Luận văn Kiến thức quy trình và khái niệm về hàm số ở trung học phổ thông

4.1 113 0 10 7.03 Nhiệm vụ 4.2 113 0 10 8.11 Nhiệm vụ 4.3 113 0 10 6.95 Nhiệm vụ 4.4 113 0 10 5.61 Biến KN1 113 0 40 27.28 Bảng 4.5 cho thấy có một mức độ chênh lệch khá lớn trong kết quả thực hiện các nhiệm vụ. Nhiệm vụ 4.2 đạt điểm số cao nhất với mức trung bình 8.11, tuy nhiên 44 nhiệm vụ 4.4 chỉ đạt mức trung bình 5.61. Nhiệm vụ này đòi hỏi không chỉ khả năng nhận dạng các giả thiết từ đồ thị, mà nó còn đòi hỏi khả năng liên hệ với các yếu tố trong biểu thức hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0). Mặc dù chỉ yêu cầu tính giá trị 𝑐, tuy nhiên học sinh cũng có thể tìm được 𝑎, 𝑏. Bài toán này cũng có thể mở rộng cho hàm đa thức bậc 3 hoặc 4. Một số học sinh nhận thấy được 𝑓(0) = 𝑐, tuy nhiên từ đó nhìn vào hình vẽ và dự đoán 𝑐 = − 3 2 là chưa có căn cứ toán học (Hình 4.2). Nhiệm vụ 4.3 thoạt nhìn có vẻ phức tạp với học sinh, tuy nhiên đồ thị đã cung cấp các dữ liệu cần thiết cho nhiệm vụ. Ở đây học sinh không thể tìm thấy các quy trình nào từ giả thiết, mà chỉ có thể thông qua các thông tin từ đồ thị để giải quyết nhiệm vụ. Nhiệm vụ này sẽ giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa vị trí đồ thị trên hệ trục và dấu của 𝑓(𝑥). Nhiệm vụ 4.1 đã được sử dụng trong phân tích tiên nghiệm. Kết quả có 76% số học sinh tham gia đưa ra phương án đúng hoàn toàn, 2.7% trong số học sinh chưa đưa ra được câu trả lời, và 21.3% học sinh đã phác họa được các đồ thị ở hình 1 và hình 3, tuy nhiên chưa đưa ra được một câu trả lời chắc chắn cho vấn đề. Có thể thấy mức độ chênh lệch giữa kết quả bài phân tích tiên nghiệm và bài kiểm tra chính là không nhiều. Các nhiệm vụ này được sử dụng lại trong bài kiểm tra chính, tuy nhiên để đảm bảo khách quan, các học sinh đã tham gia phân tích tiên nghiệm không tham Hình 4.2. Một bài làm của học sinh cho nhiệm vụ 4.4 45 gia bài kiểm tra chính. Mặc dù vậy, các nhóm học sinh này đều học cùng một trường, với cùng chương trình ban Cơ bản và có mặt bằng chung về học lực là tương đối đồng đều. Hình 4.3 minh họa cho một bài làm thể hiện ý tưởng đúng của học sinh, tuy nhiên phần vẽ đồ thị là chưa thực sự chính xác. 4.3.5 Giải thích đồ thị Nhiệm vụ 5.1 có vẻ là đơn giản nhất trong phần này, khi học sinh được yêu cầu phác họa đồ thị của hàm số −𝑓(𝑥). Tính chất đối xứng trong nhiệm vụ này khiến nhiều học sinh nhận ra và thực hiện được yêu cầu. Nhiệm vụ 5.2 là một nhiệm vụ khá sâu sắc về giải thích đồ thị. Ý tưởng là học sinh thực hiện ước lượng giá trị của tổng các tung độ của hai điểm có cùng hoành độ trên đồ thị 𝑓(𝑥)và 𝑔(𝑥), từ đó thực hiện một số bước tương tự để hình dung đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). Về mặt đại số, tổng của hai hàm số bậc nhất là một hàm số bậc nhất, nên 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) có đồ thị là một đường thẳng, học sinh có thể xác định hai điểm là đủ. Tuy nhiên, có nhiều học sinh đã cố gắng đi viết phương trình của hai hàm số 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥), sau đó tiến hành việc cộng đại số và vẽ đồ thị hàm số tổng. Để xảy ra tình huống này cũng một phần do trong nhiệm vụ, hệ trục tọa độ được vẽ có lưới vuông, nhằm mục đích để học sinh dễ ước lượng tổng, nhưng thực tế học sinh đã sử dụng gợi ý này cho một cách làm khác rời xa chủ ý của tác giả. Hình 4.3. Một bài làm của học sinh cho nhiệm vụ 4.1 46 Bảng 4.6. Kết quả các nhiệm vụ giải thích đồ thị N Điểm thấp nhất Điểm cao nhất Trung bình Nhiệm vụ 5.1 113 0 10 8.37 Nhiệm vụ 5.2 113 0 10 6.45 Nhiệm vụ 5.3 113 0 10 5.73 Biến KN2 113 0 30 20.23 Nhiệm vụ 5.2 và 5.3 không quen thuộc với học sinh, và cũng không phải dễ dàng để có được một đáp án đúng. Có thể học sinh đã thực hiện phép cộng đại số hai hàm số, và tính toán 𝑓(2𝑥) bằng phương pháp đại số, tuy nhiên việc thực hiện nó trên đối tượng là đồ thị có vẻ phức tạp hơn về mặt ý tưởng. 4.3.6 Giải thích đại số Có một vài học sinh lầm tưởng các đẳng thức (1) và (2) là luôn đúng, theo cách suy nghĩ tự nhiên. Nhiệm vụ 6.1 kiểm tra khả năng đánh giá và so sánh hai phương trình, từ đó rút ra nhận xét. Nhiệm vụ 6.2 mang tính chất là một câu hỏi mở, mỗi học sinh có thể có các đáp án khác nhau. Việc tìm một hàm số đòi hỏi tập hợp và liên kết nhiều kiến thức đại số của học sinh, khả năng phán đoán, suy xét và kiểm tra là rất cần thiết để đi đến kết quả. Hình 4.4. Một bài làm của học sinh cho nhiệm vụ 5.2 47 Bảng 4.7. Kết quả các nhiệm vụ giải thích đại số N Điểm thấp nhất Điểm cao nhất Trung bình Nhiệm vụ 6.1 113 0 10 6.86 Nhiệm vụ 6.2 113 0 10 6.27 Biến KN3 113 0 20 12.94 Kết quả điểm trung bình cho các nhiệm vụ lần lượt là 6.86 và 6.27. Nhiệm vụ 6.2 gây ra nhiều khó khăn hơn cho học sinh khi có thể có nhiều cách để trả lời. Thực tế có nhiều học sinh đã cho rằng hai phương trình trên có chung một tập nghiệm, với cách lý giải là biết đổi phương trình (2) thành phương trình (1). Hình 4.5. Một bài làm của học sinh cho nhiệm vụ 6.2 4.3.7 Giải thích giải tích Các kiến thức giải tích được sử dụng trong nghiên cứu này học sinh đã được học vào đầu năm học 12. Kết quả cho hai nhiệm vụ được đưa ra là rất thấp, chỉ có 4.80 và 5.13. Thực tế cho thấy rằng học sinh chưa nắm được các ý nghĩa hình học của các khái niệm cực trị và điểm uốn, những khái niệm quan trọng khi học về khảo sát hàm số. Các kiến thức học sinh được học chỉ xoay quanh việc tính ra cực trị và điểm uốn khi có một biểu thức 𝑓(𝑥). Do đó cũng không ngạc nhiên khi học sinh 48 thực thiện các yêu cầu như vậy khá dễ dàng (nhiệm vụ 3.2) mà chưa thể hiểu được ý nghĩa của chúng. Bảng 4.8. Kết quả các nhiệm vụ giải thích giải tích N Điểm thấp nhất Điểm cao nhất Trung bình Nhiệm vụ 7.1 113 0 10 4.80 Nhiệm vụ 7.2 113 0 10 5.13 Biến KN4 113 0 20 9.82 Nhiệm vụ 7.2 thể hiện ý tưởng đồ thị của 𝑓′′ đổi dấu khi đi qua điểm uốn. Đề bài đã cho cụ thể hàm số bậc 3, ở đây học sinh vẫn có thể tính toán đạo hàm, và xét dấu biểu thức, tuy nhiên công việc trở nên rất phức tạp. Việc nhận xét (𝑥0; 𝑓(𝑥0) là điểm uốn nên 𝑓′′(𝑥0) = 0 và hàm số 𝑓′′(𝑥) là hàm bậc nhất có thể dẫn ngay đến kết quả. Khả năng liên hết các kiến thức được thể hiện rõ trong nhiệm vụ này, một đặc trưng của KTKN. Hình 4.6 là bài làm của một