Luận văn Một vài mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Vũ Minh Thư MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà Hà Nội - 2012 Mục lục Mở đầu 4 1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 6 1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . 6 1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric 10 1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . 17 1.3.1. Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . 18 2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke 21 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke . . . . . . . . . . . 27 2 2.3. Điều kiện đủ để tồn tại cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự dương của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 3 Lời mở đầu Một kết quả cổ điển trong giải tích chỉ ra rằng, một hàm f nửa liên tục dưới trên một tập compact X thì đạt cực tiểu trên tập đó. Nếu bỏ giả thiết X compact thì kết luận trên có thể không còn đúng nữa. Năm 1974, I.Ekeland phát biểu một nguyên lý gọi là nguyên lý biến phân Ekeland chỉ ra rằng nếu hàm f là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới trong không gian metric đủ ta luôn tìm được một hàm nhiễu của hàm ban đầu sao cho hàm nhiễu này có cực tiểu toàn cục. Nếu hàm f là khả vi Gateaux và bị chặn dưới trong không gian Banach thì đạo hàm của f có thể làm nhỏ tùy ý. Hơn nữa, nếu f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale thì f có cực tiểu. Nguyên lý biến phân Ekeland mở ra hướng nghiên cứu mới cho toán học và là một công cụ mạnh được ứng dụng hiệu quả trong các lĩnh vực: lý thuyết tối ưu, giải tích phi tuyến, giải tích đa trị,... Ngày nay, nguyên lý vẫn được rất nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng: các ánh xạ đơn trị hoặc đa trị trong không gian lồi địa phương, trong không gian vectơ, trong không gian Banach... Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách có hệ thống một số kết quả liên quan tới nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trong [2], [4], [10] và một vài mở rộng của nguyên lý này cho ánh xạ đa trị theo [5]. Đối với ánh xạ đa trị chúng ta sẽ dùng đối đạo hàm Clarke định nghĩa thông qua nón pháp tuyến Clarke được giới thiệu trong bài báo [8]. 4 Luận văn gồm 2 chương Chương 1. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển. Chương này bao gồm một số kết quả cổ điển của giải tích về các điều kiện để hàm nửa liên tục dưới đạt cực tiểu, nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển và một số ứng dụng của nguyên lý này. Chương 2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị trong không gian Banach có sử dụng nón pháp tuyến, đối đạo hàm Clarke và một số điều kiện đủ để ánh xạ đa trị có cực tiểu yếu, cực tiểu thực sự dương. Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trương Xuân Đức Hà. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, các thầy cô và Trung tâm đào tạo sau đại học của Viện đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp khoa Khoa học cơ bản - Cao đẳng công nghệ Hà Nội, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập của mình. Hà Nội, tháng 8 năm 2011 Tác giả 5 Chương 1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Trong chương này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển được giới thiệu trong bài báo [4], nguyên lý Ekeland trong không gian hữu hạn chiều theo [10] và một số ứng dụng của nguyên lý theo [2]. 1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại về lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất của nó. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R∪{+∞} Kí hiệu : domf = {x ∈ X|f(x) < +∞}, epif = {(x, a) ∈ X × R|f(x) ≤ a}. Với mỗi a ∈ R, kí hiệu tập mức của f là Laf = {x ∈ X|f(x) ≤ a}. Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian topo, hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi lim inf x→x0 f(x) ≥ f(x0). Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X. Nhận xét 1.1.1. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi ∀ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 sao cho ∀x ∈ U ta đều có f(x) ≥ f(x0)− ε. Ta xét ví dụ sau để minh họa cho định nghĩa trên. Ví dụ 1.1.1. Cho hàm số f : R→ R xác định bởi f(x) = { 6x2 − 1 nếu x 6= 1 0 nếu x = 1 Ta thấy f liên tục trên R \ {1} và gián đoạn tại x = 1. Nhưng f nửa liên tục dưới tại x = 1 vì lim inf x→1 f(x) = 5 ≥ f(1). Vậy f nửa liên tục dưới trên R. Sau đây là một số tính chất của hàm nửa liên tục dưới. Mệnh đề 1.1.1. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R ∪ {+∞}. Các khẳng định sau là tương đương (i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X. (ii) epif là tập đóng trong X × R. (iii) ∀a ∈ R thì tập mức Laf là tập đóng trong X. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử f là nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy dãy {(xn, an)} ⊂ epif sao cho lim n→∞(xn, an) = (x0, a0). Ta cần chỉ ra (x0, a0) ∈ epif . Thật vậy, lim n→∞xn = x0, limn→∞ an = a0 và hàm f là nửa 7 liên tục dưới tại x0 nên lim n→∞ inf f(xn) ≥ f(x0). Mà {(xn, an)} ⊂ epif nên f(xn) ≤ an, n ∈ N. Do đó lim n→∞ inf f(xn) ≤ limn→∞ an. Suy ra f(x0) ≤ lim n→∞ inf f(xn) ≤ limn→∞ an = a0. Điều này chứng tỏ (x0, a0) ∈ epif . (ii) ⇒ (iii). Giả sử epif là tập đóng trong X × R.