Tóm tắt Luận án Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ rất sớm. Đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích toán học. Một trong những nội dung được quan tâm của phép biến đổi tích phân là nghiên cứu các tích chập. Đó là một phép nhân đặc biệt được định nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồn tại. Các tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập Laplace, tích chập Fourier. Năm 1951, tích chập suy rộng đầu tiên được Sneddon I.N. đề cập và nghiên là tích chập suy rộng Fourier sine và Fourier cosine. Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu bởi Yakubovich S.B. Đó là các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H theo chỉ số. Đến năm 1998, Kakichev V.A. và N.X. Thảo đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ T1, T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa T1 ( f γ∗ k)(y) = γ(y)(T2f)(y)(T3k)(y) và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng. Nhờ kỹ thuật này mà những năm về sau đã có một số tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác được xây dựng. Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố. Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập ( f ∗k)(x), bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu 1 tích chập f 7→ g = (f ∗ k). Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập Mellin. Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f 7→ g = D(f ∗ k) mà D là một toán tử nào đó. Trong trường hợp D = (1 − d2dx2 ) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K. Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên cứu. Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier sine, Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu. Cho đến nay các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu. Khi giải quyết các bài toán toán-lý, nghiệm của các bài toán này có thể được biểu diễn qua các tích chập tương ứng. Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến bất đẳng thức đối với tích chập. Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young và bất đẳng thức Saitoh đối với tích chập Fourier. Các bất đẳng thức dạng này đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier cosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị. Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu. Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng". 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể. Xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng. Nghiên cứu các tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử ngược trong không gian L2(R+). Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. 2 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập. Chúng tôi ứng dụng bất đẳng thức Ho¨lder để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong các không gian hàm cụ thể. Đặc biệt Định lý Wiener-Levy được sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. 4. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm ba chương: Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier- Laplace. Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp(R+) và Lα,βp (R+). Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong các không gian Lp(R+) và Lp(R+, ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh. Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2(R+), hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biến đổi ngược. Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân tương ứng cũng được chứng minh. Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier-Laplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier- Laplace. Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phương trình trên đều được cho dưới dạng dóng. 3 5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu trong luận án. Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳng thức đối với tích chập. Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. Một số ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng nghiên cứu các tích chập suy rộng khác. Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công trình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trong danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia. Các kết quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại: + Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế. + Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại Nha Trang. + Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội. + Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và Trường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015. + Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. + Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội. 4 Chương 1 TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE Mục đích của Chương 1 là nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác nhau. Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với các tích chập tương ứng. 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau( f ∗ 1 k ) (x) = 1 pi ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 θ1(x, u, v)f(u)k(v)dudv, (1.1) trong đó θ1(x, u, v) = v v2 + (x− u)2 + v v2 + (x+ u)2 , x > 0. (1.2) Ta gọiAc là không gian ảnh của L1(R+) thông qua phép biến đổi Fourier cosine Fc. Với chuẩn ‖f‖Ac := ‖Fcf‖L1(R+) thì Ac là đại số Banach, nghĩa là nếu f(x), k(x) ∈ Ac, thì f(x)k(x) ∈ Ac và thỏa mãn ‖fk‖Ac ≤ ‖f‖Ac‖k‖Ac. Định lý 1.1.1 Giả sử các hàm f(x) và k(x) thuộc không gian L2(R+). Khi đó ta có ( f ∗ 1 k ) (x) ∈ Ac, và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval ( f ∗ 1 k ) (x) = Fc [( Fcf ) (y) ( Lk ) (y) ] (x), ∀x > 0. (1.3) Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau Fc ( f ∗ 1 k ) (y) = ( Fcf ) (y) ( Lk ) (y), ∀y > 0. (1.4) Bổ đề 1.1.1 Nếu k(x) ∈ L1(R+), thì ( Lk ) (y) ∈ Ac. 5 Định lý 1.1.2 Giả sử rằng f(x), k(x) ∈ L1(R+). Khi đó đối với tích chập( f ∗ 1 k ) (x), các đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4) vẫn còn đúng, hơn nữa ( f ∗ 1 k ) (x) ∈ L1(R+). Nhận xét 1.1.1 Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace( . ∗ 1 . ) , nếu thay thế nhân θ1(x, u, v) bởi nhân θ2(x, u, v) = v v2 + (x− u)2 − v v2 + (x+ u)2 , x > 0, (1.5) thì ta sẽ nhận được tích chập suy rộng mới. Đó là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace được định nghĩa bởi( f ∗ 2 k ) (x) = 1 pi ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 θ2(x, u, v)f(u)k(v)dudv, (1.6) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs ( f ∗ 2 k ) (y) = ( Fsf ) (y) ( Lk ) (y), ∀y > 0, f, k ∈ L2(R+). (1.7) Định lý 1.1.3 Giả sử rằng f(x), f ′(x) ∈ L2(R+) và k(x) ∈ L2(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức sau d dx ( f ∗ 1 k ) (x) = ( f ′ ∗ 2 k ) (x), (1.8) d dx ( f ∗ 2 k ) (x) = ( f ′ ∗ 1 k ) (x) + √ 2 pi f(0) ∫ ∞ 0 yk(y) x2 + y2 dy. (1.9) Định nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau( f γ∗ 1 k ) (x) = 1 pi ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 θ1(x, u, v + µ)f(u)k(v)dudv, (1.10) trong đó θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). 