Luận văn Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron

 1 2 22 2 1 ( ) ( ) (1 ) (1 ) m mm m m l l l m m d P x d P x I x x dx dx dx      1 1 2 1 1 ( ) ( ) (1 ) m m m l l m m d P x d P xd x dx dxdx dx               Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy30 Đặt: Trần lê Duy Trần lê du Khi đó, áp dụng tích phân từng phần ta được: Ta biết hàm thỏa mãn phương trình: Thay bằng thì phương trình trên chuyển thành: Nhân cả hai phương trình này với và chú ý là , ta được: 2 ( )(1 ) m m l m d P x u x dx   2 2 1 1 1 1 (1 )( ) (1 ) ( ) ( ) m m m m l m m l m d d P x x du x dx dx dx d P xd dv dx dx dx d P x v dx                          1 1 1 1 2 )()()1( m l m m l m mm l dx xPd dx xPd xI dx dx xPd x dx d dx xPd m l m m m l m               1 1 2 1 1 )( )1( )( mlI dx dx xPd x dx d dx xPd m l m m m l m               1 1 2 1 1 )( )1( )( 0 dx dx xPd x dx d dx xPd m l m m m l m               1 1 2 1 1 )( )1( )(  60.1 ( ) ( ) m l m d P x y x dx  2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 m m m l l l m m m d P x d P x d P x x x m l l m m dx dx dx               m 1m  1 12 1 1 ( ) ( ) (1 ) 2 ( 1) ( 1) 0 m m m l l l m m m d P x d P x d P x x x m l l m m dx dx dx             12 )1(  mx )1)(()1()1(  mlmlmmll 1 1 1 12 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) 2 (1 ) ( )( 1)(1 ) 0 m m m m m ml l l m m m d P x d P x d P x x x m x l m l m x dx dx dx               Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy31 Hay Thay vào (1.60) ta được: Vậy: Chú ý: Ta có: Tích phân từng phần l lần ta được:     1 1 122 )1)(1)(()1(             m l m m m l m m dx xPd xmlml dx xPd x dx d 1 1 1 1 1 1 1 12 )1)(( )()( )1()1)((            m l m l m l m m l m mm l ImlmlI dx dx xPd dx xPd xmlmlI 21 )1)1()(1(   mlml ImlmlI 2)2)(1(  mlImlml   32 1)2()2(   mlml ImlmlI 3)3)(2(  mlImlml 0 1 1 1 )1()()()1( llll lIldxxPxPllI     0)1)...(3)(2)(2)(1)(1)(( l m l lIlmlmlmlmlmlmlI  )!( ! )...3)(2)(1( ! )!( )1)...(2)(1)(( ml l lmlmlml l ml lmlmlml          1 1 0 0 )()( )!( )!( dxxPxPI I ml ml I lll l m l              1 1 2 1 1 2 2 1 1 22 2 )1()1( )!2( 1 )1()1( )!2( 1 l l l l l l l l l l l l l l x dx d dx dx d l dxx dx d x dx d l     1 1 2 22 2 2 0 )1()1( )!2( )1( l ll l l l l dx xd x l I Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy32 Số hạng có số mũ cao nhất trong là . Khi đạo hàm lần theo của thì những số hạng có số mũ của bé hơn đều bằng 0, còn số hạng cho kết quả . Vậy ta có: Trần lê Duy Chú ý: và Ta viết lại như sau: Với Tiếp tục tích phân từng phần ta được: Với . lx )1( 2  lx2 l2 x lx )1( 2  x l2 lx2 )!2(1)...22)(12(2 llll      1 1 2 2 0 )1( )!2( )!2()1( dxx l l I l l l l llll xxx )1()1()1()1( 2  1)1( 2  l 0 lI I l l dxxx l l I l ll ll 2 1 1 2 0 )!2( )!2( )1()1( )!2( )!2(         1 1 )1()1( dxxxI ll                         1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 )1()1( 1 )1( 1 )1( 1 )1( )1( 1 )1( )1( dxxx l l xd l x l x x l xd x ll l ll l l l )1( l         2 0 2 2 1 1 2 21 1 2 )!2( )!( )1( )!2( )!( )1( ! )!2( !  d l l dxx l l dxx l l l l ll x1 )12( 2 )!2( )!( 122    ll l I l           1 1 2)1( 2 1 ... )3( )2( )2( )1( )1( dxx ll l l l l l I l Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy33 Do đó: duy Từ (1.60) ta suy ra: Trần lê Duy Hàm cầu có thể viết: Trong đó: Phương trình đối với phụ thuộc vào . Vì vậy, nếu là một nghiệm thì cũng là một nghiệm và do đó và chỉ khác nhau một thừa số nhân: Thay bằng ta có: Suy ra: Vậy 1.11. Một số hàm cầu cụ thể Hệ thức biểu diễn hàm cầu qua đa thức liên kết Legendre có dạng là: Mặt khác, phương trình trị riêng của có dạng: )!( )!( 12 2 )!( )!( 12 2 )12( 2 )!2( )!( )!2( )!2( )!2( )!2( 0 122 22 0 ml ml l I ml ml I lll l l l I l l I l m l l lll            )!(4 )!)(12( 2 1 ml mll I N m l lm       imlmml efY ),( )(cosmllmlm PNf   lmf 2m   mlf    mlf   mlf    mlf m m       11 )()()( 2 2    AA fAAff mlmlml    )()1()( 2  ml mm ml ff    immllm mm m l ePNY )(cos)1(),( 2   .)1(cos )cos( )cos1( !2 1 )!(4 )!)(12( )1(),( 2222  iml lm lmm l mm m l ed d lml mll Y        ,mlY .)(cos )!(4 )!)(12( )(cos  imm l m l ePml mll Y    2L m l m l YllYL 22 )1(       )()(  mlml Aff  Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy34 Với Ứng với mỗi giá trị của sẽ có các nghiệm của phương trình, đó là các hàm cầu khác nhau ở lượng tử số m. Do đó, hàm cầu có thể viết lại như sau: Trong đó là số nguyên lấy các giá trị với và Với là đa thức liên kết Legendre được xác định: Ứng với mỗi giá trị của lượng tử số cụ thể ta có dạng hàm cầu tương ứng với hệ số chuẩn hóa đã được tính ở trên. Tóm lại, bằng cách áp dụng phương trình Legendre và đa thức Legendre ta đã tìm được hàm cầu của hệ ở trạng thái cơ bản là một hằng số. Hay cũng có thể nói rằng, ta đã tìm được hàm riêng của toán tử năng lượng trong tọa độ cầu. Sau đây, ta sẽ áp dụng bài toán hệ hai hạt cho hạt nhân Deuteron và giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron. ,...3,2,0l l (2 1)l  .)(cos )!(4 )!)