Chuyên đề Tri thức hàm số - Phương pháp giảng dạy - Nghiên cứu trường sinh thái của tri thức khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

à thò) coù thôøi löôïng 18 tieát rieâng baøi Khaûo saùt haøm soá vaø veõ ñoà thò thì ñöôïc phaân boá trong 4 tieát. ÔÛ caùc kì thi cuûa lôùp 12, trong ñeà thi toaùn haàu nhö luoân coù 2 ñieåm hoaëc 1 ñieåm daønh cho khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá. Vieäc nghieân cöùu haøm soá ñöôïc coi laø nhieäm vuï chuû yeáu suoát chöông trình baäc Toaùn phoå thoâng trung hoïc (Nguyeãn Baù Kim, Phöông phaùp daïy hoïc Toaùn, nxb. Ñaïi hoïc sö phaïm, 2002, tr.93). Noäi dung veà haøm soá ñöôïc traõi ra trong caû 3 lôùp 10, 11, 12. Maëc duø laø vaán ñeà cô baûn trong moân toaùn nhöng hoïc sinh vaãn coøn thaáy khoù khaên vaø deã loän caùc daïng vôùi nhau. Ngoaøi ra coù khoâng ít hoïc sinh laøm moät caùch maùy moùc maø khoâng hieåu ñöôïc bao nhieâu vaø cuõng chaúng hieåu ñöôïc chuùng öùng duïng ñeå laøm gì. Vieäc nghieân cöùu seõ giuùp toâi: hieåu ñöôïc saâu saéc hôn veà noäi dung seõ daïy sau naøy, coù nhöõng nhaän ñònh saâu saéc hôn veà chöông trình toaùn phoå thoâng. 2) Muïc ñích nghieân cöùu : Nghieân cöùu ñaëc tröng khoa hoïc luaän cuûa tri thöùc "khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá". Nghieân cöùu nhöõng chöôùng ngaïi cuûa hoïc sinh. 3) Heä caâu hoûi nghieân cöùu : Lòch söû hình thaønh cuûa vieäc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá ra sao? Ñaëc tröng khoa hoïc luaän cuûa tri thöùc "khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá" laø gì? AÛnh höôûng cuûa saùch giaùo khoa ñeán quan nieäm cuûa hoïc sinh veà tri thöùc nhö theá naøo? 4) Phöông phaùp nghieân cöùu : Nghieân cöùu lòch söû coù lieân quan ñeán noäi dung khaûo saùt haøm soá. Tìm hieåu vaø phaân tích noäi dung naøy vaø nhöõng noäi dung coù lieân quan trong caùc saùch giaùo khoa moät soá thôøi kì. Tìm hieåu caùc tö lieäu coù lieân quan (chaúng haïn nhö saùch giaùo vieân,…) Tieán haønh thöïc nghieäm: tìm hieåu hieän traïng vieäc daïy vaø hoïc noäi dung khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá noùi rieâng cuõng nhö daïy vaø hoïc moân toaùn noùi chung treân caùc baùo ñaøi, internet vaø thoâng qua khaûo saùt thöïc teá,… Nghieân cöùu nhöõng aûnh höôûng cuûa saùch giaùo khoa leân quan nieäm vaø sai laàm cuûa hoïc sinh. 5) Phaïm vi cuûa ñeà taøi : Do ñeà taøi ñöôïc nghieân cöùu ôû ñaây chæ coù quy moâ laø moät baøi tieåu luaän nhoû neân chaéc raèng khoâng theå nghieân cöùu saâu ñöôïc veà vaán ñeà naøy maø chæ xin ñi vaøo moät soá phaàn troïng taâm. Noäi dung ñöôïc tìm hieåu trong baøi tieåu luaän chæ giôùi haïn laø ôû baøi "Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá" chöù khoâng ñi vaøo töøng phaàn cuï theå nhö tìm giaù trò lôùn nhaát nhoû nhaát, tính loài loõm, ñieåm uoán, tieäm caän,… Vieäc tìm hieåu noäi dung naøy chæ coøn haïn heïp trong moät soá tö lieäu, saùch vôû, thoâng tin neân seõ khoù traùnh khoûi nhöõng sai soùt veà noäi dung ñöôïc trình baøy. II/ Lòch söû hình thaønh vaø phaùt trieån cuûa tri thöùc haøm soá vaø vieäc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá 1 Coù söï toång hôïp vaø tham khaûo ôû caùc taøi lieäu sau:-Töø ñieån toaùn hoïc phoå thoâng,nxb. giaùo duïc - PPGD, thaày Nguyeãn Vaên Vónh (khoa Toaùn-Ñaïi hoïc sö phaïm TP.HCM) -Nhöõng nhaø toaùn hoïc trieát hoïc, Nguyeãn Cang, nxb. Ñaïi hoïc quoác gia - Caâu chuyeän toaùn hoïc veà baøi toaùn Fermat,Traàn Vaên Nhung, Ñoã Trung Haäu, Nguyeãn Kim Chi dòch, nxb. giaùo duïc : Khaùi nieäm haøm xuaát hieän ñaàu tieân vaøo theá kæ thöù 10 tröôùc CN (Babilon) Töø khi khaùi nieäm soá thöïc ñöôïc hình thaønh, noù ñaõ laøm xaùc laäp moái quan heä hoaøn haûo veà maët logic giöõa soá vaø ñieåm trong hình hoïc. Ñoù laø luaän cöù hình thöùc daãn Descartes (giöõa theá kæ 17) ñeán yù töôûng ñöa toaùn hoïc heä toaï ñoä vuoâng goùc vaø bieåu dieãn haøm soá baèng ñoà thò trong heä toaï ñoä aáy. Khaùi nieäm haøm soá ñaõ taïo ra söï phaùt trieån maïnh meõ cuûa toaùn hoïc, caùc ngaønh toaùn hoïc môùi ñöôïc ra ñôøi, maø ñaàu tieân ñoù chính laø giaûi tích toaùn hoïc. Vaøo theá kæ 17, giaûi tích toaùn hoïc laø taäp hôïp caùch giaûi nhöõng baøi toaùn rieâng leû vaø rôøi raïc. Chaúng haïn, pheùp tính tích phaân, ñoù laø baøi toaùn tính dieän tích caùc hình, theå tích caùc vaät giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng cong, coâng chuyeån dôøi cuûa löïc,...Vaøo thôøi ñieåm naøy, caùc nhaø toaùn hoïc cuõng coù söï quan taâm ñeán caùc ñoà thò cuûa haøm soá ñeå töø ñoù coù theâm coâng cuï maø giaûi quyeát caùc baøi toaùn veà phöông trình baäc cao (Decarters ñaõ töøng döïng nghieäm cuûa phöông trình baäc 3 vaø baäc 4 baèng caùch cho giao nhau giöõa hai ñöôøng cong). Tuy nhieân ñeán luùc naøy do giaûi tích chöa phaùt trieån maïnh neân vieäc khaûo saùt haøm soá cuõng nhö nghieân cöùu ñoà thò cuûa chuùng laø coøn nhieàu haïn cheá. Giaûi tích toaùn hoïc, nhö moät nhaát theå coù heä thoáng chæ ñöôïc hình thaønh nhôø caùc coâng trình cuûa Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, vaø caùc nhaø baùc hoïc khaùc cuûa theá kæ 17-18, vaø neàn taûng cuûa noù chính laø lí thuyeát giôùi haïn-ñöôïc Cauchy hoaøn thieän vaøo ñaàu theá kæ 19. Trong giaûi tích toaùn hoïc coå ñieån, ñoáùi töôïng nghieân cöùu (khaûo saùt) chuû yeáu laø caùc haøm soá. Söï phaùt trieån cuûa giaûi tích toaùn hoïc ñöa tôùi khaû naêng nghieân cöùu nhöõng ñoái töôïng coøn phöùc taïp hôn haøm soá (phieán haøm, toaùn töû). Nhôø giaûi tích toaùn hoïc-ngaønh toaùn nghieân cöùu caùc haøm soá maø caùc ngaønh kæ thuaät vaø töï nhieân ñaõ söû duïng noù nhö moät coâng cuï ñaéc löïc ñeå giaûi quyeát nhieàu vaán ñeà. Töø ñoù taïo neân söï phaùt trieån cho ngaønh giaûi tích. Ngaønh giaûi tích toaùn hoïc hieän nay laø moät maûng raát lôùn cuûa toaùn hoïc, noù bao goàm caùc boä moân toaùn khaùc nhau nhö : pheùp tính vi phaân, pheùp tính tích phaân. Pheùp tính vi phaân nghieân cöùu ñaïo haøm vaø vi phaân cuûa haøm soá ñeå öùng duïng nghieân cöùu haøm soá. Vieäc hình thaønh noù gaén lieàn vôùi teân tuoåi cuûa 2 nhaø toaùn hoïc Newton vaø Leibniz. Nhôø caùc phöông phaùp cuûa pheùp tính vi phaân, caùc meänh ñeà aáy cho pheùp nghieân cöùu chi tieát daùng ñieäu cuûa haøm coù ñuû tính trôn (töùc ñaïo haøm baäc ñuû cao). Nhö vaäy coù theå xaùc ñònh ñoä trôn, taêng giaûm cuûa haøm, caùc cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu (cöïc trò), ñoä loài vaø loõm...Nghieân cöùu haøm soá baèng caùch söû duïng ñaïo haøm laø öùng duïng cô baûn cuûa pheùp tính vi phaân. Pheùp tính vi phaân ñaëc bieät thuaän tieän trong vieäc khaûo saùt caùc haøm sô caáp, bôûi vì ñaïo haøm cuûa chuùng cuõng laø nhöõng haøm sô caáp. Trong coâng trình cuûa Fermat "Khaùi luaän veà nghieân cöùu caùc vò trí phaúng vaø ñaëc" (1636) coù noùi : veà moái quan heä haøm soá vôùi ñoà thò bieåu dieãn noù ("vò trí" cuûa Fermat coù nghóa laø ñöôøng). 