Luận văn Sự mở rộng tính compact của lũy thừa Tychonoff của 2 trong ZF

.................................... 5 1.3. Lí thuyết tập hợp ................................................................................... 7 1.4. Các định lí ........................................................................................... 13 Chương 2 TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2X ............................................................................. 15 2.1. Các khái niệm mở đầu .......................................................................... 15 2.2 Các kết quả chính ................................................................................... 16 Chương 3 TÍNH COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2 29 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34 1. Kết quả nghiên cứu .................................................................................. 34 2. Hướng nghiên cứu tiếp theo ..................................................................... 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TP( 2X ) : 2X là compact. TPC( 2X ) : 2X là compact đếm được. AC(X) : { }( ) \X ∅ có một hàm chọn. Dom(f) : miền xác định của hàm f. Ran(f) : miền giá trị của hàm f. p f⊂ : p là ánh xạ hạn chế của f. Với n∈ , ( )AC fin X : Mỗi họ các tập con hữu hạn khác rỗng của X đều có một hàm chọn. AC( , )n X≤ : Mỗi họ gồm các tập con ≤ -phần tử khác rỗng của X có một hàm chọn. CAC( , )n X≤ : AC( , )n X≤ hạn chế trên một họ đếm được. AC ( , )dis n X : Mỗi họ rời nhau của các tập con n-phần tử khác rỗng của X có một hàm chọn. CAC ( , )dis n X : AC ( , )dis n X hạn chế trên một họ đếm được. BPI : Mỗi đại số Boolean có một ideal nguyên tố. UF(ω ): Tồn tại một siêu lọc tự do trên ω . CAC : AC hạn chế trên một họ đếm được các tập khác rỗng. CAC( ) : CAC hạn chế trên một họ đếm được các tập con khác rỗng của . MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong Toán học, khái niệm compact đóng vai trò quan trọng trong tôpô tổng quát. Như ta đã biết, có hai cách để định nghĩa không gian compact Định nghĩa 1. Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn. Định nghĩa 2. X là compact khi và chỉ khi mỗi họ  gồm các tập con đóng của X đều có tính chất giao hữu hạn, ≠ ∅∩ . Từ định nghĩa thứ hai này, người ta đi tìm mối liên hệ giữa tính compact và các dạng của tiên đề chọn trong lý thuyết tập hợp. Cụ thể hơn, các nhà Toán học đã quan tâm đến tính compact của không gian Tychonoff 2X (với 2 = {0, 1}), là không gian các ánh xạ từ X vào 2 ={0, 1}, và thiết lập được những mối tương quan giữa tính chất compact và các mệnh đề trong lý thuyết tập hợp ZF. Trong các nghiên cứu này, J. Mycielski [21] đã chứng minh được trong lý thuyết tập hợp ZF, BPI ⇔ “Với mỗi tập X, 2X là không gian compact” mà không đòi hỏi một dạng đặc biệt nào của tiên đề chọn. Trong một bài báo khoa học của mình, K. Keremedis và E. Tachtsis đã xét đến hai sự mở rộng nữa của tính compact đối với không gian Tychonoff 2X đó là tính compact đếm được và compact-n. Từ đó xét đến trường hợp đặc biệt với X =  . Xét thấy tầm quan trọng của bài báo, vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn là “SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA 2 TRONG ZF” 2. Mục đích Nghiên cứu sức mạnh của tính compact theo nghĩa lý thuyết tập hợp cũng như sự mở rộng tính compact của không gian 2X và 2 . 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Tính compact đếm được và compact-n ( n∈ ) của không gian 2X và 2 trong ZF. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu rõ hơn về sự mở rộng tính compact của 2X trong ZF. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận. Trong đó, chương hai và chương ba là phần chính của luận văn. Cụ thể như sau: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị bao gồm những khái niệm, mệnh đề cơ bản có liên quan đến nội dung đề tài. Chương 2: Tính compact đếm được và tính compact-n ( n∈ ) của không gian 2X . Chương 3: Tính compact-n ( n∈ ) của không gian 2 . Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ đề tài. Các kiến thức chủ yếu ở chương này là các kiến thức cơ bản. Ở đây, các định lí, các hệ quả và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh, được trích dẫn từ các tài liệu [9], [10], [14], [15] và [21]. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô Cho tập X. Một họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa các điều kiện sau: 1τ ) X, ∅ thuộc τ ; 2τ ) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; 3τ ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là (X, τ ) hay ngắn gọn hơn là X nếu không cần chỉ rõ τ là tôpô trên X. Các phần tử của không gian gọi là các điểm. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Tập F τ∈ được gọi là tập mở của X. Tập con A của X gọi là tập đóng nếu \X A là tập mở. 1.1.2. Lân cận Cho (X, τ ) là không gian tôpô và x X∈ . Tập V X⊂ được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x V G∈ ⊂ . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x. 1.1.3. Cơ sở và tiền cơ sở Cho τ là một tôpô trên X. Một họ con σ của τ được gọi là một cơ sở của tôpô τ nếu mỗi phần tử của τ là hợp của một họ nào đó các phần tử của σ . Hay nói cách khác, σ là cơ sở của τ nếu , , :G x G V x V Gτ σ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂ . Một họ σ các tập con của tập hợp X được gọi là tiền cơ sở của tôpô τ trên X nếu họ các giao của một số hữu hạn phần tử của σ tạo thành cơ sở của τ . Như vậy họ con σ của τ là tiền cơ sở của τ nếu mọi G τ∈ và mọi x G∈ tồn tại 1 2, ,..., nW W W σ∈ sao cho 1 2 nx W W W G∈ ⊂∩ ∩...∩ . Hiển nhiên, một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó. 1.1.4. Cơ sở địa phương Một họ x các lân cận của x được gọi là một cơ sở địa phương của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận xU ∈ sao cho U V⊂ . 