Luận án Một số lớp mở rộng của môđun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng

áa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn c¸c linh hãa tö ph¶i nªn theo Bæ ®Ò 2.2.32,⊕i∈IfiR lµ m«®un con ®ãng cña RR. MÆt kh¸c, v× ⊕i∈IfiR ≤e RR nªn RR = ⊕i∈IfiR. Do ®ã RR = ⊕ni=1fiR (víi n lµ sè nguyªn d­¬ng nµo ®ã) vµ fiR lµ ®Òu víi mäi i = 1, 2, ..., n. Theo MÖnh ®Ò 2.2.16, R lµ vµnh liªn tôc ph¶i. Nh­ vËy, R lµ vµnh tùa Frobenius theo §Þnh lý 1.5.6. KÕt luËn cña ch­¬ng 2 Néi dung ch­¬ng 2 lµ c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn hai líp m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+-néi x¹. Mét c¸ch tù nhiªn, tõ kh¸i niÖm m«®un gi¶ néi x¹ vµ tùa c-néi x¹, chóng t«i ®­a ra kh¸i niÖm gi¶ c-néi x¹. §©y lµ líp m«®un më réng cña c¸c líp m«®un c-néi x¹. C¸c kÕt qu¶ chñ yÕu cña ch­¬ng 2 liªn quan ®Õn líp m«®un gi¶ c+-néi x¹, ®©y lµ líp m«®un më réng thùc sù cña c¸c líp m«®un gi¶ néi x¹, GQ-néi x¹, liªn tôc vµ lµ líp con thùc sù cña c¸c líp m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ líp m«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn C2. Ngoµi viÖc nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt néi t¹i cña hai líp m«®un nµy vµ mèi liªn hÖ gi÷a chóng víi mét sè tr­êng hîp më réng kh¸c cña m«®un néi x¹. Th«ng qua tÝnh gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+-néi x¹, chóng t«i ®· ®­a ra c¸c ®Æc tr­ng më réng cña m«®un néi x¹ (MÖnh ®Ò 2.2.1), m«®un vµ vµnh tù néi x¹ (HÖ qu¶ 2.2.12; HÖ qu¶ 2.2.14), m«®un vµ vµnh liªn tôc (§Þnh lý 2.2.6; §Þnh lý 2.2.16), m«®un CS (MÖnh ®Ò 2.1.3). TÝnh chÊt quan träng cña m«®un gi¶ c+-néi x¹ M ®ã lµ tÝnh néi x¹ t­¬ng hç cña c¸c h¹ng tù trùc tiÕp cña M vµ tÝnh chÝnh quy cña vµnh End(M)/J(End(M)) (§Þnh lý 2.2.11; §Þnh lý 2.2.21). C¸c kÕt qu¶ quan träng trong ch­¬ng 2 ®ã lµ c¸c ®Æc tr­ng 56 cña vµnh Artin nöa ®¬n th«ng qua tÝnh gi¶ c-néi x¹ vµ tÝnh gi¶ c+-néi x¹ (§Þnh lý 2.1.6; HÖ qu¶ 2.2.13); c¸c ®Æc tr­ng cña vµnh tùa Frobenius th«ng qua m«®un vµ vµnh gi¶ c+-néi x¹ (HÖ qu¶ 2.2.15; §Þnh lý 2.2.20; §Þnh lý 2.2.33). HÖ qu¶ 2.2.13 lµ mét kÕt qu¶ më réng cña B. Osofsky (§Þnh lý 1.4.4) vÒ ®Æc tr­ng cña vµnh Artin nöa ®¬n. §Þnh lý 2.2.20 lµ kÕt qu¶ më réng cña C. Faith (§Þnh lý 1.5.8) vÒ ®Æc tr­ng cña vµnh tùa Frobenius. 57 Ch­¬ng 3 C¸c tr­êng hîp më réng cña m«®un x¹ ¶nh Néi dung cña ch­¬ng 3 lµ c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn c¸c líp m«®un th«ng qua kh¸i niÖm m«®un con bÐ cèt yÕu. Cô thÓ lµ c¸c líp m«®un n©ng cèt yÕu, m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. C¸c tÝnh chÊt cña c¸c líp m«®un trªn vµ mèi liªn hÖ cña chóng víi c¸c líp m«®un δ-n©ng, m«®un cã δ-phÇn phô, δ-®Þa ph­¬ng vµ m«®un ®Þa ph­¬ng còng ®· ®­îc chØ ra. KÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng 3 ®ã lµ c¸c ®Æc tr­ng cña m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ ®Æc tr­ng cña m«®un Artin th«ng qua m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. 3.1 M«®un n©ng cèt yÕu vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Trong môc nµy, chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm m«®un n©ng cèt yÕu vµ cã phÇn phô cèt yÕu. §©y lµ c¸c líp m«®un më réng cña c¸c líp m«®un δ-n©ng vµ m«®un cã δ-phÇn phô (t­¬ng øng) ®· ®­îc t¸c gi¶ T. M. Kosan ([29]) ®­a ra. C¸c tÝnh chÊt vÒ ®ång ®iÒu cña c¸c líp m«®un nµy ®· ®­îc chØ ra, cô thÓ chóng t«i kh¶o s¸t vÒ h¹ng tö trùc tiÕp (MÖnh ®Ò 3.1.3; HÖ qu¶ 3.1.14), m«®un th­¬ng (MÖnh ®Ò 3.1.4; MÖnh ®Ò 3.1.15) vµ tæng trùc tiÕp (§Þnh lý 3.1.6; MÖnh ®Ò 3.1.7; HÖ qu¶ 3.1.14) cña m«®un n©ng cèt yÕu vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. H¬n n÷a, nÕu M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu th× M/Rade(M) lµ m«®un nöa ®¬n (Bæ ®Ó 3.1.9). Ngoµi ra chóng t«i kh¶o s¸t líp m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu vµ ®­a ra c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét m«®un lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu (MÖnh ®Ò 3.1.17; §Þnh lý 3.1.19). Tr­íc tiªn lµ kh¸i niÖm m«®un con bÐ cèt yÕu (essentially small), kh¸i 58 niÖm nµy ®­îc D. X. Zhou vµ X. R. Zhang ([53]) ®­a ra vµo n¨m 2011. M«®un con N cñaM ®­îc gäi lµ bÐ cèt yÕu trongM , ký hiÖu lµ N e M , nÕu víi mçi L ≤e M , N + L = M th× L = M . Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña m«®un con bÐ cèt yÕu còng ®· ®­îc D. X. Zhou vµ X. R. Zhang chøng minh: Bæ ®Ò 3.1.1 ([53, Proposision 2.3; Proposision 2.5]). Cho M lµ R-m«®un vµ N,K ≤M . Khi ®ã: (1) NÕu N e M vµ K ≤ N , th× K e M vµ N/K e M/K. (2) N +K e M khi vµ chØ khi N e M vµ K e M . (3) Cho N e M vµ M = X +N. Khi ®ã M = X ⊕ Y víi Y lµ m«®un con nöa ®¬n cña M . (4) NÕu K e M vµ f :M →M ′ lµ mét ®ång cÊu th× f(K)e M ′. §Æc biÖt, nÕu K e M ≤M ′ th× K e M ′. (5) Cho K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M vµ M = M1 ⊕ M2. Khi ®ã K1 ⊕K2 e M1 ⊕M2 khi vµ chØ khi K1 e M1 vµ K2 e M2. §Þnh nghÜa 3.1.1. M«®unM ®­îc gäi lµ n©ng cèt yÕu nÕu víi mäi N ≤M , tån t¹i sù ph©n tÝch M = A ⊕B sao cho A ≤ N vµ N ∩B e M . M«®un n©ng cèt yÕu cã thÓ ®­îc ®Þnh nghÜa mét c¸ch t­¬ng ®­¬ng bëi bæ ®Ò sau: Bæ ®Ò 3.1.2. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi m«®un M: (1) M lµ n©ng cèt yÕu; (2) Víi mçi N ≤ M , tån t¹i sù ph©n tÝch N = A ⊕ B sao cho A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ B e M; 59 (3) Víi mçi m«®un con N cña M , tån t¹i h¹ng tö trùc tiÕp A cña M sao cho A ≤ N vµ N/Ae M/A. Chøng minh. (1)⇒(2) ®­îc suy ra tõ ®Þnh nghÜa. (2)⇒(3). Cho N ≤ M . Theo gi¶ thiÕt, ta cã ph©n tÝch N = A ⊕ B, trong ®ã A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ B e M . XÐt pi :M →M/A lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. V× B e M nªn pi(B) e M/A theo Bæ ®Ò 3.1.1, tøc lµ N/Ae M/A. (3)⇒(1). Víi mçi m«®un con N cña M , theo gi¶ thiÕt, tån t¹i sù ph©n tÝch M = A ⊕ B sao cho A ≤ N vµ N/A e M/A. V× N = A ⊕ (N ∩ B) nªn M/A ∼= B vµ N/A ∼= N ∩ B. Tõ gi¶ thiÕt N/A e M/A suy ra N ∩ B e B. Do ®ã N ∩B e M . MÖnh ®Ò 3.1.3. H¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un n©ng cèt yÕu lµ n©ng cèt yÕu. Chøng minh. Cho M lµ m«®un n©ng cèt yÕu, N lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ A ≤ N . Khi ®ã, tån t¹i h¹ng tö trùc tiÕp K cña M sao cho K ≤ A, M = K ⊕ T vµ A ∩ T e M . Ta cã N = K ⊕ (N ∩ T ). V× N lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M nªn theo Bæ ®Ò 3.1.1, A ∩ (N ∩ T ) = A ∩ T e N . VËy N lµ n©ng cèt yÕu. M«®unM ®­îc gäi lµ ph©n phèi nÕu A∩ (B+C) = (A∩B)+ (A∩C) víi mäi m«®un con A,B, C cña M . MÖnh ®Ò sau lµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó m«®un th­¬ng cña m«®un n©ng cèt yÕu lµ n©ng cèt yÕu: MÖnh ®Ò 3.1.4. Cho M lµ m«®un n©ng cèt yÕu vµ X ≤M . NÕu mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau ®­îc tháa m·n: (1) Víi mçi h¹ng tö trùc tiÕp K cña M , (K +X)/X lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M/X . 