Luận án Chuyển pha kim loại - điện môi trong một số hệ tương quan đa thành phần trên mạng quang học

c với năng lượng riêng mới là . (4.26) Ta chạy vòng lặp (4.20) cho tới khi hội tụ. Sơ đồ khối tính số theo phương pháp lặp được cho trêm Hình 4.1. Nhập (4.13); (4.16); (4.25); xác suất (4.22, Bảng 4.1) (4.19). Sai (4.26) Nếu Đúng Kết thúc In: Hình 4.1. Sơ đồ khối tính số theo phương pháp lặp. Sau khi tính được hàm Green cho hạt nhẹ, DOS của hạt nhẹ được tính , (4.27) và số lấp đầy của hạt nhẹ được tính theo công thức (4.24). 4.3.1. Chuyển pha kim loại – điện môi trong mô hình Falicov – Kim ball ba thành phần tại lấp đầy một nửa Trước tiên, ta xem xét MIT trong FKM ba thành phần tại lấp đầy một nửa áp dụng CPA. Đối với Ucf = 2.0, Hình 4.2 biểu diễn DOS và Hình 4.3 biểu diễn số lấp đầy của các hạt fermion nhẹ hai thành phần khi Ucc nhận các giá trị khác nhau. Khi Ucc nhỏ, DOS tồn tại một vùng cấm tại mức Fermi (Hình 4.2(a)) tương ứng với đoạn nằm ngang trên Hình 4.3 tại ncσ = 1/2 và do đó, hệ ở pha điện môi. Hình 4.2. DOS của hạt nhẹ hai thành phần đối với Ucf = 2.0 ở trạng thái lấp đầy một nửa nf = 1/2. Ở trạng thái điện môi này, tương tác Coulomb tại một nút mạng giữa hạt nhẹ hai thành phần Ucc và hạt nặng một thành phần Ucf cản trở sự kết cặp của các hạt nặng và hạt nhẹ và do đó, mỗi vị trí mạng tinh thể là một hạt nặng hoặc một hạt nhẹ. Khi Ucc tăng lên, vùng cấm dần đóng lại và DOS ở mức Fermi trở nên hữu hạn. Điều đó cho thấy xuất hiện sự chuyển pha từ pha điện môi sang pha kim loại (Hình 4.2(b) và Hình 4.2(c)). Khi Ucc tăng, đoạn nằm ngang ncσ = 1/2 trên Hình 4.3 biến mất và đồng thời hình thành hai đoạn nằm ngang tại ncσ = 1/4 và ncσ = 3/4 tương ứng với tổng số lấp đầy n = 1 và n = 2. Hình 4.3. Số lấp đầy của hạt nhẹ hai thành phần là hàm của thế hóa học với Ucf = 2.0 tại lấp đầy một nửa nf = 1/2. Các đường nét đứt nằm ngang chỉ các giá trị = 1/4, = 1/2 và = 3/4. Đối với Ucc đủ lớn, số lấp đầy của hạt nhẹ ncσ xuất hiện thêm ​​một đoạn nằm ngang bổ sung ở ncσ = 1/2 và điều đó chỉ ra sự chuyển pha thứ hai từ kim loại sang điện môi. Điều này được chỉ ra trên Hình 4.2 (d) đối với Ucc = 4.0, khi đó DOS xuất hiện vùng cấm ở mức Fermi. Trong pha điện môi này, mỗi vị trí mạng được chiếm bởi một hạt nhẹ hai thành phần và tương tác đẩy Coulomb trên một nút giữa hai hạt nhẹ Ucc cản trở sự kết cặp của chúng. Trong trường hợp Ucf nhỏ, Hình 4.4 biểu diễn DOS và Hình 4.5 biểu diễn số lấp đầy của hạt nhẹ hai thành phần khi Ucc nhận các giá trị khác nhau đối với Ucf = 0.5. Khác với trường hợp Ucf lớn, khi Ucc nhỏ, hệ là kim loại. Tương quan yếu của hai hạt nhẹ không thể đẩy hệ thống ra khỏi trạng thái kim loại. Tuy nhiên, với Ucc lớn, tương tác giữa các hạt nhẹ trên một nút sẽ đưa hệ từ pha kim loại sang điện môi. Hình 4.4. DOS của hạt nhẹ hai thành phần đối với Ucf = 0.5 tại lấp đầy một nửa =1/2. Hình 4.5. Số lấp đầy của hạt nhẹ hai thành phần là hàm của thế hóa học đối với Ucf = 0.5 tại lấp đầy một nửa. Đường nét đứt nằm ngang chỉ giá trị = 1/2. Đồ thị DOS lúc này hình thành một vùng cấm ở mức Fermi (Hình 4.4(c) và Hình 4.4(d)) và đồ thị số lấp đầy cho hạt nhẹ xuất hiện đoạn nằm ngang tại ncσ = 1/2 (Hình 4.5). Trong trường hợp này, MIT không phụ thuộc vào Ucf và số lượng hạt nặng một thành phần. Hình 4.6. DOS của hạt nhẹ hai thành phần tại mức Fermi ở trạng thái lấp đầy một nửa nf = 1/2 là hàm của thế năng tương tác Ucc đối với Ucf = 2.0. Các giá trị tới hạn cho chuyển pha và thu được bằng phương pháp ngoại suy trong khoảng 1.0 < Ucc < 2.75. Các giá trị khi xảy ra chuyển pha được tìm thấy trên đồ thị DOS của hạt nhẹ hai thành phần tại mức Fermi. Hình 4.6 biểu diễn DOS của hạt nhẹ hai thành phần tại mức Fermi ở trạng thái lấp đầy một nửa đối với Ucf = 2.0. Khi Ucc tăng, hệ xuất hiện hai quá trình chuyển pha. Các giá trị tới hạn và thu được bằng phương pháp ngoại suy DOS tại mức Fermi trong khoảng Khi đó, chúng tôi tìm được các giá trị Ucc tới hạn và tại Ucf = 2.0. Lặp lại các bước làm tương tự đối với nhiều giá trị khác nhau của Ucf, ta thu được giản đồ pha của hệ tại lấp đầy một nửa như trên Hình 4.7. Khi Ucf < 1.0, tồn tại một MIT trong đó tương quan giữa các hạt nhẹ đưa hệ từ pha kim loại sang pha điện môi. Ngược lại, trong vùng Ucf ≥ 1.0, tồn tại hai MIT. Trong khi ở lần chuyển pha đầu tiên , tương quan giữa các hạt nặng và các hạt nhẹ đưa hệ từ điện môi sang kim loại thì ở lần chuyển pha thứ hai tương quan giữa các hạt tiếp tục đưa hệ sang pha điện môi. Hình 4.7. Giản đồ pha của hệ ở trạng thái lấp đầy một nửa nf = 1/2. 4.3.2. Chuyển pha kim loại – điện môi trong mô hình Falicov – Kim ball ba thành phần tại lấp đầy một phần ba Trong mục này, ta xét MIT trong FKM tại lấp đầy một phần ba (ncσ = nf = 1/3). Hình 4.8 chỉ ra sự phụ thuộc của số lấp đầy của các hạt fermion nhẹ hai thành phần ncσ vào thế hóa học µ đối với Ucf = 2.0. Các đoạn nằm ngang trên đồ thị xuất hiện tại ncσ = 1/3, 1/2, 2/3 và 5/6. Khi nhỏ, ngược lại với trường hợp lấp đầy một nửa, trong trường hợp lấp đầy một phần ba, hệ tồn tại ở pha kim loại. Khi Ucc tăng lên, tương tác Coulomb giữa các hạt nhẹ trên một nút mạng đưa hệ từ pha kim loại sang pha điện môi. Khi đó đồ thị DOS của các hạt fermion nhẹ hai thành phần hình thành một vùng cấm tại mức Fermi (Hình 4.9). Trong tính số, thế hóa học µ và mức năng lượng Ef của các hạt định xứ được điều chỉnh để duy trì nf = 1/3. Hình 4.8. (a) Số lấp đầy của hạt nhẹ hai thành phần là hàm của thế hóa học đối với Ucf = 2.0 tại nf = 1/3. Các đường nét đứt nằm ngang chỉ các giá trị và (b) Số lấp đầy của hạt nhẹ hai thành phần là hàm của thế hóa học đối với Ucf = 2.0 tập trung vào MIT tại Hình 4.9. DOS của hạt nhẹ hai thành phần đối với Ucf = 2.0 tại lấp đầy một phần ba = 1/3. Hình 4.10. Giản đồ pha của hệ ở trạng thái lấp đầy một phần ba = 1/3. Hình 4.10 mô tả giản đồ pha cho trường hợp lấp đầy một phần ba. Trong vùng Ucf 1.0, xảy ra MIT do tương tác Coulomb ngăn cản sự kết cặp giữa các hạt. Bên cạnh đó, có thể thấy các giá trị tới hạn UC tại điểm MIT tăng nhanh khi Ucf tiến tới giá trị 1.0, trong khi nó giảm từ từ khi Ucf tăng. 4.4. Kết luận chương 4 Với sự phát triển của thực nghiệm, mạng quang học với khả năng bẫy các nguyên tử siêu lạnh có sự mất cân bằng khối lượng đã đưa đến cho chúng ta hướng nghiên cứu mới về các mạng đa thành phần với nhiều kết quả thú vị. Trong chương 4, kết quả nghiên cứu về MIT trong FKM ba thành phần với các hạt fermion nhẹ hai thành phần và các hạt fermion nặng một thành phần đã được trình bày chi tiết tại lấp đầy một nửa và lấp đầy một phần ba. Sự mất cân bằng khối lượng dẫn đến gần đúng là ta có thể coi các hạt nặng định xứ trên các nút mạng, trong khi đó các hạt nhẹ có thể nhảy nút. Tại lấp đầy một nửa, khi Ucc tăng lên, có sự chuyển pha từ kim loại sang điện môi khi các giá trị của Ucf nhỏ. Ngược lại, khi Ucf lớn, tương tác Coulomb trên một nút của các hạt nhẹ sẽ đưa hệ từ pha điện môi sang pha kim loại và sau đó là sang pha điện môi. Tại lấp đầy một phần ba, MIT chỉ có thể quan sát được đối với tương tác Coulomb giữa các hạt là mạnh. Kết quả của chúng tôi về MIT trong FKM ba thành phần bằng cách tiếp cận CPA phù hợp tốt so với kết quả đã thu được bằng cách tiếp cận DMFT [49]. Tuy nhiên đối với bài toán hệ nhiều hạt, có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Mỗi cách tiếp cận có giới hạn áp dụng riêng. Để củng cố thêm tính tin cậy của kết quả thu được, cần xem xét bài toán qua nhiều phương pháp. Mặt khác, CPA đơn giản hơn về mặt phân tích và tính toán so với DMFT. Kết quả nghiên cứu