1637, caùc nhaø toaùn hoïc nghieân cöùu caùc ñöôøng, döïa vaøo phöông trình cuûa chuùng trong hình hoïc cuûa Descartes. Nhaø baùc hoïc Anh Barrow ("Baøi giaûng veà hình hoïc", 1670), döôùi daïng hình hoïc, ñaõ xaùc laäp tính ngöôïc ñaûo qua laïi giöõa pheùp tính vi phaân vaø tích phaân (dó nhieân, khoâng söû duïng caùc thuaät ngöõ nhö vaäy). Ñieàu treân chöùng minh raèng hoï naém khaùi nieäm haøm soá raát roõ raøng. Veà khaùi nieäm naøy, chuùng ta coøn tìm thaáy ôû Newton, döôùi daïng hình hoïc vaø cô hoïc. Nhöng thuaät ngöõ "haøm soá" chæ xuaát hieän laàn ñaàu tieân vôùi Leibniz, naêm 1692, song cuõng khoâng hoaøn toaøn nhö chuùng ta hieåu ngaøy nay veà khaùi nieäm aáy. Leibniz goïi haøm soá laø nhöõng ñoaïn khaùc nhau, coù lieân heä vôùi moät ñöôøng cong naøo ñoù (chaúng haïn nhö hoaønh ñoä caùc ñieåm cuûa noù). Trong giaùo trình in ñaàu tieân "Giaûi tích voâ cuøng beù" cuûa nhaø toaùn hoïc Phaùp L'Hospital (1696) cuõng khoâng thaáy söû duïng thuaät ngöõ "haøm soá". Ñònh nghóa ñaàu tieân cuûa haøm soá, gaén vôùi quan ñieåm hieän ñaïi, laø cuûa Johnann Bernouilli (1781) : "Haøm soá laø ñaïi löôïng goàm coù bieán soá vaø haèng soá". Trong chieàu saâu cuûa ñònh nghóa chöa thaät hoaøn chænh aáy laø yù töôûng bieåu dieãn haøm soá baèng coâng thöùc giaûi tích. Trong cuoán "Nhaäp moân giaûi tích voâ cuøng" (1784), Euler, khi phaùt bieåu ñònh nghóa aáy, cuõng noùi leân yù töôûng nhö vaäy : "Haøm soá cuûa moät ñaïi löôïng bieán thieân laø bieåu thöùc giaûi tích bao goàm löôïng bieán thieán aáy vaø caùc soá hoaëc caùc ñaïi löôïng khoâng ñoåi". Kí hieäu hieän ñaïi cho haøm soá laø f(x) cuõng ñöôïc Euler ñeà xuaát naêm 1734. Nöûa ñaàu theá kæ 19, do söï phaùt trieån cuûa khoa hoïc ñoøi hoûi phaûi môû roäng khaùi nieäm haøm, daáu hieäu ñaëc tröng cuûa haøm soá laø söï töông öùng giöõa caùc giaù trò cuûa 2 ñaïi löôïng. Minh hoaï ñoà thò cuûa phöông trình elliptic Töø ñaàu theá kæ 19, ngöôøi ta thöôøng ñònh nghóa haøm soá maø khoâng nhaéc gì ñeán caùch bieåu dieãn giaûi tích cuûa noù. Trong cuoán "Lí thuyeát giaûi tích veà nhieät" cuûa nhaø baùc hoïc Phaùp Fourrier (1822) coù caâu : "Haøm f(x) bieåu dieãn moät haøm hoaøn toaøn tuyø yù, töùc laø moät daõy giaù trò ñaõ cho, (tuaân theo hay khoâng tuaân theo ñònh luaät chung) töông öùng vôùi moïi trò x, ôû giöõa 0 vaø ñaïi löôïng naøo ñoù cuûa x". 1834, Lobasepxki ñöa ra khaùi nieäm haøm soá nhö sau: "Haøm soá cuûa bieán soá x laø soá ñöôïc cho vôùi moãi giaù trò x vaø bieán thieân cuøng vôùi x. Giaù trò cuûa haøm soá coù theå ñöôïc cho baèng moät bieåu thöùc giaûi tích hoaëc baèng ñoà thò cho pheùp thöû taát caû caùc giaù trò". Ñeán 1837, Dirichlet ñöa ra khaùi nieäm: "y laø haøm soá cuûa x neáu vôùi moãi giaù trò cuûa x thì töông öùng vôùi moät giaù trò hoaøn toaøn xaùc ñònh cuûa f, coøn söï töông öùng ñoù xaùc ñònh baèng caùch naøo thì khoâng quan troïng". Nhaän xeùt : Ta thaáy khaùi nieäm haøm soá traõi qua moät thôøi kì bieán ñoåi khaù daøi vaø vieäc nghieân cöùu (khaûo saùt haøm soá) chæ môùi ñöôïc nghieân cöùu moät caùch chính quy vaø baøi baûn trong vaøi theá kæ naøy. Trong lòch söû thì söï nghieân cöùu vaø phaùt trieån khaùi nieäm haøm soá vaø vieäc khaûo saùt, veõ ñoà thò cuûa noù ñeàu laø do nhu caàu thöïc teá trong toaùn hoïc. Nhöng khi kieán thöùc ñoù phaùt trieån ñeán moät möùc nhaát ñònh thì noù seõ trôû thaønh moät coâng cuï ñaéc löïc ñeå söû duïng vaøo ñôøi soáng thöïc teá (xin coi theâm phaàn öùng duïng). Khi ñaïo haøm ra ñôøi thì noù laø moät coâng cuï ñaéc löïc (hieän ñaïi) cho vieäc khaûo saùt haøm soá, nhôø coâng cuï ñaïo haøm maø chuùng ta coù nhieàu thoâng tin hôn veà moät haøm soá hoaëc ñoà thò cuûa chuùng so vôùi luùc chöa coù coâng cuï ñaïo haøm thì chæ hoaøn toaøn nghieân cöùu moät caùch sô caáp. Ñoù cuõng chính laø söï khaùc bieät giöõa vieäc nghieân cöùu haøm soá vaø ñoà thò ôû caáp 2 vôùi vieäc nghieân cöùu haøm soá vaø ñoà thò ôû caáp 3. Ñieàu naøy seõ ñöôïc phaân tích kæ hôn trong phaàn döôùi. III/ Noäi dung khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá trong chöông trình phoå thoâng : 1) Muïc ñích ñöa vaøo : Trong khoa hoïc toaùn coù 4 nhoùm ngoân ngöõ chính : nhoùm ngoân ngöõ duøng kí hieäu, nhoùm ngoân ngöõ duøng lôøi, nhoùm ngoân ngöõ ñoà thò. Noäi dung khaûo saùt haøm soá gaén chaët vôùi vieäc söû duïng ngoân ngöõ ñoà thò cuûa toaùn hoïc. Do ñoù vieäc ñöa khaûo saùt haøm soá vaøo khoâng ngoaøi muïc ñích giuùp cho hoïc sinh coù theå hieåu saâu saéc hôn veà ngoân ngöõ ñoà thò cuûa toaùn vaø cuõng coù naêng löïc laøm vieäc treân ñoà thò, moät kó naêng quan troïng trong ñôøi soáng. Vieäc nghieân cöùu haøm soá ñöôïc coi laø nhieäm vuï chuû yeáu cuûa chöông trình baäc phoå thoâng trung hoïc, nhieàu phaàn kieán thöùc trong toaùn lieân quan chaët cheõ quan ñeán haøm soá (phöông trình, caáp soá, giôùi haïn, haøm soá löôïng giaùc …). Do ñoù vieäc ñöa phaàn khaûo saùt haøm soá vaøo chöông trình toaùn ñaõ goùp phaàn hoaøn thaønh nhieäm vuï naøy. Khaûo saùt haøm soá chính laø söï toång hôïp cuûa nhieàu phaàn kieán thöùc ñaõ hoïc ôû lôùp 10, 11 vaø 12. Neân vieäc ñöa noù vaøo nhö laø söï cuûng coá vaø phaùt trieån hôn caùc kieán thöùc ñoù. Laø coâng cuï ñaéc löïc ñeå giaûi quyeát moät soá vaán ñeà khaùc cuûa toaùn hoïc maø neáu khoâng söû duïng kieán thöùc naøy thì vieäc giaûi quyeát seõ voâ cuøng khoù khaên vaø phöùc taïp (vaán ñeà veà phöông trình, baát ñaúng thöùc…) 2) Tìm hieåu sô neùt veà thuaät ngöõ coù lieân quan : Döôùi ñaây ta seõ tìm hieåu sô neùt veà caùc khaùi nieäm sau : haøm so á Theo nhaø toaùn hoïc Nga noåi tieáng Khinchin thì khoâng coù khaùi nieäm naøo coù theå phaûn aùnh ñöôïc nhöõng hieän töôïng cuûa thöïc teá khaùch quan moät caùch tröïc tieáp vaø cuï theå nhö töông quan haøm , ñoà thò cuûa haøm soá vaø söï bieán thieân. Caùc khaùi nieäm döôùi ñaây ñöôïc trích daãn theo thöù töï trong taøi lieäu sau : Töø ñieån toaùn hoïc (Hoaøng Höõu Nhö, Leâ Ñình Thònh, Hoaøng Tuïy), nxb. khoa hoïc kæ thuaät Töø ñieån toaùn hoïc thoâng duïng (Ngoâ Thuùc Lanh, Ñoaøn Quyønh, Nguyeãn Ñình Trí), nxb. giaùo duïc Saùch giaùo khoa lôùp 10 ( Traàn Vaên Haïo-Cam Duy Leã), nxb. giaùo duïc, 2000 Haøm soá  Haøm : phaàn töû cuûa moät taäp hôïp Ey (baûn chaát baát kì) ñöôïc goïi laø haøm cuûa moãi phaàn töû x, xaùc ñònh treân moät taäp hôïp Ex, neáu moãi phaàn töû x cuûa taäp Ex ñöôïc ñaët töông öùng vôùi moät phaàn töû duy nhaát cuûa taäp Ey. Neáu Ex vaø Ey laø nhöõng taäp hôïp soá thöïc naøo ñoù, thì ta coù haøm soá bieán soá thöïc hay goïi ñôn giaûn laø haøm soá. Haøm : laø khaùi nieäm cô baûn cuûa toaùn. Cho moät haøm laø cho : 1) Moät taäp hôïp A laø goïi taäp nguoàn 2) Moät taäp hôïp B, khoâng nhaát thieát laø A, goïi laø taäp ñích 3) Moät quy taéc cho töông öùng vôùi moãi phaàn töû cuûa A thì cho nhieàu nhaát moät phaàn töû cuûa B (hoaëc khoâng coù phaàn töû naøo cuûa B, hoaëc coù duy nhaát moät phaàn töû cuûa B) Neáu taäp ñích cuûa moät haøm laøthì haøm ñoù ñöôïc goïi laø haøm soáCho D laø taäp con khaùc roãng cuûa . Moät haøm soá xaùc ñònh treân D laø moät quy taéc cho töông öùng vôùi moãi phaàn töû x D coù moät vaø chæ moät soá thöïc y. Khi ñoù ta kí hieäu f(x) laø giaù trò cuûa haøm soá taïi x.Ñoà thò cuûa haøm soáÑoà thò cuûa haøm soá : y=f(x) (cuûa bieán soá thöïc x) laø quyõ tích caùc ñieåm cuûa maët phaúng maø caùc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc cuûa chuùng thoaû maõn ñaúng thöùc y=f(x)Ñoà thò cuûa haøm soá moät bieán soá : laø taäp hôïp (quyõ tích) caùc ñieåm M(x,y) cuûa maët phaúng coù caùc toaï ñoä (x,y) trong heä toaï ñoä Oxy thoaû maõn heä thöùc y=f(x), xÑoà thò cuûa haøm soá laø taäp hôïp taát caû nhöõng ñieåm M(x,y) trong maët phaúng toaï ñoä Oxy vôùi xD vaø y=f(x)Söï bieán thieânSöï bieán thieân cuûa haøm soá : söï ñôn ñieäu cuûa haøm soá Söï bieán thieân cuûa haøm soá : söï thay ñoåi giaù trò cuûa haøm soá Söï bieán thieân cuûa haøm soá : söï ñoàng bieán (taêng) hoaëc nghòch bieán (giaûm) cuûa haøm soáMoät soá phaân tích veà caùc thuaät ngöõ treân : Ba ñònh nghóa treân veà haøm ñeàu xem haøm nhö moät quy taéc hay söï töông öùng, ñoù laø moät trong nhöõng kieåu ñònh nghóa thoâng duïng vaø thöôøng duøng trong nhöõng saùch giaùo khoa phoå thoâng cuûa ta. Ñeå thaáy ñöôïc söï töông töï, ôû ñaây seõ giôùi thieäu moät soá caùc ñònh nghóa veà haøm khaùc trong caùc saùch giaùo khoa phoå thoâng ôû Vieät Nam: Ñaïi soá lôùp 10. Saùch boå tuùc vaên hoaù 1975: "Ñaïi löôïng y ñöôïc goïi laø haøm soá cuûa ñaïi löôïng x neáu vôùi moãi giaù trò cuûa x trong khoaûng bieán thieân cuûa noù thì töông öùng vôùi moät giaù trò xaùc ñònh cuûa ñaïi löôïng y, x ñöôïc goïi laø ñoái soá". Ñaïi soá lôùp 7. Hoaøng Xuaân Sính 1987: "Giaû söû X, Y laø 2 taäp hôïp soá. Moät haøm soáù f töø X ñeán Y laø moät quy taéc cho töông öùng moãi giaù trò x thuoäc X moät vaø chæ moät giaù trò y thuoäc Y maø ta kyù hieäu laø f(x)". Coù moät soá saùch nöôùc ngoaøi thì chæ ñöa ra khaùi nieäm haøm (toång quaùt) maø khoâng ñöa ra khaùi nieäm haøm soá moät caùch töôøng minh. Chaúng haïn nhö: Theo Helena Rasiowa: Cô sôû cuûa toaùn hoïc hieän ñaïi, Haø Noäi 1987 Ñònh nghóa haøm aùnh xaï thoâng qua taäp tích Ñeàcaùc vaø quan heä hai ngoâi: "Neáu moät quan heä hai ngoâi FXxY thoaû maõn ñieàu kieän sau ñaây: vôùi moïi x thuoäc X coù ñuùng moät y thuoäc Y sao cho xFy thì F goïi laø moät haøm aùnh xaï X vaøo Y". Ñònh nghóa haøm soá theo saùch Mathematic Methods, Patric Tobin, "aán baûn cuûa Ñaïi hoïc OXFORD"Taïm dòch töø cuïm töø "OXFORD UNIVERSITY PRESS" . (Ñeå ñaûm baûo tính chính xaùc, ôû ñaây xin giôùi thieäu nguyeân vaên tieáng Anh) "A function f from a set A to a set B is a rule that assigns to each element x in the set A exactly one element y in the set B. The set A is called the domain of f, and the set B is called the co-domain, which contains the range of f " ÔÛ ñònh nghóa treân khoâng ñeà caäp ñeán taäp soá. Sau ñoù taùc giaû ñöa ra baøi taäp lieân quan ñeán nhöõng haøm maø A, B laø nhöõng taäp soá maø khoâng ñöa theâm ñònh nghóa gì môùi. Vaø thuaät ngöõ "function" ñöôïc duøng luoân cho caû haøm soá. Phaân tích rieâng veà caùc ñònh nghóa trong saùch giaùo khoa phoå thoâng hieän haønh (ñònh nghóa thöù 3 treân baûng) Caùc khaùi nieäm treân giöõa saùch giaùo khoa vaø töø ñieån toaùn hoïc ñöôïc khaù oån ñònh khoâng coù söï khaùc bieät lôùn qua ñoù ta thaáy trong saùch giaùo khoa hieän haønh thì caùc khaùi nieäm treân coù tính chính xaùc cao nhöng vaãn mang ñöôïc tính sö phaïm (ngaén goïn, deã hieåu, phuø hôïp vôùi söï tieáp thu cuûa hoïc sinh vaø vì hoïc sinh ñaõ ñöôïc ñaõ coù vaøi neùt caùc khaùi nieäm naøy khi hoïc ôûcaáp 2). Theo thaày Nguyeãn Vaên Vónh (khoa Toaùn-Ñaïi hoïc sö phaïm TP.HCM) thì "ñieàu naøy hoaøn toaøn töï nhieân vì baát cöù giaùo trình toaùn phoå thoâng naøo, trong khi ñaùp öùng ñoøi hoûi veà tính khoa hoïc thì cuõng khoâng theå ñöôïc xaây döïng neáu thieáu söï tính toaùn tôùi ñaëc ñieåm taâm lí, khaû naêng cuûa ngöôøi hoïc". Ñònh nghóa veà haøm soá vaø ñoà thò cuûa haøm soá gaén lieàn vôùi lyù thuyeát taäp hôïp maø hoïc sinh ñaõ ñöôïc hoïc baét ñaàu ôû lôùp 6 vaø nhaéc laïò, môû roäng ôû lôùp 10. Khaùi nieäm haøm ôû treân ñöôïc ñònh nghóa thoâng qua khaùi nieäm loaïi vaø neâu roõ thuoäc tính ñaëc tröng cuûa chuûng, coù khaùi nieäm daãn xuaát laø "quy taéc" ñöôïc xem nhö laø khaùi nieäm ban ñaàu khoâng ñöôïc ñònh nghóa. Trong saùch chænh lí hôïp nhaát naêm 2000 naøy thì ñònh nghóa ñaõ ñöôïc söûa chöõa laïi neân trong ñònh nghóa coù söï phaân bieät giöõa 2 kí hieäu ñoù laø kí hieäu haøm soá "f" vaø kí hieäu veà giaù trò cuûa haøm soá f(x). Tröôùc khi chænh lí, khaùi nieäm ñöôïc vieát trong SGK Saùch giaùo khoa nhö sau: "Cho D laø moät taäp con cuûa taäp hôïp R caùc soá thöïc, ta goïi haøm soá f(x) vôù mieàn xaùc ñònh D (coøn goïi la taäp xaùc ñònh) laø moät quy taéc cho töông öùng moãi soá thöïc x thuoäc D vôùi moät soá thöïc duy nhaát f(x) thuoäc R, x goïi laø bieán soá f(x) goïi laø giaù trò cuûa haøm soá taïi x. Ta thöôøng vieát y=f(x) vaø thay vì goïi haøm soá f(x), ta coøn goïi laø haøm soá y=f(x)". Khi ñoù, theo thaày Nguyeãn Vaên Vónh (khoa Toaùn-Ñaïi hoïc sö phaïm TP.HCM) thì "ñieàu naøy deã gaây mô hoà vaø khoù khaên cho ngöôøi daïy vaø caû ngöôøi hoïc khi trieån khai nghieân cöùu khaùi nieäm. Chaúng haïn, cuøng vôùi moät haøm soá vôùi bieåu thöùc giaûi tích y=f(x), khi