Luận án Chuyển pha kim loại – điện môi trong một số hệ tương quan mạnh trên mạng quang học

2 ↑ t 2 ↓ )] 1 2 . Trong giới hạn Falikov – Kimball r = 0,UC(r = 0,γ) =√γ . Sự phụ thuộc củaUC(r,γ) vào r đối với các giá trị cố định khác nhau của γ là tương tự nhau. Khi γ cố định, giá trị tới hạn cho chuyển pha Mott tăng đơn điệu khi tăng r. Chúng tôi nhận thấy rằng, vùng kim loại bị giảm khi tăng tính dị hướng của thế tương tác (giảm γ ). 75 Hình 3.7: Thế tương tác tới hạnUC của AHMSDI lấp đầy một nửa phụ thuộc vào tham số bất đối xứng tương ứng với một số giá trị của tham số điều biến không gian γ = 1.0,0.8,0.6. Hình 3.8: Giản đồ pha trạng thái cơ bản của AHMSDI lấp đầy một nửa phụ thuộc vào thế tương tác trên mỗi mạng con tương ứng với một số giá trị của tham số bất đối xứng r = 1.0,0.8,0.4. 76 Các kết quả trên được tóm tắt thành giản đồ pha trong Hình 3.8. Đối với trường hợp cân bằng khối lượng (r = 1), kết quả của chúng tôi tương đồng với kết quả tính toán bằng DMFT và NRG [44]. Ngoài ra, hệ càng bất đối xứng (r = t↓ t↑ giảm), vùng kim loại càng giảm. Điều này dễ hiểu là tại giá trị cố định của D hoặc t↑, hệ càng bất đối xứng, khối lượng trần của hai thành phần khác nhau càng nhiều thì hệ càng dễ định xứ. Từ các phân tích trên cho thấy, EMM là phương pháp giải tạp đơn giản nhưng vẫn cho kết quả khá tốt (tương đương gần đúng Hubbard III) khi nghiên cứu về AHMSDI, đặc biệt khi giải tạp bằng phương pháp này, biểu thức giải tích của điều kiện chuyển pha có thể xác định một cách rõ ràng. Tuy nhiên, một hạn chế vẫn còn tồn tại đó là số cư trú đôi không triệt tiêu tại điểm chuyển pha. 3.3. Tiếp cận bằng 2S-DMFT 3.3.1. Hình thức luận Chúng tôi sử dụng 2S-DMFT, một phiên bản đơn giản của DMFT được đề xuất bởi Potthoff [63] và đã được áp dụng thành công để xử lý sự chuyển pha Mott của hỗn hợp fermion mất cân bằng khối lượng, cho kết quả thế tương tác tới hạn gần như chính xác và các đặc tính điện tử định tính [15], [35]. Chúng tôi mở rộng nghiên cứu mô hình Hubbard không đối xứng với các tương tác được điều biến theo không gian (xen kẽ) trong trường hợp lấp đầy một nửa tại nhiệt độ T = 0K bằng 2S-DMFT. Trong 2S-DMFT, hàm lai hóa có cực đơn tại ω = 0: ∆ασ (ω) = V 2ασ ω , (3.19) trong đó Vασ là thế lai hóa giữa bể và tạp. AHMSDI với phương trình (3.19) tương 77 ứng với mô hình Anderson hai nút sau: Hα2−site =∑ σ εcασc+σ cσ +∑ σ Vασ ( c+σ dσ +d + σ cσ ) +∑ σ εdασd+σ dσ +Uαnd↑nd↓, (3.20) Ở nhiệt độ không, trong giới hạn Vασ → 0, mô hình hai nút (3.20) được giải giải tích để thu được hàm Green tạp chất. Ở lấp đầy một nửa, chọn εcασ = 0;εdασ =−Uα/2≡ −∆α để đảm bảo số d electron nα = 1. Chúng tôi thực hiện theo các bước tính toán trong tài liệu [62] để xác định đến số hạng bậc hai của Vσ . Các năng lượng riêng và hàm sóng riêng tương ứng của một điện tử: Eασ+ = V 2ασ ∆α , (3.21) Eασ− =−∆α − V 2 ασ ∆α , (3.22) Gασ (ω) = ∑ i=1,2 ( ziασ ω− εiασ + ziασ ω+ εiασ ) , (3.23) trong đó: z1ασ = 1 2 − 2(Vασ +2Vασ ) 2 U2α , (3.24) z2ασ = 2(Vασ +2Vασ ) 2 U2α , (3.25) ε1ασ = Uα 2 + 2 ( V 2ασ +2(Vασ +Vασ ) 2 ) Uα , (3.26) ε2ασ = 2Vασ (Vασ +2Vασ ) Uα . (3.27) Gần thế tới hạn, đối với quá trình chuyển pha Mott khi Vασ → 0, chúng ta có thể tính gần đúng trọng số chuẩn hạt tới bậc thứ hai của Vασ : Zασ = 4(Vασ +2Vασ ) 2 U2α . (3.28) 78 Tính đến phương trình (3.19), điều kiện tự hợp trong (3.6) được biên đổi và viết lại thành V 2ασ = Zασ t 2 σ . (3.29) Từ các phương trình (3.28) và (3.29), chúng ta thu được bốn phương trình tuyến tính cho Vασ với (α = A,B;σ =↑,↓): Vασ = 2tσ |Uα | (2Vασ +Vασ ) . (3.30) Trong DMFT, sự định xứ tương ứng với sự triệt tiêu của trọng số chuẩn hạt hoặc sự lai hóa, giá trị khác không xác định trạng thái của kim loại. Do đó, định thức của phương trình (3.30) phải triệt tiêu khi quá trình chuyển pha Mott xảy ra Det ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 − 4t↑UB − 2t↑ UB 0 1 − 2t↓UB − 4t↓ UB − 4t↑UA − 2t↑ UA 1 0 − 2t↓UA − 4t↓ UA 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, (3.31) từ đó xác định được điều kiện chuyển pha tương ứng với biểu thức sau cho các tương tác tới hạn: |UAUB|= ( t↑+ t↓+ √ t2↑ + t 2 ↓ +14t↑t↓ )2 . (3.32) Phương trình (3.32) là biểu thức giải tích cho điều kiện chuyển pha, là kết quả chủ đạo của chương này. Trong trường hợp riêng, khi UA =UB nghiệm của các phương trình (3.32) cho kết quả quen thuộc như đã tìm được ở mô hình AHM với thế đồng nhất [15], [1], [35], lưu ý rằng D = t↑+ t↓;ζ = (t↑−t↓) (t↑+t↓) . Mặt khác, khi t↑ = t↓ = D2 , chúng ta cũng dễ dàng thu lại được kết quả |UAUB|= (3D)2 là điều kiện chuyển pha cho trường hợp cân bằng khối lượng [65], [44]. 3.3.2. Kết quả tính số Trong trường hợp hệ cân bằng khối lượng, các nghiên cứu trước đó đã chỉ ra rằng ở nhiệt độ thấp có trạng thái trật tự từ ổn định trong mô hình đẩy (UA,UB > 0) và 79 trạng thái siêu lỏng ổn định trong mô hình hút (UA,UB < 0) [44]. Giới hạn nghiên cứu trong trường hợp thuận từ với số hạt trung bình của mỗi thành phần trong mỗi mạng con (trên mỗi nút) như nhau, nα↑ = nα↓ = 1/2, chúng tôi tập trung vào trường hợp các thế tương tác trên mỗi mạng con khác loại (UAUB < 0). Lưu ý rằng, mặc dù nghiệm thuận từ của hệ tại lấp đầy một nửa không phải là trường hợp cơ bản, nhưng trạng thái thuận từ có thể là một khởi đầu tốt để nghiên cứu ngay cả trong trường hợp hệ có trật tự từ. Ngoài ra, nghiệm thuận từ ít nhất sẽ mô tả đúng hệ thống ở nhiệt độ hữu hạn trên nhiệt độ Neel. Do đối xứng hạt – lỗ trống, có thể chọn UA > 0,UB < 0, và UA ≤ |UB| hoặc 0 < γ = UA/ |UB| ≤ 1. Trong điều kiện này, trạng thái cơ bản không từ tính và sự chuyển pha kim loại – điện môi Mott xảy ra khi thế tương tác được tăng dần. Ở đây, ta lấy D= 2t↑ = 1 là đơn vị năng lượng và r= t↓/t↑, một đại lượng nằm trong khoảng từ 0 (giới hạn Falicov – Kimball) đến 1 (trường hợp cân bằng), làm tham số bất đối xứng, đặc trưng cho sự mất cân bằng khối lượng. Hình 3.9: Giản đồ pha trạng thái cơ bản cho AHMSDI lấp đầy một nửa như hàm số của thế tương tácUA/D vàUB/D với một số giá trị của tham số bất đối xứng r = 1.0,0.4,0.0 80 Trong Hình 3.9, chúng tôi trình bày giản đồ pha dưới dạng hàm của thế tương tác UA và UB đối với một số giá trị của tham số bất đối xứng r ở nhiệt độ T = 0K. Đối với hệ cân bằng khối lượng (r = 1), kết quả thu được theo 2S-DMFT ở phương trình (3.32) rất phù hợp với những kết quả thu được từ DMFT với phương pháp NRG [44]. Khi sự mất cân bằng khối lượng tăng