Luận văn Phân loại tôpô các mặt compact

toàn ánh từ không gian tôpô ( ,X ) vào tập Y . Xét 9 })U(f|YU{ 1Y   Dễ dàng chứng minh Y là một tôpô trên Y và được gọi là tôpô thương trên Y cảm sinh bởi f. 2. Tính chất i). Tôpô thương là tôpô lớn nhất làm f liên tục. ii). Tập V đóng trong ),Y( Y khi và chỉ khi )V(f 1 đóng trong ( ,X ). iii). Giả sử không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi YX:f  . Khi đó, nếu X compact (liên thông) thì Y cũng compact (liên thông). iv). Cho các không gian tôpô Z,Y,X và các toàn ánh YX:f  , ZY:g  . Nếu Y có tôpô thương cảm sinh bởi f và Z có tôpô thương cảm sinh bởi g thì tôpô trên Z cũng chính là tôpô cảm sinh bởi fg  . 3. Mệnh đề Cho f là một toàn ánh liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y . Nếu f là ánh xạ mở (hoặc đóng) thì tôpô trên Y là tôpô sinh bởi f. III.4. Không gian thương 1. Định nghĩa Cho không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương trên X . Đặt ~/XY  là tập thương của X theo quan hệ ~. Kí hiệu x~ là lớp tương đương chứa x X . Xét  là phép chiếu chính tắc từ X vào Y xác định bởi x~)x(  . Khi đó không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh bởi  được gọi là không gian thương của X . 2. Định nghĩa Cho A là một tập con của không gian tôpô X , xét quan hệ tương đương ~ xác định bởi:       yx Ay,x y~x (với mọi Xy,x  ) Không gian thương ~/X (với ~ được xác định như trên) được gọi là không gian tôpô thương của X theo tập con A (kí hiệu là A/X ). 4. Tính chất Cho B,A là hai tập con rời nhau cua không gian tôpô X và ~ là một quan hệ tương đương xác định bởi:          yx By,x Ay,x y~x (với mọi Xy,x  ) Khi đó ~/XA/)B/X(B/)A/X(  III.5. Phép dán các không gian tôpô Cho hai không gian tôpô Y,X , A là một tập con của X và ánh xạ liên tục YX:f  . Gọi Z là không gian tổng của X và Y . Trên Z ta định nghĩa quan hệ tương đương ~ như sau: 10                 )A(fAvu )v(fu),A(fv )u(fv),A(fu )v(fu,Av )u(fv,Au v~u 1 1 (với mọi Zv,u  ) Khi đó không gian thương ~/Z được gọi là không gian nhận được nhờ phép dán X với Y bởi ánh xạ f (kí hiệu YX f  ). CHƯƠNG II: ĐA TẠP TÔPÔ I. Đa tạp n -chiều I.1. Định nghĩa Một đa tạp n -chiều ( n nguyên dương) là một không gian Hausdorff mà mỗi điểm của nó đều có một lân cận mở đồng phôi với đĩa mở n -chiều nD . với                  1xxR)x,,x,x(xD 2 1 n 1i 2 i n n21 n  Một đa tạp n -chiều còn được gọi là n -đa tạp. Ví dụ: nR là một n -đa tạp. Nhận xét: Từ định nghĩa ta có thể suy ra mọi n-đa tạp đều compact địa phương. Thật vậy, mọi điểm của n-đa tạp đều tồn tại lân cận mở đồng phôi với Dn mà Dn là compact. Vậy mọi n-đa tạp đều compact địa phương. I.2. Bổ đề Các không gian nD , nS , nR đồng phôi với nhau. trong đó  0x,1x|R)x,x,,x(S 1n1n1nn1n    Chứng minh Ta sẽ chứng minh nD đồng phôi với nS và nD đồng phôi với nR bằng cách chỉ ra các phép đồng phôi giữa chúng. Xét ánh xạ: ))xx(1,x,,x()x,,x( SD:f 2 n 2 1n1n1 nn 1     )x,,x()x,x,,x( DS:f n11nn1 nn 2     Dễ dàng chứng minh f1, f2 là các ánh xạ liên tục. Mặt khác, với điểm )x,,x(x n1  tuỳ ý thuộc nD ta có   x))xx(1,x,,x(f)x(ff 2n21n1212   Suy ra nD12 idff  (1) Dn S+n f2(M) xn+1 x2 x1 M Hình 1 11 Với điểm )y,y,,y(y 1nn1  tuỳ ý thuộc nS ta có 1yyy 2 1n2n21   suy ra )0y()yy(1y 1n2n211n    Từ đó,     y)yy(1,y,,y)y,,y(f)y(ff 2n21n1n1121   Suy ra nS21 idff  (2) Từ (1) và (2) suy ra f1 là phép đồng phôi từ nD vào nS Vậy nn SD  (3) Xét ánh xạ u1 uu RD:g nn1    v1 vv DR:g nn2    Dễ thấy g1, g2 là các ánh xạ liên tục. Mặt khác, với điểm u tuỳ ý thuộc Dn ta có nD12212 idggu u1 u 1 u1 u u1 ug)u(gg                (4) Với điểm v tuỳ ý thuộc Rn ta có nR21121 idggv v1 v 1 v1 v v1 vg)v(gg                (5) Từ (4) và (5) suy ra g1 là phép đồng phôi từ nD vào nR Vậy nn RD  (6) Từ (3) và (6) và từ tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương ta được nnn RSD   Nhận xét: Trong chứng minh trên ta đã dùng tính chất quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương để kết luận nn RS  . Tuy nhiên ta có thể chứng minh trực tiếp bằng cách xét các ánh xạ ) x x,, x x()x,x,,x( RS:h 1n n 1n 1 1nn1 nn 1      O u x2 x1 xng1(u) Hình 2 12 ) xx1 1, xx1 x ,, xx1 x ()x,,x( SR:h 2 n 2 1 2 n 2 1 n 2 n 2 1 1 n1 nn 2        Ta chứng minh được h1 là phép đồng phôi từ nS vào R n, suy ra nn RS  . I.3. Mệnh đề Nếu M là m-đa tạp và N là n-đa tạp thì NM  là (m+n)-đa tạp. Chứng minh M, N là các đa tạp nên chúng là các không gian Hausdorff, suy ra tích NM  là không gian Hausdorff. Xét điểm (x, y) tuỳ ý thuộc NM  Do M là m-đa tạp nên tồn tại lân cận mở Ux của điểm x (thuộc M) đồng phôi với Dm. Do N là n-đa tạp nên tồn tại lân cận mở Uy của điểm y (thuộc N) đồng phôi với Dn. Ta được một lân cận mở của điểm (x, y) là UxUy ( NM ) đồng phôi với Dm Dn Theo bổ đề trên, ta có Dm Dn nmnmnm DRRR   Vậy NM  là (m+n)-đa tạp. I.4. Mệnh đề Mặt cầu n-chiều  1xxxR)x,x,,x(S 2 1n2n211n1nn1n    là n-đa tạp. Chứng minh Dễ thấy Sn là không gian Hausdorff. Xét điểm x0(0, …, 0, 1) nS , ta có nS là một lân cận mở của x0. Theo bổ đề trên, nn DS  . Xét điểm x tuỳ ý thuộc Sn, khi đó tồn tại một phép quay tâm O là QO sao cho QO(x)=x0. Hiển nhiên QO là một phép đồng phôi từ Sn lên chính nó. Suy ra điểm x có một lân cận mở là QO( nS ) nn DS  . Vậy Sn là n-đa tạp. I.5. Mệnh đề O M h1(M) x2 Rn xn+1 x1 Hình 3 O x0(0,0...,0,1) Sn Dn xn+1 x2 x1 Hình 4 13 Nếu M là n-đa tạp thì mọi tập con mở của M cũng là n-đa tạp. Chứng minh Giả sử A là một tập con mở tuỳ ý của M. Theo tính chất I.6.2 (chương I) tập A với tôpô cảm sinh bởi tôpô trên M là một không gian Hausdorff. Do A là tập con mở của M nên với điểm x bất kì thuộc A luôn tồn tại lân cận mở 1r U (bán kính r1) nằm trong A. Mặt khác, M là n-đa tạp nên điểm x có một lân cận mở Ur’ (bán kính r’) đồng phôi với Dn. Chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho 1rN 'rr  , khi đó Ur cũng là một lân cận mở của x đồng phôi với Dn nằm trong A. Suy ra A là n-đa tạp. II. Mặt, mặt compact II.1. Định nghĩa Một đa tạp 2-chiều liên