Luận văn Một số định lí điểm bất động trong không gian nón - Metric

+ + + + + + = = ³ (1.4) Đặt min{ , }a ba = . Thì từ (1.3.3) và (1.3.4), ta có: 1 2 2 2 3 2 1 2 2( , ) ( , )n n n nd x x d x xa - + + + +£ và 1 2 1 2 2 2 2 1( , ) ( , )n n n nd x x d x xa - + + +£ Từ đó, ta có: 1 1 2 1( , ) ( , )n n n nd x x d x xa - + + +£ với 0,1,2,...n = Suy ra { }nx là dãy Cauchy trong không gian nón mêtric đầy đủ (X,d) nên hội tụ về z XÎ . Bây giờ, ta giả sử f là liên tục. Vì 2 2 1n nx fx += nên ta có: 2 2 1lim limn nn nz x fx fz+® ¥ ® ¥= = = Vậy suy ra z là điểm cố định của f. Mặt khác, g là toàn ánh nên tồn tại y sao cho gy z= . Vì thế, dùng bất phương trình (1.3.2), ta có: 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fz gy d fgy gy bd gy y bd z y= = ³ = Suy ra ( , )bd z y P- Î , và ta cũng có ( , )bd z y PÎ . Vì thế ( , ) 0bd z y = và vì b > 1 nên suy ra y z= . Vậy z gz= , hay ta đã chứng minh được rằng z là điểm cố định chung của f và g. Tương tự, nếu ta coi g là liên tục, thì ta cũng có kết quả trên. 1.3.3.2 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử :f X X® là toàn ánh thỏa mãn: 2( , ) ( , )d f x fx kd fx x³ với mọi , 1x X kÎ > . Khi đó, nếu f là liên tục thì f có 1 điểm bất động. Chứng minh. Rõ ràng nếu ta đặt , min{ , }f g k a b= = thì ta có điều phải chứng minh. Nếu ta đặt , { : 0} , :E R P x R x R d X X R= = Î ³ Ì ´ ® trong hệ quả 1.3.3.2 thì ta được kết quả sau: 1.3.3.3 Hệ quả. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d). Giả sử Giả sử :f X X® là toàn ánh thỏa mãn: 2( , ) ( , )d f x fx kd fx x³ với mọi , 1x X kÎ > . Khi đó, nếu f là liên tục thì f có 1 điểm bất động. Chúng ta sẽ minh họa cho định lý trên bằng 1 ví dụ sau: 1.3.3.4 Ví dụ. Cho 2 2, ( , ) : , 0} , , :{E R P x y E x y R X R d X X E= = Î ³ Ì = ´ ® được xác định ( , ) (| |,| |)d x y x y x y= - - . Khi đó, (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Ta định nghĩa 2 toàn ánh , :f g X X® như sau: 2 , 4fx x gx x= = với mọi x XÎ . Khi đó, ta có: ( , ) (| 2 8 |,| 2 8 |) (6 | |,6 | |) (2 | 2 |, 2 |) 2 ( , )d fx gfx x x x x x x x x x x d x fx= - - = ³ - - ³ và ( , ) (| 4 8 |,| 4 8 |) (4 | |,4 | |) 4 4 4| 4 |, | 4 | ( , ) 3 3 3 ( ) d gx fgx x x x x x x x x x x d x gx = - - = = - - = Đúng mọi x XÎ . Như vậy 2 bất đẳng thức trong định lý trên đều thỏa mãn và x=0 là điểm chung cùa f và g. Bây giờ, chúng ta se đưa ra một số định lý điểm bất động chung của ánh xạ giãn trong không gian nón mêtric thông thường với điều kiện mới. 1.3.3.5 Định lý. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d) và , :f g X X® là 2 ánh xạ thỏa mãn gX fXÌ và 1 trong 2 tập fX và gX là đầy đủ. Giả sử: ( , ) ( , )d fx fy d gx gya³ (1.5) với 1a > , với mọi ,x y XÎ . Khi đó f và g có 1 điểm trùng duy nhất. Mặt khác, nếu cặp (f, g) là tương thích yếu, thì f và g có điểm trùng duy nhất. Chứng minh. Lấy 0x XÎ bất kỳ. Ta xây dựng 2 dãy { },{ }n nx y được xác định như sau: 1, 0,1,2,...n n ny gx fx n+= = = Từ 1.3.5, ta có: 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n n n n nd y y d fx fx d gx gx d y ya a- + + += ³ = Từ đây ta có: 11 1( , ) ( , )n n n nd y y d y ya - + -£ , và bằng quy nạp, ta suy ra: 1 1 1 0( , ) ( ) ( , ) n n nd y y d y ya - + £ . Mà 1 (0,1)a - Î nên suy ra 1( , ) 0n nd y y+ ® khi n ® ¥ hay { }ny là dãy Cauchy trong fX đầy đủ nên tồn tại z XÎ sao cho ny fz® khi n ® ¥ . Ta cần chứng minh fz gz= . Thật vậy, trong (1.3.5) ta đặt ,nx x y z= = , ta có: ( , ) ( , )n nd fx fz d gx gza³ . Mà 1n ny fx fz- = ® nên lây giới hạn tới vô cùng, ta suy ra: ngx gz® và hiển nhiên ngx fz® nên suy ra fz gz= . Vậy fz gz w= = là 1 điểm trùng của f và g. Chứng minh duy nhất. Giả sử có 1 điểm trùng khác là 1 1 1w fz gz= = , thì từ (1.3.5) ta có: 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )d w w d fz fz d gz gz d w wa a= ³ = mà 1a > nên suy ra 1( , ) 0d w w = . Nếu cặp ( , )f g là tương thích yếu, thì mệnh đề (1.3.2.4) ta có f và g có điểm bất động chung duy nhất. 1.3.3.6 Ví dụ. Trên 1 [0,1]RE C= , ta lấy chuẩn || || || || || ||x x x¥ ¥¢= + và nón { : ( ) 0, [0,1]}P x E x t t= Î ³ Î . Đặt [0,1]X = và xét :d X X E´ ® với ( , )( ) | | ( )d x y t x y tj= - với ( ) 0tj > là hàm cố định bất kỳ, ví dụ: ( ) tt ej = . Xét 2 hàm 1 1, : , , 3 5 f g X X fx x gx x® = = và lấy bất kỳ 5(1, ] 3 a Î . Thì mọi điều kiện của định lý 1.3.3.5 đều thỏa. Và dễ dàng nhận thấy f và g có điểm bất động chung duy nhất. 1.3.3.7 Hệ quả. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d). Giả sử Giả sử :f X X® là toàn ánh. Nếu có hằng số 1a > thỏa ( , ) ( , )d fx fy d x ya³ với mọi ,x y XÎ , thì f có điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Trong định lý 1.3.3.5, đặt xg I= ta có điều phải chứng minh. Chúng ta có thể phát biểu hệ quả trên như sau: Cho (X,d) là không gian nón mêtric compact theo dãy trên nón chính quy và :f X X® là toàn ánh thỏa ( , ) ( , )d fx fy d x y> khi. Thì f có điểm bất động duy nhất. 1.3.3.8 Hệ quả. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d). Giả sử Giả sử :f X X® thỏa mãn ( )F f ¹ Æ và 2( ), ) ( , )d fx f x d x fxa³ (1.6) với 1a > và hoặc (i) là với mọi x XÎ , hoặc (ii) với hầu hết ,x X x fxÎ ¹ . Thì f có tính chất (P). Chứng minh. Giả sử (1.3.6) đúng với mọi 1a > và với mọi x XÎ và ( )np F fÎ với 1n > . Thì: 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ). n n n n n n n n n n n d p fp d f p f p d ff p f f p d f p f p d ff p f f p d f p f p d p fp a a a a + - - - - - - - = = ³ = ³ ³ ³ Vậy nếu ( , ) 0d p fp > thì 1 na³ (vô lý). Điều đó suy ra rằng ( ), ( ) ( )np F f F f F fÎ = Giả sử (1.3.6) đúng với mọi x mà x fx¹ , và lấy ( )np F fÎ với 1n > . Nếu p fp= , thì chứng minh xong. Giả sử p fp¹ . Thì giống trường hợp trên, chúng ta có 1 2 1( , ) ( , )n nd p fp d ff p f f p- -= . Mà ta để ý, để sử dụng (2), chúng ta cần có 1 1n n nf p ff p f p- -¹ = . Thật vậy, nếu ngược lại thì 1nf p p- = thì n np f p f p= = (Vô lý). Chính vì thế, áp dụng (1.3.6) ta có: 1 2 1 2 2 2( , ) ( , 1 ) ( , ) ( , )n n n n nd p fp d ff p f fn p d f p f p d ff f f pa a- - - -= - ³ = Bằng cách quy nạp như trên, ta có: ( , ) ( , )nd p fp d p fpa³ , mà 1a > nên suy ra p