tốc. Cỏc kết quả đạt được: 1) Sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ yếu và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ yếu tới nghiệm khảo sỏt trong cả hai trường hợp phộp đo loại I và loại II (Định lớ 4.2, Định lớ 4.3); 2) Sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ mạnh và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ mạnh tới nghiệm khảo sỏt trong trường hợp phộp đo loại II (Định lớ 4.4). 86 Cỏc kết quả thu được trong chương này cú thể xem như là một cải tiến của kết quả trước đú cho hệ Bardina trong [1] theo nghĩa là ta chỉ cần sử dụng cỏc số liệu phộp đo trờn hai thành phần của trường vectơ vận tốc mà khụng cần phộp đo trờn thành phần thứ ba. 87 Chương 5 BÀI TOÁN ĐỒNG HểA DỮ LIỆU RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ LERAY-α CẢI BIấN Trong chương này, chỳng ta nghiờn cứu bài toỏn đồng húa dữ liệu cho hệ Leray-α cải biờn ba chiều chỉ sử dụng phộp đo trờn hai trong ba thành phần của trường vectơ vận tốc, trong cả hai trường hợp phộp đo là liờn tục và rời rạc theo thời gian. Dưới những điều kiện thớch hợp của hệ số gión và độ phõn giải khụng gian của phộp đo (và khoảng cỏch lớn nhất giữa hai lần đo liờn tiếp trong trường hợp rời rạc), chỳng tụi chứng minh sự tồn tại toàn cục và sự hội tụ với tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ của bài toỏn đồng húa dữ liệu tới nghiệm khảo sỏt chưa biết của hệ gốc khi thời gian tiến ra vụ cựng. Nội dung của chương này dựa trờn cụng trỡnh đang gửi đăng [CT4] trong Danh mục cụng trỡnh khoa học của tỏc giả liờn quan đến luận ỏn. 5.1. Bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục rỳt gọn đối với hệ Leray-α cải biờn 5.1.1. Đặt bài toỏn Hệ Leray-α cải biờn được giới thiệu trong [34] và ở đú đó chỉ ra rằng việc xột hệ Leray-α cải biờn như là một mụ hỡnh đúng của hệ phương trỡnh trung bỡnh Reynolds trong cỏc kờnh dẫn và ống dẫn hỗn loạn dẫn tới một hệ rỳt gọn tương tự như hệ Leray-α và hệ Navier-Stokes-α, cũng như cỏc α-mụ hỡnh khỏc. Hơn nữa, một số tớnh chất giải tớch quan trọng của hệ Leray-α cải biờn đó được chứng minh trong [34], núi riờng, tớnh đặt đỳng toàn cục và sự tồn tại của tập hỳt toàn cục đó được chỉ ra trong khụng gian pha thớch hợp. Gần đõy, sự tồn tại đa tạp quỏn tớnh cho hệ Leray-α cải biờn với điều kiện biờn tuần 88 hoàn đó được chứng minh trong cả trường hợp hai chiều [30] và ba chiều [41]. Giả sử rằng sự tiến húa của u được mụ tả bởi hệ Leray-α cải biờn ba chiều, với điều kiện biờn tuần hoàn trờn miền Ω = [0, L]3: ∂v ∂t − ν∆v + (v ã ∇)u+∇p = f, ∇ ã u = ∇ ã v = 0, (5.1) trờn khoảng [t0,∞), với điều kiện ban đầu u(t0) = u0 chưa biết. Trong hệ Leray-α cải biờn (5.1), u = u(x, y, z, t) biểu diễn cho vận tốc của dũng chảy, v = u − α2∆u và α > 0 là một tham số cho trước. Ở đõy, p là một hàm vụ hướng, biểu thị cho ỏp suất và f là hàm ngoại lực, với giả thiết f khụng phụ thuộc thời gian. Trong phần này, ta sẽ nghiờn cứu thuật toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục cho hệ Leray-α cải biờn ba chiều. Ở đõy, nghiệm khảo sỏt được cho bởi một nghiệm u của (5.1) mà trong đú điều kiện ban đầu chưa biết. Ở đõy ta chỉ yờu cầu phộp đo trờn hai trong số ba thành phần của vectơ vận tốc. Khi đú, ta sẽ chứng minh sự tồn tại toàn cục của nghiệm xấp xỉ và chỉ ra rằng dưới điều kiện thớch hợp của hệ số gión và độ phõn giải khụng gian của cỏc dữ liệu phộp đo, nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm khảo sỏt với tốc độ mũ khi thời gian tiến tới ∞. Xột cỏc số liệu phộp đo của thành phần nằm ngang, được biểu diễn bởi cỏc toỏn tử nội suy Ih(v1(t)) và Ih(v2(t)) với t ∈ [t0, T ], trong đú Ih(ϕ) là toỏn tử nội suy biểu thị cho số liệu phộp đo của hàm vụ hướng ϕ với độ phõn giải khụng gian cỡ h. Ta sẽ xột cỏc toỏn tử nội suy cho bởi cỏc toỏn tử tuyến tớnh Ih : H1(Ω)→ L2(Ω) thỏa món ‖ϕ− Ih(ϕ)‖L2(Ω) ≤ γ0h‖ϕ‖H1(Ω), (5.2) với mọi ϕ thuộc khụng gian Sobolev H1(Ω). Hai vớ dụ về toỏn tử phộp đo thuộc loại này là phộp chiếu trực giao lờn chuỗi Fourier thấp với số k thỏa 89 món |k| ≤ 1/h và cỏc số hạng phần tử thể tớch (xem [2, 24]). Bất đẳng thức (5.2) suy ra |u− Ih(u)|2 ≤ c20h2‖u‖2, (5.3) với mọi u ∈ V , trong đú c0 = γ0. Bõy giờ, ta sẽ dựa trờn cỏch tiếp cận trong [23, 24] để giới thiệu thuật toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục nhằm đi tỡm một nghiệm xấp xỉ u∗ của nghiệm khảo sỏt chưa biết u. Trước tiờn, ta viết lại hệ Leray-α cải biờn dưới dạng sau ∂v1 ∂t − ν∆v1 + v1∂xu1 + v2∂yu1 + v3∂zu1 + ∂xp = f1, (5.4a) ∂v2 ∂t − ν∆v2 + v1∂xu2 + v2∂yu2 + v3∂zu2 + ∂yp = f2, (5.4b) ∂v3 ∂t − ν∆v3 + v1∂xu3 + v2∂yu3 + v3∂zu3 + ∂zp = f3, (5.4c) ∂xu1 + ∂yu2 + ∂zu3 = ∂xv1 + ∂yv2 + ∂zv3 = 0, (5.4d) v1 = u1 − α2∆u1, v2 = u2 − α2∆u2, v3 = u3 − α2∆u3. (5.4e) Với dữ kiện ban đầu tựy ý u∗0, ta sẽ đi tỡm một hàm u ∗ thỏa món u∗(t0) = u∗0, với cựng điều kiện biờn như của u, và thỏa món hệ sau ∂v∗1 ∂t − ν∆v∗1 + v∗1∂xu∗1 + v∗2∂yu∗1 + v∗3∂zu∗1 + ∂xp∗ = f1 − à(I − α2∆) (Ih(u∗1)− Ih(u1)) , (5.5a) ∂v∗2 ∂t − ν∆v∗2 + v∗1∂xu∗2 + v∗2∂yu∗2 + v∗3∂zu∗2 + ∂yp∗ = f2 − à(I − α2∆) (Ih(u∗2)− Ih(u2)) , (5.5b) ∂v∗3 ∂t − ν∆v∗3 + v∗1∂xu∗3 + v∗2∂yu∗3 + v∗3∂zu∗3 + ∂zp∗ = f3, (5.5c) ∂xu ∗ 1 + ∂yu ∗ 2 + ∂zu ∗ 3 = ∂xv ∗ 1 + ∂yv ∗ 2 + ∂zv ∗ 3 = 0, (5.5d) v∗1 = u ∗ 1 − α2∆u∗1, v∗2 = u∗2 − α2∆u∗2, v∗3 = u∗3 − α2∆u∗3, (5.5e) trong đú ν và f = (f1, f2, f3) tương ứng là hệ số nhớt và hàm ngoại lực lấy từ (5.4), p∗ là hàm ỏp suất mới và à > 0 là tham số gión. 90 Ta sẽ đưa ra cỏc đỏnh giỏ về độ thụ h của cỏc số liệu phộp đo và tham số gión (hệ số nudging) à, phụ thuộc vào cỏc tham số vật lớ khỏc, sao cho thuật toỏn đó đề xuất được hoạt động để khụi phục nghiệm khảo sỏt. Ta sẽ chỉ ra rằng, dưới cỏc điều kiện thớch hợp của à và h, với mọi giỏ trị ban đầu u∗0, hệ đồng húa dữ liệu (5.5) cú duy nhất một nghiệm u∗ xỏc định trờn toàn khoảng [t0,∞) và nghiệm xấp xỉ này hội tụ tới nghiệm khảo sỏt u của hệ Leray-α cải biờn ba chiều khi thời gian tiến tới ∞. Vỡ mục tiờu của chỳng ta là nghiờn cứu dỏng điệu tiệm cận của nghiệm nờn trong phần này ta giả thiết rằng nghiệm khảo sỏt u là một quỹ đạo nằm trong tập hỳt toàn cục A của hệ Leray-α cải biờn ba chiều. Trong phần này, chỳng ta sẽ nghiờn cứu cỏc vấn đề sau đối với bài toỏn đồng húa dữ liệu rỳt gọn đối với hệ Leray-α cải biờn (5.1): • Sự tồn tại và tớnh duy nhất của nghiệm xấp xỉ của bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục; • Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sỏt khi thời gian ra vụ cựng. 5.1.