Luận án Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không Ôtônôm

o bởi β (a) = lim j→∞ 1 j ( inf k=1,2,... ln ( k+j−1∏ i=k |a(i)| )) 45 và β (a) = lim j→∞ 1 j ( sup k=1,2,... ln ( k+j−1∏ i=k |a(i)| )) . Giả sử rằng có phản hồi tuyến tính (f(k))k∈N sao cho [c, d] là phổ nhị phân mũ của hệ x(k + 1) = (1 + a(k)f(k))x(k). Dễ thấy n2m+1 − n2m →∞ khi m→∞, do đó d = lim m→∞ sup k=1,2,... ln ( k+n2m+1−n2m−1∏ i=k |1 + b(i)f(i)| ) n2m+1 − n2m ≥ lim m→∞ ln ( n2m+1−1∏ i=n2m |1 + b(i)f(i)| ) n2m+1 − n2m = 0, và c = lim m→∞ inf k=1,2,... ln ( k+n2m+1−n2m−1∏ i=k |1 + b(i)f(i)| ) n2m+1 − n2m ≤ lim m→∞ ln ( n2m+1−1∏ i=n2m |1 + b(i)f(i)| ) n2m+1 − n2m = 0. Điều đó có nghĩa là 0 ∈ [c, d]. Ngược lại, cố định mức phổ [c, d] sao cho 0 ∈ [c, d], ta xây dựng một phản hồi (f(k))k∈N như sau f(k) =  ed − 1 với k ∈ [n4m−1, n4m − 1], ec − 1 với k /∈ [n4m−1, n4m − 1], với m ∈ N. Theo công thức của f và ed − 1 ≥ 0, ta có |1 + b(i)f(i)| ≤ ed. 46 Do đó β (1 + bf) ≤ d. (2.32) Mặt khác do n4m−n4m−1 = (2m− 1)n4m−1 →∞ khi m→∞, nên ta có β (1 + bf) = lim j→∞ 1 j sup k=1,2,... ln ( k+j−1∏ i=k |1 + b(i)f(i)| ) ≥ lim m→∞ sup k=1,2,... ln ( k+n4m−n4m−1−1∏ i=k |1 + b(i)f(i)| ) n4m − n4m−1 ≥ lim m→∞ ln ( n4m−1∏ i=n4m−1 |1 + b(i)f(i)| ) n4m − n4m−1 = d, cùng với (2.32) chỉ ra rằng β (1 + bf) = d. Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra được rằng β (1 + bf) = c. Kết luận chương 2: Chương 2 trình bày về bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian. Các kết quả đạt được như sau: (i) Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ vi phân điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ. (ii) Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán được phổ nhị phân mũ. 47 Chương 3 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm Định lý Hartman-Grobman là một trong những kết quả quan trọng trong lý thuyết định tính địa phương của phương trình vi phân ôtônôm. Định lý chỉ ra rằng tại lân cận điểm cân bằng hyperbolic hệ phi tuyến sẽ có cấu trúc định tính giống với hệ tuyến tính hóa của nó. Cụ thể là, xét phương trình vi phân ô tô nôm x˙ = f(x), f(0) = 0, trong đó f ∈ C1(E) với E là tập mở chứa gốc. Khi đó tồn tại một đồng phôi H trong lân cận điểm cân bằng sao cho với mọi x0 thuộc lân cận đó ta luôn có H ◦ φ(t, x0) = eAtH(x0). Định lý này được chứng minh độc lập bởi P. Hartman và nhà toán học người Nga D. M. Grobman. Một trong những kết quả đầu tiên về tính trơn của f , H và H−1 đã được đưa ra bởi S.Sternberg, xem [40]. Trong trường hợp f ∈ C2 cùng với điều kiện không cộng hưởng xảy ra thì Hart- man trong năm 1960 đã chứng minh được rằng H là C1 vi phôi, xem 48 [18]. Năm 1978, Palmer đã mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman- Grobman cho phương trình vi phân không ôtônôm với điều kiện đủ là 0 không thuộc phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính. Tuy nhiên tính trơn của H ở đây chưa được đánh giá. Với mục tiêu tìm hiểu về tính trơn của H chúng tôi xây dựng và chứng minh Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm. Để chứng minh định lý này chúng tôi làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần không cộng hưởng của hệ phi tuyến. Sau đó chúng tôi dùng phương pháp đường mở rộng để chứng minh kết quả. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm. Kết quả này được công bố trong công trình [CT1]. Để thuận tiện cho người đọc theo dõi, cấu trúc của chương như sau: • Đặt bài toán và phát biểu nội dung Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm (Mục 3.1). • Kết quả chuẩn bị về làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần không cộng hưởng (Mục 3.2). • Xây dựng hệ sai phân liên kết cho phương trình vi phân không ôtônôm (Mục 3.3). • Thiết lập tiêu chuẩn tương đương của phương trình sai phân bằng phương pháp đường (Mục 3.4). • Chứng minh kết quả chính (Mục 3.5). 49 3.1 Đặt bài toán và phát biểu Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm Xét phương trình vi phân không ôtônôm: x˙ = A(t)x+ f(t, x), t ∈ R, (3.1) trong đó A : R→ Rd×d là ánh xạ đo được và thỏa mãn ess sup t∈R ||A(t)|| <∞, và f : R × Rd → Rd là hàm Ck Carathéodory, tức là với mỗi t ∈ R cố định thì f(t, ·) là liên tục, với mọi x ∈ Rd thì f(·, x) là đo được và với mỗi t ∈ R và với mọi x ∈ Rd thì đạo hàm riêng Dkxf(t, x) tồn tại và Djxf là hàm Carathéodory với mọi j ∈ {1, . . . , k}. Ta kí hiệu ΦA(., .) : R × R → Rd×d là toán tử tiến hóa của hệ tuyến tính x˙ = A(t)x, (3.2) tức là ΦA(., s)ξ là nghiệm của bài toán (3.2) với điều kiện ban đầu x(s) = ξ. Chúng tôi giả sử các điều kiện sau đây trong suốt chương này. (A1) Hệ (3.1) có khai triển Taylor tại lân cận điểm cân bằng tầm thường thỏa mãn f(t, 0) = 0 và Dxf(t, 0) = 0 với mỗi t ∈ R. (A2) Hệ tuyến tính (3.2) có tăng trưởng bị chặn mũ (xem [13]), tức là đối với toán tử tiến hóa Φ: R× R→ Rd×d của hệ (3.2) tồn tại K, a > 0 sao cho ∥Φ(t, s)∥ ≤ Kea|t−s| với mọi t, s ∈ R. 50 (A3) Hệ phi tuyến: Tồn tại M > 0 sao cho ∥Djxf(t, x)∥ ≤M với j = 0, . . . , k, với mỗi t ∈ R và với mọi x ∈ Rd. Với mỗi k ∈ N và ma trận hàm khả tích địa phương A : R→ Rd×d thỏa mãn (A2) ta định nghĩa tập các phương trình vi phân chấp nhận được Ok(A) := {x˙ = A(t)x+ f(t, x) : f là một hàm Ck Carathéodory thỏa mãn (A1) và (A3)}. Sau đây chúng tôi nhắc lại về khái niệm Ck tương đương của hai hệ phương trình vi phân không ôtônôm (xem [38]). Định nghĩa 3.1 (Ck tương đương). Hai hệ thuộc Ok(A) x˙ = A(t)x+ f(t, x), (3.3) và y˙ = A(t)y + g(t, y), (3.4) được gọi là Ck tương đương, nếu tồn tại p, p˜ > 0 và r ∈ (0, p), r˜ ∈ (0, p˜) cùng với các hàm liên tục H : R×Br(0)→ Rd và H−1 : R×Br˜(0)→ Rd, gọi là Ck tương đương địa phương giữa (3.3) và (3.4), thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Với mỗi t ∈ R ánh xạ H(t, ·) : Br(0)→ H(t, Br(0)) ⊂ Bp˜(0), H−1(t, ·) : Br˜(0)→ H−1(t, Br˜(0)) ⊂ Bp(0), là Ck vi phôi với H(t,H−1(t, y)) = y với mọi y ∈ Br˜(0) với H−1(t, y) ∈ Br(0), 51 H−1(t,H(t, x)) = x với mọi x ∈ Br(0) với H(t, x) ∈ Br˜(0). (ii) Nếu ν là nghiệm của (3.3) thuộc Br(0) thì H(·, ν(·)) là nghiệm của (3.4). Nếu ν˜ là nghiệm (3.4) thuộc Br˜(0) thì H −1(·, ν˜(·)) là nghiệm của (3.3). (iii) Nghiệm tầm