Luận văn Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác cho bài toán Exciton 2D trong từ trường đều

ng pháp toán tử vẫn cho kết quả hội tụ tốt. 29 0 2 4 6 8 10 4.5 4.6 4.7 4.8 Na êng lö ôïn g E (s) n n = 4, λ = 0.01 PP toaùn töû FK PP lyù thuyeát nhieãu loaïn λ<< 0.146 Voøng laëp s 0 2 4 6 8 10 3 4 5 6 7 Na êng lö ôïn g E (s) n n = 4, λ = 0.03 PP toaùn töû FK PP lyù thuyeát nhieãu loaïn λ<< 0.146 Voøng laëp s Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi điều hòa ứng với trạng thái kích thích 4n = . Lý thuyết nhiễu loạn cho kết quả hội tụ với giá trị 0.01λ = . Với λ rất nhỏ 0.03λ = lý thuyết nhiễu loạn đã cho kết quả phân kì. Phương pháp toán tử ứng với các giá trị λ khác nhau vẫn cho kết quả hội tụ. Bằng phương pháp toán tử, ta tìm được nghiệm chính xác cho giá trị λ bất kì, không chỉ trạng thái cơ bản mà cho cả các trạng thái kích thích n. Nghiệm chính xác và hội tụ đến 10 chữ số thập phân sau dấu phẩy. Mặc dù tham số tự do đuợc chọn chưa phải tối ưu, ta thấy nghiệm thu được có tốc độ hội tụ cao. Như vậy, ta thấy phương pháp toán tử FK cho ta nghiệm chính xác bằng số với giá trị tham số nhiễu loạn bất kì. Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa, sơ đồ vòng lặp cho kết quả hội tụ về nghiệm chính xác nhanh hơn dùng thuyết nhiễu loạn để tính bổ chính năng luợng và tài nguyên tính toán cho mỗi bậc vòng lặp ít hơn so với mỗi bậc nhiễu loạn. Từ truớc đến nay, trong các công trình áp dụng phương pháp toán tử FK thì sơ đồ vòng lặp được mặc định sử dụng mặc dù chưa có tuyên bố nào về sự so sánh giữa hai sơ đồ. Trong luận văn này tôi sẽ sử dụng sơ đồ vòng lặp để giải bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường. 30 2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử `Khi áp dụng phương pháp toán tử FK để giải một bài toán hệ nguyên tử, phân tử cụ thể cần lưu ý một số vấn đề sau: (a) Biến động lực ở mẫu số: bước đầu tiên để áp dụng phương pháp toán tử là đưa toán tử Hamilton của bài toán đang xét về các toán tử sinh hủy. Việc biểu diễn qua các toán tử sinh hủy được thực hiện một cách dễ dàng khi toán tử Hamilton có dạng đa thức của các biến số động lực, ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa. Tuy nhiên, đối với các bài toán về nguyên tử, phân tử thì các số hạng biểu diễn tương tác Coulomb đều chứa phần tọa độ ở phía mẫu số, một số trường hợp các biến động lực này còn nằm trong dấu căn, gây khó khăn trong việc đưa toán tử Hamilton về biểu diễn đại số. Để vận dụng cho các bài toán hệ nguyên tử khi tương tác Coulomb có biểu thức tọa độ nằm ở mẫu số ta có thể sử dụng phép biến đổi Levi-Civita [2], [10] hay Laplace đã được áp dụng trong công trình [7]. Phép biến đổi Levi-Civita hay còn gọi là phép biến đổi tuyến tính bình phương được định nghĩa như sau: 2 2 2 x u v y uv    = − = (2.19) cho phép chuyển đổi từ không gian hai chiều ( ; )x y sang không gian hai chiều ( ; )u v . Trong phép biến đổi này khoảng cách trong không gian ( ; )x y được đưa về bình phương khoảng các trong không gian ( ; )u v theo công thức: 2 2 2 2 ,r x y u v= + = + (2.20) phép biến đổi tọa độ này có Jacobien khác 1 như sau: 2 24( )dxdy u v dudv= + . (2.21) Vì vậy Jacobien sẽ xuất hiện như là một trọng số trong công thức tích vô hướng của hai vectơ trạng thái khi chuyển từ không gian ( , )x y sang không gian ( , )u v . Điều này có nghĩa nếu toán tử Kˆ nào đó là hermite trong không gian ( , )x y thì toán tử 2 2 ˆ4( )K u v K= + sẽ hermite trong không gian ( , )u v . Chính vì vậy để cho bảo toàn tính hermite cho toán tử Hamilton qua phép biến đổi (2.19) ta cần viết phương trình Schrödinger lại như sau: 31 ( )ˆ( ) 0r H E r− Ψ = . (2.22) Trong không gian ( , )u v phương trình này trở thành: ( ) ( ), ,H u v Z u vΨ = Ψ . (2.23) Ta thấy trong phương trình (2.23) có sự đổi chỗ của Z và E với vai trò trị riêng. Năng lượng E không còn là trị riêng nữa mà nó đóng vai trò như một tham số. Trong khi đó Z trở thành trị riêng của phương trình (2.22). Công thức phép biến đổi Laplace được biểu diễn như sau: 2 2( ) 0 ˆ t x yZ Z eU dt r tπ ∞ − + = = ∫ . (2.24) Đây là phép biến đổi trực tiếp đưa biến động lực lên mà không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác, mặc dù khối lượng tính toán ban đầu sẽ tăng lên đáng kể so với việc sử dụng phép biến đổi Levi-Civita. Phép biến đổi Laplace sẽ được áp dụng cho bài toán trong luận văn này. (b) Dạng chuẩn của toán tử sinh hủy: dạng chuẩn của toán tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức, toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức và các toán tử trung hòa ở giữa. Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất nhiều. Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng tính chất ˆ 0( ) 0a ω = , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái còn lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng. Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa: ta chỉ cần áp dụng công thức giao hoán tử: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1 1a a a a aa aa a a+ + + + +  = − = ⇒ = +  , thì có thể đưa toán tử về dạng chuẩn thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như các đa thức. 32 Ví dụ: Đưa toán tử ( )22ˆ ˆa a+ về dạng chuẩn. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 . a a a aa a a a a a aa aa aa a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = = + = + = + + + + = + + + + = + + + = + + + = + + Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy: khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ có bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây. Ví dụ: ( ) ˆ ˆt a ae + + Vì ta có hệ thức giao hoán ˆ ˆ, 1a a+  =  nên từ đây các toán tử ˆ ˆ,a a + và số một tạo thành một đại số kín. Như vậy ta có thể viết: ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t a a f t a h t g t ae e e e F t + ++ = = . (2.25) Tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau: Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (2.25) theo t rồi nhân cho ( )1F t− và thu gọn các số hạng ta được: ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' .f t a f t aa a f t a h t g t e ae+ ++ + −+ = + + (2.26) Bước hai: Sử dụng công thức: ˆ ˆ 1 1 2! 3! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA Ae B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−                    . (2.27) Ta có: ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ...f t a f t ae ae a f t a a a f t+ +− + = + + = −  . 33 Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' 'a a f t a g t a f t h t f t a g t a h t g t f t+ + ++ = + − + = + + − . (2.28) Bước ba: Đồng nhất hai vế của phương trình (2.28), ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 ' 1 ' ' 0 f t g t h t g t f t  =  =  − = . Giải hệ này kết hợp với điều kiện ban đầu,ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 f t t g t t th t   =  =   =  . Như vậy dạng chuẩn của ( ) ˆ ˆt a ae + + là: ( ) 2ˆ ˆ ˆ ˆ /2t a a ta ta te e e e + ++ = . (2.29) (c) Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở: đây là một trong những bước quan trọng để áp dụng phương pháp toán tử. Nghiệm chính xác của bài toán được biểu diễn qua bộ hàm này với các yếu tố ma trận tương ứng, sau đó áp dụng sơ đồ thích hợp ta sẽ thu được nghiệm số chính xác. Để xây dựng được bộ hàm sóng cơ sở thuận lợi cho quá trình tính toán và có ý nghĩa vật lý, cần dựa trên ba yếu tố. Thứ nhất, hàm sóng cơ sở là nghiệm riêng của phần chính 0Hˆ : vì toán tử này chỉ chứa các toán tử trung hòa nên nên bộ hàm sóng cơ sở cũng chính là hàm sóng của dao động tử điều hòa. Thứ hai, tính đối xứng của bài toán: để đảm bảo ý nghĩa vật lý của bộ hàm sóng cơ sở. Đối với hệ chuyển động tự do trong không gian ba chiều sẽ có tính đối xứng cầu, khi đó bình phương moment động lượng quĩ đạo 2L là một đại lượng bảo toàn. Trong trường hợp hai chiều, nếu hệ chuyển động tự do hoặc chịu tác dụng của từ trường vuông góc với mặt phẳng chuyển động Oxy thì sẽ có đối xứng quanh trục Oz, khi đó hình chiếu moment động lượng quĩ đạo lên trục Oz bảo toàn. Như vậy, để đảm bảo tính đối xứng của hệ vật lý, ta chọn bộ hàm sóng cơ sở đồng thời là hàm 34 riêng của đại lượng bảo toàn, trong trường hợp hai chiều là ˆzL vì toán tử ˆzL là đại lượng bảo toàn. Thứ ba, biểu thức tường minh của toán tử Hamilton: để sử dụng được bộ hàm sóng cơ sở khi tính toán các tác dụng để tìm các yếu tố ma trận của toán tử Hamilton, một yêu cầu cơ bản là các số hạng có mặt trong toán tử Hamilton khi tác dụng lên hàm sóng định nghĩa phải trả về đúng dạng đã định nghĩa, với số trạng thái cùng hoặc khác trạng thái ban đầu. Do đó, trong quá trình tính toán, thay vì sử dụng các toán tử sinh hủy cơ bản đã định nghĩa ban đầu để xây dựng hàm sóng, ta chọn các tổ hợp tuyến tính thích hợp của các toán tử này. Những điều kiện này sẽ được áp dụng để xây dựng hàm sóng cơ sở cho bài toán của luận văn. (d) Cách chọn tham số tự do ω để tăng tốc độ hội tụ của bài toán: Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó là vai trò của tham số tự do. Tham số này được đưa vào khi biểu diễn các biến số động lực qua các toán tử sinh hủy. Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất toán tử Hamilton của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này. Tuy nhiên, tham số tự do ω đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong phương pháp toán tử FK do độ chính xác của nghiệm gần đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa ω . Ngoài ra khi tính chuỗi các bổ chính vào nghiệm để thu được nghiệm chính xác bằng số, tốc độ hội tụ cũng phụ thuộc rất lớn vào giá trị ω . Chúng ta có thể chọn tham số tự do từ điều kiện (2.10) hoặc từ điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn: 1/2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1. s OM OM s s s OM s V V H ψ ψ β ω ψ ψ =  (2.30) Ngoài ra, khi giải bài toán bằng phương pháp toán tử FK, ta có thể sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hay sơ đồ vòng lặp. Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa sơ đồ vòng lặp tỏ ra chiếm ưu thế hơn. Nhưng chưa có kết luận cụ thể về việc so sánh hai sơ đồ. Vậy việc chọn lựa sơ đồ có ảnh hưởng gì đến quá trình tính toán cũng như kết quả bài toán không? Đây cũng là một trong những vấn đề cần được nghiên cứu. 35 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Trong chương trước, chúng tôi đã trình bày một cách tổng quan về phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger qua ví dụ minh họa về dao động tử phi điều hòa, trong đó nhấn mạnh đến thế mạnh của phương pháp FK khi tìm nghiệm chính xác bằng số. Trong chương này tôi áp dụng phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton hai chiều trong từ trường kết hợp phép biến đổi Laplace. Từ đó đưa ra kết quả chính xác bằng số cho bài toán này. 3.1 Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường Phương trình Schrödinger cho điện tử và lỗ trống trong từ trường được viết như sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 8 2 ix y x y Z r E r x y y x r γ γ    ∂ ∂ ∂ ∂ − + + + − − − Ψ =     ∂ ∂ ∂ ∂    . (3.1) Toán tử Hamilton của bài toán có tương tác Coulomb chứa biến động lực ở mẫu. Vì vậy để đưa toán tử Hamilton về dạng toán tử sinh hủy tôi sử dụng trực tiếp phép biến đổi Laplace (2.24). Toán tử Hamilton của hệ điện tử và lỗ trống được viết lại như sau: ( ) 2 22 2 2 ( ) 2 2 2 2 0 1ˆ . 2 8 2 t x yi Z eH x y x y dt x y y x t γ γ π ∞ − +   ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + − − −   ∂ ∂ ∂ ∂   ∫ (3.2) Sau đây chúng ta sẽ áp dụng quy trình bốn bước của phương pháp toán tử FK đã đề cập ở chương 2 kết hợp với biến đổi Laplace cho bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều. 36 Bước một: Đưa toán tử Hamilton của bài toán về biểu diễn đại số của các toán tử sinh hủy hai chiều có dạng như sau: 1 1ˆˆ ( ) , a ( ) , 2 2 1 1ˆ ( ) , ( ) . 