Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông

u đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1 3 x y z   ) - Để ý vào từng số hạng 2 2 1 x x  , nếu số thứ nhất là 2x thì các số còn lại là số nào? - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1 3 x y z   . Vậy các số còn lại là 2 1 81x ) Từ đó ta có lời giải sau: sử dụng bất đẳng thức Côsi cho nhiều số, ta có 2 2 2 82 2 2 2 2 81 81 8041 1 1 1 2 82 81 81 (81 ) 9 x x x x x x x x        Tương tự với y, z. Sử dụng BĐT Côsi cho ba số và giả thiết có: 3 41 4181 40 40 40 81 40 40 4041 41 41 4141 41 82 1 1 1 82 1 1 1 3. 82 3 3 S x y z x y z           - Với cách làm trên thì căn bậc hai và bậc của x không ảnh hưởng trực tiếp vào lời giải bài toán, đề xuất bài toán tổng quát hoá được không? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 76 Tổng quát: cho , ,x y z là 3 số dương và 1x y z   . Chứng minh rằng với số tự nhiên 1n  bất kì ta có: a) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82.3n nnn nx y z x y z       b) 21 1 1 (9 1).3n n n n n n n n x y z x y z        Từ đó đề xuất được bài toán: cho 1 2, , , nx x x là n số dương và 1 2 1nx x x    . Chứng minh rằng với số tự nhiên 1n  bất kì ta có: a) 2 2 2 4 2 1 22 2 2 1 2 1 1 1 ( 1). nnn n n n n x x x n n x x x         b) 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ( 1).n n n n nnn n n n x x x n n x x x         HĐ3: Nhìn bài toán theo phƣơng diện hình học - Có thể tìm kết quả một cách khác không? - Hãy nhìn vào vế trái của bất đẳng thức, các đại lượng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , ,x y z x y z    có gợi cho các em một ý nghĩa nào trong hình học không? Độ dài các véc tơ 2 2( ; ),u a b u a b   - Hãy đưa vào bài toán các đại lượng véc tơ thích hợp. 1 2 3 1 1 1 ( ; ); ( ; ); ( ; )u x u y u z x y z    Ta có 2 2 2 1 2 32 2 2 1 1 1 ; ;u x u y u z x y z       . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 77 Vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là 1 2 3u u u  - Bất đẳng thức nào thể hiện mối liên hệ giữa độ dài các véc tơ? 1 2 3 1 2 3u u u u u u     . - Hãy vận dụng vào bài này? ta có 1 2 3 1 1 1 ( ; )u u u x y z x y z        . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )x y z x y z x y z x y z                 . - Khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 2 2 1 1 1( ) 82x y z x y z            Làm tương tự như trên ta cũng có bất đẳng thức cần chứng minh. HĐ4: Nhìn bài toán ở dạng khái quát của một bất đẳng thức phụ - Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Có thể sử dụng kết quả của nó được không? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )a b a b a b a a a b b b           - Chứng minh bài toán phụ này như thế nào? - Tạm thời chứng minh bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, với hai dấu căn, xem có phát hiện ra cách chứng minh cho bài toán phụ hay không? 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d       - Chứng minh bất đẳng thức này như thế nào? Bất đẳng thức tương đương 2 2 2 2( )( )a b c d ac bd    . Đây chính là BĐT Bunhiacopxki Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 78 - Từ đó ta có cách chứng minh sau  2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 3 3 1 2 1 2 3 3( ) ( )a b a b a b a a b b a b           2 2 1 2 3 1 2 3( ) ( )a a a b b b      . - Vận dụng vào bài này như thế nào? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )x y z x y z x y z x y z                 Làm tương tự như trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 49: Cho a, b, c, là ba số dương thoả mãn 3a b c   . Chứng minh rằng 4 4 4 3 3 3a b c a b c     Các hoạt động khám phá lời giải bài toán: HĐ1: Nhìn bài toán ở dạng khái quát của một bất đẳng thức phụ - Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn không? Cho a, b là hai số dương thoả mãn 2a b  . Chứng minh rằng 4 4 3 3a b a b   - Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? 4 4 3 3a b a b ab   , tương tự có 4 4 3 3b c b c bc   ; 4 4 3 3c a c a ca   - So sánh cái đã biết với yêu cầu bài toán: Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, sau đó cộng hai vế của BĐT thu được với 4 4 4a b c  và sử dụng giả thiết, suy ra BĐT cần chứng minh HĐ2: Sử dụng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 79 - Bạn có nhận xét gì về bậc ở hai vế, có thể đưa chúng về cùng bậc không? (Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện chưa?) Vế trái bậc bốn, vế phải bậc ba, mà 3a b c   nên hai vế của BĐT có thể đưa về cùng bậc bốn: 4 4 4 3 3 33( ) ( )( )a b c a b c a b c       (1) - Hãy biến đổi tương đương BĐT trên (1) 3 3 3 3 3 3( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a b a b b c b c c a c a          2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0a b a ab b b c b bc c c a c ca a             , bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c HĐ3: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Côsi) - Làm thế nào để hạ bậc từ 4a xuống 3a Sử dụng BĐT Côsi cho bốn số: ba số 4a và một hằng số. - Đẳng thức xảy ra khi nào? Hãy vận dụng vào bài toán Đẳng thức xảy ra khi 1a b c   . Vậy số còn lại là số 1. Áp dụng BĐT Côsi ta có: 4 4 4 31 4a a a a    - Vận dụng tương tự và so sánh với yêu cầu của bài toán: Tương tự có 4 4 4 31 4b b b b    ; 4 4 4 31 4c c c c    Cộng các vế tương ứng ta được: 4 4 4 3 3 33( ) 4( ) 3a b c a b c      Ta cần chứng minh: 3 3 3 3a b c   - Chứng minh BĐT trung gian này như thế nào? (bạn đã sử dụng mọi giả thiết chưa?) Áp dụng BĐT Côsi ta có 3 1 1 3 ;a a   3 1 1 3 ;b b   3 1 1 3c c   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 80 Cộng vế tương ứng và sử dụng giả thiết 3a b c   , suy ra 3 3 3 3a b c   - Bạn có thể tổng quát hoá bài toán được không? - Bài toán đã cho áp dụng cho ba số dương, mở rộng cho n số dương phát biểu như thế nào? Cho n số dương 1 2, , , na a a thoả mãn 1 2 na a a n    . Chứng minh rằng 4 4 4 3 3 3 1 2 1 2n na a a a a a     HĐ4: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Bunhiacopxki) - Làm thế nào để hạ bậc từ bậc bốn xuống bậc ba. Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4( ) ( . . . ) ( )( )a b c a a b b c c a b c a b c          Suy ra 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b c a b c a b c a b c          - Vận dụng tương tự để hạ bậc: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c a b c a b c a b c a b c                , từ đó suy ra BĐT cần chứng minh - Với cách làm trên hãy tổng quát bài toán theo bậc của a, b, c Cho a, b, c, là ba số dương thoả mãn 3a b c   . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có 1 1 1n n n n n na b c a b c       HĐ5: Nhìn bài toán ở dạng bất đẳng thức quen thuộc (sử dụng BĐT Trêbƣsep) - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? (lưu ý giả thiết 3a b c   ) 4 4 4 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c       hay 3 3 3 3 3 3. . . 3 3 3 a a b b c a b c a b c       Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 81 - BĐT trên có gần gũi với BĐT quen thuộc nào không? BĐT Trêbưsep cho hai dãy số ( ; ; )a b c và 3 3 3( ; ; )a b c - Giả thiết của BĐT Trêbưsep có thoả mãn không? Vai trò của a, b, c ngang nhau nên có thể coi rằng 3 3 30 0a b c a b c       nên áp dụng BĐT Trêbưsep và sử dụng giả thiết 3a b c   , suy ra BĐT cần chứng minh. HĐ6: Hoạt động khai thác giả thiết - Bạn có thể thấy trực tiếp kết quả đó không? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Dấu đẳng thức xảy ra khi 1a b c   - Nhận xét dấu của 1a và 3 1a  và suy ra mối quan hệ giữa 4a và 3a 1a và 3 1a  cùng dấu hay ( 1a )( 3 1a  ) 0 4 3 1a a a    - Vận dụng tương tự với b, c và so sánh với yêu cầu bài toán: Tương tự có 4 3 1b b b   ; 4 3 1c c c   Cộng vế tương ứng của ba BĐT trên và sử dụng giả thiết 3a b c   , suy ra BĐT cần chứng minh. - Với cách làm như trên, hãy phát biểu cho bài toán tổng quát: Cho k, n là các số nguyên dương và 1 2, , , ka a a là các số thực dương thoả mãn 1 2 ka a a k    . Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 1 2 n n n n n n k ka a a a a a        2.5. Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa Ví dụ 50: Đánh giá lời giải bài toán sau Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thì 3 989898 999999 abc cba cba    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 82 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 3 999999999999 3 cbacba  (1) 3 989898989898 3 cbacba  (2) Vì các vế của (1) và (2) đều dương nên chia từng vế của (1) và (2) ta có 3 989898 999999 abc cba cba    . Phân tích, đánh giá: Lỗi mắc phải trong lời giải trên là HS đã chia từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (dù tất cả các vế đều dương). Hãy chỉ ra một ví dụ cụ thể để thấy được cách làm đó là sai. Chẳng hạn: 2 1 và 5 2 nhưng không thể suy ra 2 1 5 2  . Khám phá lời giải: - Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? - Hãy bắt đầu từ bài toán đơn giản hơn 2 2 2 3a b c abc a b c      2 2 2 2 2 2 2 33( ) ( ) 3 a b c a b c a b c a b c abc a b c               - Phải chăng ta chứng minh 99 99 99 98 98 98 3 a b c a b c a b c        - Đã có bất đẳng thức nào tương tự chưa? 3( ) ( )( )m n m n m n m m m n n na b c a b c a b c         bất đẳng thức tổng quát này chứng minh dựa vào bất đẳng thức Trêbưsep. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 83 - Lời giải đúng: Giả sử 0a b c   thì 98 98 98a b c  , áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep có 98 98 98 98 98 983( . . . ) ( )( )a a b b c c a b c a b c       99 99 99 98 98 98 3 a b c a b c a b c        . Áp dụng tiếp bất đẳng thức Côsi thì 3 3 a b c abc    . Do đó kết luận được 99 99 99 3 98 98 98 a b c abc a b c      . Ví dụ 51: Đánh giá lời giải bài toán sau Cho a, b, c là ba số tuỳ ý thuộc  0;2 thoả mãn 3a b c   . Chứng minh rằng 2 2 2 5a b c   . Lời giải: Từ giả thiết suy ra 20 2 ( 2) 0 2a a a a a       . Tương tự: 2 2b b ; 2 2c c Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên ta có: 2 2 2 2( )a b c a b c     Suy ra: 2 2 2 6a b c   . Vậy giá trị lớn nhất của 222 cba  bằng 6. Tại sao hai kết quả lại khác nhau ? Phân tích, đánh giá: Lỗi mắc phải trong lời giải trên là HS đã vội vàng kết luận giá trị lớn nhất của 222 cba  bằng 6 mà chưa chỉ ra được dấu đẳng thức. Với cách làm như trên thì dấu đẳng thức không xảy ra. Phép chứng minh của HS đến khi có 2 2 2 6a b c   là không sai nhưng chưa được gì. Khám phá lời giải: - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn a = 2, b = 1, c = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 84 - Khai thác từ giả thiết 0 , , 2a b c  (2 )(2 )(2 ) 0a b c     8 2( ) 4( ) 0ab bc ca a b c abc         2( ) 4 4ab bc ca abc     2ab bc ca    - So sánh giữa cái đã có với yêu cầu bài toán: ta có 2 2 2 22( ) ( ) 9a b c ab bc ca a b c         2 2 2 9 2( ) 9 4 5a b c ab bc ca          . - Hoạt động thành phần: dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Dấu đẳng thức xảy ra  ( , , ) (0,1,2), (0,2,1), (1,0,2), (1,2,0), (2,1,0), (2,0,1)a b c  . - Nhìn bất đẳng thức ở phương diện khác: Nếu nhìn bài toán ở phương diện hình học thì trong hệ toạ độ Oxyz, các điểm M(a; b; c) thoả mãn giả thiết sẽ thuộc hình lập phương (vì  , , 0;2a b c ) đồng thời thuộc mặt phẳng 3x y z   . Các đỉnh của hình lập phương là (0;2;2), (2;2;2), (2;0;2), (0;0;2), (0;2;0), (2;2;0), (2;0;0), (0;0;0)A B C D A B C D    . Từ đó M thuộc thiết diện lục giác đều ENLQPH, với (0;2;1), (0;1;2), (1;0;2),E N L (2;0;1), (2;1;0), (1;2;0)Q P H . Ta có: 2 2 2 2a b c OM   lớn nhất khi và chỉ khi  ; ; ; ; ;M E L N Q P H . Mà 2 2 2 2 2 2 5OE OL ON OQ OP OH      , khi đó 2 2 2 5a b c   Ví dụ 52: Đánh giá lời giải bài toán sau Cho các số không âm , ,x y z thoả mãn 1x y z   . Chứng minh rằng 9 1 4 4 xy yz zx xyz    . Lời giải: Ta có )21)(21())(()( 222 zyzyxzyxzyxx  (1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 85 Tương tự: 2 (1 2 )(1 2 ) (2)y z x   ; 2 (1 2 )(1 2 ) (3)z x y   Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2222 )21()21()21()( zyxxyz  (1 2 )(1 2 )(1 2 )xyz x y z    4( ) 8 1xy yz zx xyz     . 