Luận văn Nhóm lie và biểu diễn đối phụ hợp

vi phôi. 1.1.5. Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm Giả sử M là đa tạp khả vi n chiều với atlat khả vi { }( , )i i i IA U ϕ ∈= . Giả sử ( )ni i I J U ∈ = ×  là hợp rời của các không gian tôpô niU × với tôpô tổng. Trong J ta cho quan hệ hai ngôi như sau: Với 1( , ) , ( , ) ; ( , ) ( , ) ( )( ( ))( ) n n i j j i i x y x v U y w V x v y w D x v wϕ ϕ ϕ− =∈ × ∈ × ⇔  =     Quan hệ trên là quan hệ tương đương. Không gian thương /TM J=  là một không gian tôpô Hausdorff. Ta xác định ánh xạ : , ( )M xTM M v x∏ = ∏ → ∏ = . Nếu ( , )x v J∈ thì lớp tương đương của nó lí hiệu là xv . Giả sử ,x xv w TM∈ sao cho xv là lớp của ( , )x v , xw là lớp của ( , )x w J∈ . Khí đó lớp của ( , )x v w+ không phụ thuộc vào cách chọn đại diện xv và xw và ta kí hiệu là x xv w+ Với mỗi số thực α và với xv TM∈ ta xác định x TMα ∈ là lớp tương đương của ( , )x vα . Như vậy, mổi 1, ( )x M TM x TM−∈ = ∏ ⊂ là một không gian vectơ. Ta nói xT M là không gian tiếp xúc của M tại x . Mỗi phần tử của xT M gọi là vectơ tiếp xúc của M tại x mà ta kí hiệu là X. Định nghĩa 1.1.8 Cho 1 2,M M là hai đa tạp khả vi và 1 2:f M M→ là ánh xạ khả vi. Xét ánh xạ 1 ( ) 2: , ( )( )x x f x xT f T M T M X T f X→  xác định bởi 1[( )( )] : ( ), :xT f X X f Mϕ ϕ ϕ= ∀ →  là ánh xạ khả vi. Khi đó xT f là ánh xạ tuyến tính và ta xác định ánh xạ 1 2: ,f TM TM X f X∗ ∗→  với ( ) : ( )f X X fϕ ϕ∗ =  . Ánh xạ f∗ gọi là ánh xạ tiếp xúc của f . Ví dụ 1.1.6 Cho : nf M → là ánh xạ khả vi, cấu trúc khả vi trên n là cấu trúc khả vi chính tắc. Khi đó : n n nf TM T∗ → = ×   được cho bởi công thức 1( ) ( ( ), ( )( )( )( )x i if v f x D f x vϕ ϕ − ∗ =  trong đó ( , )i iU ϕ là một bản đồ của M và ix U∈ . Như vậy, tồn tại ánh xạ : ndf TM → sao cho ( ( ), ( )),x x xf f x df v v T M∗= ∈ . Ánh xạ df còn gọi là ánh xạ vi phân của f . Tính chất của ánh xạ tiếp xúc Mệnh đề 1.1.1 Cho 1 2 3, ,M M M là những đa tạp khả vi và 1 2 2 3: , :f M M g M M→ → là hai ánh xạ khả vi. Khi đó 1 3:g f M M→ là ánh xạ khả vi và ( )g f g f∗ ∗ ∗=  . Mệnh đề 1.1.2 Cho M là đa tạp khả vi, : , :f M g M→ →  là hai ánh xạ khả vi. Khi đó ( )( ) ( ) ( )fg x f x g x= là ánh xạ khả vi, với ( )x xv T M∈ , ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xd fg v f x dg v df v d x= + 1.1.6. Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi Trường vectơ Định nghĩa 1.1.9 Cho M là đa tạp khả vi. Ánh xạ khả vi :X M TM→ sao cho X id∏ = được gọi là trường vectơ tiếp xúc của M. Như vậy trường véctơ tiếp xúc M đặt tương ứng mỗi x X∈ một vectơ ( ) xX x T M∈ . Kí hiệu ( ) xX x X= và X(M) tập các trường vectơ tiếp xúc M Định nghĩa 1.1.10 Với X ∈ X(M), ( , )f C M∞∈  ta xác định ( ) ( , )X f C M∞∈  theo công thức ( ) ( )X f df X= . Như vậy x M∈ thì ( )( ) ( )xX f x df X= .Trường vectơ có thể xem là ánh xạ : ( , ) ( , )X C M C M∞ ∞→  thỏa : 1. X là ánh xạ tuyến tính, 2. ( ) ( ) ( )X fg fX g X f g= + . Biểu diễn địa phương của trường vectơ Cho ánh xạ :X M TM→ có tính chất X id∏ = . Giả sử ( , )U ϕ là một bản đồ địa phương của M, /: mU Uϕ → ⊂  . Ta có ^ 1 /: ( ) mU Uϕ −∏ → × là một bản đồ trên TM . Giả sử /: mX Uϕ → là ánh xạ duy nhất có tính chất   1 / / / / /( ) ( , ( )),X x x X x x Uϕϕ ϕ − = ∈   . Khi đó X là trường vectơ khi và chỉ khi Xϕ là ánh xạ khả vi. Định nghĩa 1.1.11 Ánh xạ  /: mX Uϕ → được gọi là biểu diễn địa phương của X trong bản đồ ( , )U ϕ . Với ( , )f C M∞∈  , ta có  1 / 1 / / / /( ) ( ) ( ( )) ( )( ) ( ),X f x df X x D f x X x x Uϕϕ ϕ − −= = ∈ Mệnh đề 1.1.3 Cho :X M TM→ sao cho X id∏ = . Nếu ( , )f C M∞∈  .Ánh xạ ( ) :df X M → là khả vi thì X là khả vi. Mệnh đề 1.1.4 Cho : ( , ) ( , )D C M C M∞ ∞→  tuyến tính và thỏa ( ) ( ) ( ) , , ( , )D fg fD g D f g f g C M∞= + ∀ ∈  . Khi đó có duy nhất X ∈ X(M), sao cho ( ) ( )X f D f= . Cho ,X Y ∈ X(M), xác định ánh xạ : ( , ) ( , )D C M C M∞ ∞→  thỏa mãn ( ) ( ( )) ( ( )).D f X Y f Y X f= − Khi đó có duy nhất một trường vectơ trên M mà ta kí hiệu là [X,Y] mà [ , ]( ) ( )X Y f D f= . Định nghĩa 1.1.11 Trường vectơ [ , ]X Y gọi là móc Lie của hai trường vectơ ,X Y 1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.2.1 Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) G là một nhóm. (ii) G là đa tạp thực khả vi. (iii) Phép toán nhóm G x G → G , (x,y)  xy 1− khả vi. Theo định lý Gleason-Montgomery-Zippin tồn tại duy nhất cấu trúc khả vi lớp C∞ trên G tương thích với cấu trúc nhóm và cấu trúc topô trên G tức là biến G thành đa tạp vi phân lớp C∞ . Do đó khi nghiên cứu nhóm Lie, ta không quan tâm đến lớp khả vi, luôn có thể giả thiết là lớp C∞ . Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán. Chiều của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G. Ví dụ 1.2.1 ( ,n + ) là nhóm Aben đồng thời là đa tạp vi phân lớp C∞ , n chiều với cấu trúc khả vi chính tắc, hơn nữa ánh xạ n n n× →   biến ( , )x y x y− là ánh xạ trơn. Vậy ( ,n + ) là nhóm Lie giao hoán n chiều. Ví dụ 1.2.2 Cho ( ) : { ( ) , , 1,..., ,n ij n ijGL A a a i j n A= = ∈ =  khả nghịch }, ( ( )nGL  ,.) là nhóm nhân không giao hoán. Khi đó ta chứng minh ( )nGL  là đa tạp vi phân 2n chiều và hơn nữa ( )nGL  × ( )nGL  → ( )nGL  biến 1A B AB−× → là ánh xạ trơn. Thật vậy, gọi ( )nMat  là tập các ma trận vuông cấp n. Xét ánh xạ 2 : ( ) nnid Mat →  biến 11 1 21( ) ( ,..., , ,..., )ij n n nna a a a a . Rõ ràng id là đồng phôi nên có thể đồng nhất ( )nMat  với 2n  . Xét ánh xạ 2 det : ( ) nnMat ≡ →   biến detA A . Biểu thức biểu diễn của det A là một đa thức bậc n≤ nên khả vi lớp C∞ . Ta có 21( ) det ( ) ( ) nn nGL Mat − ∗= ⊂ ≡    . Vì vậy ( )nGL  là đa tạp con mở của ( )nMat  , hơn nữa là đa tạp vi phân với cấu trúc khả vi cảm sinh từ cấu trúc khả vi trên 2 ( ) nnMat ≡  . Do đó ( )nGL  là đa tạp vi phân 2n chiều. 