Luận văn Nghiên cứu Didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong Hình học lớp 10

I: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh 61 cụ vectơ. Sách không đƣa ra cách thức nhận biết bài toán nào thì có thể giải đƣợc bằng công cụ này. - Thống kê số lƣơng bài tập loại 3 : Loại BT BT chính BT làm thêm TS loại 3 T6 2 0 18 T7 2 0 T8 1 0 T9 2 0 T10 0 1 T11 1 1 T12 2 1 T13 0 2 T14 3 0 (Bảng 4) Theo bảng thống kê ở trên, chúng ta nhận thấy : - Trong các kiểu nhiệm vụ thuộc loại 3 thì kiểu nhiệm vụ TI2 (Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc) có tổng số bài tập (bao gồm bài tập chính và bài tập làm thêm) nhiều hơn các kiểu nhiệm vụ khác. Kiểu nhiệm vụ T8 (chứng minh ba điểm thẳng hàng) tuy chỉ có một bài nhƣng do nó còn xuất hiện trong các kiểu nhiệm vụ T9 (Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng), T10 (Chứng minh một đƣờng thẳng di động đi qua một điểm cố Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh 62 định) và T11 (Chứng minh các đƣờng thẳng đồng quy) nhƣ là một bƣớc trung gian khi giải các bài toán thuộc ba kiểu nhiệm vụ này. Do đó có thể nói các bài toán liên quan đến sự thẳng hàng cũng chiếm một số lƣợng khá lớn so với các loại khác. - Nhận xét trên đây giúp chúng tôi trong việc chọn các bài toán thuộc T8, T12 để làm thực nghiệm, nhằm tìm hiểu khả năng của học sinh trong việc vận dụng công cụ vectơ trong việc giải các dạng toán có số lần gặp nhiều nhất trong sách. Bảng thống kê ngôn ngữ phát biểu và kỹ thuật giải của các bài toán thuộc loại 3 Ngôn ngữ phát biểu bài toán Kỹ thuật Vectơ Tọa độ Hình học Dùng vectơ 0 0 14 Dùng phƣơng pháp vectơ- tọa độ 0 4 0 (Bảng 5) Theo bảng trên, chúng ta thấy - Hầu hết các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ đƣợc liệt kê trong loại 3 đƣợc phát biểu bằng ngôn ngữ hình học, chỉ có bốn bài đƣợc phát biểu dƣới dạng tọa độ. - Các bài toán đƣợc phát biểu bằng tọa độ thuộc loại 3 đều giải bằng phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Nhận xét chung về bài tập của ba loại : chúng tôi chỉ xét bài tập chính (39 bài) Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh 63  Về các dạng toán: Nghiên cứu đặc trƣng của vectơ Tính toán Chứng minh Tìm tập hợp điểm 4 5 Đẳng thức vectơ Sự kiện hình học 7 15 8 (Bảng 6) - Số lƣợng bài tập tính toán bằng công cụ vectơ quá ít (5/39) và chỉ tập trung vào hai kiểu nhiệm vụ "tính tích vô hƣớng của hai vectơ" và "tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng". Do đó có thể nói khi cần phải tính toán học sinh ít khi nghĩ đến việc dùng công cụ vectơ. - Dạng toán chứng minh (bao gồm chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc một sự kiện hình học) • Số lƣợng bài tập thuộc dạng này chiếm một tỉ lệ rất lớn (23/39) trong tổng số bài tập chính của cả ba loại. Điều này chứng tỏ rằng đây là dạng toán trọng tâm của chƣơng trình. • Dạng toán chứng minh một đẳng thức vectơ có số lƣợng bài tập nhiều hơn dạng toán chứng minh một sự kiện hình học. Các bài tập chứng minh một đẳng thức vectơ thƣờng có giả thiết là một đẳng thức vectơ (T2) hoặc một sự kiện hình học liên quan đến trung điểm một đoạn thẳng hoặc trọng tâm của tam giác (T4). Không có bài tập nào trong đó giả thiết cho một đẳng thức về độ dài có dạng MA = kMB với k ≠ 1 nhƣ trong sách năm 1990. Chẳng hạn bài tập sau đây (Bài 4 trang 22 sách giáo khoa hình học 10 năm 1990) Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh 64 Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng Trong bài tập trên M không phải là trung điểm của BC nên không thể dùng hệ thức trung điểm để giải quyết. Để giải bài toán này trƣớc hết các em cần phải chuyển đẳng thức độ dài MB = 2MC sang đẳng thức vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Sau đó dùng định lý về điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k hoặc dùng quy tắc 3 điểm để giải. Bài tập loại này không những giúp học sinh rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ mà còn giúp các em nắm vững khái niệm phƣơng, hƣớng của vectơ cũng nhƣ hiểu đƣợc có sự khác biệt khi làm toán trên độ dài và trên vectơ (quy tắc 3 điểm chỉ áp dụng đƣợc đối với vectơ chứ không thể áp dụng trên độ dài) • Dạng toán chứng minh một sự kiện hình học gồm tất cả 7 kiểu nhiệm vụ nhƣng chỉ có 8 bài tập. Nhƣ vậy bình quân mỗi kiểu nhiệm vụ thuộc dạng toán này chỉ có 1 bài tập. Phải chăng sách hình học năm 2000 chỉ muốn giới thiệu với học sinh các dạng toán có thể giải bằng công cụ vectơ chứ không đặt nặng yêu cầu rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học thuần túy.  Về mức độ khó của các bài tập Các bài tập chính trong sách năm 2000 nói chung không khó. Đa số các bài tập đƣợc nêu trong các kiểu nhiệm vụ thuộc loại 2 (bài tập chuyển ngôn ngữ) và loại 3 (bài tập sử dụng công cụ vectơ để giải) chí liên quan đến hệ thức trung điểm và hệ thức trọng tâm. Không có bài tập nào liên quan đến định lý về điểm chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trƣớc. Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh 65  Về kỹ thuật giải: Kỹ thuật giải của tất cả các dạng toán đều không đƣợc nêu một cách tƣờng minh. Trong các lời giải, ngƣời ta cũng không giải thích ở các phép biến đổi.  Về công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải: - Một số nội dung lý thuyết thƣờng dùng khi giải toán bằng công cụ vectơ không đƣợc trình bày thành các kiến thức giáo khoa mà đƣợc giới thiệu qua các ví dụ hoặc các bài tập nhỏ. Các bài toán nhỏ này có chức năng nhƣ một bài toán phụ để giải một số bài toán lớn khác. Sau khi giải các bài toán nhỏ này nó đƣợc xem nhƣ một định lý đƣợc công nhận không phải chứng minh lại khi áp dụng nó để giải các bài toán khác. Đó là các bài toán sau: ♦ Nếu O là trung điểm AB thì: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ♦ Hai tam giác ABC và A'B'C có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ♦ Các hằng đẳng thức : Nếu làm nhƣ vậy thì sẽ nảy sinh một vấn đề là kết quả của bài toán nào thì đƣợc sử dụng nhƣ một định lý để giải quyết các bài tập khác mà không cần chứng minh lại. Bởi vì trong thực tế khi giải toán, học sinh thƣờng không đƣợc dùng kết quả của bài toán này để làm bài toán khác mà chỉ đƣợc dùng kết Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh 66 quả của các câu trƣớc để giải các câu sau trong cùng một bài toán. Vì vậy nhiệm vụ của giáo viên là phải thể chế hóa tri thức nghĩa là đƣa cho kiến thức đƣợc xây dựng một cơ chế của tri thức nhằm giúp học sinh phi cá nhân hóa lại, phi hoàn cảnh hóa lại những kiến thức mà họ đã tạo ra, nhằm nhận ra trong đó những điều có tính phổ dụng, những kiến thức mới có thể sẽ đƣợc dùng trong những trƣờng hợp khác. - Định lý về việc biểu diễn một vectơ bất kỳ qua một cơ sở không đƣợc trình bày một cách tổng quát. Sách hình học 10 năm 2000 chỉ đề cập đến việc biểu diễn một vectơ tùy ý trong mặt phẳng tọa độ qua các vectơ đơn vị trên hai trục. Có lẽ do cách trình bày nhƣ vậy nên trong sách hình học năm 2000 không có dạng toán biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ cho trƣớc. Điều này gây khó khăn lớn cho học sinh nếu muốn dùng công cụ vectơ để giải toán hình học bởi vì trong phần lớn các lời giải dùng công cụ vectơ có bƣớc chọn một hệ vectơ gốc và biểu diễn một số vectơ nào đó qua hệ này. IV. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu Từ kết quả phân tích ở trên, chúng tôi đƣa ra kết luận sau đây : Vai trò của vectơ trong Hình học lớp 10 ở cả hai chƣơng trình 1989 và 1999 không có gì khác biệt. Vectơ đƣợc dùng để xây dựng khái niệm tọa độ điểm; tọa độ vectơ đối với một trục hoặc một hệ trục tọa độ Descartes vuông góc. Nó còn đƣợc dùng để chứng minh một định lý trong bài hệ thức lƣợng trong tam giác và một số tính chất của phép dời hình. Mặt khác, vectơ còn đƣợc sử dụng nhƣ là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học. Chúng tôi nhận thấy rằng về cơ bản, các dạng toán có sử dụng công cụ vectơ để giải ở hai bộ sách năm 1990 và sách năm 2000 hầu nhƣ giống nhau, chỉ có một khác biệt nhỏ là trong bộ sách năm 2000 có dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng mà trong bộ sách năm 1990 không có. Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh 67 Tuy nhiên cách trình bày phƣơng diện công cụ của vectơ trong việc giải bài tập ở hai bộ sách có sự khác nhau khá rõ nét. Có lẽ do yêu cầu tinh giản lý thuyết nên trong bộ sách năm 2000 một số định lý dùng để giải bài tập chỉ đƣợc giới thiệu nhƣ những ví dụ hoặc bài tập nhỏ không đƣợc thể chế thành một kiến thức giáo khoa. Trong sách năm 2000 ngƣời ta cũng không nêu "các dạng toán thƣờng gặp" và phƣơng pháp giải các dạng toán đó nhƣ trong sách năm 1990. Số lƣợng các bài toán hình học thuần túy đƣợc giải bằng công cụ vectơ quá ít (trung bình số lƣợng bài tập chính ở mỗi kiểu nhiệm vụ chƣa đến 2 bài) nên học sinh chƣa có nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng giải toán bằng công cụ vectơ. Từ các kết luận rút ra từ việc phân tích phƣơng diện công cụ của véc tơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa cho phép chúng tôi đƣa ra hai giả thuyết nghiên cứu sau đây : 1. Học sinh chƣa thƣờng xuyên nghĩ đến việc sử dụng vectơ để giải quyết các bài toán đƣợc phát biểu dƣới dạng ngôn ngữ hình học thuần túy. 2. Một trong những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ để giải toán là không biết chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt đến kết quả mong muốn. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 68 CHƢƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Mở đầu Để xem xét tính thỏa đáng của hai giả thuyết trên, chúng tôi đã soạn ba bài toán để làm thực nghiệm. Cả ba bài đều đƣợc phát biểu bằng ngôn ngữ hình học thuần túy. Bài toán 1 và 2 thuộc những dạng toán đƣợc gặp nhiều hơn trong số những dạng toán có sử dụng công cụ vectơ để giải. Đó là dạng toán liên quan đến sự vuông góc và sự thẳng hàng. Chúng tôi đã lựa chọn những bài toán thuộc các dạng toán này vì muốn nghiên cứu xem liệu ngay với cả các dạng toán đã từng đƣợc đƣa ra nhằm mục đích luyện cho học sinh sử dụng vectơ để giải thì học sinh có nghĩ đến công cụ vectơ không. Bài toán thứ 3 liên quan đến nhiệm vụ chứng minh 2 đƣờng thẳng song song là một kiểu nhiệm vụ không đƣợc trình bày trong sách giáo khoa nhƣng đây là kiểu nhiệm vụ tƣơng tự với các kiểu nhiệm vụ liên quan đến sự thẳng hàng nên vẫn đƣợc chúng tôi chọn làm thực nghiệm nhằm tìm hiểu xem học sinh có biết sử dụng công cụ vectơ để giải các dạng toán tƣơng tự với các dạng toán đã từng gặp trong chƣơng trình hay không ? - Hình thức thực nghiệm là cho học sinh làm bài cá nhân trên tờ giấy làm bài và giấy nháp mà chúng tôi phát sẵn. Bài làm của các em sẽ đƣợc thu lại để phân tích. - Thời gian làm mỗi bài là 60 phút. - Thực nghiệm đƣợc tiến hành với 211 học sinh lớp 10 của ba trƣờng Phổ thông Trung học thuộc địa bàn thành phố Hồ Chí Minh. • Bài 1 (yêu cầu chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc) đƣợc làm thực nghiệm trên 80 học sinh (Lớp 10A3 Trƣờng Trần Đại Nghĩa và 10A2 Trƣờng Lƣơng Văn Can) Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 69 • Bài 2 (yêu cầu chứng minh ba điểm thẳng hàng) đƣợc làm thực nghiệm trên 67 học sinh (Lớp 10A3 Trƣờng Trần Đại Nghĩa và 10A5 Trƣờng Lƣơng Văn Can) • Bài 3 (yêu cầu chứng minh hai đƣờng thẳng song song) đƣợc làm thực nghiệm trên 64 học sinh (Lớp 10CA Trƣờng Lê Hồng Phong và 10A1 Trƣờng Lƣơng Văn Can) I/ Các bài toán thực nghiệm Bài 1 : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh AC⊥BM. Hãy tìm ít nhất ba lời giải cho bài toán trên. Bài 2: Cho tam giác ABC. M là trung điểm BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN = AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI = BN. Chứng minh A, I, M thẳng hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên. Bài 3: Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD sao cho hệ thức AB = kCD (k là số thực tùy ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và N là điểm trên cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh AM // NC. Hãy tìm ít nhất ba lời giải cho bài toán trên. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 70 II/ Phân tích A-PRIORI các bài toán trên II.1. Phân tích a-priori bài toán 1 : 1/ Kiến thức liên quan : - Tam giác đồng dạng - Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông - Hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn - Tỉ số lƣợng giác - Tích vô hƣớng của hai vectơ 2/ Biến didactic : Biến 1 - Cho độ dài AB, AD hay chỉ cho mối liên hệ giữa độ dài AB và AD. Nếu cho AB, AD thì việc tính toán độ dài các đoạn khác dễ dàng hơn, đồng thời cũng dễ thấy các tỉ số lƣợng giác của các góc hoặc dễ nhận ra các tam giác đồng dạng. Cách chọn này s4 làm giảm khó khăn cho các chiến lƣợc : tỉ số lƣợng giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lƣợng trong tam giác, hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn... Biến 2 - Hình thức đặt câu hỏi: - Giữ nguyên giả thiết bài toán. Yêu cầu chứng minh AC ⊥ BM hay yêu cầu tính ̂. Cách hỏi trƣớc có thể làm cho chiến lƣợc vectơ dễ xuất hiện hơn. Nếu yêu cầu tính ̂ thì học sinh ít nghĩ đến việc dùng công cụ vectơ để giải vì trong sách hiện hành không có kiểu nhiệm vụ tính số đo một góc bằng công cụ vectơ. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 71 - Thay AD = √ AB bởi AD =xAB (x > 0) và yêu cầu tìm x để AC ⊥ BM. Cách đặt câu hỏi này khiến học sinh nghĩ đến phƣơng pháp tổng hợp nhiều hơn là vectơ. Bởi vì thƣờng khi muốn tính toán học sinh ít dùng vectơ. Biến 3 - Số lời giải : Nếu yêu cầu học sinh giải nhiều cách thì chúng tôi hy vọng trong số đó có cách giải bằng công cụ vectơ. 3/ Những chiến lƣợc có thể : a. Chiến lƣợc vectơ : = -AB 2 + = -AB 2 + AB 2 = 0 ⇒ AC ⊥ BM b. Chiến lƣợc tỉ số lƣợng giác : CMR một trong bốn tỉ số lƣợng giác của 2 góc ̂ và ̂ bằng nhau. Chẳng hạn đpcm. c. Chiến lƣợc tam giác đồng dạng : ⇒ ∆MAB ~ ∆CDA Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 72 Mà nên Vậy AC ⊥ BM. d. Chiến lƣợc hệ thức lƣợng trong tam giác : C1 : Vẽ hình bình hành ACBE Mà AB là đƣờng cao AEBM nên BM⊥ BE ⇒ BM⊥BE ⇒ BM ⊥ AC C2 : Chứng minh BI.BM = AB2 ⇒ AI là đƣờng cao của A vuông BAM => AC ⊥ BM. C3 : Chứng minh BI.IM = AI2 : ⇒ BI.IM = AI2 ⇒ AI là đƣờng cao ∆ vuông BAM ∆AC ⊥ BM. C4: Chứng minh Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 73 (xem C3) ⇒ p C5 : Chứng minh AB.AM = AI.BM ⇒ AB.AM = AI.BM ⇒ AI ⊥BM ⇒ AC ⊥ BM. C6 : Chứng minh IA2 + IB2 = AB2: ⇒ AIB vuông t i J ⇒ ⊥ e. Chiến lƣợc hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn : Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 74 ⇒ tứ giác MDCI là tứ giác nội tiếp f. Chiến lƣợc tính chất đƣờng trung tuyến của A vuông : I là trọng tâm AABD ⇒ DI kéo dài cắt AB tại trung điểm E của AB ⇒ ∆AIB vuông tại I ⇒ BM ⊥ AC. g. Chiến lƣợc vectơ - tọa độ : Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ : A(0; 0);B(0; 1);C(√ ,1) h. Chiến lƣợc tọa độ : Chọn hệ trục tọa độ nhƣ ở chiến lƣợc g, ta có : Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : có hệ số góc Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 75 Phƣơng trình đƣờng thẳng BM : có hệ số góc ⇒ k1.k2 = -1 ⇒ AC⊥BM. II.2. Phân tích a-priori bài toán 2 : 1/ Kiến thức liên quan : - Học sinh đã học xong toàn bộ chƣơng trình lớp 10. Do đó có thể vận dụng kiến thức của cả chƣơng trình cấp II lẫn chƣơng trình hình học lớp 10 để giải quyết bài toán, trong đó có các kiến thức liên quan đến bài này là : + Định lý Thales. + Tam giác đồng dạng. + Các phép toán : cộng, trừ vectơ; nhân một vectơ với một số. 2/ Biến Didactic : Biến 1- Giá trị của k : Bài toán có thể phát biểu tổng quát hơn bằng cách cho và (k > 1). Nếu cho k là số lẻ thì học sinh nghĩ đến dùng đƣờng trung bình nhiều hơn các công cụ khác bởi vì khi đó nếu lấy E là trung điểm NC và gọi I' là giao điểm của AM và BN thì IN là đƣờng trung bình của ∆AME và ME là đƣờng trung bình của tam giác CBN. Lúc này ta dễ dàng chứng minh đƣợc ⇒ ’ I. Nếu cho k là số chẩn thì việc tính toán phức tạp hơn. Bài toán thực nghiệm này nêu một trƣờng hợp cụ thể ứng với k chẵn là k = 4. Chúng tôi không cho k tổng quát vì sợ bài toán quá khó. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 76 Biến 2 - Hình thức đặt câu hỏi: Đối với bài 2 ngƣời ta có thể cho trƣớc hệ thức BI = BN và yêu cầu chứng minh 3 điểm A, I, M thẳng hàng, cũng có thể gọi I là giao điểm của AM và BN, và yêu cầu tính tỉ số Chúng tôi đã chọn cách hỏi thứ nhất vì đây là kiểu nhiệm vụ mà các em từng gặp trong năm học và đã giải quyết bằng cách sử dụng vectơ. Việc yêu cầu tính tỉ số dễ hƣớng học sinh đến với tính toán bằng phƣơng pháp tổng hợp hơn là vectơ Biến 3 - Số lời giải: Yêu cầu học sinh giải nhiều cách, chúng tôi hy vọng trong số đó có cách giải bằng công cụ vectơ. 3/ Những chiến lƣợc có thể : a. Chiến lƣợc vectơ: Ta có thể so sánh hai vectơ trong mỗi cặp sau: ⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗; ⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, Nếu xét ⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có thể có hai cách trình bày: Cl : (cách gián tiếp - Biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗ ⃗⃗ qua một hệ vectơ nào đó. Từ đó suy ra mối liên hệ giữa hai vectơ này) Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 77 (1) (2) Từ (l) và (2) ⇒ ⇒ A, I, M thẳng hàng C2 : (cách trực tiếp – Tính ⃗⃗ ⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hay ngƣợc lại) ⇒ A, I, M thẳng hàng. b. Chiến lƣợc Thales - đồng dạng : C1: Kẻ đƣờng thẳng qua N và // BC cắt AM tại H. Gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta có : ⇒ I' ≡ I ⇒ A, I, M thẳng hàng C2 : Kẻ đƣờng thẳng qua N song song AM cắt MC tại K ♦ Gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta có: Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 78 Có thể CM: ⇒ IM // NK và A, I, M thẳng hàng. C3 : Kẻ đƣờng thẳng qua M và song song BN cắt AC tại E ♦ Gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta có: ⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm. C4 : đƣờng thẳng qua M song song AC cắt BN tại F, gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta có: ⇒ ’ ⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 79 C5 : đƣờng thẳng qua B và song song AM cắt AC kéo dài tại T ♦ Gọi I' là giao điểm BN và AM. Ta có: ⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm. Có thể CM ⇒ BI // BJ Vậy A, I, M thẳng hàng. C6 : Vẽ hình bình hành ABDC. Gọi I' là giao điểm của BN và AM ⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm. C7 : đƣờng thẳng qua C và song song AM cắt BN kéo dài tại E ♦ Gọi F là giao điểm của BN và AM. Ta có: ⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 80 C8 : Kẻ đƣờng thẳng qua A // BC cắt BN tại F II.3. Phân tích a-priori bài toán 3 : 1/ Kiến thức liên quan : - Định lý Thales và Tam giác đồng dạng - Vectơ : ♦ định nghĩa vectơ ♦ cộng, trừ vectơ ♦ nhân một số với một vectơ 2/ Biến didactic : Biến 1 - Hình dạng của hình thang ABCD : Nếu cho ABCD là hình thang vuông tại A và D có thể làm cho học sinh nghĩ đến dùng phƣơng pháp tọa độ để giải Biến 2 - Giá trị của k: Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 81 Nếu cho k một giá trị cụ thể thì học sinh sẽ nghĩ đến việc tính toán độ dài