thường được ánh xạ đến nhau đều: lim x→0 H(t, x) = lim x→0 H−1(t, x) = 0 đều theo t ∈ R. Một trong những kết quả đã biết về tuyến tính hóa hệ (3.1) đó là nếu (3.2) là hyperbolic, tức là 0 ̸∈ ΣED(A) (trong đó ΣED(A) là kí hiệu phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính (3.2)), thì mọi hệ thuộc O1(A) là tương đương tô pô (C0 tương đương) với (3.3) (xem [26]). Trong quá trình nghiên cứu về tính trơn của hàm H chúng tôi thu được kết quả như sau: Định lý 3.2 (Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm). Cho ℓ ∈ N và kí hiệu ΣED(A) = λ1∪λ2∪ · · · ∪λn là phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính (3.2) (với λi = [ai, bi] là các đoạn phổ nhị phân mũ tương ứng). Giả sử hệ (3.2) là hyperbolic tức là 0 ̸∈ ΣED(A). Khi đó sẽ tồn tại một số k ∈ N nhỏ nhất, k ≥ ℓ, thỏa mãn điều kiện tách phổ (k − ℓ)Σu > Σu − ℓΣs và (k − ℓ)Σs < Σs − ℓΣu, (3.5) trong đó Σs := ΣED(A) ∩ R0. Nếu không xảy ra điều kiện cộng hưởng đến bậc k, tức là λj∩ n∑ i=1 kiλi = ∅ với mọi (k1, . . . , kn) ∈ Nn0 với 2 ≤ n∑ i=1 ki ≤ k, (3.6) thì mọi hệ thuộc Ok+2(A) là Cℓ tương đương với hệ tuyến tính (3.2). 52 3.2 Làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần không cộng hưởng Kết quả chuẩn bị trong mục này là làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần không cộng hưởng để chứng minh một hệ bất kì thuộc Ok+2(A) là Ck tương đương với một hệ thuộc Okflat(A), (xem (3.10) về định nghĩa của lớp phương trình này). Khái niệm làm phẳng ở đây có nghĩa là nếu các đa tạp ổn định và không ổn định của hệ phi tuyến trùng với đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của hệ tuyến tính hóa tương ứng. Giả sử A : R → Rd×d là đo được và bị chặn với 0 ̸∈ ΣED(A). Khi đó tồn tại phép đổi biến S : R → Rd×d sao cho y(t) = S(t)x(t) đưa hệ (3.2) về dạng chéo khối y˙ = diag(A1(t), A2(t), ..., An(t))y, (3.7) trong đó Ai : R → Rdi×di là các hàm ma trận đo được và bị chặn d1 + d2 + ...+ dn = d và ΣED(Ai) = λi, (xem [37]). Do H : R× Rd → Rd, (t, x) 7→ H(t, x) := S(t)x, thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 3.1 với H−1(t, ·) = S(t)−1, ta có thể giả sử rằng A(t) có dạng đường chéo sau A(t) = diag(A1(t), . . . , An(t)), với ΣED(Ai) = λi với i = 1, . . . , n, ΣED(A) = ∪ni=1λi và λ1 > λ2 > · · · > 53 λn. Tồn tại m ∈ {0, . . . , n} sao cho λ1 > · · · > λm > 0 > λm+1 > · · · > λn, ta định nghĩa Au(t) := diag(A1(t), . . . , Am(t)) ∈ Rdu×du, As(t) := diag(Am+1(t), . . . , An(t)) ∈ Rds×ds, (3.8) trong đó du + ds = d, và nếu m = 0 thì du = 0, A s = A, nếu m = d thì ds = 0, A u = A. Kí hiệu πu và πs tương ứng là phép chiếu của Rd = Rdu × Rds lên Rdu và Rds. Trong hệ tọa độ (xu, xs), với xu := πux, xs := πsx, hệ (3.7) viết lại như sau x˙u = Au(t)xu + πuf(t, x u, xs), x˙s = As(t)xs + πsf(t, x u, xs). (3.9) Kí hiệu φ(·, t0, xu0 , xs0) là nghiệm của bài toán (3.9) với điều kiện ban đầu x(t0) = (x u 0 , x s 0). Theo lý thuyết về đa tạp bất biến (hay còn được gọi là đa tạp tích phân) thì các đa tạp U = {(t, xu, xs) : lim s→−∞φ(s, t, x u, xs) = 0 } S = {(t, xu, xs) : lim s→∞φ(s, t, x u, xs) = 0 } của nghiệm tầm thường của hệ (3.9), được gọi là các đa tạp không ổn định và đa tạp ổn định. Ta nói rằng U và S là làm phẳng, nếu chúng trùng với đa tạp không ổn định R× Rdu × {0} ⊆ R1+d và đa tạp ổn định R× {0} × Rds ⊆ R1+d của hệ tuyến tính hóa x˙u = Au(t)xu, x˙s = As(t)xs. 54 Sử dụng tính bất biến của U và S, khi đó U và S được làm phẳng là tương đương với điều sau U = R× Rdu × {0} ⇔ πsf(t, xu, 0) = 0 với mọi (t, xu) ∈ R× Rdu, S = R× {0} × Rdu ⇔ πuf(t, 0, xs) = 0 với mọi (t, xs) ∈ R× Rds. Hơn nữa, dựa vào kết quả [37] ta sẽ loại bỏ các thành phần bậc cao và không cộng hưởng trong khai triển Taylor Dixf(t, 0), i = 2, . . . , k bằng các phép biến đổi Ck tương đương. Do đó hệ mới sẽ thỏa mãn thêm hai điều kiện sau: (A4) Đa tạp ổn định và không ổn định là phẳng: πuf(t, 0, x s) = 0, πsf(t, x u, 0) = 0 với hầu hết t ∈ R và mọi (xu, xs) ∈ Rdu × Rds. (A5) Các phần tử trong khai triển Taylor đến bậc k được loại bỏ:Dixf(t, 0) = 0 với i = 2, . . . , k và hầu hết t ∈ R (do Dxf(t, 0) = 0 bởi (A1)). Ta định nghĩa tập Okflat(A) ⊆ Ok(A) như sau: Okflat(A) := Ok(A) ∩ {x˙ = A(t)x+ f(t, x) : f thỏa mãn (A4) và (A5)}. (3.10) Trong mệnh đề sau chúng tôi chỉ ra rằng dưới điều kiện không cộng hưởng của Định lý 3.2, một hệ bất kì hệ thuộc Ok+2(A) sẽ là Ck tương đương với một hệ thuộc Okflat(A). Mệnh đề 3.3 (Làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần không cộng hưởng). Kí hiệu ΣED(A) = λ1 ∪ λ2 ∪ · · · ∪ λn là phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính (3.2). Giả sử 0 ̸∈ ΣED(A) và k ∈ N. Nếu điều kiện không cộng hưởng sau xảy ra λj ∩ n∑ i=1 kiλi = ∅ với mọi (k1, . . . , kn) ∈ Nn0 trong đó 2 ≤ n∑ i=1 ki ≤ k. (3.11) 55 Khi đó bất kì một hệ thuộc Ok+2(A) là Ck tương đương với một hệ thuộc Okflat(A). Chứng minh. Xét một hệ tùy ý x˙ = A(t)x+ f(t, x), (3.12) thuộcOk+2(A) với nghiệm φ(·, t0, xu0 , xs0) thỏa mãn φ(t0, t0, xu0 , xs0) = (xu0 , xs0). Từ định nghĩa (3.8) of Au và As, ta có ΣED(A u) > 0 > ΣED(A s). Gọi Φu và Φs tương ứng là toán tử tiến hóa của hệ x˙u = Au(t)xu và x˙s = As(t)xs. Theo Định nghĩa 1.2 về phổ nhị phân mũ thì tồn tại các hằng số K,α > 0 sao cho ∥Φu(t, s)∥ ≤ Keα(t−s) với t ≤ s, ∥Φs(t, s)∥ ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s. Bước 1: (Làm phẳng các đa tạp ổn định và không ổn định) Áp dụng [4, Theorem 4.1], tồn tại hằng số L > 0 sao cho, nếu supt∈R,x∈Rd ∥Dxf(t, x)∥ ≤ L, hệ (3.12) sẽ có đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của nghiệm tầm thường. Sử dụng giả thiết (A3) và định lý giá trị trung bình ta có sup t∈R,x∈Rd ∥Dxf(t, x)∥ ≤ sup s∈R,y∈Rd ∥D2xf(s, y)∥∥x∥ ≤M∥x∥, và thay thế f bởi hàm cắt f˜ (xem trong [11, Example 6]) trong đó f và f˜ trùng nhau trên lân cận R×Br(0) ⊂ R×Rd với r > 0 đủ nhỏ và f˜ vẫn thỏa mãn (A3), ta có supt∈R,x∈Rd ∥Dxf˜(t, x)∥ ≤ L. Hệ sau khi được thay thế sẽ là Ck tương đương với hệ ban đầu, để tiện lợi trong kí hiệu, chúng tôi bỏ dấu ngã và viết lại f thay vì f˜ . Theo [4, Theorem 4.1], tồn tại một ánh xạ liên tục u : R×Rdu → Rds sao cho đồ thị của hàm u U := {(t, xu, u(t, xu)) : (t, xu) ∈ R× Rdu}, 