60 (2) M lµ m«®un ph©n phèi. (3) Víi mçi e2 = e ∈ End(M), eX ≤ X . §Æc biÖt, X bÊt biÕn hoµn toµn trong M . th× M/X lµ n©ng cèt yÕu. Chøng minh. (1). Gi¶ sö X ≤ A vµ A ≤ M . V× M lµ n©ng cèt yÕu nªn theo Bæ ®Ò 3.1.2, tån t¹i h¹ng tö trùc tiÕp K cña M sao cho K ≤ A vµ A/K e M/K. Theo gi¶ thiÕt, (K+X)/X lµ h¹ng tö trùc tiÕp cñaM/X . Râ rµng ta cã (K + X)/X ≤ A/X . V× A/K e M/K nªn theo Bæ ®Ò 3.1.1, A/(K +X) = (A/K)/((K +X)/K)e (M/K)/((K +X)/K) = M/(K +X). V× vËy M/X lµ n©ng cèt yÕu. (2). Gi¶ sö M = K ⊕L. Ta cã M/X = ((K +X)/X)+ ((L+X)/X) vµ M lµ m«®un ph©n phèi nªn X = X + (K ∩ L) = (X +K) ∩ (X + L). Do ®ã M/X = ((K +X)/X)⊕ ((L+X)/X). VËy (K +X)/X lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M/X . Theo (1), M/X lµ n©ng cèt yÕu. (3). Gi¶ sö M = K ⊕ L. Khi ®ã K = eM vµ L = (1 − e)M víi e2 = e ∈ End(M). Theo gi¶ thiÕt, eX ≤ X vµ (1 − e)X ≤ X . Víi mäi x ∈ X ∩K, ta cã x = ey ∈ eM nªn ex = ey ∈ eX . Do ®ã, X ∩K ≤ eX . Tõ ®ã suy ra, eX = X ∩ K. T­¬ng tù, (1 − e)X = X ∩ L. Ta cã X = eX⊕ (1−e)X = (X∩K)⊕ (X∩L) vµ do ®ã K+X = K⊕ (X∩L). Nh­ vËy, (K +X)/X = (K ⊕ (X ∩ L))/X vµ M = K + X + L +X = (K⊕(X∩L))+L+X. Tõ ®ã ta cãM/X = (K⊕(X∩L))/X+(L+X)/X. MÆt kh¸c, v× (K ⊕ (X ∩ L)) ∩ (L +X) = (X ∩ L) ⊕ (X ∩ K) = X nªn M/X = (K ⊕ (X ∩L))/X ⊕ (L+X)/X . Nh­ vËy (L+X)/X lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M/X , theo (1) M/X lµ n©ng cèt yÕu. 61 Bæ ®Ò 3.1.5 ([50, Proposition 41.14]). Gi¶ söM =M ′⊕M ′′, c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) M ′ lµ M ′′-x¹ ¶nh. (2) Víi mçi m«®un con N cña M sao cho M = N +M ′′, tån t¹i m«®un con N ′ ≤ N sao cho M = N ′ ⊕M ′′. §Þnh lý 3.1.6. NÕu M1 lµ m«®un nöa ®¬n, M2 lµ n©ng cèt yÕu vµ x¹ ¶nh t­¬ng hç víi M1, th× M =M1 ⊕M2 lµ n©ng cèt yÕu. Chøng minh. Gi¶ sö N lµ m«®un con kh¸c 0 cña M . §Æt K =M1 ∩ (N + M2). Ta xÐt c¸c tr­êng hîp: i) Tr­êng hîp K 6= 0. Ta cã M1 = K ⊕K ′ víi K ′ lµ m«®un con cña M1. V× vËy M = K ⊕K ′ ⊕M2 = N + (K ′ ⊕M2). V× M1 lµ tùa x¹ ¶nh vµ M2-x¹ ¶nh, theo MÖnh ®Ò 1.3.1, MÖnh ®Ò 1.3.2 vµ MÖnh ®Ò 1.3.3, K lµ (K ′ ⊕M2)-x¹ ¶nh. Theo Bæ ®Ò 3.1.5, tån t¹i m«®un con N1 cña N sao cho M = N1⊕ (K ′ ⊕M2). Cã thÓ gi¶ sö N ∩ (M2 ⊕K ′) 6= 0. Víi L ≤M2, ta cã N ∩ (L +K ′) ≤ L ∩ (N +K ′) +K ′ ∩ (N + L). V× K ′ ∩ (N + L) ≤ K ′∩ (N +M2) = K ′∩K = 0 nªn N ∩ (L+K ′) = L∩ (N+K ′). T­¬ng tù, L ∩ (N +K ′) ≤ N ∩ (L+K ′), do ®ã N ∩ (L+K ′) = L ∩ (N +K ′). MÆt kh¸c,M2 lµ n©ng cèt yÕu nªn tån t¹i X ≤ M2∩ (N +K ′) = N ∩ (M2⊕K ′) sao cho M2 = X ⊕ Y vµ Y ∩ (N + K ′) e M2 víi Y ≤ M2. Do ®ã M = (N1⊕X)⊕(Y ⊕K ′). Ta cãN1⊕X ≤ N vµN∩(Y⊕K ′) = Y ∩(N+K ′) vµ Y ∩ (N +K ′)e Y. Nh­ vËy N ∩ (Y ⊕K ′)e Y ⊕K ′. Tãm l¹i M lµ m«®un n©ng cèt yÕu. ii) Tr­êng hîp K = 0. Khi ®ã N ≤ M2. V× M2 lµ n©ng cèt yÕu nªn tån t¹i X ≤ N sao cho M2 = X ⊕ Y vµ Y ∩ N e Y víi Y ≤ M2. Do ®ã M = X ⊕ (M1 ⊕ Y ) vµ N ∩ (M1 ⊕ Y ) = N ∩ Y e Y . Do ®ã 62 N ∩ (M1 ⊕ Y )e M1 ⊕ Y . Nh­ vËy M lµ n©ng cèt yÕu. MÖnh ®Ò 3.1.7. Cho M =M1⊕M2 lµ m«®un sao cho mäi m«®un con cña M lµ bÊt biÕn hoµn toµn. NÕu M1 vµ M2 lµ c¸c m«®un n©ng cèt yÕu th× M lµ m«®un n©ng cèt yÕu. Chøng minh. Gi¶ söM1 vµM2 lµ c¸c m«®un n©ng cèt yÕu. XÐt L lµ m«®un con cña M . Khi ®ã L = (L ∩M1)⊕ (L ∩M2). Víi mçi i ∈ {1, 2}, tån t¹i h¹ng tö trùc tiÕp Di cña Mi sao cho Mi = Di ⊕ D′i víi Di ≤ L ∩Mi vµ L∩D′i e D′i. V× vËyM = (D1⊕D′1)⊕(D2⊕D′2) = (D1⊕D2)⊕(D′1⊕D′2). Ta cã D1 ⊕D2 ≤ L vµ L ∩ (D′1 ⊕D′2)e D′1 ⊕D′2. Tãm l¹i, M lµ m«®un n©ng cèt yÕu. §Þnh nghÜa 3.1.2. Cho N,L lµ c¸c m«®un con cña M . L ®­îc gäi lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M nÕu M = N +L vµ N ∩Le L. M ®­îc gäi lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu (e-supplemented) nÕu mäi m«®un con N cña M tån t¹i phÇn phô cèt yÕu L cña N trong M . Bæ ®Ò sau ®©y chØ ra ®iÒu kiÖn t­¬ng ®­¬ng ®èi víi phÇn phô cèt yÕu cña mét m«®un con: Bæ ®Ò 3.1.8. Cho M = N + L. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) N ∩ Le L; (2) Víi mçi m«®un con K cña L víi K ≤e L vµ M = N +K th× K = L. Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö K lµ m«®un con cña L víi K ≤e L vµ M = N +K. Khi ®ã L = L ∩M = (L ∩ N) +K. V× L ∩ N e L nªn K = L. 63 (2)⇒ (1). Gi¶ sö K lµ m«®un con cña L sao cho L = (N ∩L)+K vµ K ≤e L. Khi ®ã M = N +L = N + (N ∩ L) +K = N +K. Theo (2), ta cã K = L. V× vËy N ∩ Le L. Nh­ vËy, phÇn phô cèt yÕu cña m«®un con N trong M lµ m«®un con L bÐ nhÊt theo nghÜa cèt yÕu (tøc lµ kh«ng cã m«®un con nµo cèt yÕu trong L) tháa m·n tÝnh chÊtM = N +L. Theo ®Þnh nghÜa, mçi m«®un con bÐ lµ δ-bÐ vµ mçi m«®un con δ-bÐ lµ bÐ cèt yÕu. H¬n n÷a, mçi m«®un n©ng cèt yÕu lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Nh­ vËy, ta cã s¬ ®å sau: n©ng → δ-n©ng → n©ng cèt yÕu ↓ ↓ ↓ cã phÇn phô → cã δ-phÇn phô → cã phÇn phô cèt yÕu NhËn xÐt 3.1.3. NÕu M lµ m«®un x¹ ¶nh th× víi mäi N ≤M , N lµ m«®un con bÐ cèt yÕu trong M khi vµ chØ khi N lµ δ-bÐ trong M . Do ®ã, nÕu M lµ n©ng cèt yÕu (t.­., cã phÇn phô cèt yÕu) vµ x¹ ¶nh th× M lµ δ-n©ng (t.­., cã δ-phÇn phô). VÝ dô 3.1.4. XÐt R = Z8, theo [29, Example 2.4], M = (2Z8/4Z8) ⊕ RR kh«ng ph¶i lµ m«®un δ-n©ng. Ngoµi ra, RR lµ n©ng cèt yÕu vµ x¹ ¶nh t­¬ng hç víi 2Z8/4Z8. H¬n n÷a, 2Z8/4Z8 lµ nöa ®¬n nªn theo §Þnh lý 3.1.6, M lµ m«®un n©ng cèt yÕu. Ký hiÖu Rade(M) = ⋂{N ≤e M | N cùc ®¹i trong M}. Khi ®ã, theo [53], Rade(M) = ∑{N | N e M}. Tõ ®Þnh nghÜa m«®un cã phÇn phô cèt yÕu, ta cã c¸c tÝnh chÊt: Bæ ®Ò 3.1.9. Cho M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Khi ®ã (1) M/Rade(M) lµ m«®un nöa ®¬n. 64 (2) NÕu L lµ m«®un con cñaM víi L∩Rade(M) = 0 th× L lµ m«®un nöa ®¬n. Chøng minh. (1). Gi¶ sö Rade(M) ≤ N ≤M . Ta chøng minhN/Rade(M) lµ h¹ng tö trùc tiÕp cñaM/Rade(M). V×M lµ cã phÇn phô cèt yÕu nªn tån t¹i X ≤ M sao cho M = N +X vµ N ∩X e X . Do ®ã N ∩X e M . V× N ∩ (X +Rade(M)) = (N ∩X) + Rade(M) = Rade(M) nªn M/Rade(M) = N/Rade(M) + (X +Rade(M))/Rade(M) = N/Rade(M)⊕ (X +Rade(M))/Rade(M). (2). V× L = L/(L ∩ Rade(M)) ∼= (L ⊕ Rade(M))/Rade(M) ≤ M/Rade(M) nªn L lµ m«®un nöa ®¬n theo (1). MÖnh ®Ò 3.1.10. Cho M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Khi ®ã M = M1⊕M2, trong ®ãM1 lµ m«®un nöa ®¬n vµM2 ≤M víi Rade(M2) ≤e M2. Chøng minh. Gäi M1 lµ m«®un con cña M sao cho Rade(M)⊕M1 ≤e M . V× M lµ cã phÇn phô cèt yÕu nªn tån t¹i m«®un con M2 cña M sao cho M = M1 +M2 vµ M1 ∩M2 e M2. Do ®ã M1 ∩M2 lµ m«®un con cña Rade(M) vµ M1∩M2 ≤ M1∩Rade(M) = 0. Tõ ®ã suy ra M =M1⊕M2 vµ Rade(M1) = 0. Do ®ã Rade(M) = Rade(M2) ≤e M2. Nh­ vËy, M1 ∩ Rade(M) = M1 ∩ Rade(M2) = 0. Theo Bæ ®Ò 3.1.9, M1 lµ m«®un nöa ®¬n. Bæ ®Ò 3.1.11. Cho M1, U lµ c¸c m«®un con cña M vµ M1 lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. NÕu M1 + U cã m«®un con phÇn phô cèt yÕu trong M th× U còng cã m«®un con phÇn phô cèt yÕu trong M . Chøng minh. V×M1+U cã m«®un con phÇn phô