Đề tài Quy trình toán học hóa để phát triển các năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi

T Hai Bà Trưng 61 Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6 (điểm tối đa: 3đ) Có 57 HS tham gia làm bài kiểm tra (21 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 9 HS trường THPT chuyên Quốc Học; 10 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 17 HS Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau: Mức điểm Số phần trăm HS đạt từng mức điểm Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng 1 điểm 50 44 47 47 0 25 53 0 28 0 điểm 50 55 53 53 100 75 47 100 72 Phân tích:  Đèn giao thông là một phương tiện giúp phân luồng giao thông, nó đặc biệt hữu hiệu ở những nơi có lượng lưu thông xe cộ cao. Đèn giao thông hoàn toàn không xa lạ với HS thành phố nhưng khá mới mẽ với HS ở nông thôn (KVNT tham gia thực nghiệm chưa gắn đèn giao thông). Do vậy, bối cảnh tạo nên thế mạnh cho HS ở KVTP (có nhiều kinh nghiệm trong cuộc sống).  Trong câu hỏi 1, vấn đề đòi hỏi HS có các năng lực tư duy và suy luận; biểu diễn; mô hình hóa ở mức liên kết. HS cần nhận ra quy luật: thời gian đỏ của 1 đèn bằng tổng thời gian xanh và vàng của hai đèn còn lại. Nếu chỉ dựa vào kinh nghiệm trong trường học, các em sẽ mất nhiều thời gian trong việc tiếp cận với bối cảnh và sẽ cảm thấy không chắc chắn. Sai lầm phổ biến nhất của HS là lấy thời gian xanh cộng thời gian vàng làm thời gian đỏ. Có 27 HS (chiếm 47%) giải quyết chính xác câu hỏi này.  Câu hỏi 2 có 14 HS (chiếm 25%) giải quyết trọn vẹn. Cũng như câu hỏi 1, kinh nghiệm cuộc sống sẽ giúp cho HS tự tin hơn khi giải quyết vấn đề. Mặc dù có 12 HS (chiếm 44%) ở KVNT giải quyết được câu hỏi 1 nhưng không một em nào ở khu vực này giải quyết được câu hỏi này, trong khi các năng lực chính đòi hỏi để giải quyết vấn đề vẫn là: tư duy và suy luận; mô hình hóa, tư duy và suy luận ở mức liên kết. Phạm Đình Tiến – THPT Hai Bà Trưng 62  Câu hỏi 3 là câu hỏi có kết thúc mở nên có thể xem là không quen thuộc với HS (loại câu hỏi này ít xuất hiện trong các đánh giá của giáo dục nước ta). Vấn đề đòi hỏi HS phải huy động kinh nghiệm trong trường học cũng như trong đời sống để giải quyết. Kết quả cho thấy không có HS nào ở KVNT đáp đúng câu hỏi này. Trong khi đó có 16 HS (chiếm 28%) ở KVTP giải quyết được vấn đề, cao hơn cả số HS ở KVTP giải quyết được câu hỏi 2. Trần Thị Thúy Vân – THPT Hai Bà Trưng Bài toán 7: Hợp đồng lao động (điểm tối đa: 4đ) Có 62 HS tham gia làm bài kiểm tra (20 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 17 HS trường THPT chuyên Quốc Học; 8 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 17 HS Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể được thống kê như sau: Mức điểm Số phần trăm HS đạt từng mức điểm Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng 2 điểm 19 0 11 1 điểm 76 20 53 38 0 23 32 24 29 0 điểm 24 80 47 62 100 77 49 76 60 Phân tích:  Với nền kinh tế thị trường, hợp đồng lao động là một trong những hình thức rất phổ biến. Người lao động mới cần có khả năng phán xét (năng lực toán đóng vai trò chủ đạo) các phương thức mà người sử dụng lao động đưa ra, từ đó lựa chọn phương án phù hợp với lợi ích cũng như mục đích làm việc của mình (làm lâu dài hay làm tạm thời).  Trong câu hỏi 1, đòi hỏi lớn nhất về các năng lực tư duy và suy luận; biểu diễn của HS. Nếu A là số lương ban đầu thì sau 1 năm lương sẽ tăng lên 1,1A và sau 2 năm lương sẽ là 1,1 (1,1A) = 1,21A, tức là lương của An tăng lên 21% sau 2 năm. Có 53% HS giải quyết được vấn đề. Sai lầm thường mắc phải là đáp án C (1 năm tăng 10% thì 2 năm tăng 20%). 63  Vấn đề trong câu hỏi 2 phức tạp hơn, nó đòi hỏi đồng thời nhiều năng lực khác nhau của HS như: biểu diễn, lập luận, tư duy và suy luận ở mức phản ánh làm cho HS lúng túng. Chỉ có 22% HS giải quyết được vấn đề nêu ra trong khi nhiều HS bỏ trống câu hỏi này (đáng chú ý là không một HS ở KVNT nào giải quyết được). Trần Bảo Thuận – THPT Hai Bà trưng  Câu hỏi 3 là vấn đề tiêu biểu của bài toán tiền lương. Người lao động cần chọn phương án để có thu nhập cao nhất còn người sử dụng lao động dựa vào đó để hoạch định nguồn nhân lực. Vấn đề này đòi hỏi các năng lực giao tiếp, biểu diễn và lập luận để giải quyết nhưng năng lực giao tiếp HS tỏ ra rất yếu, đó là nguyên nhân mà chỉ có 11% trả lời đúng và 29% lựa chọn đúng phương án nhưng giải thích sai hoặc lập luận không rõ ràng. Sai lầm chủ yếu là HS lấy lương tháng của năm thứ 2 hoặc năm thư 5 là cơ sở để lựa chọn phương án. Bài toán 8: Lượng xăng tiêu thụ (điểm tối đa: 4đ) Có 61 HS tham gia làm bài kiểm tra (20 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 15 HS trường THPT chuyên Quốc Học; 8 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 18 HS Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể đã được thống kê như sau: Mức điểm Số phần trăm HS đạt từng mức điểm Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng 2 điểm 0 0 0 1 điểm 91 50 74 68,57 19 48 51,43 42,31 47,54 0 điểm 9 50 26 31,43 81 52 48,57 57,69 52,46 Phân tích:  Nhiều người tin rằng việc điều khiển xe gắn máy với vận tốc càng cao càng tiết kiệm xăng, đây là quan niệm hoàn toàn sai. Bối cảnh này đưa ra nhằm 64 giúp cho HS có thêm những kiến thức hữu ích về vấn đề này, từ đó giúp HS có những cái nhìn đúng đắn hơn cho bản thân và tuyên truyền cho những người xung quanh.  Câu hỏi 1 đòi hỏi về khả năng đọc và rút ra kết luận trực tiếp từ biểu đồ (biểu đồ đường) của HS. Hơn 74% HS giải quyết được vấn đề. Quan niệm sai (vận tốc càng lớn càng tiết kiệm xăng) mà chúng tôi đề cập phía trên được minh chứng khi có đến 14 HS (chiếm 23%) chọn phương án 70km/h (vận tốc cao nhất được biểu diễn trên biểu đồ).  