thông được gọi là một mặt. Một đa tạp 2-chiều liên thông, compact được gọi là một mặt compact. II.2. Mặt cầu S2 (S2 = {xR3 | 1x  } Theo mệnh đề I.4 ta có S2 là 2-đa tạp. Dễ thấy S2 là liên thông, tức S2 là một mặt Ta sẽ chứng minh S2 là mặt compact. Nhắc lại rằng mọi tập con đóng và bị chặn của Rn đều là tập compact. Rõ ràng S2 là bị chặn (xem S2 là tập con của R3, đường kính của S2 bằng 2), do đó ta chỉ cần chứng minh S2 là tập đóng. Thật vậy, với mọi x thuộc R3\S2, chọn 0 2 1x    . Khi đó, x có một lân cận mở là ;x(B ) nằm trong R3\S2. Suy ra R3\S2 là tập mở, suy ra S2 là tập đóng. Như vậy, S2 là tập con đóng và bị chặn của R3 , suy ra S2 là tập compact. Vậy S2 một mặt compact. II.3. Mặt xuyến Ta xây dựng mặt xuyến bằng cách sau: Gọi X là hình vuông trong R2 xác định bởi X = {(x, y)R2 | 0 1y0,1x  } O Hình 5a Hình 5b 14 Xét quan hệ ~ trên X được định nghĩa như sau: Với mọi u(x1, y1), v(x2, y2) thuộc X, u ~ v          2121 2121 2121 yy,xx 1|yy|,xx 1|xx|,yy Dễ dàng chứng minh ~ là một quan hệ tương đương trên X. Từ đó X/~ là một không gian tôpô. Hơn nữa X/~ là một đa tạp 2-chiều, liên thông, compact. Tức X/~ là một mặt compact, ta gọi X/~ là mặt xuyến.  Chú ý: Mọi không gian đồng phôi với X/~ đều được gọi là mặt xuyến.  Nhận xét: Không gian tích 11 SS  là mặt xuyến (tức đồng phôi với không gian X/~ được xây dựng như trên), trong đó S1 = {(x, y)R2 | x2 + y2 = 1} Để dễ hình dung, không gian X/~ được xây dựng như trên có được bằng cách đồng nhất các cạnh đối diện của hình vuông như hình vẽ. Để thuận tiện, ta dùng các dấu mũi tên để chỉ chiều của sự đồng nhất. II.4. Lá Mobius Trong mặt phẳng R2 cho hình vuông }2y0,10x0|R)y,x{(X 2  Ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: với mọi điểm (x1, y1), (x2, y2) thuộc R2 (x1, y1) ~ (x2, y2)       2121 2121 yy,xx 2yy,10xx Khi đó không gian thương X/~ là một đa tạp 2-chiều, liên thông và được gọi là lá Mobius (mọi không gian đồng phôi với X/~ ta cũng gọi là lá Mobius). Lá Mobius là một mặt không compact. Một cách trực quan, để tạo lá Mobius, đầu tiên ta cắt một mảnh giấy hình chữ nhật dài, hẹp. Sau đó xoắn mảnh giấy 1800 và dán hai đầu (hẹp) với nhau. a a bb Hình 6a bb a Hình 6c b a a b Hình 6b b b Hình 6d Hình 6e Hình 7 Hình 6f 15 II.5. Mặt phẳng xạ ảnh thực Trên mặt cầu S2 ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: Với mọi u, v thuộc S2, u ~ v  u = -v. Khi đó S2/~ là một không gian tôpô. Xét ánh xạ p: S2  S2/~ u u~ Rõ ràng p là ánh xạ liên tục. Do S2 liên thông, compact nên S2/~ liên thông, compact. Bây giờ ta chứng minh S2/~ là đa tạp 2-chiều. Do S2 Hausdorff nên S2/~ Hausdorff. Lấy điểm u~ tuỳ ý thuộc S2/~, u~ = p(u) với u thuộc S2. Chọn BS2 (BD2) là một lân cận mở đủ nhỏ của u sao cho trong B không chứa bất kì cặp điểm xuyên tâm đối nào. Ta có p|B là một phép đồng phôi lên p(B). Ta lại chọn B’B (B’ D2) là một lân cận mở của u, suy ra p(B’) là một lân cận mở của u~ và p(B’)D2. Suy ra S2/~ là một đa tạp 2-chiều liên thông, compact. Tức là S2/~ là một mặt compact, được gọi là mặt phẳng xạ ảnh thực (hay mặt phẳng xạ ảnh), kí hiệu là P2.  Chú ý: - Mọi không gian đồng phôi với P2 đều được gọi là mặt phẳng xạ ảnh. - Không gian S2/~ được xây dựng như trên là không gian được tạo thành bằng cách đồng nhất các cặp điểm xuyên tâm đối của S2.  Nhận xét 1: Đặt 2S = {(x, y, z) 2S | z 0 } biên của 2S là 2 S = {(x, y, z) 2S | z = 0} Khi đó mỗi cặp điểm xuyên tâm đối của S2 đều có ít nhất một điểm thuộc 2S , nếu cả hai điểm đều thuộc 2S thì chúng phải thuộc 2 S . Suy ra S2/~ đồng phôi với không gian thương của 2S có được bẳng các đồng nhất các điểm xuyên tâm đối trên 2 S , để đơn giản ta vẫn kí hiệu không gian này là 2S /~ Mặt khác, dễ dàng chứng minh 2S đồng phôi với đĩa đóng }1yx|R)y,x{(D 222 2  . Từ đó 2S /~ đồng phôi với không gian thương của 2 D có được -u v u -v O Hình 8 O Hình 9 D2 Hình 10 16 bằng cách đồng nhất các điểm xuyên tâm đối trên biên của 2D , ta vẫn kí hiệu không gian này là 2D /~. Bây giờ ta thay 2D bởi hình vuông X = {(x, y)R2 | 0 1y0,1x  } (đồng phôi với 2D ), ta được 2D /~ đồng phôi với không gian thương của X tạo thành bằng cách đồng nhất các điểm của trên biên của X, tức đồng nhất các cặp cạnh đối diện của X. Để chỉ chiều của sự đồng nhất ta dùng các dấu mũi tên. Như vậy không gian thương của X tạo thành bằng cách đồng nhất các điểm của trên biên của X như trên là một mặt phẳng xạ ảnh. Nhận xét 2: Có thể xây dựng mặt phẳng xạ ảnh bằng cách dán lá Mobius và một đĩa D2 dọc theo biên của chúng như sau: Biểu diễn lá Mobius bởi hình chữ nhật với một cặp cạnh được đồng nhất. Cắt lá Mobius theo đường kín c như hình vẽ Dán hai hình chữ nhật nhỏ theo các đường a và b Ta thấy biên của lá Mobius chính là đường tròn d. Dán lá Mobius với đĩa D2 ta được mặt phẳng xạ ảnh . Như vậy, mặt phẳng xạ ảnh có được bằng cách dán lá Mobius với đĩa D2 dọc theo biên của chúng. a bb a Hình 11 c a b b a Hình 12a c a b b a c Hình 12b c c b b a a Hình 12d a b c ab c Hình 12c d c c ba Hình 12e 17 II.6. Chai Klein Gọi X là hình vuông trong R2 xác định bởi X = {(x, y)R2 | 0 1y0,1x  } Khi đó không gian thương của X có được bằng cách đồng nhất các cặp cạnh đối diện (hình vẽ) được gọi là Chai Klein. Chai Klein là một mặt compact. Nhận xét: Có thể xây dựng chai Klein bằng cách dán hai lá Mobius như sau Biểu diễn lá Mobius bởi hình chữ nhật với một cặp cạnh được đồng nhất. Cắt một lá Mobius theo đường kín e (hình vẽ) Dán chúng lại theo các đường c và d ta được một chai Klein. a a bb Hình 13a Hình 13b ff d c e d a b b a c Hình 14a e e d c d f f c a bb a Hình 14b a b b a c ff d c d e e Hình 14c a b b a ff d c e e Hình 14d 18 Vậy dán hai lá Mobius theo biên của chúng ta được một chai Klein. III. Mặt định hướng được và không định hướng được Trước hết ta nói về đường bảo toàn hướng và đường đảo hướng. Để dễ hình dung, ta xét mặt phẳng R2. Trên R2 chọn một đường cong kín c và một điểm x0 trên c. Giả sử ta xuất phát từ x0 với một hướng nhất định và đi dọc theo đường cong c. Nếu khi trở về x0 mà hướng của chúng ta cùng hướng với hướng đã chọn ban đầu thì c được gọi là đường bảo toàn hướng. Nếu khi trở về x0 mà hướng của chúng ta ngược hướng với hướng đã chọn ban đầu thì c được gọi là đường đảo hướng. III.1. Định nghĩa Một mặt mà mọi đường cong kín trên nó đều là đường bảo toàn hướng được gọi là mặt định hướng được (hay còn gọi là mặt hai phía). Một mặt mà có một đường cong kín trên nó là đường đảo hướng được gọi là mặt không định hướng được (hay còn gọi là mặt một phía). III.2. Ví dụ 1. Mặt phẳng R2, mặt cầu, mặt xuyến Mọi đường cong kín trên R2, mặt cầu, mặt xuyến đều là đường bảo toàn hướng. Do đó R2, mặt cầu, mặt xuyến là các mặt định hướng được (mặt hai phía). 