Luận án Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic

2 |x|2 + 2µM |z|2 |x|3 ∂rσ ] dxdt 80 = −µ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) (ηN1 + 2)M (t(T − t))3 |z|2 |x|2 dxdt − 2µ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) ( η(λ∆ψ + λ2|∇ψ|2) |x|2 + λ∇ψ · x 1 |x|4 ) eλψ M (t(T − t))3 |z| 2dxdt. Do vậy, tồn tại hằng số dương C10 = C10(β, µ) sao cho∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) [ µMη∆σ |z|2 |x|2 + 2µM |z|2 |x|3 ∂rσ ] dxdt ≥ −µ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) (ηN1 + 2)M (t(T − t))3 |z|2 |x|2 dxdt − C10 ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) M (t(T − t))3 |z| 2dxdt. (3.51) Do vậy, sử dụng (3.17) một lần nữa, ta nhận được từ (3.51): Iout ≥ 2 ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) M (t(T − t))3 ( |∇z|2 − µ |z| 2 |x|2 ) dxdt − ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) C10M (t(T − t))3 |z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) ηN1M (t(T − t))3 |∇z| 2dxdt. (3.52) Kết hợp (3.50), (3.52) và sử dụng bất đẳng thức Hardy (3.21), ta có∫∫ Ω1×(0,T ) C1M (t(T − t))3 |∇z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1×(0,T ) [ µMη∆σ |z|2 |x|2 + 2µM |z|2 |x|3 ∂rσ ] dxdt ≥ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) M (t(T − t))3 |∇z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1×(0,T ) 2C0M (t(T − t))3 |z|2 |x| dxdt − ∫∫ Ω1×(0,T ) C11M (t(T − t))3 |z| 2dxdt (3.53) với C11 = max{C9;C10}. Từ (3.48) và (3.53) ta nhận được 81 ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) M (t(T − t))3 |∇z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1×(0,T ) 2C0M (t(T − t))3 |z|2 |x| dxdt − ∫∫ B1(0)×(0,T ) c˜(T 2 + T 4)M (t(T − t))5 |z| 2dxdt− ∫∫ Ω1×(0,T ) C11M (t(T − t))3 |z| 2dxdt + ∫∫ B1(0)×(0,T ) M3|x|2 4(t(T − t))9 |z| 2dxdt+ ∫∫ O×(0,T ) C ′2M 3 2(t(T − t))9 |z| 2dxdt ≤ ∫∫ ω˜1×(0,T ) C7M 3 (t(T − t))9 |z| 2dxdt+ ∫∫ ω˜1×(0,T ) C8M (t(T − t))3 |∇z| 2dxdt + 1 2 ∫∫ Ω1×(0,T ) |e−MσGn,µw|2dxdt. (3.54) Bây giờ, bởi bất đẳng thức ab ≤ 1 3 a3 + 2 3 b3/2 (a, b > 0), ta có ∫∫ B1(0)×(0,T ) c˜(T 2 + T 4)M (t(T − t))5 |z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1×(0,T ) C11M (t(T − t))3 |z| 2dxdt ≤ ∫∫ B1(0)×(0,T ) (c˜+ C11/16) (T 2 + T 4)M (t(T − t))5 |z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) C11M (t(T − t))3 |z| 2dxdt =M ∫∫ B1(0)×(0,T ) ( (c˜+ C11/16) (T 2 + T 4)|x|2/3|z|2/3 C 2/3 0 (t(T − t))3 )( C 2/3 0 |z|4/3 (t(T − t))2|x|2/3 ) dxdt + ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) C11M (t(T − t))3 |z| 2dxdt ≤ ∫∫ B1(0)×(0,T ) 2C0M 3(t(T − t))3 |z|2 |x| dxdt+ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) C11M (t(T − t))3 |z| 2dxdt + ∫∫ B1(0)×(0,T ) (c˜+ C11/16) 3 (T 2 + T 4)3M |x|2 3C20 (t(T − t))9 |z|2dxdt. (3.55) Từ bây giờ ta lấy M = M(λ, T, γn, β) := K2max{T 3 + T 4 + T 5 + T 6;√γnT 6}, 82 với K2 = K2(β) := max {√ 8(c˜+ C11/16)3/(3C20 ); √ C11 C ′2 /(32);K2 } , thì (c˜+ C11/16) 3 (T 2 + T 4)3M 3C20 ≤ M 3 8 . Do vậy, từ (3.55), thì (3.54) trở thành∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) M (t(T − t))3 |∇z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1×(0,T ) 4C0M 3(t(T − t))3 |z|2 |x| dxdt + ∫∫ B1(0)×(0,T ) M3|x|2 8(t(T − t))9 |z| 2dxdt+ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) C ′2M 3 4(t(T − t))9 |z| 2dxdt ≤ ∫∫ ω˜1×(0,T ) C12M 3 (t(T − t))9 |z| 2dxdt+ ∫∫ ω˜1×(0,T ) C8M (t(T − t))3 |∇z| 2dxdt + 1 2 ∫∫ Ω1×(0,T ) |e−MσGn,µw|2dxdt, (3.56) ở đây C12 = C7 + C ′2/2. Vì z = e−Mσw, bởi bất đẳng thức Cauchy ta có M (t(T − t))3 |∇z| 2 + C ′2M 3 4(t(T − t))9 |z| 2 = e−2Mσ ( M (t(T − t))3 |∇w −M(∇σ)w| 2 + C ′2M 3 4(t(T − t))3 |w| 2 ) ≥ e−2Mσ ( C13M (t(T − t))3 |∇w| 2 + C ′2M 3 8(t(T − t))9 |w| 2 ) , (3.57) ∀(x, t) ∈ Ω1 \B1(0)× (0, T ), trong đó C13 = C13(β) = C ′2/(4∥∇β∥2∞+C ′2), và C8M (t(T − t))3 |∇z| 2 = e−2Mσ C8M (t(T − t))3 |∇w −M(∇σ)w| 2 ≤ e−2Mσ ( 2C8M (t(T − t))3 |∇w| 2 + 2C8∥∇β∥2∞M3 (t(T − t))9 |w| 2 ) , ∀(x, t) ∈ ω˜1 × (0, T ). (3.58) 83 Do vậy, từ (3.57) và (3.58) thì (3.56) trở thành∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) e−2Mσ C13M (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt + ∫∫ Ω1×(0,T ) e−2Mσ 4C0M 3(t(T − t))3 |w|2 |x| dxdt + ∫∫ B1(0)×(0,T ) e−2Mσ M3|x|2 8(t(T − t))9 |w| 2dxdt + ∫∫ Ω1\B1(0)×(0,T ) e−2Mσ C ′2M 3 8(t(T − t))9 |w| 2dxdt ≤ ∫∫ ω˜1×(0,T ) e−2Mσ (2C8∥∇β∥2∞ + C12)M3 (t(T − t))9 |w| 2dxdt + ∫∫ ω˜1×(0,T ) e−2Mσ C14M (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt+ 1 2 ∫∫ Ω1×(0,T ) |e−MσGn,µw|2dxdt, (3.59) với C14 = 2C8. Bước 3. Ước lượng ∫∫ ω˜1×(0,T ) e−2Mσ C14M (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt. Bước này ta đi chứng minh rằng số hạng∫∫ ω˜1×(0,T ) e−2Mσ C16M (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt được đánh giá bởi các số hạng khác trong (3.59). Chứng minh này tương tự như chứng minh bất đẳng thức kiểu Cacciopoli (xem [63]). Để làm điều đó, ta xét hàm ξ : Ω1 → R sao cho 0 ≤ ξ(x) ≤ 1, x ∈ Ω1, ξ(x) = 1, x ∈ ω˜1, ξ(x) = 0, x /∈ ω1. 84 Bởi định nghĩa của σ và ξ, ta lấy tích phân từng phần − ∫∫ Ω1×(0,T ) Gn,µw wξe−2Mσ (t(T − t))3 dxdt = ∫∫ Ω1×(0,T ) ( −wt −∆w − µ|x|2w + γn|x| 2w ) wξe−2Mσ (t(T − t))3 dxdt = ∫∫ Ω1×(0,T ) ξe−2Mσ (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt+ γn ∫∫ Ω1×(0,T ) |x|2 ξe −2Mσ (t(T − t))3 |w| 2dxdt − ∫∫ Ω1×(0,T ) ξ|w|2e−2Mσ 2(t(T − t))3 [ ∆ξ − 4M∇ξ · ∇σ + ξ (4M2|∇σ|2 − 2M∆σ)] dxdt − ∫∫ Ω1×(0,T ) ξ |w|2e−2Mσ (t(T − t))3 [ Mσt − 3 T − 2t 2(t(T − t))4 + µ |x|2 ] dxdt. Do vậy∫∫ Ω1×(0,T ) ξC14Me −2Mσ (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt ≤ − ∫∫ Ω1×(0,T ) Gn,µw C14Mwξe −2Mσ (t(T − t))3 dxdt + ∫∫ Ω1×(0,T ) C14M |w|2e−2Mσ 2(t(T − t))3 [ ∆ξ − 4M∇ξ · ∇σ + ρ (4M2|∇σ|2 − 2M∆σ)] dxdt + ∫∫ Ω1×(0,T ) C14Mξ|w|2e−2Mσ (t(T − t))3 [ µ |x|2 − 2Mσt − 3 T − 2t (t(T − t))4 ] dxdt ≤ 1 2 ∫∫ Ω1×(0,T ) |e−MσGn,µw|2dxdt+ ∫∫ ω1×(0,T ) C15M 3e−2Mσ (t(T − t))9 |w| 2dxdt với hằng số dương C15 = C15(β, ξ). Ở đây, ta đã sử dụng 0RN1 /∈ ω˜1 và supp(ξ), supp(∆ξ), supp(∇ξ) ⊂ ω1. Do đó,∫∫ ω˜1×(0,T ) e−2Mσ (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt ≤ ∫∫ Ω1×(0,T ) ξe−2Mσ (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt ≤ 1 2 ∫∫ Ω1×(0,T ) |e−MσGn,µw|2dxdt+ ∫∫ ω1×(0,T ) C15M 3e−2Mσ (t(T − t))9 |w| 2dxdt. (3.60) 85 Kết hợp (3.60) với (3.59), ta nhận được∫∫ Ω1\B1(0)×(0;T ) e−2M C13M (t(T − t))3 |∇w| 2dxdt+ ∫∫ Ω1×(0;T ) e−2M 4C0M 3(t(T − t))3 |w|2 |x| dxdt + ∫∫ B1(0)×(0;T ) e−2M M3|x|2 8(t(T − t))9 |w| 2dxdt+ ∫∫ Ω1\B1(0)×(0;T ) e−2M C′2M 3 8(t(T − t))9 |w| 2dxdt ≤ ∫∫ !1×(0;T ) e−2M C16M 3 (t(T − t))9 |w| 2dxdt+ ∫∫ Ω1×(0;T ) |e−MGn;w|2dxdt với C16 = C16(β) = 2C8∥∇β∥2∞+C12 +C15. Khi đó bất đẳng thức Carleman (3.8) thỏa mãn với K1 = K1(β) := min{C13, 4C0/3, 1/8, C ′ 2/8} max{1, C16} . Chú ý cuối chương • Kết quả trong chương này là kết quả đầu tiên về tính điều khiển được cho phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị ở bên trong miền. Nói riêng, kết quả của chương này là câu trả lời cho vấn đề mở đặt ra bởi Cannarsa và Guglielmi trong [21]. • Sử dụng cách tiếp cận tương tự như ở trong chương này, chúng tôi cũng đã chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì dị ở trên biên, trong trường hợp nhiều chiều [6]. Kết quả này là sự mở rộng kết quả tương ứng khi N1 = N2 = 1 trong [21]. Khác biệt cơ bản giữa tình huống kì dị bên trong miền và kì dị trên biên là cách thiết lập các bất đẳng thức Carleman tương ứng (xem [30, 63] và [26] cho trường hợp toán tử Laplace). KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được kết quả về tính điều khiển được về 0 khi thời gian đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì dị bên trong miền trong trường hợp nhiều chiều. 86 Chương 4 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MỘT CHIỀU NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến với thế vị kì dị. Đầu tiên chúng tôi đặt bài toán. Sử dụng phương pháp compact chúng tôi chứng minh tính đặt đúng của bài toán. Tiếp theo, bởi phương pháp HUM, chúng tôi chứng minh được tính điều khiển được về 0 của phương trình tuyến tính hóa tương ứng bằng cách sử dụng bất đẳng thức Carleman đã được thiết lập bởi Vancostenoble [62]. Cuối cùng chúng tôi chứng minh tính điều khiển được về 0 của phương trình nửa tuyến tính ban đầu bằng cách sử dụng tính điều khiển được về 0 của phương trình tuyến tính hóa và định lí điểm bất động Schauder. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình đã công bố. 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN Đặt QT = (0, 1)× (0, T ). Ta xét bài toán nửa tuyến tính sau: ut − (xαux)x − λ xβ u+ f(x, t, u) = 1ωh, (x, t) ∈ QT , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), u(x, 0) = u0, x ∈ (0, 1), (4.1) 87 ở đó u0 ∈ L2(0, 1), h ∈ L2(ω × (0, T )), ∅ ≠ ω ⊂ (0, 1) và 0 ≤ α < 1. Ở đây, 1ω là hàm đặc trưng của ω và giả thiết rằng hàm f : QT ×R→ R là hàm liên tục theo cả ba biến, khả vi liên tục theo biến thứ ba và thỏa mãn f(x, t, 0) = 0. Hơn nữa giả sử tồn tại hằng số dương L > 0 sao cho với mọi (x, t) ∈ QT , |f(x, t, u)− f(x, t, v)| ≤ L|u− v| ∀u, v ∈ R. (4.2) Ta đặt λ(α) = (1− α)2 4 và xét toán tử Au = (xαux)x + λ xβ u với thế vị dưới tới hạnα ∈ [0, 1), 0 < β < 2− α, λ ∈ R,α ∈ [0, 1), β = 2− α, λ < λ(α). (4.3) Nhận xét 4.1. Ta chú ý rằng, khi nghiên cứu với lớp phương trình parabolic chứa toán tử A thì tùy vào điều kiện của α mà có điều kiện biên tương ứng. Cụ thể khi α ∈ [0, 1) điều kiện biên Dirichlet thuần nhất tại x = 0; còn khi α ∈ [1, 2) điều kiện biên lúc này là kiểu Neumann tại x = 0: (xαux)(0, t) = 0 và điều kiện Dirichlet thuần nhất tại x = 1. Đó là do liên quan đến khái niệm vết của hàm, việc thiết lập không gian hàm tương ứng (xem thêm [24] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Trong chương này để cho đơn giản, chúng tôi chỉ xét trường hợp α ∈ [0, 1), tức là xét điều kiện biên Dirichlet. Tính điều khiển được về 0 cho bài toán tuyến tính tương ứng (tức là bài toán (4.1) với f = 0) trong cả trường hợp dưới tới hạn và tới hạn khi α ∈ [0, 2) đã được nghiên cứu bởi Vancostenoble trong công trình gần đây [62]. Trong nghiên cứu đó, tác giả đã thiết lập các bất đẳng thức Carleman mới, và từ đó chứng minh tính điều khiển được về 0 cho bài toán tương ứng. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu và chứng minh tính điều khiển được về 0 cho bài toán (4.1) với các giả thiết (4.2) của hàm phi tuyến f và 88 giả thiết dưới tới hạn (4.3) của thế vị kì dị. Đầu tiên, ta chứng minh bài toán (4.1) là đặt đúng bằng cách sử dụng phương pháp compact. Sau đó, với các điều kiện trên về α, β, λ, sử dụng phương pháp HUM mà ở đó ta sử dụng bất đẳng thức Carleman trong [62], ta nhận được tính khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa tương ứng: ut − (xαux)x − λ xβ + c(x, t)u = 1ωh, ở đó c(·, ·) ∈ L∞(QT ). Để nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của bài toán nửa tuyến tính (4.1), theo các bước của cách tiếp cận trong [34], ta sử dụng phương pháp điểm bất động. Ta chứng minh tính điều khiển được về 0 của bài toán (4.1) bằng cách sử dụng tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa tương ứng và định lí điểm bất động Schauder khi điều kiện ban đầu u0 ∈ H1α,0(0, 1). Sau đó ta chỉ ra rằng bài toán (4.1) điều khiển được về 0 khi u0 ∈ L2(0, 1) bằng cách sử dụng hiệu ứng trơn của nghiệm của bài toán nửa tuyến tính và tính điều khiển được về 0 khi u0 ∈ H1α,0(0, 1). 4.2. TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN 4.2.1. Không gian hàm và toán tử Với thế vị dưới tới hạn, tức là khi (4.3) thỏa mãn, miền xác định của toán tử A được xác định bởi D(A) := { u ∈ H1α,0(0, 1) ∩H2loc((0, 1]) | (xαux)x + λ xβ u ∈ L2(0, 1) } , trong đó H1α,0(0, 1) := { u : [0, 1]→ R | u liên tục tuyệt đối trong [0, 1], √ xαux ∈ L2(0, 1) và u(0) = u(1) = 0 } . Khi đó H1α,0(0, 1) là không gian Banach với chuẩn ∥u∥H1;0 = ( ∫ 1 0 xαu2xdx )1/2 . 