1.1.5. Điểm giới hạn Cho A là một tập con của không gian tôpô X và x X∈ . Nếu mọi lân cận V của x ta đều có ( )\{ }V x A ≠ ∅∩ thì x được gọi là điểm giới hạn hay điểm tụ của tập A. 1.1.6. Phần trong, bao đóng, trù mật Cho X là không gian tôpô và tập A X⊂ . • Ta gọi phần trong của tập A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là 0A . • Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A . • Tập con A được gọi là trù mật hay trù mật khắp nơi trong X nếu A X= . • Tập con A trù mật trong không gian tôpô X nếu và chỉ nếu mọi x X∈ và mọi lân cận V của x, V A ≠ ∅∩ . 1.1.7. Định nghĩa các iT −không gian Cho X là không gian tôpô, khi đó • X được gọi là 0T − không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X∈ có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. • X được gọi là 1T − không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X∈ có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. • X được gọi là 2T − không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X∈ tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V = ∅∩ . • X gọi là 3T − không gian hay không gian chính quy nếu X là 1T − không gian và với mọi x X∈ và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U, V sao cho ,x U F V∈ ⊂ và U V = ∅∩ . • X gọi là 13 2 T − không gian hay không gian hoàn toàn chính quy hay không gian Tychonoff nếu X là 1T − không gian và với mọi x X∈ và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại hàm liên tục : [0,1]f X → sao cho ( ) 0, ( ) 1f x f y= = với mọi y F∈ . 1.1.8. Tích của các không gian Cho ( ){ }, IXα α ατ ∈ là một họ các không gian tôpô. Đặt I X Xαα∈=∏ và : X Xα απ → là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α . Các không gian Xα gọi là không gian tọa độ. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu απ liên tục. Như vậy, tôpô tích có tiền cơ sở là họ tất cả các tập 1( )Uα απ − , ,U Iα ατ α∈ ∈ hay có cơ sở là họ tất cả các tập dạng 1 1 2 1 ( ), , , ,..., i i i i n n i U U Iα α α απ τ α α α − = ∈ ∈  . Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff. Tập X cùng với tôpô Tychonoff gọi là tích của họ không gian đã cho. 1.2. Một số lớp không gian tôpô 1.2.1. Không gian compact 1.2.1.1. Định nghĩa không gian compact Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn. Hay nói một cách tương đương, X là compact khi và chỉ khi mỗi họ  gồm các tập con đóng của X đều có tính chất giao hữu hạn, ≠ ∅∩ . Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X đều chứa một phủ con hữu hạn. Hay nói một cách tương đương, X là compact đếm được khi và chỉ khi mỗi họ  đếm được gồm các tập con đóng của X đều có tính chất giao hữu hạn, ≠ ∅∩ . Một phủ  của X được gọi là phủ cực tiểu của X nếu với mỗi , \{ }U U∈  không là phủ của X. Ta nói X có tính chất phủ cực tiểu nếu với mỗi phủ mở  của X có chứa một phủ con cực tiểu  . Nhận xét: Trong ZF, mỗi không gian compact đều có tính chất phủ cực tiểu. 1.2.1.2. Compact hóa một điểm của một tập Giả sử X là một tập hợp bất kì. Kí hiệu Xˆ là compact hóa Alexandrov (hay nói cách khác là compact hóa một điểm) của không gian(compact địa phương và Hausdorff) rời rạc X. { }Xˆ X= ∞∪ trong đó ∞ là điểm nào đó không thuộc X. Xˆ là compact và Hausdorff trong ZF. 1.2.2. Không gian Lindelöf Một không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelöf nếu với mỗi phủ mở của X có một phủ con đếm được. 1.2.3. Không gian Loeb Một không gian tôpô X được gọi là không gian Loeb nếu họ các tập con đóng khác rỗng của X đều có một hàm chọn. Một không gian tôpô X được gọi là không gian Loeb đếm được nếu mỗi họ đếm được các tập con đóng khác rỗng của X đều có một hàm chọn. 1.3. Lí thuyết tập hợp 1.3.1. Hệ tiên đề của Zermelo – Fraenkel Ở đây chúng ta đề cập đến hệ tiên đề của Zermelo – Fraenkel gồm các tiên đề sau: 1. Tiên đề quảng tính. Nếu hai tập hợp X và Y có cùng phần tử thì X = Y. ( )u u X u Y X Y∀ ∈ ↔ ∈ → = 2. Tiên đề cặp. Với hai tập hợp a, b thì tồn tại tập hợp {a,b} chỉ chứa duy nhất a và b ( )u v x z z X z u z v∀ ∀ ∃ ∀ ∈ ↔ = ∨ = 3. Tiên đề tuyển lựa (tiên đề tách). Nếu P là một tính chất (với tham số p), thì với mỗi X và p tồn tại tập { }: ( , )Y u X P u p= ∈ chứa tất cả u X∈ mà có tính chất P. ( )( )X Y x x X P x x B∀ ∃ ∀ ∈ ∧ ↔ ∈ 4. Tiên đề hợp. Với mỗi tập X thì tồn tại tập Y X=∪ , hợp tất cả các phần tử của X. ( )x y z u u z z X u Y∀ ∃ ∀ ∀ ∈ ∧ ∈ → ∈ 5. Tiên đề tập hợp các bộ phận. Với mỗi tập X thì tồn tại tập ( )Y X=  , là tập tất cả các tập con của X. ( )X Y u u X u Y∀ ∃ ∀ ⊆ → ∈ 6. Tiên đề vô hạn. Tồn tại một tập vô hạn. { }(Y Y u u Y u Y∃ ∅∈ ∧∀ ∈ → ∈   7. Tiên đề thay thế. Nếu lớp F là một hàm số thì với bất kì X nào cũng tồn tại tập { }( ) ( ) :Y F X F x x X= = ∈ . Tiên đề này được sử dụng khi ta đưa vào khái niệm quy nạp siêu hạn và số thứ tự. 8. Tiên đề về tính chính quy. Mỗi tập x khác rỗng đều có phần tử y sao cho x, y là các tập rời nhau . ( )( )[ ]S x S x S∀ ≠ ∅ ∃ ∈ ∩ =∅ 9. Tiên đề chọn. Mỗi họ không rỗng những tập khác rỗng đều có một hàm chọn. [( ) ,[( , ) ]]i i i I I I i I X X ∈ ∀ ≠ ∅ ∀ ∈ ≠∅ → ≠∅∏ Paul J. Cohen đã chứng minh rằng tiên đề chọn là độc lập đối với các tiên đề khác của lý thuyết Zermelo – Fraenkel. Trước đó, Godel đã chứng minh nếu lí thuyết tập hợp của Zermelo – Fraenkel là không mâu thuẫn thì nó sẽ không mâu thuẫn nếu ta thêm vào tiên đề chọn. Hệ thống gồm 8 tiên đề đầu tiên được gọi là lý thuyết tập hợp Zermelo – Fraenkel và còn được kí hiệu là ZF. Hệ gồm 9 tiên đề trên kí hiệu là ZFC. Ngoài hai lý thuyết tập hợp ZF và ZFC người ta còn xét đến lý thuyết ZFA, nghĩa là lý thuyết ZF thừa nhận các đơn tử. Thêm vào các tập hợp, ZFA có thêm các vật gọi là các đơn tử. Những đơn tử này không có phần tử nào khác ngoài nó nhưng có thể được tập hợp lại thành những tập hợp. 1.3.2. Lọc, siêu lọc và ideal 1.3.2.1. Định nghĩa lọc, siêu lọc Cho X là một tập bất kì. Một họ { }( ) \X⊂ ∅  được gọi là một lọc trên X nếu và chỉ nếu (1) Nếu 1 2,F F ∈ thì 1 2F F ≠ ∅∩ . (2) Nếu F ∈ và F G⊂ thì G∈ . • Một lọc được gọi là tự do nếu = ∅∩ . • Một siêu lọc trên X là lọc lớn nhất theo quan hệ bao hàm. • Mỗi lọc đều có tính chất giao hữu hạn. Ví dụ. 1. Lọc tầm thường { }X= 2. Lọc chính Cho 0X X∅ ≠ ⊂ , lọc 0{ : }F X F X= ⊂ ⊃ là lọc chính trên X. 1.3.2.2. Định nghĩa ideal Một ideal trên một tập X khác rỗng bất kì là một họ I các tập con của X thỏa mãn (1) I∅∈ và X I∉ (2) Nếu A I∈ và B I∈ thì A B I∈∪ (3) Nếu , ,A B X A I⊂ ∈ và B A⊂ thì B I∈ . Nhận xét + Nếu  là một lọc trên X thì { }:I X F F= − ∈ là một ideal trên X. Và ngược lại nếu I là một ideal trên X thì { }:X F F I= − ∈ là một lọc trên X. Đây là hai khái niệm đối ngẫu với nhau. + Đối ngẫu với khái niệm siêu lọc là khái niệm ideal nguyên tố: Với mỗi tập F X⊂ thì F I∈ hoặc X F I− ∈ . 