2 2 x x x x x x y y y y y y a x x x x b y b y y y ω ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + +    ∂ ∂ = + = −   ∂ ∂       ∂ ∂ = + = −      ∂ ∂     (3.3) Từ (3.3), dễ dàng suy ra được các hệ thức giao hoán của các toán tử như sau: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1, ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , 0. a a aa a a b b bb b b a b a b a b + + + + + + + +   = − =    = − =       = = =      (3.4) Ta có các công thức biểu diễn các biến động lực qua toán tử sinh hủy: ( ) ( )22 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 122 xx x a a x a a a a ωω + + + = + ⇒ = + + +   , ( ) ( ) 2 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 12 2 x xa a a a a a x x ω ω+ + +∂ ∂  = − ⇒ = − − +  ∂ ∂ , ( ) ( )22 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 122 yy y b b y b b b b ωω + + + = + ⇒ = + + +   , ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 y yb b b b b b y y ω ω+ + +∂ ∂  = − ⇒ = − − + ∂ ∂   . Chọn x yω ω ω= = , thay vào (3.2), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 222 2 2 222 2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 0 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 4 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 16 ˆ ˆˆ ˆ . 2 t a b a b b b a a H a b a b b b a a a b a b b b a a i Z ea b ab dt t ω ω γ ω γ π + + + + + + + + + + + + −  + + + + ++ + ∞   + +  = − + + + − − −     + + + + + + +    − − − ∫ (3.5) 37 Để thuận lợi trong quá trình tính toán ta sử dụng các toán tử sau: ( ) ( ) ( ) 222 2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, , ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1 , M a b M a b N b b a a + + + + + = + = + = + + ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i x y i b a a by x + + ∂ ∂= − − = − ∂ ∂  . (3.6) Biểu thức (3.5) được viết lại như sau:  ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ2 0 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 16 2 M M N z eH M M N M M N L Z d τ ω γ γ ω τ ω π τ +− + +∞ + += − + − + + + + − ∫ . (3.7) trong đó 2 tτ ω = , các toán tử ˆ ˆ ˆ ˆ, , , zM M N L + tạo thành một đại số kín (phụ lục 4). Đặt { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + , sau đó đưa về dạng chuẩn (phụ lục 5). Ta có dạng chuẩn của Sˆ như sau: 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 exp . 2 1 2 2 1 S M N Mτ ττ τ τ +− −     = − +     + +      (3.8) Ta có: ( ) ˆ /2 1 1ˆexp ln 2 1 2 2 1 N Nτ τ  − + =    + . Khai triển chuỗi Taylor, ta được: ( ) 0 1ˆ ˆexp 2 1 ! 2 1 i i i M M i τ τ τ τ ∞ + + = − −   =   + +    ∑ , 0 1ˆ ˆexp 2 1 ! 2 1 j j j M M j τ τ τ τ ∞ = − −   =   + +    ∑ . Suy ra { } ( ) ( ) ˆ /2 0 0 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) , ! 2 1 ! 2 12 1 i j i j N S M M N M M i j τ ττ τ ττ ∞ ∞ + +− −   = − + + =    + +   + ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ ˆ2 /2 /2 0 0 0 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 1 ! ! 2 1! 2 1 2 1 i i j i ii j N N i i j j i S M M M M i ji τ τ τ ττ τ +∞ ∞ ∞ + + = = = ≠ − −   = +   + +   + + ∑ ∑∑ 1 2ˆ ˆ ˆ .S S S= + 38 Bước hai: Tách toán tử Hamilton ở phương trình (3.7) thành hai thành phần: 0ˆ ˆ ˆH H V= + . (3.9) • Phần chính là 0 ˆ ˆˆ ˆ( , , )H a a b b ω + + chỉ chứa các thành phần giao hoán với toán tử ˆ ˆa a+ , ˆ ˆb b+ và các toán tử trung hòa: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ˆ ˆ2/2 /2 00 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 16 2 2 1 1 1ˆ ˆ . !2 1 2 1 z i i N N H N N L dZ M M i ω γ γ ω ω τ π ττ τ ∞ ∞ + = + + − + + ∑∫ (3.10) • Thành phần còn lại được xem là nhiễu loạn. Nghiệm gần đúng bậc không của phương trình (3.7) là nghiệm chính xác của toán tử 0Hˆ , còn các bổ chính bậc cao được tính theo sơ đồ thích hợp. Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc không bằng cách giải phương trình: (0) (0) (0)0ˆ n n nH ψ ε ψ= . (3.11) Ta chọn bộ hàm sóng cơ sở ( )22 )ˆ ˆˆ ˆ, [( ) ( ] 0mkkmk m C a b a ib+ + + += + ± , (3.12) với ( ) ( ) 2 2 2 ) 2 ) ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m 0 , ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m < 0 m k km m k km C a b a ib k m C a b a ib + + + + − + + + +  + + ≥=   + − , (3.13) trong đó 0, 1, 2, 3,...; 0, 1, 2, 3,...k m= = ± ± ± và 0( )ω là trạng thái chân không được định nghĩa: ˆˆ 0( ) 0, 0( ) 0a bω ω= = . Và điều kiện chuẩn hóa 0( ) 0( ) 1ω ω = , từ đó ta tìm được hàm sóng đã chuẩn hóa: ( ) ( )( ) ( )221 ˆ ˆˆ ˆ, 0 2 2 !( )! k m mk k m a b a ib k m k + + + += + ± + . (3.14) (xem phụ lục 6) 39 Với hàm sóng như trên, ta có các biểu thức: ( ) ( )( ) ( ) ˆ , 2 1, , ˆ , 2 1 1 1, , ˆ , 2 2 1 , , ˆ , , .z M k m k k m k m M k m k k m k m N k m k m k m L k m m k m + = + − = + + + + = + + = Từ đó tìm được nghiệm gần đúng bậc không: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 1 0 2 1 2 8 2 ! !1 , ! !! k kk i k m i H k m m k i k m i Z I k k mi ω γ γε ω ω ∞ + + =   = = + + + +    + + + − +∑ (3.15) với ( ) ( ) 2 12 0, 0 . 2 ( 1) (2 2 3)!!(2 1)!! 2 ( 1)!1 q q p p p q p q t p q qq dtp pt I π π ∞ − > ∈ − − − − − = = −+ ∫  . (xem phụ lục 7) Từ biểu thức trên ta thấy năng lượng bậc không phụ thuộc vào tham số ω , để tối ưu hóa quá trình tính toán ta xác định ω dựa vào điều kiện (2.10), ta thu được biểu thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 0 ! !1 1 12 1 0 2 8 ! !2 ! i k m i k i k m i k m Z I k k mi γ ω ω ∞ + + = + + +  − + + − =  +  ∑ . (3.16) Bước bốn: Dùng phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác: Do tính chất đầy đủ của hàm sóng nên ta có thể viết hàm sóng thành tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng cơ sở: ( ) ( )km l l o l k k m C l m ∞ = ≠ Ψ = + ∑ , (3.17) 40 Sử dụng sơ đồ vòng lặp để giải tìm nghiệm số chính xác. Khi đó hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )skmE có dạng: ( ) ( )( ) ( ) k s s s km l l o l k k m C l m + = ≠ Ψ = + ∑ . (3.18) Năng lượng chính xác gần đúng bậc ( )s là: ( ) ( ) k s s s n kk l kl l o l k E H C V + = ≠ = + ∑ , (3.19) ( ) ( ) ( 1) ( ) k s s jk l jl l o l ks j s n jj V C V C E H + = ≠+ + = − ∑ , (3.20) với điều kiện ban đầu là (0) (0)0, j n kkC Hε= = . Các yếu tố ma trận của toán tử Hamilton: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 1 0 2 1 2 8 2 ! !1 , ! !! k kk k i k m i H k m m k k m Z I k i k m ii ω γ γε ω ω + + =   = = + + + +    + − − + −∑ (3.21) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ,1 2 2 1 1 1 2 8 ! ! ! !1 . !