Luận án Các đặc trưng plasmon và tính chất động lực học của hệ điện tử trong graphene

a hai trạng thái này. Vì quá trình chuyển giữa hai điểm K tương ứng với một vectơ sóng q có độ lớn tương đương với độ lớn của các vectơ mạng đảo nên các hiệu ứng LFE phải được đưa vào. Việc áp dụng LFE một cách tổng quát làm tăng mức độ phức tạp trong tính toán của bài toán vì phải đưa vào các vectơ mạng đảo để đảm bảo tính không đồng đều của hệ thực. Khi đó ta phải làm việc với một ma trận điện môi có kích thước lớn [124, 116, 117]. Tuy nhiên trong trường hợp ta chỉ xét tác động của trường ngoài theo một phương nhất định, ở đây ta chọn phương  0, yqq , và vectơ K K q (xem Hình 4.1) thì ma trận điện môi được rút gọn lại có kích thước 3 3 [152]   1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 00 0 0 0 0                   G G G G G G G G G G G G . (4.63) Trong đó, các vectơ mạng đảo được chọn như sau    1 2 1 2, 0, , 0, , G G = G G b b , (4.64) 107 với 1 1 cc 2 ,0 3a     G = b ; 2 2 cc 20, 3a       G = b . (4.65) Các vectơ trong vùng BZ này được biểu diễn trên Hình 4.1. q 1G 2G K K FE q  b Hình 4.1 (a) Vị trí hai điểm K và các vectơ mạng đảo. (b) Mô tả quá trình chuyển intra-inter- valley Độ lớn vectơ q thỏa mãn 1 cc 4 17.031nm 3 3a   q , (4.66) và có thể viết dưới dạng K K  q q ; Fq k K K   . (4.67) Thế Coulomb 2D áp dụng cho graphene có dạng   2 02 ev   G q q G . (4.68) Đặt  Q G q ,   Q G q, (4.69) ta có hệ số tích phân (3.35) có dạng    2 22 2 cc gg 2 cc44e e Q aQ aM Q    , (4.70) 108 trong đó thông số g được xác định theo gần đúng TB lân cận thứ hai có tính đến các hệ số chồng chập orbital tương ứng với giá trị 0.08s  như trong Chương 3. Các hàm điện môi trong ma trận (4.63) được xác định như sau   v     GG G GGGG P , (4.71) với GGP xác định như (4.42) với các hàm chồng chập xác định từ (3.29), (3.30) và vG xác định từ (4.68). Tổng theo k trong (4.42) lấy trong vùng BZ. Hình 4.2 Hàm EELS ứng với một số giá trị của q (nm-1) Phổ tán sắc plasmon xác định từ vị trí đỉnh của hàm phổ EELS (3.37) tính theo hàm điện môi vĩ mô (4.52) hoặc tương đương với điều này là định thức của ma trận hàm điện môi bằng không [152]:  det 0  GG . (4.72) Phổ EELS của graphene ở mức pha tạp F 0.2eVE  tương ứng với một số giá trị vectơ  0, yqq và có độ lớn gần bằng giá trị khoảng cách giữa hai điểm K được thể hiện trên Hình 4.2. Từ hình vẽ ta có thể thấy có một mối quan hệ tuyến tính trong phổ tán sắc plasmon  p q , mối quan hệ này được thể hiện cụ thể trên Hình 4.3. Chú ý rằng trong tính toán lý thuyết của Tudorovskiy và Mikhailov [152] chỉ xét đến các giá trị pha tạp nhỏ của graphene, và vẫn áp dụng phép gần đúng hình nón tròn xoay xung quanh các điểm K. Ở đây ta đã sử dụng phương pháp tính số và kết quả cho thấy sự phù hợp với dự đoán của nhóm này. 109 Hình 4.3 Quan hệ tán sắc plasmon tuyến tính 4.3 Kết luận Trong chương này ta đã trình bày về lý thuyết lượng tử về hàm điện môi có tính đến hiệu ứng LFE. Lý thuyết này bổ sung cho phép gần đúng RPA trong các trường hợp: i) hệ thực không còn tính chất tuần hoàn do tạp chất, sai hỏng, hay do biến dạng, ii) tác động của trường ngoài có bước sóng ngắn so sánh được với hằng số mạng thực. Khi đó sự tập trung thành đám của các electron trong ô mạng tinh thể do hiệu ứng màn chắn phải được tính đến. Hàm điện môi RPA bây giờ trở thành một ma trận điện môi với các chỉ số là các vectơ mạng đảo. Hàm điện môi vĩ mô M được tính bằng nghịch đảo của yếu tố ma trận  0,0 của ma trận nghịch đảo. Ta cũng xét trường hợp giới hạn để hàm điện môi vĩ mô có tính đến LFE trở thành hàm điện môi RPA, chính là công thức Lindhard ta đã xét trong Phần 1.4. Việc áp dụng lý thuyết hàm điện môi có chứa LFE làm cho mức độ tính toán trở nên phức tạp hơn vì ta phải đưa vào đủ lớn số lượng các vectơ mạng đảo. Tuy nhiên trong trường hợp trường ngoài có một đặc trưng nào đó rõ ràng ta có thể rút gọn ma trận điện môi sao cho khối lượng tính toán trở nên đơn giản hơn. Cụ thể trong bài toán chuyển trạng thái giữa hai điểm K, ma trận điện môi có kích thước 3 3 . Ở mức pha tạp thấp, gần đúng Dirac được áp dụng, các đặc trưng plasmon tương ứng với sự chuyển trạng thái này có thể được tính bằng giải tích. Dựa trên những dự đoán đã có này, ta đã xây dựng một phương pháp tính số để thu được các đặc trưng inter-valley-plasmon phù hợp với dự đoán trước đó. Kết quả về phổ tán sắc plasmon tuyến tính này mới chỉ là các kết quả ban đầu trong việc áp dụng lý thuyết hàm điện môi có chứa LFE. Mức pha tạp F 0.2eVE  là nhỏ nhằm mục đích kiểm tra lại dự đoán lý thuyết trước đó. Tuy nhiên việc tính số có thể thu được các kết quả cho trường hợp pha tạp cao hơn, khi đó hiệu ứng bất đẳng hướng của mặt năng lượng có ý nghĩa rõ ràng hơn và điều này được dự báo là sẽ thu được những kết quả mới hơn, chính là những vấn đề được đặt ra trong việc nghiên cứu tiếp theo của đề tài. 110 Kết luận và kiến nghị Để hoàn thành luận án này chúng tôi đã thực hiện một khối lượng công việc lớn tuy nhiên có thể kết luận lại trong 4 điểm chính như sau: 1. Về mặt kỹ thuật tính toán: Việc triển khai các tính toán cấu trúc điện tử của graphene theo cách mô tả liên kết chặt với cách chọn ô cơ sở có dạng hình chữ nhật chứa bốn nguyên tử carbon (thay cho ô cơ sở tối giản hình thoi chứa hai nguyên tử carbon) để cải thiện phương thức sampling các vector sóng trong vùng Brillouin. Việc sampling vùng Brillouin hình chữ nhật rõ ràng là dễ triển khai về mặt phương pháp số hơn là việc sampling vùng Brillouin hình lục giác trong cách biểu diễn tối giản. Giải pháp được chúng tôi áp dụng không những cho phép dễ dàng loại bỏ được