6 Định lý 1.1.4 Giả sử f(x), k(x) ∈ L1(R+). Khi đó, tích chập suy rộng( f γ∗ 1 k ) (x) thuộc L1(R+), thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn ‖(f γ∗ 1 k )‖ L1(R+) ≤ ‖f‖L1(R+)‖k‖L1(R+), (1.11) và có đẳng thức nhân tử hóa Fc ( f γ∗ 1 k ) (y) = e−µy ( Fcf ) (y) ( Lk ) (y), ∀y > 0. (1.12) Ngoài ra, tích chập suy rộng ( f γ∗ 1 k ) (x) cũng thuộc C0(R+). Định lý 1.1.5 (Định lý kiểu Titchmarch) Cho hai hàm số liên tục k(x) ∈ L1(R+) và f(x) ∈ L1(R+, eαx) (α > 0). Nếu ( f γ∗ 1 k ) (x) = 0, ∀x > 0 thì hoặc f(x) = 0, ∀x > 0 hoặc k(x) = 0, ∀x > 0. Định lý 1.1.6 Giả sử p > 1, r ≥ 1, 0 < β ≤ 1, các hàm f(x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+). Khi đó tích chập suy rộng ( f γ∗ 1 k ) (x) tồn tại, liên tục và thuộc Lα,βr (R+). Hơn nữa, ta có đánh giá sau ‖(f γ∗ 1 k )‖ Lα,βr (R+) ≤ C‖f‖Lp(R+)‖k‖L1(R+), (1.13) trong đó C = ( 2piµ) 1/pβ− α+1 r Γ1/r(α + 1) với Γ là hàm Gamma. Ngoài ra, nếu f(x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) thì tích chập suy rộng ( f γ∗ 1 k ) (x) thuộc C0(R+), và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12). Định lý 1.1.7 Giả sử α > −1, 0 1, q > 1, r ≥ 1 thỏa mãn 1 p + 1 q = 1. Khi đó, nếu f(x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ Lq(R+, (1 + x2)q−1), thì tích chập ( f γ∗ 1 k ) (x) tồn tại, liên tục, bị chặn trong Lα,βr (R+) và có ‖(f γ∗ 1 k )‖ Lα,βr (R+) ≤ C‖f‖Lp(R+)‖k‖Lq(R+,(1+x2)q−1), (1.14) trong đó C = µ− 1 ppi− 1 qβ− α+1 r Γ1/r(α + 1). Hơn nữa, nếu giả thiết thêm f(x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+) ∩ Lq(R+, (1 + x2)q−1) thì tích chập( f γ∗ 1 k ) (x) thuộc C0(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12). 7 Nhận xét 1.1.2 Trong tích chập suy rộng ( . γ∗ 1 . ) , nếu thay thế nhân θ1(x, u, v + µ) bởi θ2(x, u, v + µ) được xác định như (1.5), thì ta nhận được tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace ( . γ∗ 2 . ) với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) được định nghĩa bởi( f γ∗ 2 k ) (x) = 1 pi ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 θ2(x, u, v + µ)f(u)k(v)dudv, (1.15) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs ( f γ∗ 2 k ) (y) = e−µy ( Fsf ) (y) ( Lk ) (y), ∀y > 0, f, k ∈ L1(R+). (1.16) 1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Định nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = − sin y của hai hàm f(x) và k(x) đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau( f γ∗ 3 k ) (x) = 1 2pi ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 [ θ2(x− 1, u, v)− θ2(x+ 1, u, v) ] f(u)k(v)dudv, (1.17) với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5). Ta đặt H(R+) = { f(x) : ( Lf ) (y) ∈ L2(R+) } . Định lý 1.2.1 Giả sử f(x) ∈ L2(R+) và k(x) ∈ H(R+). Khi đó, tích chập suy rộng ( f γ∗ 3 k ) (x) thuộc L2(R+) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval( f γ∗ 3 k ) (x) = Fc [− sin y(Fsf)(Lk)](x), ∀x > 0, (1.18) và đẳng thức nhân tử hóa sau Fc ( f γ∗ 3 k ) (y) = − sin y(Fsf)(y)(Lk)(y), ∀y > 0. (1.19) 8 Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0) của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Laplace được định nghĩa như sau( f γ∗ 5 k ) (x) = 1 2pi ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 [ θ2(x− 1, u, v + µ) − θ2(x+ 1, u, v + µ) ] f(u)k(v)dudv, (1.20) với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5). Định lý 1.2.2 Giả sử f(x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L1(R+). Khi đó, tích chập suy rộng ( f γ∗ 5 k ) (x) thuộc không gian L1(R+), và ta có bất đẳng thức chuẩn ‖(f γ∗ 5 k )‖ L1(R+) ≤ ‖f‖L1(R+)‖k‖L1(R+). Hơn nữa, tích chập suy rộng ( f γ∗ 5 k ) (x) cũng thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc ( f γ∗ 5 k ) (y) = −e−µy sin y(Fsf)(y)(Lk)(y), ∀y > 0, , (1.21) và đẳng thức kiểu Parseval( f γ∗ 5 k ) (x) = Fc [− e−µy sin y(Fsf)(y)(Lk)(y)](x), ∀x > 0. (1.22) Định lý 1.2.3 Giả sử rằng p > 1, r ≥ 1, 0 < β ≤ 1, các hàm f(x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+). Khi đó tích chập suy rộng ( f γ∗ 5 k ) (x) tồn tại, liên tục và bị chặn trong Lα,βr (R+). Hơn nữa, tích chập này thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn sau ‖(f γ∗ 5 k )‖ Lα,βr (R+) ≤ C‖f‖Lp(R+)‖k‖L1(R+), (1.23) ở đó C = ( 2piµ) 1/p.β− α+1 r .Γ1/r(α + 1) với Γ là hàm Gamma Euler. Ngoài ra, nếu f(x) ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+) thì tích chập suy rộng ( f γ∗ 5 k ) (x) thuộc C0(R+), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểu Parseval (1.22). 9 Định lý 1.2.4 Cho α > −1, 0 1, q > 1, r ≥ 1 thỏa mãn 1 p + 1 q = 1. Khi đó, nếu các hàm f(x) ∈ Lp(R+) và k(x) ∈ Lq(R+, e(q−1)x) thì tích chập ( f γ∗ 5 k ) (x) tồn tại, liên tục và bị chặn trong Lα,βr (R+). Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chuẩn ‖(f γ∗ 5 k )‖ Lα,βr (R+) ≤ C‖f‖Lp(R+)‖k‖Lq(R+,e(q−1)x), (1.24) trong đó C = ( 2piµ) 1/q.β− α+1 r .Γ6 1/r(α + 1). Ngoài ra, nếu f(x) ∈ L1(R+)∩Lp(R+) và k(x) ∈ L1(R+)∩Lq(R+, e(q−1)x) thì tích chập ( f γ∗ 5 k ) (x) cũng thuộc C0(R+) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) và đẳng thức kiểu Parseval (1.22). 1.3 Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier- Laplace và các tích chập khác Mệnh đề 1.3.1 Cho f(x), k(x) và h(x) là các hàm trong L1(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức sau a) f γ∗ Fs ( k γ∗ 2 h ) = ( f γ∗ Fs k ) γ∗ 2 h. b) f ∗ Fc ( k γ∗ 1 h ) = ( f ∗ Fc k ) γ∗ 1 h. c) f ∗ FsFc ( k γ∗ 1 h ) = ( f ∗ FsFc k ) γ∗ 1 h. d) f ∗ FcFs ( k γ∗ 2 h ) = ( f ∗ FcFs k ) γ∗ 1 h. Mệnh đề 1.3.2 Cho f(x) và k(x) là hai hàm trong không gian L1(R+). Khi đó, ta có các đẳng thức sau a) ( f γ∗ 1 k ) (x) = √ 2 pi ∫ ∞ 0 k(v) ( f(u) ∗ Fc v + µ (v + µ)2 + u2 ) (x)dv. b) ( f γ∗ 2 k ) (x) = √ 2 pi ∫ ∞ 0 k(v) ( f(u) ∗ FsFc v + µ (v + µ)2 + u2 ) (x)dv. 10 1.4 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng 1.4.1 Định lý kiểu Young Định lý 1.4.1 (Định lý kiểu Young) Cho p, q, r > 1, 1p + 1 q + 1 r = 2 và f(x) ∈ Lp(R+), k(x) ∈ Lq(R+, (x+µ)q−1) (µ > 0), h(x) ∈ Lr(R+). Khi đó:∣∣∣ ∫ ∞ 0 ( f γ∗ 1 k ) (x).h(x)dx ∣∣∣ ≤ µ 1−qq ‖f‖Lp(R+)‖k‖Lq(R+,(x+µ)q−1)‖h‖Lr(R+). 1.4.2 Định lý kiểu Saitoh Định lý 1.4.2 (Định lý kiểu Saitoh) Giả sử ρj ∈ L1(R+) (j = 1, 2) là hai hàm số dương, khi đó ta có bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng sau đây đúng với mọi Fj ∈ Lp(R+, ρj) || ( (F1ρ1) γ∗ 1 (F2ρ2) )( ρ1 γ∗ 1 ρ2 )1/p−1||Lp(R+) ≤ ||F1||Lp(R+,ρ1)||F2||Lp(R+,ρ2). Kết luận Chương 1 Xây dựng và nghiên cứu bốn tích chập suy rộng Fourier-Laplace: (.