Luận văn Tính chuẩn tác và tính khai triển của không gian tôpô tích

y ra M là phủ mở chuẩn tắc của không gian tôpô tích X S× . Kết hợp với Định lý 1.14, chúng ta có điều phải chứng minh.  Bổ đề 2.6. Giả sử Ω là một tập hợp có lực lượng 2m . Nếu tích tôpô của không gian X với bất kỳ không gian con S của không gian Baire ( )N Ω là một không gian chuẩn tắc thì X là một ( )P m -không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh X S× là một không gian paracompact đếm được với bất kỳ không gian con S của không gian Baire ( )N Ω . Đặt 0C Dℵ= là một phản continuum Cantor với D là một không gian rời rạc chỉ chứa hai điểm. Với bất kỳ không gian con S của không gian Baire ( )N Ω , không gian tôpô tích S C× có số chiều không theo nghĩa phủ và trọng số của S C× thỏa ( ) ℵ ≤ Ω ≤ℵ× =  ≤ Ω ℵ m  0 0 0 , neáu 2 , , neáu . w S C Do đó, S C× đồng phôi với không gian con của ( )N Ω . Thật vậy, đây là một bài toán nổi tiếng trong trường hợp 0Ω ≤ℵ và trong trường hợp 0Ω ≥ℵ chính là nội dung của mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3 (Định lý 10.5 trong K.Morita [19]). Giả sử X là không gian có số chiều không. Nếu Ω là một tập hợp có lực lượng nhỏ hơn hoặc bằng lực lượng của một cơ sở của X thì X đồng phôi với một tập con của ( )N Ω . Vì vậy, ( )X S C× × là không gian chuẩn tắc theo giả thiết. Do ( )X S C× × đồng phôi với ( )X S C× × nên X S× là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được theo Bổ đề 2.4. Lấy bất kỳ một họ các tập con mở ( ){ }1 2 1 2, , , | , , , ; 1, 2,i iG iα α α α α α ∈Ω = của X thỏa ( ) ( )1 2 1 2 1, , , , , , ,i i iG Gα α α α α α α + ⊂ với 1 2 1, , , ,i iα α α α + ∈Ω . Đặt ( ) ( )1 2 1 2 1 , , | , , , i i S G Xα α α α α ∞ =   = =     và xem S như không gian con của không gian Baire ( )N Ω . Khi đó, họ ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , 1, 2,i i iG V S iα α α α α α α α α= × ∩ ∈Ω =   H 33 là một phủ mở của X S× , trong đó ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2, , , , , | v?i , .i j j jV j i Nα α α β β β α β = = ≤ ∈ Ω Vì ( ){ }1 2 1 2, , , | , , , , 1, 2,i iV S iα α α α α α ∩ ∈Ω = là một họ hữu hạn địa phương các tập con của S nên H là một phủ mở σ -hữu hạn địa phương của X S× . Theo chứng minh ban đầu, X S× là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được. Do đó, H là phủ mở chuẩn tắc theo Định lý 1.11. Gọi { }|Lξ ξ ∈Ξ là một phủ mở hữu hạn địa phương của không gian X S× thỏa { }|Lξ ξ ∈Ξ là một mịn của phủ H . Chúng ta có thể xác định phủ mở ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2, , , ; , , , | , , , , , 1, 2, , 1, 2,i i iL V S i kα α α ξ α α α α α α ξ × ∩ ∈Ω ∈Ξ = =    của X S× như là một mịn của { }|Lξ ξ ∈Ξ thỏa ( ) ( )1 2 1 2, , , ; , , ,i iL V S Lξα α α ξ α α α × ∩ ⊂   4 với 1 2, , , iα α α ∈Ω , 1, 2,i = , 1, 2,k = Với mỗi ξ ∈Ξ , tồn tại một dãy hữu hạn ( )1 2, , , jβ β β phần tử của Ω thỏa ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,j jL G V Sξ β β β β β β ⊂ × ∩  . Không mất tổng quát, giả sử ( )1 2, , , ;iL α α α ξ ≠∅ và ( )1 2, , , iL Sα α α ∩ ≠∅ . Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , ; , , , , , , , , ,i i j jL V S L G V Sξα α α ξ α α α β β β β β β  × ∩ ⊂ ⊂ × ∩     . Xét hai trường hợp có thể xảy ra: 1. Trường hợp j i≤ : Chúng ta có 1 1 2 2, , , j jβ α β α β α= = = và ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , ; , , , , , , , , ,i i i iL V S G V Sα α α ξ α α α α α α α α α × ∩ ⊂ × ∩       do ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , ,j j j iG G Gβ β β α α α α α α α = ⊂ . 2. Trường hợp j i> : Chúng ta có 1 1 2 2, , , i iβ α β α β α= = = và ( ) ( )1 2 1 2 1, , , , , , , , ,i i i jV S V Sα α α α α α β β+ ∩ = ∩ . Hơn nữa, 4 Chúng ta giả sử rằng nếu ( )1 2, , , iV Sα α α ∩ = ∅ thì ( )1 2, , , ;α α α ξ = ∅iL . 34 ( ) ( )1 2 1 2 1, , , ; , , , , , ,i i i jL V Sα α α ξ α α α β β+  × ∩ ⊂  ( ) ( )1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , , , ,i i j i i jG V Sα α α β β α α α β β+ + ⊂ × ∩  Bây giờ, với 1 2, , , iα α α ∈Ω và ξ ∈Ξ , chúng ta định nghĩa ( ) ( )1 2 1 2, , , ; , , , ; ,i j j i M Lα α α ξ α α α ξ ≤ =  trong đó ( )1 2, , , ;jL α α α ξ thỏa ( ) ( )1 2 1 2, , , , , , , ,α α α α α α α ∩ = ∩j j iV S V S , ( ) ( )1 2 1 2, , , ; , , , , , .j j iL Gα α α ξ α α α α ⊂ Định nghĩa trên cho thấy, với mỗi ( )1 2, , , ;jL α α α ξ tồn tại ( )1 2, , , ;iL α α α ξ nào đó với j i≤ thỏa mãn các điều kiện vừa nêu. Do đó, họ ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2, , , ; , , , , , , , , 1, 2,i i iM V S iα α α ξ α α α α α α ξ= × ∩ ∈Ω ∈Ξ =   Y là một phủ mở của X S× và hơn nữa ( ) ( )1 2 1 2, , , ; , , ,i iM V S Lξα α α ξ α α α × ∩ ⊂   , (2.7) ( ) ( )1 2 1 2, , , ; , , ,i iM Gα α α ξ α α α ⊂ . (2.8) Thật vậy, ( )1 2, , , ;iM α α α ξ là một tổng hữu hạn tập con ( )1 2, , , ;jL α α α ξ với 1, 2, ,j i= thỏa mãn đồng thời ( ) ( )1 2 1 2, , , ; , , , ,i iL V S Lξα α α ξ α α α × ∩ ⊂   ( ) ( )1 2 1 2, , , , , , , , ,j j iV S V Sα α α α α α α ∩ = ∩ ( ) ( )1 2 1 2, , , ; , , , , , ;j j iL Gα α α ξ α α α α ⊂ do đó thỏa (2.7) và (2.8). Cuối cùng, đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , ; , neáu , , , , , , , , neáu , , , . i i i i M V S F V S ξ α α α ξ α α α α α α α α α ∈Ξ  ∩ ≠∅ =  ∅ ∩ =∅  . 35 Trong trường hợp ( )1 2, , , iV Sα α α ∩ ≠∅ , vì { }|Lξ ξ ∈Ξ là một họ hữu hạn địa phương nên theo (2.7) ( )1 2, , , iF α α α là một tập con đóng của X và ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,i iF Gα α α α α α ⊂ theo (2.8). Vì vậy, ( )1 2, , , iF α α α là tập con đóng và ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,i iF Gα α α α α α ⊂ với mọi phần tử 1 2, , , iα α α ∈Ω . Ngoài ra, vì họ Y là một phủ mở của X S× nên họ ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2, , , , , , | , , , , 1, 2,i i iF V S iα α α α α α α α α × ∩ ∈Ω =    cũng là một phủ của X S× . Vì vậy, ( )1 2 1 , , , i i X F α α α ∞ = =  với ( )1 2, , Sα α ∈ . Từ định nghĩa của S , rõ ràng X là một ( )P m -không gian và không khó để kiểm tra X là một không gian chuẩn tắc.  