lên (r giảm), vùng kim loại bị giảm, bởi vì khi D hoặc t↑ cố định, sự khác biệt về khối lượng trần càng lớn thì hệ càng dễ định xứ. Hình 3.10: Mật độ trạng thái tại T = 0K của mạng con A(B) với r = 0.4,UB =−2UA và một số giá trị của thế tương tácUA/D= 0.2,0.8,1.4,1.5,2.0 Để xác nhận kết quả thu được từ phương trình (3.32), chúng tôi tính toán mật độ trạng thái cho mỗi mạng con ρα(ω) = −ΣσℑGασ (ω)/π và mật độ trạng thái ở mức Fermi ρασ (0). Hình 3.10 cho thấy mật độ trạng thái của mỗi mạng con với r = 0.4,UB = −2UA và các giá trị khác nhau của UA. Khi lấp đầy một nửa, mật độ 81 trạng thái của mỗi mạng con là đối xứng ρα(ω) = ρα(−ω). Ở trạng thái kim loại, đỉnh cộng hưởng trong vùng lân cận mức Fermi do kích thích chuẩn hạt xuất hiện trong cả hai mạng con. Chiều rộng của chúng nhỏ hơn khi cường độ tương tác trên nút tăng và tại giá trị tới hạnUα/D= (Uα/D)C, đỉnh chuẩn hạt hoàn toàn biến mất. Cấu trúc khe được hình thành xung quanh ω = 0 trong cả hai mạng con. Sự tạo thành khe có liên quan đến sự triệt tiêu của trọng số chuẩn hạt và giá trị của nó tăng lên khi các tương tác trên nút trở nên lớn hơn. Sự chuyển đổi trạng thái từ kim loại sang điện môi tương tự như khi áp dụng DMFT cho mô hình Hubbard thuận từ thông thường, ngoại trừ ở đây trạng thái điện môi được tạo ra bởi chuyển pha Mott và chuyển pha kết cặp [27]. Hình 3.11: Mật độ trạng thái tại mức Fermi như hàm của thế tương tácUA trong trường hợp r = 0.4,UB =−2UA Hình 3.11 mô tả mật độ trạng thái ở mức Fermi cho mỗi thành phần và mạng con ở các thông số mô hình giống nhau. Do sự độc lập về động lượng của năng lượng riêng trong DMFT, trạng thái chất lỏng Fermi khi lấp đầy một nửa kéo theo 82 ρασ (0) = 1/(πDσ ) với Uα < (Uα)C. Tuy nhiên, như đã chỉ ra bởi Potthoff [63], không giống như DMFT đầy đủ, 2S-DMFT không phải là một cách tiếp cận bảo toàn, do đó xảy ra vi phạm đối với quan hệ chất lỏng Fermi. Cụ thể, chúng ta có ρAσ(0) = ρBσ(0) = 1/(πDσ ) đối vớiUA =UB = 0 nhưng những đặc điểm này không được giữ khi xuất hiện tương tác. Mặt khác, ρασ (0) đồng thời triệt tiêu khi Uα → (Uα)C. Do đó, MMIT thực sự xảy ra trong hệ với tương tác phụ thuộc vào nút. Ngoài ra, vùng kim loại phía trên ranh giới chuyển pha được xây dựng trong Hình 3.9 là chất lỏng Fermi ngoại trừ ở giới hạn Falicov – Kimball khi r = 0. Hình 3.12: Trọng số chuẩn hạt tại mức Fermi phụ thuộc vàoUA trong các trường hợp:UB =−UA,r = 0.4,0.8(a);UB =−2UA,r = 0.4(b);UB =−2UA,r = 0.15(c);UB =−2UA,r = 0.05(d) 83 Để làm rõ cách thức mà sự mất cân bằng khối lượng và tương tác điều biến không gian ảnh hưởng đến sự ổn định của trạng thái kim loại bình thường, chúng tôi tính toán trọng số chuẩn hạt ở mức Fermi cho cả hai loại fermion trong cả hai mạng con: Zασ = ( 1− dℜΣασ (0) dω )−1 = 1 1+ U 2 α 4(Vασ+2Vασ )2 . (3.33) Hình 3.12 biểu diễn kết quả tính toán trọng số chuẩn hạt ở mức Fermi phụ thuộc vào thế tương tác. Hình 3.12(a) mô tả trọng số chuẩn hạt cho mô hình với γ = 1(UB = −UA) và hai trường hợp bất đối xứng khác nhau r = 0.4 và r = 0.8. Trong cả hai trường hợp, chúng tôi nhận thấy rằng ZAσ = ZBσ , tức là trọng số chuẩn hạt không phụ thuộc vào dấu của tương tác như đã được đề cập trong phương trình (3.33). Tuy nhiên, sự xuất hiện của sự mất cân bằng khối lượng dẫn đến đặc điểm khác nhau của trọng số chuẩn hạt. Cụ thể là, Zα↑ < Zα↓ cho cả hai trường hợp chứng tỏ các fermion nhẹ được tái chuẩn hóa hơn các hạt nặng (hệ số tái chuẩn hóa khối lượng hiệu dụng là m∗ ∼ 1/Z). Kết quả này hoàn toàn phụ hợp với AHM có tương tác đồng nhất [15], [1], [35]. Chúng tôi tham khảo [15], [35] để thảo luận chi tiết về hiệu ứng thú vị này trong mô hình tương tác đồng nhất. Trong hệ fermion với tương tác đẩy và tương tác hút ở lấp đầy một nửa: khi hệ ở (hoặc gần) lấp đầy một nửa và tương quan mạnh, về cơ bản chúng ta có một fermion trên mỗi vị trí mạng con A, trong khi chỉ tồn tại trạng thái trống và trạng thái cặp đôi trong mạng con B (Hình 3.13). Hơn nữa, do số hạt trung bình của mỗi thành phần trong mỗi mạng con là như nhau: nα↑ = nα↓ = 1/2 và do nguyên tắc tổng thế năng tối thiểu, có thể xác minh rằng chúng ta không thể chỉ di chuyển các fermion cùng loại, mà buộc phải di chuyển các fermion nặng ngay khi di chuyển các fermion nhẹ và ngược lại. Để giải thích chi tiết hơn, ta xét mô hình bốn vị trí của mạng tinh thể vuông lưỡng cực (Hình 3.14): vị trí A1 có spin up (fermion nhẹ), vị trí A2 với spin down (fermion nặng), vị trí B1 bị chiếm đôi và vị trí B2 trống. Ngay sau khi fermion nhẹ di chuyển từ A1 đến B2, chúng ta phải di chuyển fermion nhẹ từ B1 sang A1 để bảo toàn số fermion 84 Hình 3.13: Số cư trú đôi dA(dB) cho mỗi mạng con A(B) trong hệ cóUB =−2UA phụ thuộc vào thếUA trong các trường hợp r = 1.0,0.4,0.05 Hình 3.14: Minh họa dịch chuyển của fermion giữa bốn vị trí của mạng tinh thể vuông lưỡng cực 85 nhẹ trong mỗi mạng con. Đồng thời, chúng ta cũng phải di chuyển fermion nặng từ A2 sang B2 theo nguyên tắc tổng thế năng tối thiểu (nhảy giữa các nút của cùng một mạng con bị cấm, xem phương trình (3.1)), sau đó là fermion nặng từ B1 đến A2 do bảo toàn số fermion nặng trong mỗi mạng con. Kết quả là, khi hai loại fermion có khối lượng trần (hoặc các tham số nhảy nút) khác nhau được trộn lẫn và lấp đầy bằng một nửa, các tương tác có xu hướng cân bằng tham số nhảy nút đã chuẩn hóa Zασ tσ và ta thu được Zα↑ < Zα↓ khi t↓ < t↑ với α ∈ A,B, ngược lại với trường hợp hai dải trong chất rắn. Hình 3.12(b) mô tả kết quả cho trường hợp γ = 1/2(UB =−2UA) cố định và r= 0.4. Sự tái chuẩn hóa mạnh hơn xuất hiện trong mạng con với tương tác trên nút lớn hơn do ZB < ZA. Mặt khác, ta luôn có Zα↑ < Zα↓ cho mỗi mạng con. Do đó, ZB↑ = minZασ và ZA↓ = maxZασ với 0< γ;r < 1, như trong Hình 3.12(b) –3.12(d). Bây giờ chúng ta chuyển sang so sánh ZA↑ và ZB↓. Với giá trị γ = 1/2 cố định, có thể ZB↓ < ZA↑ với r = 0.4, như được biểu diễn trong Hình 3.12(b). Tuy nhiên, khi sự mất cân bằng khối lượng ngày càng tăng, tại r = 0.15, chúng ta có kết quả ngược lại ZA↑ < ZB↓ với các giá trị lớn hơn của UA (xem Hình 3.12(c)). Tăng sự mất cân bằng khối lượng hơn nữa, tại r = 0.05 chúng tôi nhận thấy rằng ZA↑ < ZB↓ với hầu hết mọi giá trịUA< (UA)C, như trong Hình 3.12(d). Ngoài ra, khi γ = 1/2 cường độ của tương tác tới hạn(UA)C giảm khi sự mất cân bằng khối lượng tăng lên: (UA/D)C ≈ 1.41 với r = 0.4 và (UA/D)C ≈ 0.83 với r = 0.05. Từ đó, có thể kết luận cả sự mất cân bằng khối