Phương trình sóng carrier phi tuyến với điều kiện biên robin - Naumann thuần nhất

27 CHƯƠNG 3 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 3.1. Giới thiệu Trong chương này chúng tôi sẽ thiết lập thuật giải lặp cấp hai cho bài toán (2.1) – (2.3) của chương trước, đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của dãy lặp về nghiệm của bài toán. Với ( ), ,f f x t u= , ta đặt 1 2 3, ,f f fD f D f D fx t u∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ và ( )31 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3, , , ,D f D D D f kαα αα α α α α α α α α+= = ∈ = + +] = ) . Tương tự, với ( ,t sμ μ= , ta đặt 1 2,D Dt sμ μμ μ∂ ∂= =∂ ∂ . Ta thiết lập lại các giả thiết ( )1A ; 20 1,u V H u V∈ ∩ ∈  ( )2A (1 2Cμ )+∈ \ , và tồn tại các hằng số ( )*1, 0, 0, 0,1,2ip iμ μ> > > = sao cho (i) ( ) ( ) ( ) 20* , 1 , ,pt s s t sμ μ μ +≤ ≤ + ∀ ∈\ , (ii) ( ) ( ) ( ) 21 1, 1 , ,pD t s s t sμ μ +≤ + ∀ ∈\ , (iii) ( ) ( ) ( )1 22 2, 1 , ,pD t s s t sμ μ − +≤ + ∀ ∈\ ; ( )3A và thỏa mãn (2 0,1f C +⎡ ⎤⎣ ⎦∈ ×\ \)× ( ) [ ]1, ,0 0, 0,f t t= ∀ ∈ T . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) [ ]{ } 0 0 0 sup , , , sup , , , 1, 2,3 , , , 0,1 : 0 , , . , , , , ˆ max A A i i i i jj i f x t u D f x t u i x t u t T u M K K M T f K K M T f A K K α α + = ≤ ≤ ⎧⎪⎪ ∈⎪⎪⎨⎪ ∈ × × ≤ ≤ ≤⎪⎪⎪⎩ = = = = = = ∑   \ \ (3.1) 3.2. Thuật giải lặp cấp hai 28 Ta mô tả thuật giải lặp cấp hai cho bài toán (2.1) – (2.3) như sau Chọn số hạng đầu tiên 0 0u = . Giả sử rằng (1 1 ,mu W M T− )∈ . (3.2) Sau đó, tìm (1 ,mu W M T )∈ thỏa bài toán biến phân ( ) ( ) ( )( ) ( ), , ,m m m mt tu v t a u v F t v vμ , V+ = ∀ ∈ 1u= , (3.3) ( ) ( )00 0, m mu u u=    , (3.4) trong đó ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 , . , , , , , m m m mm m t D f t t u F t f x t u u u x t u μ μ − − ⎧⎪⎨⎪⎩ = = + − 1m− (3.5) Khi đó, ta có định lý sau đây Định lý 3.1. Giả sử các giả thiết ( )1A – ( )3A thỏa. Khi đó, tồn tại các hằng số dương 0, 0M T> > và một dãy quy nạp phi tuyến { } (1 ,mu W M T⊂ ) jt w xác định bởi (3.2) – (3.4). Chứng minh. Việc chứng minh định lý bao gồm nhiều bước Bước 1. Xấp xỉ Galerkin Đặt , (3.6) ( ) ( ) ( )( ) 1 k k k m mj j tu c = = ∑ trong đó thỏa hệ phương trình ( )( )kmj tc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ,k kk km j m m j m jt tu w t a u w F t w jμ+ = ,1 k≤ ≤ , (3.7) ( ) ( ) ( ) ( )0 10 0, , 1k km mk ku u u u j= = ≤   k≤ , (3.8) ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) 2,k km m tt t uμ μ ⎛⎜⎝ ⎠= ⎞⎟ , (3.9) 29 ( ) ( ) ( ) ( )( ) (31 1, , , ,k km mm m D fF t f x t u u u x t u− −= + − )1m− u→ , (3.10) ( ) 00 1 k k j jk j u wα = = ∑  mạnh trong 2H V∩ , (3.11) ( ) 11 1 k k j jk j u wβ = = ∑ u→  mạnh trong V. (3.12) Bổ đề 3.1. Giả sử thỏa (3.2). Khi đó, hệ phương trình (3.7) - (3.10) có nghiệm 1mu − ( ) ( )km tu trong khoảng ( )0, 0,kmT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⊂ . Chứng minh bổ đề 3.1. Hệ phương trình (3.7) - (3.10) được viết lại dạng khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 , 0 , k k k k mj j m mj m j k k k k mj j mj j c t t c t F t w c c λ μ α β ⎧ = − +⎪⎨⎪ = =⎩   ( )1 j k≤ ≤ . (3.13) Lấy tích phân (3.13) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 s , t t k k k k k k mj j j j m mj m jc t t d s c s d d F s w d τ τ α β λ τ μ τ= + − +∫ ∫ ∫ ∫ s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 s , , , t t k k k k j j j m mj m jt d s c s d d f x s u w τ τ α β λ τ μ τ −= + − +∫ ∫ ∫ ∫ sd ( )( ) ( )1 3 1 0 0 + , , , , 1 t k m m m jd u u D f x s u w ds j τ τ − −− ≤∫ ∫ k≤ . (3.14) Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết, ta viết lại hệ (3.14) thành phương trình điểm bất động sau [ ]H c c= , (3.15) ở đây [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,...,k kH c H c H c H c c c c c= = , 30 [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 1 3 1 0 0 1 0 0 2 s , , , , , , , s, 1 , , . t j j j j t m m j t j j j m j H c t t d s c s d d u u D f x s u w ds t t d f x s u w d j t t u t τ τ τ γ λ τ μ τ γ α β τ μ μ − − − ⎧ = −⎪⎪⎪⎪ + −⎪⎨⎪ = + + ≤ ≤⎪⎪⎪ =⎪⎩ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ k (3.16) Với mỗi ( ) ( ]0,kmT T∈ và 0ρ > mà sẽ được chọn sau, ta đặt ( )( )0 0, ; k kmY C T⎡ ⎤= ⎣ ⎦ \ , { }: YS c Y c ρ= ∈ ≤ , ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 sup , k m k jY t T j c c t c t c t ≤ ≤ = = =∑ , ( )kmt T≤ ≤0 , với mỗi ( )1,..., kc c c Y= ∈ . Rõ ràng và quả cầu S là một tập đóng khác rỗng trong Y . Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tồn tại sao cho :H Y Y→ ( ) 0kmT > (i) , :H S S→ (ii) Tồn tại sao cho n∈` ( )1 :n nH H H S− S= → là ánh xạ co. (i) Đầu tiên chúng ta chú ý rằng, với mỗi ( )1,..., kc c c S= ∈ , ( ) ( ) ( ) 1 1 k j Y j u t c t c t c ρ = ≤ = ≤∑ ≤ nên ( ) ( )( ) ( )2 20, 1 pt t u tμ μ μ ρ= ≤ + . Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01 3 1 1 3 1, , , ,m m m mC Cu D f x t u u t D f x t u− − − −Ω Ω≤ ( )1 1m Vu t K−≤ 1MK≤ 31 và ( ) ( ) ( ) ( )01 3 1, , , ,m m Cfu x t u u t D f x t uu 1Kρ− − Ω ∂ ≤ ≤∂ . Nên ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 1 3 1, , , , ,m m j m mu u D f x t u w u u D f x t u w− − − −− ≤ − j ( )1K M ρ≤ + . Do đó [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 220 1 0 0 1 2 t p j j k j tH c t t d c s ds K M τ γ λ μ ρ τ ρ≤ + + + +∫ ∫ , suy ra [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 220 11 11 0 0 1 2 t p k tH c t t d c s ds kK M τ γ λ μ ρ τ ρ≤ + + + +∫ ∫ ( ) ( ) 220 11 2pkT tkK Mγ λ μ ρ ρ ρ⎡ ⎤≤ + + + +⎣ ⎦ ( )( ) ( )21 , 0,2 k km mT D T t Tργ ⎡ ⎤≤ + ∀ ∈ ⎣ ⎦ . Vì vậy, ta thu được [ ] ( )( )212 kmTYH c D Tργ≤ + , ở đây ( ) ( ) ( ) 10 0 01 1 sup sup sup k k j jT t T t T t Tj j t tγ γ γ γ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤= = = = =∑ ∑ t 2 01 1 2 TT kKα β= + + và ( ) ( ) ( )20 1, , , , 1 pkD D k M T m kK Mρ ρ ρ λ μ ρ ρ ρ= = + + + . Chọn T ρ γ> sau đó chọn ( )kmT sao cho 32 ( ) ( )20 k TmT Dρ ρ γ−< ≤ . Khi đó [ ] ( )( )21 , 2 kmTYH c D T c Sργ ρ≤ + ≤ ∀ ∈ , nghĩa là . :H S S→ (ii) Trước hết, ta sẽ chứng minh quy nạp theo n rằng, ,c d S∀ ∈ , , ta có ( )0, kmt T⎡∀ ∈ ⎣ ⎤⎦ [ ]( ) [ ]( ) ( )( ) 2 * 1 , 2 ! n n n Y D t H c t H d t c d n n ρ− ≤ − ∀ `∈ . (3.17) Phép chứng minh (3.17) như sau. Với , ta có 1n = [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) 0 0 s t j j j j jH c t H d t d c s c s d s d τ λ τ μ− ≤ −∫ ∫ [ ]( ) [ ]( )( ) ( ) 0 0 t j jd c s d s d s τ λ τ μ μ+ −∫ ∫ ds ( ) ( ) ( )( )3 1 0 0 , , , t m jd D f x s u u s v s w d τ τ −+ −∫ ∫ s , ở đây [ ]( ) ( )( ) [ ]( ) ( )( )2 2, , ,c t t u t d t t v tμ μ μ μ= = , . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , k k j j j j j u t c t w v t d t w = = = =∑ ∑ j Suy ra [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) 11 0 0 t kH c t H d t d c s c s d s ds τ λ τ μ− ≤ −∫ ∫ 33 [ ]( ) [ ]( ) ( ) 1 0 0 t k jd c s d s d s τ λ τ μ μ+ −∫ ∫ ds ( ) ( ) ( )( )3 1 1 0 0 , , , tk m j j d D f x t u u s v s w d τ τ − = + −∑∫ ∫ s [ ]( ) ( ) ( ) 1 0 0 t k d c s c s d s τ λ τ μ≤ −∫ ∫ ds [ ]( ) [ ]( ) 0 0 t k d c s d s τ λ ρ τ μ μ+ −∫ ∫ ds ( ) ( ) * * *1 1 0 0 t kK d u s v s ds J J J τ τ+ − ≡ +∫ ∫ 2 3+ . trong đó, [ ]( ) ( ) ( )*1 1 0 0 t kJ d c s c s d s τ λ τ μ= −∫ ∫ ds ( ) ( ) ( )20 1 0 0 1 t p k d c s d s d τ λ μ ρ τ≤ + −∫ ∫ s ( ) ( )1 1 0 0 t d c s d s d τ ζ τ≡ −∫ ∫ s , với ( )21 0 1 pkζ λ μ ρ= + . Để ý [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )( )2 22c t d t D u t v tμ μ μ ξ− = − , ở đây ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 21 1, 1 , , 0 ,0t u t v t tξ θ θ ξ ξ ρ θ= + − = ≤ ≤ < 1< , nên [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )2 22 11 2pc t d t c t d tμ μ μ ρ ρ−− ≤ + − . Do đó [ ]( ) [ ]( )*2 0 0 t kJ d c s d s τ λ ρ τ μ μ= −∫ ∫ ds 34 ( ) ( ) ( )2 2 22 1 0 0 2 1 t p k d c s d s d τ λ μ ρ ρ τ−≤ + −∫ ∫ s ( ) ( )2 1 0 0 t d c s d s d τ ζ τ≡ −∫ ∫ s , ở đây ( )2 22 22 1 pkζ λ μ ρ ρ −= + 2 . ( ) ( ) ( ) ( )*3 1 1 1 0 0 0 0 t t J kK d u s v s ds kK d c s d s ds τ τ τ τ= − ≤ −∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )3 1 0 0 t d c s d s d τ ζ τ≡ −∫ ∫ s , ở đây 3 1kKζ = . Suy ra [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 11 0 0 t H c t H d t d c s d s ds τ ζ ζ ζ τ− ≤ + + −∫ ∫ * 21 2 Y D t c dρ≤ − , ở đây ( )* * 1 2, , , ,D D k M T mρ ρ 3ρ ζ ζ ζ= = + + . Vậy (3.17) đúng với 1n = . Giả sử (3.17) đúng với . Khi đó, ta có 1n ≥ [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )( ) [ ]( )( )1 1 1 1 n n n nH c t H d t H H c t H H d t+ +− = − [ ]( ) [ ]( )* 1 0 0 s t n nD d H c s H d s d τ ρ τ≤ −∫ ∫ ( ) ( ) * 2 * 0 0 s 2 ! n nt Y D t D d c n τ ρ ρ τ≤ −∫ ∫ d d ( ) ( ) 2 2 * 2 2 ! n Y D t c d n ρ + = −+ . Vậy ta có (3.17). Theo đó, ta thu được 35 [ ] [ ] ( )( ) 2 * , , , 2 ! n n n YY D T H c H d c d c d S n n ρ− ≤ − ∀ ∈ ∀ `∈ . Mặt khác, do ( ) ( ) 2 * lim 0 2 ! n n D T n ρ →∞ = nên tồn tại n∈` sao cho ( ) ( ) 2 * 1 2 ! n D T n ρ < . Tức là là ánh xạ co. Áp dụng định lý ánh xạ co lặp Banach, ta suy ra được có duy nhất điểm bất động trong và do đó hệ (3.7) - (3.10) có duy nhất nghiệm :nH S S→ H S ( ) ( )km tu trong khoảng ( )0, kmT⎡ ⎤⎣ ⎦ . Bổ đề 3.1 được chứng minh.  