1 1, ( ) : det( ) det .det 0.nA B GL AB A B − −∀ ∈ = ≠ Do đó 1 ( )nAB GL − ∈  . Vậy ( )nGL  là một nhóm. Xét ánh xạ ( ) ( ) ( )n n nGL GL GL× →   biến 1A B AB−× → . Có thể xem đây là ánh xạ gồm 22n biến. Đây là ánh xạ khả vi. Tổng hợp những điều trên ta có ( )nGL  là nhóm Lie 2n chiều. Ví dụ 1.2.3 ( ) : { ( )nO n A GL A= ∈  là ma trận trực giao tức là 1 }TA A− = . Nó là nhóm con của nhóm ( )nGL  và là nhóm trực giao cấp n (tức là det 1A = hoặc det 1A = − ). Khi đó ( )O n là một nhóm Lie. Ví dụ 1.2.4 Cho 2: {( , ) 0}Aff a b a ∗= ∈ ≠ = ×    . Trên Aff ta định nghĩa phép nhân như sau: ( , )( , ) ( , ), ( , )( , ) ( )a b c d ac ad b a b c d Aff= + ∀ ∈  . Khi đó Aff với phép nhân vừa định nghĩa lập thành một nhóm không giao hoán, đồng thời ( )Aff  cũng là một nhóm Lie. 1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie Định nghĩa 1.2.2 Nhóm Lie con Cho G là một nhóm Lie, H G⊂ . Ta gọi H là nhóm Lie con của nhóm Lie G nếu: • H là nhóm Lie con của nhóm (G, . ), • H là đa tạp con của đa tạp G Nhóm H G⊂ được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu 1. . , ,x h x H x G h H− ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ . Nhận xét 1.2.1 Mọi nhóm Lie con H của G đều là đóng trong G. Ví dụ 1.2.5 ( )O n là nhóm Lie con của nhóm con của nhóm ( )nGL  . Định nghĩa 1.2.3 Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie Cho 1 2,G G là hai nhóm Lie, xét ánh xạ 1 2:f G G→ . Ta gọi f là đồng cấu nhóm Lie nếu: • f là đồng cấu nhóm, • f là ánh xạ khả vi. Đặc biệt nếu f là đẳng cấu nhóm và f là vi phôi trên đa tạp thì f là đẳng cấu nhóm Lie Tính chất 1.2.1 Cho 1 2:f G G→ là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó • Kerf là nhóm con chuẩn tắc của 1G . • Im f là nhóm con của nhóm Lie 2G . Ví dụ 1.2.6 Xét nhóm : { : , ( ) , 0}G x x ax b aϕ ϕ= → = + ≠   . Dễ thấy ( ,.)G là một nhóm, hơn nữa G cũng là một nhóm Lie. Xét :f Aff →  biến ,( , ) ( , ) : a ba b f a b ϕ= . Ta chỉ ra rằng f là một đẳng cấu nhóm Lie. Trước tiên f là đẳng cấu nhóm vì f là song ánh và vì • ,( , )( , ) ( , ) ac ad bf a b c d f ac ad b ϕ += + = • , , ,( , ). ( , ) .a b c d ac ad bf a b f c d ϕ ϕ ϕ += = Vậy f là đồng cấu. Ta có thể xem f như là ánh xạ Aff ∗→ ×   là ánh xạ đồng nhất. Vì vậy f là vi phôi. Ví dụ 1.2.7 Xét nhóm ( )nGL  và ∗  cùng với ánh xạ det : ( )nGL ∗→  biến detA A (đa thức 2n biến). Khi đó det là một đồng cấu nhóm Lie. ( Kerf là tập những ma trận có định thức bằng 1) 1.2.3 Nhóm Lie thương Cho G là một nhóm Lie có số chiều n, H là một nhóm Lie con đóng của G có số chiều là k. Khi đó một lớp con không gian / : { }G H g gH g H= = ∈ có cấu trúc tự nhiên của một đa tạp có số chiều n-k sao cho ánh xạ chính tắc : /p G G H→ là không gian phân thớ với thớ đồng phôi đến H. Nếu H là nhóm Lie con đóng, chuẩn tắc thì /G H có cấu trúc của nhóm Lie. Định lý 1.2.1 Cho 1 2:f G G→ là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó Kerf là nhóm Lie con đóng, chuẩn tắc của 1G và ta luôn có 1: / Imf G Kerf f→ biến ( )g f g là đẳng cấu và sơ đồ giao hoán sau đây: 1.3. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie 1.3.1. Định nghĩa Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K hay K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một phép toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie) có tính chất song tuyến tính, phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi: [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 , ,y,zx∀ ∈G. Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G. Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở { }1 2, ,..., ne e e đã chọn trước trên G như sau: k ij 1 , , 1 i<j n n i j k e e c =   = ≤ ≤  ∑ . Các hệ số kij , 1 i<j nc ≤ ≤ được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G. Khi trường K là trường số thực  thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực. 1.3.2. Các ví dụ Ví dụ 1.3.1 Không gian n với móc Lie [ ], 0x y ≡ (tầm thường) hiển nhiên là một đại số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie giao hoán. Ví dụ 1.3.1 Không gian 3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3-chiều. Ví dụ 1.3.1 Cho A là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp ( ),x y ∈A , ta định nghĩa [ ],x y xy yx= − , khi đó A trở thành một đại số Lie. Đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie với móc Lie [ ], ; , ( , )A B AB BA A B Mat n K= − ∀ ∈ . Ví dụ 1.3.1 Xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau: [ ],A B A B B A= −  Ví dụ 1.3.1 Cho A là một đại số trên trường K. Toán tử tuyến tính :ϕ →A A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu: ( ) ( ) ( ). . .x y x y x yϕ ϕ ϕ= − Kí hiệu ( )Der A là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A . Khi đó ( )Der A trở thành 1 đại số trên K với phép hợp thành là phép nhân ánh xạ. ( )Der A sẽ trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là: [ ]1 2 1 2 2 1,ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= −  ( )Der A gọi là đại số Lie các toán tử vi phân trên . 1.3.3. Đồng cấu đại số Lie Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K- tuyến tính 1 2:ϕ →G G sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là: ( )1([ , ]) [ ( ), ( )] ,x y x y x yϕ ϕ ϕ= ∀ ∈ G Một đồng cấu đại số Lie là đơn, toàn,song ánh thì gọi là đơn, toàn, đẳng cấu đại số Lie Ví dụ 1.3.6 Xét G là một K-đại số Lie. Chọn a ∈ G tùy ý và cố định lại. Xét ánh xạ :ad →G G biến ( ) : [ , ]ax ad x a x= . Ta sẽ kiểm tra aad Der∈ ∀ ∈G, a G .