Luận văn Khảo sát một số phương trình parabolic phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN ANH KHẢO SÁT MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 1.01.01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 12 -1997 LUẬN VĂN ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI : TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người Hướng Dẫn : PTS Nguyễn Thành Long Ban Toán - Tin học, học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh. Người Nhận Xét 1 : PTS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm TP.Hồ Chí Minh. Người Nhân Xét 2 : PTS Nguyễn Đình Huy Ban Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh. Người Thực Hiện : Nguyễn Thị Xuân Anh Ban Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Đại cƣơng TP.Hồ Chí Minh. LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƢỢC BẢO VỆ TẠI : HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VÀN THẠC SỸ TOÁN HỌC TRƢỜNG ĐAI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin được gởi đến Thầy PTS Nguyễn Thành Long, Ban Toán - Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh, người đã tận t ình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn lòng biế t ơn chân thành và sâu sắc nhất . Xin chân thành cảm ơn các Quý Thầy : PGS TS Trần Hữu Bổng, PTS Nguyễn Bích Huy, PTS Lê Hoàn Hoa, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, PTS Nguyên Đình Huy, Ban Toán - Tin học, trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý giá cho bản luận văn này. Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt và ch ỉ bảo cho tôi những kiến thức quý giá trong suốt thờ i gian học tại Trường. Xin chân thành cảm ơn các Quỷ Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, các Quý Thầy, Cô trong Phòng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể học tập và hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các Thầy PGS TS Đỗ Công Khanh, PGS PTS Võ Đăng Thảo cùng các Thầy, Cô và các Bạn trong Ban Toán - Tin học trường Đại học Đại cương Thành phố Hồ Chí Minh đã quan tâm và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập. Chân thành cảm ơn sự quan lâm, giúp đỡ của các Bạn cùng lớp Cao học Toán 4A trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Cuối cùng xin gởi đến Gia đình tôi, những người luôn động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm việc lời cảm ơn thân thương nhất . Một lần nữa, tôi xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến các Quý Thầy, Cô, Bạn hữu và Gia đình đã giúp tôi hoàn thành bản luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 1997 Nguyễn Thị Xuân Anh. MỤC LỤC CHƢƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1 CHƢƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM ............................................................................... 4 CHƢƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T – TUẦN HOÀN .................................................................................................................................................... 8 III.1. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ............................... 9 III.2. SỰ TÙY THUỘC LIÊN TỤC CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ĐỐI ..................... 19 VỚI CÁC HÀM a(t),h(t).f(r,t) VÀ HẰNG SỐ ũ0 ............................................................... 19 III.3 THUẬT GIẢI TÌM LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ......................................................... 21 CHƢƠNG IV: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐẦU ................. 25 IV. 1. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI ............................................................... 25 IV.2. LỜI GIẢI BÀI TOÁN DỪNG: .................................................................................. 36 VI.3. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA u(r,t) KHI t +∞ ................................................... 40 CHƢƠNG V PHẦN KẾT LUẬN............................................................................................ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 45 Phần mở đầu Trang 1 CHƢƠNG I: PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và các tính chất liên quan đến lời giải của phƣơng trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel thuộc dạng : (1.