Luận án Quá trình rã h0 → µ±τ∓ trong một số mô hình chuẩn mở rộng

ên phải Hình 4.3 có Br(h0 → µ±τ∓) lớn do có đóng góp từ hằng số tự tương tác λh0h±1 h±1 và yL có thể nhận giá trị lớn. Tuy nhiên, trong mô hình đang xét, |(yL)23| bị giới hạn bởi (4.29), ví dụ mh±1 = 3 TeV sẽ dẫn đến |(yL)23| < 0.45. Kết quả là đóng góp từ giản đồ Hình 4.3 d) vào BR của rã h0 → µ±τ∓ khoảng 10−10, nhưng nó gợi ý rằng đóng góp từ neutrino thông thường có thể lớn hơn trong các mô hình bổ đính bậc cao hơn với mh±1 nhỏ và yL cần được mở rộng thêm. Đây là một vấn đề đáng được quan tâm và nghiên cứu. 78 Tiếp theo chúng tôi xét đóng góp đến từ các neutrino mới. Các đóng góp chính vào BR đến từ hai giản đồ Nh±2 h ∓ 2 và h ± 2 NN , tương ứng với các đường trong liên quan đến các hạt ảo {N, h±2 , h±2 } và {h±2 , N,N}, biểu thị trong Hình 4.4 và Hình 4.5. Cả hai đóng góp này có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào yL nhưng phụ thuộc mạnh vào |(yR)ij|, với {i, j} = {2, 3}. Đặc điểm quan trọng nhất ở đây là BR tăng mạnh cùng với sự tăng của |y′R|, được thể hiện trong các đồ thị bên trái của hai Hình 4.4 và Hình 4.5. Riêng trường hợp Nh±2 h ∓ 2 , BR tăng cùng với sự giảm mh±2 như trong đồ thị bên phải Hình 4.4. v'=1 TeV v'=3 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV -1 1 2 3 4 y'R 10-11 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 BrHh®ΜΤL v'=1 TeV v'=3 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV 4000 6000 8000 10 000 mh2 ± @GeVD 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 BrHh®ΜΤL Hình 4.4: Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh là hàm theo biến y′R (đồ thị trái) và mh± 2 (đồ thị phải). Các đóng góp vào Br(h0 → µ±τ∓) từ các vòng Nh±2 h±2 Hình 4.2 d) Xét sự biến đổi của Br(h0 → µ±τ∓) theo v′ và mN2 (hoặc mN3). Cụ thể là đóng góp từ Nh±2 h ∓ 2 giảm khi cả hai biến tăng, đóng góp từ h ± 2 NN thì ngược lại. Đối với các đóng góp từ Nh±2 h ± 2 , phần cho đóng góp có chứa số hạng m2Na/v ′ riêng biệt đến từ biểu thức giải tích của hàm C. Do đó, với giá trị nhỏ của v′ và giá trị lớn của mNa sẽ dẫn đến kết quả BR lớn, được thể hiện trong Hình 4.5. Tất cả các thảo luận trên cho thấy rằng, giá trị Br (h0 → µ±τ∓) sẽ lớn 79 v'=1 TeV v'=3 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV -1 1 2 3 4 y'R 10-11 10-9 10-7 10-5 BrHh®ΜΤL v'=1 TeV v'=3 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV 1000 2000 3000 4000 5000 6000 mN2 @GeVD 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 BrHh®ΜΤL Hình 4.5: Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh là hàm theo biến y′R (đồ thị trái) và mN2 (đồ thị phải), các đóng góp vào Br(h0 → µ±τ∓) từ các vòng h±2 NN Hình 4.2 f) với khối lượng nhỏ của boson Higgs điện tích đơn và giá trị lớn của tất cả các tham số sau: Hằng số tương tác |y′R|, |(yL)23| và hằng số tự tương tác λ. Riêng sự phụ thuộc vào v′ và mN2,3 thì phức tạp hơn, được khảo sát trong Hình 4.6. Từ Hình 4.6 cho thấy, y′R ảnh hưởng mạnh nhất đến BR của rã h0 → µ±τ∓. Cụ thể, giá trị BR chỉ lớn hơn 10−6 khi |y′R| ≥ 2. Đặc biệt, BR không phụ thuộc vào dấu của sα và y′R, nhưng nó phụ thuộc đáng kể vào giá trị tuyệt đối của tham số này. Với λ = 4, mh±2 = 3 TeV và sα = 0.3, BR của rã h0 → µ±τ∓ có thể đạt đến bậc cỡ 10−5 khi tất cả các điều kiện sau đây được thỏa mãn: |y′R| ≥ 3, v′ ≥ 8 TeV và mN2,3 là đủ nhỏ. Cuối cùng, nếu boson Higgs điện tích đôi đủ nặng như khảo sát trong [49], vẫn cho phép boson Higgs điện tích đơn h±2 có khối lượng nhẹ cỡ 1 TeV. Bên cạnh đó, nếu xét trường hợp mN2 = mN3/2 = f × v′ và sử dụng sα = 0.3 dẫn đến v′ ≤ 9 TeV. Thêm vào đó, nếu y′R = 4 thì Br(h0 → µ±τ∓) có thể đạt đến giá trị 10−4, giá trị này rất gần với giá trị giới hạn trên được ghi nhận bởi CMS. Kết quả này được minh họa trong 80 v'=1 TeV v'=3 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV 1000 2000 3000 4000 5000 6000 mN2 @GeVD 5´ 10-8 1´ 10-7 5´ 10-7 1´ 10-6 5´ 10-6 1´ 10-5 BrHh®ΜΤL v'=1 TeV v'=3 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV 2 4 6 8 10 Λ 10-7 10-6 10-5 10-4 BrHh®ΜΤL v'=1 TeV v'=2 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV -0.4 -0.2 0.2 0.4 sΑ 10-8 10-7 10-6 10-5 BrHh®ΜΤL v'=1 TeV v'=2 TeV v'=8 TeV v'=10 TeV -1 1 2 3 4 y'R 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 BrHh®ΜΤL Hình 4.6: Đồ thị biểu diễn các tỷ lệ rã nhánh Br(h0 → µ±τ∓) với đóng góp toàn phần là hàm theo từng biến mN2 , λ, sα và y′R. Hình 4.7, trong đó tham số f nhận giá trị trong khoảng 0.1 ≤ f ≤ 6 (0.1 ≤ f ≤ 2) trong đồ thị bên trái (đồ thị phải). Từ kết quả giải số với y′R = 4 thì Br(h 0 → µ±τ∓) nhận giá trị bậc 10−4 khi mh±2 ≥ 1 TeV. Giá trị này của BR chỉ nằm trong vùng v′ lớn hơn 4 TeV nhưng mN2 và mN3 phải nhận giá trị nhỏ. Mặt khác, BR cũng không thay đổi với điều kiện tổng quát mN2 ≤ mN3, thay vì điều kiện mN2 = 1/2mN3 được sử dụng ở trên. Trong trường hợp này, BR của rã h0 → µ±τ∓ lớn tương ứng với đóng góp từ giản đồ h±2NN là chiếm ưu thế. Nếu trường hợp này được nghiên cứu và xác nhận thì các neutrino nặng có thể được phát hiện trong các máy va chạm lepton trong tương lai [72–74]. 81 0.1 0.51 2 3 2000 4000 6000 8000 10 000 0 1 2 3 4 5 6 v' @GeVD f BrHh®ΜΤL@10-5D, y'R=4, mh2±=1 TeV 0.5 1 2 5 10 20 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10 000 0.5 1.0 1.5 2.0 v' @GeVD f BrHh®ΜΤL@10-5D, y'R=4, mh2±=1 TeV Hình 4.7: Hình vẽ đường bao của tỷ lệ rã nhánh Br(h0 → µ±τ∓) như là hàm theo biến v′ (đồ thị trái) và f = mN2/v′ (đồ thị phải). Vùng màu xanh lá cây biểu thị giá trị 10−5 ≤ Br(h0 → µ±τ∓) ≤ 10−4 và xanh da trời biểu thị giá trị Br(h0 → µ±τ∓) ≥ 10−4. Như đã biết, boson Higgs điện tích đơn đang được tìm kiếm bởi các thực nghiệm [33,34], nhưng trong mô hình đang xét không có boson Higgs nào là đối tượng tìm kiếm này, vì chúng chỉ tương tác với các lepton. Ngoài ra, h±2 là hạt lẻ parity, do đó không thể rã thành các lepton thông thường. Điều kiện (4.29) đủ để đảm bảo ràng buộc các quá trình rã LFV được thỏa mãn mà không cần thiết boson Higgs mang điện đơn phải quá nặng. Do đó, mh±2 nhận giá trị vào khoảng 1 TeV cũng thỏa mãn NR1 là hạt lẻ nhẹ nhất, do vậy