4 1 4 9  xyzzxyzxy Đẳng thức xảy ra 3 1  zyx Phân tích, đánh giá: Lỗi mắc phải trong lời giải trên là HS đã nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều mà vế phải chưa xác định được dấu. Hãy chỉ ra một ví dụ cụ thể để thấy được cách làm đó là sai. Chẳng hạn: 1 2  ; 3 2 ; 2 4  nhưng không thể suy ra 1.3.2 ( 2).2.( 4)   . Khám phá lời giải: - Trước hết xét tổng của 2 trong 3 số hạng , ,x y z y z x z x y      . Từ đó hãy nhận xét về dấu của 3 số hạng đó Tổng của 2 trong 3 số hạng trên đều không âm nên chỉ có nhiều nhất một số âm trong 3 số hạng trên - Nếu trong 3 số hạng trên có một số âm thì bất đẳng thức (1 2 )(1 2 )(1 2 )xyz x y z    có còn đúng không? Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì vế trái không âm, vế phải không dương. - Nếu cả ba số hạng đều không âm thì áp dụng như lời giải trên suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. - Nhìn bất đẳng thức ở phương diện khác: Nếu nhìn bài toán ở phương diện hàm số: với bài toán này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (Phải quy về một ẩn để khảo sát hàm số) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 86 Theo giả thiết 1x y z   nên có ít nhất một số không lớn hơn 1 3 . Giả sử 1 0 3 x  , ta có 9 9 ( ) 1 4 4 xy yz zx xyz x y z yz x             2 1 9 (1 ) 1 2 4 x x x x                . Xét hàm số 21 9 ( ) (1 ) 1 2 4 x f x x x x                trên đoạn 1 0; 3       , suy ra 1 ( ) 4 f x  . Ví dụ 53: Đánh giá lời giải bài toán sau Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: )(2 222222444 accbbacba  . Lời giải: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 22222222222 )2()(2)(2 bcacbbcacbacbcbacb   22222222444 4222 cbacbacbacb )(2 222222444 accbbcba  . Phân tích, đánh giá: Lỗi mắc phải trong lời giải trên là HS đã bình phương hai vế của bất đẳng thức 2 2 2 2b c a bc   mà chưa xác định được dấu. Hãy chỉ ra một ví dụ cụ thể để thấy được cách làm đó là sai. Chẳng hạn: 4 3  nhưng không thể suy ra 2 2( 4) 3  . Với bài này chỉ cần tam giác ABC có góc A tù hay 2 2 2 0b c a   thì bình phương 2 vế của bất đẳng thức là sai. Khám phá lời giải: - Hãy biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 87 BĐT cần chứng minh tương đương với 2 2 2 2 2( ) (2 ) 0b c a bc    2 2 2 2 2 2( 2 )( 2 ) 0c a bc b c a bc       ( )( )( )( ) 0b c a b c a b c c b c a          - Khai thác giả thiết a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , , 0; ; ;a b c a b c b c a c a b        , suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. - Nhìn bất đẳng thức ở phương diện khác: Hệ thức 2 2 2b c a  gợi cho các bạn nghĩ đến hệ thức lượng giác nào? Định lí hàm số Cosi: 2 2 2 2 . osAb c a bc c    . Hãy viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng khác: 2 2 2( 2 . osA) (2 ) os A<1bc c bc c   . Bất đẳng thức này đúng vì A là góc của tam giác. Ví dụ 54: Đánh giá lời giải bài toán sau Chứng minh rằng với mọi số thực , ,x y z không âm, ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 x y z y z z x x y             . Lời giải: Không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng 0x y z   . Từ 2( 1) 0,x   suy ra 2 23( 1) 2( 1)x x x    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1x  , do đó 2 2 2 2 1 1 2 1 1 3 x x y z x x         . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 88 Tương tự ta cũng có 2 2 1 2 1 3 y z x     ; 2 2 1 2 1 3 z x y     . Từ đó suy ra điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1x y z   . Phân tích, đánh giá: Biểu thức ở vế trái bất đẳng thức đã cho có dạng hoán vị vòng quanh nên chỉ được xem biến bất kỳ nào đó là lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà thôi. Do đó đoạn lập luận sau trong lời giải bài toán: Giả sử 0x y z   ta có 2 2 1 2 1 3 x y z     , không thể suy ra 2 2 1 2 1 3 y z x     ; 2 2 1 2 1 3 z x y     bằng phép tương tự vì vai trò của x, y, z trong bài toán là không bình đẳng. Khám phá lời giải: - Nhìn vào từng ẩn, x và 2x liên hệ với nhau bởi bất đẳng thức nào? Hãy vận dụng vào bài toán. 2 1 2x x  2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z y z z x x y              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) x y z M z y x z y x                 . Ta cần chứng minh 2M  - Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian như thế nào? Đặt 2 2 21 ;1 ;1x a y b z c      ( , ,a b c dương) Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 2 2 2 2 2 2 a b c M c b a c b a       2 - Bất đẳng thức này có tương tự với bất đẳng thức nào đã gặp hay chưa? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 89 Đó chính là bất đẳng thức: 2( ) ax+by+cz a b c a b c x y z      (Với a, b, c, x, y, z là các số thực dương) - Có thể sử dụng kết quả của nó không? 2 22 2 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) 3( ) a b c a b c a b c c b a c b a a c b b a c b a ab c ca                  . Ví dụ 55: Đánh giá lời giải bài toán sau Cho , 0a b  . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 4 0 a b a b b a b a           (1). Lời giải: Ta có (1) 2 2 2 2 9 1 2 3 0 4 4 a b a b b a b a                      2 3 1 0 2 4 a b b a           2 1 0 a b a b b a b a                   (2). Vì 2 a b b a   (2) luôn đúng với mọi , 0a b  . Vậy (1) luôn đúng với mọi , 0a b  . Phân tích, đánh giá: Lỗi mắc phải trong lời giải trên là học sinh vội vàng kết luận 2 , 0 a b a b b a     . Bất đẳng thức chỉ đúng khi ,a b dương. Hãy chỉ ra mội ví dụ cụ thể để thấy được bất đẳng thức trên là sai. Chẳng hạn, 2, 1a b   thì 2 1 2 1 2     . Khám phá lời giải: - Nhận xét dấu của a b và b a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 90 Ta có a b . 