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sỏt Với hàm ngoại lực f ∈ H, ta định nghĩa số Grashof trong khụng gian ba chiều như sau: Gr = |f | ν2λ 3/4 1 . (5.6) Bõy giờ ta đi chứng minh một số đỏnh giỏ tiệm cận nghiệm của hệ Leray-α cải biờn ba chiều (5.1). Định lớ 5.1. ([34]) Giả sử f ∈ H và u0 ∈ V . Khi đú hệ (5.1) cú duy nhất một nghiệm yếu u thỏa món u(t0) = u0 và u ∈ C([t0,∞);V ) ∩ L2loc([t0,∞);D(A)), du dt ∈ L2loc([t0,∞);H). (5.7) 91 Hơn nữa, nửa nhúm S(t) : V → V sinh bởi nghiệm của hệ (5.1) cú một tập hỳt toàn cục A trong V . Thờm vào đú, với mọi u ∈ A, ta cú |u|2 + α2‖u‖2 ≤M0 := 2ν 2Gr2 λ 1/2 1 , (5.8) ‖u‖2 + α2|Au|2 ≤M1 := 2ν 2Gr2 λ 1/2 1 ( λ1 2 + νλ1 α2 + 1 ν ) exp ( 54c43ν(λ −1 1 + α 2)4Gr4 α12λ1 ) . (5.9) Chứng minh. Sự tồn tại và tớnh duy nhất của nghiệm yếu u của hệ (5.1) thỏa món (5.7) và sự tồn tại tập hỳt toàn cục A đó được chứng minh trong [34]. Ở đõy, ta chỉ đi chứng minh cỏc đỏnh giỏ (5.8) và (5.9). Nhõn (5.1) với u, lấy tớch phõn trờn Ω và sử dụng (1.1), ta cú 1 2 d dt (|u|2 + α2‖u‖2) + ν(‖u‖2 + α2|Au|2) = (f, u). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Poincarộ (1.16), ta cú |(f, u)| ≤ |f | 2 2νλ1 + ν 2 ‖u‖2. Suy ra d dt (|u|2 + α2‖u‖2) + ν(‖u‖2 + α2|Au|2) ≤ |f | 2 νλ1 . (5.10) Sử dụng (1.17) và (1.18), ta suy ra từ bất đẳng thức trờn rằng d dt (|u|2 + α2‖u‖2) + νλ1(|u|2 + α2‖u‖2) ≤ |f | 2 νλ1 . Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta kết luận được rằng với mọi t ≥ t0, |u(t)|2 + α2‖u(t)‖2 ≤ (|u(t0)|2 + α2‖u(t0)‖2)e−νλ1(t−t0) + |f | 2 ν2λ21 ( 1− e−νλ1(t−t0) ) . Từ đú và từ định nghĩa của số Gr, suy ra tồn tại một thời điểm T1 > t0, mà chỉ phụ thuộc vào chuẩn của u0, sao cho với mọi t ≥ T1, ta cú đỏnh giỏ (5.8). 92 Lấy tớch phõn (5.10) từ t đến t+ 1 và sử dụng (5.8) ta cú với mọi t ≥ T1,∫ t+1 t (‖u(s)‖2 + α2|Au(s)|2)ds ≤ |f | 2 ν2λ1 + M0 ν . (5.11) Nhõn (5.1) với Au và lấy tớch phõn trờn Ω, ta cú 1 2 d dt (‖u‖2 + α2|Au|2) + ν(|Au|2 + α2‖Au‖2) + (B(v, u), Au) = (f,Au). (5.12) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Poincarộ (1.16), ta cú |(f,Au)| ≤ 1 να2λ1 |f |2 + να 2 4 ‖Au‖2. (5.13) Sử dụng (1.3), bất đẳng thức Poincarộ (1.17), (1.18) và bất đẳng thức Young, ta cú |(B(v, u), Au)| ≤ c3|v|1/2‖v‖1/2‖u‖‖Au‖ ≤ c3(|u|+ α2|Au|)1/2(‖u‖+ α2‖Au‖)1/2‖u‖‖Au‖ ≤ c3(λ−11 + α2)|Au|1/2‖Au‖3/2‖u‖ ≤ 27c 4 3(λ −1 1 + α 2)4 4ν3α8 ‖u‖4α2|Au|2 + ν 4 α2‖Au‖2. (5.14) Thế (5.13) và (5.14) vào (5.12), ta suy ra d dt (‖u‖2 + α2|Au|2) + ν(|Au|2 + α2‖Au‖2) ≤ 27c 4 3(λ −1 1 + α 2)4 2ν3α8 ‖u‖4α2|Au|2 + 2 να2λ1 |f |2. Sử dụng (5.8), ta cú với mọi t ≥ T1, d dt (‖u‖2 + α2|Au|2) + ν(|Au|2 + α2‖Au‖2) ≤ 27c 4 3(λ −1 1 + α 2)4M20 2ν3α12 (‖u‖2 + α2|Au|2) + 2 να2λ1 |f |2, hay d dt (‖u‖2 + α2|Au|2) 93 ≤ 27c 4 3(λ −1 1 + α 2)4M20 2ν3α12 (‖u‖2 + α2|Au|2) + 2 να2λ1 |f |2. (5.15) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall đều, từ (5.11) và (5.15) ta thu được ‖u(t)‖2 + α2|Au(t)|2 ≤ ( |f |2 ν2λ1 + M0 ν + 2 να2λ1 |f |2 ) exp ( 27c43(λ −1 1 + α 2)4M20 2ν3α12 ) , với mọi t ≥ T2 := T1 + 1. Do đú, ta cú (5.9). Sau đõy là định lớ chớnh của phần này. Định lớ 5.2. Giả sử Ih thỏa món (5.2). Giả sử u là một nghiệm trong tập hỳt toàn cục của hệ Leray-α cải biờn ba chiều (5.4) và chọn à > 0 đủ lớn sao cho à ≥ c(λ −1 1 + α 2)2M1 νλ 1/2 1 α 6 , (5.16) và h > 0 đủ nhỏ sao cho àc20h 2 ≤ ν. Nếu u∗0 ∈ V và f ∈ H thỡ tồn tại duy nhất một nghiệm yếu u∗ của hệ đồng húa dữ liệu (5.5) trờn [t0,∞) thỏa món u∗(t0) = u∗0 và u∗ ∈ C([t0,∞);V ) ∩ L2loc([t0,∞);D(A)), du∗ dt ∈ L2loc([t0,∞);H). Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liờn tục vào điều kiện ban đầu u∗0 và thỏa món |u∗(t)− u(t)|2 + α2‖u∗(t)− u(t)‖2 → 0 với tốc độ mũ, khi t→∞. Ở đõy, cỏc hằng số c0 và M1 cho ở (5.3) và (5.9) và c là một hằng số dương thớch hợp khụng phụ thuộc vào cỏc tham số của hệ. Chứng minh. Kớ hiệu u˜ = u∗−u, v˜ = v∗−v với v∗ = u∗−α2∆u∗, v = u−α2∆u, ta suy ra v˜ = u˜− α2∆u˜. Lấy (5.5) trừ (5.4) ta thu được ∂v˜1 ∂t − ν∆v˜1 + (v∗ ã ∇)u˜1 + v˜1∂xu1 + v˜2∂yu1+v˜3∂zu1 + ∂x(p∗ − p) = − à(I − α2∆)Ih(u˜1), (5.17a) 94 ∂v˜2 ∂t − ν∆v˜2 + (v∗ ã ∇)u˜2 + v˜1∂xu2 + v˜2∂yu2+v˜3∂zu2 + ∂y(p∗ − p) = − à(I − α2∆)Ih(u˜2), (5.17b) ∂v˜3 ∂t − ν∆v˜3 + (v∗ ã ∇)u˜3 + v˜1∂xu3 + v˜2∂yu3+v˜3∂zu3 + ∂z(p∗ − p) = 0, (5.17c) ∂xu˜1 + ∂yu˜2 + ∂zu˜3 = ∂xv˜1 + ∂y v˜2 + ∂z v˜3 = 0. (5.17d) Ở đõy ta đó sử dụng cỏc đẳng thức: v∗1∂xu ∗ 1 + v ∗ 2∂yu ∗ 1 + v ∗ 3∂zu ∗ 1 − v1∂xu1 − v2∂yu1 − v3∂zu1 = (v∗ ã ∇)u˜1 + v˜1∂xu1 + v˜2∂yu1 + v˜3∂zu1, v∗1∂xu ∗ 2 + v ∗ 2∂yu ∗ 2 + v ∗ 3∂zu ∗ 2 − v1∂xu2 − v2∂yu2 − v3∂zu2 = (v∗ ã ∇)u˜2 + v˜1∂xu2 + v˜2∂yu2 + v˜3∂zu2, v∗1∂xu ∗ 3 + v ∗ 2∂yu ∗ 3 + v ∗ 3∂zu ∗ 3 − v1∂xu3 − v2∂yu3 − v3∂zu3 = (v∗ ã ∇)u˜3 + v˜1∂xu3 + v˜2∂yu3 + v˜3∂zu3. Nhờ cú sự tồn tại và duy nhất toàn cục của nghiệm yếu u của hệ (5.4), sự tồn tại duy nhất toàn cục của hiệu u˜ sẽ dẫn tới sự tồn tại duy nhất toàn cục của nghiệm yếu u∗ của hệ (5.5). Bởi lớ do tương tự như trong chứng minh của Định lớ 4.2 trong Chương 4, trong phần dưới đõy, ta chỉ tập trung thiết lập cỏc đỏnh giỏ tiờn nghiệm của u˜. Nhõn tương ứng (5.17a), (5.17b) và (5.17c) với u˜1, u˜2 và u˜3 rồi lấy tớch phõn trờn Ω ta cú 1 2 d dt (|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2)+ ν (‖u˜1‖2 + α2|Au˜1|2) ≤ |J1| − (∂x(p∗ − p), u˜1)− à((I + α2A)Ih(u˜1), u˜1), (5.18a) 1 2 d dt (|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2)+ ν (‖u˜2‖2 + α2|Au˜2|2) ≤ |J2| − (∂y(p∗ − p), u˜2)− à((I + α2A)Ih(u˜2), u˜2), (5.18b) 1 2 d dt (|u˜3|2 + α2‖u˜3‖2)+ ν (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) 95 ≤ |J3| − (∂z(p∗ − p), u˜3), (5.18c) trong đú J1 := J1a + J1b + J1c := (v˜1∂xu1, u˜1) + (v˜2∂yu1, u˜1) + (v˜3∂zu1, u˜1), J2 := J2a + J2b + J2c := (v˜1∂xu2, u˜2) + (v˜2∂yu2, u˜2) + (v˜3∂zu2, u˜2), J3 := J3a + J3b + J3c := (v˜1∂xu3, u˜3) + (v˜2∂yu3, u˜3) + (v˜3∂zu3, u˜3). Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (1.22) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), (1.18), ta cú |J1a| = |(v˜1∂xu1, u˜1)| ≤ ‖v˜1‖L2(Ω)‖∂xu1‖L4(Ω)‖u˜1‖L4(Ω) ≤ c22|v˜1||∂xu1|1/4‖∂xu1‖3/4|u˜1|1/4‖u˜1‖3/4 ≤ c22λ−1/41 (λ−11 + α2)|Au˜1|‖∂xu1‖‖u˜1‖ ≤ ν 8 α2|Au˜1|2 + c(λ −1 1 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 2 |Au1|2‖u˜1‖2 ≤ ν 8 (‖u˜1‖2 + α2|Au˜1|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u1‖2 + α2|Au1|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). (5.19) Sử dụng cỏc đỏnh giỏ tương tự như trờn, ta thu được cỏc đỏnh giỏ sau |J1b| = |(v˜2∂yu1, u˜1)| ≤ ν 8 (‖u˜2‖2 + α2|Au˜2|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u1‖2 + α2|Au1|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), (5.20) |J1c| = |(v˜3∂zu1, u˜1)| ≤ ν 20 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u1‖2 + α2|Au1|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), (5.21) 96 |J2a| = |(v˜1∂xu2, u˜2)| ≤ ν 8 (‖u˜1‖2 + α2|Au˜1|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u2‖2 + α2|Au2|2)(|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2), (5.22) |J2b| = |(v˜2∂yu2, u˜2)| ≤ ν 8 (‖u˜2‖2 + α2|Au˜2|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u2‖2 + α2|Au2|2)(|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2), (5.23) |J2c| = |(v˜3∂zu2, u˜2)| ≤ ν 20 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u2‖2 + α2|Au2|2)(|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2). (5.24) Lấy tớch phõn từng phần, ta cú J3a = (v˜1∂xu3, u˜3) = (u˜1∂xu3, u˜3) + α 2(Au˜1∂xu3, u˜3) = (u˜1∂xu3, u˜3) + α 2(∂x∂xu˜1∂xu3, u˜3) + α2(∂y∂yu˜1∂xu3, u˜3) + α 2(∂z∂zu˜1∂xu3, u˜3) = (u˜1∂xu3, u˜3)− α2(∂xu˜1∂x∂xu3, u˜3)− α2(∂xu˜1∂xu3, ∂xu˜3) − α2(∂yu˜1∂y∂xu3, u˜3)− α2(∂yu˜1∂xu3, ∂yu˜3) − α2(∂zu˜1∂z∂xu3, u˜3)− α2(∂zu˜1∂xu3, ∂zu˜3) =: J3a1 + J3a2 + J3a3 + J3a4 + J3a5 + J3a6 + J3a7. Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (1.22) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), ta cú |J3a1| = |(u˜1∂xu3, u˜3)| ≤ ‖u˜1‖L2(Ω)‖∂xu3‖L4(Ω)‖u˜3‖L4(Ω) 97 ≤ c22|u˜1||∂xu3|1/4‖∂xu3‖3/4|u˜3|1/4‖u˜3‖3/4 ≤ c22λ−1/41 |u˜1|‖∂xu3‖‖u˜3‖ ≤ ν 140 ‖u˜3‖2 + c νλ 1/2 1 |Au3|2|u˜1|2 ≤ ν 140 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức (1.21) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), ta cú |J3a2| = α2|(∂xu˜1∂x∂xu3, u˜3)| ≤ α2‖∂xu˜1‖L2(Ω)‖∂x∂xu3‖L2(Ω)‖u˜3‖L∞(Ω) ≤ c1α2|∂xu˜1||∂x∂xu3|‖u˜3‖1/2|Au˜3|1/2 ≤ c1α2λ−1/41 |∂xu˜1||∂x∂xu3||Au˜3| ≤ ν 140 α2|Au˜3|2 + cα 2 νλ 1/2 1 |Au3|2‖u˜1‖2 ≤ ν 140 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (1.22) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), ta cú |J3a3| = α2|(∂xu˜1∂xu3, ∂xu˜3)| ≤ α2‖∂xu˜1‖L2(Ω)‖∂xu3‖L4(Ω)‖∂xu˜3‖L4(Ω) ≤ c22α2|∂xu˜1||∂xu3|1/4‖∂xu3‖3/4|∂xu˜3|1/4‖∂xu˜3‖3/4 ≤ c22α2λ−1/41 |∂xu˜1|‖∂xu3‖‖∂xu˜3‖ ≤ ν 140 α2|Au˜3|2 + cα 2 νλ 1/2 1 |Au3|2‖u˜1‖2 ≤ ν 140 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) 98 + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). Sử dụng cỏc lập luận tương tự như trờn, ta cú cỏc đỏnh giỏ sau |J3a4| = α2|(∂yu˜1∂y∂xu3, u˜3)| ≤ ν 140 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), |J3a5| = α2|(∂yu˜1∂xu3, ∂yu˜3)| ≤ ν 140 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), |J3a6| = α2|(∂zu˜1∂z∂xu3, u˜3)| ≤ ν 140 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), |J3a7| = α2|(∂zu˜1∂xu3, ∂zu˜3)| ≤ ν 140 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). Suy ra |J3a| = |(v˜1∂xu3, u˜3)| ≤ ν 20 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), (5.25) và tương tự |J3b| = |(v˜2∂yu3, u˜3)| 99 ≤ ν 20 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2). (5.26) Tiếp theo, sử dụng tớch phõn từng phần và điều kiện (5.17d), ta cú J3c = (v˜3∂zu3, u˜3) = −(u3, ∂z(v˜3u˜3)) = −(u3, v˜3∂zu˜3)− (u3, u˜3∂z v˜3) = (u3, v˜3(∂xu˜1 + ∂yu˜2)) + (u3, u˜3(∂xv˜1 + ∂y v˜2)) = (u3, v˜3∂xu˜1) + (u3, v˜3∂yu˜2) + (u3, u˜3∂xv˜1) + (u3, u˜3∂y v˜2) =: J3c1 + J3c2 + J3c3 + J3c4. Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức Agmon (1.21) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), (1.18), ta cú |J3c1| = |(u3, v˜3∂xu˜1)| ≤ ‖u3‖L∞(Ω)‖v˜3‖L2(Ω)‖∂xu˜1‖L2(Ω) ≤ c1‖u3‖1/2|Au3|1/2|v˜3||∂xu˜1| ≤ c1λ−1/41 (λ−11 + α2)|Au3||Au˜3||∂xu˜1| ≤ ν 10 α2|Au˜3|2 + c(λ −1 1 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 2 |Au3|2‖u˜1‖2 ≤ ν 10 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), và tương tự |J3c2| = |(u3, v˜3∂yu˜2)| ≤ ν 10 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2). 100 Bõy giờ lấy tớch phõn từng phần ta thu được J3c3 = (u3, u˜3∂xv˜1) = (∂xu˜1u3, u˜3) + α 2(∂xAu˜1u3, u˜3) = (∂xu˜1u3, u˜3) + α 2(∂x∂x∂xu˜1u3, u˜3) + α2(∂x∂y∂yu˜1u3, u˜3) + α 2(∂x∂z∂zu˜1u3, u˜3) = (∂xu˜1u3, u˜3)− α2(∂x∂xu˜1∂xu3, u˜3)− α2(∂x∂xu˜1u3, ∂xu˜3) − α2(∂y∂xu˜1∂yu3, u˜3)− α2(∂y∂xu˜1u3, ∂yu˜3) − α2(∂z∂xu˜1∂zu3, u˜3)− α2(∂z∂xu˜1u3, ∂zu˜3) = (∂xu˜1u3, u˜3) + α 2(∂xu˜1∂x∂xu3, u˜3) + α 2(∂xu˜1∂xu3, ∂xu˜3) + α2(∂xu˜1∂xu3, ∂xu˜3) + α 2(∂xu˜1u3, ∂x∂xu˜3) + α2(∂xu˜1∂y∂yu3, u˜3) + α 2(∂xu˜1∂yu3, ∂yu˜3) + α2(∂xu˜1∂yu3, ∂yu˜3) + α 2(∂xu˜1u3, ∂y∂yu˜3) + α2(∂xu˜1∂z∂zu3, u˜3) + α 2(∂xu˜1∂zu3, ∂zu˜3) + α2(∂xu˜1∂zu3, ∂zu˜3) + α 2(∂xu˜1u3, ∂z∂zu˜3) = (∂xu˜1u3, u˜3) + α 2(∂xu˜1Au3, u˜3) + α 2(∂xu˜1u3, Au˜3) + 2α2(∂xu˜1∂xu3, ∂xu˜3) + 2α 2(∂xu˜1∂yu3, ∂yu˜3) + 2α 2(∂xu˜1∂zu3, ∂zu˜3) =: J3c3−1 + J3c3−2 + J3c3−3 + J3c3−4 + J3c3−5 + J3c3−6. Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (1.22) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), ta cú |J3c3−1| = |(∂xu˜1u3, u˜3)| ≤ ‖∂xu˜1‖L2(Ω)‖u3‖L4(Ω)‖u˜3‖L4(Ω) ≤ c22|∂xu˜1||u3|1/4‖u3‖3/4|u˜3|1/4‖u˜3‖3/4 ≤ c22λ−1/41 |∂xu˜1|‖u3‖‖u˜3‖ ≤ ν 60 ‖u˜3‖2 + c νλ 1/2 1 ‖u3‖2‖u˜1‖2 ≤ ν 60 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) 101 + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức Agmon (1.21) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), (1.18), ta cú |J3c3−2| = α2|(∂xu˜1Au3, u˜3)| ≤ α2‖∂xu˜1‖L2(Ω)‖Au3‖L2(Ω)‖u˜3‖L∞(Ω) ≤ c1α2|∂xu˜1||Au3|‖u˜3‖1/2|Au˜3|1/2 ≤ c1α2λ−1/41 |Au3||Au˜3||∂xu˜1| ≤ ν 60 α2|Au˜3|2 + cα 2 νλ 1/2 1 |Au3|2‖u˜1‖2 ≤ ν 60 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), và |J3c3−3| = α2|(∂xu˜1u3, Au˜3)| ≤ ν 60 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (1.22) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), ta cú |J3c3−4| = 2α2|(∂xu˜1∂xu3, ∂xu˜3)| ≤ 2α2‖∂xu˜1‖L2(Ω)‖∂xu3‖L4(Ω)‖∂xu˜3‖L4(Ω) ≤ 