NR1 là ứng cử viên cho vật chất tối. 4.5 Kết luận Một số kết quả thu được từ việc khảo sát rã h0 → µ±τ∓ trong mô hình này như sau: Chúng tôi xây dựng được biểu thức biên độ rã LFV trong chuẩn t’ 82 Hooft-Feynman thông qua các bước tính chi tiết: Xây dựng đỉnh tương tác, vẽ giản đồ Feynman bậc một vòng và tính biên độ cụ thể cho mỗi giảm đồ. Chúng tôi cũng chứng minh chi tiết sự khử phân kỳ để đảm bảo biên độ cuối cùng là hữu hạn. Để khảo sát rã h0 → µ±τ∓, chúng tôi tìm được vùng không gian tham số thỏa mãn tất cả các điều kiện lý thuyết và thực nghiệm được chỉ ra trong các công bố gần đây. Một số kết quả khảo sát số quan trọng được tổng hợp như sau: • Đóng góp cực đại của các neutrino thông thường vào Br(h0 → µ±τ∓) khoảng 10−10, rất nhỏ so với kết quả tìm kiếm thực nghiệm hiện nay. • Đóng góp của neutrino mới vào BR của rã h0 → µ±τ∓ có thể đạt cỡ bậc 10−5 khi mh±2 cỡ vài TeV, hằng số tương tác Yukawa y ′ R và hằng số tự tương tác phải đủ lớn. • Bề rộng rã này có thể đạt 10−4 khi mh±2 = 1 TeV với v′ phải đủ lớn và mN2 phải đủ nhỏ. Giá trị này có thể kiểm chứng bởi các máy gia tốc mới sẽ được xây dựng trong thời gian tới. Khảo sát số cụ thể cũng cho thấy, đóng góp của các neutrino thông thường có thể lớn nếu hằng số tương tác Yukawa không bị giới hạn bởi quá trình rã LFV của các hạt mang điện. Điều kiện này có thể xảy ra đối với các mô hình bổ đính neutrino bậc cao. Chúng tôi sẽ tìm hiểu vấn này trong thời gian tới. 83 KẾT LUẬN CHUNG Một số công việc chúng tôi đã thực hiện và một số kết quả thu được trong luận án này như sau: Thiết lập quy tắc Feynman, vẽ giản đồ Feynman cho đóng góp vào quá trình rã h0 → µ±τ∓ trong chuẩn unitary đối với mô hình 3-3-1HN và chuẩn ’t Hooft-Feynman đối với mô hình RNM. Tính giải tích biên độ theo các hàm PV, tìm biểu thức giải tích của các hàm PV để áp dụng vào khảo sát số, tách và khử phân kỳ trong biên độ toàn phần. Trong đó, một kết quả mới là hàm giải tích PV C0 được tính theo một phương pháp khác chưa được nghiên cứu trước đó, có thể giải chính xác bằng phần mềm đơn giản sẵn có. Thiết lập và tìm vùng không gian tham số phù hợp nhất, thỏa mãn tất cả các điều kiện của lý thuyết và thực nghiệm đã công bố trong thời gian gần đây. Trong khảo sát số, chúng tôi thu được một kết quả quan trọng như sau: • Đóng góp riêng của các neutrino thông thường vào quá trình rã h0 → µ±τ∓ là rất nhỏ so với giá trị giới hạn trên từ thực nghiệm. • Đóng góp chính vào quá trình rã h0 → µ±τ∓ chủ yếu đến từ các neutrino mới. 84 Trong mô hình 3-3-1HN, Br(h0 → µ±τ∓) luôn có một cực đại phụ thuộc chặt chẽ vào mối liên hệ tương quan giữa v3 và H±2 . Giá trị của đỉnh cực đại này phụ thuộc mạnh vào hằng số tương tác Yukawa và có thể đạt đến cỡ bậc 10−5. Đối với mô hình RNM, hằng số tương tác Yukawa y′R ảnh hưởng mạnh nhất đến giá trị của Br(h0 → µ±τ∓), có thể tiến đến 10−5 khi |y′R| ≥ 3 và mh±2 = 3 TeV với điều kiện các tham số khác v′, λ phải đủ lớn. Trường hợp mh±2 ≥ 1 TeV, với |y′R| = 4 thì Br(h0 → µ±τ∓) có thể đạt cỡ bậc 10−4 khi v′ đủ lớn và khối lượng của neutrino mới đủ nhỏ. Các giá trị này của Br(h0 → µ±τ∓) có thể phát hiện được bởi thực nghiệm khi độ nhạy của máy gia tốc tăng lên trong thời gian tới. Từ các kết luận trên, chúng tôi đề xuất hướng nghiên cứu trong thời gian tới sau đây: • Nếu hằng số tương tác Yukawa không bị giới hạn bởi các quá trình rã LFV của lepton mang điện thông thường thì đóng góp từ các neutrino thông thường trong các mô hình bổ đính neutrino bậc cao có thể lớn. • Khảo sát quá trình rã h0 → µ±τ∓ trong một mô hình cụ thể với hai chuẩn khác nhau. • Các biểu thức giải tích cho biên độ, các hàm PV và các giản đồ Feynman bậc một vòng có thể áp dụng để khảo sát rã h0 → µ±τ∓ trong các mô hình với cấu trúc hạt tương tự. 85 Danh sách các công bố của tác giả 1. Truong Trong Thuc, Le Tho Hue, Dinh Phan Khoi, and Nguyen Thanh Phong, "One Loop Corrections to Decay τ → µγ in Econom- ical 3-3-1 Model", Communications in Physics Vol 25, 113 (2015). 2. L. T. Hue, H. N. Long, T. T. Thuc, T. Phong Nguyen, "Lepton flavor violating decays of Standard-Model-like Higgs boson in 3-3-1 model with neutral lepton", Nucl. Phys. B 907, 37 (2016). 3. T. T. Thuc, L. T. Hue, H. N. Long, and T. Phong Nguyen, "Lepton flavor violating decay of SM-like Higgs boson in a radiative neutrino mass model", Phys. Rev. D 93, 115026 (2016). Trong luận án này tôi chỉ sử dụng công trình số 2 và 3. 86 Tài liệu tham khảo [1] A. Celis, V. Cirigliano and E. Passemar, "Lepton flavor violation in the Higgs sector and the role of hadronic τ -lepton decays", Phys. Rev. D 89, 013008 (2014). [2] A. Brignole, A. Rossi, "Anatomy and phenomenology of mu-tau lepton flavor violation in the MSSM", Nucl. Phys. B 701, 3 (2004). [3] A. Salam, in “Elementary Particle Theory”, ed. N. Svartholm, Almqvist and Wiksells, Stockholm (1969) p.367. [4] Abdelhak DJOUADI, "The Anatomy of electro-weak symmetry breaking. I: The Higgs boson in the standard model", Phys. Rept. 457, 1 (2008). [5] A. J. Buras, F. D. Fazio, J. Girrbach, "331 models facing new b → sµ+µ− data", JHEP 1402, 112 (2014). [6] A. Pomarol, R. Vega, "Constraints on CP violation in the Higgs sector from the rho parameter", Nucl. Phys. B 413, 3 (1994). [7] A. Ibarra, E. Molinaro, S. T. Petcov, "TeV Scale See-Saw Mechanisms of Neutrino Mass Generation, the Majorana Nature of the Heavy Sin- glet Neutrinos and (ββ)0ν-Decay", JHEP 1009, 108 (2010). 87 [8] B. Aubert, et al. (BABAR Collaboration), "Searches for Lepton Fla- vor Violation in the Decays τ± → e±γ and τ± → µ±γ", Phys. Rev. Lett. 104, 021802 (2010). [9] B. W. Lee, C. Quigg, H. B. Thacker, "Weak Interactions at Very High- Energies: The Role of the Higgs Boson Mass", Phys. Rev. D 16, 1519 (1977). [10] C. Salazar, R. H. Benavides, W. A. Poncea and E. Rojas, "LHC Con- straints on 3-3-1 Models", JHEP 1507, 096 (2015). [11] D. Aristizabal Sierra and A. Vicente, "Explaining the CMS Higgs flavor violating decay excess", Phys. Rev. D 90, 115004 (2014). [12] D. T. Binh, L. T. Hue, D. T. Huong, H. N. Long, "Higgs revised in supersymmetric economical 3-3-1model with B/µ-type terms", Eur. Phys. J. C 74, 2851 (2014). [13] D. Gross and F. Wilczek, "Ultraviolet Behavior of Nonabelian Gauge Theories", Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973). [14] D. Chang, H. N. Long, "Interesting radiative patterns of neutrino mass in an SU(3)C⊗SU(3)L⊗U(1)X model with right-handed neutrinos", Phys. Rev. D 73, 053006 (2006). [15] D. Y. Bardin, G. Passarino, "The Standard Model in the making: Pre- cision study of the electroweak interations", Clarendon Press-Oxford, (1999). [16] D. V. Forero, M. Tortola and J. W. F. Valle, "Neutrino oscillations refitted", Phys. Rev. D 90, 093006 (2014). 88 [17] E. Arganda, A. M. Curiel, M. J. Herrero, D. Temes, "Lepton flavor violating Higgs boson decays from massive seesaw neutrinos", Phys. Rev. D 71, 035011 (2005). [18] E. Arganda, M. J. Herrero, X. Marcano and C. Weiland, "Imprints of massive inverse seesaw model neutrinos in lepton flavor violating Higgs boson decays", Phys. Rev. D 91, 015001 (2015). [19] E. Arganda, M. J. Herrero, X. Marcano, C. Weiland, "Enhancement of the lepton flavor violating Higgs boson decay rates from SUSY loops in the inverse seesaw model", Phys. Rev. D 93, 055010 (2016). [20] E. Arganda, M. J. Herrero, R. Morales and A. Szynkman, "Analysis of the h,H,A → µτ decays induced from SUSY loops within the Mass Insertion Approximation", JHEP 1603, 055 (2016). [21] F. Pisano, V. Pleitez, "An SU(3)⊗U(1) model for electroweak inter- actions", Phys. Rev. D 46, 410 (1992). [22] F. Pisano, "A Simple solution for the flavor question", Mod. Phys. Lett. A 11, 2639 (1996). [23] F. Richard, "A Z-prime interpretation of Bd → K∗µ+µ− data and consequences for high energy colliders", arXiv:hep-ph/1312.2467. [24] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC", Phys. Lett. B 716, 1 (2012). [25] G. Aad et al. ( ATLAS and CMS Collaborations), "Combined Mea- surement of the Higgs Boson Mass in pppp Collisions at √ s = 7 and 8 89 TeV with the ATLAS and CMS Experiments", Phys. Rev. Lett. 114, 191803 (2015). [26] G. Aad et al. ( ATLAS Collaboration), "Search for the lepton flavor violating decay Z → eµ in pp collisions at √s = 8 TeV with the ATLAS detector", Phys. Rev. D 90, 072010 (2014). [27] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "Search for lep- ton–flavour–violating H → µτ decays of the Higgs boson with the ATLAS detector", JHEP 1511, 211 (2015). [28] G. ’t Hooft and M. Veltman, "Scalar One Loop Integrals", Nucl. Phys. B 153, 365 (1979). [29] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "Search for a light charged Higgs boson in the decay channel H+ → cs¯ in tt¯ events using pp collisions at √ s = 7 TeV with the ATLAS detector", Eur. Phys. J. C 73, 2465 (2013). [30] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "Search for a Charged Higgs Boson Produced in the Vector-Boson Fusion Mode with Decay H± → W±Z using pppp Collisions at √ s = 8 TeV with the ATLAS Experi- ment", Phys. Rev. Lett. 114, 231801 (2015). [31] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "Search for high-mass dilepton resonances in pp collisions at √ s = 8 TeV with the ATLAS detector", Phys. Rev. D 90, 052005 (2014). [32] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "A search for high-mass reso- nances decaying to τ+τ− in pppp collisions at √ s = 8 TeV with the ATLAS detector", JHEP 1507, 157 (2015). 90 [33] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "Search for charged Higgs bosons decaying via H+ → τν in top quark pair events using pppp collision data at √ s = 7 TeV with the ATLAS detector ", JHEP 1206, 039 (2012). [34] G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), "Search for charged Higgs bosons in the H± → tb decay channel in pppp collisions at √s = 8 TeV using the ATLAS detector", JHEP 1603, 127 (2016). [35] H. Fritzsch, M. Gell-Mann and H. Leutwyler, "Advantages of the Color Octet Gluon Picture", Phys. Lett. B 47, 365 (1973). [36] H. D. Politzer, "Reliable Perturbative Results for Strong Interac- tions?", Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973). [37] H. N. Long, T. Inami, "S, T, U parameters in SU(3)C⊗SU(3)L⊗U(1) model with right-handed neutrinos" Phys. Rev. D 61, 075002 (2000). [38] H. K. Dreiner, H. E. Haber, S. P. Martin, "Two-component spinor techniques and Feynman rules for quantum field theory and super- symmetry", Phys. Rept. 494, 1 (2010). [39] I. Dorner, S. Fajfer, A. Greljo, J. F. Kamenik, N. Konik and I. Niandic, "New Physics Models Facing Lepton Flavor Violating Higgs Decays at the Percent Level", JHEP 1506, 108 (2015). [40] J. Adam et al. [MEG Collaboration], "New limit on the lepton-flavour violating decay µ+ → e+γ", Phys. Rev. Lett. 107, 171801 (2011). [41] J. G. Ko¨rner, A. Pilaftsis, K. Schilcher, "Leptonic CP asymmetries in flavor changing H0 decays", Phys. Rev. D 47, 1080 (1993). 91 [42] J. Heeck, M. Holthausen, W. Rodejohann and Y. Shimizu, "Higgs → µτ in Abelian and Non-Abelian Flavor Symmetry Models", Nucl. Phys. B 896, 281 (2015). [43] J. L. Diaz-Cruz, "A More flavored Higgs boson in supersymmetric models", JHEP 0305, 036 (2003). [44] J. K. Mizukoshi, C. A. de S. Pires, F. S. Queiroz, P. S. Rodrigues da Silva, "WIMPs in a 3-3-1 model with heavy sterile neutrinos", Phys. Rev. D 83, 065024 (2011). [45] J. Herrero-Garcia, M. Nebot, N. Rius, and A. Sntamaria, "The Zee–Babu model revisited in the light of new data" Nulc. Phys. B 885, 542 (2014). [46] J. A. M. Vermaseren, "New features of FORM", Nucl. Phys. Proc. Suppl. 205, 104 (2010). [47] K. Hayasake et al. (Belle Collaboration), "Search for Lepton Flavor Violating τ Decays into Three Leptons with 719 Million Produced τ+τ− Pairs", Phys. Lett. B 687, 139 (2010). [48] K. Cheung, W. Y. Keung, P. Y. Tseng, "Leptoquark induced rare decay amplitudes h→ τ∓µ± and τ → µγ", Phys. Rev. D 93, 015010 (2016). [49] K. Nishiwaki, H. Okada, and Y. Orikasa, "Three loop neutrino model with isolated k±±", Phys. Rev. D 92, 093013 (2015). [50] K. Kannike, "Vacuum Stability Conditions From Copositivity Crite- ria", Eur. Phys. J. C 72, 2093 (2012). 