56 có đặc trưng sau: U = {(t, xu, xs) : lim s→−∞φ(s, t, x u, xs) = 0 } . Tức là, U là đa tạp không ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (3.12), u(·, 0) = 0 và ta có tính bất biến sau πs ◦ φ(t, s, xu, u(s, xu)) = u ( t, πu ◦ φ(t, s, xu, u(s, xu)) ) , (3.13) với mỗi t, s ∈ R, (xu, xs) ∈ Rd. Theo [35, Theorem 5.20] thì u là một hàm Ck+2 Carathéodory với các đạo hàm riêng bị chặn toàn cục và ∂u∂xu (t, 0) = 0 với t ∈ R. Ta định nghĩa H : R× Rd → Rd bởi H(t, xu, xs) := (xu, xs − u(t, xu)). Khi đó H(·, 0) = 0, H(t, ·) là Ck+2 vi phôi và khả nghịch với H−1(t, x) = (xu, xs + u(t, xu)) và limx→0H(t, x) = limx→0H−1(t, x) = 0 đều theo t ∈ R do đó supt∈R,xu∈Rdu ∥ ∂u∂xu (t, xu)∥ <∞. Lấy đạo hàm của cả hai vế của phương trình bất biến ta có (3.13) ∂u ∂t (t, xu) = As(t)u(t, xu) + πsf(t, x u, u(t, xu)) − ∂u ∂xu (t, xu) ( Au(t)xu + πuf(t, x u, u(t, xu)) ) . Khi đó, ta thu được H là phép đổi biến đưa (3.12) về x˙ = A(t)x+ g(t, x), (3.14) với πug(t, x u, xs) = πuf(t, x u, xs + u(t, xu)), πsg(t, x u, xs) = πsf(t, x u, xs + u(t, xu))− πsf(t, xu, u(t, xu)) − ∂u ∂xu (t, xu) ( πsf(t, x u, xs + u(t, xu))− πsf(t, xu, u(t, xu)) ) . 57 Hệ (3.14) là thuộc Ok+1(A), thỏa mãn điều kiện πsg(t, xu, 0) = 0, tức là đa tạp không ổn định của nó là phẳng và (3.12) là Ck+1 tương đương với (3.14). Tương tự như vậy ta có thể làm phẳng đa tạp ổn định S := {(t, s(t, xs), xs) : (t, xs) ∈ R × Rds} của (3.14) với một Ck tương đương (t, xu, xs) 7→ (xu − s(t, xs), xs). Bằng cách xây dựng đồng thời hai phép đổi biến trên, thì (3.12) sẽ là Ck tương đương với hệ thuộc Ok(A) thỏa mãn điều kiện (A4), tức là các đa tạp ổn định và không ổn định là phẳng. Bước 2 (Loại bỏ các thành phần không cộng hưởng): Nếu k = 1 không có các thành phần bị loại bỏ. Nếu k ≥ 2, theo Định lý về dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm [37], mọi phần tử không cộng hưởng trong khai triển Taylor có bậc đến k có thể loại bỏ để được một hệ Ck tương đương. Sử dụng giả thiết (3.11), mọi phần tử trong khai triển Taylor có bậc đến k là không cộng hưởng và do đó hệ được xây dựng thông qua Bước 1 là Ck tương đương với một hệ thuộc Okflat(A). 3.3 Hệ sai phân liên kết Trong mục này, chúng tôi trước hết giới thiệu khái niệm hệ sai phân liên kết với thang thời gian cho trước với một hệ thuộc Ok(A). Sau đó, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để hai hệ trong lớp Ok(A) là Ck tương đương thông qua hệ sai phân liên kết. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số tính chất của hệ sai phân liên kết với một hệ thuộc Okflat(A). 3.3.1 Khái niệm hệ sai phân liên kết và một số tính chất Ta có khái niệm sau về hệ sai phân liên kết với một phương trình vi phân không ôtônôm. Cụ thể, với k ∈ N và một ma trận hàm khả tích địa 58 phương A : R→ Rd×d thỏa mãn (A2), xét phương trình vi phân x˙ = A(t)x+ f(t, x), (3.15) thuộc Ok(A) với φ(·, t0, x0) là nghiệm của (3.15) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0. Định nghĩa 3.4 (Hệ sai phân liên kết với thang thời gian-κ ). Cho κ ∈ R, κ > 0. Với n ∈ Z, x ∈ Rd, ta định nghĩa F (κ)n (x) := φ((n+ 1)κ, nκ, x), A(κ)n := Φ((n+ 1)κ, nκ), f (κ) n (x) := F (κ) n (x)− A(κ)n x, trong đó Φ là toán tử tiến hóa của (3.2). Khi đó xn+1 = F (κ) n (xn) (và tương đương xn+1 = A (κ) n xn + f (κ) n (xn)) (3.16) được gọi là hệ κ sai phân liên kết của (3.15). Với k ∈ N và ánh xạ f : Rd → Rd là Ck, ta đặt ∥f∥k := max 0≤i≤k sup x∈Rd ∥Dif(x)∥. Ta định nghĩa Ck(Rd) := {f : Rd → Rd : f là Ck với ∥f∥k <∞}, Ck1 (Rd) := {f ∈ Ck(Rd) : f(0) = 0, Df(0) = 0}, Ckflat(Rd) := {f ∈ Ck(Rd) : Dif(0) = 0 với i = 0, . . . , k}. Bổ đề 3.5. Xét hệ κ sai phân (3.16) liên kết của (3.15). Ta có các khẳng định sau: (a) supn∈Z ∥A(κ)n ∥ <∞ và supn∈Z ∥(A(κ)n )−1∥ <∞. (b) Nếu hệ (3.16) thuộc Okflat(A), thì f (κ)n ∈ Ckflat(Rd) với n ∈ N. 59 (c) Nếu hệ (3.16) thuộc Okflat(A), thì πuf (κ)n (0, xs) = 0 và πsf (κ)n (xu, 0) = 0 với n ∈ Z và (xu, xs) ∈ Rd. Chứng minh. (a) Từ (A2), ta có ∥A(κ)n ∥ = ∥Φ((κ+1)n, κn)∥ ≤ Keaκ. Khi đó supn∈Z ∥A(κ)n ∥ <∞. Tương tự, ta cũng có supn∈Z ∥(A(κ)n )−1∥ <∞. (b) Để chứng minh f (κ) n ∈ Ckflat(Rd) với n ∈ N, ta cần chỉ ra Dif (κ)n (0) = 0 với i = 0, . . . , k. Ta có f (κ) n (x) = φ((n + 1)κ, nκ, x) − Φ((n + 1)κ, nκ)x. Nên φ(·, ·, 0) = 0, tức là mệnh đề cần chứng minh đúng với i = 0. Tiếp theo, ta có ∂φ∂x((n + 1)κ, nκ, 0) = Φ((n + 1)κ, nκ) và mệnh đề cần chứng minh đúng với i = 1. Với i = 2, . . . , k từ khai triển Taylor cho hàm x 7→ φ((n + 1)κ, nκ, x) (Ck khả vi) tại x = 0 ta cũng thu được khẳng định Dif (κ) n (0) = 0. (c) Ta có f (κ)n (x) = φ((n+ 1)κ, nκ, x)− Φ((n+ 1)κ, nκ)x. Do đó, mệnh đề được suy ra trực tiếp từ phương trình bất biến (3.13) và do đa tạp ổn định và không ổn định của (3.16) là phẳng bởi (A4), tức là πuf(t, 0, x s) = 0 và πsf(t, x u, 0) = 0 với hầu hết t ∈ R và mọi (xu, xs) ∈ Rdu × Rds. 3.3.2 Ck tương đương của hệ sai phân liên kết Sau đây chúng tôi đưa ra một điều kiển đủ cho Ck tương đương của hai hệ phương trình vi phân không ôtônôm thuộc Ok(A) thông qua hệ sai phân liên kết của chúng. Định lý 3.6 (Ck tương đương của hệ κ sai phân liên kết ). Hai hệ x˙ = A(t)x+ f(t, x), (3.17) 60 và y˙ = A(t)y + g(t, y), (3.18) thuộc Ok(A) là Ck tương đương, nếu tồn tại κ > 0 sao cho hệ κ sai phân liên kết xn+1 = F (κ) n (xn), (3.19) và yn+1 = G (κ) n (yn), (3.20) là Ck tương đương, tức là nếu tồn tại p, p˜ > 0 và r ∈ (0, p), r˜ ∈ (0, p˜) và ánh xạ Tn : Br(0)→ Rd và Sn : Br˜(0)→ Rd, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn (i) Với mỗi n ∈ Z ánh xạ Tn : Br(0)→ Tn(Br(0)) ⊂ Bp˜(0), Sn : Br˜(0)→ Sn(Br˜(0)) ⊂ Bp(0), là Ck vi phôi và thỏa mãn Tn(Sn(y)) = y với mọi y ∈ Br˜(0) ∩ S−1n (Br(0)), Sn(Tn(x)) = x với mọi x ∈ Br(0) ∩ T−1n (Br˜(0)). (ii) Với x ∈ Br(0), y ∈ Br˜(0) sao cho F (κ)n (x) ∈ Br(0), G(κ)n (y) ∈ Br˜(0) thì ta có Tn+1(F (κ) n (x)) = G (κ) n (Tn(x)) và Sn+1(G (κ) n (y)) = F (κ) n (Sn(y)). (iii) Nghiệm tầm thường được ánh xạ đến nhau thông qua Tn và Sn đều theo nghĩa sau lim x→0 Tn(x) = 0 và lim y→0 Sn(y) = 0 đều theo n ∈ Z. 61 Chứng minh. Giả sử φ và ψ tương ứng là nghiệm của (3.17) và (3.18), F (κ)n (x) = φ((n+ 1)κ, nκ, x) và G (κ) n (y) = ψ((n+ 1)κ, nκ, y). Do