1.3.3. Đại số Boolean 1.3.3.1. Định nghĩa. Một đại số Boolean là một tập B cùng với ít nhất 2 phần tử 0 và 1, được trang bị phép toán hai ngôi + và . và phép toán lấy phần bù thỏa mãn các tính chất sau: (1) Tính chất giao hoán: . . u v v u u v v u + = + = (2) Tính chất kết hợp ( ) ( ) .( . ) ( . ). u v w u v w u v w u v w + + = + + = (3) Tính chất phân phối .( ) . . ( . ) ( ).( ) u v w u v u w u v w u v u w + = + + = + + (4) Tính chất hấp thu .( ) ( . ) u u v u u u v u + = + = (5) Tính chất bù ( ) 1 .( ) 0 u u u u + − = − = Từ các tiên đề trên ta suy ra được , . , 0 , .0 0, 1 1, .1u u u u u u u u u u u u+ = = + = = + = = Hai phần tử u,v là rời nhau nếu . 0u v = . Ta định nghĩa .( )u v u v− = − và 0u v u v≤ ⇔ − = Khi đó ≤ là một quan hệ thứ tự trên B và .u v u v v u v u≤ ⇔ + = ⇔ = 1.3.3.2. Lọc và ideal trên đại số Boolean Cho B là một đại số Boolean. Một ideal trên B là một tập con I thỏa các điều kiện sau (i) 0 ,1I I∈ ∉ . (ii) Nếu ,u I v I∈ ∈ thì u v I+ ∈ . (iii) Nếu ,u v B∈ , ,u I v u∈ ≤ thì v I∈ . Một lọc trên B là tập con F sao cho (i) 1 ,0F F∈ ∉ . (ii) Nếu ,u F v F∈ ∈ thì .u v F∈ . (iii) Nếu ,u v B∈ , ,u F u v∈ ≤ thì v F∈ . Một ideal I là một ideal nguyên tố trên B nếu với mỗi u B∈ thì hoặc u I∈ hoặc u I− ∈ . 1.3.4. Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, biểu thức, lớp Một biểu thức của lý thuyết tập hợp được xây dựng từ các công thức nguyên tử ,x y x y∈ = bởi các phép toán nối , , , ,ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ∧ ∨ ¬ → ⇔ (lần lượt là phép hội, phép tuyển, phép lấy phủ định, phép kéo theo, phép tương đương) và các lượng tử hóa ,x xϕ ϕ∀ ∃ . Nếu 1( , ,..., )nx p pϕ là một biểu thức thì ta gọi { }1: ( , ,..., )nC x x p pϕ= là một lớp. • Mỗi phần tử của C là các tập x thỏa 1( , ,..., )nx p pϕ . • Hai lớp bằng nhau nếu chúng có cùng phần tử. • Lớp mở rộng là lớp { }:V x x x= = . • Lớp bắc cầu là lớp thỏa điều kiện ( )x x S x S∀ ∈ → ⊆ . Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp là tập gồm các kí tự: kí tự quan hệ, kí tự hàm và các kí tự hàm số { },..., ,.. ,...P F c= Mô hình của một lý thuyết tập hợp T được xác định bởi một tập J mà các quan hệ trong đó được định nghĩa sao cho tập V gồm các “mệnh đề hợp lệ” của T đều “đúng” trong J. Như vậy, một lớp bắc cầu là một mô hình của ZF nếu nó thỏa mãn các tiên đề của ZF. Nếu M là một lớp bắc cầu thì mô hình ( , )M ∈ là một mô hình bắc cầu. 1.3.5. Một số mô hình trong ZF 1.3.5.1. Dạng của tiên đề chọn Dạng của tiên đề chọn là các mệnh đề trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tiên đề chọn nhưng nó không là các định lí trong lí thuyết tập hợp mà tiên đề chọn bị bỏ qua. Người ta bắt đầu đánh số từ dạng 0, dạng 0 là 0=0 và dạng 1 là tiên đề chọn. Ví dụ: a. Dạng 2. (Sự tồn tại của bản số kế tiếp) : với mỗi bản số m, tồn tại một bản số n sao cho m < n và ( )p n p m∀ < ≤ . b. Dạng 4. Mỗi tập vô hạn là hợp của họ nào đó rời nhau các tập con đếm được. c. Dạng 10. Mỗi họ đếm được các tập hữu hạn khác rỗng đều có một hàm chọn. d. Dạng 14. (BPI) mỗi đại số Boolean đều có một ideal nguyên tố. e. Dạng 15. ( , )KW ∞ ∞ Nguyên lý chọn Kinna- Wagner: với mỗi tập M thì tồn tại một hàm f sao cho với mọi A M∈ nếu 1A > thì ( )f A A∅ ≠  . f. Dạng 41. 1 Wℵ với mỗi bản số m, thì 1m ≤ℵ hoặc 1 mℵ ≤ . g. Dạng 43. ( )DC ω Nếu S là một quan hệ trên một tập A khác rỗng và ( )( )( )x A y A xSy∀ ∈ ∃ ∈ thì tồn tại một dãy (0), (1), (2),...a a a các phần tử của A sao cho ( )( ( ) ( 1))n a n S a nω∀ ∈ + . 1.3.5.2. Một số mô hình trong ZF a. Mô hình 1 (mô hình gốc của Cohen) : các dạng 14, 15, 31, 60, 118, 128, 163, 165, 191 và 277 đúng nhưng các dạng 13, 17, 50, 65, 106, 131, 144, 253, 289, 299, 300, 337, 338, 339 sai. b. Mô hình 2 (mô hình của Feferman) : các dạng 40, 142, 165, 204 đúng nhưng các dạng 88, 152, 163, 203, 222, 274 sai. c. Mô hình 7 (mô hình thứ hai của Cohen) : dạng 191 đúng nhưng các dạng 18, 91, 340, 341 và 358 sai. d. Mô hình 47( , )n M (mô hình IX của Pincus) : dạng 43, 46( M¬ ), 63 và 214 đúng còn các dạng 46( )n K∈ , 47(n), 91, 163, 329 và 324 sai. 1.3.6. Mở rộng Phương pháp mở rộng được giới thiệu bởi Paul Cohen(năm 1963) trong chứng minh về tính độc lập của Giả thuyết Continum và tiên đề chọn của ông. Phương pháp này là kĩ thuật tổng quát để tạo ra một mô hình lớn hơn từ một mô hình ban đầu và các tính chất được xác định bởi cách xây dựng và mô hình ban đầu. Ý tưởng chính của sự mở rộng là từ một mô hình bắc cầu M (mô hình nền) của lý thuyết tập hợp ta thêm vào một tập G (tập sinh) để tạo thành một mô hình bắc cầu M[G] lớn hơn của lý thuyết tập hợp (sự mở rộng sinh). Tập sinh được xấp xỉ bởi điều kiện mở rộng trong mô hình nền và sự lựa chọn chính xác của các điều kiện mở rộng sẽ xác định cái gì là đúng trong sự mở rộng sinh. 1.3.6.1. Điều kiện mở rộng Cho M là một mô hình bắc cầu của ZFC, mô hình nền. Trong M ta xét một tập được sắp thứ tự bộ phận ( , )P < khác rỗng. Ta gọi ( , )P < là khái niệm mở rộng và các phần tử của P là các điều kiện mở rộng. Ta nói p mạnh hơn q nếu p < q . Nếu p, q là các điều kiện mà tồn tại r sao cho r p≤ và r q≤ thì p và q là tương thích với nhau, những trường hợp khác ta gọi p và q không tương thích. 