92 [51] K. A. Olive et al., "Particle Data Group Collaboration", Chinese Physics C 38, 090001 (2014). [52] L. T. Hue, L. D. Ninh, "The simplest 3-3-1 model", Mod. Phys. Lett. A 31, 1650062 (2016). [53] L. T. Hue, D. T. Huong, H. N. Long, "Lepton flavor violating processes τ → µγ, τ → 3µ and Z → µτ in the Supersymmetric economical 3- 3-1 model", Nucl. Phys. B 873, 207 (2013). [54] L. D. Ninh, "One-Loop Yukawa Corrections to the Process pp→ bb¯H in the Standard Model at the LHC: Landau Singularities", PhD thesis, eprint: (2008), arXiv: 0810.4078 [hep-ph]. [55] M. Arana-Catania, E. Arganda, M. J. Herrero, "Non-decoupling SUSY in LFV Higgs decays: a window to new physics at the LHC", JHEP 1510, 192 (2015). [56] M. Gell-Mann, "A Schematic Model of Baryons and Mesons", Phys. Lett. 8, 214 (1964). [57] M. C. Gonzalez-Garcia, M. Maltoni, T. Schwetz, "Updated fit to three neutrino mixing: status of leptonic CP violation", JHEP 1411, 052 (2014). [58] M. Chanowitz, M. Furman, and I. Hinchliffe, " Weak Interactions of Ultraheavy Fermions. 2", Nucl. Phys. B 153, 402 (1979). [59] M. S. Chanowitz, M. A. Furman, I. Hinchliffe, "Weak Interactions of Ultraheavy Fermions", Phys. Lett. B 78, 285 (1978). 93 [60] P. T. Giang, L. T. Hue, D. T. Huong and H. N. Long, "Lepton-flavor violating decays of neutral Higgs to muon and tau in supersymmetric economical 3-3-1 model", Nucl. Phys. B 864, 85 (2012). [61] P. P. Giardino, K. Kannike, I. Masina, M. Raidal, A. Strumia, "The universal Higgs fit", JHEP 1405, 046 (2014). [62] P. H. Frampton, "Chiral dilepton model and the flavor question", Phys. Rev. Lett. 69, 2889 (1992). [63] P. B. Pal, "The Strong CP question in SU(3)C ⊗ SU(3)L ⊗ U(1)N models", Phys. Rev. D 52, 1659 (1995). [64] R. Harnik, J. Kopp and J. Zupan, "Flavor Violating Higgs Decays", JHEP 1303, 026 (2013). [65] R. D. Peccei, H. R. Quinn, "CP Conservation in the Presence of Instantons", Phys. Rev. Lett. 38, 1440 (1977). [66] R. N. Mohapatra and P. B. Pal, "Massive neutrino in Physics and astrophysics", World Scientific lecture notes in Physics,Vol. 72, third edition, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. [67] S. Fukuda et al. [Super-Kamiokande Collaboration], "Tau neutrinos favored over sterile neutrinos in atmospheric muon-neutrino oscilla- tions ", Phys. Rev. Lett. 85, 3999 (2000). [68] S. Baek, Z.-F. Kang, "Naturally Large Radiative Lepton Flavor Vio- lating Higgs Decay Mediated by Lepton-flavored Dark Matter", JHEP 1603, 106 (2016). 94 [69] S. Banerjee, B. Bhattacherjee, M. Mitra, M. Spannowsky, "The Lep- ton Flavour Violating Higgs Decays at the HL-LHC and the ILC", JHEP 1607, 059 (2016). [70] S. Kanemura, T. Ota, T. Shindou and K. Tsumura, "Lepton flavor violation in Higgs boson decays under the rare tau decay results", Phys. Rev. D 73, 016006 (2006). [71] S. Glashow, "Partial Symmetries of Weak Interactions", Nucl. Phys. 22, 579 (1961). [72] S. Antusch, E. Cazzto, O. Fischer, "Higgs production from sterile neutrinos at future lepton colliders", JHEP 1604, 189 (2016). [73] S. Antusch, O. Fischer, "Testing sterile neutrino extensions of the Standard Model at future lepton colliders", JHEP 1505, 053 (2015). [74] S. Antusch, O. Fischer, "Non-unitarity of the leptonic mixing matrix: Present bounds and future sensitivities", JHEP 1410, 094 (2014). [75] S. Chatrchyan et al. (CMS Collaboration), "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC", Phys. Lett. B 716, 30 (2012). [76] V. Khatrchyan et al. (CMS Collaboration), "Simplified SIMPs and the LHC", JHEP 1511, 018 (2015). [77] V. Khatrchyan et al. (CMS Collaboration), "Precise determination of the mass of the Higgs boson and tests of compatibility of its couplings with the standard model predictions using proton collisions at 7 and 8 TeV", Eur. Phys. J. C 75, 212 (2015). 95 [78] V. Khatrchyan et al. (CMS Collaboration), "Search for lepton-flavour- violating decays of the Higgs boson", Phys. Lett. B 749, 337 (2015). [79] V. Khatrchyan et al. (CMS Collaboration), "Search for physics be- yond the standard model in dilepton mass spectra in proton-proton collisions at √ s = 8 TeV", JHEP 1504, 025 (2015). [80] W. Altmannshofer, S. Gori, A. L. Kagan, L. Silvestrini, J. Zupan, "Uncovering Mass Generation Through Higgs Flavor Violation", Phys. Rev. D 93, 031301 (2016). [81] Weinberg, "A Model of Leptons", Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967). [82] W. J. Marciano, G. Valencia, S. Willenbrock, "Renormalization Group Improved Unitarity Bounds on the Higgs Boson and Top Quark Masses", Phys. Rev. D 40, 1725 (1989). [83] Y. Fukuda, et al., "Evidence for oscillation of atmospheric neutrinos", Phys. Rev. Lett. 81, 1562 (1998). 96 Phụ lục A Biên độ phân rã của rã h0 → µ±τ∓ Trong phần phần này, chúng tôi sẽ tính chi tiết các đóng góp của từng giản đồ riêng biệt trong Hình 3.2 và Hình 4.2. Biên độ sẽ được viết theo các số hạng của các hàm PV, do đó tích phân trong biên độ sẽ được viết như sau: ∫ d4k (2π)4 → i 16π2 × (2πµ) 4−D iπ2 ∫ d4k, trong đó µ là tham số tái chuẩn hóa. Bước này sẽ được bỏ qua trong các tính toán dưới đây, kết quả cuối cùng sẽ được điều chỉnh bằng cách thêm vào biên độ thừa số i/16π2. Trong phần này, chúng tôi sẽ chỉ ra một loại phân kỳ tự động triệt tiêu bởi cơ chế GIM. Một cách rõ ràng hơn, đối với bất kỳ số hạng nào không phụ thuộc vào khối lượng của các lepton lấy tổng, chúng sẽ triệt tiêu vì sự xuất hiện của thừa số ∑ a V L 2aV L∗ 3a = 0. Các số hạng phân kỳ khác, không bị ảnh hưởng bởi cơ chế GIM sẽ được chúng tôi chứng minh chúng cũng bị triệt tiêu trong biên độ toàn phần. Để đơn giản trong tính toán, mẫu số của các hàm truyền được ký hiệu dạng tổng quát như sau: 97 D0 = k 2 −M20 + iδ, D1 = (k − p1)2 −M1 + iδ, D2 = (k + p2) 2 −M2 + iδ. Các spinor Dirac trạng thái cuối của quá trình h0 → µ±τ∓ là u1 ≡ uµ, v2 ≡ vτ . Xung lượng ngoài thỏa mãn điều kiện p21 = m21, p22 = m22 và (p1+p2)2 = p20 = m 2 h0. Trong đó m 2 1, m 2 2 tương ứng là khối lượng của µ, τ và m2h0 là khối lượng của boson Higgs giống SM. A.1 Biên độ phân rã của