học sinh nắm được sâu sắc vấn đề. 4.3.8 Bài toán thực tế Nghiên cứu này chú ý đến khả năng áp dụng hàm số vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống của học sinh. Do vậy, các bài toán có tính chất thực tế được chú trọng với ý tưởng là nhân tố chính trong kiểm tra khả năng áp dụng hàm số của học sinh. Hình 4.6. Một bài làm của học sinh cho nhiệm vụ 7.2 49 Bảng 4.9. Kết quả các nhiệm vụ bài toán thực tế N Điểm thấp nhất Điểm cao nhất Trung bình Nhiệm vụ 8.1 113 0 10 5.08 Nhiệm vụ 8.2 113 0 10 7.12 Nhiệm vụ 8.3 113 0 10 5.60 Nhiệm vụ 8.4 113 0 10 6.40 Biến AD1 113 0 40 23.62 Nhiệm vụ 8.1 và 8.4 được sử dụng trong chương trình đánh giá của PISA, tuy nhiên nó đã được chỉnh sửa và thay đổi để phù hợp với nghiên cứu. Nhiệm vụ 8.1 yêu cầu học sinh phải kết nối được giữa lời văn và sơ đồ, sau đó xem xét mối quan hệ thay đổi giữa thời gian và độ cao mặt nước để tìm ra sơ đồ chính xác. Thật thú vị khi thấy câu hỏi này có một ít thông tin thừa. Các số đo của các thùng nước khá chi tiết, và vận tốc không đổi được mô tả như là một lít nước trong một giây. Nhưng tất cả các yếu tố định lượng này không giúp học sinh, bởi vì các đồ thị là toàn cục và chỉ mang tính định tính. Nhiệm vụ 8.4 liên quan một khái niệm khá quan trọng là chu kì của hàm số, tuy từ “hàm số” đã không được đề cập tới trong nhiệm vụ này. Câu hỏi c) mang tính chất “mở” khá rõ ràng. Mặc dù có liên hệ khá mật thiết với các câu hỏi trên, tuy nhiên không phải dễ dàng trong việc vẽ một quy luật chính xác. Học sinh thường có hứng thú với các câu hỏi như “xây dựng” hay “thiết kế” một cái gì đó. Việc áp dụng toán không chỉ để lý giải các hiện tượng và tính toán kết quả, mà còn để xây dựng một câu trả lời (Trần Vui, 2014, [2]). Nhiệm vụ 8.2 liên quan đến việc tính toán và so sánh giá tiền dịch vụ. Giả thiết bài toán không cho các số liệu cụ thể, tất cả các yếu tố cần thiết được thể hiện qua đồ thị. Nhiệm vụ 8.3 được đề xuất giúp học sinh thấy được sự hiện diện một số tính chất đặc trưng của hàm số trong các hoạt động thực tế, qua đó kiểm tra khả năng vận dụng các tính chất này phục vụ cho việc nhận biết và tính toán trong thực tế. Có hai 50 quan điểm mấu chốt trong nhiệm vụ này: là độ cao tối đa liên hệ với giá trị cực đại và quãng đường liên hệ với khoảng cách giữa hai hoành độ giao điểm. Nhiệm vụ này sẽ dễ dàng hơn nếu học sinh biết sử dụng đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) = − 1 200 𝑥2 + 2𝑥. Bài làm của một học sinh ở hình 4.7 đã sử dụng đồ thị để minh họa. Với việc vẽ được đồ thị thể hiện quỹ đạo viên đạn, học sinh có thể nhìn thấy được đáp án. Một số bài làm khác của học sinh cũng thể hiện được ý tưởng về cực trị, tuy nhiên không minh họa bằng đồ thị. Một điều khá thú vị, là học sinh đã đưa ra đáp án độ cao tối đa 𝑥 = 200 (𝑚), một sự nhầm lẫn giữa hoành độ với độ cao. Hình 4.7. Một cách làm sử dụng đồ thị của học sinh cho nhiệm vụ 8.3 Hình 4.8. Một cách làm không sử dụng đồ thị của học sinh cho nhiệm vụ 8.3 51 4.3.9 Khả năng tính đạo hàm So với các biến quan sát khác, khả năng tính đạo hàm (AD2) chỉ có một nhiệm vụ đo. Có thể có nhận định rằng một nhiệm vụ đo là quá ít, tuy nhiên như đã trình bày ở phần trước, nghiên cứu này không đồng nhất việc áp dụng toán học là để phục vụ cho chính toán học thuần túy, mà áp dụng toán học phục vụ cho chính cuộc sống của học sinh. Các nhiệm vụ để đo biến AD2 và AD3 chỉ tập trung cho các ứng dụng của đạo hàm vào phục vụ cho các bài toán có tính chất thực tế khác. Do đó, chúng tôi chỉ kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm của học sinh. Bảng 4.10. Kết quả các nhiệm vụ đo khả năng tính đạo hàm N Điểm thấp nhất Điểm cao nhất Trung bình Nhiệm vụ 9.1 113 0 10 6.09 Biến AD2 113 0 10 6.09 Nhiệm vụ 9.1 bao gồm 3 nhiệm vụ nhỏ, yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số có dạng khác nhau. Điểm trung bình của nhiệm vụ này chỉ đạt 6.09. Đây là một mức khá thấp, cho thấy khả năng tính đạo hàm của học sinh vẫn chưa được tốt như kì vọng. 4.3.10 Đồ thị đạo hàm Các nhiệm vụ trong phần này có số điểm trung bình thấp nhất trong bài kiểm tra, cả hai nhiệm vụ khá xa lạ với học sinh. Nhiệm vụ 10.1 có hai phương án trả lời, xác suất chọn đúng đồ thị đạt 50%, do đó được thiết kế kèm theo lời giải thích kết quả. Có rất ít học sinh trả lời được trọn vẹn câu hỏi này, bao gồm lời giải thích cho kết quả. Kết quả điểm trung bình 4.93 cho thấy hầu như học sinh không thể chắc chắn được câu trả lời, mà chỉ chọn đáp án theo cách ngẫu nhiên. Hình 4.9 minh họa cho một bài làm của học sinh có ý tưởng tốt. Học sinh đã nhận ra được mối liên hệ giữa tính biến thiên với dấu của giá trị hàm số, đây chính là chìa khóa để xác định đâu là 𝑓(𝑥) và 𝑓′(𝑥). Bài làm chứng tỏ khả năng kết nối các kiến thức về tính biến thiên, dấu của đạo hàm và sự biểu diễn đồ thị trong trường hợp này là rất tốt, hơn nữa, các 52 kiến thức đã được vận dụng một cách “khéo léo” để giải quyết bài toán. Với ý tưởng này, học sinh có thể giải quyết cho trường hợp cần xác định cả 𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥) và 𝑓′′(𝑥). Có một hạn chế ở đây là học sinh chỉ xét được trong [−2; 0] và cách diễn đạt chưa chính xác, tuy nhiên các ý tưởng được đánh giá cao trong nhiệm vụ này. Hình 4.9. Một bài làm có ý ưởng tốt cho nhiệm vụ 10.1 Nhiệm vụ 10.1 cũng cho thấy có nhiều học sinh đã có cách suy nghĩ khác trong việc giải quyết bài toán. Trong trường hợp này, các em đã chưa nắm được ý tưởng của bài toán và có một cách giải quyết là liên hệ hình dáng đồ thị với bậc của 𝑓(𝑥) và 𝑓′(𝑥). Học sinh thấy rằng, đồ thị phía trên có hình dáng của đồ thị một hàm số bậc hai, còn đồ thị còn lại có hình dáng của đồ thị một hàm số bậc ba, từ đó đưa ra kết luận như hình 4.10. Không thể nói rằng học sinh chưa có kiến thức để giải quyết bài toán. Từ cách làm học sinh, có thể thấy rằng học sinh đã có một số mối liên hệ và KTKN một phần nào đó được thể hiện. Tuy nhiên, các kết nối kiến thức đã chưa được thực hiện chính xác, và điều này chứng tỏ KTKN của học sinh ở một mức độ khá thấp trong trường hợp này. Nhiệm vụ 10.1 cho thấy sự quan trọng của KTKN trong việc áp dụng hàm số của học sinh. 53 Hình 4.10. Một bài làm thể hiện sai lầm của học sinh trong nhiệm vụ 10.1 Nếu