(Ta chỉ cần kiểm tra nó thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi). Thật vậy, a∀ ∈ G ([ , ]) [ ,[ , ]] [[ , ], ] [[ , ], ] [ ( ), ] [ ( ), ] [ ( ), ] [ , ( )] a a a a a ad b c a b c c a b a b c ad c b ad b c ad b c b ad c = = + = − + = + Vậy aad Der∈ G Xét ánh xạ :ad Der→G G biến ( ) : aa ad a ad= .Ta kiểm tra rằng ad là đồng cấu đại số Lie (cần kiểm tra nó là ánh xạ tuyến tính đồng thời bảo toàn móc Lie). Thật vậy • ad là ánh xạ tuyến tính. , ; , ,a b cλ µ∀ ∈ ∈ G . Ta có ( ) a bad a b adλ µλ µ ++ = ( ) [ , ] [ , ] [ , ] ( ) ( )a b a aad c a b c a c b c ad c ad cλ µ λ µ λ µ λ µ+ = + = + = + • ad bảo toàn móc Lie tức là ([ , ]) [ , ]a bad a b ad ad= o ([ , ])( ) [[ , ], ] [[ , ], ] [[ , ], ] [ ,[ , ]] [ ,[ , ]]ad a b c a b c b c a c a b a b c b c a= = − − = + o [ , ]( ) ( . )( ) ( . )( ) ([ , ]) ([ , ]) [ ,[ , ]] [ ,[ , ]] [ ,[ , ]] [ ,[ , ]] a b a b b c a b ad ad c ad ad c ad ad c ad b c ad a c a b c b a c a b c b c a = − = − = − = + Vậy ad là đồng cấu đại số Lie Mỗi đồng cấu đại số Lie :ϕ G1 → End(V) (End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của G1 trong không gian vectơ V. Đôi khi người ta dùng thuật ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính". Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp. Định lý 1.1 (định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều. 1.3.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie ( ) : { [ , ] 0, }Z x x y y= ∈ = ∀ ∈G G G là tâm của đại số Lie G Cho G là đại số Lie. Với mỗi x ∈G, kí hiệu xad là toán tử trong ( )Der G được xác định bởi: [ ]( ) , ; xad y x y y= ∀ ∈G. Khi đó xad là một ánh xạ tuyến tính từ →G G và ta thu được biểu diễn tuyến tính của G trong chính G như sau: ( ): x ad End x ad →  G G Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của biểu diễn này là { }( ) / 0xKer ad x ad= ∈ ≡ G chính là tâm của G. Biểu diễn ad được gọi là biểu diễn tuyến tính của G trong chính nó. Ví dụ 1.3.1 : Xét đại số Lie G 3=  với móc Lie là tích có hướng thông thường. Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau: 0 0 0 c b ad c a b a −   = −   −  Tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói cách khác, đại số Lie G 3=  với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3. 1.3.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G. Ta bảo M là đại số con của G nếu [ ],M M M⊂ . Ta bảo M là ideal của G nếu [ ], M M⊂G . Trong đó ký hiệu: [ ] [ ]{ }, , | ,M M x y x y M= ∈ , [ ] [ ]{ }, , | ,M x y x y M= ∈ ∈G G . Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên. Cho G là K-đại số Lie. Đặt : G1 = [ G , G ] , G2 = [ G1, G1] , , Gn = [ Gn-1, Gn-1] G1 = [ G , G ] = G1, G2 = [ G1 , G ], ..., G n = [ G n-1 , G ] ( n ≥ 2 ) Mệnh đề1.3.1: (i) G k, G k là các ideal của G ( k = 1,2,3,) (ii) G ⊃ G1 ⊃ G 2 ⊃ ⊃ G n ⊃    G ⊃ G1 ⊃ G 2 ⊃ ⊃ G n ⊃ (iii) Nếu dim G < +∞ thì ∃ n∈ Ν sao cho: G n = G n+1 = k.h = G ∞ G n = G n+1 = k.h = G ∞ Đại số Lie G gọi là giải được nếu G∞ = {0}, G gọi là lũy linh nếu G∞ = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G. Ví dụ1.3.8: ( ){ }( , ) ( , ) / 0,1ij ijT n K A a Mat n K a j i n= = ∈ = ≤ < ≤ (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được. ( ){ }0 ( , ) ( , ) / 0,1ij ijT n K A a Mat n K a j i n= = ∈ = ≤ ≤ ≤ (đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy linh. Định lý 1.3.2 (Định lý Lie) Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương đương với biểu diễn tam giác trên, tức là ( ) ( , ), x T n K xϕ = ∀ ∈G. Hệ quả 1.3.1 Nếu G là đại số Lie giải được thì G 1=[ G , G ] là đại số Lie lũy linh. Định lý 1.3.3 (Định lý Engel) Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi , xx ad∈ G là toán tử lũy linh ( tức là tồn tại *n∈ sao cho ( ) 0nxad = ). 1.4. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie 1.4.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu eT G là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e G∈ . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau: [ ], , ,X Y XY YX X Y= − ∀ ∈ G Tức là: [ ] ( ) ( ) ( ), , , , X Y f X Yf Y Xf X Y f C G∞= − ∀ ∈ ∀ ∈G , trong đó ( )C G∞ là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực. Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G. Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau: Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó (X + Y)g = Xg + Yg , ∀g ∈ G (λX)g = λXg , λ ∈ R , ∀g ∈ G [ ] ( ) ( ) ( ) ( ), , , , X Y f X Yf Y Xf X Y X G f C G∞= − ∀ ∈ ∀ ∈ Với mọi g ∈ G . Đặt Lg : G → G, x  gx là phép tịnh tiến trái theo g, Rg: G → G, x xg là phép tịnh tiến phải theo g, thì Lg và Rg là các vi phôi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ Lg* : T(G) → T(G), Rg* : T(G) → T(G) trên không gian tiếp xúc T(G) của G. Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu Lg* (X) = X , ∀g ∈ G. Điều này đồng nghĩa với biểu thức : Lg* (X)x = Xgx Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg* (X) = X , ∀g ∈ G, tức là : Rg* (X)x = Xxg Gọi G = { X ∈ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, G ≅ Te(G) . 1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie Mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có định lý sau: Định lý 1.4.1: (i) Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie liên thông đơn liên G~ sao cho đại số Lie của G~ chính là G . (ii) Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G~ sao cho G = D G~ . Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie G của nó là giải được (tương ứng, lũy linh). 