2. Lá Mobius Xét đường cong kín c như hình vẽ. Đường c như trên là một đường đảo hướng và do đó lá Mobius là mặt không định hướng được (mặt một phía). 3. Mặt phẳng xạ ảnh Mặt phẳng xạ ảnh có một tập con là lá Mobius, mà trên lá Mobius có một đường đảo hướng. Do đó mặt phẳng xạ ảnh cũng có một đường đảo hướng. Vậy mặt phẳng xạ ảnh là mặt không định hướng được. a a bb Hình 16 c c Hình 15 19 4. Chai Klein là mặt không định hướng được (ta sẽ chứng minh ở phần sau). IV. Tổng liên thông IV.1. Định nghĩa Cho hai mặt rời nhau S1 và S2. Chọn hai tập mở D1S1, D2S2 (D1, D2 đồng phôi với D2). Đặt '1S = S1\D1, '2S = S2\D2. Chọn phép đồng phôi 21 DD:f  Khi đó không gian tạo thành nhờ phép dán '1S và '2S bởi ánh xạ f được gọi là tổng liên thông của S1 và S2, kí hiệu là S1 # S2. Để dễ hình dung, ta có thể hiểu tổng liên thông của hai mặt S1 và S2 là không gian có được bằng cách cắt đi một lỗ tròn nhỏ trên trên mỗi mặt, sau đó dán chúng lại dọc theo biên của hai lỗ tròn. IV.2. Tính chất Với mọi mặt S, S1, S2, S3 ta có: i. S1 # S2 là một mặt không phụ thuộc vào việc chọn các đĩa mở D1, D2 và phép đồng phôi f. ii. S1 # S2  S2 # S1 iii. (S1 # S2) # S3  S1 # (S2 # S3) iv. S # S2 S2 # S S Như vậy tập hợp các lớp đồng phôi các mặt compact lập thành một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là lớp đồng phôi với mặt cầu S2. Chú ý: Tổng liên thông của hai mặt định hướng được là mặt định hướng được, nếu một trong hai mặt không định hướng được thì tổng liên thông của chúng không định hướng được. IV.3. Ví dụ 1. Tổng liên thông của hai mặt xuyến Hình 17a. Hai mặt xuyến rời nhau Hình 17b. Hai mặt xuyến bỏ đi hai lỗ tròn 20 2. Tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh Từ nhận xét 2 (II.5) ta suy ra mặt phẳng xạ ảnh sau khi bỏ đi một lỗ tròn thì đồng phôi với lá Mobius (gồm cả biên). Do đó tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là không gian đồng phôi với không gian tạo thành bằng cách dán hai lá Mobius dọc theo biên của chúng. Theo nhận xét II.6, khi dán hai lá Mobius theo biên của chúng ta được một chai Klein. Vậy tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là một chai Klein. Nhận xét: Vì chai Klein là tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh, mà mặt phẳng xạ ảnh không định hướng được. Do đó, theo chú ý IV.2 ta suy ra chai Klein không định hướng được. Hình 17c. Dán lại theo biên của lỗ tròn 21 CHƯƠNG III PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MẶT COMPACT I. Dạng chính tắc của mặt cầu, tổng liên thông của các mặt xuyến, tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh I.1. Dạng chính tắc của mặt cầu Giả sử chúng ta có một mặt cầu và chúng ta cắt nó theo 1 đường nào đó (không kín), khi đó chúng ta hoàn toàn có thể kéo nó ra để nó nằm trên mặt phẳng và có dạng hình 2-cạnh như hình vẽ. Ngược lại chúng ta có thể dán 2 cạnh của hình này để được một mặt cầu như ban đầu. Như vậy mặt cầu có thể được biểu diễn thành không gian thương của một hình 2-cạnh có được bằng cách đồng nhất 2 cạnh đó (dấu mũi tên chỉ chiều của sự đồng nhất). Hình 2-cạnh như trên được gọi là dạng chính tắc của mặt cầu. I.2. Dạng chính tắc của tổng liên thông các mặt xuyến Giả sử chúng ta có hai mặt xuyến. Biểu diễn chúng bởi những hình vuông với các cạnh đối diện được đồng nhất như hình vẽ a a Hình 18b a O Hình 18a b2b1 a2a1 22 Trên mỗi mặt xuyến chúng ta cắt đi một lỗ tròn nhỏ, để thuận tiện, ta lần lượt cắt theo đường c1 và c2. Tiếp theo chúng ta biểu diễn mỗi mặt xuyến sau khi cắt đi một lỗ tròn nhỏ là hình 5-cạnh Cuối cùng, dán cạnh c1 và c2 lại ta được một hình 8-cạnh b2a1 a2 b1 c2c1 b2b1 a2a1 Hình 19b c2c1 b2a1 a2 b1 b2b1 a2a1 Hình 19c c2c1 b2a1 a2b1 b2b1 a2a1 Hình 19d 23 Như vậy tổng liên thông của hai mặt xuyến có thể biểu diễn bởi hình 8-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi như hình 19e Hình 8-cạnh như trên được gọi là dạng chính tắc của tổng liên thông 2 mặt xuyến Tiếp tục quá trình trên, ta được dạng chính tắc của tổng liên thông 3 mặt xuyến là hình 12-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi. Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được dạng chính tắc của tổng liên thông n mặt xuyến là hình 4n-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi. I.3. Dạng chính tắc của tổng liên thông các mặt phẳng xạ ảnh Xem mặt phẳng xạ ảnh là không gian thương của đĩa tròn có được bằng cách đồng nhất các cặp điểm xuyên tâm đối trên biên. Chọn một cặp điểm xuyên tâm đối cố định, khi đó ta có thể biểu diễn mặt phẳng xạ ảnh như là không gian thương của một hình 2-cạnh có được bằng cách đồng nhất hai cạnh đó (hình vẽ) b1 a1 c1 b1 a1 a2 c2 b2 a2 b2 Hình 19e a3 b3 a3 b3 b1 b2 a1 a2 b2 a2 b1 a1 Hình 20 a a Hình 21 24 Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng xạ ảnh, mỗi mặt được biểu diễn như hình 21. Trên mỗi mặt cắt đi một lỗ tròn, để thuận tiện, ta cắt theo các đường c1 và c2. Khi đó, mỗi mặt phẳng xạ ảnh sau khi cắt đi một lỗ tròn có thể biểu diễn bằng một tam giác Dán chúng lại theo c1, c2 ta được một hình 4-cạnh Như vậy tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là không gian thương của hình 4-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi. Hình 4-cạnh như trên được