Bây giờ, chúng ta lần lượt chứng minh Định lý 2.5, Định lý 2.4 và Định lý 2.6. Chứng minh. Vì điều kiện cần của Định lý 2.5, Định lý 2.4 và Định lý 2.6 được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.6 nên chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Với 0≥ℵm , áp dụng Định lý 1.21, tồn tại một không gian con S của không gian Baire ( )N Ω và một toàn ánh liên tục đóng :g S Y→ sao cho ( )1g y− là compact với mọi điểm y Y∈ . Định nghĩa ánh xạ :f X S X Y× → × xác định bởi ( ) ( )( ), ,f x s x g s= với mọi ( ),x s X S∈ × . Không khó để kiểm tra f là một toàn ánh liên tục. Hơn nữa, f là một ánh xạ đóng. Thật vậy, lấy bất kỳ tập con đóng F của X S× và gọi ( ),p q là điểm thuộc ( ) ( )\X Y f F× . Khi đó, ( ) { } ( ) ( )1 1, \f p q p g q X S F− −= × ⊂ × . Vì ( )1g q− compact nên tồn tại một lân cận của ( )1g q− trong S và một lân cận U của p trong X thỏa ( ) ( )\F X S U V⊂ × × . Từ định nghĩa của ánh xạ f suy ra ( ) ( )( ) ( ) ( )\ \ \f X S U V X U Y U g S V× × = × ∪ ×       36 là một tập con đóng của Y do ( )\g S V là một tập con đóng của Y . Mặt khác, ( ) ( ) ( )( ), \p q f X S U V∉ × × , do đó ( ) ( ) ( )( )\ \W X Y f X S U V= × × × là một lân cận của ( ),p q trong X Y× . Rõ ràng, ( ) ( ) ( )\ .⊂ × × ⇒ ∩ =∅F X S U V W f F Vậy ( )f F là một tập con đóng của X Y× . X S× là không gian chuẩn tắc theo Bổ đề 2.5. Vì ảnh của không gian chuẩn tắc qua một ánh xạ liên tục đóng là một không gian chuẩn tắc theo Tôpô đại cương nên X Y× cũng là không gian chuẩn tắc. Từ chứng minh trên, chúng ta suy ra Định lý 2.4. Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng có Định lý 2.6 bằng cách áp dụng Định lý 1.22 thay vì Định lý 1.21.  37 Chương 3 TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ TÍCH Tiếp nối mạch ý tưởng của Chương 2 và kết hợp với các kết quả nghiên cứu về tính khai triển, nội dung Chương 3 sẽ tiếp tục nghiên cứu về những điều kiện cần phải bổ sung để không gian tôpô tích kế thừa được tính khai triển từ các không gian thành phần. Nếu không có gì nhầm lẫn, các không gian xét đến trong chương này là 1T -không gian, mọi ánh xạ là ánh xạ liên tục và phép đánh chỉ số là một-một (tức là, nếu cho trước một họ các tập { }|Gξ ξ ∈Ξ thì G Gξ η≠ với mọi ,ξ η ∈Ξ , ξ η≠ ). 3.1. Tính chất khai triển Định nghĩa 3.1. Không gian X được gọi là có tính chất khai triển (có tính chất khai triển rời rạc) nếu với mọi họ hữu hạn địa phương (rời rạc) { }|Fξ ξ ∈Ξ các tập con của X , tồn tại một họ hữu hạn địa phương { }|Gξ ξ ∈Ξ các tập con mở của X thỏa F Gξ ξ⊂ với mọi ξ ∈Ξ . Năm 1958, M. M. Katĕtov [13] đã đưa ra đặc trưng của không gian chuẩn tắc có tính chất khai triển cũng như không gian chuẩn tắc có tính chất khai triển rời rạc. Định lý 3.1. Không gian chuẩn tắc X có tính chất khai triển khi và chỉ khi X có tính chất C.N 5 và paracompact đếm được. Định lý 3.2. Không gian chuẩn tắc X có tính chất khai triển rời rạc khi và chỉ khi X có tính chất C.N. Bên cạnh đó, K. Morita [22] năm 1964 đã đưa ra thuật ngữ P -không gian và chứng minh được 5 Không gian X được gọi là có tính chất C.N (collectionwise normal) nếu với mọi họ rời rạc { }|Fξ ξ ∈Ξ các tập con đóng của X , tồn tại một họ rời { }|Uξ ξ ∈Ξ các tập mở của X sao cho F Uξ ξ⊂ với mọi ξ ∈Ξ . 38 Định lý 3.3. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là một không gian metric hóa. Nếu X có tính chất C.N thì X Y× cũng có tính chất C.N và paracompact đếm được. Vì mỗi P -không gian chuẩn tắc là một không gian paracompact đếm được theo Định lý 1.18 nên chúng ta có định lý sau: Định lý 3.4. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là một không gian metric hóa. Nếu X có tính chất khai triển thì X Y× cũng có tính chất khai triển. Mặt khác, nếu kết hợp Định lý 3.3 với Định lý 3.2 thì chúng ta cũng có định lý tương tự Định lý 3.4. Định lý 3.5. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là một không gian metric hóa. Nếu X có tính chất khai triển rời rạc thì X Y× cũng có tính chất khai triển rời rạc. Như vậy, xuất phát từ đặc trưng của không gian chuẩn tắc có tính chất khai triển (có tính chất khai triển rời rạc) kết hợp với các tính chất của P -không gian, chúng ta có điều kiện để không gian tôpô tích kế thừa được tính chất khai triển (tính chất khai triển rời rạc) từ không gian thành phần. Một vấn đề được quan tâm chính là đối với các tính chất σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con, có thể đưa ra các định lý tương tự như Định lý 3.4 và Định lý 3.5 được hay không. Nội dung Chương 3 của luận văn sẽ nghiên cứu vần đề này và đồng thời giải quyết Bài toán 2. Tìm điều kiện cho không gian Y để tích tôpô của một P -không gian chuẩn tắc X với Y kế thừa được tính khai triển từ P -không gian chuẩn tắc X . Ở đây, tính khai triển được đề cập đến bao gồm khai triển, khai triển rời rạc, σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con. Nhận xét rằng, họ bao đóng của một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) là một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) theo Định lý 1.7. Do đó, trong các định nghĩa của σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con; chúng ta có thể thay thế cụm từ ‘‘ với mọi họ { }|Fξ ξ ∈Ξ các tập con của X ’’ bằng cụm từ ‘‘ với mọi họ { }|Fξ ξ ∈Ξ các tập con đóng của X ’’. 3.2. Tính chất σ -khai triển 39 Định nghĩa 3.2. Không gian X được gọi là có tính chất σ -khai triển (có tính chất σ -khai triển rời rạc) nếu với mọi họ hữu hạn địa phương (rời rạc) { }|Fξ ξ ∈Ξ các tập con của X , tồn tại một dãy họ { }{ },ξ ξ ω= ∈Ξ ∈n nG n các tập con mở của X thỏa mãn các điều kiện: (i) ,n n F Gξ ξ ω∈ ⊂  với mọi ξ ∈Ξ , (ii) n là họ hữu hạn địa phương các tập con của X với mọi n ω∈ . Khi đó, chúng ta gọi dãy họ { }n n ω∈ là một σ -khai triển của họ { }|Fξ ξ ∈Ξ . Định lý 3.6. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là Σ -không gian paracompact. Nếu X có tính chất σ -khai triển thì X Y× cũng có tính chất σ -khai triển. Chứng minh. Lấy bất kỳ một họ hữu hạn địa phương { }|Aξ ξ= ∈Ξ các tập con đóng của X Y× . Theo Định lý 1.25, Σ -không gian Y có một Σ -lưới phổ { }i i ω∈=  . Nói cách khác, với Ω là một tập hợp nào đó và với mọi n ω∈ , ( ){ }| nn F σ σ= ∈Ω là một phủ đóng hữu hạn địa phương của Y thỏa mãn (i) ( ) ( )F F α σ σ α ∈Ω = ∨  với mỗi nσ ∈Ω , (ii) với mỗi x X∈ , tồn tại một ωσ ∈Ω sao cho ( ){ }|F n nσ ω∈ là một K -lưới của ( ) ( ) n C x F n ω σ ∈ =   (tức là, nếu U là tập mở của X thỏa mãn ( )C x U⊂ thì tồn tại một n ω∈ sao cho ( )F n Uσ ⊂ ). Bên cạnh đó, do Y paracompact nên tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω của Y sao cho ( ) ( )F Vσ σ⊂ với mọi nσ ∈Ω . Với mỗi ωσ <∈Ω , đặt ( ) ( )( ){ }ξσ σ ξ= × ∩ ≠ ∅ ∈Ξ | môû trong , vôùi khoâng quaù höõu haïn U U U X U F A . Khi đó, (1) ( ) ( )U Uσ σ α⊂ ∨ với mọi α ∈Ω , 40 Chứng minh. Với mỗi ωσ <∈Ω , lấy bất kỳ ( )x U σ∈ . Theo cách đặt của ( )U σ , tồn tại một tập con mở U của X sao cho ( )( )U F Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ . Theo (i), ( ) ( )F Fσ α σ∨ ⊂ với mọi α ∈Ω . Suy ra ( )( )U F Aξσ α× ∨ ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ với mọi α ∈Ω hay ( )x U σ α∈ ∨ với mọi α ∈Ω .  (2) với ωσ ∈Ω , nếu tồn tại một y Y∈ sao cho ( ){ }|F n nσ ω∈ là một K -lưới của ( )C y thì ( ) n U n X ω σ ∈ =   . Chứng minh. Hiển nhiên ( ) n U n X ω σ ∈ ⊂   . Lấy bất kỳ x X∈ . Vì Y là Σ -không gian paracompact nên ( )C y compact theo Định lý 1.23. Do đó, tồn tại một tập con mở U của X và một tập mở V của Y sao cho { } ( )x C y U V× ⊂ × và ( )U V Aξ× ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ . Mặt khác, do V là một tập con mở của Y và ( )C y V⊂ nên tồn tại một n ω∈ sao cho ( ) ( )C y F n Vσ⊂ ⊂ theo (ii). Suy ra ( )( )U F n Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ hay ( )U U nσ⊂  theo cách đặt của ( )U σ . Dẫn đến ( )x U nσ∈  và ( ) n x U n ω σ ∈ ∈   .  Vì X là P -không gian chuẩn tắc nên tồn tại một họ ( ){ }|K ωσ σ <∈Ω các tập con đóng và một họ ( ){ }|W ωσ σ <∈Ω các tập con mở của X sao cho (3) ( ) ( ) ( ) ( )K W W Uσ σ σ σ⊂ ⊂ ⊂ với mọi ωσ <∈Ω , (4) với mỗi ωσ ∈Ω , nếu ( ) n U n X ω σ ∈ =   thì ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Nếu đặt ( ) ( )( ) n nM K F σ σ σ ∈Ω = ×  thì (5) n n M X Y ω∈ = ×  . Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Theo Định lý 1.25, do y thuộc Σ -không gian Y có Σ -lưới phổ  nên tồn tại một ωσ ∈Ω sao cho ( ){ }|F n nσ ω∈ là một K -lưới của ( )C y . Theo Tính chất (2) và Tính chất (4), ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Suy ra tồn tại một 41 n ω∈ sao cho ( )x K nσ∈  . Hiển nhiên ( )y F nσ∈  , do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , n nx y K n F n x y M K F σ σ σ σ σ ∈Ω ∈ × ⇒ ∈ = ×    . Vậy ( ), n n x y M ω∈ ∈  .  Với mỗi ωσ <∈Ω , xét ánh xạ ( ): X F Xσπ σ× → là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Đặt ( ) ( )( )( ),L A U Fξ σ σ ξπ σ σ= ∩ × và ( ) ( ),,L L Wξ σξ σ σ= ∩ với mọi ξ ∈Ξ . Khi đó, (6) ( ){ }, |Lσ ξ σ ξ= ∈Ξ là một họ hữu hạn địa phương các tập con đóng của X . Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh σ là một họ hữu hạn địa phương các tập con của ( )W σ . Lấy bất kỳ ( )x W σ∈ . Theo Tính chất (3), ( )x U σ∈ . Do đó, tồn tại một tập con mở U của X sao cho ( )x U U σ∈ ⊂ và ( )( )U F Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ . Đặt { }|i i kξ ∈Ξ ≤ là tập không quá hữu hạn các giá trị ξ ∈Ξ sao cho ( )( )U F Aξσ× ∩ ≠ ∅ , tức là { } ( )( )|i i k U F Aξξ ξ σ∈ ∈Ξ ≤ ⇔ × ∩ ≠∅ . Nếu ,L Uξ σ ∩ ≠ ∅ và gọi ,x L Uξ σ′∈ ∩ thì tồn tại một ( )y F σ′∈ sao cho ( ) ( )( ),x y U F Aξσ′ ′ ∈ × ∩ . Dẫn đến ( )( )U F Aξσ× ∩ ≠ ∅ và vì thế { }|i i kξ ξ∈ ∈Ξ ≤ . Từ lập luận trên suy ra rằng nếu { }|i i kξ ξ∉ ∈Ξ ≤ thì ,L Uξ σ ∩ =∅ và hiển nhiên ,L Uξ σ ∩ =∅ . Suy ra nếu { }|i i kξ ξ∉ ∈Ξ ≤ thì ( ),L Uξ σ ∩ =∅ hay nói cách khác ( ),U L ξ σ∩ =∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ .  Ngoài ra, do X có tính chất σ -khai triển nên tồn tại một dãy họ hữu hạn địa phương { }{ }, , , | |m mG mσ ξ σ ξ ω= ∈Ξ ∈ các tập con mở của X sao cho ( ) , ,, m m L Gξ σ ω ξ σ ∈ ⊂  với mọi ξ ∈Ξ . Đặt ( )( ) ( ), , , ,m mH G W Vξ σ ξ σ σ σ= ∩ × và ( ) , ,, , n mH n m Hξ σ σ ξ ∈Ω =  . Gọi ( ) ( ){ }, , , |n m H n mξ ξ= ∈Ξ với mọi ,n m ω∈ . Chúng ta sẽ chứng minh các tính chất sau: 42 (7) ( ) , , , n m A H n mξ ω ξ ∈ ⊂  với mọi ξ ∈Ξ . Chứng minh. Với mọi ξ ∈Ξ , lấy bất kỳ ( ),x y A X Yξ∈ ⊂ × . Theo Tính chất (5), tồn tại một ωσ <∈Ω sao cho ( ) ( ) ( ),x y K Fσ σ∈ × . Theo Tính chất (3), do ( ) ( ) ( )K W Uσ σ σ⊂ ⊂ nên ( ),x L Wξ σ σ∈ ∩ . Suy ra ( ),x L ξ σ∈ , vì thế tồn tại một m ω∈ sao cho , ,mx Gξ σ∈ . Từ các kết quả trên dễ dàng nhận thấy ( ) ( ), ,, , ,mx y H H n mξ σ ξ∈ ⊂ nếu nσ ∈Ω . Vậy ( ) ( ) , , , , n m x y H n m ω ξ ∈ ∈  với mọi ξ ∈Ξ .  (8) ( ),m n là một họ hữu hạn địa phương các tập con mở của X Y× với mọi ,n m ω∈ . Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Vì ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω là một phủ mở hữu hạn địa phương của Y nên tồn tại một lân cận mở 2O của y trong Y sao cho ( )2O V σ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn nσ ∈Ω . Gọi { }|ni i kσ ∈Ω ≤ là tập không quá hữu hạn các giá trị nσ ∈Ω sao cho ( )2O V σ∩ ≠ ∅ . Suy ra ( )2O V σ∩ =∅ với mọi { }\ |n ni i kσ σ∈Ω ∈Ω ≤ . Mặt khác, với mỗi { }|ni i i kσ σ∈ ∈Ω ≤ , do ,i mσ là một họ hữu hạn địa phương các tập con mở của X nên tồn tại một lân cận mở 1,iO của x trong X sao cho 1, , ,ii mO Gξ σ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ . Do đó, 1, 2i i k O O O ≤ = ×  là một lân cận mở của ( ),x y trong X Y× thỏa mãn ( ), ,O H n mξ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ .  Vì ω ω ω× = nên ( ){ }, | ,n m n m ω∈ là một σ -khai triển của  .  Định lý 3.7. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là không gian metric hóa. Nếu X có tính chất σ -khai triển rời rạc thì X Y× cũng có tính chất σ -khai triển rời rạc. Chứng minh. Gọi { }|Aξ ξ= ∈Ξ là một họ rời rạc các tập con đóng của X Y× . Theo Định lý 1.20, do Y là một không gian metric hóa nên với mỗi n ω∈ , tồn tại những phủ mở hữu hạn địa phương ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω và ( ){ }| nn B σ σ= ∈Ω của Y thỏa mãn các điều kiện: 43 (i) ( ) ( )B Vσ σ⊂ , (ii) ( ) ( )V V α σ σ α ∈Ω = ∨  , ( ) ( )B B α σ σ α ∈Ω = ∨  với mỗi nσ ∈Ω , (iii) với mỗi z Y∈ , tồn tại một ωσ ∈Ω thỏa mãn ( ){ }|V n nσ ω∈ và ( ){ }|B n nσ ω∈ là các cơ sở địa phương của z trong Y . Với mỗi ωσ <∈Ω , đặt ( ) ( )( ){ } môû trong , vôùi khoâng quaù moät U U U X U V Aξσ σ ξ= × ∩ ≠ ∅ ∈Ξ . Khi đó, (1) ( ) ( )U Uσ σ α⊂ ∨ với mọi α ∈Ω , Chứng minh. Với mỗi ωσ <∈Ω , lấy bất kỳ ( )x U σ∈ . Theo cách đặt của ( )U σ , tồn tại một tập con mở U của X sao cho ( )( )U V Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ . Theo (ii), ( ) ( )V Vσ α σ∨ ⊂ với mọi α ∈Ω . Suy ra ( )( )U V Aξσ α× ∨ ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ với mọi α ∈Ω hay ( )x U σ α∈ ∨ với mọi α ∈Ω .  (2) với ωσ ∈Ω , nếu tồn tại một y Y∈ sao cho ( ){ }|V n nσ ω∈ là một cơ sở địa phương của y thì ( ) n U n X ω σ ∈ =   . Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh ( ) n X U n ω σ ∈ ⊂   . Lấy bất kỳ x X∈ . Vì ( ),x y X Y∈ × và { }|Aξ ξ= ∈Ξ là một họ rời rạc các tập con đóng của X Y× nên tồn tại một lân cận mở U của x trong X và một lân cận mở V của y trong Y sao cho ( )U V Aξ× ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ . Mặt khác, do ( ){ }|V n nσ ω∈ là một cơ sở địa phương của y nên tồn tại một n ω∈ sao cho ( )V n Vσ ⊂ . Suy ra ( )( )U V n Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ hay ( )U U nσ⊂  theo cách đặt của ( )U σ . Dẫn đến ( )x U nσ∈  và ( ) n x U n ω σ ∈ ∈   .  Vì X là P -không gian chuẩn tắc nên tồn tại một họ ( ){ }|K ωσ σ <∈Ω các tập con đóng và họ ( ){ }|W ωσ σ <∈Ω các tập con mở của X sao cho 44 (3) ( ) ( ) ( ) ( )K W W Uσ σ σ σ⊂ ⊂ ⊂ với mọi ωσ <∈Ω , (4) với mỗi ωσ ∈Ω , nếu ( ) n U n X ω σ ∈ =   thì ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Nếu đặt ( ) ( )( ) n nZ K B σ σ σ ∈Ω = ×  thì (5) { }|nZ n ω∈ là phủ đóng của X Y× . Chứng minh. Hiển nhiên, nZ là một họ các tập con đóng của X Y× . Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Theo (ii), do y thuộc không gian metric hóa Y nên tồn tại một ωσ ∈Ω sao cho ( ){ }|V n nσ ω∈ và ( ){ }|B n nσ ω∈ là các cơ sở địa phương của y trong Y . Theo Tính chất (2) và Tính chất (4), ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Do đó, tồn tại một n ω∈ sao cho ( )x K nσ∈  . Vì dễ dàng thấy ( )y B nσ∈  nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),x y K n B n K n B nσ σ σ σ∈ × ⊂ ×    . Suy ra ( ) ( ) ( )( ), n nx y Z K B σ σ σ ∈Ω ∈ = ×  và ( ), n n x y Z ω∈ ∈  .  Với mỗi ωσ <∈Ω , xét ánh xạ ( ): X V Xσπ σ× → là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Đặt ( ) ( )( )( ),L A U Vξ σ σ ξπ σ σ= ∩ × và ( ) ( ),,L L Wξ σξ σ σ= ∩ với mọi ξ ∈Ξ . Khi đó, (6) ( ){ }, |Lσ ξ σ ξ= ∈Ξ là một họ rời rạc các tập con đóng của X . Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh σ là một họ rời rạc các tập con của ( )W σ . Lấy bất kỳ ( )x W σ∈ . Theo Tính chất (3), ( )x U σ∈ . Do đó, tồn tại một tập con mở U của X sao cho ( )x U U σ∈ ⊂ và ( )( )U V Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ . Đặt ( )( )0 U V Aξξ ξ σ= × ∩⇔ ≠∅ . Nếu ,L Uξ σ ∩ ≠ ∅ và gọi ,x L Uξ σ′∈ ∩ thì tồn tại một ( )y V σ′∈ sao cho ( ) ( )( ),x y U V Aξσ′ ′ ∈ × ∩ . Dẫn đến ( )( )U V Aξσ× ∩ ≠ ∅ và vì thế 0ξ ξ= . Từ lập luận trên suy ra rằng nếu 0ξ ξ≠ thì ,L Uξ σ ∩ =∅ và hiển nhiên ,L Uξ σ ∩ =∅ . Suy ra, nếu 0ξ ξ≠ thì ( ),L Uξ σ ∩ =∅ hay nói cách khác ( ),U L ξ σ∩ =∅ với không quá một ξ ∈Ξ .  45 Ngoài ra, do X có tính chất σ -khai triển rời rạc nên tồn tại một dãy họ hữu hạn địa phương { }{ }, , , | |m mG mσ ξ σ ξ ω= ∈Ξ ∈ các tập con mở của X sao cho ( ) , ,, m m L Gξ σ ω ξ σ ∈ ⊂  với mọi ξ ∈Ξ . Đặt ( )( ) ( ), , , ,m mH G W Vξ σ ξ σ σ σ= ∩ × và ( ) , ,, , n mH n m Hξ σ σ ξ ∈Ω =  . Gọi ( ) ( ){ }, , , |n m H n mξ ξ= ∈Ξ với mọi ,n m ω∈ . Chúng ta chứng minh các tính chất sau: (7) ( ) , , , n m A H n mξ ω ξ ∈ ⊂  với mọi ξ ∈Ξ . Chứng minh. Với mọi ξ ∈Ξ , lấy bất kỳ ( ),x y A X Yξ∈ ⊂ × . Theo Tính chất (5) vừa chứng minh, tồn tại một ωσ <∈Ω sao cho ( ) ( ) ( ),x y K Bσ σ∈ × . Theo Tính chất (3), do ( ) ( ) ( )K W Uσ σ σ⊂ ⊂ nên ( ),x L Wξ σ σ∈ ∩ . Suy ra ( ),x L ξ σ∈ , vì thế tồn tại một m ω∈ sao cho , ,mx Gξ σ∈ . Từ các kết quả trên dễ dàng nhận thấy ( ) ( ), ,, , ,mx y H H n mξ σ ξ∈ ⊂ nếu nσ ∈Ω . Vậy ( ) ( ) , , , , n m x y H n m ω ξ ∈ ∈  với mọi ξ ∈Ξ .  (8) ( ),m n là một họ hữu hạn địa phương các tập con mở của X Y× với mọi ,n m ω∈ . Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Vì ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω là một phủ mở hữu hạn địa phương của Y nên tồn tại một lân cận mở 2O của y trong Y sao cho ( )2O V σ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn nσ ∈Ω . Gọi { }|ni i kσ ∈Ω ≤ là tập không quá hữu hạn các giá trị nσ ∈Ω sao cho ( )2O V σ∩ ≠ ∅ . Suy ra ( )2O V σ∩ =∅ với mọi { }\ |n ni i kσ σ∈Ω ∈Ω ≤ . Mặt khác, với mỗi { }|ni i i kσ σ∈ ∈Ω ≤ , do ,i mσ là một họ rời rạc các tập con mở của X nên tồn tại một lân cận mở 1,iO của x trong X sao cho 1, , ,ii m O Gξ σ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ . Do đó, 1, 2i i k O O O ≤ = ×  là một lân cận mở của ( ),x y trong X Y× thỏa mãn ( ), ,O H n mξ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ .  46 Vì ω ω ω× = nên ( ){ }, | ,n m n m ω∈ là một σ -khai triển của  .  3.3. Tính chất θ -khai triển Định nghĩa 3.3. Không gian X được gọi là có tính chất θ -khai triển (có tính chất θ -khai triển rời rạc) nếu với mọi họ hữu hạn địa phương (rời rạc) { }|Fξ ξ ∈Ξ các tập con của X , tồn tại một dãy họ { }{ },n nG nξ ξ ω= ∈Ξ ∈ các tập con mở của X thỏa mãn các điều kiện: (i) ,nF Gξ ξ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi n ω∈ , (ii) với mọi điểm x X∈ , tồn tại tương ứng một xn ω∈ sao cho x bị chứa trong không quá hữu hạn các phần tử của xn  (tức là, xn  hữu hạn điểm tại x ). Khi đó, chúng ta gọi dãy họ { }n n ω∈ là một θ -khai triển của họ { }|Fξ ξ ∈Ξ . Định lý 3.8. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là Σ -không gian paracompact. Nếu X có tính chất θ -khai triển thì X Y× cũng có tính chất θ -khai triển. Chứng minh. Hoàn toàn tương tự chứng minh của Định lý 3.6 từ Tính chất (1) đến Tính chất (6). Lấy bất kỳ một họ hữu hạn địa phương { }|Aξ ξ= ∈Ξ các tập con đóng của X Y× . Theo Định lý 1.25, Σ -không gian Y có một Σ -lưới phổ { }i i ω∈=  . Nói cách khác, với Ω là một tập hợp nào đó và với mọi n ω∈ , ( ){ }| nn F σ σ= ∈Ω là một phủ đóng hữu hạn địa phương của Y thỏa mãn (i) ( ) ( )F F α σ σ α ∈Ω = ∨  với mỗi nσ ∈Ω , (ii) với mỗi x X∈ , tồn tại một ωσ ∈Ω sao cho ( ){ }|F n nσ ω∈ là một K -lưới của ( ) ( ) n C x F n ω σ ∈ =   (tức là, nếu U là tập mở của X thỏa mãn ( )C x U⊂ thì tồn tại một n ω∈ sao cho ( )F n Uσ ⊂ ). Bên cạnh đó, do Y paracompact nên tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω của Y sao cho ( ) ( )F Vσ σ⊂ với mọi nσ ∈Ω . Với mỗi ωσ <∈Ω , đặt 47 ( ) ( )( ){ }ξσ σ ξ= × ∩ ≠ ∅ ∈Ξ | môû trong , vôùi khoâng quaù höõu haïn U