Luận văn Nhập môn không gian phân thớ và phân thớ vectơ

am 𝑈+,𝑈− ⊂ 𝑆2 , {𝑈+,𝑈−} phủ đóng hữu hạn của 𝑆2. 𝑈+ ∩ 𝑈− = 𝑆1, 𝐵 = 𝑆2 = 𝑈+ ∪ 𝑈−. Xét họ 4 hàm dán  𝜑++ = 𝐼𝑑:𝑈+ × 𝐹 → 𝑈+ × 𝐹  𝜑−− = 𝐼𝑑:𝑈− × 𝐹 → 𝑈− × 𝐹  𝜑+− = 𝐼𝑑: 𝑆1 × 𝐹 → 𝑆1 × 𝐹 (𝑥,𝑓) ↦ 𝜑+−(𝑥,𝑓) = �𝑥,𝜑(𝑥)(𝑓)�, trong đó 𝜑: 𝑆1 → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) (nhóm các đồng phôi của F) 𝑥 ↦ 𝜑(𝑥) với 𝜑(𝑥):𝐹 ≈ → 𝐹 là một đồng phôi đã cho.  𝜑−+ ∶= (𝜑+−)−1 Kiểm tra {𝜑++,𝜑−−,𝜑+−,𝜑−+} thoả mãn tính tương thích Đặt 𝐸𝜑 là không gian phân thớ nhận được bằng cách dán hai phân thớ tầm thường 𝑈+ × 𝐹 với 𝑈− × 𝐹 bởi họ hàm dán {𝜑++,𝜑−−,𝜑+−,𝜑−+} ≡ {𝜑}. 𝐸𝜑 = (𝑈+ × 𝐹) ⊔ (𝑈− × 𝐹) (𝑥,𝑓) ≡ �𝑥,𝜑(𝑥)(𝑓)�,∀𝑥 ∈ 𝑆1� Đặc biệt: chọn 𝜑: 𝑆1 → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) 𝑥 ↦ 𝜑(𝑥) ∶= 𝐼𝑑𝐹 Lúc đó 𝐸𝜑 ≈ 𝑆 2 × 𝐹 (phân thớ tầm thường). Định lý 2: Mọi không gian phân thớ trên 𝑆2 đều có thể được cho bằng cách như trên, tức là tồn tại 𝜑: 𝑆1 → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) để 𝐸𝜑 ≈ 𝐸. b) Ví dụ 2 Trên một đa tạp M, xét một atlas 𝒜 ={(𝑈𝛼 ,𝜑𝛼)}𝛼. Ta xác định họ hàm chuyển �𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1�∀𝛼,𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅�, trong đó 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1:𝜑𝛼�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� ≈ � 𝜑𝛽�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽�, cụ thể 𝜑𝛼(𝑥) = �𝑥1(𝑥), , 𝑥𝑛(𝑥)�,∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ,𝜑𝛽(𝑦) = �𝑦1(𝑦), ,𝑦𝑛(𝑦)�,∀𝑦 ∈ 𝑈𝛽. Ta được 𝜑𝛽𝛼�𝑥 1(𝑥), , 𝑥𝑛(𝑥)� = �𝑦1(𝑥), ,𝑦𝑛(𝑥)�, ,∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽. Ma trận Jacôbi của 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼 −1 là : 𝒯𝛽𝛼(𝑥) ∶= �𝜕𝑦𝑖𝜕𝑥𝑗� 𝑥 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕𝑦1 𝜕𝑥1 (𝑥) ⋯ 𝜕𝑦1 𝜕𝑥𝑛 (𝑥) ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑦𝑛 𝜕𝑥1 (𝑥) ⋯ 𝜕𝑦𝑛 𝜕𝑥𝑛 (𝑥)⎦⎥⎥ ⎥ ⎤ ,∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 . Ta được ánh xạ 𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼 −1�:ℝ𝑛 ≅ →ℝ𝑛 𝑣 ↦ 𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼 −1�𝑣 ∶= 𝒯𝛽𝛼(𝑣) (v : vectơ cột). Ta xét họ hàm 𝜑�𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × ℝ𝑛 → 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × ℝ𝑛 (𝑥, 𝑣) ↦ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥, 𝑣) ∶= �𝑥,𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1�𝑣�. Kiểm tra được �𝜑�𝛽𝛼�(∀𝛼,𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅) thoả mãn các tính chất tương thích. Thật vậy �𝜑�𝛾𝛽 ∘ 𝜑�𝛽𝛼�(𝑥, 𝑣) = 𝜑�𝛾𝛽�𝜑�𝛽𝛼(𝑥, 𝑣)� = 𝜑�𝛾𝛽�𝑥,𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1�𝑣� = �𝑥,𝐷𝑥�𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛽−1�𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1�𝑣� = �𝑥,𝐷𝑥�𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1�𝑣� = �𝑥,𝐷𝑥�𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛼−1�𝑣� = 𝜑�𝛾𝛼(𝑥, 𝑣),∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅. ⇒ 𝜑�𝛾𝛽 ∘ 𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛾𝛼 𝜑�𝛼𝛼(𝑥, 𝑣) = (𝑥,𝐷𝑥(𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1)𝑣) = (𝑥, 𝑣) ⇒ 𝜑�𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×ℝ𝑛. Dùng họ hàm dán �𝜑�𝛽𝛼� để dán họ các phân thớ tầm thường {𝑈𝛼 × ℝ𝑛}𝛼 ta được phân thớ tiếp xúc TM của đa tạp khả vi M 𝑇𝑀 ∶= ∐ (𝑈𝛼 × ℝ𝑛)𝛼 (𝑥, 𝑣) ≡ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥, 𝑣)� (∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ,∀𝑣 ∈ ℝ𝑛, ∀𝛼,𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅). Sang chương II, mục 2.7, ta sẽ còn đề cập sâu hơn về phân thớ tiếp xúc trên đa tạp và một vài áp dụng của nó. 1.5.BÀI TOÁN MÔ TẢ LỚP ĐẲNG CẤU CÁC PHÂN THỚ TẦM THƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG 1.5.1.Bài toán:Cho không gian tôpô B. Hãy mô tả lớp đẳng cấu các phân thớ tầm thường địa phương trên B với thớ mẫu F cho trước. Đặ𝑡 𝐺 ∶= 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) là nhóm các đồng phôi của F đối với phép hợp thành. Xét 𝜑𝛽𝛼: �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹 → �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹 (𝑥,𝑓) ↦ 𝜑𝛽𝛼(𝑥,𝑓) = �𝑥, 𝑓�̅ Cố định 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽. Ta được ánh xạ đồng phôi 𝜑𝛽𝛼(𝑥, . ):𝐹 ≈ → 𝐹 𝑓 ↦ �𝜑𝛽𝛼(𝑥, . )� (𝑓) ∶= 𝑓 ̅ Kí hiệu 𝜑�𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺 𝑥 ↦ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) ∶= 𝜑𝛽𝛼(𝑥, . ) Ta đồng nhất 𝜑𝛽𝛼 ≡ �𝜑𝛽𝛼(𝑥, . )�𝑥∈𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ≡ �𝜑�𝛽𝛼(𝑥)�𝑥∈𝑈𝛼∩𝑈𝛽. Do đó 𝜑𝛽𝛼 ≡ 𝜑�𝛽𝛼. Tính chất tương thích được viết lại: (𝚤̂) 𝜑�𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥),𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅. (𝚤𝚤�) 𝜑�𝛼𝛼(𝑥) = 𝐼𝑑𝐹 = 1𝐺(∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼). Như vậy, họ hàm dán�𝜑𝛽𝛼� (∀𝛼,𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅) tương ứng với họ hàm �𝜑�𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹)} thoả mãn tính chất tương thích (𝚤̂), (𝚤𝚤�). Vấn đề: Trên B xét phủ {𝑈𝛼}𝛼(mở hay đóng hữu hạn địa phương) và cho hai họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼�, �𝜓𝛽𝛼�(thoả mãn tính chất tương thích). Theo định lý dán, ta được hai phân thớ tầm thường địa phương 𝜉, 𝜂 trên B với thớ mẫu F. Ta muốn tìm hiểu xem khi nào 𝜉 ≅ 𝜂? 1.5.2.Định lí 3 : Hai họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼� và �𝜓𝛽𝛼� xác định hai phân thớ tầm thường địa phương đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi tồn tại họ các đồng phôi theo thớ ℎ𝛼:𝑈𝛼 × 𝐹 ≈ →𝑈𝛼 × 𝐹,∀𝛼 sao cho 𝜓𝛽𝛼 = ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 ,∀𝛼,𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅. Chứng minh Cho họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼� và �𝜓𝛽𝛼� xác định lần lượt hai phân thớ tầm thường địa phương 𝜉 = (E, p, B) và 𝜂 = (E’, p’, B). 𝜉 có đồng phôi toạ độ 𝜑𝛼 , 𝜂 có đồng phôi toạ độ 𝜓𝛼. / Giả sử 𝜉 ≅ 𝜂 Khi đó có một đồng phôi 𝜃:𝐸 → 𝐸′. Cho ℎ𝛼 = 𝜑𝛼−1 ∘ 𝜃−1 ∘ 𝜓𝛼. Khi đó ℎ𝛽 −1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 = 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 ∘ 𝜃−1 ∘ 𝜓𝛼 = 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 ∘ 𝜃−1 ∘ 𝜓𝛼 = 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜃−1 ∘ 𝜓𝛼 = 𝜓𝛽−1 ∘ 𝜓𝛼 = 𝜓𝛽𝛼. / Giả sử tồn tại một đồng phôi theo thớ ℎ𝛼:𝑈𝛼 × 𝐹 ≈ →𝑈𝛼 × 𝐹,∀𝛼 sao cho𝜓𝛽𝛼 = ℎ𝛽 −1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 ,∀𝛼,𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅. Xét phủ mở {𝑝−1(𝑈𝛼)}𝛼của E.Trên mỗi không gian con 𝑝−1(𝑈𝛼) ta đặt hàm 𝜃 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼−1. Ta cần chứng minh 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼 −1 ∘ 𝜑𝛼 −1 = 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽−1 trên tập 𝑝−1(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛼). Thật vậy, ta có 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽 −1 ∘ 𝜑𝛽 −1 = 𝜓𝛼 ∘ 𝜓𝛼−1 ∘ 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽−1 ∘ 𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 = 𝜓𝛼 ∘ 𝜓𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼−1 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼−1 ∘ 𝜑𝛼−1 Do đó 𝜉 ≅ 𝜂∎ 1.5.3.