gọi là dạng chính tắc của tổng liên thông hai mặt phẳng xạ ảnh. Tiếp tục quá trình trên ta được tổng liên thông của 3 mặt phẳng xạ ảnh là không gian thương của hình 6-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi. a1 a2 c2c1 a2a1 Hình 22a a1 c1 a1 a2 c2 a2 Hình 22b c2c1 a2 a2 a1 a1 Hình 22c a1 a2 a3 a3 a2a1 Hình 23 25 Bằng quy nạp, ta chứng minh được tổng liên thông của n mặt phẳng xạ ảnh là không gian thương của hình 2n-cạnh với các cạnh được đồng nhất từng đôi. Hình 2n-cạnh như vậy được gọi là dạng chính tắc của tổng liên thông n mặt phẳng xạ ảnh. II. Phép tam giác phân của mặt compact II.1. Định nghĩa Cho một mặt compact S. Một họ hữu hạn các tập con đóng {T1, T2,…, Tn} của S được gọi là một phép tam giác phân của S nếu thoả mãn các điều kiện sau: i). ST n 1i i    ii). Với mỗi Ti (i= n,1 ) luôn tồn tại phép đồng phôi iii T:  , trong đó i là một tam giác trong mặt phẳng R 2. Ta gọi mỗi Ti là một “tam giác tôpô” hay ngắn gọn là “tam giác”. Tạo ảnh của một cạnh hay một đỉnh trong tam giác i vẫn được gọi là “cạnh” và “đỉnh”. iii). Với bất kì hai tam giác phân biệt chỉ xảy ra một trong ba trường hợp, hoặc rời nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung hoặc có toàn bộ một cạnh chung. II.2. Ví dụ 1. Phép tam giác phân của mặt cầu S2 Mặt cầu S2 đồng phôi với tứ diện trong không gian R3 (tưởng tượng là ta có thể “bơm” hơi vào một tứ diện để nó phồng lên thành mặt cầu). Do đó mặt cầu có một phép tam giác phân gồm 4 tam giác (có 4 đỉnh) như hình vẽ 2. Phép tam giác phân của mặt xuyến Biểu diễn mặt xuyến bởi hình vuông với các cặp cạnh đối diện đồng nhất, ta được một phép tam giác phân của mặt xuyến gồm 14 tam giác, có 7 đỉnh (được đánh số từ 1 đến 7) như hình vẽ Hình 24 1 7 5 6 4 321 14 tam giác là: 124 245 235 351 346 465 657 571 714 316 162 627 723 734 26  Phép tam giác phân của mặt phẳng xạ ảnh Biểu diễn mặt phẳng xạ ảnh bởi hình tròn với các cặp điểm xuyên tâm đối trên biên đồng nhất, ta được một phép tam giác phân của mặt phẳng xạ ảnh gồm 10 tam giác, có 6 đỉnh (được đánh số từ 1 đến 6) như hình vẽ 10 tam giác là: 124 245 235 315 156 126 236 364 314 456 II.3. Nhận xét i). Trong một phép tam giác phân. mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai tam giác. Thật vậy, nếu một cạnh là cạnh của chỉ một tam giác thì mọi điểm trên cạnh đó đều không có lân cận mở trong S, điều này trái với S là một đa tạp. Nếu một cạnh là cạnh chung của nhiều hơn hai tam giác thì nó không thoả điều kiện iii) trong định nghĩa phép tam giác phân. ii). Trong một phép tam giác phân, ta có thể sắp xếp tập tất cả m tam giác có chung một đỉnh u nào đó theo thứ tự T0, T1,…, Tm thoả điều kiện Ti và Ti+1 ( 1mi0  ) có một cạnh chung và Tm với T0 có một cạnh chung. Đầu tiên ta chọn một tam giác tuỳ ý (có một đỉnh là u) đặt là T0 và giả sử T0 có hai cạnh chứa u là c và c’. Tiếp theo ta chọn một tam giác có đỉnh u và có chung cạnh c với T0, đặt là T1. Tam giác như vậy luôn tồn tại duy nhất vì nếu không tồn tại thì điểm u không có lân cận mở trong S, còn nếu có nhiều hơn một tam giác thì c là cạnh chung của ba tam giác và điều này trái với nhận xét i). Tiếp tục quá trình như vậy cho đến khi ta sắp đến tam giác thứ m’ và Tm’ có cạnh chung c’ với tam giác T0 và ta được dãy T0, T1,…, Tm’. Khi đó, nếu m’ < m thì điểm u không có lân cận mở trong S (mâu thuẫn với S là một đa tạp), vậy m’ = m. II.4. Định lí 1 2 3 6 5 4 3 2 1 Hình 26 27 Mọi mặt compact đều tồn tại phép tam giác phân. II.5. Bổ đề Tổng liên thông của một mặt xuyến và một mặt phẳng xạ ảnh đồng phôi với tổng liên thông của ba mặt phẳng xạ ảnh. Chứng minh Theo ví dụ IV.3, tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh là chai Klein. Do đó ta chỉ cần chứng minh tổng liên thông của mặt xuyến và mặt phẳng xạ ảnh đồng phôi với tổng liên thông của chai Klein và mặt phẳng xạ ảnh. Trước hết ta xây dựng tổng liên thông của mặt xuyến với lá Mobius và tổng liên thông của chai Klein với lá Mobius. Biểu diễn mặt xuyến và mặt phẳng xạ ảnh bởi những hình chữ nhật với các cạnh đối diện được đồng nhất, sau đó khoét một lỗ tròn trên chúng (hình vẽ) Trên lá Mobius ta cũng cắt đi một lỗ tròn nhỏ. Chúng ta bắt đầu với mặt xuyến (hình 27a), cắt hình chữ nhật ABCD theo đường c, dán EB với FC ta được một mặt trụ với một lỗ tròn trên nó (lưu ý là khi dán AE và BF ta cũng được một mặt trụ). Dán mặt trụ (có một lỗ tròn) và lá Mobius ở trên theo biên của các lỗ tròn. Do mặt trụ đồng phôi với mặt cầu bị khoét đi 2 lỗ tròn và tổng liên thông của mặt a a bb c F E D C BA Hình 29a Hình 28 bc cb Hình 29b a bb a Hình 27b b a b a D C BA Hình 27a 28 cầu với lá Mobius vẫn là lá Mobius nên sau khi dán như trên ta được một không gian đồng phôi với lá Mobius bị khoét đi 2 lỗ tròn (một lỗ tròn có biên là b và một lỗ tròn có biên là c). Cuối cùng ta dán lá Mobius này với mặt trụ còn lại theo các đường b và c. Đối với chai Klein ta cũng thực hiện các bước tương tự. Tuy nhiên ở bước cuối cùng ta phải dán đường tròn b trên lá Mobius với biên b của mặt trụ ngược chiều nhau Ta sẽ chỉ ra rằng hai không gian ở hình 31 và 32 là đồng phôi. Thật vậy, khi cắt chúng theo đoạn AB, ta đều được cùng một không gian như hình vẽ c b Hình 30 c b Hình 31 c b Hình 32 A B B A b c b c Hình 33a B A 29 Suy ra hai không gian ở hình 31 và 32 đồng phôi. Suy ra tổng liên thông của mặt xuyến với lá Mobius đồng phôi tổng liên thông của chai Klein với lá Mobius Theo nhận xét 2(II.5), khi dán lá Mobius với đĩa D2 theo biên của chúng ta được một mặt phẳng xạ ảnh và ta đã chứng minh tổng liên thông của mặt xuyến với lá Mobius đồng phôi với tổng liên thông của chai Klein với lá Mobius. Do đó tổng liên thông của mặt phẳng xạ ảnh với mặt xuyến đồng phôi với tổng liên thông của mặt xuyến với chai Klein. Tức là tổng liên thông của mặt phẳng xạ ảnh với mặt xuyến đồng phôi với tổng liên thông 3 mặt phẳng xạ ảnh. III. Định lí phân loại tôpô các mặt compact Mỗi mặt compact S bất kì đều đồng phôi với một