1.4.3 Ánh xạ mũ exponent Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G . Mệnh đề 1.4.1 : Với mỗi X ∈ G , tồn tại duy nhất nhóm con { x(t) / t∈ R} ⊂ G sao cho : (i) x(0) = eG . (ii) x(t+s) = x(t).x(s) ; ∀ t,s∈ R. (iii) x/(0) = X (= Xe) và được gọi là nhóm con 1-tham số xác định trên G. Khi đó: • exp (X) d.n = x(1)∈ G, exp (tX) d.n = x(t)∈ G • exp : G → G, X  exp(X) Định lý 1.4.2: (về tính chất của ánh xạ exp) (i) Ánh xạ exp là vi phôi địa phương (ii) Ánh xạ exp có tính tự nhiên : G1  → Lie) nhomcau (dong f G2 *f exp exp f=  G1  → f * G2 Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential. Hệ quả 1.4.1: Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên. exp exp Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE 2.1 Khái niệm cơ bản về biểu diễn Định nghĩa 2.1.1 Một biểu diễn của một nhóm Lie G là một không gian vectơ cùng với một cấu xạ : ( )G GL Vρ → Một biểu diễn của một đại số Lie G là một không gian vectơ cùng với một cấu xạ ρ →: G G l (V) Một cấu xạ giữa hai biểu diễn V,W của cùng một nhóm Lie G là một ánh xạ tuyến tính :f V W→ giao hoán với tác động của G: ( ) ( )f g g fρ ρ= . Tương tự ta cũng có định nghĩa một cấu xạ của biểu diễn của một đại số Lie. A Không gian của tất cả G-cấu xạ (tương ứng, G – cấu xạ) giữa V và W được kí hiệu là ( , )GHom V W (tương ứng, HomG(V,W) ). Định lý 2.1.1 (xem Kirillove định lý 4.3) Cho G là nhóm Lie (thực hoặc phức) với đại số Lie G 1. Mỗi biểu diễn : ( )G GL Vρ → xác định một biểu diễn ρ∗ →: G G l (V), và mỗi cấu xạ giữa các biểu diễn của G tự nó là cấu xạ giữa các biểu diễn của G. 2. Nếu G liên thông, đơn liên, thì tương ứng ρ ρ∗ cho ta một phép tương đương giữa phạm trù các phép biểu diễn của G với phạm trù các phép biểu diễn của G. Thực vậy, mỗi phép biểu diễn của G có thể nâng lên một cách duy nhất thành biểu diễn của G, và ( , )GHom V W = HomG(V,W) ). 2.2 Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số 2.2.1 K-biểu diễn của một nhóm Lie Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên G bởi :Ad G Aut→ G được định nghĩa như sau: 1 *( ) ( . ) :g gAd g L R −= G→G, g G∀ ∈ Trong đó gL (tương ứng 1gR − ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của G theo phần tử g G∈ (tương ứng, 1g G− ∈ ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong G. Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh ra tác động :K G Aut→ G* của G lên G* theo cách sau đây: 1( ) , , ( ) ,K g F X F Ad g X X− = ∀ ∈G, F∀ ∈G*, g G∀ ∈ Ở đây ta ký hiệu ,F X , F ∈G*, X ∈G là giá trị của dạng tuyến tính F ∈G* tại trường vectơ (bất biến trái) X ∈G. Tác động K được gọi là K- biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với K- biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G* ). Nếu G thể hiện như là đại số Lie các trường vectơ bất biến trái trên G, G* thể hiện như là không gian các dạng bất biến trái trên G. Khi đó K-biểu diễn của nhóm G t/động lên G* nhờ phép tịnh tiến phải. ( ) * , , *gK g w R w g G w= ∀ ∈ ∀ ∈ G Thật vậy, ,g G X∀ ∈ ∀ ∈ G , ( ) ( ) ( ) ( )1 ** *g ggK g w R L w R w−= = , hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 * * * * , , , , ,gg g gK g w X w Ad g X w R L X w R X R w X− −= = = = . ■ Ta hãy xét ví dụ sau. Xét ( ),G GL n=  , vì G mở trong ( )nMat  nên có thể đồng nhất ( ) ( ) ( ) ( ) e g nT G T G Mat g G≅ ≅ ≅ ∀ ∈ G . Khi đó mỗi trường vectơ ( )v TG∈Γ đều xem như hàm ma trân: ( ) ( ) ( ): , , nv G GL n Mat X v X= →   Mệnh đề 2.2.1 Mỗi trường vectơ bất biến trái trên G có dạng ( ) ( ) ( ). , A nv X X A v X A Mat= = ∈  . Hơn nữa, 1 , Y A Y AYR v v Y G−= ∀ ∈ . Chứng minh Đặt ( )A v I= , với I là ma trận đơn vị. Khi đó X G∀ ∈ : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1* *X X XXv X L v L X L v I L A XA−= = = = . Hơn nữa, ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 1 1* *Y A Y A Y A YY Y AYR v X R v R X R v XY R XY A XY AY v X− −− − −= = = = = ■ Không gian đối ngẫu của ( )nMat  được đồng nhất với chính nó nhờ dạng song tuyến tính (trên R): ( ), Re X Y TrXY= Thật vậy, xét ( )  ( ) ( )( ) ( )( ) *. : , , n n nMat Mat Hom Mat X X→ =      . Với   ( ) ( ): , ReX Y X Y X Y TrXY= = . Khi đó ( ). là đồng cấu (trên  ) và dễ thấy nó là 1 đơn cấu .Do đó cũng là đẳng cấu. Khi đồng nhất ( )nMat  với ( )( ) * nMat  , mỗi 1-dạng trên G lại là 1 hàm giá trị ma trận ( ): nw G Mat→  , ( )X w X . Mệnh đề 2.2.2: Mỗi 1-dạng bất biến trái trên G có dạng ( ) ( ) ( )1, B nw X w X BX B Mat−= = ∈  . Hơn nữa, 1* , Y YBYR w w Y G−= ∀ ∈ . Chứng minh: : Đặt ( )B w I= , với I là ma trận đơn vị. Khi đó X G∀ ∈ : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1* * * 1X X X Xw X L w L X L w I L B BX− − − − −= = = = . Hơn nữa ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1* * 1 ** 1 1 1 1Y B Y B Y Y YBYR w X R w XY R B XY R BY X YBY X w X−− − − − −= = = = = ■ Như vậy, trong VD này, mỗi K-quỹ đạo là 1 lớp các ma trận đồng dạng, còn biểu diễn phụ hợp Ad và K-biểu diễn là tương đương theo nghĩa là làm cho biểu đồ sau giao hoán: Hơn nữa, K-quỹ đạo Aw Ω đi qua *Aw ∈ G chính là lớp { }1 |XAXw X G− ∈ – lớp các ma trận đồng dạng (của A). Bây giờ, giả sử G là nhóm Lie tùy ý. Nếu cần, ta có thể thay G bởi nhóm con trong ( ),GL n  đẳng cấu địa phương với G trong ( ),GL n  . Bởi vì, theo định lí Ado: “mỗi đại số Lie hữu hạn chiều đều có biểu diễn khớp hữu hạn chiều”, tức là mỗi đại số Lie G đều có thể xem như là đại số Lie con của ( )nMat  . Khi đó nhóm Lie con tương ứng (sinh ra G ) đẳng cấu địa phương với nhóm Lie con của ( ),GL n  . ( ) ( ) ( ) ( )1 1, XAdn n X A AX XAXMat Mat Ad v R v v− −≅ → ≅ = = G G ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1* * *, K Xn n A X A XAXMat Mat K X w R w w −≅ → ≅ = = G G Hơn nữa, K-quỹ đạo Aw Ω đi qua *Aw ∈ G chính là lớp { }1 |XAXw X G− ∈ – lớp các ma trận đồng dạng (của A) Bây giờ, giả sử G là nhóm Lie tùy ý. Nếu cần, ta có thể thay G bởi nhóm con trong ( ),GL n  đẳng cấu địa phương với G trong ( ),GL n  . Bởi vì, theo định lí Ado: “mỗi đại số Lie hữu hạn chiều đều có biểu diễn khớp hữu hạn chiều”, tức là mỗi đại số Lie G đều có thể xem như là đại số Lie con của ( )nMat  . Khi đó nhóm Lie con tương ứng (sinh ra G ) đẳng cấu địa phương với nhóm Lie con của ( ),GL n  . Giả sử ( ){ }| , 0,nX Mat X Y Y⊥ = ∈ = ∀ ∈G G ,V là không gian con của ( )nMat  sao cho ( )nV Mat⊥ ⊕ = G .Gọi ( ): nP Mat V→ : phép chiếu lên V theo phương ⊥G . Khi đó, có thể đồng nhất *G với V sao cho K-biểu diễn có dạng: ( ).id = ( ).id = ( ) ( )1 , ,K g X P gXg X V g G−= ∀ ∈ ∈ Thật vậy, rõ ràng { }* 0⊥∩ =G G , bởi vậy ( )** n nMat Mat⊂ = G , * *:P V≅→ G G , ( ) ( )1K g X P gXg −= Ví dụ 2.2.1: Nếu ( ) 1 * , 0 1 G GL n    = ∈       thì 0 * 0 0 n Mat    = ∈      G , * * 0 * n Mat⊥    = ∈      G và 0 0 * 0 n n V Mat Mat    = ∈ ⊂        Khi đó ( ): nP Mat V→ xóa các phần tử nằm trên hoặc phía trên đường chéo chính. Gọi ( ) { |O G = Ω Ω là K-quỹ đạo của G trong *G }, tức là ( ) * O G G= G và cung cấp cho ( )O G tôpô thương của tôpô tự nhiên trên *G , tôpô này nói chung không Hausdorff. Bây giờ ta sẽ nghiên cứu các K-quỹ đạo của nhóm Lie trong K-biểu diễn. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng mỗi 1 quỹ đạo có một dạng cấp 2 đóng, không suy biến và G- bất biến. Trước hết ta cần đến 1 số kết quả tổng quát về các dạng vi phân trên đa tạp thuần nhất. Giả sử G-nhóm Lie, H-nhóm con đóng của G và \M H G= là đa tạp thuần nhất các lớp kề phải của G theo H. Gọi : , p G M g Hg→  là phép chiếu tự nhiên. Khi đó có * : Hp T M→G Dễ thấy ( )* 0p X X= ⇔ ∈ : đại số Lie của H, ie *ker p =  . Do đó HT M≅G . Nhớ rằng G tác động thuần nhất lên M vào bên phải bởi , : , g G g M M H Hg∀ ∈ →  . Và có * : H Hgg T M T M≅→ , * * *: Hg Hg T M T M≅→ . Nhờ các phép đẳng cấu này, có thể cho trường tenxơ trên M dưới dạng hàm trên G với giá trị trong tenxơ đại số ( )T G . Cụ thể là: mỗi trường tenxơ Φ kiểu ( ),k l trên M thì có hàm ϕ trên G giá trị trong ( )klT G cho bởi ( )( ) ( ) ( )( )1 1* *1 1 * 1 * 1,..., , ,..., ,..., , ,...,k k Hg k kg g g g gϕ ξ ξ η η ξ ξ η η− −= Φ Với ( ) ( )*1 1,..., ; ,...,k kξ ξ η η ⊥∈ ∈ ≅  G G . Mệnh đề 2.2.3: Hàm ( ): klG Tϕ → G tương ứng với 1 trường tenxơ kiểu ( ),k l trên M khi và chỉ khi ϕ thỏa mãn điều kiện sau: ( ) ( ) ( )klhg h gϕ ρ ϕ= , ở đó ( ) ( )( ):k kl lh H GL Tρ → G là biểu diễn tự nhiên sinh bởi biểu diễn phụ hợp ( ):Ad H GL→ G . Chứng minh: Chọn ϕ theo (5), ta phải chỉ ra sự hợp lí của công thức, không phụ thuộc vào g Hg∈ . Thậtvậy: ' , : 'g Hg h g hg∀ ∈ ∃ = HgΦ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1* * * ** * 1 1 * * 1 1,..; ,.. ,..; ,..Hhg Hgh g g h h g g hξ η ξ η− − − −Φ = Φ ( ) ( )( )1** 1 1,..; ,..kl HgR h g gξ η−= Φ . ( )( ) ( ) ( )( )1*1 1 * 1 1,..., , ,..., ,..; ,..k khg g h hϕ ξ ξ η η ϕ ξ η−= ( ) ( )( )1 1,..., , ,...,kl k kh gρ ϕ ξ ξ η η= . Vậy h H∀ ∈ , ( ) ( ) ( )klhg h gϕ ρ ϕ= . Nói riêng, các l-dạng vi phân trên M được cho bởi các hàm trên G với giá trị trong ( )( ) ( )*l l ⊥Λ ≅ Λ G thỏa điều kiện ( ) ( ) ( )lhg h gϕ ρ ϕ= Mệnh đề 2.2.4: Nếu trường tenxơ Φ tương ứng với hàm ϕ thì ( )kg lR Φ tương ứng với hàm . , gR g Gϕ ∀ ∈ . Hệ quả 2.2.1 Các dạng vi phân G-bất biến trên \M H G= tương ứng duy nhất với các phần tử H-bất biến trong ( )l ⊥Λ  . Thật vậy, theo mệnh đề , ( ): lGϕ ⊥→ Λ  là hằng hàm nếu Φ là G-bất biến. Điều kiện ( ) ( ) ( )lhg h gϕ ρ ϕ= nói rằng phần tử giá trị của ϕ là H-bất biến Mệnh đề 2.2.5 Giả sử k-dạng bất biến Φ trên M tương ứng với dạng ngoài ( )kϕ ⊥∈ Λ  . Khi đó vi phân dΦ tương ứng với dạng dϕ cho bởi ( ) ( )  ( )0 1,..., 1 , ,.., ,.., ,..,1 i j k i j i i k i j d X X X X X X X k ϕ ϕ+ <  = −  + ∑ (7) Chứng minh: ( )kϕ ⊥∀ ∈ Λ  , ta có ( ) ( ) ( )0 01,..., 1 ,.., ,..,1 i k i i k i d X X X X X X k ϕ ϕ= − + ∑ ( )  ( )1 1 , ,.., ,.., ,..,1 i j i j i i k i j X X X X X k ϕ+ <  + −  + ∑ Vì ϕ là H-bất biến nên ( )0, i iX Xϕ = ∀ ∈ G Do vậy ( ) ( )  ( )0 1,..., 1 , ,.., ,.., ,..,1 i j k i j i i k i j d X X X X X X X k ϕ ϕ+ <  = −  + ∑ .■ Bây giờ ta quay trở lại xét các k-quỹ đạo của nhóm Lie trong k-biểu diễn. Giả sử Ω là 1 k-quỹ đạo, F là điểm tùy ý thuộc Ω và FG là nhóm con dừng của F. Mệnh đề2.2.2 Chứng minh rằng đại số Lie FG của FG trùng với hạt nhân của dạng song tuyến tính FB trên G cho bởi ( ) [ ], , ,FB X Y F X Y= Chứng minh Theo định nghĩa ( ){ }ker | , 0,F FB X B X Y Y= ∈ = ∀ ∈G G Mặt khác: exp , F FX tX G t∈ ⇔ ∈ ∀G . ( ) ( )exp exp 0, dK tX F F K tX F t dt ⇔ = ⇔ = ∀ Mà ( ) [ ] ( ) 0 , , , , , exp ,F X X t dB X Y F X Y F L Y L F Y K tX F Y dt = = = = = − . Vậy kerF FX X B∈ ⇔ ∈G hay kerF FB=G .■ Vì rằng ( ),FB X Y chỉ phụ thộc vào ảnh của X, Y trong k/g thương FG G , chúng ta nhận được một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên FG G mà ta kí hiệu là  FB , rõ ràng ker 0FB = nên dạng  FB là không suy biến. Ta nhận thấy rằng  FB là FG -bất biến trong ( )( ) ( )*2 2F F⊥Λ ≅ ΛG G G Thât vậy gọi 2ρ là lũy thừa ngoài bậc 2 của biểu diễn bởi Ad của FG trong F⊥G . Ta có: ( )   ( )  ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2 , , , ,F Fg B X Y B Ad g X Ad g Y F Ad g X Yρ = = ( ) [ ]   ( )1 , , , , , ,F FK g F X Y B X Y g G X Y−= = ∀ ∈ ∀ ∈ G . ( )  2 , F F Fg B B g Gρ = ∀ ∈ , hay  FB là FG -bất biến. Từ mệnh đề 2.2.6 và hệ quả 2.2.1 suy ra trên \FG GΩ = tồn tại 2-dạng G- bất biến F BΩ không suy biến tương ứng với phần tử FG -bất biến  FB trong ( )2 F⊥Λ G . Phép dựng F BΩ của ta không phụ thuộc vào cách chọn F. Kí hiệu lại lại: : F B BΩ Ω= Bây giờ chúng ta kiểm tra tính đóng của BΩ . Lấy vi phân của BΩ theo công thức (7) trong BT5, ta đi tới biểu thức [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1 , , , , , , 3 F F F dB B X Y Z B Y Z X B Z X YΩ  = + +  [ ] [ ] [ ]1 , , , , , , , 0 3 F X Y Z Y Z X Z X Y   = + + =    . (theo đồng nhất thức Jacobi). Tóm lại, chúng ta đã chứng tỏ được: Định lí 2.2.1: Trên mỗi quỹ đạo Ω của nhóm Lie trong K-biểu diễn của nó tồn tại một dạng vi phân cấp hai G-bất biến, không suy biến BΩ xác định bởi công thức ( )( ) [ ], , ,X YB F F F F X Yξ ξΩ = Hệ quả trực quan hình học của định lí này là “Mọi G-quỹ đạo trong k-biểu diễn đều có số chiều chẵn”. 2.2.2 Các MD-nhóm và MD-đại số Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được, G là đại số Lie của G và G* là không gian đối ngẫu của G. Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại. Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay còn gọi là MD -nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD- nhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số). Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD -nhóm, MD -đại số được dùng đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD-đại số và MD -đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD -đại số: các MD -đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc phức (xem [So-Vi, Théorème 1]). Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD-đại số. Mệnh đề 2.2.7 : Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một đại số con giao hoán trong G . 2.3 Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo Nhắc lại khái niệm K-quỹ đạo của nhóm Lie Cho G là nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của G thì K-biểu diễn của G trong G được cho bởi: ( ) ( )1, , , , , *g gK F X F Ad X g G X F−= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈G G Khi đó, ứng với mỗi F trong G* , K-quỹ đạo FΩ của G qua F được xác định bởi: { }( ) /F gK F g GΩ = ∈ Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K- quỹ đạo FΩ của G, với mỗi F ∈G* . Vì rằng, khi nghiên cứu về nhóm Lie thì thường thông tin chúng ta thu được rất ít và khó nghiên cứu do luật nhóm của G chưa được cho một cách tường minh. Lý thuyết biểu diễn cho phép ta chuyển từ nghiên cứu nhóm Lie sang nghiên cứu đại số Lie thông qua một công cụ là ánh xạ mũ exp. Ký hiệu expG : G→ G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG→ AutRG là ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG_các tự đẳng cấu  -tuyến tính của G. Nhắc lại rằng vi phân Ad∗ = ad : G→ EndRG của biểu diễn phụ hợp của G trong G được xác định bởi công thức: ( ) [U,X], U,XUad X = ∀ ∈G. Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán sau: G Ad → AutRG expG exp G ad → EndRG Tức là ta có đẳng thức: Ad.expG = exp.ad Với mỗi U ∈G, mỗi F ∈G* , ta xác định phần tử FU trong G* như sau: , , exp( ) ,U UF X F ad X X= ∀ ∈G. Bổ đề 2.3.1 Nếu gọi FΩ là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức FΩ ⊃ { /UF U ∈G} (2.1.2) Hơn nữa nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra Chứng minh: Với mỗi U ∈ G , đặt exp ( )Gg U G= − ∈ . Khi đó ta có: U G 1 , ,exp(ad ) , (exp ( )) , ( ) ( ) , , UF X F X F Ad U X F Ad g X K g F X X− = = = = ∀ ∈ G Do đó, ( )UF K g F= và U FF ∈Ω (theo công thức 2.1.1) Tức là FΩ ⊃ { /UF U ∈G}. Nếu giả thiết thêm expG là toàn ánh thì khi đó với mỗi g G∈ , luôn tồn tại 0U ∈ G để ( )1 0exp Ug − = . Khi đó ta có: 0 0 1 G 0 U ( ) , , ( ) , (exp ( )) ,exp(ad ) , , U K g F X F Ad g X F Ad U X F X F X X − = = = = ∀ ∈ G Do đó 0 ( )UF K g F= và FΩ ⊂ { /UF U ∈G}. Nghĩa là ta có đẳng thức: FΩ = { /UF U ∈G}. ■ Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập { /UF U ∈G} là F ( )Ω G . Như thế, bao hàm thức 2.1.2 có thể được viết là: F F( ) , FΩ ⊂ Ω ∀ ∈G G* Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ expG là toàn ánh. Thực ra trong nhiều trường hợp thì có một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức F F( )Ω ⊂ ΩG . Cụ thể ta có khẳng định dưới đây: Bổ đề 2.3.2 Giả sử G liên thông. Nếu họ các FΩ (G), F ∈G* lập thành một phân hoạch của G* và mọi 'FΩ (G), 'F∀ ∈G* đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong FΩ , F ∈G*. Khi đó: FΩ (G) F= Ω , F∀ ∈G*. Chứng minh: Vì G liên thông nên mỗi K-quỹ đạo FΩ cũng liên thông (trong G*). Chú rằng, các K-quỹ đạo lập thành một phân hoạch trong G* . Giả thiết rằng có F ∈G* để F F( )Ω ≠ ΩG . Khi đó tồn tại họ { }i i IF ∈ các phiếm hàm trong G* chứa F và có nhiều hơn một phần tử sao cho ( ) iF F i I∈ Ω = Ω  G . Vì hợp này gồm các tập cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong FΩ nên không thể liên thông. Mâu thuẩn này chứng tỏ FΩ (G) F= Ω , F∀ ∈G*. Mệnh đề 2.3.1 Giả sử G là nhóm Lie thực giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và G là đại số Lie của nó. Khi đó các khẳng định sau đây tương đương: (i) Ánh xạ expG : G→ G là vi phôi giải tích (hay G là nhóm exponential). (ii) X∀ ∈G, Xad không có giá trị riêng (trong  ) thuần ảo nào. Hệ quả 2.3.1 Nếu G là nhóm Lie thực giải được, liên thông hữu hạn chiều với đại số Lie G của nó có tính chất (ii) trong mệnh đề 2.3 thì ánh xạ mũ expG : G→ G là toàn ánh. Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5- NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN 3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều Từ đây về sau, G luôn là ký hiệu để chỉ nhóm Lie liên thông 5 chiều và G là đại số Lie của G. Lúc đó với tư cách là một không gian vectơ 5 chiều, G 5R≡ . Ta chọn trước một cơ sở 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X cố định trong G. Không gian đối ngẫu của G được ký hiệu là G* . Và ta cũng có G* 5R≡ và có cơ sở đối ngẫu tương ứng 1 3 4 5 * * * * * 2( , , , , )X X X X X với cơ sở 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X trong G. Đối với các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, ta có định lí phân loại sau: Định lý 3.1.1 Cho G là một MD5-đại số và [ ]1 4= ≅ G G, G (đại số Lie giao hoán 4 chiều): • Nếu G khả phân thì nó có dạng G = h R⊕ , ở đó h là một MD4- đại số. • Nếu G bất khả phân thì ta luôn có thể chọn được một cơ sở thích hợp 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X trong G sao cho 1 42 3 4 5, , ,=≅X X X X RG , ( )1 1 ∈Xad End G 4( ),≅ Mat và G đẳng cấu với một và chỉ một trong các đại số Lie dưới đây: 1) 1 2 35,4,1( , , )λ λ λ =G G { } 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 0 0 0 0 0 0 ; , , \ 0,1 , . 0 0 0 0 0 0 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ      = ∈ ≠ ≠ ≠       Xad 2) 1 25,4,2( , )λ λ G = G { } 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ; , , \ 0,1 , . 0 0 1 0 0 0 0 1 λ λ λ λ λ λ      = ∈ ≠       Xad 3) 5,4,3( )λG = G { } 1 0 0 0 0 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 0 0 0 0 1 λ λ λ      = ∈       Xad 4) ( )5,4,4 λG = G { } 1 0 0 0 0 1 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 0 0 0 0 1 λ λ      = ∈       Xad 5) 5,4,5G = G 1 1 0 0 0 0 1 0 0 . 0 0 1 0 0 0 0 1      =       Xad 6) 1 25,4,6( , )λ λ G = G { } 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ; , , \ 0,1 , . 