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất : (1.2) và kèm theo điều kiện đầu : u(r,0) = U0(r); hay điều kiện T-tuần hoàn : u(r,0) = u(r,T) ; trong đó ũ0 , T>0 là các hằng số cho trƣớc , a(t), h(t), F, f(r,t) là các hàm số cho trƣớc thỏa một số điều kiện nàođó mà ta sẽ đặt sau. Phƣơng trình (1.1) là phƣơng trình truyền nhiệt trong hình cầu đơn vị r < l , trong đó : u(r,t) là nhiệt độ tại mọi điểm trên mặt cầu tại thời điểm t với r < l , 0 < t < T . a(t) xuất hiện trong phƣơng trình (1.1) là hệ số truyền nhiệt, f(r,t) - F(u) là nguồn nhiệt. Điều kiện biên (1.2) trên mặt cầu đơn vị S1 mô tả sự trao đổi nhiệt với môi trƣờng bên ngoài, mà môi trƣờng bên ngoài (bên ngoài quả cầu đơn vị) có nhiệt độ cố định là ũ0 . Trong [2] Minasjan đã khảo sát phƣơng trình (1.5) liên kết với điều kiện biên (1.2) với ũ0 = 0 và điều kiện tuần hoàn (1.4). Minasjan đã tìm lời giải cổ điển bằng phƣơng pháp biến đổi Fourier. Phƣơng pháp này dẫn đến một hệ phƣơng trình đại số tuyến tính giả chính quy vô hạn. Tuy nhiên, tính giải đƣợc của hệ này không đƣợc chứng minh một cách chi tiết [2] . Phần mở đầu Trang 2 Sau đó, Lauerova trong [3] đã chứng minh sự tồn tại của một lời giải yếu T-tuần hoàn của bài toán (1.2), (1.5) với ũ0 = 0. Để xét trƣờng hợp phi tuyến, N.T.Long và Alain Phạm trong [5] đã nghiên cứu bài toán: (1.6) liên kết với điều kiện biên (1.2), (1.4) với ũ0 = 0. Trong trƣờng hợp ũ0 = 0 , đủ nhỏ, các tác giả trong [5] đã chứng minh bài toán (1.2), (1.4), (1.6) có duy nhất một lời giải yếu T-tuần hoàn trong các không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng thích hợp. Hơn nữa, lời giải thu đƣợc phụ thuộc liên tục vào các hàm a(t) và h(t) [5]. Trong luận văn này chúng tôi khảo sát hai bài toán (1.1) - (1.3) và (1.1), (1.2), (1.4) và các tính chất liên quan đến các lời giải của các bài toán này. Trong luận văn chúng tôi chia làm một số chƣơng mục sau :  Chƣơng 1 là phần mở đầu, chúng tôi giới thiệu tổng quát về bài toán và sơ nét về một số kết quả đã có trƣớc đó.  Chƣơng 2 : chúng tôi trình bày một số kí hiệu, công cụ, các không gian Sobolev có trọng lƣợng và một số tính chất về các phép nhúng giữa các không gian hàm.  Chƣơng 3 : Bằng phƣơng pháp Galerkin , chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất một lời giải yếu T-tuần hoàn của bài toán (1.1), (1.2), (1.4) trong không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng thích hợp. Hơn nữa, lời giải thu đƣợc tùy thuộc liên tục đối với các hàm a(t) và h(t). Kết quả này là một sự tổng quát hóa tƣơng đối trong [3], [5] . Sau đó, một thuật toán xấp xỉ liên tiếp dựa vào nguyên tắc ánh xạ co đƣợc thiết lập để đƣa bài toán tìm lời giải T-tuần hoàn về việc giải bài toán giá trị biên và ban đầu (1.1) -(1.3)  Chƣơng 4 : Chúng tôi khảo sát bài toán (1.1) - (1.3) với một số điều kiện trên các hàm F, f(r,t), a(t), h(t), u0(r) chúng tôi chứng minh bằng phƣơng pháp Galerkin và compact yếu rằng bài toán (1.1) - (1.3) có duy nhất một lời giải yếu u(r,t) trên . Sau đó, chúng tôi khảo sát dáng điệu tiệm cận của lời giải u(r,t) khi t  ∞ tùy theo dáng điệu tiệm cận của các hàm a(t), h(t), f(r,t) khi Mạnh hơn nữa, chúng tôi chứng minh rằng tồn tại các hằng số sao cho (1.7) Phần mở đầu Trang 3 trong đó theo một nghĩa nào đó. Kết quả về tính duy nhất (phần 4.1) của lời giải đƣợc thiết lập với công cụ tƣơng tự nhƣ [8] là một kết quả không tầm thƣờng. Ngoài kết quả về sự tồn tại u∞(r) (xem [7]) thì kết quả thu đƣợc trong chƣơng 4 chƣa đƣợc công bố ở một nơi nào. • Chƣơng 5 là phần tóm lƣợc các kết quả thu đƣợc trong luận văn và kết luận. trong đó u∞(r) là lời giải yếu duy nhất của bài toán dừng sau (1.8) Các hàm không gian Trang 4 CHƢƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN HÀM Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số kí hiệu, các không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng và các tính chất về các phép nhúng giữa các không gian hàm có liên quan. II. 1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM Đặt Ω = (0,1). Kí hiệu H là không gian Hilbert các hàm thực đo đƣợc trên Q với tích vô hƣớng : (2.1) V là không gian Hilbert các hàm thuộc H đối với tích vô hƣớng (2.2) trong đó là đạo hàm theo nghĩa phân bố. Các chuẩn trong H và V sinh ra bởi các tích vô hƣớng tƣơng ứng đƣợc kí hiệu lần lƣợt là ||.