lượng và sự điều biến không gian trong các tương tác đều ảnh hưởng đến sự ổn định của trạng thái kim loại thông thường, nhưng với các mức độ tác động khác nhau. Tuy nhiên, trọng số chuẩn hạt ở mức Fermi đối với hai loại fermion trong cả hai mạng con đều triệt tiêu đồng thời tại điểm tới hạn. Kết quả là, đối với D và r cố định, chuyển pha Mott xảy ra khi hai loại tương tác trái dấu tăng dần, như được vẽ trong Hình 3.1. Hơn nữa, như trong trường hợp đối xứng thu được từ 2S-DMFT [65] và từ DMFT theo phương pháp NRG [44], MIT ở nhiệt độ T = 0K trong hệ không cân bằng khối lượng rõ ràng là liên tục. 86 Cuối cùng, chúng tôi làm rõ bản chất của trạng thái Mott bằng cách tính toán số cư trú đôi dα = 〈 nα↑nα↓ 〉 . Các kết quả tính số cho trường hợp γ = 1/2(UB =−2UA) và r = 1.0,0.4,0.05 được thể hiện trong Hình 3.13. Đối với r cố định, trong trường hợp không tương tác (UA =UB = 0), số cư trú đôi cho mỗi mạng con là 1/4. Khi xuất hiện tương tác và tăng dần, số cư trú đôi đối với mạng con A giảm và triệt tiêu ở điểm tới hạn (UA)C, trong khi số cư trú đôi của mạng con B tăng lên và bằng một nửa ở điểm tới hạn (UB)C =−2(UA)C. Do đó, khi tương tác đẩy và tương tác hút xen kẽ trong hệ, trạng thái điện môi Mott ổn định trong vùng liên kết mạnh, nơi các trạng thái chiếm đơn lẻ tồn tại trong mạng con với tương tác đẩy, trong khi trạng thái trống hoặc chiếm đôi đều xuất hiện như nhau trong mạng con khác. Khi hệ bất đối xứng (mất cân bằng khối lượng), tại các giá trị nhỏ hơn của r, số cư trú đôi ở mạng con A (B) nhanh chóng giảm (tăng) do các giá trị giảm của tương tác tới hạn. Do chưa có nghiên cứu về chuyển pha trong AHMSDI nên để làm rõ tính hiệu quả của hai cách tiếp cận trên, chúng tôi thực hiện đối sánh kết quả tính toán của mô hình với hai thông số biến đổi tại hai giới hạn riêng đã được nghiên cứu trước đó là mô hình với thế đồng nhất (UA =UB) và mô hình có khối lượng cân bằng (r = 1). Trường hợp khối lượng cân bằng, chúng tôi lựa chọn công trình [65] được tính theo 2S-DMFT để so sánh kết quả. Về mặt định lượng, khi cho r = 1, chúng tôi tính được điều kiện chuyển pha theo EMM là |UAUB|= 3D2, còn theo 2S-DMFT cho kết quả hoàn toàn trùng khớp |UAUB|= (3D)2 [65]. Trường hợp thế đồng nhất, chúng tôi đối chiếu kết quả của mình với công trình [15], [85]. Đặt (UA =UB) trong hai công thức (3.17) và (3.32) ta thu được hai đường chuyển pha tương ứng với hai cách tiếp cận giải tạp bằng EMM (đường đứt nét màu xanh lam) và 2S-DMFT (đường liền nét màu đỏ) với mô hình AHM như trong Hình 3.15. Thông qua việc so sánh với một số phương pháp đáng tin cậy khác như NRG, DMFT (Hình 3.15) cho thấy, kết quả của chúng tôi thu được từ 2S-DMFT hoàn toàn giống kết quả của [15] theo L-DMFT, có tính tương đồng rất cao với kết quả thu được từ NRG và khá gần với DMFT. 87 Hình 3.15: So sánh giản đồ pha trong giới hạn AHM tìm được theo EMM và 2S-DMFT với một số kết quả trong [15], [85] Hình 3.16: So sánh trọng số chuẩn hạt tại mức Fermi theo 2S-DMFT với DMFT [85] tại r = 0.4,r = 0.8 88 Tiếp tục so sánh kết quả tính trọng số chuẩn hạt tại mức Fermi theo 2S-DMFT với DMFT [85] cho kết quả khá tốt, điểmU = 0,Z↑ = Z↓ = 1 cho kết quả trùng khớp, khi U tăng thì Z↑,Z↓ cùng giảm, và điểm triệt tiêu (chuyển pha) thu được theo hai phương pháp là tương đối gần (Hình 3.16). Các kết quả trên một lần nữa khẳng định rằng, giải tạp bằng cách sử dụng 2S- DMFT cho kết quả tốt hơn hẳn, thể hiện ở một số kết quả trọng yếu như: xây dựng được biểu thức giải tích rõ ràng cho điều kiện chuyển pha, trong các trường hợp riêng tìm lại được các kết quả đã biết một cách trùng khớp, các kết quả tính số đã loại bỏ được hạn chế của các phương pháp đã đề cập ở các chương trước khi số cư trú đôi hoàn toàn triệt tiêu ở điểm chuyển pha. Như vậy, 2S-DMFT là một lựa chọn tốt về phương pháp nghiên cứu MMIT trong mô hình AHMSDI. 3.4. Kết luận chương 3 Trong chương này, chúng tôi đã thực hiện nghiên cứu hệ fermion hai thành phần không cân bằng khối lượng với các tương tác phụ thuộc vào nút với hai cách giải tạp khác nhau là sử dụng DMFT kết hợp với EMM và 2S-DMFT. Với cách thứ nhất, chúng tôi cũng đã tính số sự phụ thuộc spin của mật độ trạng thái ở mức Fermi và số cư trú đôi giúp kiểm chứng thông qua thực nghiệm các tính chất vật lý của hệ. Với cách tiếp cận thứ hai, các thuộc tính trạng thái cơ bản của hệ fermion được thảo luận từ các đặc điểm phụ thuộc spin của trọng số chuẩn hạt ở mức Fermi và số cư trú đôi cho mỗi mạng con như là các hàm của cường độ tương tác trên nút tại một số giá trị xác định của tham số mất cân bằng khối lượng. Kết quả, chúng tôi đã làm rõ sự ảnh hưởng của tính bất đối xứng (mất cân bằng khối lượng) và điều biến tương tác không gian (tương tác phụ thuộc vào nút) đến sự ổn định của trạng thái kim loại trong hệ. Ở nhiệt độ T = 0K và lấp đầy một nửa, thu được giản đồ pha của hệ về mặt giải tích, trong đó vùng kim loại bị giảm khi sự mất cân bằng khối lượng tăng lên. Tương tự như trường hợp cân bằng khối lượng đã biết, 89 quá trình chuyển pha Mott ở nhiệt độ T = 0K trong hệ thống không cân bằng khối lượng là liên tục. Bằng cách tính toán trọng số chuẩn hạt ở mức Fermi phụ thuộc spin cho mỗi mạng con dưới dạng hàm của cường độ tương tác trên nút tại một số giá trị cụ thể của tham số bất đối xứng, chúng tôi làm rõ sự mất cân bằng khối lượng và tương tác phụ thuộc vào nút tác động đến sự ổn định của trạng thái kim loại ra sao. Đặc biệt, chúng tôi chỉ ra rằng khi sự mất cân bằng khối lượng lớn, các fermion nhẹ được tái chuẩn hóa nhiều hơn các fermion nặng, ngay cả khi chúng ở trong mạng con với tương tác trên nút nhỏ hơn và đối với một tỷ lệ cố định γ = (UA/|UB|) thì cường độ của các tương tác tới hạn giảm khi sự mất cân bằng khối lượng ngày càng tăng. Trong vùng liên kết mạnh của hệ fermion hai thành phần với tương tác đẩy và tương tác hút xen kẽ, chuyển pha Mott và chuyển pha kết cặp xảy ra đồng thời trong các mạng con tương ứng và chuyển pha ở nhiệt độ T = 0K là liên tục. Với hai cách tiếp cận, chúng tôi thu được hai kết quả định lượng khác nhau, nhưng đều mô tả được tính chất chuyển pha đặc trưng và tìm lại được các kết quả trong các trường hợp giới hạn (cân bằng khối lượng hoặc thế tương tác đồng nhất). Bằng cách sử dụng EMM được áp dụng và thực hiện trực tiếp trên trục tần số thực, với kỹ thuật tính toán đơn giản, tìm được điều kiện chuyển pha dưới dạng biểu thức giải tích rõ ràng của thế