0 0 1 1 0 0 0 1 λ λ λ λ λ λ      = ∈ ≠       Xad 7) ( )5,3,7 λG = G { } 1 0 0 0 0 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 1 0 0 0 1 λ λ λ      = ∈       Xad 8) 5,4,8( )λG = G { } 1 1 0 0 0 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 1 0 0 0 1 λ λ λ      = ∈       Xad 9) 5,4,9( )λG = G { } 1 0 0 0 0 1 1 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 1 0 0 0 1 λ λ      = ∈       Xad 10) 5,4,10G = G 1 1 1 0 0 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 0 1      =       Xad 11) ( )1 25,4,11 , ,λ λ ϕG = G { } ( ) 1 1 2 1 2 1 2 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; , \ 0 , , 0, . 0 0 0 0 0 0 Xad ϕ ϕ ϕ ϕ λ λ λ λ ϕ π λ λ −     = ∈ ≠ ∈        12) ( )5,4,12 ,λ ϕG = G { } ( ) 1 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; \ 0 , 0, . 0 0 0 0 0 0 Xad ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ π λ λ −     = ∈ ∈        13) ( )5,4,13 ,λ ϕG = G { } ( ) 1 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; \ 0 , 0, . 0 0 1 0 0 0 Xad ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ π λ λ −     = ∈ ∈        14) ( )5,4,13 , ,λ µ ϕG = G ( ) 1 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; , , 0, 0, . 0 0 0 0 Xad ϕ ϕ ϕ ϕ λ µ µ ϕ π λ µ µ λ −     = ∈ > ∈  −      Nhắc lại rằng, một đại số Lie thực G xác định duy nhất một nhóm Lie liên thông đơn liên G sao cho Lie(G) = G . Do đó ta cũng có lớp gồm 14 họ MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê trong định lý 2.5. Ví dụ, 1 2 35,4,1( , , ) G G λ λ λ= là MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với MD5-đại số 1 2 35,4,1( , , )λ λ λ =G G . Các họ MD5-nhóm này đều bất khả phân. 3.2 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét Gọi G là một trong các nhóm Lie 1 2 35,4,1( , , ) G λ λ λ , 1 25,4,2( , )G λ λ , 5,4,3( )G λ , ( )5,4,4G λ , 5,4,5G , 1 25,4,6( , )G λ λ , ( )5,4,7G λ , 5,4,8( )G λ , 5,4,9( )G λ , 5,4,10G , { }1 2 3, , , \ 0,1λ λ λ λ ∈ ; ( ) ( )1 25,4,11( , , ) 5,4,12 , 5,4,13 ,, , G G Gλ λ ϕ λ ϕ λ ϕ , { }1 2, , \ 0 ,λ λ λ ∈ ( )0;ϕ π∈ ; 5,4,14( , , )G λ µ ϕ , , , 0λ µ µ∈ > , ( )0;ϕ π∈ và G là đại số Lie tương ứng của G. Gọi G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G của G. Mỗi X ∈G có toạ độ ( , , , , )a b c d f trong cơ sở 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X , mỗi F ∈G* có toạ độ ( , , , , )α β γ δ σ trong cơ sở đối ngẫu 1 3 4 5 * * * * * 2( , , , , )X X X X X của 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X . FΩ là K-quỹ đạo của G trong G* chứa F. Mệnh đề 3.2.1 K-quỹ đạo FΩ chứa F của nhóm 1 2 35,4,1( , , )G G λ λ λ= được mô tả như sau: (i) Nếu 0==== σδγβ thì ( ){ }0,0,0,0,αFF =Ω : quỹ đạo 0_chiều. (ii) Nếu 0,0 ≠=== σδγβ thì ( ){ }0.:,0,0,0, >=Ω ssxFF σ : nửa mặt phẳng 2_chiều. (iii) Nếu 0,0,0 =≠== σδγβ thì ( ){ }0.:0,,0,0, >=Ω ttxFF δ : nửa mặt phẳng 2_chiều. (iv) Nếu 0,0,0 ==≠= σδγβ thì ( ){ }0.:0,0,,0, >=Ω zzxFF γ : nửa mặt phẳng 2_chiều. (v) Nếu 0,0 ===≠ σδγβ thì ( ){ }0.:0,0,0,, >=Ω yyxFF β : nửa mặt phẳng 2_chiều. (vi) Nếu 0,0,0 ≠≠== σδγβ thì ( )         >     ==Ω 0.;.:,,0,0, 3 sststxFF σ λ σ δ : mặt trụ 2_chiều. (vii) Nếu 0,0,0,0 ≠=≠= σδγβ thì ( )         >     ==Ω 0.;.:,0,,0, 2 sszszxFF σ λ σ γ : mặt trụ 2_chiều. (viii) Nếu 0,0,0,0 ≠==≠ σδγβ thì ( )         >     ==Ω 0.;.:,0,0,, 1 ssysyxFF σ λ σ β : mặt trụ 2_chiều. (ix) Nếu 0,0,0,0 =≠≠= σδγβ thì ( )           >     ==Ω 0.;.:0,,,0, 3 2 ttztzxFF δ λ λ δ γ : mặt trụ 2_chiều. (x) Nếu 0,0,0,0 =≠=≠ σδγβ thì ( )           >     ==Ω 0.;.:0,,0,, 3 1 ttytyxFF δ λ λ δ β : mặt trụ 2_chiều. (xi) Nếu 0,0,0,0 ==≠≠ σδγβ thì ( )           >      ==Ω 0.;.:0,0,,, 2 1 zzyzyxFF γ λ λ γ β : mặt trụ 2_chiều. (xii) Nếu 0,0,0,0 ≠≠≠= σδγβ thì ( )         >     =     ==Ω 0.;.;:,,,0, 32 sstszstzxFF σ λ σ δ λ σ γ : mặt trụ 2_chiều. (xiii) Nếu 0,0,0,0 ≠≠=≠ σδγβ thì ( )         >     =     ==Ω 0.;.;:,,0,, 31 sstsystyxFF σ λ σ δ λ σ β : mặt trụ 2_chiều. (xiv) Nếu 0,0,0,0 ≠=≠≠ σδγβ thì ( )         >     =     ==Ω 0.;.;:,0,,, 21 sszsyszyxFF σ λ σ γ λ σ β : mặt trụ 2_chiều. (xv) Nếu 0,0,0,0 =≠≠≠ σδγβ thì ( )           >     =     ==Ω 0.;.;:0,,,, 3 2 3 1 ttztytzyxFF δ λ λ δ γλ λ δ β : mặt trụ 2_chiều. (xvi) Nếu 0,0,0,0 ≠≠≠≠ σδγβ thì ( )         >     =     =     ==Ω 0.;.;.;:,,,, 231 sszstsystzyxFF σ λ σ γ λ σ δ λ σ β : mặt trụ 2_chiều. Chứng minh: Giả sử với mỗi X có toạ độ ( a; b; c; d; f )∈G, ta có:  [ ]1, XX = a [ ]11 , XX + b [ ]12 , XX + c [ ]13 , XX + d [ ]14 , XX + f [ ]15 , XX = – b 21 Xλ – c 32 Xλ – d 43 Xλ – f 5X .  [ ]2, XX = a [ ]21 , XX = a 21 Xλ .  [ ]3, XX = a [ ]31 , XX = a 32 Xλ .  [ ]4, XX = a [ ]41 , XX = a 43 Xλ .  [ ]5, XX = a [ ]51 , XX = a 5X . Suy ra ma trận của ánh xạ Xad là:                 − − − − = af ad ac ab ad X 000 000 000 000 00000 33 22 11 λλ λλ λλ (Ma trận Xad chỉ có giá trị riêng thực là 0, 1λa , 2λa , 3λa , a ) Từ đó ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                         − − − − = a a a a a a a a X e a ef e a ed e a ec e a eb ad 0001 0001 0001 0001 00001 exp 3 3 2 2 1 1 λ λ λ λ λ λ Do vậy, toạ độ FX∈G* như sau: ( ) ( ) ( ) ( )          = = = = − + − + − + − += σ δ γ β σδγβα λ λ λ λλλ . . . . 1.1.1.1. 3 2 1 321 a a a a aaaa es et ez ey a ef a ed a ec a ebx Nhận xét 3.2.1  Bằng tính toán và lập luận tương tự, ta hoàn toàn có thể mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm còn lại.  