fp= (vô lý). Chúng ta sẽ thấy rằng điều kiện liên tục là cần thiết và không thể bỏ bằng ví dụ sau: 1.3.3.9 Ví dụ. Lấy [2, )X = +¥ được trang bị mêtric thông thường và lấy :f X X® được xác định như sau: 24 2 1 (2, ) 2 x fx x x ì =ï= í Î +¥ï î Rõ ràng f thỏa mãn các tính chất của hệ quả trên ngoài trừ tính liên tục ( với mọi ,1 2a a< £ ), nhưng nó không có điểm bất động. Ví dụ này cũng chỉ ra rằng điều kiện ( )F f ¹ Æ là rất cần thiết trong hệ quả 1.3.6.8 1.3.3.10 Định lý. Cho (X,d) là 1 không gian nón mêtric và f, g là 2 ánh xạ trong X thỏa mãn fX gXÉ và tối thiẻu 1 trong các không gian con đó là đầy đủ. Giả sử tồn tại 1( ,1) 2 b Î thỏa: ( , ) [ ( , ) ( , )]d fx fy d gx fx d gy fyb³ + (1.7) với mọi , ,x y X x yÎ ¹ . Khi đó f và g có 1 điểm trùng. Chứng minh. Lấy bất kỳ 0x XÎ . Tương tự như trong định lý 1.3.3.5, ta xây dựng 2 dãy { },{ }n nx y thỏa 1n n ny gx fx += = với mọi 0,1,2...n = Áp dụng 1.3.7, chúng ta có 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) n n n n n n n n n n n n d y y d fx fx d gx fx d gx fx d y y d y y b b b - + + + + - = ³ + = + Từ đó ta có: 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )n n n n n nd y y d y y d y y b l b+ - - -£ = với 10 1bl b -< = < vì 1 1 2 b< < . Do đó 1 1 0( , ) ( , ) n n nd y y d y yl+ £ . Suy ra dãy { }ny là dãy Cauchy. Giả sử rằng fX đầy đủ. Khi đó, tồn tại z ZÎ sao cho nfx fz® khi n ® ¥ . Chúng ta sẽ chứng minh rằng fz gz= . Thật vậy, lấy c intPÎ bất kỳ. Khi đó, sử dụng 1.3.7 ta có: 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n nd gz fz d gx fx d gz fz d fx fz cb b b b£ £ + £  với 0 ( )n n c³ . Vậy ta có gz fz= là điểm trùng của f và g. 1.3.3.11 Hệ quả. Cho (X,d) là không gian nón mêtric và :f X X® là 1 toàn ánh. Giả sử tồn tại 1( ,1) 2 b Î sao cho với mọi , ,x y X x yÎ ¹ thỏa ( , ) [ ( , ) ( , )]d fx fy d x fx d y fyb³ + (1.8) Khi đó f có 1 điểm cố định và nó có tính chất (P). Chứng minh. Cho Xg i= trong định lý 1.3.3.10 thì ta chỉ ra tồn tại z XÎ sao cho fz z= . Áp dụng 1.3.8 chúng ta có: 2 2( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )]d fx f x d fx ffx d x fx d fx f xb= ³ + Vì thế 2( , ) ( , ) 1 d fx f x d x fxb b ³ - với 1 1 b b > - . Áp dụng hệ quả 1.3.3.8 thì chúng ta kết luận f có tính chất (P). 1.3.3.12 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric và lấy , :f g X X® là 2 ánh xạ thỏa mãn fX gXÉ và 1 trong 2 tập đó là đầy đủ. Giả sử rằng tồn tại các hằng số không âm , ,a b g thỏa: • 1a b g+ + > • 1a < hay 1b < • Với mọi , ,x y X x yÎ ¹ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fx fy d gx fx d gy fy d gx gya b g³ + + (1.9) đúng. Khi đó, f và g có 1 điểm trùng. Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp 1b < ( trường hợp 1a < chứng minh tương tự). Lấy bất kỳ 1 0x XÎ , vì gX fXÌ nên ta xây dựng được 2 dãy { },{ }n nx y thỏa mãn 1n n ny gx fx += = với mọi 0,1,2...n = . Nếu 1m my y -= với 1m ³ , thì m mfx gx= là điểm trùng của f và g. Giả sử ngược lại 1n ny y -¹ với mỗi 1,2,...n = Khi đó, áp dụng 1.3.9, chúng ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n n n n n n n n n d y y d fx fx d gx fx d gx fx d gx gx d y y d y y d y y a b g a b g - + + + + + - + = ³ + + = + + Từ đó suy ra 1 1(1 ) ( , ) ( ) ( , )n n n nd y y d y yb a g- +- ³ + . Mà từ giả thiết, ta suy ra 0a g+ > và 10 1bl a g -< = < + . Từ đó ta có: 1 1 1 0( , ) ( , ) ... ( , ) n n n n nd y y d y y d y yl l+ -£ £ £ Suy ra { }ny là 1 dãy Cauchy. Giả sử nếu fX là đầy đủ, thì nfx fz® với z XÎ . Mà ta chú ý giả sử rằng 1n ny y -¹ với mọi 0,1,2...n = nên suy ra nfx fz¹ với n hữu hạn. Chúng ta xét 2 trường hợp sau: • Trường hợp 1. Với 0a ¹ . Lấy bất kỳ c intPÎ . Thì ta có ( , )nd fz fx ca với 0 ( )n n c³ và với giá trị n đó, áp dụng 1.3.9, chung ta có: 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n d gz fz d gz fz d gx fx d gz gx d fz fx c a a b g a £ £ + + £  Từ đó suy ra gz fz= là điểm trùng của f và g • Trường hợp 2. Với 0a = , vì 1b < nên 0g ¹ . Tương tự trường hợp 1, ta có: 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n d gx gz d gz fz d gx fx d gz gx d fz fx c g b ga g £ £ + + £  với 1( )n n c³ . Từ đó suy ra ( , )nd gx gz c với 1( )n n c³ . Và ngx gz® khi n ® ¥ . Mặt khác, vì dưới hạn của 1 dãy là duy nhất nên chúng ta suy ra gz fz= và f, g có 1 điểm trùng. 1.3.3.13 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric và lấy :f X X® là toàn ánh. Giả sử rằng tồn tại các hằng số không âm , ,a b g thỏa: • 1a b g+ + > • 1a < hay 1b < • Với mọi , ,x y X x yÎ ¹ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fx fy d x fx d y fy d x ya b g³ + + (1.10) đúng. Khi đó, f có điểm bất động duy nhất. Hơn nữa, f có tính chất (P). Chứng minh. Cho Xg i= trong định lý 1.3.3.12, chúng ta suy ra f có 1 điểm bất động. Bây giờ ta chứng minh rằng f có tính chất (P). Thật vậy, với mỗi x XÎ và giả sử 1b < thì 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fx f x d fx ffx d x fx d fx f x d x fxa b g= ³ + + Suy ra 2( , ) ( , ) ( , ) 1 d fx f x d x fx d x fxa g l b +³ = - với 1 1 a bl b -= > - mà ( )F f ¹ Æ nên ta suy ra f có tính chất (P). 1.3.3.14 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ và lấy , :f g X X® là 2 ánh liên tục và toàn ánh trên X. Giả sử rằng với 1a > và với mọi , ,x y X x yÎ ¹ thì tồn tại ( , ) { ( , ), ( , ), ( , )}u x y d x fx d y gy d x yÎ thỏa mãn ( , ) ( , )d fx gy u x ya³ (1.11) Khi đó f và g có 1 điểm bất động chung duy nhất và có tính chất (Q). Chứng minh. Lấy bất kỳ 0x XÎ , vì f và g là toàn ánh nên ta chọn 1 2,x x XÎ sao cho 0 1 1 2,x fx x gx= = và tiếp tục như vậy ta đươc dãy { }nx với 2 2 1 2 1 2 2, , 0,1,2,...n n n nx fx x gx n+ + += = = Chúng ta đi chứng minh rằng 1 1 1( , ) ( , ), 1,2,...n n n nd x x d x x na+ - £ = (1.12) Thật vậy, từ (1.3.11) chúng ta có 2 2 2 1 2 3 2 2( , ) ( , )n n n nd x x d fx gx ua+ + + += ³ với 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 { ( , ), ( , ), ( , )} { ( , ), ( , )} n n n n n n n n n n u d x x d x x d x x d x x d x x + + + + + + + + + + Î = Mà 1a > nên ta suy ra 2 3 2 2( , )n nu d x x+ += và do đó 2 3 2 2 2 2 2 1 1( , ) ( , )n n n nd x x d x xa+ + + + £ . Một cách tương tự, ta chứng minh được rằng 2 2 2 1 2 1 2 1( , ) ( , )n n n nd x x d x xa+ + + £ . Vậy 1.3.12 đúng nên suy ra dãy { }nx là dãy Cauchy và vì thế { }nx hội tụ về x XÎ khi n ® ¥ . Mặt khác, vì f, g là liên tục nên ta suy ra 2 2 1 2 1 2 2,n n nx n fx fx x gx gx+ + += ® = ® . Mà chúng ta biết giới hạn là duy nhất nên ta có x fx gx= = và ( ) ( ) 0F f F gÇ ¹ . 