(12( )1(),(  imm l km l ePml mll Y   m mklm  ,,...,2,1,0 0m 0k .0m m lP ml,            222 2 1 2 20 2 1 1 0 1 0 0 sin 32 15 sincos 8 15 1cos3 16 5 sin 8 3 cos 4 3 4 1 i i i eY eY Y eY Y Y                     2,2 1,2 0,2 1,1 0,1 0,0       ml ml ml ml ml ml  0,0  ml l ll ll m l mm m l dx xd l xP dx xPd xxP )1( !2 1 )( )( )1()( 2 22   Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy35 Chương II. BÀI TOÁN HAI HẠT VỚI HẠT NHÂN DEUTERON 2.1. Giới thiệu hạt nhân Deuteron 2.1.1. Cấu tạo hạt nhân Deuteron Hạt nhân Deuteron là hạt nhân của nguyên tử Deuterium kí hiệu là hay . Trong lý thuyết hạt nhân, Deuteron chiếm một vị trí tương tự như nguyên tử Hiđrô trong lý thuyết nguyên tử. Hạt nhân Deuteron là hệ gồm 1 proton và 1 neutron tạo thành hạt nhân đơn giản có số nuclon lớn hơn 1. Khối lượng nghỉ của các hạt: Proton : Neutron: Hạt nhân Deuteron: Điện tích: Proton có điện tích là: Neutron không mang điện. Spin: proton và neutron đều có spin bằng . Momen từ: Proton: Neutron: Trong đó, manhêtôn Bohn đợc tính theo công thức: 2.1.2. Năng lượng liên kết của hạt nhân Deuteron Độ hụt khối của hạt nhân Deuteron: Ta đã biết đơn vị khối lượng nguyên tử bằng 1/12 khối lượng đồng vị tức là . Theo hệ thức năng lượng của Einstein thì năng của hạt có khối lượng nguyên tử 1u là: D21 H 2 1 ump 007825,1 umn 008665,1 umD 014102,2  C1910.6022,1  2 1 n7928,2 n9128,1 n )(10.15,3 2 18 T eV m e p n     Dnp mmmm    u uuu 002388,0 014102,2008665,1007825,1   C12 kgu 2710.66055,11  2 0 1ucE           MeV J J 5,931 10.10.6022,1.5,931 10.10.6022,1 6022,1 9979,2.66055,1 10.9979,210.66055,1 619 819 2 16227        Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy36 Vì khối lượng hạt nhân bé hơn khối lượng tổng cộng của các nuclon hợp thành một giá trị nên theo thuyết tương đối Einstein năng lượng toàn phần củahạt nhân bé hơn năng lượng toàn phần của A nuclon khi tách chúng ra riêng lẽ một lượng là: chính là năng lượng cần cung cấp từ ngoài để tách tất cả A nuclon ra riêng lẽ nhau. Nói cách khác, có giá trị bằng và ngược dấu với năng lượng liên kết các nuclon trong hạt nhân . Do đó: Năng lượng liên kết này đặc trưng cho mức độ bền vững của hạt nhân. Suy ra, năng lượng liên kết của hạt nhân Deuteron là: Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân Deuteron là:  MeV A W W 1,1 2 2,2 0   Giữa các nuclon trong hạt nhân luôn xảy ra tương tác, nghĩa là các nuclon trong hạt nhân luôn chịu một lực tác dụng có thế năng tương tác U. Thế năng này gồm hai phần: *Một phần thế năng có giá trị lớn nhất đựợc ghi nhận dễ dàng là thế năng tương tác phụ thuộc vào khoảng cách giữa các nuclon . *Phần còn lại có giá trị không đáng kể là thế năng tương tác spin giữa các nuclon . Đối với hạt nhân Deuteron chỉ có 2 nuclon, ta bỏ qua tương tác spin và chỉ xét tương tác phụ thuộc vào khoảng cách giữa các nuclon . Như vậy, thế năng tương tác trong hạt nhân Deuteron chính là thế xuyên tâm . Những điều trên đây cho thấy rằng tuy Deuteron chỉ cấu tạo từ hai hạt nuclon nhưng cấu trúc của nó phức tạp. Đây là một dẫn chứng cho những phức tạp mà người ta sẽ gặp khi nghiên cứu hạt nhân nặng hơn. 2.1.3 Bán kính hạt nhân Deuteron Các nuclon tương tác với nhau bằng cách trao đổi mezôn . Neutron có thể nhả mêzôn âm hoặc nuốt mêzôn dương để thành proton và proton có thể nhả mêzôn dương hoặc nuốt mêzôn .. âm để thành neutron. Như vậy, nuclon trong hạt nhân có thể ở trạng thái phân ly như sau: m mcE  2 E E W EW  22 002388,0 ucmcEW  0,002388.931,5( )MeV  2, 2( )W MeV   rU sU rU      npnp pnpn       ; ;  1.2  2.2 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy37 Các phản ứng trên có thể xảy ra trong một quá trình biến đổi hạt nhân kể cả khi định luật bảo toàn khối- năng lượng cấm chỉ phản ứng đó đối với các nuclon tự do. Nguyên do là theo cơ học lượng tử, định luật bảo toàn năng lượng vẫn còn hiệu lực khi năng lượng thăng giáng vào cỡ miễn là thời gian tương tác phải được xác định theo nguyên lý bất định Heisenberg: Trong khoảng thời gian này mêzôn chuyển động với vận tốc ánh sáng và rời khỏi nuclon một khoảng cách: Với . Suy ra: Khoảng cách đó tượng trưng cho kích thước của đám mây mêzôn bao quanh nuclon thành ra lực hạt nhân chỉ tồn tại trong phạm vi kích thước đám mây mêzôn. Nói cách khác, khoảng cách coi như bán kính tác dụng của lực hạt nhân. Người ta làm thí nghiệm để đo kích thước của lực hạt nhân bằng cách bắn phá nó bởi các chùm electron năng lượng cao và quan sát hạt nhân làm lệch các eẻectron tới đó. Năng lượng của các electron cần phải đủ cao (`~200MeV) sao cho bước sóng Đe Broglie của chúng đủ nhỏ để có thể đóng vai trò các hạt thử nhạy với cấu trúc của hạt nhân. Kết quả thực nghiệm chứng tỏ rằng hạt nhân (được giả thiết là hình cầu) có bán kính trung bình đặc trưng R được cho bởi . Từ đó, ta xác định được bán kính hạt nhân Deuteron là: 2.1.4. Các trạng thái của hạt nhân Deuteron Do proton và neutron đều có spin bằng 1/2 nên spin tổng của Deuteron có hai giá trị 0 và 1. Tức là Deuteron có S=0,1. Để đơn giản chỉ hạn chế những giá trị bé nhất củ L(l=0,1,2), kết hợp với các giá trị của S thì theo công thức cộng momen ta có . Với J là momen toàn phần. Bằng tính toán người ta đưa ra rất nhiều trạng thái của Deuteron. Vậy thì trạng thái nào là cơ bản? Cho đến nay điều này chỉ dựa trên thực nghiệm. Thực nghiệm cho thấy rằng ở trạng thái cơ bản Deuteron có thể ở trạng thái E t Et    . 