∗ 1 .), (. γ∗ 1 .), (. γ∗ 3 .) và (. γ∗ 5 .). Nhận được các kết quả chính sau: • Các đánh giá chuẩn của toán tử tích chập trong một số không gian hàm. • Các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch. • Các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh cho tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng. Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và [4] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án. 11 Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE Mục đích của chương này là thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân dựa trên các tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace và tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng đã được nghiên cứu trong Chương 1. 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace (1.1): f(x) 7→ g(x) = (Tkf)(x) = (1− d2 dx2 )( f ∗ 1 k ) (x), x > 0, (2.1) trong đó k là nhân của phép biến đổi. 2.1.1 Định lý kiểu Watson Định lý 2.1.1 Giả sử rằng k(x) ∈ L2(R+), hoặc k(x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp. Khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.1) unita trong L2(R+) là∣∣(1 + y2)(Lk)(y)∣∣ = 1, y > 0. (2.2) Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và được xác định bởi f(x) = ( 1− d 2 dx2 )( g ∗ 1 k ) (x), (2.3) trong đó k là hàm liên hợp phức của k. 12 Mệnh đề 2.1.1 Giả thiết k(x) là hàm thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.1, trong đó điều kiện (2.2) được thay bằng điều kiện sau 0 < C1 ≤ ∣∣(1 + y2)(Lk)(y)∣∣ ≤ C2 <∞. (2.4) Khi đó, trong L2(R+) ta có đánh giá bất đẳng thức chuẩn sau C1‖f‖L2(R+) ≤ ‖g‖L2(R+) ≤ C2‖f‖L2(R+). (2.5) Hơn nữa, phép biến đổi ngược tồn tại và xác định bởi f(x) = ( 1− d 2 dx2 )( g ∗ Fc k1 ) (x), (2.6) ở đó k1 ∈ L2(R+) sao cho ( Fck1 ) (y) = 1 (1+y2)2 ( Lk ) (y) . 2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm Định lý 2.1.2 Giả sử k(x) có đạo hàm đến cấp hai, và k(x), k ′′ (x) ∈ L2(R+) hoặc k(x), k ′′ (x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ đối với k cũng như đối với k ′′ , và k(0) = 0. Khi đó, ta có đánh giá sau( Tkf ) (x) = ( f ∗ 1 (k + k ′′ ) ) (x)− k′(0)f(x). (2.7) 2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Xét phép biến đổi tích phân liên quan đến các tích chập suy rộng (1.17): f(x) 7→ g(x) = (Tk1,k2f)(x) = ( 1− d 2 dx2 ){( f γ∗ 3 k1 ) (x) + ( f ∗ FcFs k2 ) (x) } , x > 0, (2.8) trong đó k1, k2 là nhân của phép biến đổi. 13 2.2.1 Định lý kiểu Watson Định lý 2.2.1 Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.8) unita trong L2(R+) là∣∣− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)∣∣ = 1 1 + y2 . (2.9) Hơn nữa, phép biến đổi ngược có dạng f(x) = ( 1− d 2 dx2 ){ − (g γ∗ 4 k1 ) (x) + ( k2 ∗ FsFc g ) (x) } , (2.10) trong đó k1 và k2 lần lượt là các hàm liên hợp phức của k1 và k2. 2.2.2 Định lý kiểu Plancherel Xét phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng f(x) 7→ g(x) = ( 1− d 2 dx2 ){( f γ∗ 4 k1 ) (x) + ( f ∗ FsFc k2 ) (x) } , x > 0, (2.11) Định lý 2.2.2 Giả sử k1 ∈ H(R+), k2 ∈ L2(R+) sao cho (2.11) unita và Θ1(x, u, v) = ( 1− d 2 dx2 )[ θ2(x− 1, u, v)− θ2(x+ 1, u, v) ] , Θ2(x, u, v) = ( 1− d 2 dx2 )[ θ1(x− 1, u, v)− θ1(x+ 1, u, v) ] , K(x) = ( 1− d 2 dx2 ) k2(x) là các hàm bị chặn. Cho f ∈ L2(R+) và với mỗi số tự nhiên N, đặt gN(x) = 1 2pi ∞∫ 0 N∫ 0 Θ2(x, u, v)f(u)k1(v)dudv + 1√ 2pi N∫ 0 f(u) [ K(|x− u|)−K(x+ u)]du. 14 Khi đó: 1) Ta có gN ∈ L2(R+), và nếu N → ∞ thì gN hội tụ theo chuẩn trong L2(R+) đến hàm g ∈ L2(R+) với ‖g‖L2(R+) = ‖f‖L2(R+). 