89 Mệnh đề 4.1. [62, Mệnh đề 2] Giả sử rằng (4.3) thỏa mãn. Khi đó tồn tại η ≥ 0 và C = C(α, β, λ) > 0 sao cho ∀u ∈ H1α,0(0, 1), ∫ 1 0 (xαu2x − λ xβ u2 + ηu2)dx ≥ C∥u∥2H1;0 . (4.4) Chú ý 4.1. Ta chú ý rằng với các giả thiết (4.3), từ các bất đẳng thức Hardy (1.6)-(1.7) thì tồn tại C = C(α, β, λ) > 0 sao cho∫ 1 0 (xαu2x − λ xβ u2)dx ≤ C ∫ 1 0 xαu2xdx ∀u ∈ H1α,0(0, 1). (4.5) Ta có kết quả sau (xem, chẳng hạn, [2, Định lí 6.1-6.4]). Bổ đề 4.1. Ta có các phép nhúng sau là compact: (i) H1α,0(0, 1) ,→ L2(0, 1); (ii) D(A) ,→ H1α,0(0, 1); (iii) H1(0, T ;L2(0, 1))∩L2(0, T ;D(A)) ,→ C([0, T ];L2(0, 1))∩L2(0, T ;H1α,0(0, 1)). Các tính chất trên đảm bảo rằng dạng song tuyến tính sinh ra từ toán tử −(A− ηI) là bức trên H1α,0(0, 1). Điều này suy ra kết quả sau Mệnh đề 4.2. [62, Mệnh đề 3] Giả thiết rằng (4.3) thỏa mãn và xét hằng số η ≥ 0 mà được cho trong Mệnh đề 4.1. Khi đó A − ηI là toán tử tự liên hợp, xác định âm. Như vậy, tồn tại dãy giá trị riêng {λi}i∈N∗ , 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn ≤ · · · → +∞ của toán tử −(A − ηI) trong H1α,0(0, 1) và tương ứng là dãy hàm riêng {ei}i∈N∗ là cơ sở trực chuẩn của L2(0, 1). 4.2.2. Tính đặt đúng của bài toán Định lí 4.1. Giả sử rằng (4.3) và (4.2) thỏa mãn, và u0 ∈ L2(0, 1), T > 0 cho trước. Khi đó bài toán (4.1) có duy nhất nghiệm yếu u thỏa mãn u ∈ C([0, T ];L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;H1α,0(0, 1)) ∩H1(0, T ;H−1α,0(0, 1)), 90 trong đó H−1α,0(0, 1) là không gian đối ngẫu của H 1 α,0(0, 1). Hơn nữa ta có đánh giá: ∥u∥2L2(0,T ;H1;0(0,1)) + ∥u∥ 2 C([0,T ];L2(0,1)) ≤ exp(C(η, α, λ, β)(1 + T )(1 + L)) ( ∥u0∥2L2(0,1) + ∥h∥2L2(ω×(0,T )) ) , (4.6) với hằng số dương C(η, α, λ, β) không phụ thuộc u0, T, L và h. Nếu u0 ∈ H1α,0(0, 1), thì bài toán (4.1) có duy nhất nghiệm thỏa mãn u ∈ H1(0, T ;L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;D(A)) ∩ C([0, T ];H1α,0(0, 1)). (4.7) Hơn nữa ta có đánh giá ∥u∥2L2(0,T ;D(A)) + ∥u∥2L∞(0,T ;H1;0(0,1)) + ∥u∥ 2 H1(0,T ;L2(0,1)) ≤ exp(eC(η, α, λ, β)(1 + L)(1 + T ))(∥u0∥2H1;0 + ∥h∥2L2(ω×(0,T ))) , (4.8) với hằng số dương eC(η, α, λ, β) không phụ thuộc vào u0, T, L và h. Chứng minh. Ta xét hai trường hợp của điều kiện ban đầu. • Khi u0 ∈ L2(0, 1). Ta tìm nghiệm xấp xỉ un(t) mà thuộc không gian hữu hạn sinh bởi n hàm riêng đầu tiên của toán tử −(A− ηI) ở dạng un(t) = n∑ j=1 unj(t)ej , và thỏa mãn bài toán unt − (xαunx)x − λ xβ un + f(x, t, un) = 1ωh, (x, t) ∈ QT , un(0, t) = un(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), un(x, 0) = Pnu0(x), x ∈ (0, 1), (4.9) ở đó Pn : L2(0, 1) → span{e1, . . . , en} là phép chiếu chính tắc. Do đó ta có một hệ các phương trình vi phân cấp một với các hàm un1, . . . , unn, u′nj + (λj − η)unj + ⟨f(x, t, un), ej⟩ = (h1ω, ej), 91 unj(0) = (u0, ej), j = 1, n. Theo lí thuyết phương trình vi phân thường, ta nhận được sự tồn tại của nghiệm xấp xỉ un(t). Nhân phương trình thứ nhất trong (4.9) bởi un(t) và tích phân từng phần trong (0, 1), ta có 1 2 d dt ∥un∥2L2(0,1) + ∫ 1 0 ( xαu2nx − λ xβ u2n + ηu 2 n ) dx = − ∫ 1 0 f(x, t, un)undx + ∫ 1 0 ηu2ndx+ ∫ 1 0 hun dx. (4.10) Sử dụng giả thiết Lipschitz (4.2) và bất đẳng thức (4.4), ta nhận được từ (4.10) d dt ∥un∥2L2(0,1) + 2C(α, λ, β)∥un∥2H1;0 ≤ (2L+ 2η + 1)∥un∥ 2 L2(0,1) + ∥h∥2L2(ω). (4.11) Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta nhận được từ (4.11) rằng ∥un(t)∥2L2(0,1) ≤ e(2(L+η)+1)t∥u0∥2L2(0,1) + ∫ t 0 e(2(L+η)+1)(t−s)∥h(s)∥2L2(ω)ds. Do vậy ∥un(t)∥2L2(0,1) ≤ e(2(L+η)+1)T ( ∥u0∥2L2(0,1) + ∫ T 0 ∥h∥2L2(ω)dt ) , (4.12) với mọi t ∈ [0, T ]. Bây giờ, tích phân (4.11) từ 0 đến T và sử dụng (4.12) ta có ∥un(T )∥2L2(0,1) + 2C(α, λ, β) ∫ T 0 ∥un∥2H1;0dt ≤ (2L+ 2η + 1)Te(2L+2η+1)T ( ∥u0∥2L2(0,1) + ∥h∥2L2(ω×(0,T )) ) + ∥u0∥2L2(0,1). (4.13) Do đó, {un} bị chặn trong L∞(0, T ;L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;H1α,0(0, 1)). Sử dụng (4.2), ta có được tính bị chặn của {f(·, ·, un)} trong L2(0, T ;L2(Ω)). Mặt khác, ta có dun dt = (xαunx)x + λ xβ un − f(x, t, un) + 1ωh. 92 Do đó, {unt} bị chặn trong L2(0, T ;H−1α,0(0, 1)). Vì thế, bằng cách chọn ra dãy con của un (vẫn kí hiệu là un), ta có unt ⇀ ut trong L2(0, T ;H−1α,0(0, 1)), un ⇀ u trong L2(0, T ;H1α,0(0, 1)) và trong L 2(QT ), f(·, ·, un) ⇀ κ trong L2(0, T ;L2(Ω)). Từ u ∈ L2(0, T ;H1α,0(0, 1)) ∩ L2(QT ) và ut ∈ L2(0, T ;H−1α,0(0, 1)) + L2(QT ), ta nhận được u ∈ C([0, T ];L2(0, 1)). Và do đó, u ∈ C([0, T ];L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;H1α,0(0, 1)). Từ tính bị chặn của {un} và {unt}, bởi Bổ đề 1.2, ta có un → u trong L2(QT ). Do vậy ta có thể chọn một dãy con unk sao cho unk(x, t)→ u(x, t) với hầu khắp (x, t) ∈ QT . Từ tính liên tục của f theo biến thứ ba ta suy ra f(x, t, unk(x, t))→ f(x, t, u(x, t)) với hầu khắp (x, t) ∈ QT . Bởi tính bị chặn của {f(·, ·, unk)} trong L2(QT ), và bởi [47, Bổ đề 1.3], ta có f(·, ·, unk) ⇀ f(·, ·, u) trong L2(QT ). Vì tính duy nhất của giới hạn, ta nhận được κ = f(x, t, u). Chọn hàm thử thích hợp trong L2(0, T ;H1α,0(0, 1)), ta cũng chỉ ra được rằng u(0) = u0. Điều này suy ra rằng u là nghiệm yếu của bài toán (4.1). Hơn nữa từ các ước lượng tiên nghiệm (4.12) và (4.13) ta nhận được đánh giá (4.6). Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu, ta giả sử rằng u, v là hai 93 nghiệm của (4.1). Đặt w = u− v, ta có wt − (xαwx)x − λ xβ w + f(x, t, u)− f(x, t, v) = 0, (x, t) ∈ QT , w(0, t) = w(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), w(x, 0) = 0, x ∈ (0, 1). (4.14) Nhân phương trình đầu tiên trong (4.14) bởi w, sau đó lấy tích phân trên (0, 1), ta nhận được 1 2 d dt ∥w∥2L2(0,1)+ ∫ 1 0 (xαw2− λ xβ w2)dx+ ∫ 1 0 ( f(x, t, u)−f(x, t, v))(u−v)dx = 0. Do đó, sử dụng (4.2) và (4.4), ta được d dt ∥w∥2L2(0,1) ≤ 2(L+ η)∥w∥2L2(0,1). Bởi bất đằng thức Gronwall, ta có ∥w(t)∥2L2(0,1) ≤ e2(L+η)t∥w(0)∥2L2(0,1). Từ đây ta có tính duy nhất và phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu. • Khi u0 ∈ H1α,0(0, 1). Như trường hợp u0 ∈ L2(0, 1) thì bài toán đã có duy nhất nghiệm u thỏa mãn (xem (4.12) và (4.13)): ∥u(t)∥2L2(0,1) ≤ e(2(L+η)+1)T ( ∥u0∥2L2(0,1) + ∫ T 0 ∥h∥2L2(ω)dt ) , (4.15) và 2C(α, λ, β) ∫ T 0 ∥u∥2H1;0dt ≤ (2L+ 2η + 1)Te(2L+2η+1)T ( ∥u0∥2L2(0,1) + ∥h∥2L2(ω×(0,T )) ) + ∥u0∥2L2(0,1). (4.16) Bây giờ ta chỉ ra nghiệm u thỏa mãn (4.7) và đánh giá (4.8). Ta nhân phương trình (4.1) bởi ut, lấy tích phân trên (0, 1) ta được 94 ∥ut∥2L2(0,1) + 1 2 d dt ∫ 1 0 ( xαu2x − λ xβ u2 + ηu2 ) dx = − ∫ 1 0 f(x, t, u)utdx+ η ∫ 1 0 uutdx+ ∫ ω hutdx. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và (4.2) ta có 1 2 ∥ut∥2L2(0,1) + 1 2 d dt ∫ 1 0 (xαu2x − λ xβ u2 + ηu2)dx ≤ (2L2 + η2)∥u∥2L2(0,1) + 2∥h∥2L2(ω). (4.17) Từ (4.17) và cùng với (4.5), ta được∫ 1 0 (xαu2x − λ xβ u2 + ηu2)dx ≤ C∥u0∥2H1;0 + ( 4L2 + 2η2 ) ∫ T 0 ∥u∥2L2(0,1)dt + 4∥h∥2L2(ω×(0,T )). Sử dụng (4.4) và (4.15) ta có hằng số eC = eC(η, α, β, λ) > 0 sao cho ∥u∥2H1;0 ≤ exp( eC(1 + LT ))(∥u0∥2H1;0 + ∥h∥2L2(ω×(0,T ))) . (4.18) Bây giờ, ta nhân phương trình đầu tiên trong (4.1) bởi −(xαux)x − λ xβ u và lấy tích phân trên (0, 1) ta được 1 2 d dt ∫ 1 0 ( xαu2x − λ xβ u2 ) dx+ (xαux)x + λxβ u 2 L2(0,1) = − ∫ 1 0 f(x, t, u) ( (xαux)x + λ xβ u ) dx+ ∫ ω ( (xαux)x + λ xβ u ) hdx. Dùng bất đẳng thức Cauchy ta có được 1 2 d dt ∫ 1 0 ( xαu2x − λ xβ u2 ) dx+ 1 2 (xαux)x + λxβ u 2 L2(0,1) ≤ ∫ 1 0 |f(x, t, u)|2dx+ ∫ ω h2dx. (4.19) Sử dụng (4.2), lấy tích phân (4.19) từ 0 đến T và sử dụng (4.4) và (4.5) ta có được∫ T 0 ∥u(t)∥2D(A)dt ≤ (2L+ η) ∫ T 0 ∥u∥2L2(0,1)dt+ 2∥h∥2L2(ω×(0,T )) + C∥u0∥2H1;0 . (4.20) 95 Kết hợp (4.16), (4.18) và (4.20) với chú ý rằng ut = (xαux)x+ λ xβ u−f(x, t, u)+ 1ωh nên ta có được nghiệm u của (4.1) thỏa mãn (4.7). Hơn nữa ta có đánh giá (4.8). Nhận xét 4.2. Định lí trên cũng đúng cho bài toán parabolic tuyến tính tương ứng với bài toán (4.1), tức là khi f(x, t, u) = c(x, t)u với c(x, t) ∈ L∞(QT ), ∥c∥∞ ≤ L. 4.3. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 4.3.1. Tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa Trong mục này, ta xét bài toán tuyến tính tương ứng với bài toán (4.1) ut − (xαux)x − λ xβ u+ c(x, t)u = 1ωh, (x, t) ∈ QT , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), u(x, 0) = u0, x ∈ (0, 1), (4.21) trong đó c(x, t) ∈ L∞(QT ), h ∈ L2(ω × (0, T )). Từ Nhận xét 4.2, ta có tính đặt đúng của (4.21). Để nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của bài toán (4.21), ta sử dụng bất đẳng thức Carleman cho nghiệm của bài toán: wt + (x αwx)x + λ xβ w = g, (x, t) ∈ QT , w(0, t) = w(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), w(x, T ) = wT (x), x ∈ (0, 1). (4.22) Bất đẳng thức Carleman sau được thiết lập trong [62, Định lí 5.1]. Định lí 4.2. Với các giả thiết (4.3) và cho γ ∈ (0, 2 − α), ta xét σ(x, t) := ℓ(t)p(x) với p(x) := 2− x2−α (2− α)2 và ℓ(t) := ( 1 t(T − t) )k , k = 1 + 2− α γ . (4.23) 96 (i) Giả sử α ∈ [0, 1), β 0 và R0 = R0(2 − α, γ, λ) > 0, sao cho với mọi R ≥ R0, mọi nghiệm w của (4.22) thỏa mãn R3 (2− α)3 ∫∫ QT ℓ(t)3x2−αe−2Rσw2dxdt+R ∫∫ QT ℓ(t)xαe−2Rσw2xdxdt + (1− α)2R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσ w2 x2−α dxdt+R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσ w2 xγ dxdt ≤ C0 ∫∫ QT e−2Rσg2dxdt+R ∫ T 0 ℓ(t)(e−2Rσw2)|x=1dt. (4.24) (ii) Giả sử α ∈ [0, 1), β = 2 − α và λ 0 và R0 = R0(2 − α, γ) > 0, sao cho với mọi R ≥ R0, mọi nghiệm w của (4.22) thỏa mãn R3 (2− α)3 ∫∫ QT ℓ(t)3x2−αe−2Rσw2dxdt +R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσ ( xαw2x − λ w2 x2−α ) dxdt+R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσ w2 xγ dxdt ≤ C0 ∫∫ QT e−2Rσg2dxdt+R ∫ T 0 ℓ(t)(e−2Rσw2)|x=1dt. (4.25) Ta có kết quả về tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính (4.21) cho bởi định lí sau. Định lí 4.3. Với giả thiết (4.3) và c(x, t) ∈ L∞(QT ), khi đó với mọi T > 0 và mỗi u0 ∈ L2(0, 1) cho trước, tồn tại h ∈ L2(ω × (0, T )) sao cho nghiệm u của (4.21) thỏa mãn u(·, T ) = 0, tức là, bài toán (4.21) điều khiển được về 0. Hơn nữa ∫ T 0 ∫ ω h2dxdt ≤ CT ∫ 1 0 u20dx, (4.26) với CT = exp { C ( 1 + T + T 2k−1 + 1 T + (1 + T )∥c∥∞ + ∥c∥2∞ )} , ở đó hằng số dương C = C(2− α, λ, β, γ, η, ω) và không phụ thuộc vào ∥c∥∞, u0 và T . 97 Chứng minh. Trước tiên ta thiết lập bất đẳng thức quan sát được cho nghiệm của hệ liên hợp của (4.21): wt + (x αwx)x + λ xβ w − c(x, t)w = 0, (x, t) ∈ QT , w(0, t) = w(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), w(x, T ) = wT (x), x ∈ (0, 1). (4.27) Ta xét ω′ = (x′0, x ′ 1) ⊂⊂ ω = (x0, x1) ⊂ (0, 1) và hàm cắt 0 ≤ ψ ≤ 1 sao cho ψ = 1 trong (0, x′0) và ψ = 0 trong (x ′ 1, 1). Với φ := ψw thì φ thỏa mãn: φt + (x αφx)x + λ xβ φ = c(x, t)φ+ (xαψxw)x + ψxx αwx =: g, (x, t) ∈ QT , φ(0, t) = φ(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), φ(x, T ) = φT (x) := ψwT (x), x ∈ (0, 1). (4.28) Áp dụng bất đẳng thức Carleman (4.24) cho trường hợp α ∈ [0, 1), β < 2− α và λ ∈ R và (4.25) cho trường hợp α ∈ [0, 1), β = 2 − α và λ < λ(α), cho nghiệm φ của (4.28) ta được (với chú ý φx(1) = 0): R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσφ2dxdt ≤ R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσ φ2 xγ dxdt ≤ C0 ∫∫ QT e−2Rσg2dxdt ≤ C0∥c∥2∞ ∫∫ QT e−2Rσ|φ|2dxdt+ C0 ∫∫ ω′×(0,T ) e−2Rσ(w2x + w 2)dxdt, (4.29) ở đây ta đã sử dụng tính chất ψ,ψx, ψxx bị chặn và có giá compact trong ω′. Khi đó lấy R ≥ R0 := max{R0, (2/4k)C0∥c∥2∞T 2k} ta có được từ (4.29): R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσφ2dxdt ≤ 2C0 ∫ T 0 ∫ ω′ e−2Rσ(w2x + w 2)dxdt. (4.30) Bây giờ, ta có được bất đẳng thức dạng Caccioppoli (chứng minh tương tự trong [24]):∫ T 0 ∫ ω′ e−2Rσw2xdxdt ≤ C(ω, ξ)(1 + ∥c∥∞) ∫ T 0 ∫ ω w2dxdt, (4.31) 98 ở đó C(ω, ξ) không phụ thuộc vào ∥c∥∞ và T . Thật vậy, xét hàm trơn ξ : (0, 1)→ R sao cho 0 ≤ ξ(x) ≤ 1, x ∈ (0, 1), ξ(x) = 1, x ∈ ω′, ξ(x) = 0, x /∈ ω. Từ (4.27), ta có được 0 = ∫ T 0 d dt ∫ 1 0 ξ2e−2Rσw2dx = ∫∫ QT (−2ξ2Rσte−2Rσw2 + 2ξ2e−2Rσwwt)dxdt = −2 ∫∫ QT ξ2Rσte −2Rσw2dxdt − 2 ∫∫ QT ( ξ2e−2Rσw [ (xαwx)x + λ xβ w − c(x, t)w ]) dxdt = −2 ∫∫ QT ξ2e−2Rσ ( Rσt + λ xβ − c(x, t) ) w2dxdt + 2 ∫∫ QT xα(ξ2e−2Rσ)xwwxdxdt+ 2 ∫∫ QT xαξ2e−2Rσw2xdxdt. (4.32) Bởi bất đẳng thức Cauchy, từ (4.32) suy ra 2 ∫∫ QT xαξ2e−2Rσw2xdxdt =2 ∫∫ QT ξ2e−2Rσ ( Rσt + λ xβ − c(x, t) ) w2dxdt − 2 ∫∫ QT xα(ξ2e−2Rσ)xwwxdxdt ≤2 ∫∫ QT ξ2e−2Rσ ( Rσt + λ xβ − c(x, t) ) w2dxdt + ∫∫ QT xαξ2e−2Rσw2xdxdt + ∫∫ QT xα  (ξ2e−2Rσ)xξe−2Rσ 2 w2dxdt. 99 Do đó∫∫ QT xαξ2e−2Rσw2xdxdt ≤ 2 ∫∫ QT ξ2e−2Rσ ( Rσt + λ xβ − c(x, t) ) w2dxdt + ∫∫ QT xα  (ξ2e−2Rσ)xξe−2Rσ 2 w2dxdt. (4.33) Chú ý rằng ξ, ξx có giá compact trong ω vàe−2Rσ (Rσt + λxβ − c(x, t) ) ≤ C(ω, ξ, β, λ)(1 + ∥c∥∞) ∀(x, t) ∈ ω′ × (0, T ) xα  (ξ2e−2Rσ)xξe−2Rσ 2 ≤ C(ω, ξ) ∀(x, t) ∈ ω′ × (0, T ). Nên ta có được (4.31) từ (4.33). Thay (4.31) vào (4.30) ta được R ∫∫ QT ℓ(t)e−2Rσφ2dxdt ≤ C0(1 + ∥c∥∞) ∫ T 0 ∫ ω w2dxdt (4.34) với hằng số C0 không phụ thuộc vào ∥c∥∞ và T . Lấy R = R0 và sử dụng định nghĩa