1.3.3.15 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ và lấy :f X X® là toàn ánh trên X. Giả sử rằng với 1a > và với mọi , ,x y X x yÎ ¹ thì tồn tại ( , ) { ( , ), ( , ), ( , )}u x y d x fx d y fy d x yÎ thỏa mãn ( , ) ( , )d fx fy u x ya³ (1.13) Khi đó f có 1 điểm bất động và có tính chất (P). Chứng minh. Đặt g f= trong định lý 1.3.3.15 ta có điều phải chứng minh. 1.4 Điểm bất động của một số ánh xạ không giãn. 1.4.1 Ánh xạ c – không giãn. 1.4.1.1 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian mêtric với P là nón và :f X X® . Khi đó, f được gọi là c – không giãn khi với mọi 0c thì ( ( ), ( )) ( , )d f x f y d x y£ với mỗi , , ( , )x y X d x y cÎ  Nếu ta có: ( ( ), ( )) ( , )d f x f y d x y< với mỗi , , , ( , )x y X x y d x y cÎ ¹  thì f được gọi là c – co 1.4.1.2 Định nghĩa. Cho P là nón trong không gian nón mêtric (X,d). Một điểm y Y XÎ Í được gọi là thuộc f – đóng của Y và được biểu diễn là fy YÎ nếu ( )f Y YÍ và có x YÎ và có 1 dãy tăng { }in NÍ thỏa mãn lim ( )i n i f x y ® ¥ = . 1.4.1.3 Định nghĩa. Cho không gian nón mêtric (X,d). Dãy { }ix XÍ được gọi là dãy c – đẵng cực nếu: ( , ) ( , )m n m k n kd x x d x x+ += với mọi , , ( , )m nk m N d x x cÎ < . Một điểm x XÎ được gọi là sinh dãy c – đẵng cực đối với ánh xạ :f X X® nếu { ( )}nf x là 1 dãy c – đẵng cực. 1.4.1.4 Định lý. Cho (X,d) là 1 không gian nón mêtric với nón chuẩn P và hằng số chuẩn K. Nếu :f X X® là c – không giãn với mỗi 0 c và fx YÎ . Khi đó, có 1 dãy tăng { }jm NÍ thõa mãn lim ( ) .j m j f x x ® ¥ = Chứng minh. Theo định nghĩa f – đóng nên fx YÎ , thì có y XÎ và 1 dãy { }in sao cho lim ( )in i f y x ® ¥ = . Nếu tồn tại m NÎ để ( )mf y x= . Đặt ( )j j jm n m n m= - > , là 1 dãy ta cần tìm. Khi đó dãy { }jm là 1 dãy thỏa mãn các tính chất mong muốn. Ngược lại, với 0> , cố định ,0d d< < . Chọn ,0c E cÎ  và || ||K c d< . Khi đó có ( )i i c= sao cho: ( , ( )) 4 in j cd x f y+  với mọi {0}j NÎ È . Vì f là c- không giãn và ta đặt j=0, chúng ta có: ( ( ), ( )) 4 i k i in n n k cd f x f y+ - + < với mọi k NÎ . Chính vì thế: ( ( ), ( )) ( , ( )) ( , ( )) 2 i i k i i kn n n n cd f y f y d x f y d x f y+ +£ +  với mọi k NÎ . Vậy: 1 1 1 1( , ( )) ( , ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 4 2 4 i i i i i i i in n n n n n n nd x f x d x f y d f y f y d f y f x c c c c + + + +- -£ + + < + + = Từ đó suy ra: 1|| ( , ( )) || || ||i in nd x f x K c d+ - £ < Đặt 1 1i im n n+= - và giả sử ta chọn 1 2 1... jm m m -< < < thỏa mãn: 11,... 1|| ( , ( )) || min || ( , ( )) || 2 i i m m m md x f y d x f y-=£ với 2,3,..., 1i j= - . Chúng ta đặt 1j l lm n n+= - , với l được chọn sao cho thỏa mãn ( , ( )) 4 l j cd x f y+  , với d được thay thế bằng 11,... 1min , min || ( , ( )) || 2 { } i m m m d x f yd -= Rõ ràng, dãy { }jm được xác định ở trên thì thỏa mãn các yêu cầu của định lý trên. Vậy định lý được chứng minh xong. 1.4.1.5 Định lý. Cho (X,d) là 1 không gian nón mêtric với nón chuẩn P và hằng số chuẩn K. Nếu :f X X® là c – không giãn, thì mỗi fx XÎ là sinh dãy c – đẵng cự. Chứng minh. Giả sử ngược lại có các số , ,k m n NÎ sao cho ( ( ), ( ))m nd f x f x c< và ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 0m n m k n kp d f x f x d f x f x+ += - ¹ Từ đó, p PÎ và 0 ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))m n m l n lp d f x f x d f x f x+ +< £ - với ,l k l N³ Î . Mà P là 1 nón chuẩn nên: || || . || ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ||m n m l n lp K d f x f x d f x f x+ +£ - (1.14) với ,l k l N³ Î . Mặt khác, từ điều giả sử và định lý 1.4.1.4, ta có: lim ( ( )) lim ( ) ( )j jn n ll l j j f f x f x f x+ ® ¥ ® ¥ = = Đặt || ||pd = và chọn c EÎ thỏa mãn 0 c và 2 1|| || ( )c K d< . Khi đó có i NÎ thỏa mãn ( ( ), ( )) ; ( ( ), ( )) 2 2 j jm n n nm nc cd f x f x d f x f x+ +  với mọi j i³ . Tuy nhiên ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 2 j j j j j j m n m n n nm n m n n m n n nn d f x f x d f x f x d f x f x cd f x f x c d f x f x + + + + + + £ + + + + Vì thế ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))j jm n n nm nd f x f x d f x f x c+ +-  Điều đó nghĩa là: 1|| ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) || || ||j jm n n nm nd f x f x d f x f x K c K d+ +- £ < điều này trái với 1.4.1, với max{ , }j in n k³ . Chính vì thế p=0 và chứng minh được hoàn tất. 1.4.2 Một số định lý ánh xạ co mở rộng 1.4.2.1 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian nón mêtric, hàm :f X X® được gọi là co địa phương nếu với mỗi x XÎ , tồn tại ,0c X cÎ  và 0 1l£ < thỏa: ( ( ), ( )) ( , )d f p f q d p ql£ với mỗi , { : ( , ) }p q y X d x y cÎ Î  Hàm số :f X X® được gọi là ( , )c l - co địa phương nếu nó co địa phương và cả c và l không phụ thuộc vào x Nhận xét: Một hàm co toàn cục thì sẽ co địa phương, nhưng chiều ngược lại thì không đúng. Chúng ta có thể xem xét ví dụ sau: Ví dụ: Cho 2E R= và 23( , ) | cos , sin ;0 2 ( , ) | , 0 { } { } X x y x t y t t R P x y E x y p= = = £ £ Í = Î ³ Và :d X X E´ ® xác định bởi ( , ) (| |, | |)d x y x y x ya= - - với hằng số 0a ³ . Rõ ràng ( , )X d là không gian nón mêtric. Giả sử ((cos ,sin )) (cos( ),sin( )) 2 2 t tf t t = . Khi đó f là ánh xạ co địa phương nhưng không co toàn cục. Chú ý: Mỗi hàm co địa phương đều là c-không giãn với mỗi 0c . 1.4.2.2 Định nghĩa. Với mỗi 0c , không gian nón mêtric (X,d) được gọi là thỏa điều kiện c – dây chuyền nếu mỗi ,a b XÎ , tồn tại 1 dãy hữu hàn n điểm (không phụ thuộc vào a, b) 0 1 2, , ,..., na x x x x b= = thỏa mãn 1( , ) ,1i id x x c i n- < £ £ . 