cèt yÕu trongM nªn tån t¹i X ≤M sao choX+(M1+U) =M vµX∩(M1+U)e X . V×M1 lµ m«®un 65 cã phÇn phô cèt yÕu nªn tån t¹i Y ≤M1 sao cho ((X+U)∩M1)+Y =M1 vµ (X+U)∩Y e Y . Ta cãM = X+U+M1 ≤ (X+U)+(X+U+Y ) = X +U +Y nªnM = X+U +Y . Do ®ã Y lµ phÇn phô cèt yÕu cña X+U trong M . Ta sÏ chØ ra X +Y lµ phÇn phô cèt yÕu cña U trong M . Râ rµng (X + Y ) + U = M , v× vËy chØ cÇn chøng minh (X + Y ) ∩ U e X + Y . ThËt vËy, v× Y + U ≤ M1 + U nªn X ∩ (Y + U) ≤ X ∩ (M1 + U)e X . Theo Bæ ®Ò 3.1.1, (X+Y )∩U ≤ [X∩ (Y +U)]+[Y ∩ (X+U)]e X+Y , do ®ã (X + Y ) ∩ U e X + Y . VËy X + Y lµ phÇn phô cèt yÕu cña U trong M . MÖnh ®Ò 3.1.12. Cho M = M1 +M2. NÕu M1 vµ M2 lµ c¸c m«®un cã phÇn phô cèt yÕu, th× M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Chøng minh. Cho U lµ m«®un con cñaM . V×M1+M2+U =M cã m«®un con phÇn phô cèt yÕu tÇm th­êng trongM nªn M2+U cã m«®un con phÇn phô cèt yÕu trong M . Theo Bæ ®Ò 3.1.11, U cã m«®un con phÇn phô cèt yÕu trong M . V× vËy M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. HÖ qu¶ 3.1.13. Cho M = k∑ i=1 Mi. NÕu M1,M2, . . . ,Mk lµ c¸c m«®un cã phÇn phô cèt yÕu th× M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Theo ®Þnh nghÜa, h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un cã phÇn phô cèt yÕu lµ cã phÇn phô cèt yÕu. Tõ ®ã ta cã hÖ qu¶ sau: HÖ qu¶ 3.1.14. Cho M = k⊕ i=1 Mi. Khi ®ã M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu khi vµ chØ khi M1,M2, . . . ,Mk lµ c¸c m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. MÖnh ®Ò 3.1.15. M«®un th­¬ng cña m«®un cã phÇn phô cèt yÕu lµ cã phÇn phô cèt yÕu. 66 Chøng minh. XÐt M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ M/N lµ m«®un th­¬ng cña M . Víi mäi m«®un con L cña M chøa N , v× M lµ cã phÇn phô cèt yÕu nªn tån t¹i K ≤ M sao cho L+K =M vµ L ∩K e K. V× N ≤ L nªn ta cã M/N = L/N + (N +K)/N vµ L/N ∩ (N +K)/N = (L∩ (N +K))/N = (N + (L∩K))/N e (N +K)/N . VËy (N +K)/N lµ phÇn phô cèt yÕu cña L/N trong M/N . M«®unM ®­îc gäi lµ cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu (amply e-supplemented) nÕu víi mäi m«®un con A,B cña M víi M = A+B, tån t¹i phÇn phô cèt yÕu P cña A sao cho P ≤ B. Râ rµng, nÕu M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu th×M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt cña m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu: MÖnh ®Ò 3.1.16. ChoM lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. Khi ®ã, mäi ¶nh toµn cÊu cña M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. Chøng minh. Gi¶ söM lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu vµ f :M → N lµ toµn cÊu. Ta sÏ chøng minh N lµ phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. Gi¶ sö N = A + B. Khi ®ã M = f−1(A) + f−1(B). V× M lµ cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu nªn tån t¹i m«®un con X cña M sao cho M = f−1(A) +X vµ f−1(A)∩X e X ≤ f−1(B). Ta cãN = f(M) = A+f(X) vµ A∩f(X) ≤ f(f−1(A)∩X)e f(X) theo Bæ ®Ò 3.1.1. Do ®ã A∩ f(X)e f(X). Râ rµng f(X) ≤ B. Nh­ vËy M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. MÖnh ®Ò 3.1.17. Cho M lµ mét m«®un. NÕu mäi m«®un con cña M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu, th× M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. Chøng minh. XÐt L,N ≤M vµ M = N +L. Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i H ≤ L sao cho (L ∩ N) + H = L vµ (L ∩ N) ∩ H = N ∩ H e H . Nh­ vËy 67 L = H + (L ∩ N) ≤ H + N vµ do ®ã M = N + L ≤ H + N . V× vËy M = H +N . Tõ MÖnh ®Ò 3.1.17, ta cã hÖ qu¶: HÖ qu¶ 3.1.18. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi vµnh R ®· cho: (1) Mäi R-m«®un lµ cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu; (2) Mäi R-m«®un lµ cã phÇn phô cèt yÕu. M«®unM ®­îc gäi lµ pi-x¹ ¶nh nÕu víi mäi m«®un con U, V cñaM víi U + V =M , tån t¹i f ∈ End(M) sao cho Im(f) ≤ U vµ Im(1− f) ≤ V . §Þnh lý 3.1.19. Cho M lµ mét m«®un. NÕu M lµ pi-x¹ ¶nh, cã phÇn phô cèt yÕu, th× M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. Chøng minh. XÐt A,B lµ c¸c m«®un con cña M sao cho M = A + B. Theo gi¶ thiÕt, v× M lµ pi-x¹ ¶nh nªn tån t¹i tù ®ång cÊu e cña M sao cho e(M) ≤ A vµ (1− e)(M) ≤ B. V× e(A) ≤ A nªn (1 − e)(A) ≤ A. Gi¶ sö C lµ phÇn phô cèt yÕu cña A trongM . Khi ®ã M = e(M)+ (1− e)(M) = e(M)+(1−e)(A+C) ≤ A+(1−e)(C) ≤ M , v× vËyM = A+(1−e)(C). Ta cã (1−e)(C) lµ m«®un con cña B. LÊy y ∈ A∩(1−e)(C), khi ®ã y ∈ A vµ y = (1− e)(x) = x − e(x) víi x ∈ C nµo ®ã. Ta cã x = y + e(x) ∈ A, nªn y ∈ (1 − e)(A ∩ C). MÆt kh¸c ta cã A ∩ C e C, ®iÒu nµy suy ra A ∩ (1 − e)(C) = (1 − e)(A ∩ C) e (1 − e)(C). Nh­ vËy (1 − e)(C) lµ mét phÇn phô cèt yÕu cña A trongM . Do ®ã M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. 68 3.2 M«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Néi dung cña môc nµy lµ c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. §©y lµ líp con cña líp m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Mèi liªn hÖ gi÷a líp m«®un nµy víi c¸c líp m«®un δ-®Þa ph­¬ng vµ m«®un ®Þa ph­¬ng ®­îc chØ ra trong MÖnh ®Ò 3.2.5 vµ MÖnh ®Ò 3.2.6. KÕt qu¶ chÝnh trong môc nµy ®ã lµ c¸c ®Æc tr­ng cña m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Cô thÓ, tæng trùc tiÕp cña mét m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ m«®un nöa ®¬n lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu (§Þnh lý 3.2.7) vµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu lµ tæng trùc tiÕp cña mét m«®un cyclic, ®Þa ph­¬ng cèt yÕu víi mét m«®un nöa ®¬n (MÖnh ®Ò 3.2.9). H¬n n÷a, Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i, cèt yÕu duy nhÊt cña m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu M (§Þnh lý 3.2.10). Ngoµi ra, mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét m«®un lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu còng ®· ®­îc chøng minh trong MÖnh ®Ò 3.2.15 vµ HÖ qu¶ 3.2.18. Bæ ®Ò 3.2.1. Cho M lµ mét m«®un. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) M e M; (2) M lµ m«®un nöa ®¬n; (3) Mäi m«®un con cña M lµ bÐ cèt yÕu trong M . Chøng minh. (1)⇒ (2). XÐt A lµ m«®un con cña M vµ B lµ phÇn bï cña A trong M . Ta cã A ⊕B ≤e M . V× M =M + (A⊕ B) vµ M e M nªn M = A⊕ B. Tõ ®ã suy ra M lµ m«®un nöa ®¬n. (2) ⇒ (3). V× M lµ nöa ®¬n nªn víi mäi L ≤e M th× L = M . Do ®ã víi mäi N ≤ M tháa m·n N + L = M víi L ≤e M th× L = M . VËy N e M . (3)⇒ (1) lµ râ rµng. 69 Bæ ®Ò 3.2.2. Cho M lµ R-m«®un vµ x ∈M . Khi ®ã, x ∈ Rade(M) khi vµ chØ khi xRe M . Chøng minh. NÕu x ∈ Rade(M) th× x ∈ N1 + N2 + · · · + Nn trong ®ã Ni e M víi mäi i = 1, 2, ..., n. Khi ®ã xR ≤ N1+N2+ · · ·+Nn e M . Do ®ã xR e M . Ng­îc l¹i, nÕu xR e M th× xR ≤ Rade(M). Do ®ã x ∈ Rade(M). HÖ qu¶ 3.2.3. NÕu M = ⊕ i∈I Mi th× Rade(M) = ⊕ i∈I Rade(Mi). Chøng minh. V× Rade(Mi) ≤ Rade(M) víi mäi i ∈ I nªn ⊕ i∈I Rade(Mi) ≤ Rade(M). Ng­îc l¹i, víi mçi j ∈ I , gäi pij :M →Mj lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Víi mçi x ∈ Rade(M) ta cã xRe M . Tõ ®ã suy ra pij(xR)e Mj, hay pij(x) ∈ Rade(Mj). Do ®ã x ∈ ⊕ i∈I Rade(Mi). Nh¾c l¹i r»ng, m«®un M ®­îc gäi lµ ®Þa ph­¬ng nÕu M cã mét m«®un con cùc ®¹i duy nhÊt, lµ m«®un con chøa c¸c m«®un con thùc sù kh¸c. DÔ thÊy r»ng m«®un con cùc ®¹i ®ã lµ Rad(M) vµ trong tr­êng hîp nµy Rad(M)M ([50, trang 351]). §Þnh nghÜa 3.2.1. M«®un M ®­îc gäi lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu nÕu Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M vµ Rade(M)e M . NhËn xÐt 3.2.2. Mäi m«®un ®¬n lµ ®Þa ph­¬ng. H¬n n÷a, nÕu M lµ m«®un nöa ®¬n th× M e M , do ®ã Rade(M) = M . Nh­ vËy M kh«ng lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Sau ®©y lµ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu víi m«®un ®Þa ph­¬ng vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu: Bæ ®Ò 3.2.4. Mäi m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. 70 Chøng minh. ChoM lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ N lµ m«®un con thùc sù cña M . V× Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M nªn N ≤ Rade(M) hoÆc Rade(M) +N =M . NÕu N ≤ Rade(M) th× N e M . Do ®ã M lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M . NÕu N + Rade(M) = M th× theo Bæ ®Ò 3.1.1, M = N ⊕ Y víi Y lµ m«®un con nöa ®¬n cña M . Tõ ®ã suy ra Y lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M . Nh­ vËy M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. MÖnh ®Ò 3.2.5. NÕu L lµ m«®un ®Þa ph­¬ng vµ L kh«ng lµ m«®un ®¬n th× L lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Chøng minh. V× L lµ ®Þa ph­¬ng nªn Rad(L) lµ m«®un cùc ®¹i duy nhÊt cña L vµ Rad(L) L. Gi¶ sö tån t¹i x ∈ Rade(L)\Rad(L). Theo Bæ ®Ò 3.2.2, ta cã xRe L. V× xR+Rad(L) = L vµ Rad(L) L nªn xR = L. Do ®ã Le L vµ L lµ m«®un nöa ®¬n theo Bæ ®Ò 3.2.1. Tõ ®ã suy ra Rad(L) = 0. Gäi H lµ m«®un con thùc sù cña M . V× Rad(M) lµ m«®un con cùc ®¹i duy nhÊt cña M nªn H ≤ Rad(M). Do ®ã H = 0. Tõ ®ã suy ra M lµ m«®un ®¬n, ®iÒu nµy m©u thuÉn. Nh­ vËy Rade(L) ≤ Rad(L). MÆt kh¸c, v× Rad(L)  L nªn Rad(L) ≤ Rade(L). Nh­ vËy Rad(L) = Rade(L) lµ m«®un con cùc ®¹i cña L vµ bÐ cèt yÕu trong L. MÖnh ®Ò 3.2.6. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu M: (1) M lµ ®Þa ph­¬ng; (2) M lµ m«®un kh«ng ph©n tÝch ®­îc. Chøng minh. (1)⇒ (2) lµ râ rµng. 71 (2) ⇒ (1). Ta cã Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M . XÐt L lµ m«®un con thùc sù cña M . Gi¶ sö r»ng L 6≤ Rade(M). Khi ®ã L + Rade(M) =M . V× Rade(M)e M nªn tån t¹i sù ph©n tÝch M = L ⊕ L′ víi L′ lµ nöa ®¬n. V× M lµ kh«ng ph©n tÝch ®­îc nªn L =M hoÆc L = 0. MÆt kh¸c, v× L 6≤ Rade(M) nªn L = M , ®iÒu nµy m©u thuÉn. Do ®ã L ≤ Rade(M). VËy M lµ m«®un ®Þa ph­¬ng. §Þnh lý 3.2.7. Cho M = N ⊕ K lµ mét m«®un. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) M lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu; (2) a) N lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ K lµ nöa ®¬n, hoÆc (b) K lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ N lµ nöa ®¬n. Chøng minh. Theo HÖ qu¶ 3.2.3, ta cã Rade(M) = Rade(N)⊕ Rade(K). (1) ⇒ (2). V× Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M nªn N ≤ Rade(M) hoÆc N + Rade(M) = M . Tõ ®ã suy ra N ≤ Rade(N) hoÆc N ⊕ Rade(K) = M . Do ®ã Rade(N) = N hoÆc Rade(K) = K. Gi¶ sö r»ng Rade(N) = N . XÐt X lµ m«®un con cña K sao cho Rade(K) ≤ X . Ta cã Rade(M) ≤ N ⊕X . V× Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M nªn X = Rade(K) hoÆc X = K. V× vËy Rade(K) lµ m«®un con cùc ®¹i cña K. H¬n n÷a, theo Bæ ®Ò 3.1.1(5), Rade(K)e K vµ N = Rade(N)e N . Theo Bæ ®Ò 3.2.1, K lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ N lµ nöa ®¬n. T­¬ng tù, nÕu Rade(K) = K, th× N lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ K lµ nöa ®¬n. (2) ⇒ (1). Gi¶ sö K lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ N lµ nöa ®¬n. Khi ®ã, theo Bæ ®Ò 3.2.1, N e N vµ Rade(N) = N . Do ®ã Rade(M) = N ⊕ 72 Rade(K) e M . XÐt L ≤ M sao cho Rade(M) ≤ L. Ta cã Rade(K) ≤ K ∩ L. V× Rade(K) lµ m«®un con cùc ®¹i cña K nªn K ∩ L = Rade(K) hoÆc K ∩ L = K. V× N = Rade(N) ≤ L nªn L = N ⊕ (K ∩ L). Do ®ã L = Rade(M) hoÆc L =M . Nh­ vËy Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M . Tõ ®ã suy ra, M lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. VÝ dô 3.2.3. (1) XÐtM lµ m«®un ®¬n, suy biÕn. Khi ®ã,M lµ δ-®Þa ph­¬ng nh­ng kh«ng lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Ch¼ng h¹n, M = Z/pZ, víi p lµ sè nguyªn tè. Khi ®ã Z-m«®un M lµ m«®un ®¬n, suy biÕn. (2) XÐt N lµ m«®un x¹ ¶nh, ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ K lµ m«®un nöa ®¬n, kh«ng x¹ ¶nh. Khi ®ã, theo §Þnh lý 3.2.7 vµ MÖnh ®Ò 1.3.6, N ⊕K lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu nh­ng kh«ng lµ δ-®Þa ph­¬ng. (3) XÐt R = Z vµ M = Z/24Z = Z24. Khi ®ã, Rad(M) = δ(M) = 6Z24, Rade(M) = 2Z24. V× vËy, M lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu nh­ng kh«ng lµ ®Þa ph­¬ng hoÆc δ-®Þa ph­¬ng. (4) Cho F lµ mét tr­êng vµ R = ( F F 0 F ) . Khi ®ã R lµ δ-®Þa ph­¬ng nh­ng kh«ng lµ ®Þa ph­¬ng ([46, 2.5]). V× R lµ x¹ ¶nh nªn R lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. HÖ qu¶ 3.2.8. Tæng trùc tiÕp cña hai m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu kh«ng lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Chøng minh. Gi¶ sö M = L1⊕L2 víi L1 and L2 lµ c¸c m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Gi¶ söM lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Theo §Þnh lý 3.2.7, mét trong c¸c Li (i = 1, 2) lµ nöa ®¬n. Tõ ®ã suy ra Rade(L1) = L1 hoÆc Rade(L2) = L2, ®iÒu nµy m©u thuÉn. MÖnh ®Ò 3.2.9. Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã, c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng: 73 (1) M lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu; (2) M = L ⊕ N sao cho L lµ m«®un cyclic ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ N lµ nöa ®¬n. Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö M lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Khi ®ã Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M . Gäi x ∈M vµ x 6∈ Rade(M). Khi ®ã M = Rade(M) + xR. V× Rade(M)e M nªn theo Bæ ®Ò 3.1.1(3), tån t¹i m«®un con nöa ®¬n kh¸c kh«ng N cña M sao cho M = N ⊕ xR. Do ®ã Rade(N) = N vµ N kh«ng lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Tõ §Þnh lý 3.2.7, ta cã xR lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. (2)⇒ (1). Theo §Þnh lý 3.2.7. §Þnh lý 3.2.10. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi m«®un M: (1) M lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu; (2) Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M vµ mçi m«®un con thùc sù, cèt yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i; (3)M cã duy nhÊt mét m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i vµ mçi m«®un con thùc sù, cèt yÕu trong M chøa trong mét m«®un con cùc ®¹i. Chøng minh. (1)⇔ (2) lµ râ rµng. (1)⇒ (3). V× M lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu nªn M kh«ng lµ nöa ®¬n. Gi¶ sö tån t¹i m«®un con kh¸c kh«ng X ≤ M sao cho Rade(M) ∩X = 0. V× Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M nªn M = Rade(M) ⊕ X vµ X lµ m«®un ®¬n. V× Rade(M) e M nªn tån t¹i m«®un con nöa ®¬n L ≤ M sao cho M = L ⊕X . Do ®ã M lµ nöa ®¬n, ®iÒu nµy m©u thuÉn. Nh­ vËy Rade(M) lµ m«®un con cèt yÕu trongM . B©y giê, gi¶ sö r»ngM cã m«®un 74 con cèt yÕu cùc ®¹i N sao cho N 6≤ Rade(M). Khi ®ãM = Rade(M)+N . V× Rade(M) e M nªn tån t¹i m«®un con nöa ®¬n E cña M sao cho M = E ⊕ N . V× N cèt yÕu trong M nªn ta cã E = 0. Tõ ®ã suy ra N = M , ®iÒu nµy m©u thuÉn. Nh­ vËy, Rade(M) lµ m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i duy nhÊt cña M . (3)⇒ (1). Gi¶ sö K lµ m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i duy nhÊt cña M vµ mçi m«®un con thùc sù, cèt yÕu cñaM ®Òu chøa trong K. XÐt x ∈M \K, khi ®ã M = xR +K do tÝnh cùc ®¹i cña K. Tõ gi¶ thiÕt K ≤e M ta cã xR kh«ng lµ bÐ cèt yÕu trong M . §iÒu nµy kÐo theo x 6∈ Rade(M). Nh­ vËy Rade(M) ≤ K. XÐt Y lµ m«®un con thùc sù vµ cèt yÕu trong M . Khi ®ã, Y ≤ K vµ Y +K = K 6= M . Do ®ã K e M hay K ≤ Rade(M). Nh­ vËy Rade(M) = K e M vµ Rade(M) lµ m«®un con cùc ®¹i cña M . Tãm l¹i, M lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. MÖnh ®Ò 3.2.11. Cho M lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu vµ N lµ m«®un con cña M . Khi ®ã, N lµ m«®un con bÐ cèt yÕu trong M hoÆc tån t¹i m«®un con nöa ®¬n X cña M sao cho M = N ⊕X . Chøng minh. XÐt N ≤M . Gi¶ sö N kh«ng lµ bÐ cèt yÕu trong M . Khi ®ã N 6≤ Rade(M). Theo tÝnh cùc ®¹i cña Rade(M) ta cã N +Rade(M) =M . V× Rade(M)e M nªn M = N ⊕X víi X lµ m«®un con nöa ®¬n cña M theo Bæ ®Ò 3.1.1. Bæ ®Ò 3.2.12. Cho N lµ m«®un con cùc ®¹i cña M . NÕu K lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M th× K lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu hoÆc K lµ nöa ®¬n. Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt ta cã N +K = M vµ N ∩ K e K. Do ®ã N ∩ K ≤ Rade(K). V× M/N ' K/(N ∩ K) nªn N ∩ K lµ m«®un con cùc ®¹i cña K. Tõ ®ã suy ra Rade(K) = N ∩K hoÆc Rade(K) = K. NÕu 75 Rade(K) = N ∩K th× Rade(K)  K vµ Rade(K) lµ m«®un con cùc ®¹i cña K, hay K lµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Gi¶ sö r»ng Rade(K) = K. Khi ®ã, víi mçi x ∈ K \ (N ∩ K), ta cã xR + (N ∩ K) = K. H¬n n÷a, xRe K theo Bæ ®Ò 3.2.2 vµ N ∩K e K. Theo Bæ ®Ò 3.1.1, K e K vµ K lµ m«®un nöa ®¬n theo Bæ ®Ò 3.2.1. Bæ ®Ò 3.2.13. Cho L1, L2, .., Ln lµ c¸c m«®un con cña M sao cho Li lµ nöa ®¬n hoÆc lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Gi¶ sö N lµ m«®un con cña M vµ N +L1+ ...+Ln cã m«®un con phÇn phô cèt yÕu K trong M . Khi ®ã, tån t¹i tËp con I cña {1, ..., n} sao cho K +∑ i∈I Xi lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M , trong ®ã Xi = Li hoÆc Xi lµ h¹ng tö trùc tiÕp nöa ®¬n cña Li. Chøng minh. NÕu n = 1 th× N + (K + L1) =M vµ K ∩ (N + L1)e K. §Æt H = (N +K) ∩ L1. Ta xÐt c¸c tr­êng hîp: Tr­êng hîp H e L1. Ta cã N ∩ (K + L1) ≤ [(N +L1) ∩K] + [(N +K) ∩ L1]e K + L1. Tõ ®ã suy ra K + L1 lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M . Tr­êng hîp H 6e L1. Khi ®ã L1 kh«ng lµ nöa ®¬n theo Bæ ®Ò 3.2.1(3). Theo gi¶ thiÕt, L1 lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. Theo MÖnh ®Ò 3.2.11, tån t¹i m«®un con nöa ®¬n X1 ≤ L1 sao cho H ⊕ X1 = L1. V× H ≤ N + K nªn L1 ≤ N + K + X1 vµ do ®ã N + K + X1 = M . MÆt kh¸c ta cã N ∩ (K +X1) ≤ [(N +K) ∩X1] + [(N +X1) ∩K] vµ (N +X1) ∩K ≤ (N +L1)∩K e K. H¬n n÷a, v× X1 lµ nöa ®¬n nªn (N +K)∩X1e X1. Tõ ®ã suy ra N ∩ (K+X1)e K +X1. §iÒu ®ã chøng tá K +X1 lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M . Gi¶ sö n > 1. B»ng quy n¹p theo n, gi¶ sö tån t¹i tËp con J cña {2, ..., n} vµ Xj ≤ Lj , j ∈ J sao cho K + ∑ j∈J Xj lµ phÇn phô cèt yÕu cña 76 N + L1 trong M , trong ®ã Xj = Lj hoÆc Xj lµ h¹ng tö trùc tiÕp nöa ®¬n cña Lj víi mäi j ∈ J . Khi ®ã, theo chøng minh trªn, tån t¹i m«®un con X1 cña L1 sao cho K + ∑ j∈J Xj +X1 lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M vµ hoÆc X1 = L1 hoÆc X1 lµ h¹ng tö trùc tiÕp nöa ®¬n cña L1. Bæ ®Ò 3.2.14 ([46, Lemma 3.5]). ChoM lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh vµ C lµ hä c¸c m«®un con cñaM . Gi¶ söM cã m«®un con N sao choM 6= N+A víi mäi A ∈ C. Khi ®ã, M cã m«®un con U sao cho U lµ phÇn tö cùc ®¹i cña tËp Ω = {L ≤M |N ≤ L,M 6= L+A víi mäi A ∈ C}. MÖnh ®Ò 3.2.15. Cho M lµ m«®un h÷u h¹n sinh. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu; (2) NÕu L,N lµ c¸c m«®un con cñaM vµM = L+N th×M = N +L1+ ...+Ln, trong ®ã n lµ sè nguyªn d­¬ng, Li lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu hoÆc Li lµ nöa ®¬n. Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö N,L lµ c¸c m«®un con cña M vµ M = N + L. Gäi Γ lµ líp c¸c m«®un con X cña M sao cho X ≤ L vµ X = X1+ ...+Xk, trong ®ã hoÆc Xi lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu hoÆc Xi lµ nöa ®¬n. Gi¶ sö r»ng M 6= N + X víi mäi X ∈ Γ. Theo Bæ ®Ò 3.2.14, tån t¹i m«®un con U ≤ M lµ phÇn tö cùc ®¹i cña tËp Ω = {A ≤ M |N ≤ A,M 6= A + X víi mäi X ∈ Γ}. V× M lµ h÷u h¹n sinh vµ U 6= M nªn tån t¹i m«®un con cùc ®¹i K ≤ M sao cho U ≤ K. V× vËy K+L =M . Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i m«®un con E ≤ L sao cho E lµ phÇn phô cèt yÕu cña K trong M . Theo Bæ ®Ò 3.2.12, E lµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu hoÆc E lµ nöa ®¬n. Râ rµng U 6= U + E. ThËt vËy, nÕu U = U + E th× E ≤ U vµ K = K + E = M . 77 Nh­ vËy U + E /∈ Ω nªn M = U + E + F víi F ∈ Γ. V× E ∈ Γ nªn E + F ∈ Γ, ®iÒu nµy m©u thuÉn. VËy, tån t¹i A ∈ Γ sao cho M = N +A. (2)⇒ (1). Theo Bæ ®Ò 3.2.13. Bæ ®Ò 3.2.16. Cho N,L lµ c¸c m«®un con cña M sao cho M = N + L. NÕu L lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu th× L chøa mét phÇn phô cèt yÕu cña N trong M . Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt, N ∩L ≤ L vµ L lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nªn tån t¹i m«®un conK cña L sao cho (N∩L)+K = L vµ (N∩L)∩K e K. Khi ®ã N +K =M vµ N ∩K e K. V× vËy K lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M . MÖnh ®Ò 3.2.17. Cho N lµ m«®un con cùc ®¹i cña M . NÕu mäi m«®un con cyclic cña m«®un M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu th× tån t¹i x ∈M vµ P lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M tháa m·n P ≤ xR. Chøng minh. Gi¶ sö N lµ m«®un con cùc ®¹i cña M . Gäi L lµ m«®un con cña M sao cho M = N + L. Khi ®ã, tån t¹i x ∈ L tháa m·n x 6∈ N vµ xR +N =M . Theo gi¶ thiÕt xR lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. Theo Bæ ®Ò 3.2.16, tån t¹i P lµ phÇn phô cèt yÕu cña N trong M vµ P ≤ xR. Tõ MÖnh ®Ò 3.2.15 vµ MÖnh ®Ò 3.2.17 ta cã hÖ qu¶: HÖ qu¶ 3.2.18. NÕu M lµ m«®un h÷u h¹n sinh vµ mçi m«®un con cyclic cñaM lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu th×M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu. 78 3.3 M«®un tháa m·n ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. Néi dung cña môc nµy nghiªn cøu vÒ ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. Chóng t«i chøng minh ®­îc r»ng m«®un Rade(M) lµ N¬te (t.