các điểm kì dị trong các hàm số trong công thức tính toán độ dẫn quang và hàm điện môi, mà còn dễ dàng cho phép mở rộng các tính toán cho graphene sang các tính toán cho các cấu trúc siêu mạng graphene. Để có thể thu nhận được đúng đắn quỹ tích các không điểm của hàm điện môi đòi hỏi phải sampling vùng Brillouin rất mịn, dẫn đến khối lượng tính toán phải thực hiện rất lớn. Giải pháp tính toán song song trên các hệ cluster đa lõi đã được chúng tôi sử dụng để tăng tốc công việc tính toán. Sự đúng đắn của các tính toán số được kiểm chứng thông qua các so sánh trực tiếp các kết quả tính toán như đường cong tán sắc của plasmon thu được từ các tính toán giải tích. 2. Thực hiện một khảo sát hệ thống các hiệu ứng của các yếu tố nội tại như tính bất đẳng hướng của mặt năng lượng và các yếu tố bên ngoài như nhiệt độ và pha tạp lên sự hình thành và biểu hiện của phổ kích thích tập thể của điện tử trong mạng graphene. Các kết quả đạt được phù hợp với những phát hiện đã được công bố bởi các tác giả khác. Đặc biệt chỉ ra giới hạn của mô hình Dirac trong việc mô tả các tính chất động lực học của graphene và phân tích rõ vai trò của các cơ chế chuyển nội dải và ngoại dải tới sự hình thành plasmon. 3. Phát hiện ra sự chi phối của tính không tương đương giữa các trạng thái trong hai thung lũng/nón Dirac tới sự hình thành và đặc trưng của các mode plasmon trong graphene ở chế độ bước sóng dài. Theo đó, cùng với tính bất đẳng hướng rõ rệt của mặt năng lượng Fermi trong chế độ pha tạp cao, sự không tương đương giữa các trạng thái điện tử trong hai thung lũng Dirac trong vùng Brillouin sẽ được thể hiện rõ ràng trong quá trình thay đổi trạng thái của electron. Mặc dù trong giới hạn quang học, tính không tương đương này không được thể hiện trên các đại lượng vật lý đo được, nhưng chúng tôi chỉ ra rằng tính chất này đóng vai trò điều kiện đủ cho việc hình thành một mode plasmon đặc biệt xuất hiện bên cạnh mode plasmon của hệ điện tử hai chiều. Sự xuất hiện của mode plasmon mới rất tinh tế và chưa được quan sát thực nghiệm. Tuy nhiên, kết quả tính toán của chúng tôi được cũng cố bởi một số các kết quả tính toán sử dụng cách tiếp cận nguyên lý đầu. 4. Mở rộng tính toán hàm số điện môi để tính đến hiệu ứng trường địa phương, chúng tôi áp dụng để nghiên cứu đặc trưng plasmon của graphene trong chế độ bước sóng ngắn. Các tính toán số của chúng tôi dường như thu nhận lại được bức tranh của một mode plasmon tuyến tính đã được dự đoán lý thuyết trước đó, gọi là inter- valley plasmon mode. 111 Tóm lại, trong quá trình thực hiện luận án này, ngoài việc quan tâm giải quyết các bài toán vật lý đặt ra về việc khảo sát các tính chất động lực học của hệ electron bên trong mạng tinh thể graphene chúng tôi đã phát triển các kỹ thuật tính toán, cả giải tích lẫn tính số, một cách hiệu quả để thực thi các nhiệm vụ đề ra. Việc không sử dụng các công cụ tính toán có sẵn như các package tính toán phiếm hàm mật độ mà tự phát triển các công cụ tính toán đã cho chúng tôi những trải nghiệm sâu sắc về các phương pháp tính cũng như có cơ hội phân tích hiểu rõ hơn bản chất vật lý của các kết quả tính toán (phát hiện ra hiệu ứng của sự không tương đương giữa các trạng thái điện tử trong hai thung lũng Dirac là một minh chứng cho nhận định này). Về các bài toán vật lý mà chúng tôi quan tâm giải quyết trong luận án vẫn là những vấn đề đang được quan tâm của cộng đồng hiện nay do bản chất vật lý cơ bản cũng như tính định hướng ứng dụng cho công nghệ. Các kết quả nghiên cứu mà chúng tôi thu được và đã được công bố hy vọng sẽ đóng góp vào việc hình thành nhận thức chung về vật lý của một loại vật liệu mới đầy triển vọng ứng dụng trong các lĩnh vực công nghệ cao trong tương lai. 112 Tài liệu tham khảo 1. Abedinpour S H, Vignale G, Principi A, Polini M, Tse W K and MacDonald A H (2011) Drude weight, plasmon dispersion, and ac conductivity in doped graphene sheets. Phys. Rev. B 84, 045429 2. Abergel D S L, Apalkov V, Berashevich J, Ziegler K and Chakraborty T (2010) Research Article: Properties of graphene: a theoretical perspective. Adv. Phys. 59, 261 3. Abramowitz M and Stegun I A (1972) Handbook of Mathematical Functions. NewYork, Dover 4. Adler S L (1962) Quantum Theory of the Dielectric Constant in Real Solids. Phys. Rev. 126, 2413 5. Alonso-González P, Nikitin A Y, Golmar F, Centeno A, Pesquera A, Vélez S, Chen J, Navickaite G, Koppens F, Zurutuza A, Casanova F, Hueso L E, Hillenbrand R (2014) Controlling graphene plasmons with resonant metal antennas and spatial conductivity patterns. Science 344, 1369 6. Ando T, Fowler A B, and Stern F (1982) Electronic properties of two-dimensional systerms. Rev. Mod. Phys. 54, 437 7. Ando T (2006) Screening Effect and Impurity Scattering in Monolayer Graphene. J. Phys. Soc. Jpn. 75, 074716 8. Anh Le H, Chien Nguyen D, Nam Do V (2014) Anomalous confined electron states in graphene superlattices. Appl. Phys. Lett. 105, 013512 9. Anh Le H, Ta Ho S, Chien Nguyen D and Nam Do V (2014) Optical properties of graphene superlattices. J. Phys.: Condens. Matt. 26, 405304 10. Ashcroft N W and Mermin N D (1976) Solid State Physics. Harcourt, Inc. 11. Avouris P (2010) Graphene: Electronic and Photonic Properties and Devices. Nano Lett. 10, 4285 12. Barbier M, Peeters F M, Vasilopoulos P, and Pereira J M (2008) Dirac and Klein- Gordon particles in one-dimensional periodic potentials. Phys. Rev. B 77, 115446 13. Barbier M, Vasilopoulos P, and Peeters F M (2010) Extra Dirac points in the energy spectrum for superlattices on single-layer graphene. Phys. Rev. B 81, 075438 14. Barlas