2c22α2|∂xu˜1||∂xu3|1/4‖∂xu3‖3/4|∂xu˜3|1/4‖∂xu˜3‖3/4 ≤ 2c22α2λ−1/41 |∂xu˜1|‖∂xu3‖‖∂xu˜3‖ ≤ ν 60 α2|Au˜3|2 + cα 2 νλ 1/2 1 |Au3|2‖u˜1‖2 ≤ ν 60 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) 102 + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), và tương tự |J3c3−5| = 2α2|(∂xu˜1∂yu3, ∂yu˜3)| ≤ ν 60 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), |J3c3−6| = 2α2|(∂xu˜1∂zu3, ∂zu˜3)| ≤ ν 60 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2). Suy ra |J3c3| = |(u3, u˜3∂xv˜1)| ≤ ν 10 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2), và tương tự |J3c4| = |(u3, u˜3∂y v˜2)| ≤ ν 10 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c νλ 1/2 1 α 2 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2). Từ đú suy ra |J3c| = |(v˜3∂zu3, u˜3)| ≤ 2ν 5 (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) + c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u3‖2 + α2|Au3|2)(|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2 + |u˜2|2 + α2‖u˜2‖2). (5.27) 103 Sử dụng bất đẳng thức Young, (5.3) và giả thiết àc20h 2 ≤ ν, ta cú với i = 1, 2: − à((I + α2A)Ih(u˜i), u˜i) = − à(Ih(u˜i), u˜i)− àα2(AIh(u˜i), u˜i) = − à(Ih(u˜i)− u˜i, u˜i)− à|u˜i|2 − àα2(Ih(u˜i)− u˜i, Au˜i)− àα2‖u˜i‖2 ≤ à|Ih(u˜i)− u˜i||u˜i| − à|u˜i|2 + àα2|Ih(u˜i)− u˜i||Au˜i| − àα2‖u˜i‖2 ≤ àc0h‖u˜i‖|u˜i| − à|u˜i|2 + àα2c0h‖u˜i‖|Au˜i| − àα2‖u˜i‖2 ≤ àc 2 0h 2 2 ‖u˜i‖2 + à 2 |u˜i|2 − à|u˜i|2 + àα 2c20h 2 2 |Au˜i|2 + àα 2 2 ‖u˜i‖2 − àα2‖u˜i‖2 ≤ ν 2 (‖u˜i‖2 + α2|Au˜i|2)− à 2 (|u˜i|2 + α2‖u˜i‖2). (5.28) Cũng chỳ ý rằng (∂x(p ∗ − p), u˜1) + (∂y(p∗ − p), u˜2) + (∂z(p∗ − p), u˜3) = 0, (5.29) do tớch phõn từng phần, điều kiện biờn và điều kiện (5.17d). Kết hợp tất cả cỏc đỏnh giỏ (5.19)-(5.29) và kớ hiệu |u˜H |2 + α2‖u˜H‖2 = |u˜1|2 + α2‖u˜1‖2 + |u˜2|2 + α2‖u˜2‖2, ta thu được d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ ν 2 (‖u˜‖2 + α2|Au˜|2) ≤ ( c(λ−11 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u‖2 + α2|Au|2)− à ) (|u˜H |2 + α2‖u˜H‖2), và sử dụng bất đẳng thức Poincarộ (1.17) và (1.18), ta cú d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ νλ1 2 (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ β(t)(|u˜H |2 + α2‖u˜H‖2) ≤ 0, ở đú β(t) := à− c νλ 1/2 1 α 2 (‖u‖2 + α2|Au|2). Vỡ u là một nghiệm nằm trong tập hỳt toàn cục A, ta cú thể sử dụng đỏnh giỏ (5.9). Sử dụng giả thiết (5.16), ta cú d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ min{νλ1 2 , à 2 }(|u˜|2 + α2‖u˜‖2) ≤ 0, 104 với t > t0. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu được |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 → 0, với tốc độ mũ, khi t→∞. 5.2. Bài toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc rỳt gọn đối với hệ Leray-α cải biờn 5.2.1. Đặt bài toỏn Trong phần này, giả sử {tn}n∈N là một dóy tăng cỏc thời điểm trong [t0,∞) mà tại đú cỏc số liệu được thu thập. Ta giả thiết rằng tn < tn+1, ∀n ∈ N, và tn →∞ khi n→∞. Hơn nữa, ta kớ hiệu khoảng cỏch lớn nhất giữa hai lần đo liờn tiếp bởi tham số dương κ, tức là |tn+1 − tn| ≤ κ, ∀n ∈ N. Cỏc số liệu đo lường tại thời điểm tn do đú được biểu diển bởi Pm(v1(tn)) và Pm(v2(tn)), trong đú v là nghiệm khảo sỏt chưa biết của hệ Leray-α cải biờn ba chiều (5.4), Pm : H → span{w1, . . . , wm} là phộp chiếu trực giao của H lờn khụng gian con Hm = span{w1, . . . , wm} xỏc định bởi m vectơ riờng đầu tiờn của toỏn tử Stokes A. Hơn nữa, ta kớ hiệu Qm = I − Pm. Bõy giờ, ta sẽ giới thiệu thuật toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc nhằm đi tỡm một nghiệm xấp xỉ u∗ của nghiệm khảo sỏt u: Cho trước một dữ liệu ban đầu dự đoỏn u∗0, ta đi tỡm một hàm u ∗ thỏa món u∗(t0) = u∗0, với cựng điều kiện biờn như của u, và thỏa món hệ sau ∂v∗1 ∂t − ν∆v∗1 + v∗1∂xu∗1 + v∗2∂yu∗1 + v∗3∂zu∗1 + ∂xp∗ = f1 − à ∞∑ n=0 (I − α2∆) (Pm(u∗1(tn))− Pm(u1(tn)))χn, (5.30a) ∂v∗2 ∂t − ν∆v∗2 + v∗1∂xu∗2 + v∗2∂yu∗2 + v∗3∂zu∗2 + ∂yp∗ 105 = f2 − à ∞∑ n=0 (I − α2∆) (Pm(u∗2(tn))− Pm(u2(tn)))χn, (5.30b) ∂v∗3 ∂t − ν∆v∗3 + v∗1∂xu∗3 + v∗2∂yu∗3 + v∗3∂zu∗3 + ∂zp∗ = f3, (5.30c) ∂xu ∗ 1 + ∂yu ∗ 2 + ∂zu ∗ 3 = ∂xv ∗ 1 + ∂yv ∗ 2 + ∂zv ∗ 3 = 0, (5.30d) v∗1 = u ∗ 1 − α2∆u∗1, v∗2 = u∗2 − α2∆u∗2, v∗3 = u∗3 − α2∆u∗3, (5.30e) trong đú ν và f tương ứng là hệ số nhớt và hàm ngoại lực lấy từ (5.4), p∗ là hàm ỏp suất mới, χn là hàm đặc trưng cho khoảng [tn, tn+1) và à > 0 là tham số gión (hệ số nudging). Ta sẽ chỉ ra rằng, dưới cỏc điều kiện thớch hợp của à, h và κ, với mọi giỏ trị ban đầu u∗0, hệ đồng húa dữ liệu (5.30) cú duy nhất một nghiệm u ∗ xỏc định trờn toàn khoảng [t0,∞) và nghiệm xấp xỉ này hội tụ tới nghiệm khảo sỏt u của hệ Leray-α cải biờn ba chiều khi thời gian tiến tới ∞. Vỡ mục tiờu của chỳng ta là nghiờn cứu dỏng điệu tiệm cận của nghiệm nờn trong phần này ta giả thiết rằng nghiệm khảo sỏt u là một quỹ đạo nằm trong tập hỳt toàn cục A của hệ Leray-α cải biờn ba chiều. Trong phần này, chỳng ta sẽ nghiờn cứu cỏc vấn đề sau: • Sự tồn tại và tớnh duy nhất của nghiệm xấp xỉ của bài toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc. • Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ núi trờn tới nghiệm khảo sỏt. 5.2.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sỏt Định lớ 5.3. Giả sử u là một nghiệm yếu nằm trong tập hỳt toàn cục của hệ Leray-α cải biờn ba chiều (5.4) và chọn à > 0 đủ lớn sao cho à ≥ c(λ −1 1 + α 2)2M1 νλ 1/2 1 α 6 , (5.31) 106 κ > 0 đủ nhỏ sao cho κ ≤ c à min { 1, να2 (λ−11 + α2) √ ν2 + 5λ −1/2 1 α −2M0 , (νà)1/2α (λ−11 + α2) √ à2 + λ −1/2 1 α −4M1 , ν3α2λ1 à(λ−11 + α2)2(α−2ν2 + 5λ −1/2 1 α −4M0 + λ−11 à2 + λ −3/2 1 α −4M1) } , (5.32) và m > 0 đủ lớn sao cho λm+1 ≥ 4à ν . (5.33) Nếu u∗0 ∈ V và f ∈ H thỡ tồn tại duy nhất một nghiệm yếu u∗ của hệ phương trỡnh đồng húa dữ liệu (5.30) trờn khoảng [t0,∞) thỏa món u∗(t0) = u∗0 và u∗ ∈ C([t0,∞);V ) ∩ L2loc([t0,∞);D(A)), du∗ dt ∈ L2loc([t0,∞);H). (5.34) Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liờn tục vào điều kiện ban đầu u∗0 và thỏa món |u∗(t)− u(t)|2 + α2‖u∗(t)− u(t)‖2 → 0, với tốc độ mũ, khi t→∞. Ở đõy, cỏc hằng số M0 và M1 cho ở (5.8) và (5.9) và c là một hằng số dương khụng phụ thuộc vào cỏc tham số của hệ. Chứng minh. Ta chia chứng minh thành hai bước. Bước 1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Trước tiờn, xột h0 = (h01, h02, h03), với h01 = f1 − à(I + α2A)(Pm(u∗01)− Pm(u1(t0))), h02 = f2 − à(I + α2A)(Pm(u∗02)− Pm(u2(t0))), h03 = f3, trong đú u∗0 = (u ∗ 01, u ∗ 02, u ∗ 03), u = (u1, u2, u3). Vỡ u ∗ 0 ∈ V và h0 ∈ H, theo Định lớ 5.1, tồn tại duy nhất một nghiệm u∗0 của hệ Leray-α cải biờn trờn khoảng [t0,∞) tương ứng với hàm ngoại lực h0 và thỏa món u∗0(t0) = u∗0. 