thay x baèng caùc giaù trò cuï theå x1, x2 thì phaûi chaêng ôû ñaây coù 2 haøm soá f(x1), f(x2) hay ñang noùi ñeán caùc giaù trò x1, x2?" Trích trong Tö lieäu baøn Veà tuyeán haøm trong chöông trình caûi caùch giaùo duïc moân Toaùn 1992 Phaân tích söï khaùc bieät trong nhaän thöùc cuûa hoïc sinh khi hoïc haøm soá vaø ñoà thò ôû caáp 2 vaø caáp 3 Veà Taäp xaùc ñònh: (ÔÛ döôùi phaân tích döïa vaøo SGK Ñaïi soá 9, Ngoâ Höõu Duõng, Traàn Kieàu, 2002-taùi baûn laàn thöù 12, nxb. giaùo duïc) Caáp 2 : ÔÛ lôùp 9, saùch giaùo khoa nhaéc laïi khaùi nieäm haøm soá ôû lôùp 7 ñaõ hoïc. Qua ñoù hoïc sinh coù theå deã hôn trong vieäc tieáp caän kieán thöùc môùi veà ñoà thò vaø haøm soá. Hoïc sinh ñöôïc hoïc caùc khaùi nieäm coù lieân quan ñeán vieäc khaûo saùt haøm soá nhö "Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá", söï ñoàng bieán nghòch bieán. Luùc naøy, khaùi nieäm "Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá" chæ ñöôïc taùc giaû giôùi thieäu khaù haïn heïp qua 3 ví duï , , chöa coù phong phuù veà loaïi tìm taäp xaùc ñònh vaø caû baøi taäp trong saùch thì chæ döøng laïi vieäc xeùt tôùi nhöõng haøm soá ñôn giaûn. Trích baøi taäp trong SGK ÑS 9: "Tìm TXÑ cuûa haøm soá sau: Ñieàu naøy laø do hoïc sinh môùi hoïc ñeán nhöõng bieåu thöùc coù daïng bieåu thöùc höõu tæ (phaân thöùc)-ñöôïc hoïc ôû lôùp 8 hay laø bieåu thöùc voâ tæ maø hoïc sinh chæ môùi laøm quen ôû ñaàu naêm lôùp 9 (chöông trình cuõ, coøn chöông trình môùi hoïc sinh ñöôïc hoïc caên baäc hai ôû lôùp 7). Moät lí do khaùc laø hoïc sinh chöa hoïc saâu veà lí thuyeát taäp hôïp, maët duø coù hoïc ôû lôùp 6 nhöng ngay caû nhöõng pheùp giao, hôïp cuûa taäp hôïp thì SGK cuõng chöa giôùi thieäu cho hoïc sinh (theo SGK lôùp 6, Leâ Haûi Chaâu, nxb. giaùo duïc, 1999 (taùi baûn laàn thöù 12)). Sau khi giôùi thieäu tröïc tieáp vieäc tìm TXÑ Taäp xaùc ñònh cuûa 3 haøm soá taùc giaû ñi vaøo ngay traû lôøi caâu hoûi "Theá naøo laø tìm TXÑ cuûa moät haøm soá" maø cuõng khoâng ñöa ra ñònh nghóa TXÑ cuûa haøm soá. Taùc giaû vieát: "tìm TXÑ cuûa haøm soá y=f(x) laø tìm taát caû nhöõng giaù trò cuûa x sao cho bieåu thöùc f(x) coù nghóa". Caáp 3 : Hoïc sinh coù caùi nhìn hoaøn chænh hôn veà TXÑ khoâng chæ tìm TXÑ cuûa nhöõng haøm soá ñôn giaûn giôùi haïn bôûi 3 loaïi treân maø coøn coù nhöõng kieåu keát hôïp giöõa 2 loaïi vaø tìm TXÑ caû nhöõng haøm soá sieâu vieät. Chaúng haïn baøi taäp tìm TXÑ cuûa haøm soá maø hoïc sinh ñaõ gaëp ôû caáp 3 nhö sau: "Tìm TXÑ cuûa haøm soá , , " Ñieàu naøy laø do ñeán caáp 3 hoïc sinh ñöôïc hoïc lí thuyeát taäp hôïp (pheùp giao, hôïp, hieäu) moät caùch saâu saéc hôn. Thaät vaäy ta thaáy ôû 3 ví duï veà TXÑ beân treân thì ñeàu phaûi söû duïng khaùi nieäm giao cuûa 2 taäp hôïp, chaúng haïn nhö ôû ví duï ñaàu tieân giao cuûa 2 taäp hôïp vaø . Vaø moät lí do khaùc laø leân caáp 3 hoïc sinh môùi hoïc nhöõng haøm soá sieâu vieät. Veà caùc yeáu toá khaùc: Hoïc sinh môùi veõ vaø khaûo saùt nhöõng ñoà thò ñôn giaûn (haøm soá baäc nhaát vaø baäc hai. Ta xeùt caùch veõ ñoà thò cuûa haøm soá , ñaây laø moät ví duï trong SGK Ñaïi soá lôùp 9 1. Nhaän xeùt. Tröôùc heát ta neâu moät soá nhaän xeùt sau: a) Bieåu thöùc f(x)= luoân coù nghóa vôùi moïi . Vaäy haøm soá coù taäp xaùc ñònh laø R. b) f(x)= vôùi moïi : haøm soá luoân nhaän giaù trò aâm vôùi moïi , tröø khi x=0 thì y=0 laø giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá. Suy ra : Caùc ñieåm (x;y) cuûa ñoà thò haøm soá luoân naèm phía döùôi truïc hoaønh vaø nhaän ñieåm O(0,0) laø ñieåm "cao nhaát" cuûa ñoà thò. c)Vôùi moïi x1, x2 maø 0: haøm soá laø nghòch bieán trong R+ Töông töï thì vôùi x1 Laáy giaûi tích laøm coâng cuï ñeå giaûi quyeát baøi toaùn cô hoïc b) Theo chöông trình saùch giaùo khoa chænh lí hôïp nhaát 2000 (cuõng gaàn gioáng caáu truùc SGK 1995) (döïa treân SGK bieân soaïn cuûa caùc taùc giaû Ngoâ Thuùc Lanh vaø Traàn Vaên Haïo chuû bieân) Ñaõ ñöôïc ñöa vaøo treân cô sôû ñaõ ñöôïc tìm hieåu sô veà noäi dung haøm soá ôû lôùp 10 vaø lôùp 11 nhö : Lôùp 10 : khaùi nieäm haøm soá, TXÑ cuûa haøm soá, ñoà thò haøm soá, söï bieán thieân cuûa haøm soá, tính chaün leû cuûa haøm soá ñaõ ñöôïc hoïc veà xeùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm cô baûn nhö Parabol . Lôùp 11 : hoïc sinh ñöôïc hoïc veà haøm soá löôïng giaùc, tính lieân tuïc, giôùi haïn cuûa haøm soá. Trong saùch giaùo khoa Toaùn lôùp 12 vieäc ñöa baøi khaûo saùt haøm soá vaøo sau khi ñaõ ñöa vaøo nhöõng noäi dung coù lieân quan chaët cheõ nhö : ñaïo haøm, söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá, cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa haøm soá, tính loài loõm ñieåm uoán cuûa ñoà thò, tieäm caän cuûa ñoà thò. c) Theo chöông trình phaân ban thí ñieåm ñang ñöôïc thöïc hieän (caên cöù treân Khung chöông trình phaân ban moân toaùn cuûa Boä giaùo duïc ñaøo taïo) : Lôùp 10 : haøm soá (khaùi nieäm, ñoà thò, ñôn ñieäu, tính chaün, leû), "khaûo saùt" haøm soá baäc nhaát, baäc 2. Lôùp 11 : giôùi haïn, lieân tuïc, ñaïo haøm. Lôùp 12 : tính ñôn ñieäu, cöïc trò, giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát, ñoà thò, ñöôøng tieäm caän, khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá. Nhaän xeùt : ôû 3 moác chöông trình caûi caùch giaùo duïc nhö treân ta thaáy caáu truùc chöông trình cuûa phaàn khaûo saùt haøm soá vaø nhöõng vaán ñeà coù lieân quan chaët cheõ ñeán khaûo saùt haøm soá laø coù söï thay ñoåi ñaùng keå caøng ngaøy thì nhöõng vaán ñeà lieân quan ñeán khaûo saùt haøm soá caøng ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình lôùp döôùi (10, 11). Ngaøy caøng phaùt trieån, do ñoù ñeå theo kòp söï phaùt trieån aáy thì coù moät soá vaán ñeà môùi ñöôïc ñöa vaøo trong saùch giaùo khoa => kieán thöùc coù xu höôùng doàn xuoáng lôùp döôùi. Caáu truùc chöông trình theo kieåu traõi roäng trong 2 boä saùch 2000 vaø thí ñieåm giuùp cho hoïc sinh khoâng quaù ñoät ngoät khi tieáp xuùc vôùi noäi dung kieán thöùc khaûo saùt haøm soá. ÔÛ saùch giaùo khoa 74-75 thì vieäc ñöa vaøo nguyeân moät phaàn kieán thöùc veà haøm soá vaø khaûo saùt haøm soá giuùp baûo ñaûm tính lieân tuïc cuûa kieán thöùc, vaø traùnh tình traïng hoïc sinh seõ queân phaàn kieán thöùc cuõ coù lieân quan (giôùi haïn haøm soá, tính lieân tuïc, khaùi nieäm haøm soá, ñoà thò,....) khi hoïc leân lôùp treân. Thöïc ra thì ôû chöông khoâng phaûi leân caáp 3 hoïc sinh môùi gaëp thuaät ngöõ haøm soá maø hoïc sinh ñaõ ñöôïc laøm quen vôùi haøm soá ôû chöông trình caáp 2 (Saùch toaùn lôùp 7) vaø ñaõ nghieân cöùu ñoà thò cuûa caùc haøm soá ñôn giaûn nhö baäc nhaát vaø baäc hai (lôùp 7, lôùp 9). IV/ Nhöõng phaàn kieán thöùc coù lieân quan vaø öùng duïng cuûa noù : 1) Nhöõng phaàn kieán thöùc coù lieân quan vaø öùng duïng trong khoa hoïc toaùn phoå thoâng : Vaán ñeà khaûo saùt haøm soá laø coâng cuï maïnh ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn veà tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát maø chæ vôùi kieán thöùc baát ñaúng thöùc ôû lôùp 10 thì chöa ñuû kieán thöùc ñeå giaûi quyeát ña daïng caùc baøi toaùn. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuõng laø coâng cuï maïnh ñeå giaûi quyeát nhöõng baøi phöông trình coù lieân quan ñeán tham soá. Phaàn kieán thöùc naøy coù lieân quan ñeán kieán thöùc tích phaân, öùng duïng tích phaân (tìm dieän tích) ôû moät möùc ñoä nhaát ñònh. ÔÛ phaàn tính tích phaân ñöôïc hoïc treân cô sôû cuûa ñaïo haøm, coøn ôû phaàn öùng duïng tích phaân thì phaûi ña soá caùc tröôøng hôïp ta ñeàu veõ ñoà thò cuûa haøm soá roài môùi xaùc ñònh ñöôïc coâng thöùc tính. Noù laø söï toång hôïp cuûa nhieàu phaàn kieán thöùc coù lieân quan maø hoïc sinh ñaõ ñöôïc hoïc traõi roäng trong chöông trình toaùn caáp 2 vaø caáp 3 nhö taäp xaùc ñònh haøm soá, ñaïo haøm, söï bieán thieân cuûa haøm soá, cöïc trò, ñoà thò haøm soá, giôùi haïn, tieäm caän, toaï ñoä. 2) ÖÙng duïng cuûa noäi dung "Khaûo saùt haøm soá vaø veõ ñoà thò" trong ñôøi soáng vaø trong khoa hoïc khaùc : Trong kieán truùc, xaây döïng vaø quy hoaïch ñaët ra vaán ñeà veõ ñoà thò ñöôøng ñi aùnh saùng, ñoà thò tính möùc ñoä truyeàn aâm trong nhaø, ñoà thò tính toaùn ñöôøng cong taïi caùc nuùt giao thoâng,… Ñeå ñaûm baûo troïng taâm cuûa baøi tieåu luaän ôû ñaây seõ khoâng ñi saâu phaân tích maø chæ xin trích daãn moät soá ñoà thò trong caùc taøi lieäu ñaõ ñöôïc tham khaûo : Trong khoa hoïc cô baûn khaùc : vaät lí hoïc vaø thieân vaên hoïc, sinh hoïc, ñòa lí...ñoà thò vaø vieäc khaûo saùt haøm soá ñaõ giuùp ñöôïc vieäc tính toaùn caùc chuyeån ñoäng, moái lieân heä giöõa maët ñaát vôùi ngaøy vaø ñeâm, caùc ñoà thò bieåu thò moái töông quan giöõa daân soá vaø kinh teá,... Trong lónh vöïc khaùc: ñoà thò bieåu thò ñieåm thi ñaïi hoïc cuûa hoïc sinh (giaùo duïc), ñoà thò bieåu thò giaù caû thò tröôøng (kinh teá), caùc ñoà thò bieåu thò cho söï bieán ñoåi cuûa doøng ñieän (ñieän töû)... Ngay caû ñoái vôùi nhöõng haøm soá raát ñôn giaûn chaúng haïn (moái quan heä tæ leä thuaän), hay thì cuõng ñöôïc öùng duïng vaøo ñieän hoïc, hoaù hoïc,... vì moái töông quan naøy phaûn aùnh nhöõng moái lieân heä treân caùc ñaïi löôïng ñoù, chaúng haïn nhö (Nguyeãn Baù Kim, Phöông phaùp daïy hoïc toaùn, nxb. Ñaïi hoïc sö phaïm) : Quaõng ñöôøng S ñi trong moät chuyeån ñoäng ñeàu vôùi vaän toác v cho tröôùc tæ leä thuaän vôùi thôøi gian ñi t : s=vt Hieäu ñieän theá U tæ leä thuaän vôùi cöôøng ñoä doøng ñieän I khi ñieän trôû R khoâng ñoåi : U=IR Phaân töû gam M cuûa moät chaát khí tæ leä thuaän vôùi tæ khoái d cuûa chaát khí ñoù ñoái vôùi khoâng khí: M=29d Ñoái vôùi tröôøng hôïp haøm baäc 2 thì trong ngaønh vaät lí hoïc cuõng coù ñaïi löôïng bieåu thò moái töông haøm soá chaúng haïn nhö xeùt chuyeån ñoäng rôi töï do cuûa moät chaát ñieåm, quaõng ñöôøng ñi s cuûa chaát ñieåm trong thôøi gian t ñöôïc bieåu dieãn baèng quan heä haøm soá theo t nhö sau : Vaø khi ñoù vieäc khaûo saùt chuyeån ñoäng rôi töï do daãn ñeán vieäc khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá. Nhaän xeùt : Nhö vaäy vaán ñeà khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù öùng duïng roäng raõi cuûa trong ñôøi soáng, trong caùc moân khoa hoïc khaùc vaø trong baûn thaân boä moân toaùn. Do ñoù moät laàn nöõa ta cuõng neân nhaán maïnh raèng vieäc ñöa vaán ñeà naøy vaøo chöông trình giaùo khoa toaùn laø moät ñieàu hoaøn toaøn hôïp lí nhöng vaán ñeà quan troïng caàn baøn ñoù laø neân bieân soaïn kieán thöùc nhö theá naøo? (ôû möùc ñoä naøo? trình baøy ra sao?...), vieäc daïy vaø hoïc phaûi neân löu yù ñieàu gì?... Nhöõng caâu hoûi treân seõ laàn löôït ñöôïc nghieân cöùu ôû phaàn sau ñaây. V/ Vaán ñeà veà daïy vaø hoïc vôùi noäi dung "Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá" : 1) Hieän traïng veà daïy vaø hoïc "khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá" : ( caên cöù treân söï khaûo saùt moät soá giaùo vieân tröôøng Tröng Vöông, baùn coâng Nguyeãn Thò Dieäu, hoïc sinh ôû tröôøng Hoaøng Hoa Thaùm, Tröng Vöông, nieân khoaù 1999-2002 taïi tröôøng Tröng Vöông, vaø caùc tö lieäu khaùc...) Hoïc sinh laøm baøi raát maùy moùc, nhieàu thöù hoïc sinh vaãn ghi vaøo caùc böôùc khaûo saùt nhöng khoâng hieåu maø ñoù chæ laø keát quaû maø caùc em thuoäc loøng. Raát nhieàu hoïc sinh thaéc maéc hoïc khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá ñeå laøm gì? ÖÙng duïng gì vaøo cuoäc soáng? Coøn veà phía giaùo vieân moät maët do khoâng coù ñuû kieán thöùc veà öùng duïng cuûa noù neân khoâng giaûi thích, maët khaùc thì sôï maát thôøi gian treân lôùp neân khoâng giaûi thích. Xin noùi theâm laø tình traïng naøy khoâng chæ ôû noäi boä baøi "khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá" maø noù coøn laø tình traïng chung cuûa chöông trình toaùn. Ñoù laø hoïc sinh hoïc roài khoâng bieát noù höõu ích ra sao. Moät soá giaùo vieân (tröôøng baùn coâng Nguyeãn Thò Dieäu) cho raèng vôùi thôøi löôïng 4 tieát khoâng theå truyeàn thuï heát kieán thöùc cuûa caùc daïng trong chöông trình cho hoïc sinh. Noäi dung trình baøy trong saùch giaùo khoa hieän haønh (2000) khoâng gaén lieàn vôùi thöïc teá maø toaøn nhöõng baøi thuaàn tuyù toaùn hoïc. Tuy nhieân vôùi caùch daïy ñeå laøm baøi kieåm tra, ñeå thi cöû nhö hieän nay thì cho duø saùch giaùo khoa coù ñöa baøi gaén lieàn vôùi thöïc teá ñi chaêng nöõa thì giaùo vieân cuõng khoâng ñeå yù maø daïy cho hoïc sinh nhöõng baøi ñoù ñôn giaûn vì moät lí do "noù coù ra thi ñaâu laøm chi cho maát thôøi gian". Ñöøng noùi chi ñeán nhöõng baøi toaùn mang tính thöïc teá, ngay caû nhöõng baøi toaùn gì, phaàn kieán naøo thuaàn tuyù toaùn hoïc trong quy ñònh cuûa boä maø giaùo vieân nghó seõ khoâng ra thi thì cuõng chaúng daïy cho hoïc sinh. Xin ñôn cöû moät tröôøng hôïp sau : Baøi Haøm soá ngöôïc trong chöông trình lôùp 11, moät baøi maø giaùo vieân khoâng daïy hoaëc daïy raát sô saøi vì lí do trong ñeà kieåm tra haàu nhö