các giản đồ Feynman trong mô hình 3-3-1 với neutrino nặng Sau đây chúng tô sẽ tính chi tiết biên độ phân rã của từng giản đồ trong Hình 3.2, các đóng góp bậc một vòng vào quá trình rã h0 → µ±τ∓ được tính trong chuẩn unitary. Đóng góp từ giản đồ 3.2 a) là iMFV V(a) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ig√ 2 V2aγ µPL i(/k +ma) D0 ig√ 2 V ∗3aγ νPLv2 × [ igmV√ 2 ( −cαsθ + √ 2sαcθ )] [ gµα − (k − p1)µ(k − p1)α m2V ] ×−i D1 −i D2 [ gνβ − (k + p2)ν(k + p2)β m2V ] 98 = ∑ a V2aV ∗ 3a(−1) g3mV 2 √ 2 ( −cαsθ + √ 2sαcθ ) × ∫ d4k (2π)4 u¯1γ µ/kγνPLv2 D0D1D2 gαβ [ gµα − (k − p1)µ(k − p1)α m2V ] × [ gβν − (k + p2)ν(k + p1)β m2V ] ≡ ∑ a V2aV ∗ 3a(−1) g3mV 2 √ 2 ( −cαsθ + √ 2sαcθ ) [P1 + P2 + P3] , (A.1) trong đó P1 = ∫ d4k (2π)4 u¯1γ µ/kγνPLv2 D0)D1D2 gµν = ∫ d4k (2π)4 (2−D)u¯1/kPLv2 D0D1D2 = u¯1PLv2 ×m1(−2C1) + u¯1PLv2 ×m2(2C2). (A.2) Có thể thấy rằng, P1 không chứa bất kỳ số hạng phần kỳ nào. Biểu thức của P2 có dạng là P2 = −1 m2V ∫ d4k (2π)4 u¯1γ µ/kγνPLv2 D0D1D2 [(k + p2)µ(k + p2)ν + (k − p1)µ(k − p1)ν] = −1 m2V ∫ d4k (2π)4 [ u¯1(/k + /p2)/k(/k + /p2)PLv2 D0D1D2 + u¯1(/k − /p1)/k(/k − /p1)PLv2 D0D1D2 ] = −1 m2V ∫ d4k (2π)4 [ u¯1k 2(/k + 2/p2) + /p2/k/p2PLv2 D0D1D2 + u¯1k 2(/k − 2/p1) + /p1/k/p1PLv2 D0D1D2 ] = −1 m2V ∫ d4k (2π)4 [ u¯1(D0 +m 2 a)(/k + 2/p2)PLv2 + u¯1/p2/k/p2PLv2 D0D1D2 + u¯1(D0 +m 2 a)(/k − 2/p1)PLv2 + u¯1/p1/k/p1PLv2 D0D1D2 ] 99 = −1 m2V ∫ d4k (2π)4 [ u¯1 ( /k D1D2 − 2/p1 D1D2 + m2a/k D0D1D2 − 2m 2 a/p1 D0D1D2 + m1/k/p1 D0D1D2 ) PLv2 +u¯1 ( /k D1D2 + 2/p2 D1D2 + m2a/k D0D1D2 + 2m2a/p2 D0D1D2 + /p2/k/p2 D0D1D2 ) PLv2 ] = −1 m2V { u¯1PLv2 ×m1 [ 2B (12) 1 (mV )− 2B(12)0 (mV ) −2m2aC0 + (2m2a +m21 −m22)C1 + (m2h0 −m21 −m22)C2 ] +u¯1PRv2 ×m2 [ − 2B(12)2 (mV )− 2B(12)0 (mV ) −2m2aC0 − (2m2a −m21 +m22)C2 − (m2h0 −m21 −m22)C1 ]} . (A.3) Các số hạng giống B(12)0 (mV ), B (12) 1 (mV ) và B (12) 2 (mV ) chứa phân kỳ nhưng không phụ thuộc vào ma. Do đó, các số hạng này chính xác là bị triệt tiêu bởi cơ chế GIM. Tất cả các số hạng khác còn lại là hữu hạn. Tính tương tự đối với P3, P3 = 1 m4V ∫ d4k (2π)4 u¯1γ µ/kγνPLv2 D0D1D2 [(k − p1).(k + p2)(k − p1)µ(k + p2)ν] = 1 2m4V ∫ d4k (2π)4 × [ u¯1[(k + p2) 2 + (k − p1)2 −m2h0] D0D1D2 ×k2(/k + /p2 − /p1)PLv2 − u¯1[(k + p2) 2 + (k − p1)2 −m2h0]/p1/k/p2PLv2 D0D1D2 ] = 1 2m4V ∫ d4k (2π)4 × [ u¯1[D1 +D2 + 2m 2 V −m2h0] D0D1D2 ×(D0 +m2a)(/k + /p2 − /p1)PLv2 +m1m2 u¯1[D1 +D2 + 2m 2 V −m2h0]/kPLv2 D0D1D2 ] 100 = 1 2m4V ∫ d4k (2π)4 × [ u¯1 ( /k D2 + /p2 D2 − /p1 D2 + m2a/k D0D2 + m2a/p2 D0D2 ) PLv2 +u¯1 ( /k D1 + /p2 D1 − /p1 D1 + m2a/k D0D1 + m2a/p2 D0D1 − m 2 a/p1 D0D1 − m 2 a/p1 D0D2 ) PLv2 +(2m2V −m2h0)u¯1 ( /k D1D2 + /p2 D1D2 − /p1 D1D2 + m2a/k D0D1D2 + m2a/p2 D0D1D2 − m 2 a/p1 D0D1D2 ) PLv2 +m1m2u¯1 ( /k D0D2 + /k D0D1 + (2m2V −m2h0) /k D0D1D2 ) PRv2 ] = 1 2m4V { u¯1PLv2 ×m1 [ (2m2V −m2h0) ( B (12) 1 (mV )−B(12)0 (mV ) ) −A0(mV )−m22B(2)1 +m2a ( B (1) 1 −B(1)0 − B(2)0 ) +(2m2V −m2h0) ( m2a(C1 − C0)−m22C2 )] +u¯1PRv2 ×m2 [ −A0(mV ) + (2m2V −m2h0) ( −B(12)2 − B(12)0 ) +m21B (1) 1 +m 2 a ( −B(1)0 −B(2)0 − B(2)1 ) +(2m2V −m2h0) ( m21C1 −m2a(C0 + C2) )]} . (A.4) Một lần nữa thấy rằng, tất cả các số hạng như B(12)0 , B (12) 2 , B (12) 1 không đóng góp vào biên độ do bị triệt tiêu bởi cơ chế GIM. Bốn số hạng m22B (2) 1 , m 2 1B (1) 1 , m 2 a ( B (1) 1 −B(1)0 − B(2)0 ) và m2a ( −B(1)0 − B(2)0 −B(2)1 ) có chứa số hạng phân kỳ. Hai số hạng đầu có phần phân kỳ tương ứng là (−m22∆ǫ) và m21∆ǫ và nó không phụ thuộc vào khối lượng ma của các lep- ton ảo, do đó chúng cũng bị khử bởi cơ chế GIM; các phần hữu hạn của các số hạng này vẫn cho đóng góp vào biên độ phân rã. Hai số hạng còn lại chứa số hạng phân kỳ và phụ thuộc vào m2a, chúng không bị triệt tiêu bởi cơ chế GIM. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ chứng minh chúng bị khử trong biên độ toàn phần, xem trong Mục 3.4. Từ bây giờ, chúng tôi có thể loại trừ tất cả các số hạng không phụ thuộc vào khối lượng của các lepton trong 101 vòng. Định nghĩa M = − (EFV VL u1PLv2 + EFV VR u1PRv2), tổng đóng góp từ giản đồ 3.2 a) có dạng MFV V(a) = −g3 32π2 √ 2 ( −cαsθ + √ 2sαcθ )∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E FV V L +(u1PRv2)E FV V R ] . (A.5) Ở đây chúng tôi đã thêm vào hệ số i 16π2 . Tất cả các số hạng không phụ thuộc vào ma bị triệt tiêu bởi hệ số ∑ a V2aV ∗ 3a. Nếu chúng tôi giả sử tất cả các phần phân kỳ khác còn lại bị khử trong biên độ toàn phần, khi đó biểu thức của EFV VL và EFV VR được viết theo phần hữu hạn của các hàm PV như (3.29) và (3.30) là b(i)0 , b (12) 0 , b i 1, b (12) i và C0,1,2. Việc tính toán cho các giản đồ còn lại sẽ được thực hiện tương tự như những gì chúng tôi đã thực hiện ở giản đồ 3.2 a). Tiếp theo chúng tôi tính đóng góp từ giản đồ 3.2 b) iMFVH(b) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 ig√ 2 V2aγ µPL × i(/k +ma) D0 (−i √ 2V ∗3a)( m2 v1 a1PR + ma v3 a3PL ) v2 ig 2 √ 2 (−k − 2p2 − p1)α × i D2 −i D1 [ gµα − (k − p1)µ(k − p1)α m2V ] = ∑ a V2aV ∗ 3a [ g2 2 √ 2 (cαcθ + √ 2sαsθ) ] × { u¯1PLv2 × [−m1 m2V m2a v3 a3 ( B (1) 1 − B(1)0 ) + m2a v3 a3 ×m1 ( C0 + C1 + (m2H −m2h0) m2V (C0 − C1) ) + m2 v1 a1 ×m1m2 ( 2C1 − C2 − m2H −m2h0 m2V C2 )] 102 +u¯1PRv2 × [−1 m2V m2 v1 a1 ( A0(mV ) + (m 2 H −m2h0)B (12) 0 ) + m2 v1 a1B (12) 0 + m21 m2V m2 v1 a1B (1) 1 − m2a m2V m2 v1 a1B (1) 0 + m2 v1 a1 ( m2aC0 −m21C1 + 2m22C2 + 2(m2h0 −m22)C1 − (m 2 H −m2h0) m2V ( m2aC0 −m21C1 )) + m2a v3 a3 ×m2 ( −2C0 − C2 + (m2H −m2h0) m2V C2 ) ]} . (A.6) Đóng góp vào tổng biên độ của giản đồ 3.2 b) có dạng MFVH(b) = g2 32π2 √ 2 ( cαcθ + √ 2sαsθ ) × ∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E FVH L + (u1PRv2)E FVH R ] . (A.7) Đóng góp từ giản đồ 3.2 c) là iMFHV(c) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1(−i √ 2V2a) ( m1 v1 a1PL + ma v3 a3PR ) i(/k +ma) D0 × ig√ 2 V ∗3aγ µPLv2 × ig 2 √ 2 (cαcθ + √ 2sαsθ)(−k + p2 + 2p1)α × i D1 −i D2 × [ gµα − (k + p2)µ(k + p2)α m2V ] = ∑ a V2aV ∗ 3a g2 2 √ 2 (cαcθ + √ 2sαsθ) ∫ d4k (2π)4 × [ m1 v1 a1 u¯1γ µ/kPLv2 D0D1D2 + m2a v3 a3 u¯1γ µPLv2 D0D1D2 ] × [ (k − p2 − 2p1)µ − (k − p2 − 2p1).