Câu hỏi 2 nhằm kiểm tra tư duy phê phán của HS trước một vấn đề thực tiễn. Nhiệm vụ đòi hỏi đồng thời rất nhiều năng lực khác nhau: giao tiếp, lập luận, tư duy và suy luận, đặt vấn đề và giải ở mức phản ánh. Vì thế HS tỏ ra lúng túng và không biết bắt đầu từ đâu. Không có HS nào giải quyết trọn vẹn vấn đề. Có 29 HS (chiếm 48%) không đồng ý với lập luận của An nhưng lời giải thích không hợp lý. Sai lầm chủ yếu của HS: nhầm tưởng mối liên hệ giữa vận tốc và quãng đường đi được trên một lít xăng là một đường thẳng (trong bài toán là đường gấp khúc). Phạm Thị Kim Liên – THPT Hai Bà Trưng (lời giải thích sai)  Câu hỏi 3 sẽ trở nên dễ dàng nếu HS được sự hỗ trợ của kinh nghiệm trong cuộc sống thường ngày, nếu chỉ có kinh nghiệm trong trường học thì HS sẽ gặp khó khăn. Có 48% trả lời đúng nhưng số HS bỏ trống cũng nhiều (chiếm 38%), điều này cho thấy HS không quen thuộc với những vấn đề nảy sinh trong thế giới thực. HS hoặc có thể dựa vào kết quả của hai câu hỏi (nhưng cũng rất khó khăn) để đi đến kết luận hoặc có thể đưa ra kết luận nhanh chóng nhờ kinh nghiệm được tích lũy trong cuộc sống. Lê Thị Tú Anh – THPT Hai Bà Trưng 65 Bài toán 9: Hồ cá (điểm tối đa: 3đ) Có 50 HS tham gia làm bài kiểm tra (15 HS trường THPT Hai Bà Trưng; 10 HS trường THPT chuyên Quốc Học; 9 HS trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 16 HS Trường THPT Đặng Huy Trứ). Kết quả cụ thể đã được thống kê như sau: Mức điểm Số phần trăm HS đạt từng mức điểm Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 KVTP KVNT Tổng KVTP KVNT Tổng KVTP KVN T Tổng 1 điểm 72 84 78 20 76 48 36 24 30 0 điểm 28 16 22 80 24 52 64 76 70 Phân tích:  Đây là bài toán có bối cảnh rất quen thuộc với HS ở KVNT nhưng với HS ở KVTP thì không. Tương tự như bài toán Đèn giao thông tại ngã 6, bối cảnh là thế mạnh của HS ở KVNT trong bài toán này, chúng tôi muốn tìm kiếm sự ảnh hưởng của bối cảnh lên HS khi HS giải quyết các vấn đề thực tiễn.  Mối quan hệ trong câu hỏi 1 là một hàm bậc nhất, vấn đề yêu cầu HS xác định giá trị của biến thông qua giá trị của hàm. Có 84% HS ở KVNT giải quyết được vấn đề trong khi HS ở KVTP là 72%. Bối cảnh quen thuộc đã tạo ra sự vượt trội về thành tích của HS ở KVNT. Điểm chú ý nữa là không có HS nào ở KVNT bỏ trống trong khi có 3 HS ở KVTP bỏ trống.  Yếu tố bối cảnh ảnh hưởng mạnh mẽ đến thành tích của HS được thể hiện rõ trong câu hỏi 2. Nó không chỉ thể hiện ở khía cạnh số HS ở KVNT trả lời đúng nhiều hơn hẳn mà còn thể hiện ở khía cạnh phong phú của câu trả lời (ở KVNT có 9 HS chọn giải pháp áp dụng kỹ thuật sử dụng lưới; 6 HS chọn giải pháp theo thời gian thu hoạch; 4 HS chọn giải pháp quyết định số cá thả nuôi trên một đơn vị diện tích. Trong khi ở KVTP toàn bộ 5 HS chọn giải pháp số cá thả nuôi trên một đơn vị diện tích). Phan Thị Thanh Thúy – THPT Nguyễn Đình Chiểu  Có 30% HS giải quyết được câu hỏi 3. Vấn đề đặt ra đòi hỏi nhiều về năng lực toán học, đặc biệt là các năng lực lập luận, tư duy và suy luận, đặt vấn đề và giải. Có 6 HS dùng hàm số và 9 HS dùng đồ thị. Tuy nhiên, mối quan hệ 66 mà HS thiết lập chỉ quan tâm đến việc thỏa mãn các điều kiện được ghi chép mà thôi (thực tế cá càng lớn thì độ tăng trưởng của nó càng nhanh). Nguyễn Hồng Nhung – THPT Quốc Học Trần Thị Hoài Trâm – THPT Đặng Huy Trứ 3. Kết quả thu được từ Bảng hỏi Câu hỏi 1. Suy nghĩ của bạn về “thay đổi và các mới quan hệ” trong toán học. Hãy cho biết bạn đồng ý với những câu sau ở mức độ nào? Chú ý: 1: Rất đồng ý; 2: đồng ý; 3: Không đồng ý; 4: Rất không đồng ý. Nội dung 1 (%) 2 (%) 3 (%) 4 (%) a) Toán là môn khoa học bàn về các đối tượng và mối liên hệ giữa chúng. 24,25 63,51 12,16 0,08 b) Các thay đổi của đối tượng và mối liên hệ giữa chúng trong toán học thật sự thú vị. 24,20 54,14 16,56 5,10 c) Các thay đổi của đối tượng và mối liên hệ giữa chúng trong toán học là cần thiết cho bản thân các em. 37,41 48,30 12,24 2,05 d) Mối quan hệ giữa các đối tượng trong toán mà em học không có nhiều ý nghĩa trong thực tế. 7,75 16,28 49,61 26,36 e) Các thay đổi và mối liên hệ giữa các đối tượng trong toán học mà em học đều là những quy trình cần phải nhớ. 26,28 55,13 16,03 2,56 Phân tích: Câu hỏi 1 điều tra về suy nghĩ của HS về "thay đổi và các mối quan hệ". Hầu hết HS đều tin rằng toán học là khoa học về các đối tượng và mối liên hệ giữa chúng (chiếm 87,76%). Điều này cho thấy "thay đổi và các mối quan hệ" đóng vai trò quan trọng trong giáo dục phổ thông. Bên cạnh đó, các em cho rằng "thay đổi và các mối quan hệ" là thú vị (chiếm 78,34%) và có nhiều ứng dụng trong thực tế 67 (chiếm 75,97%). Tuy nhiên, một điều đáng lưu ý là HS cũng cho rằng "thay đổi và các mối quan hệ" là những quy trình cần phải nhớ (chiếm 81,41%). Câu hỏi 2. Khả năng của HS khi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ". Bạn cảm thấy tự tin ở mức độ nào khi thực hiện các nhiệm vụ toán học sau? Chú ý: 1: Rất tự tin; 2: Tự tin; 3: Không tự tin; 4: Rất không tự tin. Nội dung 1 (%) 2 (%) 3 (%) 4 (%) a) Tính giá áo Việt Tiến sau khi đã giảm giá 15%. 37,58 46,50 10,83 5,09 b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: 22 4 5y x x 24,52 50,32 21,94 3,22 c) Hiểu các đồ thị được trình bày trên một tờ báo. 16,13 47,74 30,32 5,81 d) Tính số km xe máy đi được trong một lít xăng biết rằng số km này phụ thuộc vào vận tốc của xe theo một hàm số bậc nhất: số km = 5 3 x(vận tốc) + 10 3 11,46 44,59 38,85 5,10 e) Tìm khoảng cách thực sự giữa hai vị trí trên một bản đồ có tỉ lệ 1 : 100. 31,21 38,85 26,11 2,83 f) Tìm kiếm mối quan hệ của dãy số: 1; 2; 3; 5; 8; 13... 50,97 30,32 16,13 2,58 h) Mức tăng tiền lương sau ba năm nếu mỗi năm tăng 10%. 37,42 37,42 20,00 5,16 Phân tích: Câu hỏi 2 tìm hiểu về sự tự tin của HS khi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ". Với câu hỏi này chúng ta dễ dàng thấy sự tự tin của các em ở mức độ cao khi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ". Tuy nhiên, các em vẫn còn tỏ ra thiếu tự tin hơn đối với những vấn đề gần gũi với cuộc sống thực tế (sự tự tin ở trong các câu hỏi c, d, e, h thấp hơn so với các câu hỏi khác được tiến hành khảo sát). Câu hỏi 3: Suy nghĩ về việc học những vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ". Hãy cho biết bạn đồng ý với các câu sau ở mức độ nào? 68 Chú ý: 1: Rất đồng ý; 2: đồng ý; 3: Không đồng ý; 4: Rất không đồng ý. Nội dung 1 (%) 2 (%) 3 (%) 4 (%) a) Em thích thú khi tìm hiểu sự thay đổi của các đối tượng và mối liên hệ giữa chúng trong toán học. 20,92 52,94 23,53 2,61 b) Em gặp khó khăn khi tìm hiểu sự thay đổi các đối tượng và quan hệ giữa chúng trong toán học. 28,95 40,13 27,63 3,29 c) Em