của ψ ta nhận được từ (4.34):∫ T 0 ∫ x0 0 ℓ(t)e−2R0σw2dxdt ≤ C0 R0 (1 + ∥c∥∞) ∫ T 0 ∫ ω w2dxdt. Chú ý rằng 4k T 2k ≤ ℓ(t) ≤ (16/3) k T 2k và p(x) ≤ 2 (2− α)2 ∀(x, t) ∈ (T/4, 3T/4)× (0, 1). Do đó, ta có 4k T 2k exp { − 2R0 (2− α)2 (16/3)k T 2k }∫ 3T/4 T/4 ∫ x0 0 w2dxdt ≤ C0 R0 (1 + ∥c∥∞) ∫ T 0 ∫ ω w2dxdt. (4.35) Bây giờ ta sử dụng hàm cắt eψ = 1− ψ, với ψ như trên. Khi đó làm lại tương tự như trên ta nhận được đánh giá dạng như (4.35) như sau: 100 4k T 2k exp { − 2R0 (2− α)2 (16/3)k T 2k }∫ 3T/4 T/4 ∫ 1 x1 w2dxdt ≤ C0 R0 (1 + ∥c∥∞) ∫ T 0 ∫ ω w2dxdt. (4.36) Kết hợp (4.35) và (4.36) ta có được 4k T 2k exp { − 2R0 (2− α)2 (16/3)k T 2k }∫ 3T/4 T/4 ∫ 1 0 w2dxdt ≤ ( 4k T 2k exp { − 2R0 (2− α)2 (16/3)k T 2k } + C0 R0 (1 + ∥c∥∞) )∫ T 0 ∫ ω w2dxdt. Do đó 2 T ∫ 3T/4 T/4 ∫ 1 0 w2dxdt ≤ ( 2 T + 2T 2k−1 4k exp { 2R0 (2− α)2 (16/3)k T 2k } C0 R0 (1 + ∥c∥∞) )∫ T 0 ∫ ω w2dxdt. (4.37) Nhân phương trình (4.27) bởi −w và lấy tích phân trên (0, 1) ta được −1 2 d dt ∥w(t)∥2L2(0,1) + ∫ 1 0 ( xαw2x − λ xβ w2 ) dx+ ∫ 1 0 c(x, t)w2dx = 0. (4.38) Chú ý rằng từ (4.4) ta có∫ 1 0 ( xαw2x − λ xβ w2 ) dx ≥ −η∥w∥2L2(0,1). Hơn nữa ∫ 1 0 c(x, t)w2dx ≥ −∥c∥∞∥w∥2L2(0,1), nên ta có từ (4.38): d dt ( e2(∥c∥∞+η)t∥w(t)∥2L2(0,1) ) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, T ]. (4.39) Ta nhận được từ (4.39):∫ 1 0 w(x, 0)2dx ≤ e2(∥c∥∞+η)T ∫ 1 0 w2dx, ∀t ∈ [0, T ]. (4.40) Lấy tích (4.40) từ T/4 đến 3T/4 ta được∫ 1 0 w(x, 0)2dx ≤ e2(∥c∥∞+η)T 2 T ∫ 3T/4 T/4 ∫ 1 0 w2dxdt. (4.41) 101 Thay (4.37) vào (4.41) cho ta bất đẳng thức quan sát được cho nghiệm của hệ liên hợp (4.27): ∫ 1 0 w(x, 0)2dx ≤ CT ∫ T 0 ∫ ω w2dxdt, (4.42) với CT = exp { C(1 + T + T 2k−1 + 1 T + (1 + T )∥c∥∞ + ∥c∥2∞ )} , ở đó hằng số dương C = C(2− α, λ, β, γ, η, ω) và không phụ thuộc vào ∥c∥∞, u0 và T . Bây giờ với mỗi ε > 0 và wT ∈ L2(0, 1), ta xét phiếm hàm Jε(wT ) = ∫ T 0 ∫ ω |w(x, t)|2dxdt+ ε∥wT ∥2L2(0,1) + ∫ 1 0 w(x, 0)u0dx với w là nghiệm của (4.27) liên kết với wT . Từ định nghĩa của Jε và tính chất phụ thuộc liên tục của nghiệm của (4.27) nên ta có ngay Jε(wT ) là lồi chặt và liên tục trên L2(0, 1). Hơn nữa, nhờ bất đẳng thức quan sát (4.42), Jε là bức, tức là Jε(wT )→ +∞ khi ∥wT ∥P0 → +∞, với P0 là bao đóng của L2(0, 1) theo chuẩn ∥wT ∥P0 := (∫ T 0 ∫ ω |w(x, t)|2dxdt )1/2 . Thật vậy, bởi bất đẳng thức Cauchy, ta có Jε(wT ) ≥ ∫ T 0 ∫ ω |w(x, t)|2dxdt− 1 2CT ∫ 1 0 |w(x, 0)|2dx− CT 2 ∥u0∥2L2(0,1), với CT là hằng số trong bất đẳng thức quan sát được (4.42). Từ đó nhận được tính bức của Jε nhờ (4.42). Do vậy Jε đạt cực tiểu tại 0 ̸= (wT )ε ∈ L2(0, 1). Khi đó, từ điều kiện cần cực tiểu của Jε tại (wT )ε, ta có∫ T 0 ∫ ω wεwdxdt+ ε ∫ 1 0 (wT )ε ∥(wT )ε∥L2(0,1)wT dx+ ∫ 1 0 w(x, 0)u0dx = 0, (4.43) với mọi wT ∈ L2(0, 1). Ở đây wε và w là nghiệm của (4.27) liên kết với (wT )ε và wT tương ứng. 102 Nhân (4.21) với w và lấy tích phân trên (0, 1)× (0, T ) và sử dụng tính liên hợp của hệ (4.21) và (4.27) ta có được∫ T 0 ∫ ω whdxdt− ∫ 1 0 wTu(T )dx+ ∫ 1 0 w(x, 0)u0(x)dx = 0. (4.44) Từ (4.43) và (4.44) ta nhận được với mọi wT ∈ L2(0, 1),∫ T 0 ∫ ω (wε − h)wdxdt+ ε ∫ 1 0 (wT )ε ∥(wT )ε∥L2(0,1)wT dx = ∫ 1 0 wTu(T )dx. (4.45) Lấy h = hε := wε1ω và khi đó tương ứng nghiệm của (4.21) là uε và lấy wT = uε(T ), ta nhận được từ (4.45)∫ 1 0 |uε(T )|2dx = ε ∫ 1 0 (wT )ε ∥(wT )ε∥L2(0,1)uε(T )dx. (4.46) Dùng bất đẳng thức Ho¨lder, ta có được từ (4.46) ∥uε(T )∥L2(0,1) ≤ ε. (4.47) Chọn wT = (wT )ε, ta có được từ (4.43)∫ T 0 ∫ 1 0 |hε|2dxdt+ ε∥(wT )ε∥L2(0,1) + ∫ 1 0 wε(x, 0)u0(x)dx = 0. (4.48) Bởi bất đẳng thức Ho¨lder ta có từ (4.48)∫ T 0 ∫ 1 0 |hε|2dxdt ≤ − ∫ 1 0 wε(x, 0)u0(x)dx ≤ (∫ 1 0 |wε(x, 0)|2dx )1/2(∫ 1 0 u20dx )1/2 . Khi đó sử dụng bất đẳng thức quan sát được (4.42), ta có được:∫ T 0 ∫ 1 0 |hε|2dxdt ≤ CT ∥u0∥2L2(0,1). (4.49) Cho ε→ 0 ta có từ (4.49): hε ⇀ h trong L2(ω × (0, T )). 103 Hơn nữa từ (4.47) và chú ý nghiệm uε của (4.21) thỏa mãn uε ∈ L2(0, T ;H1α,0(0, 1)) ∩ C([0, T ];L2(0, 1)) ∩H1(0, T ;H−1α,0(0, 1)) nên ta có uε ⇀ u trong L2(0, T ;H1α,0(0, 1)) ∩ C([0, T ];L2(0, 1)) ∩H1(0, T ;H−1α,0(0, 1)) và u(·, T ) = 0. Hơn nữa (u, h) thỏa mãn (4.21). Định lí được chứng minh. 4.3.2. Tính điều khiển được về 0 của bài toán nửa tuyến tính Để chứng minh tính điều khiển được về 0 của bài toán nửa tuyến tính (4.1), ta cần bổ đề sau Bổ đề 4.2. Với giả thiết (4.2), thì∫ 1 0 fv(x, t, ξv)dξ ∈ L∞(QT ), (4.50) với mọi v ∈ X := C([0, T ];L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;H1α,0(0, 1)). Hơn nữa∫ 1 0 fv(x, t, ξv)dξ  ≤ L với L là hằng số Lipschitz trong (4.2). Chứng minh. Ta có ∫ 1 0 fv(x, t, ξv)dξ =  f(x, t, v) v nếu v ̸= 0, fv(x, t, 0) nếu v = 0. Chú ý rằng fv(x, t, 0) = lim v→0 f(x, t, v)− f(x, t, 0) v − 0 = limv→0 f(x, t, v) v . Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng ∫ 1 0 fv(x, t, ξv)dξ thuộc vào L∞(QT ) khi v ̸= 0. 104 Với v ̸= 0, sử dụng (4.2), ta có sup QT ∫ 1 0 fv(x, t, ξv)dξ  = sup QT f(x, t, v)v  ≤ L. Ta xét bài toán (4.1). Đầu tiên, ta xét bài toán (4.1) khi u0 ∈ H1α,0(0, 1). Sử dụng kết quả tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính tương ứng và phương pháp điểm bất động sử dụng định lí điểm bất động Schauder, ta sẽ chứng minh kết quả tính điều khiển được về 0 sau. Định lí 4.4. Giả sử T > 0 và u0 ∈ H1α,0(0, 1) cho trước. Với các giả thiết (4.3) và (4.2), bài toán (4.1) điều khiển được về 0, tức là tồn tại h ∈ L2(ω× (0, T )) sao cho bài toán (4.1) có nghiệm u thỏa mãn u(·, T ) = 0. Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn ∫ T 0 ∫ ω h2dxdt ≤ CT ∫ 1 0 u20dx, (4.51) với hằng số CT = exp { C ( 1 + T + T 2k−1 + 1 T + (1 + T )L+ L2 )} , ở đó C = C(α, λ, β, γ, ω) và không phụ thuộc vào L, u0 và T . Chứng minh. Từ giả thiết của hàm f , ta có f(x, t, u) = ∫ 1 0 df(x, t, ξu) dξ dξ = (∫ 1 0 fu(x, t, ξu)dξ ) u := cu(x, t)u. Khi đó bài toán (4.1) viết lại thành ut − (xαux)x − λ xβ u+ cu(x, t)u = 1ωh, (x, t) ∈ QT , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ∈ (0, T ), u(x, 0) = u0, x ∈ (0, 1). (4.52) Bài toán tuyến tính hóa của (4.52) là ut − (xαux)x − λ xβ u+ cv(x, t)u = 1ωh, (x, t) ∈ QT , u(0, t) = u(1, t) = 0 t ∈ (0, T ), u(x, 0) = u0, x ∈ (0, 1), (4.53) 105 với cv(x, t) = ∫ 1 0 fv(x, t, ξv)dξ. Từ Bổ đề 4.2 ta có cv(x, t) ∈ L∞(QT ) với mọi v ∈ X và ∥cv∥∞ ≤ L. (4.54) Do đó, bởi Định lí 4.3, bài toán (4.53) điều khiển được về 0. Hơn nữa, điều khiển h ∈ L2(ω × (0, T )) thỏa mãn∫ T 0 ∫ ω h2dxdt ≤ CT ∥u0∥2L2(0,1) , (4.55) với CT = exp { C ( 1 + T + T 2k−1 + 1 T + (1 + T )L+ L2 )} . Từ đó cho phép ta xây dựng được ánh xạ τ : X ∋ v 7→ uv ∈ X, với uv là nghiệm duy nhất của (4.53) tương ứng v ∈ X và với điều khiển hv thỏa mãn (4.55) mà uv(T ) = 0. Như vậy nếu ta chứng minh được τ có điểm bất động uv ∈ X, tức là τ(v) = uv = v thì nghiệm uv của (4.53) cũng là nghiệm của (4.52), và do đó định lí được chứng minh. Bây giờ ta chứng tỏ τ có điểm bất động bằng cách sử dụng định lí điểm bất động Schauder. Ta chỉ cần chứng minh rằng: (i) τ : BX → BX , (ii) τ là ánh xạ compact, (iii) τ là ánh xạ liên tục, ở đó BX := {v ∈ X : ∥v∥X ≤ R} , ∥v∥2X := sup t∈[0,T ] ∥v(t)∥2L2(0,1) + ∫ T 0 ∥v(t)∥2H1;0dt. Đầu tiên, ta chứng minh (i). Từ Nhận xét 4.2 nên nghiệm uv của (4.53) thỏa mãn đánh giá (4.6) trong Định lí 4.1: 106 ∥uv∥2L2(0,T ;H1;0(0,1)) + ∥u v∥2C([0,T ];L2(0,1)) ≤ exp(C(η, α, λ, β)(1 + T )(1 + L)) ( ∥u0∥2L2(0,1) + ∥h∥2L2(ω×(0,T )) ) . (4.56) Thay (4.55) vào (4.56) ta có hằng số dương C(η, α, λ, β) không phụ thuộc T,L và u0: ∥uv∥2L2(0,T ;H1;0(0,1)) + ∥u v∥2C([0,T ];L2(0,1)) ≤ exp ( C(η, α, λ, β)(1 + T + T 2k−1 + 1 T + L+ TL+ L2) ) ∥u0∥2L2(0,1). Vậy ∥τ(v)∥2X ≤ R2 với mọi v ∈ BX , vớiR2 = exp ( C(η, α, λ, β) ( 1 + T + T 2k−1 + 1 T + L+ TL+ L2 )) ∥u0∥2L2(0,1). Vậy ta có được (i). Ta chú ý rằng τ(v) ∈ H1(0, T ;L2(0, 1))∩L2(0, T ;D(A)) (xem Định lí 4.1). Do đó ta có ngay (ii) vì tính compact của phép nhúng H1(0, T ;L2(0, 1))∩L2(0, T ;D(A)) ,→ C([0, T ];L2(0, 1))∩L2(0, T ;H1α,0(0, 1)). Phép nhúng compact này cũng được sử dụng cho chứng minh (iii). Thật vậy, với vk ∈ X sao cho vk → v trong X, khi k →∞, ta chứng minh rằng uvk → uv trong X, khi k → ∞. Ở đây uvk và uv là các nghiệm của (4.53) liên kết với vk, h vk và v, hv tương ứng. Ta có τ(vk) = uvk là nghiệm của (4.53) tương ứng với điều khiển hvk mà sao cho uvk(T ) = 0, tức là uvkt − (xαuvkx )x − λ xβ uvk + cvk(x, t)uvk = 1ωh vk , (x, t) ∈ QT , uvk(0, t) = uvk(1, t) = 0 t ∈ (0, T ), uvk(x, 0) = u0, u vk(x, T ) = 0 x ∈ (0, 1). (4.57) 107 Khi đó, từ (4.8) và (4.55) ta có (lấy dãy con nếu cần thiết): uvk ⇀ uv trong H1(0, T ;L2(0, 1)) ∩ L2(0, T ;D(A)) ∩ C([0, T ];H1α,0(0, 1)), hvk ⇀ h trong L2(ω × (0, T )). (4.58) Do phép nhúng sau là compact H1(0, T ;L2(0, 1))∩L2(0, T ;D(A)) ,→ C([0, T ];L2(0, 1))∩L2(0, T ;H1α,0(0, 1)), suy ra uvk → uv trong C([0, T ];L2(0, 1)). (4.59) Mà vk → v trong C([0, T ];L2(0, 1)), nên cùng với tính liên tục của cvk và (4.59) ta có cvk(x, t)uvk(x, t)→ cv(x, t)uv(x, t), hầu khắp (x, t) ∈ QT . (4.60) Do {cvkuvk} bị chặn trong L2(QT ), nên cvkuvk ⇀ κ trong L2(QT ). (4.61) Từ (4.60) và (4.61) ta suy ra κ(x, t) = cv(x, t)uv(x, t), hầu khắp (x, t) ∈ QT . Vậy cvkuvk ⇀ cvuv trong L2(QT ). (4.62) Từ (4.58), (4.62) ta có thể lấy giới hạn trong (4.57) để kết luận (uv, hv) thỏa mãn (4.53) và uv(·, T ) = 0. Vậy uv = τ(v). Do đó τ là liên tục. Vậy các giả thiết của định lí Schauder thỏa mãn đối với τ . Định lí được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh kết quả chính của chương. 108 Định lí 4.5. Giả sử T > 0 và u0 ∈ L2(0, 1) cho trước. Với các giả thiết (4.3) và (4.2), bài toán (4.1) điều khiển được về 0, tức là tồn tại h ∈ L2(ω× (0, T )) sao cho bài toán (4.1) có nghiệm u thỏa mãn u(·, T ) = 0. Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn ∫ T 0 ∫ ω h2dxdt ≤ CT ∫ 1 0 u20dx, (4.63) với CT có dạng như trong Định lí 4.4. Chứng minh. Bước đầu tiên, ta xét bài toán vt − (xαvx)x − λ xβ v + f(x, t, v) = 0, (x, t) ∈ QT/2, v(0, t) = v(1, t) = 0, t ∈ (0, T/2), v(x, 0) = u0, x ∈ (0, 1). (4.64) Bởi Định lí 4.1, bài toán (4.64) có nghiệm v ∈ L2(0, T/2;H1α,0(0, 1)), do đó, tồn tại thời điểm t0 ∈ (0, T/2) sao cho v(t0, ·) =: u1 ∈ H1α,0(0, 1). Bước tiếp theo, ta xét bài toán wt − (xαwx)x − λ xβ w + f(x, t, w) = 1ωh1, (x, t) ∈ (0, 1)× (t0, T ), w(0, t) = w(1, t) = 0, t ∈ (t0, T ), w(x, t0) = u1, x ∈ (0, 1). (4.65) Bởi Định lí 4.4, bài toán (4.65) điều khiển được về 0, tức là, tồn tại điều khiển h1 ∈ L2(ω × (t0, T )) sao cho w(·, T ) = 0, và∫ T t0 ∫ ω h21dxdt ≤ CT−t0 ∫ 1 0 u21dx, với hằng số dương CT−t0 có dạng CT nhưng thay T bởi T − t0. Bây giờ ta xác định u và h bởi u := v(t) với mọi t ∈ [0, t0],w(t) với mọi t ∈ [t0, T ], và h := 0 với mọi t ∈ [0, t0],h1 với mọi t ∈ [t0, T ]. 109 Khi đó u là nghiệm của (4.1) và thỏa mãn u(x, T ) = 0 với mọi x ∈ (0, 1), h thỏa mãn (4.63). Chú ý cuối chương. Kết quả trong chương này là mở rộng kết quả về tính điều khiển được về 0 của lớp phương trình parabolic một chiều suy biến với thế vị kì dị của Vancostenoble [62] từ trường hợp tuyến tính sang trường hợp nửa tuyến tính. KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 Trong chương này, chúng tôi đã nghiên cứu một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị trong trường hợp dưới tới hạn. Kết quả chính đạt được là chứng minh tính điều khiển được về 0 bằng cách sử dụng ước lượng Carleman trong [62] để chứng minh được tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa và sau đó dùng định lí điểm bất động Schauder để nhận được tính điều khiển được về 0 của bài toán nửa tuyến tính. 110 KẾT LUẬN 1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic chứa toán tử Grushin không có/có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều và lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị. Các kết quả chính đạt được là: • Đối với bài toán điều khiển của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu). Khi s = 1 (suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển quá nhỏ. Chứng minh được tính không điều khiển được về 0 khi s > 1 (suy biến quá mạnh). • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều. • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị. 2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu như: 111 • Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị khi s ∈ (0, 1). • Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị trong trường hợp tới hạn. • Nghiên cứu tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến/kì dị khi điều khiển nằm trên biên (bài toán điều khiển biên). Đây là vấn đề rất khó, ngay cả trong trường hợp một chiều. 