1.4.2.3 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ c – dây chuyền. P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K. Nếu :f X X® là ( , )c b - co đều địa phương thì tồn tại 1 điểm bất động duy nhất , ( )z X f z zÎ = Chứng minh. Lấy 1 điểm x XÎ bất kỳ. Xét c dây chuyền 0 1, ,..., ( )nx x x x f x= = . Chúng ta có: 1 1 ( , ( )) ( , ) n i i i d x f x d x x nc- = £ <å và 1 1( ( ), ( )) ( , )i i i id f x f x d x x cb b- -£ < với mọi 1 i n£ £ . Cho nên 1 1 1 1( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ... m m m m m i i i id f x f x d f x f x cb b - - - -< < < (1.15) với mọi m NÎ . Suy ra: 1 1 1 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) n m m m m m i i i d f x f x d f x f x ncb+ - = £ <å với mọi m NÎ . Bây giờ, với , ,m p N m pÎ < , ta có: 1 1 1( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ... ) 1 mp m p i i m p i m d f x f x d f x f x nc nc bb b b - + - = £ < + + < -å Điều đó có nghĩa là: || ( ( ), ( )) || || || 1 m m pd f x f x n c b b £ - Với , ,m p N m pÎ < . Mà [0,1)b Î nên , lim || ( ( ), ( )) || 0m p m p d f x f x ® ¥ = . Do đó , lim ( ( ), ( )) 0m p m p d f x f x ® ¥ = hay { ( )}mf x là dãy Cauchy. Mà X là đầy đủ nên tồn tại z XÎ sao cho lim ( )m m f x z ® ¥ = . Mà vì f là liên tục nên ta suy ra ( )f z z= . Bây giờ, ta chứng minh rằng z là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại z X¢Î sao cho ( )f z z¢ ¢= . Chọn 0 1, ,..., lz x x x z¢= = là 1 c – dây chuyền. Từ 1.4.2, chúng ta có: 1 1 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) l l l l l l i i i d f z f z d f z f z d f x f x tcb- = ¢ ¢= £ <å Suy ra: || ( , ) || || ( ( ), ( )) || || ||ld z z d f z f z t cb¢ ¢= £ vì [0,1)b Î nên || ( , ) || 0d z z¢ = hay z z¢= . Vậy z là duy nhất. Định lý đã được chứng minh xong. 1.4.2.4 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ c – dây chuyền. P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K. Nếu g là song ánh, ( , )c l - hàm giãn đều địa phương từ Y vào X, với Y XÍ , thì g có 1 điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Áp dụng định lý 1.4.2.3 cho hàm 1f g -= Những định lý sau chúng ta sẽ xem xét 1 loại hàm mà không cần điều kiện co nhưng chúng vẫn có điểm bất động duy nhất. Nhưng trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh bổ đề sau: 1.4.2.5 Bổ đề. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K. :f X X® là hàm liên tục, và [0,1)b Î sao cho x X" Î , tồn tại ( )n x NÎ thõa mãn: ( ) ( )( ( ), ( )) ( , )n x n xd f x f y d x yb£ với mọi y XÎ . Khi đó, với mọi ( ), ( ) sup || ( ( ), ) ||n x n x X r x d f x xÎ = là hữu hạn. Chứng minh. Lấy x XÎ và ( ) {|| ( ( ), ) ||: 1,2,..., ( )}jl x max d f x x j n x= = . Nếu n NÎ và ( )n n x> thì dễ tìm được {0}x NÎ È sao cho . ( ) ( 1). ( )s n x n s n x< £ + và ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ( ), ) ( ( ( ), ( )) ( ( ), ) ( ( ), ( )) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ( ), ( )) ( ( ), )) ( ( ), ) ( ( ( ), ) ( ( ), )) ... n n x n n x n x n x n n x n x n x n x n n x n x n x n x n n x n x d f x x d f f x f x d f x x d f x f x d f x x d f x x d f x f x d f x x d f x x d f x x d f x x d b b b b - - - - £ + £ + £ + + £ + + £ £ ( ) 2( ( ), )(1 ... )n x sf x x b b b+ + + + Từ đó suy ra: ( )1 1|| ( ( ), || || ( ( ), || ( ) 1 1 n n xd f x x K d f x x K l x b b £ £ - - Suy ra ( )r x là hữu hạn và định lý được chứng minh xong. 1.4.2.6 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K. :f X X® là hàm liên tục, và [0,1)b Î sao cho x X" Î , tồn tại ( )n x NÎ thõa mãn: ( ) ( )( ( ), ( )) ( , )n x n xd f x f y d x yb£ với mọi y XÎ . Khi đó, f có 1 điểm bất động duy nhất u XÎ và 0 0lim ( ) , n n f x u x X ® ¥ = " Î . Chứng minh. Trong X lấy bất kỳ điểm 0x và 0 0( )m n x= . Ta xác định dãy sau: 0 1 0 1( ), ( )i m m i ix f x x f x+= = với ( )i im n x= . Chúng ta sẽ chứng minh dãy trên là dãy Cauchy. Thật vậy, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ( , ) ( ( ( ), ( ))) ( ( ), ) ... ( ( ), ) n n n n n m m m n n n n m n n mn d x x d f f x f x d f x x d f x x b b - - + - - - - = £ £ £ Với mọi n NÎ . Vì thế theo bổ đề 1.4.2.5, ta có: 1 0|| ( , ) || ( ) n n nd x x K r xb+ £ với mọi n NÎ . Bây giờ, giả sử rằng , ,m n N m nÎ < , chúng ta có: 1 1 0|| ( , ) || | | ( , ) || ( )1 nn n m i i i m d x x K d x x K r xb b - + = £ £ -å Vì lim( / (1 )) 0n n b b ® ¥ - = nên lim || ( , ) || 0n mn d x x® ¥ = . Từ đó, suy ra { }nx là dãy Cauchy. Đặt lim nu x= , mà X là đầy đủ nên từ đó suy ra u XÎ . Tiếp theo ta cần chứng minh rằng ( )f u u= . Giả sử ngược lại, tức là ( )f u u¹ . Chúng ta sẽ lấy được ,c d EÎ sao cho 0 ,0c d  và ( ), ( ( ))c dB u B f u không giao nhau, với ( ) { : ( , ) }eB x y X d x y e= Î  , với mỗi ,0x X eÎ  . Thật vậy, nếu không thì giả sử rằng 0> và chọn ,0c E cÎ  và || ||K c < . Khi đó, 0 2 c  và với /2 /2( ) ( ( ))c cz B u B f uÎ Ç , chúng ta có: ( , ( )) ( , ) ( , ( ))d u f u d u z d z f u c£ +  Suy ra || ( , ( )) || || ||d u f u K c£  bất kỳ nên || ( , ( )) || 0d u f u = hay ( )f u u= (trái với giả sử). Như vậy, ta lấy được ,c d EÎ như trên. Vì f liên tục nên tồn tại 0n NÎ sao cho ( )n cx B uÎ và ( ) ( ( ))n df x B f uÎ với mọi 0,n N n nÎ ³ . Khi đó: 1 1 1 1 1 1 0 0 ( ( ), ) ( ( ( )), ( )) ( ( ), ) ... ( ( ), ) n nm m n n n n n n d f x u d f f x f x d f x x d f x xb b - - - - - - = £ £ £ với mọi n NÎ . Suy ra 0 0|| ( ( ), ) || || ( ( ), ) || n n nd f x x K d f x xb£ với mọi n NÎ . Do đó lim ( ( ), ) 0n nn d f x x® ¥ = , ta gặp mẫu thuẫn. Vậy ( )f u u= . Chứng minh duy nhất. Giả sử 0x XÎ bất kỳ. Đặt 0 0max{|| ( ( ), ) ||: 0,1,..., ( ) 1} mr d f x u m n u= = - . Nếu n đủ lớn thì ( )n rn u q= + , với 0,0 ( )r q n u> £ < , và ta có: ( ) ( ) 0 0 ( 1) ( ) 0 0 ( ( ), ) ( ( ), ( )) ( ( ), ) ... ( ( ), ) n rn u q n u r n u q r p d f x u d f x f u d f x u d f x ub b + - + = £ £ £ Suy ra: 0 0 0|| ( ( ), ) || || ( ( ), ) || n r p rd f x u K d f x u K rb b£ £ Do đó, 0lim || ( ( ), ) || 0 n n d f x u ® ¥ = và vì thế 0lim ( ) n n f x u ® ¥ = . Vậy định lý đã được chứng minh. 1.4.2.7 Định nghĩa. Cho X là không gian có thứ tự. Hàm : X Xj ® được gọi là hàm so sánh nếu với mọi , ,x y X x yÎ £ thì suy ra ( ) ( ), ( )x y x xj j j£ £ và lim || ( ) || 0n n xj ® ¥ = với mọi x XÎ . 