∀a ∈ R giả sử Laf = {x ∈ X|f(x) ≤ a} là tập mức bất kì của f . Ta sẽ chứng minh Laf đóng trong X. Lấy dãy {xn} ⊂ Laf thỏa mãn lim n→∞xn = x0. Ta có f(xn) ≤ a do {xn} ⊂ Laf . Suy ra (xn, a) ∈ epif, ∀n ∈ N. Hơn nữa, lim n→∞xn = x0 nên lim n→∞(xn, a) = (x0, a). Mặt khác, epif đóng trong X ×R nên (x0, a) ∈ epif vì vậy x0 ∈ Laf hay Laf là tập đóng ∀a ∈ R. (iii) ⇒ (i). Giả sử Laf đóng trong X, ∀a ∈ R. Ta phải chứng minh f là hàm nửa liên tục dưới trên X. Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X khi đó tồn tại dãy xn ⊂ X sao cho lim n→∞xn = x0 và lim n→∞ inf f(xn) < f(x0). Chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho có k ∈ N để f(xn) ≤ f(x0)− ε(∀n > k). Xét tập mức L = {x ∈ X|f(x) ≤ f(x0)− ε}. Ta thấy xn ∈ N, ∀n > k. Mặt khác, do L đóng và lim n→∞xn = x0 nên x0 ∈ L do đó f(x0) ≤ f(x0)− ε (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X. Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại hai định lý trong giải tích về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm nửa liên tục dưới. Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X → R∪{+∞} đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại x ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x),∀x ∈ X. Sau đây, ta cùng xem lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X. 8 Mệnh đề 1.1.2. [10] Cho hàm f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới trên tập compact X trong không gian topo. Khi đó f đạt cực tiểu trên X. Chứng minh. Đặt a = inf{f(x)|x ∈ X}. Khi đó có một dãy xn ⊂ X sao cho lim n→∞ f(xn) = a. Do X là tập compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi xn là dãy hội tụ đến x ∈ X. Ta sẽ chứng minh f(x) = a. Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nên lim n→∞ inf f(xn) ≥ f(x) kết hợp với lim n→∞ f(xn) = a ta suy ra f(x) ≤ a. Mặt khác theo định nghĩa của a thì f(x) ≥ a. Vậy f(x) = a và x là điểm cực tiểu của f trên X. Nhận xét 1.1.2. Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu. Ta xét ví dụ sau để minh họa cho nhận xét trên. Ví dụ 1.1.2. Cho hàm số f : X = R× R\{(0, 1)} → R x = (x1, x2) 7→ f(x) = x21 + (x2 − 1)4. Ta thấy f là liên tục trên X và f(x) ≥ 0,∀x ∈ X. Hơn nữa inf X f = 0. Tuy nhiên không tồn tại x ∈ X để f(x) = 0. Thật vậy, giả sử rằng có x0 ∈ X sao cho f(x0) = 0 thì ta suy ra x0 = (0, 1) ∈ X (mâu thuẫn với cách xác định X). Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X. Khi giả thiết compact của X không còn thì hàm f có thể không đạt cực trị. Dưới đây là một điều kiện để hàm nửa liên tục dưới đạt cực trị trên tập đóng. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là bức trên tập X khác rỗng nếu f(x)→ +∞ khi x ∈ X, ‖x‖ → +∞. 9 Mệnh đề 1.1.3. [10] Một hàm f : X → R∪{+∞} nửa liên tục dưới trên một tập đóng X khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều và bức trên X thì f phải có cực tiểu trên X. Chứng minh. Lấy a ∈ X. Do f là nửa liên tục dưới nên từ Mệnh đề 1.1.1 ta suy ra tập C = {x ∈ X|f(x) ≤ f(a)} là tập đóng . Giả sử rằng C là tập không bị chặn vậy tồn tại {xk} ⊂ C sao cho f(xk) ≤ f(a), ∥∥xk∥∥ → +∞. Do f thỏa mãn điều kiện bức nên f(xk) → +∞ (mâu thuẫn vì f(xn) ≤ f(a)). Vậy C là tập đóng và bị chặn ta suy ra C compact. Theo Mệnh đề 1.1.2 thì f đạt cực tiểu trên C và cực tiểu này cũng là cực tiểu trên X của f . 1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trong không gian metric đủ và không gian hữu hạn chiều. 1.2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric Nếu X không compact và f không là bức trên X thì hàm f có thể không đạt cực tiểu trên X. Khi đó, ta xét khái niệm điểm ε−xấp xỉ cực tiểu như sau: Với ε > 0 cho trước, một điểm xε ∈ X gọi là ε−xấp xỉ cực tiểu của f(x) trên X nếu inf X f ≤ f(xε) ≤ inf X f + ε. Điểm ε− xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Hơn nữa, khi X là không gian metric đủ thì nguyên lý Ekeland phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X. Sau 10 đây ta xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trên không gian metric đủ (X, d). Định lý 1.2.1. [4] [Nguyên lý biến phân Ekeland ] Cho (X, d) là không gian metric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và xε ∈ X thỏa mãn f(xε) < inf X f + ε. Khi đó với λ > 0 bất kỳ thì tồn tại x ∈ X sao cho: (i) d(x, xε) ≤ λ. (ii) f(x) + ελd(x, xε) ≤ f(xε). (iii) f(x) + ελd(x, x) > f(x),∀x ∈ X\{x}. Để chứng minh Định lý trên, trước hết ta định nghĩa một quan hệ thứ tự ′′ ≤′′ trên tích X×R như sau, với mỗi α > 0, với (x1, y1), (x2, y2) ∈ X×R ta có (x1, y1) ≤ (x2, y2)⇔ y2 − y1 + αd(x1, x2) ≤ 0. Ta chứng minh quan hệ ′′ ≤′′ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Tính phản xạ : dễ thấy từ định nghĩa quan hệ ′′ ≤′′. Tính phản đối xứng : giả sử rằng (x1, y1) ≤ (x2, y2) và (x2, y2) ≤ (x1, y1). Ta cần chứng minh (x1, y1) = (x2, y2). Thật vậy, do cách định nghĩa quan hệ thứ tự và giả thiết trên ta có: (x1, y1) ≤ (x2, y2)⇔ d(x1, x2) ≤ y1 − y2 α . (x2, y2) ≤ (x1, y1)⇔ d(x2, x1) ≤ y2 − y1 α . Suy ra 2d(x1, x2) ≤ 0. Vì vậy x1 = x2. Do đó (x1, y1) = (x2, y2). Tính bắc cầu : giả sử rằng (x1, y1) ≤ (x2, y2) và (x2, y2) ≤ (x3, y3). 