Luận văn Hàm lợi ích và ứng dụng trong toán tài chính

= − = − < − Theo nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, nhà đầu tư sẽ quyết định đầu tư. (Hình 2.2) Hình 2. 2. Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích 3( )U ω ω−= − Môt điều dễ thấy ở trong ví dụ này là kỳ vọng hàm lợi ích thu được khi đầu tư chỉ lớn hơn khi không đầu tư rất ít (0,02). Vậy nếu ta thay đổi số mũ của hàm lợi ích thì kết quả sẽ thay đổi như thế nào? Liệu nhà đầu tư với hàm lợi ích mới có còn lựa chọn phương án đầu tư? Xét: 10 10 5 5 10( ) 10U ω ω ω −−= = − 29 Ta có: 10 6 10 7( ) 5.10 0; ( ) 30.10 0U Uω ω ω ω− −′ ′′= > = − < do đó U là một hàm lợi ích. Ta tiếp tục xét phương án đầu tư ở trên. Kỳ vọng hàm lợi ích trong các trường hợp: + Thị trường xấu: [ ] 10 5( ) 10 .90 1.69E U ω −= − ≈ − . + Thị trường tốt: [ ] 10 5( ) 10 .120 0,4E U ω −= − ≈ − . Kỳ vọng hàm lợi ích của phương án đầu tư: [ ] ( ) ( )10 5 10 5( ) 0,5. 10 .90 0.5 10 .120 1,05.E U ω − −= − + − = − Nếu nhà đầu tư không lựa chọn đầu tư thì khi đó kỳ vọng hàm lợi ích : [ ] 10 50( ) ( ) 10 .100 1 1,05.E U Uω ω −= = − = − > − Theo nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, nhà đầu tư sẽ từ chối sự đầu tư. (Hình 2.3) Hình 2. 3. Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích 10 5( ) 10U ω ω−= − Ví dụ trên cho ta thấy rằng cùng một phương án đầu tư nhưng hai nhà đầu tư với hai hàm lợi ích khác nhau sẽ có sự lựa chọn khác nhau. Rõ ràng ta thấy nhà đầu tư với 30 hàm lợi ích ( ) 5 1U ω ω = − thì e ngại rủi ro (sợ rủi ro) hơn là nhà đầu tư với hàm lợi ích ( ) 3 1U ω ω = − . 2. Ví dụ 2: Một phương án đầu tư tối ưu Giả sử tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là 100 triệu. Ở hai ví dụ trên ta giả sử rằng nhà đầu tư chỉ có hai sự lựa chọn hoặc là không làm gì cả hoặc là đầu tư toàn bộ vốn của mình vào một tài sản rủi ro. Trong ví dụ này ta giả sử nhà đầu tư còn có thêm một lựa chọn nữa là đầu tư một phần của 100 triệu và giữ nguyên phần còn lại. Vậy nhà đầu tư sẽ có ba lựa chọn: không làm gì, đầu tư toàn bộ vốn vào tài sản rủi ro hoặc chỉ chọn đầu tư một phần của 100 triệu và giữ nguyên phần còn lại. Ta sử dụng hàm lợi ích dạng lũy thừa như ở ví dụ 1 ( phần 2.4.1), tuy nhiên hàm lợi ích sẽ ở dạng tổng quát hơn: Với 1, 0λ λ< ≠ xét: 1( )U λ λ ωω λ − = Khi đó: 1 ' 1( ) 0U λ λ λ λωω ω λ − −= = > 2 " 2( 1)( ) ( 1) 0 (do 1)U λ λ λ λ λ ωω λ ω λ λ − −−= = − < < . Ta sẽ kí hiệu: 0,5 3 50,5 3 5; - ; -U U Uω ω ω ω − − − −= = = = . Nhắc lại, tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là 100 triệu và nhà đầu tư có thể lựa chọn đầu tư một phần vốn bất kì vào tài sản rủi ro. Gọi α là phần tài sản rủi ro mà nhà đầu tư lựa chọn để đầu tư. Khi đó 100 α− gọi là tài sản không rủi ro. + Nếu diễn biến thị trường tốt: tài sản thu được là : 100 0,2 100 0,2 .ω α α α α= − + + = + +Nếu diễn biến thị trường xấu: tài sản thu được là: 100 0,1 100 0,1 .ω α α α α= − + − = − Kỳ vọng hàm lợi ích: 31 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5. 100 0,1 0,5. 100 0,2 100 0,1 1 100 0,2 1 0,5 0,5 100 0,1 1 100 0,2 1 0,5 100 0,1 100 0,2 2 0,5 0,5 100 0,1 100 0,2 2 f U U λ λ λ λ λ λ λ λ α α α α α λ λ α α λ λ α α λ α α λ = − + + − − + − = +  − − + − = +      − + + − =       = − + + −  • Ta sẽ xác định phần tài sản mà nhà đầu tư sẽ lựa chọn đầu tư thông qua giá trị tương đương hầu chắc chắn của phương án đầu tư . Gọi c là giá trị tương đương hầu chắc chắn của phương án đầu tư ứng với hàm lợi ích trên. Tức là ta tìm c sao cho: [ ] ( ) ( )1 0,5( ) ( ) hay 100 0,1 100 0,2 2 .cU c E U λ λ λω α α λ λ −  = = − + + −  Trong đó α là số tài sản mà nhà đầu tư bỏ ra trong tổng vốn ban đầu. Do cực đại kỳ vọng hàm lợi ích tương đương với cực đại giá trị tương đương hầu chắc chắn nên ở đây ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất của c . Đường cong trong Hình 2.4 và Hình 2.5 được gọi là “đường cong lợi ích ”. Nếu kết hợp nhiều tài sản rủi ro thì đường cong sẽ trở thành mặt trong không gian đa chiều. Để giải bài toán phân phối tài sản đầu tư tối ưu (hay bài toán đầu tư tối ưu) ta sẽ đi theo “đồi lợi ích” và tìm thấy phương án đầu tư tối ưu tại đỉnh của nó. 32 Hình 2. 4 Đường cong lợi ích ứng với 3λ = − Nếu ở ví dụ trước, ứng với 3λ = − , nhà đầu tư sẽ lựa chọn đầu tư toàn bộ tài sản 100 triệu thì ở ví dụ này phương án đầu tư tối ưu là đầu tư 59 triệu trong tổng vốn 100 triệu ban đầu.(Hình 2.4) 33 Hình 2. 5.. Đường cong lợi ích ứng với 5λ = − Tương tự với 5λ = − , phương án tối ưu cho nhà đầu tư e ngại rủi ro là đầu tư 39 triệu và giữ lại 61 triệu.(Hình 2.5) • Ta có thể dùng công cụ tính toán đại số để tìm phương án đầu tư tối ưu trong ví dụ này. Dựa trên nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, ta sẽ tìm giá trị của α sao cho ( )f α đạt giá trị lớn nhất. Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0,5( ) 0,1 100 0,1 0,2 100 0,2 0,1 100 0,2 0,05 100 0,1 f λ λ λ λ α λ α λ α λ α α − − − −  ′ = − − + +  = + − − ( ) ( )1 1' ( ) 0 0,1 100 0,2 0,05 100 0,1 0f λ λα α α− −= ⇒ + − − = 34 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0,1 100 0,2 0,05 100 0,1 100 0,2 0,5 100 0,1 100 0,2 0,5 100 0,1 100 0,2 2 100 0,1 λ λ λ λ λ λ α α α α α α α α − − − − − − ⇒ + = − + ⇒ = − +  ⇒ = −  +  ⇒ = −  Với 1λ . Đặt 1A λ= − khi đó 0A > . A được gọi là hệ số e ngại rủi ro của hàm lợi ích đang xét. Mỗi hàm lợi ích sẽ có hệ số e ngại rủi ro khác nhau. Ở phần trên ta thấy khi λ giảm nhà đầu tư trở nên e ngại rủi ro nhiều hơn. Cụ thể, nhà đầu tư với hàm lợi ích 5 1( )U ω ω = − ứng với 6A = thì e ngại rủi ro nhiều hơn nhà đầu tư với hàm lợi ích 3 1( )U ω ω = − ứng với 4A = . Vậy khi A tăng, mức độ e ngại rủi ro của nhà đầu tư sẽ tăng. Thay 1A λ= − vào pt trên ta có: 1 100 0,2 2 100 0,1 100 0,2ln ln 2 100 0,1 100 0,2 1ln ln 2 100 0,1 100 0,2ln ln 2 100 0,1 A A A A α α α α α α α α +  = −  +  ⇒ = −  +  ⇒ = −  +  ⇒ = −  Suy ra 35 ( ) 1 1 1 1 1 1 100 0,2 2 100 0,1 100 0,2 2 100 0,1 0,2 0,1.2 100 2 1 100 2 1 0,2 0,1.2 A A A A A A α α α α α α +  = −  ⇒ + = −     ⇒ + = −          −   ⇒ = + Vậy phần tài sản đầu tư rủi ro được xác định bởi: 1 1 100 2 1 0,2 0,1.2 A A α   −   = + (2.1) Hình 2. 