bài toán được thu gọn như hình 4.10, tức là chỉ cho học sinh thấy phần đồ thị trong khoảng (-2; 2) có lẽ số lượng học sinh có phương án trả lời như trong hình 4.10 sẽ tăng lên rất nhiều. Hình 4.11. Một phương án rút gọn của bài toán 54 Nhiệm vụ 10.2 có một vài căn cứ về số liệu để học sinh tìm ra kết quả. Các bài toán có số liệu dường như dễ làm hơn đối với học sinh so với các bài tập chỉ có hình vẽ minh họa. Nhiệm vụ sẽ là rõ ràng nếu học sinh nhận xét được hàm số có cực trị thì phương trình 𝑓′(𝑥) = 0 có nghiệm, hay đồ thị của 𝑓′(𝑥) có cắt trục hoành. Bảng 4.11. Kết quả các nhiệm vụ đo đồ thị đạo hàm N Điểm thấp nhất Điểm cao nhất Trung bình Nhiệm vụ 10.1 113 0 10 4.93 Nhiệm vụ 10.2 113 0 10 5.95 Biến AD3 113 0 20 10.88 4.4 Mô hình nghiên cứu 4.4.1 Đánh giá thang đo bằng hệ số tin cậy Cronbach’s Alpha Kiểm định độ tin cậy Cronbach’s Alpha được sử dụng để đánh giá độ tin cậy của thang đo. Các biến có hệ số tương quan biến - tổng nhỏ hơn 0.3 sẽ bị loại. Nếu Cronbach’s Alpha tổng > hoặc = 0.60 là thang đo có thể chấp nhận được về độ tin cậy (Nunnally & Bernstein 1994, [42]). Đối với thang đo kiến thức quy trình: kiểm định độ tin cậy thang đo với hệ số Cronbach’s Alpha tổng cho kết quả 0.735, lớn hơn mức 0.6 đạt yêu cầu về mặt tin cậy. Các hệ số tương quan biến – tổng đều lớn hơn 0.3, được thể hiện qua bảng sau: Bảng 4.12. Kết quả hệ số Cronbach's Alpha thang đo KTQT QT1 QT2 QT3 Cronbach’s Alpha 0.594 0.562 0.519 Đối với thang đo kiến thức khái niệm: kiểm định độ tin cậy thang đo với hệ số Cronbach’s Alpha tổng cho kết quả 0.730, các hệ số tương quan biến – tổng đều lớn hơn 0.3. 55 Bảng 4.13. Kết quả hệ số Cronbach's Alpha thang đo KTKN KN1 KN2 KN4 KN4 Cronbach’s Alpha 0.504 0.523 0.498 0.598 Đối với thang đo khả năng áp dụng hàm số: kiểm định độ tin cậy thang đo với hệ số Cronbach’s Alpha tổng cho kết quả 0.669, các hệ số tương quan biến – tổng đều lớn hơn 0.3. Bảng 4.14. Kết quả hệ số Cronbach's Alpha thang đo khả năng áp dụng hàm số AD1 AD2 AD3 Cronbach’s Alpha 0.518 0.527 0.535 4.4.2 Kết quả phân tích nhân tố khẳng định Trong nghiên cứu này, chúng tôi không tiến hành phân tích nhân tố khám phá (EFA), bởi vì mô hình nghiên cứu đã được phân tích dựa trên cơ sở toán học. Các biến quan sát trong mô hình phù hợp với các biến tiềm ẩn cần đo và không thể được thêm bớt hay loại bỏ bằng phương pháp thống kê. Hơn nữa, phân tích nhân tố khẳng định (CFA) chỉ nhằm mục đích kiểm nghiệm sự phù hợp của mô hình với dữ liệu thu nhập được. Sự phù hợp của mô hình với dữ liệu thu thập được chỉ ra bởi các giá trị thống kê có được từ phân tích CFA. Giá trị Chi-square/df = 1.571, trong nghiên cứu thực tế Chi- square/df < 5 (với mẫu n ≥ 200) hay Chi-square/df < 3 (khi cỡ mẫu n ≤ 200) thì mô hình được xem là phù hợp tốt (Kettinger và Lee, 1995, [30]). Giá trị p = 0.024 có ý nghĩa thống kê (nhỏ hơn 0.05); các chỉ tiêu CFI = 0.951, GFI = 0.932 đều đạt yêu cầu (lớn hơn 0.9). 4.4.3 Đánh giá sự phù hợp của mô hình nghiên cứu đề xuất bằng mô hình phương trình cấu trúc Kết quả ước lượng của mô hình đề xuất được thể hiện trên hình 4.12. Các trọng số hồi quy giữa các biến quan sát và biến tiềm ẩn đều lớn hơn 0.5. Trọng số hồi quy 56 𝛼 = 0.92, 𝛾 = 0.78 đều hơn hơn 0.5, riêng trọng số 𝛽 = 0.06 < 0.5. Các chỉ số cho thấy KTQT ảnh hưởng lên kiến thức khái niệm, kiến thức khái niệm ảnh hưởng lên khả năng áp dụng, tuy nhiên KTQT không ảnh hưởng trực tiếp lên khả năng áp dụng hàm số (𝛽 = 0.06). 4.4.4 Mô hình nghiên cứu cuối cùng Trong mô hình đề xuất ban đầu, kiến thức quy trình và khái niệm đều được giả thiết tác động trực tiếp lên khả năng áp dụng hàm số của học sinh. Tuy nhiên, kết quả phân tích mô hình nghiên cứu đề xuất cho thấy KTQT không tác động trực tiếp lên khả năng áp dụng hàm số của học sinh (𝛽 = 0.06), do vậy liên kết này sẽ được loại bỏ trong mô hình cuối cùng. Như vậy, mô hình cuối cùng sẽ định hướng cho việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu. Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất và thứ hai là không ảnh hưởng, tuy nhiên câu hỏi nghiên cứu thứ ba đã được rút gọn phạm vi trả lời, ảnh hưởng trực tiếp lên khả năng áp dụng hàm số chỉ là kiến thức khái niệm của học sinh. Hình 4.12. Kết quả mô hình SEM đề xuất ban đầu 57 Với mô hình cấu trúc đã được điều chỉnh như hình 4.14, mô hình nghiên cứu cuối cùng được thể hiện lại như hình 4.15. Giá trị Chi-square/df = 1.571, p = 0.024 có ý nghĩa thống kê (nhỏ hơn 0.05); các chỉ tiêu CFI = 0.951, GFI = 0.932 đều đạt yêu cầu (lớn hơn 0.9) cho thấy mô hình phù hợp với dữ liệu thu thập. Với các thang đo kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm, khả năng áp dụng hàm số, các trọng số hồi quy thành phần đều đạt lớn hơn 0.5, kết quả dao động từ 0.5 – 0.8. Dựa vào kết quả trọng số hồi quy giữa các nhân tố ta thấy KTQT có tác động mạnh, cùng chiều đến KTQT về hàm số với trọng số 0.92, đồng thời KTKN cũng tác động mạnh đến khả năng áp dụng hàm số với trọng số 0.78. Tóm lại, mô hình cuối cùng chỉ ra rằng, các thang đo sử dụng trong nghiên cứu này là chấp nhận được về độ tin cậy, các trọng số hồi quy giữa ba biến tiền ẩn là kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm, khả năng áp dụng hàm số phù hợp với mục đích nghiên cứu đề ra. Quytrinh Khainiem Apdung Hình 4.14. Mô hình cấu trúc hoàn thiện Quytrinh Khainiem Apdung Hình 4.13. Mô hình cấu trúc ban đầu 58 4.5 Tương quan điểm số giữa kiến thức quy trình và khái niệm Để làm rõ hơn mối liên hệ giữa kiến thức quy trình và khái niệm trong nghiên cứu này, mối tương quan về điểm số của học sinh cũng cần được xét đến. Hình 4.16 cho thấy nhiều học sinh đạt điểm cao về KTQT, nhưng lại có điểm thấp về KTKN, và không có học sinh nào đạt điểm cao về KTKN mà lại có điểm thấp về KTQT. Điều này ủng hộ quan điểm kế thừa cho rằng kiến thức KTQT là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho KTKN (Kline (1980, [32]), Kitcher (1983, [31]), Vergnaud (1990, [58]), Gray & Tall (1993, [18]) và Sfard (1994, [53]), Haapasalo và Kadijevich (2000, [35])), ít nhất là đối với kiến thức về hàm số của học sinh trong nghiên cứu này. Sự phân tán điểm số nói lên rằng, khả năng của học sinh tập trung nhiều về phía KTQT, trong khi đó KTKN dường như đóng