tương tác tới hạn phụ thuộc vào các tham số mô hình |UAUB|= 2 ( t2↑ + t 2 ↓ + √ t4↑ + t 4 ↓ +14t 2 ↑ t 2 ↓ ) . Với cách tiếp cận sử dụng 2S-DMFT, biểu thức giải tích cho thế tới hạn là: |UAUB|= ( t↑+ t↓+ √ t2↑ + t 2 ↓ +14t↑t↓ )2 . Kết quả tìm được cho thấy sự phù hợp tốt khi bao trùm được các kết quả đã biết trong các trường hợp đặc biệt như giới hạn cân bằng khối lượng (r = 1) cũng như trường hợp tương tác đồng nhất (UA =UB). Qua việc so sánh hiệu quả từ hai cách tiếp cận giải tạp cho thấy, 2S-DMFT là một phương pháp mạnh, tính toán không quá phức tạp nhưng cho hiệu quả đáng tin cậy khi nghiên cứu MMIT trong AHMSDI. KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu MMIT trong mô hình Hubbard với một số thông số thay đổi bằng ba phương pháp thường dùng trong hệ tương quan mạnh: CPA – phương pháp dễ sử dụng với các tính toán không quá phức tạp nhưng vẫn thu được các kết quả tương đối phù hợp, đặc biệt về mặt định tính; DMFT và 2S-DMFT mang lại kết quả khả quan cho chuyển pha Mott và pha chất lỏng Fermi trong mô hình Hubbard một vùng với cố gắng tính toán ít nhất. Sử dụng CPA, đặc điểm chuyển pha Mott trong mô hình Hubbard lấp đầy một nửa với tương tác xen kẽ được làm rõ: thu được giản đồ pha giữa pha kim loại và điện môi ở nhiệt độ T = 0K, chỉ ra bản chất các trạng thái điện môi Mott thông qua số cư trú đôi, xác định được MIT trong hệ là chuyển pha liên tục. Đối sánh với DMFT, nghiên cứu của chúng tôi cho các kết quả phù hợp, đặc biệt về mặt định tính, tuy rằng còn một số hạn chế nhưng CPA là cách tiếp cận đơn giản thích hợp sử dụng để nghiên cứu trong giai đoạn khởi đầu. Khảo sát MMIT trong AHM khi lấp đầy một nửa, chúng tôi đã sử dụng DMFT kết hợp với EMM để giải bài toán tạp cho DMFT, tìm được hàm phụ thuộc của thế tương tác tới hạn của hệ tăng theo mức độ bất đối xứng. Chúng tôi cũng tính toán mật độ trạng thái ở mức Fermi và số cư trú đôi, làm rõ đặc điểm chuyển pha. Các kết quả chính của chúng tôi đã được công bố, so sánh và cho thấy phù hợp tốt với các nghiên cứu sử dụng ED và kỹ thuật Monte Carlo lượng tử trong khi EMM là một cách giải tạp đơn giản, dễ khai triển. Phương pháp này có ưu điểm lớn là thực hiện tính toán đơn giản, có thể đưa ra biểu thức giải tích một cách rõ ràng cho điều kiện chuyển pha, nhưng kết quả trong trường hợp riêng chỉ tương đương gần đúng Hubbard III và không xác định được điểm tới hạn qua sự triệt tiêu của số cư trú đôi. 90 91 Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu hệ bất đối xứng với tương tác phụ thuộc vào nút theo hai cách tiếp cận là sử dụng 2S-DMFT và sử dụng DMFT kết hợp với EMM. Trong trạng thái lấp đầy một nửa, ở nhiệt độ T = 0K, thu được giản đồ pha của hệ về mặt giải tích, trong đó vùng kim loại bị giảm khi sự mất cân bằng khối lượng tăng lên. Phân tích các đặc điểm của trọng số chuẩn hạt ở mức Fermi, mật độ trạng thái ở mức Fermi và số cư trú đôi cho mỗi mạng con phụ thuộc vào tương tác trên nút tương ứng với một số giá trị xác định của tham số mất cân bằng khối lượng cho thấy các thuộc tính trạng thái cơ bản của hệ: Khi sự mất cân bằng khối lượng lớn, các fermion nhẹ được tái chuẩn hóa nhiều hơn các fermion nặng, ngay cả khi chúng ở trong mạng con với tương tác trên nút nhỏ hơn thì cường độ của các tương tác tới hạn giảm khi sự mất cân bằng khối lượng ngày càng tăng; Trong vùng liên kết mạnh của hệ fermion hai thành phần với tương tác đẩy và tương tác hút xen kẽ, chuyển pha Mott và chuyển pha kết cặp xảy ra đồng thời trong các mạng con tương ứng và chuyển pha ở nhiệt độ T = 0K là liên tục. Biểu thức giải tích cho điều kiện chuyển pha khi tương tác tới hạn được biểu diễn như một hàm của các tham số còn lại trong mô hình, theo cách tiếp cận sử dụng EMM: |UAUB|= 2 ( t2↑ + t 2 ↓ + √ t4↑ + t 4 ↓ +14t 2 ↑ t 2 ↓ ) và theo cách tiếp cận sử dụng 2S-DMFT: |UAUB|= ( t↑+ t↓+ √ t2↑ + t 2 ↓ +14t↑t↓ )2 . Các phương pháp gần đúng khác nhau khi áp dụng nghiên cứu bài toán MMIT trong hệ tương quan mạnh với một số biến thể của mô hình Hubbard cho kết quả khác nhau, phù hợp trong từng bài toán cụ thể. Các kỹ thuật tính toán mà chúng tôi sử dụng đều không quá phức tạp hay yêu cầu tài nguyên máy tính đắt đỏ nhưng vẫn cho kết quả khá tốt xét trên từng phương diện, so sánh tương quan với các nghiên cứu trước đó bằng các phương pháp tính toán phức tạp hơn cho kết quả khá tốt. Quan trọng nhất, lựa chọn được 2S-DMFT là phương pháp tốt, cho kết quả đáng tin cậy khi nghiên cứu chuyển pha Mott trong AHMSDI. Kết quả nghiên cứu về mô hình 92 Hubbard vừa có tương tác phụ thuộc nút lại vừa có tham số nhảy nút khác nhau là mới, bao trùm được các trường hợp riêng khi chỉ có tương tác phụ thuộc nút hoặc chỉ có tham số nhảy nút khác nhau. Trong luận án này, nghiên cứu của chúng tôi về MMIT được giới hạn trong hệ với trạng thái không từ tính ở nhiệt độ T = 0K. Các trạng thái trật tự từ tính, siêu lỏng, trật tự điện tích hay spin vẫn chưa được xem xét và có thể sẽ được chúng tôi tiếp tục nghiên cứu trong tương lai. DANHMỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC THUỘC LUẬN ÁN Đà ĐƯỢC CÔNG BỐ [1] Le Duc Anh, Tran Thi Thu Trang, Hoang Anh Tuan (2013), “Coherent po- tential approximation study of the Mott transition in optical lattice system with site- dependent interactions”, The European Physical Journal B, 86(12), 503. [2] Hoang Anh Tuan, Tran Thi Thu Trang, Le Duc Anh (2016), “Mott transi- tion in the asymmetric Hubbard model at half-filling: Equation of motion approach”, Journal of the Korean Physical Society,68(2), pp.238-242. [3] Hoang Anh Tuan, Nguyen Thi Hai Yen, Tran Thi Thu Trang, Le Duc Anh (2016), "Two-component Fermions in Optical Lattice with Spatially Alternating In- teractions”, Journal of the Physical Society of Japan,85(10), 104702. [4] Le Duc Anh, Tran Thi Thu Trang, Hoang Anh Tuan, Nguyen Toan Thang, Tran Minh Tien (2018), “Mass-imbalanced Hubbard model in optical lattice with site-dependent interactions”, Physica B: Condensed Matter, 532, pp.204-209. 93 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Hải Yến (2015), Nghiên cứu chuyển pha kim loại – điện môi trong mô hình Hubbard bất đối xứng lấp đầy một nửa bằng lý thuyết trường trung bình động hai nút, Luận văn thạc sỹ, Viện Vật lý, Hà Nội. [2] Trần Thị Thu Trang (2013), Chuyển pha kim loại – điện môi trong mô hình Hubbard với tương tác phụ thuộc vào nút, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. [3] Anderson P.W. (1961), “Localized Magnetic States in Metals”, Physical Review Journals Archive, 124(1), pp.41-53. [4] Bag S., Garg A., Krishnamurthy H. R.