1 b a   a b và b a cùng dấu. - Đẳng thức nào thể hiện mối quan hệ giữa hai số cùng dấu a b a b b a b a    - Với điều kiện 0, 0a b  thì , a b b a đều dương, gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? Bất đẳng thức Côsi: 2 2 a b a b b a b a    . Khi đó 2 a b b a   hoặc 2 a b b a     (2) luôn đúng. Vậy (1) luôn đúng với mọi , 0a b  - lời giải đúng: Ta có (1) 2 2 2 2 9 1 2 3 0 4 4 a b a b b a b a                      23 1 0 2 4 a b b a           2 1 0 a b a b b a b a                   (2) Vì 2 2 a b a b a b b a b a b a        hoặc 2 a b b a    . Suy ra (2) luôn đúng. Vậy (1) luôn đúng với mọi , 0a b  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 91 Kết luận chƣơng 2 Chương này trình bày việc vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT. Bao gồm: - Khám phá vận dụng bất đẳng thức đã biết - Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức - Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức - Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện - Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa Các hoạt động khám phá được trình bày trong chương này chủ yếu được tiến hành thông qua các câu gợi mở, hướng dẫn của giáo viên. Qua đó học sinh không những có được lời giải các bài toán, mà còn học những cách khám phá ra các lời giải đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 92 Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sƣ phạm a) Mục đích thực nghiệm sƣ phạm - Để làm sáng tỏ thêm lý luận về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn đã trình bày. - Bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT. b) Tổ chức thực nghiệm - Chọn lớp thử nghiệm: chúng tôi chọn hai lớp: 12A2 và 12A3 năm học 2009 - 2010 của trường THPT Lạng Giang số 2 - Bắc Giang để thử nghiệm sư phạm; lớp 12A2 là lớp thử nghiệm; lớp 12A3 là lớp đối chứng. Mặt bằng chung về trình độ nhận thức của đối tượng học sinh trong hai lớp là tương đương. - Tiến trình thử nghiệm: Số tiết dạy thử nghiệm là 8 tiết. Quá trình thực nghiệm được xếp vào một số tiết ôn tập, mỗi tuần 2 tiết vào tháng 8 năm học 2009 - 2010. c) Nội dung thực nghiệm - Chúng tôi đã tiến hành vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn và nội dung bài học như trong luận văn đã trình bày đối với lớp thực nghiệm và không áp dụng đối với lớp đối chứng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 93 - Các tiết dạy thực nghiệm là một số tiết ôn tập về chuyên đề bất đẳng thức ở THPT. Sử dụng các bài tập trong hệ thống bài tập đã xây dựng ở chương 2 và các giáo án sau. 3.2. Các giáo án thực nghiệm sƣ phạm Giáo án 1. BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục tiêu bài giảng - Hiểu và vận dụng được bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki. - Rèn luyện cho học sinh các hoạt động khám phá có hướng dẫn tìm các lời giải bài toán. II. Chuẩn bị - Giáo viên: giáo án, bài tập - Học sinh: sách giáo khoa, các kiến thức liên quan III. Các hoạt động Bài 1. (Bất đẳng thức Côsi trong trường hợp n = 2 ) Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 a b ab   Hướng dẫn học sinh giải bài toán trên theo tư tưởng Polya Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng [?] Bài toán cho gì? Yêu cầu gì? [!] Cho , ; 0, 0a b R a b   Chứng minh: 2 a b ab   (1) Bài 1. (Bất đẳng thức Côsi trong trường hợp n = 2 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 94 [?] Theo định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức dạng A B ta phải làm gì? Vận dụng vào bài toán này thế nào. [!] Để chứng minh A B ta chứng minh 0A B  Khi đó (1) 0 2 a b ab     2 0a b ab    (2) Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng 2 a b ab   [?] Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Dữ kiện đó có liên quan gì đến yêu cầu của bài toán? [!] 2 2 . 0; 0 ; ab a b a b a a b b         Lời giải. Cách 1 (1) 0 2 a b b     [?] Biến đổi tương đương bất đẳng thức (2)? [!] (2) 2( ) 0a b   luôn đúng 0; 0a b   suy ra bất đăng thức được chứng minh. 2 0a b ab    2( ) 0,a b   luôn đúng 0; 0a b   [?] Hãy cho biết dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Dấu “ = ” xảy ra 0a b   a b  0a b   Dấu “ = ” xảy ra 0a b   a b  0a b   [?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên? [?] Trên đây là cách giải thông thường mà hầu như học sinh nào cũng tìm ra. Bây giờ hãy nhìn lại bài toán từ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 95 góc độ khác để các em tìm ra một cách giải mới. [?] Hãy để ý vào vế phải của bất đẳng thức, trung bình nhân của 2 số a và b có gợi cho các em nhớ đến hệ thức nào trong hình học? (cụ thể là hệ thức lượng trong tam giác vuông ). [!] Trong tam giác vuông độ dài đường cao xuất phát từ góc vuông bằng trung bình nhân của độ dài 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông lên cạnh huyền. ABC vuông tại C, CH là đường cao, ta có .CH AH BH [?] Đặt HA = a, HB = b hãy biểu diễn ab và a + b theo độ dài các đoạn thẳng có trong tam giác? Hãy chuyển bất đẳng thức đại số về bất đẳng thức hình học? [!] ;CH ab AB a b   Bất đẳng thức (1) có dạng 2 AB CH Cách 2 + Nếu a, b dương, vẽ nửa đường tròn đường kính AB = a + b. Trên AB lấy điểm H thoả mãn AH = a, HB = b. [?] Hãy xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC [!] 