Luận án Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

2) sao cho (F1ρ1 ∗ 2 F2ρ2) · (ρ1 ∗ 2 ρ2) ∈ Lp(R). Khi đó, ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine trong không gian Lp(R) xác định như sau ‖(F1ρ1 ∗ 2 F2ρ2) · (ρ1 ∗ 2 ρ2) 1 p−1‖Lp(R) > 2C‖F1‖Lp(R+,ρ1) · ‖F2‖Lp(R,ρ2), (3.23) trong đó C = { Ap,q ( m1m2 M1M2 )}−1 . −82− Chứng minh. Ta đặt f(ξ) = F p1 (ξ)[F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)]pρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)], g(ξ) = ρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]. Khi đó, điều kiện (3.22) trở thành 0 < 2pm1m2 ≤ f(ξ) g(ξ) ≤ 2pM1M2 <∞, ξ ∈ R. Sử dụng bất đẳng thức Ho¨lder ngược (1.37), ta có ∞∫ 0 F p1 (ξ)[F1(x+ ξ) + F2(x− ξ)]pρ1(ξ)[ρ1(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ  1p × ×  ∞∫ 0 ρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ  1q ≤ C ∞∫ 0 F1(ξ)ρ1(ξ)[F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)][ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ. (3.24) Nâng lũy thừa lên bậc p đối với hai vế của bất đẳng thức trên, ta có ∞∫ 0 F p1 (ξ)[F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)]pρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ× ×  ∞∫ 0 ρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ p−1 ≤ C  ∞∫ 0 F1(ξ)ρ1(ξ)[F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)][ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ p . (3.25) Suy ra Cp ∞∫ 0 F p1 (ξ)[F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)]pρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ −83− ≤  ∞∫ 0 F1(ξ)ρ1(ξ)[F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)][ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ p× ×  ∞∫ 0 ρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ 1−p . (3.26) Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức (3.26) theo biến x trên R, ta nhận được đánh giá sau Cp ∞∫ 0 F p1 (ξ)ρ1(ξ)dξ ∞∫ −∞ [F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)]p[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dx ≤ ∞∫ −∞  ∞∫ 0 (F1ρ1)(ξ)[F2ρ1(x+ ξ) + F2ρ2(x− ξ)]dξ p× ×  ∞∫ 0 ρ1(ξ)[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dξ 1−p dx. Lũy thừa bậc 1p đối với hai vế của bất đẳng thức trên, ta có C  ∞∫ 0 F p1 (ξ)ρ1(ξ)dξ ∞∫ −∞ [F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)]p[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dx  1p ≤  ∞∫ −∞ (F1ρ1 ∗ 2 F2ρ2) p(ρ1 ∗ 2 ρ2) 1−pdx  1p . (3.27) Mặt khác, ta nhận thấy (a+ b)p > ap + bp với mọi a, b > 0, p > 1, nên suy ra ∞∫ −∞ [F2(x+ ξ) + F2(x− ξ)]p[ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ)]dx > > ∞∫ −∞ (F p2 (x+ ξ) + F p 2 (x− ξ))(ρ2(x+ ξ) + ρ2(x− ξ))dξ −84− > 2 ∞∫ −∞ F p2 (ξ) · ρ2(ξ)dξ. Từ đánh giá trên và từ bất đẳng thức (3.27), ta nhận được ‖(F1ρ1 ∗ 2 F2ρ2) · (ρ1 ∗ 2 ρ2) 1 p−1‖Lp(R) > 2C ‖F1‖Lp(R+,ρ1) · ‖F2‖Lp(R,ρ2). Định lý được chứng minh. 2 3.3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine Định lý 3.3.1 (Định lý kiểu Young). Giả sử p, q, r > 1, thoả mãn điều kiện 1 p + 1 q + 1 r = 2 và f ∈ Lp(R+), g ∈ Lq(R), h ∈ Lr(R). Khi đó, ta có bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine xác định như sau∣∣∣∣∣∣ ∞∫ −∞ (f ∗ 1 g)(x) · h(x)dx ∣∣∣∣∣∣ ≤ (2pi)− 12 ‖f‖Lp(R+) · ‖g‖Lq(R) · ‖h‖Lr(R). (3.28) Chứng minh. Gọi p1, q1, r1 lần lượt là số mũ liên hợp của p, q, r, tức là 1 p + 1 p1 = 1, 1 q + 1 q1 = 1, 1 r + 1 r1 = 1. Khi đó, 1 p1 + 1 q1 + 1 r1 = 3− ( 1 p + 1 q + 1 r ) = 1 và q p1 + q r1 = 1, r p1 + r q1 = 1, p q1 + p r1 = 1. Đặt F (x, u) = |g(x+ u)− g(x− u)| qp1 · |h(x)| rp1 , (x ∈ R, u ∈ R+), G(x, u) = |f(u)| pq1 · |h(x)| rq1 , (x ∈ R, u ∈ R+), H(x, u) = |f(u)| pr1 · |g(x+ u)− g(x− u)| qr1 , (x ∈ R, u ∈ R+). −85− Nhận thấy rằng F,G,H ∈ L(R× R+), ta có (F ·G ·H)(x, u) = |f(u)| · |h(x)| · |[g(x+ u)− g(x− u)]|. (3.29) Mặt khác, đặt Ω = R+ × R, khi đó trong không gian Lp1(Ω), ta nhận được ‖F‖p1Lp1(Ω) = ∫ Ω |g(x+ u)− g(x− u)|q|h(x)|rdudx = ∞∫ −∞  ∞∫ 0 |g(x+ u)− g(x− u)|qdu  |h(x)|rdx. Sử dụng bất đẳng thức Minkowski (1.29), ta có ∞∫ 0 |g(x+ u)− g(x− u)|qdu 6 ( ∞∫ 0 |g(x+ u)|qdu ) + ( ∞∫ 0 |g(x− u)|qdu ) = ( ∞∫ −∞ |g(t)|qdt ) = ‖g‖Lq(R). Hơn nữa ‖F‖p1Lp1(Ω) 6 2 q−1 ∞∫ −∞  ∞∫ −∞ |g(t)|qdt  |h(x)|rdx = 2q−1‖g‖qLq(R) · ‖h‖rLr(R), suy ra ‖F‖Lp1(Ω) 6 ‖g‖ q p1 Lq(R) · ‖h‖ r p1 Lr(R). (3.30) Tương tự ta có ‖H‖Lr1(Ω) 6 ‖f‖ p r1 Lq(R+) · ‖g‖ q r1 Lr(R). (3.31) Mặt khác, ta cũng nhận được ‖G‖Lq1(Ω) = ‖f‖ p q1 Lp(R+) · ‖h‖ r q1 Lr(R). (3.32) Khi đó, từ các công thức (3.7), (3.31) và (3.32), suy ra ‖F‖Lp1(Ω) · ‖G‖Lq1(Ω) · ‖H‖Lr1(Ω) 6 ‖f‖Lp(R+) · ‖g‖Lq(R) · ‖h‖Lr(R). (3.33) −86− Từ các công thức (3.29), (3.33) và sử dụng bất đẳng thức Ho¨lder cho ba hàm (xem [6]), ta có∣∣∣∣∣∣ ∞∫ −∞ (f ∗ 1 g)(x) · h(x)dx ∣∣∣∣∣∣ 6 1√2pi ∞∫ −∞ ∞∫ 0 |f(u)| |[g(x+ u)− g(x− u)]| |h(x)|dudx = 1√ 2pi ∞∫ −∞ ∞∫ 0 F (x, u) ·G(x, u) ·H(x, u)dudx 6 1√ 2pi ‖F‖Lp1(Ω) · ‖G‖Lq1(Ω) · ‖H‖Lr1(Ω) 6 (2pi)− 12 ‖f‖Lp(R+) · ‖g‖Lq(R) · ‖h‖Lr(R). Định lý được chứng minh. 2 Tương tự như đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, ta cũng nhận được bất đẳng thức kiểu Young là hệ quả trực tiếp của định lý trên. Hệ quả 3.3.1 (Bất đẳng thức kiểu Young). Giả sử p > 1, q > 1, r > 1 thoả mãn 1 p + 1 q = 1 + 1 r . Khi đó với f ∈ Lp(R+), g ∈ Lq(R), ta có (f ∗ 1 g) ∈ Lr(R) và nhận được bất đẳng thức sau ‖f ∗ 1 g‖Lr(R) 6 (2pi)− 1 2 ‖f‖Lp(R+) · ‖g‖Lq(R). (3.34) Bất đẳng thức này cũng không đúng cho trường hợp điển hình khi các hàm f ∈ L2(R+), g ∈ L2(R). Bằng kỹ thuật tương tự như chứng minh bất đẳng thức Saitoh đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, ta chứng minh được định lý sau đây. Định lý 3.3.2 (Định lý kiểu Saitoh). Giả sử ρj, (j = 1, 2) là hai hàm dương, sao cho tích chập suy rộng (ρ1 ∗ 2 ρ2) xác định. Khi đó, với F1 ∈ Lp(R+, ρ1), F2 ∈ Lp(R, ρ2), p > 1 ta có bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng Hartley- Fourier sine trong không gian Lp(R+) xác định như sau ‖((F1ρ1) ∗ 1 (F2ρ2))(ρ1 ∗ 2 ρ2) 1 p−1‖Lp(R) 6 √ 2 pi ‖F1‖Lp(R+,ρ1) · ‖F2‖Lp(R,ρ2). (3.35) −87− Nhận xét 3.3.1. Khi ρ1 ≡ ρ ∈ L1(R+) và ρ2 ≡ 1, bất đẳng thức (3.35) có dạng ‖(F1ρ) ∗ 1 F2‖Lp(R) 6 √ 2 pi ‖ρ‖1− 1 p L1(R+) · ‖F2‖Lp(R) · ‖F1‖Lp(R+,ρ). (3.36) Bất đẳng thức (3.36) cho phép ta đánh giá đại lượng hàm đầu ra y(x) = ∞∫ 0 F (y)ρ(y) ·G(x, y)dy, (3.37) theo giá trị của đại lượng hàm đầu vào F trong các bài toán tương ứng, với hàm F2 nào đó sao cho G(x, y) = F2(x− y)− F2(x+ y) là một hàm Green. 