(2021), “Correlation driven metallic and half-metallic phases in a band insulator”, Physical Review B, 103(15), 155132. [5] Bloch I. (2005), “Ultracold quantum gases in optical lattices”, Nature Physics, 1(1), pp.23-30. [6] Bloch I., Dalibard J., Zwerger W. (2008), Many-body physics with ultracold gases, Reviews of Modern Physics, 80(3), pp.885-964. [7] Boer J.H., Verwey E.J.W. (1937), “Semi-conductors with partially and with completely filled 3d-lattice bands”, Proceedings of the Physical Society, 49(4S), pp.59-71. [8] Brinkman W.F., Rice T.M. (1970), “Application of Gutzwiller’s Variational Method to the Metal-Insulator Transition”, Physical Review B, 2(10), pp. 4302- 4304. 94 95 [9] Brydon P. M. R. (2008), “Slave-boson theory of the extended Falicov-Kimball model”, Physical Review B, 77(4), 045109. [10] Bulla R., Potthoff M. (2000), “"Linearized"dynamical mean-field theory for the Mott-Hubbard transition”, The European Physical Journal B, 13(2), pp.257–264. [11] Casey A., Patel H., Nyéki J., Cowan B. P., Saunders J. (2003), “Evidence for a Mott-Hubbard Transition in a Two-Dimensional He3 Fluid Monolayer”, Physi- cal Review Letters, 90(11), pp.115301-115500. [12] Cazalilla M. A., Ho A. F., Giamarchi T. (2005), “Two-Component Fermi Gas on Internal-State-Dependent Optical Lattices”, Physical Review Letters, 95(22), 226402. [13] Chitra R., Kotliar G. (1999), “Dynamical Mean Field Theory of the Antifer- romagnetic Metal to Antiferromagnetic Insulator Transition”, Physical Review Letters, 83(12), pp.2386-2389. [14] Dao T. L., Georges A., Capone M. (2007), “Competing superfluid and density- wave ground-states of fermionic mixtures with mass imbalance in optical lat- tices”, Physical Review B, 76(10), 104517. [15] Dao T. L., Ferrero M., Cornaglia P. S. , Capone M. (2012), “Mott transition of fermionic mixtures with mass imbalance in optical lattices”, Physical Review A, 85(1), 013606. [16] De Franco C. , Tocchio L.F., Becca F. (2018), “Metal-insulator transitions, su- perconductivity, and magnetism in the two-band Hubbard model”, Physical Re- view B, 98(7), 075117. [17] Dobrosavljevic V., Trivedi N., Valles J.M. (2012), Conductor Insulator Quan- tum Phase Transitions , Oxford University Press. 96 [18] Edwards D.M., Hewson A.C. (1968), “Comment on Hubbard’s Theory of the Mott Transition”, Reviews of Modern Physics, 40(4), pp.810-811. [19] Falicov L. M., Kimball J. C. (1969), “Simple Model for Semiconductor–Metal Transitions: SmB6 and Transition–Metal Oxides”, Physical review letters, 22(19), pp. 997-999. [20] Fallani L., Fort C., Lye J. E., Inguscio M. (2005), “Bose-Einstein condensate in an optical lattice with tunable spacing: transport and static properties”, Optics Express, 13(11), pp.4303-4313. [21] Farkasovsky P. (2008), “Phase diagram of the asymmetric Hubbard model”, Physical Review B, 77(8), 085110. [22] Feng Q. (2009), Study of single impurity Anderson model and dynamical mean field theory based on equation of motion method (Luận văn tiến sĩ), Đại học Goethe Frankfurt, Chap. 2, p. 19. [23] Feng Y., Wang Y., Silevitch D.M., Cooper S. E., Mandrus D., Lee P.A., Rosen- baum T.F.(2021), “A continuous metal-insulator transition driven by spin cor- relations”, Nature Communications, 12, 2779. [24] Freericks J. K., Zlatic´ V. (2003), “Exact dynamical mean-field theory of the Falicov-Kimball model”, Review Of Modern Physics, 75(4), pp.1333-1382. [25] Gebhard F.(1997), The Mott Metal-Insulator Transition: Models and Methods, Springer. [26] Georges A., Kotliar G. (1992), “Hubbard model in infinite dimensions”, Physics Review B, 45(12), pp.64791-6483. [27] Georges A., Kotliar G., Krauth W., RozenbergM. J. (1996), “Dynamical mean- field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions”, Reviews of Modern Physics, 68(1), pp.13-126. 97 [28] Giorgini S., Pitaevskii L. P., Stringari S. (2008), “Theory of ultracold atomic Fermi gases”, Reviews of Modern Physics, 80(4), pp.1215-1274. [29] Gra¨ßer T., Bleicker P., Hering D. B., Yarmohammadi M., Uhrig G. S.(2008), “Dynamic mean-field theory for dense spin systems at infinite temperature”, Physics Review Research, 3(4), 043168. [30] Greiner M., Fo¨lling S. (2008), “Condensed-matter physics: Optical lattices”, Nature, 453(7196), pp.736-738. [31] Gutzwiller M.C. (1965), “Correlation of Electrons in a Narrow s Band”, Phys- ical Review Journal Archive,137(6A), pp.1726-1735. [32] H. Hao, A. Georges, A. J. Millis, B. Rubenstein, Q. Han, .H. Shi (2020), “Metal-insulator and magnetic phase diagram of Ca2RuO4 from auxiliary field quantum Monte Carlo and dynamical mean field theory”, Physical Review B, 101(23), 235110. [33] Hasunuma T., Kaneko T., Miyakoshi S., Ohta Y.(2016), “Mott Transitions and Staggered Orders in the Three-component Fermionic System: Variational Clus- ter Approach”, Journal of the Physical Society of Japan, 85, 074704. [34] Hewson A.C. (1993), The Kondo Problem to Heavy Fermions, Cambridge Uni- versity Press. [35] Hoang A.T., Le D.A. (2016), “Critical behavior near the Mott transition in the half-filled asymmetric Hubbard model”, Physica B: Condensed Matter,485, pp.121-126. [36] Hubbard J. (1963), “Electron Correlations in Narrow Energy Bands”, Royal Society of London Proceedings Series A, 276(1365), pp. 238-257. 98 [37] Hubbard J. (1964), “Electron Correlations in Narrow Energy Bands. II. The Degenerate Band Case”, Royal Society of London Proceedings Series A, 277(1369), pp. 237-259. [38] Hubbard J. (1964), “Electron Correlations in Narrow Energy Bands. III. An Improved Solution”, Royal Society of London Proceedings Series A, 281(1386), pp. 401-419. [39] Imada M., Fujimori A., Tokura Y. (1998), “Metal-insulator transitions” , Re- views of Modern Physics, 70(4), pp.1039-1264. [40] Inokuma Y., O¯no Y. (2022), “Temperature and doping dependence of the singlet and triplet pair susceptibilities in the one-band Hubbard model based on the dynamical mean-field theory” , Journal of Physics: Conference Series, 2164, Strongly Correlated Electron Systems (SCES) 2020 27/09/2021 - 01/10/2021 Campinas, Brazil, 012017. [41] B., Grass T., Zheng J., Barbier M., Hofstetter W. (2021), “Topological Mott transition in a Weyl-Hubbard model: Dynamical mean-field theory study” , Physical Review B, 103(12), 125132. [42] Jo¨rdens R., Strohmaier N., Gu¨nter K., Moritz H., Esslinger T. (2008), “A Mott insulator of fermionic atoms in an optical lattice”, Nature, 455(7210), pp. 204- 207. [43] Karnaukhov I.N. (2020), “Mott transition in two-band fermion model with on- site Coulomb repulsion”, Annals of Physics, 422, 168308. [44] Koga A., Saitou T., Yamamoto A. (2013), “Mott Transitions in the Hubbard Model with Spatially Modulated Interactions”, Journal of the physical society of Japan, 82(2), 024401. 