Y, Pereg-Barnea T, Polini M, Asgari R, and MacDonald A H (2007) Chirality and Correlations in Graphene. Phys. Rev. Lett. 98, 236601 15. Bao Q, Zhang H, Wang B, Ni Z, Lim C H Y X, Wang Y, Tang D Y and Loh K P (2011) Broadband graphene polarizer. Nat. Photonics 5, 411 16. Barnes W L, Dereux A & Ebbesen T W (2003) Surface plasmon subwavelength optics. Nature 424, 824 17. Bassani F, Liedl G L, Wyder P (2005) Encyclopedia of Condensed Matter Physics. Elsevier, UK 113 18. Beenakker C W J (2008) Colloquium: Andreev reflection and Klein tunneling in graphene. Rev. Mod. Phys. 80, 1337 19. Bena C (2009) Green’s functions and impurity scattering in graphene. Phys. Rev. B 79, 125427 20. Bena C, and Montambaux G (2009) Remarks on the tight-binding model of graphene. New J. Phys. 11, 095003 21. Bludov Y V, Ferreira A, Peres N M R, and Vasilevskiy M I (2013) A Primer on Surface Plasmon-Polaritons in Graphene. Int. J. Mod. Phys. B 27, 1341001 22. Bonitz M, Horing N, Ludwig P (2012) Introduction to Complex Plasmas. Springer- Verlag Berlin Heidelberg 23. Brongersma M L, Kik P G (2007) Springer Series in Optical Sciences: Surface Plasmon Nanophotonics. Springer, New York 24. Bruus H and Flensberg K (2002) Introduction to Many-body quantum theory in condensed matter physics. Oxford, UK 25. Castro Neto A H, Guinea F, Peres N M R, Novoselov K S and Geim A K (2009) The electronic properties of graphene. Rev. Mod. Phys. 81, 109 26. Castro Neto A H (2010) Review: The carbon new age. Mater. Today 13, 1 27. Chen C -F, Park C -H, Boudouris B W, Horng J, Geng B, Girit C, Zettl A, Crommie M F, Segalman R A, Louie S G and Wang F (2011) Controlling inelastic light scattering quantum pathways in graphene. Nature 471, 617 28. Chen J, Badioli M, Alonso-González P, Thongrattanasiri S, Huth F, Osmond J, Spasenović M, Centeno A, Pesquera A, Godignon P, Elorza A Z, Camara N, García de Abajo J F, Hillenbrand R & Koppens F H L (2012) Optical nano-imaging of gate- tunable graphene plasmons. Nature 487, 77 29. Cohen M H and Phillips J C (1961) Dielectric Screening and Self-Consistent Crystal Fields. Phys. Rev. 124, 1818 30. Cupolillo A, Ligato N, Caputi L S (2012) Two-dimensional character of the interface -  plasmon in epitaxial graphene on Ni(111). Carbon 50, 2588 31. Cupolillo A, Ligato N, Caputi L (2013) Low energy two-dimensional plasmon in epitaxial graphene on Ni (111). Surf. Sci. 608, 88 32. Das Sarma S, Hwang E H, and Tse W-K (2007) Many-body interaction effects in doped and undoped graphene:Fermi liquid versus non-Fermi liquid. Phys. Rev. B 75, 121406 33. Despoja V, Novko D, Dekanć K, Šunjić M, and Marušić L (2013) Two-dimensional and  plasmon spectra in pristine and doped graphene. Phys. Rev. B 87, 075447 34. Dietl P, Piéchon F, and Montambaux G (2008) New Magnetic Field Dependence of Landau Levels in a Graphenelike Structure. Phys. Rev. Lett. 100, 236405 35. Do V N and Pham T H (2010) Graphene and its one-dimensional patterns: from basic properties towards applications. Adv. Nat. Sci.: Nanosci. Nanotechnol. 1, 033001 36. Dressel M, Grüner G (2002) Electrodynamics of Solids Optical Properties of Electrons in Matter. Cambridge, New York 114 37. Dugaev V K, Katsnelson M I (2012) Graphene in periodic deformation fields: Dielectric screening and plasmons. Phys. Rev. B 86, 115405 38. Eberlein T, Bangert U, Nair R R, Jones R, Gass M, Bleloch A L, Novoselov K S, Geim A, and Briddon P R (2008) Plasmon spectroscopy of free-standing graphene films. Phys. Rev. B 77, 223406 39. Efetov D K and Kim P (2010) Controlling Electron-Phonon Interactions in Graphene at Ultrahigh Carrier Densities. Phys. Rev. Lett. 105, 256805 40. Ehrenreich H and Cohen M H (1959) Self – consistent Field Approach to the Many – Electron Problem, Phys. Rev. 115, 786 41. Falk D S (1960) Effect of the Lattice on Dielectric Properties of an Electron Gas. Phys. Rev. 118, 105 42. Falkovsky L A and Pershoguba S S (2007) Optical far-infrared properties of a graphene monolayer and multilayer. Phys. Rev. B 76, 153410 43. Fang Z, Thongrattanasiri S, Schlather A, Liu Z, Ma L, Wang Y, Ajayan P M, Nordlander P, Halas N J, and Garcia de Abajo F J (2013) Gated Tunability and Hybridization of Localized Plasmons in Nanostructured Graphene. ACS Nano 7, 2388 44. Fei Z, Rodin A S, Andreev G O, Bao W, McLeod A S, Wagner M, Zhang L M, Zhao Z, Thiemens M, Dominguez G, Fogler M M, Castro Neto A H, Lau C N, Keilmann F & Basov D N (2012) Gate-tuning of graphene plasmons revealedby infrared nano- imaging. Nature 487, 82–85 45. Fetter A L and Walecka J D (2003) Quantum Theory of Many-Particle Systems. Dover, New York 46. Gan C H (2012) Analysis of surface plasmon excitation at terahertz frequencies with highly-doped graphene sheets via attenuated total reflection. Appl. Phys. Lett. 101, 111609 47. Gangadharaiah S, Farid A M, and Mishchenko E G (2008) Charge Response Function and a Novel Plasmon Mode in Graphene. Phys. Rev. Lett. 100, 166802 48. Gao Y, Yuan Z (2011) Anisotropic low-energy plasmon excitations in doped graphene: An ab initio study. Solid State Commun. 151, 1009 49. García de Abajo F J (2010) Optical excitations in electron microscopy. Rev. Mod. Phys. 82, 209 50. García de Abajo F J (2014) Graphene Plasmonics: Challenges and Opportunities. ACS Photonic 1, 135 51. Gass M H, Bangert U, Bleloch A L, Wang P, Nair R R and Geim A K (2008) Free- standing graphene at atomic resolution. Nat. Nanotechnol. 3, 676 52. Geim A K and Novoselov K S (2007) The rise of graphene. Nat. Mater. 