Luận văn Một đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic

.......... 24 2.4. Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối ....................................... 31 2.5. Một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic ............ 32 Tổng kết chương 2 ...................................................................................... 38 Chương 3: SỰ TỒN TẠI HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC ........ 39 3.1. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo bao affine của tập hợp tự đồng dạng ........................................................ 39 3.2. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic ............................. 42 KẾT LUẬN .................................................................................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47 Trang 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học Fractal được biết đến từ năm 1975, do Benoit Mandelbrot đã củng cố từ hàng trăm năm ý tưởng và sự phát triển ban đầu của môn hình học này. Dù còn rất mới nhưng hình học Fractal thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Michael F. Barnsley, V. Ervin, D. Hardin, J. Lancaster, John E. Hutchinson, Masayoshi Hata, Jun Kigami, Atsushi Kameyama, Bernd Kieninger .... Hệ hàm lặp được giới thiệu lần đầu bởi John E. Huntchinson [7] năm 1981 khi ông nghiên cứu về “Fractal và tính tự đồng dạng” và được phổ biến bởi Michael F. Barnsley năm 1988. Nó cung cấp phương tiện nghiên cứu các mô hình hình học tự đồng dạng trong tự nhiên. Ngày nay, hình học Fractal được xem như là môn nghiên cứu cơ bản dành riêng cho ứng dụng đồ họa máy tính hiện đại. Năm 2004, khi nghiên cứu về khoảng cách trên các tập hợp tôpô tự đồng dạng trong hình học Fractal và các ứng dụng của nó, Atsushi Kameyama đã nêu ra một vấn đề cần quan tâm là: “Cho một tập hợp tôpô tự đồng dạng, có hay không sự tồn tại của một hệ liên kết của các ánh xạ co rút?” Với nhiều công trình nghiên cứu về hình học Fractal, Michael F. Barnsley cũng đã quan tâm đến việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề này. Gần đây nhất, năm 2011, kết quả nghiên cứu của ông cùng với Ross Atkins, Trang 2 Andrew Vince, David C. Wilson cho ta thấy rằng các vấn đề mà Atsushi Kameyama đã đặt ra là hợp lý. Nghiên cứu sâu hơn về mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ hàm lặp affine hyperbolic, ta xác định được một đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic. Đặc tính này bao hàm câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của Atsushi Kameyama với các tập hợp tự đồng dạng cảm sinh từ các phép biến đổi affine trên m . 2. Mục đích nghiên cứu Năm 2002, Bernd Kieninger [10] nghiên cứu về hệ hàm lặp trên không gian compact Hausdorff. Trong những năm thập niên 70, R. F. Williams [19] và Solomon Leader [12] có các công trình nghiên cứu về phép co rút. Trong khoảng những năm 1970 đến 2006, nhiều công trình nghiên cứu khác về hình học lồi đã được quan tâm tới bởi các nhà toán học: R. Tyrrell Rockafellar [15], Rolf Schneider [17], Roger Webster [18], Maria Moszyńska [13]. Tiếp cận với các kết quả nghiên cứu khoa học này, nó hướng chúng ta đến các vấn đề có liên quan quanh bài toán như - Tính hyperbolic và phân thớ điểm của một hệ hàm lặp affine. - Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp afiine. - Tính co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine. - Hệ hàm lặp affine với tính không xuyên tâm đối của nó. Các mối liên hệ giữa các yếu tố ở trên như thế nào? Nó quyết định điều gì trong việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề của Atsushi Kameyama? Chúng sẽ được làm sáng tỏ thông qua việc nghiên cứu vấn đề dưới đây: Trang 3 Vấn đề 1 Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine, thì các phát biểu sau đây là tương đương (1) F là hyperbolic (2) F là phân thớ điểm (3) F có một điểm hấp dẫn (4) F là một co rút tôpô theo vật lồi K nào đó chứa trong m  (5) F không xuyên tâm đối theo vật lồi K nào đó chứa trong m Ngoài ra, bằng cách tổng hợp các mối liên hệ trên ta xác định được một đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic, thông qua vấn đề 2 sau đây Vấn đề 2 Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine với ánh xạ mã hoá : mp   , thì F là hyperbolic trên bao affine của ( )p  . Đặc biệt, nếu ( )p  chứa một tập con mở khác rỗng của m , thì F là hyperbolic trên m . 3. Đối tượng nghiên cứu Như trên đã đề cập, đối tượng nghiên cứu của luận văn là “ đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic”. Trang 4 4. Phạm vi nghiên cứu Ở vấn đề 1, phân tích các tính chất được phát biểu tương đương của hệ hàm lặp affine, chúng tôi thiết lập mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ hàm lặp affine hyperbolic. Đây là nền tảng căn bản để nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của hệ hàm lặp affine hyperbolic. Bên cạnh đó, vấn đề 2 cũng sẽ làm rõ mục tiêu chính của luận văn và chỉ ra đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic. Vấn đề của Atsushi Kameyama được nhắc đến từ đầu cũng được trả lời từ đây. 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ những bài báo khoa học và các tài liệu có liên quan trên thế giới. Luận văn được viết thành 3 chương. Phần đầu của chương 1 chứa các khái niệm, thuật ngữ và định nghĩa được dùng trong suốt nội dung của luận văn. Phần tiếp theo của chương chứa các ví dụ và nhận xét về các hệ hàm lặp và điểm hấp dẫn của chúng có liên quan tới định lý 1 và định lý 2. Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu việc chứng minh hai định lý 1 và 2, chứng minh hai định lý này được phân bố chủ yếu vào chương 2 và chương 3. Chương 2, ta nghiên cứu đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic với các tính chất được phát biểu tương đương trong định lý 1 như : F là hyperbolic, F là phân thớ điểm, F có một điểm hấp dẫn, F là một phép co rút tôpô theo vật lồi mK   , F không xuyên tâm đối theo vật lồi mK   . Trang 5 Tiếp theo đó, ta nghiên cứu sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic trên một không gian con affine của m trong nội dung chương 3. Trang 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước tiên, chúng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo. Mục tiêu của chương này là hệ thống toàn bộ các ký hiệu, khái niệm và định nghĩa được sử dụng trong suốt luận văn. Ngoài ra, chúng tôi đề cập đến vài ví dụ và nhận xét quan trọng minh họa cho mục tiêu nghiên cứu luận văn. Hầu hết các kiến thức được trình bày ngắn gọn, liên kết chặt chẽ với nhau để làm rõ các vấn đề trong những phần tiếp theo sau. Để tìm hiểu chi tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [6], [7], [9], [10], [11] và [19] được trích dẫn tương ứng trong nội dung chương. 1.1. Các khái niệm và ký hiệu Ta xét m như là một không gian vectơ, một không gian affine và một không gian mêtric. Ta xác định một điểm  1 2, ,..., mmx x x x   với vectơ mà các tọa độ của nó là 1 2, ,..., mx x x . Ta ký hiệu 0 m  là một điểm trong m mà các tọa độ của nó là 0 . Cơ sở định chuẩn được ký hiệu là  1 2, ,..., me e e . Tích trong giữa , mx y   được ký hiệu là ,x y . Trang 7 2-chuẩn của một điểm mx   là 2 ,x x x và mêtric Euclide : 0,m mEd     được xác định bởi   2,Ed x y x y  với mọi , mx y   . Dưới đây là các ký hiệu và qui ước sẽ được dùng trong suốt luận văn. (1) Một thể lồi là một tập con lồi compact của m có phần trong khác rỗng. (2) Với tập mB   , bao lồi của B được ký hiệu là  conv B . (3) Với tập mB   , bao affine của B , được ký hiệu là  aff B , là không gian affine con nhỏ nhất chứa B , nghĩa là giao của tất cả các không gian affine con chứa B . (4)  là ký hiệu của tập con compact khác rỗng của m , và d ký hiệu mêtric Hausdorff trên  . Khi đó  ,m d  là một không gian mêtric đầy đủ. (5) Cho X và Y là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric ( , )m d . Khoảng cách Hausdorff ( , )d X Y của chúng xác định bởi ( , ) max sup inf ( , ), sup inf ( , ) y Y x Xx X y Y d X Y d x y d x y             tương đương ( , ) inf{ 0 : , }d X Y X Y Y Xe ee    trong đó Trang 8 : { : ( , ) } x X X z M d z xe e      Minh họa khoảng cách Hausdorff của hai tập X và Y (6) Một mêtric d trên m được gọi là tương đương Lipschitz với Ed nếu có các hằng số r và R sao cho      , , ,E Erd x y d x y Rd x y  với mọi , mx y   . Nếu hai mêtric tương đương Lipschitz thì chúng cảm sinh tôpô giống nhau trên m , nhưng điều ngược lại thì không cần thiết là đúng. (7) Với bất kỳ hai tập con A và B của m , ký hiệu  : : ,A B x y x A y B     được dùng để ký hiệu phép trừ theo từng điểm của các phần tử trong hai tập hợp. (8) Với một số nguyên dương N ,  1,2,...,N   là ký hiệu tập hợp của tất cả các dãy vô hạn của các ký hiệu   1k k s   thuộc bảng  1,2,...,N . Tập hợp  được trang bị tôpô tích. Một phần tử của s   cũng sẽ được ký Trang 9 hiệu bằng cách ghép 1 2 3...s s s s , trong đó ks ký hiệu thành phần thứ k của s . Khi  được trang bị tôpô tích thì nó là không gian Hausdorff compact. Ngoài ra, vài khái niệm về bán kính phổ và bán kính phổ nối cũng được nhắc đến trong ví dụ 3.4 (9) Bán kính phổ của một ma trận vuông hoặc của một toán tử tuyến tính bị chặn là chặn trên của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trong phổ của nó. Cụ thể hơn, cho 1,..., nl l là các giá trị riêng của ma trận vuông A cấp n . Khi đó bán kính phổ ( )Ar của nó được xác định như sau:  ( ) max i i Ar l Phổ của một ma trận là tập hợp các giá trị riêng của nó. (10) Bán kính phổ nối (the joint spectral radius) của một tập hợp các ma trận 1{ ,..., } n nnM A A    được xác định như sau:  1 1/( ) lim max ... :k ki i ikM A A A Mr    Hệ thống lại các định nghĩa hệ hàm lặp và các khái niệm có liên quan như sau: Định nghĩa 1.1.1 (Hệ hàm lặp). Nếu N là số nguyên dương và : m mnf   , 1,2,...,n N , là các ánh xạ liên tục, thì  1 2; , ,...,m Nf f f F được gọi là một hệ hàm lặp. Trang 10 Từ đó, ta mở rộng thành khái niệm hệ hàm lặp affine, là một khái niệm quan trọng được nhắc đến hầu hết trong cả luận văn. Nếu mỗi f  F là một ánh xạ affine trên m , thì F được gọi là một hệ hàm lặp affine. Định nghĩa 1.1.2 (Hệ hàm lặp co rút). Một hệ hàm lặp  1 2; , ,...,m Nf f f F là co rút khi mỗi nf là phép co rút. Cụ thể là, có một số 0,1na   sao cho       , ,E n n n Ed f x f y d x ya với mọi , mx y   , với mọi n . Định nghĩa 1.1.3 (Hệ hàm lặp hyperbolic). Một hệ hàm lặp  1 2; , ,...,m Nf f f F được gọi là hyperbolic nếu có một mêtric trên m tương đương Lipschitz với mêtric đã cho sao cho mỗi nf là phép co rút. Định nghĩa 1.1.4 (Ánh xạ mã hóa). Một ánh xạ liên tục : mp   được gọi là một ánh xạ mã hóa với hệ hàm lặp  1 2; , ,...,m Nf f f F nếu, với mỗi 1,2,...,n N , sơ đồ sau đây giao hoán (1.1.1) n n s fm m p p        Trang 11 Trong đó :ns   ký hiệu ánh xạ nâng ngược được xác định bởi  ns ns s . Ánh xạ mã hóa được Jun Kigami [11] và Kameyama [9] sử dụng như một công cụ để xác định tập hợp tự đồng dạng. Như vậy, trong bài này, nó được dùng để xác định điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp. Định nghĩa 1.1.5 (Hệ hàm lặp phân thớ điểm). Một hệ hàm lặp  1 2; , ,...,m Nf f f F là phân thớ điểm nếu, với mỗi 1 2 3...s s s s   , giới hạn về bên phải của (1.1.2)    1 2 ...: lim kk f f f xs s sp s     tồn tại, độc lập theo x với s cố định, và ánh xạ : mp   là một ánh xạ mã hóa. Không khó để chỉ ra rằng biểu thức (1.1.2) là ánh xạ mã hóa duy nhất của một hệ hàm lặp phân thớ điểm. Khái niệm về một hệ hàm lặp phân thớ điểm là tương tự với khái niệm của Kieninger [10]. Tuy nhiên, trong phạm vi luận văn này nó được thiết lập trong không gian mêtric đầy đủ. Định nghĩa 1.1.6 (Ký hiệu ( )BF với một hệ hàm lặp). Với một hệ hàm lặp  1 2; , ,...,m Nf f f F xác định :  F bởi 1 ( ) ( ) N n n B f B    F (Ký hiệu F tương tự được dùng cho hệ hàm lặp và ánh xạ.) Trang 12 Với B   , cho ( )k BF ký hiệu sự hợp thành