và chỉ một trong ba loại mặt sau: mặt cầu, tổng liên thông của các mặt xuyến, tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh. Chứng minh III.1. Bước 1: Chứng minh S là không gian thương của một hình n-cạnh với các cặp cạnh xác định được đồng nhất Giả sử chúng ta có một mặt compact S, theo định lí II.4, S có một phép tam giác phân gồm n tam giác 1. Ta sẽ chứng tỏ rằng có thể đánh số các tam giác T1, T2,…, Tn sao cho tam giác Ti có một cạnh ei chung với một trong những tam giác T1,…, Ti-1 (i= n,2 ). Ta chọn một tam giác bất kì là T1, chọn T2 là tam giác có một cạnh chung với T1, chọn T3 là tam giác có một cạnh chung với T1 hoặc có một cạnh chung với T2. Quá trình này là hoàn toàn thực hiện được cho đến khi tam giác Tn được chọn. Thật vậy, giả sử trái lại, ta đã chọn tới tam giác Tk (1 k < n) và không thể chọn tam giác thứ k +1 thoả điều kiện trên. Khi đó ta có hai tập hợp tam giác A và B mà không một tam giác nào trong tập B có cạnh chung với một tam giác trong tập A. Nếu BA thì S biểu diễn được thành hai tập đóng khác rỗng và rời nhau, điều này mâu thuẫn với tính liên thông của S. Nếu tồn tại u BA , với u là đỉnh chung của một tam giác thuộc A và một tam giác thuộc B thì điểm u không có lân cận mở trong S, điều này mâu thuẫn với S là đa tạp. Vậy khẳng định đã được chứng minh. 30 2. Ta đã có một phép tam giác phân {T1,…,Tn} của mặt S thoả điều kiện trên, với mỗi tam giác Ti, tồn tại một tam giác thông thường i trong R 2 và một phép đồng phôi i : i  Ti. Ta có thể giả sử các tam giác i là rời nhau từng đôi (nếu không, ta tịnh tiến chúng đi chổ khác trong R2). Đặt = n 1i i   , do i là các tập compact nên  cũng là tập compact. Xét ánh xạ S:  xác định bởi ii|   Rõ ràng  là một toàn ánh. Theo mệnh đề II.1.3(chương I), ánh xạ  là liên tục. Do  compact và S là không gian Hausdorff nên  là ánh xạ đóng (theo mệnh đề II.2.2 chương I). Vì  là một toàn ánh liên tục từ  vào S và  là ánh xạ đóng, theo mệnh đề III.3.3 suy ra S có tôpô sinh bởi  . Như vậy ta đã chứng minh được S là mặt có được bằng cách dán các tam giác i theo các cạnh thích hợp. 3. Bây giờ ta xây dựng không gian thương của  Xét cạnh e2, theo 1., e2 là cạnh chung của tam giác T2 và tam giác T1, suy ra )e( 2 1 gồm một cạnh a của tam giác 2 và một cạnh b của tam giác 1 . Xét quan hệ R1 trên  được định nghĩa như sau Với mọi u, v thuộc  , u R1 v            bavu )v()u(,av,bu )v()u(,bv,au 11 11 Dễ thấy R1 là quan hệ tương đương trên  , do đó  /R1 là một không gian thương của  . Một cách trực quan, không gian  /R1 có được là do dán tam giác 1 với tam giác 2 theo cạnh e2. Tương tự, ta lần lượt xét các cạnh e3,…,en và định nghĩa các quan hệ tương đương R2,…,Rn-1 như trên. Cuối cùng ta được một không gian thương của  có được bằng cách dán các tam giác i theo các cạnh thích hợp. Ta kí hiệu không gian này là P (có thể hình dung P là một đa giác theo nghĩa tập hợp). Khi đó, ánh xạ S:  cảm sinh một ánh xạ SP:  . Ta dễ dàng chứng minh được  là toàn ánh liên tục và là ánh xạ đóng, tức S có tôpô sinh bởi  . Đến đây, bước 1 đã hoàn thành, tức S là không gian thương của P có được bằng cách đồng nhất các cặp cạnh trên biên của P. Nhận xét: P đồng phôi với đĩa đóng 2D Chứng minh Xét hai đĩa đóng 21D và 2 2D . Gọi I1, I2 lần lượt là các tập con của 2 1D và 2 2D mà đồng phôi với đoạn [0,1]. Khi đó, I1 và I2 đồng phôi với nhau, tức là tồn tại phép đồng phôi h từ I1 đến I2. Trên tập 21D  2 2D , định nghĩa quan hệ ~ như sau 31 Với mọi u, v thuộc 21D  2 2D , u ~ v          21 1 1 IIvu v)v(h,Iv v)u(h,Iu Rõ ràng ~ là một quan hệ tương đương, do đó 21D  2 2D /~ là một không gian thương của 21D  2 2D có được bằng cách dán 2 1D và 2 2D theo I1, I2. Không gian thương này là đồng phôi với đĩa đóng 2D . Khi xây dựng P, đầu tiên ta dán 1 và 2 theo cạnh e2, do 1 và 2 đều đồng phôi với đĩa đóng nên kết quả của phép dán cũng đồng phôi với đĩa đóng. Lí luận tương tự cho các bước tiếp theo, cuối cùng ta suy ra P đồng phôi với đĩa đóng. III.2. Bước 2: Phép khử các cặp cạnh kề loại 1 Để thuận tiện cho việc trình bày, ta kí hiệu P bằng một dãy các cạnh của nó. Ta xuất phát từ một đỉnh và đi dọc theo biên của P theo một hướng nhất định cho đến khi trở lại đỉnh ban đầu. Khi đi qua một cạnh a nào đó, nếu hướng của ta cùng hướng với mũi tên (chỉ chiều của sự đồng nhất) thì ta đánh dấu cạnh đó là a. Nếu hướng của ta ngược hướng mũi tên thì ta đánh dấu cạnh đó là a-1. Ví dụ: - Mặt cầu: aa-1 - Mặt xuyến: aba-1b-1 - Mặt phẳng xạ ảnh: abab - Tổng liên thông của n mặt xuyến: 1n1nnn121222111111 baba,...,baba,baba  - Tổng liên thông của n mặt phẳng xạ ảnh: a1a2b1b2…anbn. Định nghĩa - Cặp cạnh mà chữ cái chỉ nó xuất hiện trong kí hiệu với cả hai số mũ 1 và - 1 được gọi là cặp cạnh loại 1. - Cặp cạnh không phải loại 1 được gọi là cặp cạnh loại 2. Ở bước 1 ta đã chỉ ra S là không gian thương của đa giác P với các cặp cạnh xác định được đồng nhất. Bây giờ ta sẽ chứng minh có thể khử bỏ các cặp cạnh kề loại 1 của P miễn là P có ít nhất 4 cạnh. Giả sử P có một cặp cạnh kề loại 1 là a như hình vẽ I2I1 Hình 34 P a a Hình 35 32 Đồng nhất cặp cạnh a ta thu được một đa giác P’ không còn cặp cạnh a. Hiển nhiên S cũng là không gian thương của P’ có được bằng cách đồng nhất các cặp cạnh xác định của P’. Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước ta có hai trường hợp  Trường hợp 1: Đa giác còn lại chỉ có hai cạnh kí hiệu là aa hoặc aa-1. Khi đó S là mặt cầu hoặc mặt phẳng xạ ảnh.  