3.4 Ứng dụng Trong mục này, sử dụng bất đẳng thức (3.20), (3.36) ta nhận được các đánh giá nghiệm của phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel và một số bài toán Toán-Lý. 3.4.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel Xét phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel trong trường hợp k1 = k2 = f có dạng f(x) + 1√ 2pi ∞∫ 0 k(y)[f(x+ y) + f(x− y)]dy = h(x)ρ(x), x ∈ R, (3.38) trong đó, k ∈ L1(R+)∩Lp(R+), h ∈ L1(R, ρ)∩Lp(R, ρ) là những hàm đã biết, f ∈ L1(R+) là ẩn hàm. Theo kết quả của Định lý 2.2.6, suy ra nghiệm của phương trình (3.38) xác định bởi f(x) = (hρ)(x)− (l ∗ 2 (hρ))(x), x ∈ R. (3.39) Sử dụng bất đẳng thức (3.20) ta có đánh giá sau ‖f(x)‖Lp(R) = ‖(hρ)− (l ∗2 (hρ))‖Lp(R) −88− 6 ‖hρ‖Lp(R+) + ‖ρ‖ 1− 1p L1(R+) · ‖h‖Lp(R, ρ) · ‖l‖Lp(R+). Nhận xét 3.4.1. Giả sử rằng f là hàm liên tục và có đạo hàm đến cấp 2n, sao cho f (2k) ∈ L1(R) và lim|x|→∞ f (2k)(x) = 0, (k = 1, n). Khi đó ( H1f (2k) ) (y) = (−1)ky2k (H1f) (y), (k = 0, n). (3.40) 3.4.2 Phương trình vi phân Xét phương trình vi phân bậc 2n(n > 1) với hệ số hằng như sau ( n∑ k=0 (−1)kak d 2k dx2k ) f(x) = g(x) · ρ(x), x ∈ R, (3.41) ở đây f ∈ L1(R+) là ẩn hàm và g, ρ là các hàm cho trước và thoả mãn g ∈ L1(R, ρ) ∩ Lp(R, ρ), ρ ∈ L1(R+), với điều kiện biên là dk dxk f(x)→ 0 khi x→ ±∞, k = 0, 2n. (3.42) Giả sử a0, an > 0 và ak > 0, (k = 1, n− 1) sao cho tồn tại hàm Q ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) xác định bởi (FcQ)(y) = 1 n∑ k=0 aky2k , y > 0. Áp dụng phép biến đổi Hartley cho hai vế của phương trình (3.41) với điều kiện (3.42), ta có ( n∑ k=0 aky 2k ) (H1f)(y) = H1(gρ)(y). (3.43) −89− Do đó, từ công thức (3.43) và đẳng thức nhân tử hóa (2.46) của tích chập suy rộng f ∗ 2 g, ta nhận được (H1f)(y) = 1 n∑ k=0 aky2k (H1(gρ))(y) =(FcQ)(y) · (H1(gρ))(y) = H1 ( Q ∗ 2 (gρ) ) (y). Từ đó, suy ra nghiệm của bài toán là f(x) = (Q ∗ 2 (gρ))(x), x ∈ R. (3.44) Sử dụng bất đẳng thức (3.20), ta có ‖f‖Lp(R) 6 ‖ρ‖ 1− 1p L1(R) · ‖g‖Lp(R, ρ) · ‖Q‖Lp(R+). (3.45) Bất đẳng thức trên cho ta đánh giá nghiệm của phương trình (3.41) khi hàm g thuộc không gian hàm trọng L1(R, ρ) ∩ Lp(R, ρ). Sau đây là một số ví dụ về sự tồn tại của hàm Q(x). Ví dụ 3.4.1. Chọn (FcQ)(y) = 1 1 + y2 . Khi đó, theo công thức 1.2.11 trong tài liệu [10] ta có Q(x) = Fc [ 1 1 + y2 ] (x) = √ pi 2 .e−x. Hiển nhiên, hàm Q(x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+). Ví dụ 3.4.2. Ta chọn (FcQ)(y) = 1 (a2 + y2)(b2 + y2) . Khi đó, theo công thức 1.2.18 trong tài liệu [10] suy ra hàm Q(x) xác định bởi Q(x) = Fc [ 1 (a2 + y2)(b2 + y2) ] (x) = √ pi 2 . e−bx b − e −ax a a2 − b2 , a 6= b; a, b > 0. Trong đó, hàm Q(x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+). −90− 3.4.3 Bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng Xét phương trình Laplace có dạng uxx + utt = 0, −∞ 0. (3.46) với điều kiện biên u(x, 0) = f(x)ρ(x), −∞ < x <∞, (3.47) ux(x, t)→ 0 khi |x| → ∞, t→∞, (3.48) ở đây f, ρ là các hàm đã biết sao cho ρ ∈ L1(R), f ∈ L1(R, ρ)∩Lp(R, ρ), p > 1. Xét phép biến đổi tích phân Hartley đối với biến x cho hàm hai biến u(x, t), ta có (H1u)(y, t) ≡ U(y, t) = 1√ 2pi ∞∫ −∞ u(x, t) cas(xy)dx. (3.49) Sử dụng phép biến đổi tích phân Hartley (3.49) cho cả hai vế của phương trình (3.46), và sử dụng các điều kiện (3.47), (3.48) ta có d2 dt2 U(y, t)− y2U(y, t) = 0, (3.50) với điều kiện biên là U(y, 0) = (H1(fρ))(y). (3.51) Từ công thức (3.50) và điều kiện (3.51), suy ra nghiệm của bài toán trên xác định bởi U(y, t) = e−yt(H1(fρ))(y). Sử dụng công thức (1.4.1) trong ([10], p.23) và đẳng thức nhân tử hóa (2.46) của tích chập suy rộng f ∗ 2 g ta nhận được U(y, t) = √ 2 pi Fc ( t t2 + τ 2 ) (y) · (H1(fρ))(y) = H1 ( t t2 + τ 2 ∗ 2 (fρ)(τ) ) (y). (3.52) Suy ra u(x, t) = ( t t2 + τ 2 ∗ 2 (fρ)(τ) ) (x). (3.53) −91− Với mỗi t > 0, áp dụng bất đẳng thức (3.20) ta nhận được đánh giá sau ‖u‖Lp(R) 6 22− 1 p ∥∥∥∥ tt2 + ρ2 ∥∥∥∥ Lp(R) ‖ρ‖1− 1 p L1(R) · ‖f‖Lp(R,ρ), hay ‖u‖Lp(R) 6 21− 1 p Γ(p− 12) Γ(p) t1−p‖ρ‖1− 1 p L1(R) · ‖f‖Lp(R,ρ), (3.54) ở đây, Γ(·) là hàm Gamma. 3.4.4 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Xét phương trình truyền nhiệt có dạng kuxx = ut, −∞ 0, (3.55) với điều kiện biên ux(x, t)→ 0 khi |x| → ∞, (3.56) u(x, t)→ 0 khi |x| → ∞, (3.57) và điều kiện ban đầu u(x, 0) = f(x)ρ(x), (3.58) trong đó ρ ∈ L1(R), f ∈ L1(R, ρ) ∩ Lp(R, ρ), p > 1 là các hàm đã biết, và k > 0 là hệ số khuếch tán. Bằng cách áp dụng phép biến đổi Hartley (3.49) đối với biến vi phân x cho hai vế của phương trình (3.55) với điều kiện (3.58) và đặt (H1u) = U, ta nhận được d dt U(y, t) = −ky2U(y, t), (3.59) và điều kiện ban đầu là U(y, 0) = (H1(fρ))(y). (3.60) Từ công thức (3.59) và điều kiện (3.60), suy ra nghiệm của bài toán trên có dạng U(y, t) = e−ky 2t(H1(fρ))(y). −92− Sử dụng công thức (1.4.11) trong ([10], p.24) ta có U(y, t) = √ 2 pi Fc ( e− τ2 4kt√ kt ) (y) · (H1(fρ))(y) = H1 ( e− τ2 4kt√ kt ∗ 2 (fρ)(τ) ) (y), suy ra u(x, t) = ( e− τ2 4kt√ kt ∗ 2 (fρ)(τ) ) (x). (3.61) Với mỗi t > 0, sử dụng bất đẳng thức (3.20) ta nhận được đánh giá sau ‖u‖Lp(R+) = 22− 1 p‖ρ‖1− 1 p L1(R) · ‖f‖Lp(R,ρ) ∥∥∥∥∥e− τ2 4kt√ kt ∥∥∥∥∥ Lp(R) 6 22− 1 p ( pi √ p( √ kt)p−1 ) 1 p ‖ρ‖1− 1 p L1(R) · ‖f‖Lp(R,ρ). (3.62) Nhận xét 3.4.2. Đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine, bằng kỹ thuật tương tự như tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine ta nhận được các đánh giá nghiệm của bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng và bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt. Nhận xét 3.4.3. Cho đến nay chưa có công trình nào công bố về bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley. Những kết quả đạt được của chương là những nghiên cứu mới về bất đẳng thức tích chập suy rộng kiểu Young, kiểu Saitoh, trong khi các công trình nghiên cứu trước đó chỉ dừng ở một số vấn đề về bất đẳng