Bài tập chương 2: số đếm

Hỏi có bao nhiêu cách trao huy chương vàng, bạc và đồng cho 8 động viên trên? Bài giải: Số cách trao huy chương vàng, bạc và đồng cho 8 vận động viên chính là chỉnh hợp chập 3 của 8, hay A 3 8 =8.7.6=336 cách Bài 180 :Tìm giá trị của các đại lượng sau: a. A 3 6 b. A 5 6 c. A 1 8 d. A 5 8 e. A 9 10 f. C 1 5 g. C 3 5 h. C 4 8 i. C 6 12 Bài làm a. A 3 6 =6.5.4=120 b. A 5 6 =6.5.4.3.2=720 c. A 1 8 =8 d. A 5 8 =8.7.6.5.4=6720 e. A 9 10 =10.9.8.7.6.5.4.3.2=362880 f. C 1 5 = = 5 g. C 3 5 = = =10 h. C 4 8 = = =70 i. C 6 12 = = =924 Bài 181 :Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ từ bảng chữ cái tiếng Anh?? Bài giải: Số cách chọn chính là: C 5 26 = =65780 cách Bài 182 : Có 100 vé đánh số từ 1 đến 100 được bán cho 100 người khác nhau. Người ta sẽ trao 4 giải thưởng kể cả giải độc đắc. Hỏi: a. Có bao nhiêu cách trao thưởng? b. Có bao nhiêu cách trao thưởng nếu người giữ vé 47 trúng giải độc đắc? Bài giải: a.Số cách trao thưởng là : A 4 100 =100.99.98.97=94109400 (cách) b.Số cách trao thưởng là: A 3 99 =99.98.97=941094 (cách) Bài 183 : Một tập hợp 100 phần tử có bao nhiêu tập con có nhiều hơn hai phần tử? Bài giải: Theo hệ quả 3, ta có :   100 0i i nC = 2 100 hay = C 0 100 + C 1 100 +…+ C 100 100 . Số các tập hợp con của tập 100 phần tử có nhiều hơn hai phần tử là: – ( + + ) = – (1+ 100 + ) = – 5051 Bài 184 :Cho A = {a, b} và B = {a, b, c} liệt kê tất cả các hoán vị của A và B Bài giải: Đối với A có 2!=2 : ab, ba Đối với B có 3!=6: abc, acb, cab, cba, bac, bca Bài 185 : Giả sử A = {1, 2, 3, 4, 5} a. Tìm tất cả các chỉnh hợp chập 3 của A b. Tìm tất cả các tổ hợp chập 3 của A Bài giải: a. A 3 5 = 5.4.3 = 60 b. C 3 5 = = = 10 Bài 186 :Một sinh viên có thể chọn bài thực hành trên máy tính từ 4 danh sách. Danh sách thứ nhất có 23 bài thực hành. Danh sách thứ 2 có 19 bài thực hành. Danh sách thứ 3 có 15 bài thực hành và danh sách thứ 4 có 20 bài thực hành. Biết các bài thực hành trong các danh sách là khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn bài thực hành trên máy tính ?? Bài giải: Có 23 + 19 + 15 +20 = 77 cách chọn Bài 187 : Trong lớp Toán-Tin có 45 sinh viên học tiếng Anh; 30 sinh viên học tiếng Pháp và 10 sinh viên học cả Anh và Pháp a. Tính số sinh viên Toán-Tin, biết trong lớp không ai không biết một trong hai thứ tiếng trên. b. Cho biết sĩ số của lớp là 70. Hỏi có bao nhiêu sinh viên không biết ngoại ngữ Anh, Pháp Bài giải: Đặt A là số sinh viên học tiếng Anh: |A| = 45 B là số sinh viên học tiếng Pháp: |B| = 30 A B là số sinh viên học tiếng Anh và Pháp : | A B | = 10 a. Theo công thức cơ sở ta có: |A B|=|A| + |B| - | A B | = 45 + 30 – 10 = 65 Số sinh viên Toán-Tin là 65 b. |A B|=65, đây là số sinh viên học ngoại ngữ Anh, Pháp hoặc cả Anh và Pháp. Số sinh viên không học ngoại ngữ là 70 -65 =5 sinh viên Bài 188 : Để chuẩn bị mở đại diện văn phòng ở nước ngoài, giám đốc công ty X cần chọn một luật sư trong 5 luật sư của công ty và chọn một cố vấn địa ốc trong 3 cố vấn địa ốc của công ty đi làm việc tại văn phòng đại diện ở nước ngoài. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 đại diện theo nguyên tắc trên làm việc ở văn phòng đại diện nước ngoài ? Bài giải A là tập gồm 5 luật sư của công ty B là tập gồm 3 cố vấn địa ốc của công ty Khi đó một cặp có thứ tự (a, b) với a A, b B là một phương pháp chọn. Vậy số cách chọn là |A B|= |A|.|B|=5.3=15 cách chọn 2 đại diện (1 luật sư, 1 cố vấn địa ốc) đi làm việc ở văn phòng đại diện nước ngoài Bài 189 : Để chuẩn bị vào giai đoạn 2, có 150 sinh viên ghi tên môn học Logic toán; 120 sinh viên ghi tên môn học môn Lý thuyết đồ thị và 200 sinh viên ghi tên môn Văn phạm và ôtômat. Hỏi có bao nhiêu sinh viên ghi tên học một trong ba môn, biết rằng không có sinh viên nào ghi tên môn học đồng thời 2 môn học hoặc cả 3 môn. Bài giải: A là tập sinh viên học môn Logic toán : |A| = 150 B là tập sinh viên học môn Lý thuyết đồ thị: |B| = 120 C là tập sinh viên học môn Văn phạm và ôtômat: |C| = 200 A B= , A C = , B C = , A B C = Số sinh viên ghi tên học một trong 3 môn là: |A B C|=|A| + |B| + |C| = 470 Bài 190 : Trong một trường đại học có 18 sinh viên xuất sắc về toán và 325 sinh viên xuất sắc về CNTT a. Có bao nhiêu các chọn hai đại diện, sao cho một là sinh viên toán, còn người kìa là sinh viên CNTT b. Có bao nhiêu cách chọn một đại diện hoặc là sinh viên toán hoặc là sinh viên CNTT Bài giải: Số cách chọn sinh viện toán là 18 cách Số cách chọn sinh viên CNTT là 325 cách a.Có 325.18 = 5850 cách chọn một sinh viện toán và một sinh viên CNTT b.Có 325 + 18 = 343 cách chọn một đại diện là sinh viên toán hoặc là sinh viên CNTT Bài 191 :Một phiếu trắc nghiệm đa lựa chọn gồm 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. a. Có bao nhiêu cách điền một phiếu trắc nghiệm nếu mọi câu hỏi đều được trả lời? b. Có bao nhiêu cách điền một phiếu trắc nghiệm nếu câu hỏi có thể bỏ trống ? Bài giải: a. Mỗi câu có 4 phương án để lựa chọn nên 10 câu sẽ có cách b. Mỗi câu có 5 phương án để lựa chọn (tính cả phương án bỏ trống) nên 10 câu sẽ có cách Bài 192 :Cm trong bất kì một nhóm 27 từ tiếng anh nào, ít nhất cũng có 2 từ bắt đầu cùng một chữ cái. Bài giải: N=27, k=26. Vậy ít nhất có [ ] = 2 từ bắt đầu cùng một chữ cái Bài 193 :Trong 100 người có ít nhất mấy người cùng tháng sinh? Bài giải Do N = 100, k = 12 nên [ ] = 9. Vậy có ít nhất 9 người cùng tháng sinh Bài 194 : Chứng tỏ rằng trong bất kì một tập hợp gồm 6 lớp học nào cũng có ít nhất hai lớp gặp nhau cùng một ngày, biết một tuần học từ thứ 2 đến thứ 6 Bài giải: N = 6, k = 5 (1 tuần có 5 ngày học) Vì = = 