Luận văn K – lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

f. Định lý 2.3.1. ([1], Định lý 1.6). Cho một phân thớ vectơ :p E B→ và các ánh xạ đồng luân 0 1, :f f A B→ . Khi đó các phân thớ cảm sinh ( )*0f E và ( )*1f E là đẳng cấu với nhau nếu A là không gian Hausdorff compact. Định nghĩa 2.3.2. Cho ( )1 1, ,E p Bξ = và ( ) ( ) ' 2 2, , n BE p B Bundξ = ∈  . Ta định nghĩa phân thớ mới như sau: ( )' 1 2 1 2: , ,E E p p Bξ ξ⊕ = ⊕ ⊕ trong đó ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2 1 1 2 2: , |E E e e E E p e p e⊕ = ∈ × = và ánh xạ chiếu: 1 2 1 2:p p E E B⊕ ⊕ → được xác định bởi ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2, .e e p e p e= Phép toán 'ξ ξ⊕ được gọi là tổng Whitney của ξ và 'ξ và là tích trong phạm trù ( )nBund B  . Như đã đề cập trong phần trước, tiếp theo ta có thể định nghĩa một đẳng cấu: , ,: k n k n kf η γ ε ≅⊕ → ( ) ( )( ) ( ), , , , ,V x V y V x y+ trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )', , , , .k k kn n nV G V x E V x E∈ ∈ ∈   Vì với mọi kz∈ , có một sự phân tích duy nhất z x y= + trong đó x V∈ và .y x⊥ Do sự phân tích này là liên tục trên V (tổng trực tiếp của các không gian vectơ), ánh xạ f là một đẳng cấu trên ( )knG  . Để kết thúc định nghĩa 2.3.2, với ξ và 'ξ như trên, ta có: 1 2 1 2BE E E E⊕ ≅ × , do tính chất của cái kéo lùi trong biểu đồ dưới đây và định nghĩa 2.3.2, ta có biểu đồ 2.4 Các hàm tử liên tục và các phép toán trên ( )Bund B  Tổng Whitney mà chúng ta vừa định nghĩa cho các phân thớ vectơ trên không gian đáy B được bảo toàn từ tổng trực tiếp của các không gian vec tơ, và là phép toán tích trong phạm trù ( )Bund B  . Điều này cho phép ta tổng quát hóa cho các phép toán khác: mọi phép toán liên tục trên các không gian vectơ cho phép ta xác định một phép toán tương ứng trên các phân thớ vectơ một cách tự nhiên. Phần sau của mục này sẽ giải thích rõ hơn về khẳng định trên. Trong định nghĩa dưới đây, ta xét Κ là  hoặc  . Nhắc lại rằng các vật của Kν là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên Κ . Định nghĩa 2.4.1. Một hàm tử : Κ Κ→F v v được gọi là liên tục nếu với mọi cặp ( ), ,Κ∈M N Obv ánh xạ ( ) ( ) ( )( ), : , ,Κ Κ→M NF v M N v F M F N là liên tục với tôpô thông thường của Κ . Tiếp theo ta tập trung xét Κ = , và mục tiêu của ta là kết hợp một hàm tử F bất kỳ với hàm tử ( ) ( ) ( )' ': := →   F F B Bund B Bund B , sao cho nếu { }0B x= là một không gian một điểm, ta có: { }' 0 .F x F= = () Cho ( ) ( ), ,E p B Bund Bξ = ∈  . Ta định nghĩa ( ) ( )' :F ObBund B ObBund B→   ( )'Fξ ξ = ( )' ', , ,E p B trong đó ( ) ( )' ' : ,b b B E F E F E Set ∈ = = ∈  và ( ) ( )' ': : .→→ = ∈ bp E B x F E b Tiếp theo ta cần cung cấp cho 'E một tôpô sao cho ( )'F ξ trở thành một phân thớ vectơ. Với mục đích như trên, ta cần sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.4.1. ([5], Bổ đề 4.4) Cho U và V là các tập con mở của B và cho :U UE U Mϕ ≈→ × và :V VE V Nϕ ≈→ × lần lượt là các tầm thường địa phương của E trên U và V, trong đó M, N là các không gian vectơ hữu hạn chiều. Cho ( )' ':U UE U F Mϕ ≈→ × và ( )' ':V VE V F Nϕ ≈→ × là các song ánh được cảm sinh bởi F trên mỗi thớ. Nếu ta cung cấp cho 'UE và 'VE các tôpô được cảm sinh bởi các song ánh này thì hai tôpô phù hợp trên ' ' ' U V U VE E E=  và 'U VE  là mở trong 'UE và 'VE . Tiếp theo ta có thể định nghĩa tôpô trên 'E . Cho { }iU là một phủ mở của B, và cho : ii U i i E U Mϕ ≈→ × là một tầm thường của E trên iU với mọi .i I∈ Do tính hàm tử của F, các đẳng cấu iϕ cảm sinh các song ánh ( )' iU i iE U F M ≈→ × với mọi ,i I∈ và với cách này ' iU E sẽ được cung cấp một tôpô thích hợp. Thật ra, ta cần cung cấp cho 'E tôpô lớn nhất làm cho ánh xạ bao hàm ' ' iU E E→ liên tục. Điều này là có thể vì theo bổ đề trước, với mỗi cặp ( ),i j các tôpô trên ' iU E và ' jU E là phù hợp trên ' i jU U E  nên ' i jU U E  là một tập con mở của ' iU E và ' jU E . Ta có thể chỉ ra rằng tôpô này phụ thuộc vào việc chọn phủ và việc chọn các tầm thường. Ta cần định nghĩa hàm tử 'F trên các đồng cấu phân thớ. Cho hai phân thớ ( ), ,E p Bξ = và ( ), , ,G q Bη = và một đồng cấu :ϕ ξ η→ . ( )'F ϕ được định nghĩa như sau: ( ) ( ):F MorBund B MorBund B→   ( ) ( ) ( ) ( )' ' ': :F F E F Gϕ ξ η ϕ→ → , với ( )' 'F ϕ ϕ= là tuyến tính được xác định trên mỗi thớ bởi ( ) ( ) ( )' : :b b b bF F E F Gϕ ϕ= → với mọi .b B∈ Áp dụng Như đã đề cập trước đó, ta quan tâm đến việc chứng minh tính tự nhiên của các phép toán tổng trực tiếp và tích tensor được cảm sinh từ các không gian vectơ trên các phân thớ vectơ. Đặc biệt, điều này suy ra tính hàm tử của hai phép toán trên ( )Bund B  . Ta xét hai hàm tử liên tục: ( ) ( ) ( ), : n n nS T v B v B v B× →    ( ),S M N M N= ⊕ ; ( ),T M N M N= ⊗ . Theo các nhận xét trên, 'S được xác định bởi: ( ) ( ) ( )' :S ObBund B ObBund B ObBund B× →    ( ) ( ) ( )', , , , ,S H Bξ η ξ η π= với ( )( ) ( )' , : ,b b b b b B b B H S E G B F E G E G ∈ ∈ = = = ⊕   và : →→H Bπ là ánh xạ chiếu trên B. Chú ý rằng nếu { } ( ) { }( ) ( )', , ,b b b bB b S E G b F E G E G= = = ⊕ . Nói theo cách khác, thớ của ξ η⊕ trên b là tổng trực tiếp của các thớ của ξ và η trên b, sao cho điều kiện () thỏa mãn. Mặt khác ( ) ( ) ( )' :S MorBund B MorBund B MorBund B× →    ( ) ( ) ( ) ( )' ' ', , : , ,S S E G S P Qϕ ψ ϕ ψ → được xác định trên mỗi thớ bởi: ( ) ( )' , : , .b b b b b bS Sϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ= + = Ta thấy rằng việc xây dựng trên được “định nghĩa tốt”: nếu :f ξ η ς⊕ → là một ánh xạ phân thớ song tuyến tính trên mỗi thớ b B∀ ∈ , khi đó f xác định một đồng cấu phân thớ vectơ :g ξ η ς⊗ → được thành lập từ phép nhân tử hóa thông thường của các ánh xạ song tuyến tính qua tích tenxơ (của các không gian vectơ) trên mỗi thớ. Hơn nữa, tất của các tính chất thông thường của phép giao hoán và phân phối của ⊕ và ⊗ trong ν  mở rộng cho ( )Bund B  . Mệnh đề 2.4.1. Cho , : K KF G v v→ là hai hàm tử liên tục, và cho : F Gτ ⇒ là phép biến đổi tự nhiên, tức là, : K KObv Morvτ → ( ) ( ) ( ): .M M F M G Mτ → τ cảm sinh một phép biến đổi tự nhiên ' ' ': F Gτ ⇒ : ( ) ( )' : K KObBund B MorBund Bτ → ( ) ( ) ( )' ' ': .F Gξ τ ξ ξ ξ→ Đặc biệt, nếu ( ) ( ) ( ):M F M G Mτ → là một đẳng cấu với mọi KM v∈ thì ( )'τ ξ cũng là một đẳng cấu với mọi ( ).KBund Bξ ∈ Tiếp theo ta chứng minh tích tenxơ có tính kết hợp trong ( )Bund B  . Xét , :F G v v v v× × →     ( ) ( ), ,F M N K M N K= ⊗ ⊗ ( ) ( ), ,G M N K M N K= ⊗ ⊗ . Cả hai ánh xạ trên đều liên tục. Xét phép biến đổi tự nhiên giữa F và G được cho bởi ( ) ( ) ( ), , :M N K M N K M N Kτ ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ ( ) ( )m n k m n k⊗ ⊗ ⊗ ⊗ . Ta thấy τ được định nghĩa tốt, tuyến tính và có ánh xạ ngược. Vì vậy nó là một đẳng cấu tuyến tính của các không gian vectơ. Các hàm tử cảm sinh ( ) ( ) ( ) ( )' ', : K K K KF G Bund B Bund B Bund B Bund B× × → được cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' , , , , , F G ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ = ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ và phép biến đổi tự nhiên được cảm sinh bởi ( ) ( ) ( )' , , : .