vai trò quá thấp. Hình 4.15. Kết quả mô hình SEM cuối cùng (đã chuẩn hóa) 59 4.6 Tiểu kết chương 4 Trong chương này, chúng tôi đã trình bày các kết quả nghiên cứu có được qua bài kiểm tra tiên nghiệm và bài kiểm tra chính. Khảo sát được tiến hành đối với 150 học sinh trường THPT Thị xã Quảng Trị, THPT Vĩnh Định và THPT Bùi Dục Tài, tỉnh Quảng Trị. Phân tích sư phạm được tiến hành nhằm làm rõ KTQT và KTKN của học sinh trong một số bài toán thú vị, một số kết quả thống kê cũng được trình bày nhằm làm rõ các mối quan hệ được xét đến trong nghiên cứu. Các kết luận có được từ các kết quả trong nghiên cứu này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chương tiếp theo. Hình 4.16. Biểu đồ phân tán tổng điểm khái niệm và quy trình 60 THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN Nghiên cứu này sử dụng mô hình phương trình cấu trúc SEM (Structural Equation Modeling) để làm cơ sở giải thích cho các kết quả nghiên cứu. Các kết quả có được từ nghiên cứu này (cụ thể là các kết quả từ mô hình SEM) không nói lên rằng các số liệu có được là chính xác và các mối tương quan trong mô hình luôn đúng trong thực tế. Các số liệu có được chỉ mang tính chất ước lượng với mức ý nghĩa thống kê cho phép, và chỉ đúng trong giới hạn của nghiên cứu này. Nghiên cứu được tiến hành ở cấp THPT về lĩnh vực hàm số, và cũng có thể tổng quát một số kết quả cho một số khái niệm toán học khác, tuy nhiên điều này rất khó để chứng minh mặc dù hàm số là một trong những khái niệm trọng tâm ở toán học bậc THPT. Nghiên cứu đã đề xuất một phương pháp đo lường hai dạng KTQT và KTKN về hàm số ở THPT. Các chỉ số về độ tin cậy và trọng số hồi quy nói lên rằng phương pháp này có cơ sở toán học và có thể sử dụng để kiểm tra hai dạng kiến thức đã nêu. Các phân tích cho thấy có mối liên hệ mạnh mẽ giữa KTQT và KTKN. Kết quả này cũng ủng hộ quan điểm kế thừa cho rằng KTQT là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho KTKN. Hơn nữa, KTQT một mình dường như là chưa đủ để có thể áp dụng hàm số. Trong chương này, chúng tôi cố gắng trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu ra, bên cạnh đó cũng có những thảo luận về những đề xuất, và hướng phát triển của nghiên cứu. 5.1 Thảo luận các câu hỏi nghiên cứu Mô hình đề xuất trong nghiên cứu này chỉ mang tính chất thực nghiệm, dựa trên việc tham khảo, đánh giá các mô hình nghiên cứu trước đó và xem xét sự phù hợp với chương trình dạy học Toán ở Việt Nam. Các câu hỏi nghiên cứu đã được nêu ra trong luận văn này bao gồm: i. Chúng ta sẽ đo kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình của học sinh về hàm số ở bậc học THPT như thế nào? 61 ii. Các kiến thức có tính quy trình và kiến thức có tính khái niệm về hàm số của học sinh ở bậc học THPT có quan hệ với nhau như thế nào? iii. Khả năng để giáo viên có thể vận dụng kiến thức quy trình và khái niệm trong giải quyết các bài toán về hàm số như thế nào? 5.1.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Liên quan đến câu hỏi đầu tiên, chúng tôi có thể nói rằng, kiến thức quy trình và khái niệm về hàm số ở trung học phổ thông có thể được đo bởi mô hình nghiên cứu đề xuất. Kết quả kiểm định hệ số Cronbach’s Alpha với hai thang đo KTQT và KTKN cho kết quả 0.735 và 0.730, lớn hơn 0.6 nói lên rằng thang đo chấp nhận được về mặt độ tin cậy (Nunnally & Bernstein 1994, [42]). Các thành phần của cả hai thang đo đều đạt được giá trị hội tụ với trọng số hồi quy từ 0.56 - 0.72, các tham số ước lượng đều có ý nghĩa thống kê (p < 5%). Nghiên cứu này không đề cập đến một điểm số cho KTQT hay KTKN của học sinh, mà chỉ đánh giá mức độ đạt được của học sinh thông qua các nhiệm vụ của thang đo. Chúng ta không thể nói rằng một học sinh đạt 7 điểm KTQT về hàm số, thay vào đó ta chỉ thấy được rằng học sinh đó đạt điểm trung bình là 7 trong các nhiệm vụ đo KTQT về hàm số. Kiến thức quy trình của học sinh được đo bởi ba biến quan sát: quy trình đồ thị, quy trình đại số, quy trình giải tích. Các thành phần này đảm bảo tính bao quát các quy trình phổ biến mà học sinh được học trong chương trình toán THPT. Kết quả đạt được của học sinh trong các nhiệm vụ đo KTQT là khá cao, điểm trung bình cho cả quy trình đồ thị là 8.07 điểm, quy trình đại số là 7.12 và quy trình giải tích là 7.95. Đối với thang đo KTQT, thành phần quy trình đại số có vẻ mạnh mẽ hơn hai thành phần còn lại với trọng số hồi quy đạt 0.72, tuy nhiên kết quả này cũng có thể do cấu trúc các nhiệm vụ được xây dựng trong thang đo. Việc học sinh thực hiện rất tốt các nhiệm vụ mang tính chất kiểm tra quy trình nói lên rằng các em đã được luyện tập rất cẩn thận về các dạng toán này. Hầu hết các giáo viên cho học sinh thực hành các kỹ năng giải các bài toán quen thuộc, có thuật toán rõ ràng và hy vọng các em sẽ đạt điểm cao trong các kì thi. Hơn nữa, phần lớn các bài tập cũng xoay quanh việc luyện tập các kỹ năng, và có vẻ việc làm toán với học sinh cũng gần như đồng nhất với việc thực hiện một quy trình. 62 Kiến thức khái niệm của học sinh được đo bởi bốn biến quan sát: mối quan hệ giữa hàm số và biểu diễn đồ thị, giải thích đồ thị, giải thích đại số và giải thích giải tích. Các biến này được xây dựng với mối liên quan đến các biến trong thang đo KTQT như là một sự tương ứng. So với KTQT, điểm số của học sinh trong các nhiệm vụ đo KTKN thấp hơn khá nhiều. Điểm trung bình trên bốn thành phần tương ứng là 5.61, 6.74, 6.74, 4.91. Các trọng số hồi quy cho thấy mức độ ảnh hưởng của các thành phần lên KTKN của học sinh là khá tương đồng. Các nhiệm vụ kiểm tra KTKN trong nghiên cứu này là không quen thuộc. Điều này chứng tỏ rằng, đứng trước các bài toán lạ, chưa có thuật giải, học sinh rất lúng túng. Tính chất lúng túng ở đây thể hiện qua việc học sinh chưa thể định hình được một “hướng” đi cho việc tìm lời giải. Các kiến thức toán đã học chưa được liên kết, “vận dụng khéo léo” hay đơn giản là nó được biểu diễn dưới một hình thức khác mà học sinh chưa nhận ra. Khả năng áp dụng hàm số được đo lường bởi các biến quan sát nào có lẽ phụ thuộc vào mục đích của nghiên cứu. Do vậy, khó có thể nói rằng nghiên cứu này thành công trong việc đo khả năng áp dụng hàm số của học sinh, mà chỉ nói lên rằng khả năng áp dụng hàm số của học sinh vào các bài toán có nguồn gốc thực tế đã được xem xét. Có ba biến quan sát để đo khả năng áp dụng hàm số của học sinh: bài toán thực tế, khả năng tính đạo hàm, đồ thị đạo hàm; điểm số trung bình lần lượt là 5.91, 6.09 và 5.44. Hệ số Cronbach’s Alpha bằng 0.669 cho thấy thang đo đạt độ tin cậy. Các nhiệm vụ trong phần này gây ra khá nhiều khó khăn cho học sinh, có khá nhiều bài làm chỉ có phần trả lời cho một số ý. Dường như học sinh khá bế tắc trong việc tìm một cơ sở rõ ràng để giải quyết các nhiệm vụ. Điều này có thể do khả năng còn hạn chế của học sinh trong việc kết nối các kiến thức toán vào các tình huống đặt ra, hoặc cũng có thể do việc học sinh ít được làm quen với các dạng nhiệm vụ tương tự. Hoạt động tiếp xúc với các bài toán không quen thuộc cũng rèn luyện cho học sinh quen dần với tư tưởng không phải các bài toán đều có thuật giải. 5.1.