1,2 nên [ ] = 2. Vậy có ít nhất 2 lớp cùng học trong một ngày. Bài 195 : Chứng tỏ rằng, nếu trong một lớp có 30 sinh viên thì ít nhất có 2 sinh viên có tên bắt đầu cùng một chữ cái. Bài giải N = 30, k = 26 (bảng kí tự có 26 chữ cái) Do = = 1,1 nên [ ] = 2. Vậy có ít nhất 2 trong số 30 sinh viên có tên bắt đầu bằng một chữ cái Bài 196 :Mỗi sinh viên trong lớp K46CA của khoa CN đều có quê ở một trong 61 tỉnh thành trong cả nước. Cần tuyển bao nhiêu sinh viên để đảm bảo trong lớp K46CA có ít nhất: a. 2 sinh viên có quê cùng tỉnh. b. 10 sinh viên có quê cùng tỉnh. c. 50 sinh viên có quê cùng tỉnh. Bài giải: a. = 2. Do > 1 nên N > 61 Vậy cần tuyển vào K46CA ít nhất là N = 62 thì chắc chắn đảm bảo có ít nhất 2 sinh viên cùng một tỉnh b. ] = 10. Do > 9 nên N > 549. Vậy cần tuyển N= 550 c. . = 50. Do > 49 nên N > 2989. Vậy cần tuyển N=2990. Bài 197:Chỉ ra trong 5 số chọn từ tập 8 số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} bao giờ cũng có một cặp số có tổng bằng 9. Bài giải: Trong tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ta có 4 cặp có tổng bằng 9 là (1, 8), (2, 7), (3,6), (4, 5). Do N = 5, k = 4 nên ] = ] = 2 . Vậy trong mỗi tập gồm 5 số chọn ra từ tập 8 số ở trên, bao giờ cũng chứa một cặp số có tổng là 9 Bài 198: Cm là số vô tỷ Giải Giải giả sử là số hữu tỷ nên tồn tại số nguyên a và b sao cho = (1) với là 1 phân số tối giản(2). Từ (1) ta có: =2 (3) tức là =2b 2 và a 2 là 1 số chẵn vậy a cũng là 1 số chẵn. Giả sử tồn tại k sao cho a=2k(4) .Ta thay (4) vào (3) ta được: =2  2k 2 =b 2 Ta có: 2k 2 là số chẵn => b 2 cũng phải là 1 số chẵn => trái với giả thiết (2) Vậy là số vô tỷ(dpcm) Bài 199:CM P(n) 7 n -1 chia hết cho 6 với n>=1 CM: Ta cóvới n=1 => 7 1 -1=6 chia hết cho 6 Giả sử với n=k thì 7 k -1 chia hết cho 6 (1) Ta sẽ cm p(n) đúng với n=k+1 P(k+1)=7 k+1 -1 =7.7 k -7+6=7(7 k -1)+6 Từ (1) ta có 7(7 k -1)+6 chia hết cho 6 VậyP(n) 7 n -1 chia hết cho 6 với n>=1 Bài 200:Cm P(n) :3 n +7 n -2 chia hết cho 8 với n>=1 Ta có :với n=1 thì3+7-2=8 chia hết cho 8 Giả sử với n=k thì 3 k +7 k -2 chia hết cho 8 (1) Ta sẽ cm p(n) đúng với n=k+1 P(k+1)= 3 k+1 +7 k+1 -2 = 3.3 k +3.7 k +4.7 k -6+4=3(3 k +7 k -2 )+4.7 k +4 Từ (1) ta có 3(3 k +7 k -2 )chia hết cho 8 vậy ta sẽ cm 4.7 k +4 cũng chia hết cho 8 Ta có :với n=1 thì 4.7+4=32 chia hết cho 8 Giả sử với n=k thì cm 4.7 k +4 chia hết cho 8 Ta sẽ cm p(n) đúng với n=k+1 P(k+1)= 4.7 k+1 +4=28.7 k +4= 4.7 k +4 +24.7 k chia hết cho 8(1) Vậy P(n) :3 n +7 n -2 chia hết cho 8 với n>=1 Bài 201:Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của đội bóng? Giải: Số cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của đội bóng là số chỉnh hợp chập 4 của 10 A 4 10 =10.9.8.7=5040 cách chọn Bài 202:Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ? Giải Số cách chọn 6 người trong 14 người là : C 6 14 =3003 Số cách chọn 6 người trong 14 người toàn nam là C 6 6 =1 Số cách chọn 6 người trong 14 người toàn nữ là C 6 8 =28 Vậy số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ là 3003-1-28=2974 cách chọn. Bài 203:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần? Giải Đầu tiên ta tìm xem có bao nhiêu số số tự nhiên gồm 4 chữ số Gọi số đó là ABCD thì: A có 9 cách chọn (1-9) B có 10 cách chọn C có 10 cách chọn D có 10 cách chọn Vậy có 9.10.10.10=9000 số Sau đó ta tìm xem Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho có chữ số lặp lại đúng 3 lần: Gỉa sử số đó là AAAB A có 9 cách chọn, B có 9 cách chọn =>có 9.9=81 số Vậy tổng cộng có 81.4=324 số Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là 9000-324=8676 Bài 204:Cho A là một tậo hợp tập có phần tử Có bao nhiêu tập hợp con của A Giải: a/ Áp dụng ct tính số tập con P (A) = 2 A ,P (A) là tập các tập con của A ta có P (20) = 2 20 =1048576 tập con Bài 205:Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn biết A=10 Giải: Số tập con của A: P (10) = 2 10| =1024 tập con Số tập con có số phần tử là số chẵn và khác rỗng là: 1024/2-1=511 tập con Bài 206:Hỏi từ 9 chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong chữ số đó có mặt chữ số 1. Giải: giả sử số đó là 1ABCD thì có cả thảy 8.7.6.5=1680 số Vậy có cả thảy 1680.4=8400 số (4 trường hợp còn lại) Bài 207:Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên bàn dài. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn. Giải: số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn là A 6 6 =720 cách Bài 208:Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên bàn dài. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B không ngồi cạnh nhau. Giải: giả sử vị trí ngồi của 6 học sinh là: ABCDEF. Vậy có cả thảy 8 trường hợp AB cạnh nhau nên ta có số cách xếp A và B cạnh nhau là: A 2 6 .8=30.8=240 cách. Vậy số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B không ngồi cạnh nhau là là A 6 6 -240=480 cách. Bài 209:Cho tập . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ mà chia hết cho 5? Giải: giả sử số đó là ABCDE thì E có 2 trường hợp E=0 thì có A 4 9 =3024 số E=5 thì A có 8 cách chọn, B có 8 cách chọn C có 7 và D có 6.Vậy có cả thảy 8.8.7.6=2688 số Vậy có 2688+3024= 5712 số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ mà chia hết cho 5. Bài 210:Cho tập . Hỏi có bao nhiêu tập con của chứa chữ số 9? Giải: số tập con của là: P (10) = 2 10| =1024 số tập con của không chứa chữ số 9 là P (9) = 2 9 =512 =>số tập con của chứa chữ số 9 là: 1024-512=512 tập con Bài 211:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau? Giải: giả sử số đó là ABCDE thì A có 9 cách chọn(trừ 0) B có 9 cách chọn(trừ A) C có 9 cách chọn(trừ B) D có 9 cách chọn(trừ C) E có 9 cách chọn(trừ D) Vậy có 9.9.9.9.9=59049 số Bài 212:cho A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu cách sắp xếp có thứ tự 3 phần tử trong tập A? Giải: số cách sắp xếp có thứ tự 3 phần tử trong tập A là số chỉnh hợp chập 3 của A : A 3 6 =120 cách. Bài 213:Giả sử có 20 vận động viên chạy thi tốc độ cự ly 1000m. Người đến đích đầu tiên được trao huy chương vàng, người đến đích thứ 2 được trao huy chương bạc và người đến đích thứ ba được trao huy chương đồng.Hỏi có bao nhiêu cách trao huy chương vàng bạc đồng cho các vận động viên? Giải: có A 3 20 =6840 cách trao huy chương vàng bạc đồng cho các vận động viên. Bài 214:Trong một lớp CNTT khoá 6 có 50 sinh viên học C, 25 sinh viên học c++ và 10 sinh viên học cả 2. Tính số sinh viên CNTT Khoá 6 biết trong lớp ko ai không biết một trong hai ngôn ngữ lập trình trên: Giải: Gọi A là số sv học C: |A|=50 Gọi B là số sv học c++: |B|=25 AB là số sv học cả 2 | AB|=10 Theo công thức : |AB|=|A| + |B| -| AB|=50+25-10=65 Vậy số sv khoá 6 là 65 Bài 215:Để chuẩn bị mở văn phòng đại diện ở nước ngoài giám đốc công ty A cần chọn 1 kĩ sư trong 5 kĩ sư của công ty và chọn 1 thư kí trong 3 thư kí của công ty cho văn phòng đại diện nước ngoài. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 đại diện làm việc ở văn phòng nước ngoài? Giải: Gọi A là tập gồm 5 kĩ sư, B là tập gồm 3 thư kí Khi đó một cặp có thư tự(a,b) với a thuộc A và b thuộc B là 1 phương án chọn. Vậy số cách chọn là |A+B|=|A|.|B|=5.3=15 cách chọn. Bài 216:Dán nhãn cho sản phấm của công ty bằng 1 chữ cái và 1 số nguyên dương không quá 10000. Hỏi có bao nhiêu sản phẩm dc dán nhãn? Giải: Thủ tục dán nhãn gồm 2 việc: Thứ nhất là chọn 1 chữ cái trong tập A gồm 26 chữ cái. thứ hai là chọn 1 số tự nhiên trong tập 10000 số nguyên dương. Khi đó nhãn trên sản phẩm là 1 cặp (a,b) với với a thuộc A và b thuộc B là 1 phương án chọn vậy số sản phẩm dc dán nhãn là: 26.10000=260000 sản phẩm. Bài 217:Trong một trung tâm máy tính có 100 máy tính. Mỗi máy có 24 cổng khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau trong trung tâm này? Giải: Thủ tục chọn cổng gồm 2 việc: việc chọn máy, sau đó là chọn cổng cho máy này. Có 50 khả năng chọn máy và mỗi máy có 24 cổng nên số cổng của trung tâm này là 50.24=1200 cổng. Bài 218:Một dãy AAAABBBB có độ dài là 8. A có thể gán bởi 1 chữ cái và B có thể gán bởi 1 chữ số. Có bao nhiêu dãy dc hình thành theo cách trên? Giải: Có 26 chữ cái và 10 chữ số . Vậy số dãy dc hình thành theo cách trên là: 26.26.26.10.10.10=17576000. Bài 219:CM: 2n+1 2 n với n 3=P(n) Giải: Ta có với n=3 => 2.3+1=7 8 Giả sử với n=k thì : 2k+1 2 k (1) Ta sẽ cm p(n) đúng với n=k+1 Ta có 2 k+1 =2.2 k 2(2k+1)= 2(2k+1)+(2(k+1)+1)- (2(k+1)+1)= (2(k+1)+1)+2k-1 Mà k 3 => 2k-1 >0 Vậy 2 k+1 2(k+1)+1) Vậy P(n) đúng với mọi n(dpcm) Bài 220:CM: n 2 2 n với n 4 Giải: Ta có với n=4 => 2 2 =4 2 2 Giả sử với n=k thì : k 2 2 k (1) Ta sẽ cm p(n) đúng với n=k+1 Ta có 2 k+1 =2.2 k 2k 2 +(k+1) 2 -(k+1) 2 =2k 2 +k 2 -2k-1 Dễ thấy k 2 -2k-1>0(xét hàm f(k)= k 2 -2k-1 ngoài khoảng 2 nghiệm của f(k) nhận giá trị dương) Vậy 2 k+1 k+1) 2 Vậy P(n) đúng với mọi n(dpcm). Bài 221:Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi 23? Giải : Gọi số đó là 23ABC thì: A có 3 cách chọn. B có 2 cách chọn. Vậy có 3.2.1=6 số bắt đầu bởi 23. Bài 222:Trong khai triển (x+y) 50 có bao nhiêu số hạng ? Các số hạng của khai triển là: C 0 50 , C 1 50 ,…, C 50 50 . Vậy có 51 số hạng. Bài 223:Tìm hệ số của x 9 trong khai triển (2-x) 19 Giải: (2-x) 19 = C 0 19 2 19 + C 1 19 2 18 (-x)+ C 2 19 2 17 (-x)2+…+ C 9 19 2 10 (-x) 9 +….. Vậy số hạng của x 9 là – C 9 19 2 10 =-94595072. Bài 224:Tìm hệ số của x 101 y 99 trong khai triển (2x-3) 200 ? Giải: Số hạng thứ 100 trong khai triển (2x-3) 200 là C 99 200 (2x) 101 (-3y) 99 =2 101 .(-3) 99 C 99 200 x 101 y 99 Vậy hệ số của x 101 y 99 là : 2 101 .(-3) 99 C 99 200 . Bài 225:Chúng ta cần chọn một sinh viên toán năm thứ 3 hay năm thứ 4 đidự một hội nghị. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lựa một sinh viên như thế biếtrằng có 100 sinh viên toán học năm thứ 3 và 85 sinh viên toán học năm thứ tư? Giải: Ta có thể thực hiện một trong 2 việc chọn lựa khác nhau:chọn một sinh viên toán năm 3, hoặc chọn một sinh viên toán năm 4.Để thực hiện công việc thứ nhất ta có 100 cách, và để thực hiện côngviệc thứ 2 ta có 85 cách. Vậy để chọn một sinh viên toán theo yêu cầu ta có 100+85 = 185 cách. Bài 226:Một sinh viên có thể chọn một đề tài từ một trong 3 danh sách cácđề tài. Số đề tài trong các danh sách đề tài lần lượt là 23, 15, 19. Hỏi sinh viêncó bao nhiêu cách chọn một đề tài. Lời giải: Sinh viên có thể chọn một đề tài trong danh sách thứ thứ nhất theo 23 cách, trong danh sách thứ hai theo 15 cách, và trong danh sáchthứ ba theo 19 cách. Do đó số cách chọn đề tài là 23+15+19 = 57 Bài 227:Xác định giá trị của k sau khi đoạn chương trình sau đây được thực hiện xong: k :=0 for i1 :=1 to n1 do k := k+1; for i2:=1 to n2 do k:= k +1 for im :=1 to nm do k := k +1; Lời giải. Giá trị của k ban đầu là 0. Sau đó là m vòng lặp khác nhau.Mỗi thao tác lặp trong một vòng lặp là cộng thêm 1 vào k. Vòng lặp thứi có ni thao tác, và tất cả m vòng lặp không thể thực hiện 2 vòng lặpnào một cách đồng thời. Do đó số thao tác để thực hiện xong đoạn chương trình trên là n1+ n2+ ... + nm. Đây cũng chính là giá trị cuối cùng của k. Bài 228:Các ghế ngồi trong một hội trường sẽ được ghi nhãn gồm một mẫu tự và một số nguyên dương không lớn hơn 100. Hỏi số ghế tối đa có thể được ghi nhãn khác nhau là bao nhiêu? Lời giải. Thủ tục ghi nhãn cho một ghế gồm 2 việc : ghi một trong 26 mẫu tự và kế tiếp là ghi một trong 100 số nguyên dương. Qui tắc nhân cho thấy có 26 x 100 = 2600 cách khác nhau để ghi nhãn cho một ghế ngồi. Do đó số ghế lớn nhất có thể được ghi nhãn khác nhau là 2600. Bài 229:Giả sử ta phải đi từ một địa điểm A đến một địa điểm C, ngang qua một địa điểm B. Để đi từ A đến B ta có 8 cách đi khác nhau, và có 6 cách đi từ B đến C. Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ A đến C ? Lời giải. Một cách đi từ A đến C gồm 2 việc: đi từ A đến B, rồi đi từ B đến C. Việc thứ nhất (đi từ A đến B) có 8 cách thực hiện, việc thứ hai có 6 cách thực hiện. vậy, theo nguyên lý nhân, số cách đi từ A đến C là 8 x 6 = 48. Bài 230:Hỏi có bao nhiêu chuỗi bit khác nhau có độ dài 8 (tức là gồm 8 bits) ? Lời giải. Mỗi bit có thể được chọn theo 2 cách, vì mỗi bit là 0 hoặc 1.Do đó, qui tắc nhân cho phép ta kết luận rằng có 2^8 = 256 chuỗi bit có độ dài 8. Bài 231:Một mã bao gồm 6 ký tự, trong đó gồm 3 mẫu tự rồi đến 3 ký sốthập phân. Hỏi có bao nhiêu mã khác nhau? Lời giải. Có 26 cách chọn cho mỗi mẫu tự và có 10 cách chọn cho mỗi ký số thập phân. Do đó, theo qui tắc nhân, có tất cả 26.26.26.10.10.10 =17 576 000 mã khác nhau. Bài 232:Có bao nhiêu ánh xạ đi từ một tập hợp gồm m phần tử vào một tập hợp gồm n phần tử ? Lời giải. Một ánh xạ đi từ tập A gồm m phần tử vào một tập hợp B gồm n phần tử tương ứng với việc chọn lựa một trong n phần tử của B cho mỗi phần tử của A. Do đó, theo qui tắc nhân, có n.n. ... .n = nm ánh xạ từ A vào B. Bài 233:Có bao nhiêu đơn ánh đi từ một tập hợp gồm m phần tử vào một tập hợp gồm n phần tử ? Lời giải. Trước hết ta nhận xét rằng khi m > n thì không có một đơn ánh nào đi từ một tập hợp gồm m phần tử vào một tập hợp gồm n phần 50 tử. Vậy, cho m<=n. Giả sử các phần tử trong miền xác định của ánh xạ là a1, a2, . . ., am. Có n cách chọn ảnh qua ánh xạ cho phần tử a1. Vì ánh xạ là đơn ánh nên đối với phần tử a2 ta chỉ có n-1 cách chọn ảnh tương ứng (do giá trị ảnh được chọn cho a1 không thể được chọn lại cho a2). Tổng quát, giá trị ảnh của phần tử ak chỉ có thể được chọn theo n-k+1 cách. Theo qui tắc nhân, có n.(n-1). ... .(n-m+1) đơn ánh đi từ một tập hợp gồm m phần tử vào một tập hợp gồm n phần tử. Bài 234:Phương án đánh số điện thoại. Giả sử một số điện thoại gồm 10 ký số được chia thành 3 nhóm: 2 nhóm gồm 3 ký số và một nhóm 4 ký số. Do một số lý do nào đó, có một số hạn chế trêncác ký số của số điện thoại. Để xác định dạng hợp lệ của một số điện thoại. ta dung ký hiệu X để chỉ một ký số có thể lấy giá trị từ 0 đến 9, N để chỉ một kýsố từ 2 đến 9, và Y chỉ một ký số là 0 hoặc 1. Chúng ta có 2 phương án để đánh số điện thoại : một phương án cũ và một phương án mới. Theo phương án cũ, số điện thoại có dạng NYX NNX XXXX; và theo phương án mới thì số điện thoại có dạng NXX NXX XXXX. Hỏi số lượng số điện thoại khác nhau của mỗi phương án là bao nhiêu? Lời giải. Do qui tắc nhân, đối với phương án đánh số điện thoại cũ, số trường hợp khác nhau của mỗi nhóm ký số trong 3 nhóm lần lượt là: 8.2.10 = 160 (ứng với dạng NYX), 8.8.10 = 640 (ứng với dạng NNX),và 10.10.10.10 = 10000 (ứng với dạng XXXX). Vậy, trong phương án đánh số điện thoại cũ, số lượng số điện thoại là 160. 640.10000 = 1 024 000 000. Tương tự Số lượng số điện thoại trong phương án đánh số mới là : (8.10.10).(8.10.10).(10.10.10.10) = 800.800.10000 = 6 400 000 000. Bài 235:Cũng theo qui tắc nhân ta thấy rằng sau khi thực hiện đoạn chương trình dưới đây thì giá trị của biến k sẽ là n1.n2. ... .nm.k := 0 For i1= 1 to n1 do For i1 = 1 to n2 do... For i1= 1 to nm do k := k + 1 Bài 236:Trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau. Giải:Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ 0 đến n – 1. Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là 0 (tức là không quen ai) và có người có số người quen là n – 1 (tức là quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành n – 1 nhóm. Vậy theo nguyên lí Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất 2 người, tức là luôn tìm được ít nhất 2 người có số người quen là như nhau. Bài 237:Trong một lưới ô vuông kích thước 5.5, người ta điền ngẫu nhiên vào các ô một trong các giá trị -1, 0 hoặc 1, sau đó tính tổng tất cả các ô theo hàng ; theo cột và theo hai đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tổng có giá trị bằng nhau. Giải:Gọi các tổng lần lượt là S_1, S_2,..S_{12}. Có tất cả 12 tổng. Ta nhận thấy rằng các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị là \{ -5, -4…0,…4, 5\}. Có tất cả 11 giá trị khác nhau. Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều cần chứng minh. Bài 238:Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau. Giải:Gọi A là một trong 6 người. Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của A hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lí Dirichlet, vì những người khác chỉ có thể là bạn hoặc thù của A. Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D là bạn của A. nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C, D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau. Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A. (ĐPCM) Bài 239:Có 5 đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau. Giải:Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là 0, 1, 2, 3,4. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu 4 trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa 4 loại số trận đã đấu.Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có 2 người có cùng số trận đã đấu. Bài 240:Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ 44 học sinh trở lên Giải: Giả sử 23 lớp mỗi lớp có không quá 43 học sinh. Khi đó số học sinh là: 43.23 = 989 học sinh (ít hơn 1000 – 989 = 11 học sinh) Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ 44 học sinh trở lên Bài 241:Một lớp có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau Giải: Giả sử có không quá 4 học sinh có tháng sinh giống nhau Một năm có 12 tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: 12 . 4 = 48 (học sinh) Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau Bài 242:Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên) Giải: Có 43 học sinh phân thành 8 loại điểm (từ 2 đến 9) Giả sử trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có: 5 . 8 = 40 học sinh, ít hơn 3 học sinh so với 43. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Bài 243:Một lớp học có 50 học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu 3 bài tập. Chứng minh rằng tồn tại 17 học sinh thiếu 1 số bài tập như nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu 0 bài) Giải: Giả sử mỗi loại bài tập có 16 học sinh. Số học sinh không quá 16 × 3 = 48 (thiếu 2 học sinh). Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất 17 học sinh thiếu một số bài tập như nhau Bài 244:Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải: Bài 245:Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác đều đó. Giải: Chọn 2 trong n đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo. Số cạnh và đường chéo là . Suy ra số đường chéo là . Ta có: 2 n n ! C n 2n n 2n 2!(n 2)! - = Û - = - n(n 1) 6n n 7Û - = Û = Vậy có 7 cạnh. Bài 246:Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau. Giải: Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3, 4). + Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0. - Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách. - Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4. Suy ra có 120.2 = 240 số. + Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0. - Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách. - Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4. Suy ra có 24.2 = 48 số. Vậy có 240 – 48 = 192 số Bài 247:Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2. Giải: + Loại 1: chữ số a1 có thể là 0. Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có cách. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Suy ra có 360 – 24 = 336 số. + Loại 2: chữ số a1 là 0 (vị trí a1 đã có chữ số 0). Sắp 3 trong 5 chữ số vào 3 vị trí có cách. Sắp 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 vị trí có 3! = 6 cách. Suy ra có 60 – 6 = 54 số. Vậy có 336 – 54 = 282 số. Bài 248:Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên. Giải: Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền. + Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2! = 2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2 = 8 cách chọn nền. + Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3! = 6 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6 = 18 cách chọn nền. Vậy có 8.18 = 144 cách chọn nền cho mỗi người. Bài 249:Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Tính tổng các số được thành lập. Giải: + Xét số A có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm có thể là 0. Từ số A ta lập được 12 cặp số có tổng là 333. Ví dụ 012 + 321 = 333. Suy ra tổng các số A là 12.333 = 3996. + Xét số B có 3 chữ số phân biệt và chữ số hàng trăm là 0. Từ số B ta lập được 3 cặp số có tổng là 44. Ví dụ 032 + 012 = 44. Suy ra tổng các số B là 3.44 = 132. Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864. Bài 250:Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Giải: Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật. Vậy có 2 10C 45= hình chữ nhật. Bài 251:Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật. Giải + Lý luận tương tự câu 65 ta có hình chữ nhật. + Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là 3 2nC . + Từ giả thiết ta có: ( ) ( ) 3 2 2n n (2n)! n ! C 20C 20 3! 2n 3 ! 2! n 2 ! = Û = - - 2n(2n 1)(2n 2) n(n 1) 20 n 8 6 2 - - - Û = Û = Vậy có 2 8C 28= hình chữ nhật. Bài 252:Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn. Giải: + Chọn tùy ý 6 em trong đội có 6 18C 18564= cách. + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có 6 13C 1716= cách. + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có 6 6 12 7C C 917- = cách. + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có 6 6 11 6C C 461- = cách. Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn. Bài 253:Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử của X. Giải: + Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là 2 10C 45= . + Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là 4 10C 210= . + Số tập hợp con chứa 6 phần tử của X là 6 10C 210= . + Số tập hợp con chứa 8 phần tử của X là 8 10C 45= . + Số tập hợp con chứa 10 phần tử của X là 1. Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợp Bài 254:Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải. Giải: + Do thi đấu vòng tròn 1 lượt nên 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là 2 14C 91= . + Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23 = 46. + Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là 3.68 = 204. Vậy số điểm trung bình của 1 trận là 46 204 250 91 91 + = điểm Bài 255:Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. Giải: Xem số có 7 chữ số như 7 vị trí thẳng hàng. + Bước 1: chọn 2 trong 7 vị trí để sắp 2 chữ số 2 (không hoán vị) có 2 7C 21= cách. + Bước 2: chọn 3 trong 5 vị trí còn lại để sắp 3 chữ số 3 (không hoán vị) có 3 5C 10= cách. + Bước 3: chọn 2 trong 3 chữ số 1, 4, 5 để sắp vào 2 vị trí còn lại (có hoán vị) có 2 3A 6= cách. Vậy có 21.10.6 = 1260 số Bài 256:Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên + Loại 1: chữ số a1 có thể là 0. - Bước 1: chọn 1 trong 3 vị trí đầu để sắp chữ số 1 có 3 cách. - Bước 2: chọn 4 trong 7 chữ số (trừ chữ số 1) để sắp vào các vị trí còn lại có 4 7A 840= cách. Suy ra có 3.840 = 2520 số. + Loại 2: chữ số a1 là 0. - Bước 1: chọn 1 trong 2 vị trí thứ 2 và 3 để sắp chữ số 1 có 2 cách. - Bước 2: chọn 3 trong 6 chữ số (trừ 0 và 1) để sắp vào các vị trí còn lại có 3 6A 120= cách. Suy ra có 2.120 = 240 số. Vậy có 2520 – 240 = 2280 số. là 1 được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Giải: Bài 257:Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn. Giải: + Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có 2 13 5 25C C cách. + Loại 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có 2 10 3 5 10 15C C C cách. - Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có 2 9 4 5 10 15C C C cách. Vậy có ( )2 13 10 3 9 45 25 15 10 15C C C C C C 51861950- - = cách. Bài 258:Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn. Giải: + Trường hợp 1: 1 khối có 3 học sinh và 2 khối còn lại mỗi khối có 1 học sinh. - Bước 1: chọn 1 khối có 3 học sinh có 3 cách. - Bước 2: trong khối đã chọn ta chọn 3 học sinh có 3 4C 4= cách. - Bước 3: 2 khối còn lại mỗi khối có 4 cách chọn. Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách. + Trường hợp 2: 2 khối có 2 học sinh và khối còn lại có 1 học sinh. - Bước 1: chọn 2 khối có 2 học sinh có 2 3C 3= cách. - Bước 2: trong 2 khối đã chọn ta chọn 2 học sinh có 2 4C 6= cách. - Bước 3: khối còn lại có 4 cách chọn. Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách. Vậy có 192 + 432 = 624 cách. Bài 259:Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0. Giải: + Số tập hợp con không chứa phần tử nào của { }X \ 0; 1 là 0 5C . + Số tập hợp con chứa 1 phần tử của { }X \ 0; 1 là 1 5C . + Số tập hợp con chứa 2 phần tử của { }X \ 0; 1 là 2 5C . + Số tập hợp con chứa 3 phần tử của { }X \ 0; 1 là 3 5C . + Số tập hợp con chứa 4 phần tử của { }X \ 0; 1 là 4 5C . + Số tập hợp con chứa 5 phần tử của { }X \ 0; 1 là 5 5C . Suy ra số tập hợp con của { }X \ 0; 1 là 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5C C C C C C 32+ + + + + = . Ta hợp các tập hợp con này với {1} thì được 32 tập hợp thỏa bài toán. Bài 260:Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Giải: + Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có 4 12C 495= cách. + Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp sau: - Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có 2 5C .4.3 120= cách. - Chọn 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có 2 45.C .3 90= cách. - Chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có 2 35.4.C 60= cách. Vậy có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách. Bài 261:Tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A, tìm số sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất. Giải: Số tập hợp con chứa k phần tử của A là k nC . Ta có: ( ) ( ) 4 2 n n n ! n ! C 20C 20 4! n 4 ! 2! n 2 ! = Û = - - (n 2)(n 3) 240 n 18Û - - = Û = ( ) ( ) ( ) ( ) k k 1 18 18 k k 1 18 18 18! 18! C C k ! 18 k ! (k 1)! 19 k ! 18! 18!C C k ! 18 k ! (k 1)! 17 k ! - + ìïï ³ïìï ï³ - - -ï ïÞ Ûí í ï ï³ï ï ³î ïï - + -ïî 19 k k 17 19 k k 1 18 k 2 2 ì - ³ï Û Û £ £í ï + ³ - î . Vậy k = 9. Bài 262:Khai triển và rút gọn biểu thức nxnxx )1(...)1(21 2  thu được đa thức n n xaxaaxP  ...)( 10 . Tính hệ số 8a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn nCC nn 171 32  . Giải: Ta có            nnnnnn n nCC nn 1 )2)(1( !3.7 )1( 2 3 171 32 Suy ra: .89.9.8 89 8 8  CC .9 0365 3 2        n nn n Suy ra 8a là hệ số của 8x trong biểu thức .)1(9)1(8 98 xx  Bài 263:Tính tổng 0 1 2 2009 2009 2009 009 S C 2C 3C ... 2010C     . Giải: Xét đa thức:       2009 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 009 f(x) x(1 x) x(C C x C x ... C x )     0 1 2 2 3 2009 2010 2009 2009 009 C x C x C x ... C x . * Ta có:     / 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 009 f (x) C 2C x 3C x ... 2010C x      / 0 1 2 2009 2009 2009 009 f (1) C 2C 3C ... 2010C (a) * Mặt khác:       / 2009 2008 2008f (x) (1 x) 2009(1 x) x (1 x) (2010 x)  / 2008f (1) 2011.2 (b)  Từ (a) và (b) suy ra:  2008S 2011.2 . Bài 264:Tìm hệ số x 3 trong khai triển n x x        22 biết n thoả mãn: 2312 2 3 2 1 2 2...  n nnn CCC Giải: Khai triển: (1+x) 2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12 Khai triển:          12 0 324 12 12 2 2 2 k kkk xC x x hệ số x 3 : 77 12 2C =101 76 Bài 265:Tìm hệ số của x 8 trong khai triển (x 2 + 2) n , biết: 49CC8A 1 n 2 n 3 n  . Điều kiện n  4 Giải: Ta có:      n 0k knk2k n n 2 2xC2x Hệ số của số hạng chứa x 8 là 4n4 n 2C  Ta có: 3 2 1 n n n A 8C C 49    (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n 3 – 7n 2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n 2 + 7) = 0  n = 7 Nên hệ số của x 8 là 2802C 34 7  Bài 266:Tính tổng: 0 1 2 1004 2009 2009 009 2 9...    S C C C C Giải: 0 1 2 1004 2009 2009 009 2 9...    S C C C C (1)  2009 2008 2007 1005 9 9 2 9...    S C C C C (2) (vì k n kn nC C )    20090 1 2 1004 1005 2009 2009 2009 009 2 9 2 92 ... ... 