thức tích chập. Đây cũng là lần đầu tiên nhận được kết quả về bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược đối với tích chập suy rộng. −93− Kết luận chương 3 Chương này đã đạt được một số kết quả sau: • Thiết lập được các bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young đối với phép biến đổi tích phân Hartley, các tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine và Hartley-Fourier sine. • Nhận được các bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier cosine như: Bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh và bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược đối với tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine. • Nhận được các đánh giá nghiệm của phương trình tích phân kiểu Toeplitz- Hankel, phương trình vi phân và một số bài toán Toán-Lý. −94− Chương 4 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY Trong chương này nghiên cứu một lớp phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley như: Hartley-Fourier cosine và Hartley-Fourier sine, các phép biến đổi tích phân này có dạng f(x) 7→ g(x) = (Thf)(x) := ( 1− d 2 dx2 ) (h ∗ 2 f)(x), x ∈ R = 1√ 2pi ( 1− d 2 dx2 ){ ∞∫ 0 [f(x+ u) + f(x− u)]h(u)du } , x ∈ R, (4.1) f(x) 7→ g(x) = (Tkf)(x) := ( 1− d 2 dx2 ) (k ∗ 1 f)(x), x ∈ R, = 1√ 2pi ( 1− d 2 dx2 ){ ∞∫ 0 [f(x− u)− f(x+ u)]k(u)du } , x ∈ R. (4.2) Nội dung chính của chương này tập trung nghiên cứu các toán tử Th, Tk trên không gian Lp(R), 1 6 p 6 2. Nhận được điều kiện cần và đủ đối với các toán tử Th, Tk, để phép biến đổi tích phân (4.1) và (4.2) là unita trong L2(R). Các định lý kiểu Watson và Plancherel cho lớp các phép biến đổi này trong L2(R) cũng được chứng minh. Hơn nữa, còn chứng minh được tính bị chặn của các toán tử vi-tích phân nói trên từ không gian Lp(R) vào không gian Lq(R) với (1 6 p 6 2), 1 p + 1 q = 1 (q là số liên hợp của p). Các ứng dụng của chương là nghiên cứu và giải một lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được biểu diễn nghiệm của lớp phương trình parabolic. 95 4.1 Các tính chất toán tử 4.1.1 Định lý kiểu Watson Định lý 4.1.1. Giả sử các hàm f ∈ L2(R), h ∈ L2(R+). Khi đó công thức |(Fch)(y)| = 1 1 + y2 , y > 0, (4.3) là điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (4.1) là unita trong L2(R). Hơn nữa, công thức ngược của toán tử Thf trong L2(R) có dạng f(x) = ( T−1h g ) (x) := ( 1− d 2 dx2 ) (h ∗ 2 g)(x) = 1√ 2pi ( 1− d 2 dx2 ){ ∞∫ 0 [g(x+ u) + g(x− u)]h(u)du } , (4.4) ở đây h là liên hợp phức của hàm h, và ta có f(x) = ( T−1h g ) (x) = ( Thg ) (x), x ∈ R. Chứng minh. Điều kiện đủ. Ta biết rằng các hàm k(y), yk(y), y2k(y) thuộc không gian L2(R) khi và chỉ khi đồng thời các hàm (H1k)(x), d dx (H1k)(x) và d2 dx2 (H1k)(x) cũng thuộc L2(R). Mặt khác, ta có d2 dx2 (H1k)(x) = 1√ 2pi d2 dx2 ∞∫ −∞ k(y) cas(xy)dy = 1√ 2pi ∞∫ −∞ k(y)(−y2) cas(xy)dy = H1 [ (−y2)k(y)](x) = −H1[y2k(y)](x). (4.5) Khi đó ( 1− d 2 dx2 ) (H1k)(x) = H1 [ (1 + y2)k(y) ] (x) ∈ L2(R). (4.6) −96− Giả sử h là hàm thoả mãn điều kiện (4.3), từ giả thiết f ∈ L2(R), h ∈ L2(R+) nên theo đẳng thức Parseval (2.48) đối với tích chập suy rộng (f ∗ 2 g) ta có (h ∗ 2 f)(x) = H1 [ (Fch)(y) · (H1f)(y) ] (x). (4.7) Từ các công thức (4.6) và (4.7), suy ra (Thf)(x) = ( 1− d 2 dx2 ) (h ∗ 2 f)(x) = ( 1− d 2 dx2 ) H1 [ (Fch)(y) · (H1f)(y) ] (x) = H1[(1 + y 2)(Fch)(y) · (H1f)(y)](x). (4.8) Theo điều kiện (4.3) ta có (1 + y2)(Fch)(y) bị chặn, (H1f)(y) ∈ L2(R) và f ∈ L2(R), do đó (1 + y2)(Fch)(y) · (H1f)(y) ∈ L2(R) hay Thf ∈ L2(R). Theo đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi tích phân Hartley ta có ‖f‖L2(R) = ‖H1f‖L2(R). Chú ý rằng, hàm h thoả mãn điều kiện (4.3) nên khi đó ‖g‖L2(R) = ‖Thf‖L2(R) =‖H1f‖L2(R) = ‖f‖L2(R). Vậy phép biến đổi (4.1) là đẳng cự trong L2(R). Mặt khác, do (1 + y2)(Fch)(y) · (H1f)(y) ∈ L2(R) hay g ∈ L2(R), nên suy ra (H1g)(y) = (1 + y 2)(Fch)(y) · (H1f)(y). (4.9) Do đó (H1g)(y) cũng thuộc không gian L2(R). Nhân hai vế của (4.9) với (1 + y2)(Fch) ta nhận được đẳng thức (1 + y2)(Fch)(y) · (H1g)(y) = (1 + y2)2(Fch) · (Fch)(y) · (H1f)(y). (4.10) Do điều kiện (4.3), nên từ công thức (4.10) suy ra (H1f)(y) = (1 + y 2)(Fch)(y) · (H1g)(y). (4.11) Cũng từ điều kiện (4.3), ta có |(1 + y2)(Fch)(y)| = 1, −97− suy ra (1 + y2)(Fch)(y) là hàm bị chặn trên R+. Vì (H1g)(y) ∈ L2(R), nên nhận được (1 + y2)(Fch)(y) · (H1g)(y) ∈ L2(R). Sử dụng công thức (4.6) và đẳng thức Parseval (2.48) ta có f(x) = H1 [ (1 + y2)(Fch)(y) · (H1g)(y) ] (x) = ( 1− d 2 dx2 ) H1 [ (H1g)(y) · (Fch)(y) ] (x) = ( 1− d 2 dx2 ) 1√ 2pi ∞∫ ∞ (H1g)(y) · (Fch)(y) cas(xy)]dy = ( 1− d 2 dx2 ) (h ∗ 2 g)(x). Vậy phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng cho bởi công thức (4.1) là unita trong L2(R) và nhận được phép biến đổi ngược của nó xác định bởi công thức (4.4). Điều kiện cần. Giả sử phép biến đổi tích phân (4.1) là unita trong L2(R) và có phép biến đổi ngược được cho bởi công thức (4.4). Khi đó theo đẳng thức Parseval (2.48), ta có ‖Thf‖L2(R) = ‖H1[(1 + y2)(Fch)(y) · (H1f)(y)]‖L2(R) = ‖(H1f)(y)[(1 + y2)(Fch)(y)]‖L2(R) = ‖H1f‖L2(R) = ‖f‖L2(R), ∀f ∈ L2(R). (4.12) Xét toán tử nhân Kθ[·] xác định bởi Kθ[f ](y) = θ(y)f(y), trong đó θ(y) = (1 + y2)(Fch)(y). Khi đó, công thức (4.12) có thể viết dưới dạng ‖H1f‖L2(R) = ‖Kθ[H1f ](y)‖L2(R), ∀f ∈ L2(R), suy ra toán tử nhân Kθ[·] là unita trong L2(R), điều này xảy ra khi và chỉ khi |(1 + y2)(Fch)(y)| = 1. Do đó, hàm h thoả mãn điều kiện (4.3). Định lý được chứng minh. 2 −98− Sau đây là một ví dụ đơn giản về sự tồn tại của hàm h thoả mãn điều kiện cho bởi công thức (4.3). Ví dụ 4.1.1. Giả sử h ∈ L2(R+), sự tồn tại của hàm h(x) thoả mãn điều kiện (4.3) là hiển nhiên, chẳng hạn h(x) = Fc [ 1 1 + y2 ] (x). Khi đó, ta dễ dàng tính được hàm h(x) ∈ L2(R+) xác định bởi h(x) = √ pi 2 e−x, x > 0. Bằng cách tương tự như chứng minh Định lý 4.1.1, ta cũng nhận được định lý kiểu Watson đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine Tkf sau đây. Định lý 4.1.2. Giả sử rằng f ∈ L2(R), k ∈ L2(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (4.2) là unita trong L2(R) xác định bởi |(Fsk)(y)| = 1 1 + y2 , y > 