( )! ( )! ! k k s s k s i s k s m i s H k k m k k m k s k m s Z I i i s k s i k m s i ω γ δ ω ω + + − + + + =   = − + + + +    + + + + − − + − + + −∑ (3.22) Chú ý đến tính đối xứng của các phần tử ma trận , ,k k s k s kH H+ += . Như vậy, bằng cách thế nghiệm của hệ phương trình (3.20) vào (3.19) ta có năng lượng của hệ ( )sE ở vòng lặp thứ (s), ta còn gọi là ở bậc gần đúng (s). Kết quả tính số cho thấy với sự chọn lựa tham số ω thích hợp ta thu được dãy các giá trị năng lượng gần đúng (0) (1) (2) ( ), , , , ,sE E E E  (3.23) hội tụ nhanh về một giá trị ( )TE với một độ chính xác cho trước. Trong công trình này chúng tôi tính sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số chính xác. 41 Trong kết quả cuối cùng của năng lượng chúng tôi lấy đến 12 chữ số thập phân. Ngoài ra, các hệ số ( )skC cũng nhanh chóng hội tụ cho nên kết quả thu được không những là năng lượng mà còn có hàm sóng chính xác bằng số. Ở đây, tham số ω được chọn dựa vào điều kiện (2.10). Về nguyên tắc tham số này không ảnh hưởng đến kết quả số chính xác. Tuy nhiên, tương tự như trong chương 2 đối với trường hợp dao động tử phi điều hòa, kết quả khảo sát cho thấy tốc độ hội tụ về nghiệm chính xác phụ thuộc rất lớn vào sự chọn lựa giá trị ω . Trong luận văn này điều kiện (2.10) cho ta giá trị 0ω đầu tiên, đây chưa phải là giá trị tối ưu. Với các trạng thái kích thích bậc cao, thậm chí cách chọn 0ω như vậy không cho sự hội tụ đến giá trị chính xác. Ta có thể thử lần lượt thử các giá trị khác nhau để tìm giá trị tham số tối ưu quanh giá trị 0ω đầu tiên. 3.2 Kết quả 3.2.1 Nghiệm chính xác bằng số Để giải tìm nghiệm ta cần chọn giá trị của tham số từ do ω cho kết quả hội tụ đến nghiệm chính xác. Đầu tiên, tôi chọn ω từ điều kiện (2.10). Tuy nhiên, tốc độ hội tụ của bài toán chưa cao. Do đó, chúng tôi đã sử dụng phương pháp thử để chọn ω sao cho tốc độ hội tụ của bài toán là cao nhất có thể và đã thu được các kết quả thể hiện qua các bảng dưới đây. Để dễ dàng so sánh với kết quả trong công trình [10], cường độ từ trường được thể hiện qua đại lượng ' / ( 1)γ γ γ= + . 42 Bảng 3.1 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho trạng thái cơ bản 1s ( 0, 0k m= = ) ứng với các giá trị khác nhau của từ trường. Các chữ số được in đậm phù hợp với kết quả trong công trình [10]. Kết quả năng lượng thu được ở vòng lặp thứ 300. Cột thứ bốn thể hiện sai số tỉ đối giữa kết quả tìm được với kết quả trong công trình [10]. 'γ E(300) E[10] Sai số 0.1 -1.997973813778 -1.999421665077 7.24.10-2 % 0.3 -1.989977629071 -1.991469067120 7.49.10-2 % 0.5 -1.953671439934 -1.955159683246 7.61.10-2 % 0.7 -1.782801898817 -1.784261762508 8.18.10-2 % 0.9 -0.120235792196 -0.121101576062 71.49.10-2 % Bảng 3.2 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho trạng thái kích thích 2 p− ( 0, 1k m= = − ). Kết quả thu được ở bước lặp thứ 300, kết quả hội tụ đến năm hoặc sáu chữ số thập phân. 'γ E(300) E[10] Sai số 0.1 -0.261974410532 -0.261975202089 3.02.10-4 % 0.3 -0.281796667846 -0.281797058842 1.38.10-4 % 0.5 -0.204790157801 -0.204790385882 1.11.10-4 % 0.7 0.135978233882 0.135978098717 0.99.10-4 % 0.9 2.550624517939 2.550624394643 0.05.10-4 % 43 Bảng 3.3 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho trạng thái kích thích 3 d − ( 0, 2k m= = − ). 'γ E(300) E[10] Sai số 0.1 -0.130254450273 -0.130254451784 11.60.10-7 % 0.3 -0.118881793325 -0.118881793858 4.48.10-7 % 0.5 0.005694129007 0.005694128790 38.11.10-7 % 0.7 0.425152535901 0.425152535675 0.53.10-7 % 0.9 3.067077752405 3.067077752170 0.08.10-7 % Bảng 3.4 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho trạng thái kích thích 5 d − ( 2, 2k m= = − ). 'γ E(300) E[10] Sai số 0.1 0.133410713094 0.133410698725 10.77.10-6 % 0.3 0.797761172252 0.797761156804 1.94.10-6 % 0.5 2.087329659345 2.087329653047 0.30.10-6 % 0.7 5.208288481033 5.208288474957 0.12.10-6 % 0.9 21.282074276103 21.282074270235 0.03.10-6 % Như vậy, phương pháp toán tử sử dụng phép biến đổi Laplace cho phép ta thu được lời giải chính xác cho bài toán exciton trong từ trường với cường độ bất kì cho trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích. Đối với trạng thái cơ bản, mặc dù đã chọn tham số tụ do tối ưu nhưng ở bước lặp thứ 300, kết quả thu được chỉ hội tụ đến một hoặc hai chữ số thập phân. Đối với những trạng thái kích thích tốc độ hội tụ của bài toán nhanh hơn so với trạng thái cơ bản 1s. 44 Tốc độ của chương trình còn chậm, nên tôi chỉ cho số vòng lặp s lên đến 300. Kết quả thu được có thể hội tụ đến chín chữ số thập phân với giá trị ω tối ưu. Nếu cho số vòng lặp thì số chữ số hội tụ cũng sẽ tăng theo. Để thu được năng lượng ở bước lặp cao hơn trong thời gian ngắn cần phải cải tiến chương trình để tăng tốc độ tính toán. Đồng thời, muốn tăng độ chính xác của kết quả có thể dùng chương trình Multi Precision. 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 Na êng lö ôïn g E (R *) Cöôøng ñoä töø tröôøng γ 1s 2p- 3d- 2s2p + 3p- 3p+ 3d+ Hình 3.1 Các mức năng lượng của exciton được vẽ ứng với các giá trị khác nhau của từ trường. Ta thấy khi cường độ từ trường tăng thì năng lượng của từng trạng thái tăng, trong vùng từ trường mạnh các mức Landau suy biến đã tách ra do tương tác Coulomb. Đối với các trạng thái có cùng số lượng tử chính N, năng lượng của các trạng thái có số lượng tử từ m lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại. 45 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Na êng lö ôïn g E (R *) Cöôøng ñoä töø tröôøng γ 2p- 3d- 2s 2p+ 3p- 3p+ 3d+ Hình 3.2 Các mức năng lượng của exciton được vẽ trong vùng từ trường có 1.γ ≤ Phương pháp toán tử FK không chỉ cho kết quả năng lượng mà còn là hàm sóng. Với các hệ số ( )sjC được xác định từ biểu thức của sơ đồ vòng lặp (3.20). 