τ ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ Rõ ràng hơn, nếu ( ) ( ), , , , ,E p B G q Bξ η= = và ( ), ,H r Bζ = , ta có: ( ) ( ): , , ,A Bξ η ζ π⊗ ⊗ = ( ) ( )': , ,C Bξ η ζ π⊗ ⊗ = và ( ) ( )' ', , , ,A B C Bτπ π→ trong đó ( )b b b b A E G H= × ⊗  và ( )b b b b C E G H= × ⊗  . Với bất kỳ điểm b B∈ cố định, ánh xạ ( )b bE G× bH⊗ → ( )b b bE G H× ⊗ là một đẳng cấu tuyến tính của của các không gian vectơ. Vì vậy 'τ là một đẳng cấu tuyến tính tự nhiên và ta có sự kết hợp của tích tensor cho các phân thớ vectơ. 2.5 Nửa vành ( )Vect B  Hai phân thớ ( ) ( )' ' ', , , , ,E p B E p Bξ ξ= = được gọi là tương đương với nhau nếu chúng đẳng cấu với nhau (xem định nghĩa 2.2.3). Ta có thể kiểm ra rằng quan hệ này là quan hệ tương đương trên tập tất các các phân thớ vectơ phức trên B. Ta viết 'ξ ξ nếu ',ξ ξ tương đương, và dùng [ ]ξ để ký hiệu lớp tương đương của ξ . Ta ký hiệu ( )Vect B  là tập các lớp tương đương của tất cả các phân thớ vectơ trên B. Khi xét ξ , một phân thớ vectơ n - chiều, ta sẽ đồng nhất tất cả các thớ của ξ với n . Do đó chỉ cần khảo sát trên ξ , ta sẽ thu được thông tin của lớp [ ]ξ . Bổ đề tiếp theo phát biểu rằng các phép toán ⊕ và ⊗ có thể được chuyển từ ( )Bund B  sang ( )Vect B  có nghĩa là chúng được bảo toàn trong mối quan hệ tương đương  . Bổ đề 2.5.1. Ta xét cặp ánh xạ: ( ) :nVect B Top Set→  ; X  ( )nVect X  và ( ) ( ): :nf Y X Vect f→   ( ) ( )n nVect X Vect Y→   [ ] ( )*fξ ξ   là một hàm tử phản biến với mọi .n∈ Chứng minh. ( )nVect B  được “định nghĩa tốt”: Cho :f Y B→ và ( ) ( )' ' ', , , , ,E p B E p Bξ ξ= = , sao cho 'ξ ξ . Theo định nghĩa tồn tại một đồng phôi ': E Eφ → làm cho biểu đồ trong định nghĩa 2.2.3. giao hoán. Ta xây dựng các phân thớ cảm sinh ( ) ( )* , ,B Yf Y E p Yξ = × và ( ) ( )* ' ' , ,B Yf Y E p Yξ = × . Chú ý rằng tam giác sau giao hoán trong đó ( )* , :Yidφ φ= * ' B BY E Y E φ× → × là một đồng phôi được xác định bởi ( ) ( )( )', ,y e y eφ . Thật vậy Yp  ( ) ( )( ) ( )* , , ,Y Yy e p y e y p y eφ φ= = = . Suy ra thu hẹp trên mỗi thớ ( ) ( )* 1 1: Y Yp y p yφ − −→ là ánh xạ đồng nhất. Điều này chỉ ra rằng ( ) ( )* * 'f fξ ξ trên Y. Sự hợp thành: Cho :f Y B→ và : .g Z Y→ Ta cần chứng minh ( ) ( ) ( )n n nVect f g Vect g Vect f=      . Về cơ bản, đẳng thức này được suy ra từ tính chất của cái kéo lùi. Thật vậy, ta phải kiểm tra với một phân thớ ( )Vect Bξ ∈  bất kỳ , ta có: ( ) ( )* * *f g g fξ ξ   =     . Xét hai biểu đồ cái kéo lùi tương ứng, ta cần tìm một đồng phôi ψ sao cho tam giác sau giao hoán: Để tìm đồng phôi ψ ta cần chỉ ra rằng biểu đồ sau: với ( ) ( )( )': : , ,B BZ E Y E z e g z eα × → ×  là một biểu đồ giao hoán. Với bất kỳ X Top∈ và các hàm liên lục ( ): : ,f X Z x f x→  ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2, : : ,Bh h X Y E x h x h x→ ×  . trong biểu đồ sao cho ( ) ( )( ) ( )1 2 1,Yg f x p h h x h x= =  với mọi ,x X∈ ta định nghĩa : BX Z Eψ → × ( ) ( )( )2,x f x h x . Ta cần kiểm tra ( ) ( )Zf x p xψ=  và ( )( ) ( )1 2,h h x xα ψ=  với mọi ,x X∈ và ψ là ánh xạ duy nhất (sai khác một đẳng cấu). Vì vậy, ta lấy ( ): Y BX Z Y E= × × , ( )( ) ( )1 2: , , : ,Z Z Ef pr h h x g pr pr= =  với mọi ,x X∈ ta thu được đồng phôi cần xây dựng: ( ): Y B BZ Y E Z Eψ × × → × ( )( )( ) ( ), , ,z g z e z e . Cuối cùng thu hẹp của ψ trên mỗi thớ với mọi b B∈ là một đẳng cấu. Thay B bằng tập một điểm { }b trong các biểu đồ trên, tất cả các tích thớ trở thành các tích và các lập luận đã đưa ra vẫn đúng.  Chú ý 2.5.1. Theo định lý 2.3.1, hàm tử phản biến ( )Vect B  là một bất biến tôpô. Ta có kết luận sau: ( )( ), ,Vect B ⊗ ⊕  cho ta cấu trúc nửa vành với phân thớ tầm thường 0 chiều { }0 : *B Bε × → là phần tử đơn vị của phép toán ⊕ , và phân thớ tầm thường 1 chiều 1 : B Bε × → là phần tử đơn vị của phép toán .⊗ 2.6 Nhóm thứ nhất của K – lý thuyết tôpô, ( )K X 2.6.1 Định lý phân loại Chú ý 2.6.1. Để thuận tiện, từ phần này trở đi ta sẽ làm việc với các phân thớ vectơ mà không gian đáy là X (không phải B). Hơn nữa, X được giả sử là không gian compact Hausdorff. Ở ví dụ 2.2.2, phân thớ tổng thể ( ) ( )( ), , ,k kn k n nE Gγ π=   đã được định nghĩa. Dưới đây ta sẽ phát biểu Định lý phân loại có liên quan đến ,n kγ . Trong định lý này ta chủ yếu quan tâm đến trường hợp k = ∞ . Trước khi phát biểu định lý, ta đặt: ( ) ( ): , :n n n nG G E E∞ ∞= =  và , :n nγ γ∞ = . Định lý 2.6.1. Cho X là một CW – phức hữu hạn chiều. Khi đó hàm [ ] ( ), nnX G Vect X≅→  [ ] ( )* nf f γ là song ánh (với f : nX G→ ). Nói theo cách khác, các phân thớ vectơ trên một không gian cố định X được phân loại bởi các lớp đồng luân của các ánh xạ đi từ X đến nG . Vì vậy nG được gọi là không gian phân lớp đối với các phân thớ vectơ n - chiều và phân thớ nγ được gọi là phân thớ toàn thể. Một cách khác để hiểu được phát biểu 2.6.1 là ta thấy rằng với phân thớ ( )nVect Xξ ∈  bất kỳ cho trước , ta có thể tìm một ánh xạ f : nX G→ sao cho lớp [ ]ξ trùng với lớp của ánh xạ f với f là cái đẩy lùi của phân thớ toàn thể ,n kγ khi k đủ lớn. 2.6.2 Hàm tử ( )K X Định nghĩa 2.6.1. Cho X Top∈ . Ta định nghĩa hàm tử phản biến :K Top Rng→ thông qua hợp của hai hàm tử Vect GTop SemiRng Rng→ → ( ) ( ):X G Vect X K X=    ( ) ( ) ( ) ( ): :f Y X G Vect f K X K Y→ →    Chú ý 2.6.2. • K phản biến vì ( )Vect X  phản biến. • K là một bất biến đồng luân theo chú ý 2.5.1. 