1.3.6.2. Tập sinh • Một tập F P⊂ là một lọc trên P nếu i. F ≠ ∅ . ii. Nếu ,p q p F≤ ∈ thì q F∈ . iii. Nếu ,p q F∈ thì tồn tại r F∈ sao cho r p≤ và r q≤ . • Tập các điều kiện G P⊂ là tập sinh trên M nếu i. G là lọc trên P. ii. Nếu D trù mật trong P và D M∈ thì G D∩ ≠ ∅ . Ví dụ. Cho P là khái niệm mở rộng như sau: Các phần tử của P là dãy hữu hạn 0-1 . Một điều kiện p là mạnh hơn q nếu p ⊇ q. Và như vậy p, q tương thích nhau khi và chỉ khi p q⊂ hoặc q p⊂ . Cho M là mô hình nền ( ( , )P M< ∈ ) và G P⊂ là một tập sinh trên M. Đặt { }:f G p p G= = ∈   , do đó f là hàm từ ω vào {0, 1} và G là lọc. Với mỗi n ω∈ , { }: dom( )nD p P n p= ∈ ∈ trù mật trong P nên nó giao với G. Suy ra dom(f) = ω . Hàm 0-1 f là hàm đặc trưng của tập A ω⊂ . Ta khẳng định rằng f (hay là tập A) không nằm trong mô hình nền. Với mỗi ánh xạ 0-1 g trong M, đặt { }:gD p P p g= ∈ ⊄ . Do gD trù mật nên giao với G. Do đó f g≠ . Ví dụ này mô tả cách đơn giản nhất để thêm vào một tập mới các số tự nhiên vào mô hình nền. Tập A ω⊂ có được bằng cách này được gọi là số thực Cohen sinh. Tổng quát, gọi κ là một bản số vô hạn, khái niệm mở rộng thêm vào κ số thực, được gọi là số thực Cohen. 1.4. Các định lí Trong luận văn này, sử dụng các định lí, bổ đề sau mà các chứng minh đã có trong các tài liệu tham khảo đi kèm Định lí 1.1 (i) ([21]) Trong ZF, “Mỗi đại số Boolean đều có một ideal nguyên tố” khi và chỉ khi “ Với mọi X, 2X là compact”. (ii) ([15]) Trong ZF, “Mỗi đại số Boolean đều có một ideal nguyên tố” suy ra với mọi không gian compact T2 đều là không gian Loeb. (iii) ([15]) Trong ZF, mỗi không gian con đóng của không gian Loeb là một không gian Loeb. Định lí 1.2 ([9]) Trong ZF, với bất kì bản số xếp thứ tự ℵ nào, tích Tychonoff 2ℵ là compact. Định lí 1.3 (i) ([14]) Phát biểu “ 2 là compact đếm được” thì không chứng minh được trong ZF. (ii) ([10]) Phát biểu CAC( ) không suy ra được “ 2 là compact” trong ZF. Chương 2 TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2X 2.1. Các khái niệm mở đầu Với X là tập bất kì, khác rỗng. 2X là tích Tychonoff của không gian rời rạc { }2 0,1= . Kí hiệu { }[ ]= 2 :Xp f p f∈ ⊂ Fn(X,2) là tập hợp các hàm riêng hữu hạn từ X vào 2. Khi đó { }[ ] : Fn( ,2)X p p X= ∈ là cơ sở đóng-mở chuẩn của tôpô trên 2X . Với mỗi n∈ , đặt { }[ ] :nX Xp p n= ∈ =  ở đây p n= là số phần tử của miền xác định của p. Lúc này ta gọi các phần tử của nX , n∈ , là các tập đóng-mở n-cơ bản của 2 X . Rõ ràng { }:nX X n= ∈ ∪ . Một tập đóng-mở O của 2X được gọi là bị hạn chế nếu tồn tại một tập con hữu hạn Q X⊂ và các phần tử 2 , 1,2,...,Qip i k∈ = với k∈ nào đó sao cho 1 2[ ] [ ] ... [ ]kO p p p= ∪ ∪ ∪ (*) và không có Q’ thực sự nào nằm trong Q mà tập O được biểu diễn ở dạng (*) trên. + Q được gọi là tập các tọa độ bị hạn chế. + , 1,2,..., ,ip i k= được gọi là các tọa độ của O. Với mỗi n∈ , (2 )n XR ( hoặc đơn giản hơn là n R ) là tập hợp tất cả các tập đóng-mở bị hạn chế O mà tập các tọa độ bị hạn chế Q thỏa mãn Q n= . Định nghĩa. Với mỗi n∈ , 2X là compact-n nếu mỗi phủ nX⊂  của 2 X có một phủ con hữu hạn. 2.2 Các kết quả chính J. Mycielski [21] đã chứng minh được rằng trong ZF, BPI thì tương đương với phát biểu “ Với mỗi tập X thì 2X là compact ” và đây là một phần của chứng minh “ 2ℵ là compact với ℵ là một bản số xếp thứ tự ” mà không đòi hỏi hình thức lựa chọn trong chứng minh do đó nó là một định lí trong lí thuyết tập hợp ZF. Phần này chúng ta sẽ xét đến hai sự mở rộng của tính compact đối với tích Tychonoff của 2X , đó là, tính compact đếm được và compact-n. Trong định lí 2.1 dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một phát biểu tương đương với phát biểu “ 2X là compact-n ” với một tập X cho trước và với số nguyên n cho trước. Hơn nữa, trong mệnh đề 2.2 chúng ta thiết lập được trong trường hợp tổng quát, mệnh đề “ 2X là compact-n ” không chứng minh được trong ZF. Định lí 2.1. Cho X là tập bất kì và lấy n∈ . Các phát biểu sau là tương đương: i. 2X là compact-n. ii. Mỗi phủ nR⊂  của 2 X đều có phủ con hữu hạn. iii. Mỗi họ nR⊂  với tính chất giao hữu hạn thì có một giao khác rỗng. Chứng minh a. Chứng minh i ⇒ ii Cố định một phủ { : } ni RO i I= ∈ ⊂  của 2 X Gọi iQ là tập các tọa độ hạn chế của iO và với mỗi i I∈ , đặt ( ),ij ip j J∈ ⊂  là các tọa độ của iO . Đặt {[ ] : , }ij iK p i I j J= ∈ ∈ n X⊂  Rõ ràng K là phủ mở của 2X và do đó nó có một phủ con hữu hạn 1 1 {[ ],...,[ ]}n n ii j jp p Do đó 1 2 { , ,..., } ni i i O O O là phủ con hữu hạn của  (đpcm) b. Chứng minh ii ⇒ iii Lấy họ { : } ni RO i I= ∈ ⊂  có tính chất giao hữu hạn. Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử = ∅∩ Với mỗi i I∈ ,ta gọi iQ là tập các tọa độ hạn chế của iO và { : 1,2,..., }ii j iC p j k= = là tập các tọa độ của iO Ta có {[ ]: 2 \ }iQci iO p p C= ∈∪ , iQ n= Suy ra { : }c ni RO i I= ∈ ⊂  là một phủ mở của 2 X . Theo giả thiết, ta suy ra được  có một phủ con hữu hạn 1 { ,..., } n c c i iO O O= ⇒ { : }= ji O j n≤ ∅∩ (mâu thuẫn với tính chất giao hữu hạn của  ) Do đó ≠ ∅∩ (đpcm) c. Chứng minh iii ⇒ i Lấy phủ {[ ] : }ni Xp i I= ∈ ∈  của 2 X . Giả sử  không có phủ con hữu hạn nào và đặt {[ ] : }cip i I= ∈ Rõ ràng, nR ⊂ và  có tính chất giao hữu hạn. Do đó, ≠ ∅∩ và nếu g∈ ∩ thì g∉ ∪ nghĩa là  không là phủ của 2X (mâu thuẫn với giả thiết) Suy ra  có phủ con hữu hạn hay nói cách khác 2X là compact-n .  Mệnh đề 2.2. Cho X là tập bất kì và \{1}n∈ i. CAC( n≤ , X) suy ra “Mỗi phủ đếm được nR⊂  của 2 X đều có phủ con hữu hạn” suy ra “Mỗi phủ đếm được nX⊂  của 2 X đều có phủ hữu hạn”. Nói riêng, mỗi phủ đếm được nR⊂  của 2  đều có phủ con hữu hạn. ii. “Mỗi phủ đếm được nR⊂  của 2 X đều có phủ con hữu hạn” suy ra isCAC ( , )d n X . iii. “ 2X là compact-n” suy ra AC ( , )dis n X . Nói riêng, phát biểu “ , ,X n∀ ∀ ∈ 2 X là compact-n” không là một định lí trong ZF. Chứng minh a. Chứng minh i Lấy { : } ni RU i ω= ∈ ⊂ là phủ đếm được của 2 X . Với mỗi i ω∈ ta gọi iQ là tập các tọa độ hạn chế của iU . Từ giả thiết CAC( n≤ , X) suy ra tập { : }iR Q i ω= ∈∪ là đếm được. Theo định lí 1.2 thì tích 2R là compact. Xét họ { : }R i RU i ω =  ∈ với i RU  là phép chiếu từ Ui vào 2 R ( i ω∈ ). Thì họ trên là phủ mở của 2R , do đó nó có một phủ con hữu hạn 1 2 { , ,..., } vi R i R i R U U U   Suy ra 1 2 { , ,..., } vi i i U U U= là phủ con hữu hạn của  . Khẳng định thứ hai của (i) có được vì n nX R⊂  . Khẳng định thứ ba của (i) có được là do chứng minh