3.2.2 Ý nghĩa các số lượng tử k, m Khi sử dụng phép biến đổi Levi-Civita, năng lượng của exciton phụ thuộc vào hai số lượng tử n và m. Với với mn = và 0, 1, 2,...)m = ± ± là số lượng tử quĩ đạo. Đối với biến đổi Laplace, năng lượng của exciton phụ thuộc vào hai số lượng tử k và m. Tìm kết quả ứng với các giá trị khác nhau của các số lượng tử, sau đó so sánh với các kết quả đã có. Từ đó tìm được mới liên hệ giữa k và n và ý nghĩa các số lượng tử k và m. 46 Bảng 3.5 Giá trị các số lượng tử ứng với các trạng thái khác nhau. Bằng cách tìm năng lượng ứng với các giá trị k và m khác nhau, sau đó so sánh kết quả thu được với các kết quả trong công trình [10], tôi đã xác định được số lượng tử k, m trong phép biến đổi Laplace tương ứng với số lượng tử n, m trong phép biến đổi Levi- Civita. Trạng thái Laplace Levi-Civita m k m n 1s 0 0 0 0 2s 0 1 0 0 2p- -1 0 -1 1 2p+ 1 0 1 1 3s 0 2 0 0 3p- -1 1 -1 1 3p+ 1 1 1 1 3d- -2 0 -2 2 3d+ 2 0 2 2 5d- -2 2 -2 2 Ta xác định được mối quan hệ giữa số lượng tử k và n: 1 hay 1n mk N N k− += − = + , (3.24) với 0, 1, 2, 3,...N = là số lượng tử chính. Ta có: 1r mN n + += . (3.25) Từ biểu thức (3.24) và (3.25), số lượng tử k đóng vai trò là số lượng tử bán kính rnk = và 0, 1, 2,...m = ± ± là số lượng tử quĩ đạo. 47 Các trạng thái được thể hiện trong bảng 3.5, số đứng trước thể hiện số lượng tử chính N, chữ cái theo sau khác nhau thì số lượng tử quĩ đạo khác nhau. Với 0m = ứng với trạng thái s, 1m = ± ứng với trạng thái p ± , 2m = ± ứng với trạng thái d ± . Từ đó, dựa vào công thức (3.24) ta xác định đượng các giá trị của k. Ví dụ, đối với trạng thái 4d − ta có: 4, 2, 1N m k= = − = ; trạng thái 6 p+ có: 6, 1, 4N m k= = = . 48 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI Luận văn đã đạt được các kết quả sau: - Tìm hiểu tổng quan về exciton. - Tìm hiểu được phương pháp toán tử và các bước giải thông qua bài toán dao động tử phi điều hòa. - Ứng dụng phương pháp toán tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều. Đối với trạng thái cơ bản kết quả thu được hội tụ đến hai chữ số thập phân. Trạng thái kích thích 2 p− , 3 d − , 5 d − , kết quả năng lượng thu được ở bước lặp thứ 300 cho kết quả hội tụ từ năm đến chín chữ số thập phân. - Xác định được ý nghĩa của các số lượng tử xuất hiện trong bài toán. Hướng phát triển của đề tài là cải tiến chương trình để tăng tốc độ tính toán và tăng độ chính xác của nghiệm số. So sánh kết quả tìm được khi sử dụng sơ đồ vòng lặp và sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn. 49 Phụ lục 1: Đưa toán tử Hamilton của exciton về dạng không thứ nguyên Toán tử Hamilton của exciton: ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 1ˆ . 2 2 2 2r eB i eB eH x y x y Z x y c c y x r µ µ µ µ ε     ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + − − −    ∂ ∂ ∂ ∂       (A1.1) Thay 3 2 3 2 e cB µ γ ε =  vào (A1.1), ta được: ( ) 2 2 2 8 3 4 2 2 2 2 2 2 6 4 2 2 1ˆ 2 8 2r e i e eH x y x y Z x y y x r µ µγ γ µ ε ε ε    ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + − − −   ∂ ∂ ∂ ∂      . (A1.2) Phương trình Schrödinger của exiton: ( ) 2 2 2 8 3 4 2 2 2 2 2 2 6 4 2 2 1 2 8 2 . e i e ex y x y Z x y y x r E µ µγ γ ψ µ ε ε ε ψ     ∂ ∂ ∂ ∂ − + + + − − −    ∂ ∂ ∂ ∂    =    (A1.3) Chia hai vế phương trình (A1.3) cho 2 µ  , ta được: ( ) 2 2 8 4 2 4 2 2 2 2 2 2 8 4 4 2 2 2 1 1 2 8 2 . e i e ex y x y Z x y y x r E µ µ µγ γ ψ ε ε ε µ ψ     ∂ ∂ ∂ ∂ − + + + − − −    ∂ ∂ ∂ ∂    =     (A1.4) Đặt , ,x yax ay bEρ ρ ξ= = = ,ta có 2 2 2 2 2 , . x x x x a x x a x ρ ρ ρ ρ ∂∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 50 Tương tự: 2 2 2 2 2 y a y ρ ∂ ∂ = ∂ ∂ , 2 2 2 21 px y r r x y a a ρ ρ= + = + = . Phương trình (A1.1) được viết lại như sau: ( ) 2 2 8 4 2 4 2 2 2 2 2 8 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 2 8 2 . x y x y x y y x e i e a a eZ a a brρ µ µγ ρ ρ γ ρ ρ ρ ρ ε ε ρ ρ µ µ ξψ ψ ε     ∂ ∂ ∂ ∂ − + + + − −       ∂ ∂ ∂ ∂      − =      Chọn ∗ 2 4 2 4 2 2 2 0 11e ea a r µ µ ε ε = ⇒ = =   , 0r có thứ nguyên độ dài nên xρ không có thứ nguyên. ∗ 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 0 1 11 1 b a b e b e E µ µ ε ε µ µ = ⇒ = ⇒ = =     , 0E có thứ nguyên của năng lượng nên ξ không có thứ nguyên. Suy ra phương trình Schrödinger không thứ nguyên: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 8 2x y x yx y y x Z rρ γ γρ ρ ρ ρ ψ ξψ ρ ρ ρ ρ     ∂ ∂ ∂ ∂ − + + + − − − =       ∂ ∂ ∂ ∂      . (A1.5) Để tiện lợi ta có thể viết lại (A1.5) dưới dạng: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 8 2 Zx y x y E x y y x r γ γ ψ ψ     ∂ ∂ ∂ ∂ − + + + − − − =    ∂ ∂ ∂ ∂    . (A1.6) 51 Phụ lục 2: Toán tử sinh-hủy một chiều Toán tử sinh, hủy một chiều được định nghĩa như sau: 1ˆ 2 da x dx ω ω  = +    , 1ˆ 2 da x dx ω ω +  = −    . (A2.1) 1. Giao hoán tử ˆ ˆ, 1a a+  =  Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1ˆ ˆ , 2 2 d d daa x x x dx dx dx ω ω ω ω ω ω +    = + − = + −         (A2.2) và 2 2 2 2 1 1 1 1ˆ ˆ , 2 2 d d da a x x x dx dx dx ω ω ω ω ω ω +    = − + = − −         (A2.3) từ đây suy ra 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1 2 a a aa a a ω ω + + +  = − = =  . (A2.4) 2. Chứng minh ˆ ˆa a n n n+ = Từ định nghĩa ( )1 ˆ 0 ! n n a n += ta suy ra với trường hợp 0n = công thức trên đúng: ˆ ˆ 0 0 0 0a a+ = = . Giả sử ta có ˆ ˆ 1 ( 1) 1a a n n n+ − = − − ta sẽ chứng minh ˆ ˆa a n n n+ = . Thật vậy: ( ) ( )( ) ( ) 11 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 ! ! 1 ˆ ˆ ˆ 1 1 . n n a a n a a a a aa a n n a a a n n −+ + + + + + + + = = = + − (A2.5) Từ đây ta có ( ) ( ) 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 1ˆ ˆ 0 . ( 1)! n a a n a a a n n a n n n n a a n n n n + + + + −+ + = + − = − = = − (A2.6) 3. Chứng minh ˆ 1a n n n= − 52 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 0 ! ! ! 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 1 ! ! 1 11 ( 1) 1 1 . n n n n n a n a a aa a a a a n n n a a a a n a a n n n n n n n n n n n n − −+ + + + + − −+ + + + = = = + = + = − + − = − + − − = − (A2.7) Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng “hủy” (giảm) đi một bậc của vectơ trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử hủy tác dụng lên vectơ trạng thái thì sẽ hủy đi bấy nhiêu bậc của nó. 4. Chứng minh ˆ 1 1a n n n+ = + + ( ) ( ) ( )1 11 1ˆ ˆ ˆ0 1 0 1 1 ! 1 ! n n a n a n a n n n n + ++ + +    = = + = + +  +  . (A2.8) Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc của vectơ trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác dụng lên vectơ trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó. 5. Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a , 1 , 1 ˆ 1 , ˆ 1 , n j n j n a j j n j j j a n j j n j − + − = − = = − = δ δ ˆ ˆn a j j a n+⇒ = . (A2.9) Nhận xét: Từ các tính chất ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một toán tử chứa cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vectơ trạng thái, thì sẽ không làm vectơ này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử “trung hòa”; ngược lại nếu toán tử chứa số toán tử sinh-hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của vectơ trạng thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính toán đại số khi sử dụng biểu diễn toán tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách toán tử Hamilton của hệ thành hai thành phần: trung hòa và nhiễu loạn. 53 Phụ lục 3: Xây dựng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm bậc không Tìm nghiệm gần đúng bậc không (0)0ˆ n n nH Eψ ψ= . (A3.1) Hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )skmE có dạng: ( ) ( )( ) ( ) k s s s km l l o l k k m C l m + = ≠ Ψ = + ∑ . (A3.2) Suy ra ( ) ( ) ( )0ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) k s k s s s l n l l o l o l k l k H V k m C l m E k m C l mβ + + = = ≠ ≠        + + = +           ∑ ∑ . (A3.3) Nhân hai vế phương trình (A3.3) với ( )k m , ta được: ( ) ( ) ( )0ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k s k s s s l n l l o l o l k l k k m H V k m C l m k m E k m C l mβ + + = = ≠ ≠        + + = +           ∑ ∑ , ( ) ( ) k s s s kk l kl n l o l k H C V E + = ≠ + =∑ . (A3.4) Nhân hai vế phương trình (A3.3) với ( )j m với j k≠ , ta được: ( ) ( ) ( )0ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , k s k s s s l n l l o l o l k l k j m H V k m C l m j m E k m C l mβ + + = = ≠ ≠        + + = +           ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) k s s s s s j jj jk l jl j n l o l k C H V C V C E + = ≠ + + =∑ , (A3.5) ( )( ) ( ) ( ) k s s s s n jj j jk l jl l o l k E H C V C V + = ≠ − = + ∑ . (A3.6) Vì ( ) ( 1) ( ) ( 1) và , và s s s sl l n nC C E E + + sai khác nhau rất ít nên ta có sơ đồ vòng lặp sau: ( ) ( ) k s s s n kk l kl l o l k E H C V + = ≠ = + ∑ , (A3.7) 54 ( ) ( ) ( 1) ( ) k s s jk l jl l o l ks j s n jj V C V C E H + = ≠+ + = − ∑ . (A3.8) Với điều kiện ban đầu là (0) 0, ( )lC j n= ≠ . Ở đây ta chọn 1β = . Các giá trị ( ) ( ), s sl nC E tương ứng với giá trị tương ứng với các bước lặp chứ không phải các bổ chính. 55 Phụ lục 4: Chứng minh các toán tử tạo thành đại số kín Để có thể đưa toán tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + về dạng chuẩn thì các toán tử ˆ ˆ ˆ ˆ, , , zM M N L + phải tạo thành đại số kín. ( ) ( )222 2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, ,M a b M a b+ + += + = + (A4.1) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1 ,N b b a a+ += + + (A4.2) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i x y i ab a by x + + ∂ ∂= − − = − ∂ ∂  . (A4.3) Tính giao hoán tử ˆ ˆ,M M +   : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 22 22 2 2 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ , MM a b a a a a a b b a b b + + + + + + +  = + +   = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 22 22 2 2 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ , M M a b a b a a a b b a b b + + + + + + +  = + +   = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 2 2 2 2 22 22 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 4 2 4 ˆ ˆ ˆˆ ˆ 4 4 4 2 . M M MM M M a a b b a a b b a a a a b b b b a a b b a a b b N + + + + + + + + + + + + + + +   = −  + − − = + + + + + − − = + + = Vậy ˆ ˆ ˆ, 2M M N+  =  . (A4.4) Tính giao hoán tử ˆ ˆ,M N   : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 , MN a b b b a a a b b a a a a b b b b a a b + + + + + + = + + + = + + + + + 56 ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 , NM b b a a a b b ba b bb a aa a ab a b + + + + + + = + + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆˆ 2 2 2 4 . M N MN NM a a a b b b b bb a aa a a a b b b b bb a aa a b M + + + + + + + +   = −  = + − − = + + + − − = + = Vậy ˆ ˆ ˆ, 4M N M  =  . (A4.5) Tính giao hoán tử ˆ ˆ,N M +   : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 , NM b b a a a b b b a b b b a a a a a b a b + + + + + + + + + + + + + + +  = + + +     = + + + + +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 , M N a b b b a a a b b a a a b b b b a a a b + + + + + + + + + + + + + + +  = + + +     = + + + + +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 3 22 3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 ˆ ˆˆ 2 2 2 4 . N M NM M N b b b a a a a a a b b b b b b a a a a a a b b b b a M + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +   = −   = + − −     = + + + − −     = + =    Vậy ˆ ˆ ˆ4NM M+ +  =  . (A4.6) Các giáo hoán tử ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0z z ZM L M L N L +     = = =      . (A4.7) 57 Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + Do các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ tạo thành một đại số kín nên ta có thể đưa toán tử Sˆ về dạng chuẩn như sau: ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ).M M N f M g N h M Fτ τ τ τ τ+ +− + + = = (A5.1) Ở đây chúng ta cần xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ với điều kiện biên là: (0) 0, (0) 0, (0) 0f g h= = = . (A5.2) Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A5.1) sau đó nhân hai vế với toán tử ngược 1Sˆ − , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) , M M N f M g f M N f M h f M g N M g N f M τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + + + + ′ ′− + + = + − ′+ − − (A5.3) với 1ˆ ˆ( ). ( ) 1S Sτ τ− = hay ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( )S h M g N f M− += − τ − τ − τ . Bước hai: Ta sử dụng công thức : ( ) ( ) 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp exp , , , , , , ...2! 