1.4.2.8 Ví dụ: Cho 2 , {( , ) | , 0}E R P x y E x y= = Î ³ . Gọi : E Ej ® với ( , ) ( , )x y ax ayj = với (0,1)a Î . Khi đó j là 1 hàm so sánh. Mặt khác, ta cũng có: Nếu 1 2,j j là 2 hàm so sánh trên R thì hàm 1 2( , )j j j= cũng là hàm so sánh trên E. 1.4.2.9 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K. :f X X® là hàm sao cho tồn tại hàm so sánh : P Pj ® sao cho thỏa mãn bất đẳng thức: ( ( ), ( )) ( ( , ))d f x f y d x yj£ với mọi ,x y XÎ . Khi đó f có 1 điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Lấy bất kỳ 0x XÎ . Ta có: 1 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 ( ( ), ( )) ( ( ( ), ( ))) ( ( ( ), ( ))) ... ( ( , ( ))) n n n n n n n d f x f x d f x f x d f x f x d x f x j j j + - - - £ £ £ £ với mọi n NÎ . Vì 0 0lim || ( ( ), ( )) || 0 n n d x f xj ® ¥ = , vậy với mọi 0> , chúng ta chọn 0n NÎ sao cho 1 0 0 ( || ( ) ||)|| ( ( ), ( )) ||n n K cd f x f x K j+ -<  với mọi 0n n³ và c PÎ với: 1 0 02 1|| || , || ( ) || || ( ( ( ), ( ))) ||n nc c d f x f x K K j j +< ³ với mọi 0n n³ , ta có: 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) n n n n n nd f x f x d f x f x d f x f x+ + + +£ + Vì thế 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 || ( ( ), ( )) || || ( ( ), ( )) || || ( ( ), ( )) || ( || ( ) ||) || ( ( ( ), ( ))) ||( ) n n n n n n n n d f x f x K d f x f x K d f x f x K cK K d f x f x K j j + + + + + £ + -< + £   Bây giờ, với mọi 0n n³ , ta có: 3 1 1 3 0 0 0 0 0 0( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) n n n n n nd f x f x d f x f x d f x f x+ + + +£ + Vì 1K ³ nên ta suy ra: 3 1 1 3 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 || ( ( ), ( )) || || ( ( ), ( )) || || ( ( ), ( )) || ( || ( ) ||) || ( ( ( ), ( ))) ||( ) n n n n n n n n d f x f x K d f x f x K d f x f x K cK K d f x f x K j j + + + + + £ + -< + £   Bằng quy nạp, ta suy ra 0 0|| ( ( ), ( )) || n n rd f x f x+ < , với mọi 0,r N n nÎ ³ . Chính vì thế dãy 0{ ( )} nf x là dãy Cauchy trong (X,d) đầy đủ nên tồn tại *x sao cho * 0lim ( ) . n n f x x ® ¥ = Bây giờ, ta đi chứng minh * *( )f x x= . Thật vậy, vì *0lim ( ) n n f x x ® ¥ = , với mọi 0c tồn tại cn NÎ sao cho với mọi 0n n³ , ta có * 0( ( ), ) nd f x x c< . Do đó: * * * 1 * 0 0 * 1 * 0 0 * 1 * 0 0 ( , ( )) ( , ( )) ( ( ( )), ( )) ( , ( )) ( ( ( ), )) ( , ( )) ( ( ), ) 2 n n n n n n d x f x d x f x d f f x f x d x f x d f x x d x f x d f x x c j + + + £ + £ + £ + < với mọi 0c . Vì thế * *( )f x x= . Ta đi chứng minh tính duy nhất. Giả sử rằng tồn tại *y XÎ sao cho * *( )f y y= . Vì thế: * * * * * *( , ) ( ( ), ( )) ( ( , ))n n nd x y d f x f y d x yj= £ Suy ra: * * * *|| ( , ) || || ( ( , )) ||nd x y K d x yj£ Vì * *lim || ( ( , )) || 0n n d y xj ® ¥ = , suy ra * *x y= . Vậy định lý đã được chứng minh. 1.4.2.10 Ứng dụng. Xét phương trình tích phân ( ) ( , , ( )) ( ), [ , ]b a x t k t s x s ds g t t a b= + Îò Giả sử rằng: i. :[ , ] [ , ] :[ , ],n n nk a b a b R R g a b R´ ´ ® ® ii. ( , ,.) : n nk t s R R® là hàm tăng với mọi , [ , ]t s a bÎ iii. Tồn tại hàm liên tục :[ , ] [ , ]p a b a b R+´ ® và 1 hàm so sánh 2 2: R Rj ® sao cho: (| ( , , ) ( , , ) |, | ( , , ) ( , , ) |) ( ( , ), ( , )) ( ( , ))d t s u k t s v d t s u k t s v p t s p t s d u va a j- - £ với mọi , [ , ], , nt s a b u v RÎ Î . iv. [ , ] sup ( ( , ), ( , )) 1 b i a b a p t s p t s dsa Î =ò Khi đó phương trình tích phân trên có điểm bất động duy nhất *x trong ([ , ], )nC a b R 1.5 Định lý Kirk- Caristi 1.5.1 Định nghĩa. P được gọi là nón minihedral nếu với mọi ,x y EÎ thì tồn tại { , }sup x y . Và được gọi là nón minihedral mạnh nếu mỗi tập con bị chặn trên của E đều có sup. Ta nói rằng mỗi nón minihedral mạnh đều là nón chính quy. 1.5.2 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian nón mêtric và A XÌ . A được gọi là compact theo dãy nếu mọi dãy { }nx trong A thì có dãy con { }knx của { }nx hội tụ trong A. Chú ý. Không gian nón (X,d) là 1 không gian tô pô nên tập A XÎ là compact theo dãy nếu và chỉ nếu A là compact. 1.5.3 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian nón mêtric và C XÎ . 1. Hàm : C Ej ® được gọi là nữa liên tục dưới trên C nếu mọi dãy { }nx CÎ . lim ( ) lim inf ( )n nn nx x x xj j® ¥ ® ¥= Þ £ 2. Ánh xạ :T C C® thỏa: ( , ) ( ) ( ),d x Tx x Tx x Xj j£ - " Î (1.16) thì T được gọi là ánh xạ Caristi trên (X,d). Tiếp theo ta nêu các bổ đề cần thiết cho việc chứng minh định lý Carista. 1.5.4 Mệnh đề. Nếu { }nc là 1 dãy giảm và hội tụ đến u thì inf{ : }nu c n N= Î . Chứng minh: Vì { }nc là dãy giảm nên m nc c P- Î với mọi n m³ và m n mc c c u- ® - với mọi m. Mặt khác vì P là đóng nên suy ra mu c£ với mọi m, hay u là 1 chặn dưới. Để thấy u là chặn dưới lớn nhất của { }nc ta lấy v EÎ sao cho mc v³ với mọi m. Vậy ( ) ( )mc v u v- ® - và tính đóng của P nên ta suy ra u v P- Î , tức là u v³ . Vậy inf{ : }nu c n N= Î 1.5.5 Bổ đề. Cho (X,d) là không gian nón mêtric compact, P là nón minihedral mạnh, và : X P Ej ® Î là hàm nữa liên tục dưới thì j đạt giá trị nhỏ nhất trên X. Chứng minh: Vì P là nón minihedral mạnh nên ta có thể lấy inf{ ( ) : }u x x Xj= Î . Với mọi n NÎ , tồn tại nx XÎ thỏa ( )n cx u n j -  với c intPÎ . Vì X là compact nên dãy { }nx có 1 dãy con { }ny hội tụ. Đặt lim ny y= , vậy theo định nghĩa nữa liên tục dưới và mệnh đề 5.4 thì ta có: ( ) lim inf ( ) lim inf( )nn n cy y u u n j j ® ¥ ® ¥ £ + = Như vậy theo định nghĩa u, sẽ tồn tại 0x sao cho 0( ) ( )x xj j£ với mọi x XÎ . Vậy bổ đề được chứng minh. 1.5.6 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric, C là tập con compact của X, P là nón minihedral mạnh, và : X P Ej ® Î là hàm nữa liên tục dưới. Khi đó mỗi ánh xạ Carista :T C C® có 1 điểm cố định trong X. Chứng minh: Theo bổ đề 5.5 thì j đạt giá trị nhỏ nhất trên C, giả sử tại u CÎ . Vì u là giá trị nhỏ nhất của j nên ta có ( ) ( )Tu uj j³ . Ta có: 0 ( , ) ( ) ( ) 0d u Tu u Tuj j£ £ - £ Suy ra ( , ) 0d u Tu = hay Tu u= . 