99 [45] Ko¨hl M., Moritz H., Sto¨ferle T., Gu¨nter K., Esslinger T. (2005), “Fermionic Atoms in a Three Dimensional Optical Lattice: Observing Fermi Surfaces, Dy- namics, and Interactions”, Physical Review Letters, 94(8), pp.080403. [46] Kotliar G., Vollhardt D. (2004), “Strongly Correlated Materials: Insights from Dynamical Mean-Field Theory”, Physics Today, 57(3), pp.53-56. [47] Kuchinskii E. Z., Kuleeva N. A., Khomskii D. I., Sadovskii M. V. (2022), “Hall Effect in a Doped Mott Insulator: DMFT Approximation”, Journal of Experi- mental and Theoretical Physics Letters, 115(7), pp.402–405. [48] Le D.A., Tran M.T. (2015), “Mott transitions in a three-component Falicov- Kimball model: A slave boson mean-field study”, Physical Review B, 91(19), 195144. [49] Lewenstein M., Sanpera A., Ahufinger V. (2012), Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating quantum many-body systems, Oxford University Express. [50] Mazitov T. B., Katanin A. A. (2022), “Local magnetic moment formation and Kondo screening in the half-filled single-band Hubbard model”, Physical Re- view B, 105(8), L081111. [51] McWhan D. B., Menth A., Remeika J. P., Brinkman W. F., Rice T. M. (1973), “Metal-Insulator Transitions in Pure and Doped V2O3”, Physical Reviews B, 7(5), pp.1920-1931. [52] Meir Y., Wingreen N. S., Lee P. A. (1991), “Transport through a strongly inter- acting electron system: Theory of periodic conductance oscillations”, Physical Reviews Letters, 66(23), pp.3048-3051. [53] Metzner W., Vollhardt D. (1989), “Correlated Lattice Fermions in d = ∞ Di- mensions”, Physical Review Letters, 62(3), pp.324-327. 100 [54] Mott N.F., Peierls R. (1937), “Discussion of the paper by de Boer and Verwey”, Proceedings of the Physical Society (1926-1948), 49(4S), pp.72-73. [55] Mott N.F. (1949), “The Basis of the Electron Theory of Metals, with Special Reference to the Transition Metals”, Proceedings of the Physical Society, Sec- tion A, 62(7), pp.416-422. [56] Mott N.F. (1956), “On the transition to metallic conduction in semiconductors”, Canadian Journal of Physics, 34(12A), pp.1356-1368. [57] Mott N.F. (1961), “The transition to the metallic state”, Philosophical Maga- zine, 6(62), pp.287-309. [58] Mott N.F. (1967), “Electrons in disordered structures”, Philosophical Maga- zine, 16(61), pp.49-144. [59] Niyazi A., Geffroy D., Kunesˇ J.(2021), “Antiferromagnetic magnons and local anisotropy: Dynamical mean-field study”, Physical Review B, 104(7), 075152. [60] Noack R. M., Gebhard F. (1999), “Mott-Hubbard Transition in Infinite Dimen- sions”, Physical Review Letters, 82(9), pp.1915-1918. [61] Okanami Y., Takemori N., Koga A. (2014), “Stability of the superfluid state in three-component fermionic optical lattice systems”, Physical Reviews A, 89(5), 053622. [62] Onno Y., Bulla R., Hewson A.C., Potthoff M.(2001), “Critical behaviour near the metal-insulator transition of a doped Mott insulator”, The European Physi- cal Journal B, 22(3), pp.283–290. [63] Potthoff M. (2001), “Two-site dynamical mean-field theory”, Physical Review B, 64(16), 165114. 101 [64] M. Raczkowski, R. Peters, Thu P. T., N. Takemori, F. F. Assaad, A. Honecker, .J. Vahedi (2020), “Hubbard model on the honeycomb lattice: From static and dynamical mean-field theories to lattice quantum Monte Carlo simulations”, Physical Review B, 101(12), 125103. [65] Saitou T., Koga A., Yamamoto A. (2013), “Metal–Insulator Transition in Opti- cal Lattice System with Site-Dependent Interactions”, Journal of Superconduc- tivity and Novel Magnetism, 26(5), pp.1771–1774. [66] Santos L., Baranov M. A., Cirac J. I., Everts H.-U., Fehrmann H., Lewenstein M. (2004), “Atomic Quantum Gases in Kagomé Lattices”, Physical Review Let- ters, 93(3), 030601. [67] Schneider U., Hackermu¨ller L., Will S., Best Th., Bloch I., Costi T. A., Helmes R. W., Rasch D., Rosch A. (2008), “Metallic and Insulating Phases of Re- pulsively Interacting Fermions in a 3D Optical Lattice”, Science, 322(5907), pp.1520-1525. [68] Semmler D. (2011), Luận án tiến sỹ: Strongly Correlated Ultracold Gases in Disordered Optical Lattices, Đại học Johann Wolfgang Goethe, Frankfurt. [69] Shiba H. (1972), “Thermodynamic Properties of the One-Dimensional Half- Filled-Band Hubbard Model. II: Application of the Grand Canonical Method", Progress of Theoretical Physics, 48(6), pp.2171-2186. [70] Stasyuk I. V., Hera O. B. (2005), “Mott transition in the asymmetric Hubbard model at half-filling within dynamical mean-field theory”, The European Phys- ical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems, 48(3), pp.339-348. [71] Takagi H., Ido T., Ishibashi S., Uota M., Uchida S., Tokura Y. (1989), “Superconductor-to-nonsuperconductor transition in (La1-xSrx)2CuO4 as in- vestigated by transport and magnetic measurements”, Physical Review B, 40(4), pp.2254-2261. 102 [72] Takemori N., and Akihisa Koga A. (2012), “Low-Temperature Properties of the Fermionic Mixtures with Mass Imbalance in Optical Lattice”, Journal of the Physical Society of Japan, 81(6), 063002. [73] Tiecke T. G., Goosen M. R., Ludewig A., Gensemer S. D., Kraft S., Kokkel- mans S. J. J. M. F., Walraven J. T. M. (2010), “Broad Feshbach Resonance in the 6Li40K Mixture”, Physical Review Letters, 104(5), 053202. [74] Tokura Y., Taguchi Y., Okada Y., Fujishima Y., Arima T., Kumagai K., Iye Y. (1993), “Filling dependence of electronic properties on the verge of metal- Mott-insulator transition in Sr1−xLaxTiO3”, Physical Review Letters, 70(14), pp.2126-2129. [75] Torrance J. B., Lacorre P., Nazzal A. I., Ansaldo E. J., Niedermayer Ch. (1992), “Systematic study of insulator-metal transitions in perovskites RNiO3(R = Pr, Nd, Sm, Eu) due to closing of charge-transfer gap”, Physical Review B, 45(14), pp.8209-8212. [76] Trenkwalder A., Kohstall C., Zaccanti M., Naik D., Sidorov A. I., Schreck F., Grimm R. (2011), “Hydrodynamic Expansion of a Strongly Interacting Fermi- Fermi Mixture”, Physical Review Letters, 106(11), 115304. [77] Ueltschi D. (2004), “Segregation in the Asymmetric Hubbard Model”, Journal of Statistical Physics, 116(1-4), pp.681–697. [78] Unukovych V., Sotnikov A.