­., Artin) khi vµ chØ khi M tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC (t.­., DCC) trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu (MÖnh ®Ò 3.3.1 vµ §Þnh lý 3.3.4). C¸c kÕt qu¶ chÝnh thu ®­îc trong môc nµy ®ã lµ c¸c ®Æc tr­ng cña m«®un Artin th«ng qua m«®un cã phÇn phô cèt yÕu, m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu vµ ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu (MÖnh ®Ò 3.3.5; §Þnh lý 3.3.7; HÖ qu¶ 3.3.8; HÖ qu¶ 3.3.9). MÖnh ®Ò 3.3.1. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi m«®un M: (1) Rade(M) lµ N¬te; (2) M tháa m·n ACC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. Chøng minh. (1)⇒(2) lµ râ rµng. (2)⇒(1). Gi¶ sö Rade(M) kh«ng lµ N¬te. Khi ®ã, ta cã d©y chuyÒn t¨ng gåm v« h¹n c¸c m«®un con cña Rade(M) A1 < A2 < · · · < An < · · · . XÐt a1 ∈ A1 vµ aj ∈ Aj \ Aj−1 víi mçi j > 1. Víi mäi k ≥ 1, ®Æt Nk = k∑ j=1 ajR. Khi ®ã Nk lµ h÷u h¹n sinh vµ Nk ≤ Ak ≤ Rade(M). H¬n n÷a Nk e M víi mäi k = 1, 2, ... vµ N1 < N2 < · · · < Nn < · · · . Nh­ vËyM kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. §iÒu nµy m©u thuÉn. VËy Rade(M) lµ m«®un N¬te. 79 MÖnh ®Ò 3.3.2. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi m«®un M: (1) Rade(M) cã chiÒu ®Òu h÷u h¹n; (2) Mçi m«®un con bÐ cèt yÕu cña M cã chiÒu ®Òu h÷u h¹n vµ tån t¹i sè nguyªn k sao cho u. dimN ≤ k víi mäi N e M; (3) M kh«ng chøa mét tæng trùc tiÕp v« h¹n c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu kh¸c kh«ng. Chøng minh. (1) ⇒ (2). Víi mäi m«®un con bÐ cèt yÕu N cña M , ta cã N ≤ Rade(M), do ®ã u. dimN ≤ u. dimRade(M). (2)⇒ (3). Gi¶ sö N1⊕N2⊕· · · lµ tæng trùc tiÕp v« h¹n c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu kh¸c kh«ng cña M . Khi ®ã N1 ⊕ · · · ⊕ Nk+1 lµ m«®un con bÐ cèt yÕu cña M vµ u. dim(N1 ⊕ · · · ⊕Nk+1) ≥ k + 1. §iÒu nµy m©u thuÉn. (3)⇒ (1). Gi¶ sö N1⊕N2⊕· · · lµ tæng trùc tiÕp v« h¹n c¸c m«®un con kh¸c kh«ng cña Rade(M). Víi mçi i ≥ 1, gäi ni lµ phÇn tö kh¸c kh«ng cña Ni. Khi ®ã niRe M . Nh­ vËy n1R⊕ n2R⊕ · · · lµ tæng trùc tiÕp v« h¹n c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu kh¸c kh«ng cña M . §iÒu nµy m©u thuÉn. VËy Rade(M) cã chiÒu ®Òu h÷u h¹n. MÖnh ®Ò 3.3.3 ([4, Proposition 10.7]). M«®un M lµ h÷u h¹n ®èi sinh khi vµ chØ khi Soc(M) lµ h÷u h¹n sinh vµ cèt yÕu trong M . §Þnh lý 3.3.4. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi m«®un M: (1) Rade(M) lµ Artin; (2) Mçi m«®un con bÐ cèt yÕu cña M lµ Artin; (3) M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. 80 Chøng minh. (1)⇒ (2)⇔ (3) lµ râ rµng. (3)⇒ (1). Ta sÏ chøng minh mçi m«®un th­¬ng cña Rade(M) lµ h÷u h¹n ®èi sinh. Gi¶ sö tån t¹i m«®un th­¬ng cña Rade(M) kh«ng lµ h÷u h¹n ®èi sinh. Khi ®ã Ω = {L ≤ Rade(M)| Rade(M)/L kh«ng h÷u h¹n ®èi sinh} lµ tËp kh¸c rçng. Gäi {Lλ : λ ∈ Λ} lµ d©y chuyÒn c¸c m«®un con trong Ω vµ L = ⋂ λ∈ΛLλ. NÕu Rade(M)/L lµ h÷u h¹n ®èi sinh th× L = Lλ víi λ ∈ Λ nµo ®ã. §iÒu nµy m©u thuÉn. Nh­ vËy Rade(M)/L kh«ng lµ h÷u h¹n ®èi sinh, hay L ∈ Ω. Theo Bæ ®Ò Zorn, Ω cã phÇn tö cùc tiÓu A. Gi¶ sö N lµ m«®un con h÷u h¹n sinh cña Rade(M). Khi ®ã N lµ m«®un con bÐ cèt yÕu cña M do ®ã N lµ Artin theo gi¶ thiÕt. NghÜa lµ Rade(M) lµ m«®un Artin ®Þa ph­¬ng. XÐt x ∈ Rade(M), x /∈ A. Khi ®ã xR lµ Artin vµ (xR + A)/A ' xR/(xR ∩ A). V× vËy (xR + A)/A lµ m«®un Artin kh¸c kh«ng. Do ®ã Rade(M)/A cã ®Õ cèt yÕu. Gäi S lµ m«®un con cña Rade(M) chøa A sao cho S/A lµ ®Õ cña Rade(M)/A. Khi ®ã S/A kh«ng lµ h÷u h¹n sinh theo MÖnh ®Ò 3.3.3. TiÕp theo ta chØ ra r»ng Ae M . Gi¶ söM = A+B víi B ≤e M . Khi ®ã S = A + (S ∩ B). Gi¶ sö r»ng A ∩ B 6= A. Khi ®ã Rade(M)/(A ∩ B) lµ h÷u h¹n ®èi sinh theo c¸ch chän A. Nh­ng S/A = (A+ (S ∩ B))/A ' (S ∩ B)/(A ∩ B) ≤ Soc(Rade(M)/(A ∩B)). V× Soc(Rade(M)/(A ∩ B)) lµ h÷u h¹n sinh vµ nöa ®¬n nªn S/A lµ h÷u h¹n sinh. §iÒu nµy m©u thuÉn. Nh­ vËy A = A ∩ B ≤ B vµ ta cã M = A + B ≤ B. Nh­ vËy B = M , nghÜa lµ Ae M . B©y giê, ta chøng minh S e M . ThËt vËy, gi¶ sö M = S+V víi V lµ m«®un con cña M vµ V ≤e M . Khi ®ã M/(A+V ) = (S +V )/(A+V ) ' S/(S ∩ (A+V )) = S/(A+(S∩V )). Nh­ vËyM/(A+V ) lµ nöa ®¬n. NÕu M 6= A+ V th× tån t¹i m«®un con cùc ®¹i W cña M sao cho A+ V ≤ W . Ngoµi ra, víi mçi x ∈ Rade(M) v× xRM vµ W ≤e M nªn x ∈ W . Do 81 ®ã Rade(M) ≤ W . Tõ ®ã suy ra S + V ≤ W hay W =M , ®iÒu nµy m©u thuÉn. Nh­ vËy M = A + V . H¬n n÷a, A e M nªn M = V . V× vËy S e M vµ do ®ã S lµ Artin theo gi¶ thiÕt. Tõ ®ã suy ra S/A lµ Artin. V× S/A lµ nöa ®¬n nªn S/A lµ h÷u h¹n sinh, ®iÒu nµy m©u thuÉn. Tãm l¹i Rade(M) lµ Artin. M«®un con N cña M ®­îc gäi lµ nöa cùc ®¹i cèt yÕu nÕu N = ∩ni=1Li víi Li lµ cùc ®¹i vµ cèt yÕu trong M víi mäi i = 1, ..., n. MÖnh ®Ò 3.3.5. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng ®èi víi m«®un M: (1) M lµ Artin; (2) M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu vµ c¸c m«®un con nöa cùc ®¹i cèt yÕu; (3)M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu vµ Rade(M) lµ m«®un con nöa cùc ®¹i cèt yÕu. Chøng minh. (1)⇒ (2) lµ râ rµng. (2)⇒ (3). Gi¶ sö M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con nöa cùc ®¹i cèt yÕu. Gäi N lµ m«®un con nöa cùc ®¹i cèt yÕu cùc tiÓu cña M . Theo ®Þnh nghÜa, Rade(M) ≤ N . NÕu M = Rade(M) th× Rade(M) = N . Gi¶ sö r»ng M 6= Rade(M) vµ P lµ m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i bÊt kú cña M . Khi ®ã N ∩ P lµ m«®un con nöa cùc ®¹i cèt yÕu cña M vµ do ®ã N ≤ N ∩ P , hay N ≤ P . Tõ ®ã suy ra N ≤ Rade(M). V× vËy N = Rade(M). Tãm l¹i Rade(M) lµ m«®un con nöa cùc ®¹i cèt yÕu cña M . (3)⇒ (1). Theo §Þnh lý 3.3.4, Rade(M) lµ Artin. NÕu M = Rade(M) th× M lµ Artin. Gi¶ sö r»ng M 6= Rade(M). Khi ®ã Rade(M) = P1 ∩ 82 P2 ∩ · · · ∩ Pn, trong ®ã Pi lµ m«®un con cèt yÕu cùc ®¹i cña M víi mäi i = 1, ..., n. Tõ ®ã suy ra M/Rade(M) nhóng trong m«®un nöa ®¬n h÷u h¹n sinh M/P1 ⊕ · · · ⊕M/Pn. Theo §Þnh lý 1.4.2, M/Rade(M) lµ Artin. Nh­ vËy M lµ Artin. MÖnh ®Ò 3.3.6. NÕu M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu th× víi mçi m«®un con A cñaM ,M/A lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. Chøng minh. Cho A lµ m«®un con cña M vµ B1/A ≤ B2/A ≤ · · · , trong ®ã Bi/A e M/A víi mäi i = 1, 2, .... Gi¶ sö C lµ phÇn phô cèt yÕu cña A trong M . Khi ®ã M/A = (A + C)/A ' C/A ∩ C. V× Bi/A lµ bÐ cèt yÕu trong M/A nªn theo Bæ ®Ò 3.1.1(4), Bi/A ' Di/A ∩ C e C/A ∩ C víi Di nµo ®ã. Ta chøng minh Di e M . ThËt vËy, gi¶ sö Di + E = M víi E ≤e M . Khi ®ã (Di + (E + (A ∩ C)))/A ∩ C = M/A ∩ C. Do ®ã E+(A∩C) =M . V× A∩C e M nªn E =M . Nh­ vËy D1 ≤ D2 ≤ · · · . V× M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu nªn tån t¹i n sao cho Dk = Dk+1 víi mäi k ≥ n. Nh­ vËy Bk/A = Bk+1/A víi mäi k ≥ n. V× vËy M/A tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. Ngoµi ra, M/A lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu theo MÖnh ®Ò 3.1.15. §Þnh lý 3.3.7. Cho M lµ mét m«®un. Khi ®ã M lµ Artin khi vµ chØ khi M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con phÇn phô cèt yÕu vµ m«®un con bÐ cèt yÕu. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn lµ râ rµng. Ng­îc l¹i, gi¶ sö M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con phÇn phô cèt yÕu vµ bÐ cèt yÕu. Khi ®ã Rade(M) lµ Artin theo §Þnh lý 83 3.3.4. Ta chØ cÇn chØ ra M/Rade(M) lµ Artin. ThËt vËy, theo Bæ ®Ò 3.1.9, M/Rade(M) lµ nöa ®¬n. Gi¶ sö r»ng Rade(M) ≤ N1 ≤ N2 ≤ N3 ≤ · · · lµ mét d©y chuyÒn t¨ng c¸c m«®un con cña M . V× M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu nhiÒu nªn tån t¹i d©y chuyÒn gi¶m c¸c m«®un con K1 ≤ K2 ≤ · · · sao cho Ki lµ phÇn phô cèt yÕu cña Ni trong M víi mäi i ≥ 1. Theo gi¶ thiÕt, tån t¹i sè nguyªn d­¬ng t sao cho Kt = Kt+1 = Kt+2 = · · · . V× M/Rade(M) = Ni/Rade(M) ⊕ (Ki + Rade(M))/Rade(M) víi mäi i ≥ t nªn Nt = Nt+1 = · · · . Nh­ vËy M/Rade(M) lµ N¬te vµ do ®ã M/Rade(M) lµ Artin theo §Þnh lý 1.4.2. VËy M lµ Artin. HÖ qu¶ 3.3.8. Cho M lµ m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã M lµ Artin khi vµ chØ khi M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu. Chøng minh. V× M lµ cã phÇn phô cèt yÕu nªn M/Rade(M) lµ nöa ®¬n theo Bæ ®Ò 3.1.9. MÆt kh¸c, M lµ h÷u h¹n sinh nªn M/Rade(M) lµ Artin theo §Þnh lý 1.4.2. V× M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu nªn Rade(M) lµ Artin theo §Þnh lý 3.3.4. VËy M lµ Artin. VÝ dô 3.3.1. (1) XÐt M = Z lµ Z-m«®un, ta cã c¸c m«®un con phÇn phô cèt yÕu cña M lµ 0 vµ M ; m«®un con bÐ cèt yÕu duy nhÊt cña M lµ 0. Nh­ vËy M tháa ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu (vµ m«®un con phÇn phô cèt yÕu). Tuy nhiªn M kh«ng ph¶i lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. V× vËy M kh«ng lµ Artin. (2) XÐt M = Q lµ Z-m«®un. Ta cã M kh«ng ph¶i lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu. V× vËy M kh«ng lµ Artin. (3) XÐt R = ( F F 0 F ) , A = ( F F 0 0 ) trong ®ã F lµ mét tr­êng. Râ 84 rµng AR cã c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu lµ 0 vµ J = ( 0 F 0 0 ) . Nh­ vËy, A lµ R-m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ Artin. Tõ HÖ qu¶ 3.3.8 vµ HÖ qu¶ 3.2.18, ta cã: HÖ qu¶ 3.3.9. Cho M lµ m«®un h÷u h¹n sinh. NÕu mçi m«®un con cyclic cña M lµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ M tháa m·n ®iÒu kiÖn DCC trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu th× M lµ Artin. KÕt luËn cña ch­¬ng 3 XuÊt ph¸t tõ kh¸i niÖm m«®un cã phÇn phô vµ m«®un con bÐ cèt yÕu, chóng t«i ®­a ra c¸c kh¸i niÖm m«®un n©ng cèt yÕu, cã phÇn phô cèt yÕu vµ ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. M«®un n©ng cèt yÕu vµ m«®un cã phÇn phô cèt yÕu lµ c¸c kh¸i niÖm më réng cña kh¸i niÖm m«®un δ-n©ng vµ m«®un cã δ-phÇn phô (t­¬ng øng). Ngoµi viÖc kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt ®ång ®iÒu cña c¸c líp m«®un trªn, chóng t«i chØ ra r»ng, ®èi víi m«®un cã phÇn phô cèt yÕu M th× M/Rade(M) lµ m«®un nöa ®¬n. KÕt hîp víi viÖc chøng minh ®Æc tr­ng Artin cña m«®un Rade(M) th«ng qua ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn gi¶m trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu, c¸c ®Æc tr­ng cña m«®un Artin còng ®· ®­îc chØ ra. KÕt qu¶ chÝnh trong ch­¬ng 3 ®ã lµ c¸c ®Æc tr­ng cña m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu (§Þnh lý 3.2.7; MÖnh ®Ò 3.2.9 vµ §Þnh lý 3.2.10) vµ ®Æc tr­ng Artin th«ng qua ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu (MÖnh ®Ò 3.3.5, §Þnh lý 3.3.7; HÖ qu¶ 3.3.8). 85 KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ C¸c kÕt qu¶ chÝnh trong luËn ¸n: 1. C¸c tÝnh chÊt cña m«®un gi¶ c+-néi x¹ (§Þnh lý 2.2.11; §Þnh lý 2.2.21); mèi liÖn hÖ gi÷a m«®un gi¶ c+-néi x¹ víi c¸c tr­êng hîp më réng kh¸c cña m«®un néi x¹ (§Þnh lý 2.2.5; HÖ qu¶ 2.2.7); 2. C¸c ®Æc tr­ng më réng cña m«®un vµ vµnh tù néi x¹ th«ng qua tÝnh chÊt gi¶ c+-néi x¹ (HÖ qu¶ 2.2.12); §Æc tr­ng cña m«®un vµ vµnh liªn tôc th«ng qua m«®un gi¶ c+-néi x¹ (§Þnh lý 2.2.6; §Þnh lý 2.2.16); 3. §Æc tr­ng vµnh Artin nöa ®¬n th«ng qua m«®un gi¶ c-néi x¹ vµ gi¶ c+-néi x¹ (§Þnh lý 2.1.6; HÖ qu¶ 2.2.13); §Æc tr­ng vµnh tùa Frobenius th«ng qua vµnh gi¶ c+-néi x¹ (§Þnh lý 2.2.20; §Þnh lý 2.2.33); 4. C¸c ®Æc tr­ng cña m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu (§Þnh lý 3.2.7; MÖnh ®Ò 3.2.9 vµ §Þnh lý 3.2.10) 5. §Æc tr­ng Artin cña m«®un Rade(M) (§Þnh lý 3.3.4); c¸c ®Æc tr­ng cña m«®un Artin th«ng qua m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ ®iÒu kiÖn d©y chuyÒn trªn c¸c m«®un con bÐ cèt yÕu (§Þnh lý 3.3.7; HÖ qu¶ 3.3.8). Ngoµi c¸c kÕt qu¶ ®· chøng minh ®­îc ë trªn, chóng t«i sÏ tiÕp tôc nghiªn cøu vµ gi¶i quyÕt mét sè vÊn ®Ò liªn quan nh­ng ch­a ®­îc chøng minh trong luËn ¸n: 1. TÝnh nöa chÝnh quy cña vµnh tù ®ång cÊu cña m«®un gi¶ c+-néi x¹; c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó m«®un gi¶ c+-néi x¹ lµ m«®un gi¶ néi x¹, liªn tôc, tùa néi x¹, néi x¹; 2. C¸c ®Æc tr­ng cña vµnh hoµn chØnh, nöa hoµn chØnh, δ-hoµn chØnh, δ- nöa hoµn chØnh th«ng qua m«®un n©ng cèt yÕu, m«®un cã phÇn phô cèt yÕu vµ m«®un ®Þa ph­¬ng cèt yÕu. 86 Danh môc c¸c c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ [1] Phan Hång TÝn vµ Tr­¬ng C«ng Quúnh, VÒ m«®un gi¶ c∗-néi x¹, T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ, §H §µ N½ng, 6 (2011), 118-126. [2] T. C. Quynh and P. H. Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, Asian-European Journal of Mathematics, Vol. 5, No. 3 (2012), 12 pages. [3] T. C. Quynh and P. H. Tin, Some properties of e-lifting and e- supplemented modules, Vietnam Journal of Mathemmatics, Vol 41, No. 3 (2013), 303 - 312. [4] P. H. Tin, Pseudo c∗-injective and co-Hopfian modules, Journal of Science Hue University, to appear. [5] L. V. Thuyet and P. H. Tin, Some Characterizations of Modules via Essentially small, Kyungpook Mathematical Journal, to appear. C¸c kÕt qu¶ trong luËn ¸n ®­îc th¶o luËn vµ b¸o c¸o t¹i: 1. Héi nghÞ §¹i sè - H×nh häc - T«p« toµn quèc, Th¸i Nguyªn, 2011. 2. Héi nghÞ To¸n häc toµn quèc lÇn thø 8, Nha Trang, 2013. 3. Héi th¶o Nhãm, vµnh vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan, VIASM, 2014. 4. Héi nghÞ §¹i sè - H×nh häc - T«p« toµn quèc, H¹ Long, 2014. 5. Héi nghÞ To¸n häc MiÒn Trung - T©y Nguyªn lÇn thø nhÊt, Quy nh¬n, 2015. 