2cm t    cm ctr   .0  kgm 2710.24,0   mr 4657,1 10.9979,2.10.24,0 10.0546,1 827 34 0     3.2 0r 3/1 0 ArR   mR 153 1 15 10.8,12.10.4657,1   SLJSL  2cm Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy38 S(L=0) với xác suất 96% và ở trạng thái D(L= 2) với xác suất 4%. Gần đúng, chúng ta có thể chọn trạng thái cơ bản của Deuteron là S ứng với L=0. Đây là trạng thái đối xngs cầu. Chúng ta sẽ chọn mức gần đúng này để xác định " hố thế năng " của Deuteron nói riêng và các tương tác hạt nhân nói chung. T Duy 2.2. Bài toán tổng quát với hệ kín gồm hai hạt Xét hệ hai hạt có khối lượng tương ứng là và . Giả sử tương tác giữa hai hạt chỉ phụ thuộc vào khỏang cách tương đối giữa chúng. Trong tọa độ Decaster (Oxyz) thì hệ có các đặc trưng: Là khối lượng và tọa độ của hạt một. : là khối lượng và tọa độ của hạt hai. : là thế năng tương tác giữa hai hạt. Toán tử năng lượng của hệ là: Trong đó : Và Phương trình Schrodinger của hệ hai hạt có dạng như sau: Ta có thể làm cho phương trình (2.4) đơn giản hơn bằng cách dưa vào biến số mới . Gọi: khối lượng của hệ. là vectơ từ hạt hai đến hạt một. là vectơ xác dịnh vị trí khối tâm C của hệ hai hạt. Từ công thức tọa độ của khối tâm: Ta suy ra: Còn Ta hãy chuyển các phép tính qua các tọa độ X,Y,Z và x,y,z. Ta có: 1m 2m :,,, 1111 zyxm 2222 ,,, zyxm 1 2( ) ( )V r r V r     2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) 2 2 H r r V r m m            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zyx     2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( , , ) ( ) ( , , ) 2 2 i r r t V r r r t t m m                     4.2 Rr, ( , , ) :R X Y Z ( , , ) :r x y z  :21 mmM  21 2211 mm rmrm R   Rrr 21, rrrrrr  2121 , 221 ;...;; zxx        5.2 111 * x x xx X Xx            6.2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 zyx     2m 1m C 1r 2r R r O Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy39 Từ (2.5) ta suy ra: Lưu ý: 1 1 m x X M    M m x X 1 1    Từ ,ta suy ra: Thay (2.7), (2.8) vào (2.6) ta được: Xác định tương tự đối với các tọa độ khác của hạt thứ nhất, ta được: Từ (2.9), (2.10), (2.11) ta suy ra toán tử Laplace đối với hạt htứ nhất: 2211 xmxmMX  1 2 21 1 x x mm x X M      7.2 21 rrr    1 2 1 1 21 11 x x x x xx xx x         1 1    x x  8.2 M m Xxx 1 1       2 21 2 1 ( ) m x x M X        2 2 211 2 2 2 2 211 2 2 )(2 )(2 XM m XxM m x XM m XM m xx                9.2 YM m yy       1 1 * 2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 ( ) m m y y M y Y M Y              10.2 ZM m zz       1 1 * 2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 ( ) m m z z M z Z M Z              11.2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 zyx     0 1 2 12   x x xx Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy40  13.2               ZzYyXxM m12 Đặt: : là toán tử Laplace tính theo tọa độ khối tâm C và vecto bán kính . Suy ra: Đối với hạt thứ hai, tương tự như hạt thứ nhất ta cũng có: 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) m m m m x M x X M X y M y Y M Y                              2 2 21 1 2 2 2 ( ) m m z M z Z M Z                                2 2 2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2 )( ZYXM m zyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ZYX zyx R r             22 , Rr  r 2 2 2 21 1 1 ( ) 2( )r R m m M M x X y Y z Z                       12.2 XM m xx       2 2 * 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ( ) m m x x M x X M X             YM m yy       2 2 * 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ( ) m m y y M y Y M Y              14.2 ZM m zz       2 2 * 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ( ) m m z z M z Z M Z              15.2 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy41 Từ (2.13), (2.14), (2.15) ta suy ra toán tử Laplace đối với hạt thứ hai: Trầ Nhân hai vế (2.12) với và nhân hai vế (2.16) với ta được: Cộng hai phương trình trên với nhau ta được: Mà Đặt : khối lượng rút gọn của hệ. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zyx     2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) m m m m x M x X M X y M y Y M Y                               2 2 22 2 2 2 2 ( ) m m z M z Z M Z             2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ( ) m x y z M X Y Z                                         ZzYyXxM m22 2 2 2 22 2 2 ( ) 2r R m m M M x X y Y z Z                      16.2 1 1 m 2 1 m                                 ZzYyXxMM m mm ZzYyXxMM m mm Rr Rr 21 21 2 2 22 22 2 2 2 2 12 11 2 1   2212 212 2 2 1 2 1 11 Rr M mm mmmm      22 21 21 1 Rr Mmm mm  2 22 1 2 1 2 ( ) 2 H V r m m            2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( ) 2 r R H V r m m M m m                           21 21 mm mm 2 2 2 2 ( ) 2 2r R H V r M           Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy42 r Thế vào phương trình (2.4) ta được: ),,()( 22 ),,( 2 2 2 2 trRrV M trR t i Rr         Ta có thể tách các biến số R, r trong phương trình (2.17) bằng cách viết hàm sóng dưới dạng tích của hai hàm số phụ thuộc riêng biệt vào R, r. Ngoài ra, do thế năng tương tác không phụ thuộc thời gian nên ta có thể tách riêng phần phụ thuộc thời gian của hàm sóng dưới dạng hàm số mũ exp với E là năng lượng toàn phần. Vậy: Thay vào (2.17) ta được: Đơn giản hai vế ta được: Chia hai vế phương trình cho ta được: DuTrần lê duy và là độc lập nên mỗi số hạng ở vế trái phải bằng một hằng số.  17.2 ( )V r      Eti Et i erRtrR   )()(),,(  Et i Rr Et i erRrV M erR t i          )()()( 22 )()( 2 2 2 2  Et i Rr Et i erR M eE i rRi              )()( 22 )()( 2 2 2 2  )()()()()( 22 2 2 2 2 rRErRrV M Rr        )()()()()()()( 2 )()( 2 2 2 2 2 rRErRrVrR M rR Rr    )()( rR  )()( )()( )()( )()()( )()( )()( 