11 Khi đó d(x1, x2) ≤ y1 − y2 α và d(x2, x3) ≤ y2 − y3 α . Ta suy ra d(x1, x2) + d(x2, x3) ≤ y1 − y3 α . Mặt khác d(x1, x3) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3). Vậy ta suy ra d(x1, x3) ≤ y1 − y3 α hay(x1, y1) ≤ (x3, y3). Bổ đề sau sẽ được dùng để chứng minh Định lý 1.2.1. Bổ đề 1.2.1. [4] Cho S là tập đóng trong X×R thỏa mãn tồn tại m ∈ R sao cho nếu (x, a) ∈ S thì a ≥ m. Khi đó, với mỗi phần tử (x1, a1) ∈ S luôn có phần tử (x, a) ∈ S sao cho (x1, a1) ≤ (x, a) và (x, a) là phần tử cực đại trong S theo nghĩa (x, a)  (x, a),∀(x, a) ∈ S và (x, a) 6= (x, a). Chứng minh. Ta xây dựng dãy (xn, an) ⊂ S bằng quy nạp như sau, bắt đầu với (x1, a1) ∈ S cho trước. Giả sử rằng (xn, an) đã biết. Ký hiệu Sn = {(x, a) ∈ S| (xn, an) < (x, a)} , mn = inf {a ∈ R| (x, a) ∈ Sn} . Ta có Sn là các tập đóng và Sn khác rỗng khi đó ta lấy (xn+1, an+1) ∈ Sn sao cho an − an+1 ≥ an −mn 2 . (1.1) Do quan hệ ′′ ≤′′ có tính bắc cầu nên Sn+1 ⊂ Sn suy ra mn ≤ mn+1. Như vậy, Sn là dãy các tập đóng giảm dần trong S, mn là dãy giảm dần 12 trong R và bị chặn dưới, vậy (1.1) có thể viết thành an −mn 2 ≥ an+1 −mn ≥ an+1 −mn+1 ≥ 0. Tiếp tục quá trình này ta thu được an+1 −mn+1 ≤ an −mn 2 ≤ . . . ≤ a1 −m 2n . Mặt khác (xn+1, an+1) < (x, a) nên ta có d(xn+1, x) ≤ an+1 − a α ≤ a1 −m 2nα (α > 0). Vậy đường kính của Sn tiến dần về 0. Suy ra dãy Sn là dãy các tập đóng lồng nhau thắt dần và có đường kính tiến dần về 0 trong X × R, theo Định lý Cantor tồn tại (x, a) ∈ S thoả mãn {(x, a)} = ∩ n∈N Sn. (1.2) Ta sẽ chứng minh (x, a) là phần tử cực đại cần tìm. Thật vậy, từ định nghĩa (x, a) và (xn, an) ≤ (x, a),∀n ∈ N do đó (x1, a1) ≤ (x, a). Giả sử có (x, a) > (x, a) với (x, a) ∈ S và (x, a) 6= (x, a). Khi đó (x, a) ∈ S,∀n ∈ N Vì vậy (x, a) ∈ ∩ n∈N Sn điều này mâu thuẫn với (1.2). Như vậy (x, a) là phần tử cực đại trong S thỏa mãn yêu cầu Bổ đề. Ta chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland trong Định lý 1.2.1. Chứng minh. Đặt S = epif = {(x, a) ∈ X × R|f(x) ≤ a}. Dễ thấy, (xε, f(xε)) ∈ S. Do f là nửa liên tục dưới nên theo Mệnh đề 1.1.1 thì S là tập đóng trong X × R. Áp dụng Bổ đề 1.2.1 với α = ελ và phần tử (xε, f(xε)), luôn tìm được (x, a) sao cho (xε, f(xε)) ≤ (x, a) và (x, a) là phần tử cực đại trong S. Từ định nghĩa của epif ta luôn có (x, f(x)) ∈ S,∀x ∈ X. Mặt khác f(x) ≤ a nên −f(x) + a+ ε λ d(x, x) ≥ 0. 13 mà (x, a) là phần tử lớn nhất trong S nên ta có f(x) = a. Vậy (x, f(x)) là phần tử lớn nhất trong S. Ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy, theo Bổ đề 1.2.1 ta có (xε, f(xε)) ≤ (x, f(x)) tức là f(x) + ε λ d(x, xε) ≤ f(xε). Vậy khẳng định (ii) được chứng minh. Mặt khác, từ f(x)− f(xε) + ελd(x, xε) ≤ 0, ta có ε λ d(x, xε) ≤ f(xε)− f(x). Hơn nữa, f(xε) ≤ inf X f + ε nên f(xε)− f(x) ≤ ε. Do đó ε λ d(x, xε) ≤ ε hay d(x, xε) ≤ λ. Ta suy ra (i) đúng. Ta chứng minh (iii). Theo phần trên (x, f(x)) là phần tử lớn nhất trong S nên ∀(x, f(x)) ∈ S thì (x, f(x))  (x, f(x)),∀x 6= x. Do đó f(x) + ε λ d(x, x) > f(x),∀x 6= x. Nhận xét 1.2.3. Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu f(x) + ε λ d(x, x). Nếu λ nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của x so với điểm xε xấp xỉ ban đầu, nhưng khi đó hàm nhiễu f(x) + ε λ d(x, x) lại có sự sai khác lớn so với f(x). Ngược lại, nếu λ lớn thì ta không biết nhiều về vị trí điểm x, nhưng hàm f(x) + ε λ d(x, x) có thể sai khác rất ít so với hàm f(x) ban đầu. Hằng số λ trong Định lý trên được chọn rất linh hoạt. Nếu chọn λ = √ ε ta có kết quả sau. 14 Định lý 1.2.2. [2] Cho (X, d) là không gian metric đủ và hàm f : X → R∪{+∞} là hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và xε ∈ X thỏa mãn f(xε) < inf X f + ε. Khi đó tồn tại x ∈ X sao cho: (i) d(x, xε) ≤ √ ε. (ii) f(x) + √ εd(x, xε) ≤ f(xε). (iii) f(x) + √ εd(x, x) > f(x),∀x ∈ X\{x}. 1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều Trong mục trên, ta đã phát biểu và chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland cho một không gian metric đủ tổng quát với hàm f là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Trong không gian hữu hạn chiều, ta có một cách chứng minh ngắn gọn Định lý trên sử dụng điều kiện bức được trình bày trong [10] của GS.Hoàng Tụy. Định lý 1.2.3. [10] Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, λ > 0 và p ≥ 1. Giả sử ε > 0 và xε ∈ X thỏa mãn f(xε) < inf Rn f + ε. Khi đó tồn tại x ∈ Rn sao cho: (i) ‖xε − x‖ < λ. (ii) f(x) + ελp ‖x− xε‖p ≤ f(xε). (iii)f(x) + ελp ‖x− xε‖p ≥ f(x) + ελp ‖x− xε‖p ,∀x ∈ Rn. 15 Chứng minh. Xét hàm g(x) = f(x)+ ελp ‖x− xε‖p. Do f nửa liên tục dưới và bị chặn dưới nên g cũng là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Mặt khác, ta thấy rằng g thỏa mãn điều kiện bức tức là lim ‖x‖→+∞ g(x) = +∞. Lấy a ∈ Rn xét tập Lg(a)g = {x ∈ Rn|g(x) ≤ g(a)}, do g là nửa liên tục dưới theo Mệnh đề 1.1.1 thì Lg(a)g là đóng trong Rn. Ta chứng minh tập Lg(a)g là bị chặn trong Rn. Thật vậy giả sử Lg(a)g không bị chặn trong Rn, lúc đó tồn tại dãy {xn} ⊂ Lg(a)g sao cho ‖xn‖ → +∞. Theo chứng minh trên g thỏa mãn điều kiện bức trên Rn nên lim n→+∞ g(xn) = +∞. Mặt khác xn ∈ Lg(a)g nên g(xn) ≤ g(a),∀n ∈ N. Ta suy ra lim n→∞ g(xn) ≤ g(a),∀n ∈ N (mâu thuẫn với limn→+∞ g(xn) = +∞). Vậy tập Lg(a)g là đóng và bị chặn trong Rn hay Lg(a)g là compact. Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới trên tập compact Lg(a)g. Từ đó theo Mệnh đề 1.1.2 tồn tại điểm cực tiểu x của g trên Lg(a)g. Ta sẽ chứng minh x là điểm cực tiểu của g trên Rn. Ta có với x /∈ Lg(a)g thì g(x) > g(a) ≥ g(x) nghĩa là x là điểm cực tiểu của g trên Rn. Bây giờ ta chứng minh x thỏa mãn các kết luận của định lý. Thật vậy, do x là điểm cực tiểu của g trên Rn nên f(x) + ε λp ‖x− xε‖p ≤ f(x) + ε λp ‖x− xε‖p ,∀x ∈ Rn. Vậy (iii) được thỏa mãn. Ta cho x = xε ta có: f(x)+ ε λp ‖x− xε‖p ≤ f(xε). Ta chứng minh được (ii) và có f(x) ≤ f(xε). Đồng thời theo chứng minh trên và định nghĩa của xε thì inf Rn f(x) + ε λp ‖x− xε‖p ≤ f(x) + ε λp ‖x− xε‖p ≤ f(xε) ≤ inf Rn f(x) + ε. Nghĩa là ‖x− xε‖ < λ, ta chứng minh được (i). 16 1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương với tính đủ của không gian metric. Tiếp theo, chúng ta vận dụng nguyên lý biến phân Ekeland để đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu. 1.3.1. Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian metric Định lý sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian metric đầy đủ. Định lý 1.3.4. [2] Cho (X, d) là không gian metric. Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X → R∪{+∞} và với mọi ε > 0, tồn tại một điểm x ∈ X thỏa mãn (i) f(x)) < inf X f + ε. (ii) f(x) + εd(x, x) ≥ f(x),∀x ∈ X. Chứng minh. Chiều thuận của định lý trên ta suy ra từ Định lý 1.2.1 với λ = 1. Ngược lại, giả sử với mọi hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới f : X → R ∪ { +∞}, và với mọi ε > 0 ,tồn tại một điểm x ∈ X thỏa mãn (i) và (ii). Ta phải chứng minh (X, d) là không gian metric đủ. Thật vậy, cố định x ∈ X và xét dãy {xn} ⊂ X là dãy Cauchy ta cần chỉ ra {xn} hội tụ trong X. Từ đánh giá |d(xm, x)− d(xn, x)| ≤ d(xm, xn),∀m,n ∈ N. Ta suy ra {d(xn, x)} là dãy Cauchy trong R+ (là không gian metric đủ) nên dãy này hội tụ trong R+. Xét hàm f(x) = lim n→∞ d(xn, x). Do hàm 17 khoảng cách là lipschitz với x nên ta có f(x) là hàm liên tục. Hơn nữa dãy xn là dãy Cauchy nên f(xn)→ 0 khi n→∞. Ta suy ra inf X f = 0. Với ε ∈ (0, 1), ta tìm được x ∈ X sao cho f(x) ≤ inf X f + ε và f(x) + εd(x, x) ≥ f(x),∀x ∈ X. Cho x = xn thay vào biểu thức trên và chuyển qua giới hạn n→∞ ta được f(x) ≤ εf(x) suy ra f(x) = 0. Điều này chứng tỏ rằng lim n→∞xn = x. 1.3.2. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu Chúng ta biết rằng nếu hàm f : U → R ∪ {+∞} là khả vi trên U với tập U mở, U ⊂ R và f đạt cực trị tại c ∈ U thì f ′(c) = 0. Đó là kết quả của Định lý Fermat. Vấn đề đặt ra là với những hàm không đạt cực trị thì đạo hàm của chúng ra sao? Liệu có thể đánh giá đạo hàm tại những điểm ε - xấp xỉ cực tiểu không? Định lý sau sẽ trả lời những câu hỏi đó. Trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về sự khả vi của hàm f trên không gian Banach. Định nghĩa 1.3.2. [1] Cho X là không gian Banach và X∗ là không gian đối ngẫu của X. Hàm f : X → R ∪ { +∞} được gọi là khả vi Gateaux tại x0 ∈ X(f(x0) < +∞) nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính f ′(x0) ∈ X∗ sao cho ∀x ∈ X lim t→0 f(x0 + tu)− f(x0) t = f ′(x0)(u),∀u ∈ X. Hàm f được gọi là khả vi Gateaux trên X nếu f khả vi Gateaux tại mọi điểm x ∈ X. Định nghĩa 1.3.3. [1] Cho X là không gian Banach và X∗ là không gian đối ngẫu của X. Hàm f : X → R ∪ { +∞} được gọi là khả vi Frechet 18 tại x0 ∈ X(f(x0) < +∞) nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính f ′(x0) ∈ X∗ thỏa mãn lim u→0 f(x0 + x)− f(x0)− f ′(x0)(u) ‖u‖ = 0,∀u ∈ X. Hàm f được gọi là khả vi Frechet trên X nếu f khả vi Frechet tại mọi điểm x ∈ X. Ánh xạ tuyến tính f ′(x0) ∈ X∗ được gọi là đạo hàm của f tại x0. Nhận xét 1.3.4. Ta chứng minh được rằng nếu f khả vi Frechet trên X thì f cũng khả vi Gateaux trên X. Định lý 1.3.5. [4] Cho X là không gian Banach và hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X → R ∪ { +∞} là khả vi Gateaux trên X. Giả sử với ε > 0 ta có inf X f > f(xε) − ε. Khi đó với bất kỳ λ > 0 tồn tại x∗ ∈ B(xε, λ) sao cho đạo hàm Gateaux của f tại x∗ thỏa mãn: ‖f ′(x∗)‖ ≤ ε λ . Điểm x∗ thỏa mãn kết luận của định lý được gọi là điểm xấp xỉ tới hạn. Chứng minh. Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm f ta tìm được x∗ ∈ B(xε, λ) thỏa mãn f(x) ≥ f(x∗)− ε λ ‖x− x∗‖ ,∀x ∈ X. (1.3) Thay x = x∗ + tu(u ∈ X, t ∈ R) vào (1.3) ta có f(x∗ + tu) ≥ f(x∗)− ε λ ‖tu‖ . Từ đó ta có f(x∗ + tu)− f(x∗) |t| ≥ − ε λ ‖u‖ ,∀u ∈ X. (1.4) Vì f khả vi Gateaux trên X nên ta cho t→ 0− trong (1.4) ta có f ′(x∗)(u) = lim t→0− f(x∗ + tu)− f(x∗) t ≤ ε λ ‖u‖ . (1.5) 19 Tiếp theo ta cho t→ 0+ trong (1.4) ta có f ′(x∗)(u) = lim t→0+ f(x∗ + tu)− f(x∗) t ≥ − ε λ ‖u‖ . (1.6) Kết hợp (1.5) và (1.6) ta được − ε λ ‖u‖ ≤ f ′(x∗)(u) ≤ ε λ ‖u‖ ,∀u ∈ X. Vậy ta có ‖f ′(x∗)‖ ≤ ελ . Như vậy, có thể nói chuẩn của đạo hàm tại những điểm ε - xấp xỉ cực tiểu có thể làm bé tùy ý theo ε. Người ta đã chứng minh rằng nếu ánh xạ đơn trị thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.3.5 và thỏa mãn thêm điều kiện Palais - Smale luôn có cực trị. Chúng tôi sẽ trình bày mở rộng của kết quả này cho ánh xạ đa trị trong chương sau của luận văn. 20 Chương 2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke Trong chương này, chúng tôi trình bày hai dạng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị có sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke và từ đó chứng minh điều kiện đủ để ánh xạ này có cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự dương khi nó thỏa mãn điều kiện Palais - Smale. Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, tính chất, định lý có liên quan về nón pháp tuyến Clarke, đối đạo hàm Clarke và một vài kết quả của tối ưu vectơ. Những kiến thức trên được giới thiệu và chứng minh khá đầy đủ trong các bài báo [3], [7], [8], [9] của các tác giả F.Clarke, D.T.Luc, B.S.Mordukhovich, R.T.Rockafellar nên chúng tôi coi đây là các kết quả đã biết và không chứng minh. 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 2.1.4. [11] Cho X, Y là 2 tập hợp bất kỳ. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y . Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y và kí hiệu F : X ⇒ Y . 21 Trên đây là định nghĩa tổng quát của ánh xạ đa trị, tuy nhiên trong khuôn khổ chương này chúng tôi coi X, Y là các không gian Banach với X∗, Y ∗ là các không gian đối ngẫu tương ứng và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y với tập giá trị khác rỗng. Ta kí hiệu: F (X) = ∪ x∈X F (x), domF = {x ∈ X|F (x) 6= ∅} , grF = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (X)}. Định nghĩa 2.1.5. [11] Ánh xạ F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊂ U,∀x ∈ X. Nếu F nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên tục trên trong X. Định nghĩa 2.1.6. Cho Y là không gian Banach và tập K ⊂ Y là tập khác rỗng. Một tập K gọi là nón nếu x ∈ K,λ ≥ 0 kéo theo λx ∈ K. Nón K được gọi là nón nhọn nếu K ∩ (−K) = {0}. Cho K ⊂ Y là một nón lồi, nhọn. Ta xác định một quan hệ thứ tự bộ phận ′′ ′′ trong Y như sau với y1, y2 ∈ Y thì y1  y2 nếu y2 − y1 ∈ K. Dễ thấy rằng quan hệ  thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Quan hệ thứ tự này phù hợp với cấu trúc vectơ trong Y tức là ∀x, y ∈ Y ta có (i) x  y suy ra x+ z  y + z,∀z ∈ Y. 22 (ii) x  y suy ra αx  αy, ∀α ≥ 0. Ví dụ 2.1.3. a) Trong C[a,b]: không gian các hàm số liên tục trên [a, b] thì tập K1 = { f ∈ C[a,b]|f(t) ≥ 0,∀t ∈ [a, b] } , là nón lồi, đóng, nhọn. Xét nón K1, cho f, g ∈ C[a,b] thì ta có f  g ⇔ f(x) ≤ g(x),∀x ∈ [a, b]. b) Trong Rn, tập K2 = {x = (x1, ..., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,∀i = 1, ..., n} là nón lồi, nhọn, đóng. Xét nón K2, cho x, y ∈ Rn ta có x  y ⇔ xi ≤ yi,∀i = 1, ..., n. Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về nón tiếp tuyến Clarke, nón pháp tuyến Clarke và từ đó xây dựng khái niệm dưới vi phân, đối đạo hàm Clarke. Định nghĩa 2.1.7. Cho X là không gian Banach và tập Ω khác rỗng với Ω ⊂ X thì nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω kí hiệu T (x,Ω) được xác định bởi T (x,Ω) = {u ∈ X|∀{tk} ⊂ R+\{0}, tk → 0,∀{xk} ⊂ Ω, xk → x ∃uk → u, xk + tkuk ∈ Ω,∀k ∈ N}. Nón pháp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω kí hiệu là N(x,Ω) được xác định bởi N(x,Ω) = {u∗ ∈ X∗| 〈u∗, u〉 ≤ 0,∀u ∈ T (x,Ω)}, trong đó 〈u∗, u〉 là giá trị của phiếm hàm u∗ tại u. 23 Định nghĩa 2.1.8. [9] Cho hàm g : X → R ∪ { +∞}, g hữu hạn tại x thì dưới vi phân Clarke của g tại x kí hiệu ∂g(x) được cho bởi ∂g(x) = {x∗ ∈ X∗ : (x∗,−1) ∈ N((x, g(x)), epig)}. Sau đây là một số tính chất của dưới vi phân Clarke. Mệnh đề 2.1.4. [3] (i) Khi g là hàm lồi thì dưới vi phân Clarke trùng với dưới vi phân của g trong giải tich lồi nghĩa là ∂g(x0) = {x∗ ∈ X∗|g(x)− g(x0) ≥ 〈x∗, x− x0〉 ,∀x ∈ X}. (ii) ∂(sg)(x) = s∂g(x),∀s ∈ R. (iii) g xác định tại x và g(x′) ≥ g(x),∀x′ thuộc một lân cận của x thì 0 ∈ ∂g(x). (iv) (Định lý Rockafellar) Cho g1, g2 : X → R ∪ { +∞}, giả sử rằng g1 hữu hạn tại x , g2 lipschitz tại x thì ta có ∂(g1 + g2)(x) ⊆ ∂g1(x) + ∂g2(x). (v) Cho Ω X,Ω 6= ∅. Hàm chỉ của Ω được định nghĩa χΩ(x) = { 0 nếu x ∈ Ω +∞ nếu x /∈ Ω. Khi đó x ∈ Ω thì ∂χΩ(x) = N(x,Ω). (vi) Với chuẩn xác định trong X thì ∂ ‖‖ (0) = B∗X , trong đó B∗X hình cầu đơn vị đóng trong X. Ví dụ 2.1.4. Cho các hàm số g(x) = − |x| và f(x) = |x| ,∀x ∈ R với x0 = 0. 24 Theo Mệnh đề 2.1.4 (vi) ta có ∂f(0) = [−1, 1]. Ta thấy g là hàm không lồi nhưng theo Mệnh đề 2.1.4 (ii) có ∂g(0) = −∂f(0). Do đó ∂g(0) = [− 1, 1]. Nón pháp tuyến Clarke cũng được sử dụng để định nghĩa đối đạo hàm của ánh xạ đa trị F . Định nghĩa 2.1.9. [8] Cho F : X ⇒ Y, (x, y) ∈ grF . Đối đạo hàm của F tại (x, y) là ánh xạ đa trị D∗F (x, y) : Y ∗ ⇒ X∗ được xác định bởi D∗F (x, y)(y∗) = {x∗ ∈ X : (x∗,−y∗) ∈ N((x, y), grF} . Trong phần tiếp theo chúng tôi giới thiệu một vài kết quả của tối ưu vectơ. Cho K ⊂ Y với K đóng và K là nón nhọn. Kí hiệu: intK là phần trong của K và K + = {ϕ ∈ Y∗ : ϕ(k) ≥ 0,∀k ∈ K}, K+i = {ϕ ∈ Y∗ : ϕ(k) > 0,∀k ∈ K}. Định nghĩa 2.1.10. [7] Cho tập A khác rỗng và A là tập con thực sự của Y với a ∈ A. Ta nói rằng (i) a là điểm hữu hiệu (Pareto) của A, kí hiệu a ∈ MinA, nếu a /∈ a−K\{0},∀a ∈ A. (ii) Giả sử intK 6= ∅, a là điểm hữu hiệu yếu của A, kí hiệu a ∈ WMinA, nếu a /∈ a− intK, ∀a ∈ A. (iii) Giả sử K+i 6= ∅, a là điểm hữu hiệu thực sự dương của A, kí hiệu a ∈ PosA, nếu tồn tại ϕ ∈ K+i sao cho ϕ(a) ≥ (a),∀a ∈ A. 25 Nhận xét 2.1.5. Từ định nghĩa trên ta có nhận xét PosA ⊆MinA ⊆ WMinA. Định nghĩa 2.1.11. [7] Cho tập A khác rỗng và A là tập con thực sự của Y thì tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A ⊆ v +K, v ∈ Y . Tập A được gọi là K-bị chặn nếu tồn tại một tập bị chặn M ⊂ Y sao cho A ⊆M +K. Nếu tập A bị chặn dưới thì A là K-bị chặn. Nếu intK 6= ∅ thì hai khái niệm bị chặn dưới và K-bị chặn là tương đương. Định nghĩa 2.1.12. Cho F : X ⇒ Y . Ta nói (i) F là bị chặn dưới nếu F (X) bị chặn dưới. (ii) F là K-bị chặn nếu F (X) là K-bị chặn. Định nghĩa 2.1.13. Cho (x, y) ∈ grF . Ta nói (i) (x, y) là cực tiểu (Pareto) của F nếu y ∈MinF (X). (ii) (x, y) là cực tiểu yếu của F nếu y ∈ WMinF (X). (iii) (x, y) là cực tiểu thực sự dương của F nếu y ∈ PosF (X). Cho A ⊂ Y là tập đóng và khác rỗng. Trong bài báo [6], Hiriart - Urruty đã xây dựng hàm ∆A : Y → R như sau : ∆A(y) = dA(y)− dY \A(y), với dA(y) là khoảng cách từ y đến A. Mệnh đề 2.1.5. [6] Cho hàm ∆A xác định như trên. Ta có các khẳng định sau 26 (i) ∆A là 1- Lipchitz. (ii) ∆A là hàm lồi nếu A là tập lồi, ∆A là thuần nhất dương nếu A là nón. (iii) ∆A(y) > 0 nếu y /∈ A. (iv) ∂∆A(y) = (N(a,A)∩B∗Y )\{0} nếu a thuộc biên của A và intA 6= ∅. Nhận xét 2.1.6. Từ Mệnh đề 2.1.5 và cách định nghĩa ∆A ta có các nhận xét sau đây (i) ∆−K(k) = d−K(k) > 0,∀k ∈ K\{0}. (ii) ∆−K thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. (iii) ∂∆−K(0) = (K+ ∩B∗Y )\{0}, với intK 6= ∅. Dựa trên định nghĩa của MinA và cách xây dựng hàm ∆A ở trên, có thể chứng minh mệnh đề sau. Mệnh đề 2.1.6. [5] (i) a ∈MinA nếu ∆−K(a− a) > 0,∀a ∈ A\{a}. (ii) Khi intK 6= ∅, a ∈ WMinA nếu ∆−K(a− a) ≥ 0,∀a ∈ A. Hàm ∆A có nhiều tính chất đẹp và được ứng dụng rất hiệu quả trong việc chứng minh các định lý mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland được trình bày trong phần sau của luận văn. 2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke Trong mục này, trình bày khái niệm điểm ε -xấp xỉ cực tiểu của ánh xạ đa trị và trên cơ sở các kiến thức chuẩn bị, chúng tôi sẽ chứng minh hai 27 định lý mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị F sử dụng đối đạo hàm và nón pháp tuyến Clarke. Định nghĩa 2.2.14. [5] Cho ε > 0 và k0 ∈ K\{0} với (x, y) ∈ grF . Ta nói (i) (x, y) là một εk0-cực tiểu của F nếu y ∈MinF (x) và y + εk0  y,∀y ∈ F (X). (ii) (x, y) là một εk0-cực tiểu thực sự dương của F nếu tồn tại ϕ ∈ K+i, ϕ(k0) = 1 thỏa mãn ϕ(y) ≤ ϕ(y),∀y ∈ F (x) và ϕ(y) + ε > ϕ(y),∀y ∈ F (X). Sau đây, chúng tôi phát biểu mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị F trong trường hợp nghiệm ε - xấp xỉ cực tiểu. Định lý 2.2.6. [5] Giả sử rằng K 6= ∅, F có giá trị compact, F nửa liên tục trên và bị chặn dưới. Cho ε > 0, k0 ∈ K\{0}, d−K(k0) = 1 và y˜ ∈ F (X). Khi đó tồn tại εk0- cực tiểu (xε, yε) của F sao cho (i) yε ≤ y˜. (ii) y + ε ‖x− xε‖ k0 ≤ yε,∀(x, y) ∈ grF, (x, y) 6= (xε, yε). (iii) Tồn tại (x∗ε,−y∗ε) ∈ N((xε, yε), grF ) với y∗ε ∈ (K+ ∩B∗Y )\{0} và ‖x∗ε‖ ≤ ε. Nghĩa là, tồn tại y∗ ∈ (K+ ∩B∗Y )\{0} sao cho D∗F (xε, yε)(y∗ε) ∩ εB∗X 6= ∅. Trước hết, ta sẽ chứng minh hai bổ đề sau. 28 Bổ đề 2.2.2. [5] Cho giả thiết của Định lý 2.2.6 thì tồn tại εk0 - cực tiểu (x0, y0) của F sao cho y0 ≤ y˜. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh nếu tập A ⊂ Y,A bị chặn dưới thì tồn tại a ∈ A sao cho a + εk0  a,∀a ∈ A. Nếu a không tồn tại thì ta tìm được dãy ai ⊂ A sao cho ai+1 + εk0 ≤ ai,∀i = 1, 2, ... Lấy tổng 2 vế i→ n thu được an+1 + nεk0 ≤ a1,∀n = 1, 2, .... Lấy v ∈ Y sao cho v ≤ a,∀a ∈ A. Ta có v + nεk0 ≤ a1,∀n = 1, 2, ... (2.1) Áp dụng định lý tách cho k0 và −K, ta tìm được phiếm hàm ϕ ∈ K+ sao cho ϕ(k0) > 0. Từ (2.1) ta kết luận rằng nεϕ(k0) ≤ ϕ(a1 − v),∀n = 1, 2, ... (mâu thuẫn với (2.1)). Ta áp dụng chứng minh trên với tập A = F (X) ∩ (y˜ − K), ta có A 6= ∅, A bị chặn dưới nên chúng ta tìm được y′ ∈ F (X) ∩ (y˜ − K) sao cho y + εk0 ≤ y′,∀y ∈ F (X) ∩ (y˜ −K). (2.2) Ta chỉ ra rằng (2.2) cũng đúng với y ∈ F (X)\(y˜ − K). Thật vậy, y + εk0 ≤ y′ thì y ≤ y′ ≤ y˜ (mâu thuẫn vì y /∈ y˜ −K). Vậy (2.2) đúng ∀y ∈ F (X). Hơn nữa, cho x0 ∈ X sao cho y′ ∈ F (x0). Từ F có giá trị compact ta có F (x0) ⊆MinF (x0) +K. ta suy ra tồn tại y0 ∈MinF (x0) sao cho y0 ≤ y′. Từ (2.2) suy ra y + εk0  y0,∀y ∈ F (X). Ta có kết luận (x0, y0) là điểm εk0 - cực tiểu của F với y0 ≤ y˜. 29 Bổ đề 2.2.3. [5] Với d−K(k) = 1 ta có y + εk0  y′ thì 0 < ∆−K(y − y′) + ε. Chứng minh. Ta thấy ∆−K(y − y′ + εk0) > 0). Thật vậy, do y − y′ + εk0 /∈ −K,∆−K(εk0) = εd−K(k) = ε. Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho hàm ∆−K ta có 0 < ∆−K(y − y′ + εk0) ≤ ∆−K(y − y′) + ∆−K(εk0) = ∆−K(y − y′) + ε. Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.2.6. Chứng minh. Từ Bổ đề 2.2.2 thì tồn tại (x0, y0) là εk0 - cực tiểu của F với y0 ≤ y˜. Chúng ta tìm được εk0 - cực tiểu (xε, yε) thỏa mãn (ii) và yε ≤ y0. Theo (i) ta có yε ≤ y0 ≤ y˜. Hơn nữa, do (ii) và Bổ đề 2.2.3 ta được ∆−K(y − yε) + ε ‖x− xε‖ > 0,∀(x, y) ∈ grF, (x, y) 6= (xε, yε). Nghĩa là (xε, yε) là cực tiểu duy nhất của hàm g xác định bởi g : X × Y → R ∪ {+∞} sao cho g(x, y) = ∆−K(y − yε) + ε ‖x− xε‖ > 0 + χgrF (x, y). Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có 0 ∈ ∂g(xε, yε). Lấy dưới vi phân 2 vế của hàm g tại (xε, yε) ta có: ∂g(xε, yε) ⊆ {0} × ∂∆−K (0) + εB∗X × {0}+N ((xε, yε) , grF ) = {0} × (K+ ∩B∗Y ) \ {0}+ εB∗X × {0}+N ((xε, yε) , grF ) . Ta suy ra tồn tại x∗ε ∈ εB∗X , y∗ε ∈ (K+ ∩B∗Y ) \ {0} sao cho (x∗ε,−y∗ε) ∈ N((xε, yε), grF ). 30 Tiếp theo, chúng tôi xét mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị trong trường hợp nghiệm ε- xấp xỉ cực tiểu thực sự dương. Định lý 2.2.7. [5] Giả sử rằngK+i 6= ∅, F có giá trị compact , nửa liên tục trên và F là K- bị chặn. Cho ε > 0, k0 ∈ K\ {0} và ϕ ∈ K+i với ϕ(k0) = 1. Khi đó tồn tại εk0 - cực tiểu thực sự dương (xε, yε) của F sao cho: (i) y + ε ‖x− xε‖ k0  yε,∀(x, y) ∈ grF, (x, y) 6= (xε, yε). (ii) Tồn tại x∗ε ∈ X∗ sao cho (x∗ε,−ϕ) ∈ N ((xε, yε) , grF ) và ‖x∗ε‖ ≤ ε nghĩa là D∗F (xε, yε) (ϕ) ∩ εB∗X 6= ∅. Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng inf{ϕ(y)|y ∈ F (X)} > −∞. (2.3) Thật vậy, do F là K- bị chặn nên có tập M ⊂ Y,M bị chặn thỏa mãn F (X) ⊆M +K. Do y ∈ F (X) thì y = m+ k với m ∈M và k ∈ K,ϕ ∈ K+ thì ϕ(y) = ϕ(m+ k) ≥ ϕ(m) và inf{ϕ(m)|m ∈M} > −∞ nên ta có (2.3). Từ ϕ đạt cực tiểu trên mọi tập compact F (x) ta xây dựng hàm f : X → R sao cho f(x) = Min{ϕ(y) : y ∈ F (x)}. Do F là nửa liên tục trên, F có giá trị compact nên f nửa liên tục dưới. Hơn nữa, từ (2.3) thì ta có inf{f(x)|x ∈ X} > −∞. Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho f , ta tìm được xε ∈ X thỏa mãn f(xε) < f(x) + ε, ∀x ∈ X, (2.4) 31 f(x) + ε ‖x− xε‖ > f(xε),∀x ∈ X, x 6= xε. (2.5) Ta có F (xε) compact thì tồn tại yε ∈ F (xε) sao cho ϕ(yε) = f(xε) ≤ ϕ(y),∀y ∈ F (xε). Từ cách định nghĩa hàm f và từ (2.4) - (2.5) ta có: ϕ(yε) < ϕ(y) + ε,∀y ∈ F (X) và ϕ(y)− ϕ(yε) + ‖x− xε‖ > 0,∀(x, y) ∈ grF, (x, y) 6= (xε, yε). (2.6) Vậy (xε, yε) là εk0 - cực tiểu thực sự dương của F . Tiếp theo ta chứng minh (i). Giả sử ngược lại tồn tại (x, y) ∈ grF, (x, y) 6= (xε, yε) sao cho y + ε ‖x− xε‖ k0 ≤ yε. Thì ta có ϕ ∈ K+, ϕ(k0) = 1 và ϕ(y) − ϕ(yε) + ε ‖x− xε‖ ≤ 0 và điều này mâu thuẫn với (2.6). Do vậy, (i) là đúng. Mặt khác từ (2.6) ta suy ra (xε, yε) là cực tiểu duy nhất của hàm g g : X × Y → R ∪ {+∞} xác định bởi : g(x, y) = ϕ(y − yε) + ε ‖x− xε‖+ χgrF (x, y) Từ cách chứng minh Định lý 2.2.6 và Mệnh đề 2.1.4 ta suy ra (ii) đúng. Ví dụ sau đây minh họa cho Định lý 2.2.6. Ví dụ 2.2.5. Cho X = C[0,1] × C[0,1] và Y = C[0,1]. Xét K ⊂ C[0,1] là tập các hàm không âm trong C[0,1]. Ta có intK 6= ∅, K+i 6= ∅. Cho tập compact S khác rỗng trong Y được xác định bởi S = {v ∈ Y : v(t) = t∫ 0 u(s)ds : u ∈ C[0,1], 0 ≤ u(t) ≤ 1,∀t ∈ [0, 1] }. 32 Ánh xạ F được xác định như sau: F (x1, x2) = f(x1, x2) + S,∀(x1, x2) ∈ X với f(x1, x2) = (x1) 2 + (x1x2 − 1)2. Nghĩa là nếu y ∈ F (x1, x2) thì tồn tại v ∈ S sao cho y (t) = (x1 (t)) 2 + (x1 (t)x2 (t)− 1)2 + v(t),∀t ∈ [0, 1] . Có thể chứng minh rằng F có giá trị compact, ánh xạ F là nửa liên tục trên và bị chặn dưới. Áp dụng Định lý 2.2.6 và Định lý 2.2.7 cho ánh xạ này thì nó có điểm xấp xỉ cực tiểu. Mặt khác, ta sẽ chỉ ra rằng F không có điểm cực tiểu hay là MinF (X) = ∅. Thật vậy, lấy y ∈ F (X) thì y = f(x1, x2) + v, x1, x2 ∈ C[0,1] và v ∈ S. Lấy ω ∈ C[0,1], ω(t) ≡ 1 3 . Hàm y˜ ∈ C[0,1] xác định như sau y˜ =  f ( x1 2 , 2x2 ) + v nếu x1 6= 0 f(x1, x2) + v 2 nếu x1 = 0, v 6= 0 f ( ω, ω−1 ) nếu x1 = 0, v = 0 Ta có y˜ ∈ F (X), y˜ 6= y và y˜ ≤ y. Vậy F không có cực tiểu. 2.3. Điều kiện đủ để tồn tại cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự dương của ánh xạ đa trị Trong phần này, chúng tôi áp dụng Định lý 2.2.6 và Định lý 2.2.7 để chứng minh sự tồn tại cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự dương của ánh xạ đa trị F khi ánh xạ này thỏa mãn điều kiện Palais - Smale mở rộng. Kí hiệu : θ(x, y) = inf{ ‖x∗‖ : x∗ ∈ D∗F (x, y)(y∗), y∗ ∈ K+ ∩B∗Y , y∗ 6= 0}, θϕ(x, y) = inf{ ‖x∗‖ : x∗ ∈ D∗F (x, y)(ϕ)}. 33 Điều kiện Palais - Smale thứ nhất (PS1): Nếu với dãy {xn}∞1 ⊂ X sao cho có dãy bị chặn {yn}∞1 , yn ∈ F (xn),∀n = 1, 2, ... với limn→∞ θ(xn, yn) = 0 thì {xn}∞1 có dãy con hội tụ mạnh. Điều kiện Palais - Smale thứ hai (PS2): Nếu với dãy {xn}∞1 ⊂ X sao cho có dãy bị chặn {yn}∞1 , yn ∈ F (xn),∀n = 1, 2, ... với limn→∞ θϕ(xn, yn) = 0 thì {xn}∞1 có dãy con hội tụ mạnh. Nhắc lại rằng nón K là nón bình thường (normal cone) nếu tồn tại chỉ số N > 0 sao cho ∀k1, k2 ∈ K : k1 ≤ k2 thì ‖k1‖ ≤ N ‖k2‖ . Dựa trên điều kiện (PS1) và Định lý 2.2.6 ta chứng minh được điều kiện đủ để F có cực tiểu yếu. Định lý 2.3.8. [5] Giả sử rằng K là nón bình thường và intK 6= ∅, F có giá trị compact, F nửa liên tục trên, bị chặn dưới và thỏa mãn điều kiện (PS1). Khi đó F có cực tiểu yếu. Chứng minh. Cho k0 ∈ K\{0} với d−K(k0) = 1, y˜ ∈ F (X) và εn = 2 −n, n = 1, 2, .... Từ Định lý 2.2.6 thì tồn tại εnk0 - cực tiểu (xn, yn) của F thỏa mãn (x∗n,−y∗n) ∈ N((xn, yn), grF ) với y∗n ∈ K+ ∩B∗Y \{0}) và ∀n = 1, 2, ...: yn ≤ y˜ và ‖x∗n‖ ≤ εn. Cho v ∈ Y sao cho v ≤ y,∀y ∈ F (X) suy ra v ≤ yn ≤ y˜, n = 1, 2, .... Ta có K là nón bình thường, tập {r ∈ Y : v ≤ r ≤ y˜} là bị chặn theo chuẩn, vậy {yn} bị chặn. Hơn nữa ‖x∗n‖ ≤ εn ⇔ limn→∞ θ(xn, yn) = 0. Do F thỏa mãn điều kiện (PS1), tồn tại x ∈ X và dãy con {xni}∞i=1 → x. 34 Mặt khác, vì ánh xạ F là nửa liên tục trên nên với mỗi i = 1, 2, .. tồn tại số nguyên dương mi sao cho F (xnj) ⊂ F (x) + 2−iBY với nj > mi, với BY là hình cầu đơn vị đóng trong Y . Ta có thể giả sử rằng F (xni) ⊂ F (x) + 2−iBY ,∀i = 1, 2, .... Do đó ta có thể tìm được yni ∈ F (x) với mỗi i = 1, 2, ... sao cho ‖yni − yni‖ ≤ 2−i, i = 1, 2, ... (2.7) Khi (xn, yn) là εnk0 - cực tiểu của F thì có y + εnk0  yn,∀y ∈ F (X). Theo Bổ đề 2.2.3 ta có ∀n = 1, 2, ... có ∆−K(y − yn) + εn > 0,∀y ∈ F (X). Nghĩa là ∆−K(y − yn) + 2−n > 0,∀y ∈ F (X). (2.8) Ta sẽ chỉ ra ∀i = 1, 2, ... có ∆−K (y − yni) + 2−ni + 2−i > 0,∀y ∈ F (X). (2.9) Thật vậy, cố định i và y ∈ F (X). Nếu yni − yni ∈ −K thì theo bất đẳng thức tam giác và (2.8) ta có ∆−K (y − yni) ≥ ∆−K(y − yni)−∆−K(yni − yni) ≥ −2−ni + dY \(−K)(yni − yni) ≥ −2−ni − 2−i. Nếu yni − yni /∈ −K thì theo bất đẳng thức tam giác và (2.7) ta suy ra ∆−K (y − yni) ≥ ∆−K(y − yni)−∆−K(yni − yni) > −2−ni + d−K(yni − yni) ≥ −2−ni − d(0, yni − yni) ≥ −2−ni − 2−i. 35 Vậy ta chứng minh được (2.9). Hơn nữa, do F (x) là compact và yni ∈ F (x), i = 1, 2, .... Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng yni → y ∈ F (x). Từ (2.9) ta cho i→∞ thì ∆−K(y − y) ≥ 0,∀y ∈ F (X). Theo Mệnh đề 2.1.6, ta có (x, y) là cực tiểu yếu của F . Định lý sau đây chỉ ra điều kiện đủ để ánh xạ đa trị F có cực tiểu thực sự dương. Nhắc lại rằng, phiếm hàm ϕ ∈ Y ∗ được gọi là dương đều (uniformly positive) trên K nếu với γ > 0 thì ϕ(k) ≥ γ ‖k‖ ,∀k ∈ K. Định lý 2.3.9. [5] Giả sử rằng phiếm hàm ϕ là dương đều trên K và F có giá trị compact, F là nửa liên tục trên, K− bị chặn và thỏa mãn điều kiện (PS2). Khi đó F có cực tiểu thực sự dương. Chứng minh. Cho k0 ∈ K\{0} với ϕ(k0) = 1, εn = 2−n, n = 1, 2, .... Từ Định lý 2.2.7 thì tồn tại εnk0 -cực tiểu thực sự dương (xn, yn) của F và x∗n ∈ X∗ sao cho ∀n = 1, 2, ... có (x∗n,−ϕ) ∈ N((xn, yn), grF ) và ‖x∗n‖ ≤ εn. (2.10) Từ (2.10) ta suy ra lim n→∞ θϕ(xn, yn) = 0. Hơn nữa, khi (xn, yn) là εnk0 - cực tiểu thực sự dương của F ta có ϕ(y − yn) + 2−n ≥ 0,∀y ∈ F (X). (2.11) Ta chứng tỏ rằng {yn}∞1 là bị chặn theo chuẩn. Thật vậy, cố định y˜ ∈ F (X) theo (2.11) thì ϕ(yn) ≤ ϕ(y˜) + 1,∀n = 1, 2, ... Cho M là tập bị chặn sao cho F (X) ⊆ M + K. Khi đó tồn tại mn ∈ M 36 và kn ∈ K,n = 1, 2, ... thỏa mãn yn = mn + kn,∀n. Do M bị chặn và ϕ(y˜) + 1 ≥ ϕ(yn) = ϕ(mn) + ϕ(kn) ≥ ϕ(mn) + γ ‖kn‖ . Suy ra, dãy {yn}∞1 và dãy {kn}∞1 là bị chặn theo chuẩn. Do F thỏa mãn (PS2), tồn tại x ∈ X và dãy con {xni} → x. Theo cách chứng minh của Định lý 2.3.8 chúng ta tìm dãy con {yni}n1 , yni ∈ F (x), i = 1, ..., n thỏa mãn (2.7) và sau đó tìm y ∈ F (x) : yni → y. Kết hợp (2.7) và (2.11) ta kết luận được rằng ϕ(y − yni) + 2−ni + ‖ϕ‖ 2−ni ≥ 0,∀y ∈ F (X). (2.12) Với ‖ϕ‖ là chuẩn của ϕ. Từ (2.12) cho i→∞ ta có ϕ(y − y) ≥ 0,∀y ∈ F (X). Do đó theo Mệnh đề 2.1.6 (x, y) là cực tiểu thực sự dương của F . 37 Kết Luận Nguyên lý biến phân Ekeland được I.Ekeland đề xuất năm 1974. Nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến, lý thuyết tối ưu, giải tích đa trị và cho đến nay, nguyên lý này vẫn được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và mở rộng. Trong luận văn này, chúng tôi đã tìm hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển và một vài mở rộng của nó cho ánh xạ đa trị được giới thiệu trong bài báo [5]. Cụ thể là Chương 1 : Trình bày nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển, chứng minh ngắn gọn nguyên lý trong không gian hữu hạn chiều, sự tương đương của nguyên lý với tính đủ của không gian và một vài ứng dụng của nguyên lý này. Chương 2 : Trình bày một số mở rộng của nguyên lý biến phân Eke- land cho ánh xạ đa trị F sử dụng đối đạo hàm, nón pháp tuyến Clarke và từ đó chứng minh điều kiện đủ về sự tồn tại điểm cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự dương của F . 38 Tài liệu tham khảo [1] J.P.Aubin and I.Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley, New York (1984). [2] M.J.Borwein and J.Z.Qiji, Techniques of Variational Analysis, Springer (2004). [3] F.Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley (1983). [4] I.Ekeland, On the variational principle, J.Math. Anal. Appl. 47 (1974), 324 - 354. [5] T.X.D.Ha, Variants of the Ekeland Variational Principle for a Set - valued Map involving the Clarke Normal Cone, J. Math. Anal. Appl. 316 (2006), 346 - 356. [6] J.B.Hiriart - Urruty, New concepts in nondifferentiable programming, Bull. Soc. Math. France 60 (1979), 57 -85 . [7] D.T.Luc, Theory of Vector Optimization, Springer - Verlag, Berlin (1989). [8] B.S.Mordukhovich, Generalized defferentianl calculus for nonsmooth and set - valued mappings, J.Math. Anal. Appl. 183 (1994), 250 - 288. [9] R.T.Rockafellar, The theory of subgradients and its applications to problems of optimization: Convex and nonconvex functions, Hedelman, Berlin (1981). 39 [10] Hoàng Tụy, Bài giảng lý thuyết tối ưu, Viện toán học Việt Nam (2003). [11] Nguyễn Đông Yên, Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và công nghệ (2007). 40