Đối dây chuyền và đối chu trình Xét họ các đồng phôi theo thớ ℎ𝛼:𝑈𝛼 × 𝐹 ≈ →𝑈𝛼 × 𝐹 (𝑥, 𝑓) ↦ ℎ𝛼(𝑥,𝑓) ∶= �𝑥, 𝑓�̅ ℎ𝛼(𝑥, . ):𝐹 ≈ →𝐹 𝑓 ↦ ℎ𝛼(𝑥, . )(𝑓) ∶= 𝑓 ̅ ℎ�𝛼:𝑈𝛼 → 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) 𝑥 ↦ ℎ�𝛼(𝑥) ∶= ℎ𝛼(𝑥, . ) Nhờ ℎ𝛼(𝑥,𝑓) ∶= �𝑥,ℎ�𝛼(𝑥)(𝑓)� và 𝜓𝛽𝛼 = ℎ𝛽−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼nên 𝜓�𝛽𝛼(𝑥) = ℎ�𝛽−1(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) ∘ ℎ�𝛼(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅. �𝑈𝛼 ,ℎ�𝛼:𝑈𝛼 → 𝐺� gọi là một đối dây chuyền 0-chiều (hay 0-đối dây chuyền) trên B với giá trị trong G (G-giá trị). �𝑈𝛼 ,𝜑�𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ → 𝐺� gọi là một đối dây chuyền 1-chiều (hay 1-đối dây chuyền) trên B với giá trị trong G (𝜑�𝛽𝛼 chưa nhất thiết thoả mãn (𝚤̂), (𝚤𝚤�)). Khi 𝜑�𝛽𝛼 thoả mãn thêm điều kiện tương thích (𝚤̂), (𝚤𝚤�) thì ta bảo �𝑈𝛼 ,𝜑�𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ → 𝐺� là một đối chu trình 1 chiều hay 1-đối chu trình trên B với giá trị trong G. Hai 1-đối chu trình�𝑈𝛼 ,𝜑�𝛽𝛼� và �𝑈𝛼 ,𝜓�𝛽𝛼� gọi là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại 0_đối dây chuyền �𝑈𝛼 , ℎ�𝛼� sao cho 𝜓�𝛽𝛼(𝑥) = ℎ�𝛽−1(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) ∘ ℎ�𝛼(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅. Đặt 𝐻1(𝐵,𝐺) ∶= tập các 1_đối chu trình quan hệ đối đồng điều� . Tập H1(B, G) được gọi là (tập) đối đồng điều bậc nhất của B với hệ tử trong G. 1.5.4.Kết luận Có một tương ứng song ánh giữa 𝐻1(𝐵,𝐺) và tập các lớp đẳng cấu phân thớ tầm thường địa phương trên B với thớ mẫu 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹).∎ CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ Phân thớ vectơ là trường hợp đặc biệt của phân thớ tổng quát khi thớ mẫu là một không gian vectơ n chiều và các đồng phôi tọa độ địa phương không chỉ là đồng phôi theo thớ mà còn là đồng phôi tuyến tính. Số chiều của phân thớ là số chiều của thớ mẫu. Các phân thớ vectơ đóng vai trò trung tâm trong K-lý thuyết tô pô. Chương này sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản nhất của phân thớ vectơ. Đặc biệt là các khái niệm và tính chất về nhóm cấu trúc, các phép toán trên phân thớ vectơ.Để trình bày chương này, chúng tôi tham khảo chủ yếu tài liệu “Vectorbundles and their application” ([7]) của Luke G., Mishchenko A. 2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ 2.1.1. Định nghĩa:Cho B là không gian tôpô và F ≡ Kn (K làtrường ℝ hay ℂ) với tôpô tự nhiên. Một phân thớ vectơ ( n chiều) trên B là bộ ba ξ = (E, p, B)gồm cặp không gian tôpô E, B và toán ánh liên tục p: E → Bsao cho tính chất tầm thường địa phương sau đây thỏa mãn: ∀x ∈ B,∃U(là tập mở của x trong B) và đồng phôi theo thớ φ: U × Kn ≅ �� p−1(U) ⊂ E Mà φ|{b}×Kn: {b} × Kn ≅ �� p−1(b) ⊂ E là đẳng cấu tuyến tính, ∀b ∈ U. Tùy vào trường K là thực hay phức mà ta gọi ξlà phân thớ vectơ thực hay phức. 2.1.2. Nhận xét: Mỗi phân thớ vectơ đều là phân thớ tầm thường địa phương. 2.1.3. Ví dụ Ví dụ 1 Cho 𝑇 = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆𝑛 × ℝ𝑛+1: (𝑏, 𝑥) = 0} (ta coi x là vectơ tiếp xúc của 𝑆𝑛). Phân thớ tiếp xúc của mặt cầu đơn vị 𝑆𝑛 trong ℝ𝑛+1 là phân thớ vectơ thực n chiều là bộ ba 𝒯(𝑆𝑛) =(𝑇,𝑝, 𝑆𝑛). - 𝑝 ∶ 𝑇 → 𝑆𝑛 là toàn ánh liên tục. - Đặt 𝑈𝛼 = {𝑥 ∈ 𝑆𝑛, 𝑥𝛼 ≠ 0}, 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑛 và các nhúng tuyến tính 𝑢𝛼: ℝ𝑛 → ℝ𝑛+1 (𝑥1, , 𝑥𝑛) ↦ 𝑢𝛼(𝑥1, , 𝑥𝑛) = (𝑥1, , 𝑥𝛼 , 0, 𝑥𝛼+1, 𝑥𝑛) Xác định ánh xạ tuyến tính 𝑣𝑏:ℝ𝑛 → ℝ𝑛 với 𝑏 ∈ ℝ𝑛, 𝑏 ≠ 0 như dưới đây 𝑥 ↦ 𝑣𝑏(𝑥) = 𝑥 − (𝑏, 𝑥)(𝑏, 𝑏) 𝑏 Khi đó �𝑏, 𝑣𝑏(𝑥)� = 0 và 𝑥 = (𝑏,𝑥)(𝑏,𝑏) 𝑏 + 𝑣𝑏(𝑥). Đặt 𝜑𝛼(𝑏, 𝑥) = �𝑏, 𝑣𝑏�𝑢𝛼(𝑥)��, ta có đẳng cấu 𝜑𝛼:𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1(𝑈𝛼) thỏa mãn điều kiện𝜑|{𝑏}×𝐾𝑛: {𝑏} × ℝ𝑛 ≅ ��𝑝−1(𝑏) ⊂ 𝑇 là đẳng cấu tuyến tính. Ví dụ 2 - Mỗi đa tạp vi phân thực n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là một không gian vectơ thực n chiều. - Mỗi đa tạp vi phân phức n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là phân thớ vectơ phức n chiều. 2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ VECTƠ Xét 𝜉 = (𝐸,𝑝,𝐵) là phân thớ vectơ n chiều trên B (thớ mẫu là 𝐾𝑛), {𝑈𝛼}𝛼 là phủ mở của B, 𝒜 = {(𝑈𝛼 ,𝜑𝛼)}𝛼 là atlas của 𝜉với 𝜑𝛼:𝑈𝛼 × 𝐾𝑛 ≅ �� 𝑝−1(𝑈𝛼) ⊂ 𝐸 thỏa mãn điều kiện𝜑𝛼|{𝑥}×𝐾𝑛: {𝑥} × 𝐾𝑛 ≅ ��𝑝−1(𝑥) ⊂ 𝐸 là đẳng cấu tuyến tính ∀𝑥 ∈ 𝐵. Ta được họ hàm dán �𝜑𝛽𝛼� (∀𝛼,𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ 0) như sau: 𝜑𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × 𝐾𝑛 ≅ ��𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × 𝐾𝑛 (𝑥, 𝑣) ↦ 𝜑𝛽𝛼(𝑥, 𝑣) ∶= �𝑥,𝜑�𝛽𝛼(𝑥)(𝑣)� trong đó 𝜑�𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛,𝐾) ⊂ 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐾𝑛) 𝑥 ↦ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) �𝜑�𝛽𝛼�thỏa mãn điều kiện tương thích (hay điều kiện đối chu trình) (i) 𝜑�𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅. (ii) 𝜑�𝛼𝛼(𝑥) = 𝐼𝑛 = �1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1� ∈ 𝐺𝐿(𝑛,𝐾𝑛),∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼. Nhận thấy 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛾(𝑥) = 𝐼𝑛, ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅ ⟺ 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) = �𝜑�𝛽𝛾(𝑥)�−1,∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅. Ta bảo 𝐺𝐿(𝑛,𝐾) là nhóm cấu trúc của 𝜉. 2.3.NHÁT CẮT 2.3.1.Định nghĩa Cho ξ = (E, p, B) là một phân thớ vectơ n chiều trên B. Ánh xạ liên tục s ∶ 𝐵 →Eđược gọi là một nhát cắt của ξ nếu p. s = IdB. 2.3.2.Tính chất a) 𝑠 1−1 �⎯⎯� �𝑠𝛼:𝑈𝛼 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐�⎯⎯⎯� 𝐾𝑛� 𝛼 sao cho 𝑠𝛼�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ≡ 𝑠𝛽�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ứng với atlas 𝒜 ={(𝑈𝛼 ,𝜑𝛼)}𝛼 của phân thớ vectơ 𝜉. b) Đặt 𝑠(𝜉) ∶= {s: B → E| 𝑠 là nhát cắt của 𝜉} Trên 𝑠(𝜉), ta trang bị cấu trúc K-không gian vectơ (nói chung là vô hạn chiều): ∀𝑠, 𝑠1, 𝑠2 ∈ 𝑠(𝜉),∀𝜆 ∈ 𝐾, 𝑠1 + 𝑠2, 𝜆𝑠 ∈ 𝑠(𝜉) được định nghĩa như sau: (𝑠1 + 𝑠2)(𝑥) ∶= 𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥) ∈ 𝑝−1({𝑥}) ≅ 𝐾𝑛 (2.1) (𝜆𝑠)(𝑥) ∶= 𝜆𝑠(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝐵 (2.2) (phép toán theo từng thớ) Các công thức (2.1) và (2.2) xác định trên 𝑠(𝜉) cấu trúc của không gian vectơ. (Kiểm tra được 𝑠(𝜉) là một K-không gian vectơ với cấu trúc vừa định nghĩa trên: 1) (𝑠1 + 𝑠2)(𝑥) = 𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥) = 𝑠2(𝑥) + 𝑠1(𝑥) = (𝑠2 + 𝑠1)(𝑥). 