Trường hợp 2: Đa giác còn lại có ít nhất 4 cạnh và không có cặp cạnh kề loại 1. Ta chuyển sang bước 3. III.3. Bước 3: Biến đổi về đa giác mà tất cả các đỉnh được đồng nhất thành một điểm Định nghĩa: Hai đỉnh của một đa giác được gọi là tương đương nếu chúng được đồng nhất với nhau. Tập tất cả các đỉnh tương đương được gọi là lớp tương đương. Sau khi thực hiện bước 2 và chúng ta rơi vào trường hợp 2. Trong bước này ta sẽ chỉ ra rằng có thể biến đổi để được đa giác mà tất cả các đỉnh được đồng nhất (tức là tất cả các đỉnh đều tương đương với nhau). Giả sử đa giác có ít nhất hai đỉnh không tương đương với nhau, suy ra nó có ít nhất 2 đỉnh kề nhau không tương đương. Gọi hai đỉnh đó là P, Q và giả sử P thuộc cạnh a, Q thuộc cạnh b, với a, b là hai cạnh kề nhau. Khi đó, do chúng ta đã thực hiện xong bước 2 nên a và b không được đồng nhất với nhau. Giả sử cạnh a có một đầu mút khác P là R. Ta cắt đa giác theo đoạn RQ và kí hiệu đoạn này là c ta được hai đa giác. Sau đó dán hai đa giác này lại theo cạnh a ta được một đa giác mới mà không gian thương của đa giác này cũng là S. Khi đó, lớp tương đương của P giảm đi một đỉnh và lớp tương đương của Q tăng lên một đỉnh (xem hình 37). P a a Hình 36a P' Hình 36b Q R Q a b c R P c a P R c b a Q P R Hình 37 33 Chú ý là hướng của mũi tên của cạnh a không ảnh hưởng đến kết quả. Nếu trong đa giác mới, cặp cạnh dạng bb-1 xuất hiện, ta quay lại bước 2, sau đó thực hiện bước 3. Cứ tiếp tục như vậy, sau hữu hạn bước, lớp tương đương của P sẽ bị loại bỏ hoàn toàn, tức là số lớp tương đương đã giảm đi một lớp. Nếu vẫn còn nhiều hơn một lớp ta tiếp tục thực hiện quá trình trên. Cuối cùng ta được một đa giác mà tất cả các đỉnh được đồng nhất. Ta chuyển sang bước 4 III.4. Bước 4: Biến đổi cặp cạnh loại 2 không kề nhau thành cặp cạnh kề nhau. Giả sử trong đa giác thu được sau bước 3 có một cặp cạnh loại 2 không kề nhau (hình vẽ) Ta cắt đa giác theo đoạn AC kí hiệu đoạn này là b, sau đó dán chúng lại theo cạnh a ta được một đa giác giảm đi một cặp cạnh loại 2 không kề nhau, nhưng có thêm một cặp cạnh loại 2 kề nhau là bb. Nếu vẫn còn cặp cạnh loại 2 không kề nhau ta tiến hành tương tự như trên. Cuối cùng ta được một đa giác mà các cặp cạnh loại 2 đều kề nhau. Chú ý: Quá trình cắt dán như trên không làm tách các cặp cạnh loại 2 vì ta chỉ tách các cạnh kề với a và những cạnh này không đồng nhất với a. Sau khi thực hiện xong bước 4 ta có hai trường hợp D C B A a a Hình 38 B b C A a a Hình 39a C C B A a b b Hình 39b 34  Trường hợp 1: Đa giác thu được chỉ gồm các cặp cạnh loại 2, tức nó có dạng a1a1a2a2…anan. Khi đó S là tổng liên thông của n mặt phẳng xạ ảnh.  Trường hợp 2: Đa giác thu được có ít nhất một cặp cạnh loại 1. Ta sẽ chứng minh rằng có ít nhất một cặp cạnh loại 1 nữa sao cho các cạnh của hai cặp này xuất hiện xen kẽ nhau khi đi dọc theo biên của đa giác. Giả sử trái lại, đa giác được biểu diễn như hình vẽ Với U, V là dãy các cạnh của đa giác. Khi đó, mỗi cạnh trong U được đồng nhất với một cạnh khác trong U, mỗi cạnh trong V được đồng nhất với một cạnh khác trong V. Nghĩa là không có một cạnh nào trong U đồng nhất với một cạnh trong V. Suy ra điểm đầu và điểm cuối của cạnh a không được đồng nhất với nhau. Điều này mâu thuẫn với việc ta đã hoàn thành bước 3. Vậy ta đã có được điều phải chứng minh và ta chuyển sang bước 5 III.5. Bước 5: Làm cho hai cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau trở thành bốn cạnh liên tiếp. Giả sử đa giác có hai cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau là a…b…a-1…b-1…(dấu ba chấm chỉ các cạnh còn lại của đa giác). Trước tiên ta cắt đa giác theo đường c và dán chúng lại theo cạnh a (xem hình 42) VU a a Hình 40 bb a a Hình 41 a a b b c Hình 42a c c bb a Hình 42b 35 Tiếp tục, ta cắt đa giác dọc theo d và dán chúng lại theo b (xem hình 43) Đa giác ta thu được mất đi hai cặp cạnh loại 1 không xen kẽ nhau và thay vào đó là hai cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau cdc-1d-1. Chú ý: - Quá trình trên không không làm các cạnh dạng aa hoặc cdc-1d-1 (nếu đã có trước đó) bị tách ra. - Quá trình trên có thể làm xuất hiện cặp cạnh kề loại 1, khi đó ta quay lại bước 2 để khử hết các cặp cạnh kề loại 1 rồi trở lại bước 5 vì khi khử cặp cạnh kề loại 1 không làm ảnh hưởng đến kết quả ở bước 3 và bước 4. Tất nhiên sau khi khử các cặp cạnh kề loại 1 thì số cạnh của đa giác đã giảm đi, do đó sự quay lại của chúng ta là hữu hạn. Nếu đa giác vẫn còn hai cặp cạnh loại 1 không xen kẽ nhau thì ta tiếp tục quá trình như trên. Cuối cùng ta có hai trường hợp  Trường hợp 1: Đa giác cuối cùng không có cặp cạnh loại 2, tức là chỉ gồm các cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau dạng 1n1nnn121222111111 baba,...,baba,baba  . Khi đó S chính là tổng liên thông của n mặt xuyến.  Trường hợp 2 Đa giác cuối cùng có các cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau và có cả cặp cạnh loại 2. Giả sử đa giác có m bộ bốn (mỗi bộ bốn gồm hai cặp cạnh loại 1 xen kẽ nhau) và n cặp cạnh loại 2, tất nhiên mỗi cặp cạnh loại phải kề nhau dạng aa vì chúng ta đã thực hiện xong bước 4 và ở bước 5 không làm tách các cặp cạnh này. Khi đó, mặt S chính là tổng liên thông của m mặt xuyến và n mặt phẳng xạ ảnh. Từ bổ đề II.5 ta suy ra S đồng phôi với tổng liên thông của 2m + n mặt phẳng xạ ảnh. Như vậy định lí được chứng minh xong. IV. Hệ quả Mỗi mặt compact định hướng được đều đồng phôi với mặt cầu hoặc tổng liên thông các mặt xuyến. Mỗi mặt compact không định hướng được đều đồng phôi với tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh. V. Ví dụ minh họa V.1. Ví dụ 1 Xét mặt compact S có một phép tam giac phân là d c c bb Hình 43a d d c c b Hình 43b 36 123 134 145 152 623 634 645 452 S được mô tả bởi hình vẽ sau Đa giác với các cạnh được đồng nhất từng đôi ứng với phép tam giác phân đã cho là Sau khi lần lượt khử các cặp cạnh kề loại 1 là dd-1, cc-1, bb-1 ta được các đa giác ở hình 46a, 46b, 46c 1 5 4 32 1 1 1 6 Hình 44 a bc d d c b a 5 4 32 1 1 1 1 Hình 45 1 3 4 5 1 1 a b c c b aa b c d c b a 1 1 5 4 3 2 1 Hình 46a 37 Hình 46c cho thấy mặt đã cho là mặt cầu. V.2. Ví dụ 2 Cho mặt S có một phép tam giác phân là 124 246 236 367 317 174 465 658 678 689 649 495 581 812 892 923 853 531 S được mô tả bởi hình vẽ dưới dây ab b a 1 3 1 4 a b 5 b a 4 1 3 1 Hình 46b 1 3 a a b a a 4 31 Hình 46c 5 1 1 1 2 3 4 98 76 5 4 321 Hình 47 38 Đa giác với các cặp cạnh được đồng nhất từng đôi ứng với phép tam giác