1 1         S C C C C C C 20082 S Bài 267:Một đoàn vận động viên gồm môn bắn súng và bơi được cử đi Thi đấu ở nư ớ c ngoài. Số vận động viên nam là 10 người. Số vận động viên thi bắn súng kể cả nam và nữ là 14 người. Số nữ vận động viên thi bơi bằng số vận động viên nam thi bắn súng. Hỏi đoàn có bao nhiêu người. Giải: Chia đoàn thành hai tập, tập các vận động viên nam và tập các vận động viên nữ. Ta nhận thấy tập nữ lại được chia thành hai: thi bắn súng và thi bơi. Thay số nữ thi bơi bằng số nam thi bắn súng, ta được số nữ bằng tổng số vận động viên thi bắn súng. Từ đó theo nguyên lý cộng toàn đoàn có 14 + 10 = 24 người. Bài 268:Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, mà 3 chữ số của nó điều chẵn: Gọi số cần tìm có dạng: A= A1A2A3 A1 có 4 cách chọn(2 4 6 8 trừ số 0) A2 có 5 cách chọn(vì 3 chữ số có thể trùng nhau và lấy luôn số 0) A3 có 5 cách chọn(giống như A2) vậy A=4x5x5=100(số) Bài 269:Có bao nhiu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 Gọi số cần tìm có dạng K=ABCD Chúng ta thấy có 2 trường hợp xảy ra + D=0 khi đó ta có: A có 9 cách chọn B có 8 cách chọn C có 7 cách chọn Vậy ABC =9x8x7=504(số) hoặc ABC=A9 3 =504(số) +d=5 khi đó ta có: A có 8 cách chọn BC=A8 2 =56(số) ABC=8x56=448(số) Vậy K=504+448=952(số) Bài 270:Có 10 học sinh nam va 5 học sinh nữ có bao nhiu cách chọ 1 đội tuyển thi toán gồm 4 học sinh trong đó phải có nữ? Có 2 cách làm(gọi A là sô hs nữ và B là số hs nam) +Cách 1: chia trường hợp -1 nữ và 3 nam A có 5 cách chọn B có C10 3 =120(cách) A có 5 cách chọn vậy ta có 120x5=600 (cách) -2 nữ 2 nam A có C5 2 =10(cách) B có C10 2 =45(cách) Ta có 45x10=450(cách) -3 nữ 1 nam A có C5 3 =10(cách) B có 10 cách chọn vậy ta có 10x10=100 (cách) -4 nữ ta có C5 4 =5 (cách) Vậy ta có số cách là: 600+450+100+5=1155(cách) Cách 2: Phần bù Chọn tùy ý 4 học sinh thi toán trong 15 học sinh thì ta có:C15 4 =1365(cách) Ta thấy có các trường hợp sau -Có cả nam và nữ -Tất cả là nữ -Tất cả là nam Vì phải có nữ nên tất cả là nam la phần bù Tính phần bù ta được:C10 4 =210(cách) Vậy số cách chon hs là: 1365- 210=1155(cách) Bài 271:Từ 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có bao nhiu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau trong đó phải có số 1 Sử dụng phương pháp phần bù ta có: Số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau:ABC A có 4 cách chọn(không lấy số 0) BC có A5 2 =20 số Vậy 3 số tự nhiên là 4x20=100 số Vậy số tự nhiên chúng ta có 2 trường hợp -Có số 1 -Không có số 1 Vậy phần bù là không có số 1, cho nên 6 số bang đầu của chúng ta bay giờ còn lại là: 0,2,3,4,5 Vậy số tự nhiên có 3 chữ số là:ABC A có 4 cách chọn BC có A4 2 =12 số Vậy phần bù là:4x12=48 số Số tự nhiên có 3 chữ số trong đó có số 1 là:100-48=52 số Bài 272:có 3 số 1,2,3 có thể tạo được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phải có đủ 3 chữ số 1,2,3? Ta gọi tập số gồm 5 chữ số: S={1,2,3,1,1} S={1,2,3,2,2} S={1,2,3,3,3} S1={1,2,3,1,2} S1={1,2,3,1,3} S1={1,2,3,2,3} Ta lấy 1 phần tử đại diện S={1,2,3,1,1) Vậy số 2 có 5 cách chọn số 3 có 4 cách chọn số 1 có 1 cách chọn ta có 5x4=20 số Vậy ta có số cách chọn S là 3x20=60 số lấy phần tử đại diện S1:S1={1,2,3,1,2} số 3 có 5 cách chọn số 2 có 6 cách chọn số 1 có 1 cách chọn ta có 6x5=30 số Vậy ta có số cách chọn S là:30 x3=90 s ố vậy số tự nhiên có 5 chữ số có đủ 1,2,3 là:90+60=150 s ố Bài 273:Có 12 hs gồm 5 hs lớp A,4hs lớp B, 3hs lớp C. Có bao nhiêu cách chọn 4hs làm nhiệm vụ sao cho 4hs này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên? Sử dụng phần bù ta có Tổng số hs làm nhiệm vụ:C12 4 =495 cách Phần bù: 1A1B2C = 5x4xC3 2 =60 cách 1A2B1C= 5xC4 2 x3=90 cách 2A1B1C = C5 2 x4x3=120 cách phần bù: 60+90+120=270 cách Số cách chọn 4 hs làm nhiệm vụ là:495-270=225 cách Bài 274:Có 15 người trong đó có 12 nam và 3nữ. Có bao nhiêu cách phân công 15 người về 3 tỉnh miền núi, mỗi tỉnh có 4 nam va 1 nữ? Gọi 3 tỉnh có thứ tự là: tỉnh 1, tỉnh 2, tỉnh 3 Tỉnh 1 có C12 4 x3=1485 cách Tỉnh 2 có C8 4 x2=140 cách(vì 4 người nam và 1 nữ đến tỉnh 1 nên con 8 nam và 2 nữ) Tỉnh thứ 3 có 1 cách chon di nhất Kết quả cuối cùng là:1485x140=207 900 cách Bài 275:Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu TB, 15 dễ.Có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra gồm 5 câu hỏi khác nhau sau cho mỗi đề có đủ 3 loại:K,TB,D câu D không ít hơn 2 câu? Giải bằng cách chia trường hợp ta có: 1K2TB2D=5xC10 2 xC15 2 = 23 625 cách 2K1TB2D=C5 2 x10xC15 2 = 10 500 cách 1K1TB3D=5x10xC15 3 = 22 750 cách Vậy đáp án là: 23 625+10 500+22 750=56 875 cách Bài 276:Có 18 hs gồm 7hs khối 12, 6hs khối 11, 5 hs khối 10. Có bao nhiêu cách cử 8 hs đi dự trại hè sao cho mỗi khối có it nhất 1 hs? Sử dụng cách phần bù tao có 8 hs dự trại hè trong 3 lớp là: C18 8 = 43 758 cách Phần bù của chúng ta là -chỉ có1 lớp tham dự trại hè -chỉ có 2 lớp tham dự trại hè Nhưng vì mỗi lớp không quá 8 hs nên phần bù “chỉ có 1 lớp tham dự trại hè” bị bỏ đi Ta gọi A là số hs lớp 12, B là số hs lớp 11, C là số hs lớp 10. AB= C13 8 =1 287 cách AC= C12 8 =495 cách BC= C11 8 =165 cách vậy phần bù: 1287+495+165=1947 cách Số cách cử 8 hs tham dự trại hè là: 43 758 – 1 947= 41 811 cách Bài 277:khai triển (x 2 - 2) 5 (x 2 – 2) 5 = C5 0 (x 2 ) 5 2 0 - C5 1 (x 2 ) 5-1 x2 1 + C5 2 (x 2 ) 5-2 x2 2 - C5 3 (x 2 ) 5-3 x2 3 + C5 4 (x 2 ) 5-4 x2 4 - C5 5 (x 2 ) 5-5 x2 5 = x 10 - 10x 8 + 40x 6 - 80x 4 + 160x 2 - 160 Bài 278:Xét khai triển (2x 2 -1) 50 Tìm số hạng 46 theo lũy thừa giảm dần của x? (-1) 45 C50 45 (2x 2 ) 50-45 x1 45 = -2 5 C50 45 x 10 Hệ số của số hạng thứ 37? (-1) 36 C50 36 (2x 2 ) 50-36 x1 36 =2 14 C50 36 x 28 vậy hệ số của nhị thức là: 2 14 C50 36 Bài 279:Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức x(1-2x) 5 +x 2 (1+3x) 10 Tìm số hạng chứa x 5 Khai triển ta có: x(-1) 4 C5 4 (2x) 4 +x 2 C10 7 (3x) 3 =2 4 C5 4 x 5 +3 3 C10 7 x 5 