6. Phương án đầu tư tối ưu 36 Hình 2.6 minh họa mối liên hệ giữa phần tài sản được đầu tư rủi ro và hệ số e ngại rủi ro khi λ thay đổi. Nhận xét • Ta thấy khi sự e ngại rủi ro tăng lên thì phần vốn được đầu tư vào tài sản rủi ro trong phương án đầu tư tối ưu giảm dần. • Một điều đặc biệt ở mép trái của đồ thị, ta thấy rằng đối với nhà đầu tư có hệ số e ngại rủi ro thấp A=2 thì phần tài sản tối ưu mà nhà đầu tư sẽ đầu tư là 121 triệu, lớn hơn tổng vốn ban đầu 21 triệu. Trong trường hợp nhà đầu tư có thể mượn thêm 21 triệu mà không cần trả lãi thì phương án đầu tư tối ưu là mượn thêm 21 triệu và đầu tư toàn bộ 121 triệu tiền vốn. Việc vay mượn tiền để hỗ trợ đầu tư rủi ro trong tài chính được gọi là “đòn bẩy tài chính”. Nếu nhà đầu tư không mượn được thêm tiền thì phương án đầu tư tối ưu là đầu tư toàn bộ tài sản hiện có. 2.4.2 Hàm lợi ích logarit Xét hàm lợi ích dạng: ( ) 1U λ λ ωω λ − = với 1, 0λ λ< ≠ Nếu 0λ = thì 1A = và dùng quy tắc L’Hospital ta tính được 0 lim ( ) lnU λ ω ω → = Đặt : ( ) lnU ω ω= . Ta có: 2 1 1( ) 0, ( ) 0U Uω ω ω ω −′ ′′= > = < . Vậy ( ) lnU ω ω= là một hàm lợi ích. Ta sẽ tìm phương án đầu tư tối ưu ở ví dụ 2(phần 2.4.1) ứng với hàm lợi ích lôgarit ( ) lnU ω ω= . Khi đó: ( ) ( )( ) 0,5.ln 100 0,1 0,5ln 100 0.2f α α α= − + + 0,05 0,1( ) 100 0,1 100 0,2 f α α α ′ = − + − + 37 ( ) ( ) 0,05 0,1( ) 0 0 100 0,1 100 0,2 0,05 0,1 100 0,1 100 0,2 0,05 100 0,2 0,1 100 0,1 250. f α α α α α α α α ′ = ⇒ − + = − + ⇒ = − + ⇒ + = − ⇒ = Kết quả này đúng với khi ta thay A=1 vào phương trình (2.1). Ta nhận thấy rằng, với ví dụ trên, nhà đầu tư với hàm lợi ích logarit thì rất ít e ngại rủi ro,vì phương án đầu tư tối ưu ứng với hàm lợi ích ( )U lnω ω= có đòn bẩy rất lớn. 2.4.3 Hàm lợi ích lũy thừa Xét hàm lợi ích : ( ) 1U λ λ ωω λ − = với 1, 0λ λ< ≠ + Với 0λ = thì ( ) lnU ω ω= (Ta đã xét ở phần 2.4.2). + Hàm lợi ích lũy thừa có tính chất: khi tổng vốn ban đầu tăng lên (giảm xuống) k lần thì ta sẽ thu được một hàm lợi ích tương tự hàm ban đầu (sai khác nhau một phép biến đổi affine dương). Thật vậy: Với 0k > ta có: • 1, 0λ λ< ≠ , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) k kU k k f k U g k λ λ λ λ λ λ ω ωω ω λ λ λ − − − = = + = + . • ( )0, ( ) ln ln ln ( ) ( )U k k k U h kλ ω ω ω ω= = = + = + Với ( ), ( ), ( )f k g k h k độc lập với biến ω và ( ) 0f k > . Tính chất trên có ảnh hưởng rất quan trọng đối với việc tìm phương án đầu tư tối ưu. Nó cho thấy rằng nếu tỉ lệ của sư phân bố tài sản đầu tư là tối ưu đối với tài sản ω thì nó cũng sẽ tối ưu đối với tài sản kω với 0k > . Ta sẽ minh họa điều này bằng việc sử dụng lại sự đầu tư ở ví dụ 2 (phần 2.4.1). Tuy nhiên tổng quát hơn, tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là tham số 0ω và lượng tài sản đem đầu tư là 1 phần của 0ω . Gọi α là tỉ lệ hay phần trăm tài sản đem đầu tư. Vậy nhà đầu tư sẽ đầu tư 0αω vào tài sản rủi ro và số vốn còn lại là ( )0 0 0 1ω αω ω α− = − . Có hai khả năng có thể xảy ra: +Thị trường diễn biến tốt: 38 ( )0 0 01, 2 (1 ) 1 0,2 .ω αω ω α α ω= + − = + +Thị trường diễn biến xấu: ( )0 0 00,9 (1 ) 1 0,1 .ω αω ω α α ω= + − = − Kỳ vọng hàm lợi ích: ( ) ( ) ( )0 00,5. 1 0,1 0,5. 1 0,2f U Uα α ω α ω   = − + +    ( ) ( )0 01 0,1 1 1 0,2 10,5 0,5 λ λ α ω α ω λ λ    − − + −   = + ( ) ( )0 01 0,1 1 1 0,2 10,5 λ λ α ω α ω λ λ     − − + −    = +     ( ) ( )0 1 0,1 1 0,2 2 0,5 λ λλω α α λ   − + + −  =      ( ) ( )0 0,5 1 0,1 1 0,2 2λ λλω α α λ   = − + + −    Ta tìm giá trị của α sao cho ( )f α đạt giá trị lớn nhất ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 0,5( ) 0,1 1 0,1 0,2 1 0,2 0,1 1 0,2 0,05 1 0,1 f λ λλ λ λλ α ω λ α λ α λ ω α α − − − −  ′ = − − + +   = + − −  ( ) ( )1 1( ) 0 0,1 1 0,2 0,05 1 0,1 0f λ λα α α− −= ⇒ + − − = ( ) ( )1 10,1 1 0,2 0,05 1 0,1λ λα α− −⇒ + = − ( ) ( ) 1 1 1 0,2 0,5 1 ,1 0 λ λ α α − − + ⇒ = − 1 1 0,2 0,5 1 0,1 λ α α − +  ⇒ = −  1 1 0,2 1 0,2 2 1 0,1 1 0,1 Aλ α α α α − + +    ⇒ = =   − −    1 1 2 1 0,2 0,1.2 A A α −⇒ = + Vậy phần trăm tài sản đem đầu tư được xác đinh bởi: 39 1 1 2 1 0,2 0,1.2 A A α −= + Kết quả này cho thấy tỉ lệ đầu tư α độc lập với tổng vốn ban đầu 0ω . Vì vậy phương án đầu tư tối ưu là như nhau với mọi tài sản. Ví dụ, nếu tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là 1 tỷ và phương án đầu tư tối ưu của nhà đầu tư là 50% rủi ro, 50% không rủi ro (đầu tư 0,5 tỷ ), thì đối với số vốn là 1000 tỷ, sự lựa chọn đầu tư tối ưu của nhà đầu tư cũng là 50% rủi ro, 50% không rủi ro (đầu tư 500 tỷ).4 Như vậy, nhà đầu tư với hàm lợi ích lũy thừa có quan điểm không thay đổi về sự rủi ro thể hiện qua phần trăm tài sản đem đầu tư không đổi. Tính chất này gọi là " sự e ngại rủi ro tương đối cố định". 2.4.4 Hàm mũ Xét hàm số: ( ) AU e ωω −= − với A là hằng số, 0A > . + Hàm lợi ích mũ có tính chất bất biến khi ta biến đổi biến tài sản, nghĩa là khi ta cộng thêm vào tài sản ban đầu một lượng nào đó thì ta sẽ thu được hàm lợi ích tương tự (sai khác một phép biến đổi affine dương). Thật vậy: Với mỗi 0k > , ( )( ) . ( ) ( ) ( )A k A Ak AU k e e e e f k U f kω ω ωω ω− + − − −+ = − = − = − = với ( ) 0Akf k e−= > và độc lập với ω . Ta sẽ tiếp tục tính toán phương án tối ưu của ví dụ 2 (phần 2.4.1) với hàm lợi ích này. Kỳ vọng hàm lợi ích : ( ) ( )0 01 0,1 1 0,2( ) 0,5 0,5A Af e eα ω α ωα − − − +   = − + −    ( ) ( )0 01 0,1 1 0,20,5 A Ae eα ω α ω− − − + = − +  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0,1 1 0,2 0 0 1 0,1 1 0,2 0 ( ) 0,5 0,1 0,2 0,5 0,1 0, 2 A A A A f A e A e A e e α ω α ω α ω α ω α ω ω ω − − − + − − − +  ′ = − −   = −  40 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,1 1 0,2 0 1 0,1 1 0,2 1 0,1 1 0,2 1 0,1 1 0,2 0,3 ( ) 0 0,5 0,1 0,2 0 0,1 0,2 2 0 2 A A A A A A A A f A