107 Tiếp theo, xột h1 = (h11, h12, h13) ∈ H, với h11 = f1 − à(I + α2A)(Pm(u∗01 (t1))− Pm(u1(t1))), h12 = f2 − à(I + α2A)(Pm(u∗02 (t1))− Pm(u2(t1))), h13 = f3, và lại ỏp dụng Định lớ 5.1 một lần nữa, ta cú một nghiệm duy nhất u∗1 của hệ Leray-α cải biờn trờn khoảng [t1,∞) tương ứng với hàm ngoại lực h1 và thỏa món u∗1(t1) = u∗0(t1) ∈ H. Tiếp tục thực hiện theo quy nạp, ta cú với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất một nghiệm u∗n của hệ Leray-α cải biờn trờn khoảng [tn,∞) tương ứng với hàm ngoại lực hn = (hn1, hn2, hn3) ∈ H, với hn1 = f1 − à(I + α2A)(Pm(u∗n−11 (tn))− Pm(u1(tn))), hn2 = f2 − à(I + α2A)(Pm(u∗n−12 (tn))− Pm(u2(tn))), hn3 = f3, và thỏa món u∗n(tn) = u∗n−1(tn) ∈ H. Giả sử u∗ là hàm xỏc định trờn khoảng [t0,∞) và cho bởi cụng thức u∗(t) = u∗n(t), ∀t ∈ [tn, tn+1),∀n ∈ N. Từ cỏch xỏc định như trờn, ta cú u∗ là một nghiệm của (5.30) thỏa món u∗(t0) = u∗0 và cỏc tớnh chất ở (5.34). Thật vậy, đẳng thức u ∗n(tn) = u∗n−1(tn), thỏa món với mọi n ∈ N, đảm bảo rằng u∗ là một hàm liờn tục trờn khoảng [t0,∞) trong V . Hơn nữa, vỡ với mọi n ∈ N ta cú u∗n ∈ L2loc([tn,∞);D(A)), du∗n dt ∈ L2loc([tn,∞);H), và dóy {tn}n∈N là tập hợp đếm được, ta suy ra u∗ ∈ L2loc([tn,∞);D(A)), du∗ dt ∈ L2loc([tn,∞);H). 108 Để chứng minh tớnh duy nhất, giả sử rằng u¯∗ là một nghiệm khỏc của (5.30) trờn khoảng [t0,∞) thỏa món u¯∗(t0) = u∗0. Suy ra u¯∗|[t0,t1) là một nghiệm của hệ Leray-α cải biờn trờn [t0, t1) tương ứng với ngoại lực h0 thỏa món u¯∗|[t0,t1)(t0) = u∗0 = u∗|[t0,t1)(t0), do đú u¯∗|[t0,t1) = u∗|[t0,t1). Nhưng vỡ u∗, u¯∗ ∈ C([t0,∞);V ) nờn chỳng phải đồng nhất trờn khoảng đúng [t0, t1]. Khi đú, ta cú thể ỏp dụng lại lập luận này trờn khoảng tiếp theo [t1, t2) và tiến hành quy nạp cho mọi khoảng con [tn, tn+1), n ≥ 2. Do đú, u∗ = u¯∗. Bước 2. Sự hội tụ của nghiệm. Bõy giờ, kớ hiệu u˜ = u∗− u, v˜ = v∗− v với v∗ = u∗−α2∆u∗, v = u−α2∆u, suy ra v˜ = u˜−α2∆u˜. Lấy (5.30) trừ (5.4) ta thu được ∂v˜1 ∂t − ν∆v˜1 + (v∗ ã ∇)u˜1 + v˜1∂xu1+v˜2∂yu1 + v˜3∂zu1 + ∂x(p∗ − p) = − à ∞∑ n=0 (I − α2∆)Pm(u˜1(tn))χn, (5.35a) ∂v˜2 ∂t − ν∆v˜2 + (v∗ ã ∇)u˜2 + v˜1∂xu2+v˜2∂yu2 + v˜3∂zu2 + ∂y(p∗ − p) = − à ∞∑ n=0 (I − α2∆)Pm(u˜2(tn))χn, (5.35b) ∂v˜3 ∂t − ν∆v˜3 + (v∗ ã ∇)u˜3 + v˜1∂xu3+v˜2∂yu3 + v˜3∂zu3 + ∂z(p∗ − p) = 0, (5.35c) ∂xu˜1 + ∂yu˜2 + ∂zu˜3 = ∂xv˜1 + ∂y v˜2 + ∂z v˜3 = 0. (5.35d) Nhõn (5.35a), (5.35b) và (5.35c) tương ứng với u˜1, u˜2 và u˜3 rồi lấy tớch phõn trờn Ω ta cú 1 2 d dt (|u˜1|2 + α2‖u˜1‖2)+ ν (‖u˜1‖2 + α2|Au˜1|2) ≤ |J1| − (∂x(p∗ − p), u˜1)− à ∞∑ n=0 ((I + α2A)Pm(u˜1(tn)), u˜1)χn, (5.36a) 109 1 2 d dt (|u˜2|2 + α2‖u˜2‖2)+ ν (‖u˜2‖2 + α2|Au˜2|2) ≤ |J2| − (∂y(p∗ − p), u˜2)− à ∞∑ n=0 ((I + α2A)Pm(u˜2(tn)), u˜2)χn, (5.36b) 1 2 d dt (|u˜3|2 + α2‖u˜3‖2)+ ν (‖u˜3‖2 + α2|Au˜3|2) ≤ |J3| − (∂z(p∗ − p), u˜3), (5.36c) trong đú J1 := J1a + J1b + J1c := (v˜1∂xu1, u˜1) + (v˜2∂yu1, u˜1) + (v˜3∂zu1, u˜1), J2 := J2a + J2b + J2c := (v˜1∂xu2, u˜2) + (v˜2∂yu2, u˜2) + (v˜3∂zu2, u˜2), J3 := J3a + J3b + J3c := (v˜1∂xu3, u˜3) + (v˜2∂yu3, u˜3) + (v˜3∂zu3, u˜3). Ta sẽ sử dụng tớnh bị chặn cho ở (5.19)-(5.27) để đỏnh giỏ |J1|, |J2|, |J3|. Bõy giờ, với i = 1, 2, ta cú − à ∞∑ n=0 ((I + α2A)Pm(u˜i(tn)), u˜i)χn = − à(|Pmu˜i|2 + α2‖Pmu˜i‖2)− à ∞∑ n=0 ((I + α2A)Pm(u˜i(tn)− u˜i), u˜i)χn. (5.37) Sử dụng giả thiết (5.33) ta suy ra − à(|Pmu˜i|2 + α2‖Pmu˜i‖2) ≤ − à(|u˜i|2 + α2‖u˜i‖2) + à(|Qmu˜i|2 + α2‖Qmu˜i‖2) ≤ − à(|u˜i|2 + α2‖u˜i‖2) + à λm+1 (‖Qmu˜i‖2 + α2|QmAu˜i|2) ≤ − à(|u˜i|2 + α2‖u˜i‖2) + ν 4 (‖u˜i‖2 + α2|Au˜i|2). (5.38) Hơn nữa, à|(I + α2A)Pm(u˜i(tn)− u˜i), u˜i| = à|((I + α2A)(u˜i(tn)− u˜i), Pmu˜i)| 110 = à ∣∣∣∣(∫ t tn d(u˜i + α 2Au˜i) ds (s)ds, Pmu˜i )∣∣∣∣ ≤ à ∥∥∥∥(∫ t tn d(u˜i + α 2Au˜i) ds (s)ds )∥∥∥∥ D(A)′ |Au˜i| ≤ à 2 να2 (∫ t tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ds )2 + ν 4 (‖u˜i‖2 + α2|Au˜i|2). (5.39) Ta thấy rằng (5.35a) và (5.35b) cú thể được viết lại dưới dạng (với i = 1, 2) dv˜i dt + νAv˜i +B(v˜, u˜i) +B(v˜, ui) +B(v, u˜i) = −à ∞∑ n=0 (I + α2A)Pm(u˜i(tn))χn. (5.40) Ở đõy, ta đó sử dụng cỏc đẳng thức v∗1∂xu ∗ i + v ∗ 2∂yu ∗ i + v ∗ 3∂zu ∗ i − v1∂xui − v2∂yui − v3∂zui = v˜1∂xu˜i + v˜2∂yu˜i + v˜3∂zu˜i + v˜1∂xui + v˜2∂yui + v˜3∂zui + v1∂xu˜i + v2∂yu˜i + v3∂zu˜i, = B(v˜, u˜i) +B(v˜, ui) +B(v, u˜i), i = 1, 2. Từ (5.40), ta thu được (với i = 1, 2)∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ≤ ν|u˜i + α2Au˜i|+ ‖B(v˜, u˜i)‖D(A)′ + ‖B(v˜, ui)‖D(A)′ + ‖B(v, u˜i)‖D(A)′ + à‖(I + α2A)Pm(u˜i(tn)− u˜i(s))‖D(A)′ + à‖(I + α2A)Pm(u˜i(s))‖D(A)′ . (5.41) Sử dụng (1.6) và bất đẳng thức Poincarộ (1.17), (1.18), ta cú (với i = 1, 2) ‖B(v˜, u˜i)‖D(A)′ ≤c4λ−1/41 |v˜|‖u˜i‖ ≤ c4λ−1/41 (λ−11 + α2)‖u˜i‖|Au˜|, (5.42) ‖B(v˜, ui)‖D(A)′ ≤c4λ−1/41 |v˜|‖ui‖ ≤ c4λ−1/41 (λ−11 + α2)‖ui‖|Au˜|, (5.43) ‖B(v, u˜i)‖D(A)′ ≤c4λ−1/41 |v|‖u˜i‖ ≤ c4λ−1/41 (λ−11 + α2)|Au|‖u˜i‖. (5.44) 111 Và (với i = 1, 2) à‖(I + α2A)Pm(u˜i(tn)− u˜i(s))‖D(A)′ + à‖(I + α2A)Pm(u˜i(s))‖D(A)′ ≤ à ∫ s tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)dτ (τ) ∥∥∥∥ D(A)′ dτ + à(λ−11 + α 2)|u˜i(s)|. (5.45) Kết hợp cỏc đỏnh giỏ từ (5.42) đến (5.45) vào trong (5.41), ta suy ra (với i = 1, 2)∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ≤ ν(λ−11 + α2)|Au˜i(s)|+ c4λ−1/41 (λ−11 + α2)(‖u˜i(s)‖+ ‖ui(s)‖)|Au˜(s)| + c4λ −1/4 1 (λ −1 1 + α 2)|Au(s)|‖u˜i(s)‖ + à ∫ s tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)dτ (τ) ∥∥∥∥ D(A)′ dτ + à(λ−11 + α 2)|u˜i(s)|. Lấy tớch phõn theo s từ tn tới t ∈ [tn, tn+1), ta cú (với i = 1, 2)∫ t tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ds ≤ ∫ t tn ( ν(λ−11 + α 2)|Au˜i(s)|+ à(λ−11 + α2)|u˜i(s)| + c4λ −1/4 1 (λ −1 1 + α 2)(‖u˜i(s)‖+ ‖ui(s)‖)|Au˜(s)| +c4λ −1/4 1 (λ −1 1 + α 2)|Au(s)|‖u˜i(s)‖ ) ds+ àκ ∫ t tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ds. Ở đõy ta đó sử dụng đỏnh giỏ sau (với i = 1, 2):∫ t tn ∫ s tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)dτ (τ) ∥∥∥∥ D(A)′ dτds ≤ ∫ t tn ∫ t tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)dτ (τ) ∥∥∥∥ D(A)′ dτds ≤ κ ∫ t tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ds. Từ điều kiện (5.32) của κ, với c ≤ 1/2, ta cú àκ ≤ 1/2. Suy ra (với i = 1, 2)∫ t tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ds 112 ≤ 2 ∫ t tn ( ν(λ−11 + α 2)|Au˜i(s)|+ à(λ−11 + α2)|u˜i(s)| + c4λ −1/4 1 (λ −1 1 + α 2)(‖u˜i(s)‖+ ‖ui(s)‖)|Au˜(s)| +c4λ −1/4 1 (λ −1 1 + α 2)|Au(s)|‖u˜i(s)‖ ) ds. Sử dụng bất đẳng thức Hoălder, ta cú (với i = 1, 2)(∫ t tn ∥∥∥∥d(u˜i + α2Au˜i)ds (s) ∥∥∥∥ D(A)′ ds )2 ≤cκ ∫ t tn ϕi(s)ds, (5.46) trong đú ϕi(s) = ν 2(λ−11 + α 2)2|Au˜i(s)|2 + à2(λ−11 + α2)2|u˜i(s)|2 + λ −1/2 1 (λ −1 1 + α 2)2(‖u˜i(s)‖2 + ‖ui(s)‖2)|Au˜(s)|2 + λ −1/2 1 (λ −1 1 + α 2)2|Au(s)|2‖u˜i(s)‖2. Kết hợp cỏc đỏnh giỏ từ (5.19) đến (5.27) và (5.29), (5.39), (5.46) vào (5.36) ta cú d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ ν 2 (‖u˜‖2 + α2|Au˜|2) ≤ − ( 2à− c(λ −1 1 + α 2)2 νλ 1/2 1 α 6 (‖u‖2 + α2|Au|2) ) (|u˜H |2 + α2‖u˜H‖2) + cà2κ να2 ∞∑ n=0 χn ∫ t tn ϕ1(s)ds+ cà2κ να2 ∞∑ n=0 χn ∫ t tn ϕ2(s)ds. (5.47) Với điều kiện (5.31) và (5.9), từ (5.47) suy ra d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ ν 2 (‖u˜‖2 + α2|Au˜|2) ≤ − à(|u˜H |2 + α2‖u˜H‖2) + cà2κ να2 ∞∑ n=0 χn ∫ t tn ϕ1(s)ds+ cà2κ να2 ∞∑ n=0 χn ∫ t tn ϕ2(s)ds. (5.48) Kớ hiệu R = 2M0. 113 Vỡ u˜ ∈ C([t0,∞);V ) và |u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2 ≤ |u(t0)|2 + α2‖u(t0)‖2 + |u∗(t0)|2 + α2‖u∗(t0)‖2 ≤ 2M0 ≤ R, tồn tại τ ∈ (t0,∞) sao cho |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 ≤ 2R, ∀t ∈ [t0, τ ]. Định nghĩa t˜ = sup { τ ∈ [t0,∞) : sup t∈[t0,τ ] (|u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2) ≤ 2R } . (5.49) Giả sử rằng t˜ < t1. Khi đú, lấy tớch phõn (5.48) từ t0 tới t ≤ t˜, ta cú |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 − (|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2) + ν 2 ∫ t t0 (‖u˜(s)‖2 + α2|Au˜(s)|2)ds ≤ − à ∫ t t0 (|u˜H(s)|2 + α2‖u˜H(s)‖2)ds + cà2κ2 να2 ∫ t t0 ϕ1(s)ds+ cà2κ2 να2 ∫ t t0 ϕ2(s)ds. (5.50) Vỡ |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 ≤ 2R với mọi t ∈ [t0, t˜], ta suy ra rằng (với i = 1, 2) ϕi(s) = α −2(λ−11 + α 2)2(ν2 + 5λ −1/2 1 α −2M0)(‖u˜i(s)‖2 + α2|Au˜i(s)|2) + (λ−11 + α 2)2(à2 + λ −1/2 1 α −4M1)(|u˜i(s)|2 + α2‖u˜i(s)‖2). (5.51) 114 Do đú, (5.50) trở thành |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 − (|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2) + ν 2 ( 1− cà 2κ2(λ−11 + α 2)2(ν2 + 5λ −1/2 1 α −2M0) ν2α4 ) ì∫ t t0 (‖u˜(s)‖2 + α2|Au˜(s)|2)ds ≤ − ( à− cà 2κ2(λ−11 + α 2)2(à2 + λ −1/2 1 α −4M1) να2 ) ì∫ t t0 (|u˜H(s)|2 + α2‖u˜H(s)‖2)ds. (5.52) Với điều kiện (5.32) trờn κ, ta suy ra từ (5.52) rằng |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2−(|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2) + ν 4 ∫ t t0 (‖u˜(s)‖2 + α2|Au˜(s)|2)ds ≤ 0, hay núi riờng, ta cú∫ t t0 (‖u˜(s)‖2 + α2|Au˜(s)|2)ds ≤ 4 ν (|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2), ∀t ∈ [ t0, t˜ ] . (5.53) Mặt khỏc, vỡ ∞∑ n=0 χn ∫ t tn ϕi(s)ds ≤ ∫ t t0 ϕi(s)ds, ∀t ∈ [ t0, t˜ ] , ta suy ra từ (5.48) rằng với mọi t ∈ [t0, t˜]: d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ νλ1 2 (|u˜|2 + α2‖u˜‖2) + à(|u˜H |2 + α2‖u˜H‖2) ≤ cà 2κ να2 ∫ t t0 (ϕ1(s) + ϕ2(s))ds. (5.54) Hơn nữa, sử dụng bất đẳng thức Poincarộ (1.17) và (1.18), từ (5.51) ta suy ra (với i = 1, 2) ϕi(s) ≤ (λ−11 + α2)2(α−2ν2 + 5λ−1/21 α−4M0 + λ−11 à2 + λ−3/21 α−4M1)ì 115 (‖u˜i(s)‖2 + α2|Au˜i(s)|2). Kết hợp (5.53) với (5.54) ta cú d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ νλ1 2 (|u˜|2 + α2‖u˜‖2) + à(|u˜H |2 + α2‖u˜H‖2) ≤ cà 2κ(λ−11 + α 2)2(α−2ν2 + 5λ−1/21 α −4M0 + λ−11 à 2 + λ −3/2 1 α −4M1) ν2α2 ì (|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2). Suy ra d dt (|u˜|2 + α2‖u˜‖2)+ νλ1 2 (|u˜|2 + α2‖u˜‖2) ≤ cà 2κ(λ−11 + α 2)2(α−2ν2 + 5λ−1/21 α −4M0 + λ−11 à 2 + λ −3/2 1 α −4M1) ν2α2 ì (|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2). Do đú, sử dụng bất đẳng thức Gronwall trong [t0, t], t < t˜, ta cú |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 ≤ (|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2)e− νλ1 2 (t−t0) + ( 1− e− νλ12 (t−t0) ) γ1(|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2), (5.55) trong đú γ1 = cà2κ(λ−11 + α 2)2(α−2ν2 + 5λ−1/21 α −4M0 + λ−11 à 2 + λ −3/2 1 α −4M1) ν3α2λ1 . Vỡ |u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2 ≤ R nờn (5.55) trở thành |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 ≤ Re− νλ12 (t−t0) + ( 1− e− νλ12 (t−t0) ) γ1R. Sử dụng điều kiện của κ cho ở (5.32) với hằng số c thớch hợp, ta cú γ1 ≤ 1/2. Suy ra |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 ≤ R, ∀t ∈ [t0, t˜]. Núi riờng, |u˜(t˜)|2 + α2‖u˜(t˜)‖2 ≤ R và từ định nghĩa của t˜ trong (5.49) ta suy ra t˜ ≥ t1. Do đú, ta cũng cú |u˜(t1)|2 + α2‖u˜(t1)‖2 ≤ R và cú thể ỏp dụng lại 116 lập luận như trờn để thu được t˜ ≥ t2 và |u˜(t2)|2 + α2‖u˜(t2)‖2 ≤ R. Tiếp tục quy nạp, ta cú t˜ ≥ tn, với mọi n ≥ 0. Hơn nữa, ta thu được giống như ở (5.55) rằng |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 ≤ (|u˜(tn)|2 + α2‖u˜(tn)‖2)e− νλ1 2 (t−tn) + ( 1− e− νλ12 (t−tn) ) γ1(|u˜(tn)|2 + α2‖u˜(tn)‖2), (5.56) với mọi t ∈ [tn, tn+1] và với mọi n ∈ N. Từ (5.56), ta cú |u˜(tn+1)|2 + α2‖u˜(tn+1)‖2 ≤ θ(|u˜(tn)|2 + α2‖u˜(tn)‖2), ∀n ≥ 0, trong đú θ = e−νλ1κ/2 + γ1 ( 1− e−νλ1κ/2 ) < 1. Suy ra |u˜(tn)|2 + α2‖u˜(tn)‖2 ≤ θn(|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2), ∀n ≥ 1. (5.57) Kết hợp (5.56) và (5.57) ta suy ra |u˜(t)|2 + α2‖u˜(t)‖2 ≤ θn(|u˜(t0)|2 + α2‖u˜(t0)‖2), ∀t ∈ [tn, tn+1], ∀n ≥ 1. Bất đẳng thức cuối suy ra điều phải chứng minh. KẾT LUẬN CHƯƠNG 5 Trong chương này, chỳng tụi nghiờn cứu bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục và rời rạc đối với hệ Leray-α cải biờn ba chiều chỉ sử dụng phộp đo trờn hai thành phần của vectơ vận tốc. Cỏc kết quả đạt được: 1) Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sỏt đối với bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục rỳt gọn (Định lớ 5.2); 2) Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sỏt đối với bài toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc rỳt gọn (Định lớ 5.3). 