2)()( )()( 2 2222 rR rRE rR rRrV rR rR MrR rR Rr                   constE R R M r rrVr rr       )( )( 2 )( )()()( 2 2 2 2 2    ),,( trR R Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy43 Do đó, ta được: Trong đó: Phương trình (2.19) mô tả chuyển động của khối tâm chung của hệ, đó là chuyển động tự do. Phương trình (2.18) mô tả chuyển động tương đối của hai hạt đối với khối tâm, giống như chuyển động của một hạt có khối lượng là chuyển động trong trường thế có thế năng . Cho rằng hệ hai hạt là kín, tức là hệ không chịu tác dụng của ngoại lực. Điều này phù hợp với điều kiện của bài toán là chỉ xét hiện tượng tương tác xảy ra trong lòng lòng hạt nhân. 2.3. Áp dụng bài toán hai hạt cho hạt nhân Deuteron 2.3.1. Phương trình Schrodinger đối với hạt nhân Deuteron Deuteron là một hệ lượng tử gồm hai hạt là proton và neutron. Trong tọa độ Descartes thì hệ có những đặc trưng như dạng tổng quát. : khối lượng và bán kính vecto của hạt proton. : khối lượng và bán kính vecto của hạt neutron. : bán kính vecto vạch từ proton đến neutron. : vecto xác định vị trí khối tâm C của hệ. : thế năng tương tác giữa hai hạt proton và neutron. : khối lượng của hệ. : khối lượng rút gọn của hệ. Trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng , đồng thời chuyển động của hệ sẽ chịu tác dụng của thế năng phụ thuộc vào khoảng cách giữa proton và neutron. Ở mỗi trạng thái chuyển động hệ có năng lượng xác định là . Để xác định hàm sóng và năng lượng ED của hệ ta phải thành lập và giải phương trình Schrodinger đối với hệ hạt Deuteron. Áp dụng bài toán hai hạt cho hạt nhân Deuteron ta được phương trình chuyển động của hệ:Trầ lê Duy )()( 2 )()()( 2 2 2 2 2 RER M rErrV RR rr             19.2 18.2  )(rV EEE rR   ppppp zyxrm ,,,  nnnnn zyxrm ,,, pn rrr  R )()( rUrrU pn  pnD mmM  pn pn D mm mm   ),,( trr pn )(rU DE ),,( trr pn )()()( 2 )()( 2 2 2 2 2 rErrV RER M rr D RR D             21.2 20.2 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy44 Phương trình (2.20) là phương trình biểu diễn chuyển động của khối tâm của hệ hạt Deuteron, giống như phương trình Schrodinger dừng của hạt chuyển động tự do có khối lượng MD, năng lượng ER, không phụ thuộc vào thế năng của hạt Deuteron. Phương trình (2.21) chính là phương trình mô tả chuyển động tương đối của hạt proton và neutron xoay quanh khối tâm của hệ hạt Deuteron, giống với phương trình Schrodinger dừng của một hạt có khối lượng , năng lượng Er, trong trường thế Năng lượng tổng cộng của hệ : ED=Er +ER Cho rằng hệ hạt Deuteron là kín, tức là hệ không chịu tác dụng của ngoại lực( chỉ xét hiện tượng tương tác xảy ra trong lòng hạt nhân). Khi đó khối tâm của hệ hạt nhân Deuteron sẽ đứng yên, năng lượng trong chuyển động của khối tâm sẽ triệt tiêu. Tức là : ER=0. Bây giờ ta chỉ cần quan tâm đến phương trình (2.21) là phương trình chuyển động tương đối quanh khối tâm của hệ hai hạt proton và neutron, có khối lượng rút gọn là . Đồng thời năng lượng chuyển động tương đối được xác định bằng với năng lượng tổng cộng của hệ : Er=E. Đặt: Tóm lại, phương trình mô tả chuyển động của hệ là: 2.3.2. Hàm sóng của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản Xét hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản S ứng với L=0 nghĩa là hệ không chịu tác dụng của momen xung lượng. Ta có: Mà . Do đó, các lượng tử số có giá trị . Hàm sóng của hệ trong tọa độ cầu có dạng: Hàm cầu ứng với hệ ở trạng thái cơ bản có giá trị: Vậy: Hàm sóng xác định trạng thái của hệ ở trạng cơ bản chỉ còn phụ thuộc vào biến số r trong tọa độ cầu. D ( )U r  D  D )()()()( 2 2 2 rErrUrr     22.2   001  lllL  0 mlml ml, 0,0  ml ( , , ) ( ) ( , )mlr R r Y       ,mlY   constY   4 1 ,00 ( , , ) . ( )r const R r   Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy45   2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 ,            2.3.3. Phương trình Schrodinger của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản trong tọa độ cầu Trong tọa độ cầu, toán tử vạch từ proton đến notron có dạng: Hàm sóng chỉ phụ thuộc vào biến số r trong tọa độ cầu. Thế năng cũng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r. là toán tử Laplace cầu. Phương trình chuyển động của hệ hạt: Vì toán tử chỉ tác dụng lên hàm sóng phụ thuộc vào nên: Do đó, phương trình trên trở thành: Chia hai vế của phương trình trên cho , ta đựơc: 2 r ( , , ) . ( )r const R r   ( ) ( )U r U r  ),,(),,()(),,( 2 2 2  rErrUrr   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ). ( ) ( ). ( ). 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 r r R r const U r R r const ER r const R r U r R r ER r r R r U r R r ER r r r r r r R r R r U r R r ER r r r r r                                            ,2  , 2 ( , ) ( ) 0R r   2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r R r U r R r ER r r r r          2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 r R r E U r R r r r r          22 21 2( ) ( ) ( ) ( ) 0r R r E U r R rr r r         2 2 2 2 2 1 ( , ) r rr r r r           2 2 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy46 Để đơn giản ta viết U(r) =U, R(r)= R.       022 0 2 2 1 0 21 22 2 22 2 2 2 2 2 2            RUE dr Rd dr dR r RUE dr Rd r dr dR r r RUER dr d r dr d r       Mặt khác: Chia hai vế cho r ta được: Hay Cộng hai vế cho , ta được: Hai vế tác dụng lên hàm sóng , ta được: R dr dr dr d r dr d r R dr