2 AB R  Từ H kẻ đường vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại C thì .CH HA HB ab  [?] Hãy so sánh R và CH [!] CH không lớn hơn bán kính đường tròn CH R  vì CH không lớn hơn bán kính đường tròn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 96  2 a b ab   Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. nên 1 2 2 a b ab CH AB     [?] Hãy cho biết dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Đẳng thức xảy ra  CH là bán kính hay H trùng với tâm đường tròn điều này chính là a = b. đẳng thức xảy ra  CH là bán kính  H trùng với tâm đường tròn  a = b [?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên? + Nếu 0 0 a b    thì (1) đúng .Vậy (1) đúng 0; 0a b   [?] Bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm, vế trái là trung bình cộng, còn vế phải là trung bình nhân của 2 số. Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho 3 số không âm thì phát biểu thế nào? [!] Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng 3 3 a b c abc    (3) Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng 3 3 a b c abc    (3) [?] Có thể áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức (2) không? Bất đẳng thức (1) áp dụng cho 2 số, [!] (3) 3a b c abc    3 4 4 a b c abc             3 abc (4) Áp dụng BĐT Côsi 1 4 2 a b ab   ; 3 31 4 2 c abc c abc   ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 97 còn vế trái của (2) là tổng 3 số, hãy viết lại bất đẳng thức (2) để vế trái có tổng các số là chẵn? 3 2 ab c abc  6 3.abc abc abc  [?] Hãy vận dụng liên tiếp bất đẳng thức (1) vào vế trái của bất đẳng thức (4) rồi cộng vế tương ứng của các bất đẳng thức cùng chiều? [!] 1 4 2 a b ab   ; 3 31 4 2 c abc c abc   ; 3 2 ab c abc  6.abc abc 3 abc Cộng vế tương ứng của 3 bất đẳng thức ta được (4) [?] Dấu “ = ” xảy ra khi nào? [!] Dấu đẳng thức xảy ra 3 3 a b c abc ab c abc        a b c   Dấu đẳng thức xảy ra 3 3 a b c abc ab c abc        a b c   [?] Bất đẳng thức (1), (3) là bất đẳng thức cosi cho 2 số, 3 số không âm. Tổng quát hãy phát biểu cho n số không âm? [!] Cho n số thực không âm 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Dấu đẳng thức xảy ra  1 2 ... na a a   Cho n số thực không âm 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Dấu đẳng thức xảy ra  1 2 ... na a a   Bài 2: Cho các số , , ,a b c d R . Hãy chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    (1) ( BĐT Bunhiacopxki ). Hướng dẫn học sinh giải bài toán trên theo tư tưởng của Polya. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 98 [?] Bài toán cho gì? Yêu cầu gì? [!] Cho , , ,a b c d R . Chứng minh 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    Bài 2: Cho các số , , ,a b c d R .Chứng minh bất đẳng thức: 2( )ac bd  2 2 2 2( )( )a b c d   (1) [?] Hãy biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho? [!] Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2 2 2 2 2a c b d acbd   2 2 2 2 2 2 2 2 0a c a d b c b d    2 2 2 22 0adbc a d b c    (2) Cách 1. (1) 2 2 2 2 2a c b d acbd   2 2 2 2 2 2 2 2a c a d b c b d    22 2 22 0a d adbc b c    [?] Biến đổi tương đương bất đẳng thức (2)? [!] (2) 22 2 22 0a d abc b c    2( ) 0ad bc   , luôn đúng , , ,a b c d R  . Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. 2( ) 0ad bc   , luôn đúng , , ,a b c d R  Dấu “ = ” xảy ra 0ad bc   ;( , 0) a b c d c d    [?] Hãy cho biết dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Dấu “ = ” xảy ra 0ad bc ad bc     ;( , 0) a b c d c d    . [?] Hãy hoàn thiện lời giải theo ý tưởng trên? [?] Trên đây là cách giải Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 99 rất thông thường mà hầu như học sinh nào cũng tìm ra. Bây giờ hãy nhìn bài toán từ góc độ khác để các em tìm ra một cách giải mới. [?] Hãy để ý vào vế phải của bất đẳng thức, tổng bình phương các đại lượng 2 2a b và 2 2c d có gợi cho các em về một ý nghĩa nào trong hình học không? [!] + Liên quan đến véc tơ. + Bình phương các đại lượng sẽ là bình phương độ dài của các véc tơ. Cách 2. Đặt ( , ) ( , ) u a b v c d     Khi đó 2 2 ,u a b  2 2v c d  [?] Hãy đưa vào bài toán các đại lượng vectơ thích hợp? [!] Đặt ( , ) ( , ) u a b v c d     , khi đó 2 2 2 2,u a b v c d    . ( )u v ac bd  mà ( , ) 1cos u v   . .u v u v [?] Hãy tìm mối liên hệ giữa hai vectơ ,u v giúp cho ta chứng minh bất đẳng thức? [!] . . . ( . )u v u v cos u v (3)  2( )ac bd  2 2 2 2( )( )a b c d   [?] Ta đã biết rằng: ( , ) 1cos u v  . Vậy thì đẳng thức (3) trở thành bất đẳng thức nào? [!] . .u v u v (4) Dấu “ = ” xảy ra  . , u cung phuong v u k v k R     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 100 [?] Hãy tính: . ?, . ?u v u v  Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh [!] . ( )u v ac bd  2 2 2 2. ( )( )u v a b c d   . a kc b kd     a k c b k d        [?] Hãy cho biết dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] . , u cung phuong v u k v k R     ; ( , 0) a b c d c d    ; ( , 0) a b c d c d    [?] Hãy nhìn bất đẳng thức đã cho dưới dạng sau: 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    0 . Rõ ràng nếu nhìn biểu thức vế trái bằng 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d    ta thấy nó giống với một biệt thức  của một tam thức nào đó đã được tính sẵn rồi. Vậy thì phải chăng nếu xây dựng được tam thức đó thì bài toán sẽ có một hướng giải mới? + a = b = c = d = 0 thì BĐT luôn đúng. + , 0a b   2 2 0a b  Xét tam thức 2 2 2( ) ( )f x a b x    2 22( ) ( )ac bd x c d    2 2( ) ( ) 0ax c bx d     ( ) 0,f x x   . [?] Bây giờ tôi đặc biệt hoá a = b = c = d = 0, các em hãy kiểm tra bất đẳng thức có đúng không? [!] Với a = b = c = d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ' 2( )ac bd    2 2 2 2( )( ) 0a b c d    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 101 [?] Nếu tồn tại một trường hợp là , , ,a b c d R sao cho , 0a b  . Khi đó cho biết dấu của 2 2a b ? [!] 2 2 0a b  Dấu “ = ” xảy ra  ; ( , 0) a b c d c d    [?] Hãy xây dựng tam thức bậc hai với các hệ số A, B, C nhận biểu thức VT là  ? Hãy kiểm tra dấu của f(x)? [!] 