117 Cỏc kết quả trong chương này là những kết quả đầu tiờn về bài toỏn đồng húa dữ liệu đối với hệ Leray-α cải biờn, cả trong trường hợp phộp đo là liờn tục và rời rạc theo biến thời gian. Đặc biệt, đõy là lần đầu tiờn bài toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc mà chỉ sử dụng phộp đo trờn hai thành phần của vectơ vận tốc được nghiờn cứu. Chỳng tụi hy vọng rằng cỏch tiếp cận đề xuất trong chương này cú thể ỏp dụng cho cỏc mụ hỡnh khỏc trong cơ học chất lỏng. 118 KẾT LUẬN 1. Kết quả đạt được Trong luận ỏn này, chỳng tụi nghiờn cứu bài toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc và bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục đối với một số α-mụ hỡnh trong cơ học chất lỏng. Cỏc kết quả chớnh đó đạt được trong luận ỏn: • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và đỏnh giỏ tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sỏt, đối với bài toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc cho hệ Leray-α ba chiều và hệ Navier-Stokes-α ba chiều trong trường hợp phộp đo cú thể cú sai số. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sỏt, đối với bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục với phộp đo rỳt gọn cho hệ Bardina ba chiều trong cả hai trường hợp toỏn tử phộp đo loại I và loại II. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sỏt, đối với bài toỏn đồng húa dữ liệu liờn tục/rời rạc với phộp đo rỳt gọn cho hệ Leray-α cải biờn ba chiều. 2. Kiến nghị một số vấn đề nghiờn cứu tiếp theo • Nghiờn cứu bài toỏn đồng húa dữ liệu rời rạc/liờn tục cho trường hợp toỏn tử phộp đo Ih loại II và cú thể chứa sai số trong phộp đo. • Nghiờn cứu việc xấp xỉ số của cỏc thuật toỏn đồng húa dữ liệu cho cỏc α-mụ hỡnh (xem kết quả cho hệ Navier-Stokes hai chiều trong [45]). 119 DANH MỤC CễNG TRèNH KHOA HỌC Cụng trỡnh đó cụng bố [CT1] C.T. Anh and B.H. Bach (2018), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Leray-α model, Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 66, 143-156. [CT2] C.T. Anh, B.H. Bach and V.M. Toi (2019), Discrete data assimilation algorithm for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Ann. Polon. Math. 122, 201-219. Cụng trỡnh đang gửi đăng [CT3] C.T. Anh and B.H. Bach (2019), Continuous data assimilation for the three-dimensional simplified Bardina model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted. [CT4] C.T. Anh and B.H. Bach (2019), Data assimilation for the three-dimensional modified Leray-α model utilizing measurements of only two components of the velocity field, submitted. 120 Tài liệu tham khảo [1] D.A.F. Albanez and M.J. Benvenutti (2018), Continuous data assimilation algorithm for simplified Bardina model, Evol. Equ. Control Theory 7, 33- 52. [2] D.A.F. Albanez, H.J. Nussenzveig-Lopes and E.S. Titi (2016), Continu- ous data assimilation for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Asymptot. Anal. 97, 139-164. [3] H. Ali and P. Kaplický (2016), Existence and regularity of solutions to the Leray-α model with Navier slip boundary conditions, Electron. J. Differential Equations, Paper No. 235, 13 pp. [4] C.T. Anh and P.T. Trang (2018), Decay characterization of solutions to the viscous Camassa-Holm equations, Nonlinearity 31, 621-650. [5] A. Azouani, E. Olson and E.S. Titi (2014), Continuous data assimilation using general interpolant observables, J. Nonlinear Sci. 24, 277-304. [6] J. Bardina, J.H. Ferziger and W.C. Reynolds (1980), Improved subgrid scale models for large eddy simulation, American Institute of Aeronautics and Astronautics Paper 80, 80-1357. [7] A. Biswas, J. Hudson, A. Larios and Y. Pei (2018), Continuous data assim- ilation for the 2D magnetohydrodynamic equations using one component of the velocity and magnetic fields, Asymptot. Anal. 108, 1-43. 121 [8] A. Biswas and V.R. Martinez (2017), Higher-order synchronization for a data assimilation algorithm for the 2D Navier-Stokes equations, Nonlinear Anal. Real World Appl. 35, 132-157. [9] C. Bjorland and M.E. Schonbek (2008), On questions of decay and ex- istence for the viscous Camassa-Holm equations, Ann. Inst. H. Poincarộ Anal. Non Linộaire 25, 907-936. [10] Y. Cao, E.M. Lusanin and E.S. Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence mod- els, Commun. Math. Sci. 4, 823-848. [11] Y. Cao and E.S. Titi (2009), On the rate of convergence of the two- dimensional α-models of turbulence to the Navier-Stokes equations, Nu- mer. Funct. Anal. Optim. 30, 1231-1271. [12] J. Charney, M. Halem, and R. Jastrow (1969), Use of incomplete historical data to infer the present state of the atmosphere, J. Atmos. Sci. 26, 1160- 1163. [13] S. Chen, C. Foias, D.D. Holm, E. Olson, E.S. Titi and S. Wynne (1999), A connection between the Camassa-Holm equations and turbulent flows in channels and pipes, Phys. Fluids 11, 2343-2353. [14] V.V. Chepyzhov, E.S. Titi and M.I. Vishik (2007), On the convergence of solutions of the Leray-α model to the trajectory attractor of the 3D Navier-Stokes system, Discrete Contin. Dyn. Syst. 17, 481-500. [15] A. Cheskidov, D.D. Holm, E. Olson and E.S. Titi (2005), On a Leray-α model of turbulence, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A. Math. Phys. Eng. Sci. 461, 629-649. [16] P. Constantin and C. Foias (1988), Navier-Stokes Equations, Chicago Lec- tures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago. 122 [17] D. Coutand, J. Peirce and S. Shkoller (2002), Global well-posedness of weak solutions for the Lagrangian averaged Navier-Stokes equations on bounded domains, Commun. Pure Appl. Anal. 1, 35-50. [18] R. Daley (1991), Atmospheric Data Analysis, Cambridge Atmospheric and Space Science Series, Cambridge University Press. [19] G. Deugouộ (2017), On the convergence of the uniform attractor for the 2D Leray-α model, Abstr. Appl. Anal., Art. ID 1681857, 11 pp. [20] C.R. Doering and J.D. Gibbon (1995), Applied Analysis of the Navier- Stokes Equations, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press. [21] A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2015), Continuous