3!X Y X Y X Y X X Y X X X Y          − = + + + +          . Lần lượt tính các số hạng của (A5.3), ta được : ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) ( ) 4 ( ) ,g f M N f M g N f Mτ τ τ τ τ+ + +′ ′− = − ( ) ( ) 4 ( )ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) . ,gg N M g N M e ττ τ −− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 4 ( ) .g h f M g N M g N f M e h M f N f Mτ τ τ τ τ τ τ τ τ + + − + ′ − − ′= − + Thay các số hạng vừa tính được vào (A5.3), ta được: 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) . g g g M M N f M g N g f M e h M e h f N e h f M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + − − − + ′ ′ ′ ′− + + = + − + ′ ′− + Bước ba: Đồng nhất các hệ số trước các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ ta thu được hệ phương trình vi phân để xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ : 58 4 ( ) 2 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 g g g f g f e h f e h f g e h τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − − ′ ′ ′ − + = −  ′ ′− + = −  ′ = − . (A5.4) Giải hệ (A2.4) bằng phương pháp thế ta được : ( )2 4 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) 1( ) g f f g f h e τ τ τ τ τ τ −  ′ = − +  ′ = − −  −′ =  . (A5.5) Ta có ( ) ( ) 2 2 '( )'( ) 1 2 ( ) 1 1 2 ( ) ff f f ττ τ τ = − + ⇒ = − + . (A5.6) Giải phương trình vi phân cấp một (A5.6) bằng cách lấy tích phân bất định hai vế kết hợp với điều kiện biên (0) 0f = ta được : ( ) 2 1 f −ττ = τ + . (A5.7) Thay (A5.7) vào hệ (A5.5), ta được: 2 1 1( ) ( ) ln 2 1 2 1 2 g g C−′ τ == ⇒ τ = − τ + + τ + . Áp dụng điều kiện tại biên 2 1(0) 0 0 ( ) ln 2 1 2 g C g τ τ= ⇒ = ⇒ = − + . (A5.8) Ta có: ( ) ( ) 321 2 ln 2 14 ln 2 12 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 12 1 h h C e e τ+ − − τ+    − − −′ τ = = = ⇒ τ = + τ +τ + . (A5.9) Mà ( )3 3 1 1 1 1(0) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 h C C h −τ= + ⇒ = − ⇒ τ = − = τ + τ + . (A5.10) Dạng chuẩn của toán tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + là: 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 exp 2 1 2 2 1 S M N Mτ ττ τ τ +− −     = − +     + +      . (A5.11) 59 Phụ lục 6: Tìm bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton Nghiệm bậc không: (0) (0) (0) 0 ˆ n n nH Eψ ψ= . (A6.1) 1. Trước hết, ta chọn bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa (vì hàm này chắc chắn là nghiệm riêng của các toán tử trung hòa nên sẽ là nghiệm riêng của 0Hˆ ) ( ) ( ) ( )ˆˆ, 0 ,yxx y nn x y n n x yn n C a b ω ω + += , (A6.2) trong đó ,x yn n là các số nguyên dương và 0 là trạng thái chân không được định nghĩa: ( ) ( )ˆˆ 0 , 0, 0 , 0x y x ya bω ω ω ω= = ; và điều kiện chuẩn hóa là 0 0 1= . Như vậy nghiệm riêng của pt Schrödinger ta sẽ viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ sóng trên: ( ) ( ) ( ) , , ˆˆ, 0 , yx x y x y x y x y nn n n x y n n x y n n n n C n n C a bψ ω ω+ += =∑ ∑ . (A6.3) Nhận xét: tổng số mũ của hai toán tử ˆˆ ,a b+ + là x yn n+ . (*) 2. Mặt khác do toán tử ˆzL là đại lượng bảo toàn nên hàm riêng của phương trình Schrödinger phải đồng thời là hàm riêng của toán tử này: ˆzL mψ ψ= , (A6.4) với ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i b a a b+ += − . 60 Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 11 1 , ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0 , ˆ ˆˆ ˆ 0 , . yx x y y yx x x y nn z x y n n n nn n x y x y n n L Ci b a a b a b Ci n a b n a b ψ ω ω ω ω + + + + + −− ++ + + + = −  = −   ∑ ∑ (A6.5) Nhận xét: tổng số mũ của hai toán tử ˆˆ ,a b+ + vẫn là x yn n+ .(**) Như vậy, từ hai nhận xét (*) và (**), kết hợp với công thức khai triển nhị thức Newton, ta có thể chọn dạng của hàm sóng cơ sở như sau: ( ) ( )1 2 ˆˆ 0 ,x y n n x yC c a c bψ ω ω + + += + . (A6.6) Xét các trường hợp:  0m = : 0 0ˆ 0 0 0 0z x yL n n mψ ψ= → = → + = =  0m ≠ : ( )( ) ( ) ( ) 1 2 11 2 2 1 2 1 2 0 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 0 ( )! ˆˆ( ) 0 . !( )! x y x y x y x y n n n n n n kkn n k x yk x y k x y L iC b a a b c a c b n n C ic c c n n k c k a b k n n k ψ + + + + + + + −+ − −− + + = = − + +  = + − −  + −∑ Nhận xét: Để thu được dạng của vế phải (A6.6), ta cần có điều kiện: 2 21 2c c= − , ta chọn 1 1c = và 2c i= , khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )! ˆ ˆˆ ˆ0 ( ) . !( )! x y x y x y x y n n n n k n nkn n k x y x y x y k x y n n VT n n C i a b n n C a ib k n n k + + − ++ − + + + + = + = + = + + + −∑ Mặt khác, do , 0x yn n ≥ nên dạng nghiệm ta vừa chọn thỏa cho trường hợp 0m ≥ , khi đó: x ym n n= + : ( )ˆˆ 0mmC a ibµ + += + . (A6.7) Đối với trường hợp 0m < , ta cần điều chỉnh cho hợp lý hơn: ( )x ym n n= − + , khi đó ta chọn 1 21,c c i= = − : 61 ( ) ( ) ( ) 0 ( )! ˆˆ( ) 0 !( )! x y x yx y n n n n kkn n k x y x y k x y n n VT n n C i a b k n n k + + −+ − + + = + = − + − + −∑ ( )ˆˆ 0mmC a ibµ − + + − = − . (A6.8) 3. Tính tác dụng của các toán tử lên µ và µ− , sau đó chuẩn hóa hàm sóng. Từ đó ta chọn hàm sóng mới có dạng: ( ) ( ) 2 2 2 ) 2 ) ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m 0 , ˆ ˆˆ ˆ[( ) ( ] 0 khi m < 0 m k km m k km C a b a ib k m C a b a ib + + + + − + + + +  + + ≥=   + − (A6.9) 62 Phụ lục 7: Các thành phần ma trận của toán tử Hamilton Ta có bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton như sau: { }( )2 2ˆ ˆˆ ˆ, [( ) ( ) ] 0mkkmk m C a b a m ib+ + + += + + . (A7.1) Tác dụng của các toán tử lên hàm sóng: ( )ˆ , 2 2 1 ,N k m k m k m= + + , (A7.2) ( )ˆ , 2 1, ,M k m k k m k m= + − (A7.3) ( ) ( ) ( ) ! !ˆ , 2 , , ! ! j j k k mM k m k j m k j k m j + = − − + − (A7.4) ( )( )ˆ , 2 1 1 1, ,M k m k k m k m+ = + + + + (A7.5) ( ) ( ) ( )( ) ! !ˆ , 2 , . ! ! i i k i k m iM k m k i m k k m + + + + = + + (A7.6) ∗ Tính thành phần ma trận của toán tử S : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ ˆ2 /2 /2 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 1 ! ! 2 1! 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ . i i j i ii j N N i i j j i S M M M M i ji S S S τ τ τ ττ τ +∞ ∞ ∞ + + = = = ≠ − −   = +   + +   + + = + ∑ ∑∑ Từ biểu thức (A7.2), (A7.4) và (A7.6), ta tính được thành phần 1ˆS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ˆ2 /2 0 2 2 0 2 2 1 1 1ˆ ˆ ˆ, , 2 1! 