d dr d r dr dr dr d r dr d rdr d dr d r                     12 12 2 2 2 2 Hay  23.2 2 2 1 dr d r dr d dr d r dr d      2 211 dr d dr d rdr d r dr d r           dr d r dr d rdr d dr d r 11 2 2 dr d r 1       dr dr dr d r dr d rdr d dr d r 12 2 2              dr dR rR dr dr dr d r dr dr R dr dR r dr d r 1 1 2 2 2 2 )(12 dr rRd rdr Rd dr dR r   24.2 1 ( )d d rR r dr dr      Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy47 Thế (2.24) vào (2.23), ta được:         0)(2 0 21 22 2 22 2   rRUE dr rRd RUE dr rRd r     Đặt Phương trình trên trở thành: Nếu lấy thì khối lượng rút gọn của hệ hai hạt proton và neutron là: Phương trình (2.26) được viết lại là: Đây chính là phương trình Schrodinger một chiều trong hệ tọa độ cầu. Như vậy, ta đã thiết lập được phương trình chuyển động của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản. Sau đây, ta sẽ áp dụng dạng cụ thể của thế năng tương tác giữa hai hạt proton và neutron để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron. Chương III. TÍNH BỀN VỮNG CỦA HẠT NHÂN DEUTERON 3.1. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron diễn tả qua hố thế 3.1.1. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron tương đương với hạt bị nhốt trong hố thế Chuyển động của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản được diễn tả qua phương trình Schrodinger một chiều như sau: Với : là hàm sóng xác định trạng thái chuyển động của hệ. : là thế năng tương tác giữa hai hạt proton và neutron quanh khối tâm. E là năng lượng của hạt trong chuyển động tương đối quang khối tâm. Ở trạng thái cơ bản, năng lượng đó là năng lượng liên kết của hạt nhân Deuteron và có giá trị . Ta đứng trước một tình huống đặc biệt là số hạng quan trọng nhất của phương trình phải giải là hế năng U(r) hầu như hoàn toàn không được xác định, ngoài thông  25.2 rR   02 22 2  UE dr d    26.2 mmm np  2 m mm mm mm mm np np        02 2 22 2  UE m dr d    02 2 22 2  UE m dr d   27.2   0 22 2  UEm dr d  rrR  rUU    MeVWE 2,2 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy48 tin U(r)=0 khi r>a. Các nuclon trong hạt nhân tương tác với nhau thông qua lực hạt nhân có bán kính tác dụng tầm ngắn và lực này giảm rất nhanh theo khoảng cách. Tại một khoảng cách lớn hơn một khoảng cách a nào đó lực được coi như bằng 0. Khoảng cách a được gọi là bán kính tác dụng của lực. Giả thuyết lực hoàn toàn đẳng hướng và có thế năng không đổi khi r<a. Để giải thích tính không bền vững của hạt nhân Deuteron ta dùng hố thế đối xứng cầucó bề rộng a chiều sâu là -U0. Ta có thể mô tả hố thế đó như đồ thị sau: Hố thế năng đối xứng cầu Như vậy, sự bền vững của hạt nhân Deuteron xem như tương đương với hạt bị nhốt trong hố thế có độ sâu là -U0 và bề rộng là a. Ta xét hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản có năng lượng đúng bằng năng lượng liên kết )(2,2 MeVWE  . Do đó: * Nếu E gần với U0 hay 0UE  thì hạt nằm ở đáy giếng, có lực liên kết lớn, rất khó bị phá vỡ nên cấu tạo bền vững. * Nếu E << U0 hay 0UE  thì hạt nằm ở miệng giếng, lực liên kết yếu, rất dễ bị phá vỡ và hạt nhân Deuteron có cấu tạo không bền. Vậy để giải thích tính không bền của hạt nhân Deuteron ta sẽ đi xác định giá trị U0. 3.1.2. Độ sâu của hố thế Phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong hai trường hợp. * Ở bên trong hố thế: U=-U0 Phương trình Schrodinger có dạng:      0 0UrU    ar ar    rU O E 0U a r Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy49 Đặt 0 E * Ở bên ngoài hố thế: r>a,U=0. Phương trình Schrodinger trở thành: Đặt Hai phương trình (3.1) và (3.2) được viết lại:    ark dr d ark dr d   0 0 2 02 2 2 2 2 Nghiệm của phương trình (3.3) có dạng: Với A, B là các hằng số được xác định thông qua điều kiện biên. Để hàm sóng r  hữu hạn khi 0r thì   00  . Suy ra: Do đó nghiệm của phương trình (3.3) là: * Nghiệm của phương trình (3.4) có dạng: Với C, D là các hằng số cũng được xác định từ điều kiện biên. Để bảo đảm tính hữu hạn của hàm sóng thì nghiệm bên ngoài hố thế bằng 0 khi r tức là   0 . Suy ra:   0022 2  UEm dr d   1.3 0 22 2   m dr d   0022 2  Um dr d   2.3     2 2 0 02 2   m k U m k      4.3 3.3 ( ) sin( ) cos( )r A kr B kr   0 00 0)0cos()0sin(    B B kBkA ( ) sin( );( )r A kr r a    6.3   rkrk DeCer 00   0 00 0 0 00      D De DeCe k kk Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy50 Do đó, nghiệm của phương trình (3.4) là: Vậy hàm sóng mô tả trạng thái của hạt nhân Deuteron ( tương đương với hạt chuyển động trong trường thế như đã nêu) là: Theo đòi hỏi về vật lí, hàm sóng  r và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục. Do đó khi r=a thì: Suy ra: Hay Thực nghiệm cho thấy hạt nhân Deuteron không bền vững nên 0U hay 0U . Do đó: Trần lê Duy Thế   022 Umk  vào đẳng thức trên, ta được: 0( ) , ( )k rr Ce r a    6.3    ar ar          rkCe krA r 0 sin        ak ak CekkakA CekaA 0 0 0)cos( )sin(   0 0 0 1 )( 1 )cos( )sin( 0 0 k k katg k katg k Cek Ce kakA kaA ak ak          2 02 2 0 2 2   m U m k k katg       02 Ukatg 2 0 0( ) U U tg ka        42 2 22   akka   4 2 2 02   aUm Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy51     2 2 0 2 2 2 22 2 22 0 16 164 ) 2 ( 4 ma h U ma h ma h ma U  Trong đó: h là hằng số Planck, có gía trị là h=6,625.10-34Js m là khối lượng của proton và neuteron. ummm pn 008665,1 a là bề rộng của hố thế cũng chính là bán kính tác dụng của lực hạt nhân hay bằng bán kính hạt nhân Deuteron.  