2) �(𝑠1 + 𝑠2) + 𝑠�(𝑥) = (𝑠1 + 𝑠2)(𝑥) + 𝑠(𝑥) = 𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥) + 𝑠(𝑥) = 𝑠1(𝑥) + (𝑠2 + 𝑠)(𝑥) = �𝑠1 + (𝑠2 + 𝑠)�(𝑥) 3) ∃0:𝐵 → E 𝑥 ↦ 0(𝑥) ∶= (0, 0) (vectơ không của 𝑝−1({𝑥}) ) (𝑠 + 0)(𝑥) = 𝑠(𝑥) + 0(𝑥) = 𝑠(𝑥) 0:𝐵 → 𝐸 được gọi là nhát cắt 0 (đóng vai trò vectơ không trong 𝑠(𝜉)). 4) ∀𝑠:𝐵 → E đặt 𝑠′ ∶ 𝐵 → E 𝑥 ↦ 𝑠′(𝑥) = −𝑠(𝑥) (𝑠 + 𝑠′)(𝑥) = 𝑠(𝑥) + 𝑠′(𝑥) = 𝑠(𝑥) − 𝑠(𝑥) = 0(𝑥) 5) ∃1 ∈ 𝐾: (1. 𝑠)(𝑥) = 1. 𝑠(𝑥) = 𝑠(𝑥). 6) �𝜆(𝛽𝑠)�(𝑥) = 𝜆(𝛽𝑠)(𝑥) = 𝜆𝛽𝑠(𝑥) = (𝜆𝛽)𝑠(𝑥) = �(𝜆𝛽)𝑠�(𝑥),∀𝛽 ∈ 𝐾. 7) �(𝜆 + 𝛽)𝑠�(𝑥) = (𝜆 + 𝛽)𝑠(𝑥) = 𝜆𝑠(𝑥) + 𝛽𝑠(𝑥) = (𝜆𝑠 + 𝛽𝑠)(𝑥), ∀𝛽 ∈ 𝐾. 8) �𝜆(𝑠1 + 𝑠2)�(𝑥) = 𝜆(𝑠1 + 𝑠2)(𝑥) = 𝜆�𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥)� = 𝜆𝑠1(𝑥) + 𝜆𝑠2(𝑥) = (𝜆𝑠1 + 𝜆𝑠2)(𝑥) ) c) Giả sử 𝜉 ≅ 𝐵 × 𝐾𝑛 (phân thớ vectơ tầm thường) n chiều Mỗi nhát cắt 𝑠:𝐵 → 𝐸 ≅ 𝐵 × 𝐾𝑛 𝑥 ↦ 𝑠(𝑥) ∶= �𝑥, �̂�(𝑥)� trong đó �̂�:𝐵 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐�⎯⎯⎯� 𝐾𝑛 𝑥 ↦ �̂�(𝑥) sao cho 𝑠(𝑥) = �𝑥, �̂�(𝑥)�. Khi đó 𝑠(𝜉) ≅(��̂�:𝐵 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐�⎯⎯⎯� 𝐾𝑛�, phép toán định nghĩa theo từng điểm. • �̂�𝑖:𝐵 → 𝐾𝑛 𝑥 ↦ �̂�𝑖(𝑥) = 𝑒𝑖 = (0, ,1, 0), 𝑠ố 1 ở 𝑣ị 𝑡𝑟í 𝑡ℎứ 𝑖, 𝑖 = 1,𝑛�����. Xét 𝐶𝐾(𝐵) ∶= �𝑓:𝐵 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐�⎯⎯⎯� 𝐾�, đại số trên K 𝑠(𝜉) trở thành 𝐶𝐾(𝐵)_môđun hay {�̂�:𝐵 → 𝐾} trở thành 𝐶𝐾(𝐵)-môđun. • (𝑓𝑠)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥)𝑠(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝐵,∀𝑓 ∈ 𝐶𝐾(𝐵),∀𝑠 ∈ 𝑠(𝜉). • (𝑓�̂�)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥)�̂�(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝐵 {�̂�:𝐵 → 𝐾}�≅ 𝑠(𝜉)� là 𝐶𝐾(𝐵)_môđun tự do hạng n với cơ sở là {�̂�𝑖|𝑖 = 1,𝑛�����}. 2.4.CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 2.4.1.Phép toán kéo ngược (pull back)  Cho 𝜉 = (𝐸,𝑝,𝐵) là K_ phân thớ vectơ n chiều và 𝑓:𝐵1 → 𝐵 liên tục. Đặt 𝑓∗(𝐸) = 𝐸 × 𝐵1 ∶= {(𝑒, 𝑥1) ∈ 𝐸 × 𝐵1| 𝑝(𝑒) = 𝑓(𝑥1) } ⊂ 𝐸 × 𝐵1 (𝑝, 𝑓) 𝑝1:𝑓∗(𝐸) = 𝐸 × 𝐵1 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐�⎯⎯⎯� 𝐵1 (𝑝, 𝑓) (𝑒, 𝑥1) ⟼ 𝑝1(𝑒, 𝑥1) ∶= 𝑥1  Kiểm tra 𝑓∗(𝜉) = (𝑓∗(𝐸),𝑝1,𝐵1) là K_ phân thớ vectơ n chiều trên 𝐵1 và được gọi là cái kéo ngược của 𝜉 bởi f. 𝑓∗(𝐸) = 𝐸 × 𝐵1 → 𝐸 (𝑝,𝑓) 𝑝1𝑝 𝐵1 𝑓 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐵 2.4.2.Tổng Whitney (tổng trực tiếp)  Cho 𝜉𝑖 = (𝐸𝑖 ,𝑝𝑖 ,𝐵) là K_ phân thớ vectơ 𝑛𝑖 chiều với 𝒜 = {(𝑈𝛼𝑖 ,𝜑𝛼𝑖 )}𝛼và họ hàm dán �𝜑�𝛽𝛼 𝑖 �, 𝑖 = 1,2����.  Đặt 𝜑�𝛽𝛼 ∶= 𝜑�𝛽𝛼1 ⨁𝜑�𝛽𝛼2 , tức là ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ ta có  𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛽𝛼1 ⨁𝜑�𝛽𝛼2 ∶= �𝜑�𝛽𝛼1 (𝑥) ⋮ 0⋯⋯⋯ ⋮ ⋯⋯⋯0 ⋮ 𝜑�𝛽𝛼2 (𝑥)� ∈ 𝐺𝐿(𝑛1 + 𝑛2;𝐾) Phân thớ vectơ 𝜉 nhận được bằng cách dán {𝑈𝛼 × 𝐾𝑛1+𝑛2}𝛼 bởi họ hàm dán𝜑�𝛽𝛼được gọi là tổng Whitney (hay tổng trực tiếp) của 𝜉1 và 𝜉2, kí hiệu 𝜉1⨁𝜉2.  Nhận xét: 𝜉1⨁𝜉2 = (𝐸,𝑝,𝐵), trong đó 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 ∶= {(𝑒1, 𝑒2) ∈ 𝐸1 × 𝐸2| 𝑝1(𝑒1) = 𝑝2(𝑒2) }. (𝑝1,𝑝2) 𝑝 ∶ 𝐸 → 𝐵 (𝑒1, 𝑒2) ↦ 𝑝(𝑒1, 𝑒2) ∶= 𝑝1(𝑒1) = 𝑝2(𝑒2)∈ 𝐵. 𝑝−1({𝑥}) ≅ 𝑝1−1({𝑥})⨁𝑝2−1({𝑥}),∀𝑥 ∈ 𝐵. 2.4.3.Tích tenxơ  Cho 𝜉𝑖 = (𝐸𝑖 ,𝑝𝑖 ,𝐵) là K_ phân thớ vectơ 𝑛𝑖 chiều với 𝒜 = {(𝑈𝛼𝑖 ,𝜑𝛼𝑖 )}𝛼 và họ hàm dán �𝜑�𝛽𝛼 𝑖 �, 𝑖 = 1,2����.  Đặt 𝜑�𝛽𝛼 ∶= 𝜑�𝛽𝛼1 ⨂𝜑�𝛽𝛼2 , tức là ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ ta có 𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛽𝛼1 ⨂𝜑�𝛽𝛼2 ∈ 𝐺𝐿(𝑛1 + 𝑛2;𝐾). Phân thớ vectơ 𝜉 nhận được bằng cách dán {𝑈𝛼 × 𝐾𝑛1+𝑛2}𝛼 bởi họ hàm dán 𝜑�𝛽𝛼 được gọi là tích tenxơ của 𝜉1 và 𝜉2, kí hiệu 𝜉1⨂𝜉2. 2.4.4.Tính chất của các phép tổng trực tiếp và tích tenxơ  Cố định đáy B, xét các phân thớ vectơ𝜉, 𝜂, 𝜁 trên B, và 𝑛� ∶= 𝐵 × 𝐾𝑛, 0 ≤ 𝑛 ∈ ℕ (phân thớ tầm thường chiều). Ta có: (i) (𝜉⨁𝜂)⨁𝜁 ≅ 𝜉⨁(𝜂⨁𝜁) (ii) 𝜉⨁0� ≅ 0�⨁𝜉 ≅ 𝜉 (iii) 𝜉⨁𝜂 ≅ 𝜂⨁𝜉 (iv) (𝜉⨂𝜂)⨂𝜁 ≅ 𝜉⨂(𝜂⨂𝜁) (v) 𝜉⨂1� ≅ 1�⨂𝜉 ≅ 𝜉 (vi) (𝜉⨁𝜂)⨂𝜁 ≅ (𝜉⨂𝜁)⨁(𝜂⨂𝜁) (vii) 𝑛� ≅ 1� ⨁ ⊕ 1������� n lần 2.5.PHÂN THỚ PHỨC 2.5.1.Cho đồng cấu đồng nhất 𝐼: 𝜉 → 𝜉 thỏa điều kiện 𝐼2 = −1. Thu hẹp 𝐼𝑥 = 𝐼�𝑝−1(𝑥):𝑝−1(𝑥) → 𝑝−1(𝑥) là một tự đẳng cấu thỏa tính chất 𝐼𝑥2 = −1. Do đó phép biến đổi 𝐼𝑥 xác định một cấu trúc của một không gian vectơ phức trên 𝑝−1(𝑥). Ta có dim𝐾 = 2𝑛. Ta cần chỉ ra rằng : trong trường hợp này nhóm cấu trúc 𝐺𝐿(2𝑛,ℝ) cảm sinh nhóm con của các phép biến đổi phức 𝐺𝐿(𝑛,ℂ). Nếu hệ các vectơ {𝑣1, , 𝑣𝑛} có tính chất rằng hệ {𝑣1, , 𝑣𝑛, 𝐼𝑣1, , 𝐼𝑣𝑛} là một cơ sở thực trong không gian 𝐾, dim𝐾 = 2𝑛, thì hệ {𝑣1, , 𝑣𝑛} là một cơ sở phức của K. Cố định điểm 𝑥0. Không gian 𝑝−1(𝑥) là một không gian vectơ phức đối với toán tử 𝐼𝑥0, và do đó có một cơ sở phức {𝑣1, , 𝑣𝑛} ⊂ 𝑝−1(𝑥). Cho (𝑈𝛼 ,𝜑𝛼) là một bản đồ của phân thớ 𝜉 thỏa 𝑈𝛼 ∋ 𝑥0, các nhát cắt {𝒯1, ,𝒯𝑛} trong bản đồ 𝑈𝛼 thỏa mãn 𝒯𝑘(𝑥0) = 𝑣𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Khi đó hệ nhát cắt {𝒯1, ,𝒯𝑛, 𝐼𝒯1, , 𝐼𝒯𝑛} hình thành một cơ sở trong thớ 𝑝−1(𝑥0) và do đó hình thành cơ sở ở mỗi thớ 𝑝−1(𝑥) trong lân cận đủ nhỏ 𝑈 ∋ 𝑥0. Vì vậy hệ {𝒯1(𝑥), ,𝒯𝑛(𝑥)}hình thành một cở sở phức ở mỗi thớ 𝑝−1(𝑥) trong lân cận đủ nhỏ 𝑈 ∋ 𝑥0. Điều này nghĩa là có một atlas đủ tốt {(𝑈𝛼 ,𝜑𝛼)}𝛼 và một hệ nhát cắt {𝒯1𝛼(𝑥), ,𝒯𝑛𝛼(𝑥)} trong mỗi bản đồ 𝑈𝛼 cho ra một cơ sở phức ở mỗi thớ 𝑝−1(𝑥) trong lân cận 𝑈𝛼 ∋ 𝑥0. Cố định một cơ sở phức {𝑒1, , 𝑒𝑛} trong không gian vectơ phức ℂ𝑛. Đặt 𝜑𝛼:𝑈𝛼 × ℂ𝑛 → 𝑝−1(𝑈𝛼), 𝜑𝛼 �𝑥,�𝑧𝑘𝑒𝑘𝑛 𝑘=1 � = �𝑢𝑘𝒯𝑘𝛼𝑛 𝑘=1 (𝑥) + �𝑣𝑘𝐼𝑥�𝒯𝑘𝛼(𝑥)�𝑛 𝑘=1 = �𝑧𝑘𝒯𝑘𝛼𝑛 𝑘=1 (𝑥), 𝑧𝑘 = 𝑢𝑘 + 𝑖𝑣𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Khi đó các hàm chuyển 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽−1.