(k + p2)(k + p2)µ m2V ] 103 = ∑ a V2aV ∗ 3a [ g2 2 √ 2 (cαcθ + √ 2sαsθ) ] V2aV ∗ 3a × { u¯1PLv2 × [−1 m2V m1 v1 a1 ( A0(mV ) + (m 2 H −m2h0)B (12) 0 ) + m1 v1 a1B (12) 0 (mV , mH)− m22 m2V m1 v1 a1B (2) 1 (ma, mV ) −m 2 a m2V m1 v1 a1B (2) 0 + m1 v1 a1 ( m2aC0 − 2m21C1 +m22C2 −2(m2h0 −m21)C2 − (m2H −m2h0) m2V (m22C2 +m 2 aC0) ) +m1 m2a v3 a3 ( −2C0 + C1 − (m2H −m2h0) m2V C1 )] +u¯1PRv2 [ m2 m2V m2a v3 a3 ( B (2) 1 +B (2) 0 ) +m1m2 m1 v1 a1 ( C1 − 2C2 + (m2H −m2h0) m2V C1 ) +m2 m2a v3 a3 ( C0 − C2 + (m2H −m2h0) m2V (C0 + C2) ) ]} . (A.8) Viết tương tự, đóng góp vào tổng biên độ của giản đồ 3.2 c) MFHV(c) = g2 32π2 √ 2 ( cαcθ + √ 2sαsθ ) × ∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E FHV L + (u1PRv2)E FHV R ] . (A.9) 104 Đóng góp từ giản đồ 3.2 d) có dạng iMFHH(d) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × (−iv3λh0H1H1) i D1 i D2 × u¯1(−i √ 2V2a)(−i √ 2V ∗3a) × ( m1 v1 a1PL + ma v3 a3PR ) i(/k +ma) D0 ( m2 v1 a1PR + ma v3 a3PL ) v2 = ∑ a 2v3λh0H1H1V2aV ∗ 3a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ( m1 v1 a1PL + ma v3 a3PR ) (/k +ma) ( m2 v1 a1PR + ma v3 a3PL ) v2 D0D1D2 = ∑ a 2v3λh0H1H1V2aV ∗ 3a ∫ d4k (2π)4 × [ m1m2 v21 a21 u¯1/kPRv2 D0D1D2 + m1m 2 a v1v3 a1a3 u¯1PLv2 D0D1D2 + m2a v23 a23 u¯1/kPLv2 D0D1D2 + m2m 2 a v1v3 a1a3 u¯1PRv2 D0D1D2 ] = ∑ a 2v3λh0H1H1V2aV ∗ 3a × { u¯1PLv2 ×m1 [ m2a v1v3 a1a3C0 − m 2 2 v21 a21C2 + m2a v23 a23C1 ] +u¯1PRv2 ×m2 [ m2a v1v3 a1a3C0 + m21 v21 a21C1 − m2a v23 a23C2 ] } , (A.10) với λh0H1H1 được chỉ trong Bảng 3.1. Đóng góp vào tổng biên độ phân rã có dạng MFHH(d) = 1 64π2 √ 2 × (8 √ 2λh0H1H1) × ∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E FHH L + (u1PRv2)E FHH R ] .(A.11) 105 Xét đóng góp từ giản đồ 3.2 e) iMV FF(e) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ig√ 2 V2aγ µPL i(−/k + /p1 +ma) D1 (−igma 2mV sα cθ ) ×i(−/k − /p2 +ma) D2 ig√ 2 V ∗3aγ νPLv2 −i D0 [ gµν − kµkν m2V ] = ∑ a −g 3ma 4mV sα cθ V2aV ∗ 3a ∫ d4k (2π)4 [−ma m2V u¯1/k(−2/k + /p1 − /p2)/kPLv2 D0D1D2 + (2− d)mau¯1(−2/k + /p1 − /p2)PLv2 D0D1D2 ] = ∑ a [ −g 3ma 4mV sα cθ ] V2aV ∗ 3a { u¯1PLv2 ×m1ma [ 1 m2V ( B (12) 0 +B (1) 1 ) − 1 m2V ( −m2VC0 + (m21 +m22 − 2m2a)C1 ) + (2− d)(C0 − 2C1) ] +u¯1PRv2 ×m2ma [ 1 m2V ( B (12) 0 −B(2)1 ) + (2− d)(C0 + 2C2) − 1 m2V ( −m2VC0 − (m21 +m22 − 2m2a)C2 )]} . (A.12) Kết quả cuối cùng, biên độ của giản đồ 3.2 e) được viết như sau: MV FF(e) = [ − 1 64π2 √ 2 × g 3sα √ 2 cθ ] × ∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E V FF L + (u1PRv2)E V FF R ] .(A.13) Đóng góp từ giản đồ 3.2 f) có dạng như sau: iMHFF(f) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1(−i √ 2V2a) ( m1 v1 a1PL + ma v3 a3PR ) ×i(−/k + /p1 +ma) D1 (−imasα v3 ) i(−/k − /p2 +ma) D2 ×(−i √ 2V ∗3a) ( m2 v1 a1PR + ma v3 a3PL ) v2 × i D0 106 = ∑ a V2aV ∗ 3a [ 2masα v3 ] ∫ d4k (2π)4 [ m1ma a1a3 v1v3 u¯1(/k − /p1)(/k + /p2)PLv2 D0D1D2 +m2ma a1a3 v1v3 u¯1(/k − /p1)(/k + /p2)PRv2 D0D1D2 +ma m1m2 v21 a21 u¯1(−2/k − /p2 + /p1)PRv2 D0D1D2 + m3a v23 a23 u¯1(−2/k − /p2 + /p1)PLv2 D0D1D2 + m1m 3 a v1v3 a1a3 u¯1PLv2 D0D1D2 + m2m 3 a v1v3 a1a3 u¯1PRv2 D0D1D2 ] = ∑ a V2aV ∗ 3a [ 2masα v3 ]{ u¯1PLv2 ×m1ma × [ a1a3 v1v3 B (12) 0 + m22 v21 a21(2C2 + C0) + m2a v23 a23(C0 − 2C1) + a1a3 v1v3 ( 2m22C2 − (m21 +m22)C1 + (m2a +m2H +m22)C0 )] +u¯1PRv2 ×m2ma [ a1a3 v1v3 B (12) 0 + m21 v21 a21(C0 − 2C1) + m2a v23 a23(C0 + 2C2) + a1a3 v1v3 (−2m21C1 + (m21 +m22)C2 +(m2a +m 2 H +m 2 1)C0 )] } (A.14) Kết quả cuối cùng, đóng góp vào tổng biên độ của giản đồ 3.2 f) được viết iMHFF(f) = 1 64π2 √ 2 × (8sα √ 2)∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E HFF L + (u1PRv2)E HFF R ] ,(A.15) trong đó EHFFL,R được định nghĩa trong (3.39) và (3.40). 107 Đóng góp từ giản đồ 3.2 g) là iM(FV )(g) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ( ig√ 2 V2aγ µPL ) i(/k +ma) D0 ( ig√ 2 V ∗3aγ νPL ) ×i(/p1 +m2) p21 −m22 ( igm2 2 √ 2mV cα sθ ) v2 −i D1 [ gµν − (k − p1)µ(k − p1)ν m2V ] = ∑ a V2aV ∗ 3a g3 4 √ 2mV m2 (m21 −m22) cα sθ × ∫ d4k (2π)4 [ (2−D)u¯1/k/p1PRv2 + (2−D)m2u¯1/kPLv2 D0D1 − 1 m2V u¯1(/k − /p1)/k(/k − /p1)/p1PRv2 D0D1 − m2 m2V u¯1(/k − /p1)/k(/k − /p1)PLv2 D0D1 ] = ∑ a V2aV ∗ 3a [ g3 4 √ 2mV m2 (m21 −m22) cα sθ ] × { u¯1PLv2 ×m1m2 [ 1 m2V A0(mV )− m 2 1 m2V B (1) 1 +(2−D)B(1)1 − 1 m2V ( −2m2aB(1)0 +m2aB(1)1 )] +u¯1PRv2 ×m21 [ 1 m2V A0(mV )− m 2 1 m2V B (1) 1 + (2−D)B(1)1 − 1 m2V ( −2m2aB(1)0 +m2aB(1)1 )]} . (A.16) Đóng góp từ giản đồ 3.2 h) được viết như sau: iMV F(h) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ( igm1 2 √ 2mV cα sθ ) i(−/p2 +m1) p22 −m21 ( ig√ 2 V2aγ µPL ) ×i(/k +ma) D0 ( ig√ 2 V ∗3aγ νPL ) v2 × −i D2 [ gµν − (k + p2)µ(k + p2)ν m2V ] = ∑ a g3 4 √ 2mV m1 (m22 −m21) cα sθ V2aV ∗ 3a × ∫ d4k (2π)4 [−(2−D)u¯1/p2/kPLv2 + (2−D)m1u¯1/kPLv2 D0D2 + 1 m2V u¯1/p2(/k + /p2)/k(/k + /p2)PLv2 D0D2 − m1 m2V u¯1(/k + /p2)/k(/k + /p2)PLv2 D0D2 ] 108 = ∑ a g3 4 √ 2mV m1 (m22 −m21) cα sθ V2aV ∗ 3a × ∫ d4k (2π)4 [ (2−D)u¯1 (−/p2/k D0D2 + m1/k D0D2 ) PLv2 + 1 m2V u¯1 ( k2/p2/k + 2k 2p22 +m 2 2/k/p2 D0D2 ) PLv2 −m1 m2V u¯1 ( k2/k + 2k2/p2 + /p2/k/p2 D0D2 ) PLv2 ] = ∑ a [ g3 4 √ 2mV m1 (m22 −m21) cα sθ ] V2aV ∗ 3a × { u¯1PLv2 ×m22 [ 1 m2V A0(mV ) + m22 m2V B (2) 1 + (2−D)B(2)1 − 1 m2V ( −2m2aB(2)0 −m2aB(2)1 )] +u¯1PRv2 ×m1m2 [ 1 m2V A0(mV ) + m22 m2V B (2) 1 + (2−D)B(2)1 − 1 m2V ( −2m2aB(2)0 −m2a)B(2)1 )]} (A.17) Tổng biên độ phân rã từ hai giản đồ 3.2 g) và 3.2 h) là iMFV(g+h) = ∑ a [ g3 4 √ 2mV cα sθ ] V2aV ∗ 3a { u¯1PLv2 × m1m 2 2 (m21 −m22) × [ (2−D) ( B (1) 1 +B (2) 1 ) − 1 m2V ( m21B (1) 1 +m 2 2B (1) 1 ) + m2a m2V ( 2(B (1) 0 −B(2)0 )− (B(1)1 +B(2)1 ) )] +u¯1PRv2 m21m2 m21 −m22 [ (2−D) ( B (1) 1 + B (2) 1 ) − 1 m2V ( m21B (1) 1 +m 2 2B (1) 1 ) + m2a m2V ( 2 ( B (1) 0 −B(2)0 ) − ( B (1) 1 + B (2) 1 ))]} . (A.18) 109 Các số hạng kỳ trong công thức (A.18) bị triệt tiêu. Kết quả là MFV(g+h) = [ 1 64π2 √ 2 × g 3cα sθ ]∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E FV L + (u1PRv2)E FV R ] . (A.19) Đóng góp từ giản đồ 3.2 i) được viết như sau: iMFH(i) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1(−i √ 2V2a) ( m1 v1 a1PL + ma v3 a3PR ) ×i(/k +ma) D0 (−i √ 2V ∗3a) ( m2 v1 a1PR + ma v3 a3PL ) ×i(/p1 +m2) p21 −m22 ( im2 v1 cα√ 2 ) v2 × i D1 = ∑ a [ − √ 2cα v1 ] m2 m21 −m22 V2aV ∗ 3a × ∫ d4k (2π)4 × [ m1m2 v21 a21 u¯1/k/p1PLv2 D0D1 + m1m 2 2 v21 a21 u¯1/kPRv2 D0D1 + m1m 2 a v1v3 a1a3 u¯1/p1PRv2 D0D1 + m1m2m 2 a v1v3 a1a3 u¯1PLv2 D0D1 + m2m 2 a v1v3 a1a3 u¯1/p1PLv2 D0D1 + m22m 2 a v1v3 a1a3 u¯1PRv2 D0D1 + m2a v23 a23 u¯1/k/p1PRv2 D0D1 + m2m 2 a v23 a23 u¯1/kPLv2 D0D1 ] = ∑ a [ − √ 2cα v1 ] m2 m21 −m22 V2aV ∗ 3a × { u¯1PLv2(m1m2) [ 2m2a a1a3 v1v3 B (1) 0 +m 2 a a23 v23 B (1) 1 + m21 v21 a21B (1) 1 ] +u¯1PRv2 [ m2a a1a3 v1v3 (m21 +m 2 2)B (1) 0 +m 2 1m 2 a a23 v23 B (1) 1 + m21m 2 2 v21 a21B (1) 1 ]} . (A.20) 110 Đóng góp từ giản đồ 3.2 k) là iMHF(k) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ( im1cα v1 √ 2 ) ×i(−/p2 +m1) p22 −m21 (−i √ 2V2a) ( m1 v1 a1PL + ma v3 a3PR ) ×i(/k +ma) D0 (−i √ 2V ∗3a) ( m2 v1 a1PR + ma v3 a3PL ) v2 × i D2 = ∑ a ( −i √ 2cα v1 ) m1 m22 −m21 V2aV ∗ 3a × ∫ d4k (2π)4 × [ −m1m2 v21 a21 u¯1/p2/kPRv2 D0D2 + m21m2 v21 a21 u¯1/kPRv2 D0D2 −m 2 a v23 a23 u¯1/p2/kPLv2 D0D2 + m1m 2 a v23 a23 u¯1/kPLv2 D0D2 −m1m 2 a v1v3 a1a3 u¯1/p2PLv2 D0D2 + m21m 2 a v1v3 a1a3 u¯1PLv2 D0D2 −m2m 2 a v1v3 a1a3 u¯1/p2PRv2 D0D1 + m1m2m 2 a v1v3 a1a3 u¯1PRv2 D0D1 ] = ∑ a ( −i √ 2cα v1 ) m1 m22 −m21 V2aV ∗ 3a { u¯1PLv2 [ −m 2 2m 2 a v23 a23B (2) 1 + m2a v1v3 a1a3(m 2 1 +m 2 2)B (2) 0 − m21m 2 2 v21 a21B (2) 1 ] +u¯1PRv2 ×m1m2 [ 2 m2a v1v3 a1a3B (2) 0 − m2a v23 a23B (2) 1 −m 2 2 v21 a21B (2) 1 ]} . (A.21) 111 Tổng biên độ phân rã từ hai giản đồ 3.2 i) và k) là iMFH(i+k) = ∑ a V2aV ∗ 3a [ −i √ 2cα v1 ] × { u¯1PLv2 × m1 m21 −m22 × [ m2a a1a3 v1v3 ( 2m22B (1) 0 − (m21 +m22)B(2)0 ) +m21m 2 2 a21 v21 ( B (1) 1 + B (2) 1 ) +m22m 2 a a23 v23 ( B (1) 1 + B (2) 1 )] × +u¯1PRv2 × m2 m21 −m22 [ m21m 2 2 a21 v21 ( B (1) 1 + B (2) 1 ) +m2a a1a3 v1v3 ( −2m21B(2)0 + (m21 +m22)B(1)0 ) +m21m 2 a a23 v23 ( B (1) 1 + B (2) 1 )]} . (A.22) Kết quả cuối cùng chúng tôi viết như sau: MFH(ik) = [ − 8cα 64π2 √ 2 ]∑ a V2aV ∗ 3a [ (u1PLv2)E FH L + (u1PRv2)E FH R ] . (A.23) Tất cả các hàm EL,R được định nghĩa chi tiết từ biểu thức (3.29) đến (3.44). Sau khi tính đóng góp từ các neutrino mới Na, chúng tôi có thể chứng minh rằng tất cả số hạng phân kỳ có chứa các thừa số m2a sẽ bị triệt tiêu trong biên độ toàn phần, xem chi tiết trong phương trình (3.51). Đối với đóng góp từ neutrino thông thường vào biên độ phân rã, các tính toán là tương tự, nó chỉ khác với trường hợp của Na ở hệ số đỉnh tương tác. Trường hợp này chúng tôi không tính chi tiết, chỉ đưa ra kết quả cuối cùng phần cho đóng góp hữu hạn (3.50), cũng như khử các số hạng phần kỳ (3.52) trong biên độ toàn phần. 112 A.2 Biên độ phân rã của các giản đồ Feynman trong mô hình neutrino nhận khối lượng từ bổ đính Trong phần này, chúng tôi sẽ tính cụ thể biên độ phân rã của từng giản đồ trong Hình 4.2. Các đóng góp vào biên độ rã h0 → µ±τ∓ được tính trong chuẩn t’ Hooft-Feynman. Biểu thức biên độ phân rã cũng được đơn giản hóa bằng cách loại bỏ các số hạng phân kỳ bởi cơ chế GIM, các số hạng phân kỳ khác (không bị ảnh hưởng bởi cơ chế GIM) cũng được chỉ ra sẽ bằng không trong biên độ toàn phần. Ngoài ra, biên độ cũng được viết dưới dạng các hàm PV, đã thảo luận chi tiết trong Mục 2.2 Chương 2. Sau đây chúng tôi sẽ tính chi tiết các đóng góp của từng giản đồ cho đóng góp từ các neutrino thông thường, đóng góp từ các neutino mới Na được suy ra tương tự. Đặc biệt, các kết quả thu được phù hợp với kết quả trong [46]. Đầu tiên chúng tôi xét đóng góp từ giản đồ 4.2 a) là iMνWW(a) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 ( ig√ 2 UL2aγ µPL ) i(/k +mνa) k2 − ν2a ( ig√ 2 UL∗3a γ νPL ) v2 ×(iGhWWmWgαβ) −igµα (k − p1)2 −m2W −igβν (k + p2)2 −m2W = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ −g 2 2 GhWWmW ] ∫ d4k (2π)4 u¯1γ µ/kγνPLv2 D0D1D2 gµν = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ g2GhWWmW ] × { m1[u¯1PLv2]× C1 +m2[u¯1PRv2]× (−C2) } . (A.24) Trong trường hợp này, đóng góp vào biên độ là các phần hữu hạn, không có phần phân kỳ. Chúng tôi viết lại các đóng góp từ giản đồ 4.2 a) như sau: 113 iM(1a) = ig 2GhWW 16π2 3∑ a=1 UL2aU L∗ 3a × ( [u1PLv2]× EνWWL + [u1PRv2]× EνWWR ) , (A.25) trong đó GhWW = gcα, Ci ≡ Ci(mνa, mW , mW ). Tương tự, chúng tôi xét các đóng góp từ giản đồ 4.2 b) iMνWGw(b) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ( ig√ 2 UL2aγ µPL ) i(/k +mνa) k2 − ν2a × ( −i√2m2 v UL∗3a PR ) v2 igcα 2 (k + 2p2 + p1) α × −igµα (k − p1)2 −m2W i (k + p2)2 −m2W = − ∑ a UL2aU L∗ 3a g2cαm2 2v ∫ d4k (2π)4 u¯1γ µ/kPRv2 D0D1D2 (k + 2p2 + p1)µ = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ −g 2cαm2 2v ] ∫ d4k (2π)4 u¯1(/k + 2/p2 + /p1)/kPRv2 D0D1D2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ −g 2cαm2 2v ] ∫ d4k (2π)4 u¯1(k 2 + 2/p2/k + /p1/k)PRv2 D0D1D2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ −g 2cαm2 2v ] {u¯1PLv2 [m1m2(2C1 − C2)] +u¯1PRv2 [ B (12) 0 +m 2 νa C0 −m21C1 +2m22(C2 − C1) + 2m2h0 ]} , (A.26) trong đó GhWGW = g2cα 2 . Trong các đóng góp này, chỉ có B(12)0 chứa số hạng phân kỳ, nhưng chúng sẽ bị triệt tiêu bởi không phụ thuộc vào khối lượng của neutrino thông thường. Các đóng góp được viết lại như sau: iM(b) = igGhWGw 16π2 3∑ a=1 UL2aU L∗ 3a × ( [u1PLv2]E νWGw L + [u1PRv2]E νWGw R ) , (A.27) 114 với B(12)0 ≡ B(12)0 (mW , mW ), Ci ≡ Ci(mνa, mW , mW ). Đóng góp từ giản đồ 4.2 c) iMνGwW(c) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 ( −i√2m1 v UL2aPL ) i(/k +mνa) k2 −m2νa × ( ig√ 2 UL∗3a γ µPL ) v2 (−ig 2 cα ) (−k + p2 + 2p1)ν i (k − p1)2 −m2W −igµν (k + p2)2 −m2W = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ g2 2v m1cα ] ∫ d4k (2π)4 u¯1/k(−/k + 2/p1 + /p2)PLv2 D0D1D2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ g2 2v m1cα ] × { u¯1PLv2 [ −B(12)0 −m2νaC0 −2m21(−C1 + C2)−m22C2 + 2m2h0C2 ] +u¯1PRv2 [m1m2(−C1 + 2C2)] } . (A.28) Tương tự như như trên, đóng góp từ giản đồ 4.2 c) là iM(c) = igGhWGw 16π2 3∑ a=1 UL2aU L∗ 3a ( [u1PLv2]E νGwW L + [u1PRv2]E νGwW R ) , (A.29) với B(12)0 ≡ B(12)0 (mW , mW ), Ci ≡ Ci(mνa, mW , mW ). Các đóng góp từ giản đồ 4.2 d), tương ứng từ các đóng góp νGwGw, νh1h1 và Nah2h2. Ở đây chúng tôi tính chi tiết cho trường