2.6.3 Hàm tử ( ) ~ K X Định nghĩa ( ) ~ K X bằng một dãy khớp ngắn Với bất kỳ 0x X∈ , xét ánh xạ bao hàm { }0:i x X→ và ánh xạ hằng { }0:c X x→ . ( ) ~ K X được định nghĩa là hạt nhân của *i . Ta có dãy khớp ngắn Vì ( ) ( ) { }( )** * 0Ki c c i id x= =  . Vì vậy có một đẳng cấu ( ) ( ) { }( ) ~ 0 .K X K X K x≅ ⊕ Mọi phân thớ vectơ trên 0x là tầm thường, và được mô tả một cách rõ ràng bởi thớ { }1 0 np x− ≅  n - chiều. Do đó ta có tương ứng 1 – 1 sau: ( )0nVect x ≅→   nξ  . Áp dụng cách xây dựng Grothendieck, ta có ( )0K x ≅→ . Vì vậy ( ) ( ) ~ .K X K X≅ ⊕ Vì vậy ánh xạ ( ) ( )* 0:i K X K x→ ≅  có thể xem như ánh xạ kết hợp một phân thớ trên ( )0,X x với số chiều của thớ tại một điểm cơ sở 0x . Định nghĩa ( ) ~ K X thông qua phân thớ vectơ Mục đích của cách định nghĩa này là cho ta cái nhìn hình học của ( ) ~ K X và đưa ra khẳng định ( ) ( ) ~ sVect X K X≅  với ( )sVect X  là tập hợp các lớp tương đương của các phân thớ vectơ với quan hệ tương đương ổn định mà ta sẽ định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 2.6.2. Hai phân thớ ( ) ( )' ' ', , , , ,E p B E p Bξ ξ= = trên X được gọi là tương đương ổn định, ký hiệu 'sξ ξ nếu tồn tại các phân thớ tầm thường :n nX Xε × → và :m mX Xε × → sao cho ' .n mξ ε ξ ε⊕ ⊕ Lớp ổn định của ξ được ký hiệu là [ ]sξ và tổng Whitney xác định trên các lớp ổn định theo công thức sau: [ ] [ ] [ ]s s sξ η ξ η⊕ = ⊕ . Thật vậy, nếu [ ]' sξ ξ∈ và [ ] ' s η η∈ thì 'n mξ ε ξ ε⊕ ⊕ và ' ,k lη ε η ε⊕ ⊕ vì vậy ' 'n k m lξ η ε ε ξ η ε ε⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ và vì vậy [ ] ' 's sξ η ξ η ⊕ = ⊕  . Phần tử 0 của phép toán ⊕ là lớp ổn định của phân thớ tầm thường 0 - chiều 0.ε Ta ký hiệu ( )sVect X  là tập tất cả các lớp tương đương ổn định của các phân thớ vectơ trên X. Mệnh đề 2.6.1. Tập ( )( ),sVect X ⊕  là một nhóm aben với mọi .X Top∈ Chứng minh. Giả sử X là một không gian liên thông r chiều. Tổng Whitney cung cấp cho ( )sVect X  một cấu trúc monoit. Ta cần chứng minh với một phân thớ vectơ phức n - chiều ε trên X, ta cần tìm phần tử nghịch đảo của ε , tức là tìm phân thớ vectơ phức η k n− chiều sao cho ksε η ε⊕  , trong đó kε là một phân thớ tầm thường k chiều trên X. Áp dụng định lý 1.6.1 với k đủ lớn đủ để thu được ánh xạ : ,nf X G→ sao cho [ ] ( )* ,n kfξ γ =   . Mặt khác ta có , , kn k n kγ η ε⊕ ≅ với kε là phân thớ tầm thường trên ,n kG . Vì vậy ( ) ( )* *, , ,n k n k n kf fγ η ξ η⊕ = ⊕ tương đương với phân thớ kε tầm thường k chiều trên X. Do đó ( )* ,: n kfη η= . Nếu X không liên thông, quá trình chứng minh cũng được lập luận tương tự cho mỗi thành phần liên thông. Chú ý rằng trong trường hợp này các thớ của một phân thớ vectơ ξ trên X sẽ có cùng số chiều trên mỗi thành phần liên thông của X, tuy nhiên chúng có thể có số chiều khác nhau nếu ta xét ở hai thành phần liên thông riêng biệt. Do đó, việc lựa chọn k sao cho phù hợp là cần thiết.  Áp dụng việc xây dựng nhóm Grothendieck đối với vành giao hoán có đơn vị ( )Vect X  , ta có được biểu đồ giao hoán sau: trong đó ( ) ( ): sVect X Vect Xϕ →   [ ] [ ] sξ ξ là một đồng cấu vành. Và có duy nhất một đồng cấu ( ) ( ) _ : sK X Vect Xϕ →  sao cho biểu đồ trên giao hoán, tức là Gϕ ϕ= . Ta định nghĩa ϕ như sau: Cho { } ( ), K Xξ η ∈ và cho 'η là một phân thớ vectơ trên X sao cho 'η η ε⊕ = với ε là một phân thớ tầm thường. Khi đó ta có { } { }', ,ξ η ξ η ε= ⊕ . Đặt ( ) ( ) _ : sK X Vect Xϕ →  { } ', s ξ η ξ η ⊕  . Cuối cùng ta có mô tả hình học của ( ) ~ K X . Mệnh đề 2.6.2. Với mọi không gian X, ta có đẳng cấu nhóm ( ) ( ) ~ sVect X K X≅  . Chứng minh. Lấy [ ] ( )nss Vect Xξ ∈  và xét một phần tử { } ( ), ,n K Xξ ε ∈ trong đó dim .n ξ= Ta có { } ( )*, Ker .n i K Xξ ε ∈ =  Theo định nghĩa của { }( ) [ ], , ,n sϕ ϕ ξ ε ξ= vì vậy ( )|K Xϕ  là toàn ánh. Chọn { } ( ), ∈ n K Xξ ε sao cho { }( ), 0nϕ ξ ε = , ta chứng minh được nξ ε , do đó ϕ là đơn ánh.  2.6.4 Mô tả ( )K X Ta biết rằng vành ( )K X gồm các lớp của các cặp phân thớ vectơ { },ξ η trên X. Các phần tử của ( )K X có thể được xem như là hiệu 'E E− thông thường của các phân thớ vectơ ',E E trên X. Xét cặp { } ( ), K Xξ η ∈ . Vì theo định nghĩa phần tử nghịch đảo của { },ξ η là { },η ξ nên ta có thể viết { } { } { } { } { } ( ) ( )0 0 0 0 ', , , , , :G G E Eξ η ξ ε ε η ξ ε η ε ξ η= ⊕ = − = − = − Quan hệ tương đương{ } { }' ', ,ξ η ξ η= ⇔ tồn tại u sao cho ' 'u uξ η ξ η⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ , vì vậy ta có ' ' ' ' 1 1 2 2 1 2 2 1 .E E E E E E E E− = − ⇔ ⊕ = ⊕ Việc mô tả các phần tử của ( )K X theo cách này cho ta xác định phép cộng giữa hai phần tử của ( )K X như sau: ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '1 1 2 2 1 2 1 2:E E E E E E E E− ⊕ − = ⊕ − ⊕ , trong đó ⊕ là tổng Whitney. Phép nhân của hai phần tử thuộc ( )K X được thực hiện như sau: trong đó ⊗ là tích tenxơ trên các phân thớ vectơ. Hơn nữa, mỗi phần tử 'E E− của ( )K X có thể được việc dưới dạng hiệu nH ε− với nε là phân thớ tầm thường. Chọn một phân thớ G sao cho ' .nE G ε⊕ = Khi đó ( )' ' :n nE E E G G E E G Hε ε− = ⊕ − ⊕ = ⊕ − = − . Nhận xét trên kết hợp với mệnh đề 2.6.2, cho ta thấy thêm được mối quan hệ giữa ( )K X và ( )K X . Có một đồng cấu là toàn ánh: ( ) ( ):f K X K X→  [ ]n sE Eε−  . Đồng cấu được “định nghĩa tốt” vì nếu 'n mE Eε ε− = − trong ( )K X , ta có ' ,m nE Eε ε⊕ = ⊕ vì vậy [ ] 's sE E =   . Hạt nhân của đồng cấu trên là: ( ) [ ]{ }0Ker : | ,n s sf E K X Eε ε = − ∈ =   hay ( ){ }Ker k nf K Xε ε= − ∈ . Thật vậy 0 ,sE a bε ⇔ ∃ sao cho 0a bE ε ε ε⊕ ≅ ⊕ : ; :a n l b k n m= + = + + ⇔ , , ,k l m n∃ sao cho n l k n mE ε ε+ + +⊕ ≅ : ; :a n l b k n m= + = + + ⇔ , , ,k l m n∃ sao cho n l k n mE ε ε ε ε ε⊕ ⊕ ≅ ⊕ ⊕ n k nsE ε ε ε⇔ ⊕ ⊕ n k nE ε ε ε⇔ − = − . Hiển nhiên { }Ker := −k nf ε ε là một nhóm con của ( )K X đẳng cấu với  , vì vậy đẳng cấu với ( )0K x và dãy khớp đã cho trong mục 2.6.3 có thể đổi lại trật tự với ( ) ( ) [ ]: : nsg K X K X E E ε→ −  . Tính hàm tử của ( )K X Do cấu trúc của ( )K X được viết lại nên ta quay trở lại với định nghĩa 2.6.1. Ta có: :K Top Rng→ ( ) X K X ( ) ( ) ( )*: :f Y X f K X K Y→ → trong đó ( ) ( ) ( )* ' * * ':f E E f E f E− = − và *f là cái kéo lùi của .f Các tính chất