0. (4.13) Công thức ngược của toán tử Tkf trong L2(R) có dạng f(x) = ( T−1k g ) (x) := ( 1− d 2 dx2 ) (k ∗ 1 g)(x) = 1√ 2pi ( 1− d 2 dx2 ){ ∞∫ 0 [g(x− u)− g(x+ u)]k(u)du } . (4.14) Hơn nữa, ta có f(x) = ( T−1k g ) (x) = ( Tkg ) (x), x ∈ R. Ví dụ 4.1.2. Nhận thấy rằng, sự tồn tại của hàm k(x) thoả mãn điều kiện (4.13) là hiển nhiên. Thật vậy, với ϕ(y) là một hàm bất kỳ, ta xét k(x) = Fs [e−iϕ(y) 1 + y2 ] (x), −99− suy ra |(Fsk)(y)| = ∣∣∣e−iϕ(y) 1 + y2 ∣∣∣ = 1 1 + y2 . Trường hợp ϕ(y) ≡ 0, ta dễ dàng tính được hàm k(x) ∈ L2(R+) xác định bởi k(x) = Fs [ 1 1 + y2 ] (x) = 1√ 2 G2,11,3 ( 1 2 1 2 , 1 2 ,0 ∣∣∣x4 4 ) , trong đó, G2,11,3 là hàm Meijer G. 4.1.2 Định lý kiểu Plancherel Định lý 4.1.3. Giả sử h ∈ L2(R) ∩ C2(R) và là hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp 2, thoả mãn điều kiện (4.3) sao cho H(x) = ( 1− d 2 dx2 ) h(x) là hàm bị chặn. Nếu f ∈ L2(R), thì với mỗi số tự nhiên N , ta đặt gN(x) = 1√ 2pi N∫ −N f(u)[H(x+ u) +H(x− u)]du, x ∈ R. (4.15) Khi đó; 1) gN ∈ L2(R). 2) Khi N → ∞ thì dãy hàm {gN(x)} hội tụ theo chuẩn trong L2(R) tới hàm g(x) = (Thf)(x) ∈ L2(R) và thỏa mãn ‖g‖L2(R) = ‖f‖L2(R). 3) Đặt gN = g.χ(−N,N), ở đây χI là hàm đặc trưng trên khoảng hữu hạn I. Khi đó fN(x) = ( 1− d 2 dx2 ) (gN ∗ 2 h)(x), (4.16) cũng thuộc không gian L2(R) và dãy hàm {fN(x)} hội tụ theo chuẩn trong L2(R) tới hàm f(x) ∈ L2(R) khi N →∞. Chứng minh. Theo giả thiết h ∈ L2(R) ∩ C2(R), H(x) là hàm bị chặn trên R. Để ý rằng tích phân của các hàm fN và gN là xác định trên khoảng hữu hạn −100− nên chúng hiển nhiên hội tụ. Hơn nữa, ta có thể thực hiện đổi thứ tự đạo hàm và tích phân, do đó gN(x) = 1√ 2pi N∫ −N f(u) ( 1− d 2 dx2 ) [h(x+ u) + h(x− u)du, x ∈ R. (4.17) 1) Đặt fN = f.χ(−N,N), thỏa mãn fN ∈ L2(R), sao cho gN(x) = ( 1− d 2 dx2 ) ∞∫ −∞ fN(u)[h(x+ u) + h(x− u)]du = ( 1− d 2 dx2 ) (fN ∗ 2 h)(x) = (Thf N)(x). (4.18) Theo Định lý 4.1.1, suy ra gN ∈ L2(R). 2) Giả sử g là ảnh của hàm f qua toán tử Thf xác định bởi công thức (4.1), khi đó g(x) = ( 1− d 2 dx2 ) (h ∗ 2 f)(x) = (Thf)(x). (4.19) Theo Định lý 4.1.1 ta có g ∈ L2(R). Trừ vế của hai công thức (4.18) và (4.19), ta có (gN − g)(x) = ( 1− d 2 dx2 ) [(fN − f) ∗ 2 h](x) = [Th(f N − f) ∗ 2 h](x). Do (fN − f) ∈ L2(R) và điều kiện (4.3) được thỏa mãn. Theo Định lý 4.1.1, ta có (gN − g) ∈ L2(R) và nhận được ‖gN − g‖L2(R) = ‖fN − f‖L2(R). Mặt khác, vì ‖fN − f‖L2(R) → 0 khi N →∞. Do đó gN → g trong L2(R) khi N →∞. Suy ra ‖f‖L2(R) = ‖Thf‖L2(R) = ‖g‖L2(R). 3) Khi gN = g.χ(−N,N), ta có fN(x) := ( 1− d 2 dx2 ) (gN ∗ 2 h)(x) = (Thg N)(x). (4.20) −101− Nhận thấy rằng, hàm g thuộc không gian L2(R) nên gN ∈ L2(R), và h thỏa mãn điều kiện (4.3). Theo Định lý 4.1.1 ta có fN ∈ L2(R), suy ra g(x) = (Thf)(x) là unita trong L2(R) và nhận được phép biến đổi ngược sau đây f(x) = (T−1h f)(x) = (Thf)(x) = ( 1− d 2 dx2 ) (h ∗ 2 f)(x). (4.21) Từ các công thức (4.20) và (4.21), ta có (fN − f)(x) = ( 1− d 2 dx2 ) [(gN − g) ∗ 2 h](x) = [Th(g N − g)](x). Do (gN − g) ∈ L2(R) và h là hàm thỏa mãn điều kiện (4.3) nên ta có ‖fN − f‖L2(R) = ‖gN − g‖L2(R). Vì gN → g khi N →∞, suy ra fN → f khi N →∞. Định lý được chứng minh. 2 Với kỹ thuật chứng minh tương tự, ta nhận được định lý kiểu Plancherel về tính xấp xỉ của hàm g(x) = (Tkf)(x) trong không gian L2(R) đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Harley-Fourier sine sau đây. Định lý 4.1.4. Giả sử rằng k ∈ L2(R)∩C2(R), và thỏa mãn điều kiện (4.13) sao cho K(x) = ( 1 − d 2 dx2 ) k(x) là một hàm bị chặn. Khi f ∈ L2(R), với bất kỳ số nguyên dương N , ta đặt gN(x) = 1√ 2pi N∫ −N f(u)[K(x− u)−K(x+ u)]du, x ∈ R. (4.22) Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng 1) gN ∈ L2(R) và {gN(x)} hội tụ theo chuẩn đến hàm g(x) = (Tkf)(x) ∈ L2(R) khi N →∞, và thỏa mãn ‖g‖L2(R) = ‖f‖L2(R). 2) Đặt gN = g.χ(−N,N), ở đây χI là hàm đặc trưng trên khoảng hữu hạn I. Khi đó fN(x) = ( 1− d 2 dx2 ) (gN ∗ 1 h)(x), (4.23) hội tụ theo chuẩn đến hàm f(x) ∈ L2(R) khi N →∞. −102− 4.1.3 Tính bị chặn của toán tử vi-tích phân Để xét tính bị chặn của các toán tử Thf, Tkf đối với các phép biến đổi tích phân dạng (4.1), (4.2) trong không gian Lp(R), 1 6 p 6 2, ta sẽ áp dụng Định lý nội suy Riesz 1.1.2. Định lý 4.1.5. Giả sử rằng h ∈ L2(R)∩C2(R), sao cho h(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên R và thỏa mãn điều kiện (4.3), H(x) = ( 1 − d 2 dx2 ) h(x) là hàm bị chặn trên R. Khi đó, Th là toán tử bị chặn từ Lp(R) vào Lq(R), với 1 6 p 6 2 và p là số mũ liên hợp của q. Hơn nữa, phép toán sau là toán tử bị chặn từ không gian Lp(R) vào Lq(R) Thf = lim N→∞ ( 1− d 2 dx2 ) (fN ∗ 2 h), (4.24) ở đây, giới hạn trong công thức trên được hiểu theo nghĩa chuẩn trên không gian Lq(R) và fN = f · χ(−N,N). Chứng minh. Từ công thức (4.1) và giả thiết H(x) là hàm bị chặn, ta có thể đổi thứ tự đạo hàm và tích phân, khi đó (Thf)(x) = 1√ 2pi ∞∫ 0 [H(x+ u) +H(x− u)]f(u)du. VìH(x) là hàm bị chặn trên R, nên tồn tại một số C > 0 sao choH(x) 6 C, ∀x. Do đó, ta có đánh giá sau |(Thf)(x)| 6 2C · 1√ 2pi ∞∫ 0 |f(u)|du = √ 2 pi C · ‖f‖L1(R). (4.25) Suy ra, Th là toán tử bị chặn từ L1(R) vào L∞(R). Mặt khác, theo Định lý 4.1.3, toán tử Th là bị chặn trong L2(R). Do đó, theo Định lý nội suy Riesz 1.1.2, suy ra toán tử Th cũng bị chặn từ không gian Lp(R) vào không gian Lq(R), ở đây p, q là các số liên hợp của nhau và p được xác định như sau 1 p = 1− α 1 + α 2 , trong đó 0 6 α 6 1 hay 1 6 p 6 2. Định lý được chứng minh. 2 −103− Nhận xét 4.1.1. Ta có thể mở rộng các định lý trên đối với toán tử vi phân tổng quát hơn bằng cách thay toán tử vi phân D = ( 1− d 2 dx2 ) trong các định lý trước đã xét thành toán tử vi phân tổng quát có dạng D = n∑ k=0 (−1)kak d 2k dx2k , n ∈ N, (4.26) trong đó ak (k = 0, n) là các hằng số sao cho đa thức P (y) = n∑ k=0 (−1)kaky2k không có không điểm thực. Khi đó, điều kiện (4.3) để phép biến đổi tích phân là unita trở thành |(Fch)(y)| = 1n∑ k=0 (−1)kaky2k . (4.27) Như vậy, toán tửD = ( 1− d 2 dx2 ) là trường hợp đặc biệt khi n = 1, a0 = a1 = 1. Bằng cách tương tự như chứng minh Định lý 4.1.5, ta chứng minh được tính bị chặn của toán tử Tkf trong không gian Lp(R), 1 6 