các hệ phương trình(3.17) và (3.18) thuộc lớp Ok(A), hai hàm f và g là bị chặn toàn cục theo điều kiện (A3). Áp dụng bất đẳng thức Gronwall [18, Chapter 3, Theorem 1.1], tồn tại r∗ > 0 và r˜∗ > 0 sao cho với mọi n ∈ Z φ(κn, t, x) ∈ Br(0) với t ∈ [κn, κ(n+ 1)], x ∈ Br∗(0), ψ(κn, t, y) ∈ Br˜(0) với t ∈ [κn, κ(n+ 1)], y ∈ Br˜∗(0). (3.21) Sử dụng giả thiết (iii) và làm cho r∗ , r˜∗ nhỏ đi, nếu cần thiết, ta có thể giả sử thêm rằng Tn(φ(κn, t, x)) ∈ Br(0) với t ∈ [κn, κ(n+ 1)], x ∈ Br∗(0), Sn(ψ(κn, t, y)) ∈ Br˜(0) với t ∈ [κn, κ(n+ 1)], y ∈ Br˜∗(0). (3.22) Ta định nghĩa H : R×Br∗(0)→ Rd và H−1 : R×Br˜∗(0)→ Rd như sau H(t, x) := ψ ( t, κn, Tn(φ(κn, t, x)) ) với x ∈ Br∗(0), H−1(t, y) := φ ( t, κn, Sn(ψ(κn, t, y)) ) với y ∈ Br˜∗(0), (3.23) với t ∈ [κn, κ(n+1)). Từ (3.21) và (3.22), hàm H và H−1 được xác định, và để kết thúc chứng minh ta cần chỉ hai hệ (3.17) và (3.18) là Ck tương đương thông qua phép biến đổi H. Tức là ta cần chỉ ra H và H−1 thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) trong Định nghĩa 3.1. Bước 1 (Kiểm tra điều kiện của Định nghĩa 3.1(i)): Theo kết quả về sự phụ thuộc trơn của nghiệm vào giá trị ban đầu, xem [18, Chapter V, Theorem ], ta có các nghiệm φ và ψ là Ck. Mặt khác Tn và Sn là C k vi phôi. Do đó, các hàm H(t, ·) và H−1(t, ·) là Ck. Bây giờ lấy y ∈ Br˜∗(0) 62 tùy ý sao cho H−1(t, y) ∈ Br∗(0). Sử dụng định nghĩa (3.23) của H và H−1, ta có H(t,H−1(t, y)) = ψ ( t, κn, Tn ◦ Sn(ψ(κn, t, y)) ) . Từ (3.21), (3.22) và giả thiết (i), ta có Tn ◦ Sn(ψ(κn, t, y)) = ψ(κn, t, y). Do đó, H(t,H−1(t, y)) = y. Tương tự nếu x ∈ Br∗(0) với H(t, x) ∈ Br˜∗(0) ta cũng có H−1(t,H(t, x)) = x. Bước 2 (Kiểm tra điều kiện của Định nghĩa 3.1(ii)): Giả sử µ(t) là một nghiệm bất kỳ của (3.17) trong Br∗(0). Theo định nghĩa (3.23) của H, với n ∈ Z và t ∈ [κn, κ(n+ 1)) H(t, µ(t)) = ψ ( t, κn, Tn(φ(κn, t, µ(t))) ) = ψ(t, κn, Tn(µ(κn))), trong đó ta sử dụng tính chất µ(t) là nghiệm của (3.3) để thu được đẳng thức trên. Do đó H(t, µ(t)) là nghiệm của (3.18) trên [κn, κ(n + 1)) và từ tính liên tục ta cũng thu được H(t, µ(t)) là nghiệm của (3.18) trên R. Tương tự ta cũng có nếu ν(t) là nghiệm bất kỳ của (3.18) thuộc Br˜∗(0) thì H−1(t, ν(t)) cũng là nghiệm của (3.17). Bước 3 (Kiểm tra điều kiện của Định nghĩa 3.1(iii)): Do hai hệ phương trình (3.17) và (3.18) thuộc lớp Ok(A), hai hàm f và g thỏa mãn điều kiện bị chặn toàn cục (A3) bởi hằng số M > 0, và do đó sử dụng định lý giá trị trung bình ta thu được ∥f(t, x)∥, ∥g(t, x)∥ ≤M∥x∥ với hầu hết t ∈ R, x ∈ Rd. Sử dụng công thức biến thiên hằng số, ta có với mọi t ∈ [κn, κ(n+ 1)] ψ(t, κn, x) = Φ(t, κn)x+ ∫ t κn Φ(t, s)f(s, ψ(s, κn, x)) ds, 63 trong đó Φ là toán tử tiến hóa của hệ x˙ = A(t)x. Từ đó, sử dụng điều kiện (A2) ta suy ra ∥ψ(t, κn, x)∥ ≤ Keaκ∥x∥+MKeaκ ∫ t κn ∥ψ(s, κn, x)∥ ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall [18, Chapter 3, Theorem 1.1], tồn tại C1 > 0 sao cho ∥ψ(t, κn, x)∥ ≤ C1∥x∥ với t ∈ [κn, κ(n+ 1)). Tương tự tồn tại C2 > 0 sao cho ∥φ(κn, t, x)∥ ≤ C2∥x∥ với t ∈ [κn, κ(n+ 1)). Từ (3.23) ta lấy tùy t ∈ [κn, κ(n+ 1)) và có ∥H(t, x)∥ ≤ C1 sup z∈BC2∥x∥(0) Tn(z). Lấy cận trên đúng với t ∈ R, ta thu được sup t∈R ∥H(t, x)∥ ≤ C1 sup n∈Z sup z∈BC2∥x∥(0) Tn(z). Do đó từ giả thiết (iii) ta suy ra limx→0H(t, x) = 0 đều theo t ∈ R. Chứng minh tương tự ta cũng có limy→0H−1(t, y) = 0 đều theo t ∈ R. 3.3.3 Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Okflat(A) Nhắc lạiA : R→ Rd×d có dạng theo (3.8), tức là A(t) = diag(Au(t), As(t)) với 0 ̸∈ ΣED(A) = Σu ∪ Σs, Σu = ΣED(A) ∩ R>0, Σs = ΣED(A) ∩ R<0 và tọa độ tương ứng x = (xu, xs) ∈ Rdu×Rds. Trong mục này ta sẽ xét thêm các hệ sai phân xn+1 = Bnxn + gn(xn), (n ∈ Z) 64 với Bn = diag(B u n, B s n) ∈ Gl(d,R), Bu : Z → Rdu×du, Bs : Z → Rds×ds, g : Z × Rn → Rn, thỏa mãn các điều kiện sau (với k, ℓ ∈ N là các số cố định): (B1) Tuyến tính: B bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho sup n∈Z ∥Bn∥ ≤M và sup n∈Z ∥B−1n ∥ ≤M, (3.24) và thỏa mãn điều kiện tách sau với γ ∈ (0, 1) nào đó sup n∈Z ∥(Bun)−1∥ < γ, sup n∈Z ∥Bn∥∥(Bun)−1∥k−ℓ∥B−1n ∥ℓ < γ, sup n∈Z ∥Bsn∥ < γ, sup n∈Z ∥B−1n ∥∥Bsn∥k−ℓ∥Bn∥ℓ < γ. (3.25) (B2) Phi tuyến: gn ∈ Ckflat(Rd) và thỏa mãn thêm điều kiện πugn(0, x s) = 0 and πsgn(x u, 0) = 0 (n ∈ Z). Với k, ℓ ∈ N và B : Z × Rd → Rd, (n, x) 7→ Bnx, trong đó Bn = diag(Bun, B s n) ∈ Gl(d,R), Bu : Z → Rdu×du, Bs : Z → Rds×ds, thỏa mãn điều kiện (B1), ta định nghĩa Dk,ℓflat(B) := {xn+1 = Bnxn + gn(xn) : g thỏa mãn điều kiện (B2)}. Mệnh đề 3.7. Giả sử hệ x˙ = A(t)x+ f(t, x), (3.26) thuộc Okflat(A), k ≥ 2 và thỏa mãn điều kiện tách phổ (3.5) với mọi ℓ ∈ N, ℓ ≤ k, tức là (k − ℓ)Σu > Σu − ℓΣs và (k − ℓ)Σs < Σs − ℓΣu. (3.27) Khi đó tồn tại κ > 0 sao cho với hệ κ sai phân liên kết xn+1 = A (κ) n xn + f (κ) n (xn) (3.28) của (3.26) có A(κ) thỏa mãn (B1) và hệ sai phân (3.28) thuộc lớp Dk,ℓflat(A(κ)). 65 Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 3.5, mọi hệ κ sai phân xn+1 = A (κ) n xn + f (κ) n (xn), (κ > 0) liên kết với (3.26) đều thỏa mãn (B2) và điều kiện (3.24) của (B1). Để chứng minh mệnh đề, ta chỉ cần tìm κ > 0 sao cho phần tuyến tính A(κ)n = ΦA((n+ 1)κ, nκ), (3.29) thỏa mãn điều kiện (3.25) của (B1), trong đó ΦA được kí hiệu là toán tử tiến hóa của hệ tuyến tính ξ˙ = A(t)ξ = diag(Au(t), As(t))ξ. Khi đó, ΦA(·, ·) = diag(ΦAu(·, ·),ΦAs(·, ·)) và do ΣED(Au) = Σu > 0 và ΣED(As) = Σs 0 tồn tại K > 0 sao cho với mọi t ≥ s ∥ΦA(t, s)∥ ≤ Ke(maxΣu+ε)(t−s), ∥ΦA(s, t)∥ ≤ Ke(−minΣs+ε)(t−s), ∥ΦAu(s, t)∥ ≤ Ke(−minΣu+ε)(t−s). (3.30) Theo giả thiết (3.27), tồn tại ε > 0 sao cho (k − ℓ)(Σu − ε) > Σu + ε− ℓ(Σs − ε), (k − ℓ)(Σs + ε) < Σs − ε− ℓ(Σu + ε). Cùng với đánh giá (3.30), ta suy ra với t ≥ s ∥ΦA(t, s)∥∥ΦAu(s, t)∥k−ℓ∥ΦA(s, t)∥ℓ ≤ K3e−β(t−s), trong đó β := (maxΣu + ε) + (k − ℓ)(−minΣu + ε) + ℓ(−minΣs + ε) < 0. Do đó với γ := 12 tồn tại κ1 > 0 sao cho ∥ΦA(t, s)∥∥ΦAu(s, t)∥k−ℓ∥ΦA(s, t)∥ℓ ≤ γ với t− s ≥ κ1. (3.31) 66 Chứng minh tương tự ta cũng có tồn tại κ2 > 0 sao cho ∥ΦA(s, t)∥∥ΦAs(t, s)∥k−ℓ∥ΦA(t, s)∥ℓ ≤ γ với t− s ≥ κ2. (3.32) Với κ := max{κ1, κ2} > 0, phần tuyến tính (3.29) trong hệ κ sai phân liên kết của (3.26) thỏa mãn điều kiện (3.25) của (B1). Do đó hệ κ sai phân liên kết của hệ (3.26) thuộc Dk,ℓflat(A(κ)). 