(2021), “SU(4)-symmetric Hubbard model at quar- ter filling: Insights from the dynamical mean-field approach”, Physics Review B, 104(24), 245106. [79] van Dongen P. G. J., Vollhardt D. (1990), “Exact mean-field Hamiltonian for fermionic lattice models in high dimensions”, Physical Review Letters,65(13), pp.1663-1666. 103 [80] Vollhardt D. (2010), “ Dynamical Mean-Field Theory of Electronic Correla- tions in Models and Materials”, AIP Conference Proceedings,1297(1), pp.339- 406. [81] Wille E., Spiegelhalder F. M., Kerner G., Naik D., Trenkwalder A., Hendl G., Schreck F., Grimm R., Tiecke T. G., Walraven J. T. M., Kokkelmans S. J. J. M. F., Tiesinga E., Julienne P. S. (2008), “Exploring an Ultracold Fermi-Fermi Mixture: Interspecies Feshbach Resonances and Scattering Properties of 6Li and 40K", Physical Review Letters, 100(5), 053201. [82] Wilson A. H. (1931), “The theory of electronic semi-conductors”, Proceedings of the Royal Society A, 133(822), pp.458-491. [83] Wilson A. H. (1931), “The theory of electronic semi-conductors.-II”, Proceed- ings of the Royal Society A, 134(823), pp.277-287. [84] Wilson J. A.(1985), The Metallic and nonmetallic states of matter, Taylor and Francis, London. [85] Winograd E. A., Chitra R., Rozenberg M. J. (2011), “Orbital-selective crossover and Mott transitions in an asymmetric Hubbard model of cold atoms in optical lattices”, Physical Review B, 84(23), 233102. [86] Winograd E. A., Chitra R., Rozenberg M. J. (2012), “Phase diagram of the asymmetric Hubbard model and an entropic chromatographic method for cool- ing cold fermions in optical lattices”, Physical Review B, 86(19), 195118. [87] Wong J. et al (2003), “Phonon Dispersions of fcc δ -Plutonium-Gallium by Inelastic X-ray Scattering”, Science, 301(5636), pp.1078-1080. [88] Yamazaki R. et al (2010), “Submicron Spatial Modulation of an Interatomic Interaction in a Bose-Einstein Condensate”, Physical Review Letters, 105(5), 050405. Phụ lục A Các biến đổi chương 2 A.1. Các hệ thức phản giao hoán {dσ ,d+σ }= dσd+σ +d+σ dσ = δσσ = 1 (A.1) {ckσ ,d+σ }= 0 (A.2) {ndσ¯dσ ,d+σ }= d+σ¯ dσ¯dσd+σ +d+σ d+σ¯ dσ¯dσ = d+σ¯ dσ¯ −d+σ¯ dσ¯d+σ dσ +d+σ¯ dσ¯d+σ dσ = ndσ¯ (A.3) {ndσ¯ckσ ,d+σ }= d+σ¯ dσ¯ckσd+σ +d+σ d+σ¯ dσ¯ckσ = 0 (A.4) {d+σ¯ ckσ¯dσ ,d+σ }= d+σ¯ ckσ¯dσd+σ +d+σ d+σ¯ ckσ¯dσ = d+σ¯ ckσ¯{dσd+σ }= d+σ¯ ckσ¯ (A.5) {c+kσ¯dσ¯dσ ;d+σ }= c+kσ¯dσ¯dσd+σ +d+σ c+kσ¯dσ¯dσ = c+kσ¯dσ¯{dσd+σ }= c+kσ¯dσ¯ (A.6) 104 105 A.2. Các hệ thức giao hoán [d′σ ,H1] = [d ′ σ ,∑ kσ εkσc+kσckσ ] =∑ kσ εkσ [d′σ ,c + kσckσ ] =∑ kσ εkσ ([d′σ ,c + kσ ]ckσ + c + kσ [d ′ σ ,ckσ ]) =∑ kσ εkσ (2d′σc + kσckσ +2c + kσd ′ σckσ ) = 0 [d′σ ,H2] = [d ′ σ ,∑ kσ Vkσc+kσdσ ] =∑ kσ Vkσ [d′σ ,c + kσdσ ] =∑ kσ Vkσ ([d′σ ,c + kσ ]dσ + c + kσ [d ′ σ ,dσ ]) =∑ kσ Vkσ (2d′σc + kσdσ +2c + kσd ′ σdσ ) = 0 [d′σ ,H3] = [d ′ σ ,∑ kσ V ∗kσd + σ ckσ ] =∑ kσ V ∗kσ [d ′ σ ;d + σ ckσ ] =∑ kσ V ∗kσ ([d ′ σ ,d + σ ]ckσ +d + σ [d ′ σ ,ckσ ]) =∑ kσ V ∗kσ (δσ ′σckσ −2d+σ d′σckσ +2d+σ d′σckσ ) =∑ k V ∗kσ ′ckσ ′ [d′σ ,H4] = [d ′ σ ,−∑ σ µσndσ ] =−∑ σ µσ [d′σ ,d + σ dσ ] =−∑ σ µσ ([d′σ ,d + σ ]dσ +d + σ [d ′ σ ,dσ ]) =−∑ σ µσ (δσ ′σdσ −2d+σ d′σdσ +2d+σ d′σdσ ) =−µ ′σd′σ [d′σ ,H5] = [d ′ σ , U 2 ∑σ ndσndσ¯ ] = U 2 ∑σ [d′σ ,ndσndσ¯ ] = U 2 ∑σ ([d′σ ,ndσ ]ndσ¯ +ndσ [d ′ σ ,ndσ¯ ]) = U 2 ∑σ (δσ ′σdσndσ¯ +ndσδσ ′σ¯dσ¯ ) = U 2 (d′σndσ¯ ′ +ndσ¯ ′dσ ′) =Undσ¯ ′dσ ′ ⇒ [dσ ,H] =∑ k V ∗kσckσ −µσdσ +Undσ¯dσ (A.7) 106 Tương tự: [ckσ ,H] = εkσckσ +Vkσdσ (A.8) [d+σ ,H] =−∑ k Vkσc+kσ +µσd + σ −Undσ¯d+σ (A.9) [c+kσ ,H] =−εkσc+kσ −V ∗kσd+σ (A.10) [ndσ ,H] =−∑ k V ∗kσd + σ ckσ −∑ k Vkσc+kσdσ (A.11) [ndσ¯dσ ,H] =∑ k V ∗kσndσ¯ckσ −∑ k Vkσc+kσdσ¯dσ +∑ k V ∗kσ¯d + σ¯ ckσ¯dσ − (µσ −U)ndσ¯dσ (A.12) [ndσ¯ckσ ,H] =∑ k′ V ∗k′σ¯d + σ¯ ck′σ¯ckσ −∑ k′ Vk′σ¯c + k′σ¯dσ¯ckσ +ndσ¯εkσckσ +Vkσndσ¯dσ (A.13) [d+σ¯ ckσ¯dσ ,H] =∑ k′ V ∗k′σd + σ¯ ckσ¯ck′σ −∑ k′ Vk′σ¯c + k′σ¯ckσ¯dσ +Vkσ¯ndσ¯dσ +(εkσ¯ +µσ¯ −µσ +U−Undσ −Undσ¯ )d+σ¯ ckσ¯dσ (A.14) [c+kσ¯dσ¯dσ ,H] =∑ k′ V ∗k′σc + kσ¯dσ¯ck′σ +∑ k′ V ∗k′σ¯c + kσ¯ck′σ¯dσ −V ∗kσ¯ndσ¯dσ − (εkσ¯ +µσ¯ +µσ −U−Undσ +Undσ¯ )c+kσ¯dσ¯dσ (A.15) 107 A.3. Gần đúng Zubarev ≪ d+σ¯ ck′σ¯ckσ |d+σ ≫ω ≃≪ ckσ |d+σ ≫ω (A.16) ≪ c+k′σ¯dσ¯ckσ |d+σ ≫ω ≃≪ ckσ |d+σ ≫ω (A.17) ≪ c+k′σ¯ckσ¯dσ |d+σ ≫ω ≃≪ dσ |d+σ ≫ω (A.18) ≪ ndσd+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω ≃≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω (A.19) ≪ ndσ¯d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω ≃≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω (A.20) ≪ ndσc+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω ≃≪ c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω (A.21) ≪ ndσ¯c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω ≃≪ c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω (A.22) A.4. Phương trình chuyển động của các hàm Green * Hàm Green Gσd (ω) =≪ dσ |d+σ ≫ω ωGσd (ω) = 〈{dσ ,d+σ }〉+≪ [dσ ,H]|d+σ ≫ω (A.1,A.7)⇒ ωGσd (ω) = 1+∑ k V ∗kσ ≪ ckσ |d+σ ≫ω −µσ ≪ dσ |d+σ ≫ω +U ≪ ndσ¯dσ |d+σ ≫ω ⇒ (ω+µσ )Gσd (ω) = 1+∑ k V ∗kσG kσ cd (ω)+UG 2σ d (ω) (A.23) * Hàm Green Gkσcd (ω) =≪ ckσ |d+σ ≫ω ωGkσcd (ω) = 〈{ckσ ,d+σ }〉+≪ [ckσ ,H]|d+σ ≫ω (A.2,A.8)⇒ ωGkσcd (ω) = εkσ ≪ ckσ |d+σ ≫ω +Vkσ ≪ dσ |d+σ ≫ω ⇒ (ω− εkσ )Gkσcd (ω) =VkσGσd (ω) 108 ⇒ Gkσcd (ω) = Vkσ ω− εkσ G σ d (ω) (A.24) (A.23,A.24)⇒ (ω+µσ )Gσd (ω) = 1+∑ k |Vkσ |2 ω− εkσ G σ d (ω)+UG 2σ d (ω) ⇒ (ω+µσ −∆σ (ω))Gσd (ω) = 1+UG2σd (ω) (A.25) trong đó: ∆σ (ω) = ∑k |Vkσ |2 ω− εkσ . * Hàm Green Gk2σd (ω) =≪ ndσ¯dσ |d+σ ≫ω ωG2σd (ω) = 〈{ndσ¯dσ ,d+σ }〉+≪ [ndσ¯dσ ,H]|d+σ ≫ω (A.3,A.12)⇒ ωG2σd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩+∑ k V ∗kσ ≪ ndσ¯ckσ |d+σ ≫ω −∑ k Vkσ ≪ c+kσdσ¯dσ |d+σ ≫ω +∑ k V ∗kσ¯ ≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω − (µσ −U)≪ ndσ¯dσ |d+σ ≫ω ⇒ (ω+µσ −U)G2σd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩+∑ k V ∗kσ ≪ ndσ¯ckσ |d+σ ≫ω +∑ k V ∗kσ¯ ≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω −∑ k Vkσ ≪ c+kσdσ¯dσ |d+σ ≫ω (A.26) Xét số hạng thứ 2 trong (A.26), từ phương trình chuyển động: ω ≪ ndσ¯ckσ |d+σ ≫ω= 〈{ndσ¯ckσ ,d+σ }〉+≪ [ndσ¯ckσ ,H] |d+σ ≫ω (A.3,A.13)⇒ ω ≪ ndσ¯ckσ |d+σ ≫ω=∑ k′ V ∗k′σ¯ ≪ d+σ¯ ck′σ¯ckσ |d+σ ≫ω −∑ k′ Vk′σ¯ ≪ c+k′σ¯dσ¯ckσ |d+σ ≫ω +εkσ ≪ ndσ¯ckσ |d+σ ≫ω +Vkσ ≪ ndσ¯dσ |d+σ ≫ω 109 (A.16,A.17)⇒ (ω− εkσ )≪ ndσ¯ckσ |d+σ ≫ω ≃VkσG2σd (ω) + ( ∑ k′ V ∗k′σ¯ 〈 d+σ¯ ck′σ¯ 〉−∑ k′ Vk′σ¯ 〈 c+k′σ¯dσ¯ 〉) Gkσcd (ω) (A.27) ⇒∑ k V ∗kσ ≪ ndσ¯ckσ |d+σ ≫ω=∑ k V ∗kσ I1 ω− εkσ G kσ cd (ω)+∑ k |Vkσ |2 ω− εkσ G 2σ d (ω) =∑ k |Vkσ |2 I1 (ω− εkσ )2G σ d (ω)+∑ k |Vkσ |2 ω− εkσ G 2σ d (ω) (A.28) trong đó: I1 = ∑k′V ∗k′σ¯ 〈 d+σ¯ ck′σ¯ 〉−∑k′Vk′σ¯ 〈c+k′σ¯dσ¯〉. Xét số hạng thứ 3 trong (A.26), từ phương trình chuyển động: ω ≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω= 〈{d+σ¯ ckσ¯dσ ,d+σ }〉+≪ [d+σ¯ ckσ¯dσ ,H] |d+σ ≫ω (A.5,A.14)⇒ ω ≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω= 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 +∑ k′ V ∗k′σ ≪ d+σ¯ ckσ¯ck′σ |d+σ ≫ω −∑ k′ Vk′σ¯ ≪ c+k′σ¯ckσ¯dσ |d+σ ≫ω +Vkσ¯ ≪ ndσ¯dσ |d+σ ≫ω +(εkσ¯ +µσ¯ −µσ +U)≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω −U ≪ ndσd+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω −U ≪ ndσ¯d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω (A.16,A.18,A.19,A.20)⇒ M+kσ (ω)≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω= 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 +∑ k′ V ∗k′σ 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 Gk ′σ cd (ω) −∑ k′ Vk′σ¯ 〈 c+k′σ¯ckσ¯ 〉 Gσd (ω)+Vkσ¯G 2σ d (ω) = 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 + ( ∑ k′ |Vk′σ |2 ω− εk′σ 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉−∑ k′ Vk′σ¯ 〈 c+k′σ¯ckσ¯ 〉) Gσd (ω)+Vkσ¯G 2σ d (ω) (A.29) với M+kσ (ω) = ω− εkσ¯ −µσ¯ +µσ +U(+−1). 110 ⇒∑ k V ∗kσ¯ ≪ d+σ¯ ckσ¯dσ |d+σ ≫ω=∑ k V ∗kσ¯ M+kσ (ω) 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 +∑ k Vkσ¯ M+kσ (ω) 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 ∆σ (ω)Gσd (ω)−∑ kk′ V ∗kσ¯Vk′σ¯ M+kσ (ω) 〈 c+k′σ¯ckσ¯ 〉 Gσd (ω) +∑ k |Vkσ¯ |2 M+kσ (ω) G2σd (ω) (A.30) Xét số hạng thứ 4 trong (A.26), từ phương trình chuyển động: ω ≪ c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω= 〈{c+kσ¯dσ¯dσ ,d+σ }〉+≪ [c+kσ¯dσ¯dσ ,H] |d+σ ≫ω (A.6,A.15)⇒ ω ≪ c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω= 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 +∑ k′ V ∗k′σ ≪ c+kσ¯dσ¯ck′σ |d+σ ≫ω +∑ k′ V ∗k′σ¯ ≪ c+k′σ¯ck′σ¯dσ |d+σ ≫ω −V ∗kσ¯ ≪ ndσ¯dσ |d+σ ≫ω − (εkσ¯ +µσ¯ +µσ −U)≪ c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω +U ≪ ndσc+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω −U ≪ ndσ¯c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω (A.17,A.18,A.21,A.22)⇒ M−kσ (ω)≪ c+kσ¯dσ¯dσ |d+σ ≫ω= 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 +∑ k′ V ∗k′σ 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 Gk ′σ cd (ω) +∑ k′ V ∗k′σ¯ 〈 c+kσ¯ck′σ¯ 〉 Gσd (ω)−V ∗kσ¯G2σd (ω) = 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉−V ∗kσ¯G2σd (ω) + ( ∑ k′ |Vk′σ |2 ω− εk′σ 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 +∑ k′ V ∗k′σ¯ 〈 c+kσ¯ck′σ¯ 〉) Gσd (ω) (A.31) 111 với M−kσ (ω) = ω+ εkσ¯ +µσ¯ +µσ +U(−−1). ⇒−∑ k Vkσ ≪ c+kσdσ¯dσ |d+σ ≫ω=∑ k V ∗kσ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 −∑ k Vkσ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 ∆σ (ω)Gσd (ω)−∑ kk′ Vkσ¯V ∗k′σ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯ck′σ¯ 〉 Gσd (ω) +∑ k |Vkσ¯ |2 M−kσ (ω) G2σd (ω) (A.32) Kết hợp (A.26, A.28, A.30, A.32) ⇒ (ω+µσ −U)G2σd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩+∑ k |Vkσ |2 I1 (ω− εkσ )2G σ d (ω)+∑ k |Vkσ |2 ω− εkσ G 2σ d (ω) +∑ k V ∗kσ¯ M+kσ (ω) 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 +∑ k V ∗kσ¯ M+kσ (ω) 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 ∆σ (ω)Gσd (ω) −∑ kk′ V ∗kσ¯Vk′σ¯ M+kσ (ω) 〈 c+k′σ¯ckσ¯ 〉 Gσd (ω)+∑ k |Vkσ¯ |2 M+kσ (ω) G2σd (ω) +∑ k V ∗kσ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉−∑ k Vkσ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 ∆σ (ω)Gσd (ω) −∑ kk′ Vkσ¯V ∗k′σ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯ck′σ¯ 〉 Gσd (ω)+∑ k |Vkσ¯ |2 M−kσ (ω) G2σd (ω) [ ω+µσ −U−∆σ (ω)−∑ k |Vkσ¯ |2 ( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) )] G2σd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩+∑ k V ∗kσ¯ M+kσ (ω) 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉−∑ k Vkσ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 +  ∑k |Vkσ |2 I1 (ω− εkσ )2 +∑k V ∗kσ¯ M+kσ (ω) 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 ∆σ (ω) −∑k Vkσ¯ M−kσ (ω) 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 ∆σ (ω) −∑kk′V ∗kσ¯Vk′σ¯ 〈 c+k′σ¯ckσ¯ 〉( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) ) G σ d (ω) (A.33) 112 Nếu gần đúng coi 〈 d+σ¯ ckσ¯ 〉 = 〈 c+kσ¯dσ¯ 〉 = 0, ta rút gọn được[ ω+µσ −U−∆σ (ω)−∑ k |Vkσ¯ |2 ( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) )] G2σd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩− [ −∑ kk′ V ∗kσ¯Vk′σ¯ 〈 c+k′σ¯ckσ¯ 〉( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) )] Gσd (ω) (A.34) * Hàm Green≪ ckσ¯ |c+k′σ¯ ≫ω ω ≪ ckσ¯ |c+k′σ¯ ≫ω = 〈{ckσ¯ ,c+k′σ¯}〉+≪ [ckσ¯ ,H]|c+k′σ¯ ≫ω = δkk′ + εkσ¯ ≪ ckσ¯ |c+k′σ¯ ≫ω +Vkσ¯ ≪ dσ |c+k′σ¯ ≫ω Nếu bỏ qua≪ dσ |c+k′σ¯ ≫ω thì ω ≪ ckσ¯ |c+k′σ¯ ≫ω= δkk′ ω− εkσ¯ 〈 c+k′σ¯ckσ¯ 〉 = i 2π lim ε→0 ∫ +∞ −∞ (≪ ckσ¯ |c+k′σ¯ ≫E+iε)− (≪ ckσ¯ |c+k′σ¯ ≫E−iε) f (E)dE = i 2π lim ε→0 ∫ +∞ −∞ f (E)dEδkk′ ( 1 E+ iε− εkσ¯ − 1 E− iε− εkσ¯ ) = i 2π lim ε→0 ∫ +∞ −∞ f (E)dEδkk′ −2iε (E− εkσ¯ )2+ ε2 = δkk′ ∫ +∞ −∞ f (E)dE [ 1 π lim ε→0 ε (E− εkσ¯ )2+ ε2 ] = δkk′ ∫ +∞ −∞ f (E)dEδ (E− εkσ¯ ) = δkk′ f (εkσ¯ ) (A.35) Từ(A.34,A.35)⇒[ ω+µσ −U−∆σ (ω)−∑ k |Vkσ¯ |2 ( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) )] G2σd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩− [ −∑ kk′ V ∗kσ¯Vk′σ¯ ( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) ) δkk′ f (εkσ¯ ) ] Gσd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩− [ −∑ k |Vkσ¯ |2 ( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) ) f (εkσ¯ ) ] Gσd (ω) (A.36) 113 Đặt Πiσ (ω) =∑ k |Vkσ¯ |2 ( 1 M+kσ (ω) + 1 M−kσ (ω) ) F(i)(εkσ¯ ), với F(1)(εkσ¯ = f (ω) = 1 1+ eβω (A.37) F(2)(εkσ¯ = 1− f (ω) (A.38) F(3)(εkσ¯ = 1 (A.39) Từ (A.25, A.36, A.4), thực hiện biến đổi ta được: [ω+µσ −U−∆σ (ω)−Π3σ (ω)]G2σd (ω) = ⟨ndσ¯ ⟩−Pi1σ (ω)Gσd (ω) (A.40) Gσd (ω) [ω+µσ −∆σ (ω)] = 1+ U ⟨ndσ¯ ⟩ ω+µσ −U−∆σ (ω)−Π3σ (ω) − UΠ1σ (ω)G σ d (ω) ω+µσ −U−∆σ (ω)−Π3σ (ω) Gσd (ω) = 1+ U ⟨ndσ¯ ⟩ ω+µσ −U−∆σ (ω)−Π3σ (ω) ω+µσ −∆σ (ω)+ UΠ1σ (ω)ω+µσ −U−∆σ (ω)−Π3σ (ω) = 1−⟨ndσ¯ ⟩ ω+µσ −∆σ (ω)+ UΠ1σ (ω)ω+µσ −U−∆σ (ω)−Π3σ (ω) + ⟨ndσ¯ ⟩ ω+µσ −U−∆σ (ω)− UΠ2σ (ω)ω+µσ −∆σ (ω)−Π3σ (ω) (A.41)