p 6 2 đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine sau đây. Định lý 4.1.6. Giả sử k ∈ L2(R) ∩ C2(R) và thỏa mãn điều kiện (4.13), K(x) = ( 1− d 2 dx2 ) k(x) là hàm bị chặn trong R. Khi đó, Tk là toán tử bị chặn từ Lp(R) vào Lq(R), với 1 6 p 6 2 và p là số mũ liên hợp của q. Hơn nữa, phép biến đổi tích phân sau là toán tử bị chặn từ Lp(R) vào Lq(R) Tkf = lim N→∞ ( 1− d 2 dx2 ) (fN ∗ 1 k). (4.28) ở đây, giới hạn này được hiểu theo nghĩa chuẩn trong không gian Lq(R) và fN = f · χ(−N,N). Nhận thấy rằng, các công thức (4.24) và (4.28) có thể được viết dưới dạng g(x) = lim N→∞ (Thf N)(x), g(x) = lim N→∞ (Tkf N)(x). −104− Nhận xét 4.1.2. Bằng cách tương tự như trong chứng minh các Định lý 4.1.5, Định lý 4.1.6, ta cũng chứng minh được các toán tử ngược Thg và Tkg xác định bởi các phép biến đổi sau là các toán tử bị chặn từ Lp(R) vào Lq(R), với 1 6 p 6 2 và p là số liên hợp của q. Thg = lim N→∞ ( 1− d 2 dx2 ) (gN ∗ 2 h), (4.29) Tkg = lim N→∞ ( 1− d 2 dx2 ) (gN ∗ 1 k), (4.30) ở đây, giới hạn trong các công thức trên được hiểu theo nghĩa chuẩn trên không gian Lq(R), trong đó gN = g · χ(−N,N). Các công thức (4.29) và (4.30) cũng có thể được viết dưới dạng f(x) = lim N→∞ (Thg N)(x), f(x) = lim N→∞ (Tkg N)(x). 4.1.4 Ví dụ Ví dụ sau đây cho ta thấy sự tồn tại của hàm h thoả mãn điều kiện (4.3). Ví dụ 4.1.3. Giả sử h ∈ L2(R+) thoả mãn |(Fch)(y)| = 1 (1 + y2)n . Sự tồn tại của hàm h(x) thoả mãn điều kiện (4.3) là hiển nhiên, chẳng hạn h(x) = Fc [ 1 (1 + y2)n ] (x). Khi đó, ta dễ dàng tính được hàm h(x) ∈ L2(R+) xác định bởi h(x) = 1 Γ(n) [ 2−nx− 1 2+nK 1 2−n(x) ] , x > 0, ở đây, Γ là hàm Gamma, K là hàm Bessel. Trong các ví dụ tiếp theo, ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể của hàm h thoả mãn điều kiện (4.3). −105− Ví dụ 4.1.4. Ta chọn (Fch)(y) = eiy 1 + y2 . (4.31) Dễ thấy, hàm h xác định như trên thoả mãn điều kiện (4.3) với nhân Fourier cosine. Do vậy, ta có thể viết (Fch)(y) dưới dạng sau (Fch)(y) = cos y 1 + y2 + i sin y 1 + y2 . (4.32) Khi đó h1(x) = Fc [ cos y 1 + y2 ] (x) = 1√ 2pi ∞∫ 0 cos y cosxy 1 + y2 dy = 1 2 √ 2pi ∞∫ 0 cos(x+ 1)y − cos(x− 1)y 1 + y2 dy = Fc [ 1 1 + y2 ] (x+ 1) + Fc [ 1 1 + y2 ] (x− 1) = 1 2 [pi 2 e−x+1 + pi 2 e−x−1 ] . Mặt khác, ta có h2(x) = Fc [ sin y 1 + y2 ] (x) = 1√ 2pi ∞∫ 0 sin y cosxy 1 + y2 dy = 1 2 √ 2pi ∞∫ 0 sin(x+ 1)y − sin(x− 1)y 1 + y2 dy = 1 2 ( Fs [ 1 1 + y2 ] (x+ 1) + Fs [ 1 1 + y2 ] (x− 1) ) = 1 2 √ 2 [ G2,11,3 ( 1 2 1 2 , 1 2 ,0 ∣∣∣(x+ 1)2 4 ) +G2,11,3 ( 1 2 1 2 , 1 2 ,0 ∣∣∣(x+ 1)2 4 )] , trong đó G2,11,3 là hàm Meijer G xác định bởi công thức (1.40). Suy ra, hàm h được xác định như sau h(x) = Fc [ eiy 1 + y2 ] (x) = h1(x) + ih2(x). −106− Ví dụ 4.1.5. Giả sử h ∈ L2(R+) thoả mãn (Fch)(y) = e−ik (a2 + y2)k+1 , thì hàm h(x) thoả mãn điều kiện (4.3), ta có h(x) = Fc [ e−ik (a2 + y2)k+1 ] (x). Khi đó, với Γ là hàm Gamma, K là hàm Bessel, ta dễ dàng tính được hàm h xác định bởi h(x) = 1 Γ(k + 1) [ 2−ka− 1 2−ke−ikx 1 2+kK− 12−k(ax) ] , x > 0. Ví dụ 4.1.6. Chọn (Fch)(y) = 1 + iy (1 + y2) √ 1 + y2 . Với K là hàm Bessel, ta có h1(x) = Fc [ 1 (1 + y2) √ 1 + y2 ] (x) = √ 1 pi xK1(x). Mặt khác, ta tính được h2(x) =Fc [ y (1 + y2) √ 1 + y2 ] (x) = 1√ 2pi ( − pixI0(x) + 2 1F2 ( 1; {1 2 , 1 2 } ; x2 4 )) , ở đây I là một dạng hàm Bessel, 1F2 là hàm siêu bội suy rộng. Khi đó, theo công thức (1.44) ta có 1F2 ( 1; {1 2 , 1 2 } ; x2 4 ) = ∞∑ k=0 (1)k (12)k · (12)k · 1 k! (x2 4 )k , −107− do đó nhận được h2(x) = 1√ 2pi ( − pixI0(x) + 2 ∞∑ k=0 (1)k (12)k · (12)k · 1 k! (x2 4 )k) . Suy ra hàm h(x) xác định bởi h(x) = h1(x) + ih2(x). Chú ý rằng, kết quả của các ví dụ trên hoàn toàn có thể kiểm tra bằng cách dùng phần mềm Mathematica 5.2. 4.2 Ứng dụng Trong phần này, ta xây dựng phương trình và hệ phương trình vi-tích phân đối với các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley, nhận được công thức nghiệm đóng cho lớp phương trình và hệ phương trình này, nhận được công thức biểu diễn nghiệm ở dạng tường minh đối với phương trình đạo hàm riêng parabolic. 4.2.1 Phương trình vi-tích phân Xét bài toán vi-tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine có dạng f(x) + n∏ k=1 ( (2k − 1)2 − d 2 dx2 ) (h ∗ 2 f)(x) = g(x), x ∈ R, d2k−1 dx2k−1 f(0) = 0, k = 1, n, lim x→∞f (k)(x) = 0, k = 0, 2n− 1, (4.33) trong đó f là ẩn hàm và h ∈ L1(R+), g ∈ L1(R) là các hàm cho trước, sao cho h(x) = ( h1(t) ∗ Fc sech t ) (x), h1 ∈ L1(R+), (4.34) ở đây sech t = 1 cosh(t) . −108− Định lý 4.2.1. Giả sử rằng 1 + √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) 6= 0, ∀y > 0. (4.35) Khi đó, bài toán (4.33) có nghiệm duy nhất trong L1(R) xác định như sau f(x) = g(x)− (l ∗ 2 g ) (x), (4.36) trong đó, l là hàm thuộc không gian L1(R+), xác định bởi (Fcl)(y) = √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) 1 + √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) . (4.37) Chứng minh. Áp dụng phép biến đổi tích phân Hartley H1 cho cả hai vế của phương trình trong bài toán (4.33), và sử dụng đẳng thức nhân tử hoá (2.46), ta có (H1f)(y) + n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch)(y) · (H1f)(y) = (H1g)(y). (4.38) Từ công thức (4.34) và đẳng thức nhân tử hóa của tích chập (· ∗ Fc ·), ta viết được phương trình trên dưới dạng sau (H1f)(y) + n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) · Fc(sech t)(y) · (H1f)(y) = (H1g)(y). Từ đó và từ công thức (1.9.1) trong [10] ta có (H1f)(y)+ √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2+(2k−1)2)(Fch1)(y)·(H1f)(y) = (H1g)(y). (4.39) Theo công thức (1.9.4) trong [10], ta có (H1f)(y) + (2n)!Fc ( sech2n+1 t ) (y) · (Fch1)(y) · (H1f)(y) = (H1g)(y), −109− tương đương với (H1f)(y) [ 1 + (2n)!Fc ( sech2n+1 t ) (y) · (Fch1)(y) ] = (H1g)(y). Do điều kiện (4.35) nên nhận được (H1f)(y) = (H1g)(y) 1 + (2n)!Fc ( sech2n+1 t ) (y) · (Fch1)(y) , (4.40) suy ra (H1f)(y) = (H1g)(y) [ 1− (2n)!Fc ( sech2n+1 t ) (y) · (Fch1)(y) 1 + (2n)!Fc ( sech2n+1 t ) (y) · (Fch1)(y) ] = (H1g)(y) [ 1− (2n)!Fc ( h1(t) ∗ Fc sech2n+1 t ) (y) 1 + (2n)!Fc ( h1(t) ∗ Fc sech2n+1 t ) (y) ] . (4.41) Mặt khác ta có (2n)!Fc ( sech2n+1 t ) (y)(Fch1)(y) 1 + (2n)!Fc ( sech2n+1 t ) (y)(Fch1)(y) = = √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) 1 + √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) . (4.42) Từ các công thức (4.41), (4.42) và từ điều kiện (4.35), theo Định lí Wiener-Lévy 1.1.1, tồn tại duy nhất hàm l ∈ L1(R+) sao cho (Fcl)(y) = (2n)!Fc ( h1 ∗ Fc sech2n+1 t ) (y) 1 + (2n)!Fc ( h1 ∗ Fc sech2n+1 t ) (y) = √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) 1 + √ pi 2 sech piy 2 n∏ k=1 ( y2 + (2k − 1)2)(Fch1)(y) . (4.43) −110− Vậy phương trình (4.40) trở thành (H1f)(y) = [ 1− (Fcl)(y) ] (H1g) = (H1g)(y)−H1(l ∗ 2 g)(y). Suy ra nghiệm duy nhất của phương trình trong bài toán (4.33) có dạng (4.36). Vì g ∈ L1(R), l ∈ L1(R+) và theo tính chất của tích chập suy rộng Hartley- Fourier cosine, suy ra f ∈ L1(R). Định lý được chứng minh. 2 Nhận xét 4.2.1. Từ bài toán (4.33), ta xét trường hợp riêng k = 1, khi đó n∏ k=1 ( − d 2 dx2 + (2k − 1)2 ) = ( 1− d 2 dx2 ) . Do đó, bài toán (4.33) trở thành f(x) + (Thf)(x) = g(x), x ∈ R, (4.44) với điều kiện như sau f ′(0) = 0, lim x→∞ f(x) = limx→∞ f ′(x) = 0, trong đó f là ẩn hàm, g ∈ L1(R), h ∈ L1(R+) là những hàm đã biết. Ta dễ dàng chứng minh được nghiệm của bài toán này bởi định lý sau đây Định lý 4.2.2. Giả sử hàm h1 ∈ L1(R+) thỏa mãn điều kiện 1 + √ pi 2 sech piy 2 ( y2 + 1 ) (Fch1)(y) 6= 0, ∀y ∈ R+, (4.45) l ∈ L1(R+) là hàm được xác định như sau (Fcl)(x) = √ pi 2 sech piy 2 ( y2 + 1 ) (Fch1)(y) 1 + √ pi 2 sech piy 2 ( y2 + 1 ) (Fch1)(y) . (4.46) Khi đó, phương trình vi-tích phân (4.44) có nghiệm duy nhất trong L1(R) xác định bởi công thức f(x) = g(x)− (l ∗ 2 g)(x), ∀x ∈ R. (4.47) −111− 4.2.2 Phương trình parabolic tuyến tính Xét phương trình parabolic sau đây ∂u(x, t) ∂t = −∂ 2u(x, t) ∂x2 − Th(u)(x, t) (4.48) trong đó, u(x, t) là hàm chưa biết, ta chọn hàm nhân h(y) sao cho (Fch)(y) = 1 1 + y2 , do đó thỏa mãn điều kiện (4.3). Áp dụng phép biến đổi Hartley đối với x cho cả hai vế của phương trình (4.48), và đặt (H1u)(y, t) = U(y, t) ta nhận được phương trình vi phân sau d dt U(y, t) = −y2U(y, t)− (1 + y2)(Fch)(y)U(y, t), tương đương với d dt U(y, t) = −(1 + y2)U(y, t). Khi đó, nghiệm của phương trình này có dạng U(y, t) = e−(1+y 2)C(y)t. (4.49) Chọn C(y) ≡ 1 và áp dụng phép biến đổi Hartley ngược, ta nhận được nghiệm của phương trình (4.48) như sau u(x, t) = √ 2e−t− x2 4t ( 1 + Erfi ( x 2 √ t )) 4 √ t , (4.50) ở đây Erfi(t) là hàm sai số ảo. 4.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân Xét hệ hai phương trình vi-tích phân đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine có dạng f(x) + (Thg)(x) = p(x), g(x) + (Thf)(x) = q(x), (4.51) −112− với các điều kiện ban đầu f ′(0) = 0, g′(0) = 0, lim x→∞ f(x) = limx→∞ f ′(x) = 0 = lim x→∞ g(x) = limx→∞ g ′(x). (4.52) Trong đó, các toán tử Th, Th xác định bởi (Thg)(x) := 1√ 2pi ( 1− d 2 dx2 ){ ∞∫ 0 [g(x+ u) + g(x− u)]h(u)du } , ( Thf ) (x) := 1√ 2pi ( 1− d 2 dx2 ){ ∞∫ 0 [f(x+ u) + f(x− u)]h(u)du } , và các hàm h, h ∈ L1(R+) xác định như sau h(x) = ( h1(τ) ∗ Fc sech τ ) (x), h(x) = ( h1(τ) ∗ Fc sech τ ) (x), (4.53) với f, g ∈ L1(R) là các ẩn hàm; h, h1, h, h1, p, q là các hàm đã biết, và các hàm h1, h1 ∈ L1(R+); p, q ∈ L1(R). Định lý sau đây cho phép ta xác định được điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của hệ phương trình vi-tích phân (4.51). Định lý 4.2.3. Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn 1− pi 2 (1 + y2)2 sech2 piy 2 |(Fch1)(y)|2 6= 0, ∀y ∈ R, (4.54) và giả sử hàm l ∈ L1(R+) xác định như sau (Fcl)(y) = pi 2 (1 + y2)2 sech2 piy 2 |(Fch1)(y)|2 1− pi 2 (1 + y2)2 sech2 piy 2 |(Fch1)(y)|2 . (4.55) Khi đó, hệ phương trình vi-tích phân (4.51) với điều kiện ban đầu (4.52) có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R)× L1(R) xác định bởi f(x) =p(x) + (l ∗ 2 p)(x)− 2 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 q ) (x) − 2 [ l ∗ 2 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 q )] (x). −113− g(x) =q(x) + (l ∗ 2 q)(x)− 2 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 p ) (x) − 2 [ l ∗ 2 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 p )] (x). (4.56) Chứng minh. Áp dụng phép biến đổi Hartley H1 cho cả hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ (4.44) và đẳng thức nhân tử hóa (2.46), ta có (H1p)(y) = (H1f)(y) + (1 + y 2)H1(h ∗ 2 g)(y) = (H1f)(y) + (1 + y 2)(Fch)(y) · (H1g)(y). Theo công thức (4.53), (1.11) và (1.9.4) trong [10], ta nhận được (H1p)(y) = (H1f)(y) + (1 + y 2)[(Fch1)(y) · Fc(sech τ)(y)](H1g)(y) = (H1f)(y) + (1 + y 2)(Fch1)(y) · Fc(sech τ)(y) · (H1g)(y) = (H1f)(y) + √ pi 2 (1 + y2) sech piy 2 (Fch1)(y) · (H1g)(y) = (H1f)(y) + 2Fc(sech 3 τ)(y)(Fch1)(y) · (H1g)(y), tương đương với (H1p)(y) = (H1f)(y) + 2Fc(h1 ∗ Fc sech3 τ)(y) · (H1g)(y). (4.57) Bằng kỹ thuật tương tự ta có (H1q)(y) = (H1g)(y) + (1 + y 2)H1(h ∗ 2 f)(y), suy ra (H1q)(y) = (H1g)(y) + 2Fc(h1 ∗ Fc sech3 τ)(y) · (H1f)(y). (4.58) Từ các công thức (4.57) và (4.58) suy ra hệ (4.51) viết được dưới dạng (H1f)(y) + 2Fc(h1 ∗ Fc sech3 τ)(y) · (H1g)(y) = (H1p)(y), 2Fc(h1 ∗ Fc sech3 τ)(y) · (H1f)(y) + (H1g)(y) = (H1q)(y). (4.59) −114− Xét hệ (4.59) ta nhận được ∆ = 1− 4Fc [ (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ Fc (h1 ∗ Fc sech3 τ) ] (y) = 1− pi 2 (1 + y2)2 sech2 piy 2 |(Fch1)(y)|2. (4.60) Từ điều kiện (4.54), theo Định lí Wiener-Lévy 1.1.1 tồn tại hàm l ∈ L1(R+) sao cho công thức (4.55) thỏa mãn. Do đó, ta nhận được 1 ∆ = 1 + 4Fc [ (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ Fc (h1 ∗ Fc sech3 τ) ] (y) 1− 4Fc [ (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ Fc (h1 ∗ Fc sech3 τ) ] (y) = 1 + pi 2 (1 + y2)2 sech2 piy 2 |(Fch1)(y)|2 1− pi 2 (1 + y2)2 sech2 piy 2 |(Fch1)(y)|2 = 1 + (Fcl)(y). Khi đó, giải hệ (4.59) đối với (H1f)(y) và (H1g)(y), ta có ∆1 = (H1p)(y)− 2H1 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 q) ) (y), ∆2 = (H1q)(y)− 2H1 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 p) ) (y). Từ đó, nhận được hệ sau (H1f)(x) =(H1p)(x) +H1(l ∗ 2 p)(x)− 2H1 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 q ) (x) − 2H1 [ l ∗ 2 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 