U U X U F A . Khi đó, (1) ( ) ( )U Uσ σ α⊂ ∨ với mọi α ∈Ω , (2) với ωσ ∈Ω , nếu tồn tại một y Y∈ sao cho ( ){ }|F n nσ ω∈ là một K -lưới của ( )C y thì ( ) n U n X ω σ ∈ =   . Vì X là P -không gian chuẩn tắc nên tồn tại một họ ( ){ }|K ωσ σ <∈Ω các tập con đóng và một họ ( ){ }|W ωσ σ <∈Ω các tập con mở của X sao cho (3) ( ) ( ) ( ) ( )K W W Uσ σ σ σ⊂ ⊂ ⊂ với mọi ωσ <∈Ω , (4) với mỗi ωσ ∈Ω , nếu ( ) n U n X ω σ ∈ =   thì ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Nếu đặt ( ) ( )( ) n nM K F σ σ σ ∈Ω = ×  thì (5) n n M X Y ω∈ = ×  . Với mỗi ωσ <∈Ω , xét ánh xạ ( ): X F Xσπ σ× → là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Đặt ( ) ( )( )( ),L A U Fξ σ σ ξπ σ σ= ∩ × và ( ) ( ),,L L Wξ σξ σ σ= ∩ với mọi ξ ∈Ξ . Khi đó, (6) ( ){ }, |Lσ ξ σ ξ= ∈Ξ là một họ hữu hạn địa phương các tập con đóng của X . Ngoài ra, do X có tính chất θ -khai triển nên tồn tại một dãy họ các tập con mở { }{ }, , ,m mG mσ ξ σ ξ ω= ∈Ξ ∈ của X sao cho với mỗi ωσ <∈Ω , • ( ) , ,, mL Gξ σξ σ ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi m ω∈ , • với mọi điểm x X∈ , tồn tại tương ứng một xm ω∈ sao cho x bị chứa trong không quá hữu hạn các phần tử của , xmσ (tức là, , xmσ hữu hạn điểm tại x ). Đặt ( ), , , ,m mG G Wξ σ ξ σ σ′ = ∩ và { }, , ,m mGσ ξ σ ξ′ ′= ∈Ξ . 48 Gọi nΩ là tập được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ  và đặt ( ) ( ){ }1 2 1 2, , , , , ,nk i kn k i kσ σ σ σ σ σ σΩ = ∈Ω ≤    . Với ( )1 2, , , kkm m m m ω= ∈ và ( ) ( )1 2, , , ,k n kσ σ σ σ= ∈Ω , chúng ta định nghĩa ( ) ( ) ( )( )( ), ,, , , , \i im i i k H n k m G V Eξ σξ σ σ σ ≤ = ×  , trong đó ( ) ( ) { }{ }\ |n niE F i kσ σ σ σ′ ′= ∈Ω ∈Ω ≤ . Nếu đặt { } { }( ) , k n k n k ω ω ∈ Λ = × ×  thì ωΛ = . Với mỗi ( ), ,n k mλ = ∈Λ , đặt ( ) ( ), ; , , , ,H n H n k mξ σ ξ σ= và ( ) ( ){ } ( ), , ; , \ nH H n n k X Y Mξ λ ξ σ σ= ∈Ω ∪ × . Nếu gọi { },Hλ ξ λ ξ= ∈Ξ thì λ là một tập con mở của X Y× thỏa các tính chất sau: (7) ,A Hξ ξ λ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi λ∈Λ , Chứng minh. Rõ ràng ( ) ,\ nA X Y M Hξ ξ λ∩ × ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi ( ), ,n k mλ = ∈Λ , trong đó ( )1 2, , , kkm m m m ω= ∈ . Do đó, chúng ta chỉ cần chứng minh ,nA M Hξ ξ λ∩ ⊂ . Lấy bất kỳ ( ), nx y A M X Yξ∈ ∩ ⊂ × . Theo Tính chất (5), tồn tại một nσ ∈Ω sao cho ( ) ( ) ( ),x y K Fσ σ∈ × . Vì ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω là một phủ mở hữu hạn địa phương của Y nên tồn tại một tập con không quá hữu hạn { }|ni i kσ ∈Ω ≤ của nΩ sao cho ( ) { }|niy V i kσ σ σ∈ ⇔ ∈ ∈Ω ≤ . Mặt khác, do ( ) ( )F Vσ σ⊂ với mọi nσ ∈Ω nên ( )y F σ∉ với mọi { }\ |n ni i kσ σ∈Ω ∈Ω ≤ . Vì thế, không mất tổng quát, giả sử rằng ( ) ( ) ( )0 0,x y K Fσ σ∈ × . Khi đó, vì ( )0x W σ∈ theo Tính chất (3) nên ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 0 0 00 0 0 0 , , , mx W A U F L Gσ ξ ξ σσ π σ σ ξ σ∈ ∩ ∩ × ⊂ ⊂ với mọi ξ ∈Ξ . Đặt ( )1 2, , , kσ σ σ σ= , chúng ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0, , 0 , , \ , ;mx y G V E H Hξ σ ξ λσ σ ξ λ σ′∈ × ⊂ ⊂ , 49 trong đó ( ) ( ) { }{ }| \ |n niE F i kσ σ σ σ′ ′= ∈Ω ∈Ω ≤∪ .  (8) với mỗi ( ),x y X Y∈ × , tồn tại một λ∈Λ sao cho λ hữu hạn điểm tại ( ),x y . Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Theo Tính chất (5), tồn tại một n ω∈ sao cho ( ), nx y M∈ . Vì ( ){ }| nF σ σ ∈Ω là một phủ hữu hạn địa phương của Y nên tồn tại một tập con không quá hữu hạn { }|ni i kσ ∈Ω ≤ của nΩ sao cho ( ) { }|niy F i kσ σ σ∈ ⇔ ∈ ∈Ω ≤ . Giả sử rằng 1 2 kσ σ σ   . Khi đó, với mỗi i k≤ , tồn tại một im ω∈ sao cho ,i imσ hữu hạn điểm tại x . Đặt ( ), ,n k mλ = với ( )1 2, , , kkm m m m ω= ∈ . Chúng ta sẽ chứng minh λ hữu hạn điểm tại ( ),x y , tức là chứng minh ( ),x y bị chứa trong không quá hữu hạn các phần tử của ,Hξ λ . Giả sử ( ) ,,x y Hξ λ∈ . Suy ra tồn tại một ( ) ( )1 2, , , ,k n kσ σ σ σ′ ′ ′ ′= ∈Ω sao cho ( ) ( ), , ;x y H ξ λ σ ′∈ . Ở đây, { } { }| |n ni ii k i kσ σ ′∈Ω ≤ = ∈Ω ≤ . Thật vậy, giả sử tồn tại một { }\ |n ni i i kσ σ ′∉Ω ∈Ω ≤ . Vì ( )y E σ ′∉ nên ( )jy F σ∉ (mâu thuẫn với cách xác định của jσ ). Ngoài ra, do 1 2 kσ σ σ   và 1 2 kσ σ σ′ ′ ′   nên i iσ σ ′= với mọi i k≤ hay nói cách khác σ σ ′= . Với mỗi i k≤ , đặt ( ) ( ) ( )( ){ }, ,| , \i ii m ix y G V Eξ σξ σ σΞ = ∈Ξ ∈ × . Khi đó, do iΞ là tập con hữu hạn của Ξ với mọi i k≤ nên i i k≤ ′Ξ = Ξ  cũng là một tập con hữu hạn của Ξ . Như vậy, nếu ( ) ,,x y Hξ λ∈ thì ( ) ( ), , ;x y H ξ λ σ∈ . Do đó, ξ ′∈Ξ .  Vì ωΛ = nên { }|λ λ ∈Λ là một θ -khai triển của  .  Định lý 3.9. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là không gian metric hóa. Nếu X có tính chất θ -khai triển rời rạc thì X Y× cũng có tính chất θ -khai triển rời rạc. Chứng minh. Hoàn toàn tương tự chứng minh của Định lý 3.7 từ Tính chất (1) đến Tính chất (6). Gọi { }|Aξ ξ= ∈Ξ là một họ rời rạc các tập con đóng của X Y× . 50 Theo Định lý 1.20, do Y là một không gian metric hóa nên với mỗi n ω∈ , tồn tại những phủ mở hữu hạn địa phương ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω và ( ){ }| nn B σ σ= ∈Ω của Y thỏa mãn các điều kiện: (i) ( ) ( )B Vσ σ⊂ , (ii) ( ) ( )V V α σ σ α ∈Ω = ∨  , ( ) ( )B B α σ σ α ∈Ω = ∨  với mỗi nσ ∈Ω , (iii) với mỗi z Y∈ , tồn tại một ωσ ∈Ω thỏa mãn ( ){ }|V n nσ ω∈ và ( ){ }|B n nσ ω∈ là các cơ sở địa phương của z trong Y . Với mỗi ωσ <∈Ω , đặt ( ) ( )( ){ } môû trong , vôùi khoâng quaù moät U U U X U V Aξσ σ ξ= × ∩ ≠ ∅ ∈Ξ . Khi đó, (1) ( ) ( )U Uσ σ α⊂ ∨ với mọi α ∈Ω , (2) với ωσ ∈Ω , nếu tồn tại một y Y∈ sao cho ( ){ }|V n nσ ω∈ là một cơ sở địa phương của y thì ( ) n U n X ω σ ∈ =   . Vì X là P -không gian chuẩn tắc nên tồn tại một họ ( ){ }|K ωσ σ <∈Ω các tập con đóng và họ ( ){ }|W ωσ σ <∈Ω các tập con mở của X sao cho (3) ( ) ( ) ( ) ( )K W W Uσ σ σ σ⊂ ⊂ ⊂ với mọi ωσ <∈Ω , (4) với mỗi ωσ ∈Ω , nếu ( ) n U n X ω σ ∈ =   thì ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Nếu đặt ( ) ( )( ) n nZ K B σ σ σ ∈Ω = ×  thì (5) { }|nZ n ω∈ là phủ đóng của X Y× . Với mỗi ωσ <∈Ω , xét ánh xạ ( ): X V Xσπ σ× → là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Đặt ( ) ( )( )( ),L A U Vξ σ σ ξπ σ σ= ∩ × và ( ) ( ),,L L Wξ σξ σ σ= ∩ với mọi ξ ∈Ξ . Khi đó, (6) ( ){ }, |Lσ ξ σ ξ= ∈Ξ là một họ rời rạc các tập con đóng của X . 