Vậy hệ số x 5 : 2 4 C5 4 +3 3 C10 7 Bài 280:Tìm số hạng không chứa x trong ( 7 Ta có: C7 k ( ) 7-k ( ) k (k là 1 số cần tìm để x 0 ) = C7 k = C7 k Vậy chúng ta đi tìm k ta có: Vậy số hạng cần tìm không chứa x là: C7 4 Bài 281:Tìm số hạng chứa x 8 trong ( ) n biết =7(n+3) (n nguyên dương) = = = = từ giả thiết ta có: (n+2)(n+4)-(n+1)(n+2)=42 n=12 Vậy chúng ta có: ( ) 12 Số hạng tổng quát: C12 k C12 k x -36+12k = C12 k Yêu cầu đề bài k= 8 Đáp số: C12 8 Bài 282: Tìm hệ số của x 8 : (1+2x 3 ) 8 (1+x 2 ) 7 (1+2x 3 ) 8 có các hệ số x 0 ,x 3 ,x 6 ,……..x 24 (1+x 2 )7 có các hệ số x 0 , x 2 ,x 4 ,x 6 ,x 8 ,……..x 14 Số hạng chứa x 8 : C8 0 (1) 8 (2x 3 ) 0 C7 4 (1) 3 (x 2 ) 4 +C8 2 (1) 6 (2x 3 ) 2 C7 1 (1) 6 (x 2 ) 1 Hệ số của x 8 : C8 0 C7 4 +2 2 C8 2 C7 1 Bài 283: Cho tập hợp A={a,b,c,d},B={b,d,e},C={a,b,e}.Chứng minh: 1) A∩(B∖C)=(A∩B)∖(A∩C) 2) A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C). Giải: 1) Ta có: B∖C={d},A∩B={b,d},A∩C={a,b} ⇒ (A∩B)∖(A∩C)=d. Suy ra: A∩(B∖C)={d},(A∩B)∖(A∩C)={d} Vậy: A∩(B∖C)=(A∩B)∖(A∩C) 2) Ta có: (B∩C)={b,e},A∖B={a,c},A∖C={c,d} Suy ra: A∖(B∩C)={a,c,d} ; (A∖B)∪(A∖C)={a,c,d} Vậy: A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C). Bài 284: Cho các tập hợp: A={a,b},B={1,2,3},C={b,c},D={2,3,4}. Tìm (A∪B)∩(C∪D). Giải: _Ta có: A∪B={a,b,1,2,3}; C∪D={b,c,2,3,4} Vậy: (A∪B)∩(C∪D)={b,2,3} Bài 285: Cho các tập hợp: A={a,b},B={1,2,3},C={b,c},D={2,3,4}. Tìm (A∩B)∪(C∩D). _Ta có: A∩B=∅,C∩D=∅ Vậy: (A∩B)∪(C∩D)=∅. Bài 286: Gọi A là tập hợp các học sinh của một lớp học có 53 học sinh, B và C lần lợt là tập các học sinh thích môn Toán, tập các học sinh thích môn Văn của lớp này. Biết rằng có 40 học sinh thích môn Toán và 30học sinh thích môn Văn. Hãy biểu diễn A,B,C dưới dạng biểu đồ. Tìm số phần tử lớn nhất và bé nhất có thể có của tập hợpB∩C. Giải: Gọi x là số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán. Ta có biểu đồ như hình vẽ ở trang bên. * Số học sinh nhiều nhất thích cả hai môn là 30 em (lúc đó, tất cả 30 em thích môn Văn đều thích môn Toán). Do vậy, số phần tử lớn nhất có thể có của tập hợp B∩C là 30. * Ta có: 40+(30−x)≤ 53 hay x≥17. Vậy số phần tử bé nhất có thể có của tập hợp B∩C là 17 Bài 287: Cho 1 { ; }A a b , 2 3{ ; }, {1;2}A c d A  . Khi đó: 1 2 3 {( ; ;1),( ; ;1),( ; ;2),( ; ;2),( ; ;1),( ; ;2),( ; ;1),( ; ;2)}A A A a c a d a c a d b c b c b d b d   Bài 288: Cuối tuần thư giãn nên A muốn xem một bộ phim. Biết rằng A đã mượn được 5 cuốn phim Nhật, 3 cuốn phim Hàn và 1 cuốn phim Mỹ. Hỏi A có bao nhiêu cách chọn? Gọi Vì Vậy A có 9 cách chọn Bài 289: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2 Giải. Gọi số có 3 chữ số là abc TH1: c=0. Khi đó c có 1 cách chọn a có 5 cách chọn ( a X\{0} ) b có 4 cách chọn ( b X\{a, 0} ) TH1 có 1.4.5 =20 TH2: c≠0. Khi đó c có 2 cách chọn a có 4 cách chọn ( a X\{c, 0} ) b có 4 cách chọn ( b X\{a, c} ) TH2 có 2.4.4 =32 Vậy có 20+32 =52 Bài 290: Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người Giải. Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp B là những học sinh học Tiếng Anh Khi đó. Số học sinh của lớp là |A B |. Theo nguyên lý bù trừ ta có |A B|= |A|+|B| - |A B|=24+26-15=35 Bài 291: Từ các chữ số 1-6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt mà hai số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau. Giải Xét trường hợp 1 đứng trước 2, ta có 4 cách sắp xếp. Các số còn lại có 4*3*2 cách xếp Xét trường hợp 2 đứng trước 1, ta cũng làm tương tự Vậy có 4*4*3*2*2=192 cách Bài 292: Cấp bậc quân hàm của sĩ quan có 8 cấp bậc từ thiếu úy đến đại tá. Vậy trong một đơn vị có 9 sĩ quan thì sẽ có ít nhất bao nhiêu người cùng cấp bậc. Theo định lý ta có . Vậy có ít nhất 2 người cùng cấp bậc Bài 293: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 1 nhóm 3 người sao cho có ít nhất là 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách: +Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 2 nam: -Bước 1: Chọn 1 trong 3 nữ có 3 cách -Bước 2: Chọn 2 trong 5 nam có cách Vậy có 3 cách +Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 1 nam: -Bước 1: Chọn 2 trong 3 nữ có cách -Bước 2: Chọn 1 trong 5 nam có 5 cách Vậy có 5 cách +Trường hợp 3: Chọn 3 nữ có 3 có 1 cách Vậy tổng cộng có 1 + 3 + 5 = 46 cách chọn. Bài 294: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau(mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu: a) Các bông hoa khác nhau? b) Các bông hoa như nhau? Giải: a) Đánhsố 3 bông hoa 1, 2, 3. Chọn 3 trong 5 lọ để cắm hoa. Mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy số cách cắm là 60 cách. b) Nếu các bông hoa là như nhau thì mỗi cách cắm là một tổ hợp chập 3 của 5 (lọ). Vậysố cách cắm là: 10 cách. Bài 295: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Số hạng tổng quát trong khai triển = là: = Số hạng không chứa x ứng với 18-2k = 0 k = 9. Bài 296: Tính tổng sau: S = - 2 + - +…+ - Ta có khai triển: - 2 + - +…+ - Vậy S = -1. Bài 297: Tìm số hạng trong khai triển Số hạng tổng quát trong khai triển là Số hạng chứa ứng với 40 – k = 37 k = 3 Vậy số hạng cần tìm là = Bài 298: Có 3 loại nón A, B, C. An mua 2 cái nón. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn. Ta có mỗi cách chọn là mỗi tổ hợp lặp chập 2 của 3. Cụ thể AA, AB, AC, BB, BC, CC Bài 299: Giả sử n và k là 2 số nguyên dương sao cho . Chứng minh rằng là một số nguyên Xét n ký hiệu . Theo định lý ta có số hoán vị của n ký hiệu này là: Suy ra là một số nguyên Bài 300: Từ các chữ số 1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3. Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau. Áp dụng hoán vị lặp ta có: số.