3.4 Phương pháp đường cho phương trình sai phân Trong mục này chúng ta mở rộng phương pháp đường trong [16] cho hệ sai phân ôtônôm sang hệ sai phân không ôtônôm. Phương pháp này chỉ ra cách chứng minh hai hệ sai phân không ôtônôm xn+1 = Fn(xn), (3.33) yn+1 = Gn(yn), (3.34) là Ck tương đương, trong đó Fn, Gn ∈ Diffk(Rd) với n ∈ N, thông qua việc xét đồng luân P : Z× Rd × [0, 1]→ Rd, (n, x, τ) 7→ P τn (x) := (1− τ)Fn(x) + τGn(x) giữa Fn và Gn. Cụ thể hơn, ta xét phương trình sai phân đồng luân sau zn+1 = P τ n (zn), (τ ∈ [0, 1]) (3.35) giữa (3.33) và (3.34). Ta định nghĩa P : [0, 1] → Diffk(Rd)Z, τ 7→ Pτ := P τ· (·). Định lý 3.8 (Phương pháp đường). Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn (i) Pτ ∈ Diffk0(Rd)Z với τ ∈ [0, 1], (ii) P : [0, 1]→ Diffk0(Rd)Z là liên tục, 67 (iii) Với mỗi τ ∈ [0, 1] và n ∈ N tồn tại Zτn ∈ Ck1 (Rd) thỏa mãn Zτn+1(x)− ∂P τn ∂x ( (P τn ) −1(x) ) Zτn ( (P τn ) −1(x) ) = ∂P τn ∂τ ( (P τn ) −1(x) ) (3.36) với n ∈ N và Z : [0, 1]→ Ck1 (Rd)Z, τ 7→ Zτ := Zτ· (·), là liên tục. Khi đó hai hệ (3.33) và (3.34) là Ck tương đương. Để chứng minh định lý trên, ta cần bổ đề phụ trợ sau. Bổ đề 3.9. Cho η : Rd → Rd là hàm Ck khả vi thỏa mãn ρ := sup x∈Rd ∥Dη(x)∥ < 1. (3.37) Khi đó ánh xạ f : Rd → Rd được định nghĩa bởi f(x) := x+ η(x) là Ck vi phôi. Hơn nữa với mọi r > 0 ta có B(1−ρ)r(0) ⊂ f(Br(0)) và do đó ta có ∥f−1(x)∥ ≤ 1 1− ρ∥x∥ với mọi x ∈ R d. Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh f là đơn ánh. Giả sử x, y ∈ Rd thỏa mãn x ̸= y. Sử dụng (3.37), ta có ∥η(x)− η(y)∥ < ∥x− y∥. Do đó ∥f(x)−f(y)∥ = ∥x−y+η(x)−η(y)∥ ≥ ∥x−y∥−∥η(x)−η(y)∥ > 0, tức là f(x) ̸= f(y). Tiếp theo, ta chứng minh f là toàn ánh. Lấy x ∈ Rd tùy ý. Xét T : Rd → Rd, y 7→ T (y), được định nghĩa bởi T (y) := x− η(y). Sử dụng (3.37), ta có ∥T (y)− T (ŷ)∥ = ∥η(y)− η(ŷ)∥ ≤ ρ∥y − ŷ∥. 68 Khi đó theo nguyên lý ánh xạ co trong không gian Banach sẽ tồn tại y ∈ Rd sao cho T (y) = y, tương đương với f(y) = x. Do đó f là toàn ánh, từ đó ta suy ra f là song ánh. Ngoài ra, từ tính trơn của hàm η ta thu được hàm f là Ck. Mặt khác sử dụng định lý hàm ngược ta có hàm ngược f−1 của f cũng là Ck. Để kết thúc chứng minh, lấy r > 0 và y ∈ B(1−ρ)r(0) tùy ý. Đặt x ∈ Rd thỏa mãn f(x) = y. Vì vậy ∥x+ η(x)∥ = ∥y∥ < (1− ρ)r và ∥x∥ < (1− ρ)r + ∥η(x)∥ ≤ (1− ρ)r + ρ∥x∥, điều đó suy ra ∥x∥ < r. Do đó ta có đến B(1−ρ)r(0) ⊂ f(Br(0)) và bổ đề được chứng minh. Chứng minh Định lý 3.8. Từ giả thiết Z ∈ C([0, 1], Ck1 (Rd)Z), ta suy ra tồn tại K > 0 sao cho ∥Zτn(x)∥ ≤ K∥x∥ với mọi n ∈ Z, τ ∈ [0, 1], x ∈ Rd. Hệ quả là, với n ∈ Z, x ∈ Rd bài toán phương trình vi phân với giá trị ban đầu sau dξ dτ (τ) = Zτn(ξ(τ)), ξ(0) = x, có nghiệm duy nhất trên on [0, 1]. Đặt Tn(τ, x) là nghiệm duy nhất đó tức là ∂Tn ∂τ (τ, x) = Zτn(Tn(τ, x)), Tn(0, x) = x. (3.38) Do đó, ∥Tn(τ, x)∥ ≤ ∥x∥+M ∫ τ 0 ∥Tn(s, x)∥ ds. Sử dụng bất đẳng thức Gronwall [18, Chapter 3, Theorem 1.1], ta thu được ∥Tn(τ, x)∥ ≤ eKτ∥x∥ và do đó limx→0 Tn(τ, x) = 0 đều theo n ∈ Z. 69 Để chỉ ra (n, x) 7→ Tn(τ, x) là Ck tương đương giữa (3.33) và (3.35), trước tiên ta cần chỉ ra rằng Tn+1(τ, Fn(x)) = P τ n (Tn(τ, x)) với n ∈ Z, x ∈ Rd. (3.39) Để làm được điều này, cho n ∈ Z, x ∈ Rd ta định nghĩa V : [0, 1]×Rd → Rd xác định bởi V (τ, x) := P τn ( Tn(τ, F −1 n (x)) ) . Đạo hàm cả hai vế của đẳng thức trên theo biến τ ta có ∂V ∂τ (τ, x) = DxP τ n ( Tn(τ, F −1 n (x)) )∂Tn ∂τ (τ, F−1n (x)) + ∂P τn ∂τ ( Tn(τ, F −1 n (x)) ) . Mặc khác ta có với Tn(τ, F −1 n (x)) = (P τ n ) −1(V (τ, x)). Do đó ∂V ∂τ (τ, x) = DxP τ n ( (P τn ) −1(V (τ, x)) )∂Tn ∂τ (τ, F−1n (x))+ ∂P τn ∂τ ( (P τn ) −1(V (τ, x)) ) . Sử dụng (3.38), ta thu được ∂V ∂τ (τ, x) = DxP τ n ( (P τn ) −1(V (τ, x))Zn(τ, (P τn ) −1(V (τ, x))) + + ∂P τn ∂τ ((P τn ) −1(V (τ, x))) ) . Kết hợp đẳng thức trên với (3.36), ta có ∂V ∂τ (τ, x) = Zn+1(τ, V (τ, x)). Hơn nữa, V (0, x) = x và từ tính duy nhất nghiệm của hệ (3.38) với n+1, ta có V (τ, x) = Tn+1(τ, x) và liên hệ (3.39) được chứng minh. Để kết thúc chứng minh, ta cần chỉ Tn(τ, ·) là Ck vi phôi địa phương trên Br(0) với một giá trị r > 0 nào đó không phụ thuộc vào n ∈ Z. Để làm được điều này, chúng ta định nghĩa hàm ηn(τ, ·) : Rd → Rd, n ∈ N xác định bởi ηn(τ, x) := Tn(τ, x)− x. 70 Do Tn(0, x) = x, điều đó chỉ ra rằng ηn(0, x) = 0. Do Zn(τ, x) là C k theo x nên ta cũng có Tn(τ, x) và ηn(τ, x) là C k theo x. Hơn nữa, từ (3.38) ta có đánh giá ∂DxTn ∂τ (τ, x) = DxZn(τ, Tn(τ, x))DxTn(τ, x), từ đó suy ra ∂Dxηn ∂τ (τ, x) = DxZn(τ, Tn(τ, x))(id+Dxηn(τ, x)), hoặc tương đương với Dxηn(τ, x) = ∫ τ 0 DxZn(s, x+ ηn(s, x))(id+Dxηn(s, x)) ds. (3.40) Do Z ∈ C([0, 1], Ck1 (Rd)Z), tồn tại L > 0 sao cho ∥DxZn(τ, x)∥ ≤ L∥x∥. Kết hợp khẳng định trên với ∥Tn(τ, x)∥ ≤ eKτ∥x∥ ≤ eK∥x∥, ta suy ra được ∥DxZn(τ, Tn(τ, x))∥ ≤ LeK∥x∥. Vì vậy, từ (3.40) ta có đánh giá ∥Dxηn(τ, x)∥ ≤ LeK ∫ τ 0 ∥x∥(1 + ∥Dxηn(s, x)∥) ds ≤ LeK∥x∥+ LeK∥x∥ ∫ τ 0 ∥Dxηn(s, x)∥ ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall [18, Chapter 3, Theorem 1.1], ta có ∥Dxηn(τ, x)∥ ≤ LeK∥x∥eLeK∥x∥τ . Dẫn đến, tồn tại r > 0 sao cho ρ := sup n∈Z max τ∈[0,1] max ∥x∥≤r ∥ηn(τ, x)∥ < 1. Áp dụng Bổ đề 3.9, ánh xạ Tn(τ, ·) : Br(0) → Tn(τ, Br(0)) là một Ck vi phôi và B(1−ρ)r(0) ⊂ Tn(τ, Br(0)). Hơn nữa, cũng theo Bổ đề 3.9 ta có 71 hàm ngược của Tn(τ, ·), kí hiệu là Sn(τ, ·) : B(1−ρ)r(0)→ Br(0), cũng thỏa mãn limx→0 Sn(τ, x) = 0 đều theo n ∈ Z. Dẫn đến, (n, x) 7→ Tn(τ, x) là một phép biển đổi Ck tương đương giữa (3.33) và (3.35). Khi lấy τ = 1, ta có (3.33) và (3.34) là Ck tương đương và định lý được chứng minh. 3.5 Chứng minh Định lý Sternberg Trong mục này chúng tôi đi chứng minh Định lý 3.2 về tuyến tính hóa trơn cho phương trình vi phân không ôtônôm. Như ta đã biết A : R → Rd×d có dạng (3.8), tức là A(t) = diag(Au(t), As(t)) với 0 ̸∈ ΣED(A) = Σu∪Σs, Σu = ΣED(A) ∩ R>0, Σs = ΣED(A) ∩ R<0 và tọa độ tương ứng x = (xu, xs) ∈ Rdu × Rds. Ta định nghĩa hai tập con đóng của Ckflat(Rd): Ckflat,u(Rd) := {f ∈ Ckflat(Rd) : Dif(0, xs) = 0 với i = 0, . . . , k}, Ckflat,s(Rd) := {f ∈ Ckflat(Rd) : Dif(xu, 0) = 0 với i = 0, . . . , k}. Chú ý 3.10. Trong [10, Lemma 3], các