của cái kéo lùi cho ta các đẳng cấu của các phân thớ vectơ ( ) ( ) ( )* ' * *1 1 2f E E f E f E⊕ ≅ ⊕ , ( ) ( ) ( )* ' * *1 1 2f E E f E f E⊗ ≅ ⊗ . Do đó ta có *f là một đồng cấu vành. Ta sẽ chứng minh đẳng cấu cuối. Xét các phân thớ vectơ 1 1 2 2: ; :p E X p E X→ → và 1 2: E E Xπ ⊗ → trên X, và cho :f Y X→ là ánh xạ liên tục. Ta cần chỉ ra rằng biểu đồ trong đó ,α β được cho bởi: ( ) ( )* *1 2 1 2: f E f E E Eα ⊗ → ⊗ ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,e y e y e e⊗  và ( ) ( )* *1 2: f E f E Yβ ⊗ → ; ( ) ( )1 2, ,e y e y y⊗  là biểu đồ của cái kéo lại. Cho Z Top∈ và hai ánh xạ liên tục ( ): :Z Y z zϕ ϕ→  ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, : :Z E E z z zψ ψ ψ ψ→ ⊗ ⊗ sao cho ( ) ( )( )1 2, ,f z zϕ π ψ ψ=  với mọi z Z∈ . Trong biểu đồ ta định nghĩa Φ như sau: ( ) ( )* *1 2: Z f E f EΦ → ⊗ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2, ,z z z z zψ ϕ ψ ϕ⊗ . Theo định nghĩa ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , * , , . z z z z z z z z z z z z z β β ψ ϕ ψ ϕ ϕ α α ψ ϕ ψ ϕ ψ ψ  Φ = ⊗ =  Φ = ⊗ = ⊗   Ta cần chỉ ra rằng Φ là duy nhất (sai khác một đẳng cấu). Giả sử có ( ) ( )' * *1 2: Z f E f EΦ → ⊗ thỏa ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2, ,z a z b z a z b z⊗ . Nếu ta muốn * thỏa, ta cần có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' 1 2, ,z z z z zψ ϕ ψ ϕΦ = ⊗ . Vì vậy biểu đồ đầu tiên là cái kéo lùi, và đặc biệt khi ta lấy ( )* 1 2:Z f E E= ⊗ và định nghĩa các ánh xạ: ( ) ( ) ( ) 1 2 * 1 2 1 2 1 2 1 2: : : ,E Epr f E E E E e e y e eϕ ⊗= ⊗ → ⊗ ⊗ ⊗ và ( ) ( )* 1 2 1 2: : : ,Ypr f E E Y e e y yψ = ⊗ → ⊗  . Vậy đẳng cấu cần có là ( ) ( ) ( )* * *1 2 1 2: f E E f E f E≅Φ ⊗ → ⊗ ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,e e y e y e y⊗ ⊗ được suy ra từ tính phổ dụng của cái kéo lại. CHƯƠNG 3: K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG Mục đích của chương này là tính toán các K – nhóm của các không gian có độ cong hằng. Để đạt được mục đích đó chúng tôi sẽ trình bày cách tính K – nhóm của một số không gian có độ cong hằng quen thuộc như mặt cầu nS , không gian 1 2, , ,...n CP CP , thông qua đó cho độc giả nắm được một số phương pháp giúp tính được K – nhóm và hiểu hơn về K – lý thuyết. 3.1 Tôpô tổng quát và việc xây dựng các phân thớ vectơ Định nghĩa 3.1.1. (Tích chêm). Tích chêm X Y∨ của hai không gian X và Y là không gian được tạo ra bằng cách lấy hợp rời của X và Y đồng thời đồng nhất 1 điểm trên X với 1 điểm trên Y như sau: ( )0 0/ptX Y X Y X Y x y∨ = =   (pt: 1 điểm). Ví dụ 3.1.1. Tích chêm của hai đường tròn là số 8. Định nghĩa 3.1.2. (Tích smash). Tích smash X Y∧ của X Y∨ của hai không gian X và Y là không gian được tạo ra bằng cách lấy tích trực tiếp của X và Y , sau đó chia thương cho tích chêm của X và Y , tức là { } { }0 0/ /∧ = × ∨ = × × ×X Y X Y X Y X Y Y x X y . Ví dụ 3.1.2. Tích smash của hai đường tròn là một mặt cầu. Để dễ hình dung, trước hết ta chú ý rằng 1 1S S× chính là mặt xuyến, sau khi chia thương cho 1 1S S∨ (có nghĩa là đồng nhất các cạnh của hình vuông ở hình dưới) ta thu được một mặt cầu, hay nói cách khác 1 1 2.S S S∧ = X Y X Y∨ Ví dụ 3.1.3. Trong trường hợp tổng quát, ta có .m n m nS S S +∧ = Ta có thể chứng minh điều này bằng cách xem nS là một phức ô chứa đĩa nD và 1 điểm 0x với đồng cấu nối biến các điểm trên nD∂ thành 0x . Khi đó m nS S× là một phức ô mà các ô của nó là các tích của các ô trong nS và :mS 0 0 0 0 0 0 n m n m n mS D D D y x D x y x y+ = × × × × ×    . Ta còn có 0 0 ,n m n mS S D y x D∨ = × × vì vậy khi chia thương cho tích chêm ta được không gian n m n m m nD D pt D pt S+ +× = × = . Định nghĩa 3.1.3. (Nón). Nón CX trên X là không gian được tạo ra bằng cách lấy tích trực tiếp của X và đoạn [ ]0,1I = rồi rút đoạn cuối về một điểm: { }/ 1CX X I X= × × . Ta chú ý rằng CX là co rút được. Định nghĩa 3.1.4. (Cái treo). Cái treo SX của một không gian X là không gian được tạo ra bằng cách lấy hợp của 2 bản sao của nón trên X, hoặc một cách tương đương đó là không gian được tạo ra bằng cách nối I cả ở trên và dưới X, sau đó rút X về thành 1 điểm, ta có thể viết { } { }/ 0 1 .SX X I X X= × × × Ví dụ 3.1.2. Cái treo của { }0 0 1,S x x= gồm 2 đường thẳng (mỗi đường qua mỗi điểm của 0S ) gặp nhau tại 0 và 1, tạo thành đường tròn. Tương tự, cái treo của 1S là 1 mặt trụ trong đó các đường tròn ở đỉnh và đáy thu về các điểm, tạo thành mặt cầu 2S . Ta có kết quả tổng quát như sau: 1n nSS S += . Định nghĩa 3.1.5. (Cái treo rút gọn). Cái treo rút gọn X∑ là không gian được tạo bởi thương giữa cái treo của X và { }0x I× với 0 ,x X∈ hay nói cách khác { } { } { }0/ 0 1   = × × × ×    ∑  X X I X X x I . Cái treo rút gọn tương đương (theo quan hệ đồng luân) với cái treo không rút gọn. Ví dụ 3.1.5. Cái treo rút gọn của một không gian X bất kỳ bằng với tích smash của X với 1S . Để chứng minh, ta xem 1S như 1 đoạn thẳng với các điểm cuối được đồng nhất với nhau, { } { }( )1 / / 0 ~ 1S I I I= ∂ = . Do đó, ta có ( )1 1 1 1/ /X S X S X S X I X S X I∧ = × ∨ = × ∨ ×∂ { } { } { }( )0/ 0 1X I X X x I= × × × ×  trong đó ta đồng nhất điểm 0x với điểm 0 1 trên 1S trong tích chêm. Ví dụ 3.1.6. Ta có ( )X Y X Y∨ = ∨∑ ∑ ∑ . Ta có được đẳng thức này vì ( ) { } { }( )0 0/X Y I X I Y I x I y I∨ × = × × × ×  , sau khi chia thương cho { } { } ( )0 00 1 ,X Y X Y x y I∨ × ∨ × ×  , ta được X Y∨∑ ∑ . Ví dụ 3.1.7. Ký hiệu X + là không gian X với 1 điểm liên hợp, khi đó 1X X S+ = ∨∑ ∑ . Ta có ( ) ( ) { } ( ) { } ( )0/ 0 1X pt X I pt I X pt X pt x pt I= × × × × ×∑        . Hai thương đầu tiên cho ta cái treo của X với một đường thẳng cực được nối (kết quả có được từ việc co rút pt I× tại 0pt× và 1pt× ), trong khi đó thương tiếp theo co rút 2 điểm cuối cùng của đường thẳng này về cùng một điểm, cho ta 1X S∨∑ . Định nghĩa 3.1.13. (Cái treo cấp n). Ta định nghĩa cái treo cấp n (hoặc cái treo rút gọn) như sau:  ... .n n S X SS S X= Ví dụ 3.1.8. Cái treo cấp n rút gọn n X∑ bằng với tích smash của mặt cầu nS với X: .n nX S X= ∧∑ Ta quay trở lại với phân thớ vectơ. Ví dụ 3.1.9. Xét ánh xạ tam giác : X X X∆ → × , ( ),x x x và E là một phân thớ vec tơ trên X X× . Khi đó ∆ cảm sinh một phân thớ kéo lùi ( )* E∆ sao cho thớ trên x X∈ tương ứng với thớ ( ),x x X X∈ × . 