2) Đặt gN = g.χ(0, N), thì fN(x) =− 1 2pi ∞∫ 0 ∞∫ 0 Θ1(x, u, v)g N(u)k1(v)dudv + 1√ 2pi ∞∫ 0 gN(u) [ K(x+ u) + sign(u− x)K(|x− u|)]du, cũng thuộc L2(R+), và nếu N →∞ thì fN hội tụ theo chuẩn đến f . Kết luận Chương 2 Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 với hàm trọng. Nhận được các kết quả chính: • Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi Tk và Tk1,k2 là unita trong L2(R+). • Xác định được điều kiện đủ để toán tử Tk bị chặn và có biến đổi ngược. • Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại các dãy toán tử hội tụ theo chuẩn về toán tử tích phân Tk1,k2 và toán tử ngược của nó. Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [3] và [4], trong Danh mục công trình đã công bố của luận án. 15 Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả nghiên cứu của Chương 1 và Chương 2 để giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng. 3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích phân Định lý 3.1.1 (Định lý Wiener-Levy) Giả sử f là biến đổi Fourier của một hàm thuộc L1(R), và ϕ là hàm giải tích trong một lân cận của gốc, chứa miền {f(y),∀y ∈ R} thỏa mãn ϕ(0) = 0, khi đó ϕ(f) cũng là ảnh qua phép biến đổi Fourier của một hàm nào đó thuộc L1(R). Nhận xét 3.1.1 Định lý Wiener-Levy vẫn đúng cho cả phép biến đổi Fourier cosine. 3.1.1 Giải phương trình tích phân a) Xét phương trình tích phân loại một có dạng∫ ∞ 0 K1(x, u)f(u)du = g(x), x > 0, (3.1) trong đó K1(x, u) = 1 pi ∫ ∞ 0 θ1(x, u, v)k(v)dv, (3.2) với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Định lý 3.1.2 Cho g(x), k(x) ∈ L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) là ( Fcg ) (y)( Lk ) (y) ∈ Ac. Hơn nữa, 16 nghiệm được cho dưới dạng f(x) = ∫ ∞ 0 ( Fcg ) (y)( Lk ) (y) cosxydy. (3.3) b) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∫ ∞ 0 K1(x, u)f(u)du = g(x), x > 0, (3.4) trong đó nhân K1(x, u) cho bởi (3.2) và k(x), g(x) là hàm cho trước trong L1(R+), và f(x) là hàm cần tìm. Định lý 3.1.3 Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn 1 + ( Lk ) (y) 6= 0, ∀y > 0. (3.5) Khi đó phương trình (3.4)có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = g(x)− (q ∗ Fc g ) (x), (3.6) ở đó q(x) ∈ L1(R+) được xác định bởi q(x) = Fc ( ( Lk ) (y) 1 + ( Lk ) (y) ) (x). (3.7) c) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∫ ∞ 0 K2(x, t)f(t)dt = g(x), x > 0, (3.8) ở đó K2(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ1(x, u, v + µ) [ ψ(|u− t|) + ψ(u+ t)]ϕ(v)dudv, µ > 0, với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). 17 Định lý 3.1.4 Giả sử rằng ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình (3.8) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0,∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng sau f(x) = g(x)− (g ∗ Fc q ) (x), (3.9) ở đó, hàm q ∈ L1(R+) được xác định bởi( Fcq ) (y) = e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1 + e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) . (3.10) d) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∫ ∞ 0 K4(x, t)f(t)dt = g(x), x > 0, (3.11) trong đó K4(x, t) = 1 2pi √ 2pi ∫ R+2 [ θ2(x− 1, u, v + µ)− θ2(x+ 1, u, v + µ) ] × [ϕ(u+ t) + sign(u− t)ϕ(|u− t|)]ψ(v)dudv, (3.12) với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5). Định lý 3.1.5 Giả sử g(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân (3.11) có duy nhất nghiệm trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1 + e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau f(x) = g(x) + ( g ∗ Fc q ) (x), trong đó q là hàm thuộc L1(R+) sao cho( Fcq ) (y) = −e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 1 + e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) , 18 Ví dụ 3.1.1 Ta chọn các hàm ϕ(x), ψ(x) như sau ϕ(x) = e−ax, ψ(x) = e−bx (a, b > 0). Khi đó dễ thấy ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+) và ta có ( Fsϕ ) (y) = √ 2 pi y a2 + y2 , ( Lψ ) (y) = 1 b+ y . (3.13) Từ đẳng thức nhân tử hóa (1.19) và (3.13), ta có Fc ( ϕ γ6∗ 5 ψ ) (y) = −e−µy sin y(Fsϕ)(y)(Lψ)(y) = − √ 2 pi e−µy sin y. y (a2 + y2)(b+ y) . Khi đó, ta có 1− Fc ( ϕ γ6∗ 5 ψ ) (y) 6= 0, ∀y > 0. Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm q(x) ∈ L1(R+) sao cho ( Fcq ) (y) = − √ 2 pie −µy sin y. y(a2+y2)(b+y) 1 + √ 2 pie −µy sin y. y(a2+y2)(b+y) . (3.14) Suy ra q(x) = Fc [ −√ 2pie−µy sin y. y(a2+y2)(b+y) 1 + √ 2 pie −µy sin y. y(a2+y2)(b+y) ] (x) = −2 pi ∫ ∞ 0 y sin y cosxy (a2 + y2)(b+ y)eµy + √ 2 piy sin y dy, và nghiệm được cho bởi f(x) = g(x) + ( g ∗ Fc q ) (x). 19 3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân a) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∫ ∞ 0 K6(x, t)g(t)dt = p(x), g(x) + ∫ ∞ 0 K7(x, t)f(t)dt = q(x), x > 0. (3.15) Trong đó K6(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ1(x, u, v + µ) [ k(|u− t|) + k(u+ t)]ϕ(v)dudv, K7(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ1(x, u, v + µ) [ l(|u− t|) + l(u+ t)]ψ(v)dudv, (3.16) với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Định lý 3.1.6 Giả thiết ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x), k(x), l(x) ∈ L1(R+), thỏa mãn 1− e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ (3.15) có nghiệm duy nhất (f, g) trong ( L1(R+), L1(R+) ) được cho bởi các biểu thức f(x) = p(x)− ( q ∗ Fc ( k γ∗ 1 ϕ )) (x) + ( p ∗ Fc ξ ) (x)− (( q ∗ Fc (k γ∗ 1 ϕ) ) ∗ Fc ξ ) (x), (3.17) g(x) = q(x)− ( p ∗ Fc ( l γ∗ 1 ψ )) (x) + ( q ∗ Fc ξ ) (x)− (( p ∗ Fc (l γ∗ 1 ψ) ) ∗ Fc ξ ) (x). (3.18) Trong đó, ξ(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn( Fcξ ) (y) = e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) 1− e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) . (3.19) 20 b) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∫ ∞ 0 K10(x, u)g(u)du = p(x), g(x) + ∫ ∞ 0 K11(x, u)f(u)du = q(x), x > 0. (3.20) Trong đó K10(x, u) = 1 2pi ∫ ∞ 0 ϕ(v) [ θ2(x− 1, u, v + µ)− θ2(x+ 1, u, v + µ) ] dv, K11(x, u) = 1√ 2pi [ ψ(u+ x)− sign(u− x)ψ(|u− x|)], với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.5). Định lý 3.1.7 Giả sử rằng ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn 1− e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ (3.20) có nghiệm duy nhất (f, g) trong ( L1(R+), L1(R+) ) được cho bởi f(x) = p(x)− (q γ∗ 5 ϕ ) (x)− (p ∗ Fc ξ ) (x) + (( q γ∗ 5 ϕ ) ∗ Fc ξ ) (x), g(x) = q(x)− (ψ ∗ FsFc p ) (x)− (q ∗ FsFc ξ ) (x) + (( ψ ∗ FsFc p ) ∗ FsFc ξ ) (x). Trong đó ξ(x) ∈ L1(R+) là hàm thỏa mãn( Fcξ ) (y) = −e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1− e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) , 3.2 Giải phương trình vi-tích phân 3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai Xét phương trình vi-tích phân có dạng f(x)− f ′′(x) + (Tkf)(x) = g(x), x > 0, (3.21) f ′(0) = f(0) = 0. 