tác giả đã chỉ ra rằng với mọi f ∈ Ckflat(Rd) tồn tại φ ∈ Ckflat,u(Rd) và ψ ∈ Ckflat,s(Rd) sao cho f = φ+ψ. Để chứng minh Định lý 3.2, chúng ta cần một số các kết quả chuẩn bị sau. Mệnh đề 3.11 (Ck tương đương cho các hệ sai phân với phần phi tuyến gần nhau). Cho ℓ ∈ N, 1 ≤ ℓ ≤ k, và B thỏa mãn (B1) trong đó Bn = diag(Bun, B s n) ∈ Gl(d,R), Bu : Z → Rdu×du, Bs : Z → Rds×ds. Khi đó hai hệ xn+1 = Bnxn + fn(xn), (3.41) yn+1 = Bnyn + gn(yn), (3.42) 72 thuộc Dk,ℓflat(B) là Ck tương đương, nếu một trong hai điều sau thỏa mãn fn − gn ∈ Ckflat,u(Rd) (n ∈ N), (3.43) hoặc fn − gn ∈ Ckflat,s(Rd) (n ∈ N). (3.44) Chúng tôi chứng minh Mệnh đề 3.11 khi giả thiết (3.43) được thỏa mãn. Việc chứng minh đối với giả thiết (3.44) là hoàn toàn tương tự. Ý tưởng chứng minh chính của Mệnh đề 3.11 là sử dụng phương pháp đường được xây dựng và phát biểu ở Định lý 3.8. Để áp dụng phương pháp đường ta định nghĩa hàm P : Z×Rd×[0, 1]→ Rd, (n, x, τ) 7→ P τn (x), cho bởi công thức P τn (x) := Bnx+ (1− τ)fn(x) + τgn(x) (3.45) và xét phương trình đồng luân sai phân không ôtônôm zn+1 = P τ n (zn), τ ∈ [0, 1] giữa (3.41) và (3.42). Tuy thế, chúng tôi không áp dụng phương pháp đường một cách trực tiếp với hai hệ (3.41) và (3.42) mà áp dụng cho các hệ cắt của chúng. Cụ thể, trước hết ta sẽ thay thế phần phi tuyến fn và gn bởi các phần phi tuyến f˜n := ψ ◦ fn và g˜n := ψ ◦ gn trong đó ψ : Rd → Rd là C∞ là hàm cắt sau ψ(x) =  x, với 0 ≤ ∥x∥ ≤ r, exp ( 1− 11−(∥x∥−r)2 ) x, với r < ∥x∥ < r + 1, 0, với ∥x∥ ≥ r, (3.46) với r > 0 nào đó. Lưu ý rằng bước kĩ thuật này không làm thay đổi nghiệm của phương trình vi phân (3.41) và (3.42) trên lân cận R×Br(0). 73 Bước làm này chỉ giúp chúng ta đảm bảo tính khả nghịch của P τn . Ta kí hiệu Diffk(Rd) := {f ∈ Ck(Rd) : f−1 tồn tại và f−1 ∈ Ck(Rd)}, Diffk0(Rd) := {f ∈ Diffk(Rd) : f(0) = 0}. Bổ đề 3.12 (Tính khả nghịch của phương trình đồng luân sai phân). Với mỗi δ > 0 tồn tại r > 0 sao cho, với phương trình (3.41) và (3.42) từ Mệnh đề 3.11 và hàm ψ từ (3.46), ta có hàm P : Z×Rd× [0, 1]→ Rd, (n, x, τ) 7→ P τn (x), được định nghĩa bởi P τn (x) := Bnx+ (1− τ)ψ(fn(x)) + τψ(gn(x)), (3.47) thỏa mãn các điều kiện dưới đây: (i) P τn ∈ Diffk0(Rd) với n ∈ N và ánh xạ P : [0, 1] → Diffk0(Rd)Z, τ 7→ Pτ := P τ· (·) là liên tục, (ii) supn∈Z,x∈Rd ∥DP τn (x)−Bn∥, supn∈Z,x∈Rd ∥D(P τn )−1(x)−B−1n ∥ ≤ δ. Chứng minh. Từ (B1), tồn tại M > 1 sao cho sup n∈Z ∥Bn∥ ≤M và sup n∈Z ∥B−1n ∥ ≤M. (3.48) Lấy δ > 0 tùy ý. Khi đó tồn tại δ∗ ∈ (0,min{ δM , 1M2}) thỏa mãn M 3δ∗ 1−M2δ∗ ≤ δ. Do fn, gn ∈ Ckflat(Rd) với n ∈ N, tồn tại r > 0 sao cho hàm ψ được xác định ở (3.46) thỏa mãn sup n∈Z,x∈Rd ∥Dψ(fn(x))∥ ≤ δ∗ và sup n∈Z,x∈Rd ∥Dψ(gn(x))∥ ≤ δ∗. (3.49) Với τ ∈ [0, 1] ta định nghĩa ητn(x) := (1− τ)B−1n ψ(fn(x)) + τB−1n ψ(gn(x)). 74 Khi đó, từ (3.49) ta có đánh giá ∥Dητn(x)∥ ≤ Mδ∗ < 1. Vì vậy, áp dụng Bổ đề 3.9, ánh xạ x 7→ x+ ητn(x) là một Ck vi phôi. Theo (3.47), ta có P τn (x) = Bn(x+ η τ n(x)), điều đó suy ra P τn ∈ Diffk(Rd). Tính liên tục của P τn theo τ được suy ra trực tiếp từ định nghĩa (3.47) của P τn , do đó (i) đã được chứng minh. (ii) Với τ ∈ [0, 1] ta định nghĩa ∆τn(x) := DP τ n (x)−Bn = Dητn(x). Như ở phần (i), từ (3.48) và (3.49) ta có đánh giá sau ∥DP τn (x)−Bn∥ ≤Mδ∗ ≤ δ. Tương tự, ∥∆τn(x)B−1n ∥ ≤M 2δ∗ < 1. Khi đó DP τn (x) −1 = (Bn +∆τn(x)) −1 = B−1n (id+∆ τ nB −1 n ) −1 = B−1n ∞∑ k=0 (−∆τn(x)B−1n )k = B−1n ( id+ ∞∑ k=1 (−1)k(∆τn(x)B−1n )k ) . Từ đó ta suy ra ∥DP τn (x)−1 −B−1n ∥ ≤M M 2δ∗ 1−M 2δ∗ ≤ δ. Do đó (ii) đã được chứng minh. Để chứng minh Mệnh đề 3.11, ta chọn r > 0 sao cho các khẳng định của Bổ đề 3.12 được thỏa mãn đối với P τn , ngoài ra sử dụng (B1), ta có các bất đẳng thức sau đúng với n ∈ Z:∥∥∥∥∂(πu ◦ (P τn )−1)∂xu ∥∥∥∥ ∞ 1 (3.50) 75 và ∥DxP τn∥∞ ∥∥∥∥∂(πu ◦ (P τn )−1∂xu ∥∥∥∥k−ℓ ∞ ∥Dx(P τn )−1∥ℓ∞ < γ, (3.51)∥∥Dx(P τn )−1∥∥∞ ∥∥∥∥∂(πs ◦ P τn )∂xu ∥∥∥∥k−ℓ ∞ ∥DxP τn∥ℓ∞ < γ, (3.52) với mỗi γ ∈ (0, 1). Theo Định lý 3.8, để chứng minh Mệnh đề 3.11 ta cần chỉ ra sự tồn tại của Zτn ∈ Ck1 (Rd) thỏa mãn Zτn+1(x)− ∂P τn ∂x ( (P τn ) −1(x) ) Zτn ( (P τn ) −1(x) ) = ∂P τn ∂τ ( (P τn ) −1(x) ) (3.53) với n ∈ N. Trong bổ đề sau ta thiết lập một số tính chất của vế bên phải của (3.53). Để thực hiện việc này, với ℓ ∈ N, 1 ≤ ℓ ≤ k, R > 0, ta đặt Mk,ℓR := { W ∈ C([0, 1], Cℓflat,u(Rd)) : ∥∥∂ℓW ∂xℓ (τ, x) ∥∥ ≤ R∥πux∥k−ℓ}. (3.54) Bổ đề 3.13. Vế phải của (3.53) Xn(τ, x) := ∂P τn ∂τ ( (P τn ) −1(x) ) (τ ∈ [0, 1], n ∈ N), (3.55) có các tính chất sau: (i) Xn(τ, ·) ∈ Ckflat,u(Rd) với n ∈ Z, (ii) Tồn tại R > 0 sao cho Xn ∈Mk,ℓR với n ∈ Z. Chứng minh. Từ (3.47) và (3.55), ta suy ra Xn(τ, x) = gn ( (P τn ) −1(x) )− fn((P τn )−1(x)). (3.56) Do fn − gn ∈ Ckflat(Rd), ta có Xn(τ, ·) ∈ Ckflat(Rd). Hơn nữa, sử dụng (B2) ta có không gian con {(0, xs) ∈ Rdu × Rds} là bất biến đối với fn và gn. Cùng với (3.45) và Bn = diag(B u n, B s n), ta suy ra πuP τ n (0, x s) = πuBn(0, x s)T + (1− τ)πufn(0, xs) + τπugn(0, xs) 76 = 0. Do đó, không gian con {(0, xs) ∈ Rdu × Rds} là bất biến đối với P τn , tức là πu(P τ n ) −1(0, xs) = 0. Sử dụng (3.43), ta thu được fn − gn ∈ Ckflat,u(Rd). Vì vậy, Difn ( (P τn ) −1(0, xs) )−Dign((P τn )−1(0, xs)) = 0. Do đó, từ (3.56) ta suy ra DixXn(τ, 0, x s) = 0 và Xn(τ, ·) ∈ Ckflat,u(Rd). (ii) Đặt R := sup x∈Rd ∥∥∥∥∂kXn∂xk (τ, x) ∥∥∥∥ . Khi đó với mỗi τ ∈ [0, 1] ta sử dụng khai triển Taylor của hàm ∂ℓXn ∂xℓ (τ, x) đến bậc k − ℓ tại (0, xs) và thu được∥∥∥∥∂ℓXn∂xℓ (τ, x) ∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∂ℓXn∂xℓ (τ, xu, xs)− ∂ℓXn∂xℓ (τ, 0, xs) ∥∥∥∥ ≤ R∥πux∥k−ℓ. Bổ đề đã được chứng minh. Tiếp theo ta định nghĩa ánh xạ Ln : C ( [0, 1], Cℓ(Rd) )→ C([0, 1], Cℓ(Rd)) bởi công thức (LnW )(τ, x) := DxP τ n ( (P τn ) −1(x) ) W ( τ, (P τn ) −1(x) ) . (3.57) Tư (3.54), ta cóMk,ℓR ⊂ C([0, 1], Cℓ(Rd)). Trong bổ đề sau, chúng tôi đưa ra một vài đánh giá về các toán tử tuyến tính Ljn := Ln+j−1 · · ·Ln khi hạn chế trên Mk,ℓR , trong đó n ∈ Z và j ∈ N. Bổ đề 3.14. Với mỗi W ∈Mk,ℓR những khẳng định sau thỏa mãn với mọi (τ, x) ∈ [0, 1]× Rd và n ∈ Z, j ∈ N. (i) ∥LjnW (τ, x)∥ ≤ Rγj∥πux∥k. (ii) Tồn tại ε > 0 sao cho ∥πux∥ ≤ ε∥∥∥∥∂iLjnW∂xi (τ, x) ∥∥∥∥ ≤ Rγj∥πux∥k−i với i = 1, . . . , ℓ. 77 Chứng