các đoạn thẳng và sử dụng phƣơng pháp tổng hợp để giải. Đặc biệt, với giá trị k = 2 thì lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp sẽ rất thuận lợi vì không cần vẽ thêm và lúc này dễ dàng chứng minh AMCN là hình bình hành ⇒ AM // NC. Ở đây, chúng tôi đã cho một cách tổng quát số k > 1 vì muốn phong tỏa các chiến lƣợc giải bằng phƣơng pháp tổng hợp. Biến 3 - Số lời giải Nếu yêu cầu học sinh tìm nhiều lời giải thì có khả năng học sinh sẽ nghĩ đến việc sử dụng công cụ vectơ để giải bài toán 3/ Những chiến lƣợc có thể: a. Chiến lƣợc vectơ: C1 (Cách trực tiếp : Tính ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ C2 (Cách gián tiếp : Tính ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ theo một hệ vectơ nào đó rồi so sánh 2 vectơ này với nhau) (1) Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 82 (2) (1) & (2) ⇒ b. Chiến lƣợc Thales - đồng dạng : Gọi E là trung điểm AD ⇒ ∆AEM ~ ∆NDC ⇒ ̂ ̂ ⇒ AM // NC C2: Kẻ NF // AB (F ∈ DB) ⇒ NF = DC ⇒ DNFC là hình bình hành ⇒ ⇒ AM//NI C3: Dựng hình bình hành ABPD (⇒ C ∈ DP) ⇒ NC // AM Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 83 C4: CN kéo dài cắt AB tại K và gọi I là giao điểm của DB và CK C5 : Lấy E sao cho A là trung điểm DE. ∆NDC ~ ∆EAB ⇒ ̂ ̂⇒ EB//NC (1) Mặt khác EB // AM (2) (vì AM là đƣờng trung bình của tam giác DEB) (1) và (2) ⇒ NC//AM. III/ Phân tích A-posteriori bài toán III.1. Phân tích a-posteriori bài toán 1: Bảng tổng kết: 1/ Tổng số bài: 80 bài trong đó có 12 bài không có lời giải, 68 bài có lời giải 2/ Tổng số lời giải : 117 lời giải trong đó có 6 lời giải bằng vectơ, 111 lời giải hình học bằng phƣơng pháp tổng hợp Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 84 3/ Bảng thống kê kết quả các phƣơng pháp giải: Đúng Sai Chƣa đến kết quả TS PP Vectơ 2 1 3 6 PP tổng hợp 78 29 4 111 (Bảng 7) Về các lời giải bằng công cụ vectơ: - Lời giải bằng vectơ chiếm số lƣợng ít (6/117). Nguyên nhân có thể vì số lƣợng ví dụ và bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T10 (chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc) đƣợc nêu trong sách Hình học lớp 10 (bộ sách năm 2000) không nhiều, chỉ có 3/18 bài thuộc loại 3 trong đó gồm 1 ví dụ 1 bài tập chính và 1 bài tập làm thêm. Hơn nữa, nhƣ chúng tôi đã phân tích kiểu nhiệm vụ T10, ví dụ đƣợc nêu là một bài toán khá khó, bài tập chính thì đƣợc phát biểu bằng ngôn ngữ tọa độ, chỉ có bài tập làm thêm là chuẩn mực của việc dùng công cụ vectơ để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. - Khi giải bài toán bằng công cụ vectơ, học sinh nắm vững cách chuyển ngôn ngữ. Cụ thể là sáu học sinh sử dụng vectơ để giải đều viết đƣợc các hệ thức sau : + M là trung điểm AD ⟺ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + - Tuy nhiên khi giải cụ thể học sinh lại gặp khó khăn trong việc định hƣớng các phép biến đổi các hệ thức vectơ. Chẳng hạn học sinh số 10 đã viết nhƣ sau : Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 85 (1) (2) (3) Học sinh dừng lại ở đây, không đi đến kết quả. Chúng tôi cho rằng có thể do các nguyên nhân sau đây : - Công thức chiếu để tính tích vô hƣớng của hai vectơ không đƣợc học sinh sử dụng. Nhìn lại sách giáo khoa ta thấy chỉ có duy nhất một bài toán mà trong lời giải có sử dụng công thức chiếu. Nếu dùng công thức này thì sau bƣớc (3) có thể biến đổi tiếp nhƣ sau: (3) = -AB 2 +AD 2 -AB 2 = 0 - Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm các phép biến đổi cần thiết. Chẳng hạn, nếu không dùng công thức chiếu thì có thể chọn hƣớng biến đổi là đƣa tất cả các vectơ trong hệ về các vectơ có cùng điểm đầu thì có thể giải quyết trọn vẹn bài toán nhƣ cách giải đƣợc nêu trong phần chiến lƣợc vectơ ở trên. • Khi biến đổi các em ít dùng quy tắc ba điểm (hệ thức Chasles) viết dƣới dạng hiệu so với dạng tổng hai vectơ. Một số em biết dùng quy tắc hình bình hành để xác định vectơ tổng . Hệ thức trung điểm đƣợc sử dụng trong tất cả lời giải bằng công cụ vectơ. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 86 • Sai lầm trong lời giải sử dụng công cụ vectơ : có học sinh tính toán trên vectơ giống nhƣ trên số thực, chẳng hạn trong lời giải của học sinh số 38 chúng ta thấy có đoạn : (1) (2) Chúng tôi cho rằng có thể học sinh này muốn giải bài toán bằng phép biến đổi tƣơng đƣơng, nghĩa là chứng minh : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ tƣơng đƣơng với một đẳng thức đúng. Tuy nhiên, đẳng thức số (2) đã thể hiện sự tính toán của em trên vectơ giống nhƣ trên số thực. Về các lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp : • Với bài toán trên, hầu nhƣ tất cả các em đều có lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp. Một số em có đến ba lời giải đúng bằng phƣơng pháp này. Chúng ta có thể giải thích điều này nhƣ sau : - Khi giải bài toán đã cho bằng phƣơng pháp tổng hợp ta không cần vẽ thêm. - Có rất nhiều cách giải bài toán bằng phƣơng pháp tổng hợp - Việc dùng phƣơng pháp tổng hợp để chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc gặp rất nhiều ở cấp II. • Tất cả những lời giải sử dụng tỷ số lƣợng giác đều đúng. • Phần lớn lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp đều dựa vào hệ thức lƣợng trong tam giác vuông. Mỗi hệ thức lƣợng trong tam giác vuông đều có ít nhất một lời giải sử dụng nó. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 87 • Có duy nhất một học sinh sử dụng hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn để giải bài toán. Có thể nguyên nhân là do sách giáo khoa chỉ trình bày cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn qua một ví dụ, mà không thể chế hóa nó thành định lý. • Các sai lầm trong lời giải sử dụng phƣơng pháp tổng hợp là : ♦ Sai về kiến thức ví dụ cho rằng : - ∆AMB là nửa tam giác đều - A là trực tâm ∆ABM ♦ Sai về suy luận : Lấy kết luận làm giả thiết. ♦ Sai do ảnh hƣởng hình vẽ Về các lời giải bằng phƣơng pháp vectơ - tọa độ và phƣơng pháp tọa độ : • Không có học sinh nào sử dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ cũng nhƣ phƣơng pháp tọa độ để giải bài toán trên. Nguyên nhân có thể vì trong sách giáo khoa hiện hành không có bài tập nào dùng phƣơng pháp vectơ - tọa độ để giải một bài toán mà trong phát biểu không chứa những thông tin về tọa độ, chỉ có ngôn ngữ hình học thuần túy. Còn sử dụng phƣơng pháp tọa độ thì không phải là mục đích của dạy học hình học lớp 10 nên trong sách giáo khoa ta thấy chỉ có đúng một bài tập dùng phƣơng pháp tọa độ để giải. Đó là bài toán sau đây : Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Gọi P, Q là trung điểm AC và BD. Gọi M, N là trung điểm AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm. Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 88 Lời giải: Đặt tọa độ của A, B, C, D lần lƣợt là (a1, a2); (b1, b2); (c1, c2); (d1, d2). Dễ thấy tọa độ trung điểm của cả ba đoạn thẳng IJ, MN, PQ đều là Tuy nhiên bài toán trên không thuộc kiểu nhiệm vụ chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc và phƣơng pháp tọa độ cũng không tỏ ra có hiệu quả trong việc giải bài toán này. Vì vậy học sinh không có cơ hội rèn luyện kỹ năng sử dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ hoặc phƣơng pháp tọa độ để giải dạng toán chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc - Không có học sinh nào giải bằng cách viết phƣơng trình hai đƣờng thẳng AC, BM và chứng minh tích hai hệ số góc của hai đƣờng thẳng này bằng -1 mặc dù phƣơng pháp này đã đƣợc học trong chƣơng trình lớp 9 và đƣợc nhắc lại trong phần đại số của lớp 10 III.2. Phân tích a-posteriori bài toán 2 : Bảng tống kết: 1/ Tổng số bài: 67 bài trong đó có 19 bài không có lời giải, 48 bài có lời giải 2/ Tổng số lời giải : 53 lời giải trong đó có 9 lời giải dùng công cụ vectơ, 44 lời giải dùng phƣơng pháp tổng hợp 3/ Bảng thống kê kết quả các phƣơng pháp giải: Đúng Sai Chƣa đến kết quả Tổng số PP Vectơ 4 2 3 9 PP tổng hợp 5 28 11 44 (Bảng 8) Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 89 Về các lời giải bằng công cụ vectơ : • Số lời giải bằng vectơ rất ít (9/53) mặc dù việc chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng công cụ vectơ đƣợc lặp đi lặp lại ở các kiểu nhiệm vụ T7, T8, T9 và nếu sử dụng công cụ vectơ để giải bài toán này thì lời giải sẽ ngắn gọn. • Khi giải bài toán bằng công cụ vectơ, học sinh nắm vững cách chuyển ngôn ngữ qua lại giữa một sự kiện hình học và một hệ thức vectơ. Cụ thể là : - A, I, M thẳng hàng ⟺ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ - M là trung điểm BC ⟺ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - { - { • Tuy nhiên trong quá trình giải, khi muốn tính một vectơ theo một vectơ khác thì các em tỏ ra lúng túng, không tìm đƣợc phép biến đổi phù hợp. Chúng ta lấy bài làm của học sinh số 2 làm ví dụ : Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 90 Chúng tôi nghĩ rằng có thể học sinh này muốn tính ⃗⃗⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hoặc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nhƣng càng biến đổi thì biểu thức càng phức tạp nên không thể làm tiếp đƣợc. Cũng vậy khi muốn chứng minh hai vectơ nào đó cùng phƣơng, các em không biết chọn trƣớc một cơ sở và biểu diễn hai vectơ đó qua cơ sở đã chọn để so sánh. Chẳng hạn, chúng ta xét bài giải sau đây của học sinh số 4 : Rõ ràng học sinh này biết rằng muốn chứng minh A, I, M thẳng hàng thì cần phải chứng minh ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng. Tuy nhiên sau khi đã biểu diễn đƣợc ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em lại không thể tính đƣợc ⃗⃗⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Lẽ ra sau khi có ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ học sinh này phải giữa nguyên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ chỉ biến đổi ⃗⃗⃗⃗⃗ nhƣng ở đây em lại biến đổi tiếp cả ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗. Việc biến đổi các biểu thức vectơ một cách ngẫu nhiên tùy tiện không chỉ thấy ở trong các lời giải chƣa đƣợc trọn vẹn nhƣ lời giải trên mà còn trong cả những lời giải hoàn chỉnh. Chúng ta xét tiếp lời giải sau đây của học sinh số 7 : Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 91 Ta lại có: (2) Nhân 5 vào hai vế của (2): Vậy ⇒ A, I, M thẳng hàng Dƣờng nhƣ học sinh này không biết nghĩ rằng có thể tính ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ qua ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nên sau khi đã có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em tiếp tục biến đổi ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ để suy ra : Việc biểu diễn ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ qua một cơ sở ngẫu nhiên đƣợc thấy trong một số lời giải của học sinh. Chỉ riêng cặp vectơ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗ ta gặp sự biểu diễn chúng thông qua: Điều này chứng tỏ các em chƣa nắm vững định lý về việc phân tích một vectơ theo một cơ sở. Đối với định lý này, hai bộ sách năm 1990 và năm 2000 có cách trình bày khác nhau mặc dù đều đƣa định lí này vào bài "Hệ trục tọa độ Đề-cac vuông góc". • Sách năm 1990 : Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 92 Định lý mở đầu : Cho trƣớc hai vectơ ⃗ ⃗ khác ⃗⃗ và không cùng phƣơng. Với mọi vectơ ⃗ bao giờ cũng tìm đƣợc cặp số thực m, n duy nhất, sao cho ⃗ = m ⃗ + n ⃗. • Sách năm 2000 : Định lí: Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 1 vectơ tùy ý ⃗⃗. Khi đó có duy nhất một cặp số thực x và y sao cho ⃗⃗ = x ⃗ + y ⃗. Ta thấy cách phát biểu định lí trong sách năm 1990 thuần túy vectơ. Cách phát biểu định lí trong sách 2000 liên quan đến tọa độ. Định lý này chỉ khẳng định mọi vectơ (của mặt phẳng) đều biểu diễn đƣợc qua hai vectơ vuông góc i,j thuộc hai trục toa độ. Nó chỉ là một trƣờng hợp riêng của định lý đƣợc giới thiệu trong sách giáo khoa 1990. Phải chăng đây cũng là một lí do khiến học sinh khi dùng công cụ vectơ đã không thể hiểu sâu sắc cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng, nghĩa là bao giờ cũng có thể tính một vectơ nào đó theo hai vectơ không cùng phƣơng mà ta chọn trƣớc. • Một học sinh phạm sai lầm khi chuyển từ đẳng thức về độ dài sang đẳng thức vectơ vì không để ý đến hƣớng của chúng. Chẳng hạn từ BI = BN em này đã chuyển thành ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thay vì phải viết là ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Sai lầm này chứng tỏ học sinh chỉ xem xét các vectơ trên phƣơng diện độ dài của chúng đồng thời vẫn chƣa nắm vững khái niệm phƣơng, hƣớng của vectơ. Các sai lầm này là một trong những nguyên nhân làm cho việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán ở học sinh lớp 10 kém hiệu quả Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 93 • Một học sinh tính toán trên vectơ nhƣ tính toán trên số thực. Chẳng hạn lời giải của học sinh số 11 việc viết chứng tỏ rằng học sinh này chƣa nắm chắc