cấp k của F , nghĩa là, hợp của 1 2 .... ( ) k f f f Bs s s   trên mọi 1 2... ks s s độ dài là k . Định nghĩa 1.1.7 (Điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp). Một tập hợp A   được gọi là một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp  1 2; , ,...,m Nf f f F nếu (1.1.3) ( )A A F và (1.1.4) lim ( )k k A B   F , giới hạn theo mêtric Hausdorff, với mọi B   . Nếu một hệ hàm lặp có một điểm hấp dẫn A , thì rõ ràng A là điểm hấp dẫn duy nhất. Ta cũng biết rằng một hệ hàm lặp hyperbolic có một điểm hấp dẫn. Năm 1981, Jonh E. Huntchinon [7] đã chứng minh điều này. Ông quan sát rằng một hệ hàm lặp co rút F cảm sinh một ánh xạ co rút :  F , từ kết quả kéo theo bởi định lý ánh xạ co rút. Chương tiếp theo chỉ ra rằng một hệ hàm lặp phân thớ điểm F có một điểm hấp dẫn A , và hơn nữa, nếu p là ánh xạ mã hóa của F thì ( )A p  . Thường thì  được xét như là “địa chỉ” của điểm ( )p s trong điểm hấp dẫn. Có nhiều cách tiếp cận với khái niệm của một hệ tự đồng dạng mà không phụ thuộc vào không gian xung quanh. Năm 2001, trong tài liệu fractals của Jun Kigami [11] có ví dụ chỉ ra một cách tiếp cận với khái niệm trên, cách tiếp cận này bắt đầu với ý tưởng của ánh xạ mã hóa liên tục p và xác định điểm hấp dẫn như ( )p  là có hiệu quả. Trang 13 1.2. Các ví dụ và nhận xét Phần này chứa các ví dụ và nhận xét có liên quan tới các định lý 1 và 2 trong nội dung chính của luận văn. Ví dụ ngay dưới đây cho ta 2( ; )f F là một hệ hàm lặp phân thớ điểm, tuy nhiên hàm f  F là ánh xạ không co rút dưới mêtric thông thường trên 2 . Thông qua đó, nó cho thấy sự cần thiết của việc tái thiết lập một mêtric tương đương với mêtric thông thường, để mỗi nf  F là phép co rút dưới mêtric mới này. Ví dụ 1.2.1. Xét một hệ hàm lặp affine bao gồm một hàm đơn tuyến tính trên 2 được cho bởi ma trận 1 8 0 2 0 f        Chú ý rằng giá trị riêng của f bằng 12 . Khi     1 2 1 2 1 2 0 00 lim lim 0 00 n n nn n f T T                       Trong đó T là ma trận chuyển cơ sở, hệ hàm lặp này là phân thớ điểm. Tuy nhiên, khi 0 2 1 0 f                 , ánh xạ không là co rút dưới mêtric thông thường trên 2 . Trang 14 Tuy nhiên, phát biểu 1 đảm bảo cho ta có thể thiết lập (mã hóa lại) trên 2  một mêtric tương đương vì thế f là một phép co rút. Trong tài liệu hệ hàm lặp affine, đôi khi được giả định rằng các giá trị riêng của các phần tuyến tính của các hệ hàm lặp affine có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Nhưng giả thiết này không đủ để kéo theo bất kỳ phát biểu nào trong năm phát biểu được cho trong định lý 1. Lúc đó hệ hàm lặp affine ( ; )m f là phân thớ điểm nếu và chỉ nếu các giá trị riêng của phần tuyến tính của f có giá trị tuyệt đối hoàn toàn nhỏ hơn 1, một phát biểu tương tự không thể được tạo nếu số hàm trong hệ hàm lặp lớn hơn 1. Ví dụ 1.2.2. Xét hệ hàm lặp affine  2 1 2; ,f f F , trong đó 1 1 8 0 2 0 f        và 1 8 2 0 2 0 f        Như được chú thích trong ví dụ 1.2.1 1 2 0 lim lim 0 n n n n f u f u             với vectơ u bất kỳ. Do đó, cả  21 1; f F và  22 2; f F là phân thớ điểm. Tích của chúng là ma trận Trang 15 1 2 1 64 4 0 0 f f         , vì thế  1 2 1 4lim lim0 0 n n n n f f                       . Suy ra hệ hàm lặp  2 1 2; ,f f F không là phân thớ điểm. Do vậy, điều kiện các thành phần tuyến tính của các hàm trong hệ hàm lặp có giá trị tuyệt đối của các giá trị riêng nhỏ hơn 1 không được phát biểu như một điều kiện tương đương trong định lý 1. Nhận xét Trong khi chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm trong định lý 1 là đúng ngay cả không giả định rằng hệ hàm lặp là affine, thì điều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát. Thật vậy, năm 2004, Atsushi Kameyama [9] đã chỉ ra rằng tồn tại một hệ hàm lặp điểm thớ không là hyperbolic. Ví dụ 1.2.3. Xét hệ hàm lặp tuyến tính  2 1 2; ,L L F , trong đó 1 1 8 0 2 0 L        và 2 cos sin sin cos a a L aR a a q q q q q         , trong đó Rq dùng để chỉ việc quay một góc q , và 0 1a  . Trang 16 Khi đó 1 nL có các giá trị riêng 1 2n trong khi các giá trị riêng của 2nL cùng có độ lớn 1na  . Ví dụ, nếu ta chọn 8q p và 31 32a  thì ít được xác minh rằng các giá trị riêng của 1 2L L và 2 1L L có độ lớn nhỏ hơn 1 và có một trong các giá trị riêng của 1 2 2L L L là 1,4014 . Suy ra, trong trường hợp này, độ lớn các giá trị riêng của các toán tử tuyến tính 2 21 2 1 1 2 2 1 2, , , , ,L L L L L L L L tất cả đều ít hơn 1, nhưng  1 2 2 nL L L x không hội tụ khi 2x   là một vectơ riêng bất kì của 1 2 2L L L tương ứng với giá trị riêng 1,4014 . Nó kéo theo hệ hàm lặp  2 1 2; ,L L không là phân thớ điểm. Bằng cách sử dụng ý tưởng cơ bản tương tự, đơn giản để chứng minh rằng, khi đưa ra bất kì một số nguyên dương M , ta có thể chọn a gần bằng 1 và q gần bằng 0 theo cách như vậy thì các giá trị riêng của 1 2 ... k L L Ls s s (trong đó {1,2}js  với 1,2,...,j k , với k M ) tất cả đều có độ lớn ít hơn 1, trong khi 1 2ML L có giá trị riêng của độ lớn lớn hơn 1. Điều này được liên hệ tới bán kính phổ nối của cặp toán tử tuyến tính và tới các giả định hữu hạn có liên quan. Như vậy, bằng ý tưởng của ví dụ 1.2.3, nó mở ra một hướng nghiên cứu về một phát biểu mới tương đương với năm phát biểu đã biết trong định lí 1. Trang 17 Ví dụ 1.2.4. Cho  2 0 1; ,f f F , trong đó 0 1 2 1 2 1( , ) , 2 f x x x x        và 1 1 2 1 2 1 1( , ) , 2 2 f x x x x        . Hệ hàm lặp này có một ánh xạ mã hóa p với {0,1}  và ( ) (0. , 0)p s s , trong đó 0.s được xét như là một cơ sở hai số thập phân. Khi 1 2 ... 