21 Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cần tìm. Định lý 3.2.1 Nếu 1 + ( Lk ) (y) 6= 0, ∀y > 0, thì phương trình (3.21) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm có thể viết dưới dạng f(x) = √ pi 2 [( g(t) ∗ Fc e−t ) (x)− (( g(t) ∗ Fc e−t ) ∗ Fc q ) (x) ] , (3.22) trong đó q(x) ∈ L1(R+) là hàm được xác định bởi q(x) = Fc ( ( Lk ) (y) 1+ ( Lk ) (y) ) (x). 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân a)Xét phương trình vi-tích phân có dạng f(x) + ( Tkf ) (x) = g(x), x > 0, (3.23) f ′(0) = f(0) = 0. Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cần tìm. Định lý 3.2.2 Nếu k(x), k ′′ (x) ∈ L1(R+), k′(0) = k(0) = 0, với điều kiện 1 + L ( k + k ′′) (y) 6= 0, ∀y > 0 được thỏa mãn, thì phương trình (3.23) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = g(x)− (g ∗ Fc q ) (x), (3.24) ở đó q(x) ∈ L1(R+) là hàm được xác định bởi q(x) = Fc ( L ( k+k ′′) (y) 1+L ( k+k′′ ) (y) ) (x). b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng f(x) + d dx ( Tϕ,ψf ) (x) = g(x), x > 0. (3.25) Trong đó, ϕ(x) = ( ϕ1 ∗ L ϕ2 ) (x), ϕ1(x) ∈ H(R+), ϕ2(x) = ( sin t ∗ L sin t ) (x) và ψ(x) = ( sech t ∗ FsFc ψ1 ) (x), ψ1(x) ∈ L2(R+). Hàm g(x) cho trước trong L2(R+) và f(x) là hàm cần tìm. 22 Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn∣∣∣∣[1 + (y + y3)( sin y(Lϕ)(y)− (Fsψ)(y))]−1∣∣∣∣ 0. (3.26) Khi đó phương trình (3.25) có nghiệm duy nhất trong L2(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = g(x)− (q ∗ FsFc g ) (x), ở đó q(x) ∈ L2(R+) là hàm được xác định bởi ( Fcq ) (y) = (y + y3) [ sin y ( Lϕ ) (y)− (Fsψ)(y)] 1 + (y + y3) [ sin y ( Lϕ ) (y)− (Fsψ)(y)] . Kết luận chương 3 Ứng dụng từ các kết quả Chương 1 và Chương 2, ta nhận được: • Điều kiện cần và đủ giải được một lớp các phương trình tích phân. • Điều kiện đủ giải được một lớp hệ phương trình tích phân. • Điều kiện đủ giải được một lớp phương trình vi-tích phân. Các lớp phương trình và hệ phương trình trên đều cho nghiệm dưới dạng đóng. Nội dung chính của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và [4], trong Danh mục công trình đã công bố của luận án. 23 KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận án là: 1. Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine và Laplace. Nhận được tính chất toán tử của các tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch. Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng trong các không gian Lp(R+) và Lp(R+, ρ) tương ứng. 2. Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine- Laplace Tk1,k2 với hàm trọng trong L2(R+). Nhận được Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi là unita, điều kiện đủ để tồn tại biến đổi ngược. Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại một dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tk1,k2 cũng được chứng minh. 3. Nhận được ứng dụng giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân trong các không gian hàm L1(R+), L2(R+) và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng. 24