khẳng định CPA là một gần đúng tốt khi áp dụng để nghiên cứu MIT trên các hệ tương quan nhiều thành phần. KẾT LUẬN Trong luận án này, chúng tôi trình bày các nghiên cứu về MIT trong các mô hình mở rộng của HM là HHM, IHM mất cân bằng khối lượng và FKM ba thành phần. Các nguyên tử siêu lạnh trên mạng quang học có thể mô phỏng các mô hình lí thuyết này. Do đó, các kết quả của luận án có thể được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Luận án đã nghiên cứu phát triển các phương pháp 2S–DMFT và CPA áp dụng cho các mô hình là mở rộng của HM. Kết quả thu được từ luận án phù hợp với các kết quả khi áp dụng các gần đúng phức tạp hơn như DMFT. Do đó, luận án góp phần hoàn thiện phương pháp luận trong lĩnh vực nghiên cứu. Nghiên cứu hoàn thiện phương pháp tính không nhiễu loạn là bài toán không tầm thường và luôn thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực hệ tương quan mạnh. Song song với việc đóng góp về phương pháp luận, luận án cũng thu được các kết quả khoa học có ý nghĩa. Thứ nhất, áp dụng CPA, chúng tôi tìm thấy bức tranh chuyển pha trong HHM tại lấp đầy một nửa và trạng thái cơ bản thuận từ. Dưới sự có mặt của tham số nhảy nút lân cận gần nhì, tương tác Coulomb sẽ đẩy hệ từ trạng thái điện môi Chern topo sang trạng thái kim loại khi U > UC1 và tiếp tục đẩy hệ từ pha kim loại sang pha điện môi Mott khi U > UC2. Graphene và silicene có cấu trúc hình học giống với HHM nên kết quả của luận án sẽ là cơ sở cho những nghiên cứu thực nghiệm trên các vật liệu này. Trong tương lai, mô hình có thể mở rộng thêm thế ion để mô tả ảnh hưởng của chất nền nuôi cấy silicene. Thứ hai, luận án đề xuất IHM mất cân bằng khối lượng và nghiên cứu MIT trong mô hình dưới ảnh hưởng của tham số mất cân bằng khối lượng, thế ion và tương tác Coulomb áp dụng 2S–DMFT. Trong IHM mất cân bằng khối lượng, tương tác tới hạn tăng khi thế ion tăng và với một giá trị cho trước của thế ion, tương tác tới hạn càng giảm khi sự mất cân bằng khối lượng càng tăng. Hơn nữa, luận án cũng chỉ ra khi tương tác tăng độ chênh lệch mật độ điện tích giữa hai mạng con giảm và tiến đến 0 khi tương tác tiến đến giá trị tới hạn. 2S–DMFT là phiên bản đơn giản hóa của DMFT khi giới hạn bể không tương tác chỉ chứa một nút. Kết quả của luận án khi áp dụng 2S–DMFT phù hợp với kết quả khi áp dụng DMFT trong các trường hợp giới hạn. Tuy nhiên, khi áp dụng 2S–DMFT, chúng tôi không tìm được giá trị chuyển pha từ điện môi vùng sang kim loại. Thứ ba, áp dụng CPA, chúng tôi thu được bức tranh MIT trong FKM ba thành phần tại các điều kiện lấp đầy. Tại lấp đầy một nửa, khi Ucf < 1.0, hệ xảy ra một lần chuyển pha từ kim loại sang điện môi khi Ucc đủ lớn và khi Ucf ≥ 1.0, hệ xảy ra hai lần chuyển pha và tồn tại pha kim loại giữa hai pha điện môi. Tại lấp đầy một phần ba, MIT chỉ xảy khi tương quan giữa các hạt là lớn. Kết quả của luận án cho thấy khi nghiên cứu MIT trong FKM ba thành phần thì CPA vẫn là một gần đúng tốt do nó cho kết quả phù hợp với DMFT và SB. Mô hình này có thể tiếp tục được mở rộng thêm tham số mất cân bằng khối lượng giữa hai thành phần chuyển động. Như vậy, luận án cho thấy việc nghiên cứu các hệ tương quan đa thành phần trên mạng quang học là phức tạp bởi khi có sự tham gia của các bậc tự do mới thì các gần đúng đã có trước đây trong vật lí hệ cô đặc (vốn còn đang phát triển) buộc phải có sự thay đổi. Tuy nhiên, các kết quả vật lí trên mạng quang học lại đặc biệt thú vị và phong phú. Việc tiếp tục nghiên cứu hệ tương quan đa thành phần trên mạng quang học một mặt sẽ giúp hoàn thiện các phương pháp tính không nhiễu loạn, mặt khác sẽ giúp khám phá những hiệu ứng vật lí mới. Đây là hướng nghiên cứu tiếp theo không chỉ của nhóm chúng tôi mà còn của nhiều nhóm trong nước và quốc