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chúng tôi xem KTQT và KTKN như là các biến tiềm ẩn và tìm hiểu mối tương quan giữa chúng. Việc trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai có liên quan đến kết quả của trọng số 𝛼 trong mô hình SEM. Các 63 quan điểm về mối liên hệ giữa KTQT và KTKN trước đây phần lớn được phát triển dựa trên các phân tích lý thuyết mà ít chú trọng đến các khảo sát thực tế. Một kết quả phân tích điểm số về các nhiệm vụ đo có thể là một cơ sở trong việc lý luận về mối quan hệ này. Kiến thức quy trình ban đầu được giả thiết là có ảnh hưởng lên KTKN về hàm số của học sinh. Kết quả từ mô hình SEM cho thấy mối liên hệ này là rất mạnh mẽ với trọng số 𝛼 = 0.92. Kết quả này ủng hộ quan điểm kế thừa cho rằng KTQT là điều kiện cần cho KTKN. Tất nhiên không phải sự phát triển của KTKN phụ thuộc hoàn toàn vào KTQT, nhưng KTQT hầu như phát triển trước và đóng vai trò nền tảng cho KTKN đối với một khái niệm toán học. Tất nhiên, thực hành theo một cách làm sẽ dễ hơn là tạo ra cách làm đó. Để tiếp thu một khái niệm toán học, KTQT ban đầu sẽ dễ được học sinh tiếp nhận, và đây sẽ là nền tảng để phát triển KTKN, từ đó hoàn thiện kiến thức về các khái niệm toán cho học sinh. Biểu đồ phân tán tổng điểm KTQT và KTKN ở hình 4.16 cho thấy có một sự bất hợp lý giữa KTQT và KTKN của học sinh. Điểm số phân bố ở tam giác dưới theo hướng tương quan thuận yếu cho thấy có KTQT đã được chú trọng hơn rất nhiều so với KTKN, hơn nữa, có nhiều học sinh đạt điểm cao về KTQT, nhưng lại đạt điểm thấp về KTKN. Điều này nói lên rằng, những học sinh có KTQT tốt hơn thì sẽ có khả năng phát triển KTKN cũng tốt hơn. Với kết quả của mô hình nghiên cứu, chúng ta có thể giả định rằng cần có KTQT để phát triển KTKN khi nói về khái niệm hàm số của học sinh. 5.1.3 Câu hỏi nghiên cứu thứ ba Khả năng áp dụng hàm số của học sinh với giả thiết ban đầu phụ thuộc vào cả KTQT và KTKN. Kết quả phân tích của mô hình nghiên cứu nói lên rằng, KTKN là điều kiện cần thiết cho khả năng áp dụng hàm số. Trọng số hồi quy, 𝛾 = 0.78 cho thấy mối liên hệ này đủ lớn để khẳng định cho kết luận. Mối liên hệ giữa KTQT và khả năng áp dụng hàm số trong nghiên cứu này là rất yếu, trọng số 𝛽 chỉ đạt 0.06, không đủ cơ sở để nói rằng KTQT có tác động trực tiếp lên khả năng áp dụng hàm số của học sinh. Nói một cách khác, KTQT một mình dường như là không đủ để áp dụng hàm số, do đó giả định này đã bị loại bỏ trong chương 4. Như vậy, khả năng áp dụng hàm số của học sinh chỉ phụ thuộc trực tiếp vào KTKN. 64 Kiến thức quy trình không tác động trực tiếp lên khả năng áp dụng hàm số của học sinh, tuy nhiên không phải là nó không có vai trò. Kiến thức khái niệm là điều kiện cần để có thể áp dụng hàm số, và KTQT là điều kiện cần để có KTKN. Kiến thức quy trình không tác động trực tiếp lên khả năng áp dụng hàm số, mà tác động gián tiếp thông qua KTKN. Do vậy, kết quả từ nghiên cứu này cho thấy, chỉ khi KTKN của học sinh ở một mức độ nhất định, các em mới có thể áp dụng giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số. 5.2 Hướng phát triển của đề tài Thứ nhất, nghiên cứu này giới hạn trong phạm vi kiến thức về hàm số của học sinh ở THPT, sẽ có nhiều điều thú vị nếu được phát triển cho các khái niệm toán học khác, thậm chí cho môn học khác. Hơn nữa, nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở cỡ mẫu là 113, một nghiên cứu rộng hơn với cỡ mẫu lớn hơn có thể nâng cao độ chính xác cho các kết luận. Thứ hai, do tầm quan trọng của việc phát triển KTKN và cả KTQT, các biện pháp hướng dẫn hỗ trợ phát triển hai dạng kiến thức là rất quan trọng. Do hạn chế về mặt thời gian và khả năng của tác giả, nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở việc đo lường, tìm hiểu mối liên hệ giữa KTQT và KTKN và xem xét khả năng áp dụng hai dạng kiến thức này vào các bài toán về hàm số mà chưa nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp trong việc cải thiện hai dạng kiến thức này. Các cách tiếp cận của Rittle- Johnson, Koedinger (2009, [46]); các tiếp cận của Berthold & Renkl (2009, [6]) hay của Schwartz, Chase, Chin, & Oppezzo (2011, [51]) về việc cải thiện hai dạng kiến thức còn khá nhiều ý tưởng cần được khai thác và hiện thực hóa trong giảng dạy. 5.3 Tiểu kết chương 5 Trong chương này, chúng tôi đã trả lời các câu hỏi nghiên cứu dựa trên các kết quả thu thập được. Dựa vào các kết quả đã có của nghiên cứu, chúng tôi đã đề xuất các hướng phát triển của luận văn. Phần kết luận cuối cùng của luận văn sẽ tóm tắt lại các kết quả nổi bật của nghiên cứu và nêu lên một số ý nghĩa quan trọng rút ra từ luận văn. 65 KẾT LUẬN Nghiên cứu này đã đề xuất một mô hình đo lường kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh, từ đó xem xét khả năng áp dụng hai dạng kiến thức này vào các bài toán về hàm số. Mô hình cấu trúc tuyến tính đã được sử dụng như là một công cụ đo lường. Các kết quả thống kê cho thấy mô hình đáp ứng được các chỉ số về độ tin cậy và có ý nghĩa về mặt thống kê. Điều này nói lên rằng mô hình hoàn toàn có thể được sử dụng như một công cụ để đánh giá kiến thức quy trình và khái niệm về hàm số của học sinh trung học phổ thông. Kết quả cho thấy điểm số về quy trình của học sinh cao hơn hẳn điểm số về khái niệm. Kết quả này ủng hộ quan điểm kế thừa cho rằng KTQT là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho KTKN. Hơn nữa, các kết quả cũng chỉ ra rằng khả năng áp dụng hàm số vào các bài toán của học sinh chỉ phụ thuộc trực tiếp vào KTKN, KTQT một mình là chưa đủ. Trong những tình huống thông thường, con người vận dụng toán học theo hai cách khác nhau: bằng cách sử dụng các công thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán mẫu mực hay bằng cách đối mặt với các vấn đề phức tạp thông qua các phương án toán học tiêu biểu (Trần Vui, 2009, [1]). Những khó khăn của học sinh trong việc giải quyết nhiều vấn đề thực tế là biểu hiện của một trong những điểm yếu của trọng tâm giảng dạy hiện nay, khi mà mục đích giảng dạy nhằm thúc đẩy sự hiểu biết về KTQT, giải quyết các bài toán quen thuộc, luyện tập đến mức độ thuần thục các kỹ năng thực hiện thuật toán nhằm đạt điểm cao trong các kì thi. Vì vậy, trong thực tế, nhiều học sinh không thấy sự cần thiết phải học môn Toán, môn Toán chỉ cần phục vụ cho các kì thi. Một rào cản nữa của việc học toán của học sinh là các em không thấy được ý nghĩa của Toán học trong việc giải quyết các vấn đề thực tế hằng ngày. Toán học trang bị kiến thức khoa học cho học sinh, nhưng cũng cần trang bị và rèn luyện các kỹ năng để các em áp dụng vào môi trường thực tế, bởi chung quy lại, công việc học tập với đa số học sinh cũng để phục vụ cho chính cuộc sống của bản thân các em hiện tại và sau này. Các bài toán thực tế để đo khả năng áp dụng hàm số của học sinh trong nghiên cứu này được chúng tôi tham khảo một phần từ chương trình đánh giá của PISA. Kết 66 quả PISA (2012, [59]) về lĩnh vực Toán học cho thấy Việt Nam đứng thứ 17/65. Điểm trung bình của OECD (Mean Score) là 494 thì Việt Nam đạt 511. Chúng tôi không sử dụng các chỉ số trên để đánh giá thành tích học Toán của học sinh Việt Nam, nhưng nó cho thấy rằng học sinh Việt Nam hoàn toàn có khả năng áp dụng tốt Toán học vào thực tiễn, chuẩn bị các kiến thức Toán cần thiết cho cuộc sống. Nếu chỉ đặt nặng rèn luyện KTQT thì học sinh không có năng lực vận dụng kiến thức toán trong giải quyết các bài toán mới lạ, không quen thuộc. Hoạt động phát hiện và nhắc lại các nguyên tắc, quy trình và công thức toán hay thực hành các bài tập kĩ năng mới chỉ dừng lại ở mức độ tư duy bậc thấp, chưa thể phát triển tư duy bậc cao cho học sinh (Trần Vui, 2014, [2]). Việc dạy học cần được đẩy mạnh với trọng tâm hiểu khái niệm toán học để giải quyết các vấn đề thực tế, phát triển tư duy trong khám phá tự nghiệm các bài toán kết thúc mở. KHÁM PHÁ CÁC BÀI TOÁN KẾT THÚC MỞ GIẢI “CÁC BÀI TOÁN MỚI LẠ” THỰC HÀNH CÁC BÀI TẬP KĨ NĂNG PHÁT HIỆN & NHẮC LẠI CÁC NGUYÊN TẮC QUY TRÌNH VÀ CÔNG THỨC TOÁN TƯ DUY BẬC CAO TƯ DUY BẬC THẤP Hình 5.1. Tư duy toán học được xác định trong các lớp học toán ở Việt Nam 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Trần Vui (2009), Sử dụng toán học hóa để nâng cao hiểu biết định lượng cho học sinh trung học phổ thông, Tạp chí Khoa học giáo dục, Viện Khoa học giáo dục Việt Nam – Bộ giáo dục và đào tạo, 43, 4/2009, 23-26. 2. Trần Vui (2014), Giải quyết vấn đề thực tế trong dạy học toán, ISBN 978 604 912 271 2, NXB Đại học Huế. Tiếng Anh 3. Anderson, J. (1983), The architecture of cognition, Cambridge, MA: Harvard University Press. 4. Baroody, A. J., Feil, Y., & Johnson, A. R. (2007), An alternative reconceptualization of procedural and conceptual knowledge, Journal for Research in Mathematics Education, 38, 115–131. 5. Bentler, P. M. (1988), Causal modeling via structural equation systems. In J. R. Nesselroade & R. B. Cattell (Eds.), Handbook of multivariate experimental psychology (2nd ed., pp. 317–335), New York: Plenum. 6. Berthold, K. & Renkl, A. (2009), Instructional aids to support a conceptual understanding of multiple representations, Journal of Educational Psychology, 101, 70–87. doi: 10.1037/a0013247. 7. Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J., & Nichols, D. (1992), Development of the process conception of function, Educational Studies in Mathematics, 23, 247-285. 8. Byrne, B. M. (2009), Structural Equation Modeling With AMOS: Basic Concepts, Applications, and Programming, Second Edition. Routledge, New York - United States of America. 9. Byrnes, J. P., Wasik, B. A. (1991), Role of Conceptual knowledge in Mathematical Procedural Learnig, Developmental Psychology, 27(5), 777- 786. 68 10. Canobi, K. H. (2009), Concept-procedure interactions in children’s addition and subtraction, Journal of Experimental Child Psychology, 102, 131–149, doi: 10.1016/j.jecp.2008.07.008. 11. Canobi, K. H., Reeve, R. A., & Pattison, P. E. (1998), The role of conceptual understanding in children’s addition problem solving, Developmental Psychology, 34, 882–891. doi: doi:10.1037//0012-1649.34.5.882. 12. Caroline Long (2005), Maths concepts in teaching: procedural and conceptual knowledge, Pythagoras, Issue 62 (2005), 59-65. 13. David H. Tseng (2012), Conceptual and procedural knowledge in Mathematics education in the case of law of exponents, Polygon Spring 2012, Vol. 4, 1-23. 14. Dilek Tanisli, Nilüfer Y. Kose (2013), Preservice Mathematics Teachers’ Knowledge of Students about Algebraic Concepts, Australian Journal of Teacher Education, 38(2). 15. Drew H. Bailey et al (2014), Development of fraction concepts and procedures in U.S. and Chinese children, Journal of Experimental Child Psychology, Vol. 129, January 2015, 68–83. 16. Dubinsky, E., & Harel, G. (1992), The Nature of the Process Conception of Function. In G.Harel, & Dubinsky, E. (Ed.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (Vol. 25), Washington: Mathematical Association of America. 17. Goldin-Meadow, S., Alibali, M. W., & Church, R. B. (1993), Transitions in Concept Acquisition: Using the Hand to Read the Mind, Psychological Review, 100(2): 279-297. 18. Gray, E., Tall, D. (1993), Success and Failure in Mathematics: The Flexible Meaning of Symbols as Process and Concept, Mathematics Teaching 142, 6-10. 19. Hair, J. F., Black, W. C., Babin, B. J., Anderson, R. E. & Tatham, R. L. (2006), Multivariate data analysis (6th edn), Pearson Prentice Hall. 20. Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986), Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An Introductory Analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and 69 Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1-27. 21. Hiebert, J., & Wearne, D. (1986), Procedures Over Concepts: The Acquisition of Decimal Number Knowledge In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematic, Hillsdale, NJ: Erlbaum, 199-223. 22. Isleyen, Tevfik & Işik, Ahmet (2003), Conceptual and Procedural Learning in Mathematics, Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D: Research in Mathematical Education, Vol. 7, No. 2, 91-99. 23. Janvier, C. (1978), The interpretation of complex cartesian graphs representing situation - studies and teaching experiments, University of Nottingham, England. 24. Jon R. Star (2013), Reconceptualizing Procedural Knowledge, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 36, No. 5, 404-411. 25. Jöreskog, K. G., & Sörbom, D. (1988), PRELIS - A program for multivariate data screening and data summarization. A preprocessor for LISREL (2 ed.). Chicago: Scientific Software International. 26. Jöreskog, K. G., & Sörbom, D. (1996), PRELIS 2: Userʹs Reference Guide Chicago: Scientific Software International. 27. Jöreskog, K. G. (1973), A general method for estimating a linear structural equation system. In A. S. Goldberger, & Duncan, O. D. (Ed.), Structural Equation models in the Social Sciences, New York: Academic Press, 85-112. 28. Jöreskog, K. G. (1977), Structural equation models in the social sciences: specification, estimation and testing. In P. R. Krishnaiah (Ed.), Applications of Statistics, Amsterdam, 265-287. 29. Jöreskog, K., & Sörbom, D. (1993), LISREL 8: Structural Equation Modeling with the SIMPLIS Command Language, Hillsdale, NJ: Erlbaum. 30. Kettinger, W.J., and Lee, C.C. (1995), Exploring a “gap” model of information service quality, Information Resources Management Journal, 8(3), 5-16. 70 31. Kitcher, P (1983), The nature of mathematical knowledge, NT. 32. Kline, M. (1980), Mathematics: The Loss of Certainty, New York: Oxford University Press. 33. LeFevre, J.A., Smith-Chant, B. L., Fast, L., et al. (2006), What counts as knowing? The development of conceptual and procedural knowledge of counting from kindergarten through grade 2, Journal of Experimental Child Psychology, 93, 285-303. 34. Lenni Haapasalo (2012), Two pedagogical approaches linking conceptual and procedural knowledge, Proceedings of the Eighth Congress of European Research in Mathematics Education (CERME 8), Antalya, Turkey (2012), European Society for Research in Mathematics Education University of Eastern Finland, Finland. 35. Lenni Haapasalo, Djordje Kadijevich (2000), Two Types of Mathematical Knowledge and Their Relation, Journal for Mathematics Teaching, 21 (2), 139-157, Springer-Verlag. 36. Lindsey E. Richland , James W. Stigler & Keith J. Holyoak (2012), Teaching the Conceptual Structure of Mathematcs. Educational Psychology, 47(3), 189–203, 2012. 37. Ma, L. (1999), Knowing and Teaching Elementary Mathematics Teachers: Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States, Mahwah, NJ: Erlbaum. 38. Maciejewski, W., Mgombelo, J., Savard, A. (2011), Meaningful Procedural Knowledge in Mathematics Learning, In Liljedahl, P. (Ed.) Proceedings of the 2011 Canadian Mathematics Education Study Group, St. John's, Newfoundland and Labrador. 39. Matang, R. (2001), Ethnomathematics and the age-old debate of conceptual knowledge versus procedural knowledge in mathematics: Implications for mathematics education in Papua New Guinea, Paper presented at the Faculty of Science Conference, University of Goroka, Goroka, PNG. 71 40. National Assessment of Educational Progress (1983), The third national mathematics assessment: Results, trends, and issues (Report No. 13-MA-01). Denver, CO: Educational Commission of the States. 41. Nesher, P. (1986), Are Mathematical Understanding and Algorithmic Performance Related, For the Learning of Mathematics, 6(3), 2-9. 42. Nunnally, J. & Berstein, I.H. (1994), Pschychometric Theory, 3rd ed., New York: McGraw-Hill. 43. PÅL Lauritzen (2012), Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematical Functions, Dissertations in Education, Humanities, and Theology, University of Eastern Finland. 44. Piaget, J. (1977), The development of thought : equilibration of cognitive structures, New York: Viking Press. 45. Resnick, L. & Omanson, S. F. (1987), Learning to Understand Arithmetic. In G. R. (Ed.), Advances in Instructional Psychology (Vol. 3), Hillsdale, NJ: Erlbaum. 46. Rittle-Johnson, B., Koedinger, K. (2009), Iterating between lessons on concepts and procedures can improve mathematics knowledge, British Journal of Educational Psychology (2009), 79, 483–500. 47. Rittle-Johnson, B., Schneider, M. (2012), Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics, The Oxford Handbook of Numerical Cognition, Oxford University Press. 48. Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001), Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: an iterative process. Journal of Educational Psychology, 93, 346–362. doi: 10.1037//0022–0663.93.2.346. 49. Scheffler, I. (1965), Conditions of knowledge: An introduction to epistemology and educati, Chicago: University of Chicago Press. 50. Schneider, M. & Stern, E. (2010), The developmental relations between conceptual and procedural knowledge: a multimethod approach, Developmental Psychology, 46, 178–192. doi: 10.1037/a0016701. 72 51. Schwartz, D. L., Chase, C. C., Chin, D. B., & Oppezzo, M. (2011), Practicing versus inventing with contrasting cases: the effects of telling first on learning and transfer, Journal of Educational Psychology, 103, 759–775, doi: 10.1037/a0025140. 52. Sfard, A. (1991), On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Theoretical Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin, Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36. 53. Sfard, A. (1994), Reification as a birth of a metaphor, For the Learning of Mathematics, 14(1), 44-55. 54. Star, J. R. (2005), Reconceptualizing procedural knowledge, Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 404-411. 