Các đánh giá tiên lượng sau đây cho phép ta lấy ( )kmT T= với mọi m và k. Bước 2. Đánh giá tiên lượng Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 0 k t k k k m m m mS t p t q t u s d= + + ∫  s , (3.18) ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( )( ), ( )k kk km m m m mkp t u s t a u t u tμ= + , (3.29) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ),k kk k km m m m mt tq t a u u t u tμ= + Δ  . (3.20) Tương tự trong định lý 2.2, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 2( ) 0 0 ( ), ( ) 2 , ( ) 2 , ( ) t k k k k k k m m m m m m t t k kk k m m m m t k m S t S s a u s u s u s ds F s u s ds a F s u s ds u s ds μ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= + + Δ + + + ∫ ∫ ∫ ∫     ( ) ( ) * * *1 2 30kmS I I I I≡ + + + + *4 . (3.21) Chúng ta tiến hành đánh giá các tích phân có mặt trong vế phải của (3.21). • Tích phân thứ nhất Ta có 36 ( ) ( ) ( ) ( ) 2,k km mt t u tμ μ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2, 2 , ( ),k k k km m m mt D t u t D t u t u t u tμ μ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +  ( ) k m ) . (3.22) Sử dụng giả thiết và các bất đẳng thức dưới đây ( ) ( )( 2 , ,A ii iii ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1k k k m m m V u t u t S tμ≤ ≤ , ( ) ( ) ( ) ( )km mu t S t≤ k , ta suy ra từ (3.22) rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2, 2 , ( )k k k km m m mt D t u t D t u t u t u tμ μ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠≤ +  ( ) k m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 21 2 1 ( )p pk k km m mu t u t u t u tμ μ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠≤ + + +  ( ) k m ( ) ( )( )1 * 11 p pk mS tμ μ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ≤ + ( ) ( )( ) ( ) ( )1 12 * * 1 12 1 p pk k m mS t S tμ μ μ − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ + + ( ) ( ) ( ) ( )( )121 2 1 2 * * * 1 1 12 2 p p pk k m mS t S tμ μ μ μμ μ μ −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 pk km mS t S tμ ⎛⎜⎝ ⎠≤ + + ⎞⎟ , (3.23) ở đây 1 2 1 1 2 1 2 * * * 1 1 1max ,2 , 2 p p μ μ μ μ μμ μ μ −⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ = + . (3.24) Do đó 37 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2* ( ) ( )1 *0 ( ), ( ) kt k km k k k m m m m m s I s a u s u s s u μ μ μμ≤ +∫  ( ) s dsΔ ( ) ( ) ( ) ( ) *0 kt km m s S s d μ μ≤ ∫  s ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 11 * 0 t pk k k m m mS s S s S s d μ μ +⎛⎜⎝ ⎠≤ + +∫ s ⎞⎟ . (3.25) • Tích phân thứ hai ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t*2 0 0 2 s 2kk km m m msI F s u d F s S s≤ ≤∫ ∫ sk d . (3.26) Mặt khác, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 1, , , , ,k km mm mD fF x t f x t u x t u u u− −≤ + 1m−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 1 1 0 1 1 k k m mm m C C K K u u K K u t u t− − Ω Ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≤ + + ≤ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 1 * 1k k m mm V V K K u t u t K K M S tμ− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≤ + + ≤ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 0 1 * ˆ 1 , k km m KK M S t a a S t xμ≤ + + ≡ + ∀ ∈Ω , (3.27) với ( ) 10 1 1 * ˆ 1 , Ka K M a μ= + = . Nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 