51 Ngoài ra, do X có tính chất θ -khai triển rời rạc nên tồn tại một dãy họ các tập con mở { }{ }, , ,m mG mσ ξ σ ξ ω= ∈Ξ ∈ của X sao cho với mỗi ωσ <∈Ω , • ( ) , ,, mL Gξ σξ σ ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi m ω∈ , • với mọi điểm x X∈ , tồn tại tương ứng một xm ω∈ sao cho x bị chứa trong không quá hữu hạn các phần tử của , xmσ (tức là, , xmσ hữu hạn điểm tại x ). Đặt ( ), , , ,m mG G Wξ σ ξ σ σ′ = ∩ và { }, , , |m mGσ ξ σ ξ′ ′= ∈Ξ . Gọi nΩ là tập được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ  và đặt ( ) ( ){ }1 2 1 2, , , , , ,nk i kn k i kσ σ σ σ σ σ σΩ = ∈Ω ≤    . Với ( )1 2, , , kkm m m m ω= ∈ và ( ) ( )1 2, , , ,k n kσ σ σ σ= ∈Ω , chúng ta định nghĩa ( ) ( ) ( )( )( ), ,, , , , \i im i i k H n k m G V Eξ σξ σ σ σ ≤ = ×  , trong đó ( ) ( ) { }{ }\ |n niE F i kσ σ σ σ′ ′= ∈Ω ∈Ω ≤ . Nếu đặt { } { }( ) , k n k n k ω ω ∈ Λ = × ×  thì ωΛ = . Với mỗi ( ), ,n k mλ = ∈Λ , đặt ( ) ( ), ; , , , ,H n H n k mξ σ ξ σ= và ( ) ( ){ } ( ), , ; | , \ nH H n n k X Y Zξ λ ξ σ σ= ∈Ω ∪ × . Gọi { }, |Hλ ξ λ ξ= ∈Ξ . Khi đó, λ là một tập mở của X Y× thỏa các tính chất sau: (7) ,A Hξ ξ λ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi λ∈Λ , Chứng minh. Rõ ràng ( ) ,\ nA X Y Z Hξ ξ λ∩ × ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi ( ), ,n k mλ = ∈Λ , trong đó ( )1 2, , , kkm m m m ω= ∈ . Do đó, chúng ta chỉ cần chứng minh ,nA Z Hξ ξ λ∩ ⊂ . Lấy bất kỳ ( ), nx y A Z X Yξ∈ ∩ ⊂ × . Theo Tính chất (5), tồn tại một nσ ∈Ω sao cho ( ) ( ) ( ),x y K Bσ σ∈ × . Vì ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω là một phủ mở hữu hạn địa phương của Y nên tồn tại một tập con không quá hữu hạn { }|ni i kσ ∈Ω ≤ 52 của nΩ sao cho ( ) { }|niy V i kσ σ σ∈ ⇔ ∈ ∈Ω ≤ . Mặt khác, do ( ) ( )B Vσ σ⊂ với mọi nσ ∈Ω nên ( )y B σ∉ với mọi { }\ |n ni i kσ σ∈Ω ∈Ω ≤ . Vì thế, không mất tổng quát, giả sử rằng ( ) ( ) ( )0,x y K Bσ σ∈ × . Khi đó, vì ( )0x W σ∈ theo Tính chất (3) nên ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 0 0 00 0 0 0 , , , mx W A U V L Gσ ξ ξ σσ π σ σ ξ σ∈ ∩ ∩ × ⊂ ⊂ với mọi ξ ∈Ξ . Đặt ( )1 2, , , kσ σ σ σ= , chúng ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0, , 0 , , \ , ;mx y G V E H Hξ σ ξ λσ σ ξ λ σ′∈ × ⊂ ⊂ , trong đó ( ) ( ) { }{ }| \ |n niE B i kσ σ σ σ′ ′= ∈Ω ∈Ω ≤∪ .  (8) với mỗi ( ),x y X Y∈ × , tồn tại một λ∈Λ sao cho λ hữu hạn điểm tại ( ),x y . Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Theo Tính chất (5), tồn tại một n ω∈ sao cho ( ), nx y M∈ . Vì ( ){ }| nB σ σ ∈Ω là một phủ hữu hạn địa phương của Y nên tồn tại một tập con không quá hữu hạn { }|ni i kσ ∈Ω ≤ của nΩ sao cho ( ) { }|niy i kσ σ σ∈ ⇔ ∈ ∈Ω ≤ . Giả sử rằng 1 2 kσ σ σ   . Khi đó, với mỗi i k≤ , tồn tại một im ω∈ sao cho ,i imσ hữu hạn điểm tại x . Đặt ( ), ,n k mλ = với ( )1 2, , , kkm m m m ω= ∈ . Chúng ta sẽ chứng minh λ hữu hạn điểm tại ( ),x y , tức là chứng minh ( ),x y bị chứa trong không quá hữu hạn các phần tử của ,Hξ λ . Giả sử ( ) ,,x y Hξ λ∈ . Suy ra tồn tại một ( ) ( )1 2, , , ,k n kσ σ σ σ′ ′ ′ ′= ∈Ω sao cho ( ) ( ), , ;x y H ξ λ σ ′∈ . Ở đây, { } { }| |n ni ii k i kσ σ ′∈Ω ≤ = ∈Ω ≤ . Thật vậy, giả sử tồn tại một { }\ |n ni i i kσ σ ′∉Ω ∈Ω ≤ . Vì ( )y E σ ′∉ nên ( )jy B σ∉ (mâu thuẫn với cách xác định của jσ ). Ngoài ra, do 1 2 kσ σ σ   và 1 2 kσ σ σ′ ′ ′   nên i iσ σ ′= với mọi i k≤ hay nói cách khác σ σ ′= . Với mỗi i k≤ , đặt ( ) ( ) ( )( ){ }, ,| , \i ii m ix y G V Eξ σξ σ σΞ = ∈Ξ ∈ × . Khi đó, do iΞ là tập con hữu hạn của Ξ với mọi i k≤ nên i i k≤ ′Ξ = Ξ  cũng là một tập con hữu hạn của Ξ . Như vậy, nếu ( ) ,,x y Hξ λ∈ thì ( ) ( ), , ;x y H ξ λ σ∈ . Do đó, ξ ′∈Ξ .  53 Vì ωΛ = nên { }|λ λ ∈Λ là một θ -khai triển của  .  3.4. Tính chất khai triển con Định nghĩa 3.4. Không gian X được gọi là có tính chất khai triển con rời rạc nếu với mọi họ rời rạc { }|Fξ ξ ∈Ξ các tập con của X , tồn tại một dãy { }{ }, | |n nG nξ ξ ω= ∈Ξ ∈ các tập con mở của X thỏa mãn các điều kiện sau: (i) ,nF Gξ ξ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi n ω∈ , (ii) với mọi điểm x X∈ , tồn tại tương ứng một n ω∈ sao cho x bị chứa trong không quá một phần tử của n . Định lý 3.10. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là không gian metric hóa. Nếu X có tính chất khai triển con rời rạc thì X Y× cũng có tính chất khai triển con rời rạc. Chứng minh. Gọi { }|Aξ ξ= ∈Ξ là một họ rời rạc các tập con đóng bất kỳ của X Y× . Theo Định lý 1.20, do Y là một không gian metric hóa nên với mỗi n ω∈ , tồn tại những phủ mở hữu hạn địa phương ( ){ }| nn V σ σ= ∈Ω và ( ){ }| nn B σ σ= ∈Ω của Y thỏa mãn (i) ( ) ( )B Vσ σ⊂ , (ii) ( ) ( )V V α σ σ α ∈Ω = ∨  , ( ) ( )B B α σ σ α ∈Ω = ∨  với mỗi nσ ∈Ω , (iii) với mỗi z Y∈ , tồn tại một ωσ ∈Ω thỏa mãn ( ){ }|V n nσ ω∈ và ( ){ }|B n nσ ω∈ là các cơ sở địa phương của z trong Y . Với mỗi ωσ <∈Ω , đặt ( ) ( )( ){ }| môû trong , vôùi khoâng quaù moät .U U U X U V Aξσ σ ξ= × ∩ ≠ ∅ ∈Ξ Khi đó, (1) với ωσ ∈Ω , nếu tồn tại một y Y∈ sao cho ( ){ }|V n nσ ω∈ là một cơ sở địa phương của y thì ( ) n U n X ω σ ∈ =   . Chứng minh. Lấy bất kỳ x X∈ . Vì ( ),x y X Y∈ × và { }|Aξ ξ= ∈Ξ là một họ rời rạc các tập con đóng của X Y× nên tồn tại một lân cận mở U của x trong X và một lân 54 cận mở V của y trong Y sao cho ( )U V Aξ× ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ . Mặt khác, do ( ){ }|V n nσ ω∈ là một cơ sở địa phương của y nên tồn tại một n ω∈ sao cho ( )V n Vσ ⊂ . Suy ra ( )( )U V n Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá hữu hạn ξ ∈Ξ nên ( )U U nσ⊂  theo cách đặt của ( )U σ . Dẫn đến ( )x U nσ∈  và ( ) n x U n ω σ ∈ ∈   .  Vì X là P -không gian chuẩn tắc nên tồn họ ( ){ }|K ωσ σ <∈Ω các tập con đóng và họ ( ){ }|W ωσ σ <∈Ω các tập con mở của X sao cho (2) ( ) ( ) ( ) ( )K W W Uσ σ σ σ⊂ ⊂ ⊂ với mọi ωσ <∈Ω , (3) với mỗi ωσ ∈Ω , nếu ( ) n U n X ω σ ∈ =   thì ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Không khó suy ra rằng (4) ( ) ( )( ) nn K B X Y ω σ σ σ ∈ ∈Ω × = ×   . Chứng minh. Chúng ta chứng minh ( ) ( )( ) nn X Y K B ω σ σ σ ∈ ∈Ω × ⊂ ×   . Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Theo (iii), do y thuộc không gian metric hóa Y nên tồn tại một ωσ ∈Ω sao cho ( ){ }|V n nσ ω∈ và ( ){ }|B n nσ ω∈ là các cơ sở địa phương của y trong Y . Theo Tính chất (1) và Tính chất (3), ( ) n K n X ω σ ∈ =   . Do đó, tồn tại một n ω∈ sao cho ( )x K nσ∈  . Dễ dàng thấy, ( )y B nσ∈  . Dẫn đến ( ) ( ) ( ),x y K n B nσ σ∈ ×  và ( ) ( ) ( )( ), n x y K B σ σ σ ∈Ω ∈ ×  . Suy ra ( ) ( ) ( )( ), nn x y K B ω σ σ σ ∈ ∈Ω ∈ ×   .  