căng thẳng khi hiểu sự thay đổi của các đối tượng và mối liên hệ giữa chúng trong Toán học. 17,22 39,74 35,76 7,,28 d) Khi em đi tìm mối quan hệ toán học nào đó, em cảm thấy giống như em đang làm một điều gì đó hữu ích. 36,91 46,98 12,08 4,03 Phân tích: Câu hỏi 3: Tìm hiểu suy nghĩ của HS khi học những vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ". Hầu hết các HS tỏ ra thích thú (chiếm 73,86%) và cho rằng "thay đổi và các mối quan hệ" là hữu ích (chiếm 83,89%) nhưng đồng thời cũng thú nhận là gặp nhiều khó khăn trong việc học (chiếm 69,08%). Câu hỏi 4: Câu hỏi này tìm hiểu về thời gian học toán, bao gồm cả thời gian tham gia các hoạt động liên quan đến toán. Trong quá trình thống kê, có hai vấn đề thật sự đáng quan tâm: thời gian HS làm bài tập ở nhà do GV ở trường giao và thời gian đi học thêm ở ngoài nhà trường (câu hỏi a và e). Chúng tôi đã tiến hành thống kê và biểu diễn thông qua hình 4.3 và hình 4.4 69 Phân tích:  Dựa vào hình 4.3, số HS tham gia làm bài tập ở nhà do GV yêu cầu từ 6 giờ trở lên ở KVTP cao hơn HS ở KVNT (trừ 11h). Điều này cho thấy thời gian học bài ở nhà do GV giao của HS ở KVTP cao hơn HS ở KVNT. Cũng qua thống kê câu b), ta thấy HS ở KVTP hầu như không tham gia học phụ đạo ở trường (chiếm 95,35%) cao hơn nhiều so với HS ở KVNT (chiếm 38,81%) trong khi tỉ lệ tham gia học nâng cao về toán ở trường của hai khu vực là tương đối đồng đều (KVTP có số HS tham gia là 10,59% và KVNT có số HS tham gia là 12,70% tham gia).  Dựa vào hình 4.4 cho thấy số HS tham gia học thêm ngoài nhà trường từ 3 giờ đến 6 giờ ở KVTP cao hơn HS ở KVNT, đồng thời tỉ lệ thuê người về kèm tại nhà cũng cao hơn (35,77% HS ở KVTP thuê thầy về dạy kèm trong khi ở KVNT là 11,79%). Chúng tôi cũng nhận thấy rằng HS hầu như không tham gia học thêm ở KVNT khá cao.  Ngoài những buổi học toán chính thức, các trường hầu như không tổ chức các hoạt động toán học nào cho HS. Qua thống kê câu f) HS hoặc không trả lời hoặc nói không tham gia các hoạt động toán học nào. Tóm tắt chương 4: Trong chương này chúng tôi đã tiến hành phân tích các bài toán trong Bộ đề kiểm tra và phân tích các các kết quả khảo sát từ Bảng hỏi trên cơ sở thu được từ thực nghiệm. Những kết quả này là cơ sở để chúng tôi tiến hành trả lời và lý giải các câu hỏi được đặt ra ở chương 1 trong tiếp theo. 70 Chương 5. KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 1. Kết luận 1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất là: Các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi được thể hiện như thế nào? Thứ nhất: Qua số liệu thống kê cho thấy rằng các năng lực giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS còn khá hạn chế. Nền giáo dục nước ta có nhiều cố gắng trong việc giúp HS thấy được những ứng dụng thực tiễn của toán học, bằng chứng là cuộc cải cách sách giáo khoa gần đây đã đưa nhiều hơn các bài toán thực tế vào chương trình. Tuy nhiên, những đánh giá trong các kỳ thi quốc gia (thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học & Cao đẳng) vẫn chưa thấy nhiều những bài toán thực tế xuất hiện. Đây là nguyên nhân mà GV và HS không thật sự chú trọng đến vấn đề ứng dụng thực tiễn của toán. Vì vậy, HS chỉ chú tâm vào các năng lực phục vụ đắc lực khi tham gia các kỳ thi như: sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán; tư duy và suy luận; lập luận. Trong bài toán Chiều cao của trẻ, phần đông HS nhầm nhận xét của bài báo (chênh lệch giữa công thức cũ và công thức mới) với chiều cao tăng trưởng trong một năm của công thức mới. Điều này cho thấy sự yếu kém trong các năng lực đặt vấn đề và giải, giao tiếp, biểu diễn; Trong bài toán Lượng xăng tiêu thụ, không một HS nào giải quyết được vấn đề. Những lập luận sắc sảo nhất cũng nhầm tưởng đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường đi được trong một lít xăng là đường thẳng (thực ra là đường gấp khúc) là minh chứng khác cho sự yếu kém về các năng lực giao tiếp, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS. Thứ hai: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" có nhiều chênh lệch khi giải quyết các vấn đề có tình huống thực tiễn và các vấn đề nảy sinh từ đời sống thực tế. Kết quả thống kê cho thấy với những vấn đề có tình huống thực tiễn HS đạt kết quả tốt hơn nhiều so với những vấn đề nảy sinh từ đời sống thực tế. Những bài toán có tình huống thực tiễn thường là những bài toán trong nội tại toán học và được bối cảnh hóa hoặc là những vấn đề thực tế được cắt tỉa để đảm bảo tính chặt chẽ về hình thức (chẳng hạn như bài toán Số học sinh đậu đại học). Với những bài toán này, thường thì kinh nghiệm trong trường học được đặt rất nặng trong khi hầu như không cần đến kinh nghiệm cuộc sống. Trong khi đó, những bài toán nảy sinh trong đời sống thực tế thường phức tạp về mặt dữ liệu, vấn đề thật sự gắn chặt với bối cảnh (chẳng hạn như câu hỏi 3 của bài toán Giá thuê môtô lướt sóng; câu hỏi 2 của bài toán Giá cước taxi). Để giải quyết vấn đề đòi hỏi HS phải có một loạt kiến thức và 71 kỹ năng trong nhà trường cũng như trong cuộc sống hằng ngày. Và lúc đó, việc thấu hiểu bối cảnh vấn đề là một trong những nhân tố quan trọng giúp giải quyết bài toán. Tuy nhiên, để giải quyết những bài toán nảy sinh trong đời sống thực tế thường cần khá nhiều thời gian, đây cũng là một vấn đề khó khăn vì thời gian làm bài của HS có hạn trong khi nội dung kiểm tra phải trải đủ rộng. Thứ ba: Yếu tố bối cảnh là quan trọng và tác động mạnh mẽ đến thành tích về "thay đổi và các mối quan hệ" của HS. Nói đến bài toán thực tế là nói đến bối cảnh, mỗi bài toán thực tế "sống" trong một bối cảnh nhất định. Có hai lý do khiến cho bối cảnh ảnh hưởng mạnh mẽ đến kết quả của HS là: bối cảnh đó có thu hút được sự chú ý của HS không (nếu bối cảnh thu hút thì kích thích tính tích cực của HS) và có quen thuộc với HS không (nếu bối cảnh quen thuộc HS sẽ có nhiều kinh nghiệm trong cuộc sống hỗ trợ cho việc giải quyết vấn đề đặt ra). Từ kết quả thành tích vượt trội của ba bài toán IQ, Chiều cao của trẻ và Số học sinh đậu đại học cũng như sự vượt trội của HS ở KVNT so với HS ở KVTP trong bài toán Hồ cá cho thấy yếu tố bối cảnh là rất quan trọng đối với HS. Thứ tư: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" của HS ở KVNT thấp hơn HS ở KVTP. Nhìn chung, trong tất cả các bài toán tiến hành khảo sát thì thành tích của HS ở KVNT thấp hơn thành tích của HS ở KVTP (ngoại trừ bài toán Hồ cá). Chúng tôi nhận sự vượt trội trong cả bảy năng lực của HS ở KVTP so với HS ở KVNT (do điều kiện nên chúng tôi không khảo sát được năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ). 