1.5.7 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón minihedral mạnh, và : X P Ej ® Î là hàm nữa liên tục dưới. Khi đó mỗi ánh xạ Carista :T C C® có 1 điểm cố định trong X. Chứng minh. Gọi K là hằng số chuẩn trong nón P. Đặt ( ) { : ( , ) ( ) ( )}S x z X d x z x zj j= Î £ - và ( ) inf{ ( ) : ( )}x z z S xa j= Î với mọi x XÎ . Rõ rằng ( )S x ¹ Æ vì ( ),0 ( ) ( )x S x x xa jÎ £ £ . Lấy x XÎ và cố định lại. Đặt 1x x= và ta xây dựng 1 dãy 1 2, ,..., ,...nx x x như sau: Đặt 1 ( )n nx S x+ Î và thỏa 01( ) ( )n n cx x n j a+ £ + với 0 ( )c int PÎ ¹ Æ. Từ cách đặt đó, ta có: i. 1 1( , ) ( ) ( )n n n nd x x x xj j+ +£ - ii. 01( ) ( ) ( )n n n cx x x n a j a+£ £ + với mọi 1n ³ . Từ (i), ta suy ra dãy { ( )}nxj là 1 dãy giảm trong E, cho nên nó hội tụ (vì P là nón chính quy). Do đó, với mọi 0e > , tồn tại Ne sao cho với mọi ,n m Ne> thì || ( ) ( ) ||m nx x K ej j- < . Áp dụng bất đẵng thức tam giác, ta có: 1 1( , ) ( , ) ( ) ( ) m n m j j n m j n d x x d x x x xj j - + = £ £ -å (1.17) Lấy chuẩn 2 vế, ta được: || ( , ) || || ( ) ( ) || .n m n md x y K x x K K ej j e£ - < = Suy ra: || ( , ) || 0n md x y ® hay dãy { }nx là dãy Cauchy trong X, mà X là đầy đủ nên dãy hôi tụ trong X, giả sử hội tụ về y. Từ 1.5.2 nên ( ) ( ) ( , )n m m nx x d x x Pj j- - Î và ( ) ( ) ( , )m n m nx x d x xj j£ - với mọi m n³ . Mà j là hàm nữa liên tục dưới nên ta có: ( ) lim inf ( ) lim inf[ ( ) ( , )] ( ) ( , ) m m n m n n nm y x x d x x x d x yj j j j ® ¥ ® ¥ £ £ - = - với mọi 1n ³ . Do đó: 0 ( , ) ( ) ( )n nd x y x yj j£ £ - với mọi 1n ³ . Vì thế ( ), ( ) ( )n ny S x x yj jÎ £ với mọi 1n ³ . Mặt khác, từ (ii) ta có: : lim ( ) lim ( )n nn nx xa a j® ¥ ® ¥= = (1.18) Vì thế ( )nxa j£ với mọi 1n ³ . Mặt khác, vì j là hàm nữa liên tục dưới, nên từ 1.5.3 ta có: ( ) lim inf ( )nny xj j a® ¥£ = Vậy ( )ya j= Ta có: ( )ny S xÎ với mọi 1n ³ và ( )Ty S yÎ nên: ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nd x Ty d x y d y Ty x y y Ty x Tyj j j j j j£ + £ - + - = - Do đó, ( )ny S xÎ với mọi 1n ³ , tức là ( ) ( )nx Tya j£ với mọi 1n ³ . Theo cách đặt (1.5.3), ta có: ( )Tyj a³ . Mặt khác từ (1.5.1) ta có ( ) ( ), ( )Ty y yj j j a£ = nên: ( ) ( ) ( )y Ty yj a j j= £ £ Do vậy ( ) ( )Ty yj j= . Kết hợp với (1.5.1) chúng ta có Ty y= . 1.5.8 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón minihedral mạnh, và : X P Ej ® Î là hàm nữa liên tục dưới. Nếu j bị chặn dưới thì tồn tại y XÎ thõa mãn: ( ) ( ) ( , ) ,y x d y x x X x yj j< + " Î ¹ Chứng minh: Do định lý (1.5.7) thì ta chỉ cần chứng minh rằng ( )x S yÏ với mọi x y¹ , trong đó y là điểm được chứng minh trong định lý (1.5.7). Giả sử trái lại, nghĩa là tồn tại , ( )z y z S y¹ Î . Thì ta có: 0 ( , ) ( ) ( )d y z y zj j< £ - hay ta có: ( ) ( )z yj j a< = . Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta được: ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nd x z d x y d y z x y y z x zj j j j j j£ + £ - + - = - Suy ra ( )nz S xÎ , vì thế ( ) ( )nx ya j£ với mọi 1n ³ . Cho n ® ¥ 2 vế, ta được: ( )za j£ . Điều này trái với giả thiết ( ) ( )z yj j a< = . Vì vậy, với mọi ,x X x yÎ ¹ thì ( )x S yÏ hay ( , ) ( ) ( )x y d y x y xj j¹ Þ > - 1.5.9 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón minihedral mạnh, và : X P Ej ® Î là hàm nữa liên tục dưới. Giả sử rằng với mọi x XÎ , thì hàm xd là liên tục trên X và  là họ các ánh xạ :f X X® . Nếu tồn tại hàm nữa liên tục dưới : X Pj ® thỏa: ( , ( )) ( ) ( ( )), ,d x f x x f x x X fj j£ - " Î " Î  (1.19) Khi đó với mọi x XÎ tồn tại 1 điểm bất động chung u của  thỏa: ( , ) ( )d x u x sj£ - với inf{ ( ) : }s x x Xj= Î . Chứng minh. Gọi K là hằng số chuẩn của nón chuẩn minihedral mạnh P. Vì P là nón minihedral mạnh nên inf{ ( ) : }s x x Xj= Î là tồn tại. Đặt ( ) { : ( , ) ( ) ( )}, ( ) { ( ) : ( )}S x z X d x y x z x x z S xj j a j= Î £ - = Î với mọi x XÎ . Ta có ( )S x ¹ Æ vì ( ),0 ( ) ( )x S x x xa jÎ £ £ . Lấy x XÎ và cố định, đặt 1 :x x= và xây dựng dãy { }nx như trong phần chứng minh của định lý (1.5.7), 1 ( )n nx S x+ Î và thỏa 01( ) ( )n n cx x n j a+ £ + với 0 ( )c PÎ ¹ Æò . Từ cách đặt đó, ta có: i. 1 1( , ) ( ) ( )n n n nd x x x xj j+ +£ - ii. 01( ) ( ) ( )n n n cx x x n a j a+£ £ + với mọi 1n ³ . Tương tự trong chứng minh định lý (1.5.7), , từ (ii) ta có: : lim ( ) lim ( )n nn nx xa a j® ¥ ® ¥= = (1.20) Theo cách chứng minh trong định lý (1.5.7), ta có { }nx là dãy Cauchy hội tụ về y XÎ và ( )yj a= . Chúng ta cần chứng minh rằng ( )f y y= với mọi f Î  . Giả sử trái lại có f Î  mà ( )f y y¹ . Thì theo (1.5.4), với x = y ta có ( ( )) ( )f y yj j a< = . Mặt khác, theo cách đặt a , tồn tại n NÎ sao cho ( ( )) ( )nf y xj a< . Mà ( )ny S xÎ nên: ( , ( )) ( , ) ( , ( )) [ ( ) ( )] [ ( ) ( ( ))] ( ) ( ( )) n n n n d x f y d x y d y f y x y y f y x f y j j j j j j £ + £ - + - = - Từ đó suy ra ( ) ( )nf y S xÎ . Do đó ( ) ( ( ))nx f ya j£ (trái với điều kiện ( ( )) ( )nf y xj a< ). Vậy ( )f y y= với mọi f Î  . Và vì ( )ny S xÎ , ta có: ( , ) ( ) ( ) ( ) inf{ ( ) : } ( )n n nd x y x y x z z X x sj j j j j£ - £ - Î = - Như vậy ta có điều phải chứng minh. 1.5.10 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ, A là 1 tập hợp, :g A X® là toàn ánh và { }f= là họ các ánh xạ :f A X® . Nếu tồn tại hàm nữa liên tục dưới : X Pj ® thỏa mãn ( ( ), ( )) ( ( )) ( ( )),d g a f a g a f a fj j£ - " Î  và mỗi a AÎ thì g và  có 1 điểm trùng chung, tức là với mỗi , ( ) ( )b A g b f b fÎ = " Î  . Chứng minh. Lấy điểm x bất kỳ và y XÎ như trong định lý (1.5.7). Vì g là toàn ánh nên với mọi x XÎ thì tồn tại ( )a a x= sao cho ( )g a x= . Lấy f Î  là 1 ánh xạ cố định. Từ f ta định nghĩa :h X X® với ( ) ( )h x f a= , với ( ), ( )a a x g a x= = . Gọi H là học các ánh xạ ( )h h f= . Từ (1.5.6), ta có: ( , ( )) ( ) ( ( )),d x y x x h x h Hj j£ - " Î Vậy theo định lý (1.5.7) thì ( )y h y= với mọi h HÎ . Vì thế ( ) ( )g b f b= với mọi f Î  với ( ), ( )b b y g b y= = Chương 2 Điểm bất động trong không gian nón – chuẩn Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra 2 định lý điểm bất động. Kết quả đầu tiên là sự mở rộng của định lý Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn. Thứ hai là 1 dạng của định lý Darbo – Sadovskii liên quan với độ đo phi compact với giá trị trong nón. 2.1 Một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn Cho ( ,|| . ||)E là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K ( định nghĩa trong 1.1.4). ta nhắc lại 1 số định nghĩa. Một ánh xạ :A M E EÌ ® được gọi là dương nếu ( ) 0A x ³ với mọi , 0x M xÎ ³ và được gọi la tăng nếu , ,x y M x yÎ £ suy ra ( ) ( )A x A y£ . Dễ thấy rằng, nếu :A E E® là tuyến tính và dương thì nó là tăng. 2.1.1 Bổ đề. Cho không gian Banach ( ,|| . ||)E được sắp thứ tự bởi nón K và *|| . || là hàm Minkowskii của tập [ (0,1) ] [ (0,1) ]B K B K- Ç + . Khi đó: 1. *|| . || là 1 chuẩn thỏa *|| || || ||u u£ với mọi ,u E O u vÎ £ £ suy ra *|| || || ||u u£ . 