3.2 Phương pháp sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K – nhóm 3.2.1. Tích ngoài cho ( )K X Định nghĩa 3.2.1. Cho { }, ,AA p X và { }, ,bB p Y là hai phân thớ vectơ phức trên một không gian cố định X. Xét các cái kéo lại của chúng bởi các phép chiếu :Xp X Y X× → và :Yp X Y Y× → , được chỉ ra trong biểu đồ giao hoán Sử dụng tích thông thường trong ( )K X Y× được xác định trong chương trước, ta thu được phân thớ Ta định nghĩa tích ngoài như sau: ( ) ( ) ( ): K X K Y K X Yµ ⊗ → × Chú ý 3.2.1. Nói một cách chặt chẽ, các phần tử của ( )K X là các lớp đẳng cấu của các phân thớ vec tơ trên X. Điều này giải thích tại sao ta đặt A trong dấu ngoặc vuông. Tuy nhiên, từ phần này để đơn giản, ta chỉ viết A để ký hiệu một phần tử của ( )K X tương ứng với một phân thớ vec tơ { }, ,AA p X . Phép nhân trên vành ( ) ( )K X K Y⊗ được xác định bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ):m K X K Y K X K Y K X K Y⊗ ⊗ ⊗ → ⊗ Hiển nhiên µ là một đồng cấu vành vì trong đó đẳng cấu (1) suy ra từ tính chất của cái kéo lại mà ta đã chỉ ra ở phần cuối mục trước. Để có (2) ta cần tìm một đẳng cấu phân thớ f giữa các phân thớ ( ) ( ){ }* * , ,X Yp C p B X Yπ⊕ × và ( ) ( ){ }* * ', ,Y Xp B p C Y Xπ⊕ × , tức là ta có biểu đồ sau giao hoán Đẳng cấu trên là rõ ràng và ta có là đẳng cấu suy ra từ tính giao hoán của phép nhân bình thường . Thật vậy, phép toán được định nghĩa là tổng trực tiếp của các tích tensor của các phần tử của ( )K X Y× được thực hiện trên các thớ, trong đó ⊕ và ⊗ giao hoán như ta thấy trong chương 1. Định lý 3.2.1 [Định lý tích cơ bản] Đồng cấu của các vành ( ) ( ) ( )2 2: K X K S K X Sµ ≅⊗ → × là một đẳng cấu. Ta ký kiệu H là phân thớ đường chính tắc trên ( )2 1 21 ,G P S≅ ≅  tức là ( )21,2 1,2 1: : .H E Gγ= →  Bổ đề 3.2.1. Cho H và 1 là các phân thớ tầm thường chính tắc. Khi đó tồn tại một đẳng cấu của các phân thớ vectơ phức ( ) 1H H H H⊗ ⊕ ≅ ⊕ . Xét đồng cấu vành [ ] 0 : | , 0 k i i i i H a H a k =   = ∈ ≥    ∑  và iđêan của nó được sinh bởi ( )21 .H − Thương [ ] ( )2/ 1H H − có cơ sở { }1, .H Chú ý rằng trong ( )K X bổ đề 3.2.1.4. cho ta công thức sau: ( )22 1 2 1 0H H H+ = ⇔ − = . Vì vậy ta có đồng cấu vành tự nhiên [ ] ( ) ( )2 2/ 1H H K S− → xác định vì ( )21 0H − = trong ( )K X . Tiếp tục ta định nghĩa đồng cấu ~ µ thông qua ánh xạ hợp ~ µ : ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2/ 1K X H H K X K S K X Sµ⊗ − → ⊗ → × . Khi đó ta có một định lý tương đương với định lý tích cơ bản: Định lý 3.2.2 (FPT2). Đồng cấu của các vành ~ µ : ( ) [ ] ( ) ( )2 20, / 1 ,K X s H H K X S≅⊗ − → × ∗ là đẳng cấu. Hệ quả 3.2.1. Ánh xạ [ ] ( ) ( )2 2 0/ 1 ,H H K S s≅− → là một đẳng cấu vành. Chú ý 3.2.2. Theo hệ quả trên, dãy khớp ngắn ( ) ( ) ( )* ~ 2 2 0 00 , , 0, iK S K S s K S→ ∗ → → → trong đó ( ) ~ 2 *, Ker ∗ =K S i , tương đương với dãy khớp ngắn ( ) [ ] ( ) *2 20 1 / 1 0iH H H→ − → − → →  . Vì vậy ( ) ~ 2K S được sinh bởi ( )1H − như một nhóm aben. 3.2.2 Ứng dụng tính ( ) ( )2 1;K S K CP ; ( ) ( ) ~ ~ 2 1;K S K CP Lấy X pt= , ta suy ra ngay cấu trúc của nhóm đầu tiên của K – lý thuyết đối với mặt cầu 2S và 1CP . Áp dụng định lý 3.2.2, ta có ( ) [ ] ( )22 / 1K S H H≈ − là đẳng cấu vành và ( )2K S ≈ ⊕  là đẳng cấu nhóm. Nó được sinh bởi 1 và H hoặc được sinh bởi 1 và ( )1H − . Khi đó ta có thể viết ( ) ( )1 .n mH n m m H+ = + + − Vì ( ) ~ 2K S là hạt nhân của ánh xạ thu hẹp ( ) ( )2K S K pt→ và ( )K pt rõ ràng được sinh bởi phân thớ tầm thường 1. Ta có kết luận ( ) ~ 2K S =  với phần tử sinh là ( )1H − và phép nhân là tầm thường. Mặt khác ta có thể xem 1CP như 2S . Thật vậy, lấy 2 3S ⊂  , 2S thỏa mãn phương trình 2 2 2w 1s t+ + = . Ta định nghĩa ánh xạ 2 1S CP→ ( ) [ ], , :1s t u s it u+ − Khi đó ánh xạ ngược có thể được cho bởi: [ ] ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Re 2 Im : , , . x y x y x y x y x y x y x y  −   + + +   Điều này chứng tỏ 2S đồng phôi với 1CP . Do đó ta cũng có ( ) [ ] ( )21 / 1K CP H H≈ − ; ( )1K CP ≈ ⊕  ; ( ) ~ 1K CP =  .  3.3 Phương pháp sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott 3.3.1 Các dãy khớp của K – nhóm Xét dãy gồm các nhóm và các đồng cấu 11 2 1 2 ... pff f pG G G−→ → → là một dãy khớp với mọi i thỏa 1 i p< < , tức là 1Ker Imi if f −= . Nếu dãy 1 1 20 fG G→ → là dãy khớp thì 1f là đơn ánh và ngược lại. Nếu dãy 1 1 2 0 fG G→ → là dãy khớp thì 1f là toàn ánh và ngược lại . Và nếu dãy 1 2 1 2 30 0 f fG G G→ → → → là dãy khớp và tồn tại một đồng cấu 3 2:g G G→ sao cho 2 3 3:f g Id G G= → thì dãy trên được gọi là dãy khớp ngắn và khi đó ta có 2 1 3.G G G≅ ⊕ Mệnh đề 3.3.1. Nếu X là không gian compact Hausdorff và A X⊂ là một không gian con đóng, khi đó ánh xạ bao hàm :i A X→ và ánh xạ chiếu : /q X X A→ cảm sinh một dãy khớp: ( ) ( ) ( )* * ~ ~ ~ / q iK X A K X K A→ → . Mệnh đề 3.3.2. Nếu A co rút được thì ánh xạ chiếu : /q X X A→ cảm sinh một song ánh giữa các lớp đồng phôi của các phân thớ n chiều trên /X A và các lớp đồng phôi của các phân thớ trên X. Hai mệnh đề trên cho phép ta xây dựng 1 dãy khớp dài của các K - nhóm. Ta bắt đầu với ánh xạ bao hàm :i A X→ và thêm vào các không gian bằng cách tại mỗi bước tạo ra hợp của các không gian trước với cái nón của không gian được tạo thành bởi hai bước trước đó. Ta cũng chia thương cho cái nón gần nhất, theo cách này ta có dãy khớp của các ánh xạ bao hàm (các ánh xạ đứng) và các ánh xạ chiếu (ánh xạ ngang): ( ) ( )( ) ( ) ... / A X X CA X CA CX X CA CX X CA X A SA SX ↓ ↓ ↓ → → → → →       Cái nón là co rút được, vì vậy các ánh xạ thẳng đứng cảm sinh các đẳng cấu của các K - nhóm rút gọn. Vì vậy ta có ánh xạ bao hàm A X X CA→ →  và ánh xạ chiếu /X CA X A→ cảm sinh một đẳng cấu giữa ( ) ~ K X CA và ( ) ~ /K X A . Điều này cho ta một dãy khớp ( ) ( ) ( )* * ~ ~ ~ / q iK X A K X K A→ → . Dãy này sau đó được mở rộng bằng cách sử dụng ánh xạ bao hàm ( )X CA X CA CX→   , trong đó ( ) ( ) ~ ~ /K X CA K X A≈ và ( ) ( ) ~ ~ K X CA CX K SA≈  , tiếp tục quá trình trên, cho ta dãy khớp dài: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ... / /K S X A K SX K SA K X A K X K A→ → → → → → . Ví dụ 3.3.1. Xét tích chêm X A B= ∨ và dãy khớp dài: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ... K SB K SX K SA K B K X K A→ → → → → → Đặc biệt, ta xét ba hạng tử cuối cùng: ( ) ( ) ( )* * ~ ~ ~ q iK B K X K A→ → trong đó :i A A B→ ∨ là ánh xạ bao hàm của A trong X và :q A B B∨ → là ánh xạ chiếu co rút A thành một điểm. Khi đó ánh xạ hợp 'q i là ánh xạ đồng nhất trên A và vì vậy cảm sinh ánh xạ đồng nhất * '*i q trên ( ) ~ K A , suy ra *i là toàn ánh và '*q là đơn ánh. Tương tự, cho j là ánh xạ bao hàm của B trong X, khi đó ánh xạ hợp q j là ánh xạ đồng nhất trên B và vì vậy nó cảm sinh ánh xạ đồng nhất * *j q trên ( ) ~ K B , điều này có nghĩa là *q là đơn ánh. Do đó ta có được một dãy khớp ngắn và: ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ K A B K A K B∨ ≅ ⊕ . Ví dụ 3.3.2. Xét tích smash /X Y X Y X Y∧ = × ∨ và dãy khớp dài cho X Y× và X Y∨ . ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ... K S X Y K S X Y K S X Y K X Y K X Y K X Y→ ∧ → × → ∨ → ∧ → × → ∨ Ta biết rằng cái treo là tương đương (theo quan hệ đồng luân) với cái treo rút gọn. Ta sử dụng kết quả vừa nêu và ví dụ trước để có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∨ ≈ ∨ ≈ ∨ ≈ ⊕ ≈ ⊕∑ ∑ ∑ ∑ ∑K S X Y K X Y K X Y K X K Y K SX K SY và ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ K X Y K X K Y∨ = ⊕ . Điều này có nghĩa là ta có ( ) ( ) ( ) ( )* ~ ~ ~ ~ .iK X Y K X Y K X K Y× → ∨ ≈ ⊕ Ta có thể chỉ ra ánh xạ này là toàn ánh. Thật vậy, cho 'q và q là các ánh xạ chiếu từ X Y∨ lên X và Y. Khi đó ta định nghĩa các ánh xạ chiếu 1 2,p p từ X Y× lên X và Y, ánh xạ bao hàm :i X Y X Y∨ → × . Ta thấy rằng việc chiếu từ X Y∨ lên X hoặc Y là giống với việc nhúng X Y∨ vào trong X Y× và sau đó chiếu lên các phần tử, tức là: ' 1q p i=  2q p i=  . Thật ra ánh xạ cảm sinh ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ '* * :q q K X K Y K X Y⊕ ⊕ → ∨ là một đẳng cấu và ta có thể viết như sau: ( )'* * * * * * * * *1 2 1 2q q i p i p i p p⊕ = ⊕ = ⊕ . Vì vậy *i là toàn ánh và * *1 2p p⊕ cùng với các ánh xạ treo * *1 2Sp Sp⊕ cho ta một dãy khớp ngắn như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ 0 0K X Y K X Y K X K Y→ ∧ → × → ⊕ → . Do đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ K X Y K X Y K X K Y× ≈ ∧ ⊕ ⊕ và ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ K S X Y K S X Y K SX K SY× ≈ ∧ ⊕ ⊕ . 3.3.2 Tích ngoài rút gọn Giả sử ( ) ( ) ( )( ) ~ 0Kera K X K X K x∈ = → ; ( ) ( ) ( )( ) ~ 0Ker .b K Y K Y K y∈ = → Khi đó tích ngoài của chúng là ( ) ( ) ( ) ( )* *1 2a b a b p a p b K X Yµ∗ = ⊗ = ∈ × , với ( )*1 0p a = thuộc ( )0K x Y× và ( )*2 0p a = thuộc ( )0K X y× , tức là ( ) ( )* *1 2 0p a p b = trong ( )K X Y∨ và ( ) ~ a b K X Y∗ ∈ × với ( ) ~ K X Y× là hạt nhân của ánh xạ ( ) ( )0 0K X Y K x y× → × . Từ dãy khớp ngắn ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ 0 0K X Y K X Y K X K Y→ ∧ → × → ⊕ → , ta thấy rằng a b∗ thuộc hạt nhân của ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ K X Y K X Y K X K Y× → ∨ ≈ ⊕ và vì vậy nó thuộc vào tập ảnh của ánh xạ trước. Từ đó ta suy ra rằng tạo ảnh của a b∗ chỉ có duy nhất một phần tử, phần tử này thuộc ( ) ~ .K X Y∧ Vì vậy ta có một tích ngoài rút gọn ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ K X K Y K X Y⊗ → ∧ . Ta cũng có thể viết như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ,K X K X K Y K Y= ⊕ = ⊕  và vì vậy, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ K X K Y K X K Y K X K Y⊗ ≈ ⊗ ⊕ ⊕ ⊕ ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ K X Y K X Y K X K Y ↓ ↓ × ≈ ∧ ⊕ ⊕ ⊕ Ta sử dụng G G⊗ ≅ với một nhóm aben G và do đó thấy rằng bằng cách hạn chế tích ngoài không rút gọn lên ( ) ( ) ~ ~ K X K Y⊗ ta có được tích ngoài rút gọn được. 3.3.3 Định lý tuần hoàn Bott Ta có nnS X X∧ ≈∑ và cái treo nS quan hệ với cái treo rút gọn bằng một ánh xạ chiếu của không gian con có thể co rút được. Ta có đẳng cấu ( ) ( ) ~ ~ n nK S X K S X≈ ∧ . Từ định lý tích ngoài ta biết rằng ( ) ( ) ( )2 2K X K S K X S⊗ → × là một đẳng cấu vành, và vì vậy thu hẹp của ánh xạ này đến các nhóm rút gọn ( ) ( ) ( )2 2K X K S K X S⊗ → × là một đẳng cấu. Xét ánh xạ ( ) ( ) ~ ~ 2: K X K S Xβ → được định nghĩa bởi ( ) ( )1a H aβ = − ∗ trong đó ( ) ~ a K X∈ và ( )1H − là phân thớ đường thẳng chính tắc trên 2 1S CP≈ . Đây là ánh xạ hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ 2 2K X K S K X K S X→ ⊗ → . Ánh xạ đầu tiên trong ánh xạ hợp được xác định bởi ( )1a H a− ⊗ và là đẳng cấu vì ( )1H − là phần tử sinh của ( ) ~ 2K S , và ánh xạ thứ hai là một đẳng cấu được suy ra từ định lý tích ngoài, vì vậy ta có tuần hoàn Bott: ( ) ( ) ~ ~ 2K X K S X≈ . 3.3.4 Tính K – nhóm của một số không gian Ví dụ 3.3.3. X là 1 điểm Một phân thớ vectơ trên 1 điểm là 1 bản copy đơn lẻ của nC và vì vậy ( ) { } { }n pK pt n p= − ≡ − ≅   . Phép nhân trên nhóm này là phép nhân thông thường trên  (nếu ta biểu diễn lớp tương đương của { }n p− một cách đơn giản bởi 0mm = −  , trong đó m n p= − thì tích tenxơ của các phân thớ là m r mrm r mr⋅ ≡ ⊗ = =   ). Nhóm rút gọn là hạt nhân của ánh xạ ( ) ( )K pt K pt→ với ( ) ( )K pt K pt→ là ánh xạ đồng nhất, và vì vậy ( ) ~ 0K pt = . Ví dụ 3.3.4. 0X S= Một phân thớ vectơ trên { }0 0 1,S x x= gồm 1 bản sao của m trên 0x và một bản sao của n trên 1x (chú ý là m n≠ trong trường hợp tổng quát vì 0S không liên thông). Từ đó ta suy ra ( ) { }0 ,K S m n p q= − − ≅ ⊕  trong đó m n− tượng trưng cho lớp tương đương của m n−  . Cấu trúc vành là phép nhân thông thường của  trên mỗi nhân tử. Nhóm rút gọn ( ) ~ 0K S là hạt nhân của ánh xạ hạn chế ( ) ( )0 0K S K x→ , tức là hạt nhân của ánh xạ biến { },m n p q− −    thành { }m n−  . Hạt nhân bao gồm các phần tử có dạng { },m n p q− −    trong đó m n= . Vì vậy ( ) { } { } ~ 0 0, ,p qK S p q= − ≡ − ≅   và cấu trúc vành là phép nhân bình thường trên  . Ví dụ 3.3.5. 1X S= Tất cả các phân thớ phức trên 1S đều tầm thường, vì vậy ( ) { }1 m nK S = − ≅   với phép nhân thông thường và ( ) ~ 1 0.K S = Ví dụ 3.3.6. 