của phần thứ nhất kết hợp với tính chất : bất kì họ các tập con hữu hạn nào của  đều có hàm chọn. b. Chứng minh ii Lấy một họ đếm được rời nhau { }:iA i ω= ∈ gồm các tập con n phần tử của X. Đặt { }12 : (1) 1Xi iO f f A−= ∈ ∩ = Ta được iO là một tập đóng mở hạn chế với iA như là tập các tọa độ hạn chế của nó và { }{ }:i i ixC A x Aχ=  ∈ là tập các tọa độ của nó. Suy ra { }:iO i ω= ∈ có tính chất giao hữu hạn. Sử dụng cách chứng minh ii ⇒ iii của định lí 2.1, ta có thể kết luận ≠ ∅∩ . Như vậy, với mỗi g∈ ∩ , 1(1)g − là một tập chọn của  Hay nói cách khác mỗi họ  đếm được, rời nhau gồm các tập con n phần tử của X đều có một hàm chọn (đpcm) c. Chứng minh iii Phần khẳng định đầu tiên của iii ta chứng minh tương tự như chứng minh của phần ii. Đối với phần thứ 2 trong iii, ta xét mô hình 7 trong [6] cho thấy tồn tại một họ rời nhau { }:iA i ω= ∈ , trong đó với mỗi i ω∈ , iA là các tập con 2 phần tử của ( ) của  không có hàm chọn. Do đó ( )2  không là compact-2 trong 7 .  Nhận xét 2.3. (1) Mặc dù mệnh đề “ Với mỗi n > 1, mỗi phủ đếm được n⊂    của 2 có một phủ con hữu hạn” thì chứng minh được trong ZF, nhưng nó sẽ không đúng nữa nếu ta thay  bởi một tập X bất kì. Thật vậy, ta xét mô hình 7 trong [6]. Lấy { }:iA i ω= ∈ là họ được xét trong chứng minh (iii) của mệnh đề 2.2. Vì  không có hàm chọn trên mô hình này nên dẫn đến họ đếm được { }, : , 2i aU i aω= ∈ ∈ với { }, ( , ) :i a iU X a X A = ∈  , là phủ của ( )2  chứa các tập mở 2-cơ bản. Dễ thấy,  không có phủ con hữu hạn. Do đó, mệnh đề “ Với mỗi tập X và với mỗi số nguyên n >1, mỗi phủ đếm được nX⊂  của 2 X có một phủ con hữu hạn” là không chứng minh được mà không cần đến một vài dạng nào đó của sự lựa chọn. Hệ quả là mệnh đề “Với mỗi tập X, mỗi phủ đếm được X⊂  của 2 X có một phủ con hữu hạn” cũng không là định lí trong ZF. (Chú ý rằng nó là một định lí trong ZF + finCAC , với finCAC là tiên đề chọn đếm được đối với các tập hữu hạn khác rỗng). (2) Ta cũng chứng minh được trong ZF là với mỗi tập X, 2X là compact-1; xem trong [10], định lí 2.3. (3) Không có sự mâu thuẫn nào trong ZF khi mà tồn tại một tập hợp X sao cho với mỗi số nguyên 1n > , tiên đề chọn xảy ra với mỗi họ rời nhau các tập con n phần tử khác rỗng của X nhưng 2X không là compact-n. Thật vậy, lấy X =  . Rõ ràng, trong ZF tiên đề chọn xảy ra với mỗi họ rời nhau các tập con n phần tử khác rỗng của  với mỗi n∈ . Mặt khác, trong mô hình của Feferman (mô hình 2 trong [6]), 2 không là compact-n với mỗi \{1}n∈ (ta sẽ chứng minh điều này trong định lí 3.11 phía sau). Bây giờ chúng ta sẽ xác lập mối liên hệ giữa BPI, TPC( 2X ) và “ 2X là compact-n ” bằng định lí 2.5. Trước hết ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.4. Cho X là một tập hợp và giả sử 2X là compact-n với n∈ nào đó. Thế thì mỗi phủ { }:mX m n≤ ⊂∪ của 2X có một phủ con hữu hạn. Nói riêng, 2X là compact-m với mỗi số nguyên dương m n< . Chứng minh Lấy m n< và gọi { }:mX m n≤ ⊂∪ là một phủ của 2X . Đặt { }: ,nXW V W V= ∈ ∃ ∈ ⊂   Suy ra  là phủ của 2X và vì 2X là compact-n nên dẫn đến  có một phủ con hữu hạn { }1 2, ,..., ki i iW W W với k∈ nào đó. Với mỗi j k≤ chọn ji V ∈ sao cho j ji i W V⊂ , lúc này { }1 2, ,..., ki i iV V V là một phủ con hữu hạn của  . Theo cách chứng minh trên thì mỗi phủ mở mX ⊂ đều có phủ con hữu hạn nên 2 X là compact-m.  Định lí 2.5. Với X là một tập cho trước, các điều kiện sau là tương đương (i) 2X là compact (ii) “ 2X là compact đếm được” và “ Với mỗi n∈ , 2X là compact-n” Trường hợp tổng quát, các điều kiện sau là tương đương trong ZF (1) BPI (2) Với mỗi tập X và với mỗi n∈ , “ 2X là compact đếm được” và “ 2X là compact-n” Chứng minh a) Chứng minh i ⇒ ii (hiển nhiên) b) Chứng minh ii ⇒ i Lấy X⊂  là một phủ của 2 X , ta cần chỉ ra một phủ con hữu hạn của  . Với mỗi n∈ đặt ,nn X n nO= ∩ =    Suy ra { }:nO n= ∈ là một phủ mở đếm được của 2X . Vì 2X là compact đếm được nên  có một phủ con hữu hạn  . Không mất tính tổng quát, ta giả sử { }1 2, ,..., rO O O= với r∈ nào đó. Do 2X compact-r nên theo bổ đề 2.4 suy ra được phủ i r i≤ ∪ của 2 X có một phủ con hữu hạn  . Rõ ràng,  là một phủ con hữu hạn của phủ  ban đầu.  Trong [14], tác giả đã chứng minh được BPI ⇔ “ ,2XX∀ là Lindelöf + CAC fin Tuy nhiên ta đã biết điều kiện “ ,X∀ 2X là Lindelöf ” thì suy ra CAC fin nên điều kiện CAC fin ở trên là không cần thiết. Do đó, ta có: Trong ZF, 2X Lindelöf ≡ mỗi lũy thừa Tychonoff của 2 đều compact. Ta sẽ thành lập kết quả này bằng định lí sau Định lí 2.6. Các phát biểu sau là tương đương trong ZF (i) BPI. (ii) Với mỗi tập X, 2X là Lindelöf . (iii) Với mỗi tập X, mỗi phủ X⊂  của 2 X có một phủ con đếm được. Chứng minh a. (i) ⇒ (ii) hiển nhiên b. (ii) ⇒ (iii) hiển nhiên c. (iii) ⇒ (i) Dựa vào nhận xét trên, ta chỉ cần chứng minh (iii) ⇒ CAC fin Gọi { }:iA i ω= ∈ là họ gồm các tập con hữu hạn khác rỗng. Không mất tính tổng quát, ta giả sử  đôi một rời nhau(nếu không thì ta thay thế  bởi { }{ }:iA i i ω= × ∈ ) Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau “Mỗi tập con không đếm được của 2 ∪ có một điểm giới hạn” Chứng minh Gọi G là tập con không đếm được của 2 ∪ Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử G không có điểm giới hạn nào, thế thì G là một tập đóng. Ta xét họ các tập mở cơ bản của 2 ∪ sau ( ) ( ){ }2[ ] : [ ] 1 [ ] 2 \p p G p G= ∈ = ∨   ∪ ∪∩ ⊂ Ta có  là một phủ của 2 ∪ , vì thế theo giả thiết  có một phủ con đếm được  . Dễ thấy G ≤  với { }[ ] : [ ] G 1p p= ∈ =  ∩ . Suy ra tập G đếm được (mâu thuẫn). Vậy ta đã chứng minh bổ đề xong. Bây giờ quay trở lại việc chứng minh định lí, với mỗi i ω∈ , đặt ( ) ( ){ }1 12 : , (1) 1 , (0)i j jB f j i f A j i A f− −= ∈ ∀ ≤ = ∀ > ⊂∪ ∩ ∧ Vì  là họ đếm được các tập hữu hạn nên iB định nghĩa được và hữu hạn với mọi i ω∈ . Đặt { }:iB B i ω= ∈∪ Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: Nếu 0B =ℵ Ta đánh số lại các phần tử của B và lấy ra phần tử nhỏ nhất từ mỗi iB tương ứng với cách đánh số trên của B, ta dễ dàng xác định được một hàm chọn của  . Trường hợp 2: Nếu 0B ≠ℵ Theo bổ đề, B có một điểm giới hạn g. Ta sẽ chứng minh 1(1) 1ig A − =∩ với mọi i ω∈ . Giả sử ngược lại 0 1(1) 1ig A − ≠∩ với một 0i ω∈ nào đó. Lúc này dẫn đến hai trường hợp sau: (2a) Nếu 0 1(0)iA g −⊂ Suy ra ( ){ }0,0 :g iO x x A = ∈  là một lân cận của g giao với { }0:jB j i<∪ không quá hữu hạn phần tử. Điều này là mâu thuẫn vì g là điểm giới hạn của B, thì mỗi lân cận của g phải giao với B là một tập vô hạn ( 2 ∪ là không gian Hausdorff). (2b) Nếu 0 1(1) 2ig A − ≥∩ Lấy 0 , ix y A∈ sao cho ( ) ( ) 1g x g y= = . Xét lân cận ( ) ( ){ },1 , ,1gO x y =   của g. Theo định nghĩa của B ta có gO B = ∅∩ (mâu thuẫn vì g là điểm giới hạn của B) Từ hai trường hợp (2a) và (2b) ta suy ra được với mọi i ω∈ , 1(1) 1ig A − =∩ Suy ra 1(1)C g −= là một tập chọn của  .  