Rõ ràng việc phát biểu định lí trên là khá dài dòng. Do đó, đối với các MD5-nhóm còn lại, để cho gọn, ta chỉ dừng lại ở việc đưa ra tọa độ của FX∈G*, mà từ đó ta có thể mô tả chi tiết bức tranh K-qũy đạo của các MD5-nhóm còn lại. Mệnh đề 3.2.2 Giả sử G là một trong các nhóm lie 1 25,4,2( ) G λ λ , 5,4,3( )G λ , ( )5,4,4G λ , 5,4,5G , 1 25,3,6( , ) G λ λ , ( )5,3,7G λ , 5,4,8( )G λ , 5,4,9( )G λ , 5,4,10G ; { }1 2 3, , , \ 0,1λ λ λ λ ∈ . Khi đó: (i) Nếu 0β γ δ σ= = = = thì { }F FΩ = , (quỹ đạo 0_chiều). (ii) Nếu 2 2 2 2 0β γ δ σ+ + + ≠ thì • FΩ = ( ){ } ( )1 2 1 25,4,2 ,, . , . , . , . , , khi G = G ,a a a ax e e e e x aλ λ λ λβ γ δ σ ∈ { }1 2, , \ 0,1λ λ ∈ • FΩ = ( ){ } ( ) { }5,4,3, . , . , . , . , , khi G = G , \ 0,1 .a a a ax e e e e x aλ λ λβ γ δ σ λ∈ ∈  • FΩ = ( ){ } ( ) { }5,4,4, . , . , . , . , , khi G = G , \ 0,1 .a a a ax e e e e x aλ λβ γ δ σ λ∈ ∈  • FΩ = ( ){ } 5,4,5, . , . , . , . , , khi G = G .a a a ax e e e e x aβ γ δ σ ∈ • FΩ = ( ){ } ( ) { }1 2 1 2 1 25,4,6 ,, . , . , . , . . , , khi G = G , , \ 0,1 .a a a a ax e e e ae e x aλ λ λ λβ γ δ δ σ λ λ+ ∈ ∈  • FΩ = ( ){ } ( ) { }5,4,7, . , . , . , . . , , khi G = G , \ 0,1 .a a a a ax e e e ae e x aλ λ λβ γ δ δ σ λ+ ∈ ∈  • FΩ = ( ){ } ( ) { }5,4,8, . , . . , . , . . , , khi G = G , \ 0,1 .a a a a a ax e ae e e ae e x aλ λ λ λβ β γ δ δ σ λ+ + ∈ ∈  • FΩ = ( ) { } 2 5,4,9, . , . , . . , . . . , , khi G = G , \ 0,1 .2 a a a a a a aa ex e e ae e ae e x aλ λβ γ γ δ γ δ σ λ    + + + ∈ ∈         • FΩ = 2 3 2 5,4,10, . , . . , . . . , . . . . , , khi G = G .2 6 2 a a a a a a a a a aa e a e a ex e ae e ae e ae e x aβ β γ β γ δ β γ δ σ    + + + + + + ∈        (quỹ đạo 2_chiều) Mệnh đề 3.2.3 Cho G là một trong các nhóm Lie ( ) ( ) ( )1 25,4,11 , , 5,4,12 , 5,4,13 ,G , G , Gλ λ ϕ λ ϕ λ ϕ , ( )1 2, , , 0;λ λ λ ϕ π∗∈ ∈ . Bằng cách đồng nhất ( ) ( ) ( )1 25,4,11 , , 5,4,9 , 5,4,13 ,, , λ λ ϕ λ ϕ λ ϕ ∗ ∗ ∗G G G với 2× ×   và F với ( ), , ,iα β γ δ σ+ , ( )1 2, , ; 0; .λ λ λ ϕ π∗∈ ∈ Ta được: (i) Nếu 0iβ γ δ σ+ = = = thì { }F FΩ = , (quỹ đạo 0_chiều). (ii) Nếu 2 2 2 0iβ γ δ σ+ + + ≠ thì • FΩ = ( ) ( )( ){ } ( ) ( )1 2 1 2. 1 25,4,11 , ,, . , . , . , , khi G = G , , , 0; .ia e a ax i e e e x aϕ λ λ λ λ ϕβ γ δ σ λ λ ϕ π− ∗+ ∈ ∈ ∈  • FΩ = ( ) ( )( ){ } ( ) ( ). 5,4,12 ,, . , . , . , , khi G = G , , 0; .ia e a ax i e e e x aϕ λ λ λ ϕβ γ δ σ λ ϕ π− ∗+ ∈ ∈ ∈  • FΩ = ( ) ( )( ){ } ( ) ( ). 5,4,13 ,, . , . , . . , , khi G = G , , 0; .ia e a a ax i e e ae e x aϕ λ λ λ λ ϕβ γ δ δ σ λ ϕ π− ∗+ + ∈ ∈ ∈  (quỹ đạo 2_chiều). Hoàn toàn tương tự, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.4 Cho G là nhóm Lie ( ) ( )5,4,14 , ,G , , , >0; 0;λ µ ϕ λ µ µ ϕ π∗∈ ∈ . Bằng cách đồng nhất ( )5,4,14 , ,λ µ ϕ ∗G với × ×   and F với ( ), ,i iα β γ δ σ+ + , ( ), , 0; 0; .λ µ µ ϕ π∈ > ∈ Ta được: (i) Nếu 0i iβ γ δ σ+ = + = thì { }F FΩ = , (quỹ đạo 0_chiều). (ii) Nếu 2 2 0i iβ γ δ σ+ + + ≠ thì ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }. ., . , . , ,ia e a iF x i e i e x aϕ λ µβ γ δ σ− −Ω = + + ∈ , (quỹ đạo 2_chiều). Nhận xét 3.2.2  Nếu G không là một trong các nhóm 1 25,4,11( , , ) G λ λ ϕ , 5,4,12( , )G λ ϕ , 5,4,13( , )G λ ϕ , 5,4,14( , , )G λ µ ϕ thì G là nhóm exponential. Do đó ( )F FΩ = ΩG .  Nếu G là một trong các nhóm 1 25,4,11( , , ) G λ λ ϕ , 5,4,12( , )G λ ϕ , 5,4,13( , )G λ ϕ , 5,4,14( , , )G λ µ ϕ thì ta vẫn có được đẳng thức ( )F FΩ = ΩG nhờ vào bổ đề 2.3.2. Nhờ bức tranh quỹ đạo, ta có ngay hệ quả sau đây: Hệ quả 3.2.1 Các đại số Lie 1 2 35,4,1( , , )λ λ λ G , 1 25,4,2( , )λ λ G , 5,4,3( )λG , ( )5,4,4 λG , 5,4,5G , 1 25,4,6( , )λ λG , 5,4,7( )λG , 5,4,8( )λG , 5,4,9( )λG , 5,4,10G , 1 25,4,11( , , )λ λ ϕG , 5,4,12( , )λ ϕG , 5,4,13( , )λ ϕG , 5,4,14( , , )λ µ ϕG đều là MD5-đại số. Do đó các nhóm Lie 1 2 35,4,1( , , ) G λ λ λ , 1 25,4,2( )G λ λ , 5,4,3( )G λ , ( )5,4,4G λ , 5,4,5G , 1 25,3,6( , )G λ λ , ( )5,3,7G λ , 5,4,8( )G λ , 5,4,9( )G λ , 5,4,10G , 1 25,4,11( , , )G λ λ ϕ , 5,4,12( , )G λ ϕ , 5,4,13( , )G λ ϕ , 5,4,14( , , )G λ µ ϕ đều là MD5-nhóm. KẾT LUẬN Qua những phần đã trình bày ở trên, chúng ta từng bước hiểu thêm về lý thuyết biểu diễn, nhất là lý thuyết biểu diễn nhóm Lie và đại số Lie, với trọng tâm là biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối phụ hợp – vốn có vau trò trung tâm trong phương pháp quỹ đạo của Kirillove. Từ đó, chúng ta có một sự vận dụng, ở chương 3, vào bài toán mô tả K- quỹ đạo của một lớp con các MD5- nhóm liên thông đơn liên. Do những hạn chế về nhiều mặt như trình độ, thời gian, Luận văn dừng lại trong khuôn khổ nhất định. Tác giả hy vọng tiếp tục nghiên cứu những vấn đề về lý thuyết biểu diễn trong tương lai. Sau cùng, mặc dù có nhiều cố gắng trong soạn thảo nhưng những sai sót là không tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe và cảm ơn các độc giả đã, đang và sẽ đóng góp cho luận văn này. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]. Nguyễn Văn Đoành, Đa tạp khả vi, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội, 2006 [2]. Dương Quang Hòa, Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và phân lá tạo bởi các K- quỹ đạo chiều cực đại của các MD5- nhóm liên thông tương ứng, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 [3]. Dương Quang Hòa, Chuyên đề Phương pháp quỹ đạo của Kirillove, 2011. [4]. Đào Văn Trà (1984), “Về một lớp các đại số Lie số chiều thấp”, Tuyển tập các báo cáo tại Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam lần thứ 12 tại Hà Nội [5]. Lê Anh Vũ (2006), Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ, MS: B2005.23.70, Tp.HCM. Tiếng Anh [1]. Do Ngoc Diep, Method of Noncommutative Geometry for Group C*- algebras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, #416, 1999. [2]. A. A. Kirillove , Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York, 1976. [3] Karin Erdmann, Introduction to Lie Algebras [4]. Le Anh Vu and Duong Quang Hoa, The Geometricaly Picture of K-orbits of Connected and Simply connected MD5-Groups such that thier MD5- algebras have 4-dimensional commutative derived Ideals, Scientific journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh city, N 0 12(46) (2007), 16-28. [5]. VU, L.A; SHUM, K. P, Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific, 2008, 353-371. [6]. William C. Brown, Matrices over commutative rings, Marcel Dekker, Inc, 1993.