1.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai Câu hỏi nghiên cứu thứ hai là: Nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông có vai trò như thế nào với HS mười lăm tuổi? Việc rèn luyện cho HS khả năng ứng dụng toán học nói chung và về "thay đổi và các mối quan hệ" nói riêng vào thực tiễn góp phần quan trọng trong việc thực hiện các yêu cầu khác nhau của mục tiêu giáo dục và mục tiêu môn toán. Thứ nhất: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức. Trong dạy học toán, để HS tiếp thu tốt, rất cần đến sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, những vấn đề thực tế. Những hoạt động thực tiễn đó vừa có tác dụng nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn vừa giúp HS tích cực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức. Nếu bối cảnh thu hút được HS, nó trở thành nguyên nhân kích thích sự tích cực 72 giải quyết vấn đề cũng như khám phá tri thức. Từ kết quả các bài kiểm tra cho thấy: hầu hết HS đều tích cực trong các bài toán Chiều cao của trẻ, IQ, Số học sinh đậu đại học; HS ở KVNT tỏ ra tích cực hơn nhiều so với HS ở KVTP trong việc giải quyết bài toán Hồ cá. Thứ hai: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông góp phần giúp HS thực hành tốt các kỹ năng toán học trong đời sống. Cần lưu ý rằng kỹ năng tính toán trong đời sống không chỉ là kỹ năng giải một dạng toán nào đó mà bao gồm các kỹ năng giải quyết những vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hằng ngày như: giúp chúng ta mua sắm một cách khôn ngoan, mua bảo hiểm của công ty nào, sửa lại một căn nhà trong một ngân sách nhất định, hiểu được sự tăng trưởng dân số, hoặc thậm chí đặt cược vào đội bóng nào. Công cụ Bộ đề kiểm tra có sự xuất hiện của kỹ năng phê phán sự thiếu chính xác về lập luận trong câu hỏi 2 của bài toán Đèn giao thông tại ngã 6 (với vận tốc lợi xăng nhất là 40 km/h cũng chỉ đi được 70km nên lập luận chắc chắn là sai mặc dù ta vẫn chưa biết sai ở đâu); trong câu hỏi 3 của bài toán Lượng xăng tiêu thụ cũng hoàn toàn tương tự (trong giao thông mỗi màu có các quy định về ý nghĩa khác nhau như màu xanh là an toàn; màu đỏ là nguy hiểm). Thứ ba: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông giúp HS góp phần nâng cao các năng lực toán. OECD\PISA đã phân loại các năng lực toán học thành 8 năng lực khác nhau: tư duy và suy luận; lập luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diễn; sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán; sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ. Việc nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các cụm năng lực" sẽ góp phần nâng cao các năng lực trên, đặc biệt là các năng lực: giao tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diễn. 1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba Câu hỏi nghiên cứu thứ ba là: làm thế nào để nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi? Thứ nhất: Xây dựng một hệ thống bài tập thực tiễn theo từng chương, từng bài và từng mục một cách thích hợp. Trong tình hình giáo dục hiện nay, các GV luôn phải thực hiện theo đúng khung chương trình đề ra. Với khối lượng kiến thức phong phú trong khi thời gian truyền thụ giới hạn. Vì thế chúng tôi tin rằng việc xây dựng hệ thống bài tập thực tế thích hợp theo từng chương, từng bài, từng mục, từng chi tiết cụ thể được xem là cơ sở quan trọng trong việc lồng ghép những bài toán thực tiễn 73 vào dạy học. Những bài toán thực tiễn đôi lúc đơn giản chỉ là vận dụng vào bài dạy mang tính chất điểm tựa, để bài dạy thêm sinh động, tận dụng được nhiều cơ hội liên hệ thực tế hơn. Trong nhiều trường hợp, ta cần sáng tạo thêm một số bài toán khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát với đời sống thực tế địa phương hơn nhưng không phức tạp trong việc giải quyết chúng. Thứ hai: Cần lựa chọn thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy một cách thích hợp nhất. Việc lựa chọn thời điểm đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy là cả một nghệ thuật mà mỗi GV luôn phải tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm. Việc chọn thời điểm ở đây không chỉ để HS đã đủ cơ sở lý thuyết toán học cần thiết để giải quyết vấn đề mà còn phải giải quyết được các câu hỏi: HS đã có nhu cầu tìm hiểu chưa? Kinh nghiệm trong bối cảnh HS đã được tích lũy? Kiến thức toán học nào là phù hợp nhất để giải quyết vấn đề? Thứ ba: Sử dụng linh hoạt quy trình toán học hóa của PISA đề giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn. Quy trình toán học hóa của PISA là một trong những công cụ quan trọng giúp HS để giải quyết các vấn đề trong thế giới thực. Tuy nhiên, nó thường không cần thiết phải thực hiện tất cả các giai đoạn của quy trình, đặc biệt là trong bối cảnh của một đánh giá. Trong mỗi bài toán chúng ta chỉ cần thực hiện một số bước nhất định của quy trình toán học hóa để giải quyết vấn đề nhưng không phải tất cả các bước của quy trình. 2. Lý giải 2.1. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Thứ nhất: Qua số liệu thống kê cho thấy rằng các năng lực giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS còn rất hạn chế. Thông qua số liệu điều tra của Bảng hỏi, hầu hết HS đều cho rằng toán học thú vị (không biết vì toán học hấp dẫn hay vì nó xuất hiện trong hầu hết các kỳ thi) và tỏ ra tự tin khi đi giải quyết các vấn đề liên quan đến "thay đổi và các mối quan hệ". Tuy nhiên, qua kết quả thu thập được từ Bộ đề kiểm tra chúng tôi nhận thấy các năng lực giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải của HS còn hạn chế. Quy trình toán học hóa của PISA đòi hỏi rất nhiều về các năng lực giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa, đặt vấn đề và giải. Nó giúp thực hiện bước (2), chuyển hóa một vấn đề thực tiễn thành một bài toán. Trong khi phân tích bài làm của HS chúng tôi thấy HS mắc lỗi ở bước này rất nhiều. Chẳng hạn như câu hỏi 3 của bài toán Giá thuê môtô nước có 7% HS giải quyết được vấn đề trong khi đó 46% HS chỉ lập ra được bảng giá thỏa điều kiện "giá thuê trong 60 phút không cao hơn 1 triệu" nhưng không đáp ứng được yêu cầu "kích thích được du khách sử dụng trong thời gian 74 dài". Trong câu hỏi 3 của bài toán Hợp đồng lao động có 11% giải quyết được vấn đề trong khi 29% đưa ra được phương án đúng nhưng giải thích sai. Sai lầm phổ biến là lấy tiền lương mỗi tháng của năm thứ 2 hoặc năm thứ 5 của hai phương án chọn tiền lương để so sánh rồi đưa ra kết luận. Điều này cho thấy năng lực đặt vấn đề và giải và năng lực giao tiếp còn rất yếu. Một ví dụ khác cho thấy năng lực đặt vấn đề và giải của HS rất yếu là câu hỏi 2 trong bài toán Lượng xăng liêu thụ không có HS nào giải quyết được vấn đề đặt ra. Mặc dù có tới 40% HS chỉ được lập luận của An là sai nhưng lại giải thích dựa trên cơ sở mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường đi được trên một lít xăng là một hàm số bậc nhất (trong bài toán là một đường gấp khúc). Có hai bài toán mà thành tích của HS khá cao là Chiều cao của trẻ và Số HS đậu đại học. Nếu chúng ta xem xét một cách kỹ lưỡng, để tính chiều cao của mình HS làm tròn tuổi theo năm không một chút băn khoăn (câu hỏi 2 của bài toán Chiều cao của trẻ) và như thế việc tính chiều cao theo công thức sẽ không đem lại hiệu quả như mong muốn. Trong câu hỏi 3 của bài toán Số HS đậu đại học, HS vẫn đưa ra được kết luận: tỉ số phần trăm trong một số trường hợp không lột tả hết ý của số liệu dựa vào công thức tính tỉ số phần trăm những điều này khó thuyết phục người khác hơn là đưa ra một phản ví dụ. Có thể nói những điều này là hệ quả của giáo dục còn nặng lý thuyết. Tuy nhiên, giáo dục nước ta lại đem lại những ưu thế trong việc phát triển các năng lực: lập luận; tư duy và suy luận; sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán. Thứ hai: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" có nhiều chênh lệch khi giải quyết các vấn đề có tình huống thực tiễn và các vấn đề nảy sinh từ đời sống thực tế. Các vấn đề thực tiễn có thể phân chia thành hai loại: các vấn đề có tình huống thực tiễn và các vấn đề nảy sinh từ đời sống thực tế. Trong câu hỏi 3 của bài toán Giá thuê môtô nước, hầu hết HS chỉ quan tâm đến điều kiện "giá thuê 60 phút không vượt quá 1 triệu" (có 40% HS đáp ứng vấn đề này) mà không để ý đến điều kiện "kích thích du khách sử dụng trong thời gian dài" (chỉ có 7% HS đáp ứng được điều kiện này). Điều này cho thấy khả năng giải quyết các vấn đề thực tiễn của HS khá yếu. Một ví dụ khác là câu hỏi 3 của bài toán Hợp đồng lao động, câu hỏi yêu cầu là phương án chọn nào lợi hơn (có thể lấy tổng lương, trung bình lươngđể so sánh) nhưng rất nhiều HS tính mức lương của một năm nào đó (năm thứ 2, 3 hoặc 5) rồi đem kết quả này so sánh rồi lựa chọn phương án có lợi là không hợp lý. Với những bằng chứng đó cho thấy HS gặp khó khăn trong việc chuyển đổi những yêu cầu cuộc sống sang vấn đề trong toán học, đây cũng là lý do chính làm cho kết quả của những vấn đề nãy sinh từ đời sống thực tế khá thấp. 75 Thường thì các bài toán gắn liền với đời sống trong giáo dục phổ thông nước ta là những vấn đề có tình huống thực tiễn, nó xuất phát từ một bài toán nào đó và được bối cảnh hóa. Ví dụ bài toán điển hình sau đây: Cho hai điểm A, B nằm cùng một phía so với đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất? Bài toán được bối cảnh hóa như sau: Hàng ngày bạn An phải đi từ nhà đến bờ sông xách nước để tưới cây cho ruộng rau ở cùng một phía với bờ sông. Hỏi bạn An phải chọn vị trí nơi lấy nước tại bờ sông ở chỗ nào để quãng đường đi từ nhà đến ruộng rau là ngắn nhất? Thứ ba: Yếu tố bối cảnh là quan trọng và tác động mạnh mẽ đến thành tích của HS. Dựa vào hình 4.1 chúng ta có thể thấy Số HS đậu đại học và IQ là hai bài toán mà HS đạt thành tích cao nhất. Bối cảnh là một trong những nguyên nhân chính làm nên sự khác biệt này. Hai bối cảnh đó được sự quan tâm của xã hội nói chung và của chính các em HS nói riêng. Vì vậy đã kích thích được tính tích cực của HS. Dựa vào hình 4.2 cho thấy hầu hết các bài toán HS ở KVTP đều có kết quả tốt hơn HS ở KVNT ngoại trừ bài toán Hồ cá. Bối cảnh của bài toán Hồ cá là quen thuộc đối với HS ở KVNT nhưng không quen thuộc đối với HS ở KVTP. Nhờ thế, các câu trả lời của HS ở KVTP cũng rất đa dạng. Ngược lại, Đèn giao thông tại ngã 6 là bài toán có bối cảnh không quen thuộc cho HS ở KVNT nên đây là toàn toán mà HS ở KVNT giải quyết được rất ít (câu hỏi 2 và câu hỏi 3 không có HS ở KVNT nào giải quyết được) trong khi đó tỉ lệ HS ở KVTP giải quyết được vấn đề rất cao (câu hỏi 2 chiếm 47% và câu hỏi 3 chiếm 53%). Hai bài toán mà tỉ lệ HS giải quyết được khá thấp là Hợp đồng lao động và Giá thuê môtô nước. Một trong những nguyên nhân chính của kết quả này là bối cảnh không mấy quen thuộc với HS, làm HS không tự tin trong việc giải quyết vấn đề đặt ra. Với những bằng chứng trên, chúng tôi tin rằng bối cảnh ảnh hưởng mạnh mẽ đến HS cả về khả năng giải quyết vấn đề cũng như hứng thú học tập. Vì vậy, khi dạy những bài toán thực tiễn cần phải xem xét kỹ vấn đề bối cảnh, phải cố gắng kết nối bối cảnh của bài toán với kinh nghiệm trước đây của HS. Thứ tư: Năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" không đồng đều giữa khu vực nông thôn và khu vực thành phố. Dựa vào hình 4.2 chúng ta thấy kết quả giải quyết của HS ở KVNT thấp hơn so với HS ở KVTP (ngoại trừ bài Hồ cá). Kết quả này không phải là mới, nó là thực trạng không chỉ nước ta mà của nhiều nước trên thế giới. 76 Kết quả từ hình 4.3 cho thấy khoảng thời gian học toán ở nhà do GV giao của HS ở KVTP cao hơn HS ở KVNT. Đây là một trong những nguyên nhân dẫn đến năng lực toán học của HS ở KVTP tốt hơn nhiều so với HS ở KVNT. Bên cạnh đó hình 4.4 cho thấy HS ở KVNT hầu như không tham gia học thêm chiếm một tỉ lệ khá lớn (chiếm 62,32%) trong khi tỉ lệ này của HS ở KVTP chỉ chiếm 16,67%. Đây cũng là một nguyên nhân khác dẫn đến sự chênh lệch về các năng lực toán học của HS ở hai khu vực. 2.2. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ hai Thứ nhất: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức. Ở những lớp dưới, GV thường dùng những cách như cho điểm, khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình...để tạo động cơ học tập cho HS. Càng lên lớp cao, cùng với sự trưởng thành của HS, những cách tác động xuất phát từ nội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với gia đình và xã hội...ngày càng trở nên quan trọng. Trên phương diện là GV, hình thức xây dựng động cơ cần được quan tâm, một trong những tạo động cơ tích cực là sự hứng thú của các em đối với vấn đề mà GV đề cập. Nếu GV chú ý liên hệ vấn đề với thực tế xung quanh các em thì việc dạy học sẽ rất hữu hiệu. Phải cho HS thấy điều các em đang học là gần gũi, có ý nghĩa và rất cần thiết. Từ đó kích thích tính tích cực của HS trong học tập. Kỹ năng toán học hóa hỗ trợ đắc lực trong việc giải quyết các bài toán có tình huống thực tiễn hoặc các bài toán nảy sinh từ đời sống thực tế. Nó góp phần tạo điều kiện cho HS biết vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trường vào cuộc sống, gây hứng thú học tập, giúp HS nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức. Để rèn cho HS các kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn, GV cần chú ý lựa chọn các bài toán có nội dung thực tế trong bối cảnh khoa học, kỹ thuật gắn liền với các môn học khác và nhất là thực tế đời sống hàng ngày quen thuộc với HS. Đồng thời, nên phát biểu một số bài toán không phải thuần túy dưới dạng toán học mà dưới dạng một vấn đề thực tế cần phải giải quyết. Thứ hai: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông góp phần giúp HS thực hành tốt các kỹ năng toán học trong đời sống. Trong thực tiễn lao động sản xuất, hoạt động xã hội, việc tính toán, đo đạcvới độ chính xác nhất định là rất cần thiết và xảy ra hằng ngày. HS phải biết vận dụng các 77 kỹ năng toán học như tính nhẩm, tính bằng bảng tính, thước tính, bảng đồ, đồ thị, máy tính...một cách thành thạo và đúng đắn. Ngoài ra, cần giải quyết nhiều vấn đề trong thực tiễn với phương pháp hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm tư duy, thời gian, tiền bạc và sức lao động. Việc vận dụng toán học vào thực tiễn cũng như tập dượt nghiên cứu khoa học trong đó có các hoạt động như: thu thập tài liệu trong thực tế, mò mẫm, dùng quy nạp không hoàn toàn để dự kiến quy luật, rồi dùng quy nạp toán học để chứng minh tính đúng đắn của các quy luật dự kiến; thu thập tài liệu thống kê trong sản xuất, quản lí kinh tế trong xã hội để tìm quy luật chung; ước liệu từ mẫu thống kê đến tập hợp tổng quát về năng suất vụ mùa, năng suất lao động, bình quân nhân khẩu, phế phẩm, số lượng cỡ hàng,... Để thực hiện tốt vấn đề này cần cho HS tham gia những hoạt động thực tiễn, vào các nhà máy, xí nghiệp, hợp tác xã, thu thập tư liệu (ghi chép vào sổ thực tế), nói chuyện với công nhân, nông dân tập thể, kỹ thuật viên, với người quản lí kinh tế...để có được những tư liệu sống, rồi trên cơ sở đó dùng kiến thức toán học mà phân tích hoặc để tích luỹ thực tiễn, làm vốn quý cho việc tiếp tục học toán cũng như học các môn học khác. Bằng các hoạt động đó, HS làm quen với các bước vận dụng toán học vào thực tiễn: đặt bài toán, xây dựng mô hình, thu thập số liệu, xử lý mô hình để tìm lời giải bài toán, đối chiếu lời giải với thực tế, kiểm tra và điều chỉnh. Do đó, việc nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" giúp HS vận dụng toán học vào thực tiễn, một mặt một mặt góp phần giúp HS thực hành tốt các kỹ năng toán học (như tính nhanh, tính nhẩm, kỹ năng đọc biểu đồ, kỹ năng suy diễn toán học, tính có căn cứ đầy đủ của các lập luận...). Mặt khác, giúp HS quen dần với các tình huống thực tiễn gần gũi trong cuộc sống, góp phần tích cực trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo HS phổ thông, đáp ứng yêu cầu của xã hội. Thứ ba: Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông giúp HS góp phần nâng cao các năng lực toán học Để phát triển các năng lực toán học, cần thiết phải rèn luyện cho HS ứng dụng kiến thức toán học và đặc biệt là ứng dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. Chẳng hạn đối với năng lực giao tiếp, việc giao tiếp với bài toán thuần túy toán học không khó khăn bằng việc giao tiếp với bài toán thực tiễn tương ứng (kiến thức toán học của hai bài toán về bản chất là như nhau). Điều này do các bài toán thực tiễn liên quan nhiều đến số liệu, dữ liệu, đối tượng khác nhau của thực tiễn, tạo nên cái vỏ bọc hình thức phong phú, đa dạng hơn. Do đó, việc rèn luyện cho HS khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn góp phần phát triển các năng lực toán. 78 2.3. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ ba Thứ nhất: Xây dựng một hệ thống bài tập thực tiễn theo từng chương, từng bài và từng mục một cách thích hợp. Tùy thuộc vào từng chương, từng bài mà chúng ta lựa chọn hay xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn một cách phù hợp. Cần phải lựa chọn thời điểm giới thiệu bài toán với HS sao cho phát huy được tính tích cực của HS. Chúng ta có thể đưa vào bài toán thực tiễn khi mở bài (hay đặt vấn đề), khi khai thác các ví dụ hay đơn giản chỉ là để củng cố kiến thức, thay thế bổ sung các ví dụ hoặc thay thế bổ sung bài tập trong SGK một cách thích hợp. Đặc biệt, cần thực hiện những buổi ngoại khóa ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn phù hợp với tính chất, trình độ của HS cũng như cơ sở vật chất hiện tại. Bối cảnh của vấn đề là một điều đáng quan tâm khi xây dựng xây dựng các bài toán thực tiễn. Thông qua số liệu thống kê của các bài toán Giá thuê môtô lướt sóng (Đà Nẵng đã có từ lâu nhưng Huế vừa mới đưa vào khai thác nên bối cảnh này không quen thuộc với HS); Hồ cá (bối cảnh này là quen thuộc với HS nông thôn) và Đèn giao thông tại ngã 6 (bối cảnh này là quen thuộc với HS thành phố)cho thấy rằng bối cảnh bài toán ảnh hưởng rất lớn đến hứng thú và kinh nghiệm của HS. Kinh nghiệm, ấn tượng về bối cảnh giúp HS nắm bắt bài toán nhanh chóng, một trong những vấn đề then chốt giúp HS giải quyết nhanh và chính xác vấn đề. Như vậy, việc xây dựng các bài toán cần phải tính đến bối cảnh một cách cẩn thận. Khi hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được lựa chọn, cân nhắc một cách thận trọng về nội dung cũng như hình thức và số lượng theo từng chủ đề kiến thức toán trong chương trình THPT. Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy cần chú ý vận dụng linh hoạt vào từng trường hợp cụ thể:  Đối với HS trung bình, yếu GV cần bổ sung những bài toán thực tiễn ở mức độ thấp hơn những bài tập trong hệ thống hoặc sử dụng những bài toán trong hệ thống nhưng có sự chỉ dẫn, gợi ý giúp các em giải quyết vấn đề;  Đối với những HS khá, giỏi GV có thể lựa chọn vấn đề có tính phức tạp cao. Tính phức tạp không phải là sự thách thức về kiến thức mà là những vấn đề thật sự nảy sinh từ cuộc sống. Thường những vấn đề này có dữ liệu phức tạp, đòi hỏi khả năng phân tích, suy luận, đặt giả thiếtbởi nó ít được cơ cấu hơn. Thứ hai: Cần lựa chọn thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy một cách thích hợp nhất. 79 Để giải quyết được vấn đề, chúng ta có nhiều con đường tiếp cận, mỗi con đường tiếp cận có những ưu nhược điểm riêng. Do vậy, khi giải quyết các vấn đề thực tiễn GV cần phải tạo điều kiện thuận lợi cho HS tiếp cận và giải quyết vấn đề (cung cấp những công cụ toán học có thế mạnh để giải quyết vấn đề). Thông qua việc thống kê bài toán Hợp đồng lao động chúng tôi thấy rằng kết quả giải quyết các câu hỏi 2 và câu hỏi 3 rất thấp. Một trong những nguyên nhân chính là chúng tôi đã lồng vào đây kiến thức của cấp số nhân (một nội dung toán sẽ được học ở lớp 11). Vì vậy, HS cần huy động các năng lực tư duy và suy luận, lập luận ở mức cao (mức liên kết ở câu hỏi 1; mức phản ánh ở các câu hỏi 2, 3) để giải quyết vấn đề nhưng đối với HS lớp 11 (sau khi học cấp số nhân) vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Như đã trình bày, các bài toán thực tiễn gắn liền với bối cảnh. Khi đưa ra một bài toán thực tiễn GV cần tính đến yếu tố này, cần giúp HS có sự tự tin khi giải quyết vấn đề cũng như có đủ kinh nghiệm xung quanh vấn đề được đề cập. Tuy nước ta đạt được nhiều thành tích trong các kỳ thi Olympic toán Quốc tế nhưng không tham gia cuộc thi toán học mô phỏng (trong khi Trung Quốc lại có rất nhiều đội tuyển thành công trong cuộc thi này). Điều đó cho thấy nền giáo dục nước ta vẫn còn nặng về toán lý thuyết. Do vậy, cần điều phối thời gian cho các bài toán thực tiễn trong chương trình toán THPT, giúp HS làm quen dần với toán học thực tiễn. Từ đó giúp HS nhận ra rằng toán học không chỉ là công cụ tuyển chọn mà còn là con đường để khám phá thế giới. Làm được điều này là cả một nghệ thuật của người thầy giáo. Thứ ba: Sử dụng linh hoạt quy trình toán học hóa của PISA đề giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn. Các bài toán nảy sinh từ đời sống thực tế thường phức tạp về dữ liệu và phong phú về cách thức giải quyết. Do đó, việc tuân thủ quy trình toán học hóa là chìa khóa quan trọng giúp giải quyết chúng. Cần lưu ý là để giải quyết những bài toán nãy sinh từ thực tiễn thường mất rất nhiều thời gian. Trong phạm vi một đánh giá đòi hỏi phải có độ rộng nhất định về kiến thức trong một khoảng thời gian cố đinh. Chính vì vậy, ở từng nội dung không cho phép người ta phân phối quá nhiều thời gian. Mặt khác, các bài toán mà giáo dục chúng ta đang sử dụng chủ yếu là những bài toán có tình huống thực tiễn nên dữ liệu phần nào đã được gọt tỉa để đảm bảo tính ngắn gọn và chặt chẽ cao (không cần phải cắt tỉa vấn đề). Vì lẽ đó, HS cần linh hoạt trong vận dụng quy trình toán học hóa của PISA, có thể bỏ qua một số bước của quy trình trong những bài toán cụ thể. Thông thường, chìa khóa quan trọng là sự chuyển đổi từ ngôn ngữ lời văn sang ngôn ngữ ký 80 hiệu toán học. Khi trở thành vấn đề trong nội bộ toán học thì HS tuân thủ những quy tắc trong nội bộ toán học để giải quyết. Chẳng hạn bài toán Tưới rau sau: Hằng ngày bạn An phải đi từ nhà đến bờ sông xách nước để tưới cây cho ruộng rau ở cùng một phía với bờ sông. Hỏi bạn An phải chọn vị trí nơi lấy nước tại bờ sông ở chỗ nào để quãng đường đi từ nhà đến ruộng rau là ngắn nhất? Với bài toán này, ta xem nhà và bờ sông lần lượt là các điểm A, B; con sông là một đường thẳng l. Khi đó, để giải quyết HS phải tiến hành theo đúng giải thuật: bước 1 là tìm điểm A’ đối xứng với A qua l; bước 2 là tìm giao điểm M của A’B với l. Vậy điểm M là vị trí mà An cần tìm. Rõ ràng bài toán này không cần sử dụng tất cả các bước của quy trình toán học hóa, thậm chí cũng không cần nhiều đến kinh nghiệm cuộc sống của HS. Có một điều đáng lưu ý là hệ thống các bài toán thực tế của giáo dục nước ta như thế khá nhiều, thực tiễn nhưng ở mức độ đơn giản hoặc đã qua gọt tỉa. Như vậy, toán chỉ là toán với các con số khô khan. Đôi khi người ta có ý kiến có cần thiết phải giải các bài toán thực tiễn kiểu thế này không vì một số trường hợp kết quả không ảnh hưởng nhiều đến hiệu suất công việc. Chẳng hạn ở bài toán Tưới rau, có cần thiết quan tâm đến quãng đường ngắn nhất từ nhàbờ sôngvườn. Bởi trong một lần tưới cây người ta chỉ đi có một lần từ nhàbờ sôngvườn còn lại thì vườn  bờ sông. Vì vậy, kết quả của bài toán không thật sự có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Tuy nhiên, nếu đi một lần trong một ngày thì trong một năm lại có rất nhiều lần phải đi. Hơn thế nữa, muốn HS tư duy giải quyết các bài toán thực tiễn phức tạp thì phải tạo ra những tiếp cận mang tính sư phạm. Chúng ta vẫn có thể đưa ra những bài toán đòi hỏi cao hơn kinh nghiệm HS, chẳng hạn bài toán sau: Một người đi xe đạp dự kiến trong buổi sáng đi hết quãng đường 60km. Khi đi được 1/2 quãng đường, anh ta thấy vận tốc của mình chỉ bằng 2/3 vận tốc dự kiến, anh ta bèn đạp nhanh hơn vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm mất 45 phút. Hỏi vận tốc dự kiến của người đi xe đạp là bao nhiêu? Bài toán có thể được giải quyết như sau: Gọi v (km/h) là vận tốc dự kiến của người đi xe đạp (v > 0). Theo đề bài ta có phương trình: 2 1230 30 60 3 3 51 180 0 2 53 4 3 v v v vv v v             . Đưa vào toán về vấn đề thực tế (bước 