Như vậy qua định lí 2.5 một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là khi nào thì điều kiện “ 2X là compact-n ” thực sự cần thiết cho mối quan hệ tương đương giữa “ 2X là compact” và “ 2X là compact đếm được ”. Ở định lí 2.8, chúng ta sẽ trả lời được cho câu hỏi trên, nghĩa là, chúng ta chỉ ra được tồn tại một tập X sao cho 2X là compact đếm được nhưng không compact. Vì vậy, chúng ta cũng không có kết quả TPC( 2X )⇒BPI. Trước hết, chúng ta cần đến định nghĩa sự hội tụ của lọc. Định nghĩa 2.7. Cho (X, T) là không gian tôpô và  là một lọc trên X. Ta nói  hội tụ về điểm x X∈ nếu mỗi lân cận mở của x thuộc vào  . Định lí 2.8. Trong ZF, ta không chứng minh được với mỗi tập X vô hạn và với mỗi n∈ , 2X là compact đếm được” suy ra “ 2X là compact-n”. Nói riêng, ta cũng không chứng minh được trong ZF với mọi tập vô hạn X, 2X là compact đếm được suy ra 2X là compact. Chứng minh Lấy X là một tập vô hạn. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề . “ 2X là Loeb đếm được” + UF ( )ω suy ra 2X là compact đếm được. Chứng minh bổ đề Cố định một họ lồng vào nhau { }:iG i ω= ∈ các tập con đóng của 2X . Ta cần chứng minh ≠ ∅∩ . Giả sử = ∅∩ . Gọi h là một hàm chọn của  . Vì 0=ℵ và = ∅∩ suy ra ( )A ran h= là tập vô hạn đếm được. Gọi  là siêu lọc tự do trên A. Đặt { }2 :XY Y A= ⊂ ∈ ∩ Ta kiểm tra  là một siêu lọc trên 2X + Lấy 1 2,G G ∈ 1 1 2 2 G A G A G A G A ∈ ≠ ∅  ⇒ ⇒ ∈ ≠ ∅    ∩ ∩ ∩ ∩ 1 2 (1)G G⇒ ≠∅∩ + Lấy ,G G H∈ ⊂ Do G∈ nên G A∈∩ ( ) ( )G A H A⇒ ⊂∩ ∩ Mà  là siêu lọc tự do trên A nên ( )H A ∈∩ (2)H⇒ ∈ Từ (1) và (2) suy ra  là một lọc trên 2X và nó là siêu lọc trên 2X Nếu  là một siêu lọc thì với mỗi x X∈ đặt { }12 : ( )x xA Aπ −= ⊂ ∈  với xπ là phép chiếu chính tắc của 2 lên bản sao thứ x của 2. Rõ ràng, x là một siêu lọc trên 2 nên nó hội tụ về một điểm duy nhất 2xa ∈ (vì 2 là không gian 2T và compact). ⇒  hội tụ về ( )x x Xa ∈ . Do vậy trong ZF mỗi siêu lọc trên 2X đều hội tụ. ⇒  hội tụ về 2Xg∈ . Vì  là siêu lọc tự do nên với mỗi lân cận mở gO của g thì gO A∩ là một tập vô hạn. g⇒ ∈ ∩ ( mâu thuẫn) Suy ra 2X là compact đếm được. Mặt khác, mô hình 47( , )n M của Pincus trong [6] thỏa mãn điều kiện UF( )ω và tiên đề chọn hạn chế trên một họ đếm được các tập khác rỗng (xem [6]). Vì tiên đề chọn hạn chế trên một họ đếm được các tập rỗng suy ra được 2X là Loeb đếm được với mỗi tập X. Suy ra bổ đề trên cũng đúng cho trường hợp 47( , )n M . Vì vậy, theo bổ đề ta có “Với mỗi tập X, 2X là compact” đúng trong mô hình này. Tuy nhiên, ta cũng đã biết trong [6] thì mệnh đề BPI không đúng trong mô hình này. Do vậy, tồn tại một tập X trong mô hình sao cho 2X không là compact và hệ quả theo định lí 2.5 là tồn tại n∈ sao cho 2X không là compact-n .  Như vậy, trái ngược với một định lí trong ZF là “Tích Tychonoff của họ đếm được các không gian compact là không gian compact đếm được khi và chỉ khi tích của họ đếm được các không gian compact là không gian compact” (trong [5], định lí 6), định lí 2.8 ở trên đã chỉ ra kết quả này không còn đúng trong ZF nữa nếu ta xét tích Tychonoff của họ không đếm được các không gian compact. Ta cũng có một kết quả liên quan(trong [22]) i. CAC + UF( )ω suy ra “ Với mỗi tập X vô hạn, 2X là compact đếm được”. ii. Trong mỗi mô hình hoán vị Fraenkel-Mostowski của ZFA( tức là ZF thừa nhận đơn tử), CAC suy ra “ với mỗi tập vô hạn X, 2X là compact đếm được” Bây giờ, chúng ta xét về độ mạnh theo nghĩa lý thuyết tập hợp của hai mệnh đề “ 2X là Loeb” và “ { }2 \ 0X là Loeb” trong đó 0 χ∅= và Aχ là hàm đặc trưng của A. Đặc biệt, chúng ta chứng minh được mệnh đề “ 2X là Loeb” kéo theo ( )AC fin X và “ 2 \{0}X là Loeb” tương đương với AC(X). Định lí 2.9. Cho X là một tập bất kì (i) “ 2X là Loeb” ⇒ ( Xˆ là Loeb) ⇔ ( )fin XAC , trong đó Xˆ là compact hóa một điểm của không gian rời rạc X. (ii) “ { }2 \ 0X là Loeb” suy ra “ 2X là Loeb” . Tuy nhiên, cũng tương đối nhất quán trong ZF khi tồn tại tập A sao cho 2A là Loeb và { }2 \ 0A không là Loeb đếm được. (iii) “ { }2 \ 0X là Loeb” nếu và chỉ nếu AC(X) Chứng minh a) Chứng minh (i) Ta có Xˆ đồng phôi với không gian con đóng { }{ } { }: 0xY x Xχ= ∈ ∪ của 2X Vì vậy nếu 2X là Loeb thì theo định lí 1.1, Y là Loeb. Suy ra Xˆ là Loeb. Khẳng định thứ 2 của (i) là kết quả của Morillon [20] b) Chứng minh (ii) Lấy một họ { }:iG i I= ∈ các tập con đóng của 2X Suy ra { }{ }' (2 \ 0 ) :XiG i I= ∈ ∩ là họ các tập con đóng của { }2 \ 0X . ⇒ ' có một hàm chọn f ( do { }2 \ 0X là Loeb) Suy ra  cũng có hàm chọn là f hay 2X là Loeb(đpcm) Đối với khẳng định thứ hai của (ii) xét mô hình cơ bản 1 của Cohen trong [6] Ta thấy mệnh đề BPI xảy ra trong 1 ; xem [6] Vì BPI suy ra “ 2X là compact với mọi X ” và “Không gian compact 2T là Loeb” (định lí 1.1) nên suy ra trong 1 , 2X là Loeb với mỗi tập X ”. Kế tiếp, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại tập A trong 1 và một họ  đếm được gồm các tập con đóng khác rỗng của { }2 \ 0A mà  không có hàm chọn. Gọi A là tập tất cả số thực Cohen được thêm vào. ⇒A không có tập con vô hạn đếm được nào trong mô hình này ( xem [6]) Hơn nữa, vì A trù mật trong  (xem [6]) và  thì đồng phôi với ( )1,∞ nên ta có thể biểu diễn A như sau { }: , ( , 1) .n nA A n A n n A= ∈ = +∪ ∩ { }{ } { }: 0n nxB x Aχ⇒ = ∈ ∪ là tập con đóng của 2A . { }{ }\ 0 :nB n⇒ = ∈ là họ đếm được