2 1 ! !1 2 2 1 ! !! ! !1 x 2 , , ! !2 1 i i i N i ik i i i k i m S k m M M k m i k i k m i k k mi k i k m i k i m k k m τ τ τ τ τ τ ∞ + = = − + + − =  +  + + + +− =  + +  + + + + ++ ∑ ∑ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 1 0 ! !1 1ˆ , 2 , . ! !! 2 1 k i k m i k k m S k m k m k i k m ii τ τ + += + = − − + − + ∑ (A7.7) Tương tự, ta tính được thành phần 2Sˆ : 63 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 2 1 ! ! ! !1 1ˆ , 2 ! ! ( )! ! 1 x , . 2 1 k k i j i j j i k i j m k k m k i j k m i j S k m i j k j k m j k i j m τ τ + = = ≠ + − + + + + − + + − = − − + − + − + ∑∑ (A7.8) ∗ Tính các thành phần ma trận của toán tử Hamilton: ( ) ( ) ( ) 22 0 ˆ2 /2 00 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 16 2 2 1! 2 1 i i i z N dH N N L Z M M i ω γ γ ω τ τ ω π τ ττ ∞ ∞ +− = + + −  +  + ∑∫ . Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 1 0 ! !1 1ˆ, , 2 , ! !! 2 1 k i k m i k k m m k S k m k i k m ii τ τ + += + = − − + − + ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 1 00 0 ! ! 21ˆ, , . ! !! 2 1 ik k m i k k md dm k S k m k i k m ii ττ τ τ ττ ∞ ∞ + + = + − = − + − + ∑∫ ∫ + Tính thành phần ma trận kkH ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 0 0 2 1 2 8 2 ! ! 22 1 2 . ! ! 2! 2 1 kk ik k m i H k m m k k m dZ k i k m ii ω γ γ ω τω τ π ττ ∞ + + =   = + + + +    + − − − + − + ∑ ∫ (A7.9) Đặt 2 2 dt dt ττ τ = ⇒ = , biểu thức (A7.9) được viết lại như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 ! !12 1 , 2 8 2 ! !! k i kk k m i k k m H k m m Z I k i k m ii ω γ γ ω ω + += +  = + + + + −  − + −  ∑ với ( ) ( ) 2 12 0, 0 . 2 ( 1) (2 2 3)!!(2 1)!! . 2 ( 1)!1 q q p p p q p q t p q qq dtp pt I π π ∞ − > ∈ − − − − − = = −+ ∫  + Tính thành phần ma trận ,k k sH + 64 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ,2 1 0 2 2 1 ˆ, , ! ! ! !1 1 12 ! ! ( )! ! 2 1 ! ! ! !1 12 . !( )! ( )! ! 2 1 k s k i j s i jk i j m i s j j i k s i s k s m i s m k s S k m k k m k i j k m i j i j k j k m j k k m k s k m s i i s k s i k m s i τ δ τ τ τ + + −+ − + + = = ≠ + − + + + = + + + − + + − = − − + − + + + + + = − − + − + + − + ∑∑ ∑ Toán tử Vˆ : ( ) ( ) ( ) 2 ˆ /2 0 00 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . 4 16 ! ! 2 1 2 1 i j i j N i j i j dV M M Z M M i j ω γ ω τ τ ω π τ ττ +∞ ∞ ∞ + + = = ≠   − = − + + −   +   + ∑∑∫  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) , , 2 ˆ /2 0 00 2 , 1 , 1 , , ˆ ˆ , 4 16 2 1 1ˆ ˆ , ! ! 2 1 2 1 2 2 1 1 4 16 k k s k s k i j i j N i j i j k s k k s k H H m k s V k m m k s M M dZ M M k m i j k k m k k m ω γ ω ω τ τ π τ ττ ω γ δ δ ω + + + +∞ ∞ ∞ + = = ≠ + − + + = = +   = + − + +    − −  +  +   = − + + + + + +    ∑∑∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 0 ! ! ! !22 1 . !( )! ( )! ! 2 1 i sk s k s m i s k k m k s k m s dZ i i s k s i k m s i τω τ π ττ −∞ + + + + = + + + +− − − + − + + − + ∑∫ ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 , , 1 ,1 2 2 1 0 2 2 1 1 4 16 ! ! ! ! 21 2 . !( )! ( )! ! 22 1 k k s s s i sk s k s m i s H k k m k k m k k m k s k m s dZ i i s k s i k m s i ω γ δ δ ω τ τω π ττ + − −∞+ + + + =   = − + + + + + +    + + + + − − − + − + + − + ∑ ∫ (A7.10) 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]. Hoàng Dũng (1999), “Nhập môn cơ học luợng tử-Tập 1”. Nhà xuất bản Giáo dục. [2]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kỳ”, Luận văn thạc sĩ. Khoa Vật lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. [3]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng (2012), “Tham số tự do với sự hội tụ của phương pháp toán tử FK”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, số 33, tr. 94 -106. [4]. Lê Quý Giang (2012), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho exciton âm hai chiều”, Luận văn thạc sĩ. Khoa Vật lý trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. [5]. Lê Văn Hoàng (2007), “Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl trong từ trường đều”, Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp bộ B.2005.23.72. [6]. Phan Thị Cẩm Nhung (2006), “Bài toán exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs đặt trong từ trường”, Luận văn tốt nghiệp. Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. [7]. Trương Mạnh Tuấn (2010), “Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp. Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. [8]. Vũ Thị Lan Anh (2012), “Trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống trong bán dẫn hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp. Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 66 Tiếng Anh [9]. Edelstein W. (1989), “Two-dimensional excitons in magnetic fields”, Physica B 39,p. 7697-7704. [10]. Hoang Do Ngoc Tram, Pham Dang Lan, Le Van Hoang (2013), “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 13- 00559R1. [11]. Lampert M. A. (1958), “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic solids”, Physical Review Letters 1, p. 450-453. [12]. Lozovik Y. E., Korbakov I. L., Ovchinnikov I. V. (2003), “Nonlinear optical phenomena in coherent phase of 2D exciton system”, Solid Stase Com 126, p. 269. [13]. Paquet D., Rice T. M. and Ueda K. (1985), “Two-dimensional electron-hole fluid in a strong perpendicular magnetic field: Exciton Bose condensate or maximum density two-dimensional droplett”, Physical Review B 32, p. 5208-5221. [14]. Rashba E. I. (1984), “The prediction of excitons”, Uspekhi Fizicheskikh Nauk 144, p. 347-357. [15]. Soylu A., Boztosun I. (2008), “Asymptotic iteration method solution of the energy spectrum of two-dimensional screened donor in a magnetic field”, Physical E 40, p. 443- 448. [16]. Villalba V. M. and Pino R. (2002), “Energy spectrum of a two-dimensional screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 315, p. 289-296. [17]. Zakharchenya B. P. (1994), “Discovery of excitons”, Uspekhi Fizicheskikh Nauk 164, p. 345-356. [18]. Zhu J. L., Cheng Y., and Xiong J. J. (1990), “Quantum levels and Zeeman splitting for two-dimensional hydrogenic donor states in a magnetic field”, Physica B 41, p. 10792-10798.