2X S= Mặt cầu 2S đã được đề cập trong phần trước, ở đây ta chỉ nhắc lại kết quả đã có được. Ta có ( )2K S ≈ ⊕  là một nhóm và ( ) [ ] ( )22 / 1K S H H≈ − là một vành. Ta có thể viết ( )2K S dưới dạng sau: ( ){ } ( )1 : , ,n m H m n n m+ − ∈ ≡ và cấu trúc vành được cho bởi ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1n m H p q H nm mp nq H+ − + − = + + − , vì vậy ta có thể viết một cách ngắn gọn như sau: ( )( ) ( ), , ,n m p q nm mp nq= + . Nhóm rút gọn ( ) ~ 2K S là hạt nhân của ánh xạ hạn chế ( ),n m n và vì vậy ( ) ~ 2K S =  , phần tử sinh là ( )1H − với phép nhân thông thường. Ví dụ 3.3.7. nX S= Từ tuần hoàn Bott ta suy ra ( ) ~ 2 1 0nK S + = và ( ) ~ 2nK S =  (được sinh bởi tích ngoài thu gọn được cấp n ( ) ( )1 ... 1H H− ∗ ∗ − , vì vậy phép nhân là tầm thường). Khi đó với các mặt cầu có số chiều lẻ ta có ( )2 1nK S + =  với phép nhân thông thường, trong khi đó với các mặt cầu có số chiều chẵn ta có ( )2nK S = ⊕  với cấu trúc vành giống như 2S . Ví dụ 3.3.8. Mặt xuyến Mặt xuyến 2 1 1T S S= × . Xét dãy khớp dài với cặp không gian ( ),X Y X Y× ∨ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ K X Y K X Y K X K Y× ≈ ∧ ⊕ ⊕ , vì vậy với 1X Y S= = , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 1 1 2K T K S K S K S K S≈ ⊕ ⊕ = =  vì 1 1 2S S S∧ = và ( ) ~ 1 0.K S = Thật ra đẳng cấu trên là một đẳng cấu vành, vì vậy cấu trúc vành trên ( ) ~ 2K T giống với trên ( ) ~ 2K S , tức là phép nhân là tầm thường. Khi đó ta có ( ) ( ) ~ 2 2K T K T= ⊕ = ⊕   với cấu trúc vành giống như trên ( )2K S . Chú ý rằng ví dụ này chỉ ra rằng mặt xuyến và mặt cầu 2S có cùng K và ~ K nhóm. Để phân biệt được mặt xuyến và mặt cầu 2S ta cần xét thêm các K – nhóm khác. Ví dụ 3.3.9. Cái chêm của các mặt cầu Xét cái chêm của các mặt cầu n mS S∨ . Ta có ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ n m n mK S S K S K S∨ = ⊕ . Vì vậy với cấu trúc vành là tầm thường trong tất cả các trường hợp. Ta cũng có Nếu cả ,m n đều lẻ thì cấu trúc vành là phép nhân thông thường trên  , nếu một số chẵn và một số lẻ thì cấu trúc vành giống như trên 2S , và nếu cả hai đều là số chẵn thì cấu trúc vành được cho bởi [ ] ( )2 2, / ,α β α β trong đó ,α β là các phần tử sinh của ( ) ~ nK S và ( ) ~ mK S . 3.4 Phương pháp sử dụng đối đồng điều 3.4.1 Đối đồng điều Nếu ta định nghĩa ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~~ ~ 0 1,K X K X K X K SX−≡ ≡ ,, ( ) ( ) ~ ~ p pK X K S X− ≡ thì khi đó ta có thể xem K – lý thuyết như một lý thuyết đối đồng điều. Ta cũng có thể giới thiệu các nhóm có mối liên hệ với nhau bằng cách đặt ( ) ( )( ) ~ ~ , /p pK X A K S X A− ≡ . Từ định lý tuần hoàn Bott ta có ( ) ( ) ~ ~ 2 0K X K X− = và từ dãy khớp dài có được ở trên ta có dãy khớp 6 thành phần sau: Ta có được ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ * 0 1 .K X K X K X−= ⊕ Từ tích ngoài ta có phép nhân cảm sinh ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ * * *K X K Y K X Y⊗ → ∧ và ta có thể dùng phép nhân này để xây dựng một tích trên ( ) ~ *K X bằng cách kết hợp tích ngoài với ánh xạ được cảm sinh bởi ánh xạ tam giác ( ): , ,X X X x x x∆ → ∧  . Vì vậy ta có: ( ) ( ) ( ) ( )* ~ ~ ~ ~ * * * *K X K X K X X K X∆⊗ → ∧ → . Đồng cấu này là một đồng cấu vành. Ví dụ 3.4.1. Phép nhân trên khi thu hẹp trên thành phần ( ) ~ 0K X trong ( ) ~ *K X trở thành phép nhân thông thường trên ( ) ~ K X . Để thấy được điều này, ta chú ý rằng phép nhân ở trên là ( ) ( ) ( ) ( )* ~ ~ ~ ~ K X K X K X X K Xµ ∆⊗ → ∧ → trong đó ánh xạ đầu tiên được xác định bởi ( ) ( ) ( )* *1 2,a b p a p b với 1p và 2p là các ánh xạ chiếu lên thành phần thứ nhất và thành phần thứ hai của .X X∧ Phép nhân ở đây là tích thông thường trong ( ) ~ K X X∧ và thớ trên điểm ( )1 2,x x X X∈ ∧ là tích tensor của các thớ trên 1x X∈ và 2x X∈ (vì *1p kéo lùi thớ trên 1x X∈ về { }1x X∧ và tương tự đối với *2p ). Cuối cùng ánh xạ tam giác kéo lùi thớ trên ( ),x x X X∈ ∧ về x X∈ và vì vậy ta có thớ trên x X∈ gồm tích tensor của thớ trong a trên x với thớ trong b trên x, và đây là tích tensor thông thường của a và b. Hình thức liên kết của tích ngoài là ánh xạ ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ * * *, , / /K X A K Y B K X A Y B⊗ → ∧ . Khi được kết hợp với ánh xạ tam giác ( )/ / /X A B X A X B∪ → ∧ ta có tích ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ * * *, , , .K X A K X B K X A B≈ → ∪ Ví dụ 3.4.2. Nếu X là hợp của hai không gian co rút được, X A B= ∪ , khi đó ta có ( ) ( ) ~ ~ /K X K X A≈ . Vì vậy ta có tích ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ * * *K X K X K X⊗ → có thể được viết như một sự kết hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ * * * *, , ,K X A K X B K X A B K X⊗ → ∪ → . Mặt khác nhóm giữa là ( ) ( ) ~ ~ * *, , 0K X A B K X X∪ ≈ = và vì vậy phép nhân trên ( ) ~ *K X là tầm thường. Ví dụ 3.4.3. Nhìn chung nếu X có thể viết dưới dạng hợp cấp n của các không gian co rút được thì tất cả các tích cấp n trong ( ) ~ *K X là tầm thường. Tiếp theo ta định nghĩa ( ) ( ) ~ p pK X K X− − +≡ trong đó X + là X với một điểm liên hợp. Điều này có nghĩa là ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ~ 0 0 KerK X K X K X K X K X+ + += = → = . Vì vậy định nghĩa này phù hợp với định nghĩa trước của ( )K X và ( ) ~ K X và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 1 1 1K X K X K SX K X K X S K X K S K SX K X− − −+ + += = = = ∨ = ⊕ = =∑ ∑ ∑ Với mỗi cặp ( ),X A với A ≠ ∅ , ta định nghĩa ( ) ( ) ~ , ,p pK X A K X A− −= và có thể viết dãy khớp 6 thành phần cho các nhóm không rút gọn được. Ta cũng có tích ( ) ( ) ( )K X K Y K X Y∗ ∗ ∗⊗ → × và bằng cách kết hợp với ánh xạ tam giác : X X X∆ → × ta thu được cấu trúc vành trên ( )*K X . 