2 2;A a b  2( );B ac bd  2 2C c d  2 2 2( ) ( )f x a b x    2 22( ) ( )ac bd x c d    2 2( ) ( ) 0ax c bx d     Vậy ( ) 0,f x x  . [?] Khi đó áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai cho ta kết quả cần chứng minh. * BĐT Bunhiacopxki cho 6 số thực: a, b, c, x, y, z [?] Bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4 số thực hay cho hai cặp số (a; b), (c; d), với , , ,a b c d R . Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho hai bộ ba số thì phát biểu thế nào? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Cho hai bộ ba số (a; b; c), (x; y; z) với , , , , ,a b c x y z R . Hãy chứng minh bất đẳng thức: 2( )ax by cz   2 2 2 2 2 2( )( )a b c x y z    (5). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c x y z   . Cho hai bộ ba số (a; b; c), (x; y; z) với , , , , ,a b c x y z R . Hãy chứng minh bất đẳng thức: 2( )ax by cz   2 2 2 2 2 2( )( )a b c x y z   (5).Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c x y z   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 102 [?] Bất đẳng thức (1), (5) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ hai, ba số. Nếu mở rộng bất đẳng thức (1) cho hai bộ n số thực 1 2( ; ; ; )na a a , 1 2( ; ; ; )nb b b thì phát biểu thế nào? Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Với hai bộ n số 1 2( ; ; ; )na a a , 1 2( ; ; ; )nb b b , ta luôn có 2 1 1 2 2( )n na b a b a b   2 2 2 1 2( ).na a a    2 2 2 1 2( )nb b b   Dấu đẳng thức xảy ra  1 2 1 2 n n aa a b b b    . * BĐT Bunhiacopxki cho 2n số thực. Với hai bộ n số 1 2( ; ; ; )na a a , 1 2( ; ; ; )nb b b , ta có 2 1 1 2 2( )n na b a b a b   2 2 2 1 2( ).na a a    2 2 2 1 2( )nb b b   Dấu " " xảy ra  1 2 1 2 n n aa a b b b    . IV. Hệ thống bài tập. Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức. a) 1 1 4a b a b            , với mọi a, b dương. b) 2 2 2a b c ab bc ca     , với mọi a, b, c dương. c) 2 2 2 2 2 ( )a b c d e a b c d e        , với mọi a, b, c, d, e dương. d) Cho x, y, z >0, xyz = 1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 21 1 1 3 3 x y y z z x xy yz zx          . e) Cho x, y, z >0 và 1 1 1 4 x y z    . Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z          . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 103 Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức. a) Cho các số thực a, b, c thoả mãn 2 2 2 1a b c   . Chứng minh rằng 3 5 35a b c   . b) Cho các số thực a, b, c thoả mãn 4 ( 1) ( 1) ( 1) 3 a a b b c c      . Chứng minh rằng 4a b c   . c) Cho các số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 4. Chứng minh rằng 4 4 4 16 3 a b c   . d) Cho các số thực x, y thoả mãn 3x - 4y = 7. Chứng minh rằng 2 23 4 7x y  . e) Cho x, y, z là 3 số thực dương và 1x y z   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z       . Hƣớng dẫn. Mức độ vận dụng ở các bài toán trên khó dần. Bài 3. a) Chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho 2 số. b) Phải ghép đôi vận dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số : 2a và 2b ; 2b và 2c ; 2c và 2a . Rồi cộng vế tương ứng của các bất đẳng thức cùng chiều. c) Phải biết tách 2 2 2 2 2 4 4 4 4 a a a a a     , rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi. d) Vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số trong căn thức, vừa áp dụng cho 3 số hạng ở vế trái. e) Đòi hỏi vận dụng sáng tạo hơn: 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 16x y z x x y z       . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 104 Bài 4. a) Chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ 3 số: ( 1; 3; 5 ) và (a; b; c ) b) Phải biết biến đổi giả thiết: 2 2 21 1 1 25 2 2 2 12 a b c                        rồi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ 3 số ( 1; 1; 1 ) và 1 1 1 ( ; ; ) 2 2 2 a b c   . c) Phải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 lần. d) Cần viết lại bất đẳng thức phải chứng minh 2 2( 3 ) (2 ) 7x y  , rồi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ 2 số ( 3 ;2 )x y và ( 3; 2) . e) Đòi hỏi vận dụng sáng tạo: 2 2 1 1 9 82 x x x x         . Giáo án 2. BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục tiêu bài giảng - Biết chứng minh một số bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức Cosi - Rèn luyện cho học sinh các hoạt động khám phá có hướng dẫn tìm các lời giải bài toán. II. Chuẩn bị - Giáo viên: giáo án, bài tập - Học sinh: các bài tập sách giáo khoa III. Các hoạt động Bài 1. Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng 3 3 ( )a b ab a b   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 105 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng [?] Bài toán cho gì? Yêu cầu gì? [!] Cho 0, 0a b  Chứng minh: 3 3 ( )a b ab a b   (1) Bài 1. Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng 3 3 ( )a b ab a b   (1) [?] Theo định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức dạng A B ta phải làm gì? Vận dụng vào bài toán này thế nào? [!] Để chứng minh A B ta chứng minh 0A B  Khi đó 3 3 ( )a b ab a b   3 3 ( ) 0a b ab a b     (2) 3 3 ( )a b ab a b   3 3 ( ) 0a b ab a b     Theo giả thiết 0, 0 0a b a b     [?] Biến đổi tương đương bất đẳng thức (2)? [!] (2) 2( )( ) 0a b a b    Mà 2( ) 0a b  suy ra 2( )( ) 0a b a b   [?] Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Dữ kiện đó có liên quan gì đến yêu cầu của bài toán? [!] 0, 0 0a b a b     suy ra 2( )( ) 0a b a b   (BĐT được chứng minh) Dấu “ = ” xảy ra a b  [?] Hãy cho biết dấu “ = ” của bất đẳng thức xảy ra khi nào? [!] Dấu “ = ” xảy ra a b  [?] Hãy hoàn thiện lời Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 106 giải theo ý tưởng trên? [?] Khám phá cách giải khác: có thể phát biểu bài toán một cách khác không? [!] 