các tập con đóng, khác rỗng của { }2 \ 0A . Nếu { }( ){ }, :nxg n nχ= ∈ là hàm chọn của  thì { }:nC x n= ∈ là một tập con vô hạn đếm được của A(điều này không đúng trong 1 ). Do đó  không có hàm chọn. Suy ra { }2 \ 0A không là Loeb đếm được. c) Chứng minh (iii) Giả sử { }2 \ 0X là Loeb { }{ }:xA x Xχ⇒ = ∈ là tập con đóng, rời rạc tương đối của { }2 \ 0X . A⇒ là Loeb và suy ra A được sắp thứ tự tốt (vì A là không gian Loeb rời rạc vì thế ( ) { }\ 0A có một hàm chọn) Vì bất kì sự sắp thứ tự nào của A cảm sinh một sự sắp thứ tự trên X, dẫn đến AC(X) xảy ra. Ngược lại, ta giả sử AC(X) ⇒X được sắp thứ tự tốt (chứng minh đồng nhất làm một với chứng minh trong ZF, AC suy ra mỗi tập được sắp thứ tự tốt, định lí 5.1 trong [8] ). Đặt X =ℵ , với ℵ là bản số sắp thứ tự tốt. ⇒ 2X là Loeb(theo kết quả của Morillon [20] ) Lấy họ { }:iA i I= ∈ gồm các tập con đóng của { }2 \ 0X . Đặt 1 { :A A= ∈  đóng trong 2 X } và 2 { : 0A= ∈  là điểm giới hạn duy nhất của A trong 2 X mà không thuộc A} Rõ ràng 1 2=  ∪ Vì 2X là Loeb nên 1 có một hàm chọn h. Gọi { }:nO n∈ℵ là một phép đánh số của cơ sở X của 2X [ ]X ω< = ℵ trong đó [ ] ω<ℵ là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của ℵ và [ ] ω<ℵ có cùng lực lượng với ℵ trong ZF. Với mỗi 2A∈ , đặt { }min : ,0 cA n nn n O A O= ∈ℵ ≠ ∅ ∈∩ Dễ thấy tập { }3 2:AnO A A= ∈ ∩ là họ các tập con đóng của 2X (vì với mọi 2A∈ , tập tất cả các điểm giới hạn của An O A∩ trong 2X bằng rỗng ). Vì vậy, 3 có một hàm chọn g. Thế thì f g h= ∪ là hàm chọn của  . Như vậy định lí được chứng minh xong.  Chương 3 TÍNH COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2 Tương tự với phát biểu “Với mỗi tập X, 2X là compact”, J. Truss [23] đã quan tâm tới mệnh đề “ 2 là compact” và trong [6] tác giả xem xét việc liệu nó có là một định lí trong ZF hay không. Trong [9], người ta đã đưa ra một câu trả lời phủ định cho câu hỏi trên. Hơn nữa, trong [10] người ta đã chứng minh được tiên đề chọn yếu CAC( ) không thỏa mãn để chứng minh phát biểu “ 2 là compact”. Trong [14], phát biểu “ 2 là compact đếm được” cũng không là định lí trong ZF. Tuy nhiên một câu hỏi cũng được đặt ra trong tài liệu này là, liệu mệnh đề CAC( ) có suy ra được “ 2 là compact đếm được” và liệu “ 2 là compact đếm được” có suy ra được “ 2 là compact”. Đi theo những vấn đề này và ta đã có “ 2 là compact ” thì tương đương với “ 2 là compact đếm được” + “ 2 là compact-n với mọi n >1”, chúng ta thiết lập trong ZF điều kiện CAC, vì thế CAC( ), không suy ra “ 1,2n∀ >  là compact-n”. Cuối cùng trong định lí 3.12 ta chứng minh được trong ZF, “ 2 là compact” thì tương đương với phát biểu “ 2 có tính chất phủ cực tiểu”. Đầu tiên, chúng ta cần kết quả sau Định lí 3.10. Với mỗi số nguyên 1n > , nếu 2 là compact-n, thì mỗi họ của các tập con n≤ -phần tử của ( ) sao cho ∪ rời nhau, có một tập chọn. Đặc biệt, phát biểu “ Với mỗi số nguyên 1n > , 2 là compact-n” thì không chứng minh được trong ZF. Chứng minh Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo n. Với n = 2, giả sử 2 là compact-2 và đặt { }:iT i I= ∈ là họ gồm các tập con 2-phần tử của ( ) sao cho   là rời nhau. Giả sử  không có tập chọn nào. Xét họ các tập con đóng mở 2-cơ bản của 2 sau: { }2 1[ ] : ( 2) ( , , ( ) 1)ip a i I X T p a X−= ∈ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ ∀ ∈ =  ∩ Ta chứng minh  là một phủ của 2 . Lấy 2f ∈  Nếu f ∉ ∪ thì với mỗi 2a∈ và mỗi i I∈ tồn tại iX T∈ sao cho 1( )f a X− = ∅∩ . Tập 1(0)f − xác định một tập chọn cho  là ( ){ }1(0) :if T i I− ∈∩ Điều này mâu thuẫn với giả thiết  không có tập chọn nào. Do đó tồn tại một i I∈ và một 2a∈ sao cho 1( )f a− giao với mỗi phần tử của iT . Vì thế f ∈ ∪ và  là phủ của 2 . Mặt khác, ta cũng kiểm tra được  không có bất kì phủ con hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả thiết 2 là compact-2. Vì vậy  có một tập chọn. Giả sử với mọi m < n, nếu 2 là compact-m, thì mỗi họ các tập con m≤ -phần tử của ( ) sao cho   là rời nhau, có một tập chọn. Chúng ta thiết lập kết quả trong điều kiện 2 là compact-n, với n > 2. Theo bổ đề 3.4, ta có với mỗi số nguyên dương m < n, 2 là compact-m, vì vậy theo giả thiết quy nạp ta suy ra với mỗi m < n, mỗi họ các tập con m≤ -phần tử của ( ) sao cho   là rời nhau, có một tập chọn. Bây giờ, ta cố định một họ { }:iT i I= ∈ gồm các tập con n≤ -phần tử của ( ) sao cho   là rời nhau. Theo giả thiết quy nạp và do ( )n là hữu hạn nên ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát là iT n= với mọi i I∈ . Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử  không có tập chọn nào. Xét họ các tập con n-cơ bản đóng mở của 2 sau { }1[ ] : ( 2) ( , , ( ) 1)n ip a i I X T p a X−= ∈ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ ∀ ∈ =  ∩ Ta tiếp tục chứng minh  là một phủ của 2 . Lấy 2f ∈  Nếu f ∉ ∪ thì với mỗi 2a∈ và mỗi i I∈ tồn tại iX T∈ sao cho 1( )f a X− = ∅∩ . Vì  không có tập chọn nào nên chúng ta có thể kết luận rằng với mỗi i I∈ và với mỗi 2a∈ tồn tại ít nhất 2 phần tử của iT mà ảnh của nó qua f là { }a . Với mỗi i I∈ , đặt { }1(0) :i iS f X X T−= ∈∩ và { }:iS i I= ∈ Vì với mọi i I∈ , tập iT có n phần tử, dẫn đến tồn tại một số m < n sao cho iS m≤ với mọi i I∈ . Lấy 0m là số nhỏ nhất trong các số m như vậy. Vì 0m < n nên 2  là compact- 0m , vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra  có một tập chọn và vì thế  có một tập chọn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết trên  và do đó  là một phủ của 2 . Mặt khác, không khó để kiểm tra được  không có phủ con hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả thiết 2 là compact-n. Do đó, không có tập chọn. Phép quy nạp kết thúc cũng như là chứng minh cho sự khẳng định thứ nhất của định lí. Đối với khẳng định thứ hai của định lí, ta dùng dẫn chứng mô hình của Feferman; mô hình 2 trong [6]. Trong 2 tồn tại một họ gồm các tập con 2-phần tử của ( ) mà hợp của nó là tập rời nhau và  không có hàm chọn trong mô hình này; xem [4] hoặc [6]. Đặc biệt, họ này có tính chất sau: [ ] [ ]{ }{ }, \ : ( )X X Xω ω= ∈  , Trong đó ( )X ω∈ , [ ] { }0( ) :X Y X Yω= ∈ <ℵ △ và △ kí hiệu cho phép toán lấy hiệu đối xứng giữa các tập hợp. Do đó, phát biểu “ 2 là compact-2” thì không xảy ra trong 2 , và theo bổ đề 2.4 ta suy ra 2 không là compact-n với mọi số nguyên n >1. Như vậy định lí chứng minh xong.  