Đặt ( ) ( ) ( ) ( ){ }| laø moät laân caän môû cuûa trong , vôùi höõu haïn nn O y O y y Y O y V σ σ= ∩ ≠ ∅ ∈Ω 55 Vì n là một phủ mở hữu hạn địa phương của Y nên n là một phủ mở của Y . Mặt khác, do Y là một không gian metric hóa nên tồn tại một phủ mở σ -rời rạc ,n n l l D ω∈ =   sao cho n n  , trong đó mỗi ,n lD là một họ rời rạc các tập con của Y . Và tồn tại một phủ mở n′ của Y đồng thời là cái co rút của n , tức là { }| vôùi moïi n nD D D D D′ ′ ′= ⊂ ∈ . Với mỗi nD∈ , gọi ( ) ( ){ }| ,nD D V D Vσ σ σ= ∩ ∈Ω ∩ ≠∅ . Do ( )D V σ∩ ≠ ∅ với hữu hạn nσ ∈Ω nên D là một tập hữu hạn. Do đó, ký hiệu lại { }|D iD i k= ≤ với k ω∈ nào đó. Nếu gán iD =∅ với mọi i k> thì { }|D iD i ω= ∈ . Đặt ( ){ }, , ,|n l i i n lD D V D Dσ= = ∩ ∈ với mọi , ,n l i ω∈ và , , , , n l i n l k ω∈ =    . Vì ω ω ω ω× × = nên hoàn toàn có thể ký hiệu lại m m ω∈ =    . Với mỗi E∈ , tồn tại một n ω∈ sao cho ( )E D V σ= ∩ , trong đó nD∈ và nσ ∈Ω . Không khó để thấy rằng D và σ được xác định tùy thuộc vào E . Chúng ta định nghĩa ( )EK K σ= , ( )EU U σ= , ( )EB D B σ′= ∩ và ( )EW W σ= . Nếu đặt ( ) m m E E E T K B ∈ = ×   với mọi m ω∈ thì (5) mT là một tập đóng trong X Y× với mọi m ω∈ . Chứng minh. Vì EB E⊂ với mọi mE∈ và m là một họ rời rạc các tập con của Y nên { }|E mB E∈ là một họ rời rạc các tập con của Y . Do đó, { }|E E mK B E× ∈ là một họ rời rạc các tập con đóng của X Y× .  (6) m m T X Y ω∈ = ×  . Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × . Theo Tính chất (4), tồn tại một n ω∈ và một nσ ∈Ω sao cho ( ) ( ) ( ),x y K Bσ σ∈ × . Vì ′ là một phủ của Y nên tồn tại một D′ ′∈ sao cho x D′∈ . Suy ra ( )x D V σ∈ ∩ . Đặt ( )E D V σ= ∩ . Khi đó, ( )EK K σ= 56 , ( )EB D B σ′= ∩ . Do đó, tồn tại một m ω∈ sao cho ( ), E E mx y K B T∈ × ⊂ hay ( ), m m x y T ω∈ ∈  .  Với mỗi E∈ , xét ánh xạ :E X E Xπ × → là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Đặt ( )( ),E E EF A U Eξ ξπ= ∩ × , ( ) ,, E EF E F Wξξ = ∩ với mọi ξ ∈Ξ và ( ){ }, |E F Eξ ξ= ∈Ξ . Khi đó, (7) E là một họ rời rạc các tập con đóng của X . Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh E là một họ rời rạc các tập con của ( )W E . Giả sử ( )E D V σ= ∩ , trong đó nD∈ và σ là phần tử nào đó của nω . Lấy bất kỳ ( )x W σ∈ . Khi đó, ( )Ex U U σ∈ = theo Tính chất (2) và do đó tồn tại một tập mở U trong X sao cho ( )x U U σ∈ ⊂ và ( )( )U V Aξσ× ∩ ≠ ∅ với không quá một ξ ∈Ξ . Đặt ( )( )0 U V Aξξ ξ σ= × ∩⇔ ≠∅ . Nói cách khác, ( )( )U V Aξσ× ∩ =∅ với mọi ξ ∈Ξ , 0ξ ξ≠ . Nếu ,EF Uξ ∩ ≠ ∅ , gọi ,Ex F Uξ′∈ ∩ thì tồn tại một y Y′∈ sao cho ( ) ( ),x y U E Aξ′ ′ ∈ × ∩ . Do đó, ( )( )U V Aξσ× ∩ ≠ ∅ và 0ξ ξ= . Từ lập luận trên, nếu 0ξ ξ≠ thì ,EF Uξ ∩ =∅ và hiển nhiên ,EF Uξ ∩ =∅ . Suy ra nếu 0ξ ξ≠ thì ( ),F E Uξ ∩ =∅ hay nói cách khác ( ),U F Eξ∩ =∅ với không quá một ξ ∈Ξ .  Do X có tính chất khai triển con rời rạc nên tồn tại một dãy họ các tập con mở ( ){ }{ }, , , | |E i G E i iξ ξ ω= ∈Ξ ∈ của X sao cho • ( ) ( ), , ,F E G E iξ ξ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi i ω∈ , • với mọi điểm x X∈ , tồn tại tương ứng một xi ω∈ sao cho x bị chứa trong không quá một phần tử của , xE i . Đặt ( ) ( ), , , , EG E i G E i Wξ ξ′ = ∩ và ( )( ) ( )( ), , , , \ m m i m E H G E i E X Y Tξ ξ ∈   ′= × ∪ ×       . Gọi { }, , , |m i m iHξ ξ= ∈Ξ với mọi ,m i ω∈ . Cuối cùng, chúng ta chứng minh các tính chất sau: 57 (8) ( ) , ,m iA Hξξ ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi ,m i ω∈ , Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y Aξ∈ . Nếu ( ), mx y T∉ thì hiển nhiên ( ) , ,, m ix y Hξ∈ . Nếu ( ), mx y T∈ thì tồn tại một mE∈ sao cho ( ), E Ex y K B∈ × . Vì E E EK W U⊂ ⊂ và EB E⊂ nên ( ) ( ), Ex y U E Aξ∈ × ∩ . Do đó, ( ),x F Eξ∈ với mọi ξ ∈Ξ . Suy ra ( ) ( ) , ,, , , m ix y G E i E Hξξ′∈ × ⊂ với mọi ξ ∈Ξ và với mọi ,m i ω∈ .  (9) với mọi điểm ( ),x y X Y∈ × , tồn tại một m ω∈ và một i ω∈ sao cho ( ),x y bị chứa trong không quá một phần tử của ,m i . Chứng minh. Lấy bất kỳ ( ),x y X Y∈ × , tồn tại một mE∈ sao cho ( ), E Ex y K B∈ × . Vì m là một họ rời rạc các tập con của Y nên y E′∉ với mọi mE′∈ , E E′≠ . Từ Tính chất (ii) của dãy họ { }, |E iG i ω∈ các tập con mở của X , tồn tại một i ω∈ tương ứng với x sao cho x bị chứa trong không quá một phần tử của ,E i . Khi đó, ( ),x y bị chứa trong không quá một phần tử của ,m i . Thật vậy, chọn ξ ∈Ξ sao cho ( ), ,x G E iξ ′∉ với mọiξ ′∈Ξ , ξ ξ′ ≠ . Hiển nhiên , ,m ix Hξ ′∈ , do đó tồn tại một mE′∈ sao cho ( ) ( ), , ,x y G E i Eξ ′ ′ ′∈ × . Suy ra E E′= . Vì x bị chứa trong không quá một phần tử của ,E i nên ξ ξ ′= . Vậy X Y× cũng có tính chất khai triển con rời rạc.  Định nghĩa 3.5. Không gian X được gọi là có tính chất khai triển con nếu với X vừa có tính chất khai triển con rời rạc vừa paracompact con đếm được. Định lý 3.11. Giả sử X là một P -không gian chuẩn tắc và Y là không gian metric hóa. Nếu X có tính chất khai triển con thì X Y× cũng có tính chất khai triển con. Chứng minh. Do X có tính chất khai triển con nên X có tính chất khai triển con rời rạc. Theo Định lý 3.10, X Y× cũng có tính chất khai triển con rời rạc. Mặt khác, X Y× là không gian chuẩn tắc và paracompact đếm được theo các kết quả của Chương 1. Vì vậy, X Y× là không gian paracompact con đếm được.  58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tính chuẩn tắc trên không gian tôpô tích là một bài toán lớn đối với các nhà Toán học khi nghiên cứu về Tôpô đại cương nói chung và lý thuyết về không gian tôpô tích nói riêng. Bài toán 1 chỉ mang tính chất tổng kết lại các nghiên cứu về điều kiện cần và đủ đối với một không gian chuẩn tắc để tích tôpô của nó với mọi không gian tôpô thuộc vào một lớp không gian chuẩn tắc nào đó là một không gian chuẩn tắc. Luận văn đã giải quyết trọn vẹn Bài toán 1 trong ba trường hợp khi lớp các không gian chuẩn tắc lần lượt là lớp các không gian Hausdorff compact, lớp các không gian metric compact, lớp các không gian metric hóa. Việc nghiên cứu Bài toán 1 đối với các lớp không gian chuẩn tắc khác đòi hỏi nhiều thời gian hơn nên được xem như một hướng nghiên cứu mới của luận văn. Hơn nữa, K. Morita [24] cũng nêu lên ba phỏng đoán nổi tiếng của mình về tính chuẩn tắc của không gian tôpô tích: 1. Nếu X Y× là không gian chuẩn tắc với mọi không gian chuẩn tắc Y thì X có là một không gian rời rạc? 2. Nếu X Y× là không gian chuẩn tắc với mọi không gian chuẩn tắc paracompact đếm được Y thì X có là một không gian metric hóa σ -compact địa phương? 