3.4.2 Tính K – nhóm thông qua đối đồng điều Ví dụ 3.4.4. X pt= Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ 1 1 1 0 0 1|_| 0− − −= = = = =K pt K pt pt K S K SS K S . Tương tự ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ 2 2 2 0 2 0 2|_|− − −= = = = = K pt K pt pt K S K S S K S . Ví dụ 3.4.5. nX S= Xét các mặt cầu có số chiều chẵn, ( ) ( ) ~ ~ 1 2 2 1 0n nK S K S− += = , trong khi đó với các mặt cầu có số chiều lẻ ( ) ( ) ~ ~ 1 2 1 2 2n nK S K S− + += =  . Do đó với mọi mặt cầu, ta có ( ) ~ * nK S =  . Ta suy ra ( )1 2 0nK S− = và ( )1 2 1nK S− + =  , vì vậy ( )* nK S = ⊕  với mọi mặt cầu. Ví dụ 3.4.6. Với mặt xuyến 2T , ta xét dãy khớp ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ 0 0K S X Y K S X Y K SX K SY→ ∧ → × → ⊕ → với 1X Y S= = , vì vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 2 2 1 2 2 2K T K SS K SS K SS K S K S− = ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕  . Do đó ( ) ~ * 2K T = ⊕ ⊕   và ( )1 2K T− = ⊕  . Ta suy ra ( )* 2K T = ⊕ ⊕ ⊕    . Qua đó ta thấy rằng mặt xuyến và mặt cầu 2S thật ra có các K – nhóm phân biệt nếu ta nhìn theo quan điểm này. 3.5 Một số phương pháp khác 3.5.1 K – lý thuyết cho không gian compact địa phương Cho X là một không gian compact địa phương, ta compact hóa một điểm đối với X, khi đó ta ký hiệu lại X • . Tiếp theo ta định nghĩa ( )K X và ( )1K X− lần lượt là { }( )erK K X K •   → ∞     và { }( )1 1erK K X K • − −   → ∞     . Nếu X com pact thì X chỉ là hợp rời của X và { }∞ , vì vậy định nghĩa này phù hợp với định nghĩa gốc của ( )K X và ( )1K X− . Ta định nghĩa một đồng cấu giữa hai không gian compact địa phương X và Y. Đó là ánh xạ được xác định như sau: :f X Y • • → sao cho ( )f ∞ = ∞ . Ta sẽ viết f dưới dạng :f X Y→ . Hiển nhiên rằng các không gian compact địa phương là các vật của một phạm trù với các xạ được định nghĩa như trên. Hơn nữa, vì các biểu đồ là giao hoán nên các hàm tử K và 1K − được xác định trên phạm trù này. Ví dụ 3.5.1. Ánh xạ bao hàm của điểm { }∞ trong nS cảm sinh các đẳng cấu ( ) ( ) ~ n nK S K≈  và ( ) ( ) ~ 1 1n nK S K− −≈  . Do đó ta có ( ) 0nK = khi n lẻ và ( )nK =  khi n chẵn; ( )1 0nK − = khi n chẵn và ( )nK =  khi n lẻ. 3.5.2 Lũy linh của ( )K X Định lý 3.5.1. Cho X là một không gian compact và cho ( )'K X là nhóm con của ( )K X được định nghĩa như trong 1.1.29. Khi đó với cấu trúc vành được định nghĩa như trong 5.2, nhóm con ( )'K X là một lũy linh của ( )K X (tức là mọi phần tử của ( )'K X là lũy linh). Đặc biệt, mọi phần tử của ( ) ( ) ~ KerK X K X≈ →   là lũy linh nếu X liên thông. Hơn nữa, nếu 1 n i i X X = =  trong đó iX là các tập con đóng co rút được, khi đó ( )( )' 0.K X = Ví dụ 3.5.2. Nếu nX CP= hoặc nX RP= , ta có thể tìm (n+1) tập con iX co rút được sao cho 0 n i i X X = =  . Trong các thành phần của các tọa độ thuần nhất với mọi , ii X là tập các điểm ( )0 ,..., nx x sao cho 0ix ≠ và 2 1.j j i i x x≠ ≤∑ Vì vậy ( ) ( ) 1 1~ ~ 0 n n n nK RP K CP + +    = =       . 3.5.3 Sử dụng nhóm ( ),K X Y Định lý 3.5.2. Cho X là một không gian compact và Y là một tập con đóng của X. Khi đó ta có dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *1 1 ,j i jK X K Y K X Y K X K Y∂− −→ → → → . Ví dụ 3.5.3. Cho nCP là không gian xạ ảnh phức của 1.n+ Khi đó 1 2CP S≈ và ( ) ( )1 2K CP K S≈ ≈ ⊕  . Hơn nữa, một phần tử sinh không tầm thường của ( ) ~ 2K S được cho bởi phân thớ đường chính tắc trên 1.CP Tiếp theo cho X là 2CP và Y là 1CP . Vì vậy, phân thớ đường chính tắc trên 1CP là thu hẹp của phân thớ đường chính tắc trên 2CP . Ánh xạ ( ) ( )K X K Y→ là toàn ánh. Cuối cùng, ( )1 2 0K S− = và ( ) ( ) ~ 4, /K X Y K X Y K S •  ≈ ≈ ≈      . Từ nhận xét trên và hệ quả trên ta thu được dãy khớp ( ) ( ) ( ) ~ 4 2 10 0 K S K CP K CP→ → → → ≈ ≈ ⊕   Vì vậy ( )2K CP ≈ ⊕ ⊕   . Từ đây ta có ( ) 1n nK CP +≈  . KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Chúng ta biết rằng để thu được thông tin một cách trực tiếp về một đa tạp nào đó nói chung và một không gian có độ cong hằng bất kỳ nói riêng không phải lúc nào cũng dễ dàng. Để khắc phục, các nhà Toán học xưa và nay đã không ngừng tìm tòi và phát triển về cách giải quyết vấn đề này. Kết quả là chúng ta có được những công cụ rất mạnh giúp khảo sát được một không gian bất kỳ. Trong tất cả những công cụ được phát hiện, chúng tôi quan tâm đến việc áp dụng K – lý thuyết vào lĩnh vực nghiên cứu các không gian này. Mô hình của phương pháp này có thể được mô tả một cách hình ảnh như sau: ta sẽ dùng máy ảnh đại số chụp không gian X bất kỳ để có được hình ảnh đại số của nó. Khi đó bằng các công cụ của đại số ta thu được thông tin của không gian X. Từ những thông tin này, ta trả lại các tính chất hình học tương ứng của X. Do đó ta thấy rằng việc tính K – lý thuyết của một không gian đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hình học của các không gian. Vì vậy nội dung chính của luận văn là tính K – nhóm của một số không gian có độ cong hằng quen thuộc và từ đó cung cấp cho độc giả một số phương pháp cũng như công cụ được sử dụng để tính K – nhóm của một không gian X bất kỳ và đặc biệt các không gian có độ cong hằng. Các kết quả chính của luận văn như sau:  Tính các K – nhóm của các không gian: nS ; 1; nCP  ; không gian 1 điểm  Một số phương pháp tính K – nhóm của các không gian. Sau khi hoàn thành luận văn, tôi nhận thấy luận văn có thể mở rộng theo hướng sau:  Tìm thuật toán tổng quát tính K – nhóm của một không gian có độ cong hằng.  Đặc trưng của K – nhóm của các không gian có độ cong hằng. Hi vọng các vấn đề này sẽ được giải quyết trong thời gian tới. Như vậy, với nội dung gồm ba Chương, luận văn đã trình bày sơ lược về K – lý thuyết tôpô, các không gian có độ cong hằng để từ đó chúng ta có các kiến thức nền tảng tính được các K – nhóm của một số không gian có độ cong hằng. Tuy đây không phải là vấn đề mới nhưng nó là đề tài khá thú vị và có ý nghĩa sâu sắc đối với bản thân tôi, giúp tôi trưởng thành hơn về tư duy Toán học, tính nhẫn nại và tự tin trong quá trình nghiên cứu. Nếu có điều kiện thì tôi muốn tiếp tục nghiên cứu thêm những vấn đề đưa ra ở trên. Do thời gian và năng lực còn hạn hẹp nên trong luận văn chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp từ quí Thầy cô và các bạn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. Hatcher, K – Theory and Vector Bundles, PDF version 2.0, January 2003. [2] Chris Blair, Some K – theory examples, May 2009. [3] Francis Clarke, An Introdution to K – theory, January 2003. [4] M.F. Atiyah, K – theory, Lecture notes, Harvard University, 1964; W. A. Benjamin, Inc, New York, 1967. [5] M. Karoubi, K – theory, An Introdution, Springer – Verlag, 1978. [6] R. Bott, Lectures on K(X), Harvard University, Cambridge, Mass., 1963. [7] TS. Nguyễn Hà Thanh, Bài giảng nhập môn đa tạp Rieman, Thành phố Hồ Chí Minh, 2008. [8] Varvara Karopa, Complex Topological K – Theory, Semester Project, EPFL, Spring 2009. [9] Wikipedia, the free enyclopedia,