phân đã cho là Đa giác trên có 6 cặp cạnh loại 1 và không có các cặp cạnh loại 2. Cắt đa giác theo đường g (xem hình 49a), sau đó dán lại theo cạnh b ta được đa giác như ở hình 49b 1 1 2 3 4 a c d f 1 5 b e f e d c b a 5 4 3 2 1 Hình 48 g 1 2 3 4 5 ab c d e f e b 5 1 f d c a 4 3 2 1 1 5 b c d g g 1 1 2 3 a e f e 5 1 f d c a 4 3 2 1 1 Hình 49a g g 5 1 1 2 3 a e f e 5 1 f c a 4 3 2 1 1 d c d Hình 49b 39 Đa giác ở hình 49b có một cặp cạnh kề loại 1 là c-1c, khử cặp cạnh này sẽ xuất hiện một cặp cạnh kề loại 1 nữa là d-1d, tiếp tục khử d-1d ta được đa giác như hình 50b Trở lại bước 5, cắt đa giác theo đường h rồi dán lại theo cạnh a (hình 51) d d1 1 2 3 a f 1 5 e f e a 3 2 1 1 g g g g 1 1 2 3 a e f e 5 1 f a 4 3 2 1 1 d d Hình 50a 1 2 3 a f 1 e fe a 3 2 1 1 g gg g 1 1 2 3 a e f e 5 1 f a 3 2 1 d Hình 50b 1 h g h 1 1 3 f e fe 3 2 1 1 g h h 1 h g g 1 1 2 3 a e f e 1 f a 3 2 1 1 2 3 f 1 e f e a 3 1 1 g g Hình 51 40 Đa giác ở hình 51 xuất hiện cặp cạnh kề loại 1 là ee-1, khử cặp cạnh này ta thấy xuất hiện cặp cạnh kề loại 1 khác là ff-1, tiếp tục khử cặp cạnh ff-1 ta được đa giác như hình 52b Vậy mặt đã cho là mặt xuyến V.3. Ví dụ 3 Cho mặt S có một phép tam giác phân là 123 134 145 156 126 425 253 536 364 642 Có thể mô tả mặt S bởi hình vẽ sau 1 h g h1 1 f f 3 1 1 g e g 1 1 2 3 f f 1 1 h g h 1 Hình 52a 1 h g h1 1 1 gg 1 3 f 1 1 h g h1 Hình 52b 4 2 1 65 432 1 Hình 53 41 Đa giác với các cặp cạnh được đồng nhất từng đôi ứng với phép tam giác phân đã cho là Cắt đa giác theo đường d sau đó dán chúng lại theo cạnh a ta được đa giác ở hình 55 Khử cặp cạnh kề loại 1 b-1b của đa giác hình 55 ta được đa giác ở hình 56 Vậy mặt đã cho là mặt phẳng xạ ảnh. V.4. Ví dụ 4 Cho mặt S có một phép tam giác phân là a b c c b a 4 2 4 2 1 1 Hình 54 d d d1 1 2 4 2 4 a b c c b a 4 1 2 4 2 4 b c c b a Hình 55 b c 2 4 4 c d2 dd 2 d c 4 4 2 c1 Hình 56 42 127 273 735 351 512 416 167 678 785 854 542 246 263 638 384 314 Mặt S được mô tả bởi hình vẽ sau Đa giác với các cặp cạnh được đồng nhất từng đôi ứng với phép tam giác phân đã cho là Cắt đa giác theo f và dán chúng lại theo cạnh d (hình 59a), sau đó khử cặp cạnh kề loại 1 là e-1e ta được đa giác ở hình 59b 2 1 12 3 4 8 7 6 5 4 3 21 Hình 57 1 2 3 4 4 3 2 1 12 a b c d e a b c d e Hình 58 1 1 f e c b 3c b a e d a 1 12 4 3 21 ff 1 2 3 4 4 3 2 1 12 a b c d e a b c d e Hình 59a 43 Ta tiếp tục cắt đa giác trên theo g và dán chúng lại theo b (hình 59c), sau đó khử cặp cạnh kề loại 1 là c-1c ta được đa giác ở hình 59d Đa giác ở hình 59d có hai cặp cạnh loại 2 và chỉ có một cặp cạnh loại 1(không kề), điều này không trái với kết quả ở bước 4 trong chứng minh định lí b b 1 2 2 3 a c a 3 1 1 cf f 1 Hình 59b g 2 c 1 f f c 1 1 a a 3 2 2 1 b g g b b 1 2 2 3 a c a 3 1 1 cf f 1 Hình 59c 1 a g f f g 2 a 2 1 1 2 Hình 59d 44 bởi vì đơn giản là chúng ta chưa biến đổi về đa giác với tất cả các đỉnh được đồng nhất. Sau đây chúng ta sẽ làm công việc đó. Ta cắt đa giác theo h và dán chúng theo f (hình 59e) Cắt đa giác ở hình 59e theo r và dán chúng theo h (hình 59f) Đa giác ở hình 59f xuất hiện cặp cạnh kề loại 1 là a-1a, khử cặp cạnh này ta được đa giác như hình 59g Vậy mặt đã cho là chai Klein (tổng liên thông của hai mặt phẳng xạ ảnh). VI. Sơ lược về một hướng chứng minh khác của định lí h a 2 a g f h g 2 h 2 1 1 22 11 2 a 2 g f f g a 1 1 a g h a g 2 h 2 2 1 2 Hình 59e a 2 r r a g h g 2 r 2 2 1 22 12 2 h 2 g a h g a 1 2 a g a r g 2 r 2 2 1 2 Hình 59f 2 2 2 2 g r gr a r g r g 2 22 2 1 Hình 59g 45 Trong phần trên ta dùng phương pháp “cắt dán” để chứng minh định lí. Sau đây là sơ lược về một cách khác dùng hai bất biến tôpô là đặc trưng Euler và tính định hướng để phân loại mặt compact VI.1. Đặc trưng Euler Trước hết chúng ta nói sơ lược về đồ thị. Một đồ thị là một tập gồm các đỉnh và các cạnh, nếu các đỉnh và các cạnh trên mặt phẳng thì ta nói đó là đồ thị phẳng. Cúng ta xét đồ thị hữu hạn và liên thông, tức là đồ thị có hữu hạn số đỉnh và số cạnh, và có thể đi từ đỉnh này tới đỉnh kia qua các cạnh của đồ thị. Khi đó, đồ thị chia mặt phẳng thành hữu hạn miền, ta gọi là mặt. Kí hiệu Đ, M, C lần lượt là số đỉnh, số mặt và số cạnh của đồ thị. Ta có đặc trưng Euler của mặt phẳng là Đ – C + M = 1. Xét đồ thị trên mặt cầu ta có đặc trưng Euler của mặt cầu là Đ – C + M = 2. Tương tự, đặc trưng Euler của mặt xuyến là Đ – C + M = 0 và đặc trưng Euler của mặt phẳng xạ ảnh là Đ – C + M = 1. Để cho gọn, ta kí hiệu đặc trưng Euler là  . Ví dụ  (S2) = 2,  (T) = 0,  (P2) = 1 VI.2. Xây dựng mặt tiêu chuẩn 1. Mặt định hướng tiêu chuẩn Xuất phát từ một mặt cầu, ta khoét đi hai lỗ tròn nhỏ sau đó dán nó với một mặt trụ theo biên của các lỗ tròn và biên của mặt trụ (hình vẽ) Nếu dán mặt cầu với p mặt trụ như vậy (mỗi lần dán một mặt trụ ta phải khoét đi hai lỗ tròn nhỏ trên mặt cầu) ta được mặt định hướng tiêu chuẩn loại p. 2. Mặt không định hướng tiêu chuẩn Xuất phát từ mặt cầu, ta khoét một lỗ tròn nhỏ và dán vào đó một lá Mobius theo biên của lỗ tròn và biên của lá Mobius. Nếu dán vào q lá Mobius (tất nhiên mỗi lần dán một lá Mobius ta phải khoét đi một lỗ tròn nhỏ trên mặt cầu) ta được một mặt không định hướng tiêu chuẩn loại q. 3. Đặc trưng Euler của mặt tiêu chuẩn Nếu Mp là mặt định hướng tiêu chuẩn loại p thì  (Mp) = 2 – 2p. Nếu Nq là mặt không định hướng tiêu chuẩn loại q thì  (Nq) = 2 – q. VI.3. Phân lớp các mặt Ta cần hai khẳng định sau Khẳng định 1: Đặc trưng Euler của một mặt bất kỳ không vượt quá 2. Khẳng định 2: Mặt mà mọi đường cong kín trên nó đều chia nó thành hai phần rời nhau thì đồng phôi với mặt cầu. Do phần này chỉ mang tính chất giới thiệu nên ta chỉ nêu ra mà không chứng minh hai khẳng định trên. Xét một mặt S tuỳ ý, ta vẽ trên nó một đường cong kín (nếu có thể) sao cho không chia S làm hai phần rời nhau (nếu không được ta sẽ dừng lại). Sau đó ta cắt mặt S dọc theo đường cong kín này. Nếu vết cắt tạo ra trên S một lỗ tròn thì Hình 60 46 ta dán vào đó một hình tròn dọc theo biên