sup ,k k k km m m m C x F t F t F x t a a S Ω ∈Ω ≤ = ≤ + t . (3.28) Kết hợp (3.26) và (3.28) ta thu được ( ) ( ) ( ) ( )*2 0 1 0 0 2 2 t t k k m mI a S s ds a S s≤ +∫ ∫ ds . (3.29) • Tích phân thứ ba Ta có 38 ( ) ( ) ( ) ( )* ( )3 0 0 2 ( ) 2 t t k kk k m m m mVV V I F s u s ds F s S s≤ ≤∫ ∫ ( ) ( )ds . (3.30) Mặt khác, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 0,k k k k km m m m mV HF t F t F t F t F t= ∇ + ≤ ∇ + 2 ( ) ( ) ( ) ( )2 22 k km mF t F t≤ ∇ + ( ) ( ) ( ) ( )( )2 k km mF t F t≤ ∇ + . (3.31) Trong đó, để ý ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 1, , , , ,km m m 1mF x t D f x t u D f x t u u− − −∇ = + ∇ ( )( ) ( )1 3 1, ,km m mu u D f x t u− −+ ∇ −∇ ( )( ) ( ) ( )2 21 31 1 33 1 1, , , ,km m m mu u D f x t u D f x t u u− − − m−⎡ ⎤⎣ ⎦+ − + ∇ , (3.32) nên ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1, 1k km m mF x t K u K u u− −∇ ≤ + ∇ + ∇ + ∇ 1m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 02 1 11 km m mC CK u u t u t− − Ω Ω⎛ ⎞+ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 11 km mK u t K u t u t− −≤ + Δ + Δ + Δ m ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 02 1 11 km m mC CK u t u t u t− − Ω Ω⎛ ⎞+ + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )1 1 * 11 kmK M K S t Mμ ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )2 * 11 kmK M M S tμ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( )222 * ˆ 2ˆ 1 3 km K M K M M Sμ +≤ + + + t 39 ( ) ( )0 1 , kmb b S t x≡ + ∀ ∈Ω , (3.33) với ( ) ( )220 2 1 * ˆ 2ˆ 1 3 , K M b K M M b μ += + + = . Từ đó ta được ( ) ( ) ( ) ( )0 1kmF t b b S t∇ ≤ + km . (3.34) Kết hợp (3.28), (3.30), (3.31), (3.34) suy ra ( ) ( ) ( ) ( )*3 0 1 0 0 2 2 2 2 t t k mI c S s ds c S s≤ +∫ ∫ km ds , (3.35) ở đây , 0,1i i ic a b i= + = . (3.36) • Tích phân thứ tư Phương trình (3.7) được viết lại ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ,k kk km j m m j mu t w t u t w F t wμ− Δ = , j . Thay jw bởi ta được ( )( )kmu t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( ), ,k kk k km m m m m mu t t u t u t F t u tμ= Δ +   k . Suy ra ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 222 2( ) ( ) 0 0 0 2 2 t t t kk k m m m mu s ds s u s ds F s dμ≤ Δ +∫ ∫ ∫ k s . (3.37) Để ý rằng ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 * 0 0 11 1 ppk k k m m mpt u t Sμμ μ μ ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ t ) , và kết hợp ( 2A , (3.1), (3.20), (3.21), (3.37) ta thu được * 4I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 20 1 0 0 2 4 t t k k k m m ms S s ds a a S s dμ≤ + +∫ ∫ s ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 20 0 *0 0 12 4 t tpk k k m m mp TS s S s ds a a S s dμ μ +⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + +∫ ∫14 s 40 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 12 2 00 0 1 *0 0 24 2 2 t t pk k m mpa T a S s ds S s ds μμ μ += + + +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 10 1 2 0 0 t t pk k m md T d S s ds d S s ds +≡ + +∫ ∫ , (3.38) với ( )2 2 00 0 1 0 1 2 * 24 , 2 2 , pd a d a d μμ μ= = + = . Kết hợp (3.24), (3.25), (3.26) và (3.38) cho ta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 22 t k k k m m mS t S d T c S s da≤ + + + ∫ s ( ) ( )1 1 1 * 1 0 2 22 t k mc da S μ μ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ + ∫ s ds ( ) ( )( ) ( ) ( )( )21 2 * 0 1 0 t k m t pk mS s ds d S s d μ μ ++ +∫ ∫ s . (3.39) Sử dụng bất đẳng thức ( ]11 , 0, 0, 1q ps s s q p+≤ + ∀ ≥ ∀ ∈ + , (3.40) ừ (3.39) Ta suy ra t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1* *1 2 0 0 , , t pk k k m m mS t S C M T C M T S s d +≤ + + ∫ s , (3.41) ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 1 1 0 0 0 1 1 1 * * * 1 1 2 0 0 1 1 1 * * . , 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 C M T d a c a c d T C M T a c a c d d μ μ μ μ μ μ μ μ ⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎨ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ = + + + + + + + = + + + + + + + 2 , (3.42) Bây giờ ta cần đánh giá số hạng ( ) ( )0kmS . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( )0 (0) 0 (0), (0)k kk km m m m mS u a u uμ= + k ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( )(0), (0) 0 (0)kk k km m m ma u u uμ+ + Δ  ( ) ( ) ( )2 21 1 1 0 0 0 0, 0, ,k k k k k k ku a u u u a u u uμ 2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦= + + + Δ       . (3.43) 41 Theo (3.11), (3.12) và (3.43) nên tồn tại một hằng số , không phụ thuộc vào k và m, sao cho 0M > ( ) ( ) 20 , 2km MS ≤ ∀ ,k m . (3.44) Kết hợp (3.41) và (3.44) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1* *1 2 0 , , , 0 2 t pk k m m MS t C M T C M T S s ds t T T +≤ + + ≤ ≤ ≤∫ km . (3.45) Bổ đề 3.2. Tồn tại một hằng số không phụ thuộc vào k và sao cho 0T > m ( ) ( ) 2 , 0,kmS t M t T⎡⎣≤ ∀ ∈ ⎤⎦ với mọi k và . m Chứng minh bổ đề 3.2. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1* *1 2 0 , , , 0 2 t pk m MY t C M T C M T S s ds t T += + + ≤ ≤∫ . (3.46) Rõ ràng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 2 2 * 1 0, 0 ,0 , , , 0 0 , . 2 k m p Y t S t Y t t T Y t C M T Y t t T MY C M T + ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ > ≤ ≤ ≤ ≤ ′ ≤ = + ,≤ ≤ (3.47) Đặt ( ) ( )pZ t Y t−= , sau đó tích phân (3.47) ta được ( ) ( ) ( )*210 0 , t t p Y s ds C M T ds Y s+ ′ ≤∫ ∫ , hay ( ) ( )( ) ( )*21 0 ,p pY t Y C M Tp − −− ≤− t . Suy ra ( ) ( ) ( )2 * *1 2, ,2 p MZ t C M T pC M T t −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ≥ + − 42 ( ) ( )2 * *1 2, , , 2 p M C M T pC M T T t T −⎛ ⎞ 0,⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ≥ + − ∀ ∈ . (3.48) Chú ý rằng, ( ) ( ) ( )2 * *1 2 2 20 , ,2lim 2 p p p T M C M T pC M T T M M+ − − − → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = > . (3.49) Do đó với đã được chọn thỏa (3.44), kết hợp với (3.48), ta luôn chọn được một hằng số sao cho 0M > 0T > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * * 1 2 * * 1 2 2 * , , 2 2 1 2 exp 1,11 p T , pM C M T pC M T T k M T T M μ ρ ρμ − −⎧⎛ ⎞⎛ ⎞⎪⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎝⎨⎪ ⎛ ⎞= + <⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ > + ⎠ 2 (3.50) ở đây, 1 ,ρ ρ sẽ chỉ ra sau. Cuối cùng, từ (3.46) , (3.47) và (3.49), ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) 210 km pS t Y t MZ t ≤ ≤ = ≤ , [ ]0,t∀ ∈ T . (3.51) Vậy bổ đề 3.2 được chứng minh xong.  