|| và ||.||v Khi đó ta có : Bổ đề 2.1 : V nhúng liên tục và nằm trù mật trong H. Chứng minh : Hiển nhiên vì nằm trù mật trong H. Bổ đề 2.2 : Ta đồng nhất H với H' (đối ngẫu của H). Khi đó ta có với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật. Chứng minh : Xem [8] Chú thích 2.1 : Từ bổ đề 2.2 ta thƣờng dùng kí hiệu tích vô hƣớng để chỉ cặp đối ngẫu giữa V và V’. Bổ đề 2.3 : Tồn tại hằng số M > 0 , K > 0 sao cho (2.3) Các hàm không gian Trang 5 (2.4) (2.5) trong đó Chú thích 2.2 : Ta có thể định nghĩa V nhƣ là đầy đủ hoá của không gian đối với chuẩn ||.||v (Xem [1]). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (2.3)-(2.5) đúng vớ mọi u  C 1 ([0,1]). Chứng minh bổ đề 2.3 : 1([0,1]). Sau đó sử dụng tích phân từng phần Vậy b. Ta có : c. Ta có : Do đó : Các hàm không gian Trang 6 (do (2.4)) Chú thích 2.3 : Từ bổ đề 2.3 ta có : Do đó, trên V hai chuẩn là hai chuẩn tƣơng đƣơng. Là hai chuẩn tƣơng đƣơng Bổ đề 2.4 : Phép nhúng là compact. Chứng minh : (Xem [6]) II.2. KHÔNG GIAN HÀM L P (0,T;B), 1 ≤ p ≤ ∞. Cho B là không gian Banach thực đối với chuẩn ‖.‖ B . Ta kí hiệu L P(0,T;B), 1≤ p ≤∞ là tập các lớp tƣơng đƣơng chứa hàm : f : (0,T) B đo đƣợc sao cho Hay Ta trang bi L P (0,T;B) bởi chuẩn : Khi đó ta có : Bổ đề 2.5 : (Xem J.L.Lions [4]) là không gian Banach. Cho ba không gian B0 , B1 , B với , B0,B1, là phản xạ, phép nhúng là compact. Với ta đặt: Các hàm không gian Trang 7 Ta trang bị W(0,T) với chuẩn : Khi đó, W là không gian Banach. Ta có kết quả sau : Bổ đề 2.6 : (Bổ đề về tính compact của J.L.Lions) Phép nhúng W(0,T)  Lpo(0,T;B) là compact. II.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN SỬ DỤNG Bổ đề 2.7 : (Xem [4] trang 12) Cho Q là tập mở, bị chặn của Rn, G, Gm p(Q), 1< p <∞ sao cho (C là hằng số độc lập với m), và Gm  G a.e trong Q. Khi đó: Gm  G trong L p (Q) yếu. Bổ đề 2.8 : (Xem [4]) Cho p : R N  RN liên tục thỏa : Khi đó, tồn tại x0 sao cho thỏa P(x0) = 0 trong đó là tích vô hƣớng trong RN và ||.|| là chuẩn của RN sinh bởi tích vô hƣớng tƣơng ứng. Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 8 CHƢƠNG III: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN T – TUẦN HOÀN Trong chƣơng này ta xét bài toán giá trị biên và điều kiện T-tuần hoàn (3.1) (3.2) (3.3) Các không gian hàm V, H đƣợc kí hiệu trong chƣơng 2. Ta đ ặ t X = L2(0,T;V), X' = L 2(0,T;V') là đối ngẫu của X. Kí hiệu [f,v] đƣợc dùng để chỉ tích vô hƣớng trong Y=L 2 (0,T;H) của f và v thuộc Y hay cặp tích đối ngẫu của fX ' và vX tức là: Cho T > 0 ta thành lập các giả thiết sau: (H1) ũ0R. (H2) a(t), h(t) là các hàm thực T-tuần hoàn thỏa i. a, h  W1,∞ (0,T) = {a  L∞ (0,T) / a'  L∞ (0,T)}; ii. Tồn tại các hằng số a0 > 0, h0 > 0 sao cho : a(t) >a0>0, h(t) >h0>0. (H3) f(r,t) là hàm thực T-tuần hoàn theo t sao cho f  Y. (H4) F : R R liên tục sao cho tồn tại các hằng số 1 0, C2 > 0 thỏa : Lời giải yếu của bài toán (3.1) - (3.3) đƣợc thành lập từ bài toán biến phân sau Tìm hàm sao cho thỏa : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 9 (3.4) trong đó : A : X  X' là toán tử tuyến tính liên tục xác định bởi: (3.5) III.1. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ĐỊNH LÝ 3.1 : Giả sử (H1) - (H4) là đúng. Khi đó bài toán (3.4) - (3.5) tồn tại duy nhất một lời giải u thỏa mãn : (3.6) Chứng minh : Chứng minh định lý 3.1 đƣợc chia làm nhiều bƣớc Bƣớc 1 : Xấp xỉ Galerkin V là không gian Hilbert tách đƣợc, do đó tồn tại một cơ sở đếm đƣợc {wj} các hàm Wj trong V. Ta tìm lời giải xấp xỉ của bài toán (3.4), (3.5) theo dạng : (3.7) trong đó các hàm Cmj(t) , l ≤ j ≤ m , thỏa hệ phƣơng trình vi phân thƣờng phi tuyến : (3.8) và thỏa điều kiện T-tuần hoàn : (3.9) Bƣớc 2 : Sự tồn tại lời giải của hệ (3.8). (3.9) Ta xét với m cố định và hệ (3.8) với điều kiện đầu : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 10 (3.10) um(0) = u0m . (u0m cho trƣớc) Từ các giả thiết (H1 )- (H4) ta suy ra rằng tồn tại um(t) thuộc dạng (3.7) thỏa (3.8), (3.10) vớihầuhết t[0,Tm], 0 < Tm ≤ T. Dựa vào các đánh giá tiên nghiệm sau đây, ta sẽ chứng minh Tm = T với mọi m Nhân (3.8) với Cmj(t) rồi lấy tổng theo j, l ≤ j ≤ m ta đƣợc : (3.11) Từ giả thiết (H2) và bất đẳng thức (2.6) ta