6, 183 53. Giuliani A F and Vignale G (2005) Quantum Theory of the Electron Liquid. Cambridge University Press, Cambridge, UK 54. González J, Guinea F, Vozmediano M A H (1999) Marginal-Fermi-liquid behavior from two-dimensional Coulomb interaction. Phys. Rev. B 59, R2474 55. Greiner W (1991) Classical Electrodynamics. Springer, New York 115 56. Grigorenko A N, Polini M and Novoselov K S (2012) Graphene plasmonics. Nat. Photonics 6, 749 57. Haldane F D M (1988) Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the "Parity Anomaly". Phys. Rev. Lett. 61, 2015 58. Han Z and Bozhevolnyi S I (2013) Radiation guiding with surface plasmon polaritons. Rep. Prog. Phys. 76, 016402 59. Hanket W and Sham L J (1974) Dielectric Response in the Wannier Representation: Application to the Optical Spectrum of Diamond. Phys. Rev. Lett. 33, 582 60. Hanket W and Sham L J (1975) Local-field and excitonic effects in the optical spectrum of a covalent crystal. Phys. Rev. B 12, 4501 61. Hanson G W (2008) Dyadic Green’s functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene. J. Appl. Phys. 103, 064302 62. Haug H, Koch S W (2004) Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore 63. Hill A, Mikhailov S A and Ziegler K (2009) Dielectric function and plasmons in graphene, Europhys. Lett., 87, 27005 64. Ho J H, Chiu Y H, Tsai S J, and Lin M F (2009) Semimetallic graphene in a modulated electric potential. Phys. Rev. B 79, 115427 65. Hwang E H and Das Sarma S (2007) Dielectric function, screening, and plasmons in two-dimensional graphene. Phys. Rev. B 75, 205418 66. Hwang E H and Das Sarma S (2009) Plasmon modes of spatially separated double- layer graphene. Phys. Rev. B 80, 205405 67. Hwang E H, Sensarma R, and Das Sarma S (2010) Plasmon-phonon coupling in graphene. Phys. Rev. B 82, 195406 68. Jablan M, Buljan H, and Soljačić M (2009) Plasmonics in graphene at infrared frequencies. Phys. Rev. B 80, 245435 69. Jang C, Adam S, Chen J. -H, Williams E D, Das Sarma S, and Fuhrer M S (2008) Tuning the Effective Fine Structure Constant in Graphene: Opposing Effects of Dielectric Screening on Short- and Long-Range Potential Scattering. Phys. Rev. Lett. 101, 146805 70. Ju L, Geng B, Horng J, Girit C, Martin M, Hao Z, Bechtel H A, Liang X, Zettl A, Shen Y R and Wang F (2011) Graphene plasmonics for tunable terahertz metamaterials. Nat. Nanotechnol. 6, 630 71. Juan F, Hwang E H, and Vozmediano M A H (2010) Spectral and optical properties of doped graphene with charged impurities in the self-consistent Born approximation. Phys. Rev. B 82, 245418 72. Kadi F and Malic E (2014) Optical properties of Bernal-stacked bilayer graphene: A theoretical study. Phys. Rev. B 89, 045419 73. Kadirko V, Ziegler K, Kogan E (2013) Next-Nearest-Neighbor Tight-Binding Model of Plasmons in Graphene. Graphene 2, 97 74. Katsnelson M I (2012) Graphene: Carbon in Two Dimensions. Cambridge University Press, New York 116 75. Kinyanjui M K, Kramberger C, Pichler T, J. C. Meyer J C, Wachsmuth P, Benner G and Kaiser U (2012) Direct probe of linearly dispersing 2D interband plasmons in a free-standing graphene monolayer. Europhys. Lett. 97, 57005 76. Kittel C (1996) Introduction to Solid State Physics, seventh edition. John Wiley & Sons, New York 77. Koester S J, and Li M (2013) Waveguide-Coupled Graphene Optoelectronics. IEEE J. Sel. Top. Quant. 20 78. Koppens F H L, Chang D E, and Javier García de Abajo F (2011) Graphene plasmonics: A platform for strong light-matter interaction. Nano Lett. 11, 3370 79. Kotov V N, Uchoa B, and Castro Neto A H (2008) Electron-electron interactions in the vacuum polarization of graphene. Phys. Rev. B 78, 035119 80. Kotov V N, Uchoa B, and Castro Neto A H (2009) 1/N expansion in correlated graphene. Phys. Rev. B 80, 165424 81. Kotov V N, Uchoa B, Pereira V M, Guinea F, and Castro Neto A H (2012) Electron- Electron Interactions in Graphene: Current Status and Perspectives. Rev. Mod. Phys. 84, 1067 82. Kramberger C, Hambach R, Giorgetti C, Rümmeli M H, Knupfer M, Fink J, Büchner B, Reining L, Einarsson E, Maruyama S, Sottile F, Hannewald K, Olevano V, Marinopoulos A G, and Pichler T (2008) Linear Plasmon Dispersion in Single-Wall Carbon Nanotubes and the Collective Excitation Spectrum of Graphene. Phys. Rev. Lett. 100, 196803 83. Kuzmenko A B, van Heumen E, Carbone F and van der D (2008) Universal Optical Conductance of Graphite Phys. Rev. Lett. 100, 117401 84. Langer T, Baringhaus J, Pfnür H, Schumacher H W and Tegenkamp C (2010) Plasmon damping below the Landau regime: the role of defects in epitaxial graphene. New J. Phys. 12, 033017 85. Langer T, Förster D F, Busse C, Michely T, Pfnür H and Tegenkamp C (2011) Sheet plasmons in modulated graphene on Ir(111). New J. Phys. 13, 053006 86. Laitenberger P and Palmer R E (1996) Plasmon Dispersion and Damping at the Surface of a Semimetal. Phys. Rev. Lett. 76, 1952 87. Li H, Anugrah Y, Koester S J, and Li M (2012) Optical absorption in graphene integrated on silicon waveguides. Appl. Phys. Lett. 101, 111110 88. Li Z Q, Henriksen E A, Jiang Z, Hao Z, Martin M C, Kim P, Stormer H L, and Basov D N (2008) Dirac charge dynamics in graphene by infrared spectroscopy. Nat. Phys. 4, 532 89. Lin M F and Shyu F L (2000) Temperature-Induced Plasmons in a Graphite Sheet. J. Phys. Soc. Jpn. 69, 607 90. Liou S C, Shie C -S, Chen C H, Breitwieser R, Pai W W, Guo G Y, and Chu M -W (2015)  -plasmon dispersion in free-standing graphene by momentum-resolved electron energy-loss spectroscopy. Phys. Rev. B 91, 045418 91. Liu M, Yin X, Ulin-Avila E, Geng B, Zentgraf T, Ju L, Wang F and Zhang X (2011) A graphene-based broadband optical modulator. Nature 474, 64 117 92. Liu Y and Willis R F (2008) Plasmon dispersion and damping in electrically isolated two-dimensional charge sheets. Phys. Rev. B 78, 201403(R) 93. Lourtioz J -M, Benisty H, Berger V, Gerard J -M, Maystre D, Tchelnokov A (2005) Photonic Crystals Towards Nanoscale Photonic Devices, Translated by Pierre-Noel Favennec. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 94. Luo X, Qiu T, Lu W, Ni Z (2013) Plasmons in graphene: Recent progress and applications. Mat. Sci. Eng. R. 74, 351 95. Mochán W L and Barrera R G (1985) Electromagnetic response of systems with spatial fluctuations. I. General formalism. Phys. Rev. B 32, 4984 96. Mahan G D (2000) Many-Particle Physics. Plenum, New York 97. Maier S A (2007) Plasmonics: Fundamentals and applications. Springer, New York 98. Malic E, Winzer T, Bobkin E, and Knorr A (2011) Microscopic theory of absorption and ultrafast many-particle kinetics in graphene. Phys. Rev. B 84, 205406 99. Marinopoulos A G, Reining L, Rubio A, and Olevano V (2004) Ab initio study of the optical absorption and wave-vector-dependent dielectric response of graphite. Phys. Rev. B 69, 245419 100. Martin P C and Schwinger J (1959) Theory of Many-Particle Systems. I. Phys. Rev. 115, 1342 101. Messina R, Hugonin J -P, Greffet J -J, Marquier F, Wilde Y D, Belarouci A, Frechette L, Cordier Y, and Ben-Abdallah P (2013) Tuning the electromagnetic local density of states in graphene-covered systems via strong coupling with graphene plasmons. Phys. Rev. B 87, 085421 102. Mikhailov S (2011) Physics and Applications of Graphene – Theory. Published by InTech, Janeza Trdine 9, 51000 Rijeka, Croatia 103. Mikhailov S A and Ziegler K (2008) A new electromagnetic mode in graphene. Phys. Rev. Lett. 99, 016803 104. Morozov S V, Novoselov K S, Katsnelson M I, Schedin F, Elias D C, Jaszczak J A, and Geim A K (2008) Giant Intrinsic Carrier Mobilities in Graphene and Its Bilayer. Phys. Rev. Lett. 100, 016602 105. Morpurgo A F, Guinea F (2006) Intervalley Scattering, Long-Range Disorder, and Effective Time-Reversal Symmetry Breaking in Graphene. Phys. Rev. Lett. 97, 196804 106. Nair R R, Blake P, Grigorenko A N, Novoselov K S, Booth T J, Stauber T, Peres N M R, Geim A K (2008) Fine Structure Constant Defines Visual Transparency of Graphene. Science 320, 1308 107. Novoselov K S, Geim A K, Morozov S V, Jiang D, Zhang Y, Dubonos S V, Grigorieva I V, Firsov A A (2004) Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films. Science 306, 666 108. Novoselov K S, Geim A K, Morozov S V, Jiang D, Katsnelson M I, Grigorieva I V, Dubonos S V, and Firsov A A (2005) Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. Nature 438, 197 109. Novoselov K S (2011) Nobel Lecture: Graphene: Materials in the Flatland. Rev. Mod. Phys. 83, 837 118 110. Onida G, Reining L, Rubio A (2002) Electronic excitations: density-functional versus many-body Green’s-function approaches. Rev. Mod. Phys. 74, 601 111. Ostrikov K, Cvelbar U and Murphy A B (2011) Plasma nanoscience: setting directions, tackling grand challenges. J. Phys. D: Appl. Phys. 44, 174001 112. Otto A (1968) Excitation of Nonradiative Surface Plasma Waves in Silver by the Method of Frustrated Total Reflection. Z. Phys. 216, 398 113. Patterson J, Bailey B (2010) Solid-State Physics, Introduction to the Theory, second edition. Springer, Verlag Berlin Heidelberg 114. Park C -H, Yang L, Son Y -W, Cohen M L, and Louie S G (2008) Anisotropic behaviours of massless Dirac fermions in graphene under periodic potentials. Nat. phys. 4, 213 115. Park C -H, Son Y -W, Yang L, Cohen M L, and Louie S G (2009) Landau Levels and Quantum Hall Effect in Graphene Superlattices. Phys. Rev. Lett. 103, 046808 116. Pellegrino F M D, Angilella G G N, and Pucci R (2009) Effect of impurities in high- symmetry lattice positions on the local density of states and conductivity of graphene. Phys. Rev. B 80, 094203 117. Pellegrino F M D, Angilella G G N, and Pucci R (2010) Strain effect on the optical conductivity of graphene. Phys. Rev. B 81, 035411 118. Pellegrino F M D, Angilella G G N, and Pucci R (2010) Dynamical polarization of graphene under strain. Phys. Rev. B 82, 115434 119. Peres N M R, Guinea F and Castro Neto A H (2006) Electronic properties of disordered two-dimensional carbon. Phys. Rev. B 73, 125411 120. Peres N M R (2010) Colloquium: The transport properties of graphene: An introduction. Rev. Mod. Phys. 82, 2673 121. Pines D (1956) Collective Energy Losses in Solids. Rev. Mod. Phys. 28, 184 122. Pines D (1963) Elementary Excitations in Solids. W. A. Benjamin, New York 123. Pines D (1999) Elementary Excitations in Solids. Perseus Books Publishing, L.L.C., Printed in the USA 124. Pisarra M, Sindona A, Riccardi P, Silkin V M and Pitarke J M (2014) Acoustic plasmons in extrinsic free-standing graphene. New J. Phys. 16, 083003 125. Pitarke J M, Silkin V M, Chulkov E V, and Echenique P M (2007) Theory of surface plasmons and surface-plasmon polaritons. Rep. Prog. Phys. 70, 1 126. Polini M, Asgari R, Borghi G, Barlas Y, Pereg-Barnea T, and MacDonald A H (2008) Plasmons and the spectral function of graphene. Phys. Rev. B 77, 081411(R) 127. Politano A, Marino A R, Formoso V, Farías D, Miranda R, and Chiarello G (2011) Evidence for acoustic-like plasmons on epitaxial graphene on Pt(111). Phys. Rev. B 84, 033401 128. Ponomarenko L A, Yang R, Mohiuddin T M, Katsnelson M I, Novoselov K S, Morozov S V, Zhukov A A, Schedin F, Hill E W, and Geim A K (2009) Effect of a High  Environment on Charge Carrier Mobility in Graphene. Phys. Rev. Lett. 102, 206603 119 129. Principi A, Polini M, and Vignale G (2009) Linear response of doped graphene sheets to vector potentials. Phys. Rev. B 80, 075418 130. Principi A, Asgari R, Polini M (2011) Acoustic plasmons and composite hole-acoustic plasmon satellite bands in graphene on a metal gate. Solid State Commun. 