Kết quả của bổ đề 3.2 cho ta ( ) ( ,kmu W M T∈ ) ) với mọi m và k. Khi đó bằng lập luận tương tự định lý 2.1, ta chứng minh được hàm giới hạn của dãy (1 ,mu W M T∈ ( ){ }kmu khi k là nghiệm của bài toán biến phân (3.2) – (3.4). →+∞ Vậy định lý 3.1 được chứng minh hoàn toàn.  Kết quả sau đây cho ta đánh giá tốc độ hội tụ của dãy lặp cấp hai về nghiệm yếu duy nhất của bài toán. Định lý 3.2. Giả sử ( )1A – ( )3A thỏa mãn. Khi đó, tồn tại và thỏa (3.44) và (3.50) sao cho dãy quy nạp phi tuyến 0M > 0T > { }mu xác định bởi (3.3) – (3.5) hội tụ mạnh cấp hai về nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.3) trong không gian theo nghĩa u ( )1W T 43 ( ) ( )1 1 2 1m mW T W Tu u C u u−− ≤ − , với mọi , 1m ≥ ở đây C là một hằng số thích hợp. Hơn nữa, ta có ước lượng sau: ( ) ( )1 2* mm T TW Tu u C k− ≤ , với mọi , (3.52) 1m ≥ trong đó và là hằng số chỉ phụ thuộc vào và . *0 1Tk< < TC 1,T u *Tk Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh rằng { }mu là một dãy Cauchy trong ( )1W T . Đặt 1m mv u u+= − m . Khi đó thỏa bài toán biến phân mv ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1, ,m m mm mt tv v t a v v t t u tμ μ μ+ +=+ − ,m vΔ ( ) ( )1 , , mmF t F t v v V++ − ∀ ∈ , (3.53) ( ) ( )0 0m mv v=  0= . (3.54) Chọn trong (3.53), ta được mv v=  ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1, ,m m m m m mm mt tv v t a v v t t u t vμ μ μ+ +=+ −   , mΔ ( ) ( )1 ,m mmF t F t v++ −  . Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 ,m m m mmP t v t t a v t v tμ += + ( ) ( ) ( )2 2 **m m Vv t v t P tμ≥ + = m m . (3.55) Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )1 0 , t m mmP t s a v s v sμ += ∫  ds 44 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 2 , 2 , t m m mm t m mm s s u s v s d F s F s v s ds μ μ+ + + − Δ + − ∫ ∫   s * 3 . (3.56) * *1 2J J J≡ + +   Ta tiến hành đánh giá các tích phân trong vế phải của (3.56). Trước tiên, sử dụng giả thiết ( )2A và (3.3), (3.5), ta suy ra ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 22 21 1 1 1, 2 ,m m m m t tt D t u t D t u t u uμ μ μ+ + + +≤ +  1m+ ) , (3.57) ( 21 1 2K M≤ + ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 21 1, ,m mm mt t t u t t u tμ μ μ μ+ +− = − ( ) ( ) ( )01 12 2 Cm mK M v t K M v t Ω≤ ≤  ( )12 VmK M v t≤  . (3.58) Do đó, theo (3.55) và (3.57) – (3.58), ta thu được ( ) ( ) ( ) ( )* *1 * 2 2 12 1 0 0 1 2 1 2 m t t m V s ds K M J K M v s ds Pμ≤ +≤ + ∫   ∫ , (3.59) ( ) ( ) ( )*2 1 0 4 V t m m msJ K M u s v v s ds≤ Δ∫   ( ) ( )( )2 221 0 2 m mV t v s v sK M ds+≤ ∫  ( )2 * * 1 0 112 m t sK M P dsμ ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ . (3.60) Tiếp theo, ta đánh giá tích phân . *3J Khai triển Taylor của hàm số ( ), , mf x t u trong lân cận điểm đến cấp 1, ta được 1mu − 45 ( ) ( ) ( ) ( )21 3 1 1 31, , , , , , , ,2m mm m m 2 1mf x t u f x t u D f x t u v D f x t vλ− − −− = + − , (3.61) ở đây ( ) ( )1 1, , m m mm mx t u u u 0 1λ λ θ− −= = + − <θ < . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )21 3 1 31, , , ,2m mm mF t F t D f x t u v D f x t vλ+ −− = + 2 1m m− . (3.62) Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 212m mm mV VF t F t K v t K v t+ −− = + 1 ( ) ( )* *1 2 1 ** 2 m m K KP t Pμμ −≤ + t . (3.63) Từ (3.55) và (3.63) cho ta ( ) ( ) ( )*3 1 0 2 , t m mmJ F s F s v s d+= −∫  s ( ) ( ) ( )1 0 2 m m m t F s F s v s ds+≤ −∫  ( ) ( ) ( )* * *1 2 1 **0 2 2m m m t K KP s P s P s dsμμ − ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ( )( ) ( )2*2 1 21 * ** * 0 0 2 2 2m t t m K K K P s ds P s dsμ μμ− ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ . (3.64) Kết hợp (3.55), (3.56), (3.59), (3.60) và (3.64), ta có ( ) ( )( ) ( )2* * *1 1 2 0 0 , 0, T t m mmP t P s ds P s ds tρ ρ− T⎡ ⎤⎣ ⎦≤ + ∀∫ ∫ ∈ , (3.65) trong đó ( ) 2 1 * 2 1 2 2 * * * 2 1 1 211 2 1 2 2 K K KK M K M ρ μ ρ *μ μ μμ ⎧ =⎪⎪⎨ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ +  + . (3.66) 46 Để ý rằng ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 42 2 2* 1 121 1* *1m m V Vm mv t v tP t v t v tμ μ− −− −= ≤ ++ +  1m− ( ) ( )( ) [ ]1 42 1*1 ,m W Tv tμ −≤ + ∀ ∈ 0,T , và sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta suy ra từ (3.65) rằng ( ) ( ) *2 2 * 11 mm mVv t v t Pμ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + ≤ + ( ) ( )( )2*1 2 1 0* exp11 T mT P s dρ ρμ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + ∫ s ( ) ( ) ( )( )1 42* 1 2 1 * 1 exp11 m W TT T vμ ρ ρμ − ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ + , [ ]0,t T∀ ∈ , (3.67) Kết hợp (3.67) và bất đẳng thức sau ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 22 0 0 2 2sup 2 supW T Vt T t Tm m m m mVv v t v t v t v≤ ≤ ≤ ≤≤ + ≤ +  t , ta suy ra ( ) ( )11 2 1 W Tm T mW Tv vμ −≤ , (3.68) với ( ) ( )* 1 * 1 2 exp11T T Tμ μ ρ ρμ ⎛ ⎞= + <⎜ ⎟⎝ ⎠ + 2 1. (3.69) Mặt khác ( ) ( ) ( )11 11 1...m p m m p mm p m W TW T W Tu u u u u u+ + + − ++ +− ≤ − − ( ) ( )111 ... , , 1mm p W TW Tv v+ −= + + ∀m p ≥ (3.70) và từ (3.68), ta dễ dàng kiểm chứng được ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 22 22 *0 21 1 ,ii ii TT T T T T i W T W T M k iv v μμμ μ μ≤ ≤ ≡ `∀ ∈ , (3.71) 47 ở đây . (3.72) *0 2T Tk Mμ< = <1 Kết hợp (3.70) – (3.72), ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 1 2 2 2* * * 11 ... p m m m T T T T T m p m W T k k k ku u μ − − + ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ − ≤ 2* m ( ) ( ) ( ) 12 1 2* 2* * 1 1 p m mT T T T k k kμ − −⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠≤ − ( ) ( ) 2* * 1 1 m T T T k kμ≤ − Vậy ( ) ( ) ( )1 2* * , , 1 1 m T T T m p m W T k k u u μ+ ∀−− ≤ m p . (3.72) Điều này chứng tỏ { }mu là một dãy Cauchy trong ( )1W T . Do đó, tồn tại một ( )1u W T∈ sao cho mạnh trong mu → u ( )1W T . Khi đó, bằng lập luận tương tự như định lý 2.2, ta có ( )1u W T∈ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán. Chuyển qua giới hạn khi và cố định , ta thu được ước lượng (3.52) từ (3.72). Vậy định lý 3.2 được chứng minh hoàn toàn.  p →+∞ m