5 trong quy trình toán học hóa của PISA), nếu vận tốc dự kiến là 5(km/h) thì vận tốc đã đi lúc đầu là 10/3(km/h). Vận tốc này quá thấp đối với người đi xe đạp. Hơn nữa, với vận tốc dự kiến là 5(km/h) 81 thì thời gian đi thật sự là 12 giờ 45 phút. Rõ ràng người đó không thể hoàn thành chuyến đi trong buổi sáng. Vậy nên vận tốc này không được chấp nhận. 3. Vận dụng Nghiên cứu đã đem lại một cái nhìn khách quan về các năng lực toán mà HS mười lăm tuổi tại Thừa Thiên Huế thể hiện trong việc giải quyết các vấn đề về "thay đổi và các mối quan hệ" theo quy trình toán học hóa của PISA, đó là: tư duy và suy luận; lập luận; giao tiếp; mô hình hóa; đặt vấn đề và giải (không đánh giá năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ). Thông qua các kết quả, mong muốn các nhà giáo dục quan tâm hơn nữa với toán thực tiễn, cho toán thực tiễn có một vị trí xứng đáng với bản chất vốn có của nó. Giúp HS thấy toán học không chỉ là công cụ tuyển chọn mà còn là con đường để khám phá thế giới. Bối cảnh đóng một vai trò quan trọng với các bài toán thực tiễn, nó góp phần tạo ra sự hứng thú cho HS khi giải quyết vấn đề cũng như phát huy những kinh nghiệm liên quan đến bối cảnh đó. Do vậy, các bài toán thực tiễn được đề cập nên là những vấn đề xã hội quan tâm; phải làm cho HS thấy được sự gần gũi và tính thiết thực của nó đối với bản thân các em. Quy trình toán học hóa của PISA thật sự là một công cụ hữu ích cho việc giải các bài toán thực tiễn, đặc biệt là các bài toán nảy sinh từ cuộc sống thực tế. Trong khi đó, các bài toán thực tiễn trong chương trình THPT hiện nay ở nước ta chủ yếu là những bài toán có tình huống thực tiễn. Quá trình giải quyết những bài toán này không khác mấy so với những bài toàn thuần túy toán học. GV cần có những thay đổi nhất định trong việc xây dụng các bài toán thực tiễn trong giảng dạy của mình. Có như vậy mới giúp HS giảm được những khó khăn khi tham gia đánh giá PISA vào năm 2012, năm mà đánh giá toán học đóng vai trò trọng yếu. Tóm tắt chương 5: Chương này đã trả lời và lý giải ba câu hỏi nghiên cứu được đặt ra ở chương 1. Qua đó, chúng tôi mong muốn những kết quả này đem lại ý nghĩa cho giáo dục nước nhà. Những kết quả chung của toàn bộ luận văn được chúng tôi tóm tắt lại trong phần kết luận ở trang sau. 82 KẾT LUẬN Với sự nghiêm túc và nỗ lực trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi hoàn thành đề tài với những kết luận cơ bản sau: a) Về phương diện lý luận  Chúng tôi đã đưa ra những bằng chứng cho thấy nhu cầu gắn kết toán học với thực tiễn; làm rõ quy trình toán học hóa của PISA cũng như nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ";  Chúng tôi đã chỉ ra được những khó khăn chính mà GV mắc phải khi giảng dạy những vấn đề liên quan đến thực tiễn. Từ đó GV có sự quan tâm đúng mức để quá trình dạy học này trở nên hiệu quả hơn;  Chúng tôi đã trình bày những nét tiêu biểu nhất của chương trình đánh giá PISA liên quan đến toán học hóa và "thay đổi và các mối quan hệ";  Trên cơ sở hệ thống các bài toán mà PISA dùng để đánh giá toán trong các năm 2003, 2006 và 2009, chúng tôi phân tích và xây dựng được Bộ đề kiểm tra gồm 9 bài toán trong phạm vi nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ" để tiến hành khảo sát HS ở Thừa Thiên Huế;  Luận văn được xem như là tài liệu tham khảo cho các độc giả quan tâm đến chương trình đánh giá của PISA. b) Về mặt thực tiễn  Qua khảo sát chúng tôi thu được những kết quả đáng tin cậy về sự thể hiện năng lực toán của HS ở Thừa Thiên Huế;  Chúng tôi cũng đưa ra được một số biện pháp để phát triển các năng lực của học sinh trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn về "thay đổi và các mối quan hệ";  Chúng tôi cũng đưa ra một số giải pháp trong việc giảng dạy những vấn đề liên quan đến thực tiễn trong bối cảnh nước ta cũng như cách sử dụng quy trình toán học hóa của PISA trong giải quyết các vấn đề thực tiễn;  Dự kiến năm 2012 nước ta tham gia đánh giá PISA, mặt khác năm 2012 là năm mà toán học được chú trọng trong đánh giá của PISA. Chúng tôi hy vọng rằng đề tài này đóng góp một phần nhỏ trong việc định hướng giáo dục, giúp cho quá trình tham gia đánh giá được hiệu quả cao. 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Nguyễn Văn Dũng (2007), Sử dụng mô hình hoá toán học trong chương trình toán phổ thông để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề cho người học, Luận văn Thạc sĩ. 2. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Đánh giá trong giáo dục toán, Giáo trình dành cho sinh viên năm tư trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế. 3. Nguyễn Lan Phương (2007), Đánh giá chất lượng giáo dục toán, Bài giảng cho học viên Cao học, Viện khoa học Giáo dục, Hà Nội. 4. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông (các tình huống điển hình), NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. 5. Trần Vui (2006), Những xu hướng mới trong dạy học toán, Bài giảng cho học viên Cao học, Đại học Sư phạm-Đại học Huế. 6. Trần Vui (2008), Đánh giá hiểu biết toán của học sinh tuổi mười lăm - Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, Tài liệu cho học viên Cao học, Đại học Sư phạm - Đại học Huế. Tiếng Anh 7. Gabriele Kaiser (2004), “Mathematical Modelling in School – Example and Ex- periences”. 8. Frank Swetz and J. S. Hartzler (1991), Mathematical Modeling in the Secondary School Curriculum, NCTM, USA. 9. NCTM (2000), Principles and Standards in Mathematics, NCTM, USA. 10. OECD (2003a), The PISA 2003 Assessment Framework – Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, OECD, Paris, France, 2003. 11. OECD (2003b), PISA 2003 technical report, Paris, France, 2003. 12. OECD (2006), PISA released items mathematics, Paris, France, 2003. 13. OECD (2009), Learning Mathematics for Life: A Perspective from PISA, Paris, France, 2009. 14. Vogel, R. & Ludwigsburg (2005), “Patterns - a fundamential idea of mathemati- cal thinking and learning”, ZDM: The International Journal on Mathematics Education, Vol. 37 (5), pp. 445-449. 84 Các địa chỉ Internet 15. index.php?t1459.html. 16. 17. 18. 19. 85 36,43,51,52,68,69 1-35,37-42,44-50,53-67,70-84