minh. (i) Từ (3.57), ta có LjnW (τ, x) = j−1∏ i=0 DxP τ n+i((P τ n+i) −1(x)) ( W (τ, (P τn+j−1) −1◦· · ·◦(P τn )−1(x)) ) . (3.58) Do đó, ∥LjnW (τ, x)∥ ≤ j−1∏ i=0 ∥DxP τn+i∥∞∥W (τ, (P τn+j−1)−1 ◦ · · · ◦ (P τn )−1(x))∥. (3.59) Do W ∈Mk,ℓR và áp dụng định lý về giá trị trung bình ta thu được ∥W (τ, x)∥ ≤ R (k − r + 1) · · · k∥πux∥ k. Mặt khác, sử dụng tính bất biến của {0} × Rds đối với P τn và áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có ∥πu ◦ (P τn+j−1)−1 ◦ · · · ◦ (P τn )−1(x)∥ ≤ ( j−1∏ i=0 ∥∥∥∥∂(πu ◦ (P τn+i)−1)∂xu ∥∥∥∥ ∞ ) ∥πux∥. Vì vậy, từ (3.59) ta suy ra ∥LjnW (τ, x)∥ ≤ R (k − r + 1) · · · k∥πux∥ k j−1∏ i=0 ∥DxP τn+i∥∞ ∥∥∥∥∂(πu ◦ (P τn+i)−1)∂xu ∥∥∥∥k ∞ . Khẳng định trên cùng với (3.50) và (3.51) suy ra khẳng định (i) của mệnh đề. (ii) Trước hết, sử dụng [9, Bổ đề 4] ta có khẳng định của mệnh đề khi j = 1, tức là tồn tại ε > 0 sao cho với ∥πux∥ ≤ ε∥∥∥∥∂iLnW∂xi (τ, x) ∥∥∥∥ ≤ Rγ∥πux∥k−i với i = 1, . . . , ℓ. Sử dụng qui nạp theo j, ta thu được khẳng khẳng định của mệnh đề với mọi j ∈ N. Mệnh đề được chứng minh. Chứng minh Mệnh đề 3.11. Áp dụng Bổ đề 3.14(i), chuỗi ∞∑ j=0 Ljn−jXn−1−j(τ, x) =: Z τ n(x), (3.60) 78 với Xn(τ, x) xác định như ở (3.55), hội tụ với mỗi n ∈ Z. Theo định nghĩa của Zn, ta có Zτn+1(x) = ∞∑ j=0 Ljn+1−jXn−j(τ, x) = ∞∑ j=1 Ljn+1−jXn−j(τ, x) +Xn(τ, x) = LnZ τ n(x) +Xn(τ, x). Do đó, ta có (Zτn(x))n∈Z là nghiệm của (3.53). Hơn nữa sử dụng Bổ đề 3.14(ii), ta thu được∥∥∥∥∂iLjnX∂xi (τ, x) ∥∥∥∥ ≤ Lγj∥πux∥k−i với i = 1, . . . , ℓ (3.61) nếu ∥x∥ ≤ ε với ε > 0 nào đó. Bằng cách cắt các hàm số fn và gn, ta thu được khẳng định trên với mọi x ∈ Rd. Dẫn đến, Zτn(·) là hàm số Cℓ và ta cũng có Zτn(0) = 0 và DZ τ n(0) = 0. Vì vậy, Z τ n ∈ Cℓ1(Rd). Cuối cùng, từ (3.61) ta thu được chuỗi ∑∞ j=0 L j n+1−jXn−j(τ, x) hội tụ đều theo τ tới Z τ n trong ∥ · ∥ℓ. Do đó, ánh xạ Z : [0, 1] → Cℓ1(Rd)Z, τ 7→ Zτ := Zτ· (·) là liên tục. Áp dụng Định lý 3.8, ta thu được hệ (3.41) và (3.42) là Cℓ tương đương. Mệnh đề được chứng minh. Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh kết quả chính của chương này. Chứng minh Định lý 3.2. Theo Mệnh đề 3.3, với mỗi hệ bất kì thuộc Ok+2(A) sẽ là Ck tương đương với hệ x˙ = A(t)x+ g(x), (3.62) thuộc Okflat(A). Theo Mệnh đề 3.7, tồn tại κ > 0 sao cho hệ κ sai phân liên kết của hệ (3.62) xn+1 = A (κ) n xn + f (κ) n (xn), (3.63) 79 là một phần tử của Dk,ℓflat(A). Theo Nhận xét 3.10, tồn tại φn ∈ Ckflat,u(Rd) và ψn ∈ Ckflat,s(Rd) với n ∈ N sao cho (3.63) có thể viết lại là xn+1 = A (κ) n xn + φn(xn) + ψn(xn). (3.64) Do φn ∈ Ckflat,u(Rd) với n ∈ N, nên áp dụng Mệnh đề 3.11 ta thu được hệ (3.64) là Cℓ tương đương với hệ xn+1 = A (κ) n xn + ψn(xn). Áp dụng Mệnh đề 3.11 một lần nữa, hệ này là Cℓ tương đương với hệ tuyến tính xn+1 = A (κ) n xn. Vì vậy, theo Mệnh đề 3.6 hệ (3.62) là Cℓ tương đương với hệ tuyến tính hóa x˙ = A(t)x. Định lý được chứng minh. Kết luận chương 3: Chương 3 trình bày về bài toán tuyến tính hóa trơn phương trình vi phân không ôtônôm. Kết quả đạt được đó là: Xây dựng một phiên bản của định lý Sternberg về điều kiện tách phổ cho tuyến tính hóa trơn phương của phương trình vi phân không ôtônôm. 80 Kết luận 1. Kết quả đạt được Luận án đã đạt được các kết quả sau: (i) Xây dựng và chứng minh điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ. (ii) Xây dựng và chứng minh điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán được phổ nhị phân mũ. (iii) Xây dựng một phiên bản của Định lý Sternberg về điều kiện đủ để tách phổ cho tuyến tính hóa trơn của phương trình vi phân không ôtônôm. 2. Một số hướng nghiên cứu tiếp theo Bên cạnh những kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề tồn tại cần được nghiên cứu mở rộng trong thời gian tới: (i) Bài toán gán phổ đối với một số loại phổ khác. (ii) Nghiên cứu thêm về một số các khía cạnh khác của hệ động lực không ôtônôm có cấu trúc. 81 Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án [CT1] Le Viet Cuong, Doan Thai Son and Stefan Siegmund, A Stern- berg theorem for nonautonomous differential equations, Journal of Dy- namics and Differential Equations 31 (2019), pp. 1279 - 1299. (SCIE) [CT2] Le Viet Cuong, Doan Thai Son, Assignability of dichotomy spectrum for discrete time-varying linear control systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B 25(9) (2020), pp. 3597 - 3607. (SCIE) [CT3] Artur Babiarz, Le Viet Cuong, Adam Czornik and Doan Thai Son, Necessary and sufficient conditions for assignability of dichotomy spectra of continuous time-varying linear systems, Automatica 125 (2021), 109466. (SCIE). [CT4] Artur Babiarz, Le Viet Cuong, Adam Czornik and Doan Thai Son, Necessary and sufficient conditions for assignability of dichotomy spectrum of one-side discrete time-varying linear systems, IEEE-Trans. on Automatic Control 67 (2022), no. 4, 2039-2043. (SCIE) 82 Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh nhị phân mũ, 10 exponential dichotomy phổ nhị phân mũ, 10 dichotomy spectrum phổ Lyapunov, 44 Lyapunov spectrum tương đương tiệm cận, 13 asymptotical equivalence phản hồi tuyến tính, 22 linear feedback gán phổ nhị phân mũ, 24 assignability of dichotomy spectrum điều khiển được đều, 18, 20 uniform complete controllability ổn định hóa được, 25, 33 uniform complete stablization số mũ Bohl, 45 Bohl exponent đặc trưng Kalman, 18, 21 Kalman’s characterization dạng chuẩn tắc , 58 normal form phương pháp đường , 67 method of the path 83 Tài liệu tham khảo [1] L. Ya. Adrianova, Introduction to Linear Systems of Differential Equa- tions, Translantions of Mathematical Monographs, American Mathe- matical Society, Providence (1995). [2] B. Aulbach, C. Po¨tzsche and S. Siegmund, A smoothness theorem for invariant fiber bundles, Journal of Dynamics and Differential Equa- tions 14 (2002), 519-547. [3] B. Aulbach, S. Siegmund, The dichotomy spectrum for noninvertible systems of linear difference equations, J. Difference Equations Appl. 7 (2001), no. 6, 895-913. [4] B. Aulbach and T. Wanner, Integral manifolds for Carathéodory type differential equations in Banach spaces, in: B. Aulbach, F. Colonius (Eds.), Six Lectures on Dynamical