Luận văn Nghiên cứu khả năng hiểu của học sinh về môi quan hệ giữa hàm sô và đạo hàm của nó

ưa về kiểu làm quen thuộc trong chương trình sách giáo khoa. Còn Hoàng vừa nhìn vào đồ thị  'f x vừa phác họa đồ thị  f x , cậu ấy thấy rằng trên các khoảng  '0,2 x 4,x 6, 0x f x     nên hàm số  f x giảm có đồ thị là đường đi 59 xuống, còn trên các khoảng  '0 2,4 6, 0x x f x     nên hàm số  f x tăng có đồ thị là đường đi lên.  ' 0 0, 0f x  thì ' 0f  , 0 2x  thì ' 0f  nên hàm số đạt cực tiểu tại 0x  .  ' 4 0,2 4f x   thì ' 0f  , 4 6x  thì ' 0f  nên hàm số đạt cực tiểu tại 4x  .  ' 2 0,2 4f x   thì ' 0f  , 0 2x  thì ' 0f  nên hàm số đạt cực đại tại 2x  .  ' 6 0,x 6f   thì ' 0f  , 4 6x  thì ' 0f  nên hàm số đạt cực đại tại 6x  . Qua cách giải quyết kiểu nhiệm vụ của Nga và Hoàng thì chúng ta thấy rằng học sinh hầu như không sử dụng đạo hàm cấp hai. Bởi vì trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, bài dấu đạo hàm cấp hai chỉ giới thiệu trong phần đọc thêm và trong các bài tập ví dụ minh họa không xét đến dấu của đạo hàm cấp hai. Trả lời đúng Tỉ lệ Trả lời sai Tỉ lệ 16 80% 4 20% Giải thích bằng ngôn ngữ giải thích bằng bảng biến thiên 6 10 Bảng 4.6. Kết quả định lượng bài 4 60 Hình 4.8. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 4 61 * Biểu diễn từ ngôn ngữ sang đồ thị: Bài toán 5: a) Hãy phác họa đồ thị hàm số  f x thỏa mãn các điều kiện sau: + Hàm số liên tục trên  \ 1R + Hàm số đồng biến trên  ;1 và  1; + Hàm số không có cực trị. + Hàm số có giới hạn là 1 khi x dần đến dương vô cực và âm vô cực. + Giới hạn bên trái tại 1 của hàm số bằng dương vô cực, giới hạn bên phải tại 1 bằng âm vô cực. + Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1x  , tiệm cận ngang 1y  + Đồ thị hàm số đi qua điểm    0;2 , 2;0 b) Đưa ra một số giải thích cách vẽ đồ thị của em? Kết quả thực nghiệm đối với bài toán 5 cho thấy có 15 học sinh phác họa được đồ thị hàm số  f x , 5 học sinh không vẽ được. Trong số học sinh phác họa được đồ thị, đa số học sinh lập bảng biến thiên để giải thích cho cách vẽ đồ thị của mình. Trong nhiệm vụ này, Lộc đã chú đến các giới hạn, tính liên tục, cực trị của hàm số cũng như các đường tiệm cận. Lộc phát hiện được hàm số tương ứng với mô tả có dạng   . . a x b f x c x d    . Như vậy việc phát hiện này giúp cho cậu ấy giải quyết bài toán dể dàng hơn. 62 Hình 4.9. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 5 63  Mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm của nó Hình A Hình B Hình A là đồ thị của một hàm số cho trước. Hãy giải thích tại sao hình B là đồ thị của (hàm số) đạo hàm của nó ? Đối với bài tập 8 kết quả thực nghiệm cho thấy 18 học sinh giải thích được và 2 học sinh không giải thích được. Đa số học sinh giải thích đều dựa vào mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm cấp một với tính đơn điệu của hàm số. Giang nhận thấy rằng hàm số  f x đang tăng khi 0,5x  ( đồ thị hàm số là đường đi lên với 0,5x  ) tương ứng với giá trị hàm số ' 0f  ở hình B. Còn hàm số  f x đang giảm khi 0,5x  ( đồ thị hàm số là đường đi xuống với 0,5x  ) tương ứng với giá trị hàm số ' 0f  ở hình B. Như vậy học sinh không dựa vào đạo hàm cấp hai để giải thích. 64 Hình 4.10. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 8 * Biểu diễn từ đồ thị sang bảng biến thiên: Bài toán 11: Cho đồ thị hàm số dưới đây: a) Hãy lập bảng biến thiên tương ứng với đồ thị hàm số trên: b) Đưa ra một số giải thích cho kết quả trên: Kết quả thực nghiệm đối với bài toán 11 cho thấy có 18 học sinh lập được bảng biến thiên, 2 học sinh không lập được bảng biến thiên. Nhìn vào đồ thị, Thành thấy rằng hàm số đạt cực đại tại 0x  và đạt cực tiểu tại 1x  nên  ' 0 0f  và  ' 1 0f  . 