q )] (x). (H1g)(x) =(H1q)(x) +H1(l ∗ 2 q)(x)− 2H1 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 p ) (x) − 2H1 [ l ∗ 2 ( (h1 ∗ Fc sech3 τ) ∗ 2 p )] (x). Nhận thấy rằng, các biểu thức trên là đúng với mọi x ∈ R, điều này tương đương với nghiệm cần tìm của hệ phương trình vi-tích (4.51) là công thức (4.56). Do các hàm p, q thuộc không gian L1(R), các hàm h, h1, h, h1, l ∈ L1(R+), nên theo Định lý 2.2.1, suy ra f ∈ L1(R), g ∈ L1(R), và chúng thỏa mãn điều kiện (4.54). Định lý được chứng minh. 2 −115− Kết luận chương 4 Trong chương này đã nhận được một số kết quả sau: • Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley- Fourier cosine, Hartley-Fourier sine và nhận được các toán tử ngược tương ứng. • Nhận được các định lý kiểu Watson, kiểu Plancherel trong L2(R). Chứng minh được tính bị chặn của các toán tử tích phân này trong không gian Lp(R), 1 6 p 6 2. • Xây dựng được các ví dụ cụ thể minh họa cho sự tồn tại của các toán tử tích phân kiểu tích chập suy rộng đã nghiên cứu, làm rõ hơn sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân trên. • Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được công thức biểu diễn nghiệm của lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic. −116− KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận án đã đạt được: • Xây dựng được các tích chập suy rộng Hartley mới như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier, Hartley H1 và H2. Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval và định lý kiểu Titchmarch, định lý kiểu Wiener-Levy. • Nhận được các bất đẳng thức tích chập suy rộng kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, kiểu Young và kiểu Hausdorff-Young của các tích chập suy rộng mới xây dựng. Áp dụng các bất đẳng thức thu được để đưa ra các đánh giá nghiệm của phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel và một số bài toán Toán-Lý. • Xây dựng được hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine Th, Hartley-Fourier sine Tk và nhận được các toán tử ngược tương ứng T−1h , T −1 k . Nhận được các định lý kiểu Watson, định lý kiểu Plancherel trong L2(R), tính bị chặn trong không gian Lp(R) với 1 6 p 6 2. • Ứng dụng các kết quả nhận được giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân, phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình đạo hàm riêng parabolic một chiều. 117 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Một số vấn đề cần nghiên cứu tiếp theo như sau: • Nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Hartley trên thang thời gian và ứng dụng vào các bài toán toán lý. • Mở rộng các kết quả nghiên cứu trong luận án trong các không gian n chiều (n > 2). • Nghiên cứu các ứng dụng của luận án vào việc giải một số bài toán thực tiễn. 118 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1. Thao N.X., Tuan V.K, and Anh H.T.V. (2014), On the Toeplitz plus Hankel integral equation II, Integral Transforms and Special Functions, Vol. 25, No. 1, pp. 75-84, (ISI). 2. Thao N.X., and Anh H.T.V. (2014), On the Hartley - Fourier sine gener- alized convolution, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol. 37, Issue 15, pp. 2308-2319, (ISI). 3. Anh H.T.V., and Thao N.X. (2015), Hartley-Fourier cosine generalized convolution inequalities,Mathematical Inequalities and Applications, Vol. 18, No. 4, pp. 1393-1408, (ISI). 4. Thao N.X., and Anh H.T.V. (2015), Hartley-Fourier sine generalized con- volution inequalities, Kỷ yếu hội nghị quốc tế về ứng dụng toán học, nhà xuất bản Thông tin và Truyền thông, pp. 120-131. 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Đình Áng (2009), Biến đổi tích phân, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [2] Nguyễn Thủy Thanh (2007), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội. [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] Phan Quốc Khánh (2000), Toán chuyên đề, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Tiếng Anh [6] Adams R.A., and Fournier J.J.F. (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Aca- demic Press, New York, Amsterdam, Elsevier Science. [7] Al-Musallam F., and Tuan V.K. (2000), Integral transforms related to a generalized convolution, Results in Mathematics, Vol. 38, No. 3, pp. 197- 208. [8] Al-Musallam F., and Tuan V.K. (2000), A class of convolution transforms, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol. 3, Issue 3, pp. 303-314. [9] Anh P.K., Tuan N.M., and Tuan P.D. (2013), The finite Hartley new con- volutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 397, Is- sue 2, pp. 537–549. [10] Bateman H., and Erdelyi A. (1954), Table of Integral Transforms, New York-Toronto-London, Vol. I. McGraw-Hill Book Company, Inc. 120 [11] Bo¨ttcher A., and Silbermann B. (2009), Analysis of Toeplitz Operators: Second Edition, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. [12] Bracewell R.N. (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Clarendon Press, New York. [13] Britvina L.E. (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Integral Transforms and Special Functions, Vol. 16, Issue 5-6, pp. 379-389. [14] Duoadikoetxea J. (2001), Fourier Analysis, AMS. Providence, Rhode Is- land. [15] Bouzeffour F. (2014), The generalized Hartley transform, Integral Trans- forms and Special Functions, Vol. 25, Issue 3, pp. 230-239. [16] Giang B.T., Mau N.V., and Tuan N.M. (2009), Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions, Integral Equations and Operator Theory, Vol. 65 Issue 3, pp. 363-386. [17] Giang B. T., and Tuan N. M. (2010), Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type, Complex Variables and Elliptic Equations, Vol. 55, No. 4, pp. 331–345. [18] Gradshteyn, Ryzhik. (2007), Tables of integrals, series, and products, 7ed., Academic Press. [19] Hai N.T., Yakubovich S. B., and Wimp J. (1992), Multidimensional Wat- son transform. International Journal of Mathematics and Statistics, Vol. 1, No. 1, pp. 105-119. [20] Hong N.T. (2010), Fourier cosine convolution inequalities and applications, Integral Transforms