1 2 2lim ( , ) (0. , )kk f f f x x xs s s s    phụ thuộc vào việc chọn các điểm 21 2( , )x x   , hệ hàm lặp này không thể là phân thớ điểm. Suy ra, theo định lý 1, hệ hàm lặp F cũng không là hyperbolic. Tuy nhiên, nó rõ ràng là hyperbolic khi được hạn chế theo trục x , bao affine của khoảng đơn vị ( ) [0,1] {0}p    . Ví dụ này cung cấp một hệ hàm lặp affine trên 2 có ánh xạ mã hóa nhưng không là phân thớ điểm trên 2 , nên theo định lý 1 nó cũng không là hyperbolic trên 2 . Tuy nhiên, nó là phân thớ điểm và hyperbolic khi được giới hạn theo trục x là bao affine của ( )p  . Do đó, ví dụ này minh họa định lý 2. Nhận xét Một điều quan trọng được dùng trong chứng minh định lý 1 là tập các điểm xuyên tâm đối trong một thể lồi bằng với tập của các điểm đường kính. Các định nghĩa về các điểm xuyên tâm đối và điểm đường kính được cho trong các định nghĩa ở phần tương ứng. Trang 18 Đẳng thức giữa hai tập điểm cũng sẽ được đề cập đến ở định lí 2.5.3. Sự tương đương này giữa các điểm xuyên tâm đối và các điểm đường kính là quan trọng cho việc nghiên cứu luận văn bởi vì nó cung cấp kỹ thuật mêtric hóa ở định lý 2.5.4, nó kéo theo một hệ hàm lặp không xuyên tâm đối là hyperbolic. Trang 19 Chương 2 ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP Như đã được nêu ở trên, chương này chủ yếu nghiên cứu về đặc tính của hệ hàm lặp thông qua các vấn đề có liên quan quanh bài toán như: - Tính hyperbolic và phân thớ điểm của một hệ hàm lặp affine. - Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp afiine. - Tính co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine. - Hệ hàm lặp affine với tính không xuyên tâm đối của nó. Mối liên hệ giữa các tính chất trên được thể hiện trong định lý sau Định lý 1. Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine, thì các phát biểu sau đây là tương đương. (1) F là hyperbolic. (2) F là phân thớ điểm. (3) F có một điểm hấp dẫn. (4) F là một phép co rút tôpô theo thể lồi mK   . (5) F không xuyên tâm đối theo thể lồi mK   . Như vậy, mục tiêu của chương này là nghiên cứu đặc tính của hệ hàm lặp thông qua chứng minh định lý 1. Trang 20 2.1. Hyperbolic kéo theo phân thớ điểm Ta quy ước ký hiệu    1 2 ... kkf x f f f xs s ss     . Chú ý rằng, với k cố định,  kf xs là một hàm theo x và s . Như đã nói ở nhận xét, khi chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm không cần giả định hệ hàm lặp là affine. Định lý 2.1.1. Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp hyperbolic, thì F là phân thớ điểm. Chứng minh Với s   , chứng minh rằng giới hạn lim kk fs tồn tại là độc lập với x , nó thật ra trùng với chứng minh định lý ánh xạ co rút cổ điển. Hơn nữa, sự chứng minh như vậy chỉ ra rằng giới hạn là đều theo s . Với : mp   xác định bởi   lim kk fsp s  , dễ dàng kiểm tra rằng, với mỗi 1,2,...,n N , sơ đồ (1.1.1)giao hoán. Còn lại là chứng minh rằng p là liên tục. Với x cố định,  kf xs là một hàm liên tục của s . Dễ thấy bởi vì, nếu ,s t   là đóng đầy đủ trong tích tôpô, thì nó phù hợp với k thành phần đầu tiên. Theo định nghĩa 1.1.5 , hàm p khi đó là giới hạn đều của các hàm liên tục (theo s ) xác định trên tập compact  . Cho nên, p là liên tục.  Trang 21 Cho F là một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm, và cho A định nghĩa tập hợp  :A p  . Theo định lý 2.2.2, A là một điểm hấp dẫn của F . 2.2. Phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn Mối liên hệ phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn trong định lý 1 được chứng minh trong phần này. Trước tiên ta xét bổ đề sau. Bổ đề 2.2.1. Cho  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm với ánh xạ mã hóa : mp   . Nếu mB   là compact, thì sự hội tụ trong giới hạn    lim kk f xsp s  là đều theo 1 2...s s s   và x B . Chứng minh Ta chứng minh tính hội tụ đều. biểu diễn n n nf L x a  , trong đó nL là phần tuyến tính. Khi đó (2.2.1) 1 2 11 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (0) k kk k k k k k f x L x L a L a L a a L x f s s s ss s s s s s s          Từ đẳng thức (2.2.1) kéo theo, với bất kỳ ,x y B , (2.2.2) Trang 22 2 1 1 21 2 ( ( ), ( )) ( ) sup 2 ( ) : ... max ( ) (0) E k k k m j j m mk j jk kj d f x f y L x y c L e c e c e B c f e f s s s s s s                  trong đó  1 12 .sup max : ...j j m mc m c c e c e B    và 1{ }mj je  là một cơ sở của m . Cho 0e  . Từ định nghĩa phân thớ điểm, có jk độc lập với s , sao cho nếu jk k thì 2 ( ) ( ) 4jk f e cs ep s  và 2 (0) ( ) 4k f cs ep s  , Nó kéo theo 2 ( ) (0) 2jk k f e f cs s e  . Cái này và đẳng thức (2.2.2) suy ra rằng nếu : max j jk k k  thì với bất kỳ ,x y B ta có (2.2.3) ( ( ), ( )) 2 2E k k d f x f y c cs s e e  . Cho b là một phần tử cố định của B . Có một bk độc lập với s , sao cho nếu bk k thì ( ( ), ( )) 2E k d f bs ep s  . Nếu  max ,bk k k thì theo đẳng thức (2.2.3), với bất kỳ x B , ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 2 2E E Ek k k k d f x d f x f b d f bs s s s e ep s p s e      Trang 23 Định lý 2.2.2 (Một hệ hàm lặp phân thớ điểm có một điểm hấp dẫn). Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm thì F có một điểm hấp dẫn ( )A p  , trong đó : mp   là ánh xạ mã hóa của F . Chứng minh Nó kéo theo trực tiếp từ sơ đồ giao hoán (1.1.1) rằng A tuân theo đẳng thức tự tham chiếu (1.1.3). Tiếp theo ta chỉ ra rằng A thỏa mãn đẳng thức (1.1.4). Cho 0e  . Ta phải chỉ ra rằng có một M sao cho nếu k M thì  ( ), ( )kd B p e  F . Nó đủ để cho 1 2max( , )M M M , trong đó 1M và 2M được xác định như dưới đây. Trước hết, cho a là một phần tử tùy ý của A . Khi đó tồn tại một s   sao cho ( )a p s . Theo bổ đề 2.2.1, có một 1M sao cho nếu 1k M thì ( ( ), ) ( ( ), ( ))E Ek kd f b a d f bs s p s e  , với mọi b B . Nói cách khác, A nằm trong một e -lân cận của ( )k BF . Tiếp theo, cho b là một phần tử bất kỳ của B và s là một phần tử bất kỳ của  . Nếu : ( )a Ap s  thì có một 2M sao cho nếu 2k M thì ( ( ), ) ( ( ), ( ))E Ek kd f b a d f bs s p s e  . Nói cách khác, ( ) k BF nằm trong một e -lân cận của A .  