e e e e e e e e α ω α ω α ω α ω α ω α ω ω α α ω α α ω − − − + − − − + − − − + − − − −  ′ = ⇒ − =   ⇒ −  ⇒ = = ⇒ = ⇒ 2= Vậy 0 0 ln 2 2,31 0,3A A α ω ω = ≈ Giả sử 0,0231A = khi đó 0 100α ω = • Với tổng vốn ban đầu là 100 triệu , ứng với 1α = chiến lược tối ưu của nhà đầu tư là đầu tư toàn bộ tài sản của mình. • Nếu 0 200ω = triệu , ứng với 1 2 α = thì nhà đầu tư sẽ đầu tư 50% (ứng với 100 triệu) và giữ lại 50% tài sản (100 triệu). • Nếu 0 1000ω = triệu (1 tỷ), ứng với 1 10 α = thì nhà đầu tư sẽ đầu tư 10% tài sản (100 triệu) và giữ lại 900 triệu. Ta thấy rằng khi tổng vốn ban đầu tăng lên, nhà đầu tư sẽ nhanh chóng trở nên thận trọng hơn (điều đó thể hiện qua số tiền được đầu tư chiếm tỉ lệ ngày càng thấp). Nhà đầu tư luôn đầu tư 100 triệu dù tài sản của nhà đầy tư có là bao nhiêu đi nữa. Ví dụ với 6 0 10ω = triệu, nhà đầu tư cũng sẽ đầu tư chỉ 100 triệu mà thôi. Nhà đầu tư với hàm lợi ích mũ có quan điểm cố định về rủi ro thông qua số tiền đầu tư không đổi. Tính chất này được gọi là “ sự e ngại rụi ro tuyệt đối cố định” + Giá trị tương đương hầu chắc chắn của phương án đầu tư được suy ra từ hàm lợi ích mũ: Cho hàm lợi ích mũ: ( ) AU e ωω −= − ( A >0). Gọi c là giá trị tương đương hầu chắc chắn của phương án đầu tư ứng với hàm lợi ích mũ. Khi đó: 41 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln do 0 , nên 0 . Ac A A Ac A A A A U c E U e E e E e e E e c E e e E e A ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − − − =    ⇒ − = − = −     ⇒ =      ⇒ = − > ∀ >   2.5 Hàm e ngại rủi ro 2.5.1 Xây dựng hàm e ngại rủi ro Ta đã biết hai hàm lợi ích là như nhau nếu chúng khác nhau một phép biến đổi affine dương. Giả sử: U , V là hai hàm lợi ích thỏa ( ) ( )V aU bω ω= + với 0,a b> tùy ý. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) V aU V aU ω ω ω ω ′ ′= ′′ ′′= suy ra ( )( ) ( ) 0, 0 ( ) ( ) V U U V V U ω ω ω ω ′ ′ ′′ ′′= < < ′′ ′′ Ngược lại, giả sử : ,U V là hai hàm lợi ích cho trước thỏa ( ) ( ) ( ) ( ) V U V U ω ω ω ω ′ ′ = ′′ ′′ (2.3) Đặt ( )( ) 0 ( ) Vg U ωω ω ′ = > ′ (2.4) Ta có: [ ]2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) V U V Ug U ω ω ω ωω ω ′′ ′ ′ ′′−′ = ′ (do V,U khả vi cấp 2) [ ] [ ] (2.3) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) doV U V V U Vg U U UU U ω ω ω ω ω ωω ω ω ωω ω ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ = − = − = = ′ ′ ′′ ′ Vậy ( )g cω = với c là hằng số, 0c > (do (2.4)). ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vg c V cU V d cU d U ωω ω ω ω ω ω ω ω ′ ′ ′ ′ ′= = ⇒ = ⇒ = ′ ∫ ∫ . Vậy ( ) ( )V cU dω ω= + với ,c d là hằng số, 0c > . Như vậy, hai hàm lợi ích là như nhau nếu tỉ số đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của chúng bằng nhau. ★ Với mỗi hàm lợi ích U cho trước ta xét hàm số: 42 ( )( )( ) ln ( ) ( ) UA U U ωω ω ω ω ′′ ∂ ′= − = − ′ ∂ Do ( ) 0, ( ) 0 0U Uω ω ω′ ′′> nên ( ) 0 0A ω ω> ∀ > Ta gọi A là hàm e ngại rủi ro tuyệt đối Pratt-Arrow . Nó hoàn toàn đặc trưng cho hàm lợi ích, cung cấp sự đo lường mức độ e ngại rủi ro tuyệt đối của nhà đầu tư như là một hàm số tài sản của nhà đầu tư. ★ Hàm số ( )( ) ( ) ( ) U R A U ω ω ω ω ω ω ′′ = = − ′ gọi là hàm e ngại rủi ro tương đối 2.5.2 Tính chất 1. Nếu 1 a ωω = với a là hằng số. Khi đó 1( ) ( )A aAω ω= . Thật vậy: Ta có: 1( ) ( )U U aω ω= . 1 1 1 ( ) . ( )U UU aUωω ω ω ω ω ∂ ∂ ∂′ ′= = = ∂ ∂ ∂ ( ) 2 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ). ( )U UU U a a Uω ω ω ω ω ω ω  ∂ ∂ ∂ ∂′′ ′ ′′= = = = ∂ ∂ ∂ ∂  Vậy 2 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) U a UA aA U aU ω ωω ω ω ω ′′ ′′ = − = − = ′ ′ 2. Nếu 1aω ω= + với a là hằng số. Khi đó 1( ) ( )A Aω ω= . Thật vậy: Ta có 1( ) ( )U U aω ω= + . 1 1 1 ( ) . ( )U UU Uωω ω ω ω ω ∂ ∂ ∂′ ′= = = ∂ ∂ ∂ ( ) 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )U UU U Uω ω ω ω ω ω ω  ∂ ∂ ∂ ∂′′ ′ ′′= = = = ∂ ∂ ∂ ∂  Vậy 11 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) U UA A U U ω ωω ω ω ω ′′ ′′ = − = − = ′ ′ . 3. Định lý Gọi ( )UA ω và ( )VA ω là hai hàm e ngại rủi ro tuyệt đối Pratt-Arrow ứng với hai hàm lợi ích U , V . Khi đó ( ) ( )U VA Aω ω≤ nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm lõm, tăng h sao cho [ ]( ) ( )V h Uω ω= . 43 Chứng minh ( )⇒ Ta sẽ chứng minh: Nếu tồn tại hàm số tăng và lõm h sao cho ( ) ( )( )V h Uω ω= thì ( ) ( ) , 0V UA Aω ω ω≥ ∀ > . Ta có: ( )( ) ( ) . ( )V h U Uω ω ω′ ′ ′= ( ) ( ) ( ) ( )2( ) . ( ) . ( )V h U h Uω ω ω ω ω′′ ′′ ′ ′ ′′= + Ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )V U V UA A V U ω ωω ω ω ω ′′ ′′  − = − − ′′ ′  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) h U U h U U U h U U U ω ω ω ω ω ω ω ω  ′′ ′ ′ ′′+ ′′  = − −  ′ ′ ′  ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) 0. ( ) h U U h U ω ω ω  ′′ ′ = − >  ′  ( Do h tăng, U tăng nên ' 0h > và ' 0U > , mặt khác theo giả thiết h là hàm lõm nên '' 0h < ). Vậy ( ) ( ) , 0V UA Aω ω ω≥ ∀ > . ( )⇐ Ta định nghĩa hàm h như sau: ( )1( ) ( )h x V U x−= với ( ) x U ω= Do U là hàm khả vi, tăng ngặt nên 1U − tồn tại, và tăng ngặt. Vậy h hoàn toàn xác định. • Ta chứng minh h là hàm tăng ngặt và lõm: Ta có : ( ) ( ) 1'1 1 1 ( ( ))( ) ( ( )). ( ) 0 ( ) V U xh x V U x U x U U x − − − − ′ ′ ′= = > ′ . (Do U,V là hai hàm tăng ngặt nên ' 0U > và ' 0V > ). Vậy h là hàm tăng. Lại có: 44 ( ) ' 1 1 ( ( ))( ) ( ) V U xh x U U x − −  ′ ′′ =  ′  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 1 1 1 1 21 ( )( ( )) . ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) U U xV U x U U x V U x U U x U U x U U x −− − − − − − ′′′′ ′ ′− ′ ′ = ′ ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 21 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) U U x V U x V U x U U x U U x − − − − − ′′ ′′ ′− ′ = ′ ( ) ( ) ( )( ) 11 1 21 1 1 ( )( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) U U xV U x V U x V U x U U x U U x −− − − − −  ′′′′ ′  = − ′ ′  ′  ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 21 ( ( ))( ) ( ) . ( ) U V V U xA U x A V x U U x − − − − ′ = −  ′ ( ) ( ) ( )( )2 ( ). 