tế. DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ THUỘC LUẬN ÁN ĐÃ CÔNG BỐ Công bố trên tạp chí chuyên ngành thuộc danh mục ISI [1] Le Duc Anh, Tran Minh Tien, Tran Thi Thanh Mai, Nguyen Thi Thao, Nguyen Thi Huong, Hoang Anh Tuan (2018), “Phase transitions in the Haldane–Hubbard model within coherent potential approximation”, Physica B: Condensed Matter, 532, 139–143. Các công bố trên tạp chí quốc gia [1] Nguyen Thi Hai Yen, Le Duc Anh, Hoang Anh Tuan, Nguyen Toan Thang, Tran Thi Thu Trang and Nguyen Thi Huong (2019), “Mott transition in the mas imbalanced ionic Hubbard Model at half filling”, Communications in Physics, 29, 305–312. [2] Nguyen Thi Huong, Le Duc Anh and Hoang Anh Tuan (2023), “Metal insulator transtitions in three–component Falicov–Kimball within coherent potential approximation”, Communications in Physics, 33, 31–40. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bethe H. (1928), “Theorie der Beugung von Elektronen an Kristallen”, Annalen Der Physik, 392, 55–129. 2. Sommerfeld A. (1928), “On the electron theory of metals based on Fermian statistics”, Journal of Physics, 47, 1–32. 3. Bloch F. (1929), “Remark on the electron theory of ferromagnetism and electrical conductivity”, Journal of Physics, 57, 545–555. 4. Wilson A. H. (1931), “The Theory of Electronic Semi–Conductors”, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 133, 458–491. 5. Wilson A. H. (1931), “The Theory of Electronic Semi–Conductors. II”, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 134, 277–287. 6. Fowler R. H. (1933), “An Elementary Theory of Electronic Semi–Conductors, and Some of Their Possible Properties”, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 140, 505–522. 7. Fowler R. H. (1933), “Notes on Some Electronic Properties of Conductors and Insulators”, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 141, 56–71. 8. Ashcroft N. W. and Mermin N. D. (1976). Solid State Physics, Philadelphia, PA: Saunders College Publishing. 9. De Boer J. H. and  Verwey E. J. W. (1937), “Semi–conductors with partially and with completely filled 3d–lattice bands”, Proceedings of the Physical Society, 49, 59–71. 10. Mott N. F. and Peierls R. (1937), “Discussion of the paper by de Boer and Verwey”, Proceedings of the Physical Society, 49, 72–73. 11. Imada M., Fujimori A., and Tokura, (1998), “Metal–insulator transitions”, Reviews of Modern Physics, 70, 1039. 12. Mott N. F. (1949), “The Basis of the Electron Theory of Metals, with Special Reference to the Transition Metals”, Proceedings of the Physical Society, Section A, 62, 416–422. 13. Mott N. F. (1956), “On the transition to metallic conduction in semiconductors”, Canadian Journal of Physics, 34, 1356–1368. 14. Mott N. F. (1961), “The transition to the metallic state”, Philosophical Magazine, 6, 287–309. 15. Gutzwiller M. C (1963), “Effect of Correlation on the Ferromagnetism of Transition Metals”, Physical Review Letters, 10, 159. 16. Hubbard J. (1963), “Electron correlations in Narrow Energy Bands”, Proceedings Of The Royal Society Of London. Series A, 276, 238. 17. Kanamori J., (1963), “Electron Correlation and Ferromagnetism of Transition Metals”, Progress of Theoretical Physics, 30, 275–289. 18. Izyumov Y. A. (1995), “Hubbard model of strong correlations”, Physics–Uspekhi, 38, 385–408. 19. Gebhard F., and Vollhardt D., (1987), “Correlation functions for Hubbard–type models: The exact results for the Gutzwiller wave function in one dimension”, Physical Review Letters, 59, 1472–1475. 20. Jarrell M. (1992), “Hubbard model in infinite dimensions: A quantum Monte Carlo study”, Physical Review Letters, 69, 168–171. 