Trang 24 2.3. Một hệ hàm lặp với một điểm hấp dẫn thì co rút tôpô Mục tiêu của phần này là thành lập sự kéo theo từ sự tồn tại của một điểm hấp dẫn đến tính chất co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine trong định lý 1. Ta sẽ chỉ ra rằng nếu một hệ hàm lặp affine có một điểm hấp dẫn như được xác định trong định nghĩa 1.1.7, thì nó là một co rút tôpô. Năm 1993, trong tài liệu nghiên cứu về thể lồi, Rolf Schneider [17] đã cho thấy sự tiện ích khi ứng dụng mêtric Minkowski vào việc nghiên cứu các đặc tính của thể lồi. Như đã biết ở ví dụ 1.2.1, việc thiết lập lại một mêtric mới tương đương với mêtric thông thường nhằm bảo đảm điều kiện co rút tôpô của một hệ hàm lặp là cần thiết, do đó ta chọn mêtric Minkowski phục vụ cho chứng minh phần này. Năm 1970, R. Tyrrel Rockafellar [15] có xét đến một mêtric tương tự như là mêtric Minkowski, điều này có nghĩa là, ngoài mêtric Minkowski còn có mêtric khác có thể bảo đảm được điểu kiện co rút tôpô của hệ hàm lặp. Tuy nhiên về tính chất mêtric mà ông đưa ra không thuận lợi cho việc chứng minh tính co rút tôpô của một hệ hàm lặp. Việc chứng minh có sử dụng các ký hiệu liên quan đến thể lồi, ta bổ sung thêm vài định nghĩa và hệ quả có liên quan trong chứng minh. Định nghĩa 2.3.1. Một thể lồi K là đối xứng tâm nếu nó có tính chất là bất cứ khi nào x K thì x K  . Trang 25 Ta còn có một kỹ thuật tổng quát được biết đến trong việc tạo thành các thể lồi đối xứng tâm từ một thể lồi cho trước được cung cấp bởi hệ quả tiếp theo. Hệ quả 2.3.2. Nếu một tập K là một thể lồi trong m thì tập 'K K K  là một thể lồi đối xứng tâm trong m . Định nghĩa 2.3.3 (Chuẩn Minkowski). Nếu K là một thể lồi đối xứng tâm trong m thì chuẩn Minkowski trên m  được xác định bởi inf{ 0 : } K x x Kl l   . Hệ quả tiếp theo cũng khá phổ biến Hệ quả 2.3.4. Nếu K là một thể lồi đối xứng tâm trong m , thì hàm K x xác định một chuẩn trên m . Hơn nữa, tập K là quả cầu đơn vị theo chuẩn Minkowski K x . Định nghĩa 2.3.5 (Mêtric Minkowski). Nếu K là một thể lồi đối xứng tâm trong m và K x là chuẩn Minkowski liên quan, thì xác định mêtric Minkowski trên m theo qui tắc ( , ) :K Kd x y x y  . Trang 26 Khi đó, với bất kỳ một thể lồi K nào, luôn có các số dương r và R sao cho K chứa một quả cầu bán kính r và chứa trong một quả cầu bán kính R , và hệ quả tiếp theo sau là rõ ràng. Hệ quả 2.3.6. Nếu d là một mêtric Minkowski, thì d tương đương Lipschitz với mêtric chuẩn Ed trên m  . Hệ quả 2.3.7. Một mêtric : [0, )m md     là một mêtric Minkowski nếu và chỉ nếu nó bất biến qua phép tịnh tiến và khoảng cách là tuyến tính dọc theo các đoạn thẳng. Cụ thể hơn, (2.3.1) ( , ) ( , )d x z y z d x y   và ( ,(1 ) ) ( , )d x x y d x yl l l   với mọi , , mx y z   và mọi [0,1]l  Chứng minh Thật vậy, không khó để chứng minh điều này Với K là một thể lồi đối xứng tâm trong m , giả sử ta xác định K x là chuẩn Minkowski có liên quan. Như vậy, dễ thấy rằng K x thỏa các đẳng thức (2.3.1) nếu ta đặt ( , ) : K d x y x y   Trang 27 Định nghĩa 2.3.8 (Hệ hàm lặp co rút tôpô). Một hệ hàm lặp  1 2; , ,...,m Nf f f F được gọi là co rút tôpô nếu có một thể lồi K sao cho ( ) int( )K KF . Chứng minh định lý 2.3.10 chủ yếu dựa vào bổ đề sau đây Bổ đề 2.3.9. Nếu : m mg   là affine và mS   , thì ( ( )) ( ( ))g conv S conv g S . Định lý 2.3.10 (Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn kéo theo sự co rút tôpô). Với một hệ hàm lặp affine  1 2; , ,...,m Nf f f F nếu tồn tại một điểm hấp dẫn A   của hệ hàm lặp affine  1 2; , ,...,m Nf f f F , thì F là co rút tôpô. Chứng minh Chứng minh định lý này theo ba bước sau. (1) Tồn tại một thể lồi 1K và một số nguyên dương t với tính chất 1 1( ) int( ) t K KF . (2) Tập 1K được dùng để xác định thể lồi 2K sao cho 2 2( ) int( )nL K K , trong đó ( )n n nf x L x a  và 1,2,...,n N . (3) Có một hằng số dương c sao cho tập 2K cK có tính chất ( ) int( )K KF . Bước (1) Cho A là điểm hấp dẫn của F . Trang 28 Cho { : ({ }, ) }mA x d x Ar r    là phép giãn của A theo bán kính 0r  . Khi đó ta giả sử  lim ( ), 0k k d A Ar    F , ta có thể tìm được một số nguyên dương t sao cho  1( ), 1td A A  F . Do đó, (2.3.2) 1 1( ) int( ) t A AF . Nếu ta đặt 1 1: ( )K conv A , thì 1 2 1 2 ...1 1( ) ... ( )( ( ))t t t i i i i i i K f f f conv A           F 1 2 1 2 ... 1... ( ( ))t t i i i i i i conv f f f A           (theo bổ đề 2.3.9) 1 2 1... (int( )) ti i i conv A        1(int( ))conv A (theo bao hàm (2.3.2)) 1 1int( ( )) int( )conv A K  Lý luận này hoàn thành chứng minh bước (1). Bước (2) Xét tập Trang 29      1 2 1 1 0 : ( ) ( ) t k k k K conv K conv K      F F . Tập 2K là một thể lồi đối xứng tâm bởi vì nó là tổng Minkowski hữu hạn của các thể lồi đối xứng tâm. Nếu bất kỳ ánh xạ affine nf nào trong F được viết dưới dạng ( )n n nf x L x a  , trong đó : m mnL   là thành phần tuyến tính, thì      1 2 1 1 0 ( ) ( ) ( ) t k k n n k L K L conv K conv K      F F (khi đó nL là một ánh xạ tuyến tính)       1 1 1 0 ( ) ( ) t k k n n k conv L K conv L K      F F (theo bổ đề 2.3.9)       1 1 1 0 ( ) ( ) t k k n n k conv f K conv f K      F F (khi đó na s triệt tiêu)      1 ( 1) ( 1) 1 1 0 ( ) ( ) t k k k conv K conv K        F F           1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t k k k conv K conv K conv K conv K           F F F F Trang 30      1 1 1 1 1 1 (int( ) int( )) ( ) ( ) t k k k K K conv K conv K        F F (theo bước (1)) 2int( )K . Cách thứ hai để dẫn tới sự bao hàm kéo theo từ sự bao hàm sau đây   ( 1)1 1( ) ( )k knf K K F F . Đẳng thức cuối cùng kéo theo từ việc là nếu O và C là các thể lồi đối xứng trong m , thì int( ) int( )  O C O C . Ta đã hoàn thành chứng minh bước (2). Bước (3) Nó kéo theo từ bước (2) và tính compact của 2K rằng có một hằng số (0,1)a  sao cho 2 2( ( ), ( )) ( , )K n n Kd L x L y d x ya với mọi , mx y   và mọi 1,2,...,n N . Cho (1 ) rc a   , trong đó 2 2 21 2max{ ( ,0), ( , 0),..., ( , 0)}K K K Nr d a d a d a . Nếu 2x cK và ( )f x Lx a  là một hàm bất kỳ trong hệ hàm lặp F thì 2 2 ( ) ( ( ),0)KKf x d f x Trang 31 2 2 2 ( , 0) ( , ) ( , 0)K K Kd Lx a d Lx a Lx d Lx     2 2 ( , 0) ( ,0)K Kd a d Lx  (theo đẳng thức (2.3.1)) 2 2 ( , 0)K Kr d x r xa a    ( )r c c c c ca a a      Bất đẳng thức này cho thấy 2 2( ) int( )cK cKF  2.4. Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối Ta tiếp tục chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không xuyên tâm đối theo thể lồi nào đó. Cho 1m mS    là hình cầu đơn vị trong m . Với một thể lồi mK   và với 1mu S  thì tồn tại một cặp { , }u uH H  của các siêu phẳng tựa khác nhau của K , lần lượt trực giao với u và với tính chất là chúng cùng giao với K nhưng không chứa điểm nào thuộc phần trong của K . Cặp { , }u uH H  thường được xét đến như là hai siêu phẳng tựa của K trực giao với u . Khái niệm này được đề cập đến trong tài liệu về hình học lồi của Solomon Leader [13]. Dựa vào các định nghĩa có liên quan, ta nhận thấy mục tiêu chứng minh của phần này thật sự là đã quá rõ ràng. Định nghĩa 2.4.1 (Cặp xuyên tâm đối). Nếu mK   là một thể lồi và 1mu S  , thì xác định Trang 32 : ( ) ( ) ( )u u u uK H K H K      và 1 : ( ) m u u S K        Ta nói rằng ( , )p q là một cặp điểm xuyên tâm đối theo K nếu ( , )p q   . Định nghĩa 2.4.2 (Hệ hàm lặp không xuyên tâm đối). Nếu mK   là một thể lồi, thì : m mf   là không xuyên tâm đối theo K nếu ( )f K K , và ( , ) ( )x y K  kéo theo ( ( ), ( )) ( )f x f y K  . Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp với tính chất là mỗi nf không xuyên tâm đối theo K , thì F được gọi là không xuyên tâm đối theo K . Hệ quả tiếp theo cho sự kéo theo từ tính co rút đến tính không xuyên tâm đối trong định lý 1. Như vậy chứng minh được làm rõ. Hệ quả 2.4.3 (Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối). Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine với tính chất là tồn tại một thể lồi mK   sao cho ( ) int( )nf K K với mọi 1,2,...,n N , thì F không xuyên tâm đối theo K . 2.5. Một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic Ta trang bị vài định nghĩa cần thiết cho chứng minh các định lý tiếp theo trong phần này. Trang 33 Định nghĩa 2.5.1 (Các cặp điểm đường kính). Nếu mK   là một thể lồi và 1mu S  , thì xác định đường kính của K theo hướng u như sau  2( ) max : , , ,D u x y x y K x y ua a       . Giá trị lớn nhất đạt được tại vài cặp điểm thuộc K bởi vì K K là lồi và compact, và 2 x y là liên tục với ( , )x y K K  . Bây giờ ta xác định  2( , ) : ( )u p q K K D u q p      và 1m u u S      Ta nói rằng ( , ) up q   là một cặp điểm đường kính theo hướng u và  là tập các cặp điểm đường kính của K . Định nghĩa 2.5.2 (Lồi ngặt). Một thể lồi K là lồi ngặt nếu với mỗi hai điểm ,x y K , đoạn thẳng mở nối x và y chứa trong phần trong của K . Ta viết xy để ký hiệu đoạn thẳng đóng với các điểm mút tại x và y vì thế y x là vectơ có hướng từ x đến y , độ lớn của nó là độ dài của xy . Để có được kỹ thuật mêtric hóa sẽ được sử dụng ở trọng tâm của định lý 2.5.4, theo nhận xét đã đề cập, trước hết ta phải chứng minh sự tương đồng của tập các điểm xuyên tâm đối và tập các điểm đường kính. Trang 34 Định lý 2.5.3. Nếu mK   là một thể lồi, thì tập các cặp điểm xuyên tâm đối của K cũng giống như tập các cặp điểm đường kính của K , nghĩa là   Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra rằng   . Nếu ( , )p q   , thì up H K   và uq H K   với 1mu S  . Rõ ràng, dây cung bất kỳ của K song song với pq nằm hoàn toàn trong vùng giữa uH và uH  , cho nên không thể có độ dài lớn hơn độ dài của pq . Vì thế ( )D q p q p   và ( , ) q pp q    . Chú ý rằng nếu K là lồi ngặt, thì pq là dây cung duy nhất có độ dài lớn nhất theo hướng của nó. Ngược lại, để chỉ ra rằng   , trước hết xét trường hợp trong đó K là một thể lồi ngặt. Với mỗi 1mu S  , xét các điểm u ux H K   và u ux H K    . Hàm liên tục 1 1: m mnf S S  được xác định bởi 2 ( ) u u u u x xf u x x     có tính chất là ( ), 0f u u  với mọi u . Nói cách khác, góc giữa u và ( )f u thì nhỏ hơn 2 p . Nếu 1 1: m mf S S  ánh xạ không có điểm x nào thành điểm xuyên tâm đối x của nó, thì f có cấp là 1 và đặc biệt nó là toàn ánh. Để chỉ ra Trang 35 rằng   , cho ( , ) vp q   với 1mv S  . Theo tính toàn ánh của f , có 1mu S  sao cho ( )f u v . Ta biết rằng u ux x là dây cung dài nhất và duy nhất song song với v . Cho nên, up x và uq x , kết quả là ( , ) up q   . Trong trường hợp trong đó K không lồi ngặt thì được xử lý theo một lý luận giới hạn tiêu chuẩn. Cho một vectơ 1mv S  và một dây cung dài nhất pq song song với v , ta phải chứng minh rằng ( , )p q   . Khi đó K là giao của tất cả các thể lồi ngặt chứa K , có một dãy { }kK của các thể lồi ngặt chứa K với hai tính chất sau đây. (1) Có dây cung dài nhất k kp q của kK song song với u sao cho 2 2 lim k k kp q p q    , và giới hạn lim k kp p K   và lim k kq q K   tồn tại. Theo kết quả của trường hợp lồi ngặt, có dãy các vectơ 1m ku S  sao cho ( ) kk k u kp K H K  và ( )kk k u kq K H K  . Bởi có lẽ sẽ đến một dãy con. (2) 1lim mk ku u S    là tồn tại. Nó kéo theo từ mục (1) rằng 2 2 p q p q    và p q  là song song với v . Cho nên, pq , cũng như pq , là dây cung dài nhất của K song song với v . Nó kéo theo từ (2) rằng nếu H và H  là các siêu phẳng vuông góc với u đi qua p và q tương ứng, thì H và H  song song với siêu phẳng tựa của K . Cho nên p H và q H  , và ta có kết quả ( . ) up q    .  Trang 36 Định lý tiếp theo cung cấp sự kéo theo, trong định lý 1, từ tính chất không xuyên tâm đối theo thể lồi nào đó đến tính chất hyperbolic của một hệ hàm lặp affine. Định lý 2.5.4. Nếu hệ hàm lặp affine  1 2; , ,...,m Nf f f F không xuyên tâm đối theo thể lồi K , thì F là hyperbolic. Chứng minh Giả sử rằng K là thể lồi sao cho f không xuyên tâm đối theo K với f  F . Cho C K K  và đặt ( )f x Lx a   F , trong đó L là phần tuyến tính của f . Theo hệ quả 2.3.2, tập C là một thể lồi đối xứng tâm và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L C L K L K f K f K K K C       Ta yêu cầu ( ) int( )L C C . Khi đó C là compact và L là tuyến tính, để chứng minh yêu cầu trên, nó đủ để chỉ ra rằng ( )L x C  với mọi x C  . Bằng phản chứng, giả sử x C  và ( )L x C  . Khi đó vectơ x là vectơ dài nhất trong C theo chiều của nó. Khi x C K K   , có 1 2,x x K  sao cho 1 2x x x  , và 1 2( , ) ( ) ( )x x K K   , trong đó đẳng thức cuối là theo