kiến thức vectơ. Em đã không thấy đƣợc có sự khác biệt khi thực hiện phép tính trên vectơ và trên số thực. Ký hiệu ⃗⃗ với k ∈ R hoàn toàn vô nghĩa, bởi không có phép toán chia một số cho một vectơ. Theo chúng tôi một trong những nguyên nhân khiến học sinh dễ phạm sai lầm này là "lần đầu tiên học sinh đƣợc làm quen với một đối tƣợng mới là vectơ, mà trên đó vẫn có các phép cộng, trừ, nhân nhƣ là đối với các số. Mặt khác các phép toán trên các đối tƣợng mới lại có nhiều tính chất tƣơng tự nhƣ đối với các số. Chẳng hạn phép cộng các vectơ cũng có tính chất giao hoán, kết hợp,... các quy tắc rút gọn, chuyển vế,..." (tài liệu "Hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10", trang 58). Tuy vậy không phải phép Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 94 toán nào trên vectơ cũng có tính chất tƣơng tự nhƣ phép toán trên tập hợp số. Chẳng hạn không có tính chất chuyển vế trong phép nhân một vectơ với một số hoặc trong tích vô hƣớng, nghĩa là không có các mệnh đề sau đây : Do sách giáo khoa không trình bày cho học sinh biết tính chất của phép toán nào trên vectơ tƣơng tự trên số thực, tính chất của phép toán nào thì không nên học sinh rất dễ mắc sai lầm • Có học sinh sử dụng ký hiệu ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ trong bài làm của mình mặc dù trong sách giáo khoa không trình bày ký hiệu này. Về các lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp: • Muốn giải bài toán này bằng phƣơng pháp tổng hợp phải biết vẽ thêm và có kỹ năng tính toán tốt. Vì vậy mặc dù có rất nhiều (44/53) lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp nhƣng có rất ít (5/44) lời giải đúng. Nếu sử dụng vectơ thì đƣờng lối giải bài toán rất rõ ràng. Hơn thế, công cụ vectơ sẽ cho phép thiết lập một lời giải gọn gàng. Nhƣng trong thực tế chỉ có 9/53 lời giải có sử dụng vectơ. • Các sai lầm có thể thấy ở phƣơng pháp tổng hợp là : ♦ Sai về kiến thức ♦ Sai về suy luận : Lấy kết luận làm giả thiết. ♦ Sai do ảnh hƣởng hình vẽ Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 95 III.3. Phân tích a-posteriori bài toán 3 : Bảng thống kê : 1. Tổng số bài: 64 bài, trong đó có 9 bài không có lời giải, 55 bài có lời giải. 2. Tổng số lời giải: 60 lời giải trong đó có 3 lời giải bằng vectơ và 57 lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp 3. Bảng thống kê kết quả các phƣơng pháp giải: Đúng Sai Chƣa đến kết quả TS PP Vectơ 3 0 0 3 PP tổng hợp 40 12 5 57 (Bảng 9) Về các lời giải bằng công cụ vectơ : • Chỉ có ba lời giải bằng công cụ vectơ. Điều này chứng tỏ khi gặp bài toán chứng minh thẳng hàng học sinh nghĩ nhiều đến công cụ vectơ nhƣng gặp bài toán chứng minh song song thì học sinh lại ít nghĩ đến việc dùng công cụ này để giải. Nguyên nhân có lẽ do trong sách giáo khoa cũng nhƣ sách bài tập không có bài toán nào mà lời giải có sử dụng công cụ vectơ để chứng minh hai đƣờng thẳng song song. • Cả ba lời giải bằng công cụ vectơ đều đúng. Có thể vì khi sử dụng công cụ này để giải thì chỉ cần rất ít phép biến đổi. Hơn nữa các phép biến đổi cần thực hiện rất đơn giản. Mặt khác các em đã biết chuyển đổi ngôn ngữ tốt cụ thể là : Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 96 M là trung điểm BD ⟺ AM // NC ⟺ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Về các lời giải bằng phƣơng pháp tống hợp : • Có nhiều lời giải đúng bằng phƣơng pháp tổng hợp. • Có một số lời giải thiếu chặt chẽ. • Các sai lầm có thể thấy ở phƣơng pháp tổng hợp là : + Sai về kiến thức + Sai về suy luận : Lấy kết luận làm giả thiết. + Sai do ảnh hƣởng hình vẽ III.4. Tổng kết phần phân tích a-posteriori ba bài toán thực nghiệm : 1/ Tỉ lệ học sinh sử dụng công cụ vectơ để giải: Bài Tỉ lệ Bài 1 (chứng minh vuông góc) 6/80 ≈7,5% Bài 2 (chứng minh thẳng hàng) 9/67 ≈ 13,4% Bài 3 (chứng minh song song) 3/64 ≈ 4,7% Tính chung cả ba bài 18/211≈ 8,5% (Bảng 10) Tỉ lệ sử dụng công cụ vectơ còn rất thấp mặc dù chúng tôi đã cố gắng tạo điều kiện để học sinh nghĩ đến công cụ này bằng cách : Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 97 ♦ Cho thời gian làm bài khá dài (60 phút / 1 bài) ♦ Yêu cầu tìm ít nhất ba lời giải ♦ Soạn các bài toán thực nghiệm sao cho việc dùng công cụ vectơ để giải là hiệu quả hơn hết. Tỉ lệ sử dụng công cụ vectơ phụ thuộc rất lớn vào kiểu nhiệm vụ đƣợc đặt ra. Kiểu nhiệm vụ nào đƣợc gặp và thực hành nhiều thì tỉ lệ dùng công cụ vectơ càng cao chẳng hạn theo bảng thống kê ở trên ta thấy tỷ lệ học sinh lớp 10 sử dụng công cụ vectơ để giải bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng lớn hơn việc sử dụng công cụ này để giải bài toán chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc hoặc hai đƣờng thẳng song song 2/ Về kỹ năng sử dụng công cụ vectơ để giải toán của học sinh : Bài Đúng Sai Chƣa đến kết quả Bài 1 2/6 ≈ 33,3% 1/6 ≈ 16,7% 3/6 ≈ 50,0% Bài 2 4/9 ≈ 44,4% 2/9 ≈ 22,2% 3/9 ≈ 33,3% Bài 3 3/3 ≈ 100,0% 0/3 ≈ 0,0% 0/3 ≈ 0,0% Tính chung cả 3 bài 9/18≈50,0% 3/18≈ 16,7% 6/18≈33,3% (Bảng 11) Theo bảng 4 và bảng 5 chúng ta nhận thấy chỉ có 8,5% học sinh nghĩ đến việc sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán thực nghiệm. Trong số này chỉ có 50% học sinh giải quyết thành công các bài toán. Điều này Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 98 chứng tỏ vectơ chỉ thật sự là một công cụ giải toán có hiệu quả đối với một số rất ít học sinh Phân tích các lời giải bằng công cụ vectơ, chúng tôi nhận thấy rằng : 1. Bƣớc chuyển đổi ngôn ngữ đƣợc các em tiến hành khá tốt. Chỉ có 1/18 học sinh mắc sai lầm trong bƣớc này do khi chuyển từ đẳng thức về độ dài sang đẳng thức vectơ đã không để ý đến hƣớng của chúng. Chẳng hạn từ BI = BN em này đã chuyển thành ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thay vì phải viết là ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Các em còn lại đều thành công trong bƣớc chuyển giả thiết và kết luận của các bài toán sang ngôn ngữ vectơ. Cụ thể là : Bài 1: M là trung điểm AD ⟺ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Bài 2: M là trung điểm BC ⟺ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { { A, I, M thẳng hàng ⟺ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 99 Bài 3: M là trung điểm BD ⟺ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ { { AM // NC ⟺ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Có thể giải thích hiện tƣơng này bởi sự kiện số lƣợng bài tập trong sách hiện hành liên quan đến việc chuyển đổi