0.U V VA A U ωω ω ω ′  = − <  ′ Vậy h là hàm lõm. Vậy ta đã chứng minh tồn tại một hàm tăng, lõm h thỏa: [ ]( ) ( )V h Uω ω= . 4. Mối quan hệ giữa các hàm e ngại rủi ro tuyệt đối cũng thể hiện qua mối quan hệ giữa các giá trị tương đương hầu chắc chắn Mệnh đề 2.1 Giả sử ,U Vc c là giá trị tương đương hầu chắc chắn của một phương án đầu tư ứng với hai hàm lợi ích U , V .Khi đó, nếu ( ) ( )U VA Aω ω≤ , 0ω∀ > thì U Vc c≥ . Chứng minh Ta có: do ( ) ( )U VA Aω ω≤ nên tồn tại hàm tăng, lõm h sao cho: ( ) ( )( )V h Uω ω= . Vì Vc là giá trị tương đương hầu chắc chắn của hàm lợi ích V nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V E V X V c E h U X h U c   =   ⇔ =  Áp dụng bất đẳng thức Jensen và định nghĩa kỳ vọng ta có: 45 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) k k i i i i i i E h U X P X h U X h P X U X h E U X = =      = ≤ =       ∑ ∑ Suy ra: ( ) ( )( )( ) Vh E U X h U c  ≥  ( ) ( ) ( )( )U VU c E U X U c⇒ = ≥ Vậy U Vc c≥ ( do U là hàm tăng ). 5. Mối liên hệ giữa hàm e ngại rủi ro và tập các phương án đầu tư chấp nhận được Mệnh đề 2.2 Gọi UF ; VF là tập các phương án đầu tư có thể chấp nhận được ứng với hàm lợi ích V,U . Khi đó nếu ( ) ( )V UA Aω ω≥ với mọi ω thì V UF F⊃ . Chứng minh Do ( ) ( )U VA Aω ω≤ nên tồn tại hàm tăng, lõm h sao cho: ( ) ( )( ) .V h Uω ω= Giả sử tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là ω . Xét một phương án đầu tư I với kết quả thu được là ( )X I . Nếu UI F∉ thì theo nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích ta suy ra: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . E U X I U h E U X I h U ω ω   <   ⇔ <  Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E h U X I h U E V X I V ω ω   <   ⇒ <  Vậy .V V UI F F F∉ ⇒ ⊃ 6. Xây dựng hàm lợi ích từ hàm e ngại rủi ro Ta đã biết, ứng với một lớp hàm lợi ích nhất định (sai khác nhau một phép biến đổi affine dương), ta sẽ xác định được một hàm số đo lường sự e ngại rủi ro tuyệt đối. Ngược lại, với một hàm e ngại rủi ro ( )A ω , ta sẽ tìm hàm lợi ích tương ứng thông qua phương trình vi phân: ( ) ( ) ( ) 0U A Uω ω ω′′ ′+ = Đặt: ( ) ( )V Uω ω′= . Phương trình (2.5) trở thành: ( ) ( ) ( ) 0V A Vω ω ω′ + = 46 Nghiệm tổng quát của phương trình (2.6) là: ( ) 1( ) A dV C e ω ωω −∫= với 1C const= Suy ra: ( ) ( )1 1 2( ) ( ) A d A dU C e U C e d Cω ω ω ωω ω ω− −∫ ∫′ = ⇒ = +∫ với 2C const= . 2.5.3 Hàm e ngại rủi ro ứng với một số hàm lợi ích 1. Hàm bậc hai: 2( )U a bω ω ω= − với 0, 2 ab b ω > < Ta có: ( ) 2 ( ) 2 U a b U b ω ω ω ′ = − ′′ = − ∗ Hàm e ngại rủi ro tuyệt đối Pratt-Arrow 2 2( ) ( ) 2 2U U b bA A a b a b ω ω ω ω − = − ⇒ = − − ( do ( ) 2 ' 2 4( ) 0 2 U bA a b ω ω = > − nên A là hàm tăng) ∗ Hàm e ngại rủi ro tương đối Pratt-Arrow 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 U U U b bR A R aa b b ωω ω ω ω ω ω − = = − ⇒ = − − ( do 2 ' 2 2 ( ) 0 2 U ab R a b ωω ω = >  −    nên R là hàm tăng ). Ta thấy, đối với hàm bậc hai, cả hai hàm số e ngại rủi ro tuyệt đối và tương đối đều là những hàm tăng. 2.Hàm lũy thừa 1( )U λωω λ − = với 1, 0λ λ< ≠ , 1A λ= − là hệ số e ngại rủi ro. ∗ Hàm e ngại rủi ro tuyệt đối Pratt-Arrow 2 1 ( 1) ( 1) 1( ) AA λ λ λ ω λ λω ω ω ω ω − − − − − = − = − = = 47 ( do 2( ) 0 AA ω ω −′ = < nên ( )A ω là hàm giảm) ∗ Hàm e ngại rủi ro tương đối Pratt-Arrow ( ) ( ) 1R A Aω ω ω λ= = − = =const Hàm lũy thừa ( hay trường hợp đặc biệt là hàm lôgarit) có hàm e ngại rủi ro tương đối là một hằng số không đổi, còn hàm e ngại rủi ro tuyệt đối là hàm giảm. 3.Hàm logarit: $U(\omega )=\ln \omega$ ∗ Hàm e ngại rủi ro tuyệt đối Pratt-Arrow 2 1 1( ) 1A ωω ω ω − = − = ( do 2 1( ) 0A ω ω −′ = < nên ( )A ω là hàm giảm ) ∗ Hàm e ngại rủi ro tương đối Pratt-Arrow 1( ) ( ) . 1R Aω ω ω ω ω = = = =const 4.Hàm mũ ( ) AU e ωω −= − với A>0 là hệ số e ngại rủi ro ∗ Hàm e ngại rủi ro tuyệt đối Pratt-Arrow 2 ( ) A A A eA A Ae ω ωω − − − = − = =const ∗ Hàm e ngại rủi ro tương đối Pratt-Arrow ( ) ( )R A Aω ω ω ω= = (do ( ) 0R Aω′ = > nên ( )R ω là hàm tăng) Hàm mũ có hàm e ngại rủi ro tuyệt đối là một hằng số không đổi, còn hàm e ngại rủi ro tương đối là hàm tăng. 5.Hàm lợi ích Hyperbolic: (HARA – Hyperbolic absolute risk aversion) 1( ) 1 aU b γ γ ωω γ γ  − = + −  với 0; 0 1 aa bω γ   > + > −  1 1 ( ) (1 ) 0 1 1 1 a a aU b a b γ γ ω ωω γ γ γ γ − −    ′ = − + = + >   − − −    48 ( ) 2 2 2( ) 1 0 1 1 1 a a aU a b a b γ γ ω ωω γ γ γ γ − −    ′′ = − + = − + <   − − −    ∗ Hàm e ngại rủi ro tuyệt đối Pratt-Arrow 1 2 2 1 1( ) (1 )( ) ( ) (1 ) 1 a aa b b U a bA U a aaa b γ γ ω ω γ γω ω γω ω γω γ − −     + +   ′′ − − + −   = − = − = = ′ −  − + −  ∗ Hàm e ngại rủi ro tương đối Pratt-Arrow ( ) (1 )( ) ( ) (1 ) U aR U a b ω γω ω ω ω ω γ ′′ − = − = ′ + − Nhận xét: • Khi 1, ( ) 0Aγ ω→ → ta có hàm lợi ích trung hòa rủi ro. • Khi 2γ = , (1 2)( ) (1 2) a aA a b a b ω ω ω − = = + − − (hàm bậc hai). • Khi ; 1bγ → −∞ = , (1 )( ) lim (1 ) aA a a bγ γω ω γ→−∞  − = = + −  =const (hàm mũ). • Khi 1, 0bγ < = , 1( )A γω ω − = (hàm lũy thừa). 49 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐẦU TƯ Chương 3 trình bày ứng dụng của hai hàm lợi ích: hàm lợi ích mũ và hàm lợi ích lũy thừa trong Lý thuyết đầu tư. Các định nghĩa, bổ đề và định lý trong chương 3 được trích dẫn từ tài liệu [15]. 