định lý 2.5.3. Vì thế 1 2( , )x x là một cặp xuyên tâm đối theo K . Tương tự, khi Lx là vectơ dài nhất trong C theo chiều của nó, có 1 2,y y K  sao cho 1 2Lx y y  , và 1 2( , ) ( ) ( )y y K K   . Cho nên, Trang 37 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x L x L x L x x Lx y y        , nó kéo theo rằng 1 2( ( ), ( )) ( ) ( )n nf x f x K K   , điều này mâu thuẫn với f là không xuyên tâm đối theo K . Nếu Cd là mêtric Minkowski theo thể lồi đối xứng tâm C , thì theo hệ quả 2.3.4, C là quả cầu đơn vị có tâm là gốc tọa độ theo mêtric mêtric này. Khi C là compact, ( ) int( )L C C kéo theo rằng có một [0,1)a  sao cho C C Lx xa với mọi mx   . Thì ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( , ) C C C CC C d f x f y f x f y Lx Ly L x y x y d x ya a          Cho nên, Cd là một mêtric với mỗi hàm trong hệ hàm lặp là một phép co rút. Theo hệ quả 2.3.6, Cd là tương đương Lipschitz với mêtric chuẩn.  Trang 38 Tổng kết chương 2 Như vậy, chứng minh định lý 1 đã hoàn thành với sơ đồ chứng minh được cung cấp như sau. Chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm được cung cấp trong định lý 2.1.1. Chứng minh một hệ phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn được cung cấp trong định lý 2.2.2. Chứng minh sự kéo theo từ sự tồn tại của một điểm hấp dẫn đến tính chất co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine được cung cấp trong định lý 2.3.10. Chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không xuyên tâm đối theo một thể lồi nào đó được cung cấp trong hệ quả 2.4.3. Cuối cùng, chứng minh một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic được cung cấp trong định lý 2.5.4. Trang 39 Chương 3 SỰ TỒN TẠI CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC Ví dụ 1.2.4 cung cấp một hệ hàm lặp affine trên 2 được trang bị một ánh xạ mã hóa nhưng không là hyperbolic trên 2 . Tuy nhiên, nó là hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng. Từ ví dụ cụ thể trên, một câu hỏi được đặt ra là “Một hệ hàm lặp là hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng có còn đúng trong trường hợp tổng quát hay không?”. Mục tiêu của chương là trả lời cho sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng trong trường hợp tổng quát. Nếu mX   và  1 2; , ,..., NX f f fF là một hệ hàm lặp trên X , thì định nghĩa về ánh xạ mã hóa và phân thớ điểm với F chính xác giống như định nghĩa 1.1.4 và 1.1.5, với m thay thế bởi X . 3.1. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo bao affine của tập hợp tự đồng dạng Để chứng minh định lý chính của phần này, trước hết, ta xét hệ quả được chỉ ra dưới đây. Trang 40 Hệ quả 3.1.1. Nếu mX   và  1 2; , ,..., NX f f fF là một hệ hàm lặp với ánh xạ mã hóa : mp   sao cho ( ) Xp   , thì F là phân thớ điểm trên X . Chứng minh Theo định nghĩa 1.1.5, ta phải chỉ ra rằng 1 2 ...lim kk f f fs s s    tồn tại độc lập với x X , và liên tục như một hàm theo 1 2...s s s   . Ta sẽ thực sự chỉ ra rằng 1 2 ...lim ( ) ( ) kk f f f xs s s p s    . Khi p là ánh xạ mã hóa, ta biết rằng theo định nghĩa 1.1.4 thì ( ) ( )n nf sp s p s  , với mọi 1,2,...,n N . Theo giả thiết, nếu x là điểm bất kỳ trong X , thì có t   sao cho ( ) xp t  . Do đó, 1 2 1 2 ... ...lim ( ) lim ( ( )) k kk k f f f x f f fs s s s s s p t       (khi ( ) xp t  ) 1 2 lim ( ... ( )) kk s s ss s sp t    (theo sơ đồ (2.1))  1 2lim ... ( )kk s s ss s sp t    (khi p là liên tục) ( )p s  Định lý về sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo bao affine của tập hợp tự đồng dạng được phát biểu ngay sau đây. Trang 41 Định lý 3.1.2. Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine với ánh xạ mã hóa : Xp  , thì F là phân thớ điểm khi được hạn chế theo bao affine của ( )p  . Đặc biệt, nếu ( )p  chứa một tập con mở khác rỗng của m , thì F là phân thớ điểm trên m . Chứng minh Cho : ( )A p  . Khi ( )nf A A với mọi n , sự hạn chế của hệ hàm lặp F theo A , cụ thể là  1 2; , ,...,A NA f f fF được định nghĩa tốt. Nó kéo theo từ hệ quả 3.1.1 rằng AF là phân thớ điểm và bởi vì ánh xạ mã hóa với một hệ hàm lặp phân thớ điểm là duy nhất, 1 2 ...( ) lim ( ) kk f f f as s sp s     với ( , )a As   . Nó chỉ còn lại là chỉ ra rằng sự hạn chế  ( ) 1 2: ( ); , ,...,aff A Naff A f f fF của hệ hàm lặp affine F theo bao affine của A là phân thớ điểm. Cho ( )x aff A , bao affine của A . Nó được biết đến rằng bất kỳ điểm nào trong bao affine có thể được biểu diễn dưới dạng một tổng, 0 m p pp x al    với 0 1, ,..., ml l l   sao cho 0 1 m pp l   và 0 1, ,..., ma a a A . Suy ra, với ( , ) ( )x aff As   , 1 2 1 2 ... ... 0 lim ( ) lim k k m p p k k p f f f x f f f as s s s s s l               Trang 42 1 2 ... 0 lim ( ) k m p p k p f f f as s sl       0 ( ) ( ) m p p l p s p s    .  3.2. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic Ta trở lại với vấn đề Atsushi Kameyama đã đặt ra “Cho một tập hợp tôpô tự đồng dạng, có hay không sự tồn tại của một hệ liên kết của các ánh xạ co rút?”. Câu trả lời cho vấn đề này là gì? Định lý 2 được phát biểu ngay sau đây, sẽ giải quyết cho vấn đề mà Atsushi Kameyama đã đề cập đến. Định lý 2. Nếu  1 2; , ,...,m Nf f f F là một hệ hàm lặp affine với một ánh xạ mã hóa : mp   , thì F là hyperbolic trên bao affine của ( )p  . Đặc biệt, nếu ( )p  chứa một một tập con mở khác rỗng của m , thì F là hyperbolic trên m  . Chứng minh Bây giờ định lý 2 dễ dàng được kéo theo từ định lý 3.1.2 và định lý 1. Cho : ( )A p  và dim ( )aff A k m  . Dễ dàng để kiểm tra từ sơ đồ giao hoán (1.1.1) rằng ( )f A A với mỗi f  F kéo theo ( ( )) ( )f aff A aff A với mỗi f  F . Khi ( )aff A là đẳng cấu với k , định lý 1 có thể được ứng dụng tới hệ hàm lặp Trang 43  ( ) 1 2: ( ); , ,...,aff A Naff A f f fF để kết luận rằng, khi nó là phân thớ điểm thì ( )aff AF cũng là hyperbolic.  