𝜑𝛼 được xác định bởi ma trận chuyển từ cơ sở phức {𝒯1𝛼(𝑥), ,𝒯𝑛𝛼(𝑥)} sang cơ sở phức�𝒯1𝛽(𝑥), ,𝒯𝑛𝛽(𝑥)�. Các ma trận này là phức, thuộc nhóm 𝐺𝐿(𝑛,ℂ). Một phân thớ vectơ với nhóm cấu trúc 𝐺𝐿(𝑛,ℂ) được gọi là phân thớ vectơ phức. Cho 𝜉 là một phân thớ vectơ thực. Trong phân thớ vectơ 𝜉⨁𝜉, xét cấu trúc của một phân thớ vectơ phức bởi đồng cấu: 𝐼: 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉 (𝑣1, 𝑣2) ↦ 𝐼(𝑣1, 𝑣2) = (−𝑣2, 𝑣1),𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑝−1(𝑥). (2.3) Phân thớ vectơ phức được định nghĩa bởi (2.3) được gọi là phức hóa của phân thớ𝜉 và được kí hiệu là 𝑐𝜉. Ngược lại, nếu ta bỏ qua cấu trúc phân thớ phức (2.3) trên phân thớ vectơ phức 𝜉 thì ta được phân thớ vectơ thực. Phép toán này được gọi là thực hóa của một phân thớ vectơ phức và được kí hiệu là 𝑟𝜉. Rõ ràng 𝑟𝑐𝜉 = 𝜉⨁𝜉. Phép toán được mô tả như trên tương ứng với nhóm đại diện sau: 𝑐:𝐺𝐿(𝑛,ℝ) → 𝐺𝐿(𝑛,ℂ); 𝑟:𝐺𝐿(𝑛,ℂ) → 𝐺𝐿(2𝑛,ℝ). Nếu 𝜉 là một phân thớ phức, thì điều đó có nghĩa là 𝜉 là một phân thớ vectơ thực được trang bị cấu trúc phân thớ phức bởi đồng cấu𝐼: 𝜉 → 𝜉. Theo định nghĩa, phân thớ vectơ 𝑐𝑟𝜉 là một phân thớ vectơ thực mới 𝜂 = 𝜉⨁𝜉 với cấu trúc của phân thớ vectơ phức được xác định bởi đồng cấu: 𝐼1: 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉 (𝑣1, 𝑣2) ↦ 𝐼1(𝑣1,𝑣2) = (−𝑣2, 𝑣1)(2.4) Ánh xạ (2.4) xác định một cấu trúc phức mới trong phân thớ 𝜂 mà nói chung khác với cấu trúc phức được định nghĩa bởi ánh xạ 𝐼. Triển khai phân thớ 𝜂 theo cách khác: 𝑓: 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉 (𝑣1, 𝑣2) ↦ 𝑓(𝑣1,𝑣2) = (𝐼(𝑣1 + 𝑣2), 𝑣1 − 𝑣2) Và xác định nghịch ảnh một đồng phôi mới 𝐼2(𝑣1,𝑣2) = (𝐼𝑣1,−𝐼𝑣2) Ta có 𝑓𝐼2(𝑣1,𝑣2) = 𝑓(𝐼𝑣1,−𝐼𝑣2) = (𝐼(𝐼𝑣1 − 𝐼𝑣2), 𝐼𝑣1 + 𝐼𝑣2) = �𝑣2 − 𝑣1, 𝐼(𝑣1 + 𝑣2)� (2.5) và 𝐼1𝑓(𝑣1, 𝑣2) = 𝐼1(𝐼(𝑣1 + 𝑣2), 𝑣1 − 𝑣2) = �𝑣2 − 𝑣1, 𝐼(𝑣1 + 𝑣2)� (2.6) Từ (2.5) và (2.6) ta được 𝑓𝐼2 = 𝐼1𝑓.(2.7) ⇒ 𝑓 xác định một đẳng cấu 𝑐𝑟𝜉 ≅ 𝜉⨁𝜉̅, trong đó 𝜉̅ là phân thớ phức với cấu trúc phức 𝐼′(𝑣) = −𝐼(𝑣). Phân thớ phức 𝜉̅ được gọi là phân thớ phức liên hợp với phân thớ phức 𝜉. Chú ý các phân thớ 𝜉 và 𝜉̅ đẳng cấu như là phân thớ vectơ thực, nghĩa là phép đẳng cấu tương thích đối với nhóm cấu trúc lớn 𝐺𝐿(2𝑛,ℝ), nhưng không đẳng cấu đối với nhóm cấu trúc 𝐺𝐿(𝑛,ℂ). Do vậy ta có công thức 𝑐𝑟𝜉 = 𝜉⨁𝜉̅ Mệnh đề 1: Cho 𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛,ℂ) là các hàm chuyển của một phân thớ vectơ phức 𝜉. Khi đó phân thớ vectơ liên hợp phức 𝜉̅ được định nghĩa bởi ma trận liên hợp phức 𝜑�𝛽𝛼. Chứng minh Cho V là một không gian vectơ phức n chiều với phép toán nhân và đơn vị ảo 𝐼, V’ là không gian vectơ phức n chiều cùng với phép toán nhân và cấu trúc phức được xác đinh bởi 𝐼′ = −𝐼. Cơ sở phức {𝑒1, , 𝑒𝑛} của V cũng là cơ sở phức của V’. Nhưng nếu 𝑣 ∈ 𝑉 có tọa độ phức (𝑧1, , 𝑧𝑛) thì cũng vectơ 𝑣 trong V’ sẽ có tọa độ (𝑧1̅, , 𝑧�̅�). Do đó nếu {𝑓1, , 𝑓𝑛} là một cơ sở phức khác thì phép biến đổi ma trận phức từ hệ tọa độ đầu sang hệ tọa độ sau được xác định bởi sự khai triển các vectơ {𝑓1, ,𝑓𝑛} về cơ sở {𝑒1, , 𝑒𝑛}. Đối với không gian V sự khai triển là 𝑓𝑘 = �𝑧𝑗𝑘𝑒𝑗 𝑗 , Và đối với không gian V’ sự khai triển là 𝑓𝑘 = �𝑧�̅�𝑘𝑒𝑗 𝑗 Do vậy ta có mệnh đề 1.∎ 2.6.PHÂN THỚ CON 2.6.1.Định nghĩa: Phân thớξ′ = (E′, p′,B′) được gọi là phân thớ con của phân thớ ξ =(E, p, B) nếu E′ là không gian con của không gian E, B′ là không gian con của không gian B và p′ = p�E′:E′ → B′. Cho 𝑓: 𝜉1 → ξ2là một đồng cấucủa phân thớ vectơ với đáy B và giả sử ánh xạ theo thớ 𝑓𝑥: (𝜉1)𝑥 → (ξ2)𝒙hạng không đổi. Cho các phép chiếu: 𝑝1:𝐸1 → 𝐵 𝑝2:𝐸2 → 𝐵 Đặt 𝐸0 = {𝑦 ∈ 𝐸1: 𝑓(𝑦) = 0 ∈ 𝑝2−1(𝑥), 𝑥 = 𝑝1(𝑦)}, 𝐸 = 𝑓(𝐸1). 2.6.2.Định lý 4 1. Ánh xạ 𝑝0 = 𝑝1|𝐸0:𝐸0 → 𝐵 là một phân thớ mà nhận một cấu trúc phân thớ vectơ duy nhất 𝜉0 sao cho phép bao hàm tự nhiên 𝐸0 → 𝐸1 là một đồng cấu. 2. Ánh xạ 𝑝 = 𝑝2|𝐸:𝐸 → 𝐵là một phân thớ mà nhận một cấu trúc phân thớ vectơ duy nhất 𝜉 sao cho phép bao hàm𝐸 → 𝐸2 và ánh xạ 𝑓:𝐸1 → 𝐸 là các đồng cấu của các phân thớ vectơ. 3. Tồn tại đẳng cấu 𝜑: 𝜉1 → 𝜉0⨁𝜉 𝜓: 𝜉2 → 𝜉⨁𝜂 thỏa mãn tích 𝜓 ∘ 𝑓 ∘ 𝜑−1: 𝜉0⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜂. có ma trận dạng 𝜓 ∘ 𝑓 ∘ 𝜑−1 = �0 𝐼𝑑0 0 �. Phân thớ ξ0 được gọi là nhân của ánh xạ f , kí hiệu Ker f, phân thớ ξ được gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu Im f. Vì vậy ta có dim ξ1 = dim Ker f + dim Im f. Theo định nghĩa phân thớ con, 𝜉0 là phân thớ con của phân thớ 𝜉1 và 𝜉 là phân thớ con của phân thớ 𝜉2. Chứng minh Giả sử các phân thớ vectơ 𝜉1 và 𝜉2 được trang bị với tích vô hướng. Đầu tiên ta chứng minh ý 2 của định lý 4, đó là ánh xạ 𝑝 = 𝑝2|𝐸:𝐸 → 𝐵 xác định một phân thớ vectơ. Ta cần chứng minh rằng ∀𝑥0 ∈ 𝐵 có một bản đồ 𝑈 ∋ 𝑥0 và một hệ các nhát cắt liên tục 𝜎1, ,𝜎𝑘:𝑈 → 𝐸hình thành một cơ sở trong mỗi không gian con 𝑓𝑥�𝑝1−1(𝑥)� ⊂ 𝑝2 −1(𝑥). Cố định một cơ sở {𝑒1, , 𝑒𝑘} trong không gian con 𝑓𝑥0�𝑝1−1(𝑥0)�. Ánh xạ 𝑓𝑥0:𝑝1−1(𝑥0) → 𝑓𝑥0�𝑝1−1(𝑥0)� là một toàn cấu và do đó ta có thể chọn các vectơ 𝑔1, ,𝑔𝑘 ∈ 𝑝1−1(𝑥0) thỏa mãn 𝑓𝑥0�𝑔𝑗� = 𝑒𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘. Vì𝜉1 là một phân thớ nên với mỗi 𝑥0 tồn tại một 𝑈 ∋ 𝑥0 thỏa mãn trên U phân thớ 𝜉 đẳng cấu với 𝑈 × 𝑝1−1(𝑥0). Do đó có các nhát cắt liên tục 𝜏𝑗:𝑈 → 𝐸1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 𝑥0 ↦ 𝜏𝑗(𝑥0) = 𝑔𝑗 Xét các nhát cắt 𝜎𝑗 = 𝑓�𝜏𝑗�, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘. Khi đó𝜎𝑗(𝑥0) = 𝑓 �𝜏𝑗(𝑥0)� = 𝑓�𝑔𝑗� = 𝑒𝑗,1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘. Các nhát cắt 𝜎𝑗 là liên tục và do đó có một lân cận nhỏ hơn 𝑈′ ∋ 𝑥0 thỏa mãn đối với bất kì điểm 𝑥 ∈ 𝑈′ hệ {𝜎1(𝑥), ,𝜎𝑘(𝑥)} hình thành một cơ sở của không gian con 𝑓𝑥�𝑝1−1(𝑥)�. Do đó E là không gian toàn thể của một không gian phân thớ và phép bao lồng 𝐸 → 𝐸2 là đồng cấu. Tính duy nhất của cấu trúc phân thớ trên E là rõ ràng. Ta sang ý 1 của định lý 4: Kí hiệu 𝑃: 𝜉1 → 𝜉1 là ánh xạ theo thớ mà mỗi thớ 𝑝1−1(𝑥) là phép chiếu trực chuẩn vào𝐾𝑒𝑟 𝑓𝑥 ⊂ 𝑝1−1(𝑥). Ta cần chứng minh P là liên tục trên mỗi bản đồ tách U. Chú ý 𝐾𝑒𝑟 𝑓𝑥 là phần bù trực giao của không gian con 𝐼𝑚 𝑓𝑥∗. 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓𝑥∗ = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓𝑥 Do đó ta có thể áp dụng ý 2 của định lí 4 vào ánh xạ 𝑓∗. Vì vậy ảnh 𝐼𝑚 𝑓∗ là một phân thớ vectơ. Cho {𝜎1, ,𝜎𝑘} là một hệ các nhát cắt 𝜎𝑗:𝑈 → 𝐼𝑚 𝑓∗ ⊂ 𝐸1 hình thành một cơ sở của không gian con 𝐼𝑚 𝑓𝑥∗ ⊂ 𝑝1−1(𝑥) với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋. Khi đó 𝑦 = 𝑃(𝑦) + ∑ 𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥)𝑘𝑗=1 . thỏa mãn 〈𝑃(𝑦),𝜎𝑙(𝑥)〉 = 0, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘 ⟺ 〈𝑦 −�𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥)𝑘 𝑗=1 ,𝜎𝑙(𝑥)〉 = 0, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘 ⟺ 〈𝑦,𝜎𝑙(𝑥)〉 − 〈�𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥)𝑘 𝑗=1 ,𝜎𝑙(𝑥)〉 = 0,1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘 ⟺ 〈�𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥)𝑘 𝑗=1 ,𝜎𝑙(𝑥)〉 = 〈𝑦,𝜎𝑙(𝑥)〉, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘 ⟺�𝜆𝑗 𝑘 𝑗=1 〈𝜎𝑗(𝑥), 𝑙(𝑥)〉 = 〈𝑦,𝜎𝑙(𝑥)〉, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘. ⇒Ma trận �〈𝜎𝑗(𝑥),𝜎𝑙(𝑥)〉� phụ thuộc liên tục vào x. ⇒ Ma trận nghịch đảo �〈𝜎𝑗(𝑥),𝜎𝑙(𝑥)〉�−1phụ thuộc liên tục vào x. ⇒ các số 𝜆𝑗 phụ thuộc liên tục vào x ⇒ P liên tục. Hạng của P không phụ thuộc vào x, áp dụng ý 2, ta có điều phải chứng minh. Ý 3 được suy ra từ sự phân tích 𝜉1 = 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⨁𝐼𝑚 𝑓∗ 𝜉2 = 𝐾𝑒𝑟 𝑓∗ ⨁𝐼𝑚 𝑓∎ 2.6.3.