21. Nguyễn Toàn Thắng (2005). Lý thuyết hệ nhiều hạt, Bài giảng Cao học, Viện Vật lí. 22. Nguyễn Thị Tâm (2014). Hàm mật độ trạng thái của mô hình Hubbard bất đối xứng ở các gần đúng Hubbard I và thế kết hợp. Luận văn thạc sĩ khoa học Vật lí, Viện hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam, Viện Vật lí. 23. Kotliar G. and Vollhardt D. (2004), “Strongly Correlated Materials: Insights From Dynamical Mean–Field Theory”, Physics Today, 57, 53–59. 24. Keller G., Held K., Eyert V., et al. (2004), “Electronic structure of paramagneticV2O3: Strongly correlated metallic and Mott insulating phase”, Physical Review B, 70, 205116. 25. Tarruell L., and Sanchez–Palencia L., (2018), “Quantum simulation of the Hubbard model with ultracold fermions in optical lattices”, Comptes Rendus Physique, 19, 365–393. 26. Jördens R., Strohmaier N., Günter K., et al., (2008), “A Mott insulator of fermionic atoms in an optical lattice”, Nature, 455, 204–207. 27. Hofstetter W., Cirac J. I., Zoller P., et al., (2002), “High–Temperature Superfluidity of Fermionic Atoms in Optical Lattices”, Physical Review Letters, 89, 220407. 28. Esslinger T. (2010), “Fermi–Hubbard physics with atoms in an optical lattice”, Annual Review Of Condensed Matter Physics, 1, 129. 29. Bloch I., Dalibard J., and Zwerger W.  (2008), “Many–body physics with ultracold gases”, Reviews of Modern Physics, 80, 885. 30. Jotzu G., Messer M., Desbuquois R., et al., (2014), “Experimental realization of the topological Haldane model with ultracold fermions”, Nature, 515, 237 – 240. 31. Zheng W., Zhai H. (2014), “Floquet topological states in shaking optical lattices”, Physical Review A, 89, 061603. 32. Freericks J. K., Maska M. M., Hu A., et.al., (2010), “Improving the efficiency of ultracold dipolar molecule formation by first loading onto an optical lattice”, Physical Review A, 81, 011605. 33. Trenkwalder A., Kohstall C., Zaccanti M. , et al. (2011), “Hydrodynamic Expansion of a Strongly Interacting Fermi–Fermi Mixture”, Physical Review Letters, 106, 115304. 34. Jag M., Zaccanti M., Cetina M., et al., (2014), “Observation of a Strong Atom–Dimer Attraction in a Mass–Imbalanced Fermi–Fermi Mixture”, Physical Review Letters,  112, 075302. 35. Taie S., Takasu Y., Sugawa S., et al. (2010), “Realization of a SU(2)×SU(6) System of Fermions in a Cold Atomic Gas”, Physical Review Letters, 105, 190401. 36. Novoselov K.S., Geim A. K., Morozov S.V., et al. (2004), “Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films”, Science, 306, 666. 37. Novoselov K.S., Geim A. K., Morozov S.V., et al. (2005), “Two–dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene”, Nature, 438, 197. 38. Vogt P., De Padova P., Quaresima C., et al. (2012), “Silicene: compelling experimental evidence for graphenelike two–dimensional silicon”, Physical Review Letters, 108, 155501. 39. Kara A., Enriquez H., Seitsonen A. P., et al. (2012), “A review on silicene—New candidate for electronics”, Surface Science Reports, 67, 1–18. 40. Tao L., Cinquanta E., Chiappe D., et al. (2015), “Silicene field–effect transistors operating at room temperature”, Nature Nanotechnology,10, 227–231. 41. Haldane F. D. M. (1988), “Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed–Matter Realization of the "Parity Anomaly"”, Physical Review Letters, 61, 2015. 42. Nguyen Hong Son, Tran Minh Tien (2013), “Correlation–driven phase transition in a Chern insulator”, Physical Review B, 88, 165132. 43. Craco L., Lombardo P., Hayn R., et al. (2008), “Electronic phase transitions in the half–filled ionic Hubbard model”, Physical Review B, 78, 075121. 44. Winograd E.A., Chitra R.,Rozenberg M. J. (2011), “Orbital–selective crossover and Mott transitions in an asymmetric Hubbard model of cold atoms in optical lattices”, Physical Review B, 84, 233102. 