112 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1. C. T. Anh and V. M. Toi (2013), Null controllability of a parabolic equa- tion involving the Grushin operator in some multi-dimensional domains, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Vol. 93, 181-196. (ISI) 2. C. T. Anh and V. M. Toi (2015), Null controllability for semilinear degen- erate/singular parabolic equations, Fixed Point Theory, Vol. 16, 15-30. (ISI) 3. C. T. Anh and V. M. Toi (2016), Null controllability in large time of a parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square potential, Nonlinear Differential Equations and Applications, Vol. 23, no. 2, 23:20. (ISI) 113 Tài liệu tham khảo [1] R.A. Adams and J.F. Founier (2003), Sobolev Spaces, 2nd edition, Elsevier. [2] F. Alabau-Boussouira, P. Cannarsa and G. Fragnelli (2006), Carleman estimates for weakly degenerate parabolic operators with applications to null controllability, J. Evol. Equ. 6, 161-204. [3] L. D’Ambrosio (2003), Hardy inequalities related to Grushin type opera- tors, Proc. Amer. Math. Soc. 132, 725-734. [4] C.T. Anh (2010), Pullback attractor for a non-autonomous parabolic equation involving Grushin operators, Electron. J. Diff. Equa. 11, 1-14. [5] C.T. Anh, P.Q. Hung, T.D. Ke and T.T. Phong (2008), Global attractor for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator, Electron. J. Differ. Equ. 32, 1-11. [6] C.T. Anh and V.M. Toi (2015), Null controllability in large time for a parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square potential localized on boundary, submitted. [7] C.T. Anh and V.M. Toi (2012), Attractors for a semilinear parabolic sys- tem involving the Grushin operator, J. Abstr. Diff. Equa. Appl. 3, 1-16. [8] C.T. Anh and T.T.H. Yen (2011), Finite-dimensional pullback attractors for parabolic equations with Hardy type potentials, Ann. Pol. Math. 102, 161-186. 114 [9] P. Baras and J. Goldstein (1984), The heat equation with a singular po- tential, Trans. Amer. Math. Soc. 284, 121-139. [10] J. Bebernes and D. Eberly (1989), Mathematical Problems from Combus- tion Theory, Math. Sci. Vol. 83, Springer-Verlag, New York. [11] K. Beauchard (2014), Null controllability of Kolmogorov-type equations, Math. Control Signals Systems 26, 145-176. [12] K. Beauchard, P. Cannarsa and R. Guglielmi (2014), Null controllability of Grushin-type operators in dimension two, J. Eur. Math. Soc. 16, 67-101. [13] K. Beauchard, P. Cannarsa and M. Yamamoto (2014), Inverse source problem and null controllability for multidimensional parabolic operators of Grushin type, Inverse Problems 30 (2), 025006, 26 pp. [14] K. Beauchard, L. Miller and M. Morancey (2015), 2D Grushin-type equa- tions: minimal time and null controllable data, J. Differential Equations 259, 5813-5845. [15] U. Biccari (2015), Boundary controllability for a one-dimensional heat equation with two singular inverse-square potentials, arXiv:1509.05178. [16] H. Brezis and J.L. Vázquez (1997), Blowup solutions of some nonlinear elliptic problems, Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid 10, 443-469. [17] J.-M. Buchot and J.-P. Raymond (2002), A linearized model for boundary layer equations, in Optimal Control of Complex Structures (Oberwolfach, 2000), Internat. Ser. Numer. Math. 139, Birkhauser, Basel, 31-42. [18] V.R. Cabanillas, S.B. De Menezes and E. Zuazua (2001), Null controlla- bility in unbounded domains for the semilinear heat equation with non- linearities involving gradient terms, J. Optim. Theory Appl. 110, 245-264. 115 [19] P. Cannarsa, G. Fragnelli and J. Vancostenoble (2005), Linear degenerate parabolic equations in bounded domains: controllability and observability, Proceedings of 22nd IFIP TC 7 Conference on System Modeling and Op- timization (Turin, Italy, July 18-22), edited by Dontchev, Marti, Furuta and Pandolfi. [20] P. Cannarsa, G. Fragnelli and J. Vancostenoble (2006), Regional control- lability of semilinear degenerate parabolic equations in bounded domains, J. Math. Anal. Appl. 320, 804-818. [21] P. Cannarsa and R. Guglielmi (2014), Null controllability in large time for the parabolic Grushin operator with singular potential, Geometric Control Theory and Sub-Riemannian Geometry, Springer INdAM Series Volume 5, 87-102. [22] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2004), Persistent regional controllability for a class of degenerate parabolic equations, Comm. Pure Appl. Anal. 3, 607-635. [23] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2005), Null controllability of degenerate heat equations, Adv. Differential Equations 10, 153-190. [24] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2008), Carleman esti- mates for a class of degenerate parabolic operators, SIAM J. Control Op- tim. 47, 1-19. [25] P. Cannarsa, P. Martinez and J. Vancostenoble (2016), Global Carleman Estimates for Degenerate Parabolic Operators with Applications, Memoirs of AMS, 239, (1133). [26] C. Cazacu (2014), Controllability of the heat equation with an inverse- square potential localized on the boundary, SIAM J. Control Optim. 52, 2055-2089. 116 [27] J.-M. Coron (2007), Control and Nonlinearity, AMS, Providence, RI. [28] E. B. Davies (1995), Spectral Theory and Differential Operators, Cam- bridge Studies in Advanced Mathematics, 42, Cambridge University Press, Cambridge. [29] A. Doubova, E. Fernández-Cara and E. Zuazua (2002), On the controlla- bility of parabolic systems with a nonlinear term involving the state and the gradient, SIAM J. Control Optim. 42, 798-819. [30] S. Ervedoza (2008), Control and stabilization properties for a singular heat equation with an inverse-square potential, Comm. Partial Differen- tial Equations 33, 1996-2019. [31] C. Fabre, J.P. Puel and E. Zuazua (1995), Approximate controllability of the semilinear heat equation, Proc. Royal Soc. Edinburgh 125A, 31-61. [32] E. Fernández-Cara (1997), Null controllability of the semilinear heat equa- tion, ESAIM: Control Optim. Calc. Var. 2, 87-103. [33] E. Fernández-Cara and S. Guerrero (2006), Global Carleman inequalities for parabolic systems and applications to controllability, SIAM J. Control Optim. 