data assimilation for a 2D Bộnard convection system through horizontal velocity measure- ments alone, Phys. D 303, 59-66. [22] A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2016), Data assimilation algorithm for 3D Bộnard convection in porous media employing only temperature measurements, J. Math. Anal. Appl. 438, 492-506. [23] A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2016), Abridged continuous data assimilation for the 2D Navier-Stokes equations utilizing measurements of only one component of the velocity field, J. Math. Fluid Mech. 18, 1-23. [24] A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2019), A data assimilation algorithm: The paradigm of the 3D Leray-α model of turbulence, Partial differential equations arising from physics and geometry, 253-273, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 450, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2019. 123 [25] C. Foias, D.D. Holm and E.S. Titi (2001), The Navier-Stokes-alpha model of fluid turbulence. Advances in nonlinear mathematics and science, Phys. D 152/153, 505-519. [26] C. Foias, D.D. Holm and E.S. Titi (2002), The three-dimensional viscous Camassa-Holm equations, and their relation to the Navier-Stokes equa- tions and turbulence theory, J. Dynam. Differential Equations 14, 1-35. [27] C. Foias, C.F. Mondaini and E.S. Titi (2016), A discrete data assimilation scheme for the solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations and their statistics, SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 15, 2109-2142. [28] M. Gesho, E. Olson and E.S. Titi (2016), A computational study of a data assimilation algorithm for the two-dimensional Navier-Stokes equations, Commun. Comput. Phys. 19, 1094-1110. [29] J.D. Gibbon and D.D. Holm (2008), Estimates for the LANS-α, Leray-α and Bardina models in terms of a Navier-Stokes Reynolds number, Indiana Univ. Math. J. 57, 2761-2773. [30] M.A. Hamed, Y. Guo and E.S. Titi (2015), Inertial manifolds for certain subgrid-scale α-models of turbulence, SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 14, 1308- 1325. [31] K. Hayden, E. Olson and E.S. Titi (2011), Discrete data assimilation in the Lorenz and 2D Navier-Stokes equations, Phys. D 240, 1416-1425. [32] J. Hoke and R. Anthes (1976), The initialization of numerical models by a dynamic relaxation technique, Mon. Weather Rev. 104, 1551-1556. [33] M. Holst, E. Lunasin and G. Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J. Nonlinear Sci. 20, 523-567. 124 [34] A.A. Ilyin, E.M. Lunasin and E.S. Titi (2006), A modified-Leray-α subgrid scale model of turbulence, Nonlinearity 19, 879-897. [35] A.A. Ilyin and E.S. Titi (2003), Attractors for the two-dimensional Navier- Stokes-αmodel: an α-dependence study, J. Dynam. Differential Equations 15, 751-778. [36] M.S. Jolly, V.R. Martinez and E.S. Titi (2017), A data assimilation algo- rithm for the subcritical surface quasi-geostrophic equation, Adv. Nonlin- ear Stud. 17, 167-192. [37] D.A. Jones and E.S. Titi (1992), Determining finite volume elements for the 2D Navier-Stokes equations, Phys. D 60, 165-174. [38] D.A. Jones and E.S. Titi (1993), Upper bounds on the number of deter- mining modes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equa- tions, Indiana Univ. Math. J. 42, 875-887. [39] B.-S. Kim and B. Nicolaenko (2006), Existence and continuity of expo- nential attractors of the three dimensional Navier-Stokes-α equations for uniformly rotating geophysical fluids, Commun. Math. Sci. 4, 399-452. [40] P. Korn (2009), Data assimilation for the Navier-Stokes-α equations, Phys. D 238, 1957-1974. [41] A. Kostianko (2018), Inertial manifolds for the 3D modified-Leray-α model with periodic boundary conditions, J. Dynam. Differential Equa- tions 30, 1-24. [42] W. Layton and R. Lewandowski (2006), On a well-posed turbulence model, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 6, 111-128. [43] P.A. Markowich, E.S. Titi and S. Trabelsi (2016), Continuous data assim- ilation for the three-dimensional Brinkman-Forchheimer-extended Darcy model, Nonlinearity 29, 1292-1328. 125 [44] J.E. Marsden and S. Shkoller (2001), Global well-posedness for the La- grangian averaged Navier-Stokes (LANS-α) equations on bounded do- mains, R. Soc. Lond. Philos. Trans. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 359, 1449-1468. [45] C.F Mondaini and E.S. Titi (2018), Uniform-in-time error estimates for the postprocessing Galerkin method applied to a data assimilation algo- rithm, SIAM J. Numer. Anal. 56 (2018), 78-110. [46] E. Olson and E.S. Titi (2003), Determining modes for continuous data assimilation in 2D turbulence, J. Statist. Phys. 113, 799-840. [47] E. Olson and E.S. Titi (2007), Viscosity versus vorticity stretching: global wellposedness for a family of Navier-Stokes-alpha-like models, Nonlinear Anal. 66, 2427-2458. [48] J.P. Puel (2009), A nonstandard approach to a data assimilation problem and Tychonov regularization revisited, SIAM J. Control Optim. 48, 1089- 1111. [49] H. Qiu, Y. Du and Z. Yao (2017), Global Cauchy problem for a Leray-α model, Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 33, 207-220. [50] J.C. Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cam- bridge University Press, Cambridge. [51] R. Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd ed., CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Vol. 66, SIAM, Philadelphia. [52] M.I. Vishik, E.S. Titi and V.V. Chepyzhov (2007), On the convergence of trajectory attractors of the three-dimensional Navier-Stokes α-model as α→ 0, (Russian) Mat. Sb. 198, 3-36; translation in Sb. Math. 198 (2007), no. 11-12, 1703-1736. 126 [53] K. Yamazaki (2012), On the global regularity of generalized Leray-alpha type models, Nonlinear Anal. 75, 503-515. [54] Y. Yu, K. Li and A. Huang (2007), Gevrey class regularity and exponential decay property for Navier-Stokes-α equations, Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 23, 49-58. [55] Y. Zhou and J. Fan (2011), Global well-posedness of a Bardina model, Appl. Math. Lett. 24, 605-607.