Special Functions, Vol. 21, Issue 10, pp. 755-763. [21] Paraskevas I., Barbarosou M., and Chilton E. (2015), Hartley transform and the use of the Whitened Hartley spectrum as a tool for phase spectral processing, The Journal of Engineering, Accepted on 9th February. [22] Kakichev V.A. (1967), On the convolution for integral transforms, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, Vol. 2, pp. 53-62. (In Rus- sian). −121− [23] Kakichev V.A., and Thao N.X. (1998), On the design method for the gen- eralized integral convolutions, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, Vol. 1, pp. 31-40. (In Russian). [24] Kakichev V.A., Thao N.X., and Tuan V.K. (1998), On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East- West Journal of Mathematics, Vol. 1, No. 1, pp. 85-90. [25] Luchko Y. (2008), Integral transforms of the Mellin convolution type and their generating operators, Integral Transforms and Special Functions, Vol. 19, Issue 11, pp. 809-851. [26] Nhan N.D.V., and Duc D.T. (2008), Reverse weighted Lp−norm inequal- ities and their applications, Journal of Mathematical Inequalities, Vol. 2, No. 1, pp. 57-73. [27] Nhan N.D.V., Duc D.T., and Tuan V.K. (2009), On some reverse weighted Lp(R+)− norm inequalities in convolution and their applications, Math- ematical Inequalities and Applications, Vol. 12, No. 1, pp. 67-80. [28] Nikiforov F., and Uvarov B. (1988), Special Functions of Mathemati- cal Physics: A Unified Introduction with Applications. Birkhauser Verlag Basel. [29] Olejniczak K.J. (2000), The Hartley transform, The Transform and Appli- cations Handbook, edited by A. D. Poularikas, 2nd Edition, The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, pp. 341-401. [30] Paley R.E.A.C., and Wiener N. (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain. AMS, New York. [31] Poularikas A.D. (2010), Transforms and Applications Handbook, CRC Press, Taylor and Francis Group. [32] Przeworska-Rolewicz D., and Rolewicz S. (1968), Equations in Linear Spaces, PWN-Polish Scientific Pub., Warszawa. [33] Sneddon I.N. (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York. −122− [34] Sneddon I.N. (1972), The Use of Integral Transforms, Mc Gray-Hill. NewYork. [35] Stein E.M., and Weiss G. (1971), Introduction to Fourier Analysis on Eu- clidean Space, Princeton Univ. Press. [36] Saitoh S. (2000), Weighted Lp-norm inequalities in convolution, Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, pp. 225- 234. [37] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M. (2003), Convolution inequalities and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 4, Issue 3, pp. 1-8. [38] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M. (2000), Reverse weighted Lp- norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol.1, Issue 1, Article 7. [39] Saitoh S., Tuan V.K., and Yamamoto M. (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 3, Issue 5, pp. 1-11. [40] Thao N.X., and Khoa N.M. (2006), On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier sine and cosine transforms, Integral Trans- forms and Special Function, Vol. 17, No. 9, pp. 673-685. [41] Thao N.X., Tuan V.K., and Hong N.T. (2007), Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, pp. 1-11. [42] Hong N.T., Tuan T., and Thao N.X. (2013), On the Fourier cosine- Kontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications of Mathematics, Vol. 58, Issue 4, pp. 473-486. [43] Thao N.X., Tuan V.K., and Hong N.T. (2008), Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equations, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol. 11, No. 2, pp. 153-174. −123− [44] Thao N.X., and Hong N.T. (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam Journal of Math- ematics, Vol. 6, No. 1, pp. 83-101. [45] Thao N.X., Tuan V.K., and Hong N.T. (2011), Toeplitz plus Hankel integral equations, Integral Transforms and Special Functions, Vol. 22, Issue 10, pp. 723-737. [46] Titchmarch E.C. (1986), Introduction to the Theory of Fourier integrals, 3rd Ed, Chelsea publishing Co., NewYork. [47] Tsitsiklis J. N., and Levy B.C. (1981), Integral equations and resolvents of Toeplitz plus Hankel kernels, Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology. Series/Report No.: LIDS- P 1170. [48] Vilenkin Y.Ya. (1958),Matrix elements of midecomsale unitary representa- tions for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler- Fox transforms, Doklady Akademii Nauk SSSR, Vol. 118, No. 2, pp. 219- 222. (In Russian). [49] Tuan V.K., and Yakubovich S.B. (1992), A criterion for a two-sided in- tegral transform to be unitary. Ukrainian Mathematical Journal, Vol. 44, Issue 5, pp. 630-632. [50] Tuan V.K. (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 229, Issue 2, pp. 519-529. [51] Xiao-Hua L. (1990), On the inverse of Ho¨lder inequality, Math. Practice and Theory, Vol. 1, pp. 84-88. [52] Yakubovich S.B. (1990), On the construction method for construction of integral convolution, Doklady Akademii Nauk SSSR, Vol. 34, No. 7, pp. 588-591. [53] Yakubovich S.B., and Luchko Yu.F. (1991), The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions, Kluwer Academic Publishers. −124− [54] Yakubovich S.B., and Mosinski A.I. (1993), Integral-equation and convo- lutions for transform of Kontorovich-Lebedev type, Differential Equations (Differentsial’nye Uravneniya), Vol. 29, No. 7, pp. 1107-1118. (In Russian). [55] Yakubovich S.B. (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collectanea Mathematica, Vol. 54, No. 2, pp. 99-110. [56] Yakubovich S.B. (2014), On the half-Hartley transform, its iteration and compositions with Fourier transforms, J. Integral Equations Applications, Vol. 26, No. 4, pp. 581-608. [57] Yakubovich S.B. (2014), The Plancherel, Titchmarsh and Convolution the- orems for the half-Hartley transform, Integral Transforms and Special Functions, Vol. 25, Issue 10, pp. 836-848. [58] Yakubovich S.B. (2004), New inversion, Convolution and Titchmarsh’s theorems for the half-Hartley transform, arXiv preprint arXiv:1401.3143. −125−