45. Zhuotao Xie, Ming Zhao, Hantao Lu, et al. (2023), “Quench dynamics in the one–dimensional mass–imbalanced ionic Hubbard model”, Physical Review B, 107, 195147. 46. Spiegelhalder F. M., Trenkwalder A., Naik D., et al. (2009), “Collisional Stability of 40K Immersed in a Strongly Interacting Fermi Gas of 6Li”, Physical Review Letters, ,103, 223203. 47. Gorelik E. V. and Bl¨umer N. (2009), “Mott transitions in ternary flavor mixtures of ultracold fermions on optical lattices”, Physical Review A, 80, 051602(R). 48. Inaba K., Miyatake S. Y., and Suga S. I. (2010), “Mott transitions of three–component fermionic atoms with repulsive interaction in optical lattices”, Physical Review A, 82, 051602(R). 49. Nguyen Duong Bo and Tran Minh Tien (2013), “Mott transitions in three–component Falicov–Kimball model”, Physical Review B, 87, 045125. 50. Potthoff M. (2001), “Two–site dynamical mean–field theory”, Physical Review B, 64, 165114. 51. Dao T. L., Ferrero M., Cornaglia P. S., et al. (2012), “Mott transition of fermionic mixtures with mass imbalance in optical lattices”, Physical Review A, 85, 013606. 52. Hoang Anh Tuan, Le Duc Anh (2016), “Critical behavior near the Mott transition in the half–filled asymmetric Hubbard model”, Physica B: Condensed Matter, 485, 121. 53. Plischke M. (1972), “Coherent–Potential–Approximation Calculation on the Falicov–Kimball Model of the Metal–Insulator Transition”, Physical Review Letters, 28, 361. 54. Le Duc Anh and Hoang Anh Tuan (2012), “Mott Transitions in the 2–band Hubbard Model: A Coherent Potential Approximation Study”, Communications in Physics, 22, 223. 55. Laad, M. S. (1994), “Local approach to the one–band Hubbard model: Extension of the coherent–potential approximation”, Physical Review B, 49, 2327. 56. Le Duc Anh (2013), “Mott transition in the half–filled Hubbard model on the honeycomb lattice within coherent potential approximation”, Modern Physics Letters B, 27,1350046. 57. Đỗ Ngọc Uấn (2003). Vật lí chất rắn đại cương, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội. 58. Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình (1992). Vật lí chất rắn, NXB giáo dục. 59. De Vaulx C., Julien M.H., Berthier C., et al. (2007), “Electronic Correlations in CoO2, the Parent Compound of Triangular”, Physical Review Letters 98, 246402. 60. Kane C. L. (2013), Topological Band theory and the Z2 Invariant, Department of physics and Astronomy, University of pennsylvania, Philadẹlphia, PA, 19104, USA. 61. Klitzing K. v., Dorda G., and Pepper M. (1980), “New Method for High–Accuracy Determination of the Fine–Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance”. Physical Review Letters, 45, 494. 62. Hasan M. Z. and Kane C. L. (2010), “Colloquium: Topological Insulators”, Reviews of Modern Physics, 82, 3045–3067. 63. Thouless D. J., Kohmoto M., Nightingale M. P., et al. (1982), “Quantized Hall Conductance in a Two–Dimensional Periodic Potential”, Physical Review Letters,  49, 405. 64. Kohmoto M. (1985), “Topological Invariant and the Quantization of the Hall Conductance”, Annals of Physics, 160(2), 343 –354. 65. Greiner M. and Folling S. (2008), “Condensed–matter physics: Optical lattices”, Nature, 453 (7196), 736 – 738. 66. Georgescu I. M., Ashhab S., and Nori F., (2014), “Quantum simulation”, Reviews of Modern Physics, 86, 153. 67. Gross C., and Bloch I. (2017), “Quantum simulations with ultracold atoms in optical lattices”, Science, 357(6355), 995–1001. 68. Bloch I. (2005), “Ultracold quantum gases in optical lattices”, Nature Physics, 1, 23–30. 69. Jesenko S. (2010), “Ultracold atoms in optical lattice”, Physics Seminar, University of Ljubljana, Faculty of mathematics and physics. 70. Grimm R., Weidemuller M. (2000), “Optical Dipole Traps for Neutral Atoms”, Advances In Atomic, Molecular, and Optical Physics, 42, 95–170. 