Định lý 5 Cho 𝜉là một phân thớ vectơ trên đáy compact B. Khi đó có một phân thớ vectơ 𝜂 trên B thỏa 𝜉 ⨁𝜂 = 𝑁� là phân thớ tầm thường. Chứng minh Sử dụng định lý 4, ta cần xây dựng một đồng cấu 𝑓: 𝜉 → 𝑁�, Trong đó 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓 = dim 𝜉 trên mỗi thớ. Chú ý rằng nếu 𝜉 là tầm thường thì hiển nhiên tồn tại f như vậy. Do đó với bản đồ bất kì 𝑈𝛼 có một đồng cấu 𝑓𝛼: 𝜉|𝑈𝛼 → 𝑁�𝛼 , 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓𝛼 = dim 𝜉. Cho {𝜑𝛼} là một phân hoạch đơn vị tương ứng với atlas {𝑈𝛼}. Khi đó mỗi ánh xạ 𝜑𝛼𝑓𝛼 có thể được mở rộng bởi ánh xạ tầm thường 0 thành 𝑔𝛼: 𝜉 → 𝑁�𝛼 , trong đó 𝑔𝛼|𝑈𝛼 = 𝜑𝛼𝑓𝛼 Ánh xạ 𝑔𝛼 có tính chất sau: nếu 𝜑𝛼(𝑥) ≠ 0 thì 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔𝛼|𝑥 = dim 𝜉. Cho 𝑔: 𝜉 → ⨁𝛼𝑁�𝛼 = 𝑁� 𝑦 ↦ 𝑔(𝑦) = (𝑔1(𝑦), ,𝑔𝛼(𝑦), ) ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔𝛼 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔 ≤ dim 𝜉,∀𝛼 Hơn nữa, ∀𝑥 ∈ 𝐵, tồn tại một 𝛼 như vậy thỏa 𝜑𝛼(𝑥) ≠ 0 nên 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔 = dim 𝜉. Do đó áp dụng định 4, ta có 𝐾𝑒𝑟 𝑔 = 0. Do đó phân thớ 𝜉 đẳng cấu với 𝐼𝑚 𝑔 và 𝑁� = 𝐼𝑚 𝑔⊕ 𝜂.∎ 2.6.4.Bổ đề Urysohn Cho A và B là các đa tạp con đóng rời của không gian X. Khi đó tồn tại một hàm liên tục 𝑓:𝑋 → 𝐼 thỏa mãn 𝑓(𝐴) = 0 và 𝑓(𝐵) = 1. ∎ 2.6.5.Định lý 6 Cho 𝜉1, 𝜉2 là hai phân thớ vectơ trên một đáy compact B và cho không gian con đóng 𝐵0 ⊂ 𝐵. Cho một đồng cấu hạn chế trên 𝐵0: 𝑓0: 𝜉1|𝐵0 → 𝜉2|𝐵0 Khi đó ánh xạ 𝑓0 có thể được mở rộng thành đồng cấu 𝑓: 𝜉1 → 𝜉2,𝑓|𝐵0 = 𝑓0. Chứng minh Trong trường hợp các phân thớ là tầm thường, vấn đề nảy sinh là xây dựng các mở rộng của các hàm giá trị ma trận. Vấn đề này được suy ra từ bổ đề Urysohn liên quan đến mở rộng các hàm liên tục. Đối với trường hợp tổng quát, ta áp dụng định lí 5. Cho 𝜉1⨁𝜂1 và 𝜉2⨁𝜂2 là các phân thớ tầm thường, cho 𝑃: 𝜉2⨁𝜂2 → 𝜉2 là một phép chiếu tự nhiên, và 𝑄: 𝜉1 → 𝜉1⨁𝜂1 là phép bao hàm tự nhiên, cho ℎ0 = 𝑓0⨁0: (𝜉1⨁𝜂1)|𝐵0 → (𝜉2⨁𝜂2)|𝐵0 là tổng trực tiếp của 𝑓0 và ánh xạ tầm thường 0. Khi đó có một mở rộng của ℎ0 thành đồng cấu ℎ: 𝜉1⨁𝜂1 → 𝜉2⨁𝜂2. Cho 𝑓 = 𝑃ℎ𝑄: 𝜉1 → 𝜉2. Rõ ràng rằng 𝑓|𝐵0 = 𝑓0. ∎ 2.7.PHÂN THỚ VECTƠ LIÊN KẾT VỚI ĐA TẠP VÀ CÁC VÍ DỤ Phân thớ vectơ được nảy sinh một cách tự nhiên từ lý thuyết đa tạp khả vi. Nhờ khái niệm phân thớ tiếp xúc, nhiều vấn đề của đa tạp khả vi được trình bày chặt chẽ và chính xác hơn. Như là những áp dụng của phân thớ vectơ trong Hình học vi phân, mục này trình bày lại một số vấn đề cốt yếu về đa tạp vi phân trong “ngôn ngữ” phân thớ vectơ. 2.7.1.Đa tạp n chiều là một không gian mêtric X thoả mãn với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 có một lân cận mở𝑈 ∋ 𝑥 đồng phôi với một tập con mở V của không gian tuyến tính ℝ𝑛. Đồng phôi 𝜑:𝑈 → 𝑉 ⊂ ℝ𝑛 được gọi là một đồng phôi tọa độ. Các hàm𝑥𝑗 = 𝑥𝑗 ∘ 𝜑:𝑈 → ℝ1được gọi là các hàm tọa độ trên đa tạp X trong lân cận U. Hệ các hàm {𝑥1, , 𝑥𝑛} được xác định trên lân cận U được gọi là một hệ tọa độ địa phương của đa tạp X. Tập mở U được trang bị với hệ tọa độ địa phương {𝑥1, , 𝑥𝑛} được gọi là bản đồ. Hệ các bản đồ �𝑈𝛼 , {𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛}� được gọi là một atlas nếu {𝑈𝛼} là một phủ của đa tạp X, nghĩa là 𝑋 = �𝑈𝛼 𝛼 Vì vậy với mỗi đa tạp n chiều đều có một atlas. Nếu một điểm 𝑥 ∈ 𝑋 thuộc hai bản đồ 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 thì trong một lân cận của x có hai hệ tọa độ địa phương. Trong trường hợp này, tọa độ địa phương 𝑥𝛼 𝑗 có thể được biểu diễn bởi các hàm giá trị của các tọa độ địa phương �𝑥𝛽 1, , 𝑥𝛽𝑛� nghĩa là có các hàm 𝜑𝛽𝛼𝑘 thỏa mãn 𝑥𝛼 𝑘 = 𝜑𝛽𝛼𝑘 �𝑥𝛽1, , 𝑥𝛽𝑛� (2.7) Trong đó 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽∘𝜑𝛼−1: 𝜑𝛼�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� ≈ →𝜑𝛽�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽�,∀𝛼,𝛽,𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ Cụ thể 𝜑𝛼(𝑥) = �𝑥𝛼1(𝑥), , 𝑥𝛼𝑛(𝑥)� ,∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 𝜑𝛽(𝑥) = �𝑥𝛽1(𝑥), , 𝑥𝛽𝑛(𝑥)� ,∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 Ta được𝜑𝛽𝛼�𝑥𝛼1(𝑥), , 𝑥𝛼𝑛(𝑥)� = �𝑥𝛽1(𝑥), , 𝑥𝛽𝑛(𝑥)� ,∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽. Hệ hàm �𝜑𝛽𝛼� được gọi là hàm chuyển từ hệ tọa độ này thành sang hệ tọa độ khác. (2.7) được viết lại là 𝑥𝛼𝑘 = 𝑥𝛼𝑘�𝑥𝛽1, , 𝑥𝛽𝑛�. Nếu lấy một atlas �𝑈𝛼 , {𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛}� thỏa tất cả các hàm chuyển là các hàm khả vi lớp 𝐶𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ ∞, thì ta nói X có cấu trúc đa tạp khả vi lớp 𝐶𝑘. Nếu tất cả các hàm chuyển là các hàm khả tích thì ta nói X có cấu trúc đa tạp khả tích. Trong trường hợp 𝑛 = 2𝑚, 𝑢𝛼 𝑘 = 𝑥𝛼𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 𝑣𝛼𝑘 = 𝑥𝛼𝑚+𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 𝑧𝛼 𝑘 = 𝑢𝛼𝑘 + 𝑖𝑣𝛼𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, Và các hàm 𝑧𝛼𝑘 = 𝜑𝛽𝛼𝑘 �𝑥𝛽1, , 𝑥𝛽𝑛� + 𝑖𝜑𝛽𝛼𝑘 �𝑥𝛽1, , 𝑥𝛽𝑛� là các hàm phức khả tích trong miền xác định thì X có cấu trúc của đa tạp phức khả tích. 2.7.2.Ánh xạ khả vi Cho 𝑋𝑛, 𝑌𝑚 là hai đa tạp khả vi, 𝑓:𝑋𝑛 → 𝑌𝑚 là ánh xạ khả vi nếu với mọi bản đồ (𝑈,𝜑) của 𝑋𝑛, mọi bản đồ (𝑉,𝜓) của 𝑌𝑚 mà 𝑓(𝑈) ⊂ 𝑉 ta đều có 𝜓 ∘ 𝑓 ∘ 𝜑−1:𝜑(𝑈) ⊂ ℝ𝑛 → 𝜓(𝑉) ⊂ ℝ𝑚 là ánh xạ khả vi. Trong ngôn ngữ hệ tọa độ địa phương (𝑈,𝜑) 1−1 �⎯� {𝑈; 𝑥1, , 𝑥𝑛} hệ tọa độ địa phương 𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝜑(𝑥) = �𝑥1(𝑥), , 𝑥𝑛(𝑥)� ∈ 𝜑(𝑈) ⊂ ℝ𝑛 (𝑉,𝜓) 1−1 �⎯� {𝑉; 𝑦1, ,𝑦𝑚} hệ tọa độ địa phương 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝜓(𝑦) = �𝑦1(𝑦), , 𝑦𝑚(𝑦)� ∈ 𝜓(𝑉) ⊂ ℝ𝑚 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 ∘ 𝜑−1: 𝜑(𝑈) → 𝜓(𝑉) �𝑥1(𝑥), , 𝑥𝑛(𝑥)� ↦ �𝑦1(𝑦), ,𝑦𝑚(𝑦)�, 𝑦 = 𝑓(𝑥) Ta được 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 ∘ 𝜑−1(𝑥1, , 𝑥𝑛) = �𝑦1(𝑥1, , 𝑥𝑛), ,𝑦𝑚(𝑥1, , 𝑥𝑛)� Ta thường đồng nhất 𝑓|𝑈 = 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 ∘ 𝜑−1 và xem nó như hàm n biến, m chiều. Ta cũng bảo là𝑓|𝑈 = 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 ∘ 𝜑−1 biểu diễn địa phương của ánh xạ khả viftrong cặp hệ tọa độ địa phương {𝑈; 𝑥1, , 𝑥𝑛} và {𝑉; 𝑦1, ,𝑦𝑚}. Cho X là một đa tạp n chiều, �𝑈𝛼 , {𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛}� là một atlas. Cố định điểm 𝑥0 ∈ 𝑋. Một vectơ tiếp xúc𝜉 của đa tạp X tại 𝑥0 có hệ các số (𝜉𝛼1, , 𝜉𝛼𝑛) thỏa mãn 𝜉𝛼 𝑘 = �𝜉𝛽𝑗𝑛 𝑗=1 𝜕𝑥𝛼 𝑘 𝜕𝑥𝛽 𝑗 (𝑥0) (2.8) (𝜉𝛼1, , 𝜉𝛼𝑛) được gọi là tọa độ của vectơ 𝜉 đối với bản đồ �𝑈𝛼 , {𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛}�. Xét một đường cong khả vi 𝛾: (−1; 1) → 𝑈𝛼 ⊂ 𝑋𝑛 𝑡 ↦ 𝛾(𝑡)sao cho 𝛾(0) = 𝑥0 = (𝑥0𝛼1 , , 𝑥0𝛼𝑛 ) Trong hệ tọa độ địa phương {𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛}, đường cong 𝛾 được xác định bởi họ hàm trơn 𝑥𝛼 𝑘(𝑡) = 𝑥𝛼𝑘�𝛾(𝑡)�, 𝑡 ∈ (−1; 1). Cho𝜉𝛼𝑘 = 𝜕𝜕𝑡 �𝑥𝛼𝑘(𝑡)�|𝑡=0 (2.9) Rõ ràng (2.9) thỏa mãn (2.8), nghĩa là chúng xác định một vectơ tiếp xúc 𝜉 tại điểm 𝑥0 với X. Vectơ 𝜉 được gọi là vectơ tiếp xúc với đường cong 𝛾 và được kí hiệu 𝛾′(0) = 𝑑𝛾 𝑑𝑡 (0). Họ tất cả các vectơ tiếp xúc với X được kí hiệu TX. Tập TX được trang bị với tôpô tự nhiên. 