khoâng cho ra phaàn naøy. Heä quaû cuûa noù laø hoïc sinh khoâng bieát moái töông quan veà ñoà thò giöõa haøm soá muõ vaø haøm soá logarit. Nhaän xeùt : Khi hoïc sinh thaáy nhöõng kieán thöùc ñaõ hoïc khoâng höõu ích daãn ñeán hoïc sinh khoâng coøn thaáy söï caàn thieát cuûa kieán thöùc ñoù vaø do ñoù maát ñi höùng thuù, ñoäng cô ñeå hoïc noù hay laø seõ thaáy khoù nhôù phaàn kieán thöùc ñoù vì khoâng coù nhu caàu ñeå nhôù tri thöùc ñoù. Ta caàn phaûi suy nghó caâu hoûi lieäu raèng vôùi thôøi löôïng 4 tieát thì ñaõ ñuû ñeå daïy baøi khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá hay khoâng? Veà phaàn toâi suy nghó raèng noù seõ khoâng phaûi laø moät thôøi löôïng ít neáu nhö ôû nhöõng baøi tröôùc coù lieân quan giaùo vieân daïy caån thaän. Noäi dung daïy hoïc trong boä moân toaùn caàn ñöôïc caùc nhaø bieân soaïn saùch chuù yù tính thieát thöïc cuûa chuùng hôn. Thieát nghó raèng giaùo vieân phaûi ñoåi môùi phöông phaùp daïy, khoâng chaïy ñua theo thaønh tích, ñieåm soá cuûa hoïc sinh maø phaûi thöïc hieän ñöôïc yeâu caàu veà phöông phaùp daïy hoïc "Phöông phaùp giaùo duïc phaûi phaùt huy tính tích cöïc, töï giaùc, chuû ñoäng, tö duy saùng taïo cuûa ngöôøi hoïc; boài döôõng naêng löïc töï hoïc, loøng say meâ hoïc taäp vaø yù chí vöôn leân" (ñieàu 4 cuûa luaät giaùo duïc). Ñeå laøm ñöôïc ñieàu ñoù thì moät phaàn giaùo vieân phaûi cho hoïc sinh thaáy ñöôïc söï höõu duïng cuûa nhöõng tri thöùc ñaõ ñöôïc hoïc (khoâng nhöõng coù coâng duïng trong boä moân toaùn maø coøn coù höõu ích, caàn thieát trong thöïc teá vaø caùc boä moân khoa hoïc khaùc), moät phaàn giaùo vieân neân coi troïng möùc ñoä hieåu cuûa hoïc sinh maëc duø ñeà laøm ñöôïc ñieàu ñoù thì coù maát thôøi gian vaø coâng söùc chöù ñöøng daïy cho hoïc sinh hoïc moät caùch maùy moùc. 2) Caùc daïng haøm soá ñöôïc khaûo saùt vaø veõ trong chöông trình hieän haønh vaø phöông phaùp giaûi A) Theo chöông trình saùch giaùo khoa lôùp 12 hieän haønh thì hoïc sinh chæ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa 4 daïng cô baûn sau : (1) (2) (3) (4) B) Saùch giaùo khoa ñaõ neâu ra sô ñoà chung trong vieäc khaûo saùt haøm soá nhö sau : Böôùc 1 : Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá (Xeùt tính chaün, leû, tính tuaàn hoaøn (neáu coù)). Böôùc 2 : Khaûo saùt söï bieán thieân cuûa haøm soá : a) Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá Tính ñaïo haøm Tìm caùc ñieåm tôùi haïn Xeùt daáu cuûa ñaïo haøm Suy ra chieàu bieán thieân cuûa haøm soá b) Tính caùc cöïc trò c) Tính caùc giôùi haïn cuûa haøm soá Khi daàn tôùi voâ cöïc Khi daàn veà beân traùi vaø beân phaûi, caùc giaù trò cuûa taïi ñoù haøm soá khoâng xaùc ñònh Tìm tieäm caän (neáu coù) d) Xeùt tính loài, loõm vaø tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá (ñoái vôùi caùc haøm soá trong chöông trình) Tính ñaïo haøm caáp 2 Xeùt daáu cuûa ñaïo haøm caáp 2 Suy ra tính loài, loõm vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò e) Laäp baûng bieán thieân (Ghi taát caû giaù trò tìm ñöôïc vaøo baûng bieán thieân) Böôùc 3 : Veõ ñoà thò Chính xaùc hoaù ñoà thò (xem chuù yù döôùi ñaây) Veõ ñoà thò Tuy nhieân do möùc ñoä yeâu caàu cuûa kieán thöùc neân coù ñoâi neùt khaùc bieät giöõa caùc daïng : Xeùt tính loài, loõm vaø tìm ñieåm uoán cuûa caùc haøm soá coù daïng (1) vaø (2) Tìm tieäm caän cuûa haøm soá ôû caùc daïng (3) vaø (4) (khoâng caàn xeùt tính loài, loõm cuûa ñoà thò haøm soá) Coù söï nhaän xeùt ñoái vôùi caùc ñoà thò sau khi khaûo saùt vaø veõ. C) Caùc hình daïng cuï theå cuûa moãi daïng ñoà thò haøm soá: Ñoà thò a>0a 0   Ñoà thò cuûa haøm soá a > 0 a 0 b 0ab'-ba' 0a.a' 0  D) Giôùi thieäu moät soá baøi khaûo saùt vaø veõ ñoà thò trong SGK 12 (2000) : 1) Khaûo saùt caùc haøm soá : 2) Khaûo saùt caùc haøm soá : 3) Phaân tích SGK lôùp 12 hieän haønh vaø phaân tích Saùch giaùo vieân (Taøi lieäu höôùng daãn giaûng daïy Toaùn 12, Vaên Nhö Cöông-Ngoâ Thuùc Lanh, nxb. giaùo duïc, 2000) Tröôùc tieân ta seõ xeùt veà möùc ñoä öùng duïng cuûa kieán thöùc ñöôïc ñeà caäp trong SGK Ñieàu naøy laø moät söï khaùc bieät lôùn giöõa saùch nöôùc ta vaø saùch nöôùc ngoaøi vaø ñaây cuõng laø moät vaán ñeà dö luaän ñang quan taâm trong thôøi ñieåm SGK cuûa ta ñaõ ñöôïc nhieàu nhaø giaùo duïc ñaùnh giaù laø haøn laâm, khoâng öùng duïng thöïc teá (Caên cöù trong baøi baùo "Saùch giaùo khoa daønh cho nhöõng nhaø baùc hoïc" treân baùo tuoåi treû) : Trong chöông öùng duïng cuûa ñaïo haøm, taùc giaû hoaøn toaøn khoâng coù vieát nhöõng baøi taäp cuõng nhö neâu leân nhöõng öùng duïng cuûa ñoà thò vaøo thöïc teá cuoäc soáng vaø caùc moân khoa hoïc khaùc. Sau khi hoïc xong chöông naøy thì coù theå hoïc sinh seõ thaáy ñöôïc öùng duïng cuûa ñaïo haøm laø vaøo vieäc khaûo saùt haøm soá (moät öùng duïng trong noäi boä toaùn hoïc), nhöng vaãn khoâng thaáy öùng duïng cuûa khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá trong vieäc giaûi quyeát vaán ñeà thöïc teá nhö theá naøo. Ñieàu naøy coù theå thaáy caên cöù qua caùc daïng baøi taäp trong SGK lôùp 12 (2000). Trong baøi "Nhöõng vaán ñeà lieân quan ñeán khaûo saùt haøm soá" coù 2 daïng toaùn chính maø taùc giaû neâu ra (taùc giaû coù ñöa ra phöông phaùp vaø ví duï roõ raøng cho 2 daïng naøy) laø: Baøi toaùn 1. Tìm giao ñieåm cuûa hai ñöôøng vaø bieän luaän theo m nghieäm cuûa phöông trình Baøi toaùn 1 : Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa ñoà thò caùc haøm soá vaø Baøi toaùn 2 : a) Veõ ñoà thò cuûa haøm soá : b) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : Baøi toaùn 2. Vieát phöông trình cuûa tieáp tuyeán. Baøi toaùn 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) cuûa haøm soá Bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm A(0;4) Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình caùc ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng vaø tieáp xuùc vôùi ñoà thò cuûa haøm soá : Trong phaàn baøi taäp thì cuõng chæ laø caùc daïng toaùn mang tính thuaàn tuyù toaùn hoïc, chaúng haïn nhö + Ñònh m thoaû maõn tính chaát veà ñôn ñieäu cuûa haøm soá Ví duï: Ñònh m ñeå haøm soá ñoàng bieán trong khoaûng (-1;+∞) + Caùc baøi toaùn khaùc lieân quan ñeán tieáp tuyeán Ví duï : Chöùng minh raèng töø A(  eq \f(7,2) ;0) coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) cuûa haøm soá vaø hai ñöôøng thaúng naøy vuoâng goùc vôùi nhau + Caùc baøi toaùn khaùc lieân quan ñeán giao ñieåm Ví duï : Xaùc ñònh m sao