151, 1627 131. Raether H (1988) Surface Plasmons on Smooth and Rough Surfaces and on Gratings. Springer, Berlin 132. Ramezanali M R, Vazifeh M M, Asgari R, Polini M and MacDonald A H (2009) Finite-temperature Screening and the Specific Heat of Doped Graphene Sheets. J. Phys. A Math. Theor. 42, 214015 133. Reich S, Maultzsch J, and Thomsen C (2002) Tight-binding description of graphene. Phys. Rev. B 66, 035412 134. Roldán R, López-Sancho M P, and Guinea F (2008) Effect of electron-electron interaction on the Fermi surface topology of doped graphene. Phys. Rev. B 77, 115410 135. Rycerz A, Tworzydło J and Beenakker C W J (2007) Valley filter and valley valve in graphene. Nat. Phys. 3, 172 136. Sabio J, Nilsson J, and Castro Neto A H (2008) f-sum rule and unconventional spectral weight transfer in graphene. Phys. Rev. B 78, 075410 137. Saito R, Dresselhaus G, and Dresselhaus M S (1998) Physical Properties of Carbon Nanotubes. Imperial College, London 138. Sandu T (2005) Optical matrix elements in tight-binding models with overlap. Phys. Rev. B 72, 125105 139. Schülke W, Bonse U, Nagasawa H, Kaprolat A, and Berthold A (1988) Interband transitions and core excitation in highly oriented pyrolytic graphite studied by inelastic synchrotron x-ray scattering: Band-structure information. Phys. Rev. B 38, 2112 140. Sensale-Rodriguez B (2013) Graphene-insulator-graphene active plasmonic terahertz devices. Appl. Phys. Lett. 103, 123109 141. Shin S Y, Kim N D, Kim J G, Kim K S, Noh D Y, Kim Kwang S, and Chung J W (2011) Control of the  plasmon in a single layer graphene by charge doping. Appl. Phys. Lett. 99, 082110 142. Shung K W -K (1986) Dielectric function and plasmon structure of stage-1 intercalated graphite. Phys. Rev. B 34, 979 143. Sreekanth K V and Yu T (2013) Long range surface plasmons in a symmetric graphene system with anisotropic dielectrics. J. Opt. 15, 055002 144. Stauber T, Peres N M R, and Geim A K (2008) Optical conductivity of graphene in the visible region of the spectrum. Phys. Rev. B 78, 085432 145. Stauber T, Schliemann J, and Peres N M R (2010) Dynamical polarizability of graphene beyond the Dirac cone approximation. Phys. Rev. B 81, 085409 146. Stauber T and Gómez-Santos G (2012) Plasmons in layered structures including graphene. New J. Phys. 14, 105018 147. Stauber T (2014) Topical Review: Plasmonics in Dirac systems: from graphene to topological insulators. J. Phys.: Condens. Matt. 26, 123201 (24pp) 120 148. Strait J H, Nene P, Chan W -M, Manolatou C, Tiwari S, and Rana F, Kevek J -W and McEuen P L (2013) Confined plasmons in graphene microstructures: Experiments and theory. Phys. Rev. B 87, 241410 149. Svintsov D, Vyurkov V, Ryzhii V, and Otsuji T (2013) Voltage-controlled surface plasmon-polaritons in double graphene layer structures. J. Appl. Phys. 113, 053701 150. Taft E A and Phillip H R (1965) Optical Properties of Graphite. Phys. Rev. 138, A197 151. Tegenkamp C, Pfnür H, Langer T, Baringhaus J and Schumacher H W (2011) Fast track communication: Plasmon electron–hole resonance in epitaxial graphene. J. Phys.: Condens. Matt. 23, 012001 152. Tudorovskiy T and Mikhailov S A (2010) Intervalley plasmons in graphene. Phys. Rev. B 82, 073411 153. Uchoa B, Reed J P, Gan Y, Joe Y I, Fradkin E, Abbamonte P and Casa D (2012) The electron many-body problem in graphene. Phys. Scr. T146, 014014 154. Vafek O (2006) Thermoplasma Polariton within Scaling Theory of Single-Layer Graphene. Phys. Rev. Lett. 97, 266406 155. Wallace P R (1947) The Band Theory of Graphite. Phys. Rev. 71, 622 156. Wang F, Zhang Y, Tian C, Girit C, Zettl A, Crommie M, Shen Y R (2008) Gate- Variable Optical Transitions in Graphene. Science 320, 206 157. Wang X -F and Chakraborty T (2007) Collective excitations of Dirac electrons in a graphene layer with spin-orbit interactions. Phys. Rev. B 75, 033408 158. Wiser N (1963) Dielectric Constant with Local Field Effects Included. Phys. Rev. 129, 62 159. Wooten F (1972) Optical Properties of Solids. Academic, New York 160. Wunsch B, Stauber T, Sols F and Guinea F (2006) Dynamical polarization of graphene at finite doping. New J. Phys. 8, 318 161. Yan H, Li X, Chandra B, Tulevski G, Wu Y, Freitag M, Zhu W, Avouris P and Xia F (2012) Tunable infrared plasmonic devices using graphene/insulator stacks. Nat. Nanotechnol. 7, 330 162. Yan H, Low T, Zhu W, Wu Y, Freitag M, Li X, Guinea F, Avouris P and Xia F (2013) Damping pathways of mid-infrared plasmons in graphene nanostructures. Nat. Photonics. 7, 394 163. Zagoskin A M (1998) Quantum Theory of Many – Body Systems: Techniques and applications. Springer - Verlag New York 164. Zener C (1930) Analytic Atomic Wave Functions. Phys. Rev. 36, 51 165. Ziegler K (2006) Robust Transport Properties in Graphene. Phys. Rev. Lett. 97, 266802 166. Ziman J M (1972) Principles of the Theory of Solids. Cambridge University Press 121 Danh mục các công trình đã công bố của luận án Nội dung chính của luận án đã được công bố trong các bài báo đăng trên tạp chí quốc tế: 1. Ta Ho S, Anh Le H, Le T, Chien Nguyen D, Nam Do V (2014) Effects of temperature, doping and anisotropy of energy surfaces on behaviors of plasmons in graphene. Physica E 58, 101–105. 