hợp νGwGw, hai trường khác hợp còn lại suy ra tương tự. iMνGwGw(d) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 ( −i√2m1 v UL2aPL ) i(/k +mνa) k2 −m2νa × ( −i√2m2 v UL∗3a PR ) v2i(v ′λhh1h1) i (k − p1)2 −m2W × i (k + p2)2 −m2W 115 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ −2m1m2 v2 (v′λhh1h1) ] ∫ d4k (2π)4 u¯1/kPRv2 D0D1D2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ −2m1m2 v2 (v′λhh1h1) ]{ u¯1PLv2 [ −m2C2 ] +u¯1PRv2 [m1C1]} , (A.30) trong đó v′λhh1h1 = (−vcαλΦh1 + v′sαλΣh1). Các đóng góp từ giản đồ viết chung cho ba trường hợp như sau: iM(d) = i(v ′λhSS) 16π2 3∑ a=1 V2aV ∗ 3a ( [u1PLv2]E FSS L + [u1PRv2]E FSS R ) , (A.31) với Ci ≡ Ci(ma, mS, mS), V = { UL, K, yTR } , ma = {mνa, mNa}, S = {Gw, h1, h2}; và v′λhh2h2 = (−vcαλΦh2+v′sαλΣh2) và v′λhGWGW = (−2vcαλΦ+ v′sαλΦΣ). Xét đóng góp từ giản đồ 4.2 e), ta có iMWνν(e) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 ( ig√ 2 UL2aγ µPL ) i(−(/k − /p1) +mνa ) [(k − p1)2 −m2νa] × ( imνaGhνν v′ ) i(−(/k + /p2) +mνa ) [(k + p2)2 −m2νa] ( ig√ 2 UL∗3a γ νPL ) v2 × ( −i [k2 −m2W ] gµν ) = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ g2 2v′ mνaGhνν ] × ∫ d4k (2π)4 (2−D)u¯1 [ −mνa(2/k − /p1 + /p2) ] PLv2 D0D1D2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ g2 v′ mνaGhνν ] mνa {m1[u¯1PLv2](−C0 + 2C1) +m2[u¯1PRv2](−C0 − 2C2)} , (A.32) 116 trong đó Ghνν = sα. Biên độ được viết lại như sau: iM(e) = ig 2Ghνν 16π2 3∑ a=1 UL2aU L∗ 3a ( [u1PLv2]E Wνν L + [u1PRv2]E Wνν R ) , (A.33) với ký hiệu Ci ≡ Ci(mW , mνa, mνa). Đóng góp từ giảng đồ 4.2 f) bao gồm các đóng góp từ GWνν, h1νν và h2NaNa. iMGW νν(f) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 ( −i√2m1 v UL2aPL ) i ( −(/k − /p1) +mνa ) [(k − p1)2 −m2νa] × ( imνaGhνν v′ ) i(−(/k + /p2) +mνa ) [(k + p2)2 −m2νa] i [k2 −m2W ]( −i√2m2 v UL∗3a PR ) v2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ −2m1m2 v2 mνaGhνν v′ ] × ∫ d4k (2π)4 u¯1 [ −mνa(2/k − /p1 + /p2) ] PRv2 D0D1D2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ 2m1m2 v2 m2νaGhνν v′ ] × { m2[u¯1PLv2](−C0 − 2C2) +m1[u¯1PRv2](−C0 + 2C1) } = ∑ a UL2aU L∗ 3a m2νa v′ Ghνν { −m1[u¯1PLv2]m 2 2 v2 (C0 + 2C2) −m2[u¯1PRv2]m 2 1 v2 (C0 − 2C1) } , (A.34) trong đó Ghνν = sα. Ở đây chúng tôi tính chi tiết đối với đóng góp GWνν, hai đóng góp còn lại của giản đồ này cũng nhận kết quả tương tự. Biên độ phân rã được viết chung cho cả ba đóng góp như sau: iM(f) = iGhFF 16π2 3∑ a=1 V2aV ∗ 3a ( [u1PLv2]E SFF L + [u1PRv2]E SFF R ) , (A.35) 117 với V = { UL, K } , ma = {mνa, mNa} và S = {Gw, h1, h2}. Ký hiệu Ci ≡ Ci(mS, ma, ma) và GhFF ≡ Ghνν ≡ Gh1NaNa = sα. Đóng góp từ giản đồ 4.2 g) iM(g) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 ( ig√ 2 UL2aγ µPL ) i (/k +mνa) [k2 −m2νa] ( ig√ 2 UL∗3a γ νPL ) × i ( /p1 +m2 ) [p21 −m22] (−im2Ghee v ) v2 −igµν (k − p1)2 −m2W = ∑ a UL2aU L∗ 3a [−g2Ghee 2 m2 m21 −m22 ] × ∫ d4k (2π)4 u¯1γ µ/kγνPL(/p1 +m2)v2 D0D1 gµν = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ (2−D)−g 2Ghee 2v m2 m21 −m22 ]{ [u¯1PLv2](m1m2)B (1) 1 +[u¯1PRv2](m 2 1)B (1) 1 } = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ (2−D)−g 2Ghee 2 ]{ m1[u¯1PLv2] m22 (m21 −m22)v B (1) 1 +m2[u¯1PRv2] m21 (m21 −m22)v B (1) 1 } . (A.36) Thực hiện tương tự, đóng góp từ giản đồ 4.2 h) là iM(h) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 × u¯1 (−im1Ghee v ) i(−/p2 +m1 ) [p22 −m12] ( ig√ 2 UL2aγ µPL ) ×i (/k +mνa) [k2 −m2νa] ( ig√ 2 UL∗3a γ νPL ) v2 −igµν (k + p2)2 −m2W = − ∑ a UL2aU L∗ 3a g2Ghee 2 m2 m22 −m21 ∫ d4k (2π)4 u¯1(−/p2 +m1)γµ/kγνPLv2 D0D2 gµν = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ (2−D)−g 2Ghee 2v m1 m22 −m21 ]{ [u¯1PLv2](−m22)B(2)1 +[u¯1PRv2](−m1m2)B(2)1 } 118 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ (2−D)−g 2Ghee 2 ]{ m1[u¯1PLv2] m22 (m21 −m22)v B (2) 1 +m2[u¯1PRv2] m21 (m21 −m22)v B (2) 1 } . (A.37) Tổng tất cả các đóng góp từ hai giản đồ 4.2 g) và 4.2 h) có dạng iM(gh) = ig 2Ghee 16π2 3∑ a=1 UL2aU L∗ 3a ( [u1PLv2]E νW L + [u1PRv2]E νW R ) , (A.38) trong đó trong đó Ghee = cα cho cả hai giản đồ 4.2 g), h). Với B (i) 1 ≡ B (i) 1 (mνa, mW ). Cuối cùng chúng tôi tính đóng góp từ hai giản đồ 4.2 i) và 4.2 j), các đóng góp này đến từ GWνa, h1νa và h2Na. Ở đây chúng tôi chỉ tính chi tiết cho trường hợp GWνa, hai trường hợp khác chỉ đưa ra kết quả cuối cùng. Trước tiên xét giản đồ 4.2 i) iM(i) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 ( −i√2m1 v UL2aPL ) i (/k +mνa) [k2 −m2νa] ( −i√2m1 v UL∗3a PR ) × i ( /p1 +m2 ) [p21 −m22] (−im2Ghee v ) v2 i [(k − p1)2 −m2W ] = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ 2Ghee v3 m1m 2 2 m21 −m22 ] × ∫ d4k (2π)4 × u¯1/kPR(/p1 +m2)v2 D0D1 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ 2Ghee v3 m1m 2 2 m21 −m22 ] × { u¯1PLv2 ×m21B(1)1 +u¯1PRv2 ×m1m2B(1)1 } = ∑ a UL2aU L∗ 3a [Ghee]× 2m21m 2 2 (m21 −m22)v3 { m1[u¯1PLv2]×B(1)1 +m2[u¯1PRv2 ×B(1)1 } . (A.39) 119 Giản đồ 4.2 k) iM(k) = ∑ a ∫ d4k (2π)4 u¯1 (−im2Ghee v ) i(−/p2 +m1 ) [p22 −m21] ( −i√2m1 v UL2aPL ) ×i (/k +mνa) [k2 −m2νa] ( −i√2m1 v UL∗3a PR ) v2 i [(k + p2)2 −m2W ] = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ 2Ghee v3 m21m2 m22 −m21 ] ∫ d4k (2π)4 u¯1(−/p2 +m1)/kPRv2 D0D2 = ∑ a UL2aU L∗ 3a [ 2Ghee v3 m21m2 m22 −m21 ] × { u¯1PLv2 × ( −m1m2B(2)1 ) +u¯1PRv2 × ( −m22B(2)1 )} = ∑ a UL2aU L∗ 3a [Ghee]× 2m21m 2 2 (m21 −m22)v3 { m1[u¯1PLv2]× B(2)1 +m2[u¯1PRv2 ×B(2)1 } . (A.40) Tổng đóng góp từ hai giản đồ được viết như sau: iM(ik) = iGhee 16π2 3∑ a=1 V2aV ∗ 3a ( [u1PLv2]E FS L + [u1PRv2]E FS R ) , (A.41) trong đó B(i)1 ≡ B(i)1 (ma, mS), V = { UL, K, yTR } , ma = {mνa, mNa} với S = {Gw, h1, h2} và Ghee = cα. Khử phân kỳ trong biên độ toàn phần của rã h0 → µ±τ∓ được chứng minh như sau. Các số hạn phân kỳ chỉ xuất hiện trong các biểu thức được liệt kê trong (4.16), (4.17), (4.21) và (4.22). Các số hạng phân kỳ trong biểu thức trong (4.16) và (4.17) sẽ bị triệt tiêu bởi cơ chế GIM sau khi thay chúng vào (A.27) và (A.29). Trong giới hạn gần đúng p21, p22 → 0 cho kết quả B(1)1 = −B(2)1 , do đó các số hạng phần kỳ trong (4.21) và (4.22) cũng bị khử bởi vì Div[B(1)1 ] = −Div[B(2)1 ].