3 3a b a b ab    2 2a b a b b a    Lời giải khác: 3 3 (1) a b a b ab     2 2a b a b b a    [?] - Vai trò ,a b bình đẳng nên cần áp dụng đều cho ,a b . - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử dạng mẫu số, để ý tử số là bình phương [!] Bất đẳng thức Côsi cho hai số: 2a b và b 2 2 a b a b   ; 2 2 b a b a   Cộng vế tương ứng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 2 2 a b a b   ; 2 2 b a b a   Cộng vế tương ứng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. [?] Bạn có thể sử dụng kết quả này cho một bài toán nào khác không? Thử áp dụng tương tự với các số dương b, c rồi c, a [!] 3 3b c b c bc    3 3c a c a ca    [?] Hãy phát biểu cho bài toán mới [!] Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2( ) a b b c c a ab bc ca a b c          Bài 2. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh 3 3 3 3 3 3 2( ) a b b c c a ab bc ca a b c          Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 107 [?] Có thể viết bất đẳng thức (1) dưới dạng khác không? (Các số hạng 3 3,a b gợi cho các bạn nghĩ tới hằng đẳng thức nào?) [!] 3 3 3( ) 3 ( )a b a b ab a b     3 3 3(1) 4( ) ( )a b a b    [?] Áp dụng tương tự và hãy phát biểu cho bài toán mới. [!] 3 3 34( ) ( )b c b c   3 3 34( ) ( )c a c a   Bài 3. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh 3 3 3 3 3 3 8( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b b c c a         Bài 4. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc          [?] nhìn vào số hạng 3 3a b . Bạn có biết một bài toán nào có liên quan hay không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? [!] 3 3 ( )a b ab a b   3 3 ( )a b abc ab a b c      3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c       Áp dụng (1) suy ra 3 3 ( )a b abc ab a b c     hay 3 3 1 1 ( )a b abc ab a b c      [?] Hãy áp dụng tương tự cho các số hạng còn lại và so sánh với bất đẳng thức cần chứng minh. [!] 3 3 1 1 ( )b c abc ab a b c      3 3 1 1 ( )c a abc ab a b c      Cộng các vế tương ứng Tương tự ta có 3 3 1 1 ( )b c abc ab a b c      3 3 1 1 ( )c a abc ab a b c      Cộng các vế tương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 108 của ba BĐT trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. ứng của ba BĐT trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. [?] Nếu bổ xung giả thiết 1abc  thì bài toán được phát biểu như thế nào? [!] Cho a, b, c là ba số dương và 1abc  . Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a           Bài 5. Cho a, b, c là ba số dương và 1abc  . Chứng minh 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a           Bài 6. Cho a, b, c là ba số dương và 1abc  . Chứng minh rằng 5 5 5 5 5 5 1 ab bc ca a b ab b c bc c a ca          . [?] Giả thiết của bài toán gợi cho bạn nghĩ tới bài toán nào mà bạn đã gặp rồi? [!] Đó chính là bài 5 ở trên. Ta có 5 5 3 3 1 1 ab a b ab a b      [?] Có thể sử dụng kết quả của nó không? (Kết quả đó gợi cho bạn chứng minh BĐT nào? ) [!] 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ab bc a b ab b c bc ca c a ca a b b c c a                   4 4 2 2 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 a b a b a b a b a b          BĐT này đúng với a, b dương. [?] Chứng minh BĐT trung gian này như thế nào? (Hãy nhìn vào từng số hạng) [!] Phải chăng: 5 5 3 3 1 1 ab a b ab a b      (*) Tương tự ta có 5 5 3 3 1 1 bc b c bc b c      [?] Chứng minh bất đẳng thức (*) như thế nào? [!] 4 4 2 2 (*) ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 a b a b a b a b a b          5 5 3 3 1 1 ca c a ca c a      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 109 [?] Hãy áp dụng tương tự cho các số hạng còn lại và so sánh với bất đẳng thức cần chứng minh. [!] 5 5 3 3 1 1 bc b c bc b c      5 5 3 3 1 1 ca c a ca c a      Cộng các vế tương ứng của ba BĐT trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Cộng các vế tương ứng của ba BĐT trên và áp dụng bài 5 ở trên, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. [?] Bằng các hoạt động khám phá tương tự, HS có thể giải bài toán sau: Bài 7. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng a) 3 3 3 3 8 a b c b c c a a b                       ; b) 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab     . 3.3. Kết quả thử nghiệm a) Về phƣơng pháp và khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh Giáo viên đã tổ chức được các hoạt động khám phá cho học sinh trong giờ học, sử dụng phương pháp dạy học hợp lí. Học sinh có khả năng tiếp thu và nắm được cách chứng minh một số dạng bất đẳng thức ở trường THPT. Bằng các hoạt động khám phá, học sinh có thể giải phần lớn các bài tập trong luận văn. Sau đợt thực nghiệm, học sinh nắm bắt và vận dụng được các hoạt động trí tuệ cơ bản trong toán học như phân tích, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá, phân chia trường hợp...Hạn chế được những khó khăn, sai lầm khi giải các bài toán về bất đẳng thức, phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 110 b) Về kết quả kiểm tra Đề kiểm tra: Câu 1. Cho ba số thực không âm , ,x y z thoả mãn 2000 2000 2000 3x y z   . Chứng minh rằng 2 2 2 3x y z   . Câu 2. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng sin sin sin tan tan tan 2A B C A B C      . Câu 3. Cho ba số dương , ,a b c nhỏ hơn 1 và thoả mãn 1ab bc ca   . Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 1 1 1 2 a b c a b c       Ý định sƣ phạm đề kiểm tra: Câu 1: Thuộc chủ đề vận dụng BĐT đã biết. Câu 2: Thuộc chủ đề vận dụng phương pháp hàm số, nhằm kiểm tra khả năng khám phá ra hàm số. Câu 3: Thuộc chủ đề vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhằm kiểm tra khả năng chuyển từ BĐT đại số sang BĐT lượng giác. Kết quả kiểm tra: Lớp Tổng số HS Nhóm điểm 1 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10 SL % SL % SL % SL % SL % 12A3(ĐC) 50 5 10 8 16 20 40 12 24 5 10 12A2(TN) 50 2 4 5 10 15 30 18 36 10 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 111 Qua bài kiểm tra ta thấy lớp thực nghiệm có kết quả cao hơn lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng phương pháp này đã tác động rất hiệu quả tới quá trình học tập của học sinh. Kết luận chƣơng 3 Mặc dầu chúng tôi mới tiến hành thực nghiệm sư phạm được trên một phạm vi hẹp (một lớp thực nghiệm, một lớp đối chứng). Song, kết quả thực nghiệm sư phạm phần nào đã chứng tỏ: các phương pháp đề xuất có tính khả thi và tính hiệu quả; học sinh được học tập trong môi trường “động”, tức là học sinh được hoạt động, được giao lưu và tích cực tự khám phá các kiến thức, do vậy phương pháp này cần được nhân rộng ra các phần kiến thức khác nhau ở trường THPT. Từ đó chúng tôi cho rằng nếu thường xuyên áp dụng dạy học theo định hướng trên thì có tác dụng rất tốt trong việc gây hứng thú trong học tập cho học sinh, lôi cuốn học sinh vào các hoạt động học tập tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo, giúp học sinh rèn luyện các hoạt động trí tuệ trong khi giải toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 112 KẾT LUẬN Luận văn đã thu đƣợc những kết quả chính sau đây: 1. Luận văn đã minh hoạ làm sáng tỏ lý luận về phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn theo quan điểm hoạt động; phương pháp giải bài toán theo bốn bước của Polya. Tìm hiểu thực tiễn qua bài kiểm tra, cho thấy HS còn yếu về kĩ năng chứng minh BĐT. 2. Luận văn đã trình bày việc vận dụng lí luận dạy học khám phá có hướng dẫn vào một số dạng BĐT thường gặp ở trường THPT. Đó là: - Khám phá vận dụng bất đẳng thức đã biết. - Khám phá hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. - Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức. - Khám phá bất đẳng thức theo nhiều phương diện. - Khám phá các sai lầm trong lời giải và sửa chữa. Những nội dung trên đây được phân tích, minh hoạ thông qua 55 ví dụ. 3. Luận văn trình bày việc tổ chức thực nghiệm ở hai lớp 12 của trường THPT Lạng Giang số 2 tỉnh Bắc Giang. Kết quả thực nghiệm phần nào kiểm nghiệm được tính khả thi và kết quả của đề tài. 4. Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên toán và sinh viên toán các trường Đại học - Cao đẳng Sư phạm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Trần Tuấn Anh ( 2005 ), Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, NXB tổng hợp TP.Hồ Chí Minh. [2]. Phan Đức Chính (1993), Bất đẳng thức, NXB Giáo dục, Hà Nội. [3]. Nguyễn Kế Hào (Chủ biên), Nguyễn Quang Uẩn (2006), Giáo trình tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [4]. Nguyễn Thị Phương Hoa (2006), Lý luận dạy học hiện đại, Tập bài giảng cho học viên cao học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [5]. Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức, Hà Nội. [6]. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn toán. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [7]. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc (2006), Phương pháp dạy học đại cương môn toán. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [8]. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992),Phương pháp dạy học môn toán, tập 1, NXB giáo dục, Hà Nội. [9]. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương minh (1998), Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường THCS, NXB Giáo dục, Hà Nội. [10]. Phan Huy Khải (1997), 500 Bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 114 [11]. I.Lerner (1997), Dạy học nêu vấn đề, Phạm Tất Đắc dịch, NXB Giáo dục, Hà Nội. [12]. Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng ( 2005), Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. [13]. Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2005), Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. [14]. Nguyễn Vũ Lương ( chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2005), Các bài giảng về các bài toán trong tam giác, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. [15]. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội. [16]. Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. NXB Đại học sư phạm, Hà Nội. [17]. Ngô Thế Phiệt (2007), Một số phương pháp mới trong chứng minh bất đẳng thức, NXB Giáo dục, Hà Nội. [18]. G.Pôlya ( Hồ Thuần – Bùi Tường dịch ) (1997), Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Hà Nội. [19]. G.Pôlya ( Hà Sỹ Thế – Hoàng Chúng – Lê Đình Phi dịch ) (1976), Toán học và những suy luận có lý, NXB Giáo dục, Hà Nội. [20]. G.Pôlya ( Nguyễn Sỹ Tuyển – Phan Tất Đắc – Hồ Thuần dịch ) (1997), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 115 [21]. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên )(2006), Đại số 10 nâng cao, Sách giáo khoa. NXB Giáo dục, Hà Nội. [22]. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên ), 2006, Đại số 10 nâng cao, Sách giáo viên. NXB Giáo dục, Hà Nội. [23]. Nguyễn Cảnh Toàn (Chủ biên), Nguyễn Kỳ, Lê Khánh Bằng, Vũ Văn Tảo (2002), Học và dạy cách học. NXB Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. [24]. Nguyễn Cảnh Toàn (1997). Phương pháp duy vật biện chứng với việc dạy học và nghiên cứu toán học, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội. [25]. Nguyễn Cảnh Toàn (1997). Tập cho học sinh giỏi là quen dần với nghiên cứu toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội. [26]. Nguyễn Cảnh Toàn (1997). Khơi dậy tiềm năng sáng tạo, NXB Giáo dục, Hà Nội. [27]. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 môn Toán ( 2006), NXB Giáo dục, Hà Nội. [27]. Tạp chí Toán học Tuổi trẻ cùng một số luận văn thạc sĩ. [28]. Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học Tuổi trẻ (1997), NXB Giáo dục, Hà Nội . [29]. Đảng cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thư IX, NXB Chính trị Quốc gia, Hà Nội 2001.