3.1 Hiệu quả Khái niệm hiệu quả là trung tâm của lý thuyết đầu tư. Định nghĩa hình thức của khái niệm này dựa trên lý thuyết hàm lợi ích và giả sử nhà đầu tư e ngại rủi ro. Định nghĩa Giả sử 1 2,I I là hai phương án đầu tư mà giá trị thu được vào thời điểm t là hai biến ngẫu nhiên tương ứng 1 2( ), ( )t tω ω . Ta nói 1I hiệu quả hơn 2I tại thời điểm t nếu giá trị kỳ vọng hàm lợi ích của 1I lớn hơn giá trị giá trị kỳ vọng hàm lợi ích của 2I với mọi hàm lợi ích U . Hay nói cách khác: 1I hiệu quả hơn 2I tại thời điểm t ( ) ( )1 2( ) ( ) ,E U t E U t Uω ω   ⇔ > ∀    . Nhận xét • Nếu phương án 1I hiệu quả hơn 2I tại thời điểm t thì nhà đầu tư e ngại rủi ro sẽ lựa chọn phương án 1I (vào thời điểm đó). • Cho trước một tập hợp các phương án đầu tư có thể chấp nhận được F . Phần tử I F∈ được gọi là hiệu quả đối với F nếu không phần tử nào của F hiệu quả hơn I . • Khi lựa chọn một phương án đầu tư trong tập hợp các phương án chấp nhận được tại thời điểm t cho trước, ta chỉ cần quan tâm đến các phương án hiệu quả. Những nhà đầu tư khác nhau với hàm lợi ích khác nhau, khi dựa vào nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, sẽ lựa chọn được những phương án đầu tư hiệu quả khác nhau, nhưng sẽ không ai chọn phương án không hiệu quả. 3.2 Hàm lợi ích mũ và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Bổ đề 3.1 50 Tại một thời điểm t cho trước, giả sử lợi tức thu được của một phương án đầu tư I là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình r và độ lệch chuẩn tương ứng là s . U là hàm lợi ích mũ, có hệ số e ngại rủi ro là 0A > , ( ) AU e ωω −= − . 0ω là tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư. Khi đó, kỳ vọng hàm lợi ích của tài sản ( )tω thu được tại thời điểm t là: [ ] 2 0 0 11 2( ( )) . A r A s E U t e ω ω ω  − + −   = − Chứng minh Vì phương án đầu tư I có lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình r và độ lệch chuẩn s nên giá trị tài sản ( )tω thu được tại t là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Gọi R là lợi tức của phương án đầu tư I khi đó ( )20 0 ( ) ~ ,tR N r sω ω ω − = Lại có : ( ) ( )2~ , ~ 0,1R rR N r s X Ns − ⇒ = nên ( ) 0 0 ( ) ~ 0,1 t r X N s ω ω ω − − = Suy ra [ ]0( ) 1t sX rω ω= + + với ( )~ 0,1X N Khi đó: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 0 2 0 1 2 1 2 12 1( ) ( 1 ) . 2 1 . 2 1 2 1 . 2 x x A sx r xA sx r xA sx A r E U t U sx r e dx e e dx e dx e e dx ω ω ω ω ω ω π π π π +∞ − −∞ +∞ −− + + −∞ +∞ − + + − −∞ +∞ − − − + −∞   = + +  = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 00 1 21 2 xA sxA re e dx ωω π +∞ − −− + −∞ = −∫ Ta có: ( ) ( )2 22 0 0 02x A sx x A s A sω ω ω+ = + − 51 Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 00 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 1 11 2 2 1( ) . 2 1 2 x A s A sA r A r A s x A s E U t e e dx e e dx ω ωω ω ω ω ω π π +∞ − + +− + −∞   +∞− + − − +    −∞   = −  = − ∫ ∫ Đặt 0y x A sω= + . Ta được: ( ) 2 2 0 0 22 0 0 1 11 2 2 11 2 2 1( ) 2 1(do 1). 2 A r A s y yA r A s E U t e e dy e e dy ω ω ω ω ω π π   +∞− + − −    −∞   +∞− + − −    −∞   = −  = − = ∫ ∫ Định lý 3.1 Gọi F là tập hợp các phương án đầu tư chấp nhận được mà các phần tử của nó đều có lợi tức phân phối chuẩn. Khi đó, nhà đầu tư với mong muốn cực đại kỳ vọng hàm lợi ích với tổng vốn ban đầu là 0ω , hàm lợi ích ( ) AU e ωω −= − , hệ số e ngại rủi ro 0A > sẽ lựa chọn phương án đầu tư I F∈ sao cho: 2 0 1 2I I r A sω− đạt giá trị lớn nhất. Trong đó ,I Ir s là kỳ vọng và độ lệch chuẩn của lợi tức ứng với phương án đầu tư I . Chứng minh Theo bổ đề 3.1, ta có: tài sản thu được tại thời điểm t ứng với phương án đầu tư I có kỳ vọng hàm lợi ích là: ( ) 2 2 0 0 0 0 0 1 11 2 2( ) . I I I IA r A s A r A sA IE U t e e e ω ω ω ω ωω    − + − − −   −     = − = −  Theo nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, nhà đầu tư sẽ chọn I sao cho ( )( )IE U tω   max. Tức là: 2 0 0 0 1 2. I IA r A sAe e ω ω ω  − − −  − max. 2 0 0 2 0 0 1 2 1 2 1I I I I A r A s A r A s e e ω ω ω ω  − −     −    ⇔ = min. 52 2 0 1 2I I r A s e ω −   ⇔ max 20 1 2I I r A sω⇔ − max . Nhận xét • Ta thấy rằng nếu A càng bé (dần về 0) thì nhà đầu tư chỉ quan tâm đến việc cực đại kỳ vọng lợi tức thu được và không quan tâm tới rủi ro. Ngược lại nếu A lớn, anh ta sẽ phải chú ý tới việc giảm thiểu tối đa rủi ro ( tức là giảm độ lệch chuẩn bình phương hay phương sai). • Ta xét vai trò của vốn ban đầu 0ω . Khi vốn của nhà đầu tư tăng lên, anh ta ngay lập tức trở nên e ngại rủi ro nhiều hơn, yêu cầu lợi nhuận thu được phải tăng nhiều hơn qua mỗi đơn vị tăng lên của rủi ro. Sự e ngại rủi ro tương đối tăng lên khi tài sản tăng là một đặc trưng của hàm lợi ích mũ. • Trong một vài trường hợp, các chuyên gia khi sử dụng mô hình lợi tức phân phối chuẩn thường xem hàm lợi ích với số mũ âm là công cụ để đo lường lợi ích như một hàm của lợi tức ( sự thay đổi tài sản qua từng chu kỳ) thay vì của tài sản thu được sau 1 chu kỳ. Giả sử lợi tức tại thời điểm t là R . Ta có: 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 1t tR r sX r sXω ω ω ω ω − = = − = + + − = + với ( )~ 0,1X N Ta có: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1( ) 2 1 2 1 2 1 2 x x A r sx x AsxAr As x As Ar A r As E U R U r sx e dx e e dx e e dx e e dx e π π π π +∞ − −∞ +∞ −+ −∞ +∞ − −− −∞ ++∞ − + − −∞  − −    = + = − = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 53 Khi đó kỳ vọng hàm lợi ích sẽ trở thành: 21 2 A r As e  − −   − và nhà đầu tư muốn cực đại kỳ vọng hàm lợi ích sẽ tìm phương án đầu tư I sao cho: 21 2I I r As− đạt giá trị lớn nhất. Trong trường hợp này, phương án đầu tư tối ưu sẽ không phụ thuộc vào vốn ban đầu. Định lý 3.2 Giả sử 1 2,I I là hai phương án đầu tư có lợi tức là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tại thời điểm t nào đó, với kỳ vọng lợi tức là 1 2,r r và độ lệch chuẩn tương ứng là 1 2,s s . Vốn ban đầu của hai phương án là 0ω . Khi đó: 1I hiệu quả hơn 2I nếu và chỉ nếu : 1 2r r≥ và 1 2s s≤ . Dấu “=” chỉ xảy ra nhiều nhất ở một bất đẳng thức. Chứng minh Tài sản thu được tại thời điểm t là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn xác định bởi: ( )0( ) 1t r sXω ω= + + với ( )~ 0,1X N Với U là hàm lợi ích bất kỳ, ta định nghĩa: ( ) [ ] ( ) 2 2 0 1, ( ( )) 1 . 2 x u s r E U t U r sx e dxω ω π +∞ − −∞  = = + + ∫ Ta chứng minh nếu 1 2r r≥ , và 1 2s s≤ thì 1I hiệu quả hơn 2I tức là [ ] [ ]1 2( ( )) ( ( ))E U t E U tω ω≥ hay ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , u r s u r s u r s u r s  ≥  ≥ Ta chứng minh ( , )u r s là hàm tăng theo biến r và là hàm giảm theo biến s ( 0s > ). • ( , )u r s là hàm tăng theo biến r hay ( , ) 0u r s r ∂ > ∂ với mọi r . ( ) 2 2 0 0 1( , ) 1 . 