ngôn ngữ khá nhiều. Nếu xét riêng các bài tập mà chúng ta đã liệt kê trong các kiểu nhiệm vụ từ T1 đến T12 thì có thể nói tất cả các bài tập thuộc loại 2 và loại 3 đều có liên quan đến việc chuyển đổi ngôn ngữ. Chúng chiếm tỉ lệ 25/35 số lƣợng bài tập chính của cả ba loại. 2. Tuy nhiên trong quá trình sử dụng vectơ để giải các bài toán, học sinh thƣờng lúng túng trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để có thể đi đến kết quả, các em thƣờng biến đổi lòng vòng, tùy tiện do đó không giải đƣợc trọn vẹn bài toán. Theo chúng tôi nguyên nhân có thể là do trong sách năm 2000, định lý về việc biểu diễn một vectơ bất kỳ qua một cơ sở không đƣợc trình bày một cách tổng quát mà chì đề cập đến một trƣờng hợp đặc biệt là biểu diễn một vectơ qua hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ, đồng thời trong bộ sách này không có dạng toán tính một vectơ qua một hệ vectơ cho trƣớc. Có lẽ điều này khiến học sinh không định hƣớng đƣợc các phép biến đổi. Các em không biết chọn trƣớc một hệ hai vectơ Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh 100 không cộng tuyến và biểu diễn các vectơ qua hệ này để so sánh hoặc tính toán. Có thể nói rằng khi sử dụng vectơ để giải các bài toán đã cho, học sinh biết mình phải làm gì, nhƣng trong quá trình giải, một số em không biết phải thực hiện các phép biến đổi nhƣ thế nào để đạt đƣợc kết quả mong muốn IV/ Kết luận Kết quả phân tích các bài toán thực nghiệm đã khẳng định giả thuyết của chúng tôi là: - Học sinh lớp 10 vẫn chƣa thƣờng xuyên nghĩ đến việc sử dụng công cụ vectơ để giải một bài toán hình học thuần túy. - Một trong những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ để giải toán là không biết chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt đƣợc kết quả mong muốn. Kết luận Hoàng Hữu Vinh 101 KẾT LUẬN Kết quả nghiên cứu của chƣơng 2 cho phép kết luận rằng : Vectơ đóng một vai trò quan trọng trong cả hai chƣơng trình 1989 và 1999. Về lý thuyết, vectơ gần nhƣ có mặt trong toàn bộ nội dung của chƣơng trình hình học lớp 10. Phần đầu của chƣơng trình, vectơ đƣợc nghiên cứu ở khía cạnh đối tƣợng của tri thức. Phần tiếp theo dành cho việc nghiên cứu các hệ thức lƣợng trong tam giác, đƣờng tròn. Trong phần này, vectơ đƣợc sử dụng để chứng minh nhiều định lý và công thức. Chẳng hạn, tích vô hƣớng của hai vectơ đƣợc dùng để chứng minh định lý hàm số cosin, công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến.... Nó cũng đƣợc dùng để xây dựng khái niệm phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn. Phần cuối cùng của chƣơng trình là "Các phép dời hình và phép đồng dạng". Ở dây vectơ đƣợc dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, chứng minh các định lý về sự bảo toàn khoảng cách của những phép dời hình (đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến). Sự bảo toàn tỉ số khoảng cách cũng nhƣ tính thẳng hàng của phép vị tự. Về bài tập, vectơ đƣợc giới thiệu nhƣ là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học thuần túy thuộc nhiều kiểu nhiệm vụ khác nhau. Về mặt này, do quan điểm của Bộ Giáo dục và Đào tạo, có sự khác nhau ở hai chƣơng trình 1989 và 1999 nên việc trình bày vấn đề này trong hai bộ sách tƣơng ứng là sách năm 1990 và sách năm 2000 cũng có sự khác nhau. Nếu trong sách năm 1990 ngƣời ta liệt kê các dạng toán thƣờng gặp và nêu phƣơng pháp giải các dạng toán đó trong SGK một cách rõ ràng thành từng bảng tóm tắt thì sách năm 2000 không trình bày nhƣ vậy. Với quan điểm "giảm tải", ngƣời ta cố gắng tinh giản lý thuyết do đó một số nội dung lý thuyết thƣờng dùng khi giải toán bằng công cụ vectơ không đƣợc trình bày thành các kiến thức giáo khoa mà đƣợc giới thiệu qua các ví dụ hoặc các bài tập nhỏ. Chúng có chức năng nhƣ những bài toán phụ để giải một số bài toán khác. Mặc dù phần lớn các Kết luận Hoàng Hữu Vinh 102 dạng toán ở hai bộ sách về cơ bản là giống nhau nhƣng các bài tập sử dụng công cụ vectơ để giải trong sách năm 2000 có số lƣợng ít hơn và cũng không có những bài toán thật khó nhƣ trong sách năm 1990. Đặc biệt do sách hiện hành không phát biểu định lý biểu diễn một vectơ bất kỳ qua một cơ sở nên trong sách này cũng không nêu dạng toán biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ cho trƣớc Kết quả nghiên cứu của chƣơng 3 đã chứng tỏ rằng phƣơng pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán không đƣợc khắc sâu trong học sinh nhƣ phƣơng pháp tổng hợp. Công cụ vectơ chỉ luôn sẵn sàng để sử dụng ở một số rất ít học sinh. Khi sử dụng vectơ để giải các bài toán hình học thuần túy học sinh thƣờng có sự chuyển đổi khá tốt giữa ngôn ngữ hình học và ngôn ngữ vectơ. Các em biết nếu muốn giải đƣợc bài toán thì mình phải làm các bƣớc nào. Tuy nhiên khi thực hiện các bƣớc, các em còn gặp sai lầm khi biến đổi các biểu thức vectơ nhƣ là biến đổi các biểu thức vô hƣớng cũng nhƣ còn gặp rất nhiều khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt đƣợc kết quả. Do đó tỷ lệ giải thành công bài toán bằng công cụ vectơ ở học sinh lớp 10 chƣa cao. Theo chúng tôi nguyên nhân của thực trạng này là : - Học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu bản chất kép (hình học và đại số) của vectơ nhƣ tác giả Lê Thị Hoài Châu đã nêu ra trong luận văn tiến sỹ của mình. Lần đầu tiên học sinh đƣợc làm quen với một đối tƣợng mới là vectơ mà trên đó vẫn có các phép cộng, trừ, nhân nhƣ là đối với các số. Mặt khác các phép toán trên các đối tƣơng mới lại có nhiều tính chất tƣơng tự nhƣ đối với các số. Chẳng hạn phép cộng các vectơ cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp... Tuy vậy, không phải phép toán nào trên vectơ cũng có các tính chất tƣơng tự nhƣ các phép toán trên tập hợp số. Sách giáo khoa không trình bày cho học sinh biết tính chất của phép toán nào trên vectơ tƣơng tự trên số thực, tính chất của phép toán nào thì Kết luận Hoàng Hữu Vinh 103 không, nếu trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng không làm rõ điều này thì học sinh rất dễ mắc sai lầm. - Cách phát biểu định lý về việc phân tích một vectơ theo một cơ sở trong sách năm 2000 không đƣợc tổng quát nhƣ sách năm 1990. Có lẽ đây cũng là một lý do khiến học sinh không biết định hƣớng các phép biến đổi của mình. Các em không biết rằng có thể chọn trƣớc hai vectơ không cộng tuyến và biểu diễn các vectơ khác qua hai vectơ này để so sánh hoặc tính toán. - Sách không hệ thống hóa các dạng toán có thể giải bằng