55. Star, J. R., & Newton, K. J. (2009), The nature and development of experts' strategy flexibility for solving equations, ZDM - The International Journal on Mathematics Education, 41, 557-567. 56. Star, Jon R., and Gabriel J. Stylianides (2013), Procedural and Conceptual Knowledge: Exploring the Gap Between Knowledge Type and Knowledge Quality. Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 13, no. 2, 169-181. 57. Tulving, E. (1983), Echphoric processes in episodic memory, Phil. Trans. R. Soc. Lond. B., Biological Science, 302(1110), 361-370. 58. Vergnaud, G. (1990), Epistemology and Psychology of Mathematics Education. In P. K. Nesher, J. (Ed.), Mathematics and Cognition: A Research Synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Cambridge: Cambridge University Press, 14-30. Website 59. OECD / PISA (2012), PISA 2012 Results. PHỤ LỤC P1 CÁC NHIỆM VỤ ĐO SỬ DỤNG TRONG BÀI KIỂM TRA CHÍNH Quy trình đồ thị 1.1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 1 (Chỉ cần vẽ ra đồ thị) 1.2 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 (Chỉ cần vẽ ra đồ thị) Quy trình đại số 2.1 Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 a) Tính 𝑓(0), 𝑓(−3) b) Tìm 𝑥 sao cho 𝑓(𝑥) = 0 c) Tìm 𝑥 sao cho 𝑓(𝑥) > 0 2.2 Biết rằng 𝑓(𝑥) là một hàm số bậc nhất. Hãy viết biểu thức của 𝑓(𝑥) biết 𝑓(1) = 3, 𝑓(0) = −2. Quy trình giải tích 3.1 Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2 𝑥 − 3 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 𝑓(𝑥). 3.2 Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1 a) Tìm các giá trị của 𝑥 sao cho hàm số đạt cực trị b) Xác định điểm uốn của đồ thị hàm số Mối quan hệ giữa hàm số và biểu diễn đồ thị 4.1 Hình nào sau đây chắc chắn không thể biểu diễn tọa độ của các điểm nằm trên đồ thị của một hàm số, tại sao? Trong trường hợp có thể, hãy phác thảo đồ thị của một hàm số đi qua các điểm đã cho (vẽ trên hình). P2 4.2 Cho hàm số 𝑓(𝑥) có đồ thị như hình vẽ. Hãy tìm: 𝑓(−1), 𝑓(0), 𝑓(1). 4.3 Hàm số 𝑓(𝑥) có đồ thị như bên dưới. Hãy tìm các giá trị của 𝑥 sao cho 𝑓(𝑥) > 0 P3 4.4 Hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ. Hãy tìm 𝑐. Giải thích đồ thị 5.1 Cho đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) như sau. Hãy phác họa đồ thị của hàm số −𝑓(𝑥). 5.2 Hàm số 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) có đồ thị như sau. Hãy phác thảo đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). P4 5.3 Đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) được cho như hình bên dưới. Hãy phác thảo đồ thị của hàm số 𝑓(2𝑥). Giải thích đại số 6.1 Giả sử rằng 𝑓(𝑥) là một hàm số bất kì, 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑏 và 𝑎 + 𝑏 là các số thuộc tập xác định của 𝑓(𝑥). Hãy thử tìm một hàm số 𝑓(𝑥) mà theo bạn đúng cho đẳng thức sau: 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎 + 𝑏) (1) P5 Tương tự với đẳng thức: 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎𝑏) (2) 6.2 Giả sử rằng 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai hàm số thực. Theo bạn hai phương trình sau có cùng chung một tập nghiệm không? Hãy giải thích câu trả lời của mình. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (1) 1 𝑓(𝑥) = 1 𝑔(𝑥) (2) Giải thích giải tích 7.1 Giả sử tồn tại khoảng (𝑥0 − 3; 𝑥0 + 3) sao cho hàm số 𝑓(𝑥) đạt cực đại tại điểm 𝑥0, 𝑥0 là điểm cực đại duy nhất. So sánh giá trị của hai biểu thức 2𝑓(𝑥0) và 𝑓(𝑥0 − 2) + 𝑓(𝑥0 + 1). Hãy nêu một lý do cho câu trả lời. 7.2 Giả sử đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑎 ≠ 0) có (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) là điểm uốn. Xác định dấu của tích 𝑓′′(𝑥0 − 2). 𝑓′′(𝑥0 + 1). Hãy nêu một lý do cho câu trả lời. Bài toán thực tế 8.1 Một thùng nước có hình dáng và kích thước như hình vẽ. Lúc đầu thùng không có nước. Sau đó người ta đổ đầy nước với vận tốc 1 lít mỗi giây. a) Đồ thị nào sau đây chỉ độ cao của mặt nước thay đổi theo thời gian. (Gạch chéo vào ô đáp án) 1.5m 1.0m 1.5m P6 b) Do không chú ý, nên dù nước đầy người ta vẫn tiếp tục đổ nước vào. Hãy vẽ nối tiếp đồ thị chỉ độ cao mực nước trong thùng theo thời gian (trước lúc đầy và sau lúc đầy). c) Hãy phác thảo đồ thị chỉ độ cao của mặt nước thay đổi theo thời gian cho trường hợp thùng nước có hình dạng như sau: Thời gian Chiều cao 1m 1m 1m 5m 1m 1m Chiều cao (m) Thời gian A Chiều cao (m) Thời gian B Chiều cao (m) Thời gian C Chiều cao (m) Thời gian D P7 8.2 Giá tiền dịch vụ taxi (chục ngàn/km) của hai hãng A và B tương ứng với số quãng đường đi (km) được minh họa bằng hai đồ thị sau: - Hỏi đi quãng đường bao nhiêu km thì số tiền phải trả ở hai hãng là như nhau. - Nếu cần đi 10 km thì nên chọn hãng taxi nào để tiết kiệm chi phí hơn. 8.3 Một người đàn ông bắn một viên đạn từ mặt đất. Giả sử rằng viên đạn bay theo quỹ đạo là đồ thị của một hàm số có biểu thức 𝑓(𝑥) = − 1 200 𝑥2 + 2𝑥 với vị trí bắn là gốc tọa độ. Hãy xác định độ cao tối đa (m) và quãng đường (m) mà viên đạn có thể đạt được theo quỹ đạo trên. 8.4 Một đèn hải đăng phát ra những nháy sáng theo một quy luật cố định thường xuyên. Mỗi đèn hải đăng có quy luật riêng của nó. Trong sơ đồ dưới đây, bạn thấy một quy luật của một đèn hải đăng. Các nháy sáng luân phiên với các giai đoạn tối. P8 a) Chu kì quy luật của đèn hải đăng là bao nhiêu (khoanh tròn đáp án): B. 2 giây B. 3 giây C. 5 giây D. 12 giây b) Trong một phút, đèn hải đăng phát sáng bao nhiêu giây? B. 4 giây B. 12 giây C. 20 giây D. 24 giây c) Trong sơ đồ dưới đây, hãy vẽ một đồ thị cho một quy luật có thể xảy ra của các nháy sáng của một đèn hải đăng phát sáng 30 giây trong một phút. Chu kì của quy luật này phải là 6 giây. Khả năng tính đạo hàm 9.1 Hãy tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥2 + 3 b) 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑒−3𝑥 P9 c) ℎ(𝑥) = −2 ln 𝑥 2𝑥2−6 Đồ thị hàm số đạo hàm 10.1 Hình bên là đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) và đạo hàm 𝑓′(𝑥) của nó. Hãy chỉ ra đâu là đồ thị của 𝑓(𝑥) và 𝑓′(𝑥). (Chỉ cần ghi lên hình). Hãy nêu một lý do cho câu trả lời của bạn. 10.2 Hình bên là đồ thị hàm số đạo hàm 𝑓′(𝑥) của hàm số 𝑓(𝑥). Hãy cho biết hàm số 𝑓(𝑥) có bao nhiêu cực trị và chỉ ra các điểm cực trị. P10 MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 P22 P23 P24 P25 P26 P27 P28 P29