2.7.3.Cho ánh xạ 𝑝: 𝑇𝑋 → 𝑋. Hiển nhiên p là toàn ánh liên tục. Hơn nữa, p xác định một phân thớ vectơ với đáy X, không gian toàn thể TX và thớ đẳng cấu với không gian tuyến tính ℝ𝑛. Nếu (𝑈𝛼 ,𝜑𝛼) là một bản đồ trên đa tạp X, thì ta xác định một đồng phôi 𝜑𝛼:𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1(𝑈𝛼) Mà hệ (𝑥0, 𝜉1, , 𝜉𝑛) kết hợp vectơ tiếp xúc 𝜉 với tọa độ được xác định như sau 𝜉𝛽 𝑘 = �𝜉𝑗𝑛 𝑗=1 𝜕𝑥𝛽 𝑘 𝜕𝑥𝛼 𝑗 (𝑥0) Từ đó ta có 𝜑𝛼 −1(𝜉) = (𝑝(𝜉), 𝜉𝛼1, , 𝜉𝛼𝑘, , 𝜉𝛼𝑛) trong đó 𝜉𝛼 𝑘 là tọa độ của 𝜉. Do đó hàm chuyển 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼−1 được xác định bởi 𝜑𝛽𝛼(𝑥0, 𝜉1, , 𝜉𝑛) = �𝑥0,�𝜉𝑗 𝜕𝑥𝛽1 𝜕𝑥𝛼 𝑗 (𝑥0), ,�𝜉𝑗 𝜕𝑥𝛽𝑛 𝜕𝑥𝛼 𝑗 (𝑥0)� (2.10) Công thức (2.10) chỉ ra rằng các hàm chuyển là ánh xạ tuyến tính theo thớ. Do vậy ánh xạ p xác định một phân thớ vectơ. Phân thớ vectơ 𝑝: 𝑇𝑋 → 𝑋 được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp X. Thớ 𝑇𝑥𝑋 được gọi là không gian tiếp xúc tại x của đa tạp X. 2.7.4.Cho ánh xạ khả vi 𝑓: 𝑋𝑛 → 𝑌𝑚, với 𝑋𝑛, 𝑌𝑚 là các đa tạp. Ta xây dựng đồng cấu của các phân thớ tiếp xúc tương ứng. ∀𝜉 ∈ 𝑇𝑥0𝑋 𝑛, chọn đường cong khả vi 𝛾: (−1; 1) → 𝑈 ⊂ 𝑋𝑛 𝑡 ↦ 𝛾(𝑡) = �𝑥1(𝑡), , 𝑥𝑛(𝑡)� sao cho 𝛾(0) = 𝑥0 = (𝑥01, , 𝑥0𝑛). Vectơ tiếp xúc của 𝛾(0) = 𝑥0 = �𝑥1′(0), , 𝑥𝑚′(0)� = 𝜉. Khi đó 𝑓|𝑈 ∘ 𝛾: (−1; 1) → 𝑓(𝑈) ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑌𝑚 là đường cong khả vi trong V mà 𝑓|𝑈 ∘ 𝛾(0) = 𝑓(𝑥0) = 𝑦0 = �𝑦01, , 𝑦0 � 𝑓|𝑈 ∘ 𝛾(𝑡) = 𝑓�𝛾(𝑡)� = �𝑦1(𝑡), ,𝑦𝑚(𝑡)� Ta định nghĩa 𝐷𝑓:𝑇𝑥0𝑋𝑛 → 𝑇𝑦0𝑌𝑚 𝜉 ↦ 𝐷𝑓(𝜉) ∶= 𝑑 𝑑𝑡 (𝑓𝑈 ∘ 𝛾)|𝑡=0 nghĩa là 𝐷𝑓(𝜉) là một vectơ tiếp xúc của 𝑓|𝑈 ∘ 𝛾 tại 𝑦0 = 𝑓(𝑥0). Cho {𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛} và �𝑦𝛽1, ,𝑦𝛽𝑚� là hệ tọa độ của lân cận các điểm tương ứng 𝑥0 và 𝑦0. Khi đó ánh xạ f được xác định bởi họ các hàm 𝑦𝛽 𝑗 = 𝑦𝛽𝑗(𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛) Nếu 𝑥𝛼𝑘 = 𝑥𝛼𝑘(𝑡) là các hàm xác định đường cong 𝛾(𝑡) thì 𝜉𝛼 𝑘 = 𝑑𝑥𝛼𝑘 𝑑𝑡 (0). Do đó đường cong 𝑓 ∘ 𝛾(𝑡) được định nghĩa bởi các hàm 𝑦𝛽 𝑗 = 𝑦𝛽𝑗�𝑥𝛼1(𝑡), , 𝑥𝛼𝑛(𝑡)� và vectơ 𝐷𝑓(𝜉)được xác định bởi 𝐷𝑓(𝜉) = �𝑑𝑦𝛽1 𝑑𝑡 (0), , 𝑑𝑦𝛽𝑚 𝑑𝑡 (0)� = ��𝜕𝑦𝛽1 𝜕𝑥𝛼𝑘 (𝑥0)𝑑𝑥𝛼𝑘𝑑𝑡𝑛 𝑘=1 (0), ,�𝜕𝑦𝛽𝑚 𝜕𝑥𝛼𝑘 (𝑥0)𝑑𝑥𝛼𝑘𝑑𝑡𝑛 𝑘=1 (0)� = ��𝜕𝑦𝛽1 𝜕𝑥𝛼𝑘 (𝑥0)𝜉𝛼1𝑛 𝑘=1 , ,�𝜕𝑦𝛽𝑚 𝜕𝑥𝛼𝑘 (𝑥0)𝑛 𝑘=1 𝜉𝛼 𝑚� (2.11) Từ (2.11) suy ra được rằng thứ nhất ánh xạ 𝐷𝑓 được định nghĩa tốt vì 𝐷𝑓 không phụ thuộc vào sự lựa chọn đường cong 𝛾 nhưng chỉ đúng trên vectơ tiếp xúc tại 𝑥0, thứ hai 𝐷𝑓 là tuyến tính theo thớ. 𝐷𝑓 được gọi là ánh xạ vi phân của f. Nhận xét Xét một hàm khả vi một biến 𝑓:ℝ1 → ℝ1. Phân thớ tiếp xúc của đa tạp ℝ1 đẳng cấu với ℝ1 × ℝ1 = ℝ2. Do đó ta có vi phân 𝐷𝑓 ∶ ℝ1 × ℝ1 → ℝ1 × ℝ1 (𝑥, 𝜉) ↦ (𝑥,𝑓′(𝑥)𝜉) Mặt khác vi phân cổ điển có dạng 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 Do đó 𝐷𝑓(𝑥,𝑑𝑥) = (𝑥,𝑑𝑓). Vì vậy định nghĩa vi phân 𝐷𝑓 của 𝑓 là một khái niệm tổng quát của vi phân cổ điển của hàm. Tính chất: Vi phân 𝐷𝑓 có các tính chất sau: (a) 𝐷(𝑓 ∘ 𝑔) = (𝐷𝑓) ∘ (𝐷𝑔), (b) 𝐷(𝐼𝑑) = 𝐼𝑑, (c) Nếu 𝑓 là một vi phôi thì 𝐷𝑓 đẳng cấu, (d) Nếu 𝑓 là nhúng chìm thì 𝐷𝑓 là một đơn cấu theo thớ. 2.7.5.Xét đa tạp khả vi Y và một đa tạp con 𝑋 ⊂ 𝑌. Phép bao lồng 𝑗:𝑋 ↪ 𝑌 là một ánh xạ khả vi thỏa vi phân 𝐷𝑗 là một đơn cấu theo thớ, 𝐷𝑗:𝑇𝑋 → 𝑇𝑌 Khi đó trên đa tạp X có hai phân thớ vectơ,đó là𝑗∗(𝑇𝑌) (là hạn chế của phân thớ tiếp xúc của đa tạp Y trên đa tạp con X) và phân thớ con 𝑇𝑋. Theo định lý 4, phân thớ 𝑗∗(𝑇𝑌) phân tích thành tổng trực tiếp của hai số hạng sau : 𝑗∗(𝑇𝑌) = 𝑇𝑋⨁𝜂 Phần bù 𝜂 được gọi là phân thớ chuẩn tắc đối với đa tạp con 𝑋 ⊂ 𝑌. Mỗi thớ của phân thớ 𝜂 tại điểm 𝑥0 gồm các vectơ tiếp xúc của Y mà trực giao với không gian tiếp xúc 𝑇𝑥0(𝑋). Phân thớ chuẩn tắc được kí hiệu là 𝜈(𝑋 ⊂ 𝑌) hoặc 𝜈(𝑋). Rõ ràng khái niệm của phân thớ chuẩn tắc có thể được định nghĩa không chỉ đối với đa tạp con mà còn đối với bất kỳ phép nhúng chìm 𝑗:𝑋 → 𝑌. Ta còn biết rằng với bất kỳ đa tạp compact X có một phép bao lồng vào không gian Euclide ℝ𝑁, số N nào đó đủ lớn. Cho một phép bao lồng 𝑗:𝑋 → ℝ𝑁 , khi đó 𝑗∗(𝑇ℝ𝑁) = 𝑇𝑋⨁𝜈(𝑋 ⊂ ℝ𝑁) Phân thớ 𝑇ℝ𝑁 là tầm thường và vì vậy 𝑇𝑋⨁𝜈(𝑋) = 𝑁� (2.12) Trong trường hợp này phân thớ 𝜈(𝑋) được gọi là phân thớ chuẩn tắc của đa tạp X (bất kể phép bao lồng). Chú ý: phân thớ chuẩn tắc 𝜈(𝑋) của đa tạp X không là duy nhất. Phân thớ phụ thuộc vào không gian ℝ𝑁 và số chiều N. Nhưng đối với đẳng thức (2.12) thì phân thớ là duy nhất. Cho 𝜈1(𝑋) là một phân thớ chuẩn tắc khác thỏa 𝑇𝑋⨁𝜈1(𝑋) = 𝑁�1. Khi đó 𝜈(𝑋)⨁𝑇𝑋⨁𝜈1(𝑋) = 𝜈(𝑋)⨁𝑇𝑋⨁𝜈1(𝑋) ⇒ 𝜈(𝑋)⨁𝑁�1 = 𝑁�⨁𝜈1(𝑋). ⇒ 𝜈(𝑋) ≅ 𝜈1(𝑋) (trong trường hợp phân thớ là tầm thường). Ví dụ 1: Xét đường tròn 𝑆1_1 chiều. Xác định hai bản đồ trên 𝑆1: 𝑈1 = {−𝜋 < 𝜑 < 𝜋} 𝑈2 = {0 < 𝜑 < 2𝜋} trong đó 𝜑 là một tham số góc trong hệ tọa độ cực trong mặt phẳng. Trên 𝑈1, lấy hàm 𝑥1 = 𝜑,−𝜋 < 𝑥1 < 𝜋, và trên 𝑈2 lấy hàm 𝑥2 = 𝜑, 0 < 𝑥2 < 2𝜋 Trong tập giao 𝑈1 ∩ 𝑈2 gồm hai thành phần liên thông 𝑉1 = {0 < 𝜑 < 𝜋}, 𝑉2 = {𝜋 < 𝜑 < 2𝜋}. Khi đó hàm chuyển có dạng 𝑥1 = 𝑥1(𝑥2) = � 𝑥2 , 0 < 𝑥2 < 𝜋,𝑥2 − 2𝜋, 𝜋 < 𝑥2 < 2𝜋. Theo (2.10) ta có 𝜑12(𝑥, 𝜉) = 𝜉 𝜕𝑥1𝜕𝑥2 = 𝜉 ⇒ Hàm chuyển 𝜑12 là hàm đồng nhất. ⇒ Phân thớ tiếp xúc 𝑇𝑆1 = 𝑆1 × ℝ1, nói cách khác là 𝑇𝑆1 phân thớ tầm thường 1 chiều. Ví dụ 2: Xét mặt cầu 𝑆2_2 chiều trên mặt phẳng phức mở rộng 𝑆2 = ℂ1 ∪ {∞}. Ta định nghĩa hai bản đồ trên 𝑆2 𝑈1 = ℂ1 𝑈2 = (ℂ1\{0}) ∪ {∞} Xác định tọa độ phức 𝑧1 = 𝑧trên 𝑈1 𝑧2 = 1𝑧trên 𝑈2 Khi đó hàm chuyển trên tập giao 𝑈1 ∩ 𝑈2 có dạng 𝑧1 = 1𝑧2 Và phân thớ vectơ có hàm chuyển tương ứng là 𝜑12(𝑧, 𝜉) = 𝜉 𝜕𝑧1𝜕𝑧2 = −𝜉 1𝑧22 = −𝜉𝑧2. Dạng thực của của ma trận 𝜑21 được cho bởi 𝜑12(𝑥,𝑦) = �𝑦2 − 𝑥2 −2𝑥𝑦2𝑥𝑦 𝑦2 − 𝑥2� trong đó 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Trong tọa độ cực 𝑧 = 𝑒𝑖𝛼, thì ta được 𝜑12(𝜌,𝛼) = 𝜌2 �cos 2𝛼 − sin 2𝛼sin 2𝛼 cos 2𝛼 � Phân thớ tiếp xúc 𝑇𝑆2 không là phân thớ tầm thường. Thật vậy nếu 𝑇𝑆2 là phân thớ tầm thường thì có hàm giá trị ma trận ℎ1:𝑈1 → 𝐺𝐿(2,ℝ) ℎ2:𝑈2 → 𝐺𝐿(2,ℝ) (2.12) thỏa mãn 𝜑12(𝜌,𝛼) = ℎ1−1(𝜌,𝛼) ∘ ℎ2(𝜌,𝛼). Các bản đồ (𝑈1,𝜑1), (𝑈2,𝜑2) là co rút và do đó các hàm ℎ1, ℎ2 là đồng luân với các ánh xạ hằng. Do đó hàm chuyển 𝜑12(𝜌,𝛼) phải đồng luân với hàm hằng. Nhưng mặt khác, khi cố định 𝜌 hàm 𝜑12 xác định một ánh xạ 𝑆1 → 𝑆𝑂(2) = 𝑆1 với tham số 𝛼, và ánh xạ này có bậc 2. Vì vậy ánh xạ này không đồng luân với ánh xạ hằng. 2.7.6. Xét một phân thớ vectơ 𝑝:𝐸 → 𝑋 với đáy X là một đa tạp khả vi. Giả sử các hàm chuyển sau là các ánh xạ khả vi 𝜑𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛,ℝ) Khi đó không gian toàn thể E là một đa tạp khả vi và dim𝐸 = dim𝑋 + 𝑛. Nếu {(𝑈𝛼 ,𝜑𝛼)}𝛼 là một atlas của đa tạp X thì một atlas của đa tạp E có thể được xác định như sau 𝑉𝛼 = 𝑝−1(𝑈𝛼) = 𝑈𝛼 × ℝ𝑛. Tọa độ địa phương trên 𝑉𝛼 có thể xác định bởi họ các tọa độ địa phương trên 𝑈𝛼 với tọa độ Đềcác trên thớ. Tính khả vi của hàm 𝜑𝛽𝛼 suy ra tính khả vi của phép biến đổi tọa độ. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra:Đối với phân thớ vectơ bất kỳ trên đa tạp khả vi X liệu có tồn tại một atlas trên không gian toàn thể từ hàm chuyển khả vi𝜑𝛽𝛼 không? Câu trả lời nằm trong định lý sau: 2.7.7. Định lý 7: Cho 𝑝:𝐸 → 𝑋 là một phân thớ vectơ n chiều và X là một đa tạp khả vi compact. Khi đó tồn tại một atlas {𝑈𝛼} trên X và các đồng phôi tọa độ 𝜑𝛼:𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1(𝑈𝛼) sao cho các hàm chuyển sau là khả vi:𝜑𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛,ℝ). Chứng minh Xét một atlas đủ tốt đối với phân thớ 𝑝 và đồng phôi tọa độ 𝜓𝛼:𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1(𝑈𝛼). Các hàm chuyển liên tục: 𝜓𝛽𝛼:𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛,ℝ). Vấn đề là ta thay đồng phôi 𝜓𝛼thành đồng phôi tọa độ𝜑𝛼 mới thỏa hàm chuyển mới 𝜑𝛽𝛼 là khả vi. Nói cách khác, ta tìm các hàm ℎ𝛼:𝑈𝛼 → 𝐺𝐿(𝑛,ℝ) thỏa tích ℎ𝛽−1(𝑥) ∘ 𝜓𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼(𝑥) là khả vi. Cho {𝑈𝛼′ } là một atlas mới thỏa mãn 𝑈𝛼 ′ ⊂ 𝑈�𝛼 ′ ⊂ 𝑈𝛼 . Ta xây dựng các hàm ℎ𝛼(𝑥) bằng phương pháp quy nạp theo chỉ số 𝛼, 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑁. không mất tính tổng quát, ta giả sử tất cả các hàm 𝜓𝛽𝛼(𝑥) đều có giới hạn, đó là �𝜓𝛽𝛼(𝑥)� ≤ 𝐶. Cho 0 < 𝜀 < 1 𝐶 , 𝜀 < 1. Chọn các hàm khả vi 𝜑𝛽𝛼(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 thỏa �𝜓𝛽𝛼(𝑥) − 𝜑𝛽𝛼(𝑥)� < 𝜀 và là một đối chu trình, nghĩa là các hàm 𝜑𝛽𝛼(𝑥) thỏa mãn: (i) 𝜑𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼(𝑥), 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅, (ii) 𝜑𝛼𝛼(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 . 2.7.8. Bổ đề 2: Cho 𝑓(𝑥) là một hàm liên tục xác định trên U của không gian Eclide, cho K là một tập con compact thỏa mãn 𝐾 ⊂ 𝑈. Khi đó có một lân cận 𝑉 ⊃ 𝐾 thỏa mãn với mỗi 𝜀 > 0 có một hàm khả vi 𝑔(𝑥) xác định trên V ta có |𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜀, 𝑥 ∈ 𝑉. Hơn nữa, nếu hàm 𝑓(𝑥) là khả vi trong một lân cận của một tập con compact K’ thì trong lân cận của K’ hàm g được chọn có tính chất 𝑔(𝑥) ≡ 𝑓(𝑥). Áp dụng bổ đề 2 cho việc xây dựng hàm 𝜑𝛽𝛼. Theo bổ đề 2 tồn tại một hàm khả vi𝜑12 xác định trong một lân cận của tập 𝑈�1′ ∩ 𝑈�2′ thỏa mãn ‖𝜑21(𝑥) − 𝜓21(𝑥)‖ < 𝜀 Giả sử ta chọn được một hàm khả vi 𝜑𝛽𝛼(𝑥) xác định trong các lân cận của các tập con 𝑈�𝛼 ′ ∩ 𝑈�𝛽 ′ với ∀𝛼 < 𝛽 ≤ 𝛽0 thỏa �𝜑𝛽𝛼(𝑥) − 𝜓𝛽𝛼(𝑥)� < 𝜀 và 𝜑𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼(𝑥),∀𝛼 < 𝛽 < 𝛾 ≤ 𝛽0. Hàm 𝜑1,𝛽0+1(𝑥) có thể được xây dựng tương tự cách xây dựng𝜑12. Giả sử các hàm 𝜑𝛽0+1,𝛼(𝑥),∀𝛼 ≤ 𝛼0 ≤ 𝛽0 được xây dựng và thỏa mãn điều kiện đối chu trình 𝜑𝛽0+1,𝛼(𝑥) = 𝜑𝛽0+1,𝛼′(𝑥) ∘ 𝜑𝛼′,𝛼(𝑥),𝛼,𝛼′ ≤ 𝛼0. Khi đó hàm cần tìm 𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥) có thể được xác định trong một lân cận của tập con 𝑈�𝛾 ′ ∩ 𝑈�𝛼0+1 ′ ∩ 𝑈�𝛽0+1 ′ , ∀𝛾 ≤ 𝛼0 bởi công thức 𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥) = 𝜑𝛽0+1,𝛾(𝑥) ∘ 𝜑𝛼0+1,𝛾−1 (𝑥). Do đó hàm cần tìm 𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥) được xác định trong lân cận của hợp 𝑉 = ��𝑈�𝛾′ ∩ 𝑈�𝛼0+1′ ∩ 𝑈�𝛽0+1′ � 𝛾≤𝛼0 và thỏa điều kiện �𝜓𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥) − 𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥)� < 2𝐶𝜀. (2.13) Theo bổ đề 2 hàm được mở rộng𝜑𝛼0+1,𝛽0+1(𝑥) từ tập đóng của một lân cận của tập V thành một lân cận của tập 𝑈�𝛼0+1 ′ ∩ 𝑈�𝛽0+1 ′ thỏa mãn điều kiện (2.13). Bằng phương pháp quy nạp, họ các hàm 𝜑𝛽𝛼có thể được xác định với tính chất �𝜓𝛽𝛼(𝑥) − 𝜑𝛽𝛼(𝑥)� < (2𝐶)𝑁2𝜀 = 𝜀′. Ta cần xây dựng hàm ℎ𝛼 thỏa điều kiện 𝜑𝛽𝛼(𝑥) = ℎ𝛽−1(𝑥) ∘ 𝜓𝛽𝛼(𝑥) ∘ ℎ𝛼(𝑥) Hay ℎ𝛼(𝑥) = 𝜓𝛼𝛽(𝑥) ∘ ℎ𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼(𝑥) (2.14) Ta xây dựng hàm ℎ𝛼 bằng phương pháp quy nạp. Đặt ℎ1(𝑥) ≡ 1 Giả sửcác hàm ℎ𝛼(𝑥), 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝛼0 đã được xây dựng thỏa điêu kiện (2.14) và ‖1 − ℎ𝛼(𝑥)‖ < 𝜀,𝛼 < 𝛼0. Khi đó hàm ℎ𝛼0+1(𝑥) được xác định bởi công thức (2.14) trong lân cận của tập 𝑉 = � 𝑈�𝛼′ ∩ 𝑈�𝛼0+1′ 𝛼<𝛼0 . Trên tập V, có bất đẳng thức �1 − ℎ𝛼0+1(𝑥)� = �1 − 𝜓𝛼0+1,𝛽(𝑥) ∘ ℎ𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽,𝛼0+1(𝑥)� ≤ 𝐶2�ℎ𝛽 − 𝜑𝛽,𝛼0+1 ∘ 𝜓𝛽,𝛼0+1−1 � ≤ 2𝐶2𝜀 (2.15) được thỏa mãn. Nếu 𝜀 đủ nhỏ thì hàm ℎ𝛼0+1(𝑥) được mở rộng từ một lân cận V trên toàn bản đồ 𝑈𝛼0+1 thỏa điều kiện (2.15). ∎ 2.7.9. Định lý 8:Cho 𝑗:𝑋 ↪ 𝑌 với X là đa tạp con khả vi của đa tạp Y. Khi đó tồn tại một lân cận 𝑉 ⊃ 𝑋 mà vi phôi với không gian toàn thể của phân thớ chuẩn tắc 𝜈(𝑋 ⊂ 𝑌). Chứng minh Cố định một mêtric Riemann trên đa tạp Y. Ta xây dựng một ánh xạ 𝑓: 𝜈(𝑋) → 𝑌 Xét một vectơ chuẩn tắc 𝜉 ∈ 𝜈(𝑋) tại điểm 𝑥 ∈ 𝑋 ⊂ 𝑌. Chú ý rằng vectơ 𝜉 là trực giao với không gian con 𝑇𝑥(𝑋) ⊂ 𝑇𝑥(𝑌). Cho 𝛾(𝑡) là đường trắc địa thỏa 𝛾(0) = 𝑥, 𝛾′(0) = 𝜉. Đặt 𝑓(𝜉) = 𝛾(𝑡). Ánh xạ f có ma trận Jacobi không suy biến tại mỗi điểm của nhát cắt của phân thớ trực giao 𝜈(𝑋). Thực vậy, chú ý rằng 1. Nếu 𝜉 = 0, 𝜉 ∈ 𝑇𝑥(𝑌) thì 𝑓(𝜉) = 𝑥, 2. 𝑓(𝜆𝜉) = 𝛾(𝜆). Do đó ta có 𝐷𝑓:𝑇𝑥�𝜈(𝑋)� = 𝑇𝑥(𝑋)⨁𝜈(𝑋) → 𝑇𝑥(𝑌) = 𝑇𝑥(𝑋)⨁𝜈(𝑋) là ánh xạ đồng nhất. Theo định lý hàm ẩn có một lân cận V của nhát cắt của phân thớ 𝜈(𝑋)thỏa 𝐹:𝑓(𝑉) → 𝑉 là một vi phôi. Vì vậy có một lân cận đủ nhỏ V mà vi phôi vào không gian toàn thể của phân thớ 𝜈(𝑋), do đó định lý đã được chứng minh. ∎ (Định lý hàm ẩn(dạng toàn ánh): Cho 𝑈 ⊂ ℝ𝑚 là một tập mở và 𝑓:𝑈 → ℝ𝑛 là ánh xạ khả vi lớp 𝐶𝑟 , 1 ≤ 𝑟 ≤ ∞. Cho 𝑝 ∈ 𝑈, 𝑓(𝑝) = 0 và giả sử 𝐷𝑓𝑝 là toàn ánh. Khi đó tồn tại một vi phôi địa phương 𝜑 của ℝ𝑚 tại 0 thỏa 𝜑(0) = 𝑝 và 𝑓𝜑(𝑥1, , 𝑥𝑚) = (𝑥1, , 𝑥𝑛). ) 2.7.8. Một công thức bất biến của lý thuyết hàm ẩn. Cho 𝑓:𝑋 → 𝑌 là một ánh xạ khả vi với X, Y là các đa tạp khả vi. Điểm 𝑦0 ∈ 𝑌 được gọi là một giá trị chính quy của ánh xạ f nếu với bất kỳ 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑦0), ta có ánh xạ khả vi 𝐷𝑓:𝑇𝑥𝑋 → 𝑇𝑦0𝑌 là toàn ánh. Theo định lý hàm ẩn, ảnh ngược 𝑍 = 𝑓−1(𝑦0) là đa tạp khả vi và 𝑇𝑋|𝑍 = 𝑇𝑍⨁ℝ𝑚, 𝑚 = dim𝑌. Nói chung, nếu 𝑊 ⊂ 𝑌 là một đa tạp con thì ánh xạ f được gọi là dịch chuyển dọc đa tạp con W, khi đó mọi điểm 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑊)ta có 𝑇𝑓(𝑥)𝑌 = 𝑇𝑓(𝑥)𝑊⨁𝐷𝑓(𝑇𝑥𝑋). Nói riêng, ánh xạ f dịch chuyển dọc mỗi điểm chính quy 𝑦0 ∈ 𝑌. Theo định lý hàm ẩn, ảnh ngược 𝑍 = 𝑓−1(𝑊) là đa tạp con, phân thớ chuẩn tắc 𝜈(𝑍 ⊂ 𝑋) là đẳng cấu với các phân thớ 𝑓∗�𝜈(𝑊 ⊂ 𝑌)� và vi phân Df là đẳng cấu theo thớ 𝜈(𝑍 ⊂ 𝑋) → 𝜈(𝑊 ⊂ 𝑌). 