công cụ vectơ cũng nhƣ không đƣa ra cách thức nhận biết bài toán nào thì có thể giải đƣợc bằng công cụ này. Phải chăng do thể chế của việc dạy học vectơ trong chƣơng trình hình học lớp 10 ở nƣớc ta, việc không đặt yêu cầu cao đối với phƣơng pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán và việc trình bày phƣơng diện công cụ của vectơ trong sách hình học khiến học sinh không có một cái nhìn có hệ thống cũng nhƣ không đƣợc rèn luyện việc sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học. Vì vậy học sinh lớp 10 thƣờng ít nghĩ đến việc sử dụng vectơ để giải toán và nếu nghĩ đến thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Từ những kết quả nghiên cứu đã đạt đƣợc, chúng tôi có thể tiếp tục nghiên cứu của mình theo hƣớng tìm cách trình bày các kiến thức về vectơ sao cho vừa đạt đƣợc yêu cầu về nội dung vừa thỏa mãn quan điểm tinh giản lý thuyết của Bộ Giáo dục và Đào tạo mà vẫn có thể giúp học sinh nắm vững và sử dụng có hiệu quả công cụ vectơ trong việc giải các dạng toán hình học đƣợc đề ra trong chƣơng trình. TÀI LIỆU THAM KHẢO ---oOo--- 1. BESSOT.A, COMITI. C, (2000 - 2001)., Lý thuyết nhân chủng học ... Bài giảng trong chƣơng trình Thạc Sĩ về Didactique Toán. 2. ĐOÀN HỮU HẢI (2001)., L'enseignement de la géométrie dans l'espace au début du lýcée dans ses liens avec la géométrie plane. Une étude comparative entre deux institutions : la classe de Seconde en France et la classe 11 au Việt Nam. Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier Grenoble, France. 3. LÊ THỊ HOÀI CHÂU (1997)., E'tude didactique et épistémologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions : la classe de Dixième au Việt Nam et la classe de Seconde en France., Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier Grenoble, France. 4. LÊ VĂN TIÊN (2001) : E'tude didactique des liens entre fonctions et équations dans l'enseigement des mathématiques au lycée en France et au Việt Nam., Thèse de doctorat, Univerité Joseph Fourier Grenoble, France. 5. NGUYỄN GIA CỐC (1990) : Một số vấn đề chung trong việc dạy Hình học lớp 10. Tài liệu giáo viên phục vụ cho CCGD, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 6. NGUYỄN MỘNG HY-CAM DUY LỄ (1998)-Sách giáo viên (tái bản lần 1) - NXB Giáo Dục 7. NGUYỄN GIA CỐC (1997) - Sách giáo khoa hình học 12 (in lần thứ 6) NXB Giáo Dục. 8. NGUYỄN VĂN LỘC (1997) Quy trình giải các bài toán Hình học bằng phƣơng pháp vectơ - NXB Giáo Dục. 9. TRẦN VĂN HẠO - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo viên Toán 10 - NXB Giáo Dục. 10. TRẦN VĂN HẠO - VŨ THIỆN CĂN - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo khoa hình học 10 (in lần thứ 7) - NXB Giáo Dục. 11. TRẦN VĂN HẠO - PHAN TƢƠNG DẦN (1998) - Sách giáo viên (tái bản lần 1)-NXB Giáo Dục 12. VĂN NHƢ CƢƠNG (1994) Hình học 10 (sách giáo viên) NXB Giáo Dục. 13. VĂN NHƢ CƢƠNG - NGÔ THÚC LANH (2000) Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12- NXB Giáo Dục. 14. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách giáo khoa Hình học 10 - NXB Giáo Dục. 15. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách bài tập Hình học 10 -NXB Giáo Dục. 16. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách giáo khoa Hình học 12 - NXB Giáo Dục. 17. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách bài tập Hình học 12 - NXB Giáo Dục. 18. VĂN NHƢ CƢƠNG - TRẦN VĂN HẠO (2001) Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10- NXB Giáo Dục. 19. VĂN NHƢ CƢƠNG - VŨ DƢƠNG THỤY - TRƢƠNG CÔNG THÀNH (1990) Sách giáo viên Hình học 10- NXB Giáo Dục. Trƣờng : Trần Đại Nghĩa Lớp: 10A3 Họ và tên : Bài 1a:: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng AC ⊥BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên. Trƣờng : Trần Đại Nghĩa Lớp : 10A3 Họ và tên : Bài 1a : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √2AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng AC ⊥BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên. Trƣờng: Lƣơng Văn Can Lớp : 10A2 Họ và tên : Bài la : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng AC ⊥BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên. Trƣờng : PTTH Trần Đại Nghĩa Lớp: 10A3 Họ và tên : Bài 1a : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng AC ⊥ BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên. Trƣờng : Trần Đại Nghĩa Lớp: 10A3 Họ và tên : Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN = AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI = BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên. Trƣờng: Trần Đại Nghĩa Lớp: 10A3 Họ và tên : Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN = AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI = BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên. Trƣờng: Lƣơng Văn Can Lớp: 10A5 Họ và tên : Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN = 1/4 AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI = 4/5 BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên. Trƣờng TĐN Lớp: 10A3 Họ và tên : Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI = BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên. Trƣờng : PTTH Trần Đại Nghĩa Lớp : 10A3 Họ và tên : Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN = AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI = BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên. Trƣờng: Lê Hồng Phong Lớp: 10CA Họ và tên : Bài 3a : Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD thỏa hệ thức AB = kCD (k là số thực tùy ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và. N là điểm trên cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh rằng AM // NC. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên. Trƣờng : Lê Hồng Phong Lớp: 10CA Họ và tên : Bài 3a : Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD thỏa hệ thức AB = kCD (k là số thực tùy ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và. N là điểm trên cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh rằng AM // NC. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên. Trƣờng: Lƣơng Văn Can Lớp: 10A1 Họ và tên : Bài 3a : Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD thỏa hệ thức AB = kCD (k là số thực tùy ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và. N là điểm trên cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh rằng AM // NC. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.