45, 1399-1446 (electronic). [34] E. Fernández-Cara and E. Zuazua (2000), Null and approximate control- lability for weakly blowing up semilinear heat equations. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 17, 583-616. [35] M. Fotouhi and L. Salimi (2012), Null controllability of degener- ate/singular parabolic equations, J. Dyn. Control Syst. 18, 573-602. [36] G. Fragnelli (2016), Interior degenerate/singular parabolic equations in nondivergence form: well-posedness and Carleman estimates, J. Differen- tial Equations 260, 1314-1371. 117 [37] A.V. Fursikov and O.Yu. Imanuvilov (1996), Controllability of Evolution Equations, Lecture Notes Series, Seoul. 34. Seoul: Seoul National Univ., 163 p. [38] M. González-Burgos and L. de Teresa (2007), Some results on controlla- bility for linear and nonlinear heat equations in unbounded domains, Adv. Differ. Equ. 12, 1201-1240. [39] S. Guerrero (2012), An Introduction to the Theory of Control of Partial Differential Equations, Lecture Notes. [40] M. Gueye (2014), Exact boundary controllability of 1-D parabolic and hyperbolic degenerate equations, SIAM J. Control Optim. 52, 2037-2054. [41] V.V. Grushin (1971), A certain class of elliptic pseudo differential opera- tors that are degenerated on a submanifold, Mat. Sb., 84 (1971), 163-195; English transl. in : Math. USSR Sbornik, 13, 155-183. [42] G.H. Hardy, J.E. Littlewood and G. Pólya (1952), Inequalities, 2nd ed., Cambridge, at the University Press. [43] O. Yu. Imanuvilov (1995), Controllability of parabolic equations, Sb. Math. 186, 109-132 (in Russian). [44] A. Kogoj and E. Lanconelli (2012), On semilinear ∆λ-Laplace equation, Nonlinear Anal. 75, 4637-4649. [45] J. Le Rousseau and I. Moyano (2016), Null-controllability of the Kol- mogorov equation in the whole phase space, J. Differential Equations 260, 3193-3233. [46] G. Lebeau and L. Robbiano (1995), Contrôle exact de l’équation de la chaleur, Comm. Partial Differential Equations 20, 335-356. 118 [47] J.-L. Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris, [48] J.-L. Lions (1988), Exact controllability, stabilizability and perturbations for distributed systems, SIAM Rev. 30, 1-68. [49] J.-L. Lions (1988), Contrôlabilité Exacte, Perturbations et Stabilisation de Systèmes D´istribues, Tome 1, Rech. Math. Appl. 8, Masson, Paris. [50] J.-L. Lions (1988), Contrôlabilité Exacte, Perturbations et Stabilisation de Systèmes D´istribues, Tome 2, Rech. Math. Appl. 9, Masson, Paris. [51] L. H. Loomis and S. Sternberg (1990), Advanced Calculus, Paperback edition of the 1990 revised edition [MR1140004 (92i:00002)] of the 1968 original. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2014. xii+580 pp. ISBN: 978-981-4583-93-0. [52] P. Martinez, J.-P. Raymond and J. Vancostenoble (2003), Regional null controllability for a linearized Crocco type equation, SIAM J. Control Optim. 42 (2). [53] P. Martinez and J. Vancostenoble (2006), Carleman estimates for one- dimensional degenerate heat equations, J. Evol. Equ. 6, 325-362. [54] V.G. Maz’ja (1985), Sobolev Spaces, Springer Series in Soviet Mathemat- ics. Springer-Verlag, Berlin, Translated from the Russian by T. O. Sha- poshnikova. [55] L. Miller (2005), On the null-controllability of the heat equation in un- bounded domains, Bull. Sci. Math. 129, 175-185. [56] M. Morancey (2015), Approximate controllability for a 2D Grushin equa- tion with potential having an internal singularity, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 65 no. 4, pp.1525-1556. 119 [57] M. Pivato (2010), Linear Partial Differential Equation and Fourier The- ory, Cambrige University Press, Cambridge. [58] M. Reed and B. Simon (1979), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. II. New York: Academic Press. [59] J.C. Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cam- bridge University Press, Cambridge. [60] J. Schauder (1930), Der Fixpunktsatz in Funktionalra¨umen, Studia Math. 2, 171-180. [61] N.T.C. Thuy and N.M. Tri (2002), Existence and nonexistence results for boundary value problems for semilinear elliptic degenerate operator, Russ. J. Math. Phys. 9, 366-371. [62] J. Vancostenoble (2011), Improved Hardy-Poincaré inequality and shap Carleman estimates for degenerate/singular parabolic problems, Disc. Cont. Dyna. Syst. Ser. S, Vol. 4, 761-790. [63] J. Vancostenoble and E. Zuazua (2008), Null controllability of heat equa- tions with singular inverse-square potentials, J. Funct. Anal. 254, 1864- 1902. [64] J.L. Vazquez and E. Zuazua (2000), The Hardy inequality and the asymp- totic behaviour of the heat equation with an inverse-square potential, J. Funct. Anal. 173, 103-153. [65] C. Wang (2010), Approximate controllability of a class of semilinear sys- tems with boundary degeneracy, J. Evol. Equ. 10, 163-193. [66] C. Wang and R. Du (2013), Approximate controllability of a class of semi- linear degenerate systems with convection term, J. Differential Equations 254, 3665-3689. 120 [67] C. Wang and R. Du (2014), Carleman estimates and null controllability for a class of degenerate parabolic equations with convection terms, SIAM J. Control Optim. 52, 1457-1480. [68] E. Zuazua, Exact boundary controllability for the semilinear wave equa- tion (1991), Nonlinear partial differential equations and their applications. Collège de France Seminar, Vol. X (Paris, 1987-1988), 357–391, Pitman Res. Notes Math. Ser., 220, Longman Sci. Tech., Harlow. [69] E. Zuazua (1993), Exact controllability for semilinear wave equations in one space dimension, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 10, 109-129. [70] E. Zuazua (1997), Finite dimensional null controllability for the semilinear heat equation, J. Math. Pures et Appl. 76, 570-594. [71] E. Zuazua (1999), Approximate controllability for semilinear heat equa- tions with globally Lipschitz nonlinearities, Control Cybern. 28, 665-683.