71. Winoto S., DePue M., Bramall N., et al. (1999), “Laser cooling at high density in deep far–detuned optical lattices”, Physical Review A, 59, R19(R). 72. DeMarco B., Jin D.S. (1999), “Onset of Fermi degeneracy in a trapped atomic gas”, Science, 285, 1703–1706. 73. Truscott A. G., Strecker K.E., McAlexander W.I., et al. (2001), “Observation of Fermi pressure in a gas of trapped atoms”, Science, 291, 2570–2572. 74. Schreck F., Khaykovich L., Corwin K. L., et al. (2001), “Quasipure Bose–Einstein condensate immersed in a Fermi sea”, Physical Review Letters, 87, 080403. 75. McNamara J.M., Jeltes T., Tychkov A. S., et al. (2006), “Degenerate Bose–Fermi mixture of metastable atoms”, Physical Review Letters, 97, 080404. 76. Fukuhara T., Takasu Y., Kumakura M., et al. (2007), “Degenerate Fermi gases of ytterbium”, Physical Review Letters, 98, 030401. 77. DeSalvo B.J., Yan M., Mickelson P.G., et al. (2010), “Degenerate Fermi gas of 87Sr”, Physical Review Letters, 105, 030402. 78. Tey M.K., Stellmer S., Grimm R., et al. (2010), “Double–degenerate Bose–Fermi mixture of strontium”, Physical Review A, 82, 011608. 79. Aikawa K., Frisch A., Mark M., et al. (2014), “Reaching Fermi degeneracy via universal dipolar scattering”, Physical Review Letters, 112, 010404. 80. Naylor B., Reigue A., Maréchal E., et al. (2015), “Chromium dipolar Fermi sea”, Physical Review A, 91, 011603(R). 81. Chin C., Grimm R., Julienne P., et al. (2010), “Feshbach resonances in ultracold gases”, Reviews of Modern Physics, 82, 1225–1286. 82. Quintanilla J. and Hooley C. (2009), “The strong–correlations puzzle”, Physics World, 22(06), 32–37. 83. Lewenstein M., Sanpera A., Ahufinger V., et al. (2007), “Ultracold atomic gases in optical lattices: mimicking condensed matter physics and beyond”, Advances In Physics, 56, 243–379. 84. Lewenstein M., Sanpera A., Ahufinger V. (2012), Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating Quantum Many–Body Systems. Oxford University Press, Oxford, UK. 85. Phillips W.D. (1998), “Nobel lecture: laser cooling and trapping of neutral atoms”, Reviews of Modern Physics, 70, 721–741. 86. Ketterle W., Zwierlein M.W. (2008), “Making probing and understanding ultracold Fermi gases”, La Rivista del Nuovo Cimento, 31, 247–422. 87. Tung–Lam Dao (2008), Strongly Correlated Ultracold Gases in Disordered Optical Lattices. Centre de Physique Théorique Ecole Polytechnique. 88. Lee Kean Loon (2010), Ultracold fermions in a honeycomb optical lattice. NUS Graduate School for Integrative Sciences and Engineering National University of Singapore. 89. Nguyễn Văn Liễn (2003). Hàm Green trong vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. 90. Shiba H. (1971), “A Reformulation of the Coherent Potential Approximation and Its Applications”, Progress of Theoretical Physics, 46, 77–94. 91. Georges A. (2016), “The beauty of impurities: Two revivals of Friedel's virtual bound–state concept”, Comptes Rendus Physique,17, 430–446. 92. Metzner W.,and Vollhardt D. (1989), “Correlated lattice fermions in d= dimensions”, Physical Review Letters, 62,324. 93. Georges A., and Kotliar G. (1992), “Hubbard model infinite dimensions”, Physical Review B, 45, 6479. 94. Georges A., Kotliar G., Krauth W., et al. (1996), “Dynamical mean–field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions”, Reviews of Modern Physics, 68, 13. 95. Dobrosavljevic V., Trivedi N., and Valles J. M. (2000), Conductor Insulator Quantum Phase Transitions. Oxford Scholarship Online. 96. Brinkman W.F., Rice T.M. (1970), “Application of Gutzwiller’s Variational Method to the Metal–Insulator Transition”, Physical Review B, 2(10), 4302– 4304. 