65 Khi 0x  và 1x  hàm số  f x đang tăng nên  ' 0f x  , 0 1x  hàm số  f x đang giảm nên  ' 0f x  . Như vậy Thành đã dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm, mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm cấp một. Hình 4.11. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 11 * Biểu diễn từ bảng biến thiên sang đồ thị: Bài toán 12: a) Vẽ đồ thị hàm số tương ứng với bảng biến thiên dưới đây x  6 2  0 6 2  'y - 0 + 0 - 0 + y  2  1 4  1 4  b). Hãy giải thích cách vẽ: 66 Đối với bài tập 12, kết quả thực nghiệm cho thấy có 19 học sinh vẽ được đồ thị  f x , có 1 học sinh không vẽ được. Đây là kiểu nhiệm vụ đã quen thuộc đối với học nên học sinh ít gặp trở ngại khi giải quyết bài toán này. Tính đã kết nối giữa dấu đạo hàm cấp một, cực trị, tính đơn điệu của hàm số với tính chất đồ thị của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên cậu ấy thấy được hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm 6 1 ; 2 4         , 6 1 ; 2 4        . Dấu của ' 0y  trên các khoảng 6 6 ,0 2 2 x x    nên đồ thị là đường đi xuống trên khoảng đó. Dấu của ' 0y  trên các khoảng 6 6 0,0 2 2 x x     nên đồ thị là đường đi xuống trên khoảng đó. Ở kiểu nhiệm vụ này học sinh chủ yếu dựa vào mối quan hệ giữa tính đơn điệu, cực trị với dấu của đạo hàm cấp một. Hình 4.12. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 12 67 Hình 4.13. Hình ảnh học sinh làm bài 1 68 Hình 4.14. Hình ảnh học sinh làm bài tập 3 69 Chương 5 KẾT LUẬN 5.1. Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu Chương này đưa ra các kết luận ban đầu về nghiên cứu của tác giả, những đóng góp, hạn chế và hướng phát triển của đề tài. Nghiên cứu của chúng tôi đề cập đến khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau như hình học, đồ thị, giải tích, ngôn ngữ, bảng biến thiên Chúng tôi đã đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau đây:  Câu hỏi 1 : Khả năng hiểu của học sinh lớp 12 về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm trong các hệ thống biểu đạt khác nhau (đồ thị, đại số, bảng biến thiên, ngôn ngữ) như thế nào ? Khả năng chuyển đổi qua lại của học sinh giữa các hệ thống biểu đạt khác nhau về hàm số và đạo hàm như thế nào ?  Câu hỏi 2 : Học sinh quan niệm về khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm như thế nào ? Sau đây chúng tôi sẽ trình bày các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu trên. Qua phân tích một số yếu tố lịch sử và tri thức luận, kết hợp với phân tích nội dung chương trình đạo hàm trong sách giáo chúng tôi thấy rằng: Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu học sinh hiểu như thế nào về đạo hàm và mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau như hình học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngôn ngữ. Khả năng kết nối của học sinh trong các thể thức và hệ thống biểu đạt. Đối với khái niệm đạo hàm, đa số học sinh đều hiểu đạo hàm là giới hạn của tỉ số  ' 0 0 lim x y f x x     hoặc       0 0 ' 0 0 lim x x f x f x f x x x    . Một số ít học sinh hiểu khái niệm đạo hàm về mặt hình học là độ dốc đường tiếp tuyến của đường cong, về mặt vật lý đạo hàm là tốc độ thay đổi của chuyển động. Trong kết quả nghiên cứu trên, chúng ta thấy 70 rằng học sinh thành thạo trong việc kết nối từ bảng biến thiên sang đồ thị, từ ngôn ngữ sang đồ thị , từ đồ thị sang bảng biến thiên, từ giải tích sang đồ thị. Còn trong việc kết nối từ đồ thị sang đồ thị cho thấy học sinh còn gặp khó khăn khi kết nối giữa tính đồng biến (đồ thị đi lên), nghịch biến (đồ thị đi xuống) với dấu của đạo hàm cấp cũng như cực trị của hàm số. Học sinh ít sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai. Đây là kiểu nhiệm vụ ít được áp dụng trong chương trình sách giáo khoa hiện hành. Khi ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế học sinh còn gặp khó khăn xây dựng hàm số cũng như việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đó. Theo lý thuyết biểu đạt ký hiệu của Duval, [8], [9] dạy học toán cần tạo điều kiện cho học sinh thực hiện đồng thời biến dổi (traitment) trong cùng một hệ thống biểu đạt ký hiệu và đặc biệt là chuyển dổi (conversion) qua lại giữa các hệ thống biểu đạt. Khả năng nhận ra một đối tuợng toán học trong nhiều kiểu biểu diễn khác nhau và sự thành thạo, linh hoạt trong việc chuyển đổi qua lại giữa các hệ thống biểu đạt thể hiện việc hiểu sâu sắc khái niệm toán học đó. 5.2. Vận dụng Trong nghiên cứu này ,chúng tôi đã thiết kế các bài tập nhằm thúc đẩy học sinh nhận ra và chuyển đổi linh hoạt giữa các kiểu biểu diễn khi học về đạo hàm của hàm số. Phân tích kết quả phiếu học tập và phỏng vấn cho thấy học sinh gặp khá nhiều khó khăn, đặc biệt là đối với kiểu nhiệm vụ xem xét mối liên hệ giữa hàm số và đạo hàm trong kiểu biểu diễn đồ thị. Các khó khăn này có thể được giải thích từ kết quả phân tích thể chế dạy học hiện tại về đạo hàm hàm số : chương trình và sách giáo khoa chưa chú trọng đến các kiểu biểu diễn khác nhau, và đặc biệt là thúc dẩy khả năng chuyển dổi linh hoạt qua lại giữa các kiểu biểu diễn này ở học sinh khi dạy học về đạo hàm hàm số. 5.3. Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài Nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ việc hiểu khái niệm đạo hàm, mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau, khả năng kết nối của học sinh lớp 12 trong các thể thức và hệ thống biểu đạt đó. 71 Nghiên cứu cung giúp ta thấy được thể chế dạy học của ta ở phần đạo hàm hàm số còn hạn chế, các bài tập đưa ra chủ yếu thiên về tính toán, các dạng khác hầu nhu rất ít hoặc không có. Đạo hàm hàm số là một vấn đề khó và trừu tượng đối với hầu hết học sinh lớp 11, 12. Ðể giúp học sinh vuợt qua các chuớng ngại đó, cần phải có các bài tập và nhiệm vụ toán thích hợp nhằm giúp học sinh củng cố việc hiểu sâu sắc mối quan hệ định tính giữa hàm số và đạo hàm của nó trong các hệ thống biểu đạt khác nhau, cũng như khả năng chuyển đổi giữa các hệ thống biểu đạt đó. Do thời gian có hạn và trong khả năng cho phép nên nghiên cứu chưa thật sâu rộng, kết quả nghiên cứu chủ yếu dựa trên 20 bài thực nghiệm. Nghiên cứu này không dựa trên quan sát các học sinh trong một khoảng thời gian dài để phát triển khái niệm. Ðiều này dẫn đến việc gặp khó khăn trong một số truờng hợp để biết kiến thức được hình thành ở học sinh như thế nào. Nghiên cứu có thể được phát triển theo huớng khái thác các yếu tố liên quan dến ký hiệu học (semiotics) như ngôn ngữ, cử chỉ, ký hiệu trong quá trình học sinh tiếp thu khái niệm đạo hàm trong lớp học. 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Ngô Minh Ðức (2013). Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và lý ở truờng phổ thông.Luận văn thạc sỹ, Ðại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, trang 8 – 37. [2] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)- Vũ Tuấn(chủ biên) - Ðào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên ( 2007 ), Sách giáo khoa Ðại số và giải tích 11,Nhà xuất bảngiáo dục, Hà Nội [3] Ðoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (chủ biên ) - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Ðặng Hùng Thắng (2007), Sách giáo khoa Ðại số và giải tích 11 (Nâng cao), Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội. [4]. Lê Thị Ái Tiên (2013). Tiếp cận khái niệm giới hạn dựa trên quan diểm kiến tạo APOS: quan niệm của học sinh và chuớng ngại tri thức luận. Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục, ÐHSP Huế. [5]. Phạm Văn Tuân (2014). Vận dụng lý thuyết ba phạm vi toán học vào dạy học đạo hàm . Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục, ÐHSP Huế. Tài liệu nước ngoài [6]. Artigue, M. (1990). Analysis. In D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 167–198). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. [7]. Asiala, M., Cottrill, J., Dubinsky, E. & Schwingendorf, K. (1997). The development of students’ graphical understanding of the derivate. Journal of Mathematical Behavior,16, 399–431. [8]. Aspinwall, L., Shaw, K. L., & Presmeg, N. C. (1997). Uncontrollable mental imagery: Graphical connections between a function and its derivative. Educational Studies in Mathematics, 33(3), 301–317. [9]. Aydın, U. & Ubuz, B. (2014). Multilevel modeling of undergraduate students’ mathematical thinking about the derivative concept. Educational Studies in Mathematics. 73 [10]. Aydın, U. & Ubuz, B. (2014). The thinking about derivative test for undergraduate students: Development and validation. Educational Studies in Mathematics. [11]. Bingolbali & Monaghan ( 2008). Concept image revisited. Educational Studies in Mathematics, 19-35. [12].Boyer, C. B. (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover Publications, Inc. [13]. Burton, L. (1984). Mathematical thinking: The struggle for meaning. Journal for Researchin Mathematics Education, 15(1), 35–49. [14].Cottrill, J., Dubinsky, E., Nichols, D., Schwingendorf, K., Thomas, K. & Vidakovic, D. (1996), Understanding the limit concept: beginning with a coordinated process schema, Journal of Mathematical Behavior, 15, pp. 167- 192. [15]. Dubinsky, E. (1991), Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking, In Tall, D. (Ed), Advanced Mathematical Thinking, The Netherlands: Kluwer. [16]. Dubinsky, E. (1994), A theory and practice of learning college mathematics, In A Schoenfeld (Ed.), Mathematical thinking and problem solving, pp. 221-247. [17]. Dubinsky, E., & McDonald, M. A. (2001). APOS: A constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research. In D. Holton (Ed.), Theteaching and learning of mathematics at university level. An ICMI Study (pp. 275–282). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. [18]. Dubinsky, E., Weller, K., McDonald, M.A. & Brown, A. (2005), Some Historical Issues and Paradoxes regarding the Concept of Infinity: An Apos Analysis, Part 2, Educational Studies in Mathematics, 60, pp. 253-266. [19]. Duval R. (1999). Representation, vision and visualization: Cognitive functions in mathematical thinking, Basic issues for learning. In F. Hitt, & M. Santos st (Eds.), Proceedings of the 21 North American Chapter of the PME Conference, pp. 3-26, Cuernavaca, Morelos, Mexico. 74 [20]. Duval, R. (2006), A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics, Educational Studies in Mathematics, 61, pp. 103- 131. doi:10.1007/s10649-006-0400-z. [21]. Grabiner, J. (1983). The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass. Mathematics Magazine, 56, 195-206. [22] .Habre, S & Aboud, M. (2006). Students’ conceptual understandingof a function and its derivative in an experimental caculus course. Journal of Mathematical Behaviours. [23]. Karsent & Natsheh (2014). Exploring the potential role of visual reasoning tasks among inexperienced solvers. Educational Studies in Mathematics, 109-122. [24]. Moore-Russo, D., Conner, A., & Rugg, K. I. (2011). Can slope be negative in 3-space?Studying concept image of slope through collective definition construction. Educational Studies in Mathematics, 76(1), 3–21. [25].Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. In N. Bednarz, C. Kieran & L. Lee (Eds.), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 65–86). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. [26].Martin, T. (2000). Calculus students’ ability to solve geometric related-rates problems.Mathematics Education Research Journal, 12(2), 74–91. [27]. Nagle, C., Moore-Russo, D., Viglietti, J. & Martin, K. (2013). Calculus students’ and instructors’ conceptualizations of slope: A comparison across academic levels. International Journal of Science and Mathematics Education, 11(6), 1491–1515. [28].Orton, A. (1983b). ‘Students’ understanding of integration’. Educational Studies in Mathematics, 14, 1–18. [29]. Park, J. (2013). Is the derivative a function? If so , how do students talk about it? International of Mathematical Education in Science and Technology, 44(5), 624-640. [30].Presmeg, N.C.: 1986, ‘Visualisation in high school mathematics’, For the Learning ofMathematics 6(3), 42–48. 75 [31]. Rey & Teuscher. Rate of change: AP calculus students’ understandings and misconceptions after completing different curricular paths. School Science and Mathematics, 359-376 [32]. Nagle, C., Moore-Russo, D., Viglietti, J. & Martin, K. (2013). Calculus students’ and instructors’ conceptualizations of slope: A comparison across academic levels. International Journal of Science and Mathematics Education, 11(6), 1491–1515. [33]. Sánchez-matamoros, García & Llinares. (2009). Characterizing thematized derivative schema by the underlying emergent structures . International Journal of Science and Mathematics Education (2011) 9: 1023Y1045 # National Science Council, Taiwan (2010). [34]. Stahley, J. (2001). Students’ qualitative understanding of the relationship between the graph of a function and its derivative. Unpublished Master Thesis, University of Maine, USA. [35]. Tall, D & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition inmathematicswith particular reference to limits and continuity. Educ Stud Math, 12(2):151–169. [36].Tall, D. O. (Ed.) (1991). Advanced mathematical thinking. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer. [37]. Tall, D. (2004). Thinking through three worlds of mathematics. In M. Johnsen Høines, & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28:th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. 281-288). Norway: Bergen University College. [38]. Teuscher, D. & Reys, R. (2012). Rate of Change: AP Calculus Students’ Understandings and Misconceptions After Completing Different Curricular Paths. School Science and Mathematics. [39].Ubuz ( 2007). Interpreting a graph and constructing its derivative graph: stability and change in students’ conceptions .International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 38, 609–637. [40].Vinner, S., & Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Journal For Research in Mathematics Education, 20, 356–366. 76 [41]. Zandieth, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. In E. Dubinsky, A. H. Shoenfeld & J. Kaput (Eds.), Research in collegiate mathematics education IV CBMS issues in mathematics education (Vol. 8, pp. 103–127). Providence, USA: American Mathematical Society. [42]. Zimmermann, W. (1991). Visual thinking in mathematics. In W. Zimmermann & S. Cunningham (Eds.), Visualization in teaching and learning mathematics (pp. 127–137). Washington, DC: Mathematical Association of America. PHỤ LỤC P1 Phụ lục 1. CÁC PHIẾU HỌC TẬP Bài toán 1: Đồ thị các hàm số       ''', ,f x f x f x được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình dưới đây: Hãy sử dụng kiến thức đã học về tính chất đơn điệu, cực trị của hàm số để nhận ra đồ thị nào là là đồ thị của hàm số       ''', ,f x f x f x .Sau đó hoàn thành thông tin còn thiếu trong bảng sau: Đồ thị .........là đồ thị của hàm số  f x Giải thích: ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... Đồ thị .........là đồ thị của hàm số  'f x Giải thích: ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... .................................................................................... P2 Đồ thị .........là đồ thị  ''f x Giải thích: ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... Bài toán 2: a) Hãy vẽ đồ thị của hàm số  y f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:   f x là hàm số liên tục trên R và        ' ' ' 1 0 , 1 4 7 0 2 f f f f     lim ( ) , lim ( ) x x f x f x         ' 0f x  khi 1x   và 4 7x  ;  ' 0f x  khi 1 4x  và 7x    '' 0f x  khi 2 6 b) Hãy giải thích rõ hơn cách em vẽ được đồ thị đó? Bài làm: a) Vẽ đồ thị: ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. P3 b) Giải thích: ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. Bài toán 3: Cho đồ thị hàm số y = f(x) là đường cong như hình vẽ dưới đây: a) Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = f’(x)? a) b) P4 c) b) Hãy giải thích cách chọn của bạn? .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. Bài toán 4: Hình vẽ dưới đây là đồ thị đạo hàm  'f x của hàm số  f x y o 1 x P5 a). Hãy vẽ đồ thị  f x .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. b). Hãy giải thích cách vẽ: .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P6 Bài toán 5: a) Hãy phác họa đồ thị hàm số  f x thỏa mãn các điều kiện sau: + Hàm số liên tục trên  \ 1R + Hàm số đồng biến trên  ;1 và  1; + Hàm số không có cực trị. + Hàm số có giới hạn là 1 khi x dần đến dương vô cực và âm vô cực. + Giới hạn bên trái tại 1 của hàm số bằng dương vô cực, giới hạn bên phải tại 1 bằng âm vô cực. + Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1x  , tiệm cận ngang 1y  + Đồ thị hàm số đi qua điểm    0;2 , 2;0 .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. Đưa ra một số giải thích cách vẽ đồ thị của em? .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P7 Bài toán 6: : Một người cần xây một cái bể kín chứa nước hình trụ có thể tích là 150m3. Đáy bể bằng bê tông giá 100 000đ/m2, thành bể bằng tôn giá 90 000đ/m2, bề mặt bể bằng nhôm giá 120 000đ/m2. Hỏi kích thước của bình chứa nước là bao nhiêu để số tiền xây dựng là ít nhất ? Bài giải: .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P8 Bài toán 7: Có một cái hồ rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách chạy và bơi. Hỏi rằng vận động viên chạy bao xa (quảng đường x) thì nên nhảy xuống bơi để đến đích nhanh nhất, biết rằng vận tốc bơi 1,5m/s , vận tốc chạy 4,5m/s. x 200-x 50m 200m Bài giải: .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P9 Bài toán 8: Hình A Hình B Hình A là đồ thị của một hàm số cho trước. Hãy giải thích tại sao hình B là đồ thị của (hàm số) đạo hàm của nó ? .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P10 Bài toán 9: Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên R : Đạo hàm của hàm số này là một hàm số tăng hay giảm, hay vừa tăng vừa giảm trên R ? Giải thích ? .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P11 Bài toán 10: Dưới đây là các đồ thị của : một hàm số y = f(x), đạo hàm y = f’(x) và nguyên hàm y = F(x) của nó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số và giải thích rõ cách xác định của bạn. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P12 Bài toán 11: Cho đồ thị hàm số dưới đây: c) Hãy lập bảng biến thiên tương ứng với đồ thị hàm số trên: ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ........................................................................ d) Đưa ra một số giải thích cho kết quả trên: ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... P13 Bài toán 12: a) Vẽ đồ thị hàm số tương ứng với bảng biến thiên dưới đây x  6 2  0 6 2  'y - 0 + 0 - 0 + y  2  1 4  1 4  .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. b). Hãy giải thích cách vẽ: .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. P14 Phụ lục 2. CÁC BÀI LÀM CỦA HỌC SINH P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 P22 P23 P24 P25