cho (Cm) : caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm coù caùc hoaønh ñoä laäp thaønh caáp soá coäng. Xaùc ñònh caáp soá coäng naøy + Tìm ñieåm coù toaï ñoä nguyeân Ví duï : Tìm treân ñoà thò caùc ñieåm (C) coù toaï ñoä laø soá nguyeân + Veõ nhöõng ñoà thò coù trò tuyeät ñoái ñöôïc suy ra töø nhöõng ñoà thò ñaõ veõ tröôùc Ví duï : Döïa vaøo ñoà thò ñaõ veõ haõy veõ ñöôøng Vaø moät soá daïng khaùc. Tuy nhieân nhö ñaõ noùi thì taát caû ñeàu khoâng coù baøi toaùn naøo öùng duïng vaøo thöïc teá ñôøi soáng vaø boä moân khoa hoïc khaùc. Neân chaêng, taùc giaû caàn ñöa vaøo baøi taäp veà söû duïng vieäc khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá trong caùc moân khoa hoïc khaùc hoaëc laø coù theå laø moät baøi ñoïc theâm veà öùng duïng cuûa noù trong thöïc teá cuoäc soáng. Taùc giaû coù theå boû bôùt ñi nhöõng baøi taäp khaù phöùc taïp ñeå theâm phaàn baøi taäp öùng duïng naøy vaøo. Chuùng ta haõy so saùnh vôùi moät cuoán saùch coù trình ñoä lôùp 11-12 ôû beân Myõ Algebra and Trigonometry, Peter & Schaaf, nxb. AMERICAN BOOK COMPANY, 1970. Sau khi hoïc chöông khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá hoïc sinh coù baøi taäp laøm vieäc treân ñoà thò bieåu dieãn moái töông quan giöõa giôø vaø nhieät ñoä ôû thò traán Camden. Maëc duø hoïc xong chöông naøy thì hoïc sinh chæ môùi tieáp caän ñeán nhöõng ñoà thò haøm baäc 2, baäc 3 vaø haøm nhaát bieán (caên cöù treân saùch). Ñoù laø moät trong ít nhaát 3 ví duï veà öùng duïng cuûa ñoà thò trong saùch vieát. Nhöng ôû ñaây, ñeå baûo ñaûm troïng taâm trong muïc naøy laø phaân tích SGK hieän haønh cuûa nöôùc ta xin khoâng giôùi thieäu heát caùc ví duï trong saùch. ÔÛ döôùi trích daãn nguyeân hình ñoà thò Tuy vaäy, trong chöông öùng duïng cuûa ñaïo haøm, taùc giaû cuõng ñaõ chæ ra ñöôcï öùng duïng cuûa vieäc khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá trong noäi boä toaùn hoïc (2 öùng duïng cô baûn nhaát laø ñònh tham soá m trong phöông trình hay laø tìm giaù trò cöïc trò cuûa bieåu thöùc). Nhöng duø sao, ñeå cho hoïc sinh thaáy ñöôïc öùng duïng trong thöïc teá cuoäc soáng coù leõ laø caùi caàn thieát hôn. Caùc ví duï trong saùch veà vieäc khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá laø khaù ñaày ñuû. Moãi daïng taùc giaû ñeàu cho caùc ví duï veà nhöõng nhöõng kieåu hình khaùc nhau (daïng baäc 3 cho 2 ví duï 2 cöïc trò vaø khoânc coù cöïc trò, daïng baäc 4 cho 2 ví duï veà tröôøng hôïp coù 3 cöïc trò vaø coù 1 cöïc trò, haøm nhaát bieán cho 2 ví duï vaø haøm höõu tæ cuõng cho 2 ví duï). Ñieàu naøy giuùp cho hoïc sinh coù theå deã daøng hôn trong vieäc tham khaûo tröôùc ôû nhaø. So vôùi saùch giaùo khoa thôøi tröôùc giaûi phoùng thì saùch giaùo khoa hieän haønh ñaõ nheï nhaøng hôn vì ñeà caäp chæ 4 daïng ñoà thò ñôn giaûn coøn ôû saùch giaùo khoa tröùôc thì coù caû nhöõng daïng ñoà thò nhö voâ tæ, höõu tæ daïng . Ñieàu naøy laø hôïp lí, bôûi vì ñaïi traø hoïc sinh khoâng caàn phaûi naém vöõng vieäc khaûo saùt hay nhöõng kæ thuaät khaûo saùt caùc haøm soá phöùc taïp, chæ caàn thieát truyeàn thuï cho hoïc sinh gioûi veà phaàn naøy maø thoâi. Do ñoù möùc ñoä ñoøi hoûi cuûa SGK (khaûo saùt 4 daïng haøm soá cô baûn) laø vöøa phaûi vôùi hoïc sinh. Taùc giaû coù 2 phaàn chuù yù trong nhöõng ví duï khaûo saùt vaø veõ ñoà thò. Ñoù laø chuù yù veà taâm ñoái xöùng cuûa haøm nhaát bieán vaø , taùc giaû coù chöùng minh baøi baûn baèng caùch ñoåi truïc toaï ñoä Oxy sang heä truïc IXY (vôùi I laø taâm cuûa 2 tieäm caän). Nhöng ta khoâng thaáy coù baøi taäp naøo trong saùch laø chöùng minh taâm ñoái xöùng caû. Maëc duø nhö Taøi lieäu höôùng daãn ghi "Ñieàu naøy khoâng baét buoäc trong baøi khaûo saùt". Tuy nhieân taùc giaû neân ñöa theâm moät caâu chöùng minh taâm ñoái xöùng nhö moät caâu nhoû loàng vaøo beân trong moät baøi taäp khaûo saùt. Khaùc vôùi SGK 1995, trong saùch chænh lí hôïp nhaát 2000, taùc giaû khoâng giôùi thieäu laïi ñoà thò cuûa haøm baäc hai, vì ñaõ ñöôïc giôùi thieäu kó ôû SGK lôùp 10 (nhöng trong phaàn baøi taäp vaãn coù khaûo saùt daïng naøy haøm baäc hai naøy). Taøi lieäu höôùng daãn nhaän xeùt veà phaàn khaûo saùt haøm soá trong SGK nhö sau: "Ñaây laø phaàn coù nhieàu ñieàu môùi meû, theå hieän quan ñieåm giaûm taûi ñoái vôùi hoïc sinh dieän traø". Thöïc vaäy, ta thaáy coù nhöõng ñieåm môùi sau: Thuaät ngöõ "Khaûo saùt haøm soá" thay cho "Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá" Coøn ôû trong baøi tieåu luaän thì ñöôïc duøng theo thuaät ngöõ cuû "Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá" (theo Taøi lieäu höôùng daãn). Nhö vaäy caùc taùc giaû ñaõ nhaäp phaàn veõ ñoà thò haøm soá vaøo luoân phaàn khaûo saùt haøm soá. So vôùi saùch cuõ (Giaûi tích, Traàn Vaên Haïo chuû bieân, 1995) thì caùc taùc giaû taùch rieâng 2 phaàn khaûo saùt vaø veõ ñoà thò. Laàn naøy, caùc taùc giaû coù ñeå yù nhieàu hôn trong vieäc söû duïng tính chaát chaün leû, ñoái xöùng, tuaàn hoaøn cuûa haøm soá. Vaø caùc ví duï ñaõ ñöôïc taùc giaû khai thaùc ñieàu naøy ñeå veõ hình chính xaùc hôn. Sô ñoà khaûo saùt ñöôïc trình baøy trong SGK chænh lí khaù ngaén ngoïn, deã hieåu vaø ñaày ñuû. Hai phaàn Tìm ñieåm coá ñònh cuûa moät hoï ñöôøng cong vaø Tìm quyõ tích ñaõ khoâng ñöôïc ñeà caäp tôùi trong saùch (ñieàu naøy khaùc vôùi SGK 1995) vì theo "Hoäi ñoàng thaåm ñònh thì caû hai khoâng lieân quan tröïc tieáp ñeán vieäc khaûo saùt haøm soá baèng ñaïo haøm" ( trích Taøi lieäu höôùng daãn) 4) Döï kieán nhöõng khoù khaên, sai laàm vaø nhöõng haïn cheá cuûa hoïc sinh khi laøm "khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá" : Taäp xaùc ñònh : ñöôïc xem nhö laø cô sôû ñeå xeùt tính ñôn ñieäu, tìm khoaûng loài, loõm cuûa ñoà thò vaø nhaát laø veõ baûng bieán thieân cuûa haøm soá. Maëc duø noù laø cô sôû vaø quan troïng nhöng coù khaû naêng hoïc sinh seõ queân noù hay coù tìm mieàn xaùc ñònh nhöng laïi khoâng ñeå yù noù khi laøm ñeán böôùc baûng bieán thieân. Khi xaùc ñònh sai mieàn xaùc ñònh hay thieáu mieàn xaùc ñònh thì luùc ñoù xem nhö boû luoân baøi khaûo saùt. Ta giaû ñònh moät tình huoáng sai cuï theå cuûa hoïc sinh nhö sau: Ñeà baøi : khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá Baøi laøm cuûa hoïc sinh : TXÑ : Tính giôùi haïn : Khi gaëp nhöõng giôùi haïn caàn phaûi tính trong baøi khaûo saùt vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá thì hoïc sinh chæ tính moät caùch maùy moùc maø khoâng