Định lí 3.11. Trong ZF , điều kiện CAC không suy ra “ Với mọi số nguyên n > 1, 2 là compact-n”. Chứng minh Trong mô hình 2 của Feferman trong [6], tiên đề chọn AC đúng với mọi họ sắp thứ tự tốt các tập khác rỗng, vì thế tiên đề chọn CAC xảy ra(xem [3]), trong khi đó theo chứng minh trên thì 2 không là compact-2 trong mô hình này.  Định lí 3.12. Các phát biểu sau là tương đương trong ZF: (i) 2 là compact (ii) 2 có tính chất phủ cực tiểu. Chứng minh a) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Điều này là hiển nhiên vì trong ZF, mỗi không gian compact có tính chất phủ cực tiểu. b) Chứng minh (ii) ⇒ (i) Đầu tiên chúng ta cần bổ đề sau Bổ đề. “ 2 có tính chất cực tiểu” suy ra “ 2 là compact đếm được”. Chứng minh Cố định một họ { }:nF n ω= ∈ gồm các tập con đóng lồng vào nhau của 2 với tính chất giao hữu hạn. Ta giả sử = ∅∩ Thế thì { }:nG n ω= ∈ , với cn nG F= với mọi n ω∈ , là một phủ mở của 2 . Ta gọi  là phủ con cực tiểu của  . Vì  có tính chất giao hữu hạn, nên  là vô hạn. Lấy H ∈ và { }\ H=  Vì  là phủ cực tiểu của 2 , ta suy ra được 2≠ ∪ và do đó { }:cJ I I= ∈ ≠ ∅∩ Vì 0=ℵ và  là lồng vào nhau, nên mỗi phần tử f J∈ cũng là phần tử của ∩ (mâu thuẫn với giả thiết) Do đó bổ đề được chứng minh xong. Bây giờ ta sẽ chứng minh 2 là compact. Lấy một phủ mở cơ bản  của 2 và lấy  là phủ con cực tiểu của  . Ta khẳng định  hữu hạn. Bằng cách dùng phản chứng, giả sử  vô hạn. Vì ≤  (do ⊂ ⊂     và 02ℵ=   ), ta biểu diễn  như là { }:n n∈∪ , 1n n+  với mỗi n∈ . Hơn nữa, vì  là phủ con cực tiểu của  nên suy ra với mỗi n∈ , { }:cn nG V V= ∈ ≠ ∅∩ và { }:nG n= ∈ là họ các tập con đóng của 2 có tính chất giao hữu hạn. Dựa vào bổ đề trên ta có 2 là compact đếm được. Lấy f ∈ ∩ , rõ ràng f ∉ ∪ (mâu thuẫn) Vì thế,  là hữu hạn và 2 là compact (đpcm). Như vậy ta đã chứng minh được (ii) ⇒ (i) và kết thúc định lí này.  KẾT LUẬN 1. Kết quả nghiên cứu Với thời gian nghiên cứu hạn chế chúng tôi chỉ thu được một số kết quả tương đối khiêm tốn. Tuy nhiên về cơ bản chúng tôi đã hoàn thành các mục tiêu đề ra: • Xác lập được mối liên hệ giữa ba mệnh đề BPI, TPC( 2X ) và “ 2X là compact-n” cụ thể là trong ZF, BPI ⇔ TPC( 2X ) và “ 2X là compact-n” với mỗi tập X cho trước và với mọi n∈ . Hơn nữa, ta cũng khẳng định được TPC( 2X ) không suy ra được “ 2X là compact-n” và TPC( 2X ) không suy ra được TP( 2X ) với mỗi tập X vô hạn. • Cải tiến được một kết quả có trong tài liệu [14] cụ thể là ta chứng minh được BPI ⇔ “Với mỗi tập X, 2X là Lindelöf ” thay vì trước đây là BPI ⇔ “Với mỗi tập X, 2X là Lindelöf ” và CAC fin và như vậy ta có “ 2 X là Lindelöf ” tương đương với TP( 2X ). • Chứng minh được tiên đề chọn CAC không suy ra được “ 2 là compact-n” và do đó CAC( ) không suy ra được “ 2 là compact-n”. • Thiết lập được mối quan hệ tương đương giữa hai mệnh đề “ 2 là compact” và “ 2 có tính chất phủ cực tiểu”. 2. Hướng nghiên cứu tiếp theo Qua luận văn này, ta đã có kết quả BPI ⇔ TPC( 2X ) và “ 2X là compact-n” với mỗi tập X và với n∈ Như vậy, một câu hỏi được đặt ra là với tập X như thế nào và n∈ thỏa điều kiện gì thì BPI ⇔ “ 2X là compact-n” ? TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Tráng (2005), Tôpô đại cương, NXB Đại học Sư phạm TP.HCM. [2] Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Ryszard Engelking (1988), General Topology, Heldermann Verlag Berlin. [4] S. Feferman (1995), Some applications of the notions of forcing and generic sets, Fund. Math. 56, 325-345. [5] P. Howard, K. Keremedis, J. E. Rubin, and A. Stanley (2000), Compactness in Countable Tychonoff Products and Choice, Math. Logic Quart. 46, 3-16. [6] P. Howard and J. E. Rubin (1998), Consequences of the Axiom of Choice, Math. Surveys and Monographs, 59, Amer. Math.Soc., Providence, RI. [7] T. J. Jech (1973), The Axiom of Choice, North-Holland Publ. Co., Amsterdam. [8] T. J. Jech (2003), Set Thoery, The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer. [9] K. Keremedis (2000), The compactness of 2 and some weak forms of the axiom of choice, Math. Logic Quart. 46 No 4, 569-571. [10] K. Keremedis (2005), Tychonoff Products of Two – Element Sets and Some Weakenings of the Boolean Prime Ideal Theorem, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 53, 349- 359. [11] K. Keremedis and H. Herrlich (1999), Power of 2, Notre Dame Journal of Formal Logic Vo.40, No. 3. [12] Kenneth Kunen, Jerry E. Vaughan (1984), Handbook of Set- Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V. [13] K. Kuratowski (1968), Topology, Academic Press Inc. Ltd. [14] K. Keremedis, E. Flouzis, and E. Tachtsis (2007), On the compactness and countable compactness of 2 in ZF, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 55, 293-302. [15] K. Keremedis and E. Tachtsis (2001), On Loeb and weakly Loeb Hausdorff spaces, Scient. Math. Jap. 83 No 2, 413-422. [16] K. Keremedis and E. Tachtsis (2005), Countable sums and products of metrizable spaces in ZF, Math. Log. Quart. 51, No.1, 95-103. [17] K. Keremedis (2010), Tychonoff products of compact spaces in ZF and closed ultrafilters, Math. Log. Quart. 56, No.5, 475-487. [18] Azriel Levy (2002), Basic Set Theory, Springer – Verlag Berlin Heidelberg. [19] David Marker (2000), Introduction to Model Theory, MSRI Publications,Vo. 39. [20] M. Morillon, Notions of Compactness for Special Subsets of I and Some Weak Forms of the Axiom of Choice, communicated manuscript. [21] J. Mycielski (1964), Two remarks on Tychonoff’s Product Theorem, Bull. Acad. Polon. Sci., Vol. XII No8, 439-441 [22] E. Tachtsis, On the Set-Theoretic Strength of Countable Compactness of 2 . [23] J. Truss (1984), Cancellation laws for surjective cardinals, Ann. Pure Appl. Logic 27, 165-207. [24] Ulrich Felgner, Models of ZF- Set Theory, Springer Heidelberg 1971.