2. Nếu K là chuẩn thì *|| . || ~|| . || Do bổ đề trên ta xem K=1 trong định nghĩa 1.1.4. Chúng ta có thể tham khảo chứng minh này trong nhiều tài liệu khác. 2.1.2 Định nghĩa. Cho không gian Banach ( ,|| . ||)E được sắp xếp bởi nón K và X là không gian vectơ thực. 1. Ánh xạ :p X E® được gọi là chuẩn nón ( hay K – chuẩn) nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau: • ( ) 0p x ³ với mọi x XÎ và ( ) 0Ep x = nếu và chỉ nếu 0Xx = , với 0 ,0E X là 2 vectơ không lần lượt trong E và X • ( ) | | ( ), ,p x p x x X Rl l l= " Î Î • ( ) ( ) ( )p x y p x p y+ £ + với mọi ,x y XÎ Nếu p là chuẩn nón trong X thì (X, p) được gọi là không gian nón chuẩn (hay không gian K – chuẩn) 2. Trong không gian nón chuẩn (X, p), chúng ta định nghĩa: lim lim ( ) 0n nn nx x p x x® ¥ ® ¥= Û - = Tập A XÌ được gọi là tập đóng nếu với mọi { } ,limn nx A x x x AÌ = Þ Î . Họ các tập hợp { }G XÌ với X G là tập đóng là 1 tô pô trên X và nó được gọi là tô pô của (X,p) 3. Chúng ta gọi không gian nón chuẩn (X,p) là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nếu với mọi dãy 1 1 { } , ( )n n n n x X p x x ¥ + = Ì -å hội tụ trong E thì dãy { }nx hội tụ trong (X,p). 2.1.3 Bổ đề. Cho không gian Banach ( ,|| . ||)E được sắp thứ tự bởi nón K với hằng số chuẩn bằng 1 và (X,p) là không gian K – chuẩn. Khi đó, ánh xạ :q X R® với ( ) || ( ) ||q x p x= là 1 chuẩn trên X, có các tính chất sau: 1. Tô pô của (X,p) trùng với tô pô của (X,q). 2. Nếu (X,p) là đẩy đủ theo nghĩa Weierstrass thì (X,q) là đầy đủ. Chứng minh: Thật vậy, q là 1 chuẩn trong X và lim nn x x® ¥ = trong (X,p) nếu và chỉ nếu lim nn x x® ¥ = trong (X,q). Chính vì thế, tập hợp A XÌ là tập đóng trong (X,p) nếu và chỉ nếu nó đóng trong (X,q) và do đó tính chất (1) đúng. Để chứng minh tính đầy đủ của (X,q), chúng ta xét dãy { }nx XÌ thỏa 1 ( )n n q x ¥ = < ¥å và chúng ta cần chứng minh chuỗi 1 n n x ¥ = å hội tụ trong (X,p). Thật vậy, chúng ta đặt: 1 2 ...n ns x x x= + + + thì 1 1 1 | | ( ) || ( )n n n n n p s s q x ¥ ¥ - = = - = < ¥å å Suy ra 1 1 ( )n n n p s s ¥ - = -å hội tụ trong ( ,|| . ||)E . Vậy (X,p) là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên dãy { }ns hội tụ trong (X,p) và trong (X,q). 2.1.4 Định lý. Cho không gian Banach E được sắp bởi nón K với hằng số chuẩn K=1, (X,p) là không gian K – chuẩn đầy đủ theo nghĩa Weierstrass và C là 1 tập lồi đóng bị chặn trong (X, p). Xét 2 ánh xạ , :S T C X® thỏa mãn các điều kiện: i. ( ) ( )T x S y C+ Î với mọi ,x y CÎ ii. S là hoàn toàn liên tục và tồn tại 1 toán tử tuyến tính liên tục dương :Q E E® với bán kính phổ ( ) 1r Q < thỏa ( ( ) ( )) [ ( )]p T x T y Q p x y- £ - với mọi ,x y CÎ . Khi đó, toán tử T S+ có 1 điểm bất động trong C. Chứng minh. Trong X chúng ta sử dụng chuẩn q được định nghĩa trong bổ đề 2.1.3. Vì ( ) 1r Q < nên 1 0 ( ) n n I Q Q ¥ - = - =å là toán tử tuyến tính dương. Với mỗi y CÎ , chúng ta xét toán tử: ( ) ( ) ( )yT x T x S y= + . Rõ ràng ( )yT C CÌ và [ ( ) ( )] [ ( )], ,n n ny yp T x T x Q p x x x x C¢ ¢ ¢- £ - Î Theo tính chuẩn của nón K, ta có: [ ( ) ( )] || || ( ), ,n n ny yq T x T x Q q x x x x C¢ ¢ ¢- £ - Î Chính vì thế, nếu ta lấy n đủ lớn thì nyT là co và yT có điểm bất động duy nhất trong C. Bây giờ, ta định nghĩa: :F C C® là toán tử thỏa mãn ( )F y là điểm bất động của yT . Khi đó, với mọi điểm bất động của F thì nó cũng là điểm bất động của T S+ . Chúng ta sẽ chứng minh rằng F là hoàn toàn liên tục. Thật vậy, với ,y y C¢Î , đặt ( ), ( )x F y x F y¢ ¢= = thì: ( ) ( ), ( ) ( )x T x S y x T x S y¢ ¢ ¢= + = + và do đó ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] p x x p T x T x p S y S y Q p x x p S y S y ¢ ¢ ¢- £ - + - ¢ ¢£ - + - (2.1) Vì 1( )I Q -- là tăng nên từ 2.1.1 ta suy ra rằng: 1( ) ( ) ( [ ( ) ( )])p x x I Q p S y S y-¢ ¢- £ - - Lấy tính chuẩn của nón K, suy ra: 1[ ( ) ( )] || ( ) || . [ ( ) ( )]q F y F y I Q q S y S y-¢ ¢- £ - - Vậy từ 2.1.2 và tính hoàn toàn liên tục của S, chúng ta suy ra F là hoàn toàn liên tục. Theo định lý Schauder thì F có điểm cố định trong C. Vậy định lý đã được chứng minh. 2.2 Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng. Chúng ta nhắc lại 1 số định nghĩa liên quan sau: (xem [1]) 2.2.1 Định nghĩa. Gọi ( ,|| . ||)E là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và X là không gian Banach. A là họ các tập con bị chặn thỏa nếu AWÎ thì ( )co AWÎ . Ánh xạ: : A Kj ® được gọi là độ đo phi compact nếu: [ ( )] ( ),co Aj jW = W " WÎ (2.3) Độ đo phi compact j được gọ là: 1. chính quy nếu ( ) 0j W= Û W là compắc tương đối. 2. không kỳ dị nếu { }x AÎ và ({ }) 0xj = với mọi x XÎ 3. đơn điệu nếu 1 2WÌ W thì 1 2( ) ( )j jW £ W 4. nữa cộng tính nếu 1 2 1 2( ) max{ ), ( )}j jWÈW = W W với mọi 1 2, AW WÎ thỏa mãn 1 2 AWÈWÎ . 5. semihomogenous nếu ( ) | | ( )t tj jW= W với ,t AW WÎ 6. tuyến tính dưới nếu 1 2 1 2( ) ( ) ( )j j jW+W £ W + W với mọi 1 2, AW WÎ thỏa mãn 1 2 AWÈWÎ . 