MeV2,2 là năng lượng cần cung cấpđể phá vỡ hạt nhân Deuteron. Thế các giá trị của ,,, amh vào (3.7) ta được giá trị của 0U là: )(2,2 )10.8,1.(10.67494,1.16 )10.625,6( 21527 234 0 MeVU    Vậy  MeVU 8,330  3.1.3. So sánh độ sâu của hố thế với nặng lượng liên kết hạt nhân Deuteron, kết luận về tính bền của hạt nhân Deuteron Ta đã xác định được :  MeV2,2 và  MeVU 8,330  . Ta thấy 2,2<<33,8 hay 0UE  . Vậy hạt nhân Deuteron đã mấp mé ở miệng giếng, chỉ cần cung cấp cho hạt nhân một năng lượng 2,2 (MeV) thì hạt sẽ nhảy ra ngoài hố thế. Nói cách khác hai hạt proton và neutron không còn liên kết với nhau nữa, tức là hạt Deuteron bị phá vỡ. Như vậy, bằng cách giải phương trình Schrodinger một chiều với giả thiết thế năng có dạng đối xứng cầu có giá trị trung bình không đổi, ta đã giải thích được tính  7.3    kgm kgm 27 27 10.67494,1 10.66055,1.008665.1        ma mAra 15 3 1 253 1 0 10.8,1 2.10.46,1                      MeV MeVMeV MeVJ MeVJ MeVJ 8,33 2,26,31 2,210.6022,1.10.316,0 2,210.6022,1 6022,1 10.50565,0 2,210.50565,0 198 19 8 11         Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy52 không bền của hạt nhân Deuteron. Chỉ cần tác dụng vào hạt nhân một bức xạ có năng lượng bằng năng lượng liên kếtcủa hạt nhân Deuteron là ta có thể phá vỡ được hạt nhân này. Bây giờ, ta sẽ tính xem bức xạ này có bước sóng vào khoảng giá trị nào. Bức xạ tác dụng vào hạt nhân Deuteron có năng lượng  MeV2,2 . Bức xạ có bước sóng: Tần số của bức xạ là:    Hzm s m c 20 13 8 10.3,5 10.636,5 10.3         Tần số này vào cỡ bức xạ gamma .Như vậy, trong thực tế ta có thể dùng một bức xạ cỡ 2,2 (MeV) (tương đương với photon có tần số vào cỡ 1020 (Hz) thì có thể phá vỡ được hạt nhân Deuteron theo phương trình phản ứng sau: nHH 10 1 1 2 1 0 0  3.1.4. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron được giải thích bằng hiệu ứng đường ngầm Sự bền vững của hạt nhân Deuteron được được diễn tả qua hình ảnh một hạt bị nhốt trong hố thế. Qua tính toán ta thấy hạt nằm mấp mé ở miệng hố. Theo cơ học cổ điển, nếu ta không cung cấp cho hạt một năng lượng lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của năng lượng liên kết để hạt thoát ra ngoài thì hạt luôn ở trong hố thế. Nhưng theo cơ học lượng tử thì ta vẫn tìm thấy hạt ở bên ngoài hố thế. Nghĩa là hạt vẫn có thể thẩm thấu qua thành giếng thế chui ra ngoài bằng hiệu ứng đường ngầm. Ta sẽ kiểm chứng bằng cách tính xác suất tìm thấy hạt ở bên ngoài hố thế. Hàm sóng R(r) có dạng   rke r A rR 0 trong đó A là thừa số chuẩn hóa của hàm R(r). Xét tại điểm:  hc      J s m Js MeV s m Js 619 834 834 10.10.06022,1.2,2 10.3.10.625,6 2,2 10.3.10.625,6                 m1310.636,5    20 11  mk r  Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy53 Hàm sóng     0 1 k R của hạt là: e Ak eAkeAk k R k k 01 0 1 0 0 0 01      Tại điểm 0 1 k r  , hàm sóng giảm đi e lần nhưng không triệt tiêu và mật độ xác suất tìm thấy hạt là: 0 11 2 0 2 00        e Ak k R k  Như vậy, mật độ xác suất tìm thấy hạt ở bên ngoài khác 0. Nghĩa là bằng hiệu ứng đường ngầm trong cơ học lượng tử hạt nhân Deuteron đã tự phân rã trở thành hạt nhân khác theo phương trình sau: 2 1H→ 11H+10n 196 234 27 10.6022,1.10.2,2. )10.0546,1( 10.67494,1 1       am  1510.3,4 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy54  PHẦN III KẾT LUẬN Như vậy, bằng việc áp dụng bài toán hai hạt trong hệ kín, cụ thể là sử dụng phương trình Schrodinger, phương trình trạng thái mô tả chuyển động của hệ hạt vi mô cùng với lí thuyết về chuyển động của hạt trong giếng thế ta đã giải thích thành công được nhận định của thực nghiệm:"Hạt nhân Deuteron là hạt nhân không bền vững". Hạt nhân Deuteron có cấu tạo rất đơn giản chỉ gồm một proton và một neutron tương tác với nhau bằng lực hạt nhân. Theo quan điểm cơ học cổ điển, chuyển động của hạt Deuteron dưới tác dụng của thế năng tương tác giữa hai nuclon giống như chuyển động của một trường thế năng tương đương với một hạt bị nhốt trong hố thế. Nhưng trong cơ học lượng tử việc đưa ra giả định hố thế đối xứng cầu, ta chỉ cần cung cấp cho hạt một năng lượng đúng bằng năng lượng liên kết thì hạt nhảy ra ngoài hố thế, phá vỡ sự liên kết giữa hai nuclon. Việc đưa ra hố thế đối xứng cầu đã giải thích một cách rõ ràng tính không bền của hạt nhân Deuteron. Từ đó, chúng ta thấy được những tính chất mà ta sử dụng đối với lực hạt nhân là hoàn toàn hợp lí. Hiệu ứng đường ngầm trong cơ học lượng tử một lần nữa khẳng định tính đúng đắn của bài toán, cũng như tính chất chung của các hạt vi mô - lưỡng tính sóng-hạt.các hạt nuclon có tính chất sóng nên chúng ta mới tìm được xác suất của hạt bên ngoài hố thế trong khi năng lượng của hạt bé hơn hàng rào thế năng. Điều này góp phần giải thích một số hiện tượng như phát xạ electron lạnh, sự phân rã của hạt nhân nguyên tử... Từ việc giải thích một cách thành công sự không bền vững của hạt nhân Deuteron, em hi vọng có thể áp dụng cơ học lượng tử để giải thích tính bền hay không bền của hạt nhân lân cận hạt nhân Deutron, chẳng hạn như hạt nhân của nguyên tử Hêli,...từ đó tiến đến giải thích tính bền hay không bền của hạt nhân có cấu tạo phức tạp hơn, có số khối phức tạp hơn. Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy55 TÀI LIỆU THAM KHẢO  1) Nguyễn Hữu Mình ( chủ biên), Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường. Bài tập vật lí lí thuyết (tập 2). Nhà xuất bản giáo dục. 2) Nguyễn Xuân Tư. Bài giảng Vật lí hạt nhân và hạt cơ bản, 2000. 3) Nguyễn Xuân Hãn. Cơ học lượng tử. Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội, 1998. 4) Phạm Qúi Tư, Đỗ Đình Thanh. Cơ học lượng tử. Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội, 1999. 5) Nguyễn Xuân Tư. Cơ học lượng tử, ĐHCT, 2004. 6) Phan Đình Kiển. Giáo trình cơ học lượng tử. Nhà xuất bản ĐHSP. 7) Trần Minh Qúy. Toán cho vật lí, ĐHCT, 2002. 8) Lương Duyên Bình (chủ biên), Ngô Phú An, Lê Băng Sương, Nguyễn Hữu Tăng. Vật lí đại cương, tập 3, phần 1. Nhà xuất bản giáo dục- 1998. 9) Nguyễn Thị Thúy Hằng. Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron. ĐHCT, 2003. 10) Huỳnh Thị Thảo Sương Ứng dụng bài toán hai hạt nghiên cứu mức độ bền của hạt nhân Deuteron. ĐHCT, 2008. Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy56 PHỤ LỤC 1  1. Toán tử 1.2. Định nghĩa Toán tử là một thực thể toán học mà khi tác dụng lên một hàm số bất kỳ cho ta một hàm số khác. ( ) ( )A x x    1.2. Các phép tính trên toán tử : là các toán tử. là hàm số bất kì. Phép cộng toán tử: Phép trừ toán tử: Phép nhân toán tử: Phép cộng toán tử cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp như phép cộng thông thường, nhưng phép nhân toán tử nói chung không giao hoán được: Giao hoán tử: phép tính kí hiệu là: được gọi là giao hoán tử của và . Nếu hai toán tử giao hoán được với nhau thì: Ta sẽ chứng minh một số hệ thức sau: Chứng minh: ^^ , BA  A B A B             A B A B             ( )A B A B          A B C A B AC                            ^^^^ ABBA  ,A B A B B A            A  B  , 0A B       ) , , ) , , , ) , , , a A B B A b A B C A B A C c A BC A B C B A C                                                                   ^ ) , ) , a A B A B B A B A A B B A b A B C A B C B C A                                                             Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy57 2.Người ta định nghĩa các toán tử Các toán tử này tuân theo các hệ thức sau: Chứng minh: , , A B AC B A C A A B B A AC C A A B A C                                                 ) ,c A BC A B C BC A                         ( ) , , A B C B A C B A C BC A A B B A C B AC C A A B C B A C                                                                        x y x y L L i L L L i L             2 2^ ^ ^ ^ ^ ) , ) , ) , 0 ) z z z z z a L L L b L L L c L L L d L L L L L                                        ) ,z z za L L L L L L                , , z x y x y z z x x z z y y z z x z y L L i L L i L L L L L L i L L L L L L i L L                                                  y x y x i L L i L L               Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy58 ) ,z z zb L L L L L L                                  ^ ^^ ^^ ^^^^^^^^ ^^^^^^^^ ^^^^^^ L LLi LLi LLLLiLLLL LLiLLiLLLL LLiLLiLL xy xy yzzyzxxz zyyzzxxz zyxyxz    zzz LLLLLLLLLc ^^ _ ^^ _ ^^^ _ ^^ ,)      0 ^^ _ ^^ _ ^^^^ _ ^ ^^ _ ^^ _ ^^^ _ ^ ^^ _ ^ _ ^^ _ ^              zz zz zz LLLLLLLLL LLLLLLLL LLLLLL           yxyx LiLLiLLLd ^^^^^^ )      xyyxyx yxxyyx LLLLiLL LLiLLiLL ^^^^2^2^ ^^^^2^2^ zz zzzyx zyx zyx LLL LLLLL LLL LiiLL ^2^2^ ^2^2^2^2^ ^2^2^ ^2^2^         zz LLLLL ^2^^^2^     L Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy59 PHỤ LỤC 2  DẠNG CỦA TOÁN TỬ LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU Trong hệ tọa độ cong, grad của một hàm vô hướng và các div của một hàm vecto được viết dưới dạng sau: : là bộ ba số xác định tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ cong. :là vecto đơn vị có phương tiếp tuyến với các đường tọa độ và có chiều tăng theo các tọa độ qi. Ai (i=1,2,3) là thành phần của vecto trên pháp tuyến của các mặt tọa độ. hi(i=1,2,3) hệ số Lame trong hệ tọa độ cong đang xét, biểu thức có dạng: Trong hệ tọa độ cầu vị trí của một điểm được xác định bởi ba bộ số: Hệ thức liên hệ giữa tọa độ cầu và hệ tọa độ Descarter vuông góc như sau: Thay vào ta dễ dàng tìm được biểu thức của hệ số Lame trong hệ tọa độ cầu: Ta có:  321 ,, qqq 321 ,, AAAA 33 3 22 2 11 1 qh e qh e qh e grad                         3 213 2 132 1 321 321 1 q hhA q hhA q hhA hhh Adiv  3,2,1iqi 3,2,1iei A 222 2                 iii i q z q y q x h      3 2 1 q q rq    cos sinsin cossin rz ry rx    222 2                    r z r y r x hr    cos sinsin cossin        r z r y r x Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy60 Tóm lại ta có: Đối với toán tử Laplace, ta áp dụng phối hợp các biểu thức của và . Ta có:    2divgrad Hay                             33 21 322 13 211 32 1321 1 qh hh qqh hh qqh hh qhhh Thế h1, h2, h3 vào biểu thức trên ta tìm được dạng của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu:       11 cossinsincossin 2 2222   rr r hh h  222 2                     yyx h       2 222 sincossincoscos r rrr    rh   222 2                  zyx h       22 22 sin 0sincossinsin r rr    sinrh    sin 1 3 2 1 rhh rhh hh r    grad Adiv                                    sin. sin. 1 sin.. sin.. 1 r r r r r rr rrr 2 2 222 2 2 222 2 2 2 2 sin 1 sin sin 11 sin 1 sin sin 11 sin 1 sinsin. sin. 1                                                                            rrr r rr rrr r rr r r rr Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy61 MỤC LỤC  Trang TÓM TẮT LUẬN VĂN ·························································································1 PHẦN I. MỞ ĐẦU··································································································4 1.1. Lý do chọn đề tài··································································································4 1.2. Mục tiêu của đề tài ·······························································································4 1.3. Phương pháp nghiên cứu······················································································5 1.4. Các bước thực hiện đề tài ·····················································································5 1.5. Các thuật ngữ quan trọng của đề tài······································································5 PHẦN II. NỘI DUNG ····························································································6 Chương I CÁC TOÁN TỬ BIỂU DIỄN BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC ·······················6 1.1. Toán tử tọa độ và toán tử xung lượng ···································································6 1.1.1. Toán tử tọa độ ··································································································6 1.1.2. Toán tử xung lượng ···························································································6 1.2. Toán tử năng lượng và toán tử momen độnglượng················································7 1.2.1. Toán tử năng lượng ···························································································7 1.2.2. Toán tử momen động lượng···············································································8 1.3. Tọa độ cầu và dạng các toán tử trong tọa độ cầu ····································9 1.3.1. Tọa độ cầu·········································································································9 1.3.2. Dạng các toán tử trong tọa độ cầu ··················································· 10 1.4. Sự giao hoán giữa các toán tử ······························································· 15 1.5. Trị riêng của toán tử  zL . Phần phụ thuộc  của hàm sóng ···················18 1.6. Trị riêng của toán tử  2L ·····················································································20 1.7. Hàm cầu- phần hàm riêng phụ thuộc  , của các toán tử  2,, LLH z ················· 22 1.8. Chú thích về phương trình và đa thức Legendre ·················································24 1.9. Chú thích về phương trình Legendre liên kết và đa thức liên kết Legendre········· 27 1.10. Hệ số chuẩn hóa của hàm cầu.·········································································· 29 1.11. Một số hàm cầu cụ thể······················································································ 33 Chương II BÀI TOÁN HAI HẠT VỚI HẠT NHÂN DEUTERON ················· 34 2.1. Giới thiệu hạt nhân Deuteron ············································································· 34 2.1.1. Cấu tạo hạt nhân Deuteron ············································································34 2.1.2. Năng lượng liên kết của hạt nhân Deuteron ····················································· 35 2.1.3. Bán kính hạt nhân Deuteron ············································································36 2.1.4. Các trạng thái của hạt nhân Deuteron ······························································ 37 2.2. Bài toán tổng quát với hệ kín gồm hai hạt ··························································38 2.3. Áp dụng bài toán hai hạt cho hạt nhân Deuteron ················································ 43 2.3.1. Phương trình Schrodinger đối với hạt nhân Deuteron ······································ 43 2.3.2. Hàm sóng của hạt nhân Deuteron ở trạng thái cơ bản ······································ 44  zLLH ,, 2  zLLH ,, 2  zLLH ,, 2 Luận văn tốt nghiệp Ngành SP Vật Lý GVHD: Nguyễn Xuân Tư SVTH: Trần Lê Duy62 2.3.3. Phương trình Schrodinger của hạt nhân Deuteron trong tọa độ cầu·················· 45 Chương III TÍNH BỀN VỮNG CỦA HẠT NHÂN DEUTERON···················· 47 3.1. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron diễn tả qua hố thế···································· 47 3.1.1. Tính bền vững của hạt nhân Deuteron tương đương với hạt bị nhốt trong hốthế························································································47 3.1.2. Độ sâu của hố thế ···························································································· 48 3.1.3. So sánh độ sâu của hố thế với năng lượng liên kết hạt nhân Deuteron, kết luận về tính bền của hạt nhân Deuteron······························································· 52 3.1.4. Tính không bền vững của hạt nhân Deuteron được giải thích bằng hiệu ứng đường ngầm·································································································52 PHẦN III KẾT LUẬN ·····················································································54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ······················································································ 55 PHỤ LỤC·················································································································· 56