97. Caffarel M. and Krauth W. (1994), “Exact diagonalization approach to correlated fermions in infinite dimensions: Mott transition and superconductivity”, Physical Review Letters, 72, 1545. 98. Potthoff M. (2000), “Correlated electrons at metal surfaces”, Habilitation thesis, Humboldt–University Berlin. 99. Bulla R. (1999), “Zero Temperature Metal–Insulator Transition in the Infinite–Dimensional Hubbard Model”, Physical Review Letters, 83, 136. 100. Rowlands D. A., and Zhang, Y. Z. (2014), “Disappearance of the Dirac cone in silicene due to the presence of an electric field”, Chinese Physics B, 23, 037101. 101. Arun V. S., Sohal R., Hickey C. et al. (2016), “Mean field study of the topological Haldane–Hubbard model of spin 1/2 fermions”, Physical Review B, 93, 115110. 102. Wang Z., and Zhang S.C. (2012), “Simplified Topological Invariants for Interacting Insulators”, Physical Review X, 2, 031008. 103. Fukui T., Hatsugai Y., and Suzuki, H. (2005), “Chern Numbers in Discretized Brillouin Zone: Efficient Method of Computing (Spin) Hall Conductances”, Journal of the Physical Society of Japan, 74, 1674 – 1677. 104. Wu J., Faye J. P. L., Sénéchal D., et al. (2016), “Quantum cluster approach to the spinful Haldane–Hubbard model”, Physical Review B, 93, 075131. 105. Vanhala T. I., Siro T., Liang L., et al. (2016), “Topological Phase Transitions in the Repulsively Interacting Haldane–Hubbard Model”, Physical Review Letters, 116, 225305. 106. Imriška J., Wang L., and Troyer M.  (2016), “First–order topological phase transition of the Haldane–Hubbard model”, Physical Review B, 94, 035109. 107. Hemmerich A., Schropp D., and Hänsch T. W. (1991), “Light forces in two crossed standing waves with controlled time–phase difference”, Physical Review A, 44, 1910. 108. Garg A., Krishnamurthy H. R., and Randeria M., (2006), “Can Correlations Drive a Band Insulator Metallic?”, Physical Review Letters, 97, 046403. 109. Wille E., Spiegelhalder F. M., Kerner G., et al. (2008), “Exploring an Ultracold Fermi–Fermi Mixture: Interspecies Feshbach Resonances and Scattering Properties of 6Li and 40K”, Physical Review Letters, 100, 053201. 110. Costa L., Brachmann J., Voigt A. C., et al. (2010), “s–Wave Interaction in a Two–Species Fermi–Fermi Mixture at a Narrow Feshbach Resonance”, Physical Review Letters, 105, 123201. 111. Falicov L. M. and Kimball J. C. (1969), “Simple Model for Semiconductor–Metal Transitions: Sm and Transition–Metal Oxides”, Physical Review Letters, 22, 997. 112. Portengen T., Östreich T., and Sham L. J. (1996), “Theory of electronic ferroelectricity”, Physical Review B, 54, 17452. 113. Tran Minh Tien (2003), “Charge ordered ferromagnetic phase in manganites”, Physical Review B, 67, 144404. 114. Phan Van Nham and Tran Minh Tien (2005), “Doping change and distortion effect on double–exchange ferromagnetism”, Physical Review B, 72, 214418. 115. Brandt U., Fledderjohann A., and Hulsenbeck G. (1990), “New phase in a spin 1/2 Falicov–Kimball model”, Zeitschrift für Physik B Condensed Matter, 81, 409. 116. Freericks J. K. and Zlatic V. (2003), “Exact dynamical mean–field theory of the Falicov–Kimball model”. Reviews of Modern Physics, 75, 1333. 117. Van der Rest J., and Brouers F.  (1981), “Spin susceptibility of the doubly degenerate Hubbard model”, Physical Review B, 24, 450. PHỤ LỤC Hàm Wannier Hàm Wannier tập trung gần các nguyên tử (1) Nếu chỉ xét một vùng (2) Biến đổi ngược của (1) ta có (3) Hàm Wannier có tính chất trực giao (4) Biểu diễn toán tử trường qua các toán tử sinh hủy trạng thái Wannier (5) Tức là . (6) Biến đổi ngược lại ta có (7) Từ tính chất phản giao hoán của các toán tử và suy ra các hệ thức phản giao hoán tương tự cho toán tử sinh hủy của các trạng thái Wannier (8)