0 2 xu r s U r sx e dx r ω ω π +∞ − −∞ ∂ ′  = + + > ∂ ∫ ( )do ' 0U > . • ( , )u r s là hàm giảm theo biến s hay ( , ) 0u r s s ∂ < ∂ với mọi 0s > ( ) ( ) 2 2 0 0 1, 1 . 2 xu r s xU r sx e dx s ω ω π +∞ − −∞ ∂ ′  = + + ∂ ∫ 54 ( ) ( ) 2 20 2 2 0 0 0 0 0 1 11 . 1 . 2 2 x x xU r sx e dx xU r sx e dxω ω ω ω π π +∞ − − −∞ ′ ′   = + + + + +   ∫ ∫ ( ) ( ) 2 20 2 2 0 0 0 0 0 1 1( ) 1 ( ) . 1 . 2 2 x x x U r s x e dx xU r sx e dxω ω ω ω π π +∞ − − +∞ ′ ′   = − − + + − + + +   ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 11 1 . 2 x x U r sx U r sx e dxω ω ω π +∞ −  ′ ′   = + + − + −    ∫ Ta có: do '' 0U > nên 0sx > suy ra: ( ) ( )0 01 1 (1 ) (1 )r sx r sx U r sx U r sxω ω′ ′+ + > + − ⇒ + + < + − ( ) ( )0 0(1 ) (1 ) 0U r sx U r sxω ω′ ′⇒ + + − + − < ( ), 0u r s s ∂ ⇒ < ∂ . Vậy [ ] [ ]1 2( ( )) ( ( ))E U t E U tω ω≥ hay 1I hiệu quả hơn 2I . Nhận xét • Tính tăng ngặt của hàm lợi ích ( ' 0U > ) chỉ ra rằng với một sự rủi ro cố định, nhà đầu tư mong muốn đạt được thu nhập cao hơn là thu nhập thấp ( kỳ vọng tài sản thu được vào cuối chu kỳ cao hơn). • Tính chất e ngại rủi ro ( '' 0U < ) cho ta thấy rằng với một lợi tức không đổi, nhà đầu tư mong muốn độ biến động tài sản ít hơn ( ít rủi ro hơn). Những điều này đúng với nhà đầu tư e ngại rủi ro và hàm lợi ích của họ. Ta chứng minh phần còn lại của đinh lý: Nếu 1 2r r> và 1 2s s> thì tồn tại một hàm lợi ích U sao cho [ ] [ ]1 2( ( )) ( ( ))E U t E U tω ω> và tồn tại một hàm lợi ích V sao cho [ ] [ ]1 2( ( )) ( ( ))E V t E V tω ω< . Ý tưởng của chứng minh này là ta sẽ đi tìm một hệ số A đủ nhỏ sao cho nhà đầu tư sẽ lựa chọn phương án 1I với kỳ vọng lợi tức cao hơn nhưng rủi ro cũng cao hơn ( thậm chí rất nhiều). Ta sẽ sử dụng hàm lợi ích mũ trong chứng minh này. Theo định lý 3.1, nhà đầu tư phải cực đại hàm mục tiêu 20 1 2 r A sω− . Để phương án đầu tư 1I có kỳ vọng lợi ích cao hơn 2I ta cần phải có: 55 ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 0 2 2 2 0 1 0 2 1 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 . 2 r A s r A s A s A s r r A s s r r r rA s s ω ω ω ω ω ω − > − ⇒ − < − ⇒ − < − − ⇒ < − Do 1 2r r> và 1 2s s> nên A>0. • Nếu A đủ nhỏ, dần về 0. Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 1 1 2 2 2 0 2 2 1 2 1( ) 2 1( ) 2 ( ) ( ) E U t r A s r E U t r A s r E U t E U t ω ω ω ω ω ω   = − →    = − →     ⇒ >    Nhà đầu tư sẽ lựa chọn phương án 1I mặc dù phương án này có độ rủi ro cao hơn. • Nếu giá trị A lớn thì nhà đầu tư sẽ lựa chọn phương án đầu tư 2I , vì phương án 1I tuy có lợi tức lớn hơn nhưng sự tăng thêm về lợi tức không đủ bù đắp cho rủi ro tăng lên rất nhiều. Vậy không có phương án đầu tư nào hiệu quả hơn phương án còn lại. Nhà đầu tư e ngại rủi ro nhiều sẽ chọn 2I vì nó ít rủi ro hơn, còn nhà đầu tư ít e ngại rủi ro hơn sẽ chọn 1I vì nó có lợi tức cao hơn. Ta sẽ minh họa định lý 3.2 bằng sơ đồ sau 56 Hình 3. 1 Minh họa định lý 3.2 • Mọi phương án đầu tư J nằm ở góc phần tư Tây bắc đều hiệu quả hơn I ( ;J I J Ir r s s> < ); nhà đầu tư sẽ lựa chọn J . • Ngược lại, Mọi phương án đầu tư K nằm ở góc phần tư Đông nam không hiệu quả hơn I ( ;I K I Kr r s s> < ); nhà đầu tư sẽ lựa chọn I . • Hai góc phần tư còn lại ( Tây nam, Đông bắc) không thể so sánh sự hiệu quả của các phương án với I nên nhà đầu tư sẽ lựa chọn tùy vào ý muốn của mình. • Các phương án đầu tư H ,G nằm trên hai đường vuông góc với hai trục tọa độ, giao nhau tại I thỏa ( )I Gr r= hoặc ( )I Hs s= sẽ thuộc về góc phần tư Tây bắc và Đông nam.Cụ thể: + Nếu I Gr r= và I Gs s> thì G hiệu quả hơn I , ngược lại I Gr r= và I Gs s< thì G không hiệu quả hơn I . + Nếu I Hs s= và I Hr r thì H không hiệu quả hơn I . 57 3.3 Hàm lợi ích lũy thừa và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn Ở phần này ta sẽ thay giả thiết lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn bằng phân phối loga-chuẩn thông qua mô hình bước ngẫu nhiên. Ta xem thời gian là một tham số. Trong phần 3.2, ta giữ thời gian cố định, sử dụng kỳ vọng lợi tức r và độ lệch chuẩn tương ứng s trong suốt chu kỳ. Bây giờ cho thời gian thay đổi, ta sẽ đo lường lợi tức thu được và rủi ro bằng cách sử dụng lợi tức tức thời hằng năm α và độ lệch chuẩn tương ứng σ . Bổ đề 3.2 Giả sử lợi tức cùa phương án đầu tư I là biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn dưới mô hình bước ngẫu nhiên với trung bình lợi tức cộng gộp liên tục hằng năm µ và độ lệch chuẩn tương ứng là σ . U là hàm lợi ích lũy thừa: 1( )U λωω λ − = với 0, 1λ λ≠ < Tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là 0ω . Khi đó, kỳ vọng hàm lợi ích của tài sản ( )tω sau t năm là: ( ) 21 2 0 1( ) 1 t E U t e λ µ λσ λω ω λ  +        = −      Chứng minh Giá trị tài sản ( )tω tại thời điểm t là một biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn xác định bởi: 0( ) t X tt eσ µω ω += với ( )~ 0,1X N Khi đó: ( ) 2 2 0 1( ) . 2 x t t xE U t U e e dxµ δω ω π +∞ −+ −∞    =   ∫ ( ) 20 2 1 1. 2 t t x xe e dx λ µ δω λ π ++∞ − −∞ − = ∫ ( ) 2 20 2 21 1 1. . 2 2 t t x x xe e dx e dx λ µ δω λ λπ π ++∞ +∞ − − −∞ −∞ = −∫ ∫ 58 ( ) 20 21 1. 2 t t x xe e dx λ µ δω λ λπ ++∞ − −∞ = −∫ 2 2 0 1 1 1. 2 x t t xe e dxλ λµ λδω λ λπ +∞ −+ −∞ = −∫ 2 2 0 1 1 1. 