của chúng và đánh dấu vào đó một đường tròn không có mũi tên. Nếu vết cắt tạo ra trên S hai lỗ tròn thì ta dán vào đó hai hình tròn theo biên của chúng. Chúng ta đánh dấu mũi tên cùng chiều kim đồng hồ vào một trong hai đường tròn. Đối với đường tròn còn lại, mũi tên ngược chiều hay cùng chiều kim đồng hồ phụ thuộc vào việc khi ta dán mặt trụ vào hai lỗ tròn này (theo biên của chúng) thì có cần phải xoay mặt trụ 1800 hay không để không gian tạo thành đồng phôi với không gian ban đầu. Sau mỗi bước cắt và dán như trên, đặc trưng Euler của mặt S sẽ tăng thêm 1 hoặc 2 tuỳ thuộc vào vết cắt tạo ra mấy lỗ tròn. Dựa vào khẳng định 1 ta kết luận số bước cắt dán là hữu hạn. Chúng ta chỉ dừng lại khi không tìm thấy đường cong kín nào mà không chia mặt của chúng ta thành hai phần rời nhau. Do đó, dựa vào khẳng định 2 ta kết luận mặt cuối cùng chúng ta thu được là mặt cầu.. Bây giờ ta tiến hành ngược lại dựa vào các đường tròn khi nãy ta đành dấu. Nếu có hai đường tròn ngược chiều nhau thì ta cắt ra và dán vào đó một mặt trụ (giống như lúc khi nãy ta xây dựng mặt tiêu chuẩn). Nếu có một đường tròn không có mũi tên thì ta cắt ra và dán vào đó lá Mobius. Nếu có hai đường tròn cùng chiều thì ta cắt ra và dán vào đó mặt trụ với một đầu bị xoay đi 1800. Tuy nhiên việc này hoàn toàn tương đương với việc dán chai Klein vào đó. Ta biết là chai Klein có được nhờ dán hai lá Mobius lại với nhau theo biên của chúng, do đó việc dán vào một mặt trụ với một đầu bị xoay đi 1800 tương đương với việc dán vào đó hai lá Mobius. Sau khi hoàn thành việc dán như vậy ta được một không gian đồng phôi với mặt S ban đầu. Nếu S là mặt định hướng được thì trong bước ngược lại, ta không dán một lá Mobius nào vào cả (vì nếu dán vào lá Mobius sẽ trở thành mặt không định hướng được) mà chỉ dán vào các mặt trụ và do đó S chính là mặt định hướng tiêu chuẩn loại p nào đó. Nếu S là mặt không định hướng được thì trong bước ngược lại ta phải dán vào mặt cầu ít nhất 1 lá Mobius. Nếu có các đường tròn với mũi tên ngược chiều nhau thì ta di chuyển một số trong chúng dọc theo lá Mobius. Khi di chuyển đường tròn như vậy sau một vòng đường tròn sẽ đổi chiều và cuối cùng ta sẽ có tất cả các đường tròn cùng chiều. Tức là ta chỉ dán các lá Mobius vào mặt cầu, do đó mặt S chính là mặt không định hướng tiêu chuẩn. Như vậy mục đích phân loại của chúng ta đã đạt được, một mặt tuỳ ý chỉ có thể là một trong ba dạng: mặt cầu, mặt định hướng tiêu chuẩn hoặc mặt không định hướng tiêu chuẩn. Nhận xét: - Mặt định hướng tiêu chuẩn chính là tổng liên thông của các mặt xuyến. - Mặt không định hướng tiêu chuẩn là tổng liên thông của các mặt phẳng xạ ảnh. VI.4. Nhận dạng một mặt compact qua phép tam giác phân của nó Giả sử chúng ta có được một phép tam giác phân nào đó, ta hoàn toàn có thể tính được đặc trưng Euler của nó dễ dàng, nếu biết thêm là mặt có định hướng được hay không thì ta nhanh chóng biết được mặt đã cho là mặt gì thay vì phải biến đổi phức tạp như trong các ví dụ ở phần V. 47 1. Từ phép tam giác phân của mặt S ở ví dụ V.1 (xem hình 44, 45), ta tính được Đ = 6, M = 8, C = 12, suy ra  (S) = 2. Ta kết luận ngay S là mặt cầu (chỉ có mặt cầu mới có đặc trưng Euler bằng 2). 2. Từ phép tam giác phân của mặt S ở ví dụ V.2 (xem hình 47, 48), ta tính được Đ = 9, M = 18, C = 27, suy ra  (S) = 0. Suy ra S là mặt xuyến hoặc chai Klein. Nếu biết thêm S định hướng được thì ta có thể khẳng định S là mặt xuyến. 3. Từ phép tam giác phân của mặt S ở ví dụ V.3 (xem hình 53, 54), ta tính được Đ = 6, M = 10, C = 15, suy ra  (S) = 1. Vậy S chính là mặt phẳng xạ ảnh (chỉ mặt phẳng xạ ảnh mới có đặc trưng Euler bằng 1). 4. Từ phép tam giác phân của mặt S ở ví dụ V.3 (xem hình 57, 58), ta tính được Đ = 8, M = 16, C = 24, suy ra  (S) = 0. Nếu biết thêm S là mặt không định hướng được thì ta kết luận S chính là chai Klein. Phần kết luận I. Kết quả đạt được Qua quá trình nghiên cứu với sự hướng dẫn tận tình của thầy Lê Anh Vũ, đề tài đã đạt được các kết quả sau 1. Trình bày sơ lược về đa tạp n-chiều, đi sâu nghiên cứu mặt compact, tính định hướng được và không định hướng được của mặt. 2. Phát biểu và chứng minh định lí phân loại mặt compact và một vài ví dụ minh hoạ cho định lí. 3. Giới thiệu sơ lược một hướng khác để chứng minh định lí là dùng tính định hướng và đặc trưng Euler. II. Hạn chế của đề tài - Ở nhiều chổ, thay cho lập luận lôgic chặt chẽ chỉ đưa ra những hình ảnh minh hoạ. - Một số tính chất, định lí chỉ nêu ra mà không chứng minh do việc chứng minh quá dài dòng và nhiều khi vượt quá nội dung nghiên cứu của bản luận văn. III.Hướng phát triển của đề tài Bản luận văn chỉ nghiên cứu phân loại đa tạp compact 2-chiều, liên thông, không bờ. Đây là nền tảng cho việc nghiên cứu phân loại các đa tạp 2-chiều nói chung hoặc các đa tạp có số chiều cao hơn. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Nhà trường và khoa Toán học đã tạo điều kiện cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy Lê Anh Vũ để bản luận văn này được hoàn thành. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Trần Đức Trí (1986), Những khái niệm của toán học hiện đại tập II, Nxb Khoa học và kĩ thuật, Hà Nội. 2. Nguyễn Bá Đô (2003), Các câu chuyện toán học, Nxb Giáo dục, Đà Nẵng. 3. Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, TP.Hồ Chí Minh. Tiếng Anh 1. W.S.Massey (1967), Algebraic Topology: An Introduction, Nxb Yale University, New York. 2. Oleg Efimov (1985), Introduction Topology, Nxb Mir Publishers, Moscow. 3. Donald W.Kahn (1995), Topology An Introduction to the Point-Set and Algebraic Areas, Dover Publications, New York. 4. IR.Aitchison (1999), Geometry & Topology Monographs. 5. Jean Gallier (2005), The Classification Theorem for Compact Surfaces and A Detour on Fractals, Nxb University of Pennsylvania. 49 6. Eszter Kónya (2005), On the fundamental theorem of compact and noncompact surfaces. 7. W.J.Havey, On the classifications of surface Homeomorphisms.