Systems, World Scientific, Singa- pore, 1996, pp. 45-119. [5] A. Babiarz, A. Czornik, E. Makarov, M. Niezabitowski and S. Popova, Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems, SIAM Journal on Control 55 (2017), no. 2, 671-692. [6] A. Babiarz, I. Banshchikova, A. Czornik, E. Makarov, M. Niez- abitowski and S. Popova, Necessary and sufficient conditions for 84 assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying systems, IEEE Trans. Automat. Control 63 (2018), no. 11, 3825-3837. [7] L. Barreira and C.Valls, Stability of Nonautonomous Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics 1926, Berlin, Springer, 2008. [8] F. Battelli and K.J. Palmer, Criteria for exponential dichotomy for tri- angular systems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 428 (2015), 525-543. [9] P. Bonckaert, On the continuous dependence of the smooth change of coordinates in parametrized normal form theorems, Journal of Dif- ferential Equations 106 (1993), 107-120. [10] P. Bonckaert and F. Dumortier, On a linearization theorem of Stern- berg for germs of diffeomorphisms, Math. Z. 185 (1984), no. 1, 115- 135. [11] P. Bonckaert, P. De Maesschalck, T.S. Doan and S. Siegmund, Partial linearization for planar nonautonomous differential equations, Journal of Differential Equations 258 (2015), 1618-1652. [12] F. Bruhat, Travaux de Sternberg [Works of Sternberg], Séminaire Bourbaki 6, Exp. No. 217, 179-196, Soc. Math. France, Paris, 1995. [13] W.A. Coppel, Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in Mathematics 629. Springer, Berlin, 1978. [14] L. Dieci, E. S. Van Vleck, Lyapunov spectral intervals: theory and computation, SIAM Journal on Numerical Analysis 40 (2002), no. 2, 516–542. 85 [15] T. S. Doan, K. J. Palmer, M. Rasmussen, The Bohl spectrum for linear nonautonomous differential equations, Journal of Dynamical and Differential Equations 4 (2017), no. 10, 1459-1485. [16] F. Dumortier, P.R. Rodrigues and R. Roussarie, Germs of Diffeomor- phisms in the Plane, Lecture Notes in Mathematics 902, Springer, Berlin, 1981. [17] A.Halanlay, V. Ionescu, Time-Varying Discrete Linear Systems. Input-Output Operators Riccati Equations, Disturbance Attenuation, Springer, Berlin, 1994. [18] P. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkha¨user, Boston, 1982. [19] M. Ikeda, H. Maeda and S. Kodama, Stabilization of linear systems, SIAM Journal on Control 4 (1972), no. 10, 716-729. [20] R.E. Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana 2 (1960), no. 5, 102-119. [21] P.E. Kloeden and M. Rasmussen, Nonautonomous Dynamical Sys- tems, Mathematical Surveys and Monographs, 176. American Math- ematical Society, Providence, RI, 2011. [22] P. E. Kloeden and C. Potzsche, Nonautonomous Dynamical Systems in the Life Sciences, Lecture Notes in Mathematics 2102, Springer International Publishing, pp. 3–39, 2013. [23] G. A. Leonov and M. M. Shumafov, Stabilization of Linear Systems, Cambridge Sci. Publ., Cambridge, 2012. 86 [24] V.H. Linh, V. Mehrmann, Approximation of spectral intervals and leading directions for differential-algebraic equation via smooth sin- gular value decompositions, SIAM Journal on Numerical Analysis 49 (2011), no. 5, 1810–1835. [25] E. K. Makarov, S. N. Popova, Controllability of asymptotic invariants of time-dependent linear systems, Belorusskaya Nauka, Moscow, 2012. [26] K. Palmer, A generalization of Hartman’s linearization theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications 41 (1973), 753- 758. [27] S. N. Popova, On the global controllability of Lyapunov exponennts of linear systems, Differential Equations 43 (2007), no. 8, 1072-1078. [28] C. Po¨tzsche, Geometric Theory of Discrete Nonautonomous Dynam- ical Systems, Lecture Notes in Mathematics 2002, Springer, Berlin, 2010. [29] C. Po¨tzsche, Fine structure of the dichotomy spectrum, Integral Equations Operator Theory 73 (2012), no. 1, 107-151. [30] C. Po¨tzsche, Dichotomy spectra of triangular equations, Discrete & Continuous Dynamical Systems 36 (2016), no. 1, 423-450. [31] C. Po¨tzsche and S. Siegmund, Smoothness of invariant fiber bundles, Topol. Methods Nonlinear Anal. 24 (2004), no. 1, 107-145. [32] M. Rasmussen, Attractivity and Bifurcation for Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 1907, Springer, Berlin, 2007. 87 [33] M. Rasmussen, Dichotomy spectra and Morse decompositions of linear nonautonomous differential equation, Journal of Differential Equations 246 (2009), 2242-2263. [34] R.J. Sacker and G.R. Sell, A spectral theory for linear differential systems, Journal of Differential Equations 27 (1978), no. 3, 320–358. [35] S. Siegmund, Spektraltheorie, glatte Faserungen und Normalformen fu¨r Differentialgleichungen vom Carathéodory-Typ. Dissertation, Uni- versity of Augsburg, 1999. [36] S. Siegmund, Dichotomy spectrum for nonautonomous differential equations, Journal of Dynamics and Differential Equations 14 (2002), no. 1, 243–258. [37] S. Siegmund, Normal forms for nonautonomous differential equa- tions, Journal of Differential Equations 178 (2002), no. 2, 541-573. [38] S. Siegmund, Reducibility of nonautonomous linear differential equa- tions, J. London Math. Soc. 65 (2002), no. 2, 397-410. [39] J.M. Steele, An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Cauchy-Schwarz Master Class, Cambridge University Press, 2004. [40] S. Sternberg, Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer. J. Math. 79 (1957), 809-824. [41] S. Sternberg, On the structure of local homeomorphisms of Euclidian n-space, I, Amer. J. Math. 80 (1958), 623-631. [42] E. L. Tonkov, Criterion of uniform controllability and stabilization of linear recurrent system, Differentsialnye Uravneniya 10 (1979), no. 15, 1804-1813. 88 [43] W. Wonham, On pole assignment in multi-input controllable linear systems, IEEE Trans. on Automatic Control 12 (1967), no. 6, 660-665. [44] V.A. Zaitsev, S.N. Popova, E.L. Tonkov, On the property of uniform complete controllability of a discrete-time linear control system, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki 4 (2014), 53-63.