hieåu ñöôïc. Chaúng haïn nhö caùc em suy nghó nhö sau : " Gaëp daïng thì phaûi ghi laø " maø caùc em ñaõ queân ñi ñieàu ñoù xuaát phaùt töø vieäc tìm giôùi haïn ôû lôùp 11. Trong daïng , hoïc sinh ghi caùc giaù trò giôùi haïn treân baûng xeùt daáu laø sai. Nguyeân nhaân laø do caùc em töôûng raèng cöù ôû treân laø ghi +∞ coøn ôû döôùi laø ghi -∞. Xeùt böôùc keû baûng bieán thieân trong baøi laøm cuûa hoïc sinh khi khaûo saùt vaø veõ ñoà thò nhö sau : Neáu ñeà baøi khoâng cho döôùi daïng "nguyeân thuyû" maø cho hôi laï hôn moät chuùt thì seõ gaây ra söï luùng tuùng ôû hoïc sinh. Chaúng haïn caùc ví duï sau ñaây seõ laøm hoïc sinh luùng tuùng : Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá : Ñaïo haøm y' : Trong tröôøng hôïp haøm höõu tæ neáu hoïc sinh aùp duïng theo coâng thöùc ñaïo haøm phaân thöùc thì raát deã tính loän ñaïo haøm vì coù raát nhieàu tính toaùn nhoû caàn phaûi tính. Nguyeân nhaân sai ôû ñaây laø do caùc em tính toaùn khoâng caån thaän vaø khoâng vöõng. Cuõng trong daïng höõu tæ khi giaûi ra ñöôïc nghieäm cuûa neáu nhö nghieäm ra soá höõu tæ hay voâ tæ hay nhöõng soá khoâng goïn khaùc thì hoïc sinh seõ deã tính sai khi theá vaøo haøm ñeå tính ra giaù trò cuûa haøm soá taïi cöïc trò. Hoïc sinh thöôøng xeùt daáu cuûa baûng bieán thieân moät caùch voäi vaøng, cöù thaáy nghieäm laø ñoåi daáu maø khoâng ñeå yù ñeán vieäc nghieäm ñoù coù laø nghieäm keùp hay khoâng. Ta xeùt baøi khaûo saùt cuûa moät hoïc sinh nhö sau : Ñeà baøi : khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá Baøi laøm cuûa hoïc sinh : TXÑ : Ñaïo haøm y'' : Khi gaëp haøm caàn khaûo saùt laø haøm ña thöùc thì hoïc sinh hay ghi trong baûng xeùt daáu kí hieäu y thay vì phaûi ghi laø "ñoà thò". Chaúng haïn nhö moät baûng xeùt daáu y'' ñaõ ñöôïc moät hoïc sinh veõ nhö sau:  Nguyeân nhaân sai laø do caùc em khoâng hieåu ñöôïc khaùi nieäm loài vaø loõm thì chæ coù ôû ñoà thò chöù khoâng phaûi ôû haøm soá. Veõ ñoà thò : Hoïc sinh veõ nhaùnh voâ taän cuûa ñoà thò baèng thöôùc thaúng. Nguyeân nhaân laø do caùc em khoâng hieåu ñöôïc tính loài, loõm cuûa ñoà thò. Hoïc sinh khoâng bieát döïa vaøo baûng bieán thieân vaø loài loõm ñeå coù theå veõ deã daøng vaø chính xaùc hôn do ñoù caùc em khi xaùc ñònh xong moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò treân truïc toaï ñoä thì noái laïi moät caùch tuyø tieän, khoâng ra ñuùng hình daïng cuûa ñoà thò. Ngoaøi caùc loãi sai treân hoïc sinh coøn coù theå sai caùc loãi khaùc nhö : tính toaùn sai, xaùc ñònh caùc ñieåm treân truïc toaï ñoä sai, veõ tieäm caän sai hoaëc queân veõ ñöôøng tieäm caän, veõ ñoà thò caét luoân ñöôøng tieäm caän, giaûi nghieäm cuûa y'=0 sai,... 5) Moät soá bieän phaùp khaéc phuïc nhöõng sai laàm cuûa hoïc sinh : Veà ñoà thò : Giaûi thích cho hoïc sinh moät caùch caën keõ veà yù nghóa cuûa baûng bieán thieân vaø baûng xeùt tính loài, loõm ñeå hoïc sinh coù theå döïa vaøo ñoù maø veõ hình moät caùch chính xaùc. Giuùp hoïc sinh hieåu roõ söï ñoái xöùng cuûa ñoà thò qua truïc, ñieåm uoán, hay giao ñieåm 2 tieäm caän ñeå hoïc sinh coù theå veõ hình deã daøng vaø chính xaùc hôn. Veà tính toaùn : Höôùng daãn hoïc sinh nhöõng coâng thöùc tính nhanh veà ñaïo haøm cuûa haøm nhaát bieán vaø haøm höõu tæ vaø chæ cho hoïc sinh caùch nhôù caùc coâng thöùc ñoù. Höôùng daãn caû coâng thöùc tính giaù trò cuûa haøm soá taïi ñieåm cöïc trò trong tröôøng hôïp haøm höõu tæ (). Löu yù raèng tröôùc khi cho hoïc sinh aùp duïng nhöõng coâng thöùc ñoù thì phaûi giaûi thích vaø chöùng minh caùc coâng thöùc aáy. Ñeå traùnh tình traïng tìm nghieäm y'=0 sai thì ta khuyeân caùc em neân thöû laïi giaù trò xem coù thoaû maõn hay khoâng, chöù khoâng caån thaän thì coù theå "sai moät li ñi moät daëm". Giaûi thích cho hoïc sinh vieäc tính giôùi haïn, ñeå hoïc sinh coù theå hieåu maø khoâng laøm moät caùch maùy moùc daãn ñeán nhöõng sai laàm khoâng ñaùng. Neân löu yù hoïc sinh vieäc tìm Taäp xaùc ñònh cho chính xaùc bôûi vì ñaây laø böôùc khaù quan troïng vì theo "neáu haøm soá khoâng xaùc ñònh treân moät taäp soá naøo ñoù thì treân taäp soá ñoù haøm soá ñöông nhieân khoâng toàn taïi" (trích Taøi lieäu höôùng daãn). Toùm taét laïi cho hoïc sinh caùc böôùc chính khaûo saùt ñeå hoïc sinh deã nhôù hôn. Chaúng haïn nhö vieäc khaûo saùt goàm caùc böôùc sau: TXÑ->y',y"->Tìm tieäm caän (neáu coù)->baûng bieán thieân->baûng tính chaát loài loõm (neáu coù)->veõ ñoà thò. Nhaéc nhôû caùc em caàn thaän troïng trong caùc vieäc tính toaùn, veõ hình, xaùc ñònh ñieåm treân truïc toaï ñoä, tính giaù trò taïi caùc ñieåm ñaëc bieät, tìm taäp xaùc ñònh, veõ tieäm caän,.... taøi lieäu tham khaûo 1) Töø ñieån toaùn hoïc, Hoaøng Höõu Nhö-Leâ Ñình Thònh-Hoaøng Tuïy, nxb. khoa hoïc kæ thuaät, 1993. 2) Töø ñieån toaùn hoïc thoâng duïng, Ngoâ Thuùc Lanh-Ñoaøn Quyønh-Nguyeãn Ñình Trí, nxb. giaùo duïc, 2000. 3) Töø ñieån toaùn hoïc phoå thoâng, Hoaøng Quyù-Nguyeãn Vaên Ban-Hoaøng Chuùng-Traàn Vaên Haïo-Leâ Thieân Höông dòch, nxb. giaùo duïc, 2000 (Taäp 1 vaø taäp 2). 4) SGK lôùp 6, Leâ Haûi Chaâu, nxb. giaùo duïc, nxb. giaùo duïc, 1999-taùi baûn laàn thöù 12 5) Ñaïi soá lôùp 7, Hoaøng Xuaân Sính, 1987. 6) SGK Ñaïi soá 9, Ngoâ Höõu Duõng, Traàn Kieàu, nxb. giaùo duïc, 2002-taùi baûn laàn thöù 12 7) Saùch phaân ban thí ñieåm lôùp 10, 11, nxb. giaùo duïc. 8) Saùch giaùo khoa lôùp 10, Traàn Vaên Haïo-Cam Duy Leã, nxb. giaùo duïc, 2000. 9) Phöông phaùp daïy hoïc Toaùn, Nguyeãn Baù Kim, nxb. Ñaïi hoïc sö phaïm, 2002, tr.93. 10) PPGD, thaày Nguyeãn Vaên Vónh (khoa Toaùn-Ñaïi hoïc sö phaïm TP.HCM. 11) Nhöõng nhaø toaùn hoïc trieát hoïc, Nguyeãn Cang, nxb. Ñaïi hoïc quoác gia. 12) Caâu chuyeän toaùn hoïc veà baøi toaùn Fermat, Traàn Vaên Nhung, Ñoã Trung Haäu, Nguyeãn Kim Chi dòch, nxb. giaùo duïc, 2000. 13) SGK12B, Ñoaøn Phi Long-Traàn Ngoïc AÅn-Ñoaøn Taán Phuïng, 1974. 15) Mathematic Methods, Patric Tobin, "aán baûn cuûa Ñaïi hoïc OXFORD", 1977. 16) Ñöôøng vaø giao thoâng ñoâ thò, Nguyeãn Khaûi, nxb. giao thoâng vaän taûi, 2000. 17) Quang hoïc kieán truùc, Vieät Haø-Nguyeãn Ngoïc Giaû, nxb. xaây döïng, 2000. 18) Giaùo trình thieân vaên hoïc, Phaïm Vieát Trinh-Nguyeãn Ñình Noaõn, Ñaïi hoïc sö phaïm, nxb. giaùo duïc,1986 19) Calculus, James F.Hurley, University of Connecticut, 1998. 20) Phöông phaùp daïy hoïc toaùn, Nguyeãn Baù Kim nxb. Ñaïi hoïc sö phaïm, 2002. 21) Algebra and Trigonometry, Peter & Schaaf, nxb. AMERICAN BOOK COMPANY, 1970.