2. Ta Ho S, Anh Le H, Le T and Nam Do V (2016) Inequivalent effect of Dirac valleys on low-energy plasmons in heavily doped graphene. Phys. Status Solidi B 253:6, 1186 – 1194. Các kết quả chính của luận án cũng đã được trình bày trong các báo cáo tại hội nghị chuyên ngành: - Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 38, từ ngày 29/7/2013 - 1/8/2013 tại thành phố Đà Nẵng. - Hội thảo quốc tế lần thứ nhất về Vật lý lý thuyết và Vật lý tính toán: Vật lý các chất cô đặc, các chất mềm và vật liệu, từ ngày 29/7/2013 - 1/8/2013 tại thành phố Đà Nẵng (1st International Workshop on Theoretical and Computational Physics (IWTCP-1): Condensed Matter, Soft Matter and Materials Physics). 122 Phụ lục 123 A. Biến đổi Fourier của thế Coulomb 2D Thế Coulomb tương tác electron – electron:   2 04 eV rr , (A1) với  là hằng số điện môi của môi trường, 0 là hằng số điện, 120 8,86 10 F/m   trong hệ SI, 191,6022 10 Ce   . Với q là vector sóng, ta có khai triển Fourier     ieV V qr q r q . (A2) Phép biến đổi Fourier ngược lại (trong không gian hai chiều):    2 i2d e  rV VL qrq r . (A3) Thay (A1) vào (A3) ta có   2 2 i2 0 1d e 4 eV r L r   qrq . trong đó 2L là diện tích của hệ. Chuyển sang tích phân theo tọa độ cực 2 2 0 0 d d dr r r         . ta có   22 i cos2 0 0 0 d d e 4 qreV r L      q . Sử dụng tính chất khai triển Fourier của hàm delta Dirac   i x1 e d 2 kx k      , thì  i cos 0 d e cosqrr q       , vậy    22 2 0 0 d cos 4 eV q L    q . (A4) Hơn nữa vì tính chất của hàm delta Dirac, ta có      1cos cos cosq q q         , và tính chất của hàm delta Dirac của hàm hợp     1 k s s s x x x x        , trong đó sx là các 124 nghiệm đơn của phương trình   0x  với   0sx  . Xét phương trình cos =0 trong đoạn  0,2 ta có hai nghiệm 1 2   và 2 32   . Suy ra   3 32 2cos 1 1 2 2                                       . Thay vào (A4) ta có   22 2 0 0 3d 4 2 2 eV qL                       q , lại dùng tính chất      0 00 0 0 : d 0 : , b a f x a x b f x x x x x a x b        suy ra:   2 2 02 eV qLq . (A5) Đây chính là biểu thức thế Coulomb 2D trong không gian động lượng. 125 B. Tính hàm chồng chập trạng thái (2.5) Xét hàm riêng của graphene dạng   i112s se      kk , (B1) trạng thái chồng chập với nó có dạng  ' i112 's s e         k q k q . (B2) Số hạng chồng chập có dạng       2' ',ss s sF   k q k k q . (B3) Thay (B1) và (B2) vào (B3), biến đổi ta có    ' 1, 1 'cos 2 ssF ss  k q , với  là góc giữa k và k q ,    k q k . q k qk y x yk xk   k q Với góc k thỏa mãn  arctan y xk k k . Từ hình vẽ ta thấy   2 2 cos cos cos cos sin sin 2 cos cos . y y y x x y yx x x k k q k k q k qk k q k k k k kq k k q                         + + +k k q k k q k k q k q k q k q k q k q (B4) 126 C. Tính tích phân (2.20) Trong các phép tính toán, để đơn giản ta qui định 0  ; 1Fv  ; 1 ; thì Fk  . Khi   , ta có  2 0 1 cos1 2 k qI k d k                    k qk q . (C1) Xét phương trình   0k    k q , hay k   k q . (C2) Ta có điều kiện 0 k k q    , suy ra 0 0 k q       (C3) Ta có 2 2 2 cosk q kq k      k q , suy ra 2 2 0 2cos = 2 q k kq      . (C4) Kết hợp thêm điều kiện 01 cos 1   , suy ra       2 0 2 0 q q k q q k             (C5) Tổng hợp các điều kiện trên:       , , , 0 0 0 2 0 2 0 k q k q q q k q q k                       (C6) Giải (C6): 0 2 q qk         (C7) Thay (C2) và (C4) vào (C1) ta có 127     2 2 0 2cos1 2 k qk q k k       k q . (C8) Dùng công thức tính chất của hàm delta-Dirac:     ' n n n x x y x y x      , với    , ' 0n ny x y x  , ta có    2 2 2 cosk k k q kq                   k q , đặt    2 2 2 cosy k k q kq        , xét phương trình   0y   , tương đương với 2 2 0 2cos = 2 q k kq      . Trong khoảng  0,2 có hai nghiệm 0 . Ta có    0 00 2 2 2 sin 2 sin' 22 2 cos kq kqy kk q kq         . (C9) Với 20 0sin 1 cos    xác định từ (C4)    22 2 2 0 2 sin 2 q k q kq          . (C10) Thay (C10) vào (C9):        22 2 2 0 2 ' 2 q k q y k             . (C11) Vậy          0 0 0 0 2 ' ' k y y                   k q . (C12) Xét (C1), dùng (C7), (C8), (C11) và (C12):             2 22 0 22 2 20 2 cos cos1 2 2 2 2 k q I k d k k q k q k                             Suy ra       1/22 2 2 2 2 2 k q qI q k q                            . (C13) Tương tự cho trường hợp   , ta có 128  2 0 1 cos1 2 k qI k d k                    k qk q , (C14) điều kiện của bài toán là 0 0 2 2 q q qk             (C15) Suy ra         1/22 2 2 2 2 . 2 2 k q I q q q qk k                                          (C16) 129 D. Tính phần thực và phần ảo của hàm phân cực không pha tạp (2.23) Ta có         1/22 22 1 0 2 2 2 1/222 22 2 2 2 Im , 4 2 1 4 q q q q k qgP dk q kg q dk qq                                   q (D1) Đổi biến số 2k q   , suy ra: 2 ; ; 1 1 2 qd dk dk d q          . Thay vào (D1) ta có     1 1/21 20 2 2 1 Im , 1 8 g qP d q           q . (D2) Chú ý dạng tích phân 1 1 1/2 1/22 2 1 0 1 2 1 2 d d                 . Ta có kết quả      210 2 2Im , 16 g qP q q     q . (D3) Để tính phần thực của hàm phân cực, ta dùng mối liên hệ Kramers–Kronig        11 00 Im , '1Re , ' ' P P d             q q P . (D4) Thay (D3) vào (D4), thu được           2 2 2 1 0 2 2 2 ' 16 '1Re , ' ' 1 . 