2.7.9. Hàm Morse trên đa tạp. Xét một hàm khả vi f trên đa tạp X. Một điểm x0 được gọi là điểm tới hạn nếu 𝑑𝑓(𝑥0) =0. Một điểm tới hạn 𝑥0 được gọi là không suy biến nếu ma trận của đạo hàm bậc hai không suy biến. Tính chất này không phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ tọa độ địa phương. Cho 𝑇∗𝑋 là không gian toàn thể của phân thớ đối tiếp xúc của đa tạp X ( nghĩa là phân thớ vectơ đối ngẫu với phân thớ tiếp xúc). Khi đó đối với mỗi hàm 𝑓:𝑋 → ℝ có một ánh xạ 𝑑𝑓:𝑋 → 𝑇∗𝑋 (2.16) liên hợp với Df mà mỗi điểm 𝑥 ∈ 𝑋 kết hợp với dạng tuyến tính trên 𝑇𝑥𝑋 được cho bởi vi phân của hàm f tại x. Khi đó trên đa tạp 𝑇∗𝑋 có hai đa tạp con: nhát cắtX0 của phân thớ 𝑇∗𝑋 và ảnh 𝑑𝑓(𝑋). Các điểm chung của các đa tạp con này tương ứng với các điểm tới hạn của hàm f. Hơn nữa, một điểm tới hạn là không suy biến nếu và chỉ nếu tập giao của X0 và 𝑑𝑓(𝑋) tại điểm này là dịch chuyển. Nếu tất cả các điểm tới hạn của f là không suy biến thì f được gọi là hàm Morse. Do đó hàm f là hàm Morse nếu và chỉ nếu ánh xạ (2.16) là dịch chuyển dọc nhát cắt𝑋0 ⊂ 𝑇∗𝑋. 2.7.10. Đa tạp định hướng Một đa tạp X được gọi là định hướng nếu có một atlas {(𝑈𝛼 ,𝜑𝛼)}𝛼 thỏa tất cả các hàm chuyển 𝜑𝛽𝛼 sao cho ma trận Jacôbi dương tại mỗi điểm. Sự lựa chọn các atlas như vậy được gọi là một định hướng của đa tạp X. Nếu đa tạp X là định hướng thì nhóm cấu trúc 𝐺𝐿(𝑛,ℝ) của phân thớ tiếp xúc TX cảm sinh các ma trận của nhóm con 𝐺𝐿+(𝑛,ℝ) với các định thức dương. Trái lại nếu nhóm cấu trúc 𝐺𝐿(𝑛,ℝ) của phân thớ tiếp xúc TX có thể cảm sinh nhóm con 𝐺𝐿+(𝑛,ℝ) thì đa tạp X là định hướng. Thật vậy, cho {(𝑈𝛼 ,𝜑𝛼)}𝛼 là một atlas, các hàm chuyển của phân thớ tiếp xúc 𝜑𝛼𝛽 = �𝜕𝑥𝛼𝑘 𝜕𝑥𝛽 𝑗� và 𝜓𝛼𝛽 = ℎ𝛼 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽−1 là các hàm chuyển mới thỏa det𝜓𝛼𝛽 > 0. Dĩ nhiên, các hàm giá trị ℎ𝛼:𝑈𝛼 → 𝐺𝐿(𝑛,ℝ) có dạng ma trận Jacôbi, nghĩa là nếu ℎ𝛼(𝑥) = �𝜕𝑦𝛼𝑘 𝜕𝑥𝛼 𝑗� thì các hàm 𝑦𝛼𝑘 = 𝑦𝛼𝑘(𝑥𝛼1 , , 𝑥𝛼𝑛) có thể biến đổi tọa độ của tính định hướng cho trước trên đa tạp X. Nhưng tổng quát điều này không đúng và ta cần tìm các hàm mới ℎ𝛼. Chú ý, nếu ta có một hệ các hàm phù hợp thì có thể đổi hệ tọa độ này mà bảo toàn dấu của det ℎ𝛼. Do đó, chọn các hàm mới như sau: ℎ�𝛼(𝑥) = �±1 0 00⋮0 1 0⋮ ⋱ ⋮0 1�, trong đó dấu của số hạng đầu tiên trùng với dấu của detℎ𝛼 trên mỗi thành phần liên thông của bản đồ (𝑈𝛼 ,𝜑𝛼) , khi đó các hàm chuyển 𝜓�𝛼𝛽(𝑥) = ℎ�𝛼(𝑥) ∘ 𝜑𝛼𝛽(𝑥) ∘ ℎ�𝛽−1(𝑥) Thỏa mãn điều kiện det𝜓𝛼𝛽 > 0. Nói cách khác, các hàm ℎ�𝛼(𝑥) là phép biến đổi tọa độ định thức Jacôbi 𝑦𝛼 1 = ±𝑥𝛼1 𝑦𝛼 2 = 𝑥𝛼2 . 𝑦𝛼 𝑛 = 𝑥𝛼𝑛 và một atlas mà xác định một định hướng của đa tạp X đã được tìm thấy. KẾT LUẬN Qua luận văn này, tác giả thật sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống. Tác giả cũng học tập được các phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, trình bày vấn đề. Luận văn này đã trình bày các vấn đề cơ bản nhất của không gian phân thớ và phân thớ vectơ, đó là định nghĩa của không gian phân thớ tổng quát, định lý dán, các ví dụ về không gian phân thớ, bài toán mô tả lớp đẳng cấu các phân thớ tầm thường địa phương, định nghĩa phân thớ vectơ, các phép toán trên phân thớ vectơ, phân thớ phức, phân thớ con, phân thớ vectơ liên kết với đa tạp, trong đó có nêu sơ bộ công thức bất biến của hàm ẩn, hàm Morse, đa tạp định hướng, Tuy nhiên do sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi nhiều hơn từ sự đóng góp và chỉ đạo của quý thầy cô trong và ngoài hội đồng. Tác giả cũng mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về không gian phân thớ, phân thớ vectơ và các ứng dụng của nó, điển hình như lý thuyết đối đồng điều suy rộng, cụ thể K_lý thuyết hình học trong tương lai không xa. CHỈ DẪN THUẬT NGỮ Ánh xạ vi phân trang40 Ảnh của ánh xạ trang 32 Atlas trang 6,36 Bản đồ trang 6,36 Cái kéo ngược trang 25 Cấu trúc đa tạp khả tích trang 37 Cấu trúc đa tạp khả vi lớp Ck trang 37 Cấu trúc của đa tạp phức khả tích trang 37 Dịch chuyển dọc đa tạp trang 48 Đa tạp định hướng trang 49 Đáy (cơ sở) trang 6 Đẳng cấu phân thớ trang 10 Điểm tới hạn trang 49 Định lý dán trang 10 Đối chu trình 1_chiều trang 20 Đối dây chuyền 0_chiều trang 19 Đối dây chuyền 1_chiều trang19 Đối đồng đều trang 20 Đồng cấu phân thớ trang 10 Đồng phôi theo thớ trang 6 Đồng phôi tọa độ trang 36 Giá trị chính quy trang 48 Hàm chuyển bản đồ trang 36 Hàm dán trang 9 Hàm Morse trang 49 Hàm tọa độ trên đa tạp trang 36 Hệ tọa độ địa phương của đa tạp trang 36 Không gian phân thớ trang 6 Không gian tiếp xúc trang 39 Không suy biến trang 49 Nhân của ánh xạ trang 32 Nhát cát, nhát cắt không trang7,23 Nhóm cấu trúc của phân thớ vectơ trang 23 Phân thớ con trang 31 Phân thớ chuẩn tắc trang 41 Phân thớ vectơ phức trang 28 Phân thớ phức liên hợp trang 30 Phân thớ tiếp xúc trang9,39 Phân thớ vectơ trang 21 Phức hóa của phân thớ vectơ trang 29 Thớ mẫu trang 6 Thực hóa của phân thớ vectơ trang 29 Tích tenxơ trang26 Tổng Whitney (tổng trực tiếp) trang 26 Trường vectơ pháp tuyến trang 9 Trường vectơ tiếp xúc trang 9 Vectơ pháp tuyến trang 8 Vectơ tiếp xúc trang 8,38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2008) , Tôpô đại cương, NXB Giáo dục. [2] Nguyễn Văn Đoành – Tạ Mân (2007), Nhập môn Tôpô đại số, NXB Đại học sư phạm. [3] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số, NXB Giáo dục. [4] Kelley J. (1973), Tôpô đại cương, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội (Bản dịch từ tiếng Anh).. Tiếng Anh [5] Cones A., Moscovici H. (1990), Cyclic Cohomology, TheNovikovConjecture and Hyperbolic Groups. – Topology. [6] Sullivan D. (1970), Geometric Topology, MIT [7] Luke G., Mishchenko A. (2000), Vector bundles and theirapplication, Kluwer Academic Publishers. [8] Allen Hatcher (2002), Algebraic Topology, Cambridge University, London. [9] Allen Hatcher (2003), Vector Bundles and K- Theory. [10] Dale Husemoller (1966), Fibre Bundles, Spring – Verlag, McGraw – Hill. [1] Atiyah M.F. (1963), Vector bundles and The Kunneth formula, Topology. [12] Atiyah M.F., Hirzebruch F. (1961), Vector bundles andhomogeneous spaces in differential geometry. – Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math.. [13] Steenrod N.F. (1951), Thetopology of fiber bundles, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey. [14] Potier J.L. (1997), Lectures on Vector Bundles, Cambridge University Press, Great Britain. [15] Bott R. (1959), The stable homotopy of the classical groups, Ann. Math. [16] MacLane S.(1963), Homology, Springer – Verlag, Germany.