87 Tµi liÖu Tham kh¶o. TiÕng ViÖt: [1] Tr­¬ng C«ng Quúnh vµ Lª V¨n ThuyÕt, Gi¸o tr×nh Lý thuyÕt Vµnh vµ M«®un, NXB §¹i häc HuÕ, HuÕ, 2013. [2] Phan Hång TÝn vµ Tr­¬ng C«ng Quúnh, VÒ m«®un gi¶ c∗-néi x¹, T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ, §H §µ N½ng, 6(2011), 118-126. TiÕng Anh: [3] I. Al-Khazzi and P. F. Smith, Modules with chain conditions on super- fluous submodules, Comm. Algebra, 19(8)(1991), 2331-2351. [4] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York, 1974. [5] H. Bass, Finitistic dimension and a homological generalization of semiprimary rings, Trans. Am. Math. Soc., 95(1960), 466-488. [6] P. C. Bharadwaj and A. K. Tiwary, Pseudo injective modules, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, R. S. (N.S.), 26(74)(1982), 21-25. [7] E. Buyukasik and C. Lomp, When δ-semiperfect rings are semiperfect, Turkish J. Math., 34(2010) 317-324. [8] C. Celik, Modules satisfying a lifting condition, Turkish J. Math., 18(3)(1994), 293-301. [9] J. Clark and D. V. Huynh, When is a self-injective semiperfect ring quasi Frobenius?, J. Algebra, 165(1994), 531-542. [10] N. Chien and L. V. Thuyet, On EF-extending modules, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 26(2003), 909-916. 88 [11] C. S. Clara and P. F. Smith, Modules which are self-injective relative to closed submodules, Contemporary of Mathematics 259, American Math. Soc. Providence, pp. 487-499, 2000. [12] Q. H. Dinh, A note on pseudo-injective modules, Communication in Algebra, 33(2005), 361-369. [13] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith, R. Wisbauer, Extending modules, Pitman Research Notes in Math. 313, Longman, Harlow, New York, 1994. [14] N. Ding, M. F. Yousif and Y. Zhou, Modules with annihilator condi- tions, Comm. Algebra, 30(5)(2002) 2309-2320. [15] N. Er, S. Singh, A. Srivastava, Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J. Algebra, 379(2013), 223- 229. [16] C. Faith, D. V. Huynh, when self-injective rings are QF: A report on a problem, Journal of Algebra and its Applications, Vol. 1, No. 1(2002) 75-105. [17] K. R. Goodearl, Von Neumann regular rings, Pitman, London, 1979. [18] K. R. Goodearl and R. B. Warfield, An Introduction to Noncommu- tative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts 16, Cambridge University Press, 1989. [19] P. A. Guil Asensio and A. Srivastava, Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, Journal of Algebra, 388(2013),101-106. [20] P. A. Guil Asensio, D. K. Tutuncu and A. Srivastava,Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes, Israel Journal of Mathematics, 1(2008), 1-26. 89 [21] R. R. Hallett, Injective modules and their generalizations, Ph. D. Thesis, Univ. of Bristish Columbia, Vancouver, B. C., 1971. [22] M. Harada, On Modules with Extending Properties, Osaka J. Math., 19(1982), 203-215. [23] D. V. Huynh, A right countably sigma-CS ring with ACC or DCC on projective principal right ideals is left artinian and QF-3, Trans. Am. Math. Soc., 347(1995), 3131-3139. [24] S. K. Jain and S. Mohamed, Rings whose cyclic modules are continuous, J. Indian Math. Soc., 42(1978), 197-202. [25] S. K. Jain, and B. J. Muller, Semiperfect modules whose proper cyclic modules are continuous, Arch. Math., 37(1981), 140-143. [26] S. K. Jain and S. Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canadian Math. Bull., 18(1975), 359-366. [27] R. E. Johnson and E. T. Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J. London Math. Soc., 36(1961), 260-268. [28] F. Kasch and E. A. Mares, Eine Kennzeichnung semi-perfekter Moduln, Nagoya Math. J., 27(1966), 525-529. [29] M. T. Kosan, δ-lifting and δ-supplemented modules, Algebra Colloq., 14(1)(2007), 53-60. [30] T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer Graduate Text, 1991. [31] T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999. [32] S. H. Mohammed and B. J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math. Soc. LN 147: Cambridge Univ.Press., 1990. 90 [33] W. K. Nicholson, Lifting idempotents and exchange rings, Transactions of the American Mathematical Society, 229(1977), 269-278. [34] W. K. Nicholson and M. F. Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ. Press. 2003. [35] K. Oshiro, Continuous modules and quasi-continuous modules, Osaka J. Math., 20(1983), 681-694. [36] K. Oshiro, Lifting modules, extending modules and their application to QF-rings, Hokkaido Math. J., 13(1984), 310-338. [37] T. C. Quynh and P. H. Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism of their closed submodules, Asian-European Journal of Mathematics, Vol. 5, No. 3(2012), 12 pages. [38] T. C. Quynh and P. H. Tin, Some properties of e-lifting and e- supplemented modules, Vietnam Journal of Mathemmatics, Vol. 41, No. 3(2013), 303 - 312. [39] S. Singh and S. K. Jain, On pseudo injective modules and self pseudo injective rings, The Journal of Mathematical Sciences, 2(1)(1967), 125- 133. [40] M. L. Teply, Pseudo-injective modules which are not quasi-injective, Proc. Amer. Math. Soc., 49(2)(1975), 305-310. [41] L. V. Thuyet, P. Dan and T. C. Quynh, Modules which are invariant under idempotents of their envelopes, Colloquium Mathematicum, to ap- pear. [42] L. V. Thuyet and T. C. Quynh, On general injective ring with chain conditions, Algebra Colloquium, 16(2)(2009), 243-252. 91 [43] L. V. Thuyet and P. H. Tin, Some charaterizations of modules via es- entially small, Kyungpook Mathematical Journal, to appear. [44] P. H. Tin, Pseudo c∗-injective and co-Hopfian modules, Journal of Sci- ence Hue University, to appear. [45] A. K. Tiwary and B. M. Pandeya, Pseudo projective and pseudo injec- tive modules, Indian J. Pure Appl. Math., 9(1978), 941-949. [46] R. Tribak, On δ-local modules and amply δ-supplemented modules, J. Algebra Appl., 12(2)(2013), 1250144, 14 pp. [47] Y. Utumi, On continuous rings and self-injective rings, Trans. Amer. Math. Soc., 118(1995), 158-173. [48] T. Wakamatsu, Pseudo-projectives and pseudo-injectives in abelian cat- egories, Math. Rep. Toyama Univ., 2(1979), 133-142. [49] Y. Wang, δ-small submodules and δ-supplemented Modules, Int. J. Math. Math. Sci., (2007), 58132 [50] R. Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach. Reading 1991. [51] Y. Zhou, Decomposing modules into direct sums of submodules with types, J. Pure Appl. Algebra, 138(1999), 83 - 97. [52] Y. Zhou, Generalizations of perfect, semiperfect, and semiregular rings, Algebra Colloquium, 7(3)(2000) 305-318. [53] D. X. Zhou and X. R. Zhang, Small-essential submodules and Morita duality, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 35(2011), 1051-1062 [54] Z. Zhu, Pseudo PQ-injective modules, Turk. J. Math., 34(2010), 1-8. 92