có : (3.12) trong đó (3.13) Từ các giả thiết (H4,i) ta đƣợc : (3.14) Mặt khác, sử dụng các bất đẳng thức (2.4) và (3.15) Do đó, từ các giả thiết (H1), (H2) , (H3) các số hạng của vế phải (3.11) đƣợc đánh giá nhƣ sau : (3.16) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 11 Chọn ta suy ra từ (3.11), (3.12), (3.14), (3.16) rằng (3.17) Từ (3.17) ta suy ra : (3.18) Nhân 2 vế của (3.18) với eC3t rồi lấy tích phân theo t, ta đƣợc Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số thực R>0 sao cho Xét hàm số : (3.21) Khi đó ̃(t) liên tục trên [0,T]. Chọn : (3.22) Vậy (3.21), (3.22) dẫn đến (3.20) đúng. Từ (3.19), (3.20) ta có : (3.19 ) (3.20 ) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 12 (3.23) Vậy nếu thì từ (3.23) ta có : (3.24) Ta suy ra Tm=T , với mọi m . Gọi là quả cầu đóng tâm O, bán kính R trong không gian m-chiều sinh bởi w,, w2, ... , wm với chuẩn ||.|| Xét ánh xạ : Ta sẽ chứng minh Fm là ánh xạ co. Trƣớc hết, ta coi u0m , và gọi um(t) và vm(t) là hai lời giải của hệ (3.8) trên [0,T] thỏa lần lƣợt các điều kiện đầu : Khi đó thỏa hệ phƣơng trình vi phân sau đây : (3.25) và điều kiện đầu : (3.26) Trong (3.25), thay wj bởi và đánh giá tƣơng tự nhƣ (3.12), ta thu đƣợc (3.27) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 13 Từ giả thiết (H4,iii) về tính không giảm của F ta có số hạng thứ 3 của vế trái của (3.27) là không âm và chú ý rằng ‖.‖ ≤ ‖.‖v. Do đó, ta có từ (3.27) rằng : (3.28) Lấy tích phân (3.28) ta đƣợc : hay (3.29) Vậy Fm là ánh xạ co, do đó tồn tại duy nhất một u0m  ̅m(R) sao cho tức là Vậy với mỗi m, tồn tại duy nhất một hàm u0m  ̅m(R) sao cho lời giải um(t) của bài toán giá trị ban đầu (3.8), (3.10) là lời giải T-tuần hoàn của bài toán (3.8), (3.9). Lời giải này thỏa mãn bất đẳng thức (3.24) với hầu hết t[0,T] Vậy ta có từ (3.24) : (3.30) Từ (3.17), sau khi lấy tích phân theo t, 0 < t < T ta thu đƣợc (3.31) (3.32) trong đó C4 là hằng số độc lập với m. Mặt khác, nhân phƣơng trình thứ j của (3.8) với C'mj(t) rồi lấy tổng theo j, 1 ≤ j ≤ m, sau đó lấy tích phân theo t, 0 ≤ t ≤ T , ta thu đƣợc : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 14 (3.33) Từ điều kiện T-tuần hoàn (3.9) ta đƣợc : (3.34) Sử dụng tích phân từng phần lần lƣợt trong các số hạng của (3.33) kết hợp với điều kiện T- tuần hoàn (3.9) và của a(t), h(t) ta có : (3.35) Vậy từ (3.33) - (3.35) ta thu đƣợc (3.36) Sử dụng các giả thiết (H1) - (H3) và các bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, (2.4) cùng với (3.36) ta có : (3.37) Chú ý rằng : (3.38) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 15 Do đó, từ (3.37), (3.38) ta thu đƣợc : Cuối cùng từ (3.31) và (3.39), ta có : (3.40) với C5 là hằng số độc lập với m. Bước 3 : Qua giới hạn Từ (3.30) - (3.32) và (3.40) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {um} cũng kí hiệu là {um} và tồn tại u thỏ L∞ trong trong trong trong Từ (3.9) và (3.43) ta sẽ chứng minh rằng : (3.45) : u(0)=u(T) . Thật vậy , v  H ta có : (3.46) Từ (3.43) và (3.46) ta có (khi m  ∞) rằng : (3.47) Tƣơng tự, với (3.46) ta cũng có : (3.48) (3.39) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 16 do đó (3.48) tƣơng đƣơng với u(0) = u(T). Xét một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert L 2 (0,T). Khi đó {qiWj} (i,j=l,2,.) cũng là cơ sở trực chuẩn của X . Nhân (3.8) với qi(t), rồi lấy tích phân theo t, 0 ≤ t ≤ T , ta đƣợc : (3.49) Cố định i, j , cho, từ (3.42), (3.43) ta đƣợc : (3.50) Để chứng minh sự tồn tại của lời giải bài toán (3.4) - (3.5) ta chỉ cần chứng minh rằng : (3.51) Sử dụng bổ đề (2.5) về tính compact của IL.Lions với B = V, B = B1 = H, p0 = p1 = 2 từ (3.42), (3.43) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {um} cũng kí hiệu là {um} sao cho : (3.52) : um  u trong Y mạnh . Do định lý Riesz-Ficher, ta có thể lấy ra từ {um} một dãy con cũng kí hiệu là {um} sao cho : (3.53) : um  u a.e trong QT . Do F liên tục, nên từ (3.53) ta có : (3.54) F(um)F(u) a.e trong Qt. Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 17 Mặt khác, từ (3.32) và giả thiết (H4,ii) ta có : (3.55) rong đó, C6 là hằng số độc lập với m. Áp dụng bổ đề (2.7) với . Khi đó từ (3.54)và (3.55) ta suy ra : (3.56) trong L p' (Qt) yếu. Với 1< p <3 ta chú ý rằng hàm : (3.57) Thực vậy, sử dụng (2.5) ta đƣợc : (3.58) Khi đó, từ (3.56) và (3.57) ta suy ra : (3.59) khi m  ∞. Tức là (3.51) đúng. Vậy sự tồn tại lời giải đƣợc chứng minh. Bƣớc 4 : Tính duy nhất lời giải Giả sử bài toán (3.4), (3.5) tồn tại hai lời giải u1,u2. Ta sẽ chứng minh u1 = u2 . Đặt w = u1 - u2. Khi đó w thỏa : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 18 Lấy v = w trong (3.60) ta thu đƣợc : (3.61) vì [w',w]=0 . Tƣơng tự nhƣ (3.12) ta cũng có (3.62) Mặt khác, do giả thiết (H4,iii) ta có (3.63) Vậy từ (3.61) - (3.63) ta thu đƣợc Do đó w = 0 tức là u1 = u Tính duy nhất lời giải đƣợc chứng minh . Tóm lại định lý 3.1 đƣợc chứng minh hoàn tất. Chú thích 3.1 : Dãy xấp xỉ Galerkin {um} xác định bởi bài toán (3.8), (3.9) hội tụ yếu về li theo nghĩa (3.41) - (3.44) thay vì dãy con của nó. Thực vậy, nếu ngƣợc lại, giả sử dãy {um} không hội tụ về u trong L ∞ (0,T;H) yếu* tức là tồn tại một dãy con của {um} là {umk } và một g L 1 (0,T;H) sao cho : (3.64 ) với mọi k (3.60) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 19 Vì {umk} cũng bị chặn theo nghĩa nhƣ (3.30) - (3.32) và (3.40) nên ta lý luận tƣơng tự nhƣ quá trình trên là tồn tại một dãy con của {umk} là {umkj} hội tụ về lời giải u trong L∞(0,T;H) yếu * . Điều này mâu thuẫn với (3.64). Chú thích 3.2 : Dãy um hội tụ về u trong X mạnh. Thật vậy, đặt vm = um - u , ta có (3.65) Cho m∞ , do (3.41) - (3.45), (3.56) ta suy ra vế phải của bất đẳng thức (3.65) tiến về : (3.66) Từ (3.65), (3.66) ta có : (3.67) vậy um  u trong X mạnh. III.2. SỰ TÙY THUỘC LIÊN TỤC CỦA LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI CÁC HÀM a(t),h(t).f(r,t) VÀ HẰNG SỐ ũ0 Với các a, h, f, ũ0 thỏa các giả thiết (H1) - (H3) tồn tại duy nhất một lời giải u của bài toán (3.4), (3.5) thỏa mãn (3.6) nhƣ trong định lý 3.1. Lời giải tùy thuộc vào a, h, f, ũ0 u=u(a, h, f, ũ0). Giả sử (a1 , h1 , f1 , ũ1) và (a2, h2, f2, ũ2) thỏa (H1) - (H3) với a0 , h0 >0 cố định trong giả thiết (H2). Đặt ui=u(ai, hi, fi, ũ1), i=1,2 , Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 20 là lời giải của bài toán (3.4), (3.5) thỏa (3.6) ứng với (a, h, f, ũ0 ) = (ai, fi, ũi), i=1,2. Khi đó u= u1 - u2 thỏa: (3.68) (3.69) Trong đó (3.70) Lấy V = u trong (3.68) và chú ý rằng : ta có : (3.71) Đặt Viết lại vế trái của (3.71): (3.72) Viết lại vế phải của (3.71): (3.73) Tổ hợp (3.71) - (3.73) lại ta đƣợc : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 21 (3.74) Trang 20 Rút gọn lại (3.74) ta thu đƣợc : Vậy nếu (3.76) Thì (3.77) Khi đó, ta có: Định lý 3.2 : Lời giải u(a, h, f, ũ0) phụ thuộc liên tục đối với a, h, f, ũ0theo nghĩa : Ánh xạ PaoxPho xYxR  X (a,h,f,ũ0) h→u(a,h,f,ũ0) là liên tục, với: III.3 THUẬT GIẢI TÌM LỜI GIẢI T-TUẦN HOÀN Ta trở lại ánh xạ co : Fm: B m(R)→ B m(R) u0m →um(T) (trong phần chứng minh định lý 3.2) (3.75) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 22 Cố định m, ta xác định dãy , v = l,2,... nhƣ sau: (3.79) Nếu biết , ta xác định là lời giải duy nhất của bài toán với điều kiện đầu sau: (3.80) (3.81) Đặ t Khi đó thỏa : (3.82) (3.83) Làm tƣơng tự nhƣ (3.28) ta thu đƣợc từ (3.82), (3.83) rằng (3.84) Tích phân (3.84) và (3.85) Suy ra : (3.86) Do Fm là ánh xạ co với hệ số nên : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 23 (3.87) Từ (3.86), (3.87) ta suy ra : (3.88) Từ (3.88) ta suy ra rằng : (3.89) là dãy Cauchy trong không gian H . (3.90) là dãy Cauchy trong không gian Banach sau : (3.91) với chuẩn: Trang 23 (3.92) Do đó tồn tại sao cho: (3.93) trong H mạnh khi v , (3.94) trong w mạnh khi v . Từ (3.80), (3.81) ta suy ra rằng : (3.95) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện T – tuần hoàn Trang 24 Qua giới hạn khi từ (3.93) - (3.95) ta suy ra rằng là lời giải của bài toán (3.8), (3.9). Do tính duy nhất của lời giải của bài toán (3.9), (3.10) nên ta có (3.96) Trong (3.88), cho (v cố định) ta có từ (3.88), (3.93), (3.94) rằng (3.97) Khi đó, ta có kết quả sau: Mệnh đề 3.3 : Với các giả thiết (H1) - (H4). Lời giải um của bài toán T-tuần hoàn (3.8), (3.9) có thể xấp xỉ bằng một dãy hội tụ mạnh trong W nhờ vào bài toán (3.8) với giá trị banđầu um(0) đƣợc xấp xỉ bằng một dãy quy nạp theo nguyên tắc ánh xạ co. Hem nữa ta có các đánh giá sai số cho bởi (3.97). Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 25 CHƢƠNG IV: KHẢO SÁT BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐẦU Nhƣ trong phần 3.3 của chƣơng III. Việc giải bài toán T-tuần hoàn (3.8), (3.9) đƣợc dẫn đến việc giải bài toán điều kiện đầu (3.8), (3.10) Trong chƣơng này ta xét bài toán biên với điều kiện đầu sau : Lời giải yếu của bài toán (4.1) - (4.3) đƣợc thành lập nhƣ sau: Tìm u  X  L∞(0,T;H) sao cho : IV. 1. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI Ta thành lập các giả thiết sau Khi đó ta có định lý Định lý 4.1 : Giả sử (H1), (H2), (H3), (H4) là đúng. Khi đó tồn tại và duy nhất một hàm u thỏa: (4.6) đồng thời là lời giải của bài toán (4.4), (4.5). Trang 25 (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (H1) (H2') (H3') Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 26 Chứng minh : Ta chia chứng minh làm nhiều bƣớc Bước 1 : Xấp xỉ Galerkin Gọi {wj} là cơ sở đếm đƣợc của V. Ta tìm lời giải xấp xỉ um(t) dƣới dạng: (4.7) trong đó Cmj(t) thỏa mãn hệ phƣơng trình vi phân thƣờng sau đây: (4.8) (4.9) trong đó : (4.10) u0m  u0 trong H mạnh. Từ giả thiết của định lý 4.1 hệ (4.8), (4.9) tồn tại một nghiệm um(t) xác định hầu hết trên 0 ≤ t ≤Tm , 0 < Tm ≤T. Ta sẽ bằng các đánh giá tiên nghiệm sau đây để chứng tỏ rằng Tm = T với mọi m. Bước 2 : Đánh giá tiên nghiệm Nhân (4.8) với Cmj(t) rồi lấy tổng theo j và tích phân theo t và nhờ vào (4.10) ta thu đƣợc đánh giá giống nhƣ (3.17) (4.11) Từ (4.11) suy ra : (4.12) {um} bị chặn trong (4.13) bị chặn trong Lp(Qt) . Nhân (4.8) với t2C'mj(t) rồi lấy tổng theo j , 1 ≤ j ≤ m ta đƣợc : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 27 trong đó (4.15) Ta viết lại (4.14) (4.16) Tích phân (4.16) theo t ta đƣợc: (4.17) Chú ý rằng hàm F xác định nhƣ (4.15) với giả thiết (H4) ta có: Do đó, từ (3.12), (4.17), (4.18) ta thu đƣợc : Trang 27 (4.14) (4.18) (4.19) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 28 Hai tích phân đầu tiên của vế phải của (4.19) đƣợc đánh giá nhờ vào (2.4) và (4.11) nhƣ sau : (4.20) ở đây là hằng số độc lập với m. Nhờ các bất đẳng thức (4.11) và (4.18) ta đƣợc (4.21) vẫn dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta đƣợc : (4.22) Còn số hạng cuối cùng của vế phải (4.19) đánh giá nhờ vào việc tích phân từng phần và sau đó sử dụng (2.4), (4.11) với là hằng số độc lập với m. Tổ hợp (4.19) - (4.23) ta thu đƣợc: (4.23) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 29 với là hằng số độc lập với m. Cuối cùng từ (4.24) ta đƣợc: Vậy : (4.26) {tum} bị chặn trong L ∞ (0,T;V). (4.27) {tu'm} bị chặn trong Y . Mặt khác, ta có : Do đó từ (4.12), (4.27) ta suy ra : bị chặn trong Y. Bƣớc 3 : Qua giới hạn Từ (4.12), (4.13), (4.26), (4.29) ta suy ra rằng có một dãy con của {um} vẫn gọi là {um} sao cho: trong L ∞ (0,T;H) yếu * ; trong Y yếu ; trong L P (QT) yếu ; trong L ∞ (0,T;V) yếu * : trong Y yếu . (4.24) (4.25) (4.28) (4.29) (4.30) (4.31) (4.32) (4.33) (4.34) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 30 Sử dụng bổ đề (2.6) về tính compact của J.L.Lions, từ (4.33) (4.34) ta có thể lấy ra từ {um} một dãy con vẫn gọi là {um} sao cho: (4.35) tum  tu trong Y mạnh. Sau đó sử dụng định lý Riesz - Ficher ta có thể lấy ra một dãy con của {um} vẫn kí hiệu là {um} sao cho: Lý luận giống nhƣ đoạn (3.54) - (3.56) ta thu đƣợc : Nhân (4.8) với φ C1 ([0,T]), φ(T) = 0, rồi lấy tích phân từng phần theo t ta có: Cho m→∞ , từ (4.10), (4.30), (4.31), (4.37), (4.38) ta đƣợc : Do đó, (4.39) đúng với mọi vV (với V thay cho wj) Lấy   D(0,T),ta có từ(4.39) (4.40) với mọi vV. (4.36) (4.37) yếu . (4.38) (4.39) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 31 Nhân (4.40) với ψ  D([0,T]), ψ(T)=0 sau đó tích phân tùng phần theo t ta thu đƣợc: So sánh (4.39) và (4.41) ta đƣợc Điều này nghĩa là u(0) = u0 Vậy sự tồn tại lời giải đƣợc chứng minh. Bước 4 : Sự duy nhất của lời giải Giả sử u, v là hai lời giải yếu của bài toán (4.1) - (4.3) thỏa (4.6) . Khi đó w = u - v là lời giải yếu của bài toán Trƣớc hết ta cố định t1, t2, 0 < t1 < t2 < T Xét hàm số trong đó a/ θm(t) đƣợc xác định bởi đồ thị sau (4.42) (4.43) (4.44) (4.45) (4.46) (4.47) (4.41) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 32 (4.48) b/ là dãy hàm thỏa (4.49) Nhân phƣơng trình (4.43) với r2v(r,t) sau đó lấy tích phân theo r , t trên QT ta đƣợc : (4.50) c/ (*) là tích chập theo t: trong đó (4.51) với F = F(u)-F(v). Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 33 Ta lần lƣợt chứng minh rằng: (4.52) (4.53) (4.54) Chứng minh (4.52) : Ta có : Chú ý rằng Ta viết lại (4.55) nhƣ sau Cho k +∞ ta có từ (4.56) rằng (4.52) đúng Chứng minh (4.53) : Ta có Trang 33 (4.55) (4.56) (4.57) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 34 tích phân từng phần trong vế phải của đẳng thức cuối của (4.57) và sau đó sử dụng điều kiện (4.44) cho w(r,t) ta đƣợc: (4.58) Cho k  ∞ trong (4.58) ta có (4.53) đúng . Chứng minh (4.54) : Ta có (4.59) khi k  ∞ . Vậy (4.54) đúng. Từ (4.50) - (5.54) cho k  ∞ ta thu đƣợc: (4.60) Sử dụng bổ đề sau đây Bổ đề : Giả sử H: (0,T)  R thỏa H  L1(0,T). Ta có: (4.61) Chứng minh bổ để này có thể tìm thấy trong bổ đề 3.2 (Xem [8]) Trong (4.60) cho m+∞ , sử dụng (4.61) ta thu đƣợc: (4.62) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 35 Lấy t2 = t  (0,T) và t1 < 0. Khi đó vế phải của (4.62) là không. Sau đó cho t1  0- ta thu đƣợc : Chú ý rằng từ tính đơn điệu của F ta có: Giống nhƣ (3.13) ta có: Từ (4.63) - (4.64) ta thu đƣợc: do đó w = 0 tức là u = v. Cuối cùng, định lý 4.1 đƣợc chứng minh hoàn tất. Ta đặt thêm các giả thiết để bài toán (4.1) - (4.3) có lời giải yếu trên 0 < t < ∞ Giả thiết: (H2'') (H3'') Khi đó ta có: ĐỊNH LÝ 4.2 : (H1), (H2''). (H3"), (H4) là đúng. Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm u(t), 0 0, u(t) là lời giải của bài toán (4.4), (4.5) thỏa (4.66) (4.63) (4.64) (4.65) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 36 ĐỊNH LÝ 4.2 : (H1), (H2''), (H3''), (H4) là đúng. Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm u(t), 0 ≤ t 0, u(t) là lời giải của bài toán (4.4), (4.5) thỏa (4.66) Chú thích : Chứng minh định lý 4.2 không khác gì trong chứng minh của định lý 4.1 về mặt lý luận. Tiếp theo phần này, chúng tôi muốn khảo sát dáng điệu của lời giải u(t) khi Trƣớc tiên, chúng tôi đặt một số giả thiết về dáng điệu của các dữ kiện a(t), h(t), f(r,t) khi nhƣ sau : Giả thiết: (H2'') Giả sử a, h thỏa (H2") và tồn tại các hằng số dƣơng sao cho : (4.67) (H3"') thỏa Tồn tại và các hằng số sao cho: (4.68) Trƣớc hết ta xét bài toán dừng sau đây: IV.2. LỜI GIẢI BÀI TOÁN DỪNG: Xét bài toán dừng sau: Tìm hàm sao cho: Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 37 (4.69) Lời giải yêu của bài toán (4.69) đƣợc thành lập từ bài toán biến phân sau đây: Tìm sao cho, thỏa : (4.70) trong đó : (4.71) (4.72) Chú ý ở đây : Ta có kết quả sau: ĐỊNH LÝ 4.3: Tồn tại duy nhất một u∞ là lời giải yếu của bài toán (4.69) thoả Chứng minh: (a) Sử dụng một cơ sở {Wj} của V nhƣ đã dùng ở chứng minh định lý 4.1. Ta tìm lời giải xấp xỉ Galerkin của (4.70) theo dạng: (4.73) trong đó dmj, 1 ≤ j ≤ m thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến: (4.74) hay: (4.75) trong đó: Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 38 (4.76) Từ giả thiết (H4) và sử dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có P liên tục. Tích vô hƣớng trong Rm của P(dm) với dm ta có : (4.77) Từ bất đẳng thức (2.6) ta có : (4.78) trong đó : (4.79) Từ giả thiết (H4) ta đƣợc : (4.80) Mặt khác từ bất đẳng thức (2.4) ta đƣợc : (4.81) là một chuẩn trong Rm của vectơ dm  R m tƣơng đƣơng với chuẩn Do đó tồn tại các hằng số C1m > 0, C2m > 0 sao cho: (4.82) Vậy từ (4.77) - (4.82) ta thu đƣợc: Ta chú ý rằng Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 39 (4.83) Chọn ta có: Vậy , sử dụng bổ đề Brouwer, ta có hệ (4.74) có lời giải. b/ Trong (4.74) thay wj bởi ym ta thu đƣợc (4.84) Giống nhƣ đã làm với (4.78) - (4.81) ta thu đƣợc (4.85) Do đó ta có : (4.86) (4.87) trong đó Từ (4.86), (4.87) và sử dụng phép nhúng là compact, ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của {ym} vẫn kí hiệu là {ym} và một sao cho thỏa : (4.88) trong V yếu (4.89) trong H mạnh (4.90) trong yếu Không khó khăn từ (4.88) - (4.90), qua giới hạn trong (4.74) ta thu đƣợc u∞ thỏa : Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 40 (4.91) tức là u∞ là lời giải yếu của bài toán (4.69). Tính duy nhất của lời giải yếu của bài toán (4.69) đƣợc chứng minh không khó khăn. Chúng ta bỏ qua chứng minh này. Chú thích : Từ tính duy nhất của lời giải u∞ nên ta có thể chứng minh đƣợc rằng toàn bộ dãy {ym} hội tụ về u∞ theo nghĩa (4.88) - (4.90) thay vì dãy con của nó. VI.3. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA u(r,t) KHI t +∞ Ta có định lý sau : ĐỊNH LÝ 4.4 : Với các giả thiết (H1), (H2"'), (H3''), (H4) Khi đó tồn tai hai hằng số dƣơng C > 0,  > 0 sao cho (4.92) Chứng minh : Đặt: trong đó {um}, {ym} là các dãy xấp xỉ Galerkin xác định trong các bài toán (4.7) - (4.9) và (4.73) - (4.74), lần lƣợt. Khi đó ta có từ (4.8), (4.9), (4.74) rằng : (4.93) (4.94) Nhân (4.93) với (Cmj(t) - dmj) rồi lấy tổng theo j = 1,2,....,m ta đƣợc: Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 41 (4.95) Chú ý rằng tƣơng tự với đánh giá (3.13) ta có : (4.96) với C3 nhƣ trong (3.14). Do tính đơn điệu của F ta có (4.97) Từ (4.95) - (4.97) và sử dụng bất đẳng thức (2.4) ta đƣợc : (4.98) Sử dụng bất đẳng thức (3.16) một lần nữa cho tòng số hạng ở vế phải của (4.98) ta thu đƣợc từ (4.98) rằng : (4.99) (nhờ vào 4.86), Chọn sao cho , từ (4.99) ta có (Chú ý Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 42 (4.100) Sử dụng giả thiết (H2"'), (H3"') ta có vế phải của (4.100) đƣợc đánh giá nhƣ sau : (4.101) Vế phải của (4.100) trong đó : C9 là hằng số độc lập với m, t. Từ (4.100), (4.101) ta suy ra : Nếu Khi đó, ta suy ra từ (4.102) rằng : Tích phân (4.103) ta thu đƣợc : (chú ý 1  ) Vậy : (4.102) (4.103) (4.104) Khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu Trang 43 hay : Cho m  ∞ trong (4.105) ta thu đƣợc : Định lý 4.4 đƣợc chứng minh hoàn tất. (4.105) (4.106) Kết luận Trang 44 CHƢƠNG V PHẦN KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu khảo sát sự tồn tại và duy nhất lời giải của một số bài toán parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. Ngoài chƣơng I (phần mở đầu) và chƣơng II (thống nhất các kí hiệu và các không gian hàm có liên quan) thì phần chính của luận văn đƣợc trình bày trong chƣơng III và chƣơng IV. Trong chƣơng III với việc tìm lời giải yếu T-tuần hoàn của bài toán (3.1) - (3.3), chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất của lời giải yếu T-tuần hoàn trong các không gian hàm Sobolev có trọng lƣợng thích hợp (phần HI. 1) và sự tùy thuộc liên tục của lời giải đối với a, h, f (phần III.2). số hạng phi tuyến ở đây là F(u) đơn điệu và F(u) C1 . Kết quả này cũng đã thu đƣợc bởi N.T.Long và Alain Phạm Ngọc Định trong [5] nhƣng với số hạng phi tuyến F(u) C1 và không đơn điệu. vẫn trong phần này, thuật toán tìm lời giải T-tuần hoàn dựa vào nguyên tắc ánh xạ co liên kết với điều kiện đầu cũng đƣợc khảo sát (phần III.3). Chƣơng IV là phần khảo sát bài toán điều kiện đầu (4.1) - (4.3) với các giả thiết trên các hàm a, h, f, F, u0 . Bằng phƣơng pháp Galerkin và compact yếu, chúng tôi chứng minh rằng bài toán (4.1) - (4.3) tồn tại và duy nhất một lời giải yếu toàn cục u(r,t) trên 0 < t < ∞. Chúng tôi chứng minh lời giải u(r,t) tiệm cận đến lời giải u∞ theo hàm mũ e - theo nghĩa : Trong chƣơng IV, tính duy nhất của lời giải (phần 4.1) đƣợc chứng minh tƣơng tự nhƣ trong [8] là một kết quả công phu. Ngoài kết quả về sự tồn tại duy nhất tƣơng tự nhƣ [7] thì kết quả của chƣơng IV chƣa đƣợc công bố. Tài liệu tham khảo Trang 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.A.Adams., Sobolev spaces. Academic press. New York. 1975. [2] R.S.Minasian., On one problem of the periodic heat flow in the infinite cylinder., Dokl. Akad. Nauk. Arm. SSR. 48. (1969). [3] D.Lauerova., The existence of a periodic solution of a parabolic equation with the Bessel operator., Aplikace. Matematiky. 29. (1). 40 - 44. (1984). [4] J.L.Lions., Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non-lineares. Dunod, Paris, 1969. [5] Nguyen Thanh Long. Alain Pham Ngoc Dinh.. Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation involving Bessel's operator., Computers Math. Applic. 25. (5). 11-18. (1993). [6] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh., Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a magnetic field into a subtance., Computers Math. Applic. 30. (1). 63-78. (1995). [7] Nguyen Hoi Nghia. Nguyen Thanh Long., On a nonlinear boundary value problem with a mixed nonhomogeneous condition., Vietnam J. of Math. (1997) (to appear). [8] Dƣơng Thị Thanh Bình.. Khảo sát một số phƣơng trình hyperbolic phi tuyến., Luận văn Thạc sỹ. 4/1997. Đại học Sƣ phạm TP.HCM.