16 g q q q P d gq d q q                                    q P P Xét hàm số      2 2 1F q q        , có điểm cực đơn trên trục thực   , áp dụng lý thuyết thặng dư, ta có giá trị chính Cauchy của tích phân là 130             1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Res , 1lim 1 1 1lim . m F d i F Z i q q i q i q q q                                                      P Do đó      210 2 2Re , 16 gqP q q     q . (D5) 131 E. Một số tính chất của hàm G trong (2.31) [3]    2 21 ln 1G x x x x x            1 i i 1 G x x G x G x G x x              Trong đó    2 11 cosh , 1G x x x x x        2 11 cos , 1G x x x x x          1 21 cosh ln 1x x x x          2 1 21 cos iln i 1x x x x         1 1cos cosx x    132 F. Tính phần ảo của hàm phân cực RPA Vùng 1A: Vùng này ta có điều kiện q và 2F qk  :               1 0 1/2 1/22 22 2 2 2 2 2 2 2 1/2 1/22 2 2 22 2 2 2 2 2 Im , , , 4 2 2 4 4 2 2 1 1 4 4 F F F F F k k k q q k k q q gP dkI k q k q k qg gdk dk q q k kg q g qdk dk q qq q                                                                    q Đặt 2 2 2 2; ;k ku v du dk dv dk q q q q         và các cận tích phân tương ứng: 2 21 ; 1F Fk ku v q q       , thu được     2 2 2 21/2 1/21 2 2 2 2 2 2 1 1 Im , 1 1 8 8 F Fk k q qg q g qP du u dv v q q                     q (F1) Xét nguyên hàm dạng    2 2 21 1 11 1 ln 12 2 2x dx x x x x G x       . Ta có     21 2 2 2 2Im , 16 g qP G G q qq                          q (F2) Vùng 1B: Trong vùng này ta có q  và 2F qk        1/22 2 122 1/21 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 Im , 1 4 8 . 16 q q k qg g qP dk du u q q g q q                             q (F3) Vùng 2A: 133         1/22 2 1 2 2 2 2 2 2 1/22 2 2 1 2 Im , , , 4 4 21 . 8 F F F k k q q k q k qg gP dkI k q dk q g q dv v G qq                                          q (F4) Vùng 2B:         1/22 2 1 2 2 2 2 2 2 1/22 2 2 1 2 Im , , , 4 4 21 . 8 F F F k k q q k q k qg gP dkI k q dk q g q dv v G qq                                          q (F5) Vùng 3A:      1 0 Im , , , 0 4 FkgP dkI k q    q . (F6) Vùng 3B:      1 0 Im , , , 0 4 FkgP dkI k q    q . (F7) Tổng hợp các kết quả trên ta được kết quả (2.32). 134 G. Tính phần thực của hàm phân cực RPA Ta có         2 1 2 0 0 Re , 4 g F FP kdk k k                                q k q k qP (G1) Chú ý là: 1F F   ; cosk qF F     k q , suy ra:         2 0 0 2 22 0 0 2 2 22 0 0 2 cos 1 4 2 2 cos 2 F Fkdk k k k qkdk d k k k kqdk d k                                                     k q k q k q k q Xét mẫu số           22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 cos 2 2 4 2 cos . k k k k q kq q k kq k q k k kq                                  k q Tử số:     22 22 24 2 2 cos 2k k kq k q k              k q , suy ra             1 2 22 22 2 2 0 0 2 0 Re , 2 1 8 2 2 4 2 cos , , 2 8 P k qg dk d k q k k kq g g dkJ k q                                             q P (G2) Trong đó 135            2 22 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 , , 2 2 4 2 cos 12 2 2 4 2 cos k q J k q d k q k k kq k q d k q k k kq                                                  (G3) Đặt  2 2 22 2 4A k q k k         , 2B kq . (G4) Xét tích phân   2 0 1, , cos L k q d A B           , (G5) đặt i i i i 1 1e , ie i , cos = 2 2 e eZ dZ d Zd Z Z                 . Khi  biến thiên từ 0 2 thì Z biến thiên trên đường tròn đơn vị  0,1S . Do đó       2 0,1 0,1 2, , i 21 1i 2 S S dZ dZL k q BZ AZ BZ A B Z Z                 . (G6) Hàm trong dấu tích phân,   2 12f Z BZ AZ B   có hai điểm cực tại các nghiệm của mẫu số của nó, theo định lý Vi-ét, tích các nghiệm là 1 nên một nghiệm ở ngoài và một nghiệm ở trong đường tròn  S : 2 2 2 1,2 2 1 A A B A AZ B B B B        . (G7) Theo định lý về thặng dư, ta có     0, , 2 iRes ,L k q f Z Z      , với   0 0 1Res , 2 2 f Z Z BZ A     , trong đó 0Z là nghiệm trong đường tròn đơn vị. Hay   0 0 2 1 2, , 2 i i 2 2 L k q BZ A BZ A      . (G8) Bây giờ ta xét điều kiện của bài toán, từ (G4) ta có 2 20; 2B A q k     . Để có nghiệm (G7) ta phải có điều kiện là     2 2 2 2 2 2 2 2 ' 0 2 2 q k kq iA B A B A B q k kq ii                      Giải hệ này ta có điều kiện 136   2 q i qk      hoặc 0 2 q qk         ;   0 q ii      hoặc 0 2 q qk         Khi đó nghiệm trong đường tròn đơn vị là 2 1 2 1 A AZ B B     nếu A B ; 2 2 2 1 A AZ B B     nếu A B  . Ta có 2 21BZ A A B   ; 2 22BZ A A B    , với        2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2A B q k kq q q k               . Thay vào (G3) ta có             1/22 2 2 2 2 , , 2 2 2 2 k q qJ k q q k q q qq k k                                                         Trong (G2) ta gọi                 1/22 2 2 2 1/22 2 2 2 1, , , , 2 2 2 2 2 2 2 J k q J k q k q qq k q q k q qq k q q qq k k                                                                              (G9) Từ kết quả này ta tính được      1 0 Re , , , 2 4 g gP dkJ k q       q . (G10) Để tính tích phân này ta xét theo từng vùng như Hình 2.1 và dùng kết quả (G9) như sau: Vùng 1A: 137           1 1/2 1/22 22 22 2 2 2 2 2 0 0 Re , 2 2 2 4 4 , 2 q q P k q k qg g gdk dk q q g f q                                          q (G11) Vùng 1B             1 1/2 1/22 22 22 2 2 2 2 0 0 1/22 2 2 2 2 Re , 2 2 2 4 4 2 4 2 2, 2 F F q k k q P k q k qg g gdk dk q q k qg dk q g f q G G q q                                                                        q (G12) Vùng 2A:           1 1/2 1/22 22 22 2 2 2 2 0 0 Re , 2 2 2 4 4 2, 2 F q k P k q k qg g gdk dk q q g f q G q                                             q (G13) Vùng 2B:           1 1/2 1/22 22 22 2 2 2 2 0 0 Re , 2 2 2 4 4 2, 2 F q k P k q k qg g gdk dk q q g f q G q                                             q (G14) Vùng 3A:           1/2 1/22 22 2 1 2 2 2 2 0 0 2 2 Re , 2 4 4 2 2, 2 F Fk kk q k qg g gP dk dk q q g f q G G q q                                                       q (G15) Vùng 3B: 138           1/2 1/22 22 2 1 2 2 2 2 0 0 2 2 Re , 2 4 4 2 2, 2 F Fk kk q k qg g gP dk dk q q g f q G G q q                                                      q (G16) Tổng hợp các kết quả trên ta thu được (2.34).