3. Nếu X Y× là không gian chuẩn tắc với mọi P -không gian chuẩn tắc Y thì X có là một không gian metric hóa? Các phỏng đoán này đã đặt ra cho các nhà Toán học trên thế giới những vấn đề hóc búa. Các phỏng đoán K. Morita trở nên quan trọng và nổi tiếng sau công trình nghiên cứu của M. E. Rudin [29]. Phỏng đoán thứ nhất đã được M. Atsuji [1] và M. E. Rudin [29] giải quyết triệt để. Phỏng đoán thứ ba đã được Z. T. Balogh [2] chứng minh gần đây. Riêng phỏng đoán thứ hai chỉ được giải quyết một phần bởi K. Chiba, T. C. Przymusiński và M. E. Rudin [7]. Việc nghiên cứu và giải quyết tiếp các phỏng đoán K. Morita là một vấn đề lớn của các nhà Toán học nói chung và các nhà Tôpô học nói riêng. Mặt khác, Bài toán 2 của luận văn được khái quát trong quá trình nghiên cứu chứng minh các định lý tương tự Định lý 3.4 và Định lý 3.5 cho các tính chất σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con. Việc 59 nghiên cứu về tính khai triển của không gian tôpô tích vẫn còn nhiều vấn đề đáng quan tâm và nghiên cứu. Đây cũng là một hướng tiếp theo có thể của luận văn. Bên cạnh đó, ngoài các tính chất đã được đề cập đến trong luận văn này còn rất nhiều các tính chất cần nghiên cứu theo hướng bổ sung các điều kiện để không gian tôpô tích kế thừa tính chất từ các không gian thành phần, có thể kể đến các tính chất: Linderlöf, paracompact, paracompact đếm được, Đối với chúng tôi, các kết quả của luận văn là sự khởi đầu cho quá trình nghiên cứu. Chúng tôi cần nhiều thời gian và công sức để tiếp tục học tập, nghiên cứu. Trong quá trình soạn thảo luận văn khó tránh được những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của quý độc giả. Những ý kiến đóng góp cho bản luận văn này của quý độc giả là những ý kiến chân thành; chúng tôi xin trân trọng cảm ơn và ghi nhận. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 BÙI QUANG THỊNH 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M. Atsuji (1976), On normality of the product of two spaces, Proc. 4th Prague Symposium, Part B, pp. 25-27. [2] Z. T. Balogh (1995), Nonshrinking covers and K.Morita’s third conjecture, abstract, Annual Spring Math Topology Conference, pp. 4-5. [3] J. Chaber (1979), On subparacompactness and related properties, Gen. Top. and Appl. 10, No. 1, pp. 13-17. [4] K. Chiba (1974), On products of normal spaces, Rep. Fac. Sci. Shizuoka Uni. 9, pp. 1-11. [5] K. Chiba (2003), Expandabilities and covering properties of Inverse Limits, Rep. Fac. Sci. Shizuoka Uni. 37, pp. 1-18. [6] K. Chiba (2011), Expandabilities of product spaces, Topology Proc. 37, pp. 95-106. [7] K. Chiba, Y. Shirayama (2007), δθ -refinability of product spaces, Sci. Math. Jpn. 65, No. 2, pp. 161-172. [8] K. Chiba, T. C. Przymusiński, M. E. Rudin (1986), Normality of product spaces and Morita's conjectures, Topology Appl. 22, pp. 19-32. [9] T. Chiba, K. Chiba (1974), A note on normality of product spaces, Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A 12, pp. 165-173, 1974. [10] J. Dieudonné (1939), Sur les espaces topologiques susceptibles d'être munis d'une structure uniforme d'espace complet, C. R. Acad. Paris 209, pp. 666-668. [11] C. H. Dowker (1951), On countably paracompact spaces, Canad. J. Math. 1, pp. 219- 224. [12] R. Engelking (1988), General Topology, Polish Scientic publishers, Warszawa. [13] M. Katĕtov (1958), Extension of locally infinite coverings, Colloq. Math. 6, pp. 145- 151 (Russian). [14] Y. Katuta (1971), On the normality of product of a normal space with a paracompact space, Gen. Top. and Appl. 1, pp. 295-319. [15] Y. Katuta (1975), Expandability and its generalizations}, Fund. Math. 87, pp. 231- 250. 61 [16] L. L. Krajewski (1971), On expanding locally finite collections, Can. J. Math. 23, No. 1, pp. 58-68. [17] K. Kunen, J. Vaughan (1984), Handbook of Set-Theoretic Topology, Horth-Holland, Elsevier Science Publishers B.V.. [18] E. Michael (1963), The product of a normal space and a metric space need not be normal, Bull. Amer. Math. Soc. 69, pp. 375-376. [19] K. Morita (1954), Normal families and dimension theory for metric spaces, Math. Ann. 128, pp. 350-362. [20] K. Morita (1963), On the products of a normal space with a metric space, Proc. Japan Acad. 39, pp. 148-150. [21] K. Morita (1962), Paracompactness and product spaces, Fund. Math. 50, pp. 223- 236. [22] K. Morita (1964), Products of normal spaces with metric spaces, Math. Ann. 154, pp. 365-382. [23] K. Morita (1963), Products of normal spaces with metric spaces II, Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A 8, No. 190, pp. 87-92. [24] K. Morita (1976), Some problems on normality of products of spaces, General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra IV, Part B, Proc. Fourth Prague Topology Symp., pp. 296-297. [25] K. Morita, J. Nagata (1989), Topics in General Topology, Horth-Holland, Elsevier Science Publishers B.V.. [26] N. Morita, Y. Yasui (1995), Characterizations of normality of product spaces, Memoirs of Osaka Kyoiku Univ., Ser III. 44, No. 1, pp. 1-5. [27] K. Nagami (1969), Σ -spaces, Fund. Math. 65, pp. 169-192. [28] J. Nagata (1985), Modern General Topology, 2nd new edition, North-Holland Math. Library, Vol. 33, Elsevier Science Publishers B.V.. [29] M. E. Rudin (1971), A normal space X for which X I× is not normal, Fund. Math. 73, pp. 179-186. [30] R. H. Sorgenfrey (1947), On the topological product of paracompact spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 53, pp. 631-632. [31] J. C. Smith, L. L. Krajewski (1971), Expandability and collectionwise normality, Transaction of the Amer. Math. Soc. 160, pp. 437-451. 62 [32] H . Tamano (1971), A characterization of paracompactness, Fund. Math. 72, pp. 189-201. [33] H . Tamano (1962), On compactiffications, J. Math. Kyoto Univ. 1, pp. 162-193. [34] H . Tamano (1960), On paracompactness, Pacific J. Math. 10, pp. 1043-1047.