2 x t t xe e e dxλ λµ λδω λ λπ +∞ − −∞ = −∫ Ta có: ( ) 2 2 2 2 21 2 2 2 x xt x t x x t tλσ λσ λσ λ σ    − = − − = − − −      ( ) ( )2 2 212 0 1 1( ) 1 2 x t t tE U t e e dx λσ λ σ λ λµω ω λ π +∞  − − −   −∞     = −      ∫ ( )22 21 12 2 0 1 1 1 2 t t x t e e dx λµ λ σ λσλω λ π +∞ + − − −∞   = −    ∫ Đặt y x t dy dxλσ= − ⇒ = . Thay vào tích phân ta có: ( ) 2 2 21 1 2 2 0 1 1( ) 1 2 t t y E U t e e dy λµ λ σλω ω λ π +∞ + − −∞     = −     ∫ Vậy kỳ vọng hàm lợi ích thu được sau t năm là: ( ) 21 2 0 1( ) 1 . t E U t e λ µ λσ λω ω λ  +        = −      Bổ đề 3.3 Giả sử lợi tức của phương án đầu tư I là biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn dưới mô hình bước ngẫu nhiên với trung bình lợi tức cộng gộp liên tục hằng năm µ và độ lệch chuẩn tương ứng là σ . U là hàm lợi ích logarit: ( ) lnU ω ω= . Tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là 0ω . Khi đó, kỳ vọng hàm lợi ích của tài sản ( )tω sau t năm là: ( ) 0( ) ln .E U t tω ω µ  = +  Chứng minh Giá trị tài sản ( )tω tại thời điểm t là một biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn xác định bởi: 0( ) t X tt eσ µω ω += với ( )~ 0,1X N 59 ( ) ( ) 2 2 0 1( ) . 2 x t x tE U t U e e dxσ µω ω π +∞ −+ −∞   =  ∫ ( ) 2 2 0 1ln . 2 x t x te e dxσ µω π +∞ −+ −∞ = ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 1ln . ln . 2 2 x x t x te e dx e dxσ µ ω π π +∞ +∞ − −+ −∞ −∞ = +∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 0 1. ln 2 x t x t e dxσ µ ω π +∞ − −∞ = + +∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 1. . ln 2 2 x x t x e dx t e dxσ µ ω π π +∞ +∞ − − −∞ −∞ = + +∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 0 1. ln 2 x t x e dx tσ ω µ π +∞ − −∞ = + +∫ ( ) 2 2 0 1. ln 2 x t x e dx tσ ω µ π +∞ − −∞ = + +∫ ( ) 2 2 0 1ln . 0 . 2 x t do x e dxω µ π +∞ − −∞   = + =     ∫ Định lý 3.3 Gọi F là tập hợp các phương án đầu tư chấp nhận được mà các phần tử của F đều có lợi tức phân phối loga- chuẩn. Khi đó, tại một thời điểm t cho trước, nhà đầu tư với mong muốn cực đại kỳ vọng hàm lợi ích với vốn ban đầu là 0ω , hàm lợi ích ( ) ( )1 0, 1U λωω λ λ λ − = ≠ sẽ lựa chọn phương án đầu tư I F∈ sao cho: 21 2I I Aα σ− đạt giá trị lớn nhất Trong đó ,I Iα σ là trung bình lợi tức tức thời hằng năm và độ lệch chuẩn của lợi tức ứng với phương án đầu tư I . Chứng minh Gọi Iµ là lợi tức cộng gộp liên tục hằng năm của phương án đầu tư I . Khi đó: 21 2I I I α µ σ= + 60 Nhà đầu tư sẽ lựa chọn phương án cực đại kỳ vọng hàm lợi ích. Xét 1A ≠ : ta có 1 1A Aλ λ= − ⇒ = − . Hàm lợi ích của nhà đầu tư là: ( ) 1U λωω λ − = Theo bổ đề 3.2: Kỳ vọng hàm lợi ích của tài sản thu được vào cuối chu kỳ là: ( ) 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1( ) 1 . I I I I I I It t t A E U t e e e λ µ λσ λ µ λσ λ µ σ σ λ λ λω ω ω ω λ λ λ λ λ      + + + −                = − = − = −      • Nếu 0λ > thì ( )( )E U tω   max 2 21 1 2 2I I I Aµ σ σ ⇔ + −    max. Mà 2 2 21 1 1 2 2 2I I I I I A Aµ σ σ α σ + − = −    nên ( )( )E U tω   max 21 max 2I I Aα σ ⇔ −    • Nếu 0λ . Khi đó: ( ) 2 21 1 2 2 0 1 1( ) I I It A E U t e λ µ σ σ λω ω λ λ  + −     = −  2 21 1 2 2 0 1 1 I I It Ae β µ σ σ βω β β  − + − −  = − 2 21 1 2 2 0 1 1 I I It A e β µ σ σ ββ βω  + −    = − ( )( )E U tω   max khi 2 21 1 2 2 0 1 I I It A e β µ σ σ ββω  + −    min. Suy ra 2 21 1 2 2I I I t A e β µ σ σ + −    max hay 2 2 21 1 1 2 2 2I I I I I A Aµ σ σ α σ   + − = −        max. • Với 1A = ta có hàm lợi ích: ( ) lnU ω ω= . ( ) 2 20 0 2 2 2 0 0 1 1( ) ln ln 2 2 1 1 1ln ln 2 2 2 I I I I I I I I I E U t t t t A A ω ω µ ω µ σ σ ω µ σ σ ω α σ   = + = + + −  = + + − = + − Vậy ( )( )E U tω   max 21 2I I Aα σ ⇔ −    max Nhận xét 61 • Ta thấy rằng phương án đầu tư tối ưu trong định lý 3.3 chỉ phụ thuộc vào hệ số e ngại rủi ro của nhà đầu tư, kỳ vọng lợi tức và độ biến động của các phương án trong tập chấp nhận được. • Hàm lợi ích lũy thừa đặc trưng cho những nhà đầu tư có sự e ngại rủi ro tương đối cố định hay quan điểm tương đối của họ về rủi ro thì độc lập với tài sản hiện có. Định lý cho ta thấy rằng trong mô hình bước ngẫu nhiên, quan điểm về rủi ro tương đối của nhà đầu tư thì độc lập với thời gian. Định lý 3.4 Giả sử là 1 2,I I hai phương án đầu tư có lợi tức là biến ngẫu nhiên phân phối loga- chuẩn, với trung bình lợi tức tức thời hằng năm là 1 2,α α và độ lệch chuẩn tương ứng của lợi tức tức thời hằng năm là 1 2,σ σ . Vốn ban đầu của hai phương án là 0ω . Khi đó: 1I hiệu quả hơn 2I nếu và chỉ nếu : 1 2α α≥ và 1 2σ σ≤ Dấu “=” chỉ xảy ra nhiều nhất ở một bất đẳng thức. Kết quả này đúng cho mọi thời điểm t. Chứng minh Xét phương án đầu tư I với lợi tức phân phối loga chuẩn, trung bình lợi tức cộng gộp liên tục hằng năm µ , độ lệch chuẩn của trung bình lợi tức cộng gộp liên tục hằng năm σ , tổng vốn ban đầu là 0ω . Giá trị tài sản tại thời điểm t là một biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn xác định bởi: 0( ) t X tt eσ µω ω += với ( )~ 0,1X N 21 2 0( ) t X t t e σ α σ ω ω  + −   ⇒ = với 21 2 α µ σ= + Với U là một hàm lợi ích bất kỳ, ta định nghĩa: ( ) ( ) 221 2 2 0 1, . 2 xt x t u E U U e e dx σ α σ α σ ω ω π  +∞ + − −    −∞    = =        ∫ 62 Ta chứng minh nếu 1 2α α≥ và 1 2σ σ≤ thì phương án 1I hiệu quả hơn 2I tức là ( ) ( )1 2( ) ( )E U t E U tω ω   >    hay ( ),u α σ là hàm tăng theo biến α và giảm theo biến σ với 0σ > . • Xét với mọi α : ( ) 22 21 1 2 2 2 0 0 1, . 2 xt x t t x tu te U e e dx σ α σ σ α σ α σ ω ω α π    +∞ + − + − −        −∞  ∂ ′=   ∂    ∫ ( ) ( ), 0 do ' 0u Uα σ α ∂ ⇒ > > ∂ • Với mọi 0σ > , ta có: ( ) ( ) 22 21 1 2 2 2 0 0 1, . 2 xt x t t x tu t x t e U e e dx σ α σ σ α σ α σ σ ω ω σ π    +∞ + − + − −        −∞  ∂ ′= −   ∂    ∫ ( ) 22 21 1 2 2 2 0 0 1. 2 xt t x t t x e t x t U e e dx α σ σ α σ σ ω σ ω π    +∞− + − − +        −∞   ′= −      ∫ ( ) ( )22 2 21 1 1 2 2 2 2 0 0 1. 2 x t t t x t t e t x t U e e dx σ α σ σ α σ σ ω σ ω π −   +∞− + − − +        −∞   ′= −      ∫ ( ) ( )221 2 2 0 0 1. 2 x t t x t e t x t U e e dx σ σ α σ αω σ ω π − +∞ + − −    −∞   ′= −      ∫ . Đặt y x t dy dxσ= − ⇒ = ( ) ( ) 2212 2 0 0 1, . . 2 yt y t tu e t yU e e dy σ σ α σ αα σ ω ω σ π  +∞ + + − −    −∞  ∂ ′=   ∂    ∫ 221 2 2 0 0 1. . 2 yt y t e t yU e e dy σ α σ αω ω π  +∞ + + −    −∞   ′=      ∫ 2 22 21 10 2 22 2 0 0 0 0 1 1. . . . 2 2 y yt y t t y t e t yU e e dy yU e e dy σ α σ σ α σ αω ω ω π π    +∞− + + + +− −        −∞      ′ ′ = +             ∫ ∫ 2 22 21 1 2 22 2 0 0 0 0 0 1 1( ). . . . 