Chú ý rằng hệ hàm lặp ( ; )f , trong đó ( ) 2 1f x x  không là hyperbolic trên  , nhưng nó là hyperbolic trên không gian con affine { 1}   . Rõ ràng định lý này là câu trả lời khẳng định cho vấn đề của Atsushi Kameyama đã đặt ra. Trang 44 KẾT LUẬN Trong khuôn khổ luận văn này, ta nghiên cứu các tính chất tương đương có liên quan tới điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp affine thông qua định lý 1. Chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm trùng với chứng minh của định lý ánh xạ co rút cổ điển. Chứng minh này còn chỉ ra rằng giới hạn lim kk fs là đều theo s . Từ đó, với tính chất giới hạn đều này, ta thiết lập một ánh xạ mã hóa làm nền tảng để chứng minh rằng một hệ phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn. Để thành lập sự kéo theo từ sự tồn tại của một điểm hấp dẫn đến tính chất co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine trong định lý 1. Ta sẽ chỉ ra rằng nếu một hệ hàm lặp affine có một điểm hấp dẫn như được xác định như đã nêu ở trên, thì nó là một co rút tôpô. Tuy nhiên việc thiết lập một mêtric mới tương đương với mêtric thông thường để đảm bảo điều kiện co rút tôpô của một hệ hàm lặp là cần thiết. Do vậy ta chọn mêtric Minkowski phục vụ cho chứng minh phần này. Bằng cách sử dụng các khái niệm và tính chất của hình học lồi, ta tiếp tục chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không xuyên tâm đối theo vật lồi nào đó, và sự kéo theo từ tính chất không xuyên tâm đối theo vật lồi nào đó đến tính chất hyperbolic của một hệ hàm lặp affine. Trang 45 Cuối cùng, để trả lời cho sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng, ta chứng minh định lý 2. Hai định lý chính của luận văn cung cấp một đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic xác định trên m . Chúng bao hàm câu trả lời khẳng định cho vấn đề của Atsushi Kameyama đã đặt ra với các tập hợp tự đồng dạng sinh bởi phép biến đổi affine trên m . Mối liên hệ giữa công trình nghiên cứu này và các kết quả gần đây hướng các nhà toán học tới một điều kiện khác, tương đương với các điều kiện từ (1) đến (5) trong định lý 1, là điều kiện (6) F có bán kính phổ nối nhỏ hơn 1. Điều này được đánh giá là quan trọng bởi vì nó kết nối từ sự tiếp cận của việc nghiên cứu tới sự phát triển nhanh chóng các tài liệu về bán kính phổ nối. Từ ví dụ 1.2.3 và kết quả được giới thiệu bởi Vincent Blondel, Jacques Theys và Alexander A. Vlladimirov năm 2003 [4] đã chỉ ra rằng : không có bài toán tổng quát nào có thể xác định được bán kính phổ nối của một hệ hàm lặp có nhỏ hơn 1 hay không, cho nên định lý 1 được cho là quan trọng bởi vì nó cung cấp một điều kiện có thể kiểm tra dễ dàng một hệ hàm lặp có một điểm hấp dẫn duy nhất. Đặc biệt, các điều kiện co rút tôpô và không xuyên tâm đối (điều kiện (4) và (5) trong định lý 1) cung cấp các kết quả hình học mà có thể được kiểm tra dễ dàng với bất kỳ hệ hàm lặp affine nào. Ngoài việc đưa ra sự tồn tại của một điểm hấp dẫn, hai điều kiện này cũng cung cấp thông tin liên quan đến vị trí của điểm hấp dẫn. Chẳng hạn, điểm hấp dẫn là tập con của một vật lồi riêng biệt. Trang 46 Như vậy, với tính phổ biến của điều kiện co rút tôpô và không xuyên tâm đối đã nêu ở trên thì định lý 1 được dự đoán rằng nó có thể được khái quát vào trong các lớp khác rộng hơn của các hàm, trong đó kỹ thuật được triển khai với lý thuyết bán kính phổ nối sẽ không áp dụng. Trang 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Michael F. Barnsley, Fractal image compression, Notices Amer. Math. Soc. 43 (1996), no. 6, 657–662. [2] M. F. Barnsley, V. Ervin, D. Hardin, and J. Lancaster, Solution of an inverse problem for fractals and other sets, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 83 (1986), no. 7, 1975–1977. [3] Marc A. Berger and Yang Wang, Bounded semigroups of matrices, Linear Algebra Appl. 166 (1992), 21–27. [4] Vincent D. Blondel, Jacques Theys, and Alexander A. Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 24 (2003), no. 4, 963–970. [5] Ingrid Daubechies and Jeffrey C. Lagarias, Sets of matrices all infinite products of which converge, Linear Algebra Appl. 161 (1992), 227– 263. [6] Masayoshi Hata, On the structure of self-similar sets, Japan J. Appl. Math. 2 (1985), no. 2, 381–414. [7] John E. Hutchinson, Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J. 30 (1981), no. 5, 713–747. [8] Ludvík Janoš, A converse of Banach’s contraction theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 287–289. Trang 48 [9] Atsushi Kameyama, Distances on topological self-similar sets, in Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoit Mandelbrot. Ed. Michel L. Lapidus and Machiel van Frankenhuijsen. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Volume 72, Part 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004. 117–129 [10] Bernd Kieninger, Iterated Function Systems on Compact Hausdorff Spaces. Aachen: Shaker Verlag, 2002. [11] Jun Kigami, Analysis on Fractals. Cambridge Tracts in Mathematics, 143. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. [12] Solomon Leader, A topological characterization of Banach contractions, Pacific J. Math. 69 (1977), no. 2, 461–466. [13] Maria Moszyńska, Selected Topics in Convex Geometry. Translated and revised from the 2001 Polish original. Boston, MA: Birkh¨auser Boston, Inc., 2006. [14] James R. Munkres, Topology. 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000. [15] R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis. Princeton Mathematical Series, No. 28. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970. [16] Gian-Carlo Rota and Gilbert Strang, A note on the joint spectral radius, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 63 = Indag. Math. 22 (1960), 379– 381. [17] Rolf Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 44. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. Trang 49 [18] Roger Webster, Convexity. Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press, 1994. [19] R. F. Williams, Composition of contractions, Bol. Soc. Brasil. Mat. 2 (1971), no. 2, 55–59.