7. bất biến đối với tịnh tiến nếu ( ) ( )xj j+W= W với , x AW +WÎ 8. liên tục nếu 0, , 0 : , ( , ) || ( ) ( ) ||A Ae d r d j j e¢ ¢ ¢" > " WÎ $ > " WÎ WW< Þ W - W < với r là mêtric Hausdorff, được định nghĩa như sau: 1 2 1 2 2 1( , ) inf{ 0 : , }B Br e e eW W = > W+ ÉW W + ÉW với { :|| || 1}XB x X x= Î < 2.2.2 Ví dụ. Xét không gian Banach ( ,|| . ||)Y và độ đo phi compact có giá trị thực j được định nghĩa trên các tập con bị chặn của Y. Trong ([ , ]; )X C a b Y= , chúng ta xét chuẩn || || sup{| ( ) |: [ , ]}x x t t a b= Î . Với mỗi tập con bị chặn XWÌ ta ký hiệu ( ) { ( ) : }t x t tW = Î W và định nghĩa hàm: ( ) :[ , ]c a b Rj W ® xác định bởi ( )( ) [ ( )]c t tj jW = W Rõ ràng nếu độ đo j là liên tục và XWÌ là đẵng liên tục thì hàm ( )cj W là liên tục, từ đó tồn tại 1 ánh xạ cj từ họ A của tập con đồng liên tục của X vào nón của những hàm không âm trong ([ , ], )C a b R . Và dễ dàng chứng minh rằng cj thỏa mãn điều kiện 2.2.1 và nếu j có một tính chất nào đó của định nghĩa trên thì cj có tính chất tương tự. 2.2.3 Định nghĩa. Gọi X là không gian Banach và : 2XA Kj Ì ® là 1 độ đo phi compact có giá trị trong nón. Ánh xạ :f D X XÌ ® được gọi là cô đặc nếu , , ( ) , [ ( )] ( )D A f A fj jWÌ WÎ WÎ W ³ W thì W là compact tương đối. 2.2.4 Định lý. Giả sử rằng : 2XA Kj Ì ® là 1 độ đo phi compact có giá trị trong nón có tính chất: ({ | 1}) ({ | 2})n nx n x nj j³ = ³ với mọi { }nx AÎ và :f M X MÌ ® là 1 ánh xạ cô đặc. Khi đó, f có 1 điểm bất động trong M. 2.2.5 Định lý. Cho E là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K, X là không gian Banach, 1 ánh xạ : 2XA Kj Ì ® là 1 độ đo phi compact có tính chất 2.2.2. Giả sử f là hàm liên tục xác định trên M XÌ , giả sử rằng tồn tại 1 toán tử tăng :A K K® thỏa mãn: [ ( )] [ ( )]f Aj jW £ W nếu , ( )A f AWÌ WÎ và lim ( ) 0n En A x x K® ¥ = " Î . Khi đó f có 1 điểm bất động trong M. Chứng minh. Áp dụng định lý 2.2.4, ta chỉ cần chứng minh rằng f là cô đặc. Xét tập con MWÌ sao cho , ( )A f AWÎ WÎ và [ ( )] ( )fj jW ³ W, chúng ta cần chứng minh W là tập compact tương đối. Thật vậy, đặt 0 ( )x j= W chúng ta có: 0 00 [ ( )] [ ( )] [ ]x f A A xj j£ £ W £ W = Vì A là toán tử tăng nên ta suy ra rằng 0 0( ) nx A x£ với mọi n thuộc N. Từ đó ta có 0 0x = , do j là độ đo phi compact chính quy nên W là tập compact tương đối. Chúng ta sẽ xét 1 ví dụ sau: 2.2.6 Ví dụ. Cho ( ,| . |)Y là không gian Banach và j là độ đo phi compact có giá trị thực xác định trên các tập con bị chặn của Y và có tính chất 1, 5-8 trong định nghĩa 2.2.1. Gọi 0:[0, ] ( , )f b B x r R Y Y´ Ì ´ ® là liên tục đều thỏa mãn 0, (0,1] : [ ( , )] [ ( )]m f t M m M aa j j$ > $ Î £ với mọi 0( , ), :[0, ]M B x r h b RÌ ® liên tục thỏa mãn 1 0 ( )h t t a£ £ . Khi đó tồn tại 1 [0, ]b bÎ sao cho bài toán Cauchy 0( ) [ , ( )], (0)x t f t x t x x¢ = = có lời giải trên 1[0, ]b . Chứng minh. Lấy ([0, ], )C b YWÌ là tập con đẵng liên tục. Sử dụng tính chất 5, 6, 8 của định nghĩa độ đo j có giá trị 0 ( ) t x s dsò có thể đều xấp xỉ bằng tổng tích phân, chúng ta có: 0 0 ( ) | [ ( )]({ })t tx s ds x s dsj jÎ W £ Wò ò Chúng ta chọn 1 min{ , }b b r< sao cho 0 1 | ( , ) | ( , ) [0, ] ( , )rf t x t x b B x r b £ " Î ´ Ta sẽ chứng minh rằng toán tử 0 0 ( ) [ , ( )]tFx t x f s x x ds= +ò Có 1 điểm cố định trong tập 0([0, ], ) : (0){ }M x C b Y x x= Î = với x là Lipschitz với hằng số 1 r b Lấy K là nón của các hàm xác định không âm trong ([0, ], ), ( )( ) [ ( )]cE C b R t tj j= W = W . Xét toán tử :A K K® được định nghĩa là 0 ( ) [ ( )]tAu t u h s dsa=ò Dễ thấy rằng A là ánh xạ tăng. Và bằng phép chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được rằng: 2 31 ... 1( ) . || || . . 2 .3 ...( 1) .[ ]n n n nn nA u t m u t n na a a a a a- -+ + + -£ - Và do đó lim ( ) 0n n A u ® ¥ = cho mỗi u KÎ . Với MWÌ , từ 2.2.3 ta có: 0 0 0 [ ( )( )] [ , ( ( ))] | ( [ , ( ( ))]) ( [ ( ( ))]) ({ })t t t F t f s x h s ds x f s h s ds m h s dsa j j j j W = Î W £ W £ W ò ò ò Hay [ ( )] [ ( )]c cF Aj jW £ W Chính vì thế, toán tử: : , :F M M A K K® ® và độ đo cj có giá trị trong K thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.2.5 Kết luận Năm 2007, Long-Guang và Xian đã đưa ra khái niệm không gian nón mêtric, nhằm thay thế tập các số thực bằng một không gian Banach có thứ tự trong định nghĩa mêtric và tổng quát hóa các khái niệm của không gian mêtric thông thường. Cho nên, không gian này và sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ dạng co, ánh xạ không giãn, ánh xạ tương thích yếu được các nhà toán học rất quan tâm nghiên cứu. Luận văn nêu ra sự tồn tại, duy nhất của điểm bất động, điểm bất động chung của một số lớp ánh xạ dạng co, ánh xạ không giãn, ánh xạ tương thích yếu trong: • Không gian nón mêtric • Không gian nón -chuẩn Luận văn đã cố gắng phát biểu và chứng minh một số kết quả quan trọng của điểm bất động trong không gian nón mêtric và nón chuẩn. Với kiến thức còn hạn hẹp ban đầu, tôi mong muốn sẽ tiếp tục nghiên cứu và thu được những kết quả khả quan hơn. Ngoài ra, tôi hy vọng rằng các kết quả trong luận văn này phần nào sẽ giúp mọi người có cái nhìn tổng quan về không gian nón mêtric và có hướng nghiên cứu điểm bất động của không gian đó. Tài liệu tham khảo [1] C. T. Aage, J. N. Salunke, On common fixed points for contractive type mappings in cone metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 1821-1291 (2009) [2] T. Abdeljawad, E. Karapinar, Quasicone metric spaces and generalization of Caristi Kirk’s theorem, Cankaya and Atilim Uni, pp 2009 [3] P.P. Akhmerov, M.I.Kamenskii, A.S Potapov, B.N Sadorskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators Birkhauser, 1992 [4] S. Chouhan, N. Malviya, A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metric Spaces, Inter. Math. Forum, Vol. 6, 2011, no. 18, 891 -897 [5] Huang-Guang, Zhang Xian, Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal. Appl. 332 (2007) 1468-1476. [6] Z. Kadelburg, P.P. Murthy, Common Fixed Points for Expansive Mappings in Cone Metric Spaces, Journal of Math. Anylysis, Vol. 5, 2011, no. 27, 1309 -1319 [7] J. G. Mehta, M. L. Joshi, On Complete Cone Metric Space and Fixed Point Theorem, Journal of Scientific Research, 303-309 (2011) [8] P. Raja, S. M. Veazpour,Some extension of Banach’s contraction principle in complete cone metric spaces, Amirkabir University of technology -Tehran -Iran, pp 2008 [9] Sh. Rezapour, R. Hamlbarani, Some note on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal, Appl. 345 (2008) 719- 724. [10] Ilker Sahin, M. Telci, A Theorem on common fixed points of expension type mappings in cone metric spaces, St. Univ. Ovidius Constanta, vol.18(1),(2010), 329-336 [11] A. Singh, R. C. Dimri, S. Bhatt, A Unique Common Fixed Point Theorem for Four Maps in Cone Metric Space, Joural of Math. Analysis, Vol. 4, 2010, no. 31, 1511 -1517 [12] P.P.Zabreiko, K-metric and K-normed spaces: survey, Collect. Math. 48(4- 6).1997, 825-859