2 2 y yt y t t y t e t y U e dy yU e e dye σ α σ σ α σ αω ω ω π π    +∞ +∞− + + + +− −            ′ ′= − +                 ∫ ∫ Vậy: 63 ( ) 22 21 1 2 2 2 0 0 0 0 1, . 2 yt y t t y tu e t y U e U e dye σ α σ σ α σ αα σ ω ω ω σ π    +∞ + + − + + −             ∂   ′ ′= −     ∂            ∫ Do '' 0U > thì: 2 2 1 1 2 2 t y t t y tσ α σ σ α σ   − + + < + +        2 21 1 2 2 0 0 t y t t y t U e U e σ α σ σ α σ ω ω    − + + + +            ′ ′⇒ >           2 21 1 2 2 0 0 0 t y t t y t U e U e σ α σ σ α σ ω ω    + + − + +            ′ ′⇒ − <           ( ), 0u α σ σ ∂ ⇒ < ∂ Tiếp theo ta chứng minh điều ngược lại: Nếu 1 2α α> và 1 2σ σ> thì tồn tại hàm lợi ích U sao cho ( ) ( )1 2( ) ( )E U t E U tω ω   >    và tồn tại hàm lợi ích V sao cho ( ) ( )1 2( ) ( )E V t E V tω ω   <    . Giả sử U, V là hai hàm lợi ích lũy thừa. Theo định lý 3.3 nhà đầu tư cần phải cực đại hàm mục tiêu: 2 1 2 Aα σ− . Để phương án đầu tư 1I có kỳ vọng hàm lợi ích lớn hơn phương án 2I thì: 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 ; 2 0 0 A A A do A α σ α σ α α σ σ α α α α σ σ σ σ − > − − ⇒ < − − > > ⇒ > ⇒ > − • Với giá trị A đủ nhỏ, dần về 0. Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1( ) 2 1( ) 2 ( ) ( ) E U t A E U t A E U t E U t ω α σ α ω α σ α ω ω   = − →    = − →     ⇒ >    Nhà đầu tư sẽ lựa chọn phương án 1I mặc dù phương án này có độ rủi ro cao hơn. 64 • Nếu giá trị A lớn thì nhà đầu tư sẽ lựa chọn phương án đầu tư 2I , vì phương án 1I tuy có lợi tức lớn hơn nhưng sự tăng thêm về lợi tức không đủ bù đắp cho rủi ro tăng lên rất nhiều. Vậy không có phương án đầu tư nào hiệu quả hơn phương án còn lại. Nhà đầu tư e ngại rủi ro nhiều sẽ chọn 2I vì nó ít rủi ro hơn, còn nhà đầu tư ít e ngại rủi ro hơn sẽ chọn 1I vì nó có lợi tức cao hơn. Ta sẽ minh họa định lý 3.4 bằng sơ đồ sau Hình 3. 2. Minh họa định lý 3.4 • Mọi phương án đầu tư J nằm ở góc phần tư Tây bắc đều hiệu quả hơn I ( ;J I J Iα α σ σ> < ); nhà đầu tư sẽ lựa chọn J . • Ngược lại, mọi phương án đầu tư K nằm ở góc phần tư Đông nam không hiệu quả hơn I ( ;I K I Kα α σ σ> < ); nhà đầu tư sẽ lựa chọn I . • Hai góc phần tư còn lại ( Tây nam, Đông bắc) không thể so sánh sự hiệu quả của các phương án với I nên nhà đầu tư sẽ lựa chọn tùy vào ý muốn của mình. 65 • Các phương án đầu tư H , G nằm trên hai đường vuông góc với hai trục tọa độ, giao nhau tại I thỏa ( )I Gα α= hoặc ( )I Hσ σ= sẽ thuộc về góc phần tư Tây bắc và Đông nam.Cụ thể: + Nếu I Gα α= và I Gσ σ> thì G hiệu quả hơn I , ngược lại I Gα α= và I Gσ σ< thì G không hiệu quả hơn I . + Nếu I Hσ σ= và I Hα α thì H không hiệu quả hơn I . 66 Kết luận Luận văn đã trình bày về một số hàm lợi ích tiêu biểu và một vài ứng dụng của chúng trong Toán tài chính. Cụ thể: Đầu tiên khảo sát về hàm lợi ích và các tính chất của nó cùng với một vài ví dụ cụ thể về việc lựa chọn phương án đầu tư tối ưu ứng với từng hàm lợi ích ( tập các phương án đầu tư chấp nhận được qua từng ví dụ được đa dạng hơn). Tiếp theo, khảo sát một số hàm lợi ích tiêu biểu và đặc trưng của chúng: + Hàm lợi ích mũ với tính chất "e ngại rủi ro tuyệt đối cố định" thể hiện qua số tài sản mà nhà đầu tư đầu tư luôn không đổi cho dù vốn ban đầu của nhà đầu tư là bao nhiêu đi nữa. + Hàm lợi ích lũy thừa với tính chất "e ngại rủi ro tương đối cố định" thể hiện qua tỉ lệ phần trăm tài sản mà nhà đầu tư quyết định đem đầu tư luôn không đổi. Bên cạnh đó, việc xây dựng hàm e ngại rủi ro ( tuyệt đối, tương đối) đã thể hiện rõ ràng hơn mối liên hệ giữa hàm lợi ích và quan điểm về rủi ro của mỗi nhà đầu tư. Cuối cùng luận văn trình bày hai ứng dụng của hai hàm lợi ích tiêu biểu trong Lý thuyết đầu tư: hàm lợi ích mũ âm và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn; hàm lợi ích lũy thừa và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn. 67 Chỉ mục biến ngẫu nhiên, 7 độ lệch chuẩn, 10 đòn bẩy tài chính, 35 giá trị tương đương hầu chắc chắn, 24 hàm e ngại rủi ro tương đối, 41 hàm e ngại rủi ro tuyệt đối, 41 hàm lợi ích, 20 hiệu quả, 48 Kỳ vọng toán học, 9 Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, 21 phép biến đổi affine dương, 25 Phương án đầu tư, 7 Phương sai, 10 68 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đinh Văn Gắng (2008), Lý thuyết xác suất và thống kê, NXB Giáo dục. [2] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học trong tài chính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [3] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia TPHCM. [4] Nguyễn Chí Long (2011), "Mô hình định giá tài sản tư bản", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 30(64), tr.25-41. [5] Nguyễn Chí Long (2011), Bổ đề Fakas và áp dụng trong thị trường tài chính,Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 27(61), tr.41-53. [6] Nguyễn Chí Long (2010), "Nguyên lý căn bản định giá tài sản trong thị trường tài chính", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 21(55), tr.38-51. [7] Trần Trọng Nguyên (2009), Cơ sở Toán tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [8] Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn toán học Tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. Tiếng Anh [9] Charles B. Moss (2004), Utility Functions, Risk Aversion Coefficients and Transformation, http:ricardo.ifas.ufl.edu/aeb6182.risk. [10] Hans Follmer, Alexander Schied (2002), \textit{An Introduction in Discrete Time}, Walter de Gruyter. [11] Hans U. Gerber and Gérard Pafumi, \textit{UTILITY FUNCTIONS: FROM RISK THEORY TO FINANCE}, NORTH AMERICAN ACTUARIAL JOURNAL, p.74-101. [12] Jonh Norstad (Feb 1999),” The Normal and Lognormal Distributions", [